ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Ζουλκάρνι Άριφ του Μοχαμμάντ Φαρρούχ Νασεέμ. «Εφαρμογή της θετικής αμεταβλητότητας στον έλεγχο συστημάτων υπό περιορισμούς»

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών Ζουλκάρνι Άριφ του Μοχαμμάντ Φαρρούχ Νασεέμ Αριθμός Μητρώου: Θέμα: «Εφαρμογή της θετικής αμεταβλητότητας στον έλεγχο συστημάτων υπό περιορισμούς» Επιβλέπων: Δ. Καζάκος, Επίκουρος Καθηγητής Αριθμός Διπλωματικής Εργασίας: Πάτρα, Ιανουάριος 2018

2

3 i ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Πιστοποιείται ότι η Διπλωματική Εργασία με θέμα «Εφαρμογή της θετικής αμεταβλητότητας στον έλεγχο συστημάτων υπό περιορισμούς» του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Ζουλκάρνι Άριφ του Μοχαμμάντ Φαρρούχ Νασεέμ Αριθμός Μητρώου: Παρουσιάστηκε δημόσια και εξετάστηκε στο Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών στις../../.. Ο Επιβλέπων, Ο Διευθυντής του Τομέα, Δ. Καζάκος, Επίκουρος Καθηγητής Ν. Κούσουλας, Καθηγητής

4 ii

5 iii Αριθμός Διπλωματικής Εργασίας: Θέμα: «Εφαρμογή της θετικής αμεταβλητότητας στον έλεγχο συστημάτων υπό περιορισμούς» Φοιτητής: Ζουλκάρνι Άριφ Επιβλέπων: Καζάκος Δημοσθένης Περίληψη Το αντικείμενο της παρούσας εργασίας, όπως δηλώνεται και στον τίτλο είναι ο έλεγχος συστημάτων υπό περιορισμούς. Συγκεκριμένα, οι εν λόγω περιορισμοί λαμβάνουν την μορφή πολυεδρικών χωρίων υπό δεδομένη διάταξη στον χώρο κατάστασης, τα οποία ορίζουν περιοχές απαγορευτικές προς διάβαση για τις τροχιές του υπό μελέτη συστήματος. Στόχο μας αποτελεί ο προσδιορισμός νόμων ελέγχου όχι μόνο για την αποφυγή των προαναφερθέντων χωρίων από τις τροχιές των εκάστοτε συστημάτων, αλλά και οδήγηση των τροχιών αυτών μεταξύ των πολυεδρικών χωρίων. Στην αντιμετώπιση του προβλήματος αυτού κεντρικό ρόλο λαμβάνει η έννοια της θετικής αμεταβλητότητας. Στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες τις θεωρίας συστημάτων και ελέγχου και τα κύρια μαθηματικά εργαλεία τα οποία μας δίνουν την δυνατότητα να αντιμετωπίσουμε το πρόβλημα που τίθεται στην εργασία αυτή. Στο δεύτερο κεφάλαιο εισάγεται η έννοια της θετικής αμεταβλητότητας. Ειδικά, διατυπώνονται ικανές και αναγκαίες συνθήκες για το πότε ένα πολυεδρικό χωρίο είναι θετικά αμετάβλητο ως προς ένα γραμμικό και χρονικά αμετάβλητο σύστημα διακριτού χρόνου. Στο ίδιο κεφάλαιο παρουσιάζεται και οι έννοια της διαστολικότητας η οποία μπορεί να θεωρηθεί συμπληρωματική ή και ειδικότερη της θετικά αμεταβλητότητας. Στο τρίτο κεφάλαιο αντιμετωπίζεται το πρόβλημα της παρούσας εργασίας. Αρχικά, επικεντρωνόμαστε στην περίπτωση των συστημάτων διακριτού χρόνου όπου και εξετάζουμε διάφορες υποπεριπτώσεις προτού τελικά στρέψουμε την προσοχή μας στα συστήματα συνεχούς χρόνου. Σε κάθε περίπτωση επαληθεύουμε την ορθότητα των λύσεων των οποίων προτείνουμε μέσω προσομοιώσεων με τη βοήθεια του προγράμματος MATLAB.

6 iv

7 v Abstract The subject of this diploma thesis, as stated in the title, is constrained control. Specifically, said constrains take the form of polyhedral sets in a known formation within a state space. These sets define restricted areas in the sense that system orbits must not intersect with them. Our goal is to determine certain controllers that not merely force the system orbits to avoid the aforementioned sets, but furthermore drive these orbits between them. The concept of positive invariance is of fundamental importance while facing this problem. In the first chapter, we introduce a number of basic concepts of systems and control theory alongside the main mathematical tools used in the course of this thesis. In the second chapter, the concept of positive invariance is presented. In addition, necessary and sufficient conditions for a given polyhedral set being positively invariant, with respect to a discrete time system, are given. The concept of expansiveness, which can be considered as complementary to that of positive invariance, is introduced, as well. In the third chapter, we get to the objective of this thesis. The first part is dedicated to discrete time systems. In the second and final part, we turn our attention to continuous time systems. All the solutions that are offered throughout this thesis are validated by simulation via MATLAB.

8 vi

9 vii Ευχαριστίες Θα ήθελα να ευχαριστήσω ειλικρινά τον κύριο Μπιτσώρη Γεώργιο, υπό την επίβλεψη του οποίου πραγματοποιήθηκε η παρούσα διπλωματική εργασία, για την καθοδήγηση και την διαθεσιμότητά του. Ευχαριστώ επίσης και την οικογένειά μου για την αμέριστη υποστήριξη που μου παρείχε.

10 viii

11 ix Περιεχόμενα Περίληψη... iii Abstract...v Κεφάλαιο 1: Στοιχεία θεωρίας συστημάτων και ελέγχου 1.1 Εισαγωγή Δυναμικά συστήματα Έλεγχος συστημάτων Αριθμητικές μέθοδοι Συμβάσεις και συμβολισμοί...10 Κεφάλαιο 2: Η έννοια της θετικής αμεταβλητότητας 2.1 Βασικές έννοιες και θεωρήματα Θετική αμεταβλητότητα πολυεδρικών χωρίων Διαστολικότητα πολυεδρικών χωρίων...24 Κεφάλαιο 3: Έλεγχος συστημάτων υπό περιορισμούς Α. Συστήματα διακριτού χρόνου 3.1 Προσδιορισμός ελέγχου ώστε ένα πολύεδρο να καθίσταται διαστολικό Προσδιορισμός ελέγχων για αποφυγή δεδομένων πολυέδρων Η περίπτωση των δύο πολυέδρων Η περίπτωση των δύο πολυέδρων εναλλακτική προσέγγιση Η περίπτωση των τριών πολυέδρων Η περίπτωση των τεσσάρων πολυέδρων Προσδιορισμός ελέγχου για την οδήγηση τροχιών μεταξύ συγκεκριμένων πολυέδρων Προσδιορισμός ελέγχου για την οδήγηση τροχιών μεταξύ συγκεκριμένων πολυέδρων και ταυτόχρονη αποφυγή αυτών...52 Β. Συστήματα συνεχούς χρόνου 3.5 Η έννοια της συνεχούς διαστολικότητας Προσδιορισμός ελέγχου για ταυτόχρονη οδήγηση τροχιών και αποφυγή πολυέδρων...60

12 x Βιβλιογραφία...67

13 1 Κεφάλαιο 1 Στοιχεία θεωρίας συστημάτων και ελέγχου Σκοπός αυτού του κεφαλαίου είναι η διατύπωση σε εισαγωγικό επίπεδο βασικών αρχών και εννοιών της θεωρίας συστημάτων και ελέγχου, οι οποίες είναι απαραίτητες για την ορθή μελέτη του αντικειμένου της εργασίας. 1.1 Εισαγωγή Ένα σύστημα είναι μία υλική ή άυλη οντότητα η οποία αλληλοεπιδρά με το περιβάλλον της με έναν προκαθορισμένο τρόπο. Υπό την μαθηματική έννοια, ένα σύστημα μπορεί να οριστεί ως μία διαδικασία απεικόνισης (mapping) από ένα σύνολο σημάτων U σε ένα άλλο σύνολο Y. Τα σήματα που αποτελούν στοιχεία του συνόλου U, u, θα τα ονομάσουμε «εισόδους», ενώ αυτά που ανήκουν στο σύνολο Y, y, θα τα ονομάσουμε «εξόδους». Στα πλαίσια της θεωρίας ελέγχου η μεταβλητή u, αναφέρεται και ως «νόμος ελέγχου». Τα σήματα αποτελούν διανυσματικές συναρτήσεις της μεταβλητής t, η οποία είθισται να ονομάζεται «χρόνος» και ανήκει στο πεδίο ορισμού, το σύνολο T. Γράφουμε u: T και y: T (1.1) To οποίο σημαίνει ότι τα σήματα u και y λαμβάνουν τιμές στους ευκλείδειους χώρους m διαστάσεων και p διαστάσεων αντίστοιχα. u Σ y Σχήμα 1: Ένα σύστημα υπό την μορφή ενός μαύρου κουτιού Η φύση του πεδίου ορισμού T, φανερώνει μία πρώτη διάκριση ανάμεσα στα διάφορα συστήματα. Συγκεκριμένα, τα συστήματα για τα οποία το αντίστοιχο σύνολο T είναι συνεχές χαρακτηρίζονται ως συστήματα συνεχούς χρόνου (continuous time systems). Ανάλογα, όταν το σύνολο T είναι διακριτό, τότε αναφερόμαστε σε συστήματα διακριτού χρόνου (discrete time systems).

14 2 Κεφάλαιο 1 Η περιγραφή ενός συστήματος πραγματοποιείται με την βοήθεια του μαθηματικού του προτύπου, το οποίο φανερώνει την συναρτησιακή εξάρτηση της εξόδου y από την είσοδο u με μία γενική σχέση της μορφής Σ: ysu, S: (1.2) Εκτός από την διάκριση μεταξύ συστημάτων συνεχούς και διακριτού χρόνου, μπορούμε να διακρίνουμε και άλλες κατηγορίες συστημάτων με βάση κριτήρια όπως η γραμμικότητα, η αιτιότητα και η ύπαρξη μνήμης. Η βασική κατηγορία που θα μελετήσουμε και η οποία παίζει κυρίαρχο ρόλο σε αυτή την εργασία, είναι αυτή των δυναμικών συστημάτων. 1.2 Δυναμικά συστήματα ΟΡΙΣΜΟΣ 1.1 Δυναμικά συστήματα Ένα σύστημα λέγεται δυναμικό αν υπάρχει μία συνάρτηση x xt, x:t, μία απεικόνιση S : U και μία άλλη συνάρτηση g: T, τέτοιες ώστε xt S xt,u, Σ: yt gt,xt, ut (1.3) για κάθε t T και t t Η τιμή της συνάρτησης x ονομάζεται «κατάσταση» του συστήματος στην εκάστοτε χρονική στιγμή. Το χαρακτηριστικό γνώρισμα των δυναμικών συστημάτων το οποίο φανερώνεται από τον παραπάνω ορισμό είναι ότι η γνώση του διανύσματος κατάστασης μία οποιαδήποτε χρονική στιγμή t μαζί με την ταυτόχρονη γνώση της εισόδου στο διάστημα t,, είναι πληροφορίες ικανές για τον προσδιορισμό της εξόδου για κάθε t t. ΟΡΙΣΜΟΣ 1.2 Μήτρα κρουστικών αποκρίσεων Για ένα γραμμικό σύστημα S, η μήτρα κρουστικών αποκρίσεων ορίζεται ως h t, τ h t, τ Ht, τ (1.4) h t, τ h t, τ όπου h t, τ S δt τ είναι το i οστο στοιχείο του διανύσματος εξόδου y όταν σαν είσοδος εφαρμόζεται το διάνυσμα u του οποία όλα τα στοιχεία είναι μηδενικά με την εξαίρεση του j οστού το οποίο ισούται με δt τ.

15 Στοιχεία θεωρίας συστημάτων και ελέγχου 3 Εδώ παρατίθεται ένα σπουδαίο θεώρημα, χωρίς την απόδειξή του, το οποίο δίνει μία αναλυτική μορφή για την έξοδο ενός γραμμικού συστήματος συναρτήσει της εισόδου και της μήτρας κρουστικών αποκρίσεων. ΘΕΩΡΗΜΑ 1.1 Θεμελιώδες θεώρημα θεωρίας γραμμικών συστημάτων Έστω το γραμμικό σύστημα συνεχούς χρόνου το οποίο περιγράφεται από την σχέση Σ: ysu, y, u (1.5) Αν H Ht, τ, Η:ΤΤ είναι η μήτρα κρουστικών αποκρίσεων που αντιστοιχεί σε αυτό το σύστημα, τότε ισχύει yt Ht, τuτdτ, u U, t (1.6) Η σχέση (1.6) ισχύει για κάθε γραμμικό σύστημα. Ωστόσο μπορεί να ειδικευθεί στην περίπτωση που γίνουν κάποιες επιπλέον υποθέσεις σχετικά με τα γνωρίσματα του συστήματος. 1. Συστήματα σε χαλάρωση την χρονική στιγμή yt Ht, τuτdτ, u U, t (1.7) 2. Αιτιατά συστήματα yt Ht, τuτdτ, u U, t (1.8) 3. Χρονικά αμετάβλητα Αποδεικνύεται ότι η μήτρα κρουστικών αποκρίσεων είναι συνάρτηση μίας και μόνο μεταβλητής, της διαφοράς των t και τ. Γράφουμε λοιπόν και έτσι Ht, τ H t τ (1.9) yt H u H t τuτdτ, u U, t (1.10)

16 4 Κεφάλαιο 1 Καταστατικές εξισώσεις Για ένα δυναμικό σύστημα συνεχούς χρόνου οι καταστατικές εξισώσεις είναι διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης οι οποίες αποτελούν το πλέον διαδεδομένο μαθηματικό πρότυπο για την περιγραφή του συστήματος αυτού και έχουν την γενική μορφή x ft, x, u f: T (1.11) ygt, x, u y: T Συγκεκριμένα, στην περίπτωση των γραμμικών και χρονικά αμετάβλητων δυναμικών συστημάτων, οι καταστατικές εξισώσεις είναι Όπου x AxBu A, B (1.12) ycxdu C, D xxt, u ut, y yt Για να έχουν νόημα οι καταστατικές εξισώσεις είναι φυσικά απαραίτητη προϋπόθεση να έχουν λύση. Κρίνεται λοιπόν απαραίτητο να παρουσιάσουμε το ακόλουθο θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας. ΘΕΩΡΗΜΑ 1.2 Ύπαρξης και μοναδικότητας Ορίζουμε f f f και x x x. Έστω ότι οι συναρτήσεις f και για κάθε i, j 1, n είναι συνεχείς σε μία πολυεδρική περιοχή R T, η οποία περιέχει το σημείο t x x. Τότε υπάρχει μια περιοχή του t με το t εσωτερικό σημείο στην οποία ορίζεται μία μοναδική λύση x xt του συστήματος διαφορικών εξισώσεων, η οποία επίσης ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες x x x. Στην περίπτωση των γραμμικών και χρονικά αμετάβλητων συστημάτων (linear, time invariant) αποδεικνύεται εύκολα πως το παραπάνω θεώρημα θα ισχύει όσο ο νόμος ελέγχου u θα εκλέγεται να είναι συνάρτηση της μεταβλητής κατάστασης x με τρόπο που θα έχει συνεχείς μερικές πρώτες παραγώγους ως προς τις μεταβλητές κατάστασης.

17 Στοιχεία θεωρίας συστημάτων και ελέγχου 5 Λύσεις καταστατικών εξισώσεων Η μελέτη των τροχιών ενός συστήματος παρουσιάζει φυσιολογικά μεγάλο ενδιαφέρον. Για λόγους που θα γίνουν προφανείς σε επόμενα κεφάλαια, θα εξετάσουμε την περίπτωση των συστημάτων που περιγράφονται από τις παρακάτω καταστατικές εξισώσεις Σ: x Ax, A, x xt (1.13) ΘΕΩΡΗΜΑ 1.3 Αν οι διανυσματικές συναρτήσεις x,,x είναι γραμμικώς ανεξάρτητες λύσεις του συστήματος (1.13) για κάθε t K, τότε κάθε λύση του συστήματος (1.13) μπορεί να εκφραστεί ως γραμμικός συνδυασμός των x,,x στο διάστημα K με μοναδικό τρόπο. φt c x (1.14) Το σύνολο των συναρτήσεων x αποτελεί ένα θεμελιώδες σύνολο λύσεων. H φt ονομάζεται γενική λύση του συστήματος (1.13). Το είδος των ιδιοτιμών και των αντίστοιχων ιδιοδιανυσμάτων της μήτρας A καθορίζει το είδος της γενικής λύσης. Ερμιτιανά συστήματα (Hermitian systems) Όταν η μήτρα A είναι Ερμιτιανή, η κατάσταση είναι ιδιαίτερα απλή. Οι Ερμιτιανές μήτρες χαρακτηρίζονται από την ιδιότητα να έχουν αρχικά πραγματικές ιδιοτιμές αλλά πιο σημαντικά, πλήθους n ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα ανεξάρτητα της πολλαπλότητας οποιασδήποτε ιδιοτιμής. Έτσι, ένα θεμελιώδες σύνολο λύσεων αποτελεί το ξ e, όπου τα ξ είναι τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές r. Έχουμε λοιπόν φt c ξ e (1.15) Μη Ερμιτιανά συστήματα (Non Hermitian systems) Στην περίπτωση που η μήτρα A δεν είναι Ερμιτιανή η κατάσταση ως προς τον προσδιορισμό της γενικής λύσης του συστήματος γίνεται ελαφρώς πιο περίπλοκη. Υποθέτοντας ότι η μήτρα A είναι πραγματική, διακρίνουμε τις εξής τρεις περιπτώσεις 1. Όλες οι ιδιοτιμές είναι πραγματικές και διάφορες μεταξύ τους

18 6 Κεφάλαιο 1 2. Υπάρχουν ιδιοτιμές οι οποίες εμφανίζονται ως συζυγή ζεύγη μιγαδικών αριθμών 3. Υπάρχουν ιδιοτιμές με πολλαπλότητα μεγαλύτερη της μονάδας Στην πρώτη περίπτωση η γενική λύση προκύπτει ακριβώς με τον ίδιο τρόπο όπως και στην περίπτωση των Ερμιτιανών συστημάτων. Αυτό συμβαίνει καθώς το γεγονός ότι κάθε ιδιοτιμή είναι διακριτή, εξασφαλίζει την ύπαρξη πλήθους n γραμμικώς ανεξάρτητων ιδιοδιανυσμάτων. Στην δεύτερη περίπτωση, οι όροι της γενικής λύσης που αντιστοιχούν σε μιγαδικές ιδιοτιμές έχουν ως εξής Όπου x e acos μt bsinμt (1.16.1) x e asinμt bcos μt (1.16.2) areξ, b Imξ, λ Rer, μ Rer Οι υπόλοιποι όροι της γενικής λύσης που αντιστοιχούν σε πραγματικές ιδιοτιμές προκύπτουν κατά τα προαναφερθέντα. Η τρίτη περίπτωση εμφανίζει και την μεγαλύτερη πολυπλοκότητα. Για να κρατήσουμε την ανάλυση όσο το δυνατόν συντομότερη, εστιάζουμε την προσοχή μας στην υποπερίπτωση κατά την οποία υπάρχει μία ιδιοτιμή r, πολλαπλότητας p2, με μόνο ένα ιδιοδιάνυσμα. Τότε οι πλήθους p γραμμικώς ανεξάρτητες λύσεις που αντιστοιχούν σε αυτήν την ιδιοτιμή, προκύπτουν ως εξής x ξ t k! e, j 1,p (1.17) Όπου ξ είναι το i οστης τάξης γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή r και ορίζεται από την αναδρομική σχέση ΑrIξ ξ, i 0 (1.18) Ενώ το μηδενικής τάξης γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα, ξ, είναι το ιδιοδιάνυσμα που προκύπτει από την γνωστή εξίσωση ΑrIξ 0 (1.19) Είναι σημαντικό να αναφερθεί ότι η αναδρομική σχέση (1.18) έχει πάντα μη τετριμμένες λύσεις για κάθε i, κάτι που εκ πρώτης όψεως δεν είναι διόλου προφανές, καθώς ισχύει detαri 0.

19 Στοιχεία θεωρίας συστημάτων και ελέγχου Έλεγχος συστημάτων Έστω το σύστημα το οποίο περιγράφεται από τις καταστατικές εξισώσεις (1.11). Το πρόβλημα του ελέγχου του εν λόγω συστήματος συνίσταται στην εύρεση ενός κατάλληλου σήματος u ώστε όταν αυτό εφαρμοστεί ως είσοδος, το σύστημα να έχει μία συγκεκριμένη συμπεριφορά. Γενικά μπορούμε να διακρίνουμε δύο ειδών προβλήματα ελέγχου: τα προβλήματα ρύθμισης και τα προβλήματα παρακολούθησης. Ο προσδιορισμός ενός νόμου ελέγχου ο οποίος καθιστά μία κατάσταση x, κατάσταση ισορροπίας και μάλιστα ευσταθή, αποτελεί την κοινή αρχή πίσω από τα προβλήματα ρύθμισης (regulation problems). Αντίστοιχα, η αρχή πίσω από τα προβλήματα παρακολούθησης (tracking problems) είναι ο προσδιορισμός ενός νόμου ελέγχου ο οποίος καθιστά μία τροχιά x, ευσταθή τροχιά του συστήματος. Έλεγχος με ανατροφοδότηση κατάστασης Ως προς την δομή τους, τα σχήματα ελέγχου χωρίζονται σε δύο βασικές κατηγορίες: τα σχήματα ελέγχου ανοικτού βρόχου και τα συστήματα ελέγχου κλειστού βρόχου. Κατά την αντιμετώπιση του αντικειμένου της παρούσας εργασίας γίνεται χρήση ελέγχου ανατροφοδότησης κατάστασης, ο οποίος εμπίπτει στην δεύτερη κατηγορία. Ως εκ τούτου, η προσοχή μας εστιάζεται στα σχήματα ελέγχου κλειστού βρόχου και ειδικότερα στους νόμους ελέγχου ανατροφοδότησης κατάστασης. Τέτοιοι νόμοι ελέγχου έχουν την γενική μορφή u ux, u:. Για την περεταίρω ανάλυση αυτού του θέματος, θεωρούμε την περίπτωση των γραμμικά και χρονικά αμετάβλητων συστημάτων συνεχούς χρόνου (1.12). Η συνάρτηση u επιλέγεται ως εξής ux u Kxx, K, u, x (1.20) Η απαίτηση η κατάσταση x να είναι κατάσταση ισορροπίας επιβάλλει αμέσως τον παρακάτω περιορισμό ως προς την παράμετρο u Ax Bu 0 (1.21) Η εξίσωση (1.21) ωστόσο δεν είναι πάντα απαραίτητα επιλύσιμη ως προς u για κάθε δεδομένο x. Κάτι τέτοιο σημαίνει πως, υπό τον έλεγχο (1.20), δεν είναι σε κάθε περίπτωση δυνατόν να καταστεί ένα οποιοδήποτε σημείο του χώρου ως σημείο ισορροπίας. Ένα σημείο που είναι πάντα εφικτό να καταστεί σημείο ισορροπίας είναι το x 0 υπό την προφανή επιλογή u 0. Αποδεικνύεται εύκολα πως η επικέντρωση στην συγκεκριμένη κατάσταση, αντί οποιασδήποτε άλλης για την οποία μπορεί να βρεθεί λύση της (1.21), δεν βλάπτει την γενικότητα ως προς την ανάλυση που θα ακολουθήσει. Το κλειστό σύστημα στην προκειμένη περίπτωση είναι x A x, A ABK (1.22)

20 8 Κεφάλαιο 1 Η επιλογή της μήτρας K αποτελεί τον ρυθμιστικό παράγοντα ως προς την ευστάθεια ή μη του σημείου ισορροπίας. Αυτό συμβαίνει καθώς η επιλογή της μήτρας K επηρεάζει την θέση των ιδιοτιμών του κλειστού συστήματος στο μιγαδικό επίπεδο, αν αυτές είναι ελέγξιμες. ΟΡΙΣΜΟΣ 1.3 Μία ιδιοτιμή της μήτρας A λέγεται ότι είναι ελέγξιμη αν για το αντίστοιχο αριστερό ιδιοδιάνυσμα v ισχύει v B0. Όταν κάθε ιδιοτιμή της μήτρας A είναι ελέγξιμη, το ζεύγος A, B λέγεται ότι είναι ελέγξιμο. Για να είναι η κατάσταση ισορροπίας x 0 ευσταθής, πρέπει και αρκεί οι ιδιοτιμές της μήτρας A να έχουν αρνητικά πραγματικά μέρη. Στην περίπτωση που υπάρχει μία μήτρα K, για την οποία αυτό συμβαίνει, το ζεύγος A, B λέγεται πως είναι σταθεροποιήσιμο (stabilizable). Τίθεται λοιπόν το ερώτημα για το πότε ένα ζεύγος A, B είναι σταθεροποιήσιμο, ερώτημα στο οποίο δίνει απάντηση το ακόλουθο θεώρημα. ΘΕΩΡΗΜΑ 1.4 Το ζεύγος A, B είναι σταθεροποιήσιμο αν και μόνο αν κάθε ασταθής ιδιοτιμή της μήτρας A είναι ελέγξιμη. Αποδεικνύεται ότι αν το ζεύγος A, B είναι ελέγξιμο, τότε για οποιοδήποτε αυτοσυζυγές σύνολο Λ, υπάρχει μία μήτρα Κ η οποία να καθιστά αυτό το σύνολο, σύνολο ιδιοτιμών του κλειστού συστήματος (1.12). 1.4 Αριθμητικές μέθοδοι Στην ενότητα αυτή παρουσιάζουμε τις αριθμητικές μεθόδους που χρησιμοποιήθηκαν κατά τις προσομοιώσεις. Συγκεκριμένα για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων στην περίπτωση συστημάτων συνεχούς χρόνου, σε κώδικα MATLAB χρησιμοποιήθηκε η εντολή ode45 η οποία βασίζεται στις μεθόδους Runge Kutta Fehlberg (R K F). Οι μέθοδοι R K F αποτελούν μία γενίκευση της μεθόδου Runge Kutta (R K). Για την ακρίβεια, πρόκειται για έναν συνδυασμό δύο τύπων R K, διαφορετικών τάξεων. Η χαρακτηριστική ιδιότητα των R K F είναι ότι η διαφορά των τιμών των δύο τύπων αποτελεί μία πολύ καλή εκτίμηση του τοπικού σφάλματος. Κάτι τέτοιο είναι πολύ σημαντικό, καθώς κατά την διάρκεια της ολοκλήρωσης, μας δίνει την δυνατότητα ελέγχου του τοπικού σφάλματος μέσω της ρύθμισης του βήματος των μεθόδων ώστε να επιτυγχάνεται παράλληλα, με σχετικά απλό τρόπο, περιορισμός του υπολογιστικού κόστους. Εδώ παρουσιάζονται οι μέθοδοι R K F τάξεως 4/5. Έστω το πρόβλημα αρχικών τιμών

21 Στοιχεία θεωρίας συστημάτων και ελέγχου 9 x ft, x, xt x (1.23) Έχουμε (R K F/4): x x hc f c f c f c f c f (1.24) (R K F/5): X x hc f C f C f C f C f C f (1.25) Όπου f ft,x (1.26) f ft a h, x hb f (1.27) f ft a h, x hb f b f (1.28) f ft a h, x hb f b f b f (1.29) f ft a h, x hb f b f b f b f (1.30) f ft a h, x hb f b f b f b f b f (1.31) Οι αριθμητικοί συντελεστές a,b,c,c υπολογίζονται από τον ακόλουθο πίνακα i a b b b b b c C 1 0 1/9 47/ /9 2/ /3 1/12 1/4 9/20 12/25 4 3/4 69/ / /64 16/45 32/ /12 27/4 27/5 16/15 1/12 1/30 6 5/6 65/432 5/16 13/16 4/27 5/144 6/25 Το τοπικό σφάλμα T δίνεται από την διαφορά T X x h f f f f f (1.32) Αν συμβολίσουμε T το μέγιστο επιτρεπτό σφάλμα, το βήμα h το οποίο θα αντιστοιχεί σε αυτό και θα είναι προφανώς το μέγιστο δυνατό, δίνεται από τον προσεγγιστικό τύπο h sh (1.33) Όπου 0 s1 είναι ένας συντελεστής ασφάλειας και T είναι το τοπικό σφάλμα αποκοπής όταν εφαρμόζεται βήμα h.

22 10 Κεφάλαιο Συμβάσεις και συμβολισμοί 1. Έστω x και n. Σε ορισμένες περιπτώσεις, μπορεί καταχρηστικά και για λόγους καθαρά πρακτικής φύσης, να γράφουμε στο όρισμα μίας συνάρτησης το διάνυσμα x, ενώ η συνάρτηση στην πραγματικότητα παρουσιάζει εξάρτηση από κάθε στοιχείο του διανύσματος ξεχωριστά. Παράδειγμα fx fx,x x e, x x x (1.34) 2. Από εδώ και μέχρι το πέρας της εργασίας καθιερώνονται οι εξής συμβολισμοί σχετικά με πραγματικές μήτρες. Αν A a είναι μία πραγματική μήτρα διαστάσεων mn, τότε ορίζουμε A a. Έστω τώρα μία δεύτερη πραγματική μήτρα διαστάσεων mn, B b. Η σχέση ορίζεται έτσι ώστε να είναι ισοδύναμη με AB (1.35) a b, i, j 1, m 1,n (1.36) 3. Για μία διανυσματική συνάρτηση x xt, x:t,n1, ορίζουμε x xt 1 4. Οι μεταβλητές k, n, m, p παριστάνουν πάντα φυσικούς αριθμούς, εκτός και αν δηλώνεται ρητά κάτι το διαφορετικό. 5. Το σύμβολο «0» μπορεί να παριστάνει τόσο τον πραγματικό αριθμό «μηδέν», όσο και n διάστατα διανύσματα, μηδενικών στοιχείων. Το τι συμβολίζει κάθε φορά, υποτίθεται σιωπηλά, με τέτοιο τρόπο ώστε οι πράξεις που το συμπεριλαμβάνουν να έχουν νόημα. Αντίστοιχη σύμβαση ισχύει και για την μήτρα I, η οποία συμβολίζει την ταυτοτική μήτρα, δηλαδή το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού μητρών.

23 11 Κεφάλαιο 2 Η έννοια της θετικής αμεταβλητότητας Η θετική αμεταβλητότητα είναι μία έννοια η οποία αποδεικνύεται θεμελιώδους σημασίας κατά την μελέτη του θέματος της παρούσας εργασίας. Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζεται και αναλύεται αυτή η έννοια, κατά κύριο λόγο από την οπτική γωνία των συστημάτων διακριτού χρόνου. Προτού, ωστόσο, αναφερθούμε στην θετική αμεταβλητότητα, θεωρούμε απαραίτητη την παρουσίαση της ευστάθειας, διότι αυτή είναι η κεντρική έννοια της θεωρίας ελέγχου και η οποία, όπως και θα γίνει φανερό ακολούθως, συσχετίζεται άμεσα με την θετική αμεταβλητότητα. 2.1 Βασικές έννοιες και θεωρήματα ΟΡΙΣΜΟΣ 2.1 Ευστάθεια τροχιάς κατά Lyapunov Η τροχιά x tενός συστήματος Σ είναι ευσταθής κατά Lyapunov αν για κάθε ε 0 και t T, υπάρχει ένας θετικός αριθμός δ δt,ε τέτοιος ώστε x x t δ xt; t,x x t ε t t (2.1) Όπου xt; t,x είναι η τροχιά του συστήματος Σ η οποία ορίζεται την χρονική στιγμή t οπότε και έχει την τιμή x. Η ευστάθεια κατά Lyapunov μιας τροχιάς x t δηλώνει πως είναι δυνατόν να βρούμε άλλες τροχιές οι οποίες παραμένουν οσοδήποτε «κοντά» (υπό την έννοια της ευκλείδειας απόστασης) στην x t για κάθε tt, αν περιορίσουμε τις αρχικές καταστάσεις αυτών σε μια αρκούντως μικρή αλλά όχι εκφυλισμένη περιοχή του x. Αναφέρεται ότι έννοια «αρχική κατάσταση» στην αμέσως παραπάνω παράγραφο χρησιμοποιείται μάλλον καταχρηστικά. Εννοείται πως ως αρχή της μελέτης των τροχιών ορίζεται η χρονική στιγμή t.

24 12 Κεφάλαιο 2 Σχήμα 2.1: Ευστάθεια κατά Lyapunov της τροχιάς Μια έννοια η οποία μπορεί να θεωρηθεί συμπληρωματική της ευστάθειας Lyapunov, είναι η έννοια της ελκτικότητας η οποία ορίζεται παρακάτω. ΟΡΙΣΜΟΣ 2.2 Ελκτικότητα Η τροχιά x t του συστήματος Σ είναι ελκτική αν για κάθε t T υπάρχει ένας θετικός αριθμός ηηt τέτοιος ώστε x x t η lim xt; t,x x t 0 (2.2) Εκ πρώτης όψεως μπορεί να φαίνεται πως η ευστάθεια κατά Lyapunov μια τροχιάς συνεπάγεται την ελκτικότητα αυτής, ωστόσο κάτι τέτοιο δεν ισχύει απαραίτητα. Πράγματι μία τροχιά μπορεί να είναι ευσταθής κατά Lyapunov χωρίς να είναι ελκτική, όπως επίσης είναι δυνατόν να συμβαίνει και το αντίστροφο. Ακόμα και αν, όπως αναφέρθηκε, η ευστάθεια Lyapunov και η ελκτικότητα δεν παρουσιάζουν λογική σχέση μεταξύ τους, από διαισθητικής άποψης φαίνονται να είναι συγγενικές. Συγκεκριμένα, μία τροχιά η οποία είναι ταυτόχρονα ευσταθής κατά Lyapunov και ελκτική λέγεται ότι είναι ασυμπτωτικά ευσταθής. Οι καταστάσεις ισορροπίας ενός συστήματος Σ αποτελούν μία ειδική, εκφυλισμένη περίπτωση τροχιών. Ο ορισμός της ευστάθειας Lyapunov μίας κατάστασης ισορροπίας προκύπτει αν στο ορισμό 2.1 θέσουμε x t x, t T.

25 Η έννοια της θετικής αμεταβλητότητας 13 ΟΡΙΣΜΟΣ 2.3 Ευστάθεια κατάστασης ισορροπίας κατά Lyapunov Η κατάσταση x ενός συστήματος Σ είναι ευσταθής κατά Lyapunov αν για κάθε ε 0 και t T, υπάρχει ένας θετικός αριθμός δ δt,ε τέτοιος ώστε x x δ xt; t,x x ε t t (2.3) Σχήμα 2.2: Ευστάθεια κατά Lyapunov της κατάστασης 0 Η μελέτη της ευστάθειας μίας τροχιάς μπορεί να αναχθεί σε μία ισοδύναμη μελέτη μίας οποιασδήποτε κατάστασης ισορροπίας με έναν κατάλληλο μετασχηματισμό. Αν συμβολίσουμε με x την μεταβλητή του αρχικού χώρου κατάστασης, με z τη μεταβλητή του νέου χώρου κατάστασης και με x την υπό συζήτηση τροχιά, ένας τέτοιος μετασχηματισμός είναι ο εξής zxx (2.4) Έτσι, για παράδειγμα, στην περίπτωση των συστημάτων διακριτού χρόνου xt1 fxt, έχουμε διαδοχικά zt1 xt1 xt1 zt1 fx fx zt1 fzx fx

26 14 Κεφάλαιο 2 Σ: zt1 gz; x, gz; x fzx fx (2.5) Η εξίσωση (2.5) περιγράφει ένα «βοηθητικό» σύστημα, του οποίου η κατάσταση x0 αντιστοιχεί στην τροχιά x του αρχικού συστήματος, υπό την έννοια πως όποια συμπεράσματα εξαχθούν σχετικά με την ευστάθεια ή μη της κατάστασης ισορροπίας, ισχύουν και για την τροχιά x, αναφερόμενοι κάθε φορά στα σχετικά συστήματα. Κατά την μελέτη της έννοιας της ευστάθειας όπως και των άλλων συγγενικών εννοιών, διάφορες αναφορές γίνονται, ως επί το πλείστον, με βάση την κατάσταση x 0. Αυτό, ωστόσο, δεν είναι περιοριστικό ως προς άλλες καταστάσεις ισορροπίας ή τροχιές όπως φάνηκε παραπάνω. Εξετάζοντας την ευστάθεια ή μη μιας κατάστασης ισορροπίας από τον ορισμό που δόθηκε, έχοντας μόνο τις καταστατικές εξισώσεις, απαιτεί προφανώς την λύση των εξισώσεων αυτών. Κάτι τέτοιο, ωστόσο, είναι πρακτικά ανέφικτο, εξαιρουμένων ειδικών περιπτώσεων. Σε αυτό το πρόβλημα έρχεται να δώσει λύση το ακόλουθο σπουδαίο θεώρημα, γνωστό και ως η δεύτερη μέθοδος του Lyapunov. Έστω το σύστημα συνεχούς χρόνου Σ: x t ft, x, f: T, xt t 0 (2.6) και η κατάσταση ισορροπίας αυτού x 0. ΘΕΩΡΗΜΑ 2.1 Lyapunov Αν σε μία περιοχή η οποία έχει την κατάσταση x στο εσωτερικό της, υπάρχει μία διαφορίσιμη και θετικά ορισμένη συνάρτηση ώστε η ολική παράγωγος της v ως προς την μεταβλητή t vvt, x, v: T (2.7) v f (2.8) να είναι αρνητικά ημιορισμένη σε μία περιοχή της x, τότε η κατάσταση ισορροπίας αυτή είναι ευσταθής κατά Lyapunov. Αν επιπλέον ισχύει ότι η ολική παράγωγος (2.8) είναι αρνητικά ορισμένη και η v δέχεται ένα απείρως μικρό άνω φράγμα, τότε το ίδιο κατά τα άλλα θεώρημα εγγυάται την ασυμπτωτική ευστάθεια της κατάστασης x 0.

27 Η έννοια της θετικής αμεταβλητότητας 15 Σημειώνεται πως στο παραπάνω θεώρημα η ποσότητα διαφέρει από την στο ότι συμβολίζει την μερική παράγωγο της συνάρτησης v ως προς την μεταβλητή t, αγνοώντας την εξάρτηση των x από την t. Μία συνάρτηση η οποία ικανοποιεί τις συνθήκες του θεωρήματος αυτού, αναφέρεται και ως συνάρτηση Lyapunov. Για την περίπτωση των συστημάτων διακριτού το θεώρημα (2.1) προσαρμόζεται ανάλογα και τον ρόλο της ολικής παραγώγου λαμβάνει η ολική διαφορά Δvxt vxt1vxt (2.9) Θεωρούμε τώρα το δυναμικό, γραμμικό και χρονικώς αμετάβλητο σύστημα διακριτού χρόνου Σ: xt1 Axt, A, xt t, n (2.10) ΟΡΙΣΜΟΣ 2.4 Θετική αμεταβλητότητα Ένα μη κενό σύνολο S λέγεται ότι είναι θετικώς αμετάβλητο ως προς το σύστημα (2.10) αν για κάθε x το οποίο ανήκει στο σύνολο S, η τροχιά του συστήματος που έχει ως αρχικό σημείο το x, παραμένει εντός του συνόλου S για κάθε t. ΠΟΡΙΣΜΑ 2.1 Ένα μη κενό σύνολο S είναι θετικώς αμετάβλητο ως προς το σύστημα (2.10) αν ισχύει η κάτωθι συνεπαγωγή x S Ax S, x xt (2.11) Μία άμεση σύνδεση των εννοιών της ευστάθειας Lyapunovκαι της θετικής αμεταβλητότητας υπερελλειψοειδών χωριών υπογραμμίζεται μέσω του θεωρήματος του Kálmán, το οποίο παρατίθεται σε αυτό το σημείο. ΘΕΩΡΗΜΑ 2.2 Kálmán Η κατάσταση ισορροπίας x 0 του συστήματος (2.10) είναι ευσταθής κατά Lyapunov αν και μόνο αν υπάρχει μία συμμετρική, θετικά ορισμένη μήτρα P και μία συμμετρική, θετικά ημιορισμένη μήτρα Q, που να αποτελούν λύση της εξίσωσης A PA P Q (2.12)

28 16 Κεφάλαιο 2 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Ικανό Έστω η υποψήφια συνάρτηση Lyapunov Τότε η ολική διαφορά είναι vx x Px, x xt (2.13) Δvxt xt1 Pxt1 xt Pxt Δvxt x A PAx x Px Δvxt x A PA Px Δvxt x Qx (2.14) Η ολική διαφορά είναι αρνητικά ορισμένη κοντά στο x 0, κάτι που σύμφωνα με την δεύτερη μέθοδο του Lyapunov συνεπάγεται την ευστάθεια κατά Lyapunov του x 0. Αναγκαίο Αρχικά σημειώνεται ότι αν ένα χωρίο S είναι θετικά αμετάβλητο ως προς το σύστημα (2.10), το ίδιο θα ισχύει και για κάθε άλλο χωρίο Sc x : y S: x cy, c 0. Αν η κατάσταση x 0, είναι ευσταθής κατά Lyapunov, τότε εκ του ορισμού της ευστάθειας σε συνδυασμό με το παραπάνω συμπέρασμα σχετικά με την οικογένεια χωρίων Sc, προκύπτει ότι η συνάρτηση vx x x θα είναι φθίνουσα ως προς την μεταβλητή t και κατά συνέπεια η ολική διαφορά αυτής θα είναι μη θετική στο πεδίο ορισμού της, δηλαδή Δvxt 0 x A AIx0 (2.15) Θα υπάρχει έτσι μία συμμετρικά θετικά ημιορισμένη μήτρα Q, τέτοια ώστε ΠΟΡΙΣΜΑ 2.2 A AIQ (2.16) Η ευστάθεια Lyapunovτης ισορροπίας x 0 του συστήματος (2.10) ισοδυναμεί με την ύπαρξη κλειστών, θετικά αμετάβλητων χωρίων που περιγράφονται από την ανίσωση μητρών

29 Η έννοια της θετικής αμεταβλητότητας 17 HP, w x : x Px w (2.17) Όπου w 0 και P είναι μια συμμετρική, θετικά ορισμένη μήτρα ή ισοδύναμα, μία μήτρα η οποία καθιστά την συνάρτηση vx x Px θετικά ορισμένη. Στην περίπτωση των δύο διαστάσεων (n 2) τα χωρία HP, w είναι ελλείψεις. 2.2 Θετική αμεταβλητότητα πολυεδρικών χωρίων Το αντικείμενο της παρούσας διπλωματικής εργασίας στρέφεται γύρω από την θετική αμεταβλητότητα πολυεδρικών χωρίων και όχι ελλειψοειδών. Έχοντας καθιερώσει ικανές και αναγκαίες συνθήκες για την ύπαρξη θετικά αμετάβλητων ελλειψοειδών χωρίων μέσω του θεωρήματος Kálmán, στην συνέχεια παρουσιάζουμε αναλυτικά τόσο ικανές, όσο και αναγκαίες συνθήκες για την ύπαρξη θετικά αμετάβλητων πολυεδρικών χωρίων ως προς το γραμμικό, χρονικά αμετάβλητο σύστημα διακριτού χρόνου που περιγράφεται από την εξίσωση (2.10). Εν γένει, κάθε συνεκτικό πολυεδρικό χωρίο μπορεί να εκφραστεί από μία εξίσωση της μορφής PF, w x : Fx w (2.18) Όπου F και w. Το διάνυσμα w έχει αποκλειστικά μη αρνητικά στοιχεία, δηλαδή w 0, i 1,n. Αυτή είναι μία υπόθεση η οποία από εδώ και στο εξής θα θεωρείται δεδομένη, εκτός και αν αναφέρεται ρητά κάτι που να την αναιρεί. Για να είναι το πολύεδρο Px, w κλειστό, δύο συνθήκες πρέπει να ισχύουν. Αρχικά m n1 και η μήτρα F πρέπει να είναι πλήρους τάξης, δηλαδή rankf n. Για την ειδική κατηγορία των πολυέδρων που έχουν παράλληλες έδρες χρησιμοποιούμε τον παρακάτω συμβολισμό RF, w x : w Fx w (2.19) Σε πρώτη φάση, εξετάζουμε την ειδική περίπτωση του πολυέδρου RI, w, δηλαδή του πολυέδρου για το οποίο η μήτρα F ισούται με την ταυτοτική μήτρα I. Στις δύο διαστάσεις αυτό είναι ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και αντίστοιχα, στις τρεις διαστάσεις είναι ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο. ΘΕΩΡΗΜΑ 2.3 Το πολυεδρικό χωρίο RI, w x : w x w (2.20) είναι θετικά αμετάβλητο ως προς το σύστημα (2.1), αν και μόνο αν

30 18 Κεφάλαιο 2 Α Ιw 0 (2.21) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Ικανό Έστω ότι η ανίσωση (2.21) ισχύει. Θεωρούμε τώρα ένα x εντός του RI, w, δηλαδή Μπορούμε να γράψουμε ισοδύναμα w x w x w Έχοντας κάνει αυτήν την υπόθεση για το x, για να αποδείξουμε αυτό το σκέλος του θεωρήματος αρκεί να καταλήξουμε στο ότι το x βρίσκεται επίσης εντός του RI, w. Ισχύουν διαδοχικά τα παρακάτω και Το ζητούμενο έχει αποδειχθεί. Ax A x A w w w A w A x Ax Αναγκαίο Έστω ότι το RI, w είναι θετικά αμετάβλητο ως προς το σύστημα Σ. Έτσι a x w x RI, w, i 1,n (2.22) Κάθε ένα από τα πλήθους n διανύσματα x signa w, k 1, n προφανώς ανήκουν στο RI, w. Συνεπώς a x w i, k 1, n a w w i 1, n (2.23) Πράγμα που ολοκληρώνει την απόδειξη.

31 Η έννοια της θετικής αμεταβλητότητας 19 Θεωρούμε τώρα την πιο γενική περίπτωση των πολυέδρων τα οποία περιγράφονται από την εξίσωση (2.19). Σε αυτό το σημείο διατυπώνεται το ακόλουθο θεώρημα το οποίο μπορεί να φανεί και ως ένας εναλλακτικός, ισοδύναμος ορισμός της θετικής αμεταβλητότητας. ΘΕΩΡΗΜΑ 2.4 Το πολυεδρικό χωρίο που περιγράφεται από την ανίσωση (2.19) είναι θετικά αμετάβλητο ως προς το σύστημα (2.10), αν και μόνο αν ισχύει Όπου ΑΠΟΔΕΙΞΗ vax vx, x RF, w (2.24) vx max (2.25) Ικανό Έστω x RF,w, τότε θα ισχύειvx 1. Αλλά από την υπόθεση θα ισχύει επίσης vax 1. Προκύπτει ότι FAx 1, i 1, n. Δηλαδή Το RF, w είναι θετικά αμετάβλητο. x S Ax S, x xt (2.26) Αναγκαίο Έστω ότι το RF, w είναι θετικά αμετάβλητο. Εύκολα αποδεικνύεται ότι η οικογένεια πολυέδρων RF, λw, λ0 αποτελείται στο σύνολο της από θετικά αμετάβλητα πολύεδρα. Υποθέτουμε τώρα ότι η συνθήκη vax vx, x RF, w (2.27) δεν ισχύει. Τότε, θα υπάρχει ένα, τουλάχιστον, x RF,w, για το οποίο Αν λοιπόν vx c, c0, τότε vax c, δηλαδή vax vx (2.28) i 1, n : c ή c (2.29)

32 20 Κεφάλαιο 2 Σε κάθε περίπτωση αυτό σημαίνει ότι ενώ το x RF,cw, το Αx RF, cw και έτσι το RF, cw δεν μπορεί να είναι θετικά αμετάβλητο, κάτι που είναι άτοπο. Επομένως, η αρχική υπόθεση ήταν λανθασμένη και πράγματι ΘΕΩΡΗΜΑ 2.5 vax vx, x RF, w (2.30) Έστω η μήτρα F για την οποία ισχύει rankf minm,n. Αν ισχύει η συνεπαγωγή τότε υπάρχει μία τετραγωνική μήτρα H, τέτοια ώστε ΑΠΟΔΕΙΞΗ Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις Fx0 FAx0 (2.31) FA HF 0 (2.32) mn. Τότε rankf m και η εξίσωση Fx 0 (2.33) έχει πλήθους n m γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις. Κάθε μία από αυτές τις λύσεις θα είναι φυσικά κάθετες στα διανύσματα που αναπαριστούν οι γραμμές της μήτρας F, εκ των οποίων υπάρχουν m τον αριθμό και μάλιστα όλα γραμμικά ανεξάρτητα μεταξύ τους, από την στιγμή που rankf m. Κατά συνέπεια το σύνολο των γραμμικά ανεξάρτητων λύσεων της εξίσωσης (2.33) σε συνδυασμό με τα διανύσματα που αντιστοιχούν στις γραμμές της F, συνιστούν βάση του χώρου. Από την στιγμή που κάθε λύση της εξίσωσης (2.33) είναι και λύση της FAx 0 (2.34) οι γραμμές της FA θα είναι κάθετες σε κάθε ένα από τα διανύσματα του μηδενοχώρου (nullspace) της F, πράγμα που σημαίνει ότι ανήκουν στον υπόχωρο του ο οποίος παράγεται αποκλειστικά από τις γραμμές της F. Δηλαδή h,i,j 1,m : F : η j οστη γραμμή της μήτρας F FA h F, i 1,m (2.35)

33 Η έννοια της θετικής αμεταβλητότητας 21 FA : η j οστη γραμμή της μήτρας FA Ισοδύναμα H : FA HF (2.36) mn. Τότε rankf n, που σημαίνει υπάρχουν πλήθους n γραμμές της FA, οι οποίες αποτελούν βάση του χώρου, κάτι που συνεπάγεται την ισχύ της σχέσης (2.35) και κατά επέκταση της (2.32). Είμαστε τώρα σε θέση να διατυπώσουμε ικανές και αναγκαίες συνθήκες ώστε ένα πολυεδρικό χωρίο με παράλληλες έδρες να είναι θετικά αμετάβλητο ως προς το σύστημα (2.10). ΘΕΩΡΗΜΑ 2.6 Το χωρίο το οποίο περιγράφεται από την ανίσωση μητρών RF, w x : w Fx w (2.37) όπου F, rankf m, w, w 0, i 1,m, είναι θετικά αμετάβλητο ως προς το σύστημα (2.10), αν και μόνο αν υπάρχει μία μήτρα H τέτοια ώστε ΑΠΟΔΕΙΞΗ H Iw 0 (2.38) FA HF 0 (2.39) Ικανό Λόγω της (2.38), το θεώρημα (2.3) δηλώνει πως το χωρίο RI, w x : w x w (2.40) είναι θετικά αμετάβλητο ως προς το σύστημα Σ: zt 1 Hzt (2.41) Λόγω του θεωρήματος (2.4) θα έχουμε

34 22 Κεφάλαιο 2 Αν θέσουμε z Fx, από την (2.42) λαμβάνουμε vhz vz, vz max (2.42) vax vx, vx max (2.43) Από το θεώρημα (2.4), προκύπτει ότι το χωρίο (2.37) είναι θετικά αμετάβλητο ως προς το σύστημα Σ: xt1 Axt (2.44) Αναγκαίο Αν το χωρίο (2.37) είναι θετικά αμετάβλητο, τότε Ισχύει η εξής ισοδυναμία Αλλά λόγω της (2.45) 0vAx vx, x, x xt (2.45) Καταλήγουμε λοιπόν στο ότι ισχύει η εξής συνεπαγωγή Τώρα, λόγω του θεωρήματος (2.5) Fx 0 vx 0 (2.46) vx 0 vax 0 (2.47) Fx0 FAx0 (2.48) H : FA HF (2.49) Επιστρέφοντας τώρα στην (2.45), αν θέσουμε z Fx και λάβουμε υπόψη την (2.49), έχουμε vhz vz (2.50) Έτσι, το χωρίο (2.40) είναι θετικά αμετάβλητο ως προς το σύστημα (2.41) και κατά το θεώρημα (2.3) H Iw 0 (2.51)

35 Η έννοια της θετικής αμεταβλητότητας 23 Το παραπάνω θεώρημα μπορεί να γενικευτεί, με ορισμένες τροποποιήσεις, για την περίπτωση των πολυέδρων τα οποία δεν έχουν απαραίτητα παράλληλες έδρες. Παρουσιάζεται εδώ το αντίστοιχο θεώρημα για αυτή την περίπτωση, χωρίς απόδειξη. ΘΕΩΡΗΜΑ 2.7 Το χωρίο το οποίο περιγράφεται από την ανίσωση μητρών PF, w x : Fx w (2.52) όπου F, rankf m, w, w 0, i 1,m, είναι θετικά αμετάβλητο ως προς το σύστημα (2.10), αν και μόνο αν υπάρχει μία μήτρα H τέτοια ώστε HIw 0 (2.53) FA HF 0 (2.54) H0 (2.55) Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι η ύπαρξη θετικά αμετάβλητων πολυεδρικών χωρίων για το σύστημα (2.10) δεν είναι πάντα ικανή για να εξασφαλίσει την ευστάθεια κατά Lyapunov της κατάστασης ισορροπίας x 0. Στην ειδική περίπτωση, ωστόσο, κατά την οποία το σύστημα έχει θετικά αμετάβλητα κλειστά πολύεδρα, πράγματι η ευστάθεια κατά Lyapunov προκύπτει ως συνέπεια. Αυτό φαίνεται καθώς σε εκείνη την περίπτωση η συνάρτηση vx όπως αυτή έχει οριστεί, θα είναι θετικά ορισμένη και η ολική διαφορά Δvxt vxt1 vxt (2.56) θα είναι ημιαρνητικά ορισμένη σύμφωνα με την (2.24). Δηλαδή η συνάρτηση vx θα είναι μία συνάρτηση Lyapunov του συστήματος (2.10). Στρέφουμε τώρα το ενδιαφέρον μας στην ανάδειξη της συσχέτισης μεταξύ της ύπαρξης θετικά αμετάβλητων πολυεδρικών χωρίων και των φασματικών χαρακτηριστικών του συστήματος (2.10). Αναφέρθηκε πως η ευστάθεια της κατάστασης x0 συνεπάγεται την ύπαρξη θετικά αμετάβλητων, ελλειψοειδών χωριών. Ισοδύναμα, όσο οι ιδιοτιμές του συστήματος Σ παραμένουν εντός ή επί του μοναδιαίου κύκλου, το σύστημα θα έχει τέτοια θετικά αμετάβλητα χωρία. Τίθεται έτσι το ερώτημα για το ποιο είναι αυτό το χωρίο του μιγαδικού επιπέδου, αν υπάρχει, εντός του οποίου θα αρκεί να βρίσκονται οι ιδιοτιμές του συστήματος ώστε αυτό να έχει θετικά αμετάβλητα πολύεδρα. Σε αυτό το ερώτημα έρχεται να δώσει απάντηση το ακόλουθο θεώρημα, το οποίο παρατίθεται χωρίς απόδειξη.

36 24 Κεφάλαιο 2 ΘΕΩΡΗΜΑ 2.8 Αν για τις ιδιοτιμές λ του συστήματος (2.10) ισχύει Reλ Imλ 1 (2.57) τότε για κάθε mn, υπάρχει μία, τουλάχιστον, μήτρα πλήρους τάξης F και ένα διάνυσμα θετικών στοιχείων w, τέτοια ώστε το πολύεδρο παράλληλων εδρών RF, w να είναι θετικά αμετάβλητο ως προς το σύστημα (2.10). Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του μιγαδικού επιπέδου για τα οποία ισχύει η ανίσωση (2.57) είναι το εσωτερικό του «μοναδιαίου ρόμβου» με κορυφές τους μιγαδικούς 1,0, 0, i, 1,0, 0, i. Σχήμα 2.3: Ο «μοναδιαίος ρόμβος» 1 στο μιγαδικό επίπεδο. Με διακεκομμένη γραμμή φαίνεται ο μοναδιαίος κύκλος Διαστολικότητα πολυεδρικών χωρίων Σε αυτό το σημείο εισάγεται η έννοια της διαστολικότητας, η οποία παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον στον έλεγχο συστημάτων υπό περιορισμούς και ειδικά στο υποκεφάλαιο το οποίο αποτελεί η αποφυγή εμποδίων. Συγκεκριμένα παρουσιάζονται αλγεβρικές συνθήκες για την ύπαρξη διαστολικών πολυεδρικών χωρίων για τα συστήματα (2.10), αντίστοιχα με τις συνθήκες που παρουσιάστηκαν παραπάνω σε αυτό το κεφάλαιο για την θετική αμεταβλητότητα χωρίων του ίδιου είδους.

37 Η έννοια της θετικής αμεταβλητότητας 25 Θεωρούμε την οικογένεια πολυέδρων PF, w x : Fx w (2.58) Όπου F, w, m n και η μήτρα F είναι πλήρους τάξης. ΟΡΙΣΜΟΣ 2.5 Διαστολικότητα (Expansiveness) Το πολύεδρο PF, w λέγεται ότι είναι διαστολικό ως προς το σύστημα Σ: xt1 fxt, f:, x, t, n (2.59) αν ισχύει η κάτωθι συνεπαγωγή Αν τώρα, πιο συγκεκριμένα, ισχύει xt PF, w/0 xt 1 /PF, w (2.60) xt PF, w/0 xt1 /PF, εw, ε 1 (2.61) τότε το PF, w λέγεται ότι είναι εδιαστολικό (εexpansive). Θεωρούμε το σύστημα Σ: xt1 Axt, A, x t, n (2.62) Για το οποίο, επιπλέον, υποθέτουμε ότι η μήτρα A είναι μη ιδιάζουσα, δηλαδή det A 0. ΠΟΡΙΣΜΑ 2.3 Το πολύεδρο PF, w είναι εδιαστολικό ως προς το σύστημα (2.62) αν και μόνο αν Όπου εvx vax, x, ε 1 (2.63) vx max Το ακόλουθο θεώρημα είναι χρήσιμο για την παρουσίαση των ζητούμενων συνθηκών αργότερα.

38 26 Κεφάλαιο 2 ΘΕΩΡΗΜΑ 2.9 Αν το πολύεδρο PF, w είναι εδιαστολικό, τότε υπάρχει μια πραγματική, τετραγωνική μήτρα H, τέτοια ώστε ΑΠΟΔΕΙΞΗ Εφόσον rankf ranka n, τότε Συνεπώς ισχύει η συνεπαγωγή FHFA (2.64) FAx0 x0 (2.65) FAx 0 Fx 0 (2.66) Με την ίδια λογική η οποία ακολουθήθηκε κατά την απόδειξη του θεωρήματος (2.5), καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι θα υπάρχει μία μήτρα H, τέτοια ώστε να ισχύει η σχέση (2.64). Φτάνουμε τώρα στο σημείο στο οποίο παρουσιάζονται συνθήκες ικανές και αναγκαίες για το να είναι ένα δεδομένο πολυεδρικό χωρίο, διαστολικό ως προς το σύστημα (2.62). ΘΕΩΡΗΜΑ 2.10 Το πολυεδρικό χωρίο PF, w είναι εδιαστολικό ως προς το σύστημα (2.62), αν και μόνο αν υπάρχει μία μήτρα H, τέτοια ώστε FHFA (2.67) εhw w (2.68) H0 (2.69) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Ικανό Λόγω της συνθήκη (2.67), ισχύει διαδοχικά

39 Η έννοια της θετικής αμεταβλητότητας 27 vxt max vxt max vxt max vxt max (2.70) Λόγω της (2.69), έχουμε Αλλά από την (2.68), η (2.71) γίνεται vxt max vxt max vxt 1 (2.71) vxt max vxt 1 εvxt vxt1 (2.72) Πράγμα που σύμφωνα με το πόρισμα (2.3), σημαίνει ότι το PF, w είναι εδιαστολικό ως προς το σύστημα (2.62). Αναγκαίο Αν το PF, w είναι εδιαστολικό, η σχέση (2.67) ισχύει, όπως αποδείχτηκε στο θεώρημα (2.9). Έτσι, max max max max Αν θέσουμε yt FAxt και θεωρήσουμε το σύστημα max max (2.73) yt1 Hyt (2.74)

40 28 Κεφάλαιο 2 Τότε max max (2.75) η οποία σχέση δηλώνει πως το σύστημα (2.74), έχει το πολύεδρο PI, w ως ε συστολικό, όπου ε ε. Αυτό σημαίνει ότι ισχύουν οι σχέσεις (2.68) και (2.69). Σε αυτό το σημείο ολοκληρώνεται η απόδειξη. ΟΡΙΣΜΟΣ 2.6 Συστολικότητα (Contractiveness) Ένα πολύεδρο PF, w λέγεται ότι είναι εσυστολικό (εcontractive) όταν xt PF, w xt1 PF, εw, ε 1 (2.76) Όπως είναι φανερό, η εσυστολικότητα είναι απλώς μια ειδικότερη έννοια της θετικής αμεταβλητότητας. Οι συνθήκες για να είναι ένα πολυεδρικό χωρίο εσυστολικό είναι ίδιες με αυτές ώστε αυτό να είναι θετικά αμετάβλητο, με την μόνη διαφορά να είναι η προσθήκη ενός συντελεστή ε, με τρόπο που εννοήθηκε στην τελευταία απόδειξη. Οι συνθήκες διαστολικότητας ενός πολυέδρου με παράλληλες έδρες RF, w, το οποίο περιγράφεται από την σχέση (2.37), προκύπτουν εύκολα από το θεώρημα (2.10), αν θεωρήσουμε το πολύεδρο PF,w, όπου Έτσι, το θεώρημα (2.10) ειδικεύεται ως εξής ΘΕΩΡΗΜΑ 2.11 F F F και w w (2.77) w Το πολυεδρικό χωρίο RF, w είναι εδιαστολικό ως προς το σύστημα (2.62), αν και μόνο αν υπάρχει μία μήτρα H, τέτοια ώστε FHFA (2.78) ε H w w (2.79)

41 Η έννοια της θετικής αμεταβλητότητας 29 Η έννοια της διαστολικότητας είναι άρρηκτα συνδεδεμένη με αυτή της θετικής αμεταβλητότητας. Πράγματι, είναι προφανές ότι οι συνθήκες που παρουσιάστηκαν στο θεώρημα (2.10) εγγυούνται ότι το ανοικτό σύνολο /PF, w είναι θετικά αμετάβλητο. Θεωρούμε τώρα την πιο ειδική περίπτωση των κλειστών πολυέδρων, η οποία παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον και βάσει της οποίας θα γίνει η μελέτη των φασματικών χαρακτηριστικών του συστήματος στο οποίο αντιστοιχούν τα εν λόγω πολύεδρα. Σε αυτό το σημείο αξίζει να σημειωθεί ότι η υπόθεση det A 0, η οποία έγινε και παραπάνω είναι απαραίτητη ώστε το σύστημα (2.62) να έχει κλειστά διαστολικά πολύεδρα. Αυτό γιατί αν ίσχυε το αντίθετο, τότε θα υπήρχε ένα μη μηδενικό διάνυσμα ξ, για το όποιο Aξ 0 HFAξ 0 Fξ 0 (2.80) Πράγμα που είναι αδύνατον, καθώς από την υπόθεση rankf n. Είμαστε σε θέση να διατυπώσουμε το ακόλουθο θεώρημα ΘΕΩΡΗΜΑ 2.12 Το κλειστό πολυεδρικό χωρίο PF, w είναι εδιαστολικό ως προς το σύστημα (2.62), αν και μόνο αν είναι ε συστολικό ως προς το σύστημα Σ: xt1 A xt (2.81) Στρέφουμε τώρα την προσοχή μας στην φασματική ανάλυση των συστημάτων και την διατύπωση ικανών συνθηκών για την ύπαρξη διαστολικών πολυέδρων. ΘΕΩΡΗΜΑ 2.13 Αν για τις ιδιοτιμές λ του συστήματος (2.62) ισχύει Reλ Imλ (2.82) τότε υπάρχουν μία, τουλάχιστον, μήτρα πλήρους τάξης F και ένα διάνυσμα θετικών στοιχείων w, τέτοια ώστε το πολύεδρο παράλληλων εδρών RF, w να είναι διαστολικό ως προς το σύστημα (2.62).

42 30 Κεφάλαιο 2 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Σύμφωνα με το θεώρημα (2.12),ένα πολύεδρο θα είναι διαστολικό ως προς το (2.62), αν και μόνο αν είναι θετικά αμετάβλητο ως προς το (2.81). Αλλά είναι αληθές πως λλ, όπου λ είναι οι ιδιοτιμές της A και λ είναι οι ιδιοτιμές της A. Ισχύει a Όπου a Reλ,bImλ,cReλ, d Imλ Έτσι από την σχέση (2.82), λαμβάνουμε διαδοχικά c d 1 και b (2.83) Reλ Imλ 1 (2.84) Βάσει του θεωρήματος (2.8), η παραπάνω σχέση συνεπάγεται την ύπαρξη ενός, τουλάχιστον, θετικά αμετάβλητου πολυέδρου με παράλληλες έδρες RF, w ως προς το σύστημα (2.81). Αυτό το συμπέρασμα ολοκληρώνει την απόδειξη. Σχήμα 2.4: Ο γεωμετρικός τόπος. Με διακεκομμένη γραμμή φαίνεται ο «μοναδιαίος ρόμβος» 1

43 Η έννοια της θετικής αμεταβλητότητας 31 Το θεώρημα (2.13) ήταν αυστηρό ως προς τον αριθμό πλευρών (2n) που θα μπορούσε να έχει ένα πολύεδρο, αν η ανίσωση (2.82) είναι αληθής. Ωστόσο, ένα σύστημα το οποίο έχει αποκλειστικά ασταθείς ιδιοτιμές θα έχει πάντα ένα, τουλάχιστον, διαστολικό χωρίο. Αν κάθε ιδιοτιμή είναι ασταθής, δηλαδή λ 1, ενώ η σχέση (2.82) δεν επαληθεύεται, τότε τα υποψήφια πολύεδρα θα έχουν πλευρές περισσότερες των 2n. Αυτό ακριβώς δηλώνει το παρακάτω θεώρημα. ΘΕΩΡΗΜΑ 2.14 Αν για τις ιδιοτιμές λ του συστήματος (2.62) ισχύει a kreλ a kimλ Re λ Im λ (2.85) Γιαk 0,2m 1, m 2 και όπου a k (2.86) a k (2.87) τότε υπάρχει μία, τουλάχιστον, μήτρα πλήρους τάξης F και ένα διάνυσμα θετικών στοιχείων w, τέτοια ώστε το πολύεδρο παράλληλων εδρών RF, w να είναι διαστολικό ως προς το σύστημα (2.62), όπου ο αριθμός ζευγών εδρών s δίνεται από την σχέση sn m l (2.88) n : πλήθος πραγματικών ιδιοτιμών της A n : πλήθος διακριτών μιγαδικών ζευγών ιδιοτιμών της A l : πολλαπλότητα i οστου μιγαδικού ζεύγους ιδιοτιμών της A

44 32 Κεφάλαιο 3 Έλεγχος συστημάτων υπό περιορισμούς Στο παρόν κεφάλαιο αντιμετωπίζεται το αντικείμενο της εργασίας, το οποίο είναι ο έλεγχος συστημάτων υπό περιορισμούς και το πώς η έννοια της διαστολικότητας, η οποία είναι άμεσα συγγενική με αυτή της θετικής αμεταβλητότητας, παίζει θεμελιώδη ρόλο. Το πρώτο σκέλος αυτού του κεφαλαίου αφιερώνεται στα συστήματα διακριτού χρόνου, ενώ το δεύτερο, στα συστήματα συνεχούς χρόνου. Α. Συστήματα διακριτού χρόνου 3.1 Προσδιορισμός νόμου ελέγχου ώστε ένα δεδομένο πολύεδρο να καθίσταται διαστολικό Έστω το γραμμικό και χρονικά αμετάβλητο σύστημα διακριτού χρόνου Σ: xt1 Axt Bu (3.1) A 2 0.1, B , x x x, x,x, u, t Το συγκεκριμένο σύστημα υπό απουσία ελέγχου (u 0) είναι ασταθές. Συγκεκριμένα, έχει μία ευσταθή και μία ασταθή ιδιοτιμή Σημειώνεται ότι και οι δύο ιδιοτιμές είναι ελέγξιμες. λ και λ (3.2) Έστω τώρα το συμμετρικό οκτάγωνο που περιγράφεται από τις ανισώσεις 1 x 1 (3.3.1) 1 x 1 (3.3.2) x x x x (3.3.3) (3.3.4)

45 Έλεγχος συστημάτων υπό περιορισμούς 33 Εναλλακτικά με την χρήση μητρών RF, w x : w Fx w, F, w 1 1 (3.4) Αναζητούμε τώρα ένα νόμο ελέγχου ο οποίος θα καθιστά το οκτάγωνο αυτό διαστολικό ως προς το σύστημα (3.1). Σχήμα 3.1: Το οκτάγωνο που περιγράφεται από τις σχέσεις (3.3) Είδαμε στο κεφάλαιο 2 πως ικανές και αναγκαίες συνθήκες για να είναι το πολύεδρο (3.4) διαστολικό ως προς ένα σύστημα δύο διαστάσεων της μορφής xt1 A xt (3.5) είναι να υπάρχει μια τετραγωνική μήτρα H και ένας πραγματικός αριθμός ε, έτσι ώστε FHFA (3.6) ε Η w w (3.7) ε1 (3.8)

46 34 Κεφάλαιο 3 Καταλήγουμε, λοιπόν, να αναζητούμε έναν νόμο ελέγχου, τύπου ανατροφοδότησης κατάστασης, ο οποίος θα μετατρέψει το σύστημα (3.1) σε ένα της μορφής (3.5) και χάρη σε κατάλληλη εκλογή των παραμέτρων του θα ικανοποιούνται οι συνθήκες (3.6), (3.7), (3.8). Έτσι uu Kxx, K k k, k,k (3.9) Για να πραγματοποιηθεί η μετάβαση σε σύστημα της μορφής (3.5), ύστερα από αντικατάσταση της (3.9) στην (3.1) προκύπτει η συνθήκη I Ax Bu (3.10) Η συνθήκη (3.10) ισοδυναμεί με την συνθήκη απαίτησης το σημείο x να είναι σημείο ισορροπίας. Στην προκειμένη περίπτωση τα σημεία του χώρου κατάστασης που ικανοποιούν την σχέση (3.10) για διάφορες τιμές της παραμέτρου u κείτονται πάνω σε μία ευθεία όπως φαίνεται παρακάτω. Σχήμα 3.2: Γεωμετρικός τόπος των σημείων που ικανοποιούν την σχέση (3.10) Χωρίς βλάβη της γενικότητας επιλέγουμε x 0. Κατά συνέπεια u 0, και έτσι το σύστημα λαμβάνει την μορφή xt1 A xt, A ABK (3.11) Αναλύοντας την συνθήκη (3.6), διακρίνουμε γενικά τις εξής δύο περιπτώσεις

47 Έλεγχος συστημάτων υπό περιορισμούς 35 1 η περίπτωση: Η μήτρα είναι τετραγωνική. Με δεδομένο ότι οπωσδήποτε rankf ranka n, όπου n είναι η τάξη του συστήματος, η μήτρα H προσδιορίζεται μονοσήμαντα και είναι ΗFA F (3.12) Σημειώνεται ότι τόσο η ύπαρξη της μήτρας A, όσο και το γεγονός ότι η μήτρα F είναι πλήρους τάξης, αποτελούν αναγκαίες συνθήκες για την ύπαρξη κλειστών διαστολικών χωρίων. 2 η περίπτωση: Η μήτρα έχει περισσότερες γραμμές από στήλες. Σε αυτή την περίπτωση η μήτρα Η δεν ορίζεται μονοσήμαντα. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν ss n πλήθους ελεύθερα στοιχεία, όπου s είναι το πλήθος των γραμμών της μήτρας F. Αυτό φαίνεται παρακάτω. Αν θέσουμε F F F και Η H H, τότε από την (3.6) λαμβάνουμε H FA H F F (3.13) Αναφέρεται πως ορίζουμε την μήτρα F με τέτοιο τρόπο ώστε η n πρώτες γραμμές της να είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Αυτό είναι δυνατόν να συμβεί πάντα, όσο η F είναι πλήρους τάξης, όπως άλλωστε έχει ήδη υποτεθεί. Το τμήμα H της μήτρας H είναι εκείνο που παρουσίαζει εξάρτηση από τα υπόλοιπα στοιχεία της εξίσωσης (3.6), ενώ το τμήμα H περιέχει εξ ολοκλήρου αυθαίρετες σταθερές και είναι ο λόγος της έλλειψης της μοναδικότητας της μήτρας H. Τίθεται λοιπόν το ερώτημα, ποια είναι η βέλτιστη εκλογή των αυθαίρετων σταθερών της μήτρας H γνωρίζοντας ότι θα πρέπει να ικανοποιείται ταυτόχρονα και η ανισότητα (3.7). Εδώ θα θεωρήσουμε ότι κάθε μία από αυτές τις σταθερές είναι ίση με το μηδέν. Έχοντας εξάγει την μήτρα H, η οποία βρίσκεται συναρτίσει των παραμέτρων ελέγχου k,k, αυτό που απομένει είναι να βρούμε κατάλληλες τιμές αυτών των μεταβλητών ελέγχου ώστε να ικανοποιούνται οι σχέσεις (3.7) και (3.8). Εδώ μπορούμε να κάνουμε μια μετατροπή στο πρόβλημα για διευκόλυνση της αναζήτησης κατάλληλων μεταβλητών ελέγχου. Αυτή η μετατροπή είναι η αντικατάσταση του ζεύγους συνθηκών (3.7) και (3.8) από την νέα συνθήκη H w w (3.14) Αποδεικνύεται εύκολα ότι η συνθήκη (3.14) είναι ισοδύναμη με τον συνδυασμό (3.7) και (3.8). Το κέρδος, όπως αναφέρθηκε και παραπάνω, είναι η διευκόλυνση του προβλήματος ενώ το κόστος

48 36 Κεφάλαιο 3 είναι ότι χάνεται η δυνατότητα ρύθμισης του ρυθμού διαστολής ε, κάτι που μπορούμε να δεχτούμε από την στιγμή που η επίτευξη συγκεκριμένου ρυθμού διαστολής είναι δευτερεύουσας σημασίας. Συνοψίζοντας, το πρόβλημα που αντιμετωπίζουμε έγκειται στην εύρεση κατάλληλων τιμών των παραμέτρων του ελεγκτή k,k ώστε να ικανοποιείται η σχέση (3.14) όταν η μήτρα H θα έχει προσδιοριστεί όπως υποδείχτηκε παραπάνω. Δηλαδή 10 k k k 3k 8 33k 125k k k k 6k 7 33k 125k k k k 125k k k k 125k k 125k (3.15.1) (3.15.2) (3.15.3) (3.15.4) (3.15.5) Η λύση των παραπάνω ανισώσεων δεν θα προκύψει αναλυτικά ως προς k,k. Για τον λόγο αυτό καταφεύγουμε σε αριθμητική λύση με την βοήθεια του MATLAB. Συγκεκριμένα, δημιουργούμε ένα πρόγραμμα το οποίο θα σαρώνει ένα διακριτό, δισδιάστατο διάστημα τιμών για τα k,k, ακολούθως θα υπολογίζει την μήτρα H και εν τέλει θα ελέγχει την ισχύ της συνθήκης (3.14). Το διάστημα που σαρώνει το συγκεκριμένο πρόγραμμα είναι το 10,10 10,10 με βήμα 0.1. Προκύπτει ότι εντός αυτού του διαστήματος και με αυτό το βήμα υπάρχουν (από σύνολο 40401) συνδυασμοί των k,k που καθιστούν το οκτάγωνο RF, w διαστολικό. Επιλέγουμε τις τιμές και έχουμε με ιδιοτιμές k 1.4 και k 0.7 (3.16) A (3.17) λ, i (3.18) Αξίζει εδώ να παρατηρηθεί ότι ακόμα και αν το σύστημα (3.1) υπό απουσία ελέγχου (k k 0) είναι ασταθές, δεν έχει το RF, w ως διαστολικό χωρίο.

49 Έλεγχος συστημάτων υπό περιορισμούς 37 Σχήμα 3.3: Ιδιοτιμές του κλειστού συστήματος για διάφορες τιμές, 10,10 Σχήμα 3.4: Ιδιοτιμές του κλειστού συστήματος για τις διάφορες τιμές, 10,10 που αποτελούν λύση του προβλήματος Για διάφορες αρχικές καταστάσεις στην περιφέρεια ενός κύκλου με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ίση με r λαμβάνουμε τις τροχιές του συστήματος (3.11) όπως φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.

50 38 Κεφάλαιο 3 Σχήμα 3.5: Τροχιές του συστήματος (3.11) για διάφορες αρχικές καταστάσεις ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Τα σημεία που μας ενδιαφέρουν είναι αυτά που σημειώνονται με, ενώ τα ευθύγραμμα τμήματα που τα ενώνουν υπάρχουν μόνο για δική μας διευκόλυνση. Ακόμα, διαφορετικά χρώματα συμβολίζουν διαφορετικές τροχιές. Έτσι, έχουμε βρει επιτυχώς ένα νόμο ελέγχου τύπου ανατροφοδότησης κατάστασης (3.9) ο οποίος καθιστά ένα δεδομένο πολύπλευρο (3.4) διαστολικό ως προς το κλειστό σύστημα (3.11). 3.2 Προσδιορισμός νόμων ελέγχων για την αποφυγή δεδομένων πολυέδρων στον χώρο κατάστασης Η περίπτωση των δύο πολυέδρων Έχοντας τα συμπεράσματα που εξήχθησαν στην προηγούμενη ανάλυση, στόχος μας τώρα είναι εύρεση ενός νόμου ελέγχου για το σύστημα (3.1) ώστε οι τροχιές του να μην επικαλύπτονται με δύο όμοια μεταξύ τους πολύεδρα. Θεωρούμε ότι τα πολύεδρα προς αποφυγή είναι της οικογένειας του RF, w όπως αυτό έχει οριστεί από την σχέση (3.4). Εξ αρχής είναι λογικό να υποτεθεί ότι ένας τέτοιος έλεγχος θα αποτελείται από ένα συνδυασμό δύο υπό ελέγχων, ο καθένας από τους οποίους θα καθιστά ένα από τα δύο πολύεδρα διαστολικά. Το αμέσως επόμενο θέμα που θίγεται είναι σχετικό με την δομή αυτού του συνδυασμού. Ένας γραμμικός συνδυασμός με σταθερούς συντελεστές θα μπορούσε ενδεχομένως να αποτελέσει λύση, ωστόσο, θα ήταν ιδιαίτερα απλοϊκός. Έτσι, καταλήγουμε να εξετάζουμε την περίπτωση του γραμμικού συνδυασμού με μεταβλητούς συντελεστές, δηλαδή uc u c u, c c x, c c x (3.19)

51 Έλεγχος συστημάτων υπό περιορισμούς 39 Και u,u είναι οι υπό έλεγχοι που αναφέρθηκαν παραπάνω. Η ακριβής επιλογή των c,c είναι το επόμενο βήμα. Η επιλογή αυτή θα γίνει με γνώμονα το ότι θα ήταν επιθυμητό όταν μία τροχιά βρίσκεται αρκετά κοντά σε ένα από τα δύο χωρία, ο συντελεστής του υπό ελέγχου που καθιστά το χωρίο αυτό διαστολικό να πλησιάζει την μονάδα, ενώ ταυτόχρονα ο άλλος συντελεστής να πλησιάζει το μηδέν. Οδηγούμαστε έτσι στην εξής επιλογή c e x : v x 1 0 x : v x 1 c e x : v x 1 0 x : v x 1 (3.20) (3.21) Όπου v,v : είναι συναρτήσεις απόστασης σημείου από χωρίο, με την επιπρόσθετη ιδιότητα ότι πάνω στο σύνορο του χωρίου που αντιστοιχεί κάθε συνάρτηση, αυτή λαμβάνει τιμή ίση με την μονάδα. H επιλογή αυτή των σταθερών πληροί τα κριτήρια που τέθηκαν. Παρατηρείται, επίσης, ότι οι τιμές των c,c βρίσκονται στο διάστημα 0,1 για κάθε τιμή του διανύσματος x. Αναφέρθηκε παραπάνω ότι κάθε υπό έλεγχος u,u πρέπει να καθιστά ένα από τα δύο χωρία διαστολικό. Έτσι και βάσει της προηγούμενης ανάλυσης, επιλέγουμε οι ελεγκτές να είναι τύπου ανατροφοδότησης κατάστασης. Αμέσως προκύπτει ένας περιορισμός ως προς την θέση των χωρίων προς αποφυγή στον χώρο κατάστασης. Πράγματι, αυτός ο έλεγχος θα έχει νόημα μόνο όταν τα κέντρα των χωρίων αυτών βρίσκονται εντός του γεωμετρικού τόπου που περιγράφεται από την εξίσωση (3.10) και δείχνεται στο σχήμα 3.2. Η σταθερές και για τους δύο υπό ελεγκτές παραμένουν προφανώς αναλλοίωτες k 1.4 και k 0.7 (3.22) Επανερχόμενοι τώρα στο θέμα του ορισμού των σταθερών c,c ορίζουμε v x vx x, v x vx x, vx max (3.23) Όπου x,x είναι τα δύο κέντρα των πολύεδρων. Για την παρούσα ανάλυση θεωρούμε x x. (3.24).

52 40 Κεφάλαιο 3 Σχήμα 3.6: Τροχιές του συστήματος (3.11) υπό τον έλεγχο (3.19) για διάφορες αρχικές καταστάσεις εντός του διαστήματος 2,2 2, Η περίπτωση των δύο πολυέδρων Εναλλακτική προσέγγιση Έστω ο νόμος ελέγχου uc u c u φv Ax Bc u Bc u c u c u u (3.25) Όπου 1, x 1 φx 0, x 1 (3.26) u x. (3.27). u x. (3.28). v,v και c,c οι συναρτήσεις απόστασης και οι σταθερές αντίστοιχα, όπως ορίστηκαν παραπάνω. Αυτός ο νόμος ελέγχου είναι μια εξέλιξη του (3.19) που προκύπτει από την εισαγωγή δύο όρων. φv Ax Bc u Bc u c u c u u, i 1,2 (3.29)

53 Έλεγχος συστημάτων υπό περιορισμούς 41 Οι δύο νέοι όροι κάνουν πρόβλεψη της τροχιάς όπως αυτή θα ήταν υπό τον νόμο ελέγχου (3.19) και στην περίπτωση που η τροχιά αυτή θα οδηγούταν εντός ενός πολυέδρου, ενεργοποιείται ένας (και μόνο ένας) από τους δύο όρους, επικαλύπτοντας το τμήμα του ελέγχου (3.19) και επιβάλλοντας αποκλειστικά έναν εκ των u,u, καθιστώντας το χωρίο στο οποίο υπό άλλες συνθήκες η τροχιά θα προσέκρουε ή θα εισερχόταν, διαστολικό. Για τις καταστάσεις που δεν οδηγούν την τροχιά την αμέσως επόμενη χρονική στιγμή σε κάποια ανεπιθύμητη θέση, ο έλεγχος (3.25) εκφυλίζεται στον έλεγχο (3.19) Η περίπτωση των τριών πολυέδρων Είδαμε πως για ένα γραμμικό και χρονικά αμετάβλητο σύστημα της μορφής Σ: xt1 Axt Bu, A, B, x, u, t (3.30) μπορεί να βρεθεί ένας νόμος ελέγχου τέτοιος ώστε οι τροχιές του συστήματος αυτού, σε μεγάλο βαθμό, να μην περνάνε από δύο συγκεκριμένες, κλειστές περιοχές, ορισμένες από πολύεδρα τα κέντρα των οποίων κείτονται επάνω σε μία ευθεία η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Εγείρεται λοιπόν το ερώτημα για το αν είναι εφικτό να παρουσιαστεί ένας παρόμοιος νόμος ελέγχου ανατροφοδότησης κατάστασης για την αποφυγή περισσότερων των δύο πολυέδρων, έστω τριών, τα κέντρα των οποίων όμως δεν βρίσκονται επάνω στην ίδια ευθεία, αλλά έχουν μια διάταξη στον χώρο κατάστασης όπως αυτή φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα. Σχήμα 3.7: Διάταξη τριών οκταγώνων στον χώρο κατάστασης Στο σχήμα 3.7 παρουσιάζονται 3 όμοια οκτάγωνα με κέντρα 2 2,0,2,2,2,2. Από την στιγμή που σκοπός μας είναι η χρήση ελέγχου ανατροφοδότησης κατάστασης, τα σημεία αυτά

54 42 Κεφάλαιο 3 είναι κρίσιμης σημασίας να τεθούν ως σημεία ισορροπίας του υπό μελέτη συστήματος. Κάτι τέτοιο, ωστόσο, δεν μπορεί να επιτευχθεί από ένα σύστημα της οικογένειας (3.30) από την στιγμή που τα σημεία αυτά δεν είναι συνευθειακά. Έτσι, η ανάλυση που θα ακολουθήσει θα γίνει με βάση το εξής σύστημα Σ: xt1 Axt Bu (3.31) A , B , x x x, u u u, x,x,u,u, t Η βασική διαφορά του συστήματος (3.31) με οποιοδήποτε της κατηγορίας (3.30) είναι η ύπαρξη τόσων μεταβλητών ελέγχου όσων και μεταβλητών κατάστασης. Αυτό, συνδυασμένο με το γεγονός ότι η μήτρα B είναι μη ιδιάζουσα, καθιστά δυνατό να τεθεί κάθε σημείο του χώρου κατάστασης, σημείο ισορροπίας του συστήματος (3.31) υπό κατάλληλο έλεγχο τύπου ανατροφοδότησης κατάστασης. Έστω οι νόμοι ελέγχου καθένας εκ των οποίων καθιστά ένα οκτάγωνο διαστολικό όταν αυτός δρα κατά αποκλειστικότητα u u Kxx, u B IAx, K, i 1,2,3 (3.32) Όπου x είναι τα κέντρα των οκταγώνων. Ο προσδιορισμός της μήτρας K γίνεται κατά τα γνωστά. Προκύπτει έτσι K (3.33) Ο νόμος ελέγχου u, εν τέλει, θα είναι ένας συνδυασμός των u ως εξής uc u c u c u (3.34) c e v x 1, v x 1 0 v x 1 ή v x 1 c e v x 1, v x 1 0 v x 1 ή v x 1 c e v x 1, v x 1 0 v x 1 ή v x 1 (3.35) (3.36) (3.37) Όπου

55 Έλεγχος συστημάτων υπό περιορισμούς 43 v x vxx, v x vxx, v x vxx, vx max (3.38) F , w 1 1 (3.39) Το σκεπτικό πίσω από την εκλογή των σταθερών c είναι όμοιο με εκείνο που παρουσιάστηκε στην περίπτωση των δύο πολυέδρων. Η προσαρμογή στην συγκεκριμένη περίπτωση είναι η εισαγωγή ενός επιπλέον παράγοντα στον παρονομαστή του κάθε εκθετικού. Σημειώνεται πως αντίστοιχη προσαρμογή των σταθερών μπορεί να γίνει και στην γενικευμένη περίπτωση των πλήθους n 3 πολυέδρων. Τότε ο παρονομαστής του εκθετικού της σταθεράς c θα είναι v x 1, v x vxx Οι σταθερές αυτές συνεχίζουν να λαμβάνουν τιμές στο διάστημα 0,1. (3.40) Παρακάτω παρουσιάζονται ορισμένες τροχιές του κλειστού συστήματος, όπως αυτές προέκυψαν από το MATLAB. Σχήμα 3.8: Ελεγχόμενο σύστημα

56 44 Κεφάλαιο 3 Στο σχήμα 2 φαίνονται τροχιές του συστήματος (3.31) υπό τον έλεγχο (3.32) για αρχικές συνθήκες που ελήφθησαν ανά μισό ακτίνιο, επάνω στον κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ίση με. Σχήμα 3.9: Μη ελεγχόμενο σύστημα Εδώ φαίνονται οι τροχιές του συστήματος (3.31) από ακριβώς τα ίδια σημεία αναχώρησης όταν όμως το σύστημα δρα υπό την απουσία οποιουδήποτε ελέγχου, δηλαδή u 0. Παρατηρείται ότι όσες τροχιές ξεκινούν από το δεξιό ημικύκλιο προσκρούουν στο οκτάγωνο με κέντρο 2 2,0. Συγκρίνοντας τα σχήματα 3.8 και 3.9 είναι φανερό πως ο έλεγχος (3.32) δρα αρκετά ικανοποιητικά. Ωστόσο η επιτυχία του δεν είναι απόλυτη. Πράγματι, για ορισμένες προβληματικές αρχικές συνθήκες ακόμα και οι τροχιές του κλειστού συστήματος περνάνε από τις απαγορευμένες περιοχές που ορίζουν τα οκτάγωνα. Αυτό οφείλεται γενικά στην ασυνεχή φύση των τροχιών του συστήματος και πιο ειδικά στο μέγεθος των αλμάτων που πραγματοποιούν ορισμένες τροχιές. Στο ακόλουθο σχήμα, με κόκκινο χρώμα αναπαρίστανται οι αρχικές καταστάσεις στο υποχωρίο του, 4,4 4,4, από τις οποίες αναχωρούν τροχιές του ελεγχόμενου συστήματος (3.31), που εντός, το πολύ, 10 βημάτων θα έχουν συγκρουστεί με ένα από τα οκτάγωνα. Αντίθετα, με μπλε χρώμα αναπαρίστανται οι αρχικές καταστάσεις για τις οποίες, τουλάχιστον στον ίδιο αριθμό βημάτων, δηλαδή 10, οι τροχιές τους δεν συγκρούονται με κανένα από τα τρία οκτάγωνα.

57 Έλεγχος συστημάτων υπό περιορισμούς 45 Σχήμα 3.10: Ελεγχόμενο σύστημα Όπως είναι φανερό οι προβληματικές περιοχές περιορίζονται μόνο στα αριστερά των οκταγώνων. Παρακάτω φαίνεται ο αντίστοιχος χάρτης για το σύστημα (3.31) όταν αυτό δρα άνευ ελέγχου. Σχήμα 3.11: Μη ελεγχόμενο σύστημα Σε αυτήν την περίπτωση οι προβληματικές περιοχές είναι εμφανώς πολύ μεγαλύτερες.

58 46 Κεφάλαιο Η περίπτωση των τεσσάρων πολυέδρων Εδώ εξετάζεται η περίπτωση κατά την οποία υπάρχουν τέσσερα πολύεδρα προς αποφυγή, σύμφωνα με την εξής διάταξη στον χώρο κατάστασης Σχήμα 3.12: Διάταξη τεσσάρων οκταγώνων στον χώρο κατάστασης Τα κέντρα των τριών από τα τέσσερα οκτάγωνα παραμένουν ίδια, δηλαδή 2 2,0,2,2, 2, 2, ενώ το νέο οκτάγωνο έχει ως κέντρο το σημείο 0,0. Όπως έχει ήδη αναφερθεί η προσαρμογή των σταθερών του νόμου ελέγχου (3.32) για κάθε ένα νέο πολύεδρο έγκειται στην εισαγωγή ενός πολλαπλασιαστικού όρου στους παρονομαστές του κάθε εκθετικού όρου. Έτσι c e v x 1, v x 1, v x 1 0 v x 1 ή v x 1 ή v x 1 c e v x 1, v x 1, v x 1 0 v x 1 ή v x 1 ή v x 1 (3.41) (3.42)

59 Έλεγχος συστημάτων υπό περιορισμούς 47 c e v x 1, v x 1, v x 1 0 v x 1 ή v x 1 ή v x 1 c e v x 1, v x 1, v x 1 0 v x 1 ή v x 1 ή v x 1 (3.43) (3.44) Ενώ ο νόμος ελέγχου θα είναι uc u c u c u c u (3.45) Σχήμα 3.13: Ελεγχόμενο σύστημα Στο παραπάνω σχήμα φαίνονται τροχιές του συστήματος (3.31) υπό τον έλεγχο (3.45) για αρχικές συνθήκες επιλεγμένες ανά ακτίνια επί του κύκλου με κέντρο το 0,0 και ακτίνα ρ. Για τις ίδιες ακριβώς συνθήκες το σύστημα (3.31) σε απουσία ελέγχου, δηλαδή u 0, θα έδινε τις ακόλουθες τροχιές.

60 48 Κεφάλαιο 3 Σχήμα 3.14: Μη ελεγχόμενο σύστημα Οι αντίστοιχοι χάρτες προβληματικών αρχικών καταστάσεων για την περίπτωση των τεσσάρων οκταγώνων όταν το σύστημα ελέγχεται από το νόμο (3.45) και βρίσκεται υπό απουσία ελέγχου έχουν αντίστοιχα ως εξής Σχήμα 3.15: Ελεγχόμενο σύστημα

61 Έλεγχος συστημάτων υπό περιορισμούς 49 Σχήμα 3.16: Μη ελεγχόμενο σύστημα 3.3 Προσδιορισμός νόμου ελέγχου για την οδήγηση τροχιών μεταξύ δεδομένων πολυέδρων στον χώρο κατάστασης Έστω τα συστήματα Σ: xt1 Axt Bu (3.46) A , B , x x x, u u u, x,x,u,u, t Σ: xt1 A xt, A, x, t (3.47) Η μορφή που έχουν οι τροχιές ενός συστήματος όπως το (3.47) είναι συνάρτηση, υπό την γενική έννοια, των ιδιοδιανυσμάτων της μήτρας A. Ένας τρόπος αντιμετώπισης του προβλήματος που παρουσιάζεται εδώ, είναι η επιλογή κατάλληλου νόμου ελέγχου ανατροφοδότησης κατάστασης ο οποίος θα μετατρέπει το υπό μελέτη σύστημα (3.46) στο (3.47), με σκοπό η μήτρα A να έχει ως ιδιοδιανύσματα εκείνα που «οδηγούν» τις τροχιές κατά τον επιθυμητό τρόπο. Έτσι Θέτοντας τώρα uu Kxx, K, u B I Ax (3.48) V : Η μήτρα με στήλες τα ιδιοδιανύσματα της A ABK