Површине неких равних фигура

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Површине неких равних фигура"

Transcript

1 Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија Математика и информатика 3() (5), -6 Површине неких равних фигура Жарко Ђурић Париске комуне 4-/8, Врање У часопису МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА (види [5]) објављен је рад Од површине троугла до одређеног интеграла. Овај рад представља наставак тог рада. Нека је криволинијски троугао ABC равна фигура ограничена дужима CA, CB и кривом линијом BA одређене са y=y(x), односно F(x,y) = као на слици. и нека је функција y=y(x) диференцијабилна на [a,b]. Задатак је израчунати површину ове равне фигуре. Слика. Означимо са P(x) површину фигуре АСE, са P(x+h) означимо површину фигуре АСD, са P означимо површину фигуре EСD (видети слику ), где је a x b, x + h b и h >. Слика.

2 P = P(x + h) P(x) Тада је: P [p(y(x + h) y(x)) + (x + h)(y(x) q) + x(q y(x + h))] (Напомена: На десној страни примењена је формула за израчунавање површине троугла на троугао CDE, види [5] стр. 49) P [p(y(x + h) y(x)) + xy(x) qx + hy(x) hq + qx xy(x + h)] P [hy(x) hq + p(y(x + h) y(x)) x(y(x + h y(x))] P h y(x + h) y(x) y(x + h) y(x) [y(x) q + p x ] h h P P (y, x, p, q) = lim h = [y(x) q + p lim y(x+h) y(x) y(x+h) y(x) h h -x lim h h ] h Означимо P (y,x,p,q) са P (x) Добијамо: () P (x) = (y(x) q + (p x)y (x)) Ако посматрамо зависност величине P (y,x,p,q) од функције y(x), онда P (y,x,p,q) можемо означити са P (y). Овде P (y) можемо схватити као неко пресликавање са скупа диференцијабилних функција у скуп функција, по формули (), слично као што је то код извода. Тада имамо: ) P (k y + k y ) = k P (y ) + k P (y ) + q(k + k ), k, k ϵr, односно n i= n i= n i= ) P ( k i y i ) = k i P (y i ) + q( k i ), k, k,, k n ϵr. Доказ: P (k y +k y ) = [(k y +k y )-q+p(k y +k y ) - x(k y +k y ) ] = [k y +k y -q+pk y +pk y - xk y - xk y ] = [(k y -k q+pk y -xk y ) +(k y -k q+pk y - xk y )+k q+k q-q] = k (y -q+py -xy )+ k (y -q+py -xy )+ q(k +k -) =k P (y )+k P (y )+ q(k +k -). Индукцијом се доказује ). Ако је q=, онда вреди линеарност, тј. P (y +y ) = P (y )+P (y ) и P (kу) = kp (у). Из () излази

3 P ( y q ( p x) y ) dx. Нека је P ( y) ( y q ( p x) y ) dx, тада важи: 3) P(k y +k y ) = k P(y )+k P(y )+ q(k +k -) dx, k, k ϵr, односно n i= n i= n i= 4) P( k i y i ) = k i P(y i ) + q( (k i ) dx, k, k,, k n ϵr. Из () долазимо до формуле: b a () P = (y q + (p x)y )dx, p, q (слика 3.) Ако је q= добијамо формулу (3) P = (y + (p x)y ) односно (4) P = b (y + (p x)y )dx a (слика 4.) Слика 3. Слика 4. 3

4 Ако је и p= добијамо формулу (5) P = (y xy ), односно (6) P = b (y xy )dx a (слика 5.) Слика 5. Оријентација фигуре се одређује тако што се полази од B(b,y(b)) према A(a,y(a)) и наставља даље док се не дође до В. Ако је на тај начин фигура позитивно оријентисана тада је P позитивно, у противном P је негативно.означимо са P површину фигуре. (Види [5] стр 5, 53, 54, 57) Ево две особине које излазе из формула () и (): b a c a b c а) P = P dx = P dx + P dx, где је a < c < b (слика 6.) b б) P dx a = P dx a b Слика 6. 4

5 ПРИМЕРИ У следећим примерима показаћемо примену формула (), (4) и (6) на израчунавање површина неких равних фигура. Наведени начин у наредним примерима поједностављује поменуто израчунавање. Фигуре чије површине израчунавамо су осенчане и оријентисане. Пример. Слика 7. Дато је y= x+, C(, ), p =, q=. Наћи површину фигуре са слике. y = P = (x + + x. ) = P = dx =. Пример. Слика 8. 5

6 Дато је y= x +, C(,3), p =, q=3. Наћи површину фигуре са слике. y = P = (x x. ) = P = dx =, P = (површина посматране фигуре) Пример 3. Слика 9. Дато је y = x, С(,), p=, q =. Наћи површину фигуре са слике. y = x P = (x x. x) = x P = x dx = [ P = 6 x 3 3 ] = = 6 Пример 4. Дато је y = x, С(, ), p=, q =. Наћи површину фигуре са слике. 4 4 y = x P = (x + x 4 x. x) P = ( x + x 4 ) 6

7 P = ( x + x 4 ) dx = P = 4 [ x3 3 + x 4 x] = ( ) = 4 Пример 5. Слика. Слика. 7

8 Дато је y = -x +4x, С(,), p=, q =, А(-,5), В(6,-) где су А и В тачке на параболи. Наћи површину фигуре са слике. y = -x+4 P = [ x + 4x + ( x + 4) x( x + 4)] P = (x x + 4) 6 P = (x x + 4)dx = (x3 3 x + 4x) 6 = [( ) ( ( )3 ( ) + 4( ))] = Уколико линија којом је ограничена фигура није проста и имамо делове фигура који су позитивно оријентисани и делове који су негативно оријентисани, онда ће примена формуле () довести до резултата који је једнак разлици површина позитивно и негативно оријентисаних делова. Резултат у општем случају може бити и позитиван и негативан (види [5], стр. 53, слика 5; стр.57, слика ). Пример 6. Слика. Дато је y = x, С(,), p=, q =. Наћи Р. 4 4 y = x P = (x + x 4 x. x) ) P = ( x + x) 8

9 P = 3 ( x + x) dx = ( x 3 x + ) = 4 ( ) = 4 Пример 7. Слика 3. Дато је y = sinx, С(π,), p=π, q =. Наћи Р. y = cosx P = (sinx + πcosx xcosx) P = 3π (sinx + πcosx xcosx) dx 3π P = ( cosx + πsinx xsinx cosx) = + π 4 У наредним примерима криве су задате параметарски. Ако се функција y(x) може параметризовати као x=u(t), y=v(t), тада је y x = dy dy = dt dx dx = v (t) dt, односно y u (t) x = v t dx = u t dt. Формула () тада постаје P = β [v(t) q + (p u(t)) v t u t ] u t dt. u t и 9

10 Пример 8. Слика 4. Дато је x +y =, С(,), p=, q =. Наћи површину осенчаног дела фигуре са слике. x =cost y = sint x t = -sint y t = cost y x =- P = cost cost (sint + cost sint sint ) cos t sin t P = sin t cos t + cos t sint P = cost sint P = cost ( sint)dt = ( cost)dt = ( cost)dt = sint = (t- sint) = (-sin). За неке специјалне вредности угла биће: = π 6, P = (π 6 - sinπ 6 ) = (π 6 - ) = π, P = (π - sinπ) = π = π, P = (π - sinπ) =π.

11 Пример 9. Слика 5. Дато је x +y =, С(,), p=, q=. Наћи површину осенчаног дела фигуре са слике. x =cost y = sint x t = -sint y t = cost y x =- P = cost (sint + cost ) = sint sint cos t sin t P = sint ( sint)dt = dt = β dt = ( t) β = (β ) β Пример. β Слика 6.

12 Дато је b x +a y = a b, С(a,), p=a, q =. Наћи површину осенчаног дела фигуре са слике. x =acost y =b sint x t = -asint y t = bcost y x = bcost P = bcost (bsint a asint absin t abcost + abocs t P = P = b cost sint asint P = b cost ( asint)dt sint = ab bcost + acost asint ) = cost ab asint asint ab ab ( cost)dt = ( cost)dt = (t sint) = ab ( sin) За неке специјалне вредности угла биће: = π, P =ab (π - sinπ ) =ab (π - ) = π, P = ab abπ (π - sinπ) = = π, P = ab (π - sinπ) =abπ. Пример. Слика 7. Дато је b x +a y = a b, С(,), p=, q =. Наћи површину осенчаног дела фигуре са слике.

13 x =acost y =b sint x t = -asint y t = bcost y x =- P = P = (bsint+acost bcost asint ) b(sin t+cos t) = b sint sint P = b ( asint)dt = ab β dt = ab β t β sint Пример. = ab bcos t asin t (β ). 3 3 Слика 8. 3 Дато је x y a, а>, C(,), p=, q=. Наћи површину осенчаног дела астроиде (слика 8.). x =acos 3 t, y = asin 3 t, x t = -3acos tsint, y t = 3asin tcost y x = 3asin tcost 3acos tsint = sint cost P = (asin3 t + acos 3 t sint cost ) P = a (sin3 t+cos tsint) = a sint P = a sint 3acos t (-asint) dt = 3a sint tcos t dt = = 3a 4 sin tdt = 3a cos4t 8 dt = 3a 6 За неке специјалне вредности угла биће: sin4t (t - 4 ) sin4 =3a ( ). 3

14 = π 4, P =3a 6 (π 4 - )= 3a π 64 = π, P π =3a 3 = 3π 4, P π =9a 64 = π, P = 3a π 6 = π, P = 3a π 8. Пример 3. Слика 9. Наћи површину између једног лука циклоиде задате параметарским једначинама x=a(t sint), y = a( cost) и x-осе (слика 9.), где су C(,), p= и q=. x t = a( cost), y t = asint asin t sin t y x = = a( cos t) cos t P = [a( cost)- a(t sint) sin t ] = cos t = a cos t cos t t sin t sin cos t P = a π cost tsint cost ( cost)dt = a P = a (t-sint+tcost-sint) π =3a π. t = a cos t t sin t cos t π ( cost tsint)dt 4

15 Пример 4. Слика. Наћи површину петље Декартовог листа (слика ). Декартов лист је задат алгебарском једначином x 3 +y 3 = 3axy, a> где је његова асимптота x+y+a =. y = tx x 3 (+t 3 ) =3atx x = 3at 3at y= +t3 +t 3 x t = x t = 3a( t3 ) (+t 3 ) y t = 3a(t t4 ) (+t 3 ) y x = t t t 3 P = (at +t 3 3at +t 3 t t4 t 3) 3at t t4 +t 3 +t 3 t 3) 3a( t3 ) (+t 3 ) P = (at P = 9a t ( + t 3 ) ( + t 3 ) 3 P = 9a d(+t3 ) 3 (+t 3 ) dt dt = 9a t ( + t 3 ) dt dt = 3a +t 3 = 3a (Напомена: Види [6], стр. 48, Пример 7) ЛИТЕРАТУРА [] M. Марјановић, Математичка анализа I, Научна књига, Београд, 983. [] J. Д. Кечкић, МАТЕМАТИКА са збирком задатака за IV разред средње школе, НАУКА, Београд, 99. [3] Т. Пејовић, Математичка анализа, Грађевинска књига, Београд, 97. [4] Д. Тошић, Математика III, Академска мисао, Београд 6. [5] Ж. Ђурић, Од површине троугла до одређеног интеграла, Математика и информатика, :4 (5),

16 [6] М. Обрадовић, Д. Георгијевић, МАТЕМАТИКА са збирком задатака за IV разред средњег образовања и васпитања, Научна књига, Београд, 99. 6

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2014/15. бр. XLIX-5

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2014/15. бр. XLIX-5 МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 014/15. бр. XLIX-5 РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА ИЛИ РЕШЕЊА ЗАДАТАКА ИЗ РУБРИКЕ ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ III разред 1. а) 70 - седамсто три; б) двесто осамдесет два 8.. а) 4, 54, 54, 45, 504, 54. б)

Διαβάστε περισσότερα

< < < 21 > > = 704 дана (15 бодова). Признавати било који тачан. бодова), па је тражена разлика 693 (5 бодова), а тражени збир 907(5

< < < 21 > > = 704 дана (15 бодова). Признавати било који тачан. бодова), па је тражена разлика 693 (5 бодова), а тражени збир 907(5 05.03.011 - III РАЗРЕД 1. Нацртај 4 праве a, b, c и d, ако знаш да је права а нормална на праву b, права c нормалана на b, а d паралелнa са а. Затим попуни табелу стављајући знак (ако су праве нормалне)

Διαβάστε περισσότερα

4.4. Тежиште и ортоцентар троугла

4.4. Тежиште и ортоцентар троугла 50. 1) Нацртај правоугли троугао и конструиши његову уписану кружницу. ) Конструиши једнакокраки троугао чија је основица = 6 m и крак = 9 m, а затим конструиши уписану и описану кружницу. Да ли се уочава

Διαβάστε περισσότερα

Сваки задатак се бодује са по 20 бодова. Израда задатака траје 150 минута. Решење сваког задатка кратко и јасно образложити.

Сваки задатак се бодује са по 20 бодова. Израда задатака траје 150 минута. Решење сваког задатка кратко и јасно образложити. IV разред 1. Колико ће година проћи од 1. јануара 2015. године пре него што се први пут догоди да производ цифара у ознаци године буде већи од збира ових цифара? 2. Свако слово замени цифром (различита

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

L A TEX 2ε. mathematica 5.2

L A TEX 2ε. mathematica 5.2 Διδασκων: Τσαπογας Γεωργιος Διαφορικη Γεωμετρια Προχειρες Σημειωσεις Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών Σάμος Εαρινό Εξάμηνο 2005 στοιχεοθεσια : Ξενιτιδης Κλεανθης L A TEX 2ε σχεδια : Dia mathematica

Διαβάστε περισσότερα

Друштво Физичара Србије Министарство просвете и науке Републике Србије ЗАДАЦИ П Група

Друштво Физичара Србије Министарство просвете и науке Републике Србије ЗАДАЦИ П Група УЧЕНИКА СРЕДЊИХ ШКОЛА ШКОЛСКЕ 0/0. ГОДИНЕ I РАЗРЕД Друштво Физичара Србије Министарство просвете и науке Републике Србије ЗАДАЦИ П Група СЕНТА.0.0.. Играчи билијара су познати по извођењу специфичних удараца

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 6. Ορισμός επικαμπύλιου ολοκληρώματος 36 KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Τα επικαμπύλια ολοκληρώματα αποτελούν επέκταση της έννοιας του απλού ολο κληρώματος στην περίπτωση κατά την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση)

ΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση) ΜΑΣ00: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση) ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Να κατατάξετε τις διαφορικές εξισώσεις, δηλ να δώσετε την τάξη της, να πείτε αν είναι γραμμική ή όχι, να δώσετε την ανεξάρτητη μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

УПРАВЉАЊЕ КРЕТАЊЕМ ЛИФТА У ФУНКЦИЈИ ВРИЈЕДНОСТИ ТРЗАЈА ELEVATOR MOVEMENT CONTROL IN THE FUNCTION OF JERK VALUE

УПРАВЉАЊЕ КРЕТАЊЕМ ЛИФТА У ФУНКЦИЈИ ВРИЈЕДНОСТИ ТРЗАЈА ELEVATOR MOVEMENT CONTROL IN THE FUNCTION OF JERK VALUE INFOTEH-JAHORINA Vol., Ref. A-9, p. 4-44, March. УПРАВЉАЊЕ КРЕТАЊЕМ ЛИФТА У ФУНКЦИЈИ ВРИЈЕДНОСТИ ТРЗАЈА ELEVATOR MOVEMENT ONTROL IN THE FUNTION OF JERK VALUE Бојан Кнежевић, Машински факултет, Бања Лука

Διαβάστε περισσότερα

ПИТАЊА ЗА ТЕСТ ИЗ МАШИНСКИХ ЕЛЕМЕНАТА

ПИТАЊА ЗА ТЕСТ ИЗ МАШИНСКИХ ЕЛЕМЕНАТА ПИТАЊА ЗА ТЕСТ ИЗ МАШИНСКИХ ЕЛЕМЕНАТА 1.Толеранције су: 2 а) прописи о избору материјала и методе обраде машинских делова б) прописи о величини и облику машинских делова в) дозвољена одступања од задатих

Διαβάστε περισσότερα

School of Physics, University of Athens, Panepistimioupolis, Zographos 157 84, Athens-Greece ** Aстрономска опсерваторија, Волгина 7,

School of Physics, University of Athens, Panepistimioupolis, Zographos 157 84, Athens-Greece ** Aстрономска опсерваторија, Волгина 7, 27-725 Indikoplovac K. 528.425(495.02) ВАСИЛИЈЕ Н. МАНИМАНИС * ЕВСТРАТИЈЕ Т. ТЕОДОСИЈУ * МИЛАН С. ДИМИТРИЈЕВИЋ ** * Department of Astrophysics-Astronomy and Mechanics, School of Physics, University of

Διαβάστε περισσότερα

Одређивање специфичне тежине и густине чврстих и течних тела. Одређивање специфичне тежине и густине чврстих и течних тела помоћу пикнометра

Одређивање специфичне тежине и густине чврстих и течних тела. Одређивање специфичне тежине и густине чврстих и течних тела помоћу пикнометра Одређивање специфичне тежине и густине чврстих и течних тела Густина : V Специфична запремина : V s Q g Специфична тежина : σ V V V g Одређивање специфичне тежине и густине чврстих и течних тела помоћу

Διαβάστε περισσότερα

ОСНОВНА ЛОГИКА. Коста Дошен

ОСНОВНА ЛОГИКА. Коста Дошен ОСНОВНА ЛОГИКА Коста Дошен 2 Овa књигa je учињена слободно доступном преданошћу издавача Арона Сворца. Београд, 2013 This book is made freely available by the good offices of the publisher Aaron Swartz.

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονικοί ταλαντωτές

Αρµονικοί ταλαντωτές Αρµονικοί ταλαντωτές ΦΥΣ 131 - Διαλ.30 2 Αρµονικοί ταλαντωτές q Μερικά από τα θέµατα που θα καλύψουµε: q Μάζες σε ελατήρια, εκκρεµή q Διαφορικές εξισώσεις: d 2 x dt 2 + K m x = 0 Ø Mε λύση της µορφής:

Διαβάστε περισσότερα

y(t) S x(t) S dy dx E, E E T1 T2 T1 T2 1 T 1 T 2 2 T 2 1 T 2 2 3 T 3 1 T 3 2... V o R R R T V CC P F A P g h V ext V sin 2 S f S t V 1 V 2 V out sin 2 f S t x 1 F k q K x q K k F d F x d V

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικής Γεωμετρίας Καμπυλών και επιφανειών

Διαφορικής Γεωμετρίας Καμπυλών και επιφανειών Ν. Καδιανάκη Αν. Καθηγητή Ε.Μ.Π. Σημειώσεις Διαφορικής Γεωμετρίας Καμπυλών και επιφανειών ΑΘΗΝΑ Απαγορεύεται η ανατύπωση, αναδημοσίευση, αντιγραφή όλου ή μέρους του παρόντος βιβλίου, η αποθήκευση σε ηλεκτρονικά

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΚΑΣΤΟΡΙΑΝΟΙ ΖΩΓΡΑΦΟΙ ΠΟΥ ΜΕΤΑΚΙΝΟΥΝΤΑΙ ΒΟΡΕΙΑ ΚΑΤΑ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΜΙΣΟ ΤΟΥ 14 ΟΥ ΑΙΩΝΑ

ΟΙ ΚΑΣΤΟΡΙΑΝΟΙ ΖΩΓΡΑΦΟΙ ΠΟΥ ΜΕΤΑΚΙΝΟΥΝΤΑΙ ΒΟΡΕΙΑ ΚΑΤΑ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΜΙΣΟ ΤΟΥ 14 ΟΥ ΑΙΩΝΑ Ni{ i Vizantija II 295 Ιωάννης Σίσιου ΟΙ ΚΑΣΤΟΡΙΑΝΟΙ ΖΩΓΡΑΦΟΙ ΠΟΥ ΜΕΤΑΚΙΝΟΥΝΤΑΙ ΒΟΡΕΙΑ ΚΑΤΑ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΜΙΣΟ ΤΟΥ 14 ΟΥ ΑΙΩΝΑ Μετά την μάχη της Πελαγονίας και όσο βρισκόταν σε εξέλιξη η προσπάθεια για την

Διαβάστε περισσότερα

ИЗВЕШТАЈ О СПОЉАШЊЕМ ВРЕДНОВАЊУ КВАЛИТЕТА РАДА ШКОЛА

ИЗВЕШТАЈ О СПОЉАШЊЕМ ВРЕДНОВАЊУ КВАЛИТЕТА РАДА ШКОЛА Република Србија ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ИЗВЕШТАЈ О СПОЉАШЊЕМ ВРЕДНОВАЊУ КВАЛИТЕТА РАДА ШКОЛА (школска 2012/13. и школска 2013/14. година) Београд, децембар 2014. Завод за

Διαβάστε περισσότερα

ФИЗИКА Кинематика тачке у једној. Шема прикупљања поена - измене. Предиспитне обавезе

ФИЗИКА Кинематика тачке у једној. Шема прикупљања поена - измене. Предиспитне обавезе ФИЗИКА 9. Понедељак, 1. октобар, 9. Кинематика тачке у једној димензији Кинематика кретања у две димензије 1 Предиспитне обавезе Шема прикупљања поена - измене Активност у току предавања 5 поена (са више

Διαβάστε περισσότερα

Тест за I разред средње школе

Тест за I разред средње школе Министарство просветe и спортa Републике Србије Српско хемијско друштво Међуокружно такмичење из хемије 10. мај 2003. Тест за I разред средње школе Име и презиме Место и школа Разред Не отварајте добијени

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Задаци могу да се раде оним редоследом који кандидат сам одреди. ПРИЈЕМНИ ИСПИТ СВЕСКА ЗАДАТАКА

Задаци могу да се раде оним редоследом који кандидат сам одреди. ПРИЈЕМНИ ИСПИТ СВЕСКА ЗАДАТАКА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ 2014. СВЕСКА ЗАДАТАКА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ 2014. СВЕСКА ЗАДАТАКА Пријемни испит се реализује у виду теста, у трајању од 90 минута; тест се решава заокруживањем једног од више понуђених одговора;

Διαβάστε περισσότερα

ПРОРАЧУН ДИЈАФРАГМЕ ПРЕМА КЛАСИЧНОЈ МЕТОДИ И ПРЕМА ЕВРОКОДУ 7

ПРОРАЧУН ДИЈАФРАГМЕ ПРЕМА КЛАСИЧНОЈ МЕТОДИ И ПРЕМА ЕВРОКОДУ 7 ПРОРАЧУН ДИЈАФРАГМЕ ПРЕМА КЛАСИЧНОЈ МЕТОДИ И ПРЕМА ЕВРОКОДУ 7 Петар Сантрач 1 Жељко Бајић 2 УДК: Резиме: У односу на претходни период, у последњих 10-так година je значајно порастао број објеката у урбаним

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија. МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ и технолошког развоја ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Република Србија. МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ и технолошког развоја ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ и технолошког развоја ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА школска 2014/2015. година УПУТСТВО ЗА РАД Тест који треба да решиш

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mthemtic.gr. Η επιλογή και η φροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mthemtic.gr. Μετατροπές

Διαβάστε περισσότερα

ЗНАЊЕ, ВЕШТИНА, МУДРОСТ: ЈЕДАН КРАТАК ЕСЕЈ ЈОВАНА ХРИСТИЋА

ЗНАЊЕ, ВЕШТИНА, МУДРОСТ: ЈЕДАН КРАТАК ЕСЕЈ ЈОВАНА ХРИСТИЋА 821.163.41-4.09 Hristiж J. Др ГОРДАН МАРИЧИЋ Филозофски факултет Универзитет у Београду ЗНАЊЕ, ВЕШТИНА, МУДРОСТ: ЈЕДАН КРАТАК ЕСЕЈ ЈОВАНА ХРИСТИЋА Aпрстакт: Успешан у свему чега се латио, негде одличан,

Διαβάστε περισσότερα

Исчисление высказываний

Исчисление высказываний Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Исчисление высказываний Раздел электронного учебника для сопровождения практического занятия Изд.

Διαβάστε περισσότερα

МОДЕЛ УЧЕЊА ПРОГРАМСКОГ ЈЕЗИКА PASCAL НА ДАЉИНУ

МОДЕЛ УЧЕЊА ПРОГРАМСКОГ ЈЕЗИКА PASCAL НА ДАЉИНУ УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ТЕХНИЧКИ ФАКУЛТЕТ "МИХАЈЛО ПУПИН" ЗРЕЊАНИН МОДЕЛ УЧЕЊА ПРОГРАМСКОГ ЈЕЗИКА PASCAL НА ДАЉИНУ ДОКТОРСКА ДИСЕРТАЦИЈА МЕНТОР Проф. др Драгица Радосав КАНДИДАТ Пардањац мр Марјана Зрењанин,

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν την πρώτη εργασία της ενότητας ΔΙΠ50

Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν την πρώτη εργασία της ενότητας ΔΙΠ50 Άσκηση 1 η 1 η Εργασία ΔΙΠ50 Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν την πρώτη εργασία της ενότητας ΔΙΠ50 Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών

Διαβάστε περισσότερα

РАЗЛИКЕ ПРИМЕЊЕНИХ МЕТОДА У ПРОЦЕНИ ТЕЛЕСНОГ САСТАВА ДЕЧАКА АДОЛЕСЦЕНТСКОГ УЗРАСТА

РАЗЛИКЕ ПРИМЕЊЕНИХ МЕТОДА У ПРОЦЕНИ ТЕЛЕСНОГ САСТАВА ДЕЧАКА АДОЛЕСЦЕНТСКОГ УЗРАСТА Мацура M, и сар. Разлике примењених метода... ФИЗИЧКА КУЛТУРА 2010; 64 (2): 5-13 НАУЧНИ РАДОВИ Марија Мацура Борис Јерковић Марина Ђорђевић-Никић Ивана Милановић 613.25-053.2/.6 Милинко Дабовић Изворни

Διαβάστε περισσότερα

1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x. 3] x / y 4] none of these

1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x. 3] x / y 4] none of these 1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x 3] x / y 4] none of these 1. If log x 2 y 2 = a, then x 2 + y 2 Solution : Take y /x = k y = k x dy/dx = k dy/dx = y / x Answer : 2] y / x

Διαβάστε περισσότερα

37. РЕПУБЛИЧКИ НАТПРЕВАР ПО ФИЗИКА 2013 основни училишта 18 мај VII одделение (решенија на задачите)

37. РЕПУБЛИЧКИ НАТПРЕВАР ПО ФИЗИКА 2013 основни училишта 18 мај VII одделение (решенија на задачите) 37. РЕПУБЛИЧКИ НАТПРЕВАР ПО ФИЗИКА 03 основни училишта 8 мај 03 VII одделение (решенија на задачите) Задача. Во еден пакет хартија која вообичаено се користи за печатење, фотокопирање и сл. има N = 500

Διαβάστε περισσότερα

!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.

!!  &' ':  /.., c #$% & - & ' (),..., * +,.. * ' + * - - * (),...(. ..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικός υπολογισµός των πεδίων τάσεων και παραµορφώσεων γύρω από τυπικές πεταλοειδείς διατοµές ΝΑΤΜ

Αναλυτικός υπολογισµός των πεδίων τάσεων και παραµορφώσεων γύρω από τυπικές πεταλοειδείς διατοµές ΝΑΤΜ Αναλυτικός υπολογισµός των πεδίων τάσεων και παραµορφώσεων γύρω από τυπικές πεταλοειδείς διατοµές ΝΑΤΜ Ο. Αγγελοπούλου & Σ. Καρανάσιου Αγρονόµος Τοπογράφος Μηχανικός Ε.Μ.Π. Μ. Σακελλαρίου Αναπληρωτής Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Годишњи глобални и оперативни план рада за математику за VII разред основне школе

Годишњи глобални и оперативни план рада за математику за VII разред основне школе Основна школа (назив школе) (место) Школска година Годишњи глобални и оперативни план рада за математику за VII разред основне школе Фонд часова: 4 часа недељно, 144 часова годишње НАСТАВНИК ДИРЕКТОР МП

Διαβάστε περισσότερα

Тест за I разред средње школе

Тест за I разред средње школе Министарство просветe Републике Србије Српско хемијско друштво Републичко такмичење из хемије Ужице, 23.05.2009. Тест за I разред средње школе Име и презиме Место и школа Разред Име и презиме професора

Διαβάστε περισσότερα

Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα

Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα Δπηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα Επηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα θαη εθαξκνγέο. Επηθακπύιην Οινθιήξωκα. Έζηω όηη ε βαζκωηή ζπλάξηεζε f(x,y,z) είλαη νξηζκέλε πάλω ζε κία

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Ανέπτυξα την παρακάτω μεθοδολογία που με βοήθησε να ανταπεξέλθω στο

Διαβάστε περισσότερα

СЛУЖБЕНИ ГЛАСНИК ОПШТИНЕ ЛУЧАНИ

СЛУЖБЕНИ ГЛАСНИК ОПШТИНЕ ЛУЧАНИ СЛУЖБЕНИ ГЛАСНИК ОПШТИНЕ ЛУЧАНИ Број 1. 05. јануар 2016. године Година 33. 1. На основу члана 25. и 35. став 10. Закона о планирању и изградњи («Сл.гласник РС» бр. 72/2009, 81/2009-испр., 64/2010-одлука

Διαβάστε περισσότερα

АКАДЕМСКА БУДУЋНОСТ ЗАВИСИ ОД РАНОГ СТАРТА

АКАДЕМСКА БУДУЋНОСТ ЗАВИСИ ОД РАНОГ СТАРТА Оригинални научни рад UDK:37.022/.026:371.314.6. АКАДЕМСКА БУДУЋНОСТ ЗАВИСИ ОД РАНОГ СТАРТА ACADEMIC FUTURE DEPENDS ON EARLY START Ненад Сузић Резиме: Аутор полази од тезе да рано предшколско учење (рани

Διαβάστε περισσότερα

НАСТАВНО-НАУЧНОМ ВЕЋУ ФИЛОЛОШКОГ ФАКУЛТЕТА У БЕОГРАДУ

НАСТАВНО-НАУЧНОМ ВЕЋУ ФИЛОЛОШКОГ ФАКУЛТЕТА У БЕОГРАДУ НАСТАВНО-НАУЧНОМ ВЕЋУ ФИЛОЛОШКОГ ФАКУЛТЕТА У БЕОГРАДУ ИЗВЕШТАЈ О ОЦЕНИ ДОКТОРСКЕ ДИСЕРТАЦИЈE Рецептивне језичке активности у универзитетској настави страног језика релације између модерног грчког и српског

Διαβάστε περισσότερα

ВАСКРШЊЕ СЛОВО СВЕТОГ ЈОВАНА ЗЛАТОУСТОГА

ВАСКРШЊЕ СЛОВО СВЕТОГ ЈОВАНА ЗЛАТОУСТОГА Број 6 мај 2013 Лист храма Светог Козме и Дамјана при ваљевској болници Излази с благословом Његовог Преосвештенства Епископа ваљевског Г. Милутина ВАСКРШЊЕ СЛОВО СВЕТОГ ЈОВАНА ЗЛАТОУСТОГА Ако је ко побожан

Διαβάστε περισσότερα

САБОР ТРУБАЧА У ГУЧИ: СОЦИОДЕМОГРАФСКИ ПРОФИЛ И МОТИВ ДОЛАСКА ПОСЕТИЛАЦА * 1

САБОР ТРУБАЧА У ГУЧИ: СОЦИОДЕМОГРАФСКИ ПРОФИЛ И МОТИВ ДОЛАСКА ПОСЕТИЛАЦА * 1 UDC 788.077.092(497.11 Guča) UDC 316.7(497.11 Guča) DOI: 10.2298/ZMSDN1344563B Оригинални научни рад САБОР ТРУБАЧА У ГУЧИ: СОЦИОДЕМОГРАФСКИ ПРОФИЛ И МОТИВ ДОЛАСКА ПОСЕТИЛАЦА * 1 Жељко Бјељац z.bjeljac@gi.sanu.ac.rs

Διαβάστε περισσότερα

ГЛАСНИК СРПСКОГ ГЕОГРАФСKОГ ДРУШТВА BULLETIN OF THE SERBIAN GEOGRAPHICAL SOCIETY ГОДИНА СВЕСКА XCI- Бр. 2 YEAR 2011 TOME XCI - N о 2

ГЛАСНИК СРПСКОГ ГЕОГРАФСKОГ ДРУШТВА BULLETIN OF THE SERBIAN GEOGRAPHICAL SOCIETY ГОДИНА СВЕСКА XCI- Бр. 2 YEAR 2011 TOME XCI - N о 2 ГЛАСНИК СРПСКОГ ГЕОГРАФСKОГ ДРУШТВА BULLETIN OF THE SERBIAN GEOGRAPHICAL SOCIETY ГОДИНА 2011. СВЕСКА XCI- Бр. 2 YEAR 2011 TOME XCI - N о 2 Оригиналан научни рад UDC 911.2:551.524(497.11) DOI: 10.2298/GSGD1102085I

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 1 ΑΝ ΙΙΙ 07_08

Εργασία 1 ΑΝ ΙΙΙ 07_08 Εργασία ΑΝ ΙΙΙ 7_8 () t =,sin,cos t t t, t [,9], Για την αραμετρική καμύλη: ( ) Α Να βρεθεί η συνάρτηση μήκους τόξου και μια ισοδύναμη φυσική αραμετρική καμύλη q() s = (()) t s Β Να βρεθεί το σημείο Px

Διαβάστε περισσότερα

Дисфункционалност основне породице као чинилац који подстиче развој политоксикоманије код младих људи

Дисфункционалност основне породице као чинилац који подстиче развој политоксикоманије код младих људи Srp Arh Celok Lek. 2012 Jan-Feb;140(1-2):71-76 DOI: 10.2298/SARH1202071N ОРИГИНАЛНИ РАД / ORIGINAL ARTICLE UDC: 616.89-008.441.-02:17.7 71 Дисфункционалност основне породице као чинилац који подстиче развој

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΘΗΝΑ 996 Πρόλογος Οι σηµειώσεις αυτές γράφτηκαν για τους φοιτητές του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου και καλύπτουν πλήρως το µάθηµα των

Διαβάστε περισσότερα

КОНФЕРЕНЦИЈА УНИВЕРЗИТЕТА СРБИЈЕ О Б Р А З А Ц. ЗА ПРИЈАВЉИВАЊЕ КАНДИДАТА ЗА ЧЛАНОВЕ НАЦИОНАЛНОГ САВЕТА ЗА ВИСОКО ОБРАЗОВАЊЕ (2014 година)

КОНФЕРЕНЦИЈА УНИВЕРЗИТЕТА СРБИЈЕ О Б Р А З А Ц. ЗА ПРИЈАВЉИВАЊЕ КАНДИДАТА ЗА ЧЛАНОВЕ НАЦИОНАЛНОГ САВЕТА ЗА ВИСОКО ОБРАЗОВАЊЕ (2014 година) 1 КОНФЕРЕНЦИЈА УНИВЕРЗИТЕТА СРБИЈЕ О Б Р А З А Ц ЗА ПРИЈАВЉИВАЊЕ КАНДИДАТА ЗА ЧЛАНОВЕ НАЦИОНАЛНОГ САВЕТА ЗА ВИСОКО ОБРАЗОВАЊЕ (2014 година) ОСНОВНИ ПОДАЦИ Име и презиме Година и место рођења Звање е-mail/web

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων µιας Μεταβλητής

ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων µιας Μεταβλητής Σηµειωσεις: ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων µιας Μεταβλητής Θ. Κεχαγιάς Σεπτέµβρης 9 v..85 Περιεχόµενα Προλογος Εισαγωγη Βασικες Συναρτησεις. Θεωρια..................................... Λυµενα Προβληµατα.............................

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Περίληψη Ευστάθεια Συστημάτων Απόκριση ΓΧΑ Συστημάτων σε Διεγέρσεις

Διαβάστε περισσότερα

Θέση. Χρόνος. Ταχύτητα. Επιτάχυνση

Θέση. Χρόνος. Ταχύτητα. Επιτάχυνση 3 η ΕΡΓΑΣΙΑ Τα θέματα είναι ισοδύναμα. Όπου απαιτείται δίνεται η τιμή της επιτάχυνσης της βαρύτητας ως g=9.8m/sec. Ημερομηνία Παράδοσης: 6//006 ΘΕΜΑ 1: A. Σχεδιάστε τα διαγράμματα θέσης-χρόνου, ταχύτητας-χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

КВАЛИТЕТ И ПРАВЦИ РАЗВОЈА НАУЧНОИСТРАЖИВАЧКОГ РАДА НА УЧИТЕЉСКИМ ФАКУЛТЕТИМА У СРБИЈИ

КВАЛИТЕТ И ПРАВЦИ РАЗВОЈА НАУЧНОИСТРАЖИВАЧКОГ РАДА НА УЧИТЕЉСКИМ ФАКУЛТЕТИМА У СРБИЈИ Годишњак Педагошког факултета у Врању, књига VII, 2016. Проф. др Жана БОЈОВИЋ Mc Марина ИЛИЋ Учитељски факултет у Ужицу Универзитет у Крагујевцу УДК 378:371.12(497.11) - оригинални научни рад - КВАЛИТЕТ

Διαβάστε περισσότερα

12. ΣΥΜΒΟΛΙΚA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA

12. ΣΥΜΒΟΛΙΚA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA Γ. Γεωργίου & Χρ. Ξενοφώντος, Εισαγωγή στη MATLAB 12. ΣΥΜΒΟΛΙΚA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA Η εργαλειοθήκη συμβολικών μαθηματικών (Symbolic Math Toolbox) είναι προαιρετική (αυτό απλά σημαίνει ότι δεν συμπεριλαμβάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Ανέπτυξα την παρακάτω μεθοδολογία με υλικό από το ΕΑΠ που με βοήθησε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΚΡΙΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ. Καηηγορημαηικός Λογιζμός

ΔΙΑΚΡΙΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ. Καηηγορημαηικός Λογιζμός ΔΙΑΚΡΙΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Καηηγορημαηικός Λογιζμός Μοπθέρ Θεωπημάηων Υπάξρεη έλα αληηθείκελν ώζηε λα ηζρύεη θάηη. Υπαξμηαθόο πνζνδείθηεο Γηα θάζε αληηθείκελν ηζρύεη όηη θάηη. Καζνιηθόο πνζνδείθηεο 2 Καηηγοπήμαηα

Διαβάστε περισσότερα

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Ορισμός. Αν η f είνι ολοκληρώσιμη στο διάστημ [ a, ) ή στο διάστημ (,], τότε ονομάζουμε γενικευμένο ολοκλήρωμ είδους το ολοκλήρωμ της μορφής f() d ή - f() d Ορισμός. Το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Саборност 8 (2014) УДК 271.2-72-1 271.2-144.89 DOI:5937/sabornost8-7328 Оригинални научни рад. Ιωάννης Ζηζιούλας. Aκαδημία Aθηνών, Αθήνα

Саборност 8 (2014) УДК 271.2-72-1 271.2-144.89 DOI:5937/sabornost8-7328 Оригинални научни рад. Ιωάννης Ζηζιούλας. Aκαδημία Aθηνών, Αθήνα Саборност 8 (2014) Α Ω 43 52 УДК 271.2-72-1 271.2-144.89 DOI:5937/sabornost8-7328 Оригинални научни рад Ιωάννης Ζηζιούλας Aκαδημία Aθηνών, Αθήνα Το Μυστήριο της Εκκλησίας και το Μυστήριο της Αγίας Τριάδος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 8: Ολοκληρώματα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mil: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

ПРАКТИЧАН ПРИМЕР ПРОРАЧУНА

ПРАКТИЧАН ПРИМЕР ПРОРАЧУНА Инжењерска комора Србије ПРАКТИЧАН ПРИМЕР ПРОРАЧУНА ЕНЕРГЕТСКЕ ЕФИКАСНОСТИ ЗГРАДА У СКЛАДУ СА ВАЖЕЋИМ ПРОПИСИОМА IX Међународни и регионални сајам привреде Суботица 2015 Суботица, Грађевински факултет,

Διαβάστε περισσότερα

ПЛАНЕТАРНИ РЕДУКТОР СРЕДЊА МАШИНСКА ШКОЛА РАДОЈЕ ДАКИЋ. Пројектовао и нацртао. Милош Мајсторовић. Подаци о редуктору:

ПЛАНЕТАРНИ РЕДУКТОР СРЕДЊА МАШИНСКА ШКОЛА РАДОЈЕ ДАКИЋ. Пројектовао и нацртао. Милош Мајсторовић. Подаци о редуктору: СРЕДЊА МАШИНСКА ШКОЛА РАДОЈЕ ДАКИЋ ПЛАНЕТАРНИ РЕДУКТОР Подаци о редуктору: Број зубаца погонског зупчаника Z = 20 Број зубаца гоњеног зупчаника Z2 = 40 Нагиб бока зупца β = 0 Померање профила х = 0 Преносни

Διαβάστε περισσότερα

РАЗЛИКЕ ПРИМЕЊЕНИХ МЕТОДА У ПРОЦЕНИ ТЕЛЕСНОГ САСТАВА ДЕЧАКА АДОЛЕСЦЕНТСКОГ УЗРАСТА

РАЗЛИКЕ ПРИМЕЊЕНИХ МЕТОДА У ПРОЦЕНИ ТЕЛЕСНОГ САСТАВА ДЕЧАКА АДОЛЕСЦЕНТСКОГ УЗРАСТА НАУЧНИ РАДОВИ Марија Мацура Борис Јерковић Марина Ђорђевић-Никић Ивана Милановић 613.25-053.2/.6 Милинко Дабовић Изворни научни чланак Факултет спорта и физичког васпитања, Универзитет у Београду РАЗЛИКЕ

Διαβάστε περισσότερα

Фреквентност именице πίστις у Новом

Фреквентност именице πίστις у Новом udc 27 246:81'371 Милосав Вешовић, Зоран Ранковић (Београд) Семантика лексеме πίστις у активној употреби у Новозаветној традицији 251 Кључне речи: Новозаветни грчки језик, семантика, црквенословенски језик,

Διαβάστε περισσότερα

ШКОЛСКА 2013/2014. ГОДИНА

ШКОЛСКА 2013/2014. ГОДИНА ШКОЛСКА 2013/2014. ГОДИНА ШКОЛСКИ ПРОГРАМ ЕКОНОМСКО ТРГОВИНСКА ШКОЛА СМЕДЕРЕВО Адреса: Црвене армије 156 Тел. директора: 026650866 Тел.секретара: 026641360 web: www.etssd.edu.rs е маil: ssekotrgsme1@open.telekom.rs

Διαβάστε περισσότερα

школска 2016/2017. ФИЗИЧКО ВАСПИТАЊЕ- поени из модула 1

школска 2016/2017. ФИЗИЧКО ВАСПИТАЊЕ- поени из модула 1 школска 2016/2017. ФИЗИЧКО ВАСПИТАЊЕ- из модула 1 Р.Б. Т.Г. Презиме и име удента број индекса наава 1 I Гогић Анђела 46/2016 0,00 0,00 6,00 0,00 0,00 6,00 2 I Милетић Александра 84/2016 0,00 3,00 0,00

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΧΕΙΡΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΧΕΙΡΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΡΟΧΕΙΡΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ (για το µάθηµα Μ104 Απειροστικός Λογισµός ΙΙΙ) Ι.. ΠΛΑΤΗΣ Πανεπιστήµιο Κρήτης Τµήµα Μαθηµατικών 2011 Πρόλογος Οι πρόχειρες αυτές σηµειώσεις διαφορικών εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ η Ερώτηση Γνωρίζουµε πως η κυµατοσυνάρτηση είναι η λύσης της κυµατικής εξίσωσης, που περιγράφει το µέγεθος της ιαταραχής, ( rt, ) r. Ψ= σε κάθε χρονική στιγµή, t, και σε κάθε θέση

Διαβάστε περισσότερα

ФИЗИКА Рад. Рад константне силе над системом = F d cos θ

ФИЗИКА Рад. Рад константне силе над системом = F d cos θ ФИЗИКА 2009 Понедељак, 26. Октобар, 2009 1. Рад 2. Кинетичка енергија 3. Потенцијална енергија 1. Конзервативне силе и потенцијална енергија 2. Неконзервативне силе. Отворенисистеми 4. Закон одржања енергије

Διαβάστε περισσότερα

План генералне регулације Љубић-Коњевићи у Чачку

План генералне регулације Љубић-Коњевићи у Чачку На основу члана 35. став 7. Закона о планирању и изградњи ( Сл. гласник РС, број 72/81/09- испр. 64/10 - одлука УС, 24/11, 121/12, 42/13 - одлука УС, 50/13 - одлука УС, 54/13 решење УС и 98/13 - одлука

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

INOVACIJE u nastavi. ~asopis za savremenu nastavu. YU ISSN UDC Vol. 24

INOVACIJE u nastavi. ~asopis za savremenu nastavu. YU ISSN UDC Vol. 24 , 2 1 1 INOVACIJE u nastavi ~asopis za savremenu nastavu YU ISSN 0352-2334 UDC 370.8 Vol. 24 U»ITEySKI FAKULTET UNIVERZITET U BEOGRADU Adresa redakcije: U~iteqski fakultet, Beograd, Kraqice Natalije 43

Διαβάστε περισσότερα

ОБРАЗАЦ ЗА ПРИЈАВУ ТЕХНИЧКОГ РЕШЕЊА

ОБРАЗАЦ ЗА ПРИЈАВУ ТЕХНИЧКОГ РЕШЕЊА ЕЛЕКТРОНСКОМ ФАКУЛТЕТУ У НИШУ ОБРАЗАЦ ЗА ПРИЈАВУ ТЕХНИЧКОГ РЕШЕЊА У складу са одредбама Правилника о поступку и начину вредновања, и квантитавном исказивању научноистраживачких резултата истраживача, који

Διαβάστε περισσότερα

ХРИСТОС ВОСКРЕСЕ! Ј О В А Н

ХРИСТОС ВОСКРЕСЕ! Ј О В А Н Ј О В А Н ХРИСТОС ВОСКРЕСЕ! Ово је дан Васкрсења, радујмо се људи! Васкрс је, драга браћо и сестре, најрадоснији догађај и овога и онога света. Васкрс је најрадоснији осећај човеков, јер је Васкрсењем

Διαβάστε περισσότερα

УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ОБРАЗАЦ 6. ИЗВЕШТАЈ О ОЦЕНИ ДОКТОРСКЕ ДИСЕРТАЦИЈЕ Срђана Бједова

УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ОБРАЗАЦ 6. ИЗВЕШТАЈ О ОЦЕНИ ДОКТОРСКЕ ДИСЕРТАЦИЈЕ Срђана Бједова УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ОБРАЗАЦ 6. ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ИЗВЕШТАЈ О ОЦЕНИ ДОКТОРСКЕ ДИСЕРТАЦИЈЕ Срђана Бједова I ПОДАЦИ О КОМИСИЈИ 1. Датум и орган који је именовао комисију Комисију именовало

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mathematica.gr.

Διαβάστε περισσότερα

ТЕХНОЛОШКЕ ОПЕРАЦИЈЕ

ТЕХНОЛОШКЕ ОПЕРАЦИЈЕ НАСТАВНИК: АСИСТЕНТ: ОДСЕК: др. Драган Величковић, проф. мр Ивана Мошић Прехрамбена технологија ШИФРА ПРЕДМЕТА: PT III O 0 СТАТУС ПРЕДМЕТА: Обавезни ФОНД ЧАСОВА: + (0+45) ЕСПБ: 6 ГОДИНА СТУДИЈА: СЕМЕСТАР:

Διαβάστε περισσότερα

На основу члана 9. став 3. и члана 18. став 1. Закона о заштити ваздуха ( Службени гласник РС, број 36/09), УРЕДБУ

На основу члана 9. став 3. и члана 18. став 1. Закона о заштити ваздуха ( Службени гласник РС, број 36/09), УРЕДБУ Редакцијски пречишћен текст На основу члана 9. став. и члана 18. став 1. Закона о заштити ваздуха ( Службени гласник РС, број 6/09), Влада доноси УРЕДБУ о условима за мониторинг и захтевима квалитета ваздуха

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 2015

Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 2015 Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 215 Άσκηση 1: (α) Να υπολογισθεί το γενικευµένο ολοκλήρωµα (ax+b)(x 2 +1) αν το a είναι ϑετικός αριθµός. (ϐ) Το µεσηµέρι, ένα σαλιγκάρι που ϐρίσκεται στο κέντρο ενός

Διαβάστε περισσότερα

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0).

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0). Κεφάλαιο 3 Ο εφαπτόμενος χώρος Σύνοψη Ο εφαπτόμενος χώρος μιας κανονικής επιφάνειας αποτελεί τη βέλτιση γραμμική προσέγγιση της επιφάνειας σε ένα σημείο της. Αποτελείται από όλα τα εφαπτόμενα διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλα Εργασίας. Работни Листови. Εκπαιδευτικό Υλικό

Φύλλα Εργασίας. Работни Листови. Εκπαιδευτικό Υλικό Εκπαιδευτικό Υλικό Φύλλα Εργασίας Работни Листови Έργο: «Διασυνοριακή συνεργασία και ανταλλαγή τεχνογνωσίας για τη χρήση της εκπαιδευτικής τεχνολογίας στην Περιβαλλοντική Εκπαίδευση» Проект: «Ποгранична

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Δ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Δ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Δ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (5) ΑΘΗΝΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 2013 1 ΕΠΕΞΗΓΗΣΗ ΤΥΠΩΝ ΚΑΙ ΣΥΜΒΟΛΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Τυχαία μεταβλητή είναι μία συνάρτηση η οποία να αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k.

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k. Ασκήσεις από το Διανυσματικός Λογισμός των Marsden - romba και από το alculus του Apostol. 1. Βρείτε τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης και την εξίσωση της εφαπτομένης για κάθε μία από τις

Διαβάστε περισσότερα

КОНКУРСНА ДОКУМЕНТАЦИЈА

КОНКУРСНА ДОКУМЕНТАЦИЈА ЈГСП "НОВИ САД" Футошки пут 46, Нови Сад Позив за подношење понуда је објављен на Порталу јавних набавки и интернет стани наручиоца: 20.11.2015. године. Рок за подношење понуда: 10.12.2015. године до 11.00

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 2015-2016

ΟΜΑΔΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 2015-2016 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Σ. ΤΟΥΜΠΗΣ Οδηγίες (Διαβάστε τες!) 1. Περίληψη: ΟΜΑΔΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 2015-2016 (αʹ) Υπάρχει μια ομάδα ασκήσεων για κάθε κεφάλαιο των σημειώσεων,

Διαβάστε περισσότερα

Ροπή δύναµης Μεθοδολογία ασκήσεων

Ροπή δύναµης Μεθοδολογία ασκήσεων ΦΥΣ 131 - Διαλ.3 1 Ροπή δύναµης Μεθοδολογία ασκήσεων q Κάντε ένα σκίτσο του προβλήµατος και διαλέξτε το σώµα ή σώµατα που θα αναλύσετε. q Για κάθε σώµα σχεδιάστε τις δυνάµεις που ασκούνται (διάγραµµα ελευθέρου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ Η δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα προκαλεί μεταβολή της ταχύτητάς του δηλαδή επιτάχυνση.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ Η δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα προκαλεί μεταβολή της ταχύτητάς του δηλαδή επιτάχυνση. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ Η δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα προκαλεί μεταβολή της ταχύτητάς του δηλαδή επιτάχυνση. Η δύναμη είναι ένα διανυσματικό μέγεθος. Όταν κατά την κίνηση ενός σώματος η δύναμη είναι μηδενική

Διαβάστε περισσότερα

4.5. ЗОНА В - КОМПЛЕКС ВЕРСКОГ ОБЈЕКТА ЗОНА ЗД ЗЕЛЕНЕ ПОВРШИНЕ У ОКВИРУ КОРИДОРА ДАЛЕКОВОДА ЗОНА ЗШ РЕКРЕАТИВНЕ ПОВРШИНЕ У

4.5. ЗОНА В - КОМПЛЕКС ВЕРСКОГ ОБЈЕКТА ЗОНА ЗД ЗЕЛЕНЕ ПОВРШИНЕ У ОКВИРУ КОРИДОРА ДАЛЕКОВОДА ЗОНА ЗШ РЕКРЕАТИВНЕ ПОВРШИНЕ У САДРЖАЈ I ТЕКСТУАЛНИ ДЕО ПЛАНА ДЕТАЉНЕ РЕГУЛАЦИЈЕ... 2 А) ОПШТИ ДЕО... 2 1. ПОЛАЗНЕ ОСНОВЕ... 2 2. ОБУХВАТ ПЛАНА... 2 2.1. ОПИС ГРАНИЦЕ И ПОВРШИНА ОБУХВАЋЕНА ПЛАНОМ... 2 2.2. ПОПИС КАТАСТАРСКИХ ПАРЦЕЛА

Διαβάστε περισσότερα

Основи путева и улица (подсјетник за предавања)

Основи путева и улица (подсјетник за предавања) Основи путева и улица (подсјетник за предавања) Наставник: Ристић Катарина дипл.инг.саоб. С А Д Р Ж А Ј 1. Историјски развој градње путева...- 2-2. Класирање путева...- 4-2.1. Техничко класирање путева...-

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Συνήθων Διαϕορικών Εξισώσεων

Ασκήσεις Συνήθων Διαϕορικών Εξισώσεων Ασκήσεις Συνήθων Διαϕορικών Εξισώσεων Α. Αργυρίου May 5, 205 Οι σημειώσεις αυτές περιέχουν λυμένες ασκήσεις από τις διάϕορες ενότητες του μαθήματος των Συνήθων Διαϕορικών Εξισώσεων, ώστε να δώσουν τη δυνατότητα

Διαβάστε περισσότερα

È http://en.wikipedia.org/wiki/icosidodecahedron

È http://en.wikipedia.org/wiki/icosidodecahedron À Ô ÐÓ ÖÓÒØ ØÓÙÔ Ö ÕÓÑ ÒÓÙ Ò Ø Ô ØÓÙ Ô Ñ Ð Ø ØÓÙhttp://www.mathematica.grº Å Ø ØÖÓÔ LATEX ÛØ Ò Ã Ð Ò Ø ÃÓØÖôÒ Ä ÙØ Ö ÈÖÛØÓÔ Ô Õ ÐÐ ËÙÒ ÔÓÙÓ ËÕ Ñ Ø Å Õ Ð Æ ÒÒÓ ÉÖ ØÓÌ Ë Ð ¹ ÅÔÓÖ Ò Ò Ô Ö Õ Ò Ò Ñ Ð Ö º ÌÓß

Διαβάστε περισσότερα

x E[x] x xµº λx. E[x] λx. x 2 3x +2

x E[x] x xµº λx. E[x] λx. x 2 3x +2 ¾ λ¹ ÐÓÒ Ó ÙÖ ½ ¼ º õ ¹ ¹ ÙÖ ¾ ÙÖ º ÃÐ ¹ ½ ¼º ¹ Ð Ñ ÐÙÐÙ µ λ¹ λ¹ ÐÙÐÙ µº λ¹ º ý ½ ¼ ø λ¹ ÃÐ º λ¹ ÌÙÖ Ò ÌÙÖ º ÌÙÖ Ò ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ ¹ ÇÊÌÊ Æ Ä Çĺ ý λ¹ ¹ º Ö ÙØ ÓÒ Ñ Ò µ Ø ¹ ÓÛ ÓÑÔÙØ Ö µ ¹ λ¹ º λ¹ ÙÒØ ÓÒ Ð

Διαβάστε περισσότερα

1 of 24 13.1.2014 14:31 Службени гласник РС РС: 115/2013 Датум: 26.12.2013 На основу члана 123. тачка 3) Устава Републике Србије ( Службени гласник РС, број 98/06), а у вези са одредбама Закона о заштити

Διαβάστε περισσότερα

ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116

ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116 ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Ορισμός παραγώγου συνάρτησης σε σημείο Μια συνάρτηση f (X) λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

ПРОЦЕСНА ТЕХНИКА. Примена термалних флуида у процесној индустрији и енергетици. Економска анализа процесних постројења

ПРОЦЕСНА ТЕХНИКА. Примена термалних флуида у процесној индустрији и енергетици. Економска анализа процесних постројења ПРОЦЕСНА БРОЈ 2 ДЕЦЕМБАР 2009. ГОДИНА 22. ТЕХНИКА Тема броја Примена термалних флуида у процесној индустрији и енергетици Актуелно Економска анализа процесних постројења Инжењерска пракса Анализа прорачуна

Διαβάστε περισσότερα

ГОДИШЊИ ПЛАН РАДА ШКОЛЕ

ГОДИШЊИ ПЛАН РАДА ШКОЛЕ ТЕХНИЧКА ШКОЛА, НОВА ВАРОШ ГОДИШЊИ ПЛАН РАДА ШКОЛЕ ЗА ШКОЛСКУ 2015/2016. ГОДИНУ Нова Варош, септембар 2016. године 1. УВОДНИ ДЕО... 1 1.1. Полазне основе рада... 1 1.2. Циљеви и исходи образовања и кључни

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 9 Φεβουαρίου 007 Ημερομηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

B G [0; 1) S S # S y 1 ; y 3 0 t 20 y 2 ; y 4 0 t 20 y 1 y 2 h n t: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 1; 3: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 2; 4: r = 10 5 ; a = 10 6 t = 20

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2009 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (240 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα