Πολύ ακριβής υπολογισµός συνθέτων αγωγιµοτήτων εισόδου γραµµικών κεραιών µε χρήση µεθόδων επιτάχυνσης σύγκλισης ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑ ΟΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ Πολύ ακριβής υπολογισµός συνθέτων αγωγιµοτήτων εισόδου γραµµικών κεραιών µε χρήση µεθόδων επιτάχυνσης σύγκλισης ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Αχιλλέας Ε. Μαρινάκης Επιβλέπων : Γεώργιος Ι. Φικιώρης Επίκουρος Καθηγητής ΕΜΠ Αθήνα, Ιούλιος 11

2

3 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑ ΟΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ Πολύ ακριβής υπολογισµός συνθέτων αγωγιµοτήτων εισόδου γραµµικών κεραιών µε χρήση µεθόδων επιτάχυνσης σύγκλισης ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Αχιλλέας Ε. Μαρινάκης Επιβλέπων : Γεώργιος Ι. Φικιώρης Επίκουρος Καθηγητής ΕΜΠ Εγκρίθηκε από την τριµελή εξεταστική επιτροπή την Ιουλίου Γ. Φικιώρης Επίκουρος Καθηγητής ΕΜΠ... Ι. Τσαλαµέγκας Καθηγητής ΕΜΠ... Ι. Ρουµελιώτης Καθηγητής ΕΜΠ Αθήνα, Ιούλιος 11 3

4 ... Αχιλλέας Ε. Μαρινάκης ιπλωµατούχος Ηλεκτρολόγος Μηχανικός και Μηχανικός Υπολογιστών Ε.Μ.Π. Copyright Αχιλλέας Ε. Μαρινάκης 11 Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανοµή της παρούσας εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τµήµατος αυτής, για εµπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανοµή για σκοπό µη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν µήνυµα. Ερωτήµατα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς τον συγγραφέα. Οι απόψεις και τα συµπεράσµατα που περιέχονται σε αυτό το έγγραφο εκφράζουν τον συγγραφέα και δεν πρέπει να ερµηνευθεί ότι αντιπροσωπεύουν τις επίσηµες θέσεις του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου. 4

5 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η εργασία αυτή ασχολείται µε την µελέτη της γραµµικής κεραίας τροφοδοτούµενης στο κέντρο της. Η κεραία αυτή µπορεί να θεωρηθεί ως ο θεµελιώδης τύπος κεραίας εκποµπής. Η κεραία προσεγγίζεται από ένα θεωρητικό µοντέλο που ονοµάζεται «σωληνοειδές δίπολο». Πρόκειται για έναν τέλεια αγώγιµο µεταλλικό σωλήνα µε απείρως λεπτά τοιχώµατα, µε το σηµείο τροφοδοσίας ακριβώς στο κέντρο του. Βασικός σκοπός της µελέτης αυτής, είναι ο προσδιορισµός της ρευµατικής κατανοµής κατά µήκος της κεραίας, και εποµένως της συνθέτου αγωγιµότητας εισόδου αυτής. Με την βοήθεια των κυµατικών εξισώσεων και εξισώσεων Maxwell, γίνονται η εξαγωγή της ολοκληρωτικό-διαφορικής εξίσωσης του Pocklington και κατόπιν της ολοκληρωτικής εξίσωσης του Hallen, για τον ακριβή πυρήνα. Χρησιµοποιούνται δύο µοντελοποιήσεις για την τροφοδοσία της κεραίας: η γεννήτρια δέλτα-συνάρτησης (delta function generator - DFG) και η γεννήτρια µαγνητικών κροσσών (frill generator - FG). Στη συνέχεια λύνουµε αριθµητικά την ακριβή εξίσωση του Hallen, χρησιµοποιώντας δύο διαφορετικές µεθόδους ροπών (Moment Methods): την µέθοδο Galerkin µε παλµικές συναρτήσεις (Galerkin method pulse functions - GMPF) και την τεχνική σηµειακής ισότητας µε τριγωνικές συναρτήσεις (point-matching triangular functions - PMTF). Στους αριθµητικούς υπολογισµούς, χρησιµοποιούµε τον βελτιωµένο τύπο για την σταθερά C του δεξιού µέλους της εξίσωσης Hallen, ο οποίος έχει προταθεί από τον κύριο Φικιώρη [1], έτσι ώστε η αριθµητική µας λύση να συγκλίνει ταχύτερα. Η σύγκλιση γίνεται ακόµη ταχύτερη, όταν στα αποτελέσµατά µας εφαρµόσαµε συγκεκριµένες µεθόδους επιτάχυνσης σύγκλισης (convergence acceleration methods - CAM), οι οποίες έχουν προταθεί από τον κύριο Φικιώρη []. Με την βοήθεια των µεθόδων αυτών, οι οποίες εφαρµόζονται πολύ απλά, καταγράφουµε πολύ ακριβείς τιµές συνθέτων αγωγιµοτήτων εισόδου γραµµικών κεραιών για διάφορα h λ και a, τις οποίες και παρουσιάζουµε στα αντίστοιχα λ γραφήµατα. Πολύ καλές µέθοδοι έχουν προταθεί και από τον Oscar P. Bruno [3], αλλά στην διεθνή βιβλιογραφία, δεν βρήκαµε να έχουν εφαρµογή σε κεραίες εκποµπής. 5

6 Τέλος, συγκρίνουµε τα θεωρητικά µας αποτελέσµατα µε τα αντίστοιχα πειραµατικά, που καταγράφονται στην εργασία του Richard B. Mack [4], εν έτει Για την σύγκριση χρησιµοποιείται η τροφοδοσία FG, καθώς αυτή προσεγγίζει καλύτερα το εν λόγω πείραµα. Τα συγκριτικά αποτελέσµατα φαίνονται σε αντίστοιχα γραφήµατα. Λέξεις-κλειδιά: εξίσωση Hallen, ακριβής πυρήνας, DFG, FG, µέθοδοι ροπών, µέθοδοι επιτάχυνσης σύγκλισης (CAM), πείραµα Mack. ABSTRACT This diploma thesis deals with the study of the linear, center-driven antenna, which can e considered to e the most fundamental type of transmitting antenna. The antenna is approached y studying a theoretical model called "tuular dipole". This is a perfectly conducting metallic tue with infinitely thin walls, whose feed point is right at the center. The main purpose of this study is to compute the current distriution along the antenna, and therfore its input admittance. Using the wave equations and Maxwell s equations, we derive Pocklington s integral equation and then Hallen s integral equation, for case of the exact kernel. We use two models for the feed of the antenna: the delta-function generator (DFG) and the frill generator (FG). We then solve numerically Hallen s exact integral equation, using two different moment methods: the Galerkin method with pulse functions (GMPF) and the point-matching technique with triangular functions (PMTF). In numerical calculations, we use the improved formula for the constant C on the right-hand side of this equation, which has een introduced y Dr. Fikioris [1], so that our numerical solution converges faster. 6

7 The convergence ecomes even faster when we apply certain convergence acceleration methods (CAM) to our numerical results. These methods have een introduced y Dr. Fikioris [] some years ago. Using these methods, which are applied very simply, we otain accurate values of input admittances for linear antennas. These values are presented in the respective charts. Oscar P. Bruno [3] has also introduced some very good methods, ut according to the international iliography, they have not een applied to transmitting antennas. Finally, we compare our values with those measured y Richard B. Mack [4] in his study in The most suitale feed for this experiment is the frill generator. The comparison results are shown in the respectve charts. Key-words: Hallen s equation, exact kernel, DFG, FG, moment methods, convergence acceleration methods (CAM), Mack s experiment ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Θα ήθελα να ευχαριστήσω, πάνω από όλους, τον καθηγητή µου κύριο Γεώργιο Φικιώρη, που µε εµπιστεύτηκε για την εργασία και µου παρείχε τις πολύτιµες γνώσεις του και την βοήθειά του σε οποιοδήποτε πρόβληµα αντιµετώπισα. Η καθοδήγησή του υπήρξε καταπληκτική και η εν γένει συνεργασία µας καθ όλη τη διάρκεια εκπόνησης της εργασίας ήταν άψογη. Θα ήθελα επίσης να ευχαριστήσω την φίλη µου Αντιγόνη Παπαδάτου, για την πολύτιµη βοήθειά της στην µορφοποίηση της εργασίας. Κλείνοντας, ένα µεγάλο ευχαριστώ οφείλω στην οικογένειά µου: στον αδερφό µου και συνάδελφό Νίκο, στους γονείς µου Βαγγέλη και Θέκλα, για την ηθική τους συµπαράσταση κατά την διάρκεια των σπουδών µου. 7

8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΞΙΣΩΣΗ HALLE ΓΙΑ ΤΟΝ ΑΚΡΙΒΗ ΠΥΡΗΝΑ ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥ ΣΩΛΗΝΟΕΙ ΟΥΣ ΙΠΟΛΟΥ ΚΥΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL ΕΞΙΣΩΣΗ POCKLINGTON ΓΙΑ ΤΟΝ ΑΚΡΙΒΗ ΠΥΡΗΝΑ ΓΕΝΝΗΤΡΙΑ ΕΛΤΑ-ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η DELTA FUNCTION GENERATOR Η ΑΚΡΙΒΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ HALLEN ΓΙΑ ΓΕΝΝΗΤΡΙΑ ΕΛΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (DFG) ΓΕΝΝΗΤΡΙΑ ΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝ ΚΡΟΣΣΩΝ Η FRILL GENERATOR Η ΑΚΡΙΒΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ HALLEN ΓΙΑ ΓΕΝΝΗΤΡΙΑ ΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝ ΚΡΟΣΣΩΝ (FG) 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ HALLE ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΡΟΠΩΝ (MOMENT METHOD - MOM) ΜΕΘΟ ΟΣ GALERKIN ΜΕ ΠΑΛΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (GALERKIN METHOD PULSE FUNCTIONS - GMPF) ΤΕΧΝΙΚΗ ΣΗΜΕΙΑΚΗΣ ΙΣΟΤΗΤΑΣ (POINT-MATCHING TECHNIQUE OR COLLOCATION TECHNIQUE) ΜΕ ΤΡΙΓΩΝΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (TRIANGULAR FUNCTIONS)- PMTF ΣΤΑΘΕΡΑ C ΤΟΥ ΕΞΙΟΥ ΜΕΛΟΥΣ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ HALLEN: ΒΕΛΤΙΩΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ DFG ΜΕ GMPF ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ DFG ΜΕ PMTF ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ FG ΜΕ GMPF ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ ΣΥΓΚΛΙΣΗΣ (COVERGECE ACCELERATIO METHODS CAM) ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΩΝ ΜΕΘΟ ΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ DFG ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ FG ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΘΕΩΡΗΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ MATLAB ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ ΤΗΣ G, ΓΙΑ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ DFG ΜΕ GMPF ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ ΤΗΣ G, ΓΙΑ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ DFG ΜΕ PMTF ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ ΤΩΝ G, B, ΓΙΑ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ FG ΜΕ GMPF ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΜΕΘΟ ΩΝ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ ΣΥΓΚΛΙΣΗΣ 96 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εξίσωση Hallen για τον ακριβή πυρήνα 1.1 Το µοντέλο του σωληνοειδούς διπόλου Το µοντέλο της κεραίας που θα χρησιµοποιήσουµε είναι το ακόλουθο [5]: αγώγιµο επίπεδο a L / προς γεννήτρια Σχήµα 1.1.1: Ένας απλός τύπος «πραγµατικής» κεραίας Ο εξωτερικός αγωγός, που έχει διάµετρο καταλήγει σε ένα αγώγιµο επίπεδο (ground plane). Ο εσωτερικός αγωγός έχει διάµετρο α και εξέχοντας σχηµατίζει µια µονοπολική κεραία µήκους h. Η εν λόγω κεραία είναι λεπτή µε την έννοια ότι a h και ka 1, όπου k = π ο κυµαταριθµός του ελεύθερου χώρου. λ Με την εφαρµογή της θεωρίας των ειδώλων (για µικρά και α ), η ολική διάταξη είναι ισοδύναµη µε µια διπολική, κεντρικά τροφοδοτούµενη γραµµική κεραία µήκους h και διαµέτρου α. Η κεραία της πιο πάνω εικόνας έχει σφαιρικό καπάκι, αλλά συναντώνται και κεραίες µε επίπεδο καπάκι, ή και χωρίς καπάκι. 9

10 Στη διάταξη αυτή, αν και είναι µία από τις απλούστερες που χρησιµοποιούνται σε εφαρµογές, η κατάστρωση και επίλυση των εξισώσεων Maxwell παρουσιάζει διάφορες δυσκολίες. Επιπλέον, η κεραία και η τροφοδοτούσα γραµµή µεταφοράς αποτελούν ένα σύνθετο σύστηµα ενώ συνήθως στην ανάλυση µας τις θεωρούµε δύο ανεξάρτητα συστήµατα. Έτσι, είθισται να αγνοούµε την αλληλεπίδραση µεταξύ της κεραίας και της τροφοδοτούσας γραµµής µεταφοράς. Για τους παραπάνω λόγους, θα εισάγουµε και θα µελετήσουµε ένα πιο απλό θεωρητικό µοντέλο, που λέγεται «σωληνοειδές δίπολο». Το σωληνοειδές δίπολο χρησιµεύει για την µοντελοποίηση όχι µόνο της κεραίας του σχήµατος αλλά και άλλων πραγµατικών κεραιών, όπως της διπολικής κεραίας του σχήµατος 1.1.(α) που τροφοδοτείται από δισύρµατη γραµµή µεταφοράς, καθώς και της ισοδύναµης διάταξης της κεραίας του σχήµατος 1.1.(β) πάνω από αγώγιµο επίπεδο. προς γεννήτρια (α) αγώγιµο επίπεδο (β) Σχήµα 1.1.: ύο ακόµα «πραγµατικές» κεραίες, (α) η διπολική κεραία τροφοδοτούµενη από δισύρµατη γραµµή µεταφοράς και (β) η ισοδύναµη διάταξη πάνω από αγώγιµο επίπεδο. Το σωληνοειδές δίπολο είναι ένας τέλεια αγώγιµος µεταλλικός σωλήνας µε απείρως λεπτά τοιχώµατα. Στο κέντρο = υπάρχει ένα απειροστά µικρό διάκενο (infinitesimal gap). Η επιτυχία αυτής της µοντελοποίησης έγκειται στο γεγονός ότι οι ολοκληρωτικές εξισώσεις που διατυπώνονται είναι ακριβείς και η λύση δεν επηρεάζεται από τη φύση της τροφοδοσίας, ή από την ύπαρξη καπακιού. 1

11 1. Κυµατικές Εξισώσεις Εξισώσεις Maxwell Στο σηµείο αυτό, θα χρησιµοποιήσουµε τις εξισώσεις του Maxell, ώστε στην επόµενη παράγραφο να καταλήξουµε στην ακριβή εξίσωση Pocklington, η οποία θα αποδειχθεί ότι ισοδυναµεί µε την εξίσωση του Hallen. Χάριν ευκολίας, θεωρούµε ότι η κεραία βρίσκεται στο κενό οπότε θα ισχύουν οι σχέσεις: Β= µ Η D= ε Ε Β η µαγνητική επαγωγή και H η ένταση του µαγνητικού πεδίου D η διηλεκτρική µετατόπιση και Ε η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου Η µαγνητική διαπερατότητα µ και η διηλεκτρική σταθερά του κενού ε συνδέονται µε την ταχύτητα του φωτός και µε την αντίσταση του κενού χώρου, σύµφωνα µε τις σχέσεις: c= 1 µ ε µ και ζ = αντιστοίχως. Σε όλη την υπόλοιπη εργασία ε θεωρούµε ότι c ζ = 8 = 3 1 m / s και Ω. Εάν πρόκειται για ισότροπο οµογενή χώρο µε µαγνητική διαπερατότητα µ και διηλεκτρική σταθερά ε, τα παραπάνω µεγέθη τροποποιούνται αναλόγως. Το ηλεκτροµαγνητικό πεδίο, στην περίπτωση ηµιτονοειδούς χρονικής µεταβολής πηγών και πεδίων (µορφή j t e ω ) διέπεται από τις εξισώσεις του Maxwell οι οποίες έπειτα από µετασχηµατισµό Fourier, λαµβάνουν την ακόλουθη σηµειακή µορφή: E= j ω Β Η= J + j ω D D= ρ Β= J = j ω ρ (Νόµος Faraday-Maxwell) (Νόµος Ampere-Maxwell) (Νόµος του Gauss για τον Ηλεκτρισµό) (Νόµος του Gauss για τον Μαγνητισµό) (Εξίσωση Συνέχειας) 11

12 Οι πηγές των πεδίων που δηµιουργούνται είναι αφ ενός η χωρική πυκνότητα φορτίου ρ και αφ ετέρου η χωρική πυκνότητα ρεύµατος J µε χρονική εξάρτηση της µορφής j t e ω. Στο σηµείο αυτό εισάγουµε το µέγεθος του διανυσµατικού δυναµικού A, από την σχέση ορισµού του οποίου δίνεται η µαγνητική επαγωγή: B= A (1..1). Από τον Νόµο Faraday-Maxwell, και χρησιµοποιώντας την σχέση (1.1) έχουµε: E= j ω Β E= j ω Α Ε+ j ω A = ( ) Οµοίως µε το διανυσµατικό δυναµικό A, εισάγουµε το βαθµωτό δυναµικό Φ = (που ισχύει πάντα) και κατ επέκταση: Φ, τέτοιο ώστε ( ) Ε+ j ω A= Φ Ε= j ω A Φ. (1..) Αντικαθιστώντας την παραπάνω έκφραση για την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου Ε στο νόµο Ampere-Maxwell και κάνοντας χρήση της γνωστής διανυσµατικής ταυτότητας Α = Α Α ( ) ( ) λαµβάνουµε: 1 1 Β= j ω ε Ε+ J ( Α ) = j ω ε ( j ω A Φ ) + J µ µ ( ( ) ) Α Α = j ω ε µ Φ+ ω ε µ Α+ µ J ( ) Α+ k A= µ J+ A+ j ω ε µ Φ (1..3) 1

13 Οµοίως, αν αντικαταστήσουµε τη σχέση ορισµού του διανυσµατικού δυναµικού Α (σχέση (1..1)) στο Νόµο του Gauss για τον Ηλεκτρισµό, λαµβάνουµε την σχέση: ρ ε ω ω ε µ ( ) Φ+ k Φ= j A+ j Φ (1..4) Παρατηρώντας τα µέλη των εξισώσεων (1..3) και (1..4) είναι πρόσφορο για έναν µεγάλο αριθµό περιπτώσεων να επιλέξουµε: A+ j ω ε µ Φ= A= j ω ε µ Φ (1..5), που είναι η συνθήκη του Lorent. Με τη βοήθεια της παραδοχής αυτής, οι σχέσεις (1..3) και (1..4) παίρνουν την εξής µορφή: Α+ k A= µ J (1..6) ρ ε Φ+ k Φ= (1..7) Από το θεώρηµα του Helmholt στη διανυσµατική ανάλυση, είναι γνωστό ότι ένα διάνυσµα Α είναι καθορισµένο κατά µοναδικό τρόπο, αν γνωρίζουµε την περιστροφή ( Α) και την απόκλισή ( Α ) του. Η πρώτη εξασφαλίζεται µε την συνθήκη ορισµού και η δεύτερη µε την συνθήκη Lorent. Με την παραπάνω επιλογή των συναρτήσεων δυναµικού, κάθε µία από τις συναρτήσεις-λύσεις ικανοποιεί την αντίστοιχη κυµατική εξίσωση. Από αυτές έπεται ότι το διανυσµατικό δυναµικό εξαρτάται από την κατανοµή των πηγών ρεύµατος, ενώ το βαθµωτό δυναµικό εξαρτάται από την κατανοµή των πηγών φορτίου. Οι δύο αυτές κατανοµές συνδέονται µέσω της εξίσωσης της συνέχειας, γεγονός που επιβεβαιώνει την αλληλεξάρτηση των Α και Φ µέσω της συνθήκης Lorent. Mε χρήση της συνθήκης αυτής και της σχέσης (1..) µπορεί να βρεθεί µία έκφραση για την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου Ε συναρτήσει µόνο του διανυσµατικού δυναµικούα : ω Ε= j ω A j Α k ( ) (1..8) 13

14 Οι γενικές λύσεις των κυµατικών εξισώσεων (1..6) και (1..7) για το βαθµωτό και το διανυσµατικό δυναµικό, στην περίπτωση ηµιτονοειδούς χρονικής µεταβολής, είναι αντίστοιχα: jkr 1 e Φ ( x, y, ) = ρ( x ', y ', ') dv ' 4 π ε (1..9) R V jkr µ e A( x, y, ) = J( x ', y ', ') dv ' 4 π R V (1..1) όπου r= ( x, y, ) είναι το διάνυσµα παρατήρησης και r ' = ( x ', y ', ') είναι το διάνυσµα θέσης της πηγής και R είναι η απόσταση της θέσης της πηγής από την παρατήρηση, δηλαδή: R= ( x x ') + ( y y ') + ( ') 1.3 Εξίσωση Pocklington για τον ακριβή πυρήνα Η εξαγωγή της εξίσωσης Pocklington γίνεται µε βάση το σχήµα 1.3.1: E π θ ρ y προσπίπτον l/ θ π l/ I ( ') θ a y y l/ l/ x x ανακλώµενο α (α) Γεωµετρία α (β) Ισοδύναµο ρεύµα Σχήµα 1.3.1: Πλάγια πρόσπτωση επιπέδου κύµατος σε αγώγιµο σωλήνα 14

15 Έστω ότι ένα ηλεκτροµαγνητικό κύµα προσπίπτει πάνω στην επιφάνεια της αγώγιµης ευθύγραµµης κεραίας, όπως φαίνεται στο σχήµα Ονοµάζουµε το i προσπίπτον ηλεκτρικό πεδίο E ( r). Μέρος του προσπίπτοντος πεδίου πέφτει στην επιφάνεια της κεραίας, όπου επάγει µία γραµµική πυκνότητα ρεύµατος J s ( A ), η m οποία ακτινοβολεί και παράγει ένα ηλεκτρικό πεδίο που ονοµάζεται ανακλώµενο s ηλεκτρικό πεδίο E ( r). Συνεπώς, σε κάθε σηµείο του χώρου, το ολικό ηλεκτρικό t πεδίο E ( r) θα είναι το διανυσµατικό άθροισµα του προσπίπτοντος και του ανακλώµενου, δηλαδή: E t ( r) = E i ( r) + E s ( r) (1.3.1) Σε κυλινδρικές συντεταγµένες, το ηλεκτρικό πεδίο που ακτινοβολείται από το δίπολο έχει µία ακτινική E ρ και µία εφαπτοµενική συνιστώσα E. Στην περίπτωση που το σηµείο παρατήρησης βρίσκεται πάνω στην επιφάνεια της λεπτής και τέλεια αγώγιµης κεραίας, δηλαδή ρ = a, το ολικό εφαπτοµενικό ηλεκτρικό πεδίο θα είναι µηδενικό. Επίσης, η εφαπτοµενική στην επιφάνεια ηλεκτρικού πεδίου θα είναι συνεχής, οπότε λαµβάνουµε: ρ = a συνιστώσα Ε του t i s i s E ( ρ = α) = E ( ρ = α) + E ( ρ = α) = E ( ρ = α) = E ( ρ = α) Όπως δείξαµε παραπάνω (σχέση (1..8)), το ανακλώµενο ηλεκτρικό πεδίο που παράγεται από την επαγόµενη πυκνότητα ρεύµατος J s, δίνεται από τη σχέση: s ω Ε ( r) = j ω A j Α = j k A k ε µ ω ( ) 1 ( ) + ( Α) 15

16 Για παρατηρήσεις που γίνονται πάνω στην αγώγιµη επιφάνεια, απαιτείται µόνο η συνιστώσα του ανακλώµενου ηλεκτρικού πεδίου, η οποία γράφεται: s 1 A Ε ( r) = j k A + ε µ ω (1.3.) Επειδή η J s αντιπροσωπεύει γραµµική πυκνότητα 1 ( m ) σχέσης (1..1) γίνεται επιφανειακό. Κατά συνέπεια, η διανυσµατικού δυναµικού, γράφεται: το ολοκλήρωµα της -συνιστώσα του jkr µ e A ( x, y, ) = J s ( x ', y ', ') ds ' 4 π, ds ' = a dφ ' d ', το στοιχειώδες εµβαδόν R S στην παράπλευρη επιφάνεια του σωληνοειδούς διπόλου και a η ακτίνα της κυλινδρικής κεραίας. Έτσι λοιπόν, λαµβάνουµε: h π jkr µ e A ( ρ, φ, ) = J ( a, φ ', ') a dφ ' d ' 4 π R (1.3.3) ' = hφ ' = Εάν τώρα ο αγωγός θεωρηθεί πολύ λεπτός, η χωρική πυκνότητα ρεύµατος δεν είναι συνάρτηση της αζιµουθιακής γωνίας φ, οπότε µπορούµε να θεωρήσουµε ότι: J I ( ') π α J = I ( ') J = π α Στη θεώρηση αυτή, το I ( ') είναι το ισοδύναµο γραµµικό ρεύµα που βρίσκεται σε ακτινική απόσταση ρ = α από τον άξονα, όπως φαίνεται στο σχήµα (1.3.): 16

17 l/ m ' n I ( ') l/ I ' n ( ') m Gap Gap l/ l/ α α (α) Στην επιφάνεια (β) Κατά µήκος του άξονα Σχήµα 1.3. Κατάτµηση διπόλου και το ισοδύναµο ρεύµα του Έτσι, η σχέση (1.3.3) γίνεται: h π jkr µ 1 e A ( ρ, φ, ) = Ι ( ') a dφ ' d ' 4 π π α R ' = h φ ' = (1.3.4) = ( ') + ( ') + ( ') = R x x y y = ( ρ cosφ α cos φ ') + ( ρ sinφ asin φ ') + ( ') = = ρ + α ρ α cos( φ φ ') + ( ') όπου χρησιµοποιήθηκαν οι σχέσεις µετασχηµατισµού ( x= ρ cosφ, y= ρ sinφ, = ) από τις καρτεσιανές στις κυλινδρικές συντεταγµένες. Λόγω της κυλινδρικής συµµετρίας του διπόλου ισχύει =, άρα τα µετρούµενα πεδιακά µεγέθη δεν φ εξαρτώνται από την γωνία φ. Για λόγους ευκολίας και απλότητας, θεωρούµε φ = ο. 17

18 Η σχέση γίνεται: h π jkr 1 e A ( ρ = α, φ, ) = µ Ι ( ') a dφ ' d ' = π a 4 π R ' = h φ ' = h = µ Ι ( ') K(, ') d ' h (1.3.5) π jkr 1 e K(, ') = dφ ' π 4 π R φ ' = R( ρ α, φ ) ρ α ρ α cos(( φ ) φ ') ( ') = = = + = + = φ ' = α (1 cos φ) + ( ') = 4 α sin + ( ') δυναµικό Αντικαθιστώντας στην σχέση (1.3.) την έκφραση για το διανυσµατικό A που βρέθηκε παραπάνω έχουµε: h s 1 Ε ( ρ = α) = j k + ( ') (, ') ' Ι K d ε ω (1.3.6) h Χρησιµοποιώντας την οριακή συνθήκη συνέχειας των εφαπτοµενικών συνιστωσών της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου στην τέλεια αγώγιµη επιφάνεια ρ = α του διπόλου, θα λάβουµε: h s i i Ε ( ρ = α) = Ε ( ρ = α) k + ( ') (, ') ' ( ) Ι K d = j ω ε Ε ρ = α h Η τελευταία εξίσωση που βρέθηκε, δηλαδή η: h i k + ( ') (, ') ' ( ) Ι K d = j ω ε Ε ρ = α (1.3.7) h λέγεται ολοκληρωτική εξίσωση του Pocklington και µε την επίλυσή της υπολογίζουµε το ισοδύναµο ρεύµα γραµµικής κατανοµής, άρα και της πυκνότητας ρεύµατος στην επιφάνεια του διπόλου, µε γνωστό το προσπίπτον πεδίο στην επιφάνεια του. 18

19 1.4 Γεννήτρια δέλτα-συνάρτησης ή delta function generator Πρόκειται για την απλούστερη και πλέον διαδεδοµένη µέθοδο για την µοντελοποίηση της πηγής, που όµως υστερεί σε ακρίβεια στον υπολογισµό των αγωγιµοτήτων εισόδου. Η αναπαράστασή της δίνεται στο σχήµα Σχήµα1.4.1: Μοντελοποίηση τροφοδοσίας DFG Θεωρούµε λοιπόν ένα απειροστά µικρό διάκενο (infinitesimal gap) στο κέντρο του σωληνοειδούς διπόλου ( = ), και µια διέγερση τάσης στους ακροδέκτες τροφοδοσίας σταθερής τιµής V στο κέντρο και µηδενικής τιµής οπουδήποτε αλλού. Στο κέντρο του σωληνοειδούς διπόλου βρίσκεται η γεννήτρια delta function generator η οποία διατηρεί ένα δυναµικό V στο διάκενο, έτσι ώστε το βαθµωτό ηλεκτρικό δυναµικό Φ( ρ, ) να ικανοποιεί την παρακάτω σχέση: Φ( α, + ) Φ ( α, ) = V 19

20 Η -συνιστώσα του προσπίπτοντος ηλεκτρικού πεδίου πρέπει να είναι µηδενική σε όλα τα σηµεία της επιφάνειας της κεραίας, εκτός του διακένου. Στο διάκενο τροφοδοσίας η ένταση του προσπίπτοντος και η ένταση του ανακλωµένου πεδίου πρέπει να είναι αντίθετες. Η διαφορά δυναµικού στο διάκενο V, δίνεται από την σχέση [6]: δ i i V = lim Ε ( ) d Ε ( ) = V δ ( ) (1.4.1) δ δ Η παραπάνω σχέση απορρέει από γνωστή ιδιότητα της συνάρτησης δέλτα. µ Έτσι, δεδοµένου ότι ζ = και k = ω ε µ, αντικαθιστώντας στην σχέση ε (1.3.7) λαµβάνουµε: h j k V k + ( ') (, ') ' ( ) Ι Kex d = δ h h (1.4.) ζ h φ' j k 4 α sin ( ') π jkr π + 1 e 1 e Kexact (, ') = F( ') = a dφ ' = dφ ' 8 π R 8 π φ' = φ' = φ ' 4 α sin + ( ') είναι ο πυρήνας αυτής της ολοκληρωτικής εξίσωσης, που προφανώς εξαρτάται µόνο από τη διαφορά ' και όχι από τα και ' ξεχωριστά, αποτελώντας έτσι έναν πυρήνα διαφοράς. Στην παραπάνω σχέση και τα δύο µέλη, δίνουν την εφαπτοµενική συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου πάνω στο σωληνοειδές δίπολο. Κατά την εξαγωγή της δεν έγινε καµία προσέγγιση, συνεπώς είναι ακριβής για το µοντέλο του σωληνοειδούς διπόλου. Με εξαίρεση όµως την περίπτωση της κεραίας απείρου µήκους ( h ), η (1.4.) δεν µπορεί να λυθεί σε κλειστή µορφή. Η σχέση 1.4. είναι η εξίσωση Pocklington για γεννήτρια δέλτα συνάρτησης (delta function generator) για τον ακριβή πυρήνα.

21 1.5 Η ακριβής εξίσωση του Hallen για γεννήτρια δέλτα συνάρτησης (DFG) ^ H εξίσωση του Hallen δεν περιέχει τον τελεστή Helmholt T = + k και είναι ισοδύναµη της εξίσωσης του Pocklington. Ο τελεστής Helmholt δεν µπορεί να εναλλαχθεί µε το ολοκλήρωµα στην (1.4.), διότι όπως θα δείξουµε ο ακριβής πυρήνας K exact, και πιο συγκεκριµένα το πραγµατικό µέρος αυτού, απειρίζεται µε λογαριθµική συµπεριφορά για µικρά : Έχουµε λοιπόν για το Re( Kexact ( )) : π Re( K cos ( ) ( sin ) exact ( )) k + ka θ = k π ( k) + (kasin θ ) dθ k Η παραπάνω ολοκληρωτέα παράσταση αυξάνεται απότοµα για θ = και ka, µε συνέπεια ο αριθµητικός υπολογισµός του ολοκληρώµατος να παρουσιάζει δυσκολίες. Για τον λόγο αυτό πραγµατοποιούµε την ακόλουθη αντικατάσταση: Re( Kexact ( )) = I1+ I, όπου k 1 π π cos ( ) ( sin ) 1 sin ( ( ) ( sin ) ) k + ka θ k + ka θ 4 I 1= dθ dθ π = ( k) (kasin θ ) π + ( k) + (ka sin θ ) (χρησιµοποιήθηκε η γνωστή ιδιότητα 1 cos a sin a= ) I = π π dθ ( k) + (ka sin θ ) 1

22 Η ολοκληρωτέα παράσταση στο I 1 έχει πάντα πεπερασµένη τιµή, διότι ακόµα και για = γίνεται: 1 ka (ka sin θ ) sin ( ( sin θ ) ) = sin ( sin θ ) ka ka sinθ sin ( ka sin θ ) sin x sin x cos x lim = lim = lim = ka sinθ x θ x x π (η µόνη τιµή για την οποία sinθ =, θ, είναι η θ = ) Το ολοκλήρωµα I µπορεί να γραφτεί, µε την βοήθεια του ελλειπτικού ολοκληρώµατος K( x ) σαν: I 1 = π ( k) + ( ka) K( x) ( ka) x= ( k) + ( ka) Όταν =, x= 1. Όµως: 1 16 lim[ K( x) ln( )] = x 1 1 x [7, εξ.(17.3.6)] Άρα, 1 16 K( x) ln, για x 1 1 x

23 Έτσι, η παράγωγος d Kexact d ( ) θα συµπεριφέρεται ανάλογα µε τον όρο 1, εποµένως είναι µια ποσότητα µη ολοκληρώσιµη απαγορεύοντας έτσι την εναλλαγή του διαφορικού τελεστή και του ολοκληρώµατος. Για να υπολογίσουµε τη δράση του τελεστή, θα θεωρήσουµε την εξίσωση του Pocklington ως µια διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης µε άγνωστο το ολοκλήρωµα: h I ( ) = K( ') Ι ( ') d ', δηλαδή: h j k V ( ) ( ) k + I = δ ζ (1.5.5) Το ολοκλήρωµα Iείναι το διανυσµατικό δυναµικό A ( a, ) που είναι άρτια συνάρτηση του. Η λύση της διαφορικής εξίσωσης (1.5.5) θα είναι η υπέρθεση της λύσης της οµογενούς και µιας οποιασδήποτε λύσης της µη οµογενούς. Η άρτια λύση της οµογενούς είναι I, ( ) = C cos( k ) µε C R. Μια µερική λύση θα even αναζητηθεί µε τη βοήθεια των ιδιοτήτων της συνάρτησης δέλτα και είναι η V Ios ( ) = sin k ζ χώρου. ( ), όπου ζ = 376, 73Ω η κυµατική αντίσταση του κενού Έτσι τελικά προκύπτει η ολοκληρωτική εξίσωση: h h j V K( ') Ι( ') d ' = C cos( k ) + sin k ζ ( ) (1.5.6) Η σχέση είναι η εξίσωση Hallen για γεννήτρια δέλτα συνάρτησης (delta function generator) για τον ακριβή πυρήνα. 3

24 Η σταθερά C προσδιορίζεται από τον µηδενισµό του ρεύµατος στα άκρα της κεραίας λόγω της Αρχής ιατήρησης του Φορτίου: I ( ± h) = (1.5.7) Από την Αρχή της Επαλληλίας, η λύση της εξίσωσης Hallen µπορεί να γραφτεί σαν γραµµικός συνδυασµός δύο συναρτήσεων ικανοποιούν αντίστοιχα τις ακόλουθες εξισώσεις: I (1) ( ) και I () ( ) που θα h j V K Ι d = ( k ) (1.5.8) h (1) ( ') ( ') ' sin ζ h () K( ') Ι ( ') d ' = cos( k ) (1.5.9) h Τότε, η λύση της εξίσωσης Hallen που ικανοποιεί την οριακή συνθήκη (1.5.7), δίνεται από την σχέση: = ( ) + ( ) t (1) () I I C I (1) I ( h) C = () I ( h) (1.5.1) 4

25 1.6 Γεννήτρια µαγνητικών κροσσών ή frill generator σχήµα: Για την συγκεκριµένη µοντελοποίηση της πηγής βασιζόµαστε στο ακόλουθο Σχήµα Μοντελοποίηση τροφοδοσίας FG Για να χρησιµοποιήσουµε αυτό το µοντέλο [8], το διάκενο τροφοδοσίας αντικαθίσταται από µία πυκνότητα µαγνητικού ρεύµατος Μ, κυκλικής διεύθυνσης, που υπάρχει πάνω σε έναν δακτύλιο µε εσωτερική ακτίνα α, που συνήθως είναι η ακτίνα της κεραίας, και εξωτερική ακτίνα. Καθώς η κεραία συνήθως τροφοδοτείται από γραµµές µεταφοράς, η εξωτερική ακτίνα του δακτυλίου της 5

26 γεννήτριας βρίσκεται χρησιµοποιώντας την έκφραση για την χαρακτηριστική αντίσταση της γραµµής µεταφοράς, δηλαδή: Z c ln( µ ) = α ε π Στο δακτυλιοειδές άνοιγµα της γεννήτριας µαγνητικών κροσσών, το ηλεκτρικό πεδίο οµοαξονικής γραµµής. Εποµένως: Ε ρ προκύπτει από την πεδιακή κατανοµή του τρόπου TEM της V Ε ρ = ρ ln( ) α α ρ Κατά συνέπεια η αντίστοιχη ισοδύναµη πυκνότητα µαγνητικού ρεύµατος της γεννήτριας µαγνητικών κροσσών που αντιπροσωπεύει το άνοιγµα, θα είναι: Μ φ V Μ φ = n Ερ Μ φ = ρ ln( ) α α ρ Η γεννήτρια µαγνητικών κροσσών δηµιουργεί στην επιφάνεια του διπόλου πεδία, που µπορούν να προσεγγιστούν από εκείνα που βρέθηκαν κατά µήκος του άξονα (δηλαδή για ρ = ). Με αυτή την προσέγγιση, λαµβάνουµε την ακόλουθη απλή σχέση για την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου: i V e e Ε ( ρ =, h h) = ln( ) R R α jkr1 jkr 1 (1.6.1) R = + α 1 R = + 6

27 Αντικαθιστώντας την σχέση (1.6.1) στην σχέση (1.3.7) και λαµβάνοντας υπ όψιν τις ισότητες: k = π λ c= 1 µ ε ζ = µ ε έχουµε: h jkr1 jkr i k V e e k + ( ') (, ') ' Ι Kex d = h ζ ln( ) R1 R α (1.6.) h h φ' j k 4 α sin ( ') π jkr π + 1 e 1 e Kexact (, ') = F( ') = a dφ ' = dφ ' 8 π R 8 π φ' = φ' = φ ' 4 α sin + ( ') Η σχέση 1.6. είναι η εξίσωση Pocklington για γεννήτρια µαγνητικών κροσσών (frill generator) για τον ακριβή πυρήνα. 1.7 Η ακριβής εξίσωση του Hallen για γεννήτρια µαγνητικών κροσσών (FG) Για την περίπτωση τροφοδοσίας τύπου frill generator, προκειµένου να καταλήξουµε στην εξίσωση του Hallen, ξεκινάµε, όπως και στην περίπτωση του DFG, από την αντίστοιχη εξίσωση του Pocklington, δηλαδή: h jkr1 jkr i k V e e k + ( ') (, ') ' Ι Kex d = h ζ ln( ) R1 R (1.7.1) α 7

28 Για την συνέχεια της παραγράφου θέτουµε: h Ffrill = Ι ( ') Kex (, ') d ' (1.7.) h i k V e e g( ) = ln( ) R R α jkr1 jkr ζ 1 (1.7.3) Άρα έχουµε: k + F frill = g ( ) ( ) (1.7.4) Η γενική λύση της παραπάνω διαφορικής εξίσωσης, δεδοµένου µάλιστα ότι η συνάρτηση F ( ) frill είναι άρτια, θα ισούται προφανώς µε το αντίστοιχο τµήµα της εξίσωσης για τροφοδοσία τύπου DFG. Πράγµατι η τροφοδοσία αφορά αποκλειστικά το δεύτερο µέλος της σχετικής διαφορικής εξίσωσης και άρα ο ένας όρος της τελικής λύσης θα είναι και πάλι ο C cos( k ) frill όπου C frill αυθαίρετη µιγαδική σταθερά. Όσον αφορά την µερική λύση της διαφορικής, αυτή µε γνώµονα τις θεµελιακές γνώσεις για την επίλυση µη οµογενών γραµµικών διαφορικών εξισώσεων ανεξάρτητα από την µορφή του δευτέρου µέλους θα είναι η: 1 Fpartial frill( ) = g( t) sin( k ( t) ) dt k (1.7.5) Η εύρεση της παραπάνω µερικής λύσης έγινε µε τη βοήθεια του µετασχηµατισµού Fourier. Ακολουθεί µία σύντοµη απόδειξη για το γεγονός ότι όντως η συγκεκριµένη συνάρτηση είναι λύση της πλήρους διαφορικής εξίσωσης: 8

29 Η πρώτη παράγωγος σύµφωνα µε τους γνωστούς κανόνες παραγώγισης ολοκληρωµάτων θα είναι η: F F partial ( ) frill 1 = g( ) sin( k ( t) ) + g( t) cos( k ( t) ) dt k partial frill ( ) ( ) ( ) cos ( ) = g t k t dt Η δεύτερη παράγωγος υπολογίζεται µε παρόµοιο τρόπο: F partial frill F ( ) ( ) cos( ( )) ( ) cos( ( )) ( ) sin( ( )) = g t k t dt= g k t k g t k t dt partial frill ( ) ( ) ( ) ( ) sin ( ) = g k g t k t dt Αν αντικαταστήσουµε στην πλήρη διαφορική εξίσωση θα έχουµε: F F partial frill partial frill F p,frl ( ) ( ) ( ) + k 1 partial frill k ( ) ( ) ( ) sin( ( )) ( ) sin( ( )) + k F = g k g t k t dt+ k g t k t dt k Fpartial frill ( ) g( ) k g( t) sin( k ( t) ) dt k g( t) sin( k ( t) ) dt + = + F p,frl ( ) = g( ) Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση F ( ) partial frill επαληθεύει την διαφορική εξίσωση (1.7.) και κατά συνέπεια όντως αποτελεί µερική λύση της διαφορικής. Λαµβάνοντας υπόψη ότι η γενική λύση είναι η C cos( k ) µιγαδική σταθερά, προκύπτει ότι: frill, όπου C frill αυθαίρετη ( ) cos( ) ( ) F = C k + F frill frill partial frill 1 Ffrill( ) = C frill cos( k ) + g( t) sin( k ( t) ) dt k 9

30 εξίσωση: Εποµένως, λόγω της (1.7.) µπορούµε να καταλήξουµε στην παρακάτω h 1 k K( ') Ι( ') d ' = C cos( k ) + g( t) sin( k ( t) ) dt (1.7.6) h Η σχέση είναι η εξίσωση Hallen για γεννήτρια µαγνητικών κροσσών (frill generator) για τον ακριβή πυρήνα. Η σταθερά C προσδιορίζεται από τον µηδενισµό του ρεύµατος στα άκρα της κεραίας λόγω της Αρχής ιατήρησης του Φορτίου: I ( ± h) = (1.7.7) Από την Αρχή της Επαλληλίας, η λύση της εξίσωσης Hallen µπορεί να γραφτεί σαν γραµµικός συνδυασµός δύο συναρτήσεων ικανοποιούν αντίστοιχα τις ακόλουθες εξισώσεις: I (1) ( ) και I () ( ) που θα h h 1 K Ι d = g t k t dt (1) ( ') ( ') ' sin k ( ) ( ( )) (1.7.8) h () K( ') Ι ( ') d ' = cos( k ) (1.7.9) h Τότε, η λύση της εξίσωσης Hallen που ικανοποιεί την οριακή συνθήκη (1.7.7), δίνεται από την σχέση: = ( ) + ( ) t (1) () I I C I (1) I ( h) C = () I ( h) (1.7.1) 3

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Αριθµητικές µέθοδοι επίλυσης των εξισώσεων Hallen.1 Μέθοδος των Ροπών (Moment Method - MoM) Με τις εξισώσεις (1.5.6) και (1.7.6) του Hallen και ιδίως µε τις (1.5.8), (1.5.9), (1.5.1) και (1.7.8), (1.7.9), (1.7.1) έχουµε αναγάγει το πρόβληµά µας στην επίλυση ολοκληρωτικών εξισώσεων τύπου Fredholm [5]. h g(, ) J ( ) d = f ( ) h< < h (.1.1) h µε πυρήνα g(, ), άγνωστο το J ( ) ( < h), και γνωστό το f ( ). Στο κεφάλαιο αυτό λοιπόν περιγράφουµε αριθµητικές µεθόδους για την επίλυση τέτοιων εξισώσεων, και συγκεκριµένα µία οικογένεια µεθόδων που ονοµάζεται Μέθοδος των Ροπών (Moment Method - MoM). H εν λόγω µέθοδος έχει τρία βήµατα: ΜοΜ Βήµα 1: Αναπτύσσουµε τον άγνωστο J ( ) σε πεπερασµένο άθροισµα + 1 συναρτήσεων βάσης (asis functions) u ( ), u ( 1) ( ),, u ( ) µε άγνωστους συντελεστές J n. J ( ) J u ( ) (.1.) n= n n Οι συναρτήσεις βάσης είναι γνωστές. Στην σχέση (.1.) γράφουµε και όχι = διότι η λύση J ( ) της ολοκληρωτικής εξίσωσης (.1.1) γενικά δεν µπορεί να γραφεί ακριβώς σαν υπέρθεση πεπερασµένου αριθµού συναρτήσεων βάσης. Επιλέξαµε περιττό ( + 1) αριθµό συναρτήσεων βάσης για ευκολία. Θα µπορούσαµε να είχαµε επιλέξει και άρτιο αριθµό. 31

32 ΜοΜ Βήµα : Αντικαθιστούµε την προσέγγιση (.1.) στην ολοκληρωτική εξίσωση (.1.1). Λαµβάνουµε: h J n g(, ) un ( ) d f ( ), h< < h (.1.3) n= h στην οποία γράψαµε διότι γενικά, δεν υπάρχουν αριθµοί την (.1.3) για όλα τα µε < h. J n που να ικανοποιούν ΜοΜ Βήµα 3: Παίρνουµε το εσωτερικό γινόµενο της (.1.3) µε + 1 άλλες συναρτήσεις δοκιµής (testing functions) w ( ), w ( 1) ( ),, w ( ),δηλαδή πολλαπλασιάζουµε την (.1.3) µε w * ( ), όπου το l * δηλώνει συζυγή, και ολοκληρώνουµε από = h έως = h. Λαµβάνουµε: h h h * * J n wl ( ) g(, ) un ( ) d d= wl ( ) f ( ) d n= h h h l=, ( 1),, (.1.4) που γράφονται και ως Aln J n = Bl, l=, ( 1),, (.1.5) n= h h A * ln = wl ( ) g(, ) un( ) d d, l, n h h (.1.6) h B * l = wl ( ) f ( ) d, l=, ± 1,, ± (.1.7) h 3

33 Οι συναρτήσεις δοκιµής είναι και αυτές γνωστές. Οι εξισώσεις (.1.4) ή (.1.5), (.1.6) και (.1.7) είναι σύστηµα γραµµικών εξισώσεων µε αγνώστους τα J n. Το πρόβληµα λοιπόν έχει αναχθεί στη επίλυση του (+ 1) (+ 1) συστήµατος (.1.5), όπου οι µιγαδικοί αριθµοί A ln και ολοκληρώµατα των σχέσεων (.1.6) και (.1.7) αντιστοίχως. B l υπολογίζονται από τα Οι ΜοΜ είναι οικογένεια µεθόδων διότι υπάρχουν πολλές επιλογές των συναρτήσεων βάσης και δοκιµής. Στην εργασία αυτή χρησιµοποιήθηκαν, αφ ενός παλµικές συναρτήσεις βάσης και δοκιµής (GMPF) αφ ετέρου τριγωνικές συναρτήσεις βάσεις µε δέλτα συναρτήσεις δοκιµής (PMTF). Οι δύο αυτές συγκεκριµένες µέθοδοι ροπών περιγράφονται αναλυτικά στις επόµενες παραγράφους.. Μέθοδος Galerkin µε παλµικές συναρτήσεις (Galerkin Method Pulse Functions - GMPF) Η Μέθοδος Galerkin είναι η ειδική περίπτωση των ΜοΜ κατά την οποία οι συναρτήσεις βάσης και δοκιµής είναι ίδιες, δηλαδή: w ( ) = u ( ). l l Στην περίπτωση που µοντελοποιούµε την πηγή µε delta function generator ισχύουν οι σχέσεις (1.5.8) και (1.5.9): h h i V K Ι d = k (1) ( ') ( ') ' sin ζ ο ( ) h h K Ι d = k () ( ') ( ') ' cos( ) 33

34 Προκειµένου να βρούµε µία αριθµητική λύση για την εξίσωση (1.5.6) εφαρµόζουµε την GMPF στις δύο παραπάνω εξισώσεις, οπότε έχουµε [1]: (1) (1) n n= I ( ) I ( ) u ( ) (..1) n () () n n= I ( ) I ( ) u ( ) (..) n όπου οι παλµικές συναρτήσεις u ( ) ορίζονται από τον εξής τύπο: n 1 1 1, αν ( n ) < < ( n+ ) un( ) =, αλλου (..3) Το πλάτος του παλµού συνδέεται µε το πλήθος των παλµών + 1 σύµφωνα µε την σχέση: (+ 1) = h (..4) Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (..1) και (..) στις εξισώσεις (1.5.8) και (1.5.9) αντιστοίχως, πολλαπλασιάζοντας µε ul ( ) και ολοκληρώνοντας από = h έως = h, καταλήγουµε στα δύο ακόλουθα συστήµατα εξισώσεων: (1) (1) Aln In = Bl (..5) n= () () Aln In = Bl (..6) n= l=, ± 1,..., ± 34

35 Στις σχέσεις (..5) και (..6) οι συντελεστές A ln είναι διπλά ολοκληρώµατα που εξαρτώνται µόνο από την απόλυτη τιµή της διαφοράς l n και όχι από τα l και n ξεχωριστά. Συνεπώς, αντικαθιστούµε τους Aln = Anl από τους Al n. Εξάλλου, τα διπλά αυτά ολοκληρώµατα µπορούν να µετατραπούν σε απλά, έτσι ώστε: [ ] A = A = ( ) K ( + l ) + K ( l ) d (..7) l l exact exact l=, ± 1, ±,..., ± Οι συντελεστές (1) B l και ολοκληρώµατα [, εξ.(α.3)]: () B l υπολογίζονται αναλυτικά από τα εξής απλά 1 i V k ( l+ ) = (1) i V ζ k 4 Bl = sin( k ) d= 1 ζ i V k ( l ) sin( ) sin( k l ), αν l ζ k sin ( ), αν l 1 ( l+ ) () k l 1 k ( l ) B = cos( k ) d= sin( ) cos( k l) Αφού υπολογιστούν τα (1) I n και () I n, για να προσδιορίσουµε την σταθερά C της εξίσωσης (1.5.6), χρησιµοποιούµε την σχέση (1.5.1). Άρα έχουµε: I C (..8) I (1) () Η τελική αριθµητική λύση της εξίσωσης Hallen δίνεται από τον τύπο: (1) () ( ) n n( ) = n + n n( ) n= n= (..9) I I u I C I u 35

36 Στην περίπτωση που µοντελοποιούµε την πηγή µε frill generator ισχύουν οι σχέσεις (1.7.8) και (1.7.9): h h (1) 1 ( ') ( ') ' sin k ( ) ( ( )) K Ι d = g t k t dt h h K Ι d = k () ( ') ( ') ' cos( ) Στη συνέχεια ακολουθούµε τα ίδια βήµατα όπως και στην περίπτωση της delta function generator, προκειµένου να βρούµε µία αριθµητική λύση για την εξίσωση (1.7.6). Η µόνη διαφορά σε σχέση µε την άλλη µοντελοποίηση έγκειται στους συντελεστές (1) B l [9, εξ.(11)]: 1 ( l+ ) (1) 1 Bl = ( g( t) sin ( k ( t) ) dt) d k 1 ( l ) Για να υπολογίσουµε τους παραπάνω συντελεστές µε την βοήθεια του προγράµµατος MATLAB, πραγµατοποιούµε την εξής αλλαγή µεταβλητής: t = t Έτσι, το διάστηµα ολοκλήρωσης για την µεταβλητή t γίνεται [,1 ], και dt = dt Άρα: 1 ( l+ ) 1 (1) 1 Bl = ( g( t ) sin ( k ( t ) ) dt) d k 1 ( l ) Οµοίως µε προηγουµένως, η τελική αριθµητική λύση της εξίσωσης Hallen είναι: (1) () ( ) n n( ) = n + n n( ) n= n= (..1) I I u I C I u 36

37 .3 Τεχνική σηµειακής ισότητας (Point-Matching technique or collocation technique) µε τριγωνικές συναρτήσεις (Triangular Functions)- PMTF Στη µέθοδο αυτή [1] αναπτύσσουµε τον άγνωστο I ( ) σε ένα πεπερασµένο άθροισµα 1 συναρτήσεων βάσης g ( ) έτσι ώστε να ισχύει: n 1 I( ) I g ( ) = I g ( ) + I g ( ) I g ( ) I g ( ) n= ( 1) n n o o 1 1 (.3.1) Οι άγνωστοι στην παραπάνω εξίσωση είναι οι συντελεστές In και στην (.3.1) γράφουµε και όχι = διότι η λύση I ( ) της ολοκληρωτικής εξίσωσης γενικά δεν µπορεί να γραφεί ακριβώς σαν υπέρθεση πεπερασµένου αριθµού συναρτήσεων βάσης. Οι συναρτήσεις βάσης g ( ) που επιλέγουµε εδώ είναι οι τριγωνικές που ορίζονται ως: n t( ) =, αλλού, Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης t( l ) l 1. h = (.3.) ( l l ) είναι το ( 1 ),( 1) +, για 37

38 Οι συναρτήσεις αυτές σχεδιάζονται παρακάτω µαζί µε το γράφηµα που προκύπτει από γραµµικό συνδυασµό αυτών: Σχήµα.3.1: Τριγωνικές συναρτήσεις βάσης και γραµµικός συνδυασµός αυτών (εδώ Ν=5 και Μ=11) Αντικαθιστώντας την έκφραση (.3.) στην εξίσωση του Hallen για delta function generator (1.5.6) λαµβάνουµε : 1 n n= ( 1) h I K( ') t( ' n ) d ' i V sin( k ) + C cos( k ), h< < h ζ h (.3.3) Αν επιβάλλουµε την ισότητα στα + 1 σηµεία κατακερµατισµού του σωληνοειδούς διπόλου, = l (δηλαδή και στα τερµατικά και στα εσωτερικά o σηµεία) µε l τότε αναφερόµαστε σε µια τεχνική - παραλλαγή αντιστοίχισης σηµείων (point matching) και δηµιουργείται το σύστηµα εξισώσεων: 1 i D I = V sin( k l ) + C cos( k l ) (.3.4) ln n n= ( 1) ζ l 38

39 όπου οι συντελεστές Dln δίνονται από τη σχέση: h D = K( l ') t( ' n ) d ' (.3.5) ln h l και n 1 Γι αυτές τις τιµές των l και n, θα αποδείξουµε ότι Dln = Al n, όπου: o ( ) ( ) ( ) A = A = K + l + K l d (.3.6) l l o o o Από τον ορισµό των τριγωνικών συναρτήσεων, και επειδή ο ακριβής πυρήνας Kexact ( ) είναι άρτια συνάρτηση του, έχουµε: h D = K( l ') t( ' n ) d ' = K( ' l ) t( ' n ) d ' = ln h h ' n = K l d ( n+ 1) ( ' ) ' ( n 1) h Αν επιχειρήσουµε την αλλαγή µεταβλητής = ' n d ' = d τότε το παραπάνω ολοκλήρωµα γίνεται: ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) D = K + n l d= K + n l d+ ln ( ( ) ) ( ) + K + n l d= ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) = K + n l d+ K + n l d= ( ( ( ) ) ( ( ) ) ) ( ) = K + n l + K n l d 39

40 Έτσι, Dln = Dnl και οι D ln εξαρτώνται µόνο από την διαφορά l-n, δηλαδή: D= Al n ( ) ( ) ( ) Al = K + l + K l d, l Συνεπώς, το σύστηµα εξισώσεων (.3.4) γίνεται: 1 n= ( 1) i o Al n In = V sin k l o + o C k l o ζ ο (1) l B ( ) cos( ) ( ) l B (.3.7) ( ) ( ) ( ) Al = A l = K + l + K l d l l=, ± 1, ±,... ±Ν Το παραπάνω σύστηµα είναι ισοδύναµο µε τα δύο συστήµατα Toeplit: i 1 (1) o (1) Al n In = V sin( k l o) = Bl l, 1,,... n= ( 1) ζ ο 1 = ± ± ± () () Al n In = o cos( k l o) = Bl l, 1,,... n= ( 1) = ± ± ± Ας σηµειώσουµε ότι υπάρχουν και οι επιπλέον συντελεστές A και A. Όπως και στην περίπτωση της GMPF, οι άγνωστοι συντελεστές I n δίνονται από την σχέση: I = I + C I (1) () n n n I C (.3.8) I (1) () 4

41 .4 Σταθερά C του δεξιού µέλους της εξίσωσης Hallen: Βελτίωση Στην παρούσα παράγραφο θα προσπαθήσουµε να εξάγουµε έναν βελτιωµένο τύπο για την σταθερά C, ο οποίος απορρέει από την γνώση της συµπεριφοράς του ρεύµατος κοντά στα άκρα της κεραίας [1]. 1 Οι ποσότητες I (1) ( ) και I () ( ) συµπεριφέρονται όπως η ποσότητα ( h ), καθώς το ± h, ενώ το συνολικό ρεύµα µηδενίζεται όπως η ποσότητα 1 ( h ). Είναι αξιοσηµείωτο το γεγονός, ότι οι ενδιάµεσες λύσεις I (1) ( ) και I () ( ) δεν είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιµες. Η συµπεριφορά αυτή δηµιουργεί µία µικρή δυσκολία στην εφαρµογή της αριθµητικής µεθόδου, εάν η σταθερά C προσδιοριστεί από την σχέση (.3.8). Καθώς η ποσότητα µεγαλώνει, η C (και µαζί της η συνολική αριθµητική λύση) συγκλίνει µάλλον αργά. Η σύγκλιση µπορεί ελαφρώς να επιταχυνθεί, σηµειώνοντας ότι I ( ) = O( h ), καθώς h, γεγονός που συνεπάγεται ότι exact [ I h I h ] lim ( ) ( 3 ) = 1 3. Έτσι, αντί της σχέσης (.3.8), υπολογίζουµε την σταθερά C από τον ακόλουθο τύπο [1, εξ.(17)]: C 3I 3I I (1) (1) 1 () () I 1 Για όλη την υπόλοιπη εργασία θα χρησιµοποιηθούν οι εξής συµβολισµοί: (.4.1) Ya = Ga + i Ba είναι η σύνθετη αγωγιµότητα εισόδου της κεραίας στο κέντρο της ( = - driving point) και G a, B a το πραγµατικό και το φανταστικό µέρος αυτής, χωρίς την βελτίωση της σταθεράς δεξιού µέλους C. ηλαδή: Y a I V = Ga Re( Ya ) = B = Im( Y ) a a I C I (1) () 41

42 Y = G + i B είναι η σύνθετη αγωγιµότητα εισόδου της κεραίας στο κέντρο της ( = - driving point) και G, µε την βελτίωση της σταθεράς δεξιού µέλους C. ηλαδή: B το πραγµατικό και το φανταστικό µέρος αυτής, Y I V = G Re( Y ) = B = Im( Y ) C 3I 3I I (1) (1) 1 () () I 1.5 Αριθµητικά αποτελέσµατα για µοντελοποίηση DFG µε GMPF Στην παράγραφο αυτή παρουσιάζονται αριθµητικά αποτελέσµατα για την για µοντελοποίηση DFG µε GMPF. Ο αριθµός επιλέχθηκε, κατόπιν δοκιµών, να είναι = 4, αφού για > 4 τα αποτελέσµατα δεν παρουσιάζουν αξιόλογη µεταβολή. Ο συµβολισµός xe y σηµαίνει x 1 y. G, h a =.6 a =.7 a =.1 a =.3 λ λ λ λ λ e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e- 4

43 e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e-

44 e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e-

45 e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e-.6 Αριθµητικά αποτελέσµατα για µοντελοποίηση DFG µε PMTF Στην παράγραφο αυτή παρουσιάζονται αριθµητικά αποτελέσµατα για την για µοντελοποίηση DFG µε PMTF. Ο αριθµός επιλέχθηκε, κατόπιν δοκιµών, να είναι = 4, αφού για > 4 τα αποτελέσµατα δεν παρουσιάζουν αξιόλογη µεταβολή. Ο συµβολισµός xe y σηµαίνει x 1 y. G, h a =.6 a =.7 a =.1 a =.3 λ λ λ λ λ e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e- 45

46 e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e-

47 e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e-