Оријентација старих православних цркава у Републици Србији северно од Саве и Дунава Милутин Тадић, Ивана Нешић

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Оријентација старих православних цркава у Републици Србији северно од Саве и Дунава Милутин Тадић, Ивана Нешић"

Transcript

1 ЗБОРНИК РАДОВА Географски факултет Универзитета у Београду: Свеска LXI COLLECTION OF PAPERS Faculty of Geography at the University of Belgrade: Vol. LXI Оријентација старих православних цркава у Републици Србији северно од Саве и Дунава Милутин Тадић, Ивана Нешић Електронски објављено: 21. децембар Извод Кључне речи Старе православне цркве на северу Републике Србије Старе православне цркве на Фрушкој гори Старе православне нефрушкогорске цркве (католикони) Математичко-географска анализа Закључак Литература Direction of ancient Orthodox churches in the Republic of Serbia north from the Sava and the Danube Milutin Tadić, Ivana Nešić Published online: 21 December 2013 Abstract Key words Ancient Orthodox churches in the north of the Republic of Serbia Ancient Orthodox churches in Fruška gora Ancient Orthodox non-fruška gora churches (katholikons) Mathematical-geographical analysis Conclusion References

2 Зборник радова Географски факултет Универзитета у Београду 61 ( ) Оригинални научни рад УДК :726.54( ) ОРИЈЕНТАЦИЈА СТАРИХ ПРАВОСЛАВНИХ ЦРКАВА У РЕПУБЛИЦИ СРБИЈИ СЕВЕРНО ОД САВЕ И ДУНАВА Милутин Тадић* 1, Ивана Нешић** * Универзитет у Београду, Географски факултет, Београд ** Саобраћајно-техничка школа, Земун, Београд Извод: У чланку су изложени резултати математичко-географске анализе оријентације старих православних цраква у Републици Србији северно од Саве и Дунава. То су средњовековне цркве, или цркве подигнуте на месту средњовековних, углавном католикони, концетрисане на падинама Фрушке Горе ( Српски Атос ). Главне осе свих анализираних цркава (укупно 23) налазе се у источном сектору хоризонта, тј. све су изграђене у складу са правилом које прописује да би оса цркве требала бити усмерена ка изласку сунца. Осе четири цркве нису могле бити усмерене према излазећем сунцу (према изласку сунца на физичком хоризонту). Осе три цркве усмерене су ка равнодневачком истоку, док су осе осталих, само са једним изузетком, отклоњене ка NE (међу њима две са солстицијском оријентацијом). На основу уоченог општег отклона ка NE, може се претпоставити да су осе цркава при заснивању усмераване ка излазећем сунцу на пролеће, претежно око Благовести. Кључне речи: оријентација цркава, средњовековна Србија, Фрушка Гора, манастири Предат: 15. децембар 2012; прихваћен: 16. април Старе православне цркве на северу Републике Србије Настављајући истраживања оријентације средњовековних европских цркава (Firnies and Köberl, 1989; Pantazis, Sinachopoulos, Lambrou and Korakitis, 2004; Hoare and Sweet, 2000; Liritzis and Vassiliou, 2007; Čaval, 2009) у претходним радовима анализирали смо оријентацију најзнаменитијих средњовековних српских цркава, углавном манастирских, рашког (Тадић, 2012) и моравског (Тадић и Гаврић, 2012) градитељског стила. Први скуп цркава везан је за сливове Западне Мораве (превасходно за слив Ибра), Лима и Белог Дрима, и доба Немањића, а други скуп цркава за сливове трију Морава и време Српске Кнежевине и Деспотовине. 1 Конакт адреса: tadic@gef.bg.ac.rs 103

3 Зборник радова Географски факултет Универзитета у Београду 61 Користећи реке као одреднице географског положаја, можемо издвојити трећи скуп коју чине цркве комбинованих стилских форми засноване северно од Саве и Дунава након пропасти српске средњовековне државе (сл. 1). Са изузетком католикона манастира Фенек, све те цркве се налазе на територији Аутономне покрајине Војводине, концентрисане у Сремској области, на падинама Фрушке горе (18 од 23). Слика 1. - Математичко-географски положај старих српских цркава на северу Републике Србије (северно од Саве и Дунава) 104

4 Оријентација старих православних цркава у Републици Србији Од укупно 23, само су две неманастирске цркве, док су све остале католикони. Придев старе, који смо им доделили да би избегли придев средњовековне, треба разумети у смислу цркве које су (чије су претече) према предању засноване у средњем веку, пре употребе компаса. Старе православне цркве на Фрушкој гори Посматрана на географској карти, Фрушка гора се протеже у појасу између паралеле 45 N и тока Дунава. Позната је под сликовитим називом Српски Атос 2 због тога што је на њој размештено чак шеснаест старих српских православних манастира (сл. 1, таб. 1), што је мање од половине укупног броја манастира који су на њој постојали. Са изузетком манастира Бешеново 3 (манастириште), сви су данас активни манастири Епархије сремске Српске православне цркве. Табела 1. - Католикони фрушкогорских манастира, азбучним редом основни подаци Манастир Католикон Поч. градње Беочин Вазнесења Господњег Бешеново Св. Архангела Велика Ремета Св. Димитрија 15. в. Врдник Вазнесења Гргетег Пренос моштију св Николе Дивша Св. Николе Јазак Силаска Св. Духа Крушедол Благовештења Кувеждин Св. Саве Мала Ремета Покрова Пресвете Богородице Ново Хопово Св. Николе Ктитор Миливоје Миланковић са сином Петром По легенди: Краљ Стефан Драгутин ( ) По легенди: Краљ Стефан Драгутин ( )? Деспот Вук Гргуревић ( ) Деспот Јован Бранковић ( ) Деспот Јован Бранковић ( ) Владика Максим ( ) Деспот Стефан Штиљановић (? 1543) Станко Милинковић (прве: Краљ Драгутин) Лацко и Мирко Јовшић из околине Будимпеште Првобитна црква/ /напомена Првобитна црква подигнута у 16. веку. Остали само темељи Најстарији помен из Место првобитне цркве Св. Јована обележено крстом Вероватно на темељима старе цркве (1440/1460) Првобитна црква подигнута крајем 15. века. Подигнута близу рушевина манастира Стари Јазак При обнови у 18. веку сачуван је првобитни изглед. На месту првобитне цркве. Ктитор прве цркве је Владика Максим ( ) 2 Српским Атосом сликовито се назива и предео са девет српских манастира у области Овчарско-кабларске клисуре. 3 У наставку ће бити писан само назив манастира (без манастир ). 105

5 Зборник радова Географски факултет Универзитета у Београду 61 Манастир Католикон Петковица Св. Петке Привина Глава Св. Архангела Раковац Св. Козме и Дамјана Старо Хопово Св. Пантелејмона Шишатовац Рођења Пресвете Богородице Поч. градње I четвр. 16. в Ктитор Јелена Штиљановић (? 1546) Деспот Јован Бранковић ( ) Рака Милошевић Владика Максим ( ) Епископ Вићентије Поповић Првобитна црква/ /напомена Црква се први пут помиње године Првобитна црква је из (по легенди из 12. века) Прва црква (Св. Николе) подигнута Четврта црква на том месту Манастири су смештени нешто северније од паралеле ϕ = 45, унутар сферног трапеза величине Δλ = 27' 10" и Δϕ = 4' 39" са средиштем у тачки T (45 08' 11" N, 19 42' 32" E) (сл. 1). Концентрисани су на јужном (13 од 16) и источном делу Фрушке горе (11 од 16), на надморским висинама од 162 m (Привина глава) до 270 m (Старо Хопово). Најкраће растојање између најзападнијег (Привина глава) и најисточнијег манастира (Крушедол) износи 50,4 km, а најкраће растојање између најсевернијег (Раковац) до најјужнијег манастира (Мала Ремета) износи 8, 6 km. Оснивање већине фрушкогорских манастира везује се за српске владаре, властелу и монахе који су пред турском најездом узмакли ка Срему преносећи традиције рашке и моравске градитељске школе. Најстарији од њих везују се за имена краља Драгутина, српског краља ( ) и краља Срема ( ), и последње српске деспоте - Ђурађа Бранковића ( ) и његове наследнике. По предању, краљ Драгутин био је ктитор манастира Бешеново и Велика Ремета, док је деспот Ђурађ био ктитор неколико скромнијих манастира (Марковић, 1920) који нису сачувани у изворном облику, а на чијим се местима, претпоставља се, налазе данашњи манастири. У 15. веку, када је јужна Угарска... добила физиономију српску (Јиричек, 1988, стр. 420) подигнути су манастири Бешеново, Гргетег, Старо Хопово, Велика Ремета, Раковац, Јазак и Врдник (Нова Раваница), као последње грађевине средњовековне српске црквене архитектуре; недалеко од њих, у 16. веку су изграђени Крушедол, Ново Хопово, Беочин, Кувеждин, Мала Ремета, Дивша (Ђипша) и Петковица; током 18. и почетком 19. века 5 на месту старих цркава подигнуте су нове у барокном стилу: Мала Ремета, Јазак, Шишатовац, Гргетег, Фенек 6, Беочин, Врдник и Кувеждин (Давидов, 2007). 4 Коморник деспота Јована Бранковића ( ) 5 Само католикон манастира Врдник ( ) 6 У историјском смислу манастир Фенек се може условно убројати у фрушкогорске манастире, географски, међутим, он не припада тој групи. 106

6 Оријентација старих православних цркава у Републици Србији Фрушкогорски манастири су настали у периоду од 15. до почетка 19. века (таб. 1), и сви, слично осталим старим српским манастирима, имају историју која памти како рушења, паљевине, пљачке и скрнављења 7, тако и упорне обнове, изградње и поновно уздизање. Изузев Бешенова, сви су данас обновљени и стављени под заштиту државе као културна добра од изузетног значаја, и као такви сви су свестрано изучени и описани са историјског и са географског становишта. Табела 2. - Најстарије неманастирске фрушкогорске цркве основни подаци Црква Поч. Првобитна црква/ Ктитор (Место) градње /напомена Црква Св. Николе Деспот Вук Гргуревић Много пута обнављана (Сланкамен) Сретењска црква Заснована као католикон Ангелина Бранковић (Крушедол) посвећен Ј. Златоустом. Осим католикона, на падинама Фрушке горе постоје и две цркве које су подигнуте недуго после пропасти средњовековне српске државе. То су црква Св. Николе у Старом Сланкамену и Сретењска црква у насељу Крушедол, с тим да је ова друга заснована као манастирска (сл. 1, таб. 2). Старе православне нефрушкогорске цркве (католикони) На северу Србије, северно од Саве и Дунава, ван Фрушке горе постоји пет цркава које испуњавају описани услов да се назову старим. То су католикони Бођана и Ковиља (Бачка област), Војловице и Месића (Банатска област) и Фенека (Сремска област) (сл. 1, таб. 3). Табела 3. - Католикони нефрушкогорских манастира, азбучним редом основни подаци Манастир Католикон Поч. градње Ктитор Протомајстор Првобитна црква/ /напомена Бођани Ваведења Богор. Војловица Св. Архангела Михаила и Гавр. Ковиљ Св. Архангела Михаила и Гаврила Михаило Тамишварлија Деспот Стефан Лазаревић Петар Андрејевић Ф. Коста и Н. Крапић Месић Рођ. Св. Јована. в.? Фенек II пол. Стефан и Ангелина Бран- Из године, ктитор Стефан Бранковић Из I в. Више пута рушена и обнављана. 7 Како за време турске власти тако и за време Другог светског рата када је Срем био под влашћу по злу познате Независне државе Хрватске. 107

7 Зборник радова Географски факултет Универзитета у Београду 61 Манастир Католикон Преп. мученице Параскеве Поч. градње. в. Ктитор Протомајстор ковић Првобитна црква/ /напомена Математичко-географска анализа У првој фази рада, за сваку цркву одређене су географске и правоугле координате, и измерени географски азимути (А) њихових главних (уздужних) оса, односно, отклони тих оса (ΔА) од источне тачке, са тачношћу ±1 (таб. 4 6, сл. 4). Координате и азимути су одређивани на ортофотографијама, с тим да су азимути мерени и на лицу места током лета године (Нешић, 2012) већ описиваном гномонском методом (Тадић и Петровић, 2011). Слика 2. - Црква Св. Панателејмона, католикон манастира Старо Хопово, поглед са јужне и са западне стране Током теренског рада, осим католикона сваког манастира, фотографисан је (где је то било могуће) и источни сектор физичког хоризонта. У другој фази рада картометријски су одређене хоризонтске координате тачке Т у којој вертикал осе одређеног католикона пресеца физички хоризонт, а у трећој су израчунате вредности деклинације сунца (δ) при којој оно евентуално излази у тој тачки, и одређени одговарајући датуми по Грегоријанском и Јулијанском календару 8. Прве две фазе рада показане су на примеру цркве Св. Пантелејмона, католикона манастира Старо Хопово (сл. 2, сл. 3). Једнобродна црква Св. Пантелејмона најмања је међу фрушкогорским католиконима (дужина 14 m). Подигнута је године, на месту изворне 8 У наставку скраћено: Грегоријански календар = ГК, Јулијански календар = ЈК 108

8 Оријентација старих православних цркава у Републици Србији цркве Св. Николе која заснована крајем 15. века под ктиторством владике Максима (таб. 1). Вертикал осе цркве пресеца хоризонт у тачки Т која је удаљена 297 m и надвишава цркву 50 m. Хоризонтске координате тачке Т су А = 70, h = 9,8, тако да она може бити тачка изласка сунца при деклинацији δ = 21 00, тј. 25. маја и 18. јула по ГК, односно 14. мај и 7. јул по ЈК. Под претпоставком да је садашња црква задржала оријентацију изворне цркве с краја 15. века, онда су ти датуми 16. мај 9 и 9. јул. Табела 4. - Оријентација католикона фрушкогорских манастира и геометрија сунца (ПП покретни празник) ΔΑ Манастир Католикон Беочин Вазнесења Господњег Бешеново Св. Архангела Михаила и Гаврила Велика Ремета Св. Димитрија Врдник Вазнесења Гргетег Пренос моштију св. Николе Дивша Св. Николе Јазак Силаска Св. Духа Крушедол Благовештења Кувеждин Св. Саве Мала Ремета Покрова Пресвете Богородице Ново Хопово Св. Николе Петковица Св. Петке Привина Глава Св. Архангела Михаила и Гаврила Раковац Св. Казме и Дамјана δ 20 NE 31,10 19 NE 28,07 11 NE 12,82 20 NE 16,08 5 NE 8,88 ГК ЈК Д. м. Век Сунце не излази у вертикалу католикона 23. IV 18. VIII 3. V 7. VIII 11. IV 29. VIII 14. IV 9. VIII 21. IV 26. VII 2. IV 20. VIII XIX 7 NE 9. IV 31. III 7,95 1. IX 23. VIII 23 NE 26,53 Сунце не излази у вертикалу 34 NE католикона 29,6 8,5 SE 31. III 21. III 4, IX 31.VIII I 16,5 NE 3,61 25 NE 23,78 21,5 NE 24,55 2 NE 4, III 12. IX 17. III 1. IX I Дан патрона JK ПП 8. XI, 13. VII 26. X ПП 9. V 9. V ПП 25. III 14. I 1. X 22. VI 12. VI I 6. XII 22. VI 12. VI I 14. X 1. IV 9. IX 21. III 29. VIII Оса католикона у првом вертикалу 8. XI, 13. VII 1. VII 9 Везано за почетак грађевинске сезоне, увек се први датум узима као вероватнији. 109

9 Зборник радова Географски факултет Универзитета у Београду 61 Манастир Католикон Старо Хопово Св. Пантелејмона Шишатовац Рођења Пресвете Богородице ΔΑ δ 20 NE 20,85 0 ГК 25. V 18. VII ЈК Д. м. Век 16. V 9. VII Оса католикона у првом вертикалу Дан патрона JK 27. VII 8. IX Слика 3. - Прве две фазе рада на примеру католикона манастира Старо Хопово: а) мерење азимута на ортофотографији; b) панорамски снимак источног сектора физичког хоризонта; c) конструкција профила дуж осе цркве на ТК25 и одређивање вертикалног угла α (висине тачке Т над хоризонтом). 110

10 Оријентација старих православних цркава у Републици Србији Слика 4 - Оријентација католикона фрушкогорских манастира 111

11 Зборник радова Географски факултет Универзитета у Београду 61 Табела 5. - Оријентација најстаријих неманастирских фрушкогорских цркава и геометрија сунца ΔΑ Црква (Место) Црква Св. Николе (Сланкамен) Сретењска црква (Крушедол) цркве. 112 δ 8 NE 5,63 20 NE 18,57 ГК 3. IV 7. IX 13. V 29. VII ЈК Д. м. Век 25. III 29. VIII 3. V 19. VII I Дан патрона JK 6. XII 13. XI Табела 6. - Оријентација католикона нефрушкогорских манастира и геометрија сунца Манастир ΔΑ ЈК Дан патрона ГК Католикон δ Д. м. Век JK Бођани Ваведења Богор. Војловица Св. Архангела Михаила и Гаврила Ковиљ Св. Архангела Михаила и Гаврила Месић Рођ. Св. Јована Претече Фенек Преп. мученице Параскеве 6,5 NE 5,61 21 NE 10,38 8 NE 5,63 7 NE 9,64 30 NE 20,80 3. IV 8. IX 16. IV 25. VIII 3. IV 7. IX 14. IV 28. VIII 24. V 19. VII 25. III 30. VIII 7. IV 16. VIII 25. III 29. VIII 5. IV 19. VIII 15. V 10. VII I 21. XI 8. XI, 13. VII 8. XI, 13. VII 24. VI 26. VII За већину фрушкогорских манастира нејасна је рана историја (предтурско доба). За првобитне цркве постоје предања али не и поуздани историјски подаци када су тачно подигнути, ко су им били ктитори и протомајстори. Оне су обнављане или замењиване новим, комбиновани су традиционални архитектонски стилови са бароком, мењане су посвете. Католикон манастира Шишатовац, на пример, четврта је црква на том месту: 1 2) Жички игуман Теофило са браћом, на месту старе црквице Св. Николе подигао је цркву посвећену Рођењу Богородице, која није дуго трајала; 3) протомајстори Јован и Гашпар из Приморја саградили су двокуполну цркву од камена ; 4) садашњи монументални католикон грађен је двадесет година ( ). Код нових цркава није увек јасан њихов положај 10 (место и оријентација) у односу на цркве које су им претходиле: да ли су изграђена на, око или поред темеља старе цркве. Тако се сигурно 10 Нове цркве углавном су биле пространије, тако да су обухватале темеље старе

12 Оријентација старих православних цркава у Републици Србији зна да је поменути каталокон Шишатовца подигнут на месту старе цркве, јер су конзерватори приликом истраживања... нашли у темељима стару цркву, ону из I века (Медаковић, 2010, стр. 632), исто као и католикон Привине главе испод којих су откривени темељи грађевине, вероватно цркве, чија оса, међутим, знатно одступа од осе садашњег католикона (Савичев, 2012). С друге стране, извесно је такође да су католикони Врдника и Јаска измештени у односу на првобитне цркве. Отворена питања о времену градње првобитних католикона и положаја нових католикона у односу на њих, стварају недомицу око тога ко је и на који начин (с којим смислом) оријентисао цркву, то јесте, недоумицу око тога чије умеће оријентације проверавамо, протомајстора првобитне цркве (средњовековног протомајстора) или протомајстора из каснијих векова. Код свих фрушкогорских манастира веома је близу источни сектор физичког хоризонта, што је условљено положајем саме Фрушке Горе. Она је издужена правцем запад-исток тако да водени токови углавном имају меридијански правац пружања; манастири су смештени у долинама потока тако да су католикони постављени попречно на њих и поглед кроз олтарски прозор завршава на источној падини поточне долине. Изузетак је црква Св. Николе у Старом Сланкамену која има потпуно отворен поглед ка источном сектору хоризонта, исто као и католикони нефрушкогорских манастира (са изузетком манастира Месић). Манастири су подигнути у питомом топографском простору тако да оријентацију католикона није диктирао затечени рељеф. Закључак Од двадесет три разматране старе српске цркве северно од Саве и Дунава (сл. 5), само су осе католикона Раковца и Шишатовца усмерене ка источној тачки хоризонта. Из математичкогеографског угла гледања, они су идеално оријентисани, што значи да су њихови протомајстори познавали егзактан начин оријентације. Њима се може додати и католикон Привине главе, код кога је одступање главне осе од источне тачке само 2 NE (сл. 2, таб. 2). Од та три католикона, за ово истраживање посебно је значајан католикон Раковца, црква Св. Козме и Дамјана (дужина 21 m), јер се ради о цркви која, више пута обнављана, постоји на том месту од краја 15. века. Ка тачки истока беспрекорно ју је усмерио средњовековни српски протомајстор, настављач дела протомајстора моравске градитељске школе о чијем умећу оријентације најубедљивије сведоче католикони манастира Љубостиње и Каленића (Тадић и Тошић, 2012). Католикон Шишатовца (дужина 30 m) наследио је оријентацију коју је одредио средњовековни протомајстор, док је протомајстор у Привиној глави, изгледа, 113

13 Зборник радова Географски факултет Универзитета у Београду 61 главну осу новог католикона (дужина 29 m) поставио ближе равнодневачком правцу 11. Слика 5. - Размештај и оријентација старих православних цркава у Републици Србији, северно од Саве и Дунава Неспорно је да су средњовековни протомајстори Раковца и Шиштаовца познавали Витрувијеву гномонску методу за одређивање главних праваца на хоризонту. Главне правце могли су одредити и помоћу Северњаче али та сметода, нити се негде помиње у средњовековним српским рукописима, нити је у складу са литургијским одређењем у коме се помињу само исток и излазак сунца 12. Такође, нигде није поменута ни употреба компаса. 13 Отклон главних оса осталих двадесет цркава може се покушати објаснити полазећи од претпоставке да су их протомајстори, доследно 11 Слично исправљање темеља откривено је код више српских средњовековних цркава, на пример код католикона манастира Св. Арханђели код Призрена и католикона манастира Градац, и то је оно што упозорава на опрезност при одговору на питање, ко је одредио правац који заузима постојећа црква. 12 Искључена је ноћ, неспојива са хришћанском симболиком истока. 13 Појава компаса на тлу Србије, још је неистражена тема. 114

14 Оријентација старих православних цркава у Републици Србији примењујући црквено правило, усмерили ка тачки изласка сунца одређеног дана. Теоретски, тачке изласка сунца на географској ширини 45 померају се током године дуж математичког хоризонта у распону 68 30' (34 15' од источне тачке ка NE и исто толико ка SE) и осе свих разматраних цркава леже у том сектору хоризонта (таб. 4 6). Али то не значи и да су могле бити оријентисане према изласку сунца с обзиром су стварне тачке изласка сунца, због утицаја рељефа, померене у смеру кретања казаљке на часовнику. Након израчунавања вредности деклинација при којима би сунце могло изаћи на физичком хоризонту у вертикалу свакe цркве, елиминисани су католикони Беочина, Бешенова, Јаска и Крушедола: при заснивању, њихове осе нису могле бити усмерене ка излазећем сунцу јер је δ > (таб. 4). Имајући у виду да је тачност мерења ±1, може се рећи да су осе католикона Новог Хопова и Петковице приближно усмерене ка тачкама стварног изласка сунца летњег солстицијума и поред тога што је и код њих δ > (таб. 4). Код цркве Св. Николе у Старом Сланкамену и код католикона осам манастира (Мала Ремета, Кувеждин, Дивша, Грагтег, Бођани, Месић, Ковиљ, Војловица) сунце излази у њиховом вертикалу у периоду од 17. марта до 12. априла (таб. 4 6) па се може претпоставити да су их протомајстори у те дане оријентисали поистовећујући математички и физички хоризонт. Није пронађено писано правило кога су се придржали средњовековни српски протомајстори, могуће је да су они наследницима преносили тајну да ће црква бити правилно оријентисана ако јој главну осу исмере ка излазећем сунцу око Благовести. Код Сретењске цркве у Крушедолу и код преостала четири католикона (Велика Ремета, Врдник, Старо Хопово, Фенек) главне осе леже у сектору физичког хоризонта над којим сунце излази у периоду од 14. априла до 16. маја. Тај се период наставља на Благовештенски уочен код претходне групе цркава, и заједно с њим представља период у оквиру кога су, вероватно, заснивана већина старих цркава северно од Саве и Дунава. Због тога све оне, са изузетком католикона Кувеждина, имају летњу оријентацију (сл. 4). По томе су сличне скупу најпознатијих цркава моравске школе, а различите од скупа најпознатијих цркава рашке школе. Могући датуми заснивања старих српских цркава северно од Саве и Дунава, исто као и код најпознатијих цркава рашке и моравске школе, не могу се довести у везу са њиховим патронима, тј. са данима који су патронима посвећени у црквеном календару. Литература Видић, И. Н. (2007). Специфичне туристичке вредности Фрушке горе и њихово функционално активирање. Београд: Српско географско друштво. 115

15 Зборник радова Географски факултет Универзитета у Београду 61 Давидов, В. (2007). Фрушкогорска Света Гора. У: Љушић Р. (ур.), Фрушка Гора (стр ). Београд: Завод за уџбенике. Јиричек, К. (1988). Историја Срба: културна историја књ. 2. Београд: Просвета. Марковић, В. (1920). Православно монаштво и манастири у средњовековној Србији. Сремски Карловци. Медаковић, Д. (2010). Фрушкогорски манастири. Нови Сад: Прометеј. Милановић-Јовић, О. (1986). Фрушкогорски манастири. У: Сиротковић, Ј. (ур.) Енциклопедија Југославије (Том IV, стр ). Загреб: Југословенски лексикографски завод Мирослав Крлежа. Милеуснић, С. (2002). Манастири Србије: велика илустрована енциклопедија (1, 2). Нови Сад: Православна реч. Мирковић, Л. (1966). Православна литургика или наука о богослужењу православне источне цркве I, Београд: Српски архијерејски синод СПЦ. Нешић. И. (2012). Оријентација католикона фрушкогорских манастира (дипломски рад). Београд: Географски факултет. Тадић, М., Гаврић, Г. (2012). Оријентација средњовековних српских цркава моравске школе. Гласник Српског географског друштва, 92(1), Тадић, М. (2012). Цркве рашке школе монументални оријентири. Зборник радова Географски факултет Универзитета у Београду, 60, Čaval, S. (2009). Astronomical Orientation of Sacred Architecture during the Medieval Period in Slovenia. Cosmology Across Cultures ASP Conference Series, 409, Firnies, M., Köberl, C. (1989). Astronomical Orientation of Austrian Medieval Churches. World Archeoastronomy, ed. A. F. Aveni, Hoare, P. G., & Sweet, C. S. (2000). The orientation of early medieval churches in England. Journal of Historical Geography, 26(2), Liritzis, I., Vassiliou, H. (2007). Does Sunrise Day Correlate with Eastern Orientation of Byzantine Churches on Significant Solar Dates and Saint's Days? A preliminary study. Byzantinische Zeitschrift, 99 (2), Pantazis, G., Sinachopoulos, D., Lambrou, E. and Korakitis, R. (2004). Astrogeodetic study of the orientation of ancient and Byzantine monuments: methodology and its final results. Journal of Astronomical History and Heritage, 7 (2), Tadić, M., Petrović, A. (2011). Mathematical-geographical analysis of the orientation of st John s church of the Studenica monastery. Journal of the Geographical Institute Jovan Cvijić, 61(1),

MAТЕМАТИЧКОГЕОГРАФСКА АНАЛИЗА ОРИЈЕНТАЦИЈЕ СТУДЕНИЧКЕ ЦРКВЕ СВ. ЈОВАНА

MAТЕМАТИЧКОГЕОГРАФСКА АНАЛИЗА ОРИЈЕНТАЦИЈЕ СТУДЕНИЧКЕ ЦРКВЕ СВ. ЈОВАНА Доступно онлајн на www.gi.sanu.ac.rs Зборник радова Географског института Јован Цвијић САНУ 61(1) (1-10) Оригинални научни рад УДК:910.1:51 MAТЕМАТИЧКОГЕОГРАФСКА АНАЛИЗА ОРИЈЕНТАЦИЈЕ СТУДЕНИЧКЕ ЦРКВЕ СВ.

Διαβάστε περισσότερα

ЦРКВЕ РАШКЕ ШКОЛЕ МОНУМЕНТАЛНИ ОРИЈЕНТИРИ (математичкогеографски поглед на оријентацију цркава рашке школе)

ЦРКВЕ РАШКЕ ШКОЛЕ МОНУМЕНТАЛНИ ОРИЈЕНТИРИ (математичкогеографски поглед на оријентацију цркава рашке школе) Зборник радова Географски факултет Универзитета у Београду 60 (193-204) Оригинални научни рад УДК 528.283:726.54(497.11) ЦРКВЕ РАШКЕ ШКОЛЕ МОНУМЕНТАЛНИ ОРИЈЕНТИРИ (математичкогеографски поглед на оријентацију

Διαβάστε περισσότερα

налазе се у диелектрику, релативне диелектричне константе ε r = 2, на међусобном растојању 2 a ( a =1cm

налазе се у диелектрику, релативне диелектричне константе ε r = 2, на међусобном растојању 2 a ( a =1cm 1 Два тачкаста наелектрисања 1 400 p и 100p налазе се у диелектрику релативне диелектричне константе ε на међусобном растојању ( 1cm ) као на слици 1 Одредити силу на наелектрисање 3 100p када се оно нађе:

Διαβάστε περισσότερα

1.2. Сличност троуглова

1.2. Сличност троуглова математик за VIII разред основне школе.2. Сличност троуглова Учили смо и дефиницију подударности два троугла, као и четири правила (теореме) о подударности троуглова. На сличан начин наводимо (без доказа)

Διαβάστε περισσότερα

6.2. Симетрала дужи. Примена

6.2. Симетрала дужи. Примена 6.2. Симетрала дужи. Примена Дата је дуж АВ (слика 22). Тачка О је средиште дужи АВ, а права је нормална на праву АВ(p) и садржи тачку О. p Слика 22. Права назива се симетрала дужи. Симетрала дужи је права

Διαβάστε περισσότερα

г) страница aa и пречник 2RR описаног круга правилног шестоугла јесте рац. бр. јесу самерљиве

г) страница aa и пречник 2RR описаног круга правилног шестоугла јесте рац. бр. јесу самерљиве в) дијагонала dd и страница aa квадрата dd = aa aa dd = aa aa = није рац. бр. нису самерљиве г) страница aa и пречник RR описаног круга правилног шестоугла RR = aa aa RR = aa aa = 1 јесте рац. бр. јесу

Διαβάστε περισσότερα

(од 4. до 155. стране) (од 4. до 73. стране) ДРУГИ, ТРЕЋИ И ЧЕТВРТИ РАЗРЕД - Европа и свет у другој половини 19. и почетком 20.

(од 4. до 155. стране) (од 4. до 73. стране) ДРУГИ, ТРЕЋИ И ЧЕТВРТИ РАЗРЕД - Европа и свет у другој половини 19. и почетком 20. Драгољуб М. Кочић, Историја за први разред средњих стручних школа, Завод за уџбенике Београд, 2007. година * Напомена: Ученици треба да се припремају за из уџбеника обајвљених од 2007 (треће, прерађено

Διαβάστε περισσότερα

Теорија електричних кола

Теорија електричних кола др Милка Потребић, ванредни професор, Теорија електричних кола, вежбе, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 7. Теорија електричних кола i i i Милка Потребић др Милка Потребић, ванредни професор,

Διαβάστε περισσότερα

OРИЈЕНТАЦИЈА НАЈЗНАМЕНИТИЈИХ СРЕДЊОВЕКОВНИХ ЦРКАВА У АП КОСОВУ И МЕТОХИЈИ (РЕПУБЛИКА СРБИЈА)

OРИЈЕНТАЦИЈА НАЈЗНАМЕНИТИЈИХ СРЕДЊОВЕКОВНИХ ЦРКАВА У АП КОСОВУ И МЕТОХИЈИ (РЕПУБЛИКА СРБИЈА) Зборник радова конференције Развој астрономије код Срба VII Београд, 18-22. април 2012, уредник М. С. Димитријевић Публ. Астр. друш. Руђер Бошковић бр. 13, 2014, 1067-1081 OРИЈЕНТАЦИЈА НАЈЗНАМЕНИТИЈИХ

Διαβάστε περισσότερα

МАТЕМАТИЧКОГЕОГРАФСКА АНАЛИЗА ОРИЈЕНТАЦИЈЕ ДВЕ РАНОХРИШЋАНСКЕ ЦРКВЕ У СРБИЈИ

МАТЕМАТИЧКОГЕОГРАФСКА АНАЛИЗА ОРИЈЕНТАЦИЈЕ ДВЕ РАНОХРИШЋАНСКЕ ЦРКВЕ У СРБИЈИ Зборник радова Географски факултет Универзитета у Београду 59 (223-230) Оригинални научни рад УДК 528.283:726.54(497.11) МАТЕМАТИЧКОГЕОГРАФСКА АНАЛИЗА ОРИЈЕНТАЦИЈЕ ДВЕ РАНОХРИШЋАНСКЕ ЦРКВЕ У СРБИЈИ Милутин

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки

Διαβάστε περισσότερα

предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА

предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА Висока техничка школа струковних студија у Нишу предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА Садржај предавања: Систем

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни

3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни ТАЧКА. ПРАВА. РАВАН Талес из Милета (624 548. пре н. е.) Еуклид (330 275. пре н. е.) Хилберт Давид (1862 1943) 3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни Настанак геометрије повезује

Διαβάστε περισσότερα

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0 Лист/листова: 1/1 Задатак 4: Задатак 4.1.1. Слика 1.0 x 1 = x 0 + x x = v x t v x = v cos θ y 1 = y 0 + y y = v y t v y = v sin θ θ 1 = θ 0 + θ θ = ω t θ 1 = θ 0 + ω t x 1 = x 0 + v cos θ t y 1 = y 0 +

Διαβάστε περισσότερα

КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице.

КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. КРУГ У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. Архимед (287-212 г.п.н.е.) 6.1. Централни и периферијски угао круга Круг

Διαβάστε περισσότερα

ОРИЈЕНТАЦИЈА БОГОРОДИЧИНЕ ЦРКВЕ МАНАСТИРА СТУДЕНИЦЕ

ОРИЈЕНТАЦИЈА БОГОРОДИЧИНЕ ЦРКВЕ МАНАСТИРА СТУДЕНИЦЕ Зборник радова, св. LVIII, 2010. Collection of the Papers, vol. LVIII, 2010 Оригинални научни рад УДК 528.283:726.71(497.11) Original scientific article Милутин Тадић Саша Бабић ОРИЈЕНТАЦИЈА БОГОРОДИЧИНЕ

Διαβάστε περισσότερα

ГЛАСНИК СРПСКОГ ГЕОГРАФСKОГ ДРУШТВА BULLETIN OF THE SERBIAN GEOGRAPHICAL SOCIETY ГОДИНА СВЕСКА XCII- Бр. 1 YEAR 2012 TOME XCII - N о 1

ГЛАСНИК СРПСКОГ ГЕОГРАФСKОГ ДРУШТВА BULLETIN OF THE SERBIAN GEOGRAPHICAL SOCIETY ГОДИНА СВЕСКА XCII- Бр. 1 YEAR 2012 TOME XCII - N о 1 ГЛАСНИК СРПСКОГ ГЕОГРАФСKОГ ДРУШТВА BULLETIN OF THE SERBIAN GEOGRAPHICAL SOCIETY ГОДИНА 2012. СВЕСКА XCII- Бр. 1 YEAR 2012 TOME XCII - N о 1 Оригиналан научни рад UDC: 911.3:27-522.2(497.11) DOI: 10.2298/GSGD1201185T

Διαβάστε περισσότερα

Tестирање хипотеза. 5.час. 30. март Боjана Тодић Статистички софтвер март / 10

Tестирање хипотеза. 5.час. 30. март Боjана Тодић Статистички софтвер март / 10 Tестирање хипотеза 5.час 30. март 2016. Боjана Тодић Статистички софтвер 2 30. март 2016. 1 / 10 Монте Карло тест Монте Карло методе су методе код коjих се употребљаваjу низови случаjних броjева за извршење

Διαβάστε περισσότερα

Аксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011

Аксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011 Аксиоме припадања Никола Томовић 152/2011 Павле Васић 104/2011 1 Шта је тачка? Шта је права? Шта је раван? Да бисмо се бавили геометријом (и не само геометријом), морамо увести основне појмове и полазна

Διαβάστε περισσότερα

7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ

7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7.1. ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ху = n (n N) Диофантова једначина ху = n (n N) има увек решења у скупу природних (а и целих) бројева и њено решавање није проблем,

Διαβάστε περισσότερα

Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ.

Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ. VI Савијање кружних плоча Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама и ϕ слика 61 Диференцијална једначина савијања кружне плоче је: ( ϕ) 1 1 w 1 w 1 w Z, + + + + ϕ ϕ K Пресечне

Διαβάστε περισσότερα

2. Наставни колоквијум Задаци за вежбање ОЈЛЕРОВА МЕТОДА

2. Наставни колоквијум Задаци за вежбање ОЈЛЕРОВА МЕТОДА . колоквијум. Наставни колоквијум Задаци за вежбање У свим задацима се приликом рачунања добија само по једна вредност. Одступање појединачне вредности од тачне вредности је апсолутна грешка. Вредност

Διαβάστε περισσότερα

ТРАПЕЗ РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ. Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце

ТРАПЕЗ РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ. Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ ТРАПЕЗ Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце Ментор :Криста Ђокић, наставник математике Власотинце, 2011. године Трапез

Διαβάστε περισσότερα

ОБЛАСТИ: 1) Тачка 2) Права 3) Криве другог реда

ОБЛАСТИ: 1) Тачка 2) Права 3) Криве другог реда ОБЛАСТИ: ) Тачка ) Права Jov@soft - Март 0. ) Тачка Тачка је дефинисана (одређена) у Декартовом координатном систему са своје две коодринате. Примери: М(5, ) или М(-, 7) или М(,; -5) Jov@soft - Март 0.

Διαβάστε περισσότερα

I Тачка 1. Растојање две тачке: 2. Средина дужи y ( ) ( ) 2. II Права 1. Једначина прамена правих 2. Једначина праве кроз две тачке ( )

I Тачка 1. Растојање две тачке: 2. Средина дужи y ( ) ( ) 2. II Права 1. Једначина прамена правих 2. Једначина праве кроз две тачке ( ) Шт треба знати пре почетка решавања задатака? АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА У РАВНИ I Тачка. Растојање две тачке:. Средина дужи + ( ) ( ) + S + S и. Деоба дужи у односу λ: 4. Површина троугла + λ + λ C + λ и P

Διαβάστε περισσότερα

b) Израз за угиб дате плоче, ако се користи само први члан реда усвојеног решења, је:

b) Израз за угиб дате плоче, ако се користи само први члан реда усвојеног решења, је: Пример 1. III Савијање правоугаоних плоча За правоугаону плочу, приказану на слици, одредити: a) израз за угиб, b) вредност угиба и пресечних сила у тачки 1 ако се користи само први члан реда усвојеног

Διαβάστε περισσότερα

Вектори vs. скалари. Векторске величине се описују интензитетом и правцем. Примери: Померај, брзина, убрзање, сила.

Вектори vs. скалари. Векторске величине се описују интензитетом и правцем. Примери: Померај, брзина, убрзање, сила. Вектори 1 Вектори vs. скалари Векторске величине се описују интензитетом и правцем Примери: Померај, брзина, убрзање, сила. Скаларне величине су комплетно описане само интензитетом Примери: Температура,

Διαβάστε περισσότερα

СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ

СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ 8.. Линеарна једначина с две непознате Упознали смо појам линеарног израза са једном непознатом. Изрази x + 4; (x 4) + 5; x; су линеарни изрази. Слично, линеарни

Διαβάστε περισσότερα

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ предмет: ОСНОВИ МЕХАНИКЕ студијски програм: ЗАШТИТА ЖИВОТНЕ СРЕДИНЕ И ПРОСТОРНО ПЛАНИРАЊЕ ПРЕДАВАЊЕ БРОЈ 2. Садржај предавања: Систем сучељних сила у равни

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре

6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре 0 6.. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре У обичном говору се често каже да су неки предмети симетрични. Примери таквих објеката, предмета, геометријских

Διαβάστε περισσότερα

TAЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА

TAЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА TЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА Два тачкаста наелектрисања оптерећена количинама електрицитета и налазе се у вакууму као што је приказано на слици Одредити: а) Вектор јачине електростатичког поља у тачки А; б) Електрични

Διαβάστε περισσότερα

Теорија електричних кола

Теорија електричних кола Др Милка Потребић, ванредни професор, Теорија електричних кола, вежбе, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 7. Теорија електричних кола Милка Потребић Др Милка Потребић, ванредни професор,

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Тест Математика Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 00/0. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 013/014. година ТЕСТ

Διαβάστε περισσότερα

Први корак у дефинисању случајне променљиве је. дефинисање и исписивање свих могућих eлементарних догађаја.

Први корак у дефинисању случајне променљиве је. дефинисање и исписивање свих могућих eлементарних догађаја. СЛУЧАЈНА ПРОМЕНЉИВА Једнодимензионална случајна променљива X је пресликавање у коме се сваки елементарни догађај из простора елементарних догађаја S пресликава у вредност са бројне праве Први корак у дефинисању

Διαβάστε περισσότερα

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА. k, k 0), осна и централна симетрија и сл. 2, x 0. У претходном примеру неке функције су линеарне а неке то нису.

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА. k, k 0), осна и централна симетрија и сл. 2, x 0. У претходном примеру неке функције су линеарне а неке то нису. ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА 5.. Функција = a + b Функционалне зависности су веома значајне и са њиховим применама често се сусрећемо. Тако, већ су нам познате директна и обрнута пропорционалност ( = k; = k, k ),

Διαβάστε περισσότερα

Писмени испит из Теорије површинских носача. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама.

Писмени испит из Теорије површинских носача. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама. Београд, 24. јануар 2012. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама. dpl = 0.2 m P= 30 kn/m Линијско оптерећење се мења по синусном закону: 2. За плочу

Διαβάστε περισσότερα

I Наставни план - ЗЛАТАР

I Наставни план - ЗЛАТАР I Наставни план - ЗЛААР I РАЗРЕД II РАЗРЕД III РАЗРЕД УКУО недељно годишње недељно годишње недељно годишње годишње Σ А1: ОАЕЗНИ ОПШЕОРАЗОНИ ПРЕДМЕИ 2 5 25 5 2 1. Српски језик и књижевност 2 2 4 2 2 1.1

Διαβάστε περισσότερα

Анализа Петријевих мрежа

Анализа Петријевих мрежа Анализа Петријевих мрежа Анализа Петријевих мрежа Мере се: Својства Петријевих мрежа: Досежљивост (Reachability) Проблем досежљивости се састоји у испитивању да ли се може достићи неко, жељено или нежељено,

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ПРОБНИ ЗАВРШНИ ИСПИТ школска 016/017. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ

Διαβάστε περισσότερα

Упутство за избор домаћих задатака

Упутство за избор домаћих задатака Упутство за избор домаћих задатака Студент од изабраних задатака области Математике 2: Комбинаторика, Вероватноћа и статистика бира по 20 задатака. Студент може бирати задатке помоћу програмског пакета

Διαβάστε περισσότερα

4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима

4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима 50. Нацртај било које унакрсне углове. Преношењем утврди однос унакрсних углова. Какво тврђење из тога следи? 51. Нацртај угао чија је мера 60, а затим нацртај њему унакрсни угао. Колика је мера тог угла?

Διαβάστε περισσότερα

8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2

8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2 8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х + у = z Један од најзанимљивијих проблема теорије бројева свакако је проблем Питагориних бројева, тј. питање решења Питагорине Диофантове једначине. Питагориним бројевима или

Διαβάστε περισσότερα

Слика 1. Слика 1.2 Слика 1.1

Слика 1. Слика 1.2 Слика 1.1 За случај трожичног вода приказаног на слици одредити: а Вектор магнетне индукције у тачкама А ( и ( б Вектор подужне силе на проводник са струјом Систем се налази у вакууму Познато је: Слика Слика Слика

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 011/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Решавање линеарних једначина с једном непознатом

2.3. Решавање линеарних једначина с једном непознатом . Решимо једначину 5. ( * ) + 5 + Провера: + 5 + 0 5 + 5 +. + 0. Број је решење дате једначине... Реши једначину: ) +,5 ) + ) - ) - -.. Да ли су следеће једначине еквивалентне? Провери решавањем. ) - 0

Διαβάστε περισσότερα

2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ

2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ 2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ 2.1. МАТЕМАТИЧКИ РЕБУСИ Најједноставније Диофантове једначине су математички ребуси. Метод разликовања случајева код ових проблема се показује плодоносним, јер је раздвајање

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 014/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

Нивелмански инструмент (нивелир) - конструкција и саставни делови, испитивање и ректификација нивелира, мерење висинских разлика техничким нивелманом

Нивелмански инструмент (нивелир) - конструкција и саставни делови, испитивање и ректификација нивелира, мерење висинских разлика техничким нивелманом висинских техничким нивелманом Страна 1 Радна секција: 1.. 3. 4. 5. 6. Задатак 1. За нивелмански инструмент нивелир са компензатором серијски број испитати услове за мерење висинских : 1) Проверити правилност

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 01/01. година ТЕСТ

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки

Διαβάστε περισσότερα

6.3. Паралелограми. Упознајмо још нека својства паралелограма: ABD BCD (УСУ), одакле је: а = c и b = d. Сл. 23

6.3. Паралелограми. Упознајмо још нека својства паралелограма: ABD BCD (УСУ), одакле је: а = c и b = d. Сл. 23 6.3. Паралелограми 27. 1) Нацртај паралелограм чији је један угао 120. 2) Израчунај остале углове тог четвороугла. 28. Дат је паралелограм (сл. 23), при чему је 0 < < 90 ; c и. c 4 2 β Сл. 23 1 3 Упознајмо

Διαβάστε περισσότερα

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде математик за VIII разред основне школе 4. Прво наћи дужину апотеме. Како је = 17 cm то је тражена површина P = 18+ 4^cm = ^4+ cm. 14. Основа четворостране пирамиде је ромб чије су дијагонале d 1 = 16 cm,

Διαβάστε περισσότερα

оп љ ње I полу од т 11. у т полуп е к оп е к у е око т оу л т е a = у л =. 12. т оу лу ABC д то је = =, полуп е к оп о к у R=. у т т е то т оу л.

оп љ ње I полу од т 11. у т полуп е к оп е к у е око т оу л т е a = у л =. 12. т оу лу ABC д то је = =, полуп е к оп о к у R=. у т т е то т оу л. оп љ ње I полу од т оу о 1. у т е по у јед кок ко т оу л ко је п о од к к о о е, о. 2. у т по у јед кок ко т оу л о о е cm, ко је кој од о о о јед к од е ку кој п ј ед е о о е к к. 3. Д е т е т оу л у

Διαβάστε περισσότερα

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2017/18. бр. LII-3

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2017/18. бр. LII-3 МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 07/8. бр. LII- РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА ИЛИ РЕШЕЊА ЗАДАТАКА ИЗ РУБРИКЕ ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ . III разред. Обим правоугаоника је 6cm + 4cm = cm + 8cm = 0cm. Обим троугла је 7cm + 5cm + cm =

Διαβάστε περισσότερα

2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван

2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван 2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван Човек је за своје потребе градио куће, школе, путеве и др. Слика 1. Слика 2. Основа тих зграда је често правоугаоник или сложенија фигура (слика 3). Слика 3.

Διαβάστε περισσότερα

6.5 Површина круга и његових делова

6.5 Површина круга и његових делова 7. Тетива је једнака полупречнику круга. Израчунај дужину мањег одговарајућег лука ако је полупречник 2,5 сm. 8. Географска ширина Београда је α = 44 47'57", а полупречник Земље 6 370 km. Израчунај удаљеност

Διαβάστε περισσότερα

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. - удаљеност између двије тачке. 1 x2

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. - удаљеност између двије тачке. 1 x2 АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА d AB x x y - удаљеност између двије тачке y x x x y s, y y s - координате средишта дужи x x y x, y y - подјела дужи у заданом односу x x x y y y xt, yt - координате тежишта троугла

Διαβάστε περισσότερα

Примена првог извода функције

Примена првог извода функције Примена првог извода функције 1. Одреди дужине страница два квадрата тако да њихов збир буде 14 а збир површина тих квадрата минималан. Ре: x + y = 14, P(x, y) = x + y, P(x) = x + 14 x, P (x) = 4x 8 Први

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2011/2012. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

Површине неких равних фигура

Површине неких равних фигура Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.ni.ac.rs/mii Математика и информатика 3() (5), -6 Површине неких равних фигура Жарко Ђурић Париске комуне 4-/8, Врање zarkocr@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

ПОВРШИНа ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА

ПОВРШИНа ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА ПОВРШИНа ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА 1. Допуни шта недостаје: а) 5m = dm = cm = mm; б) 6dm = m = cm = mm; в) 7cm = m = dm = mm. ПОЈАМ ПОВРШИНЕ. Допуни шта недостаје: а) 10m = dm = cm = mm ; б) 500dm = a

Διαβάστε περισσότερα

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x,

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, Већи број: 1 : 4x + 1, (4 бода) Њихов збир: 1 : 5x + 1, Збир умањен за остатак: : 5x = 55, 55 : 5 = 11; 11 4 = ; + 1 = 45; : x = 11. Дакле, први број је 45

Διαβάστε περισσότερα

Количина топлоте и топлотна равнотежа

Количина топлоте и топлотна равнотежа Количина топлоте и топлотна равнотежа Топлота и количина топлоте Топлота је један од видова енергије тела. Енергија коју тело прими или отпушта у топлотним процесима назива се количина топлоте. Количина

Διαβάστε περισσότερα

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА Београд, 21.06.2014. За штап приказан на слици одредити најмању вредност критичног оптерећења P cr користећи приближан поступак линеаризоване теорије другог реда и: а) и један елемент, слика 1, б) два

Διαβάστε περισσότερα

1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1

1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 Метод разликовања случајева је један од најексплоатисанијих метода за решавање математичких проблема. У теорији Диофантових једначина он није свемогућ, али је сигурно

Διαβάστε περισσότερα

Динамика. Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе:

Динамика. Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе: Њутнови закони 1 Динамика Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе: када су објекти довољно велики (>димензија атома) када се крећу брзином много мањом

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 0/06. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске

Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске слика. У свакој тачки посматране средње површи, у општем случају, постоје два компонентална померања: v - померање у правцу тангенте на меридијалну

Διαβάστε περισσότερα

ТАНГЕНТА. *Кружница дели раван на две области, једну, спољашњу која је неограничена и унутрашњу која је ограничена(кружницом).

ТАНГЕНТА. *Кружница дели раван на две области, једну, спољашњу која је неограничена и унутрашњу која је ограничена(кружницом). СЕЧИЦА(СЕКАНТА) ЦЕНТАР ПОЛУПРЕЧНИК ТАНГЕНТА *КРУЖНИЦА ЈЕ затворена крива линија која има особину да су све њене тачке једнако удаљене од једне сталне тачке која се зове ЦЕНТАР КРУЖНИЦЕ. *Дуж(OA=r) која

Διαβάστε περισσότερα

10.3. Запремина праве купе

10.3. Запремина праве купе 0. Развијени омотач купе је исечак чији је централни угао 60, а тетива која одговара том углу је t. Изрази површину омотача те купе у функцији од t. 0.. Запремина праве купе. Израчунај запремину ваљка

Διαβάστε περισσότερα

4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова

4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова 4 Троугао (II део) Хилберт Давид, немачки математичар и логичар Велики углед у свету Хилберту је донело дело Основи геометрије (1899), у коме излаже еуклидску геометрију на аксиоматски начин Хилберт Давид

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2010/2011. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

Универзитет у Београду, Саобраћајни факултет Предмет: Паркирање. 1. вежба

Универзитет у Београду, Саобраћајни факултет Предмет: Паркирање. 1. вежба Универзитет у Београду, Саобраћајни факултет Предмет: Паркирање ОРГАНИЗАЦИЈА ПАРКИРАЛИШТА 1. вежба Место за паркирање (паркинг место) Део простора намењен, технички опремљен и уређен за паркирање једног

Διαβάστε περισσότερα

F( x) НЕОДРЕЂЕНИ ИНТЕГРАЛ

F( x) НЕОДРЕЂЕНИ ИНТЕГРАЛ НЕОДРЕЂЕНИ ИНТЕГРАЛ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? Дефиниција: Интеграл једне функције је функција чији је извод функција којој тражимо интеграл (подинтегрална функција). Значи: f d F F

Διαβάστε περισσότερα

Факултет организационих наука Центар за пословно одлучивање. PROMETHEE (Preference Ranking Organization Method for Enrichment Evaluation)

Факултет организационих наука Центар за пословно одлучивање. PROMETHEE (Preference Ranking Organization Method for Enrichment Evaluation) Факултет организационих наука Центар за пословно одлучивање PROMETHEE (Preference Ranking Organization Method for Enrichment Evaluation) Студија случаја D-Sight Консултантске услуге за Изградња брзе пруге

Διαβάστε περισσότερα

Живојин Андрејић *1. Центар за митолошке студије Србије, Рача

Живојин Андрејић *1. Центар за митолошке студије Србије, Рача Саборност 5 (2011) Α Ω 181 205 УДК 271.222(497.11)-523.6-135 726.54:271.2(497.11) Живојин Андрејић *1 Центар за митолошке студије Србије, Рача Висока теолошка и идејна осмишљеност оријентације, архитектуре

Διαβάστε περισσότερα

ЗАШТИТА ПОДАТАКА Шифровање јавним кључем и хеш функције. Diffie-Hellman размена кључева

ЗАШТИТА ПОДАТАКА Шифровање јавним кључем и хеш функције. Diffie-Hellman размена кључева ЗАШТИТА ПОДАТАКА Шифровање јавним кључем и хеш функције Diffie-Hellman размена кључева Преглед Биће објашњено: Diffie-Hellman размена кључева 2/13 Diffie-Hellman размена кључева први алгоритам са јавним

Διαβάστε περισσότερα

ОДЛУКУ. I Народна скупштина Републике Српске усваја Измјене и допуне Развојног програма Републике Српске, година.

ОДЛУКУ. I Народна скупштина Републике Српске усваја Измјене и допуне Развојног програма Републике Српске, година. 1102 На основу члана 70. став 1. тачка 2. Устава Републике Српске, члана 183. и члана 187. ст. 1. и 2. Пословника Народне скупштине Републике Српске - Пречишћени текст ( Службени гласник Републике Српске,

Διαβάστε περισσότερα

Универзитет у Крагујевцу Факултет за машинство и грађевинарство у Краљеву Катедра за основне машинске конструкције и технологије материјала

Универзитет у Крагујевцу Факултет за машинство и грађевинарство у Краљеву Катедра за основне машинске конструкције и технологије материјала Теоријски део: Вежба број ТЕРМИЈСКА AНАЛИЗА. Термијска анализа је поступак који је 903.год. увео G. Tamman за добијање криве хлађења(загревања). Овај поступак заснива се на принципу промене топлотног садржаја

Διαβάστε περισσότερα

СОЦИЈАЛНО УЧЕЊЕ У ПРАВОСЛАВНОЈ ТЕОЛОГИЈИ

СОЦИЈАЛНО УЧЕЊЕ У ПРАВОСЛАВНОЈ ТЕОЛОГИЈИ СОЦИЈАЛНО УЧЕЊЕ У ПРАВОСЛАВНОЈ ТЕОЛОГИЈИ Захваљујем се организатору на љубазном позиву да узмем учешћа у данашњем скупу а поводом врло значајног догађаја и врло значајне теме. Када се у јесен прошле године,

Διαβάστε περισσότερα

Скупови (наставак) Релације. Професор : Рака Јовановић Асиситент : Јелена Јовановић

Скупови (наставак) Релације. Професор : Рака Јовановић Асиситент : Јелена Јовановић Скупови (наставак) Релације Професор : Рака Јовановић Асиситент : Јелена Јовановић Дефиниција дуалне скуповне формуле За скуповне формулу f, која се састоји из једног или више скуповних симбола и њихових

Διαβάστε περισσότερα

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ предмет: МЕХАНИКА 1 студијски програми: ЗАШТИТА ЖИВОТНЕ СРЕДИНЕ И ПРОСТОРНО ПЛАНИРАЊЕ ПРЕДАВАЊЕ БРОЈ 3. 1 Садржај предавања: Статичка одређеност задатака

Διαβάστε περισσότερα

ЗБИРКА РИЈЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ

ЗБИРКА РИЈЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Универзитет у Источном Сарајеву Електротехнички факултет НАТАША ПАВЛОВИЋ ЗБИРКА РИЈЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Источно Сарајево,. године ПРЕДГОВОР Збирка задатака је првенствено намијењена

Διαβάστε περισσότερα

Јован Зизијулас. Атинска академија наука, Атина. Примат и национализам

Јован Зизијулас. Атинска академија наука, Атина. Примат и национализам Саборност 6 (2012) Α Ω 129 136 УДК 271.2-72-1 DOI: 10.5937/sabornost6-3162 Претходно саопштење Јован Зизијулас Атинска академија наука, Атина Примат и национализам Abstract: Основно питање које аутор поставља

Διαβάστε περισσότερα

У к у п н о :

У к у п н о : ГОДИШЊИ (ГЛОБАЛНИ) ПЛАН РАДА НАСТАВНИКА Наставни предмет: ФИЗИКА Разред: Седми Ред.број Н А С Т А В Н А Т Е М А / О Б Л А С Т Број часова по теми Број часова за остале обраду типове часова 1. КРЕТАЊЕ И

Διαβάστε περισσότερα

Теорија друштвеног избора

Теорија друштвеног избора Теорија друштвеног избора Процедура гласања је средство избора између више опција, базирано на подацима које дају индивидуе (агенти). Теорија друштвеног избора је студија процеса и процедура доношења колективних

Διαβάστε περισσότερα

I Линеарне једначине. II Линеарне неједначине. III Квадратна једначина и неједначина АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ

I Линеарне једначине. II Линеарне неједначине. III Квадратна једначина и неједначина АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ I Линеарне једначине Линеарне једначине се решавају по следећем шаблону: Ослободимо се разломка Ослободимо се заграде Познате

Διαβάστε περισσότερα

Рачунање времена и координатни системи у метеорској астрономији

Рачунање времена и координатни системи у метеорској астрономији Рачунање времена и координатни системи у метеорској астрономији Време у астрономији За размишљање 1. Нека сви часовници на Земљи показују тачно време. Колико пута ће бар 1 часовник показати 13.01 5. августа

Διαβάστε περισσότερα

6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c

6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c 6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c Ако су а, b и с цели бројеви и аb 0, онда се линеарна једначина ах + bу = с, при чему су х и у цели бројеви, назива линеарна Диофантова једначина. Очигледно

Διαβάστε περισσότερα

Математика Тест 3 Кључ за оцењивање

Математика Тест 3 Кључ за оцењивање Математика Тест 3 Кључ за оцењивање ОПШТЕ УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ Кључ за оцењивање дефинише начин на који се оцењује сваки поједини задатак. У општим упутствима за оцењивање дефинисане су оне ситуације

Διαβάστε περισσότερα

5.2. Имплицитни облик линеарне функције

5.2. Имплицитни облик линеарне функције математикa за VIII разред основне школе 0 Слика 6 8. Нацртај график функције: ) =- ; ) =,5; 3) = 0. 9. Нацртај график функције и испитај њен знак: ) = - ; ) = 0,5 + ; 3) =-- ; ) = + 0,75; 5) = 0,5 +. 0.

Διαβάστε περισσότερα

Хомогена диференцијална једначина је она која може да се напише у облику: = t( x)

Хомогена диференцијална једначина је она која може да се напише у облику: = t( x) ДИФЕРЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? Врсте диференцијалних једначина. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНА ЈЕДНАЧИНА КОЈА РАЗДВАЈА ПРОМЕНЉИВЕ Код ове методе поступак је следећи: раздвојити

Διαβάστε περισσότερα

& 2. Брзина. (слика 3). Током кратког временског интервала Δt тачка пређе пут Δs и изврши елементарни (бесконачно мали) померај Δ r

& 2. Брзина. (слика 3). Током кратког временског интервала Δt тачка пређе пут Δs и изврши елементарни (бесконачно мали) померај Δ r &. Брзина Да би се окарактерисало кретање материјалне тачке уводи се векторска величина брзина, коју одређује како интензитет кретања тако и његов правац и смер у датом моменту времена. Претпоставимо да

Διαβάστε περισσότερα

8.2 ЛАБОРАТОРИЈСКА ВЕЖБА 2 Задатак вежбе: Израчунавање фактора појачања мотора напонским управљањем у отвореној повратној спрези

8.2 ЛАБОРАТОРИЈСКА ВЕЖБА 2 Задатак вежбе: Израчунавање фактора појачања мотора напонским управљањем у отвореној повратној спрези Регулциј електромоторних погон 8 ЛАБОРАТОРИЈСКА ВЕЖБА Здтк вежбе: Изрчунвње фктор појчњ мотор нпонским упрвљњем у отвореној повртној спрези Увод Преносн функциј мотор којим се нпонски упрвљ Кд се з нулте

Διαβάστε περισσότερα

Осцилације система са једним степеном слободе кретања

Осцилације система са једним степеном слободе кретања 03-ec-18 Осцилације система са једним степеном слободе кретања Опруга Принудна сила F(t) Вискозни пригушивач ( дампер ) 1 Принудна (пертурбациона) сила опруга Реституциона сила (сила еластичног отпора)

Διαβάστε περισσότερα

Семинарски рад из линеарне алгебре

Семинарски рад из линеарне алгебре Универзитет у Београду Машински факултет Докторске студије Милош Живановић дипл. инж. Семинарски рад из линеарне алгебре Београд, 6 Линеарна алгебра семинарски рад Дата је матрица: Задатак: a) Одредити

Διαβάστε περισσότερα

Од површине троугла до одређеног интеграла

Од површине троугла до одређеног интеграла Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.i.ac.rs/mii Математика и информатика (4) (5), 49-7 Од површине троугла до одређеног интеграла Жарко Ђурић Париске комуне 4-/8, Врање

Διαβάστε περισσότερα

ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ

ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ЗА УЧЕНИКЕ СА ПОСЕБНИМ СПОСОБНОСТИМА ЗА ИНФОРМАТИКУ

Διαβάστε περισσότερα

Cook-Levin: SAT је NP-комплетан. Теодор Најдан Трифунов 305M/12

Cook-Levin: SAT је NP-комплетан. Теодор Најдан Трифунов 305M/12 Cook-Levin: SAT је NP-комплетан Теодор Најдан Трифунов 305M/12 1 Основни појмови Недетерминистичка Тјурингова машина (НТМ) је уређена седморка M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0,, ) Q коначан скуп стања контролног механизма

Διαβάστε περισσότερα