ТИ ЧУДЕС ЕСНИ БРОЈЕВИ

Transcript

1

2

3 ТИ ЧУДЕС ЕСНИ БРОЈЕВИ Ратко Тошић, Нови Сад Бројеви су фасцинирали људе од најранијих почетака цивилизације. Питагора је открио да музичка хармонија зависи од односа целих бројева и закључио је да је све у природи број. Према Плутарху, Ксенократ је израчунао да је број слогова који се могу формирати од слова грчке азбуке једнак То је први забележен покушај решавања једног тешког комбинаторног проблема који се односи на бројеве. У једном проблему који је поставио Архимед (проблем о биковима) као решење појављује се број који се у децималној нотацији (која није била позната Архимеду) записује помоћу цифара. Да би се наштампао тај број потребна је цела књижица од 50 страница. У теорији бројева има много дубоких и лепих теорема, а такође и мноштво тешких и до сада нерешених проблема који стотинама година одолевају настојањима највећих математичара. Многи делови савремене математике настали су као резултат решавања и уопштавања проблема из теорије бројева. Карл Фридрих Гаус ( ) који је учинио многа важна открића у математици, рекао је: Математика је краљица наука, теорија бројева је краљица математике. Леополд Кронекер ( ) рекао је да је Бог створио целе бројеве, а све остало је дело човека. Овим је артикулисао идеју да цели бројеви заузимају посебно место у односу на све остале бројеве. Ниједна грана математике није толико омиљена код аматера као теорија бројева. У исто време, ниједна грана математике није постављала толико замки и проузроковала толико неуспеха и код највећих математичара. Од почетка рачунарске ере, програмери тестирају своје способности, квалитет својих програма и моћ рачунара решавајући проблеме и откривајући разне куриозитете у тој области. Циљ овог чланка је да скрене пажњу читаоца на само неколико од небројено много куриозитета у вези са бројевима. То ће можда код неких од њих пробудити жељу да се и сами више позабаве овом интересантном граном математике. Неке особине броја Збир броја 014 и свих његових простих делилаца једнак је збиру броја 013 и свих његових простих делилаца. Заиста, 013 = ; = 088; 014 = 19 53; = 088. Да ли можеш наћи још нека два суседна броја са том особином?. Број 014 и оба његова суседа су производи три различита проста броја: 013 = ; 014 = 19 53; 015 = Постоје и друге тројке узастопних бројева са том особином, на пример: 1885 = ; 1886 = 3 41; 1887 = = ; 666 = 31 43; 667 = Нађи и друге тројке узастопних бројева са том особином. Да ли постоје четири узастопна природна броја који су производ три различита проста броја? 1

4 ТИ ЧУДЕСНИ БРОЈЕВИ Одговор је: Не. Од четири узастопна природна броја један је дељив са 4, тј. дељив је квадратом простог броја. 3. Број 014 једнак је разлици 365. простог броја и 365. сложеног броја. Заиста, у таблицама простих бројева може се проверити да је 365. прост број број 467. Лако се онда налази да је 365. сложен број број 453, а 014 = Посматрајмо следећи низ: 4, 9, 16, 6, 39,... Први члан низа је први сложен број. Други члан низа је 4. сложен број,... У низу иза броја k долази k-ти сложен број. Да ли се у том низу појављује број 014? Одговор је потврдан. Заиста, користећи таблицу простих бројева, налазимо да је. члан низа број 014. Низ изгледа овако: 4, 9, 16, 6, 39, 56, 78, 106, 141, 184, 36, 99, 374, 465, 570, 696, 843, 1014, 11, 1441, 1708, 014, Број 014 не може се представити у облику разлике квадрата два природна броја. Заиста, ако је x y = 014, онда је (x y)(x + y) = 014. Бројеви x y и x + y су исте парности. Међутим, не могу бити оба непарни јер је њихов производ паран. С друге стране, не могу бити ни оба парна, јер је 014 = 19 53, па како 014 није дељиво са, само један од чинилаца x y и x + y може да садржи прост чинилац. Ова чињеница може се геометријски интерпретирати на следећи начин: Не постоји правоугли троугао код кога су дужине једне катете и хипотенузе цели бројеви, а дужина друге катете је 014. Који је данас датум? Датуми се обично записују тако што се напишу три броја: први редни број дана у месецу, други редни број месеца, трећи две последње цифре године. На пример, означава 18. јун 014. године, означава 3. октобар 009. године, итд. Прва два броја не могу бити 0, а трећи записујемо у облику 00 само кад је у питању последња година столећа. Некад се и дан и месец формално записују у облику двоцифреног броја иако је у питању једноцифрен. На пример, 6. март 035. године се може записати у облику Ми ћемо се, међутим, придржавати оног првог начина избегавајући да користимо 0 као прву цифру у записивању редних бројева дана и месеца. Покушај да одговориш на следећа питања: 1. Колико пута се у току једног века у запису датума појављује само једна цифра?. Да ли је могуће да цифре у запису датума образују број који је куб природног броја, ако се занемаре тачке између цифара? Ако је могуће, наведи све могућности. 3. Да ли је могуће заменити једну тачку знаком једнакости, а другу знаком множења тако да добијена једнакост буде тачна? Ако јесте, нађи све могућности. 4. Да ли је могуће заменити једну тачку знаком једнакости, а другу знаком дељења тако да добијена једнакост буде тачна? Ако јесте, нађи све могућности. 5. Колико пута је у току једног века збир три броја у запису датума једнак квадрату неког природног броја?

5 ТИ ЧУДЕСНИ БРОЈЕВИ 6. Колико пута у току једног века је број који се добије кад се занемаре тачке једнак квадрату неког природног броја? 7. Ако тачке посматрамо као знак множења, колико пута је у току једног века производ та три броја (при чему трећи није 00): а) квадрат неког природног броја; б) куб неког природног броја? Одговори на нека од горе постављених питања: пута: ; ; ; ;..;..; ; ; ; ; ; ; Да. Постоји 18 могућности. 3. Да. 4. Да пута пута. На тај начин се могу добити квадрати природних бројева од 34 до 177, изузев бројева 55, 71, 84, 95, 100, 138, 155 и 174. При томе се квадрат броја 106 добија два пута: и (1136 = 106 ) 7. Квадрат 95 пута, куб 180 пута. Употреби све цифре! У овом одељку наводимо неке куриозитете у вези са природним бројевима. Број 567 има следећу особину: При запису тога броја и његових квадрата свака цифра различита од 0 користи се тачно једанпут. Заиста, 567 = 31489, а у запису бројева 567 и 31489, свака цифра различита од 0 појављује се тачно једанпут. Постоји још само један природан број са том особином, а то је број 854: 854 = А сада решимо два задатка: 1. Да ли постоји природан број такав да се у запису тога броја и његовог квадрата свака цифра од 0 до 9 појављује тачно једанпут? Решење. Не. Ако тражени број има мање од четири цифре (тј. најмање три), онда његов квадрат има највише шест цифара (јер је 1000 најмањи број чији квадрат има више од шест цифара). Дакле, за записивање броја и његовог квадрата у том случају потребно је не више од девет цифара, па се у њиховом запису не може појавити свака од десет цифара. С друге стране, ако тражени број има бар четири цифре, онда његов квадрат има бар седам цифара, па се приликом њиховог записивања бар једна цифра мора појавити више од једанпут.. Да ли постоји природан број такав да се у запису тога броја, његовог квадрата и његовог куба свака цифра од 0 до 9 појављује тачно једанпут? Решење. Не. Како је 0 = 400; 0 3 = 8000 и 3 = 104; 3 3 > 3000, закључујемо да за тражени број x важи 0 < x < 3, јер би у противном укупан број цифара у три броја био или мањи од 10 или већи од 10. Бројеви који се завршавају са 0, 1, 5 и 6 не долазе у обзир, јер се и квадрати тих бројева завршавају истом цифром. Број не долази у обзир, јер има две једнаке цифре. Преостаје да испитамо бројеве 3, 7 и 8. За сваки од њих налазимо да се у њима и њиховим квадратима појављује једна иста цифра. И још једно питање: 3

6 ТИ ЧУДЕСНИ БРОЈЕВИ 3. Да ли постоји природан број такав да се у запису његовог квадрата и његовог куба свака цифра од 0 до 9 појављује тачно једанпут? Решење. Да. Једини такав број је 69. Заиста, 69 = 4761, 69 3 = 38509, а у записима бројева 4761 и свака цифра се користи тачно једанпут. Curiouser and curiouser Број 371 једнак је збиру кубова својих цифара. Заиста, 371 = Постоји укупно пет природних бројева са том особином: 1, 153, 370, 371 и 407. Постоје четири природна броја који су једнаки збиру четвртих степена својих цифара: 1, 1634, 808 и На пример, 808 = Наведимо примере и за друге степене: = , = Бројеви који су једнаки збиру седмих степена својих цифара: 1, , , , , На пример, = Слично за осме и десете степене: = , = Број има особину да се може добити степеновањем неког природног броја са бројем својих цифара: = 9 1. Да ли постоји још неки број са том особином? Број једнак је десетом степену збира својих цифара: = = ( ) 10. Да ли постоји још неки природан број који се може добити тако што се збир његових цифара степенује неким природним бројем (осим тривијалног случаја броја 1)? Број 3435 има особину да се добија тако што се свака цифра степенује сама собом, а затим се ти степени саберу: 3435 = Број једнак је збиру факторијела својих цифара: = 4! + 0! + 5! + 8! + 5!. Треба имати у виду да је 0! = 1. Постоје још само три природна броја који су једнаки збиру факторијела својих цифара. То су 1, и један троцифрен број. Нађи тај број. Економични бројеви Сваки природан број се разлаже на просте чиниоце на јединствен начин до на поредак чинилаца. На пример: 014 = 19 53; 016 = 5 3 7; 307 = 10 3; 1701 =

7 РАЧУНАРСТВО У запису разлагања, број употребљених цифара може бити већи од броја цифара самог броја (на пример, за бројеве 014 и 016), може бити једнак (на пример, за број 307) или мањи од броја цифара самог броја (на пример, за број 1701). Ако је број цифара у разлагању на просте чиниоце мањи од броја цифара самог броја, кажемо да је тај број економичан. На пример, бројеви 1701 и 197 = 13 3 су економични. Покушај да одговориш на следећа питања: 1. Који је најмањи економичан број?. Колико има економичних бројева мањих од 10000? 3. Може ли прост број бити економичан? 4. Може ли степен простог броја бити економичан број? Опиши број! 1. Број 3 има особину да је једнак броју слова у речи ТРИ, као називу тога броја (у српском језику). Лако се види да нема других бројева са том особином. На енглеском језику, то важи за број 4 (FOUR).. Колико има бројева који су два пута већи од броја слова у свом називу? Такви су, на пример, бројеви 8 (осам), 10 (десет), 16 (шеснаест), 18 (осамнаест), (двадесет два). 3. Број 100 има особину да реч СТО која га описује има толико слова колико и сам број има цифара у свом декадном запису. Наведи још неки број са том особином. 4. Опис неког природног броја може бити и индиректан. На пример, ЈЕДАНАЕСТ ПЛУС ПЕТ је број 16, а наведени опис тога броја такође садржи 16 слова. Ево још таквих примера: ЈЕДАНАЕСТ ПЛУС ШЕСТ (17), ЈЕДАНАЕСТ ПЛУС СЕДАМ (18), ОСАМ ПЛУС ТРИ (11), ДЕВЕТ ПЛУС ТРИ (1), ДВАНАЕСТ ПЛУС ТРИ (15), ДВА НА КУБ (8), ПЕДЕСЕТ СЕДАМ ТРЕЋИНА (19), ОСАМДЕСЕТ ОСАМ ЧЕТВРТИНА (), ПЕДЕСЕТ ПОЛОВИНА МАЊЕ ТРИ (), ПОЛОВИНА ОД ЧЕТРДЕСЕТ ШЕСТ (3), ХИЉАДУ МАЊЕ ДЕВЕТСТО ШЕЗДЕСЕТ ДЕВЕТ (31). Можеш ли да нађеш још сличних примера? СПЕЦИЈАЛНИ ЗАДАТАК БР. 74 Десет најуспешнијих решавалаца овог задатка биће награђено. Упутство за слање решења је на страни 56. Колико има економичних бројева мањих од 1000? РАЧУНАРСТВО РЕШЕЊЕ КОНКУРСНОГ ЗАДАТКА ИЗ РАЧУНАРСТВА БР. 168 Program KonZad168; Var ime,p:string; i,n,k:integer; 5

8 РАЧУНАРСТВО Begin readln(n); ime:=''; for i:=1 to n do begin readln(p); k:=i mod length(p); if k=0 then k:=length(p); ime:=ime+copy(p,k,1); end; writeln(ime); End. На почетку програма се уноси број порука које је Билбо пронашао, а за вредност променљиве ime, која ће садржати тајно име, поставља се празан стринг. За одређивање дужине поруке користи се функција length, а за издвајање дела стринга, тј. једног карактера у овом случају, користи се функција copy. Након учитавања сваке поруке, одређује се редни број карактера из поруке који треба да се дода на тајно име. Уколико је дужина поруке већа од позиције са које треба сачувати слово, остатак при дељењу командом k:=i mod length(p) биће тачно позиција i. Уколико је дужина поруке мања од тражене позиције, онда се оваквим дељењем симулира бројање карактера од почетка. Једини изузетак представља случај када је тражена позиција једнака или дељива бројем карактера у поруци. У том случају се узима последње слово поруке. Сабирање два стринга за резултат има спајање наведених стрингова. Милош Стојко, V, ОШ Никола Вукићевић, Сомбор РЕШЕЊЕ КОНКУРСНОГ ЗАДАТКА ИЗ РАЧУНАРСТВА БР. 169 Program KonZad169; Var s:array[1..500] of integer; i,j,n,m,k,p,t:integer; Begin readln(n); p:=0; m:=0; for i:=1 to n do begin readln(k); if k>p then begin while k-p > 100 do begin p:=p+100; m:=m+1; s[m]:=p; end end else begin p:=k; end end; 6

9 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ i:=1; while i<=m do begin t:=0; for j:=i+1 to m do if s[i]=s[j] then t:=t+1; if (t=0) or (t>1) then begin for j:=i to m-1 do s[j]:=s[j+1]; m:=m-1; end else i:=i+1; end; for i:=1 to m do writeln(s[i]); End. У програму се најпре уноси број порука, а затим се уносе вредности са порука. Променљива P памти последњи степеник на коме се Билбо одмарао, укљујући и степенике до којих је силазио. Низ S се формира од свих степенике на којима се Билбо одмарао при пењању. Након формирања низа S, из њега се избацују вредности које се појављују само једном, као и вишеструка појављивања исте вредности. Након избацивања ових вредности низ S je резултујући низ. Михајло Крсмановић, VIII, ОШ Драгомир Марковић, Крушевац ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ Задаци из ове рубрике имају за циљ помоћ како ученицима, тако и наставницима. Разврстани су у три групе у складу са стандардима знања из математике за крај обавезног образовања. Дати су предлози контролних и писмених задатака, при чему је у угластим заградама [ ] дата варијанта за другу групу. III разред СИСТЕМАТИЗАЦИЈА ГРАДИВА Основни ниво 1. Дати су бројеви 38, 308, 83, 80, 83 и 8. а) Поређај ове бројеве од најмањег до највећег. б) Који су од датих бројева мањи од 83? в) Који су од датих бројева већи од 380 и мањи од 80?. Запиши: а) речима број 48; б) цифрама број двесто осам. 3. Повежи изразе са њиховом вредношћу: На слици су дати квадрат, права, круг, угао, правоугаоник и троугао. Испод сваке фигуре напиши њен назив. 7

10 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ 5. Допиши бројеве који недостају тако да дате једнакости буду тачне: а) 1m = cm; б) 1000g = kg; в) 10dl = l; г) 1h = min. Средњи ниво 6. Број 91 се римским цифрама записује: а) IXI; б) LXXXI; в) XCI; г) CXI. Заокружи слово испред тачног одговора. 7. Које цифре могу стајати уместо слова a, b и с тако да дате неједнакости буду тачне? а) 3a5 < 376; б) b51 < 603; в) 58 < c Допуни слику одговарајућим бројевима и операцијама тако да сви добијени резултати буду тачни: : : 9. Упиши у квадратиће знак <, > или = тако добијене нејаднакости буду тачне. а) 6dm 7cm 76cm; б) 3kg 300g; в) 5l dl 50cl. 10. Сада је часа и 15минута. а) Колико је сати било пре 30 минута? б) Колико ће сати бити за 55 минута? 11. Обим квадрата чија је страница дужине 8cm је: а) 6dm 4cm; б) 3dm cm; в) 3dm; г) 4cm. Заокружи слово испред тачног одговора. 1. Повежи сваку једначину са њеним решењем. х = х = х : 5 = х =

11 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ Напредни ниво 13. Највећи паран троцифрени број умањи за производ бројева 137 и Збир трећине броја 34 и осмине броја 456 је једнак петини броја: а) 375; б) 55; в) 835; г) 85. Заокружи слово испред тачног одговора. 15. Нацртај правоугаоник ABCD. Користећи само две праве подели га на: а) четири правоугаоника; б) квадрат и два правоугаоника; в) правоугаоник и два троугла. 16. Запиши девет троцифрених природних бројева мањих од 888 чији је збир цифара Пудлица Моли има 5kg 180g, а малтезер Лео је пола килограма лакши од ње. Могу ли се они измерити заједно на ваги која може да измери највише 10kg? 18. Једна страница правоугаоника је за 3dm 7cm дужа од друге. Израчунај обим тог правоугаоника ако дужина дуже странице износи 5dm cm. 19. Ако знаш да је х + у = 500, повежи сваки израз са његовом вредношћу: (х 5) + у 1000 (х + у) 500 (у + х) : (у + 30) + (х 30) Растојање између два града је 378km. Аутомобил је прешао једну седмину пута и још 19km. Колико још километара аутомобил треба да пређе? а) 73km; б) 34km; в) 305km. Заокружи слово испред тачног одговора. IV разред СИСТЕМАТИЗАЦИЈА ГРАДИВА У следећим задацима заокружи слово испред тачног одговора. Основни ниво 1. Број тридесет хиљада седамсто пет записан цифрама је: а) ; б) ; в) 30705; г) Колико бројева из скупа {70800, 78000, 70080, 80007, 80070, 80700} је веће од 70807? а) 3; б) 4; в) 1; г). 3. Збир бројева 854 и је: а) ; б) 89313; в) 84715; г) Разлика бројева 1000 и 357 је: а) 643; б) 757; в) 753; г) Површина правоугаоника чије су странице 035cm и 104cm је: а) 11640cm; б) 8490cm ; в) 83435cm ; г) 11640cm. Средњи ниво 6. Бројевна вредност израза : је: 9

12 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ а) 616; б) 808; в) 880; г) Производ збира и разлике бројева 918 и 819 је: а) 1737; б) ; в) 99; г) Решење једначине х = 1960 је број: а) 5; б) 10; в) 500; г) Површина квадрата странице 17cm је између: а) dm и 3dm ; б) m и 3m ; в) 70cm и 80cm ; г) 8dm и 9dm. 10. Обим правоугаоника је 190cm, а једна његова страница је дужине 19cm. Дужина друге странице је: а) 171cm; б) 76cm; в) 10cm; г) 5cm. 11. Површина квадра чије су димензије 1m, dm и 30cm је: а) 60cm ; б) m ; в) 184dm ; г) 11dm. 1. Који број је 5 броја 130? а) 615; б) 46; в) 49; г) Напредни ниво 13. Бројевна вредност израза 13 : : : 3 је: а) 583; б) 385; в) 538; г) Решење једначине 9870 : (х + 3) = 014 је: а) 7; б) 30; в) 3; г) Колико пута је мање 3 4 часа од 3 8 дана? а) пута; б) 8 пута; в) 48 пута; г) 1 пута. 16. Површина правоугаоника је мања од dm, а дужина једне његове странице је 4cm. Дужина друге странице тог правоугаоника је: а) 50cm; б) мања од 50cm; в) већа од 50cm; г) 5dm. 17. Квадар површине 1m пресечен је једном равни на две једнаке коцке. Површина једне такве коцке је: а) 1000cm ; б) 600cm ; в) 5000cm ; г) 6000cm. 18. Површина коцке износи површине квадра чије су димензије 15cm, 1cm и 3 10cm. Ивица те коцке је: а) 10cm ; б) 100cm; в) 10cm; г) 600cm. 19. Дечак је за фудбалску лопту потрошио своје уштеђевине и остало му је још динара. Цена лопте је: а) 088 динара; б) 800 динара; в) 88 динара; г) 50 динара. 0. Из два града кренула су истовремено у сусрет један другом два аутомобила. Први од њих за 1 час прелази 90 km, а други за 1 час прелази 80km. Аутомобили су се срели после два часа вожње. Растојање између градова из којих су аутомобили пошли је: а) 170km; б) 108km; в) 40km; г) 340km. 10

13 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ V разред СИСТЕМАТИЗАЦИЈА ГРАДИВА Основни ниво 1. Ако је A = {, 3, 4, 5, 6} и B = {1, 3, 5, 7, 9} онда је: а) A B = {1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; б) A B = {3, 5}; в) A \ B = {, 4, 6}; г) B \ A = {1, 3, 7, 9}. Заокружи слово испред тачног одговора.. Обој заједничке тачке: а) полуправих Am и Bn б) круга K и праве p в) троугла и четвороугла. A B m n 3. Дати израз спој са његовом бројевном вредношћу: p O K A = (84 8 : 4) + 8 4; C = (84 8) : ; B = 84 (8 : ); D = (84 8 : 4 + 8) Заокружи слово испред бројева који су узајамно прости: а) 5 и 9; б) 6 и 16; в) 5 и 36; г) 10,, 35; д) 8, 49, 56; ђ) 4, 45, Заокружи слово испред тачног тврђења: а) = ; б) = ; в) 13 = 65 ; г) 45 9 ; = д) Средњи ниво 6. Запиши у минутима: а) 3 ; б) ; в) 840 ; г) = ; ђ) 111 = Напиши у облику несводљивог разломка следеће мере: а) 5dm = m; б) 15min = h; в) 500kg = t; г) 100g = kg. 8. Израчунај бројевну вредност израза: 3 9 а) 1 : 14 ; б) : 7 + ; в) 6 (3,8,3) + 0,4 : 0,5. 9. Станко, Бранко и Марко су у исто време кренули из једног у други планинарски дом. Станко је стигао за 5 6 сата, Бранко за 11 сата, а Марко за сата. Ко је од њих 3 1 стигао најбрже, а ко најспорије у други планинарски дом? 11

14 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ За колико ће се променити збир бројева 3,5 и ако се први сабирак повећа за 5 4, а други смањи за 1,5? Дат је производ Заокружи сваки број из скупа {3, 4, 5, 1, 13, 17, 1, 35, 37, 44} који је делилац датог производа. 1. Нацртај све осе симетрије фигуре на слици: а) б) в) Напредни ниво 13. Колико елемената има скуп K L ако скуп K има 10 елемената, скуп L има 8 елемената, а скуп K L има 1 елемената? 14. У равни су дати кругови K1(O1; 1,5cm) и K(O;,7cm). Ако је најкраће растојање ових кругова cm одреди О1О? 15. Израчунај углове α, β, γ, δ на слици, ако је AB CD и AD BC. D C δ 16. За ученике V разреда школе Уча организован је излет. Табелом је приказан број ученика сваког одељења и број ученика који су ишли на излет. Одељење V1 V V3 V4 Број ученика Број ученика који су ишли на излет а) Запиши несводљивим разломком који део сваког одељења није био на излету. б) Који део укупног броја ученика је био на излету? в) У ком одељењу је на излет ишао најмањи, а у ком највећи део ученика? 17. Производ три узастопна природна броја је: а) 336; б) 990; в) Који су то бројеви? Израчунај бројевну вредност израза 4 x y + x за A E 45 B β γ F 8 x= и 9 5 y=. 6 1

15 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ 19. Конобар Милун је пре ручка насуо 1 пуних бокала воде запремине 1,5l. Воду је затим сипао у чаше запремине 1. 5 l а) Колико је чаша Милун напунио из ових бокала? б) После ручка је утврдио да из 6 чаша нико није пио воду. Који део насуте воде је попијен? 0. На слици су Os1 и Os симетрале два упоредна угла. Нацртај те углове. Колико решења има задатак? s1 s VI разред СИСТЕМАТИЗАЦИЈА ГРАДИВА Основни ниво 1. Вредност израза је: а) 480; б) 185; в) 145; г) 185. Заокружи слово иза тачног одговора.. Израчунај: а) 0,1 0,05; б) 1,3 ( 0,4); в),34 : ( 3); д) 1 ; ђ) : ; е) 5 : Колико је: а) 1% од 100? б) 10% од 00? в) 50% од 300? г) 80% од 00? 4. Углови троугла ABC су β = 75 и γ = 50. Која страница је најдужа, а која најкраћа? 5. Допуни сваки цртеж тако да добијеш: а) правоугаоник ABCD; б) паралелограм EFGH; в) једнакокраки трапез KMTP. а) б) в) O А E T B C F G K M 6. На слици су фигуре означене бројевима од 1 до 6. а) Која фигура има највећу површину? б) Које фигуре имају површине једнаке 6cm? в) Колика је површина фигуре број 3? 13

16 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ Средњи ниво 7. У празно поље упиши знак < или > тако да добијеш тачну неједнакост. а) 0 ( 5) ; б) 108 : 0 3 ( 4) Израчунај вредност израза 1 1 m 0, =, n= +, 1 и p= : (( 0,5) (1,)) Који од њих има најмању вредност? 9. Решење једначине 3 3 ( 8) 1 5 a = је број: а) 7,5; б),5; в),7; г) 7,5. Заокружи слово испред тачног одговора. 10. Који од троуглова б), в) или г) је подударан троуглу под а)? Заокружи слова испред тачних одговора. а) б) в) г) b 40 b a a Симетрала спољашњег угла код темена А једнакокраког троугла ABC (AC = BC) и права BC образују угао од 30. Израчунај унутрашње углове троугла ABC. 1. Израчунај унутрашње углове: а) паралелограма ако је један угао два пута већи од другог; б) ромба ако је угао између једне дијагонале и странице једнак 8 ; в) једнакокраког трапеза ако је збир два угла једнак 18 ; г) правоуглог трапеза ако је збир два угла једнак cm 1cm 13. Израчунај површину фигуре на слици. a 40 a b 40 b 14

17 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ Напредни ниво 14. Које све цифре можеш написати уместо тако да добијеш тачну неједнакост? Знак можеш заменити само са једном цифром. a) 3,55 < 3,5 ; б) 1,01 > 1, Одреди број x ако је: а) Двострука разлика 1, 0,8 x је једнака троструком количнику б) Половина разлике 3, x је једнака трећини производа 3 0,. 5 3 : 0, Ако број a смањиш за 5% па га повећаш за 4%, добићеш број 988. Израчунај број а. 17. Симетрала спољашњег угла код темена А паралелограма ABCD сече праву CD у тачки М. а) Докажи да је троугао ADM једнакокрак. б) Ако је AMD = 4 израчунај унутрашње углове тог паралелограма. 18. Израчунај углове једнакокраког трапеза ако: а) симетрала угла на дужој основици гради са наспрамним краком угао од 114 ; б) симетрала угла на краћој основици једнакокраког трапеза гради са правом која садржи наспрамни крак угао од На страницама AB и CD ромба ABCD одреди тачке М и P тако да је АМ = CP. Докажи да је четвороугао AMCP паралелограм. 0. Који део четвороугла ABCD заузима обојени део? Види слику! 1cm D 1cm A C VII разред СИСТЕМАТИЗАЦИЈА ГРАДИВА У следећим задацима заокружи слово испред тачног одговора. Основни ниво 1. Вредност израза ( ) ( ) је: a) 0 ; б) 0; в) 100; г) 100; д) Дужина полупречника круга описаног око правоуглог троугла са катетама од 8cm и 6cm је: а) 3cm; б) 4cm; в) 5cm; г) 8cm; д) 10cm. B 15

18 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ 3. Из квадрата странице 10cm може се исећи круг обима: а) 30cm; б) 3cm; в) 34cm; г) 36cm; д) 40cm. 4. Један литар 95% алкохола има воде : а) 1dl; б) dl; в) 0,5dl; г) 0,9dl; д) 0,dl. 5. Решење једначине x(x 1) x + 3x = 4 је: a) 0; б) 1; в) ; г) 4; д). Средњи ниво 6. Вредност израза ( 3 ) 4 ( ) је: a) 63; б) 11; в) 0; г) 44; д) Хипотенуза једнакокрако правоуглог троугла је 3 cm. Површина тог троугла је: а) 9 cm ; б) 9 cm ; 3n Вредност израза 6 n 7 в) + n ( ) ( ) 3 9 cm ; 4 је: а) 7; б) 49; в) 7 n ; г) 1; д) 7 3. г) cm ; д) 9cm. 9. Угао који граде праве одређене страницама А1А и А3А4 правилног десетоугла А1АА3...А10 износи: а) 36 ; б) 7 ; в) 108 ; г) 48 ; д) Ако се у 9dl 90% алкохола дода 1dl воде добија се раствор који је: а) 80%; б) 81%; в) 8%; г) 83%; д) 84%. 11. Полупречник круга K1 је 9cm, а полупречник круга K је 1cm. Полупречник круга чија је површина једнака збиру површина кругова K1 и K је: a) 1cm; б) 0cm; в) 16cm; г) 15cm; д) 10,5cm. 1. Израз ( 1 a ) ( )( ) a+ 1 a a је једнак изразу: a а) ; б) 6а 3; в) a ; г) ; д) a 6a 4. 6 Напредни ниво 13. Вредност израза је: а) ; б) ; в) ; г) ; д) Тежишна дуж која одговара хипотенузи правоуглог троугла је 5cm и једна катета 4 5cm. Површина тог троугла је: а) 0 5cm ; б) 80cm ; в) 10 5cm ; г) 0cm ; д) 40cm. 15. Нека је А1АА3...А6 правилан шестоугао странице 8cm. Површина троугла А1А3А5 је: a) 48 3cm ; б) 96 3cm ; в) 49 3cm ; г) 36 3cm ; д) 48cm. 16. Збир решења једначине (x 3) 4 = 5 је: a) 6; б) 6; в) 4; г) 10; д) 0. 16

19 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ 17. Ако је 5x + y 8y + 10x + 13 = M(x + 1) + N(y ) тада је збир M + N једнак: a) 10; б) 13; в) ; г) 7; д) Петнаест радника заврше један посао за 4 дана. После 10 дана рада посао напусте три радника. Преостали радници да би завршили остатак посла треба да раде још: а) 10 дана; б) 1 дана; в) 15 дана; г) 17,5 дана; д) 18 дана. 19. Централни угао α одговара кружном луку од 4cm кружнице k(o, 4cm). Тада је: а) 30 < α < 40 ; б) 40 < α < 50 ; в) 50 < α <60 ; г) 60 < α < 70 ; д) 70 < α < У кружни исечак је уписан круг. Види слику. Ако је размера полупречника исечка и полупречника уписаног круга 3:1 тада је размера површина исечка и круга: а) : 1; б) 3 : 1; в) 3 : ; г) 9 : 4; д) 9 : 7. VIII разред СИСТЕМАТИЗАЦИЈА ГРАДИВА У следећим задацима, изузев у. и у 11, заокружи слово испред тачног одговора. Основни ниво x 3 1. Решење jедначинe = x 3 је број: a) 3; б) 0; в) 1; г) 3.. Реши једначине: а) 3(x + 1) (x 1) = x (x + 1) 1; б) x x 5 = ; в) 5 3. Тачка А(0, 3) припада графику функције: а) x y + 3 = 0; б) y + x = 3; в) 3y 6 = x; г) 6 = 3x 1y. 4. Ако је x 3y = 5 и 4x + 3y = 1 онда је x + y једнако: a) 0; б) 1; в) 1; г). x 1 x = x Дужине ивице квадра изражене у центиметрима су три узастопна природна броја. Ако је збир дужина свих ивица тог квадра 10cm онда је збир површина три различите стране квадра: а) 99cm ; б) 363cm ; в) 598cm. Средњи ниво 6. Збир свих целих бројева за које важи 3 < x je: a) 0; б) 1; в) ; г). 17

20 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ 7. Са четири различите тачке у простору могу да буду одређене: a) равни; б) 1 раван; в) 3 равни; г) 4 равни. 8. Површина основе правилне четворостране пирамиде је 196cm. Ако је апотема за 1cm дужa од висине, дужина висине те пирамиде је: a) 5cm; б) 4cm; в) 14cm; г) 7cm. 9. Површина ваљка је 108πcm. Омотач ваљка има површину као основа ваљка. Запремина ваљка је: a) 7πcm 3 ; б) 108πcm 3 ; в) 16πcm 3 ; г) 36πcm Осни пресек купе је једнакостранични троугао површине 3 3cm. Збир дужина изводнице, полупречника и висине те купе је: a) 3 (1+ 3 )cm; б) 3 (1 3)cm; в) (3 3+ 1)cm. 11. Сви ученици једне школе су са успехом завршили разред. Преглед њиховог успеха је дат табелом: одлични 44% врло добри 7% добри 187 довољни 18% Успех ученика школе представи кружним дијаграмом. 1. Праве y = x 1 и x = y + 4 се секу у тачки А, а праве x = y 1 и x + 5y + 1 = 0 у тачки B. Растојање између тачака A и B je: a) 0; б) ; в) 3; г) 5. Напредни ниво 13. Збир свих заједничких целобројних решења неједначина 1 3 x+ 3 je: a) 6; б) 6; в) 0; г) x+ 14. Збир 0% броја x и половине броја y је 15, а двострука вредност броја x је за 10 мања од троструке вредности броја y. За бројеве x и y важи: y x a) = ; б) 5x + 4y = 0; в) 4x = 5y + 5; г) 4x + 5y = x Једначине x = аx 3 a 1 x 1 и + 1= x+ су еквивалентне. За променљиве x и a важи: a) ax = 1; б) ax = 1; в) a x = 0; г) a + x = Нека је основна ивица правилне четворостране призме a cm, а дијагонала бочне стране a 5cm. Запремина те призме је 54cm 3. Површина призме је: a) 90cm ; б) 90 5cm ; в) 90 cm ; г) 90 3cm. 17. Збир дужина висине и полупречника основе праве купе је 7cm. Изводница купе s = 5cm. Површина осног пресека те купе изражена у cm jе: a) 1π; б) 4π; в) 4; г) 1. и

21 МАТЕМАТИЧКА ТАКМИЧЕЊА 18. Бочне стране правилне тростране пирамиде су једнакокрако правоугли троуглови чија је катета a. Растојање врха пирамиде од њене базе је: a a) a; б) a 3 ; в) a ; г) Око правилне равностране купе полупречника основе 3cm описана је лопта. Запремина те лопте изражена у cm 3 је: a) 3 3 π ; б) 8 π ; в) 8 3 π ; г) 48π. МАТЕМАТИЧКА ТАКМИЧЕЊА Међународно математичко такмичење КЕНГУР БЕЗ ГРАНИЦА 014. Задаци који вреде 3 поена 1. разред 1. Бубамара ће слетети на цвет који има 5 латица и 3 листа. На који од следећих цветова ће слетети бубамара? А) Б) В) Г) Д). На којој су слици употребљена правоугаоника, 1 квадрат, круга и 1 троугао? А) Б) В) Г) Д) 3. На којој хаљини има више од 4, а мање од 6 црних туфница? А) Б) В) Г) Д) 4. Којим редом ћеш срести фигуре ако се крећеш у правцу стрелице на слици? 19

22 МАТЕМАТИЧКА ТАКМИЧЕЊА А),, Б),, В),, Г),, Д),, 5. На слици је приказан Миленин тањир са колачићима. У ком тањиру је за 3 колачића више него у Миленином? А) Б) В) Г) Д) 6. Спајањем две од пазли на слици можеш да добијеш двоцифрени број. Који је то број? А)13 Б) 15 В)14 Г) 11 Д) може да се добије више двоцифрених бројева Задаци који вреде 4 поена 7. За колико има више сивих него белих квадрата на слици? А) 6 Б) 7 В) 8 Г) 9 Д) Марија жели да доврши писање редних бројева поред цветова на слици. 0

23 Поред ког цвета ће стајати ознака? МАТЕМАТИЧКА ТАКМИЧЕЊА А) Б) В) Г) Д) 9. Квадрат је био састављен од 16 малих квадрата, али су неки мали квадрати изгубљени (види слику). Колико је малих квадрата изгубљено? А) 5 Б) 6 В) 7 Г) 8 Д) Који знак треба да буде уместо знака питања на слици? А) Б) В) Г) Д) 11. Унутар колико кругова је кенгур на слици? А) 1 Б) В) 3 Г) 4 Д) 5 1. Колико патки је у равнотежи са крокодилом (види слику)? А) Б) В) Г) Д) Задаци који вреде 5 поена 13. Који број треба да буде уместо знака питања на слици? 1

24 МАТЕМАТИЧКА ТАКМИЧЕЊА А) 8 Б) 9 В) 7 Г) 5 Д) Картон квадратног облика је исечен на 4 дела као на слици. Који од следећих облика се не може добити помоћу та 4 дела? А) Б) В) Г) Д) 15. Седам дасака је на гомили као на слици. Даска са бројем је на дну, а даска са бројем 6 је на врху. Који број је на дасци у средини? А) 1 Б) 3 В) 4 Г) 5 Д) Који бројеви треба да буду уместо знакова питања на слици? А) Б) В) Г) Д) 17. Уписати цифре 1, 5 и 9 у квадрате и израчунај разлику, али тако да се добије најмања могућа разлика. Која вредност се добија? А) 15 Б) 14 В) 8 Г) 6 Д) Колико има бројева већих од 6, а мањих или једнаких 0 који се записују само користећи цифре 1,, 8 и 9 (цифре се могу понављати)? А) Б) 4 В) 6 Г) 7 Д) 8

25 МАТЕМАТИЧКА ТАКМИЧЕЊА. разред Задаци који вреде 3 поена 1. Као 1. задатак у првом разреду.. Као 4. задатак у првом разреду. 3. Као 7. задатак у првом разреду. 4. Ана има 1 плочица облика. Она их лепи тако да се шара састоји из једне линије. Почела је да лепи са леве стране као на слици. Како ће се завршити линија? А) Б) В) Г) Д) 5. Квадрат је био састављен од 5 малих квадрата, али су неки мали квадрати изгубљени (види слику). Колико је малих квадрата изгубљено? А) 6 Б) 7 В) 8 Г) 10 Д) 1 6. Као 1. задатак у првом разреду. Задаци који вреде 4 поена 7. Као 11. задатак у првом разреду. 8. Као 14. задатак у првом разреду. 9. Правоугаоник је исечен на два дела. Један део је приказан на слици. Како изгледа други део? А) Б) В) Г) Д) 10. Колико има бројева већих од 10, а мањих или једнаких 31 који се записују само користећи цифре 1, и 3 (цифре се могу понављати)? 3

26 МАТЕМАТИЧКА ТАКМИЧЕЊА А) Б) 4 В) 6 Г) 7 Д) Као 15. задатак у првом разреду. 1. Зец једе купус и шаргарепу. Сваког дана он поједе или 10 шаргарепа или купуса. Током последње седмице зец је појео 6 купуса. Колико је шаргарепа појео у тој седмици? А) 0 Б) 30 В) 34 Г) 40 Д) 50 Задаци који вреде 5 поена 13. Уписати цифре, 3, 4 и 5 у квадрате и израчунати збир +, али тако да се добије највећи могући збир. Која вредност се добија? А) 68 Б) 77 В) 86 Г) 95 Д) Шта треба уписати у квадрат на слици да би се добио тачан дијаграм? А) 38 Б) : 8 В) 45 Г) 6 Д) : Централно поље квадрата је склоњено (види слику) и добијена фигура је исечена на једнаке делове. Који од следећих делова није могуће добити: А) Б) В) Г) Д) 16. Да би се израчунао производ 3 15 Бранко мора да притисне тастере калкулатора седам пута:. Бранко жели да помножи све бројеве од 3 до 1 користећи калкулатор. Колико пута мора да притисне тастере калкулатора? А) 19 Б) 31 В) 37 Г) 50 Д) Филип има 4 црвене коцке, зелене коцке и 1 жуту коцку. Он прави торањ (види слику) тако да две суседне коцке не буду исте боје. Које боје је коцка са знаком питања? А) црвене Б) плаве В) зелене Г) жуте Д) немогуче одредити 4

27 МАТЕМАТИЧКА ТАКМИЧЕЊА 18. Зупчаник А се окрене за један круг у смеру кретања казаљке на сату (види слику). На којој позицији ће се тада наћи зубац x? А) a Б) b В) c Г) d Д) e 3-4. разред Задаци који вреде 3 поена 1. На којој слици је приказан централни део слике са звездом? А) Б) В) Г) Д). Јован жели да убаци цифру 3 негде унутар броја 014. Где треба да убаци цифру 3 ако жели да добијени петоцифрени број буде најмањи могући? А) на поетку броја 014 Б) између и 0 В) између 0 и 1 Г) између 1 и 4 Д) на крају броја Које кућице су нацртане помоћу истих троуглова и правоугаоника? А) 1 и 4 Б) 3 и 4 В) 1, и 4 Г) 3, 4 и 5 Д) 1,, 4 и 5 4. Када коала Коко не спава, он једе 50 грама лишћа на сат. Јуче је Коко спавао 0 сати. Колико грама лишћа је Коко јуче појео? А) 0 Б) 50 В) 100 Г) 00 Д) Марија је одузела бројеве и као резултат добила све бројеве од 0 до 5. Она је пошла од тачке која одговара резултату 0 (види слику) и спајала редом тачке све до тачке која одговара резултату 5. Коју фигуру је добила? 5

28 МАТЕМАТИЧКА ТАКМИЧЕЊА А) Б) В) Г) Д) 6. Адам је направио мање кула од песка од Марине, али више од Сузане. Тања је направила више кула од песка од Адама и више од Марине. Бобан је направио више кула од песка од Марине, али мање од Тање. Ко је од њих направио највише кула од песка? А) Марина Б) Адам В) Сузана Г) Бобан Д) Тања 7. Милица је уписивала бројеве у дијаграм на слици тако да је сваки број једнак производу два броја која се налазе испод њега. Који број Милица треба да упише у сиво поље? А) 0 Б) 1 В) Г) 4 Д) 8 8. Ина има четири дела приказана на слици. Те четири фигуре потпуно покривају фигуру коју она има. Где Ина треба да стави део? А) Б) В) Г) Д) Задаци који вреде 4 поена 9. Госпођа Николајевић је нацртала цвет на излогу продавнице (види слику). Како тај цвет изгледа са друге стране излога? 6

29 МАТЕМАТИЧКА ТАКМИЧЕЊА А) Б) В) Г) Д) 10. У чинији су бомбоне. Софија је узела половину бомбона из чиније. Онда је Тома узео половину од преосталих бомбона. Након тога је Цица узела половину преосталих бомбона. На крају је у чинији остало 6 бомбона. Колико је бомбона било у чинији на почетку? А) 1 Б) 18 В) 0 Г) 4 Д) Коју плочицу треба додати тако да укупна површина сивих делова на слици буде једнака укупној површини белих делова? А) Б) В) Г) Д) 1. Вида гађа стрелом мету приказану на слици. Када промаши мету добија 0 поена. Вида је гађала мету два пута и сабрала поене које је добила. Који од следећих збирова не може бити њен резултат? А) 60 Б) 70 В) 80 Г) 90 Д) Маја је имала исти број жетона у црној боји, белој боји и са цветићима. Неке жетоне је ставила на гомилу. Све жетоне које је употребила можеш да видиш на слици. Она има још пет жетона који нису на гомили. Колико је црних жетона имала на почетку? А) 5 Б) 6 В) 7 Г) 15 Д) Зец воли да једе купус или шаргарепу. У току једног дана он поједе или 9 шаргарепа или купуса или 1 купус и 4 шаргарепе. Током седмице зец је појео 30 шаргарепа. Колико купуса је појео током те седмице? А) 6 Б) 7 В) 8 Г) 9 Д) Фигура на слици направљена је лепљењем осам једнаких коцки. Како ова фигура изгледа када се гледа одозго? 7

30 МАТЕМАТИЧКА ТАКМИЧЕЊА А) Б) В) Г) Д) 16. Колико тачака има на слици? А) 180 Б) 181 В) 18 Г) 183 Д) 65 Задаци који вреде 5 поена 17. На планети Кенгур свака кенгургодина има 0 кенгурмесеци, а сваки кенгурмесец има 6 кенгурседмица. Колико има кенгурседмица у четвртини кенгургодине? А) 9 Б) 30 В) 60 Г) 90 Д) Седморо деце је поређано у круг. Два дечака не могу да стоје један поред другог и не могу три узастопна детета у кругу бити девојчице. Колико девојчица може бити у кругу? А) само 3 Б) 3 или 4 В) само 4 Г) 4 или 5 Д) само Ева је поређала карте са словима као на слици. У једном потезу Ева може да замени места двема картама. Колико најмање потеза Ева мора да направи да би карте биле распоређене тако да на њима пише KANGAROO? А) Б) 3 В) 4 Г) 5 Д) 6 0. Од дијаманата је направљен низ троуглова. Прва три члана низа су приказана на слици. У сваком кораку додаје се по један ред дијаманата. У доњем реду крајњи дијаманти су бели, а сви остали дијаманти у троуглу су црни. Колико има црних дијаманата у шестом члану низа? А) 19 Б) 1 В) 6 Г) 8 Д) Богдан је куповао играчке (види слику). Дао је продавцу 150 и добио кусур 0. Међутим, он се предомислио и једну играчку је заменио за другу. Након тога продавац му је вратио још 5. Које играчке је Богдан купио? 8

31 МАТЕМАТИЧКА ТАКМИЧЕЊА А) кочије и авион Б) кочије и аутобус В) кочије и трамвај Г) мотор и трамвај Д) аутобус, мотор и трамвај. Упиши цифре 0, 1,, 3, 4, 5, 6 у квадратиће + = тако да сабирање буде тачно. Која цифра ће бити у црном квадратићу? А) Б) 3 В) 4 Г) 5 Д) 6 3. Који је највећи број малих квадрата који могу бити осенчени на фигури приказаној на слици, тако да се на фигури не добије ни један квадрат осенчена квадрата?, који садржи 4 мала А) 18 Б) 19 В) 0 Г) 1 Д) 4. Никола је уписао бројеве од 1 до 9 у поља табеле 3 3. На слици можеш видети 4 од тих бројева. Никола је запазио да за поље са бројем 5 важи да је збир бројева у суседним пољима једнак 13 (суседна поља су она која имају заједничку страницу). Приметио је да исто важи и за поље са бројем 6. Који број је Никола уписао у осенчено поље? А) 5 Б) 6 В) 7 Г) 8 Д) разред Задаци који вреде 3 поена 1. Алекса је написао реч KANGAROO помоћу картица које показују по једно слово. Нажалост нека слова су окренута притиском на картицу (види слику). Притискајући два пута Алекса може да исправи слово K, а притискајући једном може да исправи слово А. Колико пута Алекса треба да притисне картице да би слова била правилно окренута? А) 4 Б) 5 В) 6 Г) 7 Д) 8. Торта је тешка 900g. Петра је исекла торту на 4 дела. Највећи део је тежак колико сва три остала дела заједно. Колико је тежак највећи део? А) 50g Б) 300g В) 400g Г) 450g Д) 600g 9

32 МАТЕМАТИЧКА ТАКМИЧЕЊА 3. Две велике алке, сива и бела, спојене су једна за другу. Петар стоји испред алки. Оно што он види је приказано на слици. Павле се налази иза алки. Шта он види? А) Б) В) Г) Д) 4. У сабирању приказаном на слици неке цифре су замењене звездама. Колики је збир цифара које недостају? А) 0 Б) 1 В) Г) 3 Д) Колика је разлика најмањег петоцифреног и највећег четвороцифреног броја? А) 1 Б) 10 В) 1111 Г) 9000 Д) Квадрат обима 48cm је исечен на два дела од којих је направљен правоугаоник. Одреди обим тог правоугаоника. А) 4cm Б) 30cm В) 48cm Г) 60cm Д) 7cm 7. Катарина има 38 палидрваца од којих прави троугао и квадрат. Свака страница троугла састоји се од 6 палидрваца. Колико палидрваца има свака страница квадрата? А) 4 Б) 5 В) 6 Г) 7 Д) 8 8. Огрлица на слици направљена је од белих и сивих перли. Вукашин хоће да скине 5 сивих перли. Он може да скине перле са било које стране огрлице, па мора да скине, такође, и неке беле перле. Који је најмањи број белих перли које Вукашин мора да скине? А) Б) 3 В) 4 Г) 5 Д) 6 9. Марко је учествовао у трци која се састојала из 5 кругова. Времена када је Марко прошао кроз стартну тачку дата су у табели. Који круг је Марко прошао за најкраће време? Време Старт Након 1. круга 10.6 Након. круга Након 3. круга 11.8 Након 4. круга 1.03 Након 5. круга 1.3 А) 1. Б). В) 3. Г) 4. Д) 5. 30

33 МАТЕМАТИЧКА ТАКМИЧЕЊА 10. Бранков дигитални сат не ради правилно. Три хоризонталне линије за крајње десну цифру се не приказују. У моменту када је Бранко погледао на сат време се променило од оног приказаног на левом сату на слици на време приказано на десном сату. Које време је тада требало да буде приказано на десном сату? А) 1.40 Б) 1.4 В) 1.44 Г) 1.47 Д) 1.49 Задаци који вреде 4 поена 11. Коју плочицу треба додати тако да укупна површина сивих делова на слици буде једнака укупној површини белих делова? А) Б) В) Г) Д) немогуће је 1. Вук и Коста су кренули да ходају из исте тачке. Коста је ишао 1km на север, km на запад, 4km на југ и на крају 1km на запад. Вук је ишао 1km на исток, 4km на југ и 4km на запад. Која од следећих могућности мора бити последњи део Вуковог пута да би дошао у исту тачку у којој је Коста? А) већ су у истој тачки Б) 1km на север В) 1km на северо-запад Г) више од 1km на северо-запад Д) 1km на запад 13. У летњем кампу 7 ученика једе сладолед сваког дана, а 9 ученика једе сладолед сваког другог дана, док остали ученици уопште не једу сладолед. Јуче је 13 ученика јело сладолед. Колико ученика једе сладолед данас? А) 7 Б) 8 В) 9 Г) 10 Д) немогуће је одредити 14. Кенгури А, Б, В, Г и Д седе тим редом у смеру кретања казаљке на сату око округлог стола. Тачно када се чује звоно, сви кенгури сем једног замене место са својим суседом. Након тога, распоред кенгура почев од А, у смеру кретања казаљке на сату, је А, Д, Б, Г, В. Који кенгур се није померио? А) А Б) Б В) В Г) Г Д) Д 15. Квадрат се може формирати коришћењем 4 дела од 5 датих на слици. Који део остаје неупотребљен? А) А Б) Б В) В Г) Г Д) Д 16. Природан број има три цифре. Када се његове цифре помноже добија се 135. Који резултат се добије ако се његове цифре саберу? А) 14 Б) 15 В) 16 Г) 17 Д) Ресторан има 16 столова, од којих сваки има или 3 или 4 или 6 столица. За све столове који имају 3 или 4 столице укупно може да седне 36 особа. Колико у 31

34 МАТЕМАТИЧКА ТАКМИЧЕЊА ресторану има столова са 3 столице, ако се зна да у ресторан могу да седну укупно 7 особе? А) 4 Б) 5 В) 6 Г) 7 Д) Тачке A, B, C, D, E и F налазе се тим редом на правој. Знамо да је AF = 35, AC = 1, BD = 11, CE = 1 и DF = 16. Колика је дужина дужи ВЕ? А) 13 Б) 14 В) 15 Г) 16 Д) Јулија је поделила своје каменчиће у групе. Након што их је поделила у групе од по 3, остала су јој још каменчића. Онда их је поделила у групе од по 5 и опет су јој остала каменчића. Колико најмање каменчића она треба да дода да јој не би остао ниједан када их подели било у групе од по 3 било у групе од по 5? А) 3 Б) 1 В) 4 Г) 10 Д) Стране коцке обележене су бројевима 1,, 3, 4, 5 и 6. Стране обележене бројевима 1 и 6 имају заједничку ивицу. Исто важи и за стране обележене бројевима 1 и 5, стране обележене бројевима 1 и, стране обележене бројевима 6 и 5, стране обележене бројевима 6 и 4 и стране обележене бројевима 6 и. Којим бројем је обележена страна супротна страни обележеној бројем 4? А) 1 Б) В) 3 Г) 4 Д) немогуће је одредити Задаци који вреде 5 поена 1. Коцка 3 3 3, на слици лево, направљена је од 7 малих коцки. Колико малих коцки треба да склониш тако да када гледаш са десне стране, одозго и спреда видиш оно што је приказано на слици десно? А) 4 Б) 5 В) 6 Г) 7 Д) 9. На диску има 5 песама: песма А траје 3min, песма Б min 30s, песма В min, песма Г 1min 30s и песма Д 4min. Ових 5 песама су снимљене у редоследу А, Б, В, Г, Д и емитују се у петљи без прекида. Када је Адам изашао из куће емитована је песма В. Он се вратио кући после тачно једног сата. Која песма је емитовама када се Адам вратио кући? А) А Б) Б В) В Г) Г Д) Д 3. Дејан је уписао бројеве од 1 до 9 у поља табеле 3 3. Почео је са бројевима 1,, 3 и 4 као на слици. Испоставља се да за поље са бројем 5 важи да је збир брјева у суседним пољима (суседна поља су она која имају заједничку страницу) једнак 9. Колики је збир бројева у пољима суседним пољу са бројем 6? А) 14 Б) 15 В) 17 Г) 8 Д) 9 3

35 МАТЕМАТИЧКА ТАКМИЧЕЊА 4. С једне стране Парк авеније је 60 стабала. Свако друго дрво је јавор, а свако треће или липа или јавор. Сва остала стабла су брезе. Колико има бреза? А) 10 Б) 15 В) 0 Г) 4 Д) Црна трака је залепљена на провидну пластину коцку као на слици. Која од следећих слика не приказује коцку из било које песпективе? А) Б) В) Г) Д) 6. Краљ је путовао са својим изасланицима од дворца до летње палате брзином од 5km/h. На сваких сат времена краљ шаље изасланика назад у дворац и он путује брзином од 10km/h. Колико времена прође између доласка два узастопна изасланика у дворац? А) 30min Б) 60min В) 75min Г) 90min Д) 10min 7. На табли су написана три једноцифрена броја. Алекса их је сабрао и добио 15. Затим је обрисао један од бројева и на њгово место написао броој 3. Затим је Ратко помножио три броја написана на табли и добио 36. Који број је Алекса могао да обрише? А) 6 или 7 Б) 7 или 8 В) само 6 Г) само 7 Д) само 8 8. Зец Васа воли да једе купус и шаргарепу. Током једног дана он поједе или 9 шаргарепа или купуса или 1 купус и 4 шаргарепе. Међутим, неког дана једе само траву. Током последњих 10 дана Васа је појео укупно 30 шаргарепа и 9 купуса. Колико је од ових 10 дана јео само траву? А) 0 Б) 1 В) Г) 3 Д) 4 9. Група људи састоји се од краљева, лажљиваца и кметова. Сваки краљ увек говори истину, сваки лажљивац увек лаже, а сваки кмет наизменично говори истину или лаже. Свима су постављена иста питања. На питање: Да ли си ти краљ?, њих 17 је одговорило потврдно. На питање: Да ли си ти кмет?, њих 1 је одговорило потврдно. Колико краљева има у групи? А) 4 Б) 5 В) 9 Г) 13 Д) Бака има 10 унучади и сви имају различити број година. Алиса је најстарија. Ако је збир година свих унучади 180, колико најмање Алиса може имати година? А) 19 Б) 0 В) 1 Г) Д) разред Задаци који вреде 3 поена 1. Сваке године такмичење Кенгур без граница се одржава трећег четвртка у месецу. Који је последњи могући датум одржавања такмичења било које године? А) 14. март Б) 15. март В) 0. март Г) 1. март Д). март. Колико четвороуглова било које величине има на слици? 33

36 МАТЕМАТИЧКА ТАКМИЧЕЊА А) 0 Б) 1 В) Г) 4 Д) 5 3. Одредити вредност израза: : А) 0 Б) 1 В) 013 Г) 014 Д) Површина правоугаоника ABCD је 10. Тачке M и N су средишта страница AD и BC. Колика је површина четвороугла MBND? А) 0,5 Б) 5 В),5 Г) 7,5 Д) Производ два броја је 36, а њихов збир 37. Колика је њихова разлика? А) 1 Б) 4 В) 10 Г) 6 Д) Миа има неколико картона квадратног облика површине 4. Она их сече на квадрате и правоугле троуглове на начин приказан на првој слици. Затим је узела неколико добијених комада картона и направила птицу приказану на другој слици. Колика је површина птице? А) 3 Б) 4 В) 9 Г) 5 Д) 6 7. Кофа је до пола пуна. Чистач је додао још литра воде у кофу. Након тога три четвртине кофе је било пуно. Колико литара воде стаје у кофу? А) 10 Б) 8 В) 6 Г) 4 Д) 8. Горан је од седам јединичних коцки направио фигуру приказану на слици. Колико таквих коцки треба да дода да би направио коцку са ивицом дужине 3? А) 1 Б) 14 В) 16 Г) 18 Д) 0 9. Који од датих израза има највећу вредност? А) Б) В) Г) Д) 99 34

37 МАТЕМАТИЧКА ТАКМИЧЕЊА 10. Огрлица на слици направљена је од белих и сивих перли. Алекса скида једну по једну перлу са огрлице. Увек скида перлу са једног од крајева. Престао је да скида перле када је узео пету сиву перлу. Колико највише белих перли је Алекса могао да скине са огрлице? А) 4 Б) 5 В) 6 Г) 7 Д) 8 Задаци који вреде 4 поена 11. Јован има час клавира два пута седмично, а Ненад има час клавира сваке друге седмице. У једном периоду Јован је имао 15 часова више од Ненада. Колико седмица је дуг тај период? А) 30 Б) 5 В) 0 Г) 15 Д) Површина сваког круга на слици је 1cm. Површина пресека два круга је Колика је површина области коју покривају ових 5 кругова? 1 cm. 8 А) 4cm Б) 9 cm В) 35 cm 8 Г) 39 cm 8 Д) 19 cm Ове године бака, њена ћерка и њена унука су приметиле да је збир њихових година једнак 100. Број година сваке од њих је степен броја. Колико година има унука? А) 1 Б) В) 4 Г) 8 Д) Пет подударних правоугаоника смештено је унутар квадрата странице дужине 4cm, као што је приказано на слици. Колика је површина једног правоугаоника? А) 1cm Б) 16cm В) 18cm Г) 4cm Д) 3cm 15. Срце и стрелице су на позицијама приказаним на слици. У истом моменту срце и стрелице почињу са померањем. У првом кораку стрелица се помери за три троугаона поља у смеру кретања казаљке на сату, а срце за четири троугаона поља у смеру супротном смеру кретања казаљке на сату и онда стану. Затим се кретање по истом принципу наставља даље. После колико корака ће се срце и казаљка први пут наћи у истом троугаоном пољу? 35

38 МАТЕМАТИЧКА ТАКМИЧЕЊА А) 7 Б) 8 В) 9 Г) 10 Д) То се никада неће десити 16. На слици је приказан троугао АВС, где је BH висина и AD симетрала угла код темена А. Туп угао између BH и AD је четири пута већи од DAB. Одредити CAB. А) 30 Б) 45 В) 60 Г) 75 Д) Шест дечака дели стан са два купатила, која они почињу да користе свако јутро у Ни у једном тренутку ни у једном купатилу нема више од једне особе. Они проводе 8, 10, 1, 17, 1 и минута у купатилу. Које је најраније време када они могу да заврше са коришћењем купатила? А) 7.45 Б) 7.46 В) 7.47 Г) 7.48 Д) Дужине страница правоугаоника су 6cm и 11cm. Изабрана је једна дужа страница и конструисане су симетрале углова на њеним крајевима. Те симетрале деле другу дужу страницу на три дела. Колике су дужине тих делова? А) 1cm, 9cm, 1cm Б) cm, 7cm, cm В) 3cm, 5cm, 3cm Г) 4cm, 3cm, 4cm Д) 5cm, 1cm, 5cm 19. Капетан Спаров је са својом пиратском посадом ископао неколико златника. Они су поделили златнике међусобно тако да је свако добио исти број златника. Да су била 4 пирата мање, свако од њих би добио 10 златника више. А да је било 50 златника мање, свако од њих би добио 5 златника мање. Колико златника су ископали? А) 80 Б) 100 В) 10 Г) 150 Д) Аритметичка средина два позитивна броја је за 30% мања од једног од тих бројева. За колико процената је већа од другог броја? А) 75% Б) 70% В) 30% Г) 5% Д) 0% Задаци који вреде 5 поена 1. Дејан је уписао бројеве од 1 до 9 у поља табеле 3 3. Почео је са бројевима 1,, 3 и 4 као на слици. Испоставља се да за поље са бројем 9 важи да је збир бројева у суседним пољима (суседна поља су она која имају заједничку страницу) једнак 15. Колики је збир бројева у пољима суседним пољу са бројем 8? 36

39 МАТЕМАТИЧКА ТАКМИЧЕЊА А) 1 Б) 18 В) 0 Г) 6 Д) 7. Аналитичка вага не ради исправно. Ако је нешто лакше од 1000g, вага показује тачну тежину. Међутим, ако је нешто теже од 1000g или тешко тачно 1000g, вага може да покаже било коју тежину изнад 1000g. Имамо 5 ствари тежина A g, B g, C g, D g и E g, од којих је свака испод 1000g. Када их меримо у паровима вага показује следеће: B + D = 100, C + E = 100, B + E = 800, B + C = 900 и A + E = 700. Која је највећа међу овим тежинама? А) A Б) B В) C Г) D Д) E 3. Четвороугао ABCD има праве углове код темена A и D. Бројеви на слици означавају површину два троугла. Колика је површина четвороугла ABCD? А) 60 Б) 45 В) 40 Г) 35 Д) Лара и Марија се такмиче у решавању проблема. Свака је добила исту листу од 100 проблема. За сваки проблем прва која га реши добија 4 поена, а друга која га реши добија 1 поен. И Лара и Марија су решиле по 60 проблема. Заједно имају 31 поена. Колико проблема сз решиле обе? А) 53 Б) 54 В) 55 Г) 56 Д) Давид је возио бицикл од Единбурга до свог дворишта. Планирао је да стигне у 15.00h. Пошто је 3 планираног времена потрошио да пређе 3 пута, након тога је 4 возио спорије и стигао тачно на време. У ком су односу брзина на првом делу пута и брзина на другом делу пута? А) 5 : 4 Б) 4 : 3 В) 3 : Г) : 1 Д) 3 : 1 6. Имамо четири идентичне коцке (види слику). Оне су поређане тако да се на предњој страни види велики црни круг (видети другу слику). Шта се тада види на супротној страни? А) Б) В) Г) Д) 7. Као 9. задатак у 5-6. разреду. 8. На табли је написано неколико различитих природних бројева. Тачно два од њих су дељива са и тачно 13 од њих је дељиво са 13. Нека је М највећи од ових бројева. Која је најмања могућа вредност за М? А) 169 Б) 60 В) 73 Г) 99 Д) 35 37

40 ОДАБРАНИ ЗАДАЦИ 9. На рибњаку се налази 16 локвања распоређених у квадрате 4 4 као на слици. Жаба седи на листу у једном углу. Она скаче са једног листа на други или хоризонтално или вертикално. Она увек прескочи преко бар једног листа и никад не стаје два пута на исти лист. Који је највећи број листова (укључујући и онај на коме седи) на које жаба може да скочи? А) 16 Б) 15 В) 14 Г) 13 Д) Квадрат 5 5 је направљен од плочица 1 1, које су све са шаром као на слици. Две суседне плочице имају исту боју са обе стране заједничке странице. Обим великог квадрата састоји се од сивих и белих сегмената дужине 1. Који је најмањи могући број таквих јединичних сивих сегмената? А) 4 Б) 5 В) 6 Г) 7 Д) 8 Решења задатака са такмичења Кенгур без граница 014 објавићемо у првом броју следеће школске године. Решења задатака са пријемног испита за упис у Математичку гимназију (МЛ XLVIII-4) 1) Г; ) А; 3) Д; 4) В; 5) Д; 6) Б; 7) Б; 8) Г; 9) Г; 10) Б; 11) А; 1) В. Решења задатака са теста из математике за упис у седми разред (МЛ XLVIII-4) 1) Д; ) В; 3) А; 4) Б; 5) Г; 6) В; 7) Б; 8) А. ОДАБРАНИ ЗАДАЦИ Одабрани задаци служе за вежбу и припрему за такмичења. Препоручују се ученицима као корак који претходи решавању конкурсних задатака. Решења која следе искористити за проверу сопствених. За ученике III разреда 903. Фармер у дворишту држи краве и кокошке. Колико има којих животиња ако кокошака има два пута више него крава, а укупан број ногу свих животиња је 80? 904. Мама је оставила на столу новац за ужину за своје ћерке Ољу и Биљу. Прво је дошла Оља, узела половину суме и отишла. Затим је дошла Биља и, не знајући да 38

41 ОДАБРАНИ ЗАДАЦИ је Оља узела свој део, узела половину суме коју је нашла. На столу је остало 50 динара. Колико је новца мама оставила? За ученике IV разреда 905. На конференцији за штампу којој су присуствовали новинари и спортисти, било је укупно 0 учесника. Први новинар је интервјуисао пет спортиста, други новинар је интервјуисао шест спортиста, трећи седам, и тако редом до последњег новинара који је интервјуисао све присутне спортисте. Колико је спортиста било на тој конференцији? 906. Кад су се пријављивали за полагање пријемног испита кандидатима су подељени листићи са бројевима 1,, 3,... за чију израду су употребљене 303 цифре. Колико се кандидата пријавило? За ученике V разреда 907. Замени одговарајућим цифрама тако да је производ разломка двоцифреног броја број 1. Колико решења има задатак? и 908. Дат је квадрат АВСD странице 5cm. Конструиши тачку М која је једнако удаљена од темена А и В и која је од темена С удаљена 3cm. Колико има решења? За ученике VI разреда 909. Из посуде у којој је 5% раствор соли одлије се 3 литра течности и долије се литра воде. Тако добијени раствор има 0% соли. Колико је раствора било у посуди на почетку? 910. Нека је ABCD квадрат странице а. Тачка О је пресек дијагонала АС и BD. Тачке Е и F су средишта дужи BO и DO, а тачка G припада дијагонали AC тако да је дуж CG = 3GO. Који део површине квадрата заузима површина четвороугла AEGF? За ученике VII разреда 911. Илија је на свакој од девет картица написао по једну цифру различиту од 0. Када је Марко видео написане бројеве, изјавио је да међу свим деветоцифреним бројевима који се могу добити када се картице поставе у низ постоји тачно један дељив са 11. Да ли је Марко могао бити у праву? 91. У троуглу АВС тежишна линија ВМ је два пута мања од странице АВ и образује с њом угао од 40. Одреди величину угла АВС. За ученике VIII разреда 913. Мајстор Алемпије може за један дан да направи 65 дрвених кашика, или да офарба 104 кашике. Колико кашика он може да направи и офарба за један дан? 914. На шест картице написане су цифре 1,, 3, 4, 5, 6, на свакој по једна. Милашин и Радашин узимају наизменично по једну картицу. Победник је онај ко први постигне да са својим картицама може саставити број дељив са 31. Милашин почиње први. Који играч може да обезбеди победу?

42 ОДАБРАНИ ЗАДАЦИ РЕШЕЊА ОДАБРАНИХ ЗАДАТАКА Ако са х обележимо број крава, тада кокошака има х. Како крава има 4, а кокошка ноге, то је 4х + х = 80, тј. 4х + 4х = 80, 8х =80, те је х = 10. Дакле, у дворишту има 10 крава и 0 кокошака Ако је Биља оставила 50 динара (што је износило половину суме коју је нашла на столу), значи да је на столу нашла 100 динара. Како је то била половина суме коју је Оља нашла на столу, то значи да је Оља узела 100 динара, а 100 оставила на столу. Дакле, мама је за ужину оставила 00 динара Ако је број присутних новинара х, онда је број спортиста х + 4. Укупан број присутних је х + х + 4. Дакле, х + х + 4 = 0, х = 16, х = 8. Значи било је 8 новинара и 1 спортиста Једноцифрени бројеви написани су помоћу 9 цифара. Двоцифрени бројеви су написани помоћу 180 цифара. За писање троцифрених бројева остало је 114 цифара ( = 114). То значи да се може написати 38 троцифрених бројева, јер за сваки тај број треба употребити по 3 цифре (114 : 3 = 38). Укупно је подељено 137 бројева (9 једноцифрених + 90 двоцифрених + 38 троцифрених), а то значи да је било пријављено 137 кандидата Скратимо разломак са 36. Број 3 6 је дељив са 36 ако је дељив са 4 и са Дељив је са 4 ако је на месту јединица 0, 4 или 8. Цифру на месту стотина одређујемо тако да је збир цифара дељив са 9. Добијамо бројеве 3060, 3960, 3564, Дакле, задатак има 4 решења и то су: , 3060 = , 3960 = , 3564 = = 908. Тражена тачка је у пресеку симетрале sab дужи АВ и кружнице k(c, 3cm). Задатак има решења. k D C А sab В 909. Нека је у посуди било х литара раствора. Тада је 5% (х 3) = 0% (х 3 + ) тј. 5 ( x 3) = 0 ( x 1 ), 1 ( x 3) = 1 ( x 1 ), 5 (x 3) = 4 (x 1), x = 11. На почетку је у посуди било 11 литара раствора. 40

43 ОДАБРАНИ ЗАДАЦИ Из услова задатка је EF= BD= d и OG= OC= d= d и AG= d, где је са d обележена дужина дијагонале датог квадрата. Види слику! Четвороугао AEGF је делтоид јер се његове дијагонале секу под правим углом и дијагонала AG је његова симетрала. Дакле, PAEGF = d d= d. Површина d 1 PAEGF 5 квадрата је PABCD = a = d. Према томе, = 3 =. Површина P 1 ABCD d 16 5 четвороугла AEGF је површине квадрата ABCD. 16 D C F G O E A 911. Да. Нека је на пет картица написана цифра 3, а на преостале четири цифра 1. Тада је збир свих цифара броја непаран број 19. Да би број био дељив са 11, потребно је да разлика збира цифара на непарним местима и збира цифара на парним местима буде дељива са 11. Та разлика не може бити 0, јер је збир свих цифара непаран. Да би разлика била 11, морају збирови цифара на непарним и парним местима редом бити 15 и 4. То је могуће само ако су на пет непарних места цифрe 3, а на четири парна места цифре 1. Дакле, једини број дељив са 11 који се може добити ређањем картица у низ је број Продужимо тежишну линију ВМ до тачке D (MD = BM) (слика). ABCD је паралелограм, а троугао ABD је једнакокрак (AB = BD), па је BDA = BAD = 70. Како је MBC = MDA = 70 (наизменични), то је АВС = = 110. D C M B А 40 B 913. За израду једне кашике потребно је потребно је дана, а за фарбање једне кашике дана. Дакле, за комплетирање једне кашике (израду и фарба-

44 КОНКУРСНИ ЗАДАЦИ ње) потребно је + = дана. Следи да за један дан може да се изради и офарба 40 кашика Број који сваки играч може да састави има највише три цифре. Испишимо све бројеве дељиве са 31 који су мањи од 700 (јер остали троцифрени бројеви садрже цифре веће од 6). Прецртајмо оне који садрже цифре 0, 7, 8, 9, као и оне код којих има понављања цифара. Преостају бројеви 31, 6, 14, 341, 465 и 651. Милашин може да обезбеди победу на следећи начин: Он првo узима картицу са цифром 6. Ако Радашин после тога не узме картицу са цифром, узеће је Милашин у следећем потезу и тада ће моћи да састави број 6 дељив са 31. Ако Радашин узме картицу са цифром, Милашин својим другим потезом узима картицу са бројем 5. Било коју картицу да узме Радашин својим другим потезом, он не може саставити број дељив са 31. При томе ће бар једна цифра 1 или 4 остати на располагању Милашину за трећи потез тао да он после тога може да састави или број 651 или број 465. КОНКУРСНИ ЗАДАЦИ Конкурсни задаци намењени су првенствено ученицима који се у већој мери интересују за математику. Истовремено то је својеврсно такмичење које Математички лист организује сваке школске године. Решења задатака са именима решавалаца објављују се у наредним бројевима часописа. Предност имају они решаваоци који у првих 0 дана по изласку броја из штампе пошаљу исправна решења. Имена решавалаца са бар шест тачних решења објављују се у првом броју следеће школске године. За најбоље решаваоце предвиђене су награде. Упутство за слање решења налази се на страни 56. За ученике III разреда 461. На ручак у савани су били позвани лавови и роде. Било је укупо 3 госта који су укупно имали 88 ногу. Колико је били лавова, а колико рода? 46. Лазар је имао известан број наранџи. Половину наранџи и још једну, дао је Луки, а половину преосталих и још једну дао је Воји. После тога Лазару су остале 3 наранџе. Колико је наранџи Лазар имао на почетку? За ученике IV разреда 463. Свих 9 ученика једног одељења играли су шах тако да противници у свакој партији буду дечак и девојчица. Мира је играла са четири дечака, Нина са пет дечака, Снежана са шест, и тако редом до последње девојчице која је играла са сваким дечаком у том одељењу. Колико дечака има у том одељењу? 464. На почетку Трке за срећније детињство такмичарима су подељени бројеви 1,, 3,... за чију је израду употребљено укупно 31 цифара. Колико је такмичара било на старту? 4

45 КОНКУРСНИ ЗАДАЦИ За ученике V разреда 465. Замени одговарајућим цифрама тако да је количник разломка двоцифреног броја број. Колико решења има задатак? и Дат је квадрат АВСD странице 5cm. Конструиши тачку М која је једнако удаљена од страница АВ и АD и која је од темена D удаљена 4cm. Колико има решења? За ученике VI разреда 467. Помешају се 5 литара 0% раствора соли, 4 литра 5% раствора соли и 11 литара воде. Колики је проценат соли у том раствору? 468. Обим паралелограма ABCD је 60cm. Тачка О је пресек дијагонала АС и BD. Разлика обима два од четири троугла ABO, BCO, CDO, DAO је 10cm. Израчунај површину паралелограма. За ученике VII разреда 469. Илија је на свакој од 19 картица написао по једну цифру различиту од 0. Кад је Марко видео написане бројеве, изјавио је да међу свим деветнаестоцифреним бројевима који се могу добити кад се картице поставе у низ постоји тачно један дељив са 11. Да ли је Марко могао бити у праву? 470. У троуглу АВС тежишна линија BM је 4 пута мања од странице АВ и образује с њом угао од 60. Одреди величину угла АВС. За ученике VIII разреда 471. Климентије вози аутомобил на узбрдици брзином од 65 километара на сат, а на низбрдици брзином од 104 километара на сат. Које је највеће растојање на које Климентије може да оде и да се врати за један сат? На путу не постоје равни делови него се увек вози узбрдицом или низбрдицом. 47. На седам картица исписане су цифре 0, 1,, 3, 4, 5, 6 (на свакој по један). Милашин и Радашин наизменично узимају по једну картицу. Победник је играч који први постигне да од својих картица може да састави број дељив са 17. Милашин почиње први. Који играч може да осигура победу у овој игри? РЕШЕЊА КОНКУРСНИХ ЗАДАТАКА Збир два броја је 485. Ако већи поделимо мањим, добије се количник 15 и остатак 5. Одреди те бројеве. Решење. Ако су х и у тражени бројеви, тада из (х 5) : у = 15, закључујемо да је х = 15у + 5. Како је х + у = 485, то је 15у у = 485, тј. 16у + 5 = 485. Решавањем ове једначине добијамо да је у = 30, а х = 455. Иван Бокор, III1, ОШ Маршал Тито, Падина 450. Ана и Лара имају заједно 450 динара. Ако Ана потроши једну половину, а Лара две трећине свог новца, остаће им једнаке суме. Колико новца је имала Ана, а колико Лара?

46 КОНКУРСНИ ЗАДАЦИ Решење. Обележимо са а Анину,а са l Ларину суму. Како у Аниној суми има две половине, а у Лариној три трећине, то би, после трошења, Ани остала једна половина, а Лари једна трећина полазне суме. Тада је а : = l : 3= х, те је а = х, а l = 3х. Како заједно имају 450 динара, то је а + l = 450, тј. х + 3х = 450, те је 5х = 450, х = 90. Тада Ана има ј = х = 90 = 180 динара, а Лара l = 3 х = 3 90 = 70 динара. Невена Алексић, III, ОШ Милинко Кушић, Ивањица 451. Фудбалски тим је одиграо шест утакмица: две је добио, две играо нерешено и две изгубио. На овим утакмицама тим је дао три гола и примио два гола. Којим резултатом је завршена свака од ових утакмица? Решење. Ако је тим изгубио две утакмице, значи да је на тим утакмицама више голова примио него што је дао. Пошто је тим примио укупно два гола, значи да је на свакој од тих утакмица примио по један гол. Дакле: две изгубљене утакмице су завршене резултатом 0 : 1. Пошто на осталим утакмицама тим није примио ни један гол, значи да су две нерешене утакмице завршене резултатом 0 : 0. Ако је тим добио две утакмице, значи да је на свакој од тих утакмица дао бар један гол. Постигнута су укупно три гола, значи да је на једној утакмици био један гол, а на другој утакмици два гола. Утакмице које је тим добио завршене су резултатима : 0 и 1 : 0. Утакмице су завршене резултатима : 0, 1 : 0, 0 : 0, 0 : 0, 0 : 1 и 0 : 1. Теодора Максимовић, IV, ОШ Кадињача, Лозница 45. Квадрат је подељен са четири праве на пет једнаких правоугаоника. Обим једног тако добијеног правоугаоника је 4 cm. Израчунај површину квадрата. Решење. Означимо са x мању страницу правоугаоника (слика). Тада је обим једног правоугаоника (x + а) = 4, x + 5x = 1, па је x = cm. Дакле, a = 5, a = 10cm, P = 10 10, P = 100cm. x x x x x а = 5х Милан Тодосијевић, IV3, ОШ Свети Сава, Чачак 453. Један радник би неки посао сам завршио за 1 дана, други за 15 дана, а трећи за 0 дана. Колико ће посла остати недовршено ако сва три радника раде заједно 4 дана? 1 Решење. За један дан први радник би сам урадио, 1 други 1, 15 трећи 1 посла, при 0 чему смо са 1 (једним целим) означили цео посао. Ако сва три радника раде заједно дана они ураде = 4 = 4 =. Остаје недовршена посла. Андрија Клокочинац-Терић, V3, ОШ Илија Бирчанин, Земун Поље а 44

47 КОНКУРСНИ ЗАДАЦИ a 454. Одреди нескративе разломке, a N, b N, тако да је производ бројиоца и b имениоца 0. При томе, разломцима одговара коначан децимални запис. a Решење. Разломак, a N, b N је нескратив, има коначан децимални запис. Ако су a b и b узајамно прости, прости чиниоци броја b су двојке и петице. По услову задатка је ab = 0 = 5 11, па следи a = 55, b = 4 = ; a = 44, b = 5; a = 11, b = 0 = Остали случајеви не испуњавају услове. Тражени разломци су, 4 5 и Марија Ракиџић, V, ОШ Аксентије Максимовић, Долово 455. Докажи да међу 1 произвољних природних бројева постоје бар два чија је разлика дељива са 11. Решење. У односу на дељење природних бројева са 11 постоји 11 могућности, односно бројеви могу бити облика 7k, 7k1 + 1, 7k +, 7k3 + 3,..., 7k где смо са k, k1, k, k3,..., k10 обележили количнике при дељењу са 11. Сваки од произвољних природних бројева је тачно једног од ових облика, односно има један од могућих остатака при дељењу са 11. При томе, два или више од тих бројева могу имати исте остатке. По Дирихлеовом принципу, у најгорем случају 11 од тих бројева имају различите остатке при дељењу са 11, а дванаести мора имати исти остатак са неким од првих једанаест бројева. Нека су та два природна броја, који имају исти остатак s, s {0, 1,, 3,..., 10}, при дељењу са 11, бројеви 11a + s и 11b + s, при чему је a > b. Тада је њихова разлика (11a + s) (11b + s) = 11a + s 11b s = 11a 11b = 11 (a b) дељива са 11. Александра Љубеновић, VI1, ОШ Светозар Марковић, Лесковац 456. Докажи да је центар уписаног круга најближи темену највећег угла троугла. Решење. Нека је АВС дати оштоугли троугао и нека је γ > α > β. Слика. Тачка О центар уписаног круга и праве АО, ВО и СО су редом симетрале углова α, β и γ. Растојања центра О од темена троугла су ОА, ОВ и ОС, па треба да докажемо да је ОС < ОА и ОС < ОВ. У троуглу ВСО за углове ВСО и СВО важи да је BCO > CBO, па следи да је ОС < ОВ. У троуглу АОС је ACO > CAO па је ОС < ОА. Дакле, центар уписаног круга је најближи темену највећег угла троугла. C A O B Ленка Стаматовић, VI6, ОШ Ђорђе Крстић, Београд 457. Дате су колинеарне тачке C, D и B, при чему је тачка D између тачака C и В. Конструиши једнакокраки троугао АВС са теменом при врху С, теменом на основици В, где је AD симетрала угла при основици. 45

48 КОНКУРСНИ ЗАДАЦИ Решење. Претпоставимо да је тражени троугао конструисан и нека је E тачка на краку АС таква да је ВЕ симетрала угла код темена В. Према одабраном задатку 899 је BD = ED, па се тачка Е налази на кружници k(d, DB). С друге стране је CE = CD (јер је AE = BD), па се тачка Е налази на кружници k(c, CD). Треће теме А налази се на правој СЕ, при чему је СА = СВ. Дакле, конструкција се састоји у следећем: Конструкција кружнице k1 = k(d, DB); конструкција кружнице k = k(с, СD); пресек кружница k1 и k је тачка Е; конструкција праве a која садржи тачке С и Е; конструкција кружнице k3 = k(с, СB); пресек праве а и кружнице k3 је теме А. E A C D B DE Како је и CED једнакокраки троугао са врхом С, решење постоји кад је CD>, тј. кад DB је CD>. Заиста, у том случају се кружнице k1 и k секу у две тачке, па имамо два решења. DB Ако је CD<, кружнице k1 и k се не секу, па у том случају решење не постоји. У DB граничном случају CD= тражени троугао се дегенерише у дуж. Бојан Крак, VII3, ОШ Васа Стајић, Нови Сад 458. Марко је помножио неколико природних бројева и добио производ Колико је бројева помножио Марко ако се зна да је највећи од њих тачно два пута већи од најмањег? Решење = У разлагању на просте чиниоце, у највећем броју је изложилац броја за један већи од оног у најмањем броју. Ни најмањи ни највећи број не садрже чиниоце 5 и 19, у сваком је изложилац броја 3 исти. Како највећи број мора бити већи од 19, једина могућност је да су тражени бројеви 1, 15, 19 и 4. Дакле, Марко је помножио 4 броја. Тодор Тешић, VII3, ОШ Вук Караџић, Лозница 459. У једнакокраком троуглу са основицом a и краком b, угао при врху је 9. Докажи да је b < 7a. Решење. Слагањем седам таквих троуглова у деветоугао са две суседне странице b и седам суседних страница a, добијамо да је угао између две веће странице 63 и да крајеви тих дужи одређују дуж чија је дужина већа од дужине крака b, јер је угао при 46

49 НАГРАДНИ ЗАДАЦИ врху А једнакокраког троугла АВС већи од угла на основици. С друге стране, ти крајеви су спојени са изломљеном линијом састављеном од седам дужи дужине a, одакле следи тврђење. А b b В С а а а а а а а Милица Матић, VIII, ОШ Радоје Домановић, Параћин 460. Постоје ли различити природни бројеви a, b, c, d такви да је = 1? a b c d 014 Решење. На основу одабраног задатка 90 је = 1. Делећи са 014 леву и десну страну једнакости налазимо да је = Тражени бројеви су a = 014 = 408, b = = 8056, c = = 1084, d = = Мира Милосављевић, VIII4, ОШ Милан Муњас, Совљак, Уб НАГРАДНИ ЗАДАЦИ Ова рубрика је, као и конкурсни задаци, позив свим нашим читаоцима за такмичење. У сваком броју нашег листа дајемо један задатак за сваки разред. Из сваког разреда, пет најуспешнијих решавалаца биће награђено. Упутство за слање решења налази се на страни 56. Наградни задатак бр. 43 (за ученике III разреда) Дигитални сат показује време. Колико времена треба да прође да би сат показивао време које се добија ако сат окренеш наопачке (за 180 )? Наградни задатак бр. 44 (за ученике IV разреда) На почетку годишње скупштине тајног друштва Лукава Лија број присутних чланова је био пет пута већи од броја одсутних. За време скупштине је стигао још један члан друштва, тако да је тада број присутних био шест пута већи од броја одсутних. Колико чланова има тајно друштво Лукава Лија? 47

50 НАГРАДНИ ЗАДАЦИ Наградни задатак бр. 45 (за ученике V разреда) Аца, Браца и Цица су поделили 1650 динара тако да је Браца добио 3 Ациног дела, а Цица 3 8 дела који су добили Аца и Браца заједно. Ко је од њих добио највише новца и колико? Наградни задатак бр. 46 (за ученике VI разреда) a Одреди целе бројеве a и b тако да је a + b = a b =. b Наградни задатак бр. 47 (за ученике VII разреда) Дужине страница правоугаоника су цели бројеви. Ако једну страницу повећамо за 99, а другу смањимо за 1, добија се нови правоугаоник исте површине као и полазни. Одреди дужину дуже странице правоугаоника ако је дужина краће странице двоцифрен, а површина четвороцифрен број. Наградни задатак бр. 48 (за ученике VIII разреда) Нека је О тачка у унутрашњости једнакостраничног троугла АВС таква да је АОВ = 113 и ВОС = 13. Одреди углове троугла са страницама ОА, ОВ, ОС. РЕЗУЛТАТИ КОНКУРСА ЗА НАГРАДНИ ЗАДАТАК БР. 417 (МЛ XLVIII-4) Решење. Како је, за половину обављеног посла, Игор добио лопте и 300 динара, то би, за обављен цео посао, Игор добио лопте и 600 динара. По услову задатка, то једнако са вредности једне лопте и 750 динара, те можемо закључити да је цена лопте 150 динара. Награђени Борис Арсић, III, ОШ,,Свети Сава, Велика Плана Катарина Вулић, III5, ОШ Станислав Сремчевић, Крагујевац Вуковић Анђела, III1, ОШ Бранко Радичевић, Вранеш Тамара Новаковић, III, ОШ Петар Кочић, Земун Лана Дерманов, II4, ОШ Соња Маринковић, Нови Сад РЕЗУЛТАТИ КОНКУРСА ЗА НАГРАДНИ ЗАДАТАК БР. 418 (МЛ XLVIII-4) Решење. За 1 сати би први радник могао да уради три таква посла. Други радник би за то време урадио један такав посао. Значи да би оба радника заједно урадили четири таква посла за 1 сати. Онда би један такав посао могли да ураде за четири пута краће време, дакле за три сата. Награђени Милош Пањевац, IV3, ОШ Јован Милидраговић, Београд Срђан Николић, IV1, ОШ Јован Цвијић, Лозница Матија Матић, IV3, ОШ Доситеј Обрадовић, Пожаревац Милица Мандић, IV3, ОШ 1. октобар, Крагујевац Ђорђе Стевановић, IV1, ОШ Душан Радовић, Ниш 48

51 НАГРАДНИ ЗАДАЦИ РЕЗУЛТАТИ КОНКУРСА ЗА НАГРАДНИ ЗАДАТАК БР. 419 (МЛ XLVIII-4) Решење. Број 7979 раставимо на просте чиниоце, па је 7979 = Следи да је Саша ученик трећег или седмог разреда. Ако би ишао у трећи разред имао би 10 година, па према томе иде у седми разред и има 13 година. С обзиром на услове број зграде је 79 јер је 9 31 = 79. Награђени Никола Столић, V4, ОШ Михајло Петровић Алас, Београд Емилија Станојевић, V3, ОШ Доситеј Обрадовић, Омољица Марија Димић, V, ОШ Никодије Стојановић Татко, Прокупље Никита Ковачевић, V4, ОШ Ратко Вукићевић, Ниш Матија Васиљевић, V3, ОШ 8. септембар, Пирот РЕЗУЛТАТИ КОНКУРСА ЗА НАГРАДНИ ЗАДАТАК БР. 40 (МЛ XLVIII-4) Решење. Нека је ABCD (AB > BC) правоугаоник који испуњава услове задатка. С обзиром да је AM = 3MC то је AC = 4MC. Како је AC = AO следи да је AO = MC и OM = 1 1 MC= OC= OB. Дакле, у правоуглом троуглу ОВМ катета ОМ је једнака половини хипотенузе ОВ, па је BOM = 60. Дијагонале правоугаоника ABCD се секу под углом од 60. D C M Награђени Милан Митрески, VI3, ОШ Јелена Ћетковић, Београд Јована Стојановић, VI3, ОШ Свети Сава, Ниш, Петар Ковачевић, VI6, ОШ Уједињене нације, Београд Марко Грујчић, VI1, ОШ Борислав Пекић, Београд Алекса Новаковић, VI5, ОШ Стојан Новаковић, Шабац А РЕЗУЛТАТИ КОНКУРСА ЗА НАГРАДНИ ЗАДАТАК БР. 415 (МЛ XLVIII-3) Решење. Нека је Марко Краљевић ударио тешком топузином x пута, Милош Обилић y пута и Реља Крилатица z пута. Означимо број омлаћених јабука са j. Тада је x + z = 000, y + z = 1000, x + y + z = j. Сабирајући прве две једначине добијамо да је (x + y + z) = 3000, одакле добијамо да је број јабука j = x + y + z = Награђени Марија Аздејковић, VII4, ОШ Јован Поповић, Крушевац Александар Симић, VII, Гимназија Јован Јовановић Змај, Нови Сад O 49 B

52 ЛЕТЊИ НАГРАДНИ ЗАДАЦИ РЕЗУЛТАТИ КОНКУРСА ЗА НАГРАДНИ ЗАДАТАК БР. 41 (МЛ XLVIII-4) Решење. Број има више од две цифре, иначе не би могао бити 17 пута већи од збира својих цифара. Наиме, немогуће је да за једноцифрене бројеве a и b (од којих је бар један позитиван) буде 10a + b = 17 (a + b), јер се то своди на 7a + 16b = 0, тј. a = b = 0. Тражени број не може имати више од три цифре, јер би онда однос броја према збиру његових цифара био већи од 17. Наиме, немогуће је да за једноцифрене бројеве a, b, c, d (од којих је бар један позитиван) буде 1000а + 100b + 10c + d = 17 (a + b + c + d), јер се своди на 983a + 83b = 7c + 16d, а последња једнакост је немогућа за a 1 и c 9, d 9. Нека је тражени број abc. Тада је 100a + 10b + c = 17(a + b + c), тј. 83а = 7b + 16c. Тада је a < 3, јер би у противном било 83a > 83 3 = 49 > 07 = Сада провером свих бројева дељивих са 17 који су већи од 100, а мањи од 300 (има их 1) налазимо да је јединствено решење број 153. Награђени Александар Симић, VII, Гимназија Јован Јовановић Змај, Нови Сад Миљана Петковић, VII, Гимназија Светозар Марковић, Ниш РЕЗУЛТАТИ КОНКУРСА ЗА НАГРАДНИ ЗАДАТАК БР. 4 (МЛ XLVIII-4) Решење. Поделимо низ 0, 1,, 3,..., 999 на поднизове од по 0 узастопних чланова. У оквиру сваког таквог подниза је збир бројева са парним збиром цифара једнак збиру бројева са непарним збиром цифара. Заиста, ако је a парна цифра и a = a + 1, онда су збирови xa0 + xa + xa4 + xa6 + xa8 + xa 1 + xa 3 + xa 5 + xa 7 + xa 9 и xa1 + xa3 + xa5 + xa7 + xa9 + xa 0 + xa + xa 4 + xa 6 + xa 8 једнаки. Наиме, и један и други збир су једнаки 1000x + 50(a + a ) + ( ). Дакле, тражени збир је једнак половини збира свих бројева од 1 до 999, тј. 1 ( ) = Награђени Евгенија Јовић, VIII, ОШ Вера Радосављевић, Неготин Милица Теохаревић, VIII3, OШ Доситеј Обрадовић, Умка Мира Милосављевић, VIII4, ОШ Милан Муњас, Совљак, Уб Анђа Денић, VIII, Гимназија Светозар Марковић, Ниш Алекса Милисављевић, VIII3, ОШ Јован Цвијић, Лозница ЛЕТЊИ НАГРАДНИ ЗАДАЦИ Решења треба послати најкасније до 1. септембра 014. године према условима на страни 56. По пет решавалаца у сваком разреду ће бити награђено. Решења наградних летњих задатака биће објављена у броју следеће школске године. Трећи разред Уместо звездица напиши цифре тако да следећи рачун буде тачан: =

53 ЗАДАТАК СА НАСЛОВНЕ СТРАНЕ Четврти разред Дешифруј следеће множење. Различита слова представљају различите цифре, а иста слова исте цифре. Звездица замењује било коју цифру. O S A M O S A M Пети разред Марко каже Илији: - Ја имам интересантан број телефона. То је седмоцифрен број чије су прве три цифре међусобно једнаке и остале четири међусобно једнаке. Збир свих седам цифара је двоцифрен број чија је прва цифра једнака првој цифри мог телефонског броја, а последња последњој. Одреди број Марковог телефона. Шести разред Триста кружића (поља) распоређено је по обиму веће кружнице. У једном пољу постављен је жетон. Илија помера жетон у смеру кретања казаљке на сату тако што га првим потезом помери за једно поље, другим за два поља, трећим за три, итд, у сваком следећем потезу број пређених поља је за 1 већи од броја поља пређених у претходном потезу. Да ли се на тај начин жетон може довести на свако од 300 поља? Седми разред На колико начина се могу изабрати четири сложена броја мања од 50 тако да су свака два узајамно прости? Осми разред Два човека крећу истовремено, један из места А у место В, други из места В у место А. Сваки се креће константном брзином. Од тренутка кад су се срели, првоме је било потребно још 16 сати да стигне у В, а другоме још 9 сати да стигне у А. Колико је свако од њих потрошио времена за путовање између два места? ЗАДАТАК СА НАСЛОВНЕ СТРАНЕ Да ли је могуће заменити А и В различитим цифрама, различитим од 0, тако да једнакост АВ ААА = АВА АА буде тачна? РЕШЕЊE ЗАДАТКА СА НАСЛОВНЕ СТРАНЕ ИЗ ПРОШЛОГ БРОЈА (МЛ XLVIII-4) Решење. Решења су: =1468, =1530, =167, =169, 51

54 ЗАДАТАК ЗА РОДИТЕЉЕ =1734, 98+98=1856, =1876. Награђени Стефан Бранковић, IV1, ОШ Скадарлија, Београд Лазар Ристовић, V4, ОШ Младост, Нови Београд Наташа Френц, VI, ОШ Доситеј Обрадовић, Зрењанин Иван Бокор, III1, ОШ Маршал Тито, Падина Станислав Левченко, VII7, ОШ Алекса Шантић, Београд Огњен Печеница, III4, ОШ Свети Сава, Бајина Башта Амина Коничанин, VII3, ОШ Селаковац, Нови Пазар Ана Миловановић, V1, ОШ Бата Булић, Петровац на Млави Никола Чутурић, V, ОШ Ђура Јакшић, Кикинда Александра Милић, V1, ОШ Вук Кaраџић, Лебане РЕЗУЛТАТИ КОНКУРСА ЗА СПЕЦИЈАЛНИ ЗАДАТАК БРОЈ 73 (МЛ XLVIII-4) Решење. Исписујући бројеве, почев од прве секунде, добијамо низ: 55, 38, 37, 34, 5, 3, 19,, 17, 0, 13, 16, 19,,... Видимо да је низ периодичан, са периодом 19,, 17, 0, 13, 16 дужине 6 и претпериодом 55, 38, 37, 34, 5, 3 дужине 6. Како је 014 = , 014. члан ће бити једнак четвртом броју периоде, тј. 0. Награђени Дуња Радојевић, V, ОШ Љубица Радосављевић Нада, Зајечар Емир Сарачевић, V1, ОШ Светозар Марковић, Сјеница Јован Ахметовић, VII3, ОШ Радоје Домановић, Параћин Дино Мелуновић, VIII1, ОШ Милосав Стиковић, Пријепоље Стефана Јанковић, VII, ОШ Доситеј Обрадовић, Ћићевац Милош Пурић, IV, ОШ Карађорђе, Београд Лазар Галић, VII, Гимназија Јован Јовановић Змај, Нови Сад Лазар Радисављевић, VI3, ОШ Свети Сава, Владичин Хан Никола Денић, V3, ОШ Петар Кочић, Инђија Петар Дамјановић, V1, ОШ Нада Димић, Ужице ЗАДАТАК ЗА РОДИТЕЉЕ Р4. У врећи се налази шећер у праху. Располажемо теразијама са два таса и само једним тегом од 1g. Како са најмањим бројем мерења одмерити 1kg шећера? РЕШЕЊЕ ЗАДАТКА ИЗ ПРОШЛОГ БРОЈА Р41. Међу 013 наизглед једнаких златника налази се 50 фалсификованих. Сви исправни златници су исте масе и сви фалсификовани су исте масе која се за 1 грам разликује од масе исправних (може бити лакши или тежи). Имамо на располагању теразије са два таса и скалом која показује разлику маса на једном 5

55 ЗАДАТАК ЗА НАСТАВНИКЕ и другом тасу у грамима. Да ли се може за произвољно изабрани златник једним мерењем утврдити да ли је исправан или неисправан? Решење. Издвојимо један златник, а преостале расподелимо на леви и десни тас по Ако је издвојени златник исправан, разлика маса на два таса износиће паран број грама. Ако је издвојени златник фалсификован, разлика маса ће износити непаран број грама. На тај начин, закључујемо да ли је издвојени златник исправан или фалсификован. За решење задатка награђена је Илона Јовин, Браће Поповић 10/13, Нови Сад. Задатaк су тачно решили и: Сашко Николић, Владичин Хан; Мирјана Васовић, Чачак; Милош Цветковић, Владичин Хан; Стефан Богдановић, Доњи Милановаац; Зоран Ковачевић, Београд; Виолета Савковић, село Витково, Александровац. ЗАДАТАК ЗА НАСТАВНИКЕ НИКЕ Н4. Да ли се коцка може разрезати на 014 мањих коцки? РЕШЕЊА ЗАДАТАКА ИЗ ПРЕТХОДНОГ БРОЈА Н41. Располажемо са 1 штапова, сваки дужине 13dm. Да ли их можемо исећи на делове дужине 3dm, 4dm и 5dm тако да од добијених делова може да се састави 13 правоуглих троуглова са страницама дужине 3dm, 4dm и 5dm? Решење. Да. На пример, можемо 5 штапова пресећи на три дела дужине 4dm, 4dm, 5dm, 4 штапа на три дела дужине 5dm, 5dm, 3dm и 3 штапа на четири дела дужине 3dm, 3dm, 3dm, 4dm. На тај начин добијамо по 13 штапова дужине 3dm, 4dm, 5dm. За решење задатка награђен је Стеван Богдановић, OШ Бранко Перић, Рудна Глава. Задатaк су тачно решили и: Илона Јовин, ОШ Јожеф Атила, Нови Сад; Сашко Николић, ОШ Свети Сава, Владичин Хан; Јасна Благојевић, ОШ Светозар Марковић, Београд; Gabriela Toth, ОШ Мирослав Антић, Палић; Јасмина Беговић, ОШ Јован Дучић, Петроварадин; Радован Ђорђевић, ОШ Синиша Јанић, Власотинце; Љиљана Петровић, ОШ Аца Алексић, Александровац; Драган Вуковић, ОШ Вељко Дугошевић, Рума; Јасна Милићевић, ОШ Свети Сава, Бор; Душан Лукић, ОШ Свети Сава, Читлук; Стеван Богдановић, ОШ Бранко Перић, Рудна Глава; Бранимир Лапчевић, ОШ Стојан Новаковић, Блаце; Виолета Ђокић, ОШ Јован Јовановић Змај, Брус; Владимир Петковић, наставник математике у пензији, Ниш; Ненад Мирков, ОШ Иван Горан Ковачић, Суботица; Јелена Јоловић, ОШ Јован Јовановић Змај, Свилајнац. 53

56 ЛЕТЊА ШКОЛА МЛАДИХ МАТЕМАТИЧАРА ЉУБОВИЈА 014. Обавештавамо вас да је се за љубитеље математике из основних школа организује Летња школа младих математичара Љубовија 014. Ова школа је намењена свршеним ученицима од трећег до осмог разреда oсновне школе. Организатор Летње школе је Друштво математичара Србије Подружница математичара Ваљево. Предвиђено је да се Летња школа одржи у Љубовији (Хотел Ласта ) у термину: Уколико буде већег интересовања и са још једном сменом од Школа ће се реализовати у току седам наставних дана (7 пуних пансиона + ручак), а предвиђен је следећи програм активности: тематска предавања из области математике (3-4 школска часа дневно), спортско рекреативне активности (базен у кругу хотела + спортски терени), математичке радионице, мисаоне игре, квизови, културно забавне активности (у вечерњим часовима). Цена Летње школе је: динара, ако се уплата изврши у целости до у највише 4 рате динара (5 рата / 4 рате до и 5. до ) динара (6 рата / 4 рате до а 5. и 6. до 30.9.) У цену су урачунати: смештај (сјајне трокреветне собе са клима уређајима и плазма телевизорима), исхрана ученика (доручак, ручак и вечера), и трошкови организације наставних и ваннаставних активности. Уплате се врше преко текућег рачуна Подружнице математичара Ваљево, број: Пријава за Летњу школу се обавља достављањем пријаве (која се налази на електронској адреси поштом на адресу Подружница математичара Ваљево, Вука Караџића 3, Ваљево или електронски путем е-mail Детаљније информације је могуће сазнати и путем телефона ( Драган Стефановић, Мирослав Марковић) или путем сајтова и 54

57 ЕНИГМАТСКА СТРАНА Задаци 1. Премести две цифре тако да једнакост 5 9 = 59 постане тачна.. Дешифруј следеће сабирање. (Иста слова представљају исте цифре, а различита различите.) СЛOВ,O + СЛOВ,O = ПЕСМА. 3. Дешифруј следеће сабирање. (Иста слова представљају исте цифре, а различита различите.) ТАМТАМ + МРАК = КОШМАР. Решење задатака из претходног броја 1. ГЛАВА. Све остале речи су анаграми математичких појмова (РАВАН, ПРАВА, ЗАПРЕМИНА, ПЛУС).. Дајемо три решење: 7 = ((((1 : ) : 3) : 4) : 5) : ((((6 : 7) : 8) : 9) : 10) = 1 : (( : (3 : (((4 : 5) : 6) : 7))) : ((8 : 9) : 10)) = 1 : (( : 3) : ((4 : ((5 : 6) : (7 : 8))) : (9 : 10))). 3. 0, 5, 1, 6,, 7, 3, 8, 4, 9. 55

58 УПУТСТВО ЗА РЕШАВАОЦЕ Решења можете слати на два начина: Елекронском поштом на адресу: Откуцана решења (Word 003 или LaTex) морају сaдржати образложење и прецизно нацртане слике. У поруци обавезно написати име и презиме, разред и одељење, назив школе, адресу школе и место, као и кућну адресу и место. Задатке из различитих рубрика слати у одвојеним порукама којима у Subject-у стоји назив рубрике: Задатак са насловне стране или Конкурсни задатак бр На пример: To: Subject: Конкурсни задатак бр. 143 Име и презиме, одељење, школа, адреса школе, место, кућна адреса, поштански број, место. Као и до сада стандардном поштом. Решења писати читко, сваки задатак на посебном листу уз обавезно образложење и прецизно нацртане слике. На сваком листу обавезно написати име и презиме, разред и одељење, назив школе, адресу школе и место, као и кућну адресу и место. Задатке из различитих рубрика стављати у засебне коверте на којима стоји назив рубрике: Задатак са насловне стране или Конкурсни задатак бр На пример: Математички лист Задатак са насловне стране Кнез Михаилова 35/IV, п.п Београд Решења која не испуњавају наведене услове неће се узимати у обзир. Решења задатака из овог броја послати најкасније до ВАЖНО ОБАВЕШТЕЊЕ ЗА ТАКМИЧАРЕ И ЊИХОВЕ НАСТАВНИКЕ Друштво математичара Србије, односно Комисија за тамичење из математике ученика основних школа, у припреми задатака за такмичења користи задатке из Математичког листа текуће, као и две претходне школске године (у обзир долазе сви задаци, дакле из чланака, припремни, одабрани, конкурсни, наградни, као и задаци са такмичења), и то по принципу: најмање 3 задатка за школски, најмање задатка за општински и најмање 1 задатак за окружни ниво такмичења. У тим задацима неки од података могу бити промењени. 56