Διπλωματική Εργασία του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ: ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ: ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ 1 Διπλωματική Εργασία του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών ΣΤΩΙΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ του ΔΗΜΟΣΘΕΝΗ Αριθμός Μητρώου: Θέμα «Γραμμικό πρόβλημα ρύθμισης υπό περιορισμούς για αποκεντρωμένο έλεγχο πολύπλοκων συστημάτων» Επιβλέπων Καθηγητής Μπιτσώρης Γεώργιος Αριθμός Διπλωματικής Εργασίας:

2 2 Πάτρα, Μάρτιος 2017 ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Πιστοποιείται ότι η Διπλωματική Εργασία με θέμα «Γραμμικό Aποκεντρωμένο Πρόβλημα Ρύθμισης υπό Περιορισμούς για έλεγχο πολύπλοκων συστημάτων» Του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών ΣΤΩΪΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ του ΔΗΜΟΣΘΕΝΗ Αριθμός Μητρώου: Παρουσιάστηκε δημόσια και εξετάστηκε στο Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών στις 08/03/2017

3 3 Ο Επιβλέπων Καθηγητής Μπιτσώρης Γεώργιος Ο Διευθυντής του Τομέα Καθηγητής Κούσουλας Νικόλαος Ο Συνεπιβλέπων Επίκουρος Καθηγητής Καζάκος Δημοσθένης Αριθμός Διπλωματικής Εργασίας: Θέμα: «Γραμμικό Αποκεντρωμένο Πρόβλημα Ρύθμισης υπό Περιορισμούς για έλεγχο πολύπλοκων συστημάτων» Φοιτητής: ΣΤΩΪΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ Επιβλέπων: Καθηγητής ΜΠΙΤΣΩΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Περίληψη Η παρούσα εργασία επικεντρώνεται στη σταθεροποίηση, πολύπλοκων διασυνδεδεμένων συστημάτων, υπό δομικούς και ποσοτικούς περιορισμούς, με χρήση θετικώς αμετάβλητων συνόλων πολυεδρικής μορφής και παρουσιάζει βέλτιστη λύση μέσω γραμμικού προγραμματισμού.

4 4 Πίνακας περιεχομένων Εισαγωγή... 5 Διασυνδεδεμένα συστήματα μεγάλης κλίμακας... 6 Χρήσιμοι ορισμοί... 8 Η έννοια της ευστάθειας Θετική Αμεταβλητότητα Πολυεδρικά σύνολα Πρόβλημα ύπαρξης Συμμετρικά Πολυεδρικά σύνολα Μη-συμμετρικά πολυεδρικά σύνολα Φασματικές ιδιότητες πολυεδρικών συνόλων Πρόβλημα ελέγχου υπό περιορισμούς Συνθήκες ύπαρξης Γραμμικός προγραμματισμός Γραμμικό Αποκεντρωμένο Πρόβλημα Ρύθμισης υπό Περιορισμούς Συνθήκες ύπαρξης Γραμμικός προγραμματισμός Εφαρμογή Μatlab Μελέτη πρώτου υποσυστήματος Μελέτη δεύτερου υποσυστήματος Μελέτη πλήρους διασυνδεδεμένου συστήματος Βιβλιογραφία... 69

5 5 Εισαγωγή Κυβερνητική Η Κυβερνητική, σαν μεθοδολογία, αντιμετωπίζει οποιοδήποτε πρόβλημα σχετικό με τον κόσμο με ένα εντελώς νέο τρόπο, επιτυγχάνοντας μία γενικότητα εφαρμογών, που περιλαμβάνει όλους τους κλάδους των φυσικών επιστημών, επεκτείνεται στην βιολογία και ανθρωπολογία και φθάνει μέχρι την ψυχολογία, και την μελέτη κοινωνικών οργανώσεων. Αυτό που επιτυγχάνεται με την Κυβερνητική είναι η υπαγωγή της μελέτης όλων των ανωτέρω φαινομένων σε μαθηματική ανάλυση ορισμένου τύπου. Πρόλογος Κυβερνητική και κοινωνία σελ ΧΙ Η κοινωνία μπορεί να κατανοηθεί μόνο με τη μελέτη των μηνυμάτων και των ευκολιών επικοινωνίας που διαθέτει μεταξύ ανθρώπου και μηχανής, τα μηνύματα θα παίζουν ένα συνεχώς σπουδαιότερο ρόλο Η Θεωρία Ελέγχου είτε στον άνθρωπο, είτε στο ζώο, είτε στη μηχανή είναι ένα κεφάλαιο της θεωρίας των Μηνυμάτων. Κυβερνητική και κοινωνία σελ 2 Οι μελέτες της Κυβερνητικής θεωρίας προσδίδουν τα μέσα προς το σχεδιασμό και τη λειτουργία οποιουδήποτε συστήματος, μεταξύ άλλων κοινωνικά συστήματα, επιχειρηματική διαχείριση κ.α. με το σκοπό να γίνουν αποδοτικότερα. Διάφορα πεδία επιστημών έχουν είτε εμπνευστεί από, είτε ενέπνευσαν την Κυβερνητική θεωρία, όπως η θεωρία παιγνίων, η θεωρία ελέγχου, η αντιληπτική θεωρία ελέγχου (perceptual control theory), η κοινωνιολογία, η ψυχολογία (νευροψυχολογία, συμπεριφοριστική ψυχολογία, γνωστική ψυχολογία), η φιλοσοφία και η αρχιτεκτονική. Στον τομέα της κοινωνιολογίας, εξετάζονται οι συμπεριφορές ομάδων μέσα από το πρίσμα της Κυβερνητικής και αναλύονται τα αίτια αυθόρμητων γεγονότων, όπως οι εξεγέρσεις. Η Γεωκυβερνητική έχει ως σκοπό τη μελέτη και τον έλεγχο της αλληλεξαρτώμενης εξέλιξης της οικόσφαιρας και της ανθρωπόσφαιρας, βρίσκοντας εφαρμογή μεταξύ άλλων, στην αντιμετώπιση της υπερθέρμανσης του πλανήτη. Στη βιολογία, η Κυβερνητική βρίσκει εφαρμογή στη μελέτη βιολογικών οργανισμών, εστιάζοντας κυρίως στην ικανότητα προσαρμογής των ζώων στο περιβάλλον, καθώς και στην πληροφορία που μεταδίδεται από γενιά σε γενιά με τη μορφή γονιδίων.

6 Διασυνδεδεμένα συστήματα μεγάλης κλίμακας Ένα σύστημα μεγάλης κλίμακας, μπορεί να ορισθεί ως διασύνδεση μεγάλου αριθμού μεμονωμένων υποσυστημάτων. Οι διασυνδέσεις αυτές, οφείλονται κατά κύριο λόγο στην πολυπλοκότητα του διασυνδεδεμένου συστήματος και καθιστούν πολύ δύσκολη τη συνολική εκτίμηση της συμπεριφοράς του. Η ανάλυση και σύνθεση συστημάτων μεγάλης κλίμακας χωρίζεται σε δύο επίπεδα: Σε τοπικό επίπεδο υποσυστημάτων, μέσω κατασκευής συναρτήσεων Lyapunov, ή σχεδίαση δυναμικού ελεγκτή και στο γενικό επίπεδο των διασυνδέσεων, με την ανάλυση των νόμων που τις διέπουν, προς προσδιορισμό τις φυσικής αλληλεπίδρασης και της μετάδοσης της πληροφορίας μεταξύ υποσυστημάτων. [2] Σε συστήματα μεγάλης κλίμακας, όπως συστήματα πλοήγησης, συστήματα πυρασφάλειας, ροής δεδομένων σε δίκτυα κ.α.., τα διάφορα υποσυστήματα συνδέονται με τους σχεδιαζόμενους ελεγκτές και η πληροφορία που ρέει στις διασυνδέσεις, δίνει τη συνολική πληροφορία του συστήματος μεγάλης κλίμακας. Λόγω του ότι τα υποσυστήματα συνήθως σχεδιάζονται με διαφορετικές προδιαγραφές, προβλήματα προκύπτουν κατά τη διασύνδεση με το υπόλοιπο σύστημα, εξ ου και η ανάγκη για αποκεντρωμένο έλεγχο. Γενικά, ένα σύστημα μεγάλης κλίμακας χαρακτηρίζεται από πολλαπλές εισόδους και εξόδους (μετρήσεις) συστήματος. Στόχος της σχεδίασης είναι ο καθορισμός μιας δομής ελέγχου, η οποία θα αναθέτει την επιλεγμένη είσοδο κάθε συστήματος, σε ένα συγκεκριμένο ελεγκτή. Έτσι, η διασύνδεση μεταξύ πληροφορίαςφερόντων υποσυστημάτων και των διαφόρων ελεγκτών, είναι πλέον καθορισμένη και κατ επέκταση, είναι και το πληροφοριακό περιεχόμενο του συστήματος. Η επιθυμητή δομή ελέγχου συστήματος, καθορίζεται με βάση κριτήρια αποδοτικότητας και κόστους. Κατ αυτόν τον τρόπο, η αξιολόγηση μιας δομής ελέγχου, προϋποθέτει τη λύση ενός προβλήματος βέλτιστου ελέγχου. Αποκεντρωμένη δομή ελέγχου συστήματος, συνεπάγεται και μεταβλητή ροή πληροφορίας. Καλύτερη επικοινωνία μεταξύ μεταβλητών κατάστασης πληροφορίας, επιτρέπει καλύτερο έλεγχο της απόδοσης του συστήματος ελέγχου, με τίμημα όμως, το αυξημένο κόστος και τη μειωμένη αξιοπιστία. Ο συμβιβασμός μεταξύ αυτών των παραμέτρων δεν επιλύεται με βελτιστοποίηση, αλλά απαιτεί τη λύση ενός μηκλασσικού στοχαστικού προβλήματος ελέγχου, άλυτο μέχρι σήμερα.[3] Διαισθητικά, υψηλότερος βαθμός συνεργασίας μεταξύ υποσυστημάτων συνεπάγεται και αυξημένη απόδοση του γενικού συστήματος. Υψηλός βαθμός συνεργασίας εντούτοις, συνεπάγεται αυξημένη αλληλεξάρτηση. Η τελευταία ιδιότητα όμως θέτει σε κίνδυνο την όλη λειτουργία του συστήματος, όταν ένας αριθμός υποσυστημάτων παύει να λειτουργεί. Είναι λοιπόν απαραίτητο για συστήματα μεγάλης κλίμακας, οι δομικές μεταβολές, να μην επισύρουν κατάρρευση του συστήματος. Συνεπώς η δομή ελέγχου για μεγάλα συστήματα θα πρέπει να σχεδιάζεται έτσι ώστε να εξασφαλίζει την απαραίτητη αξιοπιστία, σε βάρος μιας επιδείνωσης της βέλτιστης απόδοσης. Δομικές διαταραχές σε βέλτιστα συστήματα ελέγχου, ενδέχεται να προκαλέσουν αστάθεια. Έτσι, αντιμετωπίζοντας τις διασυνδέσεις μεταξύ υποσυστημάτων ως δομικές διαταραχές, ένας δι-επίπεδος έλεγχος μπορεί να πραγματοποιηθεί. Τοπικοί έλεγχοι χρησιμοποιούνται για τη βελτιστοποίηση των αποσυζευγμένων υποσυστημάτων, ενώ καθολικοί έλεγχοι, βρίσκουν εφαρμογή στην ελαχιστοποίηση της επίδρασης των διασυνδέσεων. Ενώ αυτή η μορφή ελέγχου, συγκλίνει σε υπόβέλτιστη απόδοση, παραμένει εγγενώς αξιόπιστη.

7 7 Επιλέγονται τοπικοί ελεγκτές, ώστε να παρέχουν βέλτιστη απόδοση υποσυστημάτων, αγνοώντας τις διασυνδέσεις μεταξύ υποσυστημάτων. Ωστόσο οι διασυνδέσεις, παίζουν έναν επιβλαβή ρόλο στην απόδοση του συστήματος. Με τη εισαγωγή καθολικών ελέγχων, μειώνεται η επίδραση των διασυνδέσεων και άρα η απόδοση του συστήματος, αποκαθιστάται μερικώς, χωρίς να επηρεάζεται η συνολική αξιοπιστία του συστήματος. Οι εν λόγω έλεγχοι, εφαρμόζονται μέσω ελεγκτών, στους οποίους παρέχεται η πληροφορία από τις καταστάσεις των υποσυστημάτων. Είναι δυνατή και η μερική εξουδετέρωση διασυνδέσεων, όταν ορισμένες καταστάσεις δεν είναι διαθέσιμες στον καθολικό ελεγκτή. [4] Όταν η σύγχρονη θεωρία ελέγχου εφαρμόζεται σ ένα δυναμικό σύστημα, χρησιμοποιείται συνήθως μία κεντρική προσέγγιση. Ένας ελεγκτής παρατηρεί την κατάσταση του περιβάλλοντος και λαμβάνει τις καλύτερες δυνατές αποφάσεις. Όμως αυτή η προσέγγιση εμφανίζει διάφορες αδυναμίες, όταν εφαρμοστεί σε φυσικά συστήματα μεγάλης κλίμακας ή σε κάθε είδους κοινωνικά συστήματα. Στις περισσότερες περιπτώσεις, αυτά τα συστήματα απαρτίζονται από πολλούς ελεγκτές, οι οποίοι, διαθέτουν πληροφορία σχετικά με το περιβάλλον και άλλους ελεγκτές για διαφορετικές χρονικές περιόδους, ενώ ελέγχουν και διάφορες δράσεις. Στην αποκεντρωμένη προσέγγιση, οι ελεγκτές θεωρούνται μέλη μιας κοινής ομάδας με συγκεκριμένο σκοπό. Η πληροφοριακή δομή ενός αποκεντρωμένου δυναμικού συστήματος, ορίζει τη γνώση του κάθε ελεγκτή στη λήψη αποφάσεων. Οι πληροφορίες αυτές, αναφέρονται όχι μόνο στο περιβάλλον, αλλά και σε προηγούμενες αποφάσεις ελεγκτών, καθώς το σύστημα είναι δυναμικό. Η τελευταία ιδιότητα, δημιουργεί ιδιαίτερα πολύπλοκες σχέσεις μεταξύ της πληροφοριακής δομής και της δράσης ελέγχου σε ένα αποκεντρωμένο δυναμικό σύστημα. Η αποτελεσματικότητα της αποκεντροποίησης, εξαρτάται από τη διαθέσιμη πληροφορία στον ελεγκτή, μέσω παρατηρήσεων και μηχανισμούς επικοινωνίας. Συχνά, σε μεγάλα συστήματα, δεν υπάρχει ελεγκτής που να έχει πλήρη εικόνα της κατάστασης. Ωστόσο, οι ελεγκτές δεν οργανώνονται τοπικά ώστε να διαχειριστούν τις πληροφορίες τους καλύτερα, αλλά αντ αυτού στην πραγματικότητα, υπάρχουν διασυνδεδεμένα υποσυστήματα μέσω πληροφορίας και ελέγχου. Οι συνδέσεις αυτές είναι ισχυρές, όταν η απόσταση μεταξύ υποσυστημάτων είναι μικρή, και ασθενής ή ανύπαρκτη, όταν η απόσταση είναι μεγάλη. Πράγματι, η πληροφορία προερχόμενη από μη γειτονικά υποσυστήματα, δεν συνεισφέρει πολύ στο πρόβλημα σταθεροποίησης και βελτιστοποίησης. Συνεπώς, κάθε ελεγκτής έχει ένα περιορισμένο πληροφοριακό πεδίο και συνάμα πεδίο ελέγχου. Επομένως, η πληροφοριακή δομή του συνολικού συστήματος, διαμορφώνεται ως ένα δίκτυο από το σύνολο τέτοιων επικαλυπτόμενων διασυνδέσεων. Συνδυάζοντας αποκεντρωμένη πληροφοριακή δομή και αποκεντρωμένο έλεγχο, προσδίδεται στο σύστημα η ιδιότητα της αυτό-ρύθμισης και αυτό-οργάνωσης.

8 8 Ορισμοί Ορισμός: Η συνάρτηση v(x), v: R n R είναι θετικά ορισμένη στη γειτονιά N του σημείου x = 0 αν v(0) = 0 και v(x) > 0, x N {0}. Ορισμός: Η συνάρτηση v(t, x), v: T R n R είναι θετικά ορισμένη στη γειτονιά N του σημείου x = 0 αν v(t, 0) 0 και υπάρχει θετικώς ορισμένη συνάρτηση v (x), v : R n R, τέτοια ώστε v (x) v(t, x) t T, x N. Παρατηρείται, πως αν η γειτονιά N συμπίπτει με το χώρο R n, τότε η συνάρτηση είναι ολικά θετικά ορισμένη. Ορισμός: Η συνάρτηση v(x), v(t, x)είναι αρνητικά ορισμένη εάν v(x), (v(t, x))είναι θετικά ορισμένη. Ορισμός: Η συνάρτηση v(x), v(t, x)είναι αρνητικά ημιορισμένη αν v(x) < 0, (v(t, x) < 0) για x 0 και v(0) = 0 (v(t, 0) = 0) Θεώρημα: Έστω συμμετρική μήτρα Α διαστάσεων n n, τότε : 1. Η μήτρα Α είναι θετικώς ορισμένη αν και μόνο αν όλες οι n κύριες πρωτεύουσες υπομήτρες της είναι (αυστηρώς) θετικές. 2. Η μήτρα Α είναι αρνητικώς ορισμένη αν και μόνο αν οι n κύριες πρωτεύουσες υπομήτρες της εναλλάσσονται στο πρόσιμο. Θεώρημα: Έστω συμμετρική μήτρα Α διαστάσεων n n, τότε η μήτρα Α είναι θετικώς ημιορισμένη αν και μόνο αν, κάθε κύρια υπομήτρα της Α είναι 0. Η μήτρα Α είναι αρνητικώς ημιορισμένη, αν και μόνο αν, κάθε κύρια υπομήτρα περιττής τάξης είναι 0 και κάθε κύρια υπομήτρα άρτιας τάξης, είναι 0. κύριες διαγώνιες ελάσσονες ορίζουσες: Οι ορίζουσες των διαγωνίων τετραγωνικών τοµέων A(1: i, 1: i) διαστάσεων i i της τετραγωνικής µήτρας A, διαστάσεων n n, για i = 1, 2,, n, ονοµάζονται κύριες διαγώνιες ελάσσονες ορίζουσες (principal diagonal minors). Οι ορίζουσες αυτές µας παρέχουν το ακόλουθο κριτήριο : Η ελάσσων ορίζουσα (minor) για το στοιχείο a ij είναι η ορίζουσα det( A ij ). Η A ij για το στοιχείο a ij είναι η υποµήτρα τάξης n 1 που λαµβάνεται από την αρχική µήτρα τάξης n, µέσω εξάλειψης του i-στού στοίχου και της j-στης στήλης.

9 9 Κριτήριο Sylvester: Μια συμμετρική τετραγωνική μήτρα Α είναι θετικώς ορισμένη, αν και μόνο αν, όλες οι κύριες διαγώνιες ελάσσονές της είναι θετικές. Μια τετραγωνική μορφή (μήτρα) είναι θετικώς ορισμένη αν το πραγματικό μέρος όλων των ιδιοτιμών έχει θετικό πρόσημο Ή αν όλες οι υπο-ορίζουσες i i είναι θετικές Ορισμός: Ομαδοποιημένη Μορφή Jordan Ένα μπλοκ (ομαδοποίηση) Jordan έχει τις δύο ακόλουθες μορφές: [ λ 0 1 λ 1 ], [ 0 1 λ Β 0 Β Ι ] Ι 0 Ι Β όπου Β = [ a b 0 ] και I = [1 b a 0 1 ] Μία μήτρα με Jordan μπλοκ στη διαγώνιό της λέγεται ότι είναι της μορφής Jordan. [ D D n ] Πρόταση: Οποιαδήποτε μήτρα Α R n n είναι όμοια με μήτρα σε μορφή Jordan, εάν υπάρχει μήτρα Ρ R n n και μήτρα J σε μορφή Jordan έτσι ώστε : Σημείωση: Α = Ρ 1 J P Αν η τάξη του τμήματος σε σύνθετη μορφή Jordan μιας πολλαπλής ιδιοτιμής είναι ένα, τότε συνεπάγεται ευστάθεια κατά Lyapunov. Έστω ότι τα ιδιοδιανύσματα είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Τότε υπάρχει η αντίστροφος P 1 και Α = PJP 1, με Χ μη-ιδιάζον. Η παραπάνω μορφή, επιτρέπει τη διερέυνηση των ιδιοτήτων της μήτρας Α, αναλύοντας τη διαγώνια μήτρα Λ και είναι γνωστή ως αποσύνθεση ιδιοτιμών (eigenvalue decomposition). Αν Τ είναι μια μη-ιδιάζουσα μήτρα, τότε Α = ΤΒΤ 1 είναι γνωστή ως μετασχηματισμός ομοιότητας και οι μήτρες Α και Β είναι όμοιες. Αν Αx = λx και x = Ty, τότε Βy = λy. Έτσι ο μετασχηματισμός ομοιότητας διατηρεί τις ιδιοτιμές.

10 Συνεπώς, η αποσύνθεση ιδιοτιμών, διευκολύνει την προσπάθεια να ευρεθεί μετασχηματισμός ομοιότητας σε διαγώνια μορφή. Μήτρα Hurwitz: Μία μήτρα λέγεται ότι είναι ευσταθής κατά Hurwitz (ιδιοτιμές εντός μοναδιαίου κύκλου για διακριτού χρόνου συστήματα), εάν και μόνο αν: όλες οι κύριες πρωτεύουσες ελάσσονές ορίζουσές της είναι θετικές. Ένα σύστημα είναι ευσταθές εάν η μήτρα ελέγχου του είναι Hurwitz. Αναγώγιμη μήτρα (Reducible matrix): 10 Μία τετραγωνική μήτρα Α = a ij, διαστάσεων n n είναι αναγώγιμη (reducible), αν και μόνο αν, μπορεί να παρασταθεί σε ομαδοποιημένη άνω-τριγωνική διαγώνια μορφή, με την ταυτόχρονη μετάθεση των γραμμών και στηλών του. Πράγματι, αν υπάρχει μήτρα μετάθεσης Ρ, έτσι ώστε : C = PAP T = [ A 11 A 12 0 A 22 ] όπου A 11 R r r, A 22 R n r n r, A 12 R r n r, 0 < r < n, τότε η μήτρα Α R n n είναι αναγώγιμη. Έστω μήτρα n n, Α 0, αν η μήτρα Α δεν μπορεί να παρασταθεί σε ομαδοποιημένη άνω-τριγωνική διαγώνια μορφή, τότε είναι μη-αναγώγιμη και έχει θετικές πραγματικές ιδιοτιμές, ίσες με τη φασματική ακτίνα ρ(α), όπου αντιστοιχείται ένα θετικό ιδιοδιάνυσμα x. Από το θεώρημα Perron-Frobenius συνεπάγεται : Αν Α 0 είναι μη-αναγώγιμη, τότε: a) ρ(α) > 0 b) ρ(α) είναι μια απλή ιδιοτιμή της μήτρας Α c) Στο ρ(α) αντιστοιχείται ένα θετικό ιδιοδιάνυσμα. d) Αν Αx = λx και x > 0, τότε λ = ρ(α) e) Αν Β Α, Β Α, τότε ρ(b) > ρ(a) f) Αν Β Α, Β Α τότε ρ(β) < ρ(α). Συνεπώς, αν Β Α είναι μια κύρια υπομήτρα μιας μη-αναγώγιμης, μη-αρνητικής μήτρας Α, τότε ρ(β) < ρ(α). Συνοψίζονται τα μήκη διανυσμάτων. Ευκλείδιο μήκος: L 1 μήκος: n x 2 = x i 2 i=1 x 1 = x i n i=1

11 11 L μήκος: x = max 1 i n x i Γενικώς, καθ όλη τη διάρκεια της παρούσης εργασίας, χρησιμοποιείται η κοινή μαθηματική σημειογραφία. Τα κεφαλαία γράμματα, αναφέρονται σε πραγματικούς πίνακες, ενώ τα μικρά γράμματα, σε διανύσματα στήλης ή σε βαθμωτά μεγέθη. Για μία μήτρα A = (a ij ), οι ιδιοτιμές της μήτρας Α αναφέρονται ως λ i (A) και ισχύει Α = ( a ij ). Για τα διανύσματα ισχύει x = [x 1 x 2 x n ] T ανήκει στο ν-δίαστατο ευκλείδιο χώρο,και x = [ x 1 x 2 x n ] T. Για δύο πραγματικές μήτρες n n, A = (a ij ) και Β = (b ij ), A B ισοδυναμεί a ij b ij i, j = 1, 2,, n, τα αντίστοιχα ισχύουν και για τα διανύσματα. H μήτρα 1 αναφέρεται στην μοναδιαία μήτρα. Στη συνέχεια αναφέρονται ορισμένες ισοδύναμες μεταφράσεις αγγλικών προτάσεων στα ελληνικά, που χρησιμοποιούνται στην εργασία. Block diagonal matrix: σύνθετος (διαμερισμένος, τμηματικός) διαγώνιος πίνακας. Jordan form: Ομαδοποιημένη διαγώνια μορφή ή μορφή Jordan. Ιrreducible matrix: ανάγωγη, (μη-αναγώγιμη) μήτρα. Convex set: κυρτό σύνολο. Principal diagonal minors: κύριες (πρωτεύουσες) διαγώνιες ελάσσονες ορίζουσες. Global system : καθολικό σύστημα Compact: συμπαγής Reachable: προσβάσιμο Linearly controlled invariant: γραμμικώς ελεγχόμενα αμετάβλητο)

12 12 ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ Χονδρικά, ευστάθεια ενός συστήματος, συνεπάγεται πως μικρές μεταβολές στις εισόδους ενός συστήματος, στις αρχικές συνθήκες ή στις παραμέτρους του συστήματος, δεν επισύρει μεγάλες μεταβολές στη συμπεριφορά του καθολικού συστήματος. Η ανάλυση ή σύνθεση για συστήματα μεγάλης κλίμακας είναι επιθυμητό να διαχωρίζεται σε δύο επίπεδα: σε τοπικό επίπεδο υποσυστημάτων μέσω κατασκευής συναρτήσεων Lyapunov και σε καθολικό επίπεδο, μέσω ανάλυσης των διασυνδέσεων. Η ευστάθεια κατά Lyapunov εξετάζει την ασυμπτωτική συμπεριφορά αυτόνομων συστημάτων, έχει όμως ένα μειονέκτημα: η επιτυχία της μεθόδου βασίζεται στην ύπαρξη ορισμένων συναρτήσεων που εισάγονται. Ας θεωρήσουμε ένα δυναμικό σύστημα που περιγράφεται από τις εξισώσεις καταστάσεως x (t) = f [t, x(t), u(t)] αντίστοιχα για διακριτό χρόνο x(k) = f [k, x(k), u(k)] Όπου x R n, t T, u R n, f T R n R n R n και η συνάρτηση f ικανοποιεί συνθήκες που εξασφαλίζουν την ύπαρξη μιας μόνο λύσεως x(t, t 0, x 0 ) x 0 R n, t 0 T, t > t 0 για κάθε είσοδο u(t) Ω. Υπολογίζεται είσοδος u (t) Ω τέτοια ώστε αν εφαρμοσθεί στο σύστημα, η κατάσταση του συστήματος να διαγράφει καθορισμένη τροχιά x (t). Ένα τέτοιο δυναμικό σύστημα θεωρείται προσβάσιμο (reachable), εάν δοθέντων μιάς μήτρας Α R n n, x 0 R n, y R n, το σύστημα έχει πρόσβαση, από την αρχική κατάσταση x 0, στο y, εάν υπάρχει t R έτσι ώστε, x(t) = y, όπου x, η τροχιά που καθορίζεται από τη δυναμική της μήτρας Α. Η κατάσταση x e, για την οποία ισχύει f(x e ) = 0, ονομάζεται ιδιάζον σημείο. Μία ιδιάζουσα κατάσταση, είναι ευσταθής εάν, για οποιαδήποτε υπέρ-σφαιρική περιοχή S R (π.χ κύκλος δύο διαστάσεων), ακτίνας R, με κέντρο το x e, υπάρχει υπερσφαιρική περιοχή S r, ακτίνας r R, με το ίδιο κέντρο x e, για την οποία οποιαδήποτε τροχιά x(k), αναδυόμενη από την περιοχή S r, παραμένει εντός της περιοχής S R για κάθε k. Μία ιδιάζουσα κατάσταση x e, είναι ασυμπτωτικώς ευσταθής εάν, είναι ευσταθής κατά Lyapunov και κάθε τροχιά x(k) τείνει προς την κατάσταση x e για k. Ευστάθεια κατά Lyapunov : Για αυτόνομο σύστημα διακριτού χρόνου, της μορφής x(k + 1) = Ax(k), οι ικανές συνθήκες για ευστάθεια έχουν ως εξής: Έστω βαθμωτή συνάρτηση V(x) η οποία ικανοποιεί, για κάθε x, στην περιοχή x < ε με ε > 0 και πραγματικό, τις παρακάτω ιδιότητες : 1) V(x) > 0 x 0 2) V(0) = 0

13 13 3) V(x(k)) V(x(k + 1)) V(x(k)) 0, x(k) R n Στην περίπτωση που η ιδιότητα 3) ικανοποιείται αυστηρώς, δηλαδή V(x(k)) < 0, η κατάσταση x = 0 είναι ασυμπτωτικώς ευσταθής. Επομένως, για συστήματα διακριτού χρόνου, απαιτούμε η διαφορά της συνάρτησης Lyapunov να είναι αρνητική, κατά μήκους των τροχιών. Ευσταθής τροχιά κατά Lyapunov : Η τροχιά x (t) του συστήματος Σ είναι ευσταθής κατά Lyapunov αν δοθέντων ενός ε > 0 και ενός t 0 T υπάρχει ένα δ(t 0, ε) > 0 τέτοιο ώστε : x 0 x (t 0 ) < δ(t 0, ε) x(t, t 0, x 0 ) x (t) < ε t t 0 Ελκτική τροχιά: Η τροχιά x (t) είναι ελκτική ( ομοιομόρφως ελκτική ) αν για κάθε t 0 T υπάρχει η(t 0 ) > 0 τέτοιο ώστε x 0 x (t 0 ) < η(t 0 ) lim t x(t, t 0, x 0 ) x (t) = 0 Ασυμπτωτικώς ευσταθής τροχιά: Η τροχιά x (t) είναι ασυμπτωτικώς ευσταθής ( ομοιομόρφως ασυμπτωτικώς ευσταθής) αν είναι ταυτόχρονα (ομοιομόρφως) ευσταθής κατά Lyapunov και (ομοιομόρφως) ελκτική. Μία κατάσταση ισορροπίας x e R n είναι κατάσταση ισορροπίας του συστήματος Σ αν x(t, t 0, x e ) = x e, για κάθε to T και t > to. Η ευστάθεια κατά Lyapunov μιας καταστάσεως ισορροπίας x e του συστήματος Σ ορίζεται ως εξής: Η κατάσταση ισορροπίας x e του συστήματος Σ είναι ομοιόμορφα ευσταθής κατά Lyapunov αν δοθέντων ενός ε 0, και ενός to T, υπάρχει δ(t 0, ε) > 0 τέτοιο ώστε x 0 x e < δ(t 0, ε) x(t, t 0, x 0 ) x e < ε t > t 0 Ασυμπτωτική ευστάθεια : Το αυτόνομο σύστημα είναι ασυμπτωτικά ευσταθές στην αρχή των αξόνων εάν a) Είναι ευσταθές κατά Lyapunov b) Υπάρχει πραγματικός αριθμός r > 0 έτσι ώστε x(t 0 ) r και x(t) 0 t Η δεύτερη συνθήκη διατυπώνει, πως κάθε αναδυόμενη τροχιά από το σύνολο S(r) συγκλίνει στο μηδέν, καθώς t.

14 14 Στα συστήματα διακριτού χρόνου, το σημείο ισορροπίας χαρακτηρίζεται από τη συνθήκη σταθερού σημείου x = f(x ). Έστω κατάσταση ισορροπίας το σημείο x = 0 R n και συνεχής συνάρτηση, V: R n R έτσι ώστε : V(0) = 0 και V(x) > 0, x 0 V(x(k)) V(x(k)) V(x(k + 1)) < 0, x(k) R n x V(x) Τότε, το σημείο ισορροπίας, είναι ασυμπτωτικά ευσταθές κατά την ευρεία έννοια (globally). Θεωρώντας γραμμικό σύστημα διακριτού χρόνου x(k + 1) = Fx(k) με F R n n. H μήτρα F, είναι ασυμπτωτικώς ευσταθής, αν και μόνο αν: λ i < 1, i = 1, 2,, n Δηλαδή οι ιδιοτιμές βρίσκονται στον μοναδιαίο δίσκο. Η μελέτη ευστάθειας συστημάτων, μπορεί να επιτευχθεί, χωρίς επίλυση διαφορικών εξισώσεων, αλλά με εφαρμογή των δύο μεθόδων Lyapunov. Η πρώτη ή έμμεση μέθοδος, δίνει ένα απλό κριτήριο ασυμπτωτικής ευστάθειας, ενώ η δεύτερη ή άμεση μέθοδος, εκτός από τη μελέτη ευστάθειας, δίνει και εκτίμηση της περιοχής ελκτικότητας, στην περίπτωση που η κατάσταση ισορροπίας είναι ασυμπτωτικά ευσταθής. Η βασική ιδέα της δεύτερης μεθόδου, στηρίχτηκε στη διαπίστωση ότι η δυναμική ενέργεια ενός συστήματος χωρίς διέγερση, φθίνει με το χρόνο και γίνεται ελάχιστη, όταν το σύστημα φθάσει στην κατάσταση ισορροπίας. Η δυναμική ενέργεια, μπορεί να θεωρηθεί ως θετική συνάρτηση της κατάστασης του συστήματος, εάν η ελάχιστη αυτή κατάσταση είναι μηδέν. Θα διερευνηθεί αρχικά, η μελέτη ευστάθειας συστημάτων που επιδέχονται τετραγωνικές συναρτήσεις Lyapunov της μορφής v(x) = x T Px.

15 15 Τετραγωνική Ευστάθεια Ας θεωρήσουμε γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα : x = Ax όπου x R n, A R n n. Έστω P R n n μια συμμετρική θετικά ορισμένη μήτρα, ώστε v(x) = x T Px να είναι ολικά θετικά ορισμένη, τότε : v = x T Px + x T Px = x T A T Px + x T PAx = x T ( A T Px + PA )x Αν η συμμετρική μήτρα, A T Px + PA είναι αρνητικά ορισμένη, τότε η v είναι αρνητικά ορισμένη και συνεπώς η ισορροπία x = 0 του συστήματος, είναι ασυμπτωτικά ευσταθής. Η ύπαρξη της μήτρας Ρ ορίζεται από το παρακάτω θεώρημα : H ισορροπία x = 0 του συστήματος, είναι ασυμπτωτικά ευσταθής αν και μόνο αν, δοθείσης μιας συμμετρικής θετικά ημι-ορισμένης μήτρας Q, υπάρχει συμμετρική θετικά ορισμένη μήτρα Ρ, τέτοια ώστε: Δηλαδή για διακριτό χρόνο: A T Px + PA = Q Δv(x) = x T Qx Διακρίνονται οι παρακάτω περιπτώσεις : Αν Ρ > 0, Q > 0 τότε η μήτρα Α είναι ευσταθής ( λ i < 1). Aν Ρ > 0, Q 0, τότε όλες οι τροχιές είναι φραγμένες ( λ i 1). Aν Ρ 0, Q 0, τότε η μήτρα Α δεν είναι ευσταθής. Παρουσιάζονται συνοπτικά οι συνθήκες τετραγωνικής ευστάθειας Συναρτήσεις Lyapunov τετραγωνικής μορφής : v(x) = x T Px Θετικώς αμετάβλητα σύνολα: D(P, c) = {x R n x T Px c }(υπερελλειψοειδή) Συνθήκες υπό μορφή μητρικών εξισώσεων : A T PA P = Q, Q : θετικώς ημίορισμένη Συνθήκες φάσματος : μ i 2 + σ i 2 < 1, (εντός μοναδιαίου κύκλου). Οι συνθήκες για την ευστάθεια συστημάτων που επιδέχονται πολυεδρικά σύνολα, θα παρουσιαστούν με λεπτομέρεια στη συνέχεια, πρώτα όμως, είναι αναγκαίο να διερευνηθεί η έννοια της θετικής αμεταβλητότητας

16 16 Θετική αμεταβλητότητα Άμεση ιδιότητα της ευστάθειας είναι η ύπαρξη θετικών αμετάβλητων συνόλων. Οι εγγενής φυσικοί περιορισμοί ενός συστήματος με γραμμική συμπεριφορά, ή η μη εγκυρότητα της γραμμικοποιημένης περιοχής ενός μη γραμμικού συστήματος δημιουργούν περιορισμούς. Συγκεκριμένα, η προσέγγιση με την έννοια της θετικής αμεταβλητότητας δίνει λύση σε προβλήματα δυναμικών συστημάτων υπό περιορισμούς. Ένα σύνολο στο χώρο-κατάστασης, είναι θετικώς αμετάβλητο, εάν για οποιαδήποτε τροχιά που εκκινεί μέσα στο σύνολο, η τροχιά παραμένει εντός του συνόλου. Η μελέτη θετικής αμεταβλητότητας ενός υποσυνόλου του χώρου κατάστασης R n, είναι ιδιαίτερης σημασίας για τη μελέτη ευστάθειας και τη σχεδίαση ελεγκτών υπό περιορισμούς. Θετικώς αμετάβλητο σύνολο: Το μη-κενό σύνολο Δ R n είναι θετικώς αμετάβλητο σύνολο του συστήματος Σ εάν, x 0 Δ x(k, x 0 ) Δ, k ή αντιστοίχως, μόνο αν και μόνο αν: x 0 Δ Ax Δ Έστω τώρα, σύνολο Ω σε γραμμικό χώρο Χ. Το σύνολο Ω είναι φραγμένο, εάν υπάρχει βάθμωση, s > 0 έτσι ώστε, x s x Ω. Επίσης λέγεται ότι είναι κλειστό, εάν περιέχει όλα τα κλειστά σημεία του. Τέλος, το σύνολο Ω αναφέρεται ως συμπαγής (compact), εάν είναι κλειστό και φραγμένο Για παράδειγμα, αν v(x) = x T Px, είναι μία τετραγωνική συνάρτηση Lyapunov για το Σ, τότε τα ελλειψοειδή σύνολα D(P, c) = {x R n x T Px c} με c > 0, είναι θετικώς αμετάβλητα σύνολα για το σύστημα Σ. Γενικώς, ένα τέτοιο σύνολο είναι κλειστό και φραγμένο. Ισχύει και η αντίστροφη ιδιότητα : η ύπαρξη κλειστών και φραγμένων αμετάβλητων συνόλων, οι οποίοι περιέχουν τη μηδενική κατάσταση ως εσωτερικό σημείο, συνεπάγεται τοπική ευστάθεια κατά Lyapunov, πλησίον του μηδενός. Αρχή αμεταβλητότητας του LaSalle: Έστω Ω Δ, ένα συμπαγές, θετικώς αμετάβλητο σύνολο, του συστήματος x = f(x). Έστω V: Δ R, μία συνεχώς παραγωγίσιμη συνάρτηση έτσι ώστε V (x) 0 στο Ω. Έστω Ε το σύνολο των σημείων, εντός του Ω όπου V (x) = 0. Έστω Μ, το ευρύτερο σύνολο εντός του Ε. Τότε κάθε λύση αναδυόμενη από το σύνολο Ω, τείνει στο Μ καθώς t.

17 17 Πολυεδρικά σύνολα Ένα πολύεδρο στο R n ορίζεται ως η τομή πεπερασμένου αριθμού ημιεπιπέδων. Υπερεπίπεδο/Ημιεπίπεδο: Ένα υπερεπίπεδο στο R n, είναι το σύνολο των x R n τα οποία ικανοποιούν την εξίσωση ax = b, για κάποιο a R n και b R. Ένα ημι-επίπεδο, ορίζεται ως το σύνολο των x, έτσι ώστε ax b, για κάποιο a R n και b R. Ένα σύνολο λέγεται κυρτό, όταν για οποιαδήποτε δύο σημεία του συνόλου, όλα τα σημεία του ευθύγραμμου τμήματος που τα ενώνει, ανήκουν μέσα στο σύνολο. Στην αντίθετη περίπτωση, δηλαδή όταν υπάρχουν ζεύγη σημείων, των οποίων το ευθύγραμμο τμήμα δεν βρίσκεται ολόκληρο μέσα στο σύνολο, το σύνολο λέγεται μη κυρτό. Ένα κλειστό κυρτό πολύεδρο R (G, w) στο R n, με G R g n και w R g, ορίζεται από το σύνολο ανισώσεων : R (G, w) = {x R n Gx w} Ένα συμμετρικό στο μηδέν, κυρτό πολύεδρο S(Q, μ) στο R n, με μ 0, ορίζεται από το σύνολο ανισώσεων : S (Q, μ) = {x R n Qx μ} Ένα κωνικό πολύεδρο R (G, 0) στο R n, ορίζεται ως η τομή πεπερασμένου αριθμού ημιεπιπέδων που περιέχουν το σημείο μηδέν και διατυπώνεται από το σύνολο ανισώσεων: R (G, 0) = {x R n Gx 0}. με G R g n Σημειώνεται, πως ένα πολύτοπο είναι ένα συμπαγές (κλειστό και φραγμένο) πολύεδρο. Ένα πολύεδρο μπορεί να ταξινομηθεί σε τέσσερις κατηγορίες, ανάλογα με τη μορφή που παίρνει: Κενό σύνολο, εάν το σύστημα Αx b είναι μη πραγματοποιήσιμο. Πολύτοπο, εάν το πολύεδρο είναι φραγμένο. Κώνος, εάν περιέχει το σημείο μηδέν. Συνδυασμός κώνου και πολυέδρου. Στην παρούσα εργασία θα επικεντρωθούμε σε πολυεδρικά σύνολα της μορφής: R(F, w) { x R n : w Fx w } με F R m n w R m με θετικά στοιχεία w i. Σημειώνεται, πως η τάξη της εν λόγω μήτρας είναι καθοριστικής σημασίας. Εάν m = n και rank(f) = n τότε R(F, w) είναι ένα υπερ-παραλλεπίπεδο στο R n. Εάν όμως, rank(f) = q < n, το σύνολο R(F, w) αποτελεί ένα μη-φραγμένο πολυεδρικό υποσύνολο στο R n, με q ζεύγη παράλληλων εδρών.

18 18 Θετική αμεταβλητότητα πολυεδρικών συνόλων Για τη μήτρα Α = (a ij ), λ i (A) οι ιδιοτιμές μήτρας Α και Α = ( a ij ). Tα διανύσματα x = [x 1 x 2 x n ] T και x = [ x 1 x 2 x n ] T. το σύμβολο αναφέρεται στην κατά στοιχείο σύγκριση, έτσι για δύο μήτρες τετραγωνικές και ίδιων διαστάσεων Α = (a ij ), B = (b ij ), A B a ij b ij, i, j = 1, 2, n. Θεωρώντας τη ειδική περίπτωση που η μήτρα F είναι μοναδιαία μήτρα 1 διαστάσεων n n. Το σύνολο R( 1, w) = { x R n : w x w } Είναι ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, και είναι θετικώς αμετάβλητο σύνολο του συστήματος S εάν και μόνο αν: ( Α 1)w 0 Πράγματι, αν R( 1, w) είναι θετικώς αμετάβλητο σύνολο του συστήματος S τότε ισχύει : Αx w για κάθε x R( 1, w) και με Α R n n, x R n, w R n. Επίσης τα διανύσματα, x (i) sign(a)w, i = 1, 2,, n όπου x (i), αποτελούν τις κορυφές του πολυέδρου (ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο ) R( 1, w). Έτσι εφόσον, x (i) w Συνεπάγεται, Αx (i) w Ή ισοδύναμα Α w w Παίρνοντας για κάθε στοιχείο a ij w i w i Εφόσον w i > 0 a ij 1 Δηλαδή, a ij a ij 1 Επομένως, συνεπάγεται ευστάθεια κατά Lyapunov του συστήματος στο μηδέν. Εάν όμως η συνθήκη ικανοποιείται αυστηρώς, τότε τo παραπάνω σύστημα είναι ασυμπτωτικώς ευσταθές, καθώς αν η μήτρα Α είναι έτσι ώστε x(k + 1) = Ax(k) τότε, οι ιδιοτιμές λ i (A) 1. Στην περίπτωση που λ i (A) = 1, δηλαδή πάνω στο ανοικτό τετράγωνο, συνεπάγεται ευστάθεια κατά Lyapunov, καθώς η τροχιά της μεταβλητής κατάστασης είναι φραγμένη, ενώ αν είναι αυστηρώς μικρότερο του ένα, συνεπάγεται ασυμπτωτική ευστάθεια και ελκτική τροχιά στο 0.

19 Πρόβλημα ύπαρξης θετικώς αμετάβλητων πολυεδρικών συνόλων Λήμμα: Το πολυεδρικό σύνολο: 19 R(F, w) { x R n : w Fx w } είναι θετικώς αμετάβλητο σύνολο του συστήματος S αν και μόνο αν: v(ax) v(x) x R n όπου v(x) max i { F(x) i w i } και F R m n w R m με θετικά στοιχεία w i, i = 1,2,, m Δεδομένου ότι v(0) = 0, η συνθήκη v(ax) v(x) για κάθε x R n, είναι ισοδύναμη με την αρνητικώς ημιορισμένη συνάρτηση: Δv(x) (S) v(ax) v(x) Συμπερασματικά, το πολυεδρικό σύνολο R(F, w) είναι θετικώς αμετάβλητο σύνολο του συστήματος S αν και μόνο αν, η συνολική διαφορά της συνάρτησης v(x) αναφερόμενη στο σύστημα S, είναι αρνητικώς ημιορισμένη, δηλαδή η συνάρτηση Δv(x) (S) είναι αρνητικώς ημιορισμένη. Παρατηρείται στην περίπτωση τετραγωνικής μήτρας, F R n n τάξης n, ότι max i (F(x) i ) > 0 x 0 και άρα η συνάρτησης v(x) είναι θετικώς ορισμένη. Έτσι, το γεγονός ότι η συνάρτηση Δv(x) (S) είναι αρνητικώς ημιορισμένη, καθιστά την v(x) κατάλληλη συνάρτηση Lyapunov και συνεπάγεται ευστάθεια κατά Lyapunov της καταστάσεως ισορροπίας x = 0. Λήμμα 2: Έστω Α R n n, F R m n, m n, rank(f) = m εάν: Fx = 0 Συνεπάγεται FAx = 0 τότε υπάρχει μήτρα H R m m έτσι ώστε: FA HF = 0 Οι αλγεβρικές ικανές και αναγκαίες συνθήκες ώστε ένα πολυεδρικό σύνολο να είναι θετικώς αμετάβλητο σύνολο ενός γραμμικού συστήματος διακριτού χρόνου, έχουν ως εξής:

20 20 Πρόταση: Το πολυεδρικό σύνολο, R(F, w) { x R n : w Fx w } με F R m n, rank(f) = m, w R m με θετικά στοιχεία w i, i = 1,2,, m είναι θετικώς αμετάβλητο σύνολο του συστήματος S αν και μόνο αν υπάρχει μήτρα H R m m έτσι ώστε: ( H 1)w 0 και FA HF = 0 Μπορούν πλέον να διατυπωθούν οι συνθήκες ώστε το πολυεδρικό σύνολο R(F, w), με m ζεύγη παράλληλων εδρών, συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων, να είναι θετικώς αμετάβλητο σύνολο του συστήματος S: Θετική αμεταβλητότητα συμμετρικών πολυεδρικών συνόλων Παρατηρείται πως το σύνολο R(F, w) { x R n : Fx w }, μπορεί ισοδυνάμως να γραφτεί στη μορφή P(F, w ) { x R n : F x w } Όπου F = [ F F ] και w = [ w w ] με F R 2m n και w R 2m Επομένως, είναι γνωστό πως η θετική αμεταβλητότητα του συνόλου R(F, w) εξαρτάται από την ύπαρξη μιας μη αρνητικής μήτρας, H R 2m 2m έτσι ώστε : και όπου F Α Η F = 0 (Η 1)w 0 Η = [ H 11 H 12 ] H 21 H 22 με Η ij R m m, έτσι λύνοντας για την πρώτη γραμμή της σχέσης, οι προηγούμενες σχέσεις γίνονται: FA = H 11 F H 12 F με F R m n FA = (H 11 H 12 )F και η πρώτη γραμμή της δεύτερης συνθήκης γίνεται: (H 11 + H 12 )w w, w R m

21 21 θέτοντας τώρα Η = H 11 H 12 ισχύει, FA = HF Και θεωρώντας μήτρες Η + και Η, που υπολογίζονται ως H ij + = max{h ij, 0} H ij = max{ H ij, 0} Οι παραπάνω μήτρες ικανοποιούν τις συνθήκες : Η + Η = Η = H 11 H 12 και (Η + Η )w = H w = H 11 H 12 w (H 11 + H 12 )w w Επίσης, οι παραπάνω συνθήκες, ικανοποιούνται για τις μήτρες Η + και Η, δηλαδή : F Α = [ Η w = [ Η = [ Η + Η Η + Η Η + Η Η Η + ] Η Η + ] [ F F ] = Η F Η Η + ] [w ] = H w w w Συνεπώς, εφόσον η μήτρα Η έχει μη αρνητικά στοιχεία, συμπεραίνεται πως το σύνολο P(F, w ) = R(F, w), είναι θετικώς αμετάβλητο σύνολο του συστήματος S. Κατά παρόμοιο τρόπο, προκύπτουν οι συνθήκες ώστε το πολυεδρικό σύνολο R(F, w) με m ζεύγη παράλληλων εδρών, μη-συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων, να είναι θετικώς αμετάβλητο σύνολο του συστήματος S: Πρόταση: Θετική αμεταβλητότητα μη-συμμετρικών πολυεδρικών συνόλων Το πολυεδρικό σύνολο Q(F, w L, w U ) {x R n : w L Fx w U } όπου F R m n, rank(f) = m, w L R m, w U R m, w L > 0, w U > 0 είναι θετικώς αμετάβλητο σύνολο του συστήματος S, αν και μόνο αν υπάρχει μήτρα H R m m έτσι ώστε: και [ Η + Η FA HF = 0 Η Η + ] [wu wl] [wu w L]

22 Εργαζόμαστε κατ ανάλογο τρόπο με τη συμμετρική περίπτωση, συγκεκριμένα, το σύνολο Q(F, w L, w U ), μπορεί ισοδυνάμως να γραφτεί στη μορφή: P(F, w ) = { x R n : F x w } όπου, με F R 2m n και w R 2m. 22 F = [ F F ] και w = [ wu w L ] Έτσι η θετική αμεταβλητότητα του συνόλου Q(F, w L, w U ), συνεπάγεται την ύπαρξη μιας μη-αρνητικής μήτρας Η R 2m 2m με, και Η ij και R m m έτσι ώστε: Η = [ H 11 H 12 ] H 21 H 22 F Α Η F = 0 (Η 1)w 0 λύνοντας για την πρώτη γραμμή της σχέσης : ενώ για τη δεύτερη, Δηλαδή, Έτσι η συνθήκη FA = (H 11 H 12 )F FA = H 21 F H 22 F FA = ( H 21 + H 22 )F FA HF = 0 μπορεί να επαληθευτεί αντικαθιστώντας με: H = H 11 H 12 = H 21 + H 22 = Η + Η Και η δεύτερη συνθήκη, γίνεται για την πρώτη γραμμή Ενώ για τη δεύτερη H 11 w U + H 12 w L w U H 21 w U + H 22 w L w L Και θεωρώντας τις μήτρες Η + και Η που υπολογίζονται ως: H ij + = max{h ij, 0} H ij = max{ H ij, 0} [ Η+ Η Η Η + ] [wu wl] [wu w L] ισοδύναμα [ (Η+ Η ) (Η + Η ) (Η + Η ) (Η + Η ) ] [wu wl] [wu w L]

23 23 [ (H 11 H 12 ) + (H 11 H 12 ) (H 22 H 21 ) (H 22 H 21 ) + ] [wu wl] [wu w L] Ισχύει ότι (H 11 H 12 ) + = max{(h 11 H 12 )} H 11 και Επομένως έχουμε : δηλαδή επίσης αντικαθιστώντας τις και με (H 11 H 12 ) = max{ (H 11 H 12 )} H 12 Η = [ Η+ Η (H 22 H 21 ) = max{ (H 22 H 21 )} H 21 (H 22 H 21 ) + = max{h 22 H 21 } H 22 [ H 11 H 12 ] [ wu wl] [wu w L] H 21 H 22 Η w w F Α Η F = 0 (Η 1)w 0 Η Η + ], Η 0, F = [ F F ] και w = [ wu w L ] Συμπεραίνουμε πως το σύνολο P(F, w ) = Q(F, w L, w U ) είναι θετικώς αμετάβλητο.

24 24 Φασματικές ιδιότητες γραμμικών συστημάτων διακριτού χρόνου με θετικώς αμετάβλητα πολυεδρικά σύνολα Είναι γεγονός, πως εάν όλες οι ιδιοτιμές λ i (A), της μήτρας A, βρίσκονται στον ανοιχτό δίσκο λ i (A) < 1, τότε το σύστημα S είναι ασυμπτωτικώς ευσταθές και διαθέτει θετικώς αμετάβλητα σύνολα υπερελλειψοειδής μορφής : D(P, c) = {x R n x T Px c} όπου P R n n, μια συμμετρική θετικά ορισμένη μήτρα και c, θετικός πραγματικός ακέραιος. Όμως αυτές οι συνθήκες, δεν εφαρμόζονται σε συστήματα με θετικώς αμετάβλητα σύνολα πολυεδρικής μορφής. Έτσι, πρέπει να μελετηθούν οι φασματικές ιδιότητες γραμμικών συστημάτων διακριτού χρόνου, με θετικώς αμετάβλητα πολυεδρικά σύνολα. Προς αυτόν το σκοπό, θα προχωρήσουμε στο μετασχηματισμό της μήτρας A σε πραγματική μορφή Jordan. Εφόσον ο πίνακας Α είναι τετραγωνικός, διαστάσεων n n, τότε είναι διαγωνοποιήσιμος και ισοδύναμα έχει n γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα. Αν Τ είναι μια μη-ιδιάζουσα μήτρα, τότε, υπάρχει η αντίστροφος Τ 1 και Α = ΤΒΤ 1, είναι γνωστή ως μετασχηματισμός ομοιότητας και οι μήτρες Α και Β είναι όμοιες. Έτσι ο μετασχηματισμός ομοιότητας διατηρεί τις ιδιοτιμές. Η παραπάνω μορφή, επιτρέπει τη διερεύνηση των ιδιοτήτων της μήτρας Α, αναλύοντας τη διαγώνια μήτρα Α και είναι γνωστή ως αποσύνθεση ιδιοτιμών. Συνεπώς, η αποσύνθεση ιδιοτιμών, διευκολύνει την προσπάθεια να ευρεθεί μετασχηματισμός ομοιότητας σε διαγώνια μορφή. Η πραγματική μορφή Jordan, αναφέρεται και ως κανονική μορφή αναγώγιμης μήτρας. Έστω U R n n μία αντιστρέψιμη μήτρα, η πραγματική μορφή Jordan της μήτρας Α έχει την εξής μορφή. UAU 1 = B = [ D D n1 0 0 C C n2 ] και όπου D i = [ C i = [ λ i d i2 λ i 0 0 ] 0 0 d ipi λ i μ i σ i μ i σ i c i4 0 μ i σ 0 i 0 c i4 σ i μ i 0 c iqi 0 μ i σ i 0 c iqi σ i μ i ]

25 25 Τα μπλοκ (τμήματα) D 1,, D n1 σχετίζονται με τις λ i, i = 1, 2, n 1 διακριτές πραγματικές ιδιοτιμές της μήτρας Α. Κάθε τέτοιο μπλοκ D i, αναφέρεται στην ιδιοτιμή λ i, με βαθμό πολλαπλότητας p i. Επίσης στο μπλοκ D i αντιστοιχείται μία μήτρα F i R p i n. Τα μπλοκ C i με i = 1, 2,, n 2 σχετίζονται, με τα n 2 διακριτά συζυγή μιγαδικά ζεύγη ιδιοτιμών μ i ± jσ i πολλαπλότητας q i, της μήτρας Α. Σε κάθε μπλοκ C i, αντιστοιχείται μήτρα F i R 2q i n. Οι παράμετροι d ij, c ij, παίρνουν τιμές μηδέν ή ένα. Μπορούν πλέον, να διατυπωθούνε η συνθήκες ύπαρξης θετικού αμετάβλητου συνόλου R(F, w). Πρόταση: Ικανή και αναγκαία συνθήκη για ένα σύστημα S ν-οστής τάξης, με πραγματικές ιδιοτιμές λ i, να έχει θετικώς αμετάβλητα σύνολα R(F, w), F R m n, rank(f) = m, m = 1, 2,, n, είναι η ευστάθεια κατά Lyapunov, των ιδιοτιμών λ i της μήτρας Α. Πράγματι, παίρνοντας μόνο τις πραγματικές ιδιοτιμές και αγνοώντας τα συζυγή μιγαδικά ζεύγη ιδιοτιμών, έναν ακέραιο m, 1 m n, (n 1 = n) και θέτοντας u 1 u 2 F (m) = [ ] u m όπου u i R 1 n, οι αντίστοιχες γραμμές της μήτρας U, και H (m) = (b ij ) i, j = 1, 2,, m όπου b ij τα στοιχεία της μήτρας Β, συμπεραίνεται, ότι η μήτρα F R m n με rank(f) = m, ικανοποιεί την εξίσωση F (m) A = H (m) F (m) με F (m) R m n, A R n n, H (m) R m m. Επομένως, εφόσον η μήτρα H (m) R m m, είναι μπλοκ διαγώνια και αποτελείται από τους κάτω τριγωνικούς πίνακες D i, με, i = j, j + 1, 2, n 1, και δεδομένου ότι λ i (A) < 1, οι κύριες πρωτεύουσες υπομήτρες της μήτρας 1 B είναι θετικές και τα στοιχεία εκτός διαγωνίου, μη-αρνητκά (άρα θετικά ορισμένη μήτρα). Συνεπάγεται λοιπόν, πως υπάρχει διάνυσμα w (m) R m, με θετικά στοιχεία, ικανοποιώντας τη σχέση ( H (m) 1)w (m) 0. Συνεπώς, ικανοποιούνται οι συνθήκες, ώστε το σύνολο R(F (m), w (m) ), να είναι θετικώς αμετάβλητο σύνολο του συστήματος S. Συμπερασματικά, η ευστάθεια κατά Lyapunov ενός συστήματος με πραγματικές ιδιοτιμές, αποτελεί αναγκαία και ικανή συνθήκη, για την ύπαρξη

26 φραγμένου θετικώς αμετάβλητου συνόλου R(F, w) με F R m n και rank(f) = m. Ωστόσο, ένα ασταθές σύστημα ενδέχεται να διαθέτει μη -φραγμένο θετικώς αμετάβλητο σύνολο R(F, w), με F R m n και m < n. Για την περίπτωση μιγαδικών συζυγών ιδιοτιμών, εργαζόμαστε ως εξής: Πρόταση: Εάν το σύστημα S είναι ευσταθές κατά Lyapunov και η μήτρα Α έχει r πραγματικές ιδιοτιμές (όχι απαραιτήτως διακριτές), και (n r)/2 συζυγείς μιγαδικές ιδιοτιμές (όχι απαραιτήτως διακριτές) μ i ± jσ i, έτσι ώστε: μ i + σ i < 1, 26 τότε για κάθε m = p + 2q > 0, όπου 0 p r και 0 q (n r)/2, υπάρχει μήτρα F R m n με rank(f) = m και διάνυσμα w R m με θετικά στοιχεία έτσι ώστε R(F, w) να είναι θετικώς αμετάβλητο σύνολο του συστήματος S. Πράγματι, θεωρώντας τις συνολικές ιδιοτιμές της μήτρας Α, n = n 1 + n 2 και θέτοντας n 1 = r για τις πραγματικές ιδιοτιμές, συμπεραίνεται πως το πλήθος συζυγών μιγαδικών ιδιοτιμών είναι, n r. Έτσι από την 0 2q n r καταλήγουμε στην 0 q (n r)/2 και προσθέτοντας κατά μέλη με το θετικό r, παίρνουμε r r + 2q n. Λόγω της 0 p r παίρνουμε ένα σημείο m n, δηλαδή, m = p + 2q. Συνεπώς, ο πίνακας F (m) R m n θα έχει τη μορφή: F (m) = [ u 1 u 2 u p u r+1 u r+2q] όπου τα διανύσματα u j R 1 n, αποτελούν τις γραμμές της μήτρας U. Έτσι ο p υποπίνακας F (m) R p n αναφέρεται στις πραγματικές ιδιοτιμές της μήτρας Α για q j = 1, 2,, p, ενώ ο υποπίνακας F (m) R 2q n για τις γραμμές, j = r + 1,, r + 2q στον πίνακα F (m), αναφέρεται στις 2q συζυγείς μιγαδικές ιδιοτιμές. Επομένως, ο συνολικός πίνακας F (m) R (p+2q) n, παίρνει τη μορφή F (m) R m n. Ας θεωρήσουμε επίσης τη μήτρα H (m) = [ H (p) 0 0 H (q) ] όπου H (p) = (b ij ) με i, j = 1, 2,, p και H (q) = (b ij ) με i, j = r + 1,, r + 2q όπου b ij τα στοιχεία της μήτρας Β.

27 27 Η υπομήτρα H (p) R p p αποτελείται από τις διαγώνιες και κάτω τριγωνικές μήτρες D i R p i p i που αντιστοιχούν στις πραγματικές ιδιοτιμές λ i (A) < 1, i = j, j + 1,, p. Η υπομήτρα H (q) R 2q 2q αποτελείται από τις C i R 2q i 2q i (n r = 2q) διαγώνιες και κάτω τριγωνικές μήτρες, που αντιστοιχούν στις μ i ± jσ i, i = j + r,, r + 2q συζυγείς μιγαδικές ιδιοτιμές της μήτρας Α. Κατά συνέπεια, η μήτρα H (m) R (p+2q) (p+2q), δηλαδή η H (m) R m m, ικανοποιεί τη σχέση : F (m) Α = H (m) F (m) Λόγω της προηγούμενης πρότασης, υπάρχει διάνυσμα w (p) R p με θετικά στοιχεία έτσι ώστε: ( H (p) 1)w (p) 0 Κατ ανάλογο τρόπο, εφόσον μ i + σ i < 1 και η μήτρα (1 H (q) ) είναι κατά μπλοκ κάτω τριγωνική, με θετικές κύριες πρωτεύουσες υπομήτρες και μη-θετικά στοιχεία εκτός διαγωνίου, συνεπάγεται πως υπάρχει διάνυσμα w (q) R q με θετικά στοιχεία, έτσι ώστε: ( H (q) 1)w (q) 0 T Θέτοντας τώρα w (m) = [w (p) w T (q) ] T, συνεπάγεται για τη συνολική μήτρα H (m), ότι ( H (m) 1)w (m) 0 Υπό αυτές τις συνθήκες, συμπεραίνεται, πως το πολυεδρικό σύνολο R(F (m), w (m) ), πληροί όλες τις προϋποθέσεις να είναι θετικώς αμετάβλητο σύνολο του συστήματος S. Παρατήρηση: Η συνθήκη φάσματος μ i + σ i < 1 μπορεί να επιδέχεται και συζυγείς μιγαδικές ιδιοτιμές μ i + σ i = 1, δηλαδή στα όρια του μοναδιαίου τετραγώνου, με τη υπόθεση ότι σε κάθε τέτοια οριακή ιδιοτιμή πολλαπλότητας q i αντιστοιχούνται q i γραμμικώς ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα. Συμπερασματικά, αν όλοι οι πόλοι μ i ± jσ i, ενός γραμμικού συστήματος τάξης-ν, βρίσκονται στο ανοιχτό τετράγωνο μ i + σ i 1, τότε υπάρχει μήτρα F R n n με rank(f) = n και διάνυσμα w R n με θετικά στοιχεία, έτσι ώστε R(F, w), να είναι θετικώς αμετάβλητο σύνολο του συστήματος S.

28 28 Πρόβλημα ελέγχου υπό περιορισμούς Η έννοια της θετικής αμεταβλητότητας, βρίσκει εφαρμογή στην επίλυση προβλημάτων, σχετιζόμενα με δυναμικά συστήματα υπό περιορισμούς. Ένα σύνολο στο χώρο κατάστασης, είναι θετικώς αμετάβλητο εάν, για οποιαδήποτε τροχιά που εκκινεί, εντός του συνόλου, αυτή παραμένει εντός του, για κάθε χρονική στιγμή. Είναι γεγονός, ότι οι φυσικοί περιορισμοί εγγενείς στο δυναμικό σύστημα, καταλήγουν σε γραμμικούς περιορισμούς στις μεταβλητές κατάστασης και/ή στις μεταβλητές ελέγχου. Η θεωρία θετικής αμεταβλητότητας πολυεδρικών συνόλων, επιλύει προβλήματα ελέγχου συστημάτων υπό περιορισμούς, επαληθεύοντας την ύπαρξη νόμου ελέγχου ανατροφοδότησης κατάστασης, που κατορθώνει θετική αμεταβλητότητα του πολυεδρικού συνόλου, καθορισμένο από περιορισμούς. Συνθήκες ύπαρξης λύσης γραμμικών ελεγκτών υπό περιορισμούς Στόχος είναι ο προσδιορισμός γραμμικού νόμου ελέγχου ανατροφοδότησης κατάστασης της μορφής: u(k) = Fx(k) Έτσι ώστε όλες οι αρχικές καταστάσεις που ικανοποιούν τις ανισώσεις (2), μεταφέρονται στην αρχή των αξόνων ασυμπτωτικά, ενώ τα διανύσματα ελέγχου και κατάστασης, ικανοποιούν τους περιορισμούς (1). Λόγω της γραμμικότητας του συστήματος, του νόμου ελέγχου και των περιορισμών, το παραπάνω πρόβλημα διατυπώνεται, ως Γραμμικό πρόβλημα ρύθμισης υπό περιορισμούς (Bitsoris 1987). Υπενθυμίζεται πως ένα μη-κενό σύνολο Ω είναι ένα θετικώς αμετάβλητο σύνολο του συστήματος (Σ) αν και μόνο αν x 0 Ω συνεπάγεται ότι x(t, x 0, t 0 ) Ω για κάθε t 0 T, t t 0. Σε κάθε νόμο ελέγχου ανατροφοδότησης κατάστασης u = Fx αντιστοιχούμε το πολυεδρικό σύνολο: Q(F, ρ l, ρ u ) {x R n ρ l Fx ρ u } τo οποίο δηλώνει, το σύνολο (αρχικών) καταστάσεων του συστήματος κλειστού βρόχου, για το οποίο το διάνυσμα ελέγχου, δεν παραβιάζει τους υφιστάμενους περιορισμούς. Έστω επίσης, το σύνολο αρχικών καταστάσεων, του συστήματος ανοιχτού βρόχου, το οποίο υπακούει στους περιορισμούς στο διάνυσμα κατάστασης: R(G, w) = {x R n Gx w}

29 29 Πρόταση: Ένας νόμος ελέγχου της μορφής u = Fx, αποτελεί λύση του γραμμικού προβλήματος ρύθμισης υπό περιορισμούς, αν και μόνο αν: το σύστημα κλειστού βρόχου x(k + 1) = (A + BF)x(k) (4) είναι ασυμπτωτικά ευσταθές και οποιαδήποτε τροχιά x(k; x 0 ) αναδυόμενη από το σύνολο R(G, w) δεν βγαίνει εκτός του συνόλου Q(F, ρ l, ρ u ) k T. Αντίστοιχα, η πρόταση μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Το υποσύνολο R(G, w) R n, του χώρου καταστάσεως του συστήματος x k+1 = Ax k + Βu k, είναι γραμμικώς ελεγχόμενα αμετάβλητο (linearly controlled invariant), εάν υπάρχει γραμμικός νόμος ανατροφοδότησης κατάστασης u = Fx, έτσι ώστε το σύνολο R(G, w),να είναι θετικώς αμετάβλητο σύνολο, του συστήματος κλειστού βρόχου x k+1 = (A + BF)x k. Σημείωση: Εάν η κατάσταση ισορροπίας x = 0 του συστήματος ανοιχτού βρόχου, x k+1 = Ax k, είναι ευσταθής κατά Lyapunov, ή ασυμπτωτικά ευσταθής, τότε το πρόβλημα αποδέχεται τη τετριμμένη λύση u(k) = 0. Αντιθέτως, εάν το σύστημα ανοιχτού βρόχου είναι ασταθές, τότε το γραμμικό πρόβλημα ρύθμισης υπό περιορισμούς, μπορεί να μην επιδέχεται λύσης. Συνεπώς μπορούμε να πούμε πως οι περιορισμοί στο διάνυσμα κατάστασης και ελέγχου, είναι κατάλληλοι για το σύστημα, εάν το ΓΠΡΠ έχει τουλάχιστον μία λύση. Πρόταση: Ο νόμος ελέγχου u = Fx με F R m n αποτελεί λύση του γραμμικού προβλήματος ρύθμισης υπό περιορισμούς αν και μόνο αν : Υπάρχει θετικώς αμετάβλητο σύνολο Ω R n του συστήματος κλειστού βρόχου Σ έτσι ώστε: R(G, w) Ω Q(F, ρ l, ρ u ) Οι ιδιοτιμές λ i, i = 1, 2, n της μήτρας A + BF βρίσκονται στο μοναδιαίο δίσκο λ i < 1. Εντούτοις, εξ ορισμού το σύνολο : Ω = {x R n (x 0 R(G, w), k T): x = x(k, x 0 )}

30 30 είναι θετικώς αμετάβλητο σύνολο, του συστήματος S και επίσης, R(G, w) Ω. Παράλληλα όμως, Ω Q(F, ρ l, ρ u ). Διαφορετικά, θα υπήρχε ένα x 0 R(G, w) και ένα k T, έτσι ώστε το x(k, x 0 ) να μην ικανοποιούσε τους περιορισμούς ρ l Fx(k, x 0 ) ρ u, δηλαδή θα έβγαινε εκτός του πολυτόπου Q(F, ρ l, ρ u ). Συνεπώς, ο νόμος ελέγχου u = Fx, δεν θα μπορούσε να αποτελεί λύση στο γραμμικό πρόβλημα ρύθμισης υπό περιορισμούς. Επίσης, εάν x ικανοποιεί τους περιορισμούς Gx w, δηλαδή x 0 R(G, w), από τη σχέση: R(G, w) Ω Q(F, ρ l, ρ u ) καταλήγουμε ότι x 0 Ω. Επομένως, x(k, x 0 ) Q(F, ρ l, ρ u ), για κάθε k T, καθώς Ω Q(F, ρ l, ρ u ) και Ω, είναι θετικώς αμετάβλητο σύνολο. Επιπλέον, η δεύτερη συνθήκη λ i (A + BF ) < 1 εξασφαλίζει ασυμπτωτική ευστάθεια, της καταστάσεως ισορροπίας του συστήματος κλειστού βρόχου. Πριν όμως εφαρμοστεί μία τέτοια λύση, θα πρέπει να εξασφαλιστεί ότι το σύνολο R(G, w), είναι θετικώς αμετάβλητο σύνολο του συστήματος κλειστού βρόχου. Οδηγούμαστε λοιπόν, στην παρακάτω πρόταση : Ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε το σύνολο R(G, w) να είναι θετικώς αμετάβλητο σύνολο δίνει η παρακάτω πρόταση: Πρόταση 3: Το πολυεδρικό σύνολο R(G, w), είναι θετικώς αμετάβλητο σύνολο του συστήματος x = Ax, αν και μόνο αν, υπάρχει μήτρα H R q q έτσι ώστε : Σημείωση: H M q GA HG = 0 και Hw 0 Μία μήτρα Η = (h ij ) με μη-αρνητικά στοιχεία, δηλαδή h ij 0, για κάθε i, j, λέγεται μη- αρνητική μήτρα. Ενώ μία τετραγωνική μήτρα, Η = (h ij ), με μη-αρνητικά στοιχεία εκτός της διαγωνίου της, δηλαδή, h ij 0 i j, αναφέρεται ως μία μήτρα Metzler ή μήτρα κλάσης M n διαστάσεων n n. Εφαρμόζοντας τα παραπάνω αποτελέσματα για το κλειστό σύστημα, καταλήγουμε στις εξής συνθήκες: Πρόταση 2: Εάν F είναι πραγματική μήτρα διαστάσεων n m έτσι ώστε:

31 31 Οι ιδιοτιμές λ i, i = 1, 2, n της μήτρας A + BF βρίσκονται στο μοναδιαίο δίσκο λ i < 1. Το σύνολο R(G, w) είναι θετικώς αμετάβλητο σύνολο του συστήματος κλειστού βρόχου. R(G, w) Ω Q(F, ρ l, ρ u ) Τότε, ο νόμος ελέγχου αποτελεί λύση του ΓΠΡΠ και τα διανύσματα κατάστασης, ικανοποιούν τους περιορισμούς Gx 0 w για κάθε αρχική κατάσταση x 0 R(G, w) και k T και το σύνολο R(G, w) είναι θετικώς αμετάβλητο σύνολο του συστήματος κλειστού βρόχου. Κατά συνέπεια, το σύνολο R(G, w), καθίσταται μία περιοχή ελκτικότητας, έτσι ώστε για κάθε αρχική κατάσταση x 0 R(G, w), οι αντίστοιχες τροχιές x(k, x 0 ), του συστήματος κλειστού βρόχου, x k+1 = (A + BF)x k, να συγκλίνουν ασυμπτωτικώς στην κατάσταση ισορροπίας.. Πρόταση 4 : Έστω μήτρα F R m n και υπάρχει μήτρα H R q q, έτσι ώστε: H M q GA + GBF = HG ( H 1)w 0 R(G, w) Q(F, ρ l, ρ u ) Οι ιδιοτιμές λ i, i = 1, 2, n της μήτρας A + BF βρίσκονται στο μοναδιαίο δίσκο λ i < 1. Τότε ο νόμος ελέγχου u = Fx αποτελεί λύση του ΓΠΡΠ. Παρατηρείται πως η τελευταία συνθήκη, μπορεί να αντικατασταθεί με μια συνθήκη ασυμπτωτικής ευστάθειας στη μήτρα Η. Πράγματι, λόγω των υποθέσεων που γίνανε, G R q n, και τάξης n, συνεπώς ισχύει η σχέση: G(Α + ΒF) = HG. Επίσης, δεδομένου ότι η μήτρα H έχει μη-αρνητικά στοιχεία εκτός της διαγωνίου της και το διάνυσμα w αποτελείται από θετικά στοιχεία, η ανισότητα Hw 0, συνεπάγεται ευστάθεια κατά Lyapunov της μήτρας H και κατ επέκταση του συστήματος κλειστού βρόχου. Στην περίπτωση δε, που η μήτρα H είναι μη-αναγώγιμη (irreducible) ή η ανίσωση ( H 1)w 0 ικανοποιείται αυστηρώς, από το θεώρημα Perron-Frobenius έχουμε, πως εάν H 1, τότε ρ(h) < ρ(1), δηλαδή λ i (H) < 1. Τότε η μήτρα H έχει ιδιοτιμές εντός μοναδιαίου κύκλου, επισύροντας ασυμπτωτική ευστάθεια και για το σύστημα κλειστού βρόχου. Κατά συνέπεια, οι ιδιοτιμές της μήτρας κλειστού βρόχου A + BF και της μήτρας H ταυτίζονται.

32 32 Τα ασυμπτωτικώς ευσταθή συστήματα, ως γνωστόν, διαθέτουν υπερελλειψοειδή θετικώς αμετάβλητα σύνολα, λόγω χρήσης τετραγωνικών συναρτήσεων Lyapunov της μορφής, v(x) = x T Px με P R n n, θετικώς ορισμένη μήτρα. Οι διατυπωμένες συνθήκες της παραπάνω πρότασης υποδεικνύουν μία επαναληπτική μέθοδο προς προσδιορισμό λύσης στο ΓΠΡΠ Βήμα 1 ο Τετραγωνική προσέγγιση Ορίζεται ένα γραμμικό τετραγωνικό πρόβλημα και καθορίζεται ένας σταθεροποιητικός νόμος ελέγχου u = Fx. Αυξάνουμε τη μήτρα ποινής ελέγχου μέχρις ότου R(G, w) Q(F, ρ l, ρ u ) Βήμα 2 ο : Προσδιορίζουμε μία τετραγωνική συνάρτηση Lyapunov της μορφής v(x) = x T Px και μία σταθερά c έτσι ώστε: R(G, w) Ω (v, c) Q(F, ρ l, ρ u ) (5) Όπου Ω (v, c) είναι ένα θετικώς αμετάβλητο σύνολο και ορίζεται από τη σχέση: Ω (v, c) = {x R n v(x) c}. Εάν αυτό δεν είναι εφικτό, επαναλαμβάνουμε το σχεδιασμό, προς προσδιορισμό μικρότερου κέρδους μήτρας F και μεγέθυνση του συνόλου Q(F, ρ l, ρ u ) μέχρις ότου να ικανοποιείται η σχέση (5). Είναι προφανές, πως η διαδικασία σχεδιασμού απλοποιείται σημαντικά, εάν ο σταθεροποιητικός νόμος ελέγχου, υπολογίζεται έτσι ώστε το σύνολο Q(F, ρ l, ρ u ), να αποτελεί ένα θετικώς αμετάβλητο σύνολο του συστήματος κλειστού βρόχου. Κάνοντας χρήση μη-τετραγωνικής μορφής συναρτήσεων Lyapunov, μπορούμε να δημιουργήσουμε θετικώς αμετάβλητα σύνολα πολυεδρικής μορφής R(G, w).

33 33 Πολυεδρική Προσέγγιση Το πολυεδρικό σύνολο R(G, w) μπορεί ισοδυνάμως να οριστεί ως: όπου {R(G, w) = x R n : v (x) 1 } v (x) max 1 i q { G(x) i } w i όπου G(x) i αναφέρεται στο ι-οστό στοιχείο του διανύσματος Gx. Προς απλοποίηση των παραπάνω αποτελεσμάτων, η συνθήκη R(G, w) Q(F, ρ l, ρ u ), που περιγράφει τη συμβατότητα μεταξύ περιορισμών στο διάνυσμα ελέγχου και τις αρχικών καταστάσεων, μπορεί να αντικατασταθεί με αντίστοιχη αλγεβρική σχέση. Γι αυτό το σκοπό, έστω x (i) με i = 1,2,, r οι κορυφές του κλειστού πολύεδρου R(G, w). Οι κορυφές x (i) αποτελούν λύση της γραμμικής εξίσωσης G (i) x (i) = w (i) με i = 1,2,, r όπου G (i) R n n, η αντιστρέψιμη υπομήτρα G και w (i) το αντίστοιχο υποδιάνυσμα του w Κατ αυτόν τον τρόπο μπορεί να γραφτεί η επόμενη πρόταση, βασική ιδιότητα του γραμμικού προγραμματισμού. Πρόταση : Τα πολυεδρικά σύνολα R(G, w) και Q(F, ρ l, ρ u ) ικανοποιούν τη σχέση: Αν και μόνο αν R(G, w) Q(F, ρ l, ρ u ) ρ l Fx (i) ρ u για i = 1,2,, r Ισοδύναμα η πρόταση μπορεί να διατυπωθεί και ως εξής: Πρόταση : Εάν Τότε F(G T G) 1 G T w ρ R(G, w) Q(F, ρ) Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις για τη μήτρα G, αναλόγως αν είναι τετραγωνική ή όχι. Στην περίπτωση που η μήτρα G είναι τετραγωνική, με G R n n, άρα και αντιστρέψιμη, πράγματι, από τις Fx ρ και Gx w, λύνοντας τη τελευταία ως προς x δίνει: x G 1 w και αντικαθιστώντας στην Fx ρ, η ανισότητα απλοποιείται σε: x (i) G 1 sign(fg 1 )w, i = 1, 2,, n

34 34 FG 1 w ρ. Στη μη-τετραγωνική περίπτωση, G R q n, η μήτρα G είναι μηαντιστρέψιμη, επομένως χρησιμοποιείται ο μετασχηματισμός πινάκων, (G T G) 1 G T = GT G T G = 1 G = G 1 Έτσι το διάνυσμα x (i) όπου x (i) = (G T G) 1 G T sign(f(g T G) 1 G T )w, ανήκει στο R(G, w), καθώς w Gx (i) w. και αντικαθιστώντας στην Fx (i) ρ, F(G T G) 1 G T sign(f(g T G) 1 G T )w ρ F(G T G) 1 G T w ρ Επίσης εάν Gx w δηλαδή x R(G, w) και άρα αντικαθιστώντας Δεδομένου ότι, Καταλήγουμε στην Έτσι x R(F, ρ). F(G T G) 1 G T Gx ρ (G T G) 1 G T G = GT G G T G = 1 Fx ρ Άμεση συνέπεια των παραπάνω προτάσεων είναι η ακόλουθη πρόταση. Εάν υπάρχει μήτρα F R m n και υπάρχει μήτρα H R q q ασυμπτωτικώς ευσταθής, ικανοποιώντας τις συνθήκες: ( H 1)w 0, GA + GBF = HG και ρ Fx ρ, τότε, με το νόμο ελέγχου u = Fx, όλες οι καταστάσεις x 0 R(G, w), μεταφέρονται ασυμπτωτικά στην αρχή των αξόνων, ενώ τα διανύσματα ελέγχου και κατάστασης ικανοποιούν τους περιορισμούς που τους εφαρμόζονται. Σημειώνεται πως, στην περίπτωση που η αρχή των αξόνων είναι ένα εσωτερικό σημείο του συνόλου R(G, w) και το ζεύγος μητρών (Α, Β) είναι σταθεροποιήσιμο, το γραμμικό πρόβλημα ρύθμισης υπό περιορισμούς έχει πάντα λύση. Η εφαρμογή οποιουδήποτε σταθεροποιητικού νόμου, σε συνδυασμό με ένα επαρκώς μικρό, θετικώς αμετάβλητο σύνολο (π.χ. ελλειψοειδές σύνολο Ω (v, c) ), είναι αρκετό, για να αποτελούν λύση στο ΓΠΡΠ. Στόχος λοιπόν, είναι η εύρεση νόμου ελέγχου u = Fx, ο οποίος θα επιτύχει να καταστήσει την περιοχή R(G, w), μέγιστη αποδεκτή περιοχή ελκτικότητας με βέλτιστες αποδόσεις. Εάν το γραμμικό πρόβλημα ρύθμισης υπό περιορισμούς, επιδέχεται λύσης, τότε μπορεί να προσδιοριστεί, μέσω επίλυσης ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού.

35 35 Γραμμικός Προγραμματισμός Ο γραμμικός προγραμματισμός είναι μια τεχνική βελτιστοποίησης μιας γραμμικής συνάρτησης κόστους που υπόκειται σε γραμμικές εξισώσεις και ανισώσεις, που αντιπροσωπεύουν τους περιορισμούς. Η γεωμετρική ερμηνεία, συνιστά μια πραγματοποιήσιμη περιοχή, καθοριζόμενη από τις γραμμικές ανισώσεις και παίρνει τη μορφή ενός κυρτού πολύεδρου. Η ύπαρξη βέλτιστης λύσης, δεν είναι εξασφαλισμένη για τους παρακάτω δύο λόγους: Πρώτων, αν δύο περιορισμοί είναι αντικρουόμενοι, τότε δεν υπάρχει πραγματοποιήσιμη λύση και το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού θεωρείται μη-πραγματοποιήσιμο. Σημειώνεται, πως οι έδρες ενός πολυτόπου, αναφέρονται και ως βασικές πραγματοποιήσιμες λύσεις. Δεύτερον, στην περίπτωση που το πολύτοπο, είναι μη-φραγμένο, κατά τη διεύθυνση της παραγώγου (κλίσης) της συνάρτησης κόστους, δεν μπορεί να βρεθεί βέλτιστη λύση. Όπως επίσης και στην περίπτωση που η κατάσταση ισορροπίας x e = 0, βρίσκεται στα όρια του συνόλου R(G, w). Οι περιορισμοί προς ικανοποίηση, αποτελούνται από τις παρακάτω εξισώσεις και ανισώσεις: ( H 1)w 0 (1) GA + GBF = HG (2) F(G T G) 1 G T w ρ ( για G R q n ) (3) FG 1 w ρ (για G R n n ) και με h ij 0, i j Παίρνοντας την περίπτωση που G R q n, η εξίσωση (2) μπορεί να γραφτεί ισοδύναμα με αντιστροφή της μήτρας G. H = GA(G T G) 1 G T + GBF(G T G) 1 G T Όπου Α R n n G T R n q, B R n m, F R m n, H R q q Και θέτοντας μία μήτρα D R m q έτσι ώστε: Δηλαδή D = F(G T G) 1 G T DG = F F(G T G) 1 G T G = F επομένως αντικαθιστώντας, H = GA(G T G) 1 G T + GBD

36 Αντικαθιστώντας στη (3) γίνεται Και τη Η στην (1) έχουμε 36 D w ρ H = GA(G T G) 1 G T + GBD w w Χρειάζεται όμως, να διασφαλιστεί η ευστάθεια της μήτρας Η, (συνάμα και του συστήματος κλειστού βρόχου) και ταυτόχρονα, να αυξηθεί ο ρυθμός σύγκλισης στην κατάσταση ισορροπίας. Οι συνθήκες στη μήτρα D R m q, εξασφαλίζουν την ύπαρξη γραμμικού νόμου ελέγχου της μορφής u = Fx = DGx, έτσι ώστε το σύνολο R(G, w), να είναι θετικώς αμετάβλητο σύνολο του συστήματος κλειστού βρόχου. Αλλά και ότι R(G, w) Q(F, ρ). x(k + 1) = (A + BDG)x(k) Στην ουσία η μήτρα D είναι αποτέλεσμα του λήμματος του Farkas, το οποίο θα παρουσιαστεί τη συνέχεια. Παρατηρείται πως, ( GA(G T G) 1 G T + GBD 1)w 0 Συνεπάγεται ευστάθεια κατά Lyapunov της καταστάσεως ισορροπίας στο μηδέν, καθώς η μήτρα (GA(G T G) 1 G T + GBD) 1 έχει μη-αρνητικά στοιχεία εκτός της κύριας διαγωνίου (εξάλλου είναι μια μήτρα H M q Metzler) και το διάνυσμα w αποτελείται από θετικά στοιχεία. Η ασυμπτωτική ευστάθεια, εξασφαλίζεται στη περίπτωση που η ανίσωση ικανοποιείται αυστηρώς, γι αυτόν το λόγο θα δημιουργήσουμε ένα συστολικό σύνολο ε, όπου 0 ε < 1 και πραγματικός αριθμός. Υπενθυμίζεται ο ορισμός συστολικού συνόλου: Έστω σύνολο Δ. Εάν το μηδενικό σημείο ανήκει αυστηρά στο εσωτερικό του συνόλου Δ, τότε ανήκει επίσης στο εσωτερικό του λ-βαθμωτού συνόλου λδ. Κατ αυτόν τον τρόπο, εάν λ R (0,1), τότε το σύνολο λα λέγεται και λ-συστολικό. Ή ισοδύναμα: Tο σύνολο Δ R n είναι συστολικό σύνολο του συστήματος S αν υπάρχει λ < 1 τέτοιο ώστε για όλες τις αρχικές καταστάσεις x 0 Δ, οι αντίστοιχες λύσεις ικανοποιούν τη σχέση x(k, x 0 ) λδ. Έτσι η συνθήκη γίνεται GA(G T G) 1 G T + GBD w εw Η w εw Συνεπώς, η ύπαρξη λύσης στο γραμμικό πρόβλημα ρύθμισης υπό περιορισμούς ισοδυναμεί με την ύπαρξη μήτρας D R m q και ενός πραμγατικού αριθμού ε, 0 ε < 1, ικανοποιόντας τις συνθήκες

37 37 και D w ρ Η w εw Επιθυμητό είναι, εκτός από τη σταθεροποίηση του συστήματος, και η αύξηση του ρυθμού σύγκλισης των μεταβλητών κατάστασης στην κατάσταση ισορροπίας. Έτσι το σύστημα ανισώσεων μπορεί να αντικατασταθεί με αγνώστους, τα στοιχεία της μήτρας D, d ij και τη θετική μεταβλητή ε, προς ελαχιστοποίηση. H συνάρτηση κόστους, για το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού επιλέγεται, J(D, ε) = ε επομένως, η επίλυση του προβλήματος έγκειται στην ελαχιστοποίηση, min {ε} H,D,ε Παίρνοντας ως συνάρτηση Lyapunov, την v(x) = max i { G(x) i }, παρατηρείται πως αφού rank(g) = n και άρα det(g i ) 0 και w i > 0, η v(x) είναι θετικώς ορισμένη στο R n. Συνεπώς, η v(x) μπορεί να θεωρηθεί ως η απόσταση της κατάστασης x R(G, w) από την αρχή των αξόνων: w i v(x) + v(y) d(x, y) { 0 αν x y αν x = y Αν v: R n R θετικώς αμετάβλητο. Παρατηρείται πως εξ ορισμού Gx(k) v(x)w Έτσι λαμβάνοντας υπ όψιν ότι Συνεπάγεται, GA + GBF = HG v(x(k + 1)) = max { (Gx(k + 1)) i } i w i = max { (G(A + BF)x(k)) i } i w i = max { (HGx(k)) i } i w i max { ( H Gx(k) ) i } i w i

38 38 Άρα πράγματι v(x(k + 1)) εv(x(k)). εv(x(k)) Από την Και λόγω της συνεπάγεται Gx(k) v(x)w Η w εw H Gx(k) v(x) Η w εv(x)w v(x(k)) ε k v(x 0 ) Συνεπώς ελαχιστοποίηση του ε αυξάνει το ρυθμό σύγκλισης της μεταβλητής κατάστασης x(k) στο μηδέν. Συμπερασματικά, η ασυμπτωτική ευστάθεια του συστήματος κλειστού βρόχου, εξασφαλίζεται με βέλτιστες λύσεις γραμμικού προγραμματισμού D, ε όπου ε < 1. Συνεπώς, η χρησιμοποίηση ενός νόμου ελέγχου u = DGx, τοποθετεί τις ιδιοτιμές λ(η ) = λ(a + BF ) = μ i + σ i ε εντός του κλειστού τετραγώνου ε. Διακρίνονται οι παρακάτω περιπτώσεις για τις τιμές του βέλτιστου arg min{ε} = ε : Στην περίπτωση που, ε 0 και το σύνολο R(G, w) είναι φραγμένο, τότε ο νόμος ελέγχου u = Fx, είναι σταθεροποιητικός και το σύνολο R(G, w), είναι ένα αποδεκτό ελκτικό σύνολο. Εάν ε 1, τότε το σύνολο R(G, w) είναι θετικώς αμετάβλητο σύνολο και του συστήματος κλειστού βρόχου (Α + ΒF). Στην περίπτωση που ε = 1, το σύνολο R(G, w) είναι θετικώς αμετάβλητο σύνολο και αποδεκτό ελκτικό σύνολο, δηλαδή, η ασυμπτωτική ευστάθεια εξασφαλίζεται, αν και μόνο αν, η μήτρα Η (ή ισοδύναμα η μήτρα κλειστού βρόχου), είναι μη-αναγώγιμη ( irreducible) ή Hurwitz. Εάν ε < 0, τότε δεν υπάρχει νόμος ελέγχου που να καθιστά το σύνολο R(G, w) θετικώς αμετάβλητο σύνολο και αποδεκτό ελκτικό σύνολο.

39 39 Γραμμικό Αποκεντρωμένο Πρόβλημα Ρύθμισης υπό Περιορισμούς Τα συστήματα μεγάλης κλίμακας ως γνωστόν, ελέγχονται από πλήθος σταθμών ελέγχου, που κατέχουν έκαστος, μερική και διαφορετική πληροφορία ως προς τη συμπεριφορά του συστήματος. Αυτή η συγκεκριμένη πληροφοριακή δομή, επισύρει δομικούς περιορισμούς στο διάνυσμα ελέγχου και κατά συνέπεια στο αποκεντρωμένο σύστημα ελέγχου. Πέραν από τους δομικούς περιορισμούς προερχόμενοι από το μέγεθος του συστήματος, το διάνυσμα ελέγχου πρέπει να ικανοποιεί και ποσοτικούς περιορισμούς. Το πρόβλημα ρύθμισης υπό περιορισμούς του γραμμικού αποκεντρωμένου συστήματος, ισοδυναμεί με τη εύρεση ενός τοπικού σταθεροποιητικού νόμου ελέγχου, έτσι ώστε όλες οι αρχικές καταστάσεις αναδυόμενες από πολυεδρική περιοχή του χώρου κατάστασης, να μεταφέρονται ασυμπτωτικά στην αρχή των αξόνων, χωρίς οι μεταβλητές ελέγχου να παραβιάζουν τους γραμμικούς περιορισμούς που επιβάλλονται. Έστω σύστημα διακριτού χρόνου: x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) όπου x R n, u R m, A R n n, B R m και k ανήκει στο μη-αρνητικό σύνολο ακεραίων Τ = {0, 1, 2 }. Το σύστημα S αποτελείται από s διασυνδεδεμένα υποσυστήματα S i, i = 1, 2,, s και γράφεται υπό τη μορφή: x i (k + 1) = A ii x i (k) + B i u i (k) + A ij x j (k) j=1 j i όπου x i R n i, u i R m i, A ii R n i n i, B i R n i m i, n 1 + n n s = n και m 1 + m m s = m Δύο ειδών περιορισμοί, εφαρμόζονται στο διάνυσμα ελέγχου, δομικοί και ποσοτικοί. Δομικοί περιορισμοί: Είναι εμφανές πως σε κάθε υποσύστημα S i, αντιστοιχείται ένας ξεχωριστός σταθμός ελέγχου. Στην περίπτωση, που όλοι οι ελεγκτές, διαθέτουν την ίδια ακριβώς πληροφορία, τότε δεν υπάρχει λόγος επιβολής δομικών περιορισμών στο διάνυσμα ελέγχου. Στην προκειμένη περίπτωση, η μοναδική διαθέσιμη πληροφορία στους ελεγκτές, είναι η συμπεριφορά του διανύσματος κατάστασης του αντίστοιχου υποσυστήματος. Σύμφωνα με την παραπάνω υπόθεση, η μήτρα F, στην περίπτωση στατικού γραμμικού νόμου ελέγχου ανατροφοδότησης κατάστασης u = Fx, παίρνει ομαδοποιημένη διαγώνια μορφή (block diagonal). F F F = [ 2 0 ] 0 0 F s s

40 40 όπου F i R m i n i συνεπάγεται πως F R m n. Ποσοτικοί περιορισμοί: Οι τοπικοί ελεγκτές u i, θα πρέπει να ικανοποιούν περιορισμούς της μορφής: όπου ρ i > 0. ρ i u i ρ i, i = 1, 2,, s Επίσης, σε κάθε υποσύστημα, αντιστοιχείται ένα φραγμένο σύνολο αρχικών καταστάσεων με τη μορφή: w i G i x i w i, i = 1, 2,, s όπου G i R n i n i, det G i 0, και w i = [w i1 w ini ] T με w ij > 0. Θα μελετηθεί η εύρεση καθολικά αποκεντρωμένου γραμμικού νόμου ελέγχου ανατροφοδότησης κατάστασης u = [u 1 u s ], με u R m. όπου και u i = F i x i i = 1, 2,, s F i R m i n i u i R m i έτσι ώστε, όλες οι αρχικές καταστάσεις του συστήματος κλειστού βρόχου, x(k + 1) = (A + BF)x(k), να μεταφέρονται ασυμπτωτικά στο μηδέν, χωρίς να παραβιάζονται οι περιορισμοί στο διάνυσμα ελέγχου u(k). Παρατήρηση: Εάν στο αυτόνομο σύστημα ανοικτού βρόχου x(k + 1) = Ax(k), η κατάσταση ισορροπίας x = 0, είναι ασυμπτωτικώς ευσταθής, τότε δεν υπάρχει ανάγκη ελέγχου και η προφανής τετριμμένη λύση είναι u = 0. Αντιθέτως, εάν το σύστημα ανοικτού βρόχου είναι ασταθές, ενδέχεται το γραμμικό αποκεντρωμένο πρόβλημα ρύθμισης υπό περιορισμούς, να μην επιδέχεται λύσης.

41 41 Συνθήκες ύπαρξης λύσης στο ΓΑΠΡΠ Σε κάθε τοπικό νόμο ελέγχου u i (k) = F i x i (k), αντιστοιχείται το πολυεδρικό σύνολο R(F i, ρ i ) {x R n i : ρ i u i = F i x i ρ i } Έτσι ο αποκεντρωμένος νόμος ελέγχου u R m του καθολικού συστήματος επιδέχεται πολυεδρικό σύνολο της μορφής: R(F, ρ) {x R n : ρ < Fx ρ} = R(F 1, ρ 1 ) R(F 2, ρ 2 ) R(F s, ρ s ) με F = diag(f 1, F 2,, F s ) και ρ = [ρ 1 ρ 2 ρ s ] και ορίζει την περιοχή καταστάσεων του συστήματος κλειστού βρόχου, για το οποίο, το διάνυσμα ελέγχου u(k) δεν παραβιάζει τους περιορισμούς. Ανάλογα, εκφράζεται και το σύνολο αρχικών καταστάσεων: R(G, w) = R(G 1, w 1 ) R(G 2, w 2 ) R(G s, w s ) όπου G = diag(g 1, G 2,, G s ),w = [w 1 w 2 w s ], G i R n i n i, G R n n, w R n Συνεπώς, ο νόμος ελέγχου u = Fx αποτελεί λύση του γραμμικού αποκεντρωμένου προβλήματος ρύθμισης υπό περιορισμούς, αν κα μόνο αν, το σύστημα κλειστού βρόχου είναι ασυμπτωτικώς ευσταθές και όλες οι αναδυόμενες τροχιές x(k; x 0 ) από την περιοχή R(G, w), δεν εγκαταλείπουν την περιοχή R(F, ρ), για κάθε στιγμή k T. Πρόταση : Ο νόμος ελέγχου u = Fx με F R m n αποτελεί λύση του γραμμικού αποκεντρωμένου προβλήματος ρύθμισης υπό περιορισμούς, αν και μόνο αν: Οι ιδιοτιμές λ i, i = 1, 2,, n του συστήματος κλειστού βρόχου (της μήτρας A + BF ), βρίσκονται στον ανοικτό δίσκο λ i < 1. Υπάρχει θετικώς αμετάβλητο σύνολο του συστήματος κλειστού βρόχου, Ω R n έτσι ώστε: R(G, w) Ω R(F, ρ) Πράγματι, αν x 0 R(G, w), τότε x(k; x 0 ) R(F, ρ) k T. Υπενθυμίζεται, πως ένα υποσύνολο Ω R n, είναι θετικώς αμετάβλητο σύνολο του συστήματος κλειστού βρόχου, αν και μόνο αν, x 0 Ω συνεπάγεται ότι x(k; x 0 ) Ω k T. Συνεπώς συνδυάζοντας και το κριτήριο ασυμπτωτικής ευστάθειας στη κατάσταση ισορροπίας x = 0, συμπεραίνεται πως ο νόμος ελέγχου u = Fx, αποτελεί λύση του γραμμικού αποκεντρωμένου προβλήματος ρύθμισης υπό περιορισμούς.

42 Η εύρεση λύσης πρέπει να υπακούει στις παρακάτω προϋποθέσεις: 42 Εάν η μήτρα F R m n είναι σύνθετη διαγώνια μήτρα, με F = diag(f 1, F 2,, F s ) όπου F i R m i n i, έτσι ώστε: Οι ιδιοτιμές λ i, i = 1, 2,, n του συστήματος κλειστού βρόχου (της μήτρας A + BF ) να βρίσκονται στον ανοικτό δίσκο λ i < 1, εξασφαλίζοντας έτσι ασυμπτωτική ευστάθεια. Το σύνολο R(G, w) είναι θετικώς αμετάβλητο σύνολο του συστήματος κλειστού βρόχου Α + BF, δηλαδή για κάθε x 0 R(G, w) συνεπάγεται ότι x(k; x 0 ) R(G, w) k T. R(G, w) R(F, ρ), δηλαδή όλες οι αναδυόμενες τροχιές x(k; x 0 ), από την περιοχή R(G, w), δεν εγκαταλείπουν την περιοχή R(F, ρ), για κάθε στιγμή k T. τότε ο νόμος ελέγχου u = Fx, αποτελεί λύση του γραμμικού αποκεντρωμένου προβλήματος ρύθμισης υπό περιορισμούς. Η συνθήκη θετικής αμεταβλητότητας του συνόλου R(G, w), ως προς το σύστημα κλειστού βρόχου, μπορεί να γραφεί αλγεβρικά, σύμφωνα με την παρακάτω πρόταση: Πρόταση: Το πολυεδρικό σύνολο R(D, c) με D R q n, rank D = q και c = [c 1,, c q] T, c i > 0, i = 1, 2,, q είναι θετικώς αμετάβλητο σύνολο του συστήματος όπου x R n, A R n n x(k + 1) = Ax(k) αν και μόνο αν υπάρχει μήτρα Η R q q έτσι ώστε και ( Η 1)c 0 DA HD = 0 Εφαρμόζοντας τα παραπάνω για το σύνολο R(G, w), με G τετραγωνική και άρα αντιστρέψιμη, όπου G R n n, rank G = n και λύνοντας την εξίσωση ως προς Η και αντικαθιστώντας στην ανίσωση, καταλήγουμε στη H = GAG 1 αντικαθιστώντας για το σύστημα κλειστού βρόχου ισχύει και Η = G(A + BF)G 1 ( G(A + BF)G 1 1)w 0

43 Σύμφωνα με τα παραπάνω και εφόσον η μήτρα G(A + BF)G 1 είναι θετικώς ορισμένη και w R n, ένα διάνυσμα με θετικά στοιχεία, συνεπάγεται ευστάθεια κατά Lyapunov, του συστήματος κλειστού βρόχου καθώς, 43 λ i (G(A + BF)G 1 ) = λ i (A + BF) 1. Εφαρμόζοντας τα παραπάνω, για το πλήρες διασυνδεδεμένο σύστημα που επαναλαμβάνεται εδώ για ευκολία, x i (k + 1) = A ii x i (k) + B i u i (k) + A ij x j (k) j=1 j i όπου x i R n i, u i R m i, A ii R n i n i, B i R n i m i, n 1 + n n s = n και m 1 + m m s = m προκύπτει ότι η κατάσταση ισορροπίας x = 0, του κλειστού συστήματος, είναι ευσταθής κατά Lyapunov και R(G, w) = R(G 1, w 1 ) R(G 2, w 2 ) R(G s, w s ) Είναι ένα θετικώς αμετάβλητο σύνολο του συστήματος κλειστού βρόχου, αν και μόνο αν: s G i (A ii + B i F i )G 1 i w i + G i A ij G 1 j w j w i i = 1, 2,, s j=1 j i Στη συνέχεια, μπορεί να διατυπωθεί η αλγεβρική συνθήκη για τη συμπερίληψη δύο πολυεδρικών περιοχών R(G, w) R(F, ρ), δηλαδή, κάθε αναδυόμενη τροχιά από το σύνολο R(G, w), παραμένει εντός του συνόλου R(F, ρ), χρησιμοποιώντας το λήμμα του Farkas. Λήμμα του Farkas Για x R n το σύνολο ανισώσεων Fx ρ ισχύει για κάθε σημείο του μη-κενού κυρτού πολυέδρου, ορισμένο από Gx w, αν και μόνο αν, υπάρχει μη-αρνητική δυϊκή μήτρα Μ R m n έτσι ώστε : ΜG = F Mw ρ. Έτσι λοιπόν, ικανή και αναγκαία συνθήκη, για συμπερίληψη δύο πολυέδρων R(F, ρ) και R(G, w) στο R n, είναι η ύπαρξη της παραπάνω μήτρας Μ. Η συμπερίληψη R(G, w) R(F, ρ) είναι ισοδύναμη με : Gx w Fx ρ στην προκειμένη περίπτωση και υποθέτοντας πως G R n n τετραγωνική και άρα αντιστρέψιμη μήτρα, κατάλληλη μήτρα Μ μπορεί να θεωρηθεί η μήτρα s

44 44 όπου G 1 R n n Μ = FG 1 Συνεπώς εάν x i R(G i, w i ), δηλαδή, w i G i x i w i G i x i w i και από ρ i F i x i ρ i F i x i ρ i Έτσι σύμφωνα με το λήμμα του Farkas, υπάρχει μη-αρνητική δυϊκή μήτρα Μ i = F i G i 1 R m i n i έτσι ώστε : και F i G i 1 G i = F i F i G i 1 w i ρ i με G i R n i n i, G i 1 R n i n i, F i R m i n i, w i R n i. ρ i R m i, i = 1, 2,, s Συμπερασματικά, μπορεί να διατυπωθεί αλγεβρικά η αναγκαία και ικανή συνθήκη ώστε τα πολυεδρικό σύνολο R(G, w), να είναι υποσύνολο του R(F, ρ) και να ικανοποιείται η σχέση: Είναι η ικανοποίηση της ανίσωσης R(G, w) R(F, ρ) F i G i 1 w i ρ i Λόγω της διαγώνιας, σύνθετης μορφής, των μητρών F και G, το γεγονός ότι η συνθήκη, R(G i, w i ) R(F i, ρ i ), ικανοποιείται σε επίπεδο υποσυστημάτων, είναι αρκετό, ώστε να ικανοποιείται και σε καθολικό επίπεδο. Ανακεφαλαιώνοντας τις προϋποθέσεις, για ύπαρξη λύσης στο γραμμικό αποκεντρωμένο πρόβλημα ρύθμισης υπό περιορισμούς. Υπάρχει νόμος ελέγχου u = Fx, αν η μήτρα F R m n είναι σύνθετη διαγώνια μήτρα, αποτελούμενη από υπομήτρες F i R m i n i, με F = diag(f 1, F 2,, F s ) έτσι ώστε: Οι ιδιοτιμές λ i, i = 1, 2,, n του συστήματος κλειστού βρόχου (της μήτρας A + BF ), βρίσκονται στον ανοικτό δίσκο λ i < 1, εξασφαλίζοντας έτσι ασυμπτωτική ευστάθεια της καταστάσεως x = 0.

45 45 G i (A ii + B i F i )G 1 s i w i + j=1 G i A ij G 1 j w j w i i = 1, 2,, s, j i εξασφαλίζοντας έτσι τη θετική αμεταβλητότητα του συνόλου R(G i, w i ) και συνάμα του συστήματος κλειστού βρόχου σε επίπεδο υποσυστημάτων. F i G i 1 w i ρ i, i = 1, 2,, s, εξασφαλίζοντας έτσι ότι το σύνολο αρχικών καταστάσεων είναι υποσύνολο της περιοχής που διαγράφουν οι περιορισμοί ελέγχου. Υπό αυτές τις συνθήκες, ο νόμος ελέγχου u = Fx αποτελεί λύση του Γραμμικού Αποκεντρωμένου Προβλήματος Ρύθμισης υπό Περιορισμούς. Παρατηρείται πως αν η μήτρα G(A + BF)G 1 είναι μη-αναγώγιμη, τότε σύμφωνα με το θεώρημα Perron-Frobenius η μήτρα κλειστού βρόχου δεν μπορεί να παρασταθεί ισοδύναμα σε σύνθετη άνω τριγωνική διαγώνια μορφή μέσω διαγωνοποίησης με τη μήτρα G. Συνεπώς το θεώρημα Perron-Frobenius, θέτει πως εάν μία μήτρα Α είναι μηαναγώγιμη και Α 0 (ικανοποιείται και αυστηρώς) και εάν υπάρχει μήτρα B έτσι ώστε: τότε B A, B A ρ(β) ρ(α). Αντικαθιστώντας όπου B τη μήτρα G(A + BF)G 1 και όπου Α η μοναδιαία μήτρα 1 R n n καταλήγουμε πως: λ i (G(A + BF)G 1 ) = λ i (A + BF) λ i < 1 Δηλαδή οι ιδιοτιμές βρίσκονται στο μοναδιαίο δίσκο, γεγονός που συνεπάγεται ασυμπτωτική ευστάθεια του συστήματος κλειστού βρόχου. Λόγω της σύνθετης διαγώνιας μορφής των μητρών G και F, το γεγονός ότι η μήτρα G(A + BF)G 1 είναι μη-αναγώγιμη, επισύρει και μη-αναγωγιμότητα της μήτρας διασυνδέσεων. s 0 A 12 A 1s A A ij = Α I = [ 21 0 A 2s ] A s1 A s2 0 j=1 j i Παρατηρείται λοιπόν, πως η συνθήκη για ασυμπτωτική ευστάθεια, δηλαδή οι ιδιοτιμές να βρίσκονται στον μοναδιαίο δίσκο, ικανοποιείται είτε εάν η συνθήκη, G i (A ii + B i F i )G i 1 w i + G i A ij G j 1 s j=1 j i w j < w i ικανοποιείται αυστηρά, είτε εάν η μήτρα διασυνδέσεων μεταξύ υποσυστημάτων είναι μη-αναγώγιμη. Και στις δύο περιπτώσεις καταλήγουμε στο συμπέρασμα πως λ i < 1.

46 46 Συμπεραίνεται πως η ύπαρξη λύσης στο Γραμμικό Αποκεντρωμένο Πρόβλημα Ρύθμισης υπό Περιορισμούς, συνδέεται άμεσα με τις φασματικές ιδιότητες της μήτρας διασύνδεσης υποσυστημάτων Α I. Για την ύπαρξη λύσης στο Γραμμικό Αποκεντρωμένο Πρόβλημα Ρύθμισης υπό Περιορισμούς, είναι αναγκαίο οι ιδιοτιμές λ i = μ i + jσ i της μήτρας διασύνδεσης υποσυστημάτων Α I, να βρίσκονται στο κλειστό τετράγωνο μ i + σ i 1. Πράγματι, από τη συνθήκη: Ισχύει s G i (A ii + B i F i )G 1 i w i + G i A ij G 1 j w j w i i = 1, 2,, s s j=1 j i G i A ij G 1 j w j w i j=1 j i Δηλαδή για το συνολικό σύστημα, diag(g 1, G 2,, G s ) Α I diag(g 1 1, G 2 1,, G s 1 ) w w Παρατηρείται πως η μήτρα (1 GΑ I G 1 ) R n n είναι σύνθετη κάτω τριγωνική, και έχει μη-θετικά στοιχεία εκτός της διαγωνίου. Συνεπώς κάθε σύνθετη ομάδα της διαγωνίου της θα έχει τη μορφή: [ 1 μ i σ i σ i 1 μ i ] και δεδομένου ότι το διάνυσμα w, έχει μη-αρνητικά στοιχεία, συνεπάγεται πως για τις ιδιοτιμές ισχύει: λ i (GΑ I G 1 ) = λ i (Α I ) = μ i + σ i 1 βρίσκονται δηλαδή, πάνω στο ανοικτό μοναδιαίο τετράγωνο [7]. Επομένως, το πρόβλημα σχεδιασμού, υπόκειται στην εύρεση σύνθετης διαγώνιας μήτρας F = diag(f 1, F 2,, F s ), έτσι ώστε να εξασφαλίζεται: η θετική αμεταβλητότητα του συνόλου R(G i, w i ), για το σύστημα κλειστού βρόχου, σε επίπεδο υποσυστημάτων και κατ επέκταση στο γενικό σύστημα. Η συνθήκη για τη συμπερίληψη δύο πολυεδρικών περιοχών R(G, w) R(F, ρ), δηλαδή κάθε αναδυόμενη τροχιά από το σύνολο R(G, w) παραμένει εντός του συνόλου R(F, ρ). ασυμπτωτική ευστάθεια του συστήματος κλειστού βρόχου, δηλαδή οι ιδιοτιμές της μήτρας A + BF, να βρίσκονται στον ανοικτό δίσκο λ < 1.

47 47 Αν αυτό δεν είναι είναι εφικτό, τότε αυξάνονται τα κέρδη των μητρών F i, i = 1, 2,, s μέχρις ότου ο νόμος ελέγχου u = Fx, να αποτελεί λύση του ΓΑΠΡΠ. Εντούτοις η ικανοποίηση ασυμπτωτικής ευστάθειας, σε βαθμό υποσυστημάτων με τη μήτρα F, να διασπάται σε πλήθος s ανεξάρτητων υπό-προβλημάτων χαμηλότερης τάξης, δεν εξασφαλίζει και ασυμπτωτική ευστάθεια του καθολικού συστήματος κλειστού βρόχου A + BF. Έτσι λοιπόν είναι επιθυμητό η εύρεση λύσης στο ΓΑΠΡΠ, να αποτελείται από s ανεξάρτητα υπό-προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού. Κατ αυτήν την έννοια θέτοντας Γραμμικός Προγραμματισμός F i G i 1 = D i Οι συνθήκες ώστε το σύνολο R(G i, w i ) ναι είναι θετικώς αμετάβλητο και να συμπεριλαμβάνεται εντός του συνόλου R(F i, ρ i ) ικανοποιούνται πλέον με και s G i A ii G 1 i + G i B i D i w i + G i A ij G 1 j w j w i i = 1, 2,, s j=1 j i D i w i ρ i Συνεπώς, με τους τοπικούς νόμους ελέγχου υποσυστημάτων, u i = D i G i x i i = 1, 2,, s εξασφαλίζεται ότι η περιοχή, R(G, w) = R(G 1, w 1 ) R(G 2, w 2 ) R(G s, w s ) είναι θετικώς αμετάβλητο σύνολο, του συστήματος κλειστού βρόχου x(k + 1) = (A + BDG)x(k) όπου D σύνθετη διαγώνια μήτρα με D = diag(d 1, D 2,, D s ). Ενώ ταυτόχρονα, κάθε αναδυόμενη τροχιά από το σύνολο R(G, w) παραμένει εντός του συνόλου R(F, ρ). Κατ αυτόν τον τρόπο, η κατάσταση ισορροπίας του συστήματος είναι ευσταθής κατά Lyapunov. Για να εξασφαλιστεί όμως η ασυμπτωτική ευστάθεια, θα πρέπει το σύνολο R(G, w), εκτός από θετικώς αμετάβλητο σύνολο του συστήματος κλειστού βρόχου,

48 να είναι και συστολικό. Έτσι επιλέγεται ένας πραγματικός αριθμός 0 ε i < 1 για κάθε υποσύστημα. Και επομένως η συνθήκη θετικής αμεταβλητότητας γίνεται: 48 G i A ii G 1 i + G i B i D i w i + G i A ij G 1 j w j ε i w i Έτσι συνεπάγεται για τις ιδιοτιμές λ i = μ i + jσ i κάθε υποσυστήματος S i ότι: βρίσκονται στο κλειστό τετράγωνο s j=1 j i λ i ε i < 1 μ i + σ i ε i Συμπερασματικά, η μήτρα D = diag(d 1, D 2,, D s ), πληροί όλες τις προϋποθέσεις, ώστε ο καθολικός νόμος ελέγχου u = DGx, να αποτελεί λύση στο ΓΑΠΡΠ. Από όλες τις προκύπτουσες λύσεις, είναι επιθυμητό να διατηρηθεί η μικρότερη τιμή ε i, ώστε να αυξηθεί ο ρυθμός σύγκλισης της μεταβλητής κατάστασης προς την ισορροπία. Παρατηρείται πως αφού det(g i ) 0, και w i > 0, η v(x) είναι θετικώς ορισμένη στο R n. Έτσι η v(x) μπορεί να θεωρηθεί ως η απόσταση x από την αρχή των αξόνων με απόσταση: Αν v: R n R θετικώς αμετάβλητο v(x) + v(y) d(x, y) { 0 αν x y αν x = y και v(x) {v 1 (x 1 ), v 2 (x 2 ),, v s (x s )}. Παίρνοντας ως συνάρτηση Lyapunov την v i (x i ) = max 1 r n i { (G ix i ) r w i } Επομένως προκύπτει, δεδομένου w i > 0, ότι G i x i (k) v i (x i )w i Συνεπώς ισχύει Και από v(x(k + 1)) = max 1 l s (v l(x l (k + 1))) = max 1 l s { max 1 r n i { (G lx l (k + 1)) r w ir }}

49 = max 1 i s 49 x i (k + 1) = A ii x i (k) + B i u i (k) + A ij x j (k) { max 1 r n i { s j=1 j i 1 G w i (A ii + B i F i )x i (k) + G i A ij x j (k) ir s j=1 j i }} Πολλαπλασιάζοντας κάθε μέλος με G i 1 G i = max 1 i s { max 1 r n i { Όπου D i = F i G i 1 1 (G w i A ii G 1 i + G i B i D i )G i x i (k) + (G i A ij G 1 i )G j x j (k) ir s j=1 j i }} max 1 i s { max 1 r n i { και επομένως δεδομένου ότι 1 G w i A ii G 1 i + G i B i D i G i x i (k) + G i A ij G 1 i G j x j (k) ir s j=1 j i }} G i x i (k) v i (x i )w i max 1 l s { max 1 r n i ( 1 w ir ( Θέτοντας v i (x i ) + v j (x j ) = v l (x l ) G i A ii G i 1 + G i B i D i v i (x i )w i + G i A ij G i 1 v j (x j )w j s j=1 j i ))} max 1 l s Και από { max 1 r n i ( 1 w ir v l (x l ) ( G i A ii G i 1 + G i B i D i w i + G i A ij G i 1 w j s j=1 j i G i A ii G 1 i + G i B i D i w i + G i A ij G 1 j w j ε i w i s j=1 j i max 1 l s { max 1 r n i ( 1 w ir ε i v(x(k))w ir )} ))}

50 50 Όπου ε = max{ε 1, ε 2,, ε s } εv(x(k)) v(x(k)) ε k v(x(0)) και k, ανήκει στο μη-αρνητικό σύνολο ακεραίων Τ = {0, 1, 2 }. Παρατήρηση: Η μεγιστοποίηση max αναφέρεται στη μέγιστη συνάρτηση Lyapunov που θα 1 i s προκύψει για τα τοπικά υποσυστήματα, ενώ παράλληλα επιλέγεται η μέγιστη συνάρτηση Lyapunov εντός κάθε υποσυστήματος, με μεγιστοποίηση για 1 r n i, αφού η v i (x i ) είναι θετικώς ορισμένη στο R n i. Επομένως, συμπεραίνεται πως το πρόβλημα προσδιορισμού τοπικών νόμων ελέγχου υποσυστημάτων της μορφής, u i = D i G i x i με i = 1, 2,, s, μπορεί να ευρεθεί, λύνοντας s ανεξάρτητα υποπροβλήματα γραμμικού προγραμματισμού. { min(ε i ) D i,ε i G i A ii G 1 i + G i B i D i w i + G i A ij G 1 j w j ε i w i s j=1 j i D i w i ρ i ε i 0 i = 1, 2,, s

51 Έστω σύστημα της μορφής: 51 Εφαρμογή MATLAB x i (k + 1) = A ii x i (k) + B i u i (k) + A ij x j (k) j=1 j i όπου x i R n i, u i R m i, A ii R n i n i, B i R n i m i, n 1 + n n s = n και m 1 + m m s = m Με s = 2, δηλαδή δύο διασυνδεδεμένα υποσυστήματα. Επομένως οι καταστατικές εξισώσεις θα έχουν τη μορφή Και σε μορφή πινάκων { x 1(k + 1) = A 11 x 1 (k) + B 1 u 1 (k) + A 12 x 2 (k) x 2 (k + 1) = A 22 x 2 (k) + B 2 u 2 (k) + A 21 x 1 (k) [ x 1(k + 1) x 2 (k + 1) ] = [A 11 A 12 ] [ x 1(k) A 22 x 2 (k) ] + [B 1 0 ] [ u 1(k) 0 B 2 u 2 (k) ] A 21 Θα μελετηθεί πρώτα το κάθε υποσύστημα ξεχωριστά. Mελέτη πρώτου υποσυστήματος x 1 (k + 1) = A 11 x 1 (k) + B 1 u 1 (k) x 1 (k) R n 1, A 11 R n 1 n 1, B 1 R n 1 m 1, A 12 R n 1 n 1, u 1 (k) R m 1. Παίρνοντας σύστημα δεύτερης τάξης, δύο καταστάσεων μιας εισόδου, δηλαδή n 1 = 2 και m 1 = 1, και θέτοντας τιμές για τις μήτρες Α και Β, παίρνουμε σε μορφή πινάκων: x 1 (k + 1) = [ ] x 1(k) + [ ] u 1(k) όπου A 11 = [ ] και B 1 = [ ] Το σύστημα αυτό είναι ασταθές, καθώς οι ιδιοτιμές λ i (A) = {0.1702, } είναι μεν πραγματικές, αλλά η μία βρίσκεται εκτός μοναδιαίου κύκλου. Είναι λοιπόν αναγκαία η εφαρμογή σταθεροποιητικού νόμου ελέγχου. Παρατηρείται πως η μήτρα ελεγξιμότητας Co είναι πλήρης τάξης s και Co = [B AB] = [ ] rank(co) = 2

52 Επομένως το σύστημα είναι πλήρως ελέγξιμο. Θέτοντας ως σύνολο αρχικών καταστάσεων, πολυεδρικό σχήμα, ένα τρίγωνο που περιέχει το σημείο μηδέν, με έδρες τα σημεία {(0, 1), ( 1, 1), (1, 1)} το οποίο υπακούει στους περιορισμούς : με G R q n, w R q δηλαδή η H-απεικόνιση : 52 R(G, w) = {x R n Gx w} R(G, w) = { x R n [ 0 1 ] x [ 1 ] } Ενώ η V-απεικόνιση: R(G, w) = conv { [ 0 1 ], [ 1 1 ], [ 1 1 ] } και απεικονίζεται στον δισδιάστατο χώρο ως εξής: Σχήμα 1.1 απεικόνιση συνόλου R(G, w) στο R 2. Σε κάθε νόμο ελέγχου ανατροφοδότησης κατάστασης u = Fx, αντιστοιχούμε το πολυεδρικό σύνολο : Q(F, ρ l, ρ u ) {x R n ρ l Fx ρ u } To οποίο δηλώνει, το σύνολο (αρχικών) καταστάσεων του συστήματος κλειστού βρόχου, για το οποίο το διάνυσμα ελέγχου, δεν παραβιάζει τους περιορισμούς πάνω κάτω από [ ρu ρ l] = [ 8 10 ]. Στόχος, είναι ο προσδιορισμός, τοπικού γραμμικού νόμου ελέγχου ανατροφοδότησης κατάστασης της μορφής:

53 53 u(k) = Fx(k) έτσι ώστε όλες οι αρχικές καταστάσεις που ικανοποιούν τις ανισώσεις (2), να μεταφέρονται στην αρχή των αξόνων ασυμπτωτικά, ενώ τα διανύσματα ελέγχου και κατάστασης, ικανοποιούν τους παραπάνω περιορισμούς. Τότε, ένας νόμος ελέγχου της μορφής u = Fx, αποτελεί λύση του γραμμικού προβλήματος ρύθμισης υπό περιορισμούς, αν και μόνο αν, το σύστημα κλειστού βρόχου: x(k + 1) = (A + BF)x(k) είναι ασυμπτωτικά ευσταθές και άρα οποιαδήποτε τροχιά x(k; x 0 ), αναδυόμενη από το σύνολο R(G, w), δεν βγαίνει εκτός του συνόλου Q(F, ρ l, ρ u ) k T. Ο νόμος ελέγχου u = Fx με F R m n, αποτελεί λύση του γραμμικού προβλήματος ρύθμισης υπό περιορισμούς, αν και μόνο αν : Υπάρχει θετικώς αμετάβλητο σύνολο Ω R n, του συστήματος κλειστού βρόχου, έτσι ώστε: R(G, w) Ω Q(F, ρ l, ρ u ) Οι ιδιοτιμές λ i, i = 1, 2, n της μήτρας A + BF, βρίσκονται στο μοναδιαίο δίσκο λ i < 1. Εφαρμόζουμε τον αλγόριθμο γραμμικού προγραμματισμού: G(A 11 + B 1 F) = HG Ηw < ε 1 w h ij > 0 ε 1 > 0 Εξασφαλίζοντας έτσι, θετική αμεταβλητότητα του συνόλου R(G, w) και ασυμπτωτική ευστάθεια του συστήματος κλειστού βρόχου. Και με το Λήμμα του Farkas έχουμε: Μ > 0 Με F 0 = [ F F ] Εξασφαλίζοντας έτσι ΜG = F 0 Mw ρ R(G, w) R(F, ρ) Παρατήρηση:

54 54 Οι διαστάσεις για το συγκεκριμένο παράδειγμα διαμορφώνονται ως εξής: A 11 R 2 2, B 1 R 2 1, F 1 R 1 2, G 1 R 3 2, H 1 R r 1 r 1 : R 3 3, w 1 R 3 1 και Μ 1 R 2m 1 r : R 2 3, F 0 R 2 2, ρ 1 R 2 1. Χρησιμοποιώντας το multi-parametric toolbox του Matlab, λύνεται το πρόβλημα βελτιστοποίησης με συνάρτηση κόστους: min {ε} H,F,M,ε Το προκύπτων σύστημα κλειστού βρόχου A 11 + B 1 F = [ ] Έχει ιδιοτιμές λ i (A 11 + B 1 F) = {0.6997, } και άρα είναι ασυμτωτικώς ευσταθές. Προκύπτουν οι βέλτιστες μήτρες : Η = [ ] F = [ ] M = [ ] και ε = Επομένως το σύνολο Q(F, ρ l, ρ u ), σύνολο (αρχικών) καταστάσεων του συστήματος κλειστού βρόχου, για το οποίο το διάνυσμα ελέγχου, δεν παραβιάζει τους περιορισμούς, διαμορφώνεται από: Fx ρ = [ ρu ρ l] [ ] x [ 8 10 ]

55 55 Σχήμα 1.2 Το θετικώς αμετάβλητο σύνολο R(G, w) είναι υποσύνολο του συνόλου R(F, ρ). Σημειώνεται πως το σύνολο R(F, ρ) δεν είναι φραγμένο, εδώ απεικονίζεται ένα τμήμα του για ευκολία. Μελέτη δεύτερου υποσυστήματος x 2 (k + 1) = A 22 x 2 (k) + B 2 u 2 (k) x 2 (k) R n 2, A 22 R n 2 n 2, B 2 R n 2 m 2, u 2 (k) R m 2. Παίρνοντας σύστημα δεύτερης τάξης, δύο καταστάσεων μιας εισόδου, δηλαδή n 2 = 2 και m 2 = 1 και θέτοντας τιμές για τις μήτρες Α και Β, παίρνουμε σε μορφή πινάκων: x 2 (k + 1) = [ ] x 2(k) + [ 1 1 ] u 2(k) όπου A 22 = [ ] και B 2 = [ 1 1 ] Το σύστημα αυτό είναι ασταθές, καθώς οι ιδιοτιμές λ i (A 22 ) = { , } είναι μεν πραγματικές, αλλά η μία βρίσκεται εκτός μοναδιαίου κύκλου. Είναι λοιπόν, αναγκαία η εφαρμογή τοπικού σταθεροποιητικού νόμου ελέγχου. Παρατηρείται πως η μήτρα ελεγξιμότητας Co είναι πλήρης τάξης: Και Co = [B 2 A 22 B 2 ] = [ ] rank(co) = 2 Επομένως το σύστημα είναι πλήρως ελέγξιμο.

56 56 Θέτοντας ως σύνολο αρχικών καταστάσεων, πολυεδρικό σχήμα ένα τρίγωνο που περιέχει το σημείο μηδέν, με έδρες τα σημεία {(0, 1), ( 1, 1), (1, 1)} το οποίο υπακούει στους περιορισμούς: R(G 2, w 2 ) = {x R 2 G 2 x w 2 } με G 2 R q n, w 2 R q. Δηλαδή [ 0 1 ] [ x x ] [ 1 ] Σχήμα 2.1 Απεικόνιση συνόλου R(G 2, w 2 ) στο R 2. Σε κάθε νόμο ελέγχου ανατροφοδότησης κατάστασης u = Fx, αντιστοιχούμε το πολυεδρικό σύνολο: Q(F, ρ l, ρ u ) {x R n ρ l Fx ρ u } To οποίο δηλώνει το σύνολο (αρχικών) καταστάσεων του συστήματος κλειστού βρόχου, για το οποίο το διάνυσμα ελέγχου δεν παραβιάζει τους περιορισμούς πάνω κάτω από ρ 2 = [ ρu ρ l] = [ 7 8 ]. Εφαρμόζουμε τον αλγόριθμο γραμμικού προγραμματισμού: G 2 (A 11 + B 1 F 2 ) = H 2 G 2 Η 2 w 2 < ε 2 w 2 h ij > 0 ε 2 > 0

57 Εξασφαλίζοντας έτσι, θετική αμεταβλητότητα του συνόλου R(G 2, w 2 ) και ασυμπτωτική ευστάθεια του συστήματος κλειστού βρόχου. Με το Λήμμα του Farkas έχουμε: 57 Μ 2 > 0 Μ 2 G 2 = F 0 με F 0 = [ F F ] M 2 w 2 ρ 2 Εξασφαλίζοντας έτσι R(G 2, w 2 ) R(F 2, ρ 2 ) Παρατήρηση: Οι διαστάσεις για το συγκεκριμένο παράδειγμα διαμορφώνονται ως εξής: A 22 R 2 2, B 2 R 2 1, F 2 R 1 2, G 2 R 3 2, H 2 R r 2 r 2 : R 3 3, w 2 R 3 1 Και Μ 2 R 2m 2 r 2 : R 2 3, F 0 R 2 2, ρ 2 R 2 1. Χρησιμοποιώντας το multi-parametric toolbox του Matlab λύνεται το πρόβλημα βελτιστοποίησης με συνάρτηση κόστους: Το προκύπτον σύστημα κλειστού βρόχου min {ε} H 2,F 2,M 2,ε A 22 + B 2 F 2 = [ ] Έχει ιδιοτιμές λ i (A 22 + B 2 F 2 ) = { ± j0.1733} και άρα είναι ασυμπτωτικώς ευσταθές. Προκύπτουν οι βέλτιστες μήτρες Η 2 = [ ] F 2 = [ ] M 2 = [ ] και ε 2 =

58 58 Επομένως, το σύνολο Q(F, ρ l, ρ u ), σύνολο (αρχικών) καταστάσεων του συστήματος κλειστού βρόχου, για το οποίο το διάνυσμα ελέγχου δεν παραβιάζει τους περιορισμούς, διαμορφώνεται από: F 2 x ρ 2 = [ ρu 2 ρ l ] 2 [ ]x [ 7 8 ] Σχήμα 2.2 Το θετικώς αμετάβλητο σύνολο R(G 2, w 2 ) είναι υποσύνολο του συνόλου R(F 2, ρ 2 ) Σημειώνεται πως το σύνολο R(F, ρ) δεν είναι φραγμένο, εδώ απεικονίζεται ένα τμήμα του για ευκολία.

59 59 Πλήρως διασυνδεδεμένο σύστημα Το πλήρες διασυνδεδεμένο σύστημα είναι της μορφής: x i (k + 1) = A ii x i (k) + B i u i (k) + A ij x j (k) j=1 j i Διαλέγοντας λοιπόν, τις μήτρες διασύνδεσης, οι καταστατικές εξισώσεις των δύο υποσυστημάτων έχουν ως εξής: Και σε μορφή πινάκων: { x 1(k + 1) = A 11 x 1 (k) + B 1 u 1 (k) + A 12 x 2 (k) x 2 (k + 1) = A 22 x 2 (k) + B 2 u 2 (k) + A 21 x 1 (k) [ x 1(k + 1) x 2 (k + 1) ] = [A 11 A 12 ] [ x 1(k) A 22 x 2 (k) ] + [B 1 0 ] [ u 1(k) 0 B 2 u 2 (k) ] A 21 Παίρνοντας λοιπόν, τιμές για την επίδραση του δεύτερου υποσυστήματος, πάνω στο πρώτο, μέσω μήτρας διασύνδεσης: A 12 = [ ] To ίδιο γίνεται και για για την επίδραση του πρώτου υποσυστήματος, πάνω στο δεύτερο, μέσω μήτρας διασύνδεσης A 21 = [ ] Έτσι, το πλήρες διασυνδεδεμένο σύστημα θα έχει τη μορφή: s [ x 1 (k + 1) x 2 (k + 1) = [ x 3 (k + 1) x 4 (k + 1) ] ] [ x 1 x 2 x 3 x 4 ] + [ ] [ u 1 u 2 ] όπου x 1 (k) R n 1, A 11 R n 1 n 1, B 1 R n 1 m 1, A 12 R n 1 n 1, u 1 (k) R m 1 x 2 (k) R n 2, A 22 R n 2 n 2, B 2 R n 2 m 2, A 21 R n 2 n 2, u 2 (k) R m 2 και με δεδομένο ότι, n = n 1 + n 2 και m = m 1 + m 2 προκύπτει ότι n = 4 και m = 2. Το σύστημα αυτό είναι ασταθές, καθώς οι ιδιοτιμές λ i (A) = {1.0633, , , } είναι μεν πραγματικές, αλλά δύο εξ αυτών βρίσκονται εκτός μοναδιαίου κύκλου. Είναι λοιπόν αναγκαία η εφαρμογή τοπικού σταθεροποιητικού νόμου ελέγχου. Παρατηρείται πως η μήτρα ελεγξιμότητας Co είναι πλήρης τάξης

60 60 Το σύνολο αρχικών καταστάσεων του πλήρους συστήματος, αποτελείται από το συνδυασμό των αρχικών καταστάσεων των δύο υποσυστημάτων: R(G, w) = R(G 1, w 1 ) R(G 2, w 2 ) με G = diag(g 1, G 2 ) w = [w 1 w 2 ], G 1 R n 1 n 1, G 2 R n 2 n 2 G R n n, w R n Έτσι το επιλεγμένο πολύεδρο θα έχει τη μορφή με G R q n, w R q και υπό μορφή πινάκων: R(G, w) = {x R n Gx w} [ G G 2 ] x [ w 1 w 2 ] [ [ ] x 1 x 2 x 3 x 4 ] [ ] Σχήμα 3.1 απεικόνιση συνόλου R(G, w) στο R 4 Σε κάθε νόμο ελέγχου ανατροφοδότησης κατάστασης u = Fx αντιστοιχούμε το πολυεδρικό σύνολο : Q(F, ρ l, ρ u ) {x R n ρ l Fx ρ u }

61 61 To οποίο δηλώνει το σύνολο (αρχικών) καταστάσεων, του συστήματος κλειστού βρόχου, για το οποίο το διάνυσμα ελέγχου, δεν παραβιάζει τους περιορισμούς πάνω κάτω από: ρ = [ ρ 1 ρ ] = [ ]. F = [ F F 2 ] όπου F 1 R m 1 n 1 F 2 R m 2 n 2, συνεπάγεται πως F R m n και όπου ρ R n. ρ = [ ρ 1 ρ 2 ] = [ ρ 1 u ρ 1 l ρ 2 u ρ 2 l ] Εφαρμόζουμε τον αλγόριθμο γραμμικού προγραμματισμού: G(Α + ΒF) = HG Ηw < εw h ij > 0 ε > 0 Εξασφαλίζοντας έτσι, θετική αμεταβλητότητα του συνόλου R(G, w) και ασυμπτωτική ευστάθεια του συστήματος κλειστού βρόχου. Με το Λήμμα του Farkas έχουμε: Μ > 0 F 1 0 F Με F 0 = [ 1 ] F 0 2 F 2 ΜG = F 0 Mw ρ Εξασφαλίζοντας έτσι : R(G, w) R(F, ρ) Παρατήρηση: Οι διαστάσεις για το συγκεκριμένο παράδειγμα διαμορφώνονται ως εξής: A R n n : R 4 4, B R n m : R 4 2, F R m n : R 2 4, G R r n : R 6 4, H R r r : R 6 6, w R r : R 6 1

62 62 Και M R 2m r : R 4 6, F 0 R 2m n : R 4 4, ρ R 2m : R 4 1. Στόχος είναι, να προσδιοριστούν οι ισχυρότερες δυνατές διασυνδέσεις μεταξύ υποσυστημάτων, έτσι ώστε, το πλήρες διασυνδεδεμένο σύστημα, να παραμένει ευσταθές και ταυτόχρονα το σύνολο καταστάσεων του συστήματος κλειστού βρόχου, για το οποίο το διάνυσμα ελέγχου δεν παραβιάζει τους περιορισμούς, να είναι το μεγαλύτερο δυνατόν. Για αυτόν το σκοπό, εισάγονται πραγματικοί συντελεστές a 1, a 2 > 0 προς μεγιστοποίηση, ώστε να καθοριστεί η επίδραση των διασυνδέσεων, στη συμπεριφορά του πλήρους συστήματος. Επίσης, το συστολικό σύνολο, που καθορίζεται από την τιμή του πραγματικού θετικού ε, τίθεται στο όριο της ασυμπτωτικής ευστάθειας, δηλαδή ε = Εξασφαλίζεται έτσι, το μεγαλύτερο δυνατόν σύνολο θετικής αμεταβλητότητας, για το πλήρες σύστημα κλειστού βρόχου. Επομένως, το πρόβλημα βελτιστοποίησης, διαμορφώνεται πλέον με συνάρτηση κόστους: min H,F,M,a 1,a 2 { (α 1 + α 2 ) } Το προκύπτον σύστημα κλειστού βρόχου: έχει ιδιοτιμές: A + B F =[ ] λ i (A + B F) = {0.3775, 0.755, , , , , , , , , , , , , , } και άρα είναι ασυμπτωτικώς ευσταθές. Προκύπτουν οι βέλτιστες μήτρες : Η = [ ] F = [ ] Επομένως, το σύνολο Q(F, ρ l, ρ u ), σύνολο καταστάσεων του συστήματος κλειστού βρόχου, για το οποίο το διάνυσμα ελέγχου δεν παραβιάζει τους περιορισμούς διαμορφώνεται από:

63 63 Fx ρ [ ] x [ 10 ] 7 8 Και M = [ ] ε = α 1 = α 2 = 0,5479 Συμπεραίνεται, πως οι διασυνδέσεις μεταξύ υποσυστημάτων για το πλήρως διασυνδεδεμένο σύστημα, συνήθως λαμβάνουν μικρές τιμές, καθώς οι αλληλεξαρτήσεις μεταξύ υποσυστημάτων και σε συνάρτηση με τους δομικούς περιορισμούς, αποτελούν έναν αποσταθεροποιητικό παράγοντα, για ολόκληρο το διασυνδεδεμένο σύστημα. Σχήμα 3.2 απεικόνιση συνόλου R(G, w) R(F, ρ) στο R 4 Σημειώνεται πως το σύνολο R(F, ρ) δεν είναι φραγμένο, εδώ απεικονίζεται ένα τμήμα του για ευκολία.

64 64 Σχήμα 3.3 Λύση με αρχική συνθήκη x 0 = ( 10, 10, 10, 10). Σχήμα 3.4 μεγένθυση προηγούμενου σχήματος. Είναι λοιπόν εμφανές, πως επιτυγχάνεται ασυμπτωτική ευστάθεια του συστήματος κλειστού βρόχου. Στην περίπτωση που είναι επιθυμητό, οι συντελεστές διασυνδέσεων, να λαμβάνουν και αρνητικές τιμές, θέτουμε ένα τετραγωνικό κριτήριο προς μεγιστοποίηση: min { (α α 2 2 )} H,F,M,a 1,a 2 Στην προκειμένη περίπτωση, ο βέλτιστος έλεγχος που προκύπτει μέσω του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού, δίνει τα παρακάτω αποτελέσματα: Το προκύπτων σύστημα κλειστού βρόχου: έχει ιδιοτιμές : A + B F =[ ]

65 i λ i (A + B F) = [ i ] i i και άρα είναι ασυμτωτικώς ευσταθές και οι ιδιοτιμές βρίσκονται πράγματι εντός του κλειστού τετραγώνου μ i + σ i < ε. Σχήμα 3.5 απεικόνιση κλειστού τετραγώνου μ i + σ i < ε Η = [ ] F = [ ] Επομένως το σύνολο Q(F, ρ l, ρ u ), σύνολο καταστάσεων του συστήματος κλειστού βρόχου, για το οποίο το διάνυσμα ελέγχου, δεν παραβιάζει τους περιορισμούς διαμορφώνεται από: Fx ρ [ ] x [ 10 ] M = [ ]

66 66 και ε = α 1 = α 2 = Σημειώνεται επομένως, πως η επίδραση των διασυνδέσεων μεταξύ υποσυστημάτων, αποτελεί έναν ιδιαίτερα αποσταθεροποιητικό παράγοντα. Παρατηρείται άρα, πως οι βέλτιστοι συντελεστές διασυνδέσεων α 1, α 2, είναι πολύ κοντά στο μηδέν, γεγονός που υποδηλώνει ότι αυξανόμενου του βαθμού αλληλεξάρτησης των υποσυστημάτων, επιδεινώνεται η κατάσταση ευστάθειας του καθολικού συστήματος. Σχήμα 3.6 απεικόνιση λύσης με τετραγωνικό κριτήριο, με αρχική συνθήκη x 0 = ( 9.6, 5.9, 0.77, 5) Παρουσιάζεται ο κώδικας Matlab για την τελευταία περίπτωση του πλήρους διασυνδεδεμένου συστήματος.