ЈЕДНАКОСТИ У ПРАВИЛНОМ ОСМОУГЛУ

Transcript

1

2

3 ЈЕДНАКОСТИ У ПРАВИЛНОМ ОСМОУГЛУ Александар Средојевић и Драгољуб Милошевић, Горњи Милановац Нека је дат правилан осмоугао ABCDEFGH (слика 1). Уведимо ознаке: AB = a, AC = b, AD = c и AE = d. Тада важе следеће једнакости: 1) bd = 2ac; F c d 2) = 1; a b d a 3) = 1. b c H G A I K II I N III L P II M E II + III ( CDP) C D B слика 1 Доказ. 1) У пресеку дијагонала AF, BE, CH и DG добијамо квадрат KLMN (слика 1). Четвороугао ABCF је делтоид, јер AB = BC = a и AF = CF = c. Нека је CF DG = {P}. Четвороугао (трапез) KCPN је заједнички за делтоид ABCF и правоугаоник CDGH. Правоугаоник ABLK (саставни део делтоида ABCF) подударан је са правоугаоником GHKN (који улази у састав правоугаоника CDGH), јер је AB = GH = a и AK = KH ( AKH је једнакокраки и правоугли). Једнакокрак правоугли троугао BCL (из састава делтоида) подударан је са FGN. Овај троугао (FGN) и PFN чине једнакокрако-правоугли троугао FGP који је подударан са CDP (из састава правоугаоника CDGH). Овим је показано да је површина делтоида ABCF једнака површини правоугаоника CDGH, тј. 1 ( AC BF) CD CH 2 = или 1 bd ac 2 = односно bd = 2ac. 2) Централни угао над страницом правилног осмоугла је 360 : 8 = 45, а одговарајући периферијски угао је 45 : 2 = = α (слика 2). На дијагонали AF одредимо тачку P тако да је FP = EF = a, па је AP = AF FP = c a. Троуглови ABC и AEP су слични (јер имају једнаке углове), па је AB : AP = AC : AE, или a : (c a) = b : d. Одавде је d c ad = bc ab. После дељења ове једнакости са ab добијамо = 1, одакле коначно b a c d следи тражена једнакост = 1. a b 1

4 ЈЕДНАКОСТИ У ПРАВИЛНОМ ОСМОУГЛУ H G A c a α α a a P F 90 d a 45 α E D b α α α C A b 135 a B B слика 2 слика 3 H G b F c a d b N a a M 45 E a a C D 3) На дијагонали AD одредимо тачку M тако да DM = a, а на дијагонали AE тачку N тако да AN = b (слика 3). Тада је AM = c a и EN = d b. Троуглови ACD и ADN су подударни (правило СУС), па је DN = CD = a. Подударни су и једнакокраки троуглови CDM и DEN, што значи да је CM = EN = d b. С обзиром да троуглови ACD и ACM имају једнаке углове, они су слични. Из те сличности следи CD : CM = AD : AC, или a : (d b) = c : b, тј. ab = cd bc. Дељењем a d d a последње једнакости са bc, добијамо = 1. Одавде, коначно следи = 1. c b b c Задаци за вежбање 1. Да ли у правилном осмоуглу ABCDEFGH важи једнакост AD 2 AB 2 = 2 AB AD? Образложи! 2. Докажи прву једнакост помоћу Питагорине теореме. 3. Нека се праве AD и FE секу у тачки S и нека је AN = AC, N AE. а) Докажи да је: (1) DS = DE, (2) DN SE. б) Докажи трећу једнакост помоћу Талесове теореме. 4. Докажи трећу једнакост применом теореме о симетрали угла троугла (на слици 3 је ADN = EDN = 45 у ADE). СПЕЦИЈАЛНИ ЗАДАТАК БР. 72 Десет најуспешнијих решавалаца овог задатка биће награђено. Упутство за слање решења је на страни 48. Докажи да је површина правилног осмоугла једнака производу дужина најкраће и најдуже дијагонале, тј. P = bd. 2

5 ЈЕДАН ЗАДАТАК ВИШЕ РЕШЕЊА Јожеф Варга, Темерин Корисније је решити један исти задатак на неколико различитих начина него решити неколико задатака сваки на само један начин. Ако се један исти задатак реши на разне начине, може се упоређивањем решења утврдити које је од њих краће, ефектније, елегантније. На тај начин се стиче и изграђује вештина решавања задатака. W. W. Sawyer, Prelude to Mathematics У оквиру ове рубрике на конкретним примерима указиваћемо на могућностима да се једна исти задатак решава на различите начине. При томе ћемо настојати да се у решавању задатака користе само она знања која су доступна ученицима основне школе, трудећи се да поступци решавања буду елегантни и једноставни, јер у математици је лепо оно што је једноставно. Задатак. Полупречник круга је r. Тетива CD тог круга сече пречник AB у тачки M под углом од 45. Докажи да је MC 2 + MD 2 = 2r 2. Решење 1. Нека је тачка E осносиметрична слика тачке D у односу на пречник AB, F пресек правих AB и DE и O центар круг (слика 1). Како су троуглови MDF и MEF подударни то је троугао DME једнакокрако-правоугли и DME = 90, MD = ME и MDE = 45. Сада је и CME = 90 и COE = 90 (централни угао над тетивом чији је периферијски угао 45 ). Важи да је CE 2 = MC 2 + ME 2 = MC 2 + MD 2, али и CE 2 = CO 2 + OE 2 = 2r 2, па је MC 2 + MD 2 = 2r 2. D D А C M O F E B А C E M G O F B слика 1 слика 2 Решење 2. Нека је О центар круга и нека су Е и F редом подножја нормала из тачака C и D на пречник AB и нека је G средиште тетиве CD (слика 2). Сада имамо OC = OD (полупречници круга), CG = GD, GO = GO, па следи OCG ODG (ССС). Одавде MGO = 90, односно MGO је правоугли троугао са угловима 90, 45 и 45, тј. једнакокраки, GM = GO. Даље имамо: MC 2 + MD 2 = (CG MG) 2 + (DG + MG) 2, MC 2 + MD 2 = CG 2 2 CG MG + MG 2 + DG DG MG + MG 2, односно због GM = GO и CG = GD имамо даље MC 2 + MD 2 = CG 2 2 CG MG + GO 2 + DG CG MG + GO 2, MC 2 + MD 2 = CG 2 + GO 2 + DG 2 + GO 2 = CO 2 + DO 2 = 2r 2, тј. MC 2 + MD 2 = 2r 2. 3

6 ЈЕДАН ЗАДАТАК ВИШЕ РЕШЕЊА Решење 3. Нека је О центар круга и нека су Е и F подножја нормала из тачке C и D на пречник AB (слика 3). Троугао OCD је једнакокрак (OC = OD), па је OCD = ODC. Означимо OCD = α. Тада имамо OCE = OCD + DCE = 45 + α. Надаље COE = 180 OEC OCE = 45 α. Слично ODF = CDF CDO = 45 + α. Из овога следи да су правоугли троуглови OCE и ODF подударни, па је EM = OF и EO = MF. По Питагориној теореми MC 2 + MD 2 = CE 2 + EM 2 + MF 2 + FD 2 = CE 2 + OF 2 + EO 2 + FD 2 = CE 2 + EO 2 + OF 2 + FD 2 = CO 2 + OD 2 = 2r 2. Решење 4. Нека је O центар круга и нека су E и F подножја нормала из тачке C и D на пречник AB (слика 3). Троуглови MCE и MDF имају по један прав угао и један угао од по 45, па значи да су једнакокраки правоугли. Следи да је EC = EM и MF = FD. Даље из правоуглих троуглова MCE, MDF, OCE и ODF редом следи: EM 2 + EC 2 = MC 2, FM 2 + FD 2 = MD 2, EO 2 + EC 2 = r 2 и FO 2 + FD 2 = r 2. Означимо EM, МF и MO редом са a, b и c. Имамо: MC 2 = 2a 2, MD 2 = 2b 2, (a + c) 2 + a 2 = r 2 и (b c) 2 + b 2 = r 2 или 2a 2 + 2ac + c 2 = r 2 и 2b 2 2bc + c 2 = r 2. Из последње две једнакости добијемо 2a 2 + 2ac + c 2 = 2b 2 2bc + c 2, односно 2ac + 2bc = 2b 2 2a 2 или 2(a + b)c = 2(b a)(b + a), тј. c = b a. Сабирањем истих једнакости добијемо 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 + 2(a b)c = 2r 2. Како је a b = c, то је 2a 2 + 2b 2 = 2r 2, тј. MC 2 + MD 2 = 2r 2. D А1 E1 D А C E M O F B А C E M G O F B слика 3 p слика 4 Решење 5. Нека је О центар круга и нека су Е и F подножја нормала из тачке C и D на пречник AB. Нека је даље p права кроз O, нормална на CD, а тачке A1, E1 и B1 осно симетричне тачке редом тачкама A, E и B у односу на праву p (слика 4). Пречник A1B1 је нормалан на пречник AB и E1 је тачка тог пречника, па је E1OFD правоугаоник, односно E1O = FD. Због симетрије E1O = EO. Троуглови MCE и MDF имају по један прав угао и један угао од 45, значи то су једнакокраки правоугли троуглови, па је MD 2 = 2DF 2 = 2OE 2 и MC 2 = 2EC 2. Из правоуглог троугла OCE следи EO 2 + EC 2 = r 2, односно MC 2 + MD 2 = 2EO 2 + 2EC 2 = 2r 2. 4

7 УЗ ПОЧЕТАК ГОДИНЕ Ратко Тошић, Нови Сад Сваке године, на такмичењима се појављују задаци у којима фигурише редни број те године. За предлагаче задатака посебан је изазов да саставе задатак у коме су или неки услов, или само решење, повезани са редним бројем године. Вероватно ни ова година неће представљати изузетак, па зато задаци из овог чланка могу да послуже као својеврсна припрема за такмичења. Број 2014 је производ три проста броја: 2014 = , одакле следи да има 8 делилаца (укључујући 1 и 2014). Задаци 1. У једнакости + = 2014 сваку звездицу замени неком цифром тако да добијеш тачан рачун. 2. Замени a, b, c, d, e цифрама (различита слова различитим цифрама) тако да се добије тачна једнакост: a bcd+ e= Колико најмање пута треба узастопно исписати број 2014 да би се добио број дељив са 99? 4. Између сваке две цифре низа постави знак неке основне операције и по потреби распореди заграде тако да се добије израз чија је бројевна вредност једнака Прецртај шест цифара у низу цифара тако да десетоцифрен број који се састоји од преосталих цифара буде (а) највећи могући; (б) најмањи могући. 6. У години Марко ће напунити толико година колики је збир цифара године његовог рођења. То исто важи и за његовог најстаријег брата. Колико је Марко млађи од свог најстаријег брата? 7. Означимо са S(n) збир цифара броја n. Нађи све природне бројеве n такве да је број 2014 дељив са n + S(n). 8. Природан број се завршава са Брисањем последње четири цифре број се смањи цео број пута. Који је то број? 9. Постоје ли цели бројеви x, y, z такви да је (x y) 3 + (y z) 3 + (z x) 3 = ? 5

8 УЗ ПОЧЕТАК ГОДИНЕ 10. Први члан низа бројева је 2014, а сваки следећи једнак је збиру квадрата цифара претходног. Одреди члан тог низа. 11. Први члан низа је 439, а сваки следећи је 13 пута већи од збира цифара претходног. Одреди члан тог низа. 12. Између неких цифара у низу од 12 двојки постави знаке рачунских операција тако да вредности добијеног израза буде Дешифруј сабирање А А А А А В + А С С Шта је веће: или ? Да ли се неки правоугаоник површине 2014 са целобројним дужинама страница може разрезати на 12 квадрата са целобројним дужинама страница? 16. Збир неких 2014 природних бројева је непаран број. Да ли је производ тих бројева паран или непаран? 17. Да ли је број потпун квадрат? 18. Докажи да број није потпун квадрат. 19. Нађи збир првих 2014 децимала разломка Да ли постоје природни бројеви x и y такви да је x 2 + 5y = ? 21. Одреди последњу цифру броја Одреди последњу цифру броја Одреди две последње цифре броја Одреди четири последње цифре броја Реши у скупу природних бројева једначину xyz + xy + xz + yz + x + y + z =

9 УЗ ПОЧЕТАК ГОДИНЕ 26. Да ли је могуће представити број у облику збира два квадрата природних бројева? 27. На табли су написани бројеви 1, 2, 3, 4,..., 2013, Дозвољено је избрисати два броја и уместо њих написати апсолутну вредност њихове разлике. На тај начин се сваки пут број написаних бројева смањује за 1. Да ли је могуће да на крају остане записана само нула? 28. Одреди последњу цифру збира квадрата првих 2014 чланова низа 2, 5, 8, 11, 14,... Решења 1. Треба уствари наћи сва решења једначине a bcd+ e= 2014, где су a, b, c, d, е цифре и bcd декадни запис троцифреног броја. Како је 0 e 9, мора бити 2014 a bcd Директном провером налазимо 11 решења: = 2014; = 2014; = 2014; = 2014; = 2014; = 2014; = 2014; = 2014; = 2014; = 2014; = Услов задовољава пет решења из претходног задатка: = 2014; = 2014; = 2014; = 2014; = Нека је n тражени број и А = број који се добије кад се 2014 испише n пута узастопно. Збир цифара броја А једнак је 7n, а разлика збира цифара на парним и збира цифара на непарним местима је 4n 3n = n. Број А је дељив са 99 када је n дељив и са 9 и са 11, а најмањи такав број је (6 5) = (а) ; (б) Нађимо прво све бројеве који сабрани са збиром својих цифара дају број Лако се види да такав број мора бити четвороцифрен који почиње са 2 или са 19. У првом случају лако налазимо да је једини такав број Ако је тражени број облика 19, xy онда мора бити ( x + y) + (10 + x + y) = 2014, тј. 11x + 2y = 104. Једино решење последње једначине у скупу ненегативних целих бројева је x = 8, y = 8. Како су то једноцифрени бројеви, следи да и број 1988 задовољава услове задатка. 7

10 УЗ ПОЧЕТАК ГОДИНЕ Дакле, постоје два броја која сабрана са збиром својих цифара дају То су 1988 и Према томе, Марко је рођен године, а његов брат Марко је млађи од свог брата 18 година. 7. Како је 2014 = , тражени бројеви су сви они који задовољавају бар једну од једначина: n + S(n) = 2, n + S(n) = 19, n + S(n) = 53, n + S(n) = 38, n + S(n) = 106, n + S(n) = 1007, n + S(n) = Решење прве једначине је 1, друге 14, трећа једначина нема решења, четврте 28, пете 89, решења шесте су 985 и 1003, а решења седме су 1988 и Брисањем последње четири цифре датог броја добија се број А. При томе је полазни број 10000А дељив са A. Да би тај број био дељив са А мора и 2014 да буде дељив са А. Дакле, тражени бројеви су 12014, 22014, , , , , , Не. После кубирања, скраћивања и груписања добијамо да је израз на левој страни једнакости дељив са 3, док број на десној страни није дељив са 3 (јер му збир цифара није дељив са 3). 10. Испишимо првих неколико чланова низа: 2014, 21, 5, 25, 29, 85, 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37, 58, 89,... После другог појављивања броја 89 јасно је да ће се периодично понављати бројеви 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37, 58. Како пре прве периоде имамо шест чланова низа и 2014 = , члан низа биће последњи број периоде, тј Првих неколико чланова низа су 439, 208, 130, 52, 91, 130,... Видимо да је низ периодичан и да је сваки трећи члан једнак 130, а иза 130 увек следи број 52. Како је број 2013 дељив са 3, члан низа је Дајемо два примера: = 2014; = Лако се види да мора бити А = 6 и В + С = 8. Из разреда јединица имамо пренос 1. Како се збир десетица мора завршавати са 0 и при томе пренос мора бити 2, то је С = 8, В = 0, па је решење: Како је 8

11 УЗ ПОЧЕТАК ГОДИНЕ = =, дати бројеви су једнаки. 15. Да. Како је 214 = , треба разматрати случајеве правоугаонника , , , Правоугаоник може се разрезати на пет квадрата странице 19, један квадрат странице 11, један квадрат странице 8, два квадрата странице 3, један квадрат странице 2 и два квадрата странице 1. (Сваки пут од преосталог правоугаоника одсецамо квадрат чија је страница једнака мањој страници тога правоугаоника.) Правоугаоник може се разрезати на један квадрат странице 38, два квадрата странице 15, један квадрат странице 8, један квадрат странице 7 и седам квадрата странице 1. (Сваки пут од преосталог правоугаоника одсецамо квадрат чија је страница једнака мањој страници тога правоугаоника.) Лако се види да је у остала два случаја минималан број квадрата на које се може разрезати правоугаоник далеко већи (2014 и 505). 16. Међу посматраним бројевима је бар један паран (јер би у противном збир 2014 непарних бројева био паран). Зато је њихов производ паран. 17. Не. Како је ( ) 2 = < < = ( ) 2, следи да се дати број, који је непаран, налази између два узастопна непарна квадрата. Овде смо користили чињеницу да је = < Број сабирака дељивих са 3 једнак је 671, а број оних који при дељењу са 3 дају остатак 1 је Дакле, дати збир је број који при дељењу са 3 даје остатак 2, па не може бити квадрат Разломак = 0, је периодичан са периодом дужине 6. Збир 7 цифара периоде је 27. Како је 2014 = , то је тражени збир једнак = = Број x 2 завршава се неком од цифара 0, 1, 4, 5, 6 или 9, а број 5y неком од цифара 0 или 5. Зато се број x 2 + 5y завршава неком од цифара 0, 1, 4, 5, 6 или 9. Међутим, број завршава се цифром 2, па тражени бројеви не постоје. 21. Последња цифра броја x 2014 мења се периодично. За 10 узастопних бројева (чије су последње цифре редом 1, 2,..., 9, 0), последња цифра узима вредности 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, 0, 9

12 УЗ ПОЧЕТАК ГОДИНЕ па видимо да се збир тих 10 бројева завршава цифром 5. Следи да се збир првих 2010 (= ) бројева завршава истом цифром као и број 201 5, тј. цифром 5. Збир последња четири сабирка завршава се цифром 0 ( = 20), па се цео збир завршава цифром Последње цифре бројева n n (n 1) се периодично понављају са периодом дужине 20: 1, 4, 7, 6, 5, 6, 3, 6, 9, 0, 1, 6, 3, 6, 5, 6, 7, 4, 9, 0. За првих 2000 сабирака збир последњих цифара је 100 пута већи од збира последњих цифара првих 20 сабирака, па је његова последња цифра 0. Дакле, тражена последња цифра је једнака последњој цифри збира првих 14 сабирака датог збира, тј. једнака је Непосредно се проверава да се две последње цифре броја 8 n периодично мењају са периодом дужине 20: 08, 64, 12, 96, 68, 44, 52, 16, 28, 24, 92, 36, 88, 04, 32, 56, 48, 84, 72, 76. Како је 2014 = , број завршава се са исте две цифре као и број 8 14, тј. са Непосредно се проверава да се последње четири цифре броја мењају периодично са периодом дужине 4 (за n > 4): 5, 25, 125, 625, 3125, 5625, 8125, 0625, 3125,... Зато су последње четири цифре броје исте као и код броја 5 6, тј Додајући левој и десној страни број 1, једначина се може написати у облику (x + 1)(y + 1)(z + 1) = Како је 2015 = , решења једначине су тројке природних бројева (4, 12, 30), (4, 30, 12), (12, 4, 30), (12, 30, 4), (30, 4, 12), (30, 12, 4). 26. Збир цифара датог броја је 21, па је остатак тога броја при дељењу са 9 једнак 3. С друге стране квадрат природног броја при дељењу са 9 може да даје само остатке 0, 1, 4 и 7. Следи да се дати број не може представити у облику збира два квадрата, јер се сабирањем два броја из скупа {0, 1, 4, 7} не може добити број који при дељењу са 9 даје остатак Заменом бројева x и y са x y збир свих бројева записаних на табли смањује се за 2x или 2y, тј. за паран број. Међутим, збир свих бројева записаних на почетку једнак је = , 2 тј. непаран је. Сваки пут када одуземо од непарног броја паран број, разлика је непаран број. Према томе, никад не можемо добити паран збир, па према томе ни нулу на крају. 10

13 РАЧУНАРСТВО 28. Последње цифре квадрата чланова датог низа мењају се периодично са периодом дужине 10: 4, 5, 4, 1, 6, 9, 0, 9, 6, 1, 4, 5,... (1) Последња цифра збира сваке десеторке низа (1) је 5 (збир 45), па је последња цифра збира првих 2010 чланова тог низа једнака последњој цифри броја 201 5, тј. 0. Тражена цифра одређена је збиром последња четири квадрата, односно збиром и то је цифра 4. РАЧУНАРСТВО КОНКУРСНИ ЗАДАТАК ИЗ РАЧУНАРСТВА БР. 166 (ЗА I КАТЕГОРИЈУ) I категорија су ученици петог и шестог разреда Билбо и Торин треба да крену на пут и да се нађу са Оином на договореном месту, а затим крену даље на пут. Оин ће на договорено место стићи својим путем, а Билбо и Торин иду истим путем, али различитом брзином. Договор је следећи: ко стигне први чека следећег највише 5 дана, па ако нико не стигне он даље креће сам, а ако други стигне, онда чекају трећег још највише 3 дана, па ако се не он појави, њих двојица настављају пут. Написати програм који учитава колико је дана протекло од када је направљен договор до када је сваки од пријатеља стигао на место договора и то редом за Билба, Торина и Оина. Програм треба да испише поруку да ли ће сва тројица заједно наставити пут или не. Пример. Улаз: B = 14 T = 10 O = 17 Излаз: PUT NASTAVLJAJU ZAJEDNO КОНКУРСНИ ЗАДАТАК ИЗ РАЧУНАРСТВА БР. 167 (ЗА II КАТЕГОРИЈУ) II категорија су ученици седмог и осмог разреда Билбо и Торин су кренули на пут, али Торин мора да путује доста брже од Билба. Пошто Билбо не познаје пут којим треба да иду договорили су се да Торин боји каменчиће на раскрсницама да би Билбо знао куда да скрене и да означи места где Билбо треба да преноћи. Билбо зна да је на одредиште стигао када од претходног преноћишта сакупи тачно 15 каменчића, међутим да не би бројао каменчиће током пута он их све ставља у кесу и када стигне на преноћиште он преброји све каменчиће и израчуна да ли је сакупио 15 од претходног преноћишта. Билбо жели да задржи каменчића, али у његову торбицу их стаје тачно 50, па уколико током пута торбица постане пуна, он проспе све каменчиће, при чему се зна да он између два преоноћишта неће сакупити више од 50 каменчића. Написати програм који учитава колико каменчића Билбо преброји сваке вечери, а са уносом се стаје када Билбо стигне на одредиште. Програм треба да испише колико пута је Билбо празнио своју торбицу са каменчићима. Пример. Улаз: T: Излаз: 2 РЕШЕЊЕ КОНКУРСНОГ ЗАДАТКА ИЗ РАЧУНАРСТВА БР. 164 Program KonZad164; Var k1,k2,d1,d2:integer; 11

14 РАЧУНАРСТВО Begin readln(k1,k2); readln(d1,d2); if (k1<=20) and (k2<=20) then writeln('kracim putem') else if (d1<=20) and (d2<=20) then writeln('duzim putem') else writeln('kracim putem'); End. На почетку програма се уносе раздаљине на краћем путу и раздаљине на дужем путу. Уколико су обе раздаљине на краћем путу мање од 20, Билбо бира краћи пут. Уколико ови услови нису испуњени, проверавају се раздаљине на дужем путу, па ако су тамо обе раздаљине мање од 20, бира дужи пут. Ако ни на дужем, путу обе раздаљине нису мање од 20, Билбо ће ипак изабрати краћи пут. Богдан Обрадовић, V4, ОШ Доситеј Обрадовић, Крушевац РЕШЕЊЕ КОНКУРСНОГ ЗАДАТКА ИЗ РАЧУНАРСТВА БР. 165 Program KonZad165; Var m,v,k,i,n,u:integer; Begin readln(u,n); readln(m); readln(k); if (k<m) then begin v:=m; m:=k; end else v:=k; for i:=3 to n do begin readln(k); if (k<m) then m:=k; if (k>v) and (k+m<u) then v:=k; end; writeln(m,v) End. На почетку се учитава максимална маса каменчића U и број каменчића N. Маса првог учитаног каменчића се проглашава најмањом, а затим ће се након учитавања масе другог каменчића одредити који мањи, а који већи. Након тога се учитавају масе кaменчића од трећег до N-тог. За сваку учитану вредност ако је мања од тренутне минималне проглашава се новом минималном, а ако је већа од тренутне максималне и при томе је збир те вредности и минималне вредности мањи од задате, ова вредност се проглашава максималном. На крају се штампају пронађене минимална и максимална вредност. Филип Ћосовић, VIII, Прва крагујевачка гимназија, Крагујевац 12

15 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ Задаци из ове рубрике имају за циљ помоћ како ученицима, тако и наставницима. Разврстани су у три групе у складу са стандардима знања из математике за крај обавезног образовања. Дати су предлози контролних и писмених задатака, при чему је у угластим заградама [ ] дата варијанта за другу групу. III разред МНОЖЕЊЕ. ОБИМ ФИГУРА. МЕРЕЊЕ ВРЕМЕНА, МАСЕ И ЗАПРЕМИНЕ ТЕЧНОСТИ. Основни ниво 1. Повежи производе са њиховом вредношћу: На основу података са слике, израчунај обим датих фигура: 5cm 14dm 18cm 12cm 5cm 16dm 25cm 3. Допиши бројеве који недостају тако да насталале једнакости буду тачне: а) 2h = min; б) 1kg = g; в) 3l = dl; 7min = s; 1t = kg; 5l = cl; 10 дана = h; 1000g = 1 ; 1l 5dl = cl. Средњи ниво 4. Попуни табеле: Koja фигура има најмањи обим: а) квадрат странице 25dm; б) правоугаоник страница 1m 2dm и 3m 6dm; в) троугао страница 32dm, 4m 1dm 3cm и 247cm? 6. Ној је висок 2m 5dm, а његова маса је 120kg. Жирафа је 270cm виша и има 8 пута већу масу од ноја. Колика је висина, а колика је маса жирафе? 13

16 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ 7. Влада има 12 година и 3 месеца. Његов брат је млађи од њега 30 месеци. Колико је стар Владин брат? Напредни ниво 8. Шта је веће: производ збира и разлике бројева 52 и 48 или разлика производа и збира бројева 104 и 5? 9. Дужина једне странице правоугаоника је 2dm 4cm. Израчунај дужину друге странице тог правоугаоника ако је његов обим једнак обиму квадрата чија је страница дужине 1m. 10. Израчунај обим правоугаоника ABCD који је састављен од квадрата као на слици ако је обим најмањег квадрата 8cm. D C A B 11. Из цистерне пуне воде Јован је напунио 8 буради запремине по 45l. Колико је воде остало у цистерни ако је њена запремине 5hl? 12. Сада је 19 сати и 20 минута. Када ће се завршити филм који је почео пре 45 минута, а траје 1 час и 35 минута? КОНТРОЛНА ВЕЖБА (15 минута) Множење 1. Израчунај: а) = [200 3 = ]; б) = [56 10 = ]; в) 70 6 = [80 7 = ]; г) 32 3 = [43 2 = ]; д) 86 9 = [98 6 = ]; ђ) = [129 5 = ]. 2. Марина је купила 4 [6] чоколада чија је цена 160 [130] динара по комаду. а) Колико је платила чоколаде? б) Ако је платила новчаницом од 1000 динара, колики је кусур добила? в) Да ли за остатак новца може да купи 12 кесица Штрумфова ако је цена једне кесице 35 динара [25 динара]? КОНТРОЛНА ВЕЖБА (15 минута) Обим фигура 1. Израчунај обим квадрата чија је страница дужине 160cm [180cm]. 2. Израчунај обим троугла чије су све три странице дужине по 5dm 8cm [6dm 7cm]. 3. Обим правоугаоника је 2m 8cm [2m 4cm]. Ако је једнa његова страницa три пута [два пута] дужа од друге, израчунај дужине његових страница. 14

17 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ КОНТРОЛНА ВЕЖБА (10 минута) Мерење времена 1. Упиши одговарајуће бројеве: а) Два дана имају сати. [Три дана имају сата.] б) Пет минута имају секунди. [Четири сата имају минута.] в) Седам сати имају минута. [Осам минута имају секунди.] 2. Часовник показује тачно 16:40 [14:50]. Допуни реченице: а) За 30 минута ће бити. б) Пре 25 минута је било. 3. Лара је кренула у куповину у 8 часова и 43 минута [у 9 часова и 39 минута], а вратила се у 11 часова и 17 минута [у 13 часова и 27 минута]. Колико је времена Лара била ван куће? КОНТРОЛНА ВЕЖБА (10 минута) Мерење масе 1. Маса лоптице за стони тенис износи приближно: а) 3g; б) 3kg; в) 3t. [Маса ђачке торбе износи приближно: а) 5g; б) 5kg; в) 5t.] Заокружи слово испред тачног одговора. 2. Поређај од најмање до највеће следеће масе: 200g; 40kg; 2t; 350g; 1000g; 3kg [30kg; 250g; 4t; 5kg; 1000g; 400g.]. 3. Упиши бројеве који недостају: а) 600g + 700g = g = kg g [500g + 900g = g = kg g]; б) 3kg 320g + 4 kg 680g = kg g [2kg 530g + 5kg 470g = kg g]; в) 2kg 540g = kg g [3kg 260g = kg g]. КОНТРОЛНА ВЕЖБА (10 минута) Мерење запремине течности 1. Упиши бројеве који недостају: а) 3l = dl [7l = dl]; б) 65cl + cl = 1l [ cl + 45 cl = 1l]; в) 1l - ml = 250ml [1l ml = 750ml]. 2. Упореди: a) 670ml и 7dl 6cl [4dl 5cl и 540ml]; б) 5l 3dl и 503cl [609cl и 6l 9dl]. 3. Да ли се из пуног бурета запремине 1hl може напунити 17 [19] кофа запремине 5l [4l]? IV разред МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ У СКУПУ N. ПОВРШИНА КОЦКЕ И КВАДРА. Основни ниво 1. Израчунај производе: а) ; б) ; в) 38 53; г)

18 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ 2. Израчунај следеће количнике: а) 2014 : 2; б) : 200; в) 1007 : 19; г) 5353 : а) Израчунај површину коцке ако је њена ивица 5cm. б) Израчунај површину квадра чије су ивице 2cm, 5cm и 10cm. Средњи ниво 4. а) Производ бројева 19 и 53 увећај 2 пута. б) Количник бројева 2014 и 19 умањи 2 пута. 5. Израчунај вредност израза: а) ; б) ; в) : : 345; г) : : Израчунај површину коцке, ако је обим једне њене стране 16cm. 7. Дужине ивица квадра (у центиметрима) су три узастопна природна броја. Израчунај површину тог квадра ако је збир дужина свих његових ивица 60cm. Напредни ниво 8. Допуни табелу одговарајућим чиниоцима и производима За петнаест килограма меда плаћено је 6975 динара. Колико треба платити за седамнаест килограма тог истог меда? 10. У једном воћњаку је убрано 756 килограма крушака и три пута више јабука. Убрано воће треба спаковати у једнаке сандуке у које може да стане по 12 килограма воћа. Колико сандука ће бити потребно? 11. Ако се ивица коцке смањи за 3cm, површина коцке ће се смањити за 342cm 2. Израчунај површине обе коцке. 12. Основа квадра је квадрат. Површина његових бочних страна је 160cm 2. Површина целог квадра је 192cm 2. Израчунај висину тог квадра. КОНТРОЛНА ВЕЖБА 20 минута Множење и дељење у скупу N 1. Израчунај: а) [ ]; б) [ ]; в) : 90 [ : 30 ]; г) : 18 [1 919 : 19]. 16

19 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ 2. Израчунај вредност израза: а) ( ) : 32 [( ) : 26]; б) : 32 [ : 26]. 3. У магацину има 4140 [2820] плавих фломастера и два пута више црвених фломастера. Колико је кутија потребно да се они спакују тако да у свакој кутији буде по 12 фломастера? КОНТРОЛНА ВЕЖБА 25 минута Површина коцке и квадра. 1. Израчунај површину коцке ако је њена ивица 5cm [10cm]. 2. Израчунај површину квадра чије су ивице 1cm, 3cm и 4cm [1cm, 2cm и 3cm]. 3. Површина једне стране коцке је 9cm 2 [4cm 2 ]. Израчунај површину коцке. 4. Обим једне стране коцке је 8cm [12cm]. Израчунај површину коцке. 5. Израчунај површину квадра ако две његове стране са површинама 45cm 2 и 54cm 2 [36cm 2 и 63cm 2 ] имају заједничку ивицу 9cm. ТРЕЋИ ПИСМЕНИ ЗАДАТАК 1. Израчунај: а) [ ]; б) [ ]; в) : 900 [99600 : 600]; г) 4949 : 49 [5353 : 53]. 2. Израчунај вредност израза: [ ]. 3. За 12 килограма ораха посластичар је платио динара. Колико би платио да је купио 13 килограма [19 килограма] тих ораха? 4. Израчунај површину квадра чије су ивице 4cm, 5cm и 20cm [5cm, 10cm и 12cm]. 5. Површина коцке је 96cm 2 [150cm 2 ]. Израчунај збир дужина свих ивица те коцке. V разред РАЗЛОМЦИ. САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ РАЗЛОМАКА Основни ниво 1. Допиши број који недостаје у разломку тако да једнакост буде тачна: 7 = ; 7; = = 7; = ; = Заокружи слово испред тачне једнакости: 17

20 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ 1 а) 0,2 = ; б) 3 0,75; 2 4 = в) 2 0, 4; 5 = г) 7 0,07; 10 = д) 1 1 1,25; 4 = ђ) 1 2, 8= Упореди: 2 а) 1+ и 8 1; 5 5 б) 1 2 и ; в) 4,5 + 0,5 и 5,5 0,5; г) 3,09 1,97 и 1,26 + 0,95. 3 Средњи ниво 4. На питање који им је омиљени напитак, ученици једне школе су дали следеће одговоре: Напитак природни сок кока-кола фанта топла чоколада Број ученика а) Колико је укупно ученика испитано? б) Изрази несводљивим разломком део испитаних ученика који су се определили за сваки од ових напитака. 5. Напиши бар три броја који се налазе између: а) 2 5 и 1; б) 2,7 и 2,8; в) 3,13 и Један од датих израза A, B, C има вредност 5. Који је то израз? За колико се његова вредност разликује од вредности сваког од осталих израза? А = (12,08 4,8) (5,67 + 0,7); B = 10 (8,4 5,63) 2,23; C = 15,4 (2,54 (10,9 9,01)) 7. Давидова кућа је удаљена од тениских терена 120,5m, а Пеђина 99,2m. Договорили су се да одиграју партију тениса и после телефонског разговора кренули ка игралишту. Давид је прешао 72,8m а Пеђа 54,9m. Ко је од њих ближи игралишту? Напредни ниво 8. Вредности датих израза a, b, c и d поређај од најмањег до највећег: a= ; b= ; c = ; d= Одреди разломак једнак разломку 3 5 код кога је: а) збир бројиоца и имениоца 40; б) разлика имениоца и бројиоца 18; в) производ бројиоца и имениоца Радници расадника Бор припремили су 1260 садница за Пролећни сајам. Продали су 5 6 припремљеног материјала. Да ли су њихови конкуренти били успешнији ако су припремили 1350 садница, а продали 7 од тога? 9 18

21 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ Ако је a= 5, 4 ; b= 1 + 0, 8; c= 2 1,1 израчунај: а) a + b + c; б) a b c; в) (a b) (b c). 12. Одреди природан број n и прост број p тако да важи решења има задатак? n =. Колико различитих p КОНТРОЛНА ВЕЖБА 15 минута 1. У петом разреду има 28 [30] ученика. Једног дана је са наставе изостала од укупног броја ученика. Колико ученика је тог дана било на настави? 2. Изрази у датој јединици мере: а) 1 m = dm 1 h min ; 2 = 2 б) 1 h = min 1 m cm. 4 = 4 3. Дати су разломци: 4, 7, 8, 5, 2, 11, 5. Заокружи разломке веће [мање] од Напиши несводљив разломак једнак броју: а) 0,6 [2,25]; б) 1,75 [0,2]. КОНТРОЛНА ВЕЖБА 15 минута 1. Напиши број који недостаје тако да једнакост буде тачна: а) = + = ; 5 4 б) 2 = = 5 2. Израчунај: а) ; б) Упореди вредности израза: 1 2, 8+ 1 и ,25 4 2,75 и 1, Милан има 1000 [1500] динара. Може ли он, за ту суму новца, купити: књигу по цени од 427,3 динара [482,7 динара] свеску од 125,8 динара [156,6 динара] и прибор за геометрију од 470,3 динара [400,5 динара]? ТРЕЋИ ПИСМЕНИ ЗАДАТАК Из датог скупа,,,, ,,,, вредност једнака природном броју и одреди ту вредност. издвој разломке чија је 2. Одреди x тако да добијеш тачну једнакост. 19

22 а) 1 x 1 x = ; 5 35 = 7 42 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ б) 21 = x = 24 x 3. Поређај од најмањег до највећег бројеве: 0,09; 0,5; 0,49; 0,079 [0,1; 0,078; 0,08; 0,09] Провери тачност једнакости: 4 1 = 1, 47+ 2, , 46 1, = За куповину качкета и шала Борис је понео 2000 динара. Качкет кошта 1225,6 [1378,5] динара, а шал динара 450,8 [800,8] динара мање. а) Колика је цена шала? б) Да ли је Борису остало новца за кокице које коштају 50 динара? VI разред СКУП РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВИ. САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВА. ЧЕТВОРОУГАО Основни ниво 1. Између којих узастопних целих бројева се налазе бројеви: 0,5; 4 ; 3 5 ; 8 2. Израчунај: а) 2,4 + (10,2 5,4); б) 2,4 0,2 + 3,6; в) 2 + ; г) 2 3 ; д) Израчунај углове δ и γ четвороугла ABCD на слици: D 95 δ 9 ; 2,5? γ C A B Средњи ниво Дати су бројеви: ; ; 2,5; 1 ; ; 1, а) Који од њих је највећи, а који најмањи? б) Који бројеви су мањи од 1? 5. За x = 2,4 израчунај вредности израза: 1 3 а) 2 x ; б) x+ 2 + x ; в) x 2 x

23 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ 6. Који број треба додати броју 2,1 да се добије збир бројева 3,42 и 1,2? Који број треба одузети од разлике бројева 2,32 и 4 да се добије број 2? D C 7. Израчунај углове једнакокраког трапеза ABCD на слици A Напредни ниво 8. Конструиши паралелограм ако је једна страница 6cm и: a) краћа дијагонала 5cm и угао 60 ; б) дијагонале 5cm и 8cm Који од бројева ; ; 0, 4; 0, 6; 2; ; су: B а) већи од 5 ; 8 б) мањи од 1? Израчунај x за које важи: a) x 5 4 = 1; b) x 5 4 = а) Збир два спољашња угла паралелограма је 152. Израчунај његове унутрашње углове. б) Збир три унутрашња угла једнакокраког трапеза је 264. Израчунај његове унутрашње углове. 12. Тачке M, N, P, Q су средишта страница делтоида ABCD. Докажи да је четвороугао MNPQ правоугаоник. КОНТРОЛНА ВЕЖБА 15 минута 1. Напиши све целе бројеве који се налазе између бројева 7,4 и 2,5 [ 5,8 и 2,3]. 2. a) Уместо знака * упиши знак >, < или = тако да добијеш тачну неједнакост * 0,6; 2 * 2,2; * ; * ,2 * 0; 4,2 * 4, 02; * ; 2 * Израчунај: a) 2 ; б) 2,25 + ( 1,4) [a) ; б) 0,38 ( 1,4)] Од збира бројева 2 и броја 0,1.]. 3 2 одузми број 1,5 [Број додај разлици броја 6 3 и 2

24 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ Збир два броја је. Ако је један сабирак 2 колики је други сабирак? 4 5 [Разлика два броја је 0,8. Ако је умањилац једнак 2,4 колики је умањеник?] КОНТРОЛНА ВЕЖБА 15 минута 1. Израчунај углове паралелограма ако је један угао једнак 22 [33 ]. 2. Конструиши ромб ако је један угао 60 и страница а = 5,5cm. [Конструиши паралелограм ако је један угао 60, a странице а = 4,5cm и b = 6cm]. 3. Израчунај унутрашње углове трапеза ABCD на слици. D δ C γ D δ C γ α A β B A α β B 4. Дате су тачке А, B и D [C]. Конструиши теме C [D] једнакокраког [правоуглог] трапеза ABCD ако је дуж AB основица трапеза. D C A B A B 5. Која тврђења су тачна? а) Дијагонале сваког паралелограма су једнаке. б) Око сваког ромба се може описати кружница. в) У сваки једнакокраки трапез се може уписати кружница. г) Око сваког једнакокраког трапеза се може описати кружница. д) У сваки правоугаоник се може уписати кружница. [а) Дијагонала сваког паралелограма је симетрала његових унутрашњих углова. б) У сваки ромб се може уписати кружница. в) Дијагонале сваког једнакокраког трапеза су једнаке. г) Око сваког правоугаоника се може описати кружница. д) Дијагонале сваког једнакокраког трапеза се полове.] 1. Израчунај: а) ; ТРЕЋИ ПИСМЕНИ ЗАДАТАК б) 0,45 + 2,2 2,15 [a) 4,12 ( 2,02 + 0,8); б) ]

25 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ 2. Упореди вредности израза x x и x + x за x= Реши једначине. 1 3 а) + x= ; б) 2,2 (x + 0,5) = 1,3 [а) 0,2 = a 0,5; б) 3 + x 2 1 = 1 1 ] Конструиши правоугаоник ако је страница а = 6cm и дијагонала d = 7cm, а затим му опиши кружницу. [Конструиши ромб ако је једна дијагонала d = 7cm и страница а = 5cm, а затим му упиши кружницу.] 5. Симетрале унутрашњих [спољашњих] углова на дужој основици AB једнакокраког трапеза ABCD секу се по углом од 142 [34 ]. Израчунај унутрашње углове тог трапеза. VII разред РАСТАВЉАЊЕ ПОЛИНОМА. КРУГ Основни ниво 1. Заокружи словa испред једнакости којe су тачне: а) 3a + 3b = 6(a + b); б) 3a + 3b = 3(a + b); в) 3x = 3x(x + 1); г) 3x = 3(x 2 + 1). 2. Допуни празна места тако да настала једнакост буде тачна: а) x = (x + 2) 2 ; б) (a 1) 2 = a 2 2a + ; в) a 2 = (a + b)(a b). 3. Израчунај: а) обим круга чија је површина 25πcm 2 ; б) површину круга чији је обим 8πcm. Средњи ниво 4. Израчунај: а) 2, , ,6 4,2; б) 4,08 2 5, Пера је трином написао у облику производа, а затим је грешком почео да брише, па му је остало: 8a 2 + b 2 = 2( + 3 ) 2. Да ли и како Пера може да напише тачан запис? 6. Темена троугла АВС деле описану кружницу у размери 5 : 4 : 3. Израчунај углове тог троугла. 7. Обим правоугаоника приказаног на слици је 24cm, а странице су у размери 2 : 1. Израчунај обим и површину обојене фигуре. 23

26 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ Напредни ниво 8. а) Провери једнакост: (x + y) 2 + (x y) 2 = 2(x 2 + y 2 ) б) Збир 2x напиши као збир два квадрата. 9. Реши неједначине: а) (5 x)(x 2) + x(x 2) > 0; б) (5 + x)(x 2) > x(x + 2). 10. Докажи да за реалне бројеве a и b важи: а) a 2 4a + 5 > 0; б) a 2 + b 2 2ab; в) (a + b) 2 2(a 2 + b 2 ). 11. Страница ромба је 5cm. Површина круга уписаног у тај ромб је 4πcm 2. Израчунај дужине дијагонала и површину тог ромба. 12. Кругови K1(O1, 1cm) и K2(O2, 3cm) додирују са исте стране праву р у тачкама А и В. Види слику! Израчунај обим и површину осенчене фигуре ако је централно растојање кругова O1O2 = 4cm. КОНТРОЛНА ВЕЖБА 15 минута 1. Напиши у облику производа: а) 4a 3 + 8a [8a 3 2a 2 ]; б) b 4 + 3b 3 b 2 [4b 4 b 3 + b 2 ]. 2. Реши једначину: x 2 10x + 25 = 0 [a 2 + 6a + 9 = 0]. 3. Напиши у облику производа: а) a 2 81 [64 b 2 ]; б) a (a 9) [64 b 2 (8 + b)]. КОНТРОЛНА ВЕЖБА 15 минута 1. Израчунај угао CAD [ECF] правилног шестоугла ABCDEF [осмоугла ABCDEFGH]. 2. Основица једнакокраког троугла је 8cm [10cm], а наспрамни угао је 30 [а налегли углови су по 75 ]. Одреди дужину полупречника кружнице описане око тог троугла. 3. Централно растојање тетиве АВ круга K(О, 8cm) једнако је половини те тетиве. Израчунај дужину мањег [већег] лука АВ. ТРЕЋИ ПИСМЕНИ ЗАДАТАК 1. Напиши у облику производа: а) 4ab + 2b 2 [3a 2 6ab]; б) 9 + x 2 6x [10a a 2 ]; в) 25 16a 2 [4x 2 9]. 2. Реши једначину: x(x 2) + 3(x 2) = 0 [3(x + 2) x(x + 2) = 0]. 3. Дата је кружница k(о, 5cm) [k(о, 8cm)]. Конструиши тетиву АВ = 5cm [АВ = 8cm]. Израчунај периферијски и централни угао над мањим [већим] луком АВ. 4. Површина круга K1 је 36πcm 2, а полупречник њему концентричног круга K2 је за 2cm већи [мањи] од полупречника круга K1. Израчунај површину [обим] кружног прстена који је одређен круговима K1 и K2. О1 А В О2 24

27 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ 5. Израчунај обим [површину] круга описаног око квадрата чија је површина 100cm 2 [чији је обим 32cm]. VIII разред ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА. ГРАФИЧКО ПРЕДСТАВЉАЊЕ ПОДАТАКА. ПИРАМИДА Основни ниво 1. Координате тачака A, B, C, D и Е се могу одредити коришћењем следеће табеле: А B C D E x y = x Одреди координате тих тачака и представи их у координатној равни. 2. Вечерње новости су у броју од 14. новембра године уочи финала Дејвис купа између Србије и Чешке под насловом Сетови са 6 : 0 објавиле: Новаку поново Златни кромпир. У тексту, између осталог, пише: Новак Ђоковић освојио је трећу годину заредом награду Златни кромпир која се додељује играчу који добије највише сетова са 6 : 0 током једне сезоне. У прилогу текста дата је табела: Нуле у Новак Ђоковић 12 Рафаел Надал 9 Давид Ферер 7 Роџер Федерер 5 Томаш Бердих 4 Ришар Гаске 3 Хуан Мартин дел Потро 2 Енди Мареј 1 На основу приложене табеле одреди: а) Просечан број сетова добијени са 6 : 0 за играче наведене у табели, б) Играче који су остварили већи број сетова добијених са 6 : 0 од просека за играче наведене у табели. в) Који играч из табеле је најближи просеку? 3. Попуни празна места у таблици: Врста пирамиде Број темена Број ивица Број бочних страна Врста многоугла у основи Тространа троугао осамнаестоугао 25

28 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ Средњи ниво 4. График функције 4x 3y + 12 = 0 сече ординатну осу у тачки A, а апсцисну осу у тачки B. Израчунај површину троугла ABC ако је C(1, 5). 5. Аритметичка средина три броја је 5,5, а њихова медијана је 5. Одреди најмањи број ако је највећи од њих 8,5. 6. Основна ивица правилне четворостране пирамиде је 10cm, а висина бочне стране је за 30% дужа од ње. Израчунај површину и запремину те пирамиде. 7. Основна ивица правилне тростране пирамиде је 6 3cm, а висина пирамиде је 4cm. Израчунај површину пирамиде. Напредни ниво 8. Одреди линеарну функцију чији график са x осом гради угао од 135 и садржи тачку А(0, 5). Израчунај растоојање координатног почетка од графика те функције. 9. Права p је у координатној равни дата једначином 3x 2y + 1 = 0. Кроз тачку A( 2, 1) постави праву q која ће бити паралелна прави p. Одреди једначину те праве Ученик је изрезао од папира једнакостранични троугао ABC површине 108 3cm. Троугао је пресавио дуж његових средњих линија тако да су се темена A, B и C спојила у једну тачку. Колико је та тачка удаљена од равни троугла? 11. Нека је ABCDEFS правилна пирамида са врхом S. Ако је ACS једнакостраничан троугао обима 9cm израчунај запремину те пирамиде. 12. Нека је ABCDA1B1C1D1 коцка ивице a. Који део запремине коцке чини запремина пирамиде чија је основа троугао АCВ1, а врх је В. КОНТРОЛНА ВЕЖБА Нацртај график функције y= x+ 1 y x 2 2 = 2 тачке A( 4, 3), B( 2, 2), C(2, 1), D(4, 0) и E( 6, 3). и провери да ли му припадају График функције y= x+ 5 y x 4 4 = + 3 сече x осу у тачки А, а y осу у тачки В. Израчунај површину троугла ОАВ, где је О координатни почетак. 3. Функције (a 1)x (2 a)y + 1 = 0 [(a 2)x (1 a)y + 1 = 0] и 2x + 3y 3 = 0 [2x + 3y 2 = 0] пролазе кроз исту тачку нa ординати [апсциси]. Колико је вредност броја a? 4. Одреди разлику средње вредности и медијане за следеће податке 14, 15, 19, 23, 17, 19, 15, 23, 29, 17 и 14 [19, 14, 12, 21, 17, 19, 12, 23, 21, 17 и 14]. 26

29 МАТЕМАТИЧКА ТАКМИЧЕЊА ТРЕЋИ ПИСМЕНИ ЗАДАТАК 1. У координатној равни нацртај график линеарне функције 2x y + 1 = 0 [3x + 1 y = 0] одреди нулу и знак те функције. 2. У функцији (a 3)x + 2y 5 = 0 [(2 a)x 3y + 1 = 0] одреди вредност броја a тако да график функције заклапа оштар [туп] угао са позитивним смером x осе. 3. Површина правилне четворостране пирамиде је 384cm 2 [360cm 2 ], а површина њене основе је 144cm 2 [100cm 2 ]. Израчунај запремину те пирамиде. 4. Врх правилне тростране пирамиде је од основе пирамиде удаљен 8cm [9cm], а од сваког темена по 10cm [15cm]. Израчунај површину основе те пирамиде. 5. Дијагонални пресек правилне четворостране пирамиде је једнакостранични [једнакокрако-правоугли] троугао површине 72 3cm [288cm ]. Израчунај запреми- 2 2 ну [површину] пирамиде. МАТЕМАТИЧКА ТАКМИЧЕЊА Ненад Вуловић, Крагујевац Јуниорска балканска математичка олимпијада Седамнаеста Јуниорска балканска математичка олимпијада (ЈБМО) одржана је у периоду од 21. до 26. јуна године у турском граду Анталији, најразвијенијој и најстаријој туристичкој области Турске. Историја града домаћина сеже у период Старе Грчке и Рима, а и данас се могу уочити обележја која вековима измамљују уздахе туриста. Анталију је основао Аталус II, краљ Пергамума 159. године пре нове ере. Град доживљава процват под владавином Римљана, када је и био његов златни период, све до године када је пао под власт Отманског царства. И данас се могу видети остаци тог периода, међу којима су најзначајније градске зидине и Хадријанова капија. Иако многи у Анталију долази због плажа, живописна култура је чини бисером медитеранске обале. Град Анталија прави процват доживљава почетком овог века, посебно имајући у виду да је број становника године био око , а године преко милион. Прошле године, Анталија је постала трећа туристичка дестинација света, одмах после Париза и Лондона, са преко десет милиона посетилаца. Екипа која је представљала Србију у Анталији на ЈБМО изабрана је после пет нивоа селекције, закључно са Српском математичком олимпијадом. Чланови екипе Србије били су: Лука Вукелић, Математичка гимназија, Београд; Станислав Тодоровић, Гимназија Светозар Марковић, Ниш; Вучковић Јана, Математичка гимназија, Београд; Митровић Тадија, Математичка гимназија, Београд; Тошић Огњен, Математичка гимназија, Београд; Данило Тошовић, Математичка гимназија, Београд. Лидер екипе 27

30 МАТЕМАТИЧКА ТАКМИЧЕЊА био је др Ненад Вуловић, Факултет педагошких наука Универзитета у Крагујевцу, а заменик лидера Милош Ђорић, Математички факултет Универзитета у Београду. Екипа Србије на овогодишњој ЈБМО освојила је, у генералном пласману, треће место међу званичним учесницима такмичења. Пласман Земља Број бодова 1. Румунија Турска Србија Бугарска Грчка Босна и Херцеговина Молдавија Кипар Албанија БЈР Македонија Црна Гора 32 Битан податак је да су сви чланови екипе успели да својим радом освоје неку од медаља. Границе бодова за медаље биле су: златна медаља: (9 медаља); сребрна медаља: (16 медаља); бронзана медаља: (20 медаља). Чланови екипе Србије освојили су следеће медаље: Име и презиме Број бодова Медаља Лука Вукелић 34 златна Јана Вучковић 32 сребрна Тадија Митровић 31 сребрна Огњен Тошић 30 сребрна Данило Тошовић 25 бронзана Станислав Тодоровић 16 бронзана Екипа Србије после доделе медаља 28

31 МАТЕМАТИЧКА ТАКМИЧЕЊА Овом приликом још једанпут честитамо свим члановима екипе на великом успеху. Такође, позивамо све ученике основне школе да се укључе у нови циклус математичких такмичења које организује Друштво математичара Србије и Министарство просвете, науке и технолошког развооја Републике Србије. Осамнаеста ЈБМО одржаће се крајем јуна године у Македонији. Задаци 1. Одреди све уређене парове природних бројева (a, b) за које су вредности оба 3 3 a b 1 b a+ 1 разломка и такође природни бројеви. a+ 1 b 1 2. Нека је АВС оштроугли троугао у коме је АВ < AC и О центар описане кружнице k троугла АВС. Нека је D тачка на страници ВС, таква да је BAD = CAO и Е тачка пресека кружнице k и праве AD, различита од А. Ако су тачке M, N и P, редом, средишта дужи BE, OD и AC, докажи да су тачке M, N и P колинеарне. 3. Нека су a и b позитивни реални бројеви за које важи a b 1. Докажи да је 2 2 a 2b b 2a a+ 1 b Нека је n природан број. Два играча, Ана и Бане, играју следећу игру: - Ана бира n реалних бројева (међу њима може бити и једнаких); - Ана сабира свака два од n изабраних бројева, збирове пише на папир и папир даје Банету (написаних збирова има укупно n( n 1) 2 и међу њима може бити и једнаких); - Бане побеђује ако тачно у првом покушају каже којих n бројева је Ана изабрала. Да ли Бане може сигурно да победи у следећим случајевима: а) n = 5, б) n = 6, в) n = 8. Образложи одговоре. [На пример, за n = 4, Ана може да изабере бројеве 1, 5, 7, 9. Када сабере свака два од њих, добиће исте збирове као и када би на исти начин сабирала и бројеве 2, 4, 6, 10, па према томе Бане не може сигурно да победи у овом случају.] Решења 1. Како је a 3 b 1 = b(a 3 + 1) (b + 1) и a + 1 a 3 + 1, имамо да a + 1 b + 1. Такође, како је b 3 a + 1 = a(b 3 1) + (a + 1) и b 1 b 3 1, имамо да b 1 a + 1. Како a + 1 b + 1 и b 1 a + 1, то b 1 b + 1, па b Ако је b = 2, онда а + 1 b + 1 = 3, одакле је a = 2. - Ако је b = 3, онда а + 1 b + 1 = 4, одакле је a = 1 или a = 3. Дакле, сва тражена решења су (a, b) {(1, 3), (2, 2), (3, 3)}. 2. Покажимо да је четвороугао MOPD паралелограм, одакле ће следити колинеарност тачака M, N и P. 29

32 МАТЕМАТИЧКА ТАКМИЧЕЊА Како је BAD = CAO = 90 ABC, тачка D је подножје нормале из тачке А на страницу ВС. Како је М средиште дужи ВЕ, то је BM = ME = MD и MDE = MED = ACB. Нека је пресек праве MD и странице AC тачка D1. Како је ADD1 = MDE = ACD, права MD је нормална на страницу АС. Са друге стране, како је О центар описане кружнице троугла АВС и Р средиште странице АС, ОР је нормално на АС. Због тога је MD OP (*). Слично, како је Р средиште странице АС, имамо да је АР = РС = DP, а одавде PDC = ACB. Нека права PD сече дуж ВЕ у тачки D2. Како је BDD2 = PDC = ACB = BED, закључујемо да је PD нормално на ВЕ. Како је М средиште дужи ВЕ, ОМ је нормално на ВЕ, па је OM PD (**). Из (*) и (**) закључујемо да је четвороугао MOPD паралелеограм, одакле следи да су тачке M, N и P колинеарне. A k D1 P B D2 D N O C M E 3. На основу неједнакости аритметичке и геометријске средине имамо да је a a+ 1 Због тога је 2 a+ 3 a+ 2b+ + 2 b, a+ 1 2 и, слично, 2 b+ 3 b+ 2a+ 2 a+. b+ 1 2 Са друге стране, на основу Коши-Шварцове неједнакости и услова ab 1 имамо ( a+ 4b+ 3)( b+ 4a+ 3) ( ab+ 4 2 ab+ 3) 64, одакле добијамо тражену неједнакост. 30

33 ОДАБРАНИ ЗАДАЦИ 4. а) Да. Нека су a b c d e бројеви које је Ана одабрала. Како се у сумама које је Ана записала сваки број јавља 4 пута, сабирајући свих десет збирова и дељењем добијеног збира са 4 Бане може да израчуна збир a + b + c + d + e. Одузимајући од овог збира најмању записану суму, a + b, и највећу записану суму, d + e, може да израчуна c. Одузимајући c од претпоследње по величини суме, c + e, израчунаће e, а одузимањем е од највеће записане суме, d + e, израчунаће d. Слично одузимајући од две најмање суме, може да одреди и вредности за a и b. б) Да. Нека су a b c d e f бројеви које је Ана одабрала. Како се у сумама које је Ана записала сваки број јавља 5 пута, сабирајући свих петнаест збирова и дељењем добијеног збира са 5 Бане може да израчуна збир a + b + c + d + e + f. Одузимајући најмању суму, a + b, и највећу суму, e + f, од добијеног збира добија c + d. Одузимајући најмању суму, a + b, и другу највећу суму, d + f, од збира a + b + c + d + e + f, добија c + e. На сличан начин може добити и b + d. Користећи ове суме може добити a + f и b + e. Од преосталих збирова који нису одређени, три највећа преостала број представљаће збирове b + f, c + g и d + e. Ако Бане сабере ова три збира, одузме од тога b + d и c + e и добијену разлику подели са 2 добиће број f након чега може да одреди све тражене бројеве. в) Не. Ако Ана одабере бројеве 1, 5, 7, 9, 12, 14, 16 и 20 онда Бане не може сигурно да победи јер и бројеви 2, 4, 6, 10, 11, 15, 17 и 19 дају исте збирове као и првобитна осморка бројева. ОДАБРАНИ ЗАДАЦИ Одабрани задаци служе за вежбу и припрему за такмичења. Препо-ручују се ученицима као корак који претходи решавању конкурсних задатака. Решења која следе искористити за проверу сопствених. За ученике III разреда Три слона за 5 дана поједу 900kg траве. Колико ће килограма траве појести 7 слонова за два дана? На теразијама, које су у равнотежи, има укупно 500 грама воћа. Колико грама има једна шљива, а колико једна јабука? За ученике IV разреда Производ два броја је Ако се један од њих повећа за 7, производ ће бити Који су то бројеви? Ако се једна ивица квадра смањи за 2cm, друга за 4cm, а трећа за 6cm, добије се коцка чија је површина за 568cm 2 мања од површине квадра. Израчунај површине коцке и квадра. 31

34 ОДАБРАНИ ЗАДАЦИ За ученике V разреда Одреди све разломке ( n N ) тако да је < <. n 2014 n Одреди угао који заклапају минутна (велика) и сатна (мала) казаљка на сату у 13 часова и 30 минута. За ученике VI разреда За целе бројеве a, b, c, d важи да су бројеви a 1, 2b 3, 4c 5, 5d 6 различити и да је (a 1)( 2b 3)( 4c 5)( 5d 6) = 6. Израчунај збир a + b + c + d Конструиши правоугли троугао АВС са правим углом код темена С ако је дата разлика хипотенузе и катете с а = 4cm и ABC = За ученике VII разреда Двадесет лубеница стаје толико евра колико се лубеница може купити за 500 евра. Колико стаје 10 лубеница? За дан кажемо да је непаран ако се његов датум, месец и година записују само помоћу непарних цифара. На пример, 17. мај године је био непаран дан, јер у његовом запису на уобичајени начин појављују се само непарне цифре: а) Колико је у 20. веку било непарних дана? б) Који је био последњи непаран дан до данас? в) Који је први следећи непаран дан? За ученике VIII разреда При окретању калкулатора за 180 цифре 0, 1 и 8 се не мењају, 6 и 9 замењују улоге, а остале цифре губе смисао. Колико има десетоцифрених бројева који се не мењају при окретању калкулатора за 180? Произвољна тачка М у унутрашњости квадрата ABCD спојена је дужима са теменима квадрата. На тај начин је квадрат ABCD подељен на четири троугла. Нека су Т1, Т2, Т3, Т4 тежишта тих троуглова. Колико је пута површина квадрата ABCD већа од површине четвороугла T1T2T3T4? РЕШЕЊА ОДАБРАНИХ ЗАДАТАКА Ако три слона за 5 дана поједу 900kg траве, то значи да ће 3 слона за 1 дан појести 900kg : 5 = 180kg траве, а 1 слон за један дан 180kg : 3 = 60kg траве. Следи да ће 7 слонова за два дана појести kg = 840kg траве Ако са сваког таса теразија уклонимо по једну јабуку и по две шљиве, теразије и даље остају у равнотежи, што значи да једна јабука има масу колико и четири шљиве. Како је укупна маса три јабуке и 8 шљива 500грама, то и маса = 20 шљива износи 500 грама, те је маса једне шљиве 25g, а маса једне јабуке 100g. 32

35 ОДАБРАНИ ЗАДАЦИ Производ бројева а и b може се представити као површина правоугаоника чије су странице а и b. b а b = 2014 b b а 7 а a + 7 Ако се једна страница повећа за 7, тада се површина повећа за = 266. Дакле, 7 b = 266, b = 266 : 7, b = 38. Тада је а = 2014 : 38, а = 53. Тражени бројеви су 53 и Нека су ивице квадра а, b и c, а ивица коцке х. Ако се једна ивица квадра смањила за 2cm, друга за 4cm, а трећа за 6cm, површина једне стране квадра ће се смањити за 2 х х = 6 х + 8. Површина друге стране квадра ће се смањити за 4 х х = 10 х Површина треће стране квадра ће се смањити за 6 х х = 8 х Површина целог квадра смањила се за 2 (6 х х х + 12) = 2 (24 х + 44) = 48 х Дакле, 48 х + 88 = 568, 48 х = , 48 х = 480, х = 480 : 48, х = 10. Ивица коцке је 10cm. Тада су ивице квадра 12cm, 14cm и 16cm. Површина коцке је Р1 = , Р1 = 600cm 2. Површина квадра је Р2 = 2 ( ), Р2 = 1168cm 2. 6х 6 6х а 2х х 4х 4 х 4х х 2х b c Скратимо разломке: = =, = = Тада дата неједнакост гласи < <, односно 2 19 n , па су тражени разломци:,,, < <. Следи да је 33 < n < 38 n За 60 минута минутна (велика) казаљка на сату обиђе пун круг, тј. опише угао од 360. То значи да она направи угао од 6 за један минут. Сатна (мала) казаљка за један сат направи угао од 30, а за један минут направи угао од 30. У 13 часова минутна казаљка је на 12, а сатна на 1 (13h). За 30 минута минутна казаљка направи угао од 30 6 = 180, а сатна = 900 = 15. У 13 часова и 30 минута казаљке ће заклапати угао од =

36 ОДАБРАНИ ЗАДАЦИ Бројеви a, b, c, d су цели, па су цели и бројеви a 1, 2b 3, 4c 5, 5d 6. Четири различита цела броја чији је производ 6 су 2, 3, 1, 1 или 2, 3, 1, 1. У првом случају (a 1)(2b 3)(4c 5)(5d 6) = ( 1), па је a 1 = 2, 2b 3 = 1, 4c 5 = 3, 5d 6 = 1 (1) јер у осталим могућностима решења по a, b, c, d нису цели бројеви. Провери! Из једначина (1) следи a = 3, b = 2, c = 2, d = 1. У другом случају (a 1)(2b 3)(4c 5)(5d 6) = ( 2) ( 3) 1 ( 1), али решења по a, b, c, d нису цели бројеви. Провери! Дакле, a + b + c + d = = Прво направимо план конструкције троугла АВС ( ACB = 90 ). Ако је ABC тражени троугао, тада одредимо тачку D на правој ВС тако да је BA = BD. Троугао ABD је једнакокрак са ABD = = при врху. Тада је ADB = DAB = 1 ( ). Дакле конструишемо троугао ACD који је једнозначно 2 одређен страницом и налеглим угловима: CD = c a = 4cm, DCA = 90, ADC = 1 ADB = ( ). Теме В је пресечна тачка симетрале дужи AD и праве 2 CD јер је троугао ABD једнакокрак. Види слику! B C A D Према условима задатка, ако се 20 лубеница може купити за x евра, онда се x лубеница може купити за 500 евра. Дакле, 20 x, x = 500 одакле је = x2, тј. x = 100. Дакле, 20 лубеница стаје 100 евра, што значи да 10 лубеница стаје 50 евра а) У 20. веку било је 25 непарних година. У свакој непарној години била су 4 непарна месеца са по 11 непарних дана (јануар, март, мај, јул) и 2 непарна месеца са по 10 непарних дана (септембар, новембар). Дакле, у свакој непарној години била су 64 непарна дана. Укупно је онда у 20. веку било = 1600 непарних дана. б) ; в) Такви бројеви могу садржати само цифре 0, 1, 8, 6 и 9 и одређени су са првих пет цифара. При томе прва цифра не може бити 0. Дакле, за прву цифру постоје 4 могућности, за остале по 5 могућности. Дакле, тражени број је =

37 КОНКУРСНИ ЗАДАЦИ Нека су P, Q, R, S редом средишта страница AB, BC, CD, DA. PQRS је квадрат са a страницом b=, где је a страница квадрата ABCD. Како је T1 тежиште троугла 2 MAB, то је MT1 : MP = 2 : 3. Исто тако MT2 : MQ = 2 : 3. По Талесовој теореми је тада 2 2 a a 2 T1T2 PQ и T1T2 : PQ = 2 : 3, тј. TT 1 2= b= =. На исти начин доказујемо да су дужи T2T3, T3T4 и Т4Т1 редом паралелне страницама QR, RS и SP и да су њихове 2 2 a 2 дужине једнаке. Следи да је T1T2T3T4 квадрат са страницом c=. 3 3 Површина тог квадрата једнака је c 2 2 a = = a. 3 Дакле, површина квадрата 9 T1T2T3T4 чини 2 9 површине квадрата ABCD. D R T3 C S T4 M T2 Q T1 A P B КОНКУРСНИ ЗАДАЦИ Конкурсни задаци намењени су првенствено ученицима који се у већој мери интересују за математику. Истовремено то је својеврсно такмичење које Математички лист организује сваке школске године. Решења задатака са именима решавалаца објављују се у наредним бројевима часописа. Предност имају они решаваоци који у првих 20 дана по изласку броја из штампе пошаљу исправна решења. Имена решавалаца са бар шест тачних решења објављују се у првом броју следеће школске године. За најбоље решаваоце предвиђене су награде. Упутство за слање решења налази се на страни 48. За ученике III разреда Ако раде заједно, Аца, Јоца и Моца могу да заврше неки посао за 10 часова. Али, после 4 сати заједничког рада, Јоца је морао да оде. Колико још часова треба да раде Аца и Моца да би завршили остатак посла? У оба дата случаја на слици теразије су у равнотежи. Колика је маса једне јабуке, а колика је маса једне шљиве? 35