Το Θεώρημα Μοναδικότητας των Stone και von Neumann

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Το Θεώρημα Μοναδικότητας των Stone και von Neumann"

Transcript

1 Κ Ε Το Θεώρημα Μοναδικότητας των Stone και von Neumann Διπλωματική Εργασία Ειδίκευσης στα Θεωρητικά Μαθηματικά Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Μαθηματικών Αθήνα 2011

2

3 Αφιερώνεται στην οικογένεια μου

4 ii Περίληψη Στον χώρο L 2 (, m) ορίζονται οι μονοπαραμετρικές ομάδες unitary τελεστών {S λ } λ και {T t } t, όπου (S λ f )(x) = e iλx f (x) και (T t f )(x) = f (x t). Παρατηρούμε ότι οι ομάδες αυτές ικανοποιούν τις σχέσεις του Weyl: S λ T t = e iλt T t S λ, λ, t, που είναι μία μορφή της αρχής της απροσδιοριστίας του Heisenberg από την κβαντομηχανική. Από το ϑεώρημα μοναδικότητας των Stone και von Neumann, προκύπτει ότι για κά- ϑε ζεύγος SOT-συνεχών μονοπαραμετρικών ομάδων unitary τελεστών {U λ } λ, {V t } t σε ένα διαχωρίσμο χώρο Hilbert H, οι οποίες πληρούν τις σχέσεις του Weyl και δεν έχουν κοινό αναλλοίωτο υπόχωρο εκτός των τετριμμένων, υπάρχει unitary τελεστής : L 2 (, m) H, ώστε να ισχύουν οι σχέσεις U λ = S λ και V t = T t, για κάθε λ, t. Στόχος της εργασίας είναι η παρουσίαση των βασικών αποτελεσμάτων, που οδηγούν σε μία απόδειξη του ϑεωρήματος αυτού. Εργαλεία για αυτή την απόδειξη είναι η ϑεωρία αβελιανών αλγεβρών von Neumann. Ειδικότερα, αποδεικνύουμε αρχικά ότι μετά από μία unitary ισοδυναμία, μπορούμε να υποθέσουμε ότι μία από τις δύο ομάδες είναι η S (n) λ, για κάποιο n N {+ }. Εδώ χρησιμοποιούμε τη ϑεωρία πολλαπλότητας αβελιανών αλγεβρών von Neumann, κα- ϑώς και το ϑεώρημα του Stone, που χαρακτηρίζει τις SOT-συνεχείς μονοπαραμετρικές ομάδες unitary τελεστών. Στο δεύτερο βήμα, αποδεικνύεται ότι υπάρχει μία unitary ισοδυναμία, η οποία α- πεικονίζει την άλλη ομάδα στην T (n) t, ενώ σταθεροποιεί την S (n). Η απουσία κοινού αναλλοίωτου υπόχωρου οδηγεί στο επιθυμητό αποτέλεσμα n = 1. εργαλεία είναι μετροθεωρητικά. λ Εδώ τα βασικά

5 iii Abstract On the Hilbert space L 2 (, m), we define the one parameter unitary groups {S λ } λ and {T t } t, where (S λ f )(x) = e iλx f (x) and (T t f )(x) = f (x t). These two groups satisfy the Weyl relations : S λ T t = e iλt T t S λ, λ, t, which is a form of Heisenberg s Uncertainty Principle of Quantum Mechanics. The theorem of Stone-von Neumann states that for every two jointly irreducible SOT-continuous one parameter unitary groups {U λ } λ, {V t } t on a separable Hilbert space H, which satisfy the Weyl relations, there is a unitary operator : L 2 (, m) H, mapping U λ to S λ and V t to T t. In this study we give a proof of the above theorem, using the theory of abelian von Neumann algebras. In particular, we first prove that after a unitary equivalence, we may assume that U λ is S (n) λ, for some n N {+ }. The crucial tools here are the multiplicity theory of abelian von Neumann algebras and Stone s theorem, which characterizes the SOT-continuous one parameter unitary groups. The second step is to prove that there is a unitary operator which carries V t to T (n) t and leaves S (n) λ fixed. The fact that {U λ } λ, {V t } t act jointly irreducibly on H then forces n = 1. Our main arguments in this step are measure-theoretic.

6 iv Εισαγωγή Στην κβαντομηχανική, τα παρατηρήσιμα μεγέθη αναπαρίστανται μέσω γραμμικών τελεστών σε χώρους Hilbert. Στην κίνηση ενός ελεύθερου σωματιδίου, δηλαδή ενός σωματιδίου το οποίο δεν δέχεται καμία εξωτερική επίδραση, υπάρχουν δύο σημαντικά παρατηρήσιμα μεγέθη : η ϑέση και η ορμή. Η περιγραφή αυτων των δύο παρατηρήσιμων μεγεθών, γίνεται μέσω του τελεστή ϑέσης Q και του τελεστή ορμής P, οι οποίοι είναι μη φραγμένοι και ορίζονται αντίστοιχα ως εξής : D(Q) = { f L 2 (, m) : id f L 2 (, m)} και (Q f )(x) = (id f )(x) = x f (x) D(P) = { f L 2 (, m) : f AC(), f L 2 (, m)} 1 και (P f )(x) = i f (x) Παρατηρούμε ότι ο υπόχωρος D(PQ) D(QP) είναι πυκνός στον L 2 (, m), αφού περιέχει τον χώρο του Schwarz, και ότι για κάθε f σε αυτό τον υπόχωρο ισχύει : (PQ QP) f = i f δηλαδή οι δύο τελεστές ικανοποιούν την λεγόμενη κανονική σχέση μετάθεσης (canonical commutation relation-cc). Ενα κλασικό πρόβλημα στην μαθηματική ϑεμελίωση της κβαντικής μηχανικής είναι ο αφηρημένος χαρακτηρισμός των P, Q, δηλαδή ποιες ιδιότητες πρέπει να έχουν δύο αυτοσυζυγείς τελεστές A, B, οι οποίοι δρουν σε ένα διαχωρίσιμο χώρο Hilbert και δεν έχουν κοινό αναλλοίωτο υπόχωρο, για να υπάρχει unitary τελεστής U : H L 2 (, m), ώστε UAU 1 = P και UBU 1 = Q. Αποδεικνύεται ότι η συνθήκη οι τελεστές A, B ικανοποιούν την CC δεν αποτελεί ένα τέτοιο χαρακτηρισμό. Πράγματι, ορίζουμε τους τελεστές : M f : L 2 [0, 1] L 2 [0, 1] : g f g, όπου f (x) = x, x [0, 1] P 1 : D(P 1 ) L 2 [0, 1] : g ig, όπου D(P 1 ) = {ψ AC[0, 1] : ψ(0) = ψ(1)} 1 AC() = { f : C : f απόλυτα συνεχής}

7 v Εύκολα βλέπουμε ότι για κάθε ψ D(P 1 M f ) D(M f P 1 ), οι τελεστές M f, P 1 ικανοποιούν την CC, όμως το φάσμα του τελεστή P 1 είναι το διακριτό σύνολο {2kπ : k Z}, το οποίο είναι άτοπο καθώς το φάσμα και των δύο τελεστών, ϑέσης και ορμής, είναι το. Από το ϑεώρημα του Stone([11]), υπάρχει μία 1-1 αντιστοιχία μεταξύ αυτοσυζυγών τελεστών και SOT-συνεχών μονοπαραμετρικών ομάδων unitary τελεστών. Μάλιστα, παρατηρούμε εάν οι ομάδες τελεστών που προκύπτουν εφαρμόζοντας Συναρτησιακό Λογισμό ([10]) στους τελεστές Q, P αντίστοιχα είναι e iλq = S λ, όπου (S λ f )(x) = e iλx f (x) και e itp = T t, όπου (T t f )(x) = f (x t), τότε έχουμε : S λ T t = e iλt T t S λ Αντίστροφα, έστω δύο SOT-συνεχείς μονοπαραμετρικές ομάδες unitary τελεστών {U λ } λ, {V t } t, οι οποίες ικανοποιούν τις σχέσεις του Weyl : U λ V t = e iλt V t U λ, λ, t. (1) Αν ονομάσουμε A, B τους απειροστούς γεννήτορες των δύο ομάδων, τότε υπάρχει ένας πυκνός υπόχωρος, αναλλοίωτος από τους A και B, στον οποίο ικανοποιούν την CC. Επομένως το πρόβλημα ανάγεται στην ταξινομηση των ζευγών SOT-συνεχών μονοπαραμετρικών ομάδων unitary τελεστών, οι οποίες ικανοποιούν τις σχέσεις του Weyl και δεν έχουν κοινό αναλλοίωτο υπόχωρο. Η απάντηση δόθηκε από τους John von Neumann και Marshall Stone το 1931 : Ολα αυτά τα ζεύγη είναι unitarily ι- σοδύναμα, δηλαδή εάν {U λ } λ, {V t } t ένα τέτοιο ζεύγος, τότε υπάρχει unitary τελεστής W : H L 2 (, m), ώστε WU λ W 1 = S λ και WV t W 1 = T t. Στην εργασία αυτή παρουσιάζεται μία απόδειξη του ϑεωρήματος Stone - von Neumann, χρησιμοποιώντας ϑεωρία φραγμένων τελεστών και αβελιανών αλγεβρών von Neumann. Η ιδέα της απόδειξης αυτής στηρίχθηκε στο βιβλίο Lectures on Invariant Subspaces του H. Helson. Στην εργασία αυτή, στοιχειώδεις γνώσεις ϑεωρίας αλγεβρών Banach και ανάλυσης Fourier ϑεωρούνται γνωστές. Θεωρώ ιδιαίτερη υποχρέωση μου να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή μου κ. Κατάβολο για την συνεχή του στήριξη και τις καίριες επεμβάσεις του. Η συμ-

8 vi βολή του κατά την διάρκεια της εκπόνησης αυτής της εργασίας υπήρξε ανεκτίμητη. Επιπλέον ευχαριστώ τους καθηγητές κ. Μιχάλη Ανούση και κ. Απόστολο Γιαννόπουλο για την συμμετοχή τους στην τριμελή επιτροπη, καθώς και τους υπόλοιπους καθηγητές μου, για τα εφόδια, μαθηματικά ή μη, που μου πρόσφεραν σε όλα αυτά τα χρόνια.

9 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή Τοπολογίες στον B(H) Φασματική Θεωρία Το Φασματικό Θέωρημα Φασματικά Μέτρα και Αναπαραστάσεις Άλγεβρες von Neumann Εισαγωγή Παραγόμενες Άλγεβρες von Neumann Το Θεώρημα του Δεύτερου Μεταθέτη Αβελιανές Άλγεβρες von Neumann Φασματική Πολλαπλότητα Εισαγωγή στην Θεωρία Πολλαπλότητας Οι σχέσεις του Weyl Το Θεώρημα του Stone Το ϑεώρημα μοναδικότητας Stone-Von Neumann vii

10 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 1.1 Τοπολογίες στον B(H) Ορισμός 1.1. Εστω H χώρος Hilbert. Για κάθε x H, η συνάρτηση p x : B(H) : T T x είναι μία ημινόρμα στον B(H). Μάλιστα, η οικογένεια ημινορμών {p x : x H} διαχωρίζει τα σημεία του B(H), οπότε ορίζει μια τοπικά κυρτή τοπολογία στο χώρο αυτό, την οποία ϑα καλούμε ισχυρή τοπολογία τελεστών (Strong Operator Topology, SOT). Η SOT-τοπολογία έχει ως βάση περιοχών ενός τελεστή T 0 B(H), την οικογένεια: V(T 0 : x 1,..., x n ; ε) = {T B(H) : (T T 0 )x j < ε, ( j = 1,..., m)}, όπου x 1,..., x n H και ε > 0. Ενα δίκτυο (T i ) i I φραγμένων τελεστών συγκλίνει στον τελεστή T B(H) ως προς την SOT-τοπολογία αν και μόνον αν T i x T x 0, x H. Εστω χώρος Hilbert H. Ορίζουμε στο χώρο των προβολών που δρουν στον H, την ακόλουθη σχέση μερικής διάταξης : P Q P(H) Q(H), για κάθε δύο προβολές P, Q B(H). Ορισμός 1.2. Δοθείσης μίας οικογένειας {N i : i I} κλειστών υποχώρων ενός χώρου Hilbert H συμβολίζουμε N i το μεγαλύτερο κλειστό υπόχωρο, ο οποίος περιέχεται σε κάθε N i, και N i τον ελάχιστο κλειστό υπόχωρο, ο οποίος περιέχει κάθε N i. Παρατηρούμε ότι N i = N i, ενώ N i είναι ο κλειστός γραμμικός υπόχωρος που i I 1

11 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ παράγεται από την i I N i. Από τα προηγούμενα προκύπτει ότι το σύνολο των προβολών {P i = pro j(n i ), i I} έχει supremum την προβολή P i = pro j( N i ), και in f imum την προβολή P i = pro j( N i ). Πρόταση 1.1. Εστω (E α ) α A ένα αύξον δίκτυο προβολών σε ένα χώρο Hilbert H και E = α A E α. Τότε έχουμε ότι E =SOT-lim α E α Απόδειξη. Αφού το δίκτυο υποχώρων (E α (H)) α είναι αύξον, το σύνολο α A E α (H) είναι γραμμικός υπόχωρος του H, οπότε E(H) = α A E α (H). Εστω x H και ε > 0. Εφόσον Ex E(H), υπάρχει y E α (H), για κάποιο α A, ώστε Ex y < ε. Για κάθε b α, παρατηρούμε ότι E α E b E, οπότε έχουμε y E α (H) E b (H) E(H). Επεται λοιπόν ότι : Ex E b x = E(Ex y) E b (Ex y) E E b Ex y < ε. Πόρισμα 1.1. Εστω (E α ) α A ένα φθίνον δίκτυο προβολών σε ένα χώρο Hilbert H και E = E α. Εφόσον E α = I E α έχουμε ότι E =SOT-lim E α α A α A α A α Πρόταση 1.2. Εστω (E α ) α A ένα δίκτυο κάθετων ανά δύο προβολών, οι οποίες δρουν σε ένα χώρο Hilbert H και E = E α. Τότε για κάθε x H έχουμε ότι Ex = α A α Απόδειξη. Εάν το Α είναι πεπερασμένο σύνολο, τότε η πρόταση είναι προφανής. Εστω ότι το Α είναι άπειρο σύνολο. Θεωρούμε την οικογένεια F = {F : F πεπερασμένο υποσύνολο του A}. Για κάθε F F ορίζουμε G F = E α = E α. Το σύνολο ({G F : F F }, ) είναι α F α F αύξον δίκτυο προβολών, και G F = E α = E. Συνεπώς από την προηγούμενη F F α F πρόταση έχουμε : Ex = G F x = E α x, το οποίο είναι το ζητούμενο. F F α Ορισμός 1.3. Εστω χώρος Hilbert H. Η ασθενής τοπολογία τελεστών (weak operator topology,wot) είναι η ασθενέστερη τοπολογία ώστε να είναι συνεχή τα γραμμικά συναρτησοειδή : ω x,y : B(H) C : T T x, y. Εάν ω x,y (T) = 0, για κάθε x, y H, τότε T = 0, οπότε η οικογένεια {ω x,y : x, y H} διαχωρίζει τα σημεία του B(H). Επεται λοιπόν ότι η WOT-τοπολογία είναι τοπικά κυρτή. E α x.

12 1.1. ΤΟΠΟΛΟΓΙΕΣ ΣΤΟΝ B(H) 3 Η οικογένεια των συνόλων της μορφής : V(T 0 : x 1,..., x n, y 1,..., y n ; ε) = {T B(H) : (T T 0 )x j, y j < ε, ( j = 1,..., n)}, όπου x 1,..., x n, y 1,..., y n H και ε > 0, αποτελεί βάση περιοχών ενός τελεστή T 0 B(H), ως προς την WOT-τοπολογία. Ως προς αυτήν την τοπολογία, ένα δίκτυο (T i ) i I συγκλίνει στον τελεστή Τ αν και μόνο αν T i x, y T x, y, x, y H. Λήμμα 1.1. Μία γραμμική μορφή ω : B(H) C είναι WOT-συνεχής αν και μόνον αν είναι SOT-συνεχής. Απόδειξη. (i) Εφόσον η SOT-τοπολογία είναι ισχυρότερη της WOT, έπεται ότι εάν η ω είναι WOT-συνεχής, τότε είναι SOT-συνεχής. (ii) Εστω ότι η ω είναι SOT-συνεχής. Επομένως υπάρχει μία SOT-βασική περιοχή του 0, έστω W = {T B(H) : n T x k 2 < ε 2 }, ώστε ω(t) < 1, για κάθε T W. Θέτοντας y k = 2 x ε k και p(t) = ( n Ty k 2) 1/2, έχουμε ότι W = {T B(H) : p(t) < 2}. Ισχυρισμός : ω(t) ( n Ty k 2) 1/2, T B(H). Αν p(t) = 0, τότε mt W, οπότε ω(mt) < 1 για κάθε m N, άρα ω(t) = 0 και συνεπώς ισχύει ο ισχυρισμός. ω( T p(t) Αν πάλι p(t) 0, τότε T p(t) ) < 1, άρα ω(t) < p(t), και ο ισχυρισμός μας αποδείχθηκε. Θεωρούμε τον υπόχωρο K = {(Ty 1, Ty 2,..., Ty n ) : T B(H)} H n. W, οπότε Παρατηρούμε ότι εάν (Ty 1, Ty 2,..., Ty n ) = 0, τότε από τον ισχυρισμό, έχουμε ω(t) = 0. Συνεπώς η απεικόνιση φ : K C : (Ty 1, Ty 2,..., Ty n ) ω(t) είναι καλά ορισμένη, προφανώς γραμμική, αλλά και συνεχής ως προς την νόρμα του H n. Συνεπώς επεκτείνεται σε φραγμένο γραμμικό συναρτησοειδές στον H n, οπότε από το ϑεώρημα αναπαράστασης του iesz ([10]), υπάρχει διάνυσμα

13 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ (u 1, u 2,..., u n ) H n, ώστε : φ(ty 1, Ty 2,..., Ty n ) = (Ty 1, Ty 2,..., Ty n ), (u 1, u 2,..., u n ) H n = n n Ty k, u k H = ω yk,u k (T) για κάθε (Ty 1, Ty 2,..., Ty n ) K, δηλαδή ω(t) = n ω yk,u k (T) για κάθε T B(H). Συνεπώς η ω είναι WOT-συνεχής ως γραμμικών συνδυασμός των WOT-συνεχών ω yk,u k, k = 1, 2,..., n. Λήμμα 1.2. Ενα κυρτό υποσύνολο S B(H) είναι SOT-κλειστό αν και μόνον αν είναι WOT-κλειστό. Απόδειξη. Εφόσον η WOT-τοπολογία είναι ασθενέστερη της SOT-τοπολογίας στον B(H), έπεται ότι S S OT S WOT. Για τον αντίστροφο εγκλεισμό, αρκεί να δείξουμε ότι T S S OT T S WOT. Εστω λοιπόν T S S OT. Τότε από το ϑεώρημα Hahn - Banach ([14]), υπάρχει SOT-συνεχής γραμμική μορφή ω, λ, ώστε eω(t) > λ και eω(s ) < λ, S S. Από το προηγούμενο λήμμα η ω είναι WOT-συνεχής, άρα έπεται ότι T S WOT Πρόταση 1.3. Η μοναδιαία μπάλα (B(H)) 1 του B(H) είναι WOT-συμπαγής. Απόδειξη. Για κάθε x, y H ορίζουμε το σύνολο D x,y = {z C : z x y }. εφοδιάσουμε το χώρο D x,y με την τοπολογία γινόμενο, η απεικόνιση x,y H ψ : (B(H)) 1 ψ[(b(h)) 1 ] D x,y : T { T x, y : x, y H} x,y H είναι ομοιομορφισμός, εφόσον είναι συνεχής και ανοιχτή. Από το ϑεώρημα του Tychonoff ο χώρος D x,y είναι συμπαγής χώρος, οπότε αρκεί να δείξουμε ότι το σύνολο x,y H ψ[(b(h)) 1 ] είναι κλειστός υπόχωρος του D x,y. x,y H Εστω b {b(x, y) : x, y H} ψ[(b(h)) 1 ]. Για κάθε x 1, x 2, y 1, y 2 H, α C και ε > 0 Αν

14 1.1. ΤΟΠΟΛΟΓΙΕΣ ΣΤΟΝ B(H) 5 υπάρχει τελεστής T (B(H)) 1, ώστε : α b(x j, y k ) α T x j, y k < ε b(x j, y k ) T x j, y k < ε b(αx 1 + x 2, y k ) T(αx 1 + x 2, y k < ε b(x j, αy 1 + y 2 ) T x j, αy 1 + y 2 < ε όπου j, k {1, 2}. Συνεπώς, έχουμε ότι για κάθε ε > 0, ισχύει ότι : b(αx 1 + x 2, y 1 ) α b(x 1, y 1 ) b(x 2, y 1 ) < 3ε b(x 1, αy 1 + y 2 ) α b(x 1, y 1 ) b(x 1, y 2 ) < 3ε Επομένως, εφόσον b(x, y) x y καθώς b(x, y) D x,y, η σχέση (x, y) b(x, y) είναι φραγμένη sesquilinear μορφή. Επεται λοιπόν ότι υπάρχει τελεστής T 0 (B(H)) 1, ώστε b(x, y) = T 0 x, y, x, y H. Οπότε δείξαμε ότι b ψ[(b(h)) 1 ], άρα το σύνολο ψ[(b(h)) 1 ] είναι κλειστός υπόχωρος του D x,y. x,y H

15 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ

16 Κεφάλαιο 2 Φασματική Θεωρία 2.1 Το Φασματικό Θέωρημα Ορισμός 2.1. Φασματική ανάλυση της μονάδας στο ονομάζεται μία οικογένεια προβολών {E t : t } σε ένα χώρο Hilbert H, η οποία πληροί τις ακόλουθες ιδιότητες : s t E s E t SOT- lim t E t = 0 SOT- lim t + E t = I η απεικόνιση t E t είναι SOT-δεξιά συνεχής, δηλαδή SOT lim t t0 E t = E t0. Φορέας της {E t διαστημάτων (a, b), όπου E a = E b. : t } καλείται το συμπλήρωμα της ένωσης όλων των ανοιχτών Πρόταση 2.1. Εστω {E t : t } μία φασματική ανάλυση της μονάδας, σε ένα χώρο Hilbert H, με φορέα το κλειστό F. n Για κάθε κλιμακωτή συνάρτηση f = λ k χ (αk,α k+1 ] F στο F, ορίζουμε τον τελεστή: f (t)de t oρ = n λ k (E αk+1 E αk ) συµβ = 7 n λ k E((α k, α k+1 ]) (2.1)

17 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΦΑΣΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Συμβολίζοντας St(F) την άλγεβρα των κλιμακωτών συναρτήσεων επί του F, ορίζουμε την συνάρτηση: ϕ : (St(F), ) (B(H), ) : f f de (2.2) Η ϕ είναι -μορφισμός -αλγεβρών και ισομετρία χώρων με νόρμα. Συνεπώς υπάρχει μοναδική συνεχής επέκταση στην πλήρωση του χώρου St(F) ως προς την supremum νόρμα, η οποία είναι ισομετρική. Απόδειξη. (i) Η ϕ είναι -μορφισμός. (ii) Εστω f, g (St(F)), µ C. Παίρνοντας την ένωση των διαμερίσεων μπορούμε n n να υποθέσουμε δίχως βλάβη, ότι f = λ k χ (αk,α k+1 ] F, g = µ k χ (αk,α k+1 ] F (α) ϕ( f + g) = ( f + g)de = n λ k E((α k, α k+1 ]) + (β) ϕ( f g) = ( f g)de = = n λ k E((α k, α k+1 ]) n (λ k + µ k )E((α k, α k+1 ]) = n µ k E((α k, α k+1 ]) = n λ k µ k E((α k, α k+1 ]) = n µ i E((α i, α i+1 ]) = f de + f de gde = ϕ( f ) + ϕ(g) gde = ϕ( f )ϕ(g) καθώς, αν (a, b] (c, d] =, τότε E((a, b])e((c, d]) = 0. (γ) ϕ(µ f ) = n n µ f de = µλ k E((α k, α k+1 ]) = µ λ k E((α k, α k+1 ]) = = µ f de = µϕ( f ) (δ) ϕ( f ) = n n f de = λ k E((α k, α k+1 ]) = [λ k E((α k, α k+1 ])] = n [ ] = λ k E((α k, α k+1 ]) = f de = [ϕ( f )] Η ϕ είναι ισομετρία. Για κάθε h H, έχουμε: n ϕ( f )h 2 = 2 λ k E(α k, α k+1 ])h 2 2 Π.Θ. 1 = n λ k 2 E((α k, α k+1 ])h 2 2

18 2.1. ΤΟ ΦΑΣΜΑΤΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ 9 f 2 n E((α k, α k+1 ])h ) 2 2 Άρα ϕ( f ) f. n = f 2 E(α k, α k+1 ])h Π.Θ Εστω τώρα λ k0 = max { λ k : k = 1, 2,..., n} = f. 2 2 f 2 h 2 2. Αφού ο φορέας της E( ) είναι το F, υπάρχει x ran(e((α k0, β k0 ])), οπότε έχουμε n 2 ϕ( f )x 2 = 2 λ k E(α k, α k+1 ])x = λ k0 2 2 x 2 2, δηλαδή ϕ( f ) λ k 0 = f. 2 Συνεπώς, δείξαμε ότι ϕ( f ) = f. Επομένως η ϕ δέχεται συνεχή επέκταση Φ 0 στην -κλειστή ϑήκη των κλιμακωτών συναρτήσεων στο F, η οποία περιέχει την άλγεβρα C(F) C 0 (F) = { } f : F C : lim f (x) = 0 x αν F συμπαγές, αλλιώς Ορισμός 2.2. Μία αναπαράσταση μιας -άλγεβρας A σε ένα χώρο Hilbert H είναι ένας -μορφισμός φ : A B(H). Λήμμα 2.1. Εστω F κλειστό υποσύνολο του. Κάθε αναπαράσταση π της C 0 (F) είναι συστολή. Απόδειξη. Παρατηρούμε αρχικά ότι η π διατηρεί τη διάταξη. Αν f C 0 (F) ώστε f 0, τότε η συνάρτηση g = f ανήκει στην C 0 (F), και μάλιστα f = gg. Επομένως, έχουμε ότι : Φ 0 ( f ) = Φ 0 (gg ) = Φ 0 (g) [ Φ 0 (g) ] = Φ 0 (g) 2 0. Εστω τώρα f C 0 (F) με f 1. Η συνάρτηση 1 f f = 1 f 2 είναι μη αρνητική, οπότε π(1 f 2 ) 0, άρα (I π( f f ))x, x 0, x H. Συνεπως π( f )x 2 = π( f )x, π( f )x = π( f f )x, x x 2, δηλαδή δείξαμε ότι π( f ) 1. Εστω F κλειστό { υποσύνολο του. Ορίζουμε τους χώρους συναρτήσεων: κσ } W + (F) = f : F + f φραγμένη, f n C 0 (F) : f n f και W(F) τον γραμμικό χώρο που παράγεται από την W + (F ). 1 Πυθαγόρειο Θεώρημα

19 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΦΑΣΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Μάλιστα, παρατηρούμε ότι ο χώρος W(F) είναι άλγεβρα, καθώς είναι κλειστός ως προς τον πολλαπλασιασμό δακτυλίου. Αρκεί να δείξουμε ότι εάν f, g W + (F), τότε f g W + (F). Αρχικά, παρατηρούμε ότι η απεικόνιση f g είναι φραγμένη. Από τον κσ κσ ορισμό του W + (F), υπάρχουν f n, g n C 0 (F), n N, ώστε f n f και gn g. Είναι κσ προφανές ότι f n g n C 0 (F), n N και f n g n f g, οπότε έπεται ότι f g W+ (F). Πρόταση 2.2. Κάθε ισομετρική -αναπαράσταση Φ 0 : C 0 (F) B(H) επεκτείνεται μοναδικά σε -μορφισμό Φ : W(F) B(H) που ικανοποιεί την ακόλουθη ιδιότητα : κσ f n, f W + (F), n N, f n f Φ( f ) = SOT- limn Φ( f n ) (2.3) Επιπλέον, τότε η Φ είναι συστολή και διατηρεί τη διάταξη. Απόδειξη. (1) Επέκταση της Φ 0 στην W + (F) κσ Εστω f W + (F) και f n C 0 (F), ώστε f n f. Επεται ότι : f n f Φ 0 ( f n ) = f n f δηλαδή ότι η ακολουθία τελεστών {Φ 0 ( f n )} είναι ομοιόμορφα φραγμένη. Από το ϑεώρημα Banach - Steinhaus ([14]) υπάρχει ο τελεστής SOT-lim Φ 0 ( f n ) και είναι n φραγμένος. Ορίζουμε Φ + ( f ) = SOT- lim Φ 0 ( f n ), f W + (F) n Ισχυρισμός: Η Φ + είναι καλά ορισμένη απεικόνιση κσ Εστω g m C 0 (F), m N, ώστε g m f. Ορίζουμε n N τη συνάρτηση : f n g m : F + : x min{ f n (x), g m (x)}. m Παρατηρούμε ότι f n g m fn f = f n ομοιόμορφα στο F. Πράγματι, για τυχαίο ε > 0 και n N, K F συμπαγές ώστε f n (x) ε, x K. Εφόσον 0 ( f n g m )(x) κσ f n (x) ε, x K, m N, ισχύει ότι ( f n g m )(x) f n (x) < ε, x K, m N κσ Στο συμπαγές Κ ισχύει ότι f n g m fn, οπότε από το Θεώρημα Dini έχουμε ότι lim f n g m = f n στο Κ. m Συνεπώς, n N έχουμε ότι lim f n g m = f n ομοιόμορφα στο F, m άρα lim Φ 0 ( f n g m ) = Φ 0 ( f n ). m Οπότε, αφού όπως πριν, ορίζεται από το Banach - Steinhaus ο φραγμένος

20 2.1. ΤΟ ΦΑΣΜΑΤΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ 11 τελεστής SOT-lim Φ 0 ( f n g m ), n N έχουμε : m SOT-lim Φ 0 (g m ) SOT- lim Φ 0 ( f n g m ) = Φ 0 ( f n ) m m SOT- lim Φ 0 (g m ) SOT- lim Φ 0 ( f n ) m n Εναλλάσσοντας τις ϑέσεις των f n, g m στον προηγούμενο συλλογισμό έχουμε και την αντίστροφη ανισότητα, οπότε δείξαμε ότι SOT-lim Φ 0 (g m ) =SOT-lim Φ 0 ( f n ) m n και ο ισχυρισμός αποδείχθηκε. κσ κσ Εστω f, g W + (F), δηλαδή f n, g n C 0 (F) ώστε f n f, gn g. κσ Επεται λοιπόν ότι f n + g n f + g, και μάλιστα ισχύει ότι : Φ + ( f +g) = SOT- lim Φ 0 ( f n +g n ) = SOT- lim Φ 0 ( f n )+SOT- lim Φ 0 (g n ) = Φ + ( f )+Φ + (g), n n n δηλαδή Φ + ( f + g) = Φ + ( f ) + Φ + (g). Ομοια, έχουμε ότι Φ + (cg) = cφ + (g), για κάθε c 0. Εξάλλου, επειδή ο πολλαπλασιασμός είναι ακολουθιακά 2 SOT-συνεχής έχουμε : Φ + ( f )Φ + (g) = SOT- lim Φ 0 ( f n )SOT- lim Φ 0 (g n ) = SOT- lim[φ 0 ( f n )Φ 0 (g n )] = n n n = SOT- lim Φ 0 ( f n g n ) = Φ + ( f g), οπότε Φ + ( f g) = Φ + ( f )Φ + (g). n (2) Επέκταση της Φ στην W(F) Εστω f : F συνάρτηση στην W(F). Τότε υπάρχουν f 1, f 2 W + (F), ώστε f = f 1 f 2. Ορίζουμε Φ( f ) = Φ + ( f 1 ) Φ + ( f 2 ) Στην γενική περίπτωση, όταν f W(F), αναλύουμε ως εξής : f = e f + iim f, όπου e f, Im f : F και προφανώς e f, Im f W + (F). Ορίζουμε Φ( f ) = Φ(e f ) + iφ(im f ) (i) Η Φ είναι καλά ορισμένη. Εστω f 1, f 2, g 1, g 2 W + (F), ώστε f 1 f 2 = g 1 g 2. Τότε f 1 f 2 = g 1 g 2 f 1 + g 2 = g 1 + f 2 Φ + ( f 1 + g 2 ) = Φ + (g 1 + f 2 ) Φ + ( f 1 ) + Φ + (g 2 ) = Φ + (g 1 ) + Φ + ( f 2 ) Φ + ( f 1 ) Φ + ( f 2 ) = Φ + (g 1 ) Φ + (g 2 ) Φ( f 1 f 2 ) = Φ(g 1 g 2 ). (ii) Η Φ είναι -μορφισμός αλγεβρών. Προφανές. 2 Κάθε SOT-συγκλίνουσα ακολουθία είναι κατά σημείο φραγμένη, οπότε από την αρχή ομοιόμορφου SOT φράγματος είναι ομοιόμορφα φραγμένη. Οπότε για κάθε A n, B n 0, έχουμε ότι A n < M, για κάποιο M > 0. Συνεπώς για κάθε x H έχουμε A n B n x A n B n x M B n x 0.

21 12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΦΑΣΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ (iii) Η Φ διατηρεί τη διάταξη. Αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε f 0 ισχύει ότι Φ( f ) 0. Εστω f 0, οπότε επειδή f W + (F) υπάρχουν f n C 0 (F) ώστε 0 f n κσ f. Συνεπώς, 0 Φ 0 ( f n ) SOT Φ( f ). (iv) Η Φ είναι συστολή Παρατηρούμε ότι f W(F), έχουμε 0 f f f 2 1, όπου 1 : F : x 1. Επεται λοιπόν από το (iii): 0 Φ( f ) 2 = Φ( f ) Φ( f ) Φ( f f ) f 2 Φ(1) = f 2 I = f 2 (v) Αν f n, f W + (F) και f n κσ f, τότε Φ( f ) = SOT- limn Φ( f n ). Για κάθε n N υπάρχει ακολουθία ( f n,m ) στην C0 (F) ώστε : f n,m κσ fn Φ( f n ) = SOT- lim m Φ( f n,m ) Θέτουμε g n = max { f 1,n, f 2,n,..., f n,n } C0 (F) Ισχυρισμός : g n f n και g n κσ f, n N, Για κάθε n N έχουμε f n,m κσ fn f n,m f n, m N, ενώ επειδή f n κσ f έπεται ότι f i f n f, i n. Συνδυάζοντας τις δύο σχέσεις παίρνουμε : f i,m f i f n, i n, m N. { } Επομένως max fi,n = gn f n. 1 i n Εξάλλου g n g n+1, οπότε αρκεί να δείξουμε x F, ότι sup {g n (x)} = f (x). Σταθεροποιούμε το x. κσ Εφόσον f n f, υπάρχει n1 N ώστε f n1 (x) f (x) < ε, 2 κσ ενώ αφού f n1,m f n1, υπάρχει m 1 N ώστε f n1,m 1 (x) f n 1 (x) < ε, 2 συνεπώς f n1,m 1 (x) f (x) f n1,m 1 (x) f n 1 (x) + f n1 (x) f (x) < ε 2 + ε 2 = ε Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις : { } Αν n 1 m 1, τότε g m1 = max fi,m1 fn1,m 1, άρα f (x) ε g m1 (x) f (x) 1 i m 1 { } Αν m 1 < n 1, τότε g n1 = max fi,n1 fn1,n 1 f n1,m 1, άρα 1 i n 1 f (x) ε g n1 (x) f (x) Άρα ϑέτοντας n 0 = max{n 1, m 1 }, έπεται ότι g n0 (x) ( f (x) ε, f (x)]. Αφού η g n είναι αύξουσα έχουμε ότι g n (x) ( f (x) ε, f (x)], n n 0. Επεται ότι g n κσ f, άρα Φ( f ) = SOT- limn Φ 0 (g n ). n

22 2.1. ΤΟ ΦΑΣΜΑΤΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ 13 Εχουμε όμως δείξει ότι Φ 0 (g n ) Φ( f n ) Φ( f ), n N. Συνεπώς, από το κριτήριο ισοσυγκλινουσών ακολουθιών έχουμε το ζητούμενο, δηλαδή Φ( f ) = SOT- lim n Φ( f n ). (vi) Η μοναδικότητα της επέκτασης Φ είναι προφανής. Πόρισμα 2.1. Από τις προτάσεις 2.1 και 2.2 προκύπτει ότι δοθείσας μίας φασματικής ανάλυσης της μονάδας {E t : t } με φορέα F, ορίζεται ισομετρικός -μορφισμός ϕ : (St(F)), ) (B(H), ) : f f de = n λ k E((α k, α k+1 ]) που επάγει την ισομετρική -αναπαράσταση Φ 0 : C 0 (F) B(H) : f f de η οποία επεκτείνεται σε μοναδικό -μορφισμό ώστε να ικανοποιείται η σχέση (2.3). Φ : W(F) B(H) Ορίζουμε λοιπόν για κάθε f W(F) τον τελεστή f de = Φ( f ). Πρόταση 2.3. Εστω F κλειστό υποσύνολο του. Κάθε -αναπαράσταση π της C 0 (F) σε έναν χώρο Hilbert H ορίζει μοναδική φασματική ανάλυση της μονάδας {E t : t }, με φορέα το σύνολο F, ώστε f de = π( f ), f C 0 (F) (2.4) Απόδειξη. Από το προηγούμενο πόρισμα, η -αναπαράσταση π επεκτείνεται σε μοναδικό -μορφισμό π : W(F) B(H), ώστε να ικανοποιείται η σχέση (2.3). Θεωρούμε τη συνάρτηση e = χ F και παρατηρούμε ότι e = χ F = 1 W(F) π(e) = I. Για κάθε t ϑέτουμε e t = χ (,t] F W(F). Οι τελεστές π(e t ) συµβ = E t έχουν τις παρακάτω ιδιότητες : 1. E 2 t = [ π(e t )] 2 = π(e 2 t ) = π(e t ) = E t 2. E t = [ π(e t )] = π(e t ) = π(e t ) = E t 3. αν t s, τότε e t e s 0 π(e t e s ) 0 π(e t ) π(e s ) E t E s 4. εάν t s, τότε e e t κσ e es π(e e t ) SOT π(e e s ) I E t SOT I E s E t SOT E s

23 14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΦΑΣΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ 5. εάν t +, τότε e t κσ e π(et ) SOT π(e) E t SOT I 6. εάν t, τότε e t κσ 0 π(et ) SOT π(0) E t SOT 0 Από τις ιδιότητες (1) - (6) προκύπτει ότι η οικογένεια {E t : t } είναι φασματική ανάλυση της μονάδας στο χώρο Hilbert H. Μάλιστα, εάν ξ, η όπου η < ξ, παρατηρούμε ότι: E ξ E η = 0 (η, ξ) F = άρα ο φορέας της {E t : t } είναι το σύνολο F. Επομένως, από το Πόρισμα 2.1 ορίζεται μοναδικός -μορφισμός ο οποίος ικανοποιεί τη σχέση (2.3). Ισχυρισμός : Φ : W(F) B(H) : f F f (t)de π( f ) = Φ( f ), f W(F) Αρκεί να δείξουμε την ισότητα για f = e e λ. Γνωρίζουμε ότι π( f ) = I E λ. Θεωρούμε την ακολουθία συνόλων (B n ), όπου B n = (λ, λ + n] F, και έχουμε : Φ(χ Bn ) = χ (λ,λ+n] F de = E((λ, λ + n]) = E λ+n E λ SOT I E λ Εξάλλου, παρατηρούμε πως χ Bn κσ f, οπότε έχουμε ότι Φ(χBn ) SOT Φ( f ). Επεται λοιπόν ότι π( f ) = I E λ = Φ( f ) και η απόδειξη ολοκληρώθηκε. Παρατήρηση 2.1. Παρατηρούμε ότι για κάθε x H, η συνάρτηση F x : E t x, x. είναι φραγμένη, αύξουσα, δεξιά συνεχής με lim F x(t) = 0. Ορίζεται λοιπόν το μέτρο t Lebesgue - Stieltjes ν x : ν x ((, t]) = F x (t). Μάλιστα για κάθε f W(F), ισχύει ότι f dex, x = f dν x. Αρχικά να αποδείξουμε την τελευταία σχέση για κάθε κλιμακωτή συνάρτηση f = n λ k χ (αk,α k+1 ] F στο F. Εχουμε λοιπόν ότι :

24 2.1. ΤΟ ΦΑΣΜΑΤΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ 15 f dν x = n λ k χ (αk,α k+1 ]dν x = n λ k {ν(, α k+1 ] ν(, α k ]} = n n λ k ν((α k, α k+1 ]) = n λ k [ E αk+1 x, x E αk x, x ] = λ k E((α k, α k+1 ])x, x = f dex, x Στην γενική περίπτωση, αρκεί να το δείξουμε για f W + (F). Υπάρχει ακολουθία κσ κλιμακωτών συναρτήσεων f n, ώστε να ισχύει f n f. Από την πρόταση 2.2 έχουμε Φ( f n ) SOT Φ( f ) = f de. Συνεπώς, για κάθε x H, ισχύει ότι Φ( f n)x, x Φ( f )x, x. Ομως δείξαμε ότι Φ( f n )x, x = f ndν x, οπότε από το ϑεώρημα μονότονης σύγκλισης, έχουμε τη σχέση Φ( f n )x, x f dν x και έπεται το ζητούμενο. Πόρισμα 2.2 (Φασματικό Θεώρημα). Εστω αυτοσυζυγής τελεστής A Β(H). Υπάρχει μοναδική φασματική ανάλυση της μονάδας {E t : t } με φορέα σ(α), ώστε: f (A) = f (t)de t, f C(σ(A)) (2.5) Επομένως, έχουμε A = σ(a) tde t. σ(a) Απόδειξη. Εστω A Β(H) αυτοσυζυγής τελεστής. Γνωρίζουμε ότι το φάσμα σ(α) είναι κλειστό και φραγμένο υποσύνολο του. απεικόνισης, ο Συναρτησιακός Λογισμός για πολυώνυμα ψ : P(σ(A)) Β(H) : p p(a) Από το ϑεώρημα φασματικής είναι ισομετρικός -μορφισμός, επόμενως επεκτείνεται ισομετρικά στην -άλγεβρα των συνεχών συναρτήσεων στο σ(a), δηλαδή ορίζεται η -αναπαράσταση: Ψ 0 : C(σ(A)) Β(H) : f f (A) Συνεπώς από την προηγούμενη πρόταση υπάρχει μοναδική φασματική ανάλυση της μονάδας με φορέα το σύνολο σ(a), ώστε f (A) = f de, f C(σ(A)) (2.6)

25 16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΦΑΣΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ 2.2 Φασματικά Μέτρα και Αναπαραστάσεις Ορισμός 2.3. Μια οικογένεια {E(Ω) : Ω B()} τελεστών σε ένα χώρο Hilbert H, καλείται φασματικό μέτρο, αν ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες : 1. E(Ω) = E(Ω) 2. E(Ω 1 Ω 2 ) = E(Ω 1 )E(Ω 2 ) 3. E( ) = 0 και E() = I 4. x, y H, η απεικόνιση µ x,y : Ω E(Ω)x, y είναι μιγαδικό μέτρο ορισμένο στην B() Παρατήρηση 2.2. (i) Από τις (1), (2) έπεται ότι κάθε E(Ω) είναι προβολή στον H. Εξάλλου αφού η απεικόνιση (x, y) µ xy (Ω) είναι sesquilinear, από την ταυτότητα 3 πολικότητας 4µ xy (Ω) = i k µ x+i k y,x+i k y(ω), η ιδιότητα (4) μπορεί να αντικατασταθεί από την : k=0 4. x H, η απεικόνιση µ x συµβ = µ x,x : Ω E(Ω)x, x είναι ϑετικό μέτρο ορισμένο στην B(). Μάλιστα, επειδή τα μέτρα µ x είναι πεπερασμένα Borel μέτρα στο χώρο (, ), είναι κανονικά. (ii) Το φασματικό μέτρο είναι πεπερασμένα προσθετικό, αλλά δεν είναι αριθμήσιμα προσθετικό ως προς την. Εστω x H. Αν Ω 1, Ω 2 B() ξένα σύνολα, έχουμε: {E(Ω 1 ) + E(Ω 2 )} x, x = E(Ω 1 )x, x + E(Ω 2 )x, x = µ x (Ω 1 ) + µ x (Ω 1 ) = = µ x ((Ω 1 Ω 2 )) = E(Ω 1 Ω 2 )x, x, δηλαδή E(Ω 1 ) + E(Ω 2 ) = E(Ω 1 Ω 2 ) Εάν όμως {Ω n : n N} ακολουθία ξένων ανά δύο υποσυνόλων στο B(), με E(Ω n ) 0, τότε n N n+1 έχουμε E(Ω k ) n E(Ω k ) = E(Ωn+1 ) = 1, οπότε από το κριτήριο Cauchy, η σειρά E(Ω n ) δεν συγκλίνει. n (iii) Η σειρά E(Ω n ) συγκλίνει ως προς την SOT-τοπολογία. n k k

26 2.2. ΦΑΣΜΑΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΚΑΙ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 17 Εστω Ω = Ω n. Θεωρούμε τα σύνολα V n = {Ω κ : κ n}. n=1 Από το (ii) έχουμε ότι E(Ω) = E(V n ) + E(Ω \ V n ) = n E(Ω k ) + E(Ω \ V n ). Αρκεί να δείξουμε ότι lim n + E(Ω \ V n)x = 0. Παρατηρούμε λοιπόν ότι: E(Ω \ V n )x 2 = E(Ω \ V n )x, E(Ω \ V n )x = E(Ω \ V n )x, x = µ x (Ω \ V n ) 0, καθώς το µ x είναι σ-προσθετικό μέτρο. Πρόταση 2.4. Κάθε φασματική ανάλυση της μονάδας σε ένα χώρο Hilbert H ορίζει μοναδικό φασματικό μέτρο στον ίδιο χώρο ώστε E((, t]) = E t, t, και αντίστροφα. Απόδειξη. Εστω {E t : t } φασματική ανάλυση της μονάδας { στον H. } Ορίζουμε για κάθε 3 Ω P(), τον τελεστή E(Ω) = E((a n, b n ]) : (a n, b n ] Ω Ισχυρισμός: Η οικογένεια {E(Ω) : Ω B()} είναι φασματικό μέτρο στον H. 1. Από τον ορισμό 1.2 η E(Ω) είναι προβολή οπότε έχουμε ότι E(Ω) = E(Ω) 2. Εάν t n t, παρατηρούμε ότι 0 E( ) E(t, t n ] SOT 0, οπότε E( ) = 0. Ομοια έχουμε ότι I E() E((, n]), n N, όπου E((, n]) = E n S OT I, καθώς n +. Συνεπώς E() = I. 3. Για κάθε x H, ορίζουμε την απεικόνιση Θα δείξουμε ότι η απεικόνιση µ x Αρχικά, βλέπουμε ότι µ x( ) = E( )x, x = 0 n µ x : P() + : Ω E(Ω)x, x (2.7) είναι εξωτερικό μέτρο. Εξάλλου, Ω 1 Ω 2 E(Ω 1 ) E(Ω 2 ) E(Ω 1 )x, x E(Ω 2 )x, x µ x(ω 1 ) µ x(ω 2 ) Εστω τώρα {Ω n : n N} ακολουθία ξένων ανά δύο Borel υποσυνόλων του. Από το πόρισμα 1.1 υπάρχει για κάθε n N ακολουθία { (a n,i, b n,i ] : i N }, η οποία καλύπτει το Ω n και ισχύει ( i E(a n,i, b n,i ] ) x E(Ω n )x ε 2 n. Η οικογένεια διαστημάτων { (a n,i, b n,i ] : n N, i N } είναι αριθμήσιμη, ενώ Ω n (a n,i, b ( n,i ]. Συνεπώς, έχουμε n,i E(a n,i, b n,i ] ) x E(Ω n )x ε. n=1 n,i n=1 3 Με P() συμβολίζουμε το δυναμοσύνολο του, δηλαδή το σύνολο των υποσυνόλων του n=1

27 18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΦΑΣΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Εφόσον, το σύνολο { (a n,i, b n,i ] : n N, i N } είναι αριθμήσιμο, μπορεί να γραφτεί ως ακολουθία ξένων ανά δύο ημιάνοικτων διαστημάτων J m. Μάλιστα ορίζοντας την ακολουθία διαστημάτων J m \ m 1 έχουμε μία ακολουθία ξένων συνόλων, J k όπου κάθε ένα από αυτά αποτελεί πεπερασμένη ένωση ημιάνοικτων διαστημάτων. Επομένως, υπάρχει ακολουθία ξένων ανά δύο ημιάνοικτων διαστημάτων του, έστω {I n } n, ώστε Ω n I n και μάλιστα n=1 n,i E(a n,i, b n,i ]x Επομένως x H έχουμε ότι: n=1 n=1 E(Ω n )x = E(I n )x E(Ω n )x ε. n=1 n=1 E( Ω n )x, x I n x, x E(Ω n )x, x + ε µ x( Ω n ) µ x(ω n ). n=1 n=1 Οπότε πράγματι η απεικόνιση µ x n=1 n=1 n=1 είναι εξωτερικό μέτρο. Συνεπώς από το ϑεώρημα Καραθεοδωρή, ο περιορισμός του µ x στη σ-άλγεβρα των Borel υποσυνόλων του είναι πλήρες μέτρο, το οποίο ϑα συμβολίζουμε µ x. 4. Θα δείξουμε ότι E(Ω 1 )E(Ω 2 ) = E(Ω 1 Ω2 ), Ω 1, Ω 2 B(). Αρχικά παρατηρούμε ότι E((a, b])e((c, d]) = E((a, b] (c, d]). Χωρίς βλάβη υποθέτουμε ότι a c και έχουμε : E((a, b])e((c, d]) = (E b E a )(E d E c ) = E b E d E b E c E a E d + E a E c = =E min{b,d} E min{b,c} E a + E a = E min{b,d} E min{b,c} = E((a, b] (c, d]) Ισχυριζόμαστε ότι το σύνολο είναι κλάση Dynkin. D = {D B() : E(D)E((a, b]) = E(D (a, b]), a, b } D, γιατί E()E((a, b]) = E(Ω) = E( (a, b]) Αν A, B D, A B, τότε B \ A D. Πράγματι, E(B \ A)E((a, b]) = E(B)E((a, b]) E(A)E((a, b]) = = E(B (a, b]) E(A (a, b]) = E((B \ A) (a, b]) Αν {B n } αύξουσα ακολουθία στην D, τότε το B = Πράγματι, για κάθε x H, παρατηρούμε : n=1 B n D.

28 2.2. ΦΑΣΜΑΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΚΑΙ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 19 E(B n )x, x = µ x (χ Bn ) µ x (χ B ) = E(B)x, x E(B n ) = E(B). Επεται λοιπόν ότι : E(B)E((a, b])x = lim n + E(B n)e((a, b])x = lim n + E(B n (a, b])x = E(B (a, b])x, Οπότε E(B)E((a, b]) = E(B (a, b]) Οπότε πράγματι η D είναι κλάση Dynkin κι επειδή περιέχει το σύνολο των ημιάνοικτων διαστημάτων Q = {(a, b], a, b }, περιέχει και την παραγόμενη κλάση Dynkin δ(q). Ομως, εφόσον το σύνολο Q είναι κλειστό προς τις πεπερασμένες τομές, έπεται ότι η δ(q) είναι ίση με τη σ-άλγεβρα που παράγει το σύνολο Q, δηλαδή την B(). Με όμοιο τρόπο ορίζουμε D = {Ω B() : E(D)E(Ω) = E(D Ω), D B()} και δείχνουμε ότι είναι κλάση Dynkin, η οποία περιέχει την B(). Επομένως, δείξαμε E(Ω 1 )E(Ω 2 ) = E(Ω 1 Ω2 ), Ω 1, Ω 2 B(), οπότε ο ισχυρισμός αποδείχθηκε. 5. Εστω E 1 ( ), E 2 ( ) δύο φασματικά μέτρα στον H, ώστε E t = E 1 ((, t]) = E 2 ((, t]), t. Παρατηρούμε ότι για κάθε x H, τα αντίστοιχα επαγόμενα μέτρα µ 1 x, µ 2 x είναι ίσα, καθώς προκύπτουν ως μέτρα Lebesgue - Stieltjes της συνάρτησης κατανομής F x : : t E t x, x. Συνεπώς για κάθε Borel Ω, ισχύει ότι µ 1 x(ω) = µ 2 x(ω) ή ισοδύναμα ότι E 1 (Ω)x, x = E 2 (Ω)x, x, x H. Επεται λοιπόν ότι E 1 (Ω) = E 2 (Ω), Ω B(). Επομένως, τα δύο φασματικά μέτρα E 1 ( ), E 2 ( ) είναι ίσα. Αντίστροφα έστω {E(Ω) : Ω B()} ένα φασματικό μέτρο. προβολή E t = E((, t]). Ορίζουμε t την Ισχυρισμός Η οικογένεια {E t : t } είναι φασματική ανάλυση της μονάδας στον H. Αν s t, τότε E s = E t + E((t, s]) E t. Σταθεροποιούμε τυχαίο x H. Εστω t και {t n } φθίνουσα ακολουθία στο με lim n + t n = t. Εχουμε ότι E tn x E t x 2 = (E tn E t )x, x = µ x ((t, t n ]) 0,

29 20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΦΑΣΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ καθώς η απεικόνιση t µ x ((, t]) είναι δεξιά συνεχής. Επομένως η απεικόνιση t E t είναι SOT-δεξιά συνεχής. Ομοια έχουμε ότι SOT- lim t E t = 0 και SOT- lim t + E t = I Παρατήρηση 2.3. Εστω {E t } t μία φασματική ανάλυση της μονάδας με φορέα F και χ Ω W(F). Από την πρόταση 2.2, παρατηρούμε ότι Φ(χ{ Ω ) = Φ(χ Ω ) 2 = Φ(χ Ω ), δηλαδή } ο τελεστής Φ(χ Ω ) είναι προβολή. Μάλιστα αν E(Ω) = E((a n, b n ]) : (a n, b n ] Ω ο τελεστής που προκύπτει από την προηγούμενη πρόταση για το Borel Ω, τότε έχουμε Φ(χ Ω ) = E(Ω). Πράγματι, για κάθε x H, έχουμε ορίσει τα ακόλουθα δύο μέτρα : Το μέτρο µ x (B) = E(B)x, x, καθώς και το μέτρο ν 2 x, το οποίο προκύπτει από την συνάρτηση κατανομής t E t x, x. Τα δύο μέτρα είναι προφανώς ίσα, οπότε από την παρατήρηση 2.1 έχουμε ότι : E(Ω)x, x = µ x (Ω) = ν x (Ω) = χ Ω dν x = για κάθε x H. Συνεπώς, έπεται το ζητούμενο. n n=1 χ Ω dex, x = Φ(χ Ω )x, x

30 Κεφάλαιο 3 Άλγεβρες von Neumann 3.1 Εισαγωγή Ορισμός 3.1. Εστω χώρος Hilbert H και S B(H). Καλούμε μεταθέτη του S το σύνολο: S = {T B(H) : TS = S T, S S} (3.1) Το σύνολο S είναι άλγεβρα με μονάδα και μάλιστα SOT-κλειστή. Πράγματι, αν (A i ) i I δίκτυο με A i S, ώστε lim A i x Ax = 0, x H, τότε για κάθε S S έχουμε: i S (Ax) = S (lim A i x) = lim S A i x = lim A i (S x) = A(S x). i i i Επεται λοιπόν ότι το S είναι και norm-κλειστή άλγεβρα. Ορισμός 3.2. Εστω χώρος Hilbert H. Μια άλγεβρα von Neumann M στον H είναι ένα αυτοσυζυγές υποσύνολο του B(H), το οποίο ικανοποιεί τη σχέση M = M. Μία άλγεβρα von Neumann είναι C -άλγεβρα με μονάδα, η οποία είναι SOT-κλειστή. Για κάθε S B(H), η (S S ) είναι η μικρότερη άλγεβρα von Neumann, η οποία περιέχει το S, και καλείται η παραγόμενη άλγεβρα von Neumann από το S. Ορισμός 3.3. Εστω A B(H). Ενας υπόχωρος E H καλείται Α-αναλλοίωτος εάν A(E) E. Εφόσον ο Α είναι φραγμένος τελεστής, έπεται πως ο E είναι επίσης Α-αναλλοίωτος. Αποδεικνύεται εύκολα για ένα κλειστό υπόχωρο Ε, ότι είναι Α-αναλλοίωτος, αν και μόνον αν AP = PAP όπου P = pro j(e). Επιπλέον ϑα λέμε 21

31 22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΑΛΓΕΒΡΕΣ VON NEUMANN ότι ο Ε ανάγει τον Α, εάν είναι Α-αναλλοίωτος και A -αναλλοίωτος. Επεται ότι ο Ε ανάγει τον Α, αν και μόνον αν AP = PA, δηλαδή P {A}. Αν S B(H), ο Ε καλείται S-αναλλοίωτος εάν S (E) E, S S. Μάλιστα, εάν το S είναι αυτοσυζυγές σύνολο και ο Ε είναι S-αναλλοίωτος, τότε ο Ε ανάγει το S, δηλαδή ανάγει κάθε S S. 3.2 Παραγόμενες Άλγεβρες von Neumann Πρόταση 3.1. Εστω A μία άλγεβρα von Neumann η οποία δρα σε ένα χώρο Hilbert H, E A προβολή και K = E(H). Τότε οι άλγεβρες A E = {EA K : A A} και A K = {A K : A A } είναι άλγεβρες von Neumann, οι οποίες δρουν στον K. Απόδειξη. Παρατηρούμε ότι οι A E, A K είναι -υπάλγεβρες του B(K) με μονάδα, και μάλιστα για κάθε A A, A A, x K έχουμε: (EAE)(EA E)x EA =A E = EAA Ex = EA AEx = (EA E)(EAE)x EA K A K = A K EA K. οπότε A E (A K ) και A K (A E ). Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι υπάρχει ισότητα στις δύο παραπάνω σχέσεις. (i) Εστω T (A K ). Ορίζουμε S = [ ] T B(H). Τότε S A, καθώς για κάθε X A, έχουμε: T 0 X K 0 ES X = X = T X K 0 K 0 0 = X K T = X K 0 T 0 0 X K 0 0 = XS Αφού A = A, έχουμε ότι S A, οπότε T = ES K A E (ii) Θέλουμε να δείξουμε ότι (A E ) A K. Αφού η (A E ) είναι άλγεβρα von Neumann, παράγεται από unitary 1 τελεστές. 1 Κάθε τελεστής Α γράφεται ως A = A 1 + ia 2, όπου A 1 = A+A 2, A 2 = i A A 2 αυτοσυζυγείς. Εστω τώρα Α αυτοσυζυγής με A 1. Τότε ο τελεστής I A 2 είναι ϑετικός, οπότε μπορούμε να ορίσουμε τον τελεστή U = A + i 1 A 2. Παρατηρούμε ότι ο U είναι unitary, και ότι A = U+U 2. Μάλιστα, εφόσον η άλγεβρα von Neumann {A} είναι norm-κλειστή, τότε από τον Συναρτησιακό Λογισμό έπεται ότι ο τελεστής U ανήκει σε αυτήν.

32 3.2. ΠΑΡΑΓΟΜΕΝΕΣ ΑΛΓΕΒΡΕΣ VON NEUMANN 23 Επομένως αρκεί να δείξουμε ότι για τον τυχαίο unitary τελεστή T (A E ), ισχύει ότι T A K. S K = T. Ψάχνουμε λοιπόν έναν φραγμένο τελεστή S A, ώστε { } n Θεωρούμε τον υπόχωρο H 0 = A i x i : A i A, x i K, n N, και παρατηρούμε ότι η κλειστή του ϑήκη H 1 = H 0 είναι A-αναλλοίωτος υπόχωρος. Ορίζουμε τον τελεστή S ως εξής : ( ) Για κάθε x = n n A i x i στον H 0, ορίζουμε S A i x i = n A i T x i, ενώ ϑέτουμε S (H 1 ) = 0. Χρειάζεται να εξετάσουμε εάν ο τελεστής αυτός είναι καλά ορισμένος, καθώς εάν έχουμε n A i x i = m B i y i, όπου A i, B i A, x i, y i K, τότε πρέπει να ισχύει n A i T x i = m B i T y i ή ισοδύναμα αρκεί να δείξουμε ότι εάν n A i x i = 0, τότε έχουμε n A i T x i = 0. Το τελευταίο όμως ισχύει καθώς : n A i T 2 n x i = A i T x i, T E=ET = n A j T x j = A i T x i, A j T x j x i=ex i = j=1 A i ET x i, A j ET x j = (EA ja i E)T x i, T x j T (A E ) = i, j T (EA ja i E)x i, T x j T unitary = (EA ja i E)x i, x j = i, j i, j i, j i, j n 2 A i x i Επομένως έχουμε n A i x i = 0 n A i x i = 0 n A i T x i = 0 n A i T x i = 0, οπότε ο τελεστής S είναι καλά ορισμένος. n Μάλιστα η ισότητα A i T x i = n A i x i δίνει ότι ο S H0 είναι ισομετρία, άρα επεκτείνεται σε ισομετρία στον H 1 και αφού έχουμε ορίσει S (H 1 ) = 0, ο S είναι φραγμένος τελεστής, και μάλιστα μερική ισομετρία. Προφανώς, για κάθε x K έχουμε ότι S x = T x, οπότε S K = T. Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι S A. Εστω A A. Αφού S (H ) = 1 0 και ο H 1 είναι A-αναλλοίωτος, αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε x H 0 ισχύει ότι

33 24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΑΛΓΕΒΡΕΣ VON NEUMANN S Ax = AS x. Εστω x = n A i x i H 0. Τότε n n n S Ax = S A A i x i = S AA i x i = AA i T x i = n n A A i T x i = AS A i x i = AS x και η απόδειξη είναι πλήρης. Πρόταση 3.2. Εστω {H a } μία οικογένεια χώρων Hilbert. Εάν {A a } είναι μία οικογένεια αλγεβρών von Neumann ώστε κάθε A a να δρα στο χώρο H a, τότε η άλγεβρα A = a A a = { a A a : A a A, ώστε sup a { A a } < + } είναι επίσης άλγεβρα von Neumann, η οποία δρα στο χώρο Hilbert H = a H a = { x = (x a ) a : a Απόδειξη. Είναι προφανές ότι η A είναι -υπάλγεβρα του B(H). Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι αν S A, τότε S A. x a < + }. Εστω S = a S a B(H), ώστε S A. Τότε υπάρχει μη μηδενικός S a0 A a0, και αφού η A a0 είναι επίσης άλγεβρα von Neumann, έχουμε ότι S a0 A a 0. Συνεπώς υπάρχει τελεστής T a0 A a 0, ώστε S a0 T a0 T a0 S a0. Ομως τότε ορίζεται ο τελεστής { Ta0, a = a 0 T = 0, αλλιώς, για τον οποίο παρατηρούμε ότι T A, και μάλιστα TS S T, οπότε S A. Πρόταση 3.3. Εστω χώρος Hilbert H, n N και A μία άλγεβρα von Neumann, η οποία δρα στον H. Για κάθε τελεστή A A, ορίζουμε τον τελεστή A (n) = (Aδ i j ) n n, 2 ο n οποίος δρα στο χώρο Hilbert H n = H. Το σύνολο A (n) = { A (n) : A A } είναι επίσης άλγεβρα von Neumann, και μάλιστα ισχύει ότι (A (n) ) = (A ) (n). Απόδειξη. Το σύνολο A (n) είναι -υπάλγεβρα του B(H n ). Εξάλλου, παρατηρούμε ότι αν T B(H) και S = (S i j ) B(H n ), τότε έχουμε : 2 το δέλτα του Kronecker δ i j = T (n) S = (TS i j ) και S T (n) = (S i j T) { 1, i= j 0, αλλιώς

34 3.3. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΜΕΤΑΘΕΤΗ 25 Συνεπώς ο T (n) μετατίθεται με τον S αν και μόνον αν ο T μετατίθεται με κάθε S i j. Αυτό αποδεικνύει ότι (A (n) ) = M n (A ) και ότι (A ) (n) M n (A). Για να ολοκληρωθεί η απόδειξη αρκεί να δείξουμε τον αντίστροφο εγκλεισμό. Εστω S = (S i j ) M n (A). { I Για κάθε τελεστή E i j = H, ϑέση i j 0, αλλιώς και A A, έχουμε την ισότητα S AE i j = AE i j S, από τη οποία προκύπτει ότι S ki Aδ jl = Aδ ki S jl για κάθε k, l, άρα S i j = 0 για i j, ενώ S ii A = AS j j, i, j, οπότε S (A ) (n). 3.3 Το Θεώρημα του Δεύτερου Μεταθέτη Λήμμα 3.1. Εστω χώρος Hilbert H και A μοναδιαία -υπάλγεβρα του B(H). Τότε η A είναι SOT-πυκνή στην A Απόδειξη. 1. Εστω T A, x H. Θεωρούμε τον υπόχωρο Ax, ο οποίος είναι A-αναλλοίωτος κλειστός υπόχωρος του H. Εάν P = pro j(ax), τότε P A, οπότε PT x = T Px. Αφού I A, έχουμε ότι x Ax. Επεται ότι T x Ax, δηλαδή υπάρχει (A n ) n N ακολουθία στην A, ώστε T x = lim A n x. n 2. Η απεικόνιση φ k : B(H) B(H k ) : A A (n) είναι -μορφισμός ενώ από την πρόταση 3.3 έπεται ότι φ k (T) (φ k (A)), k N. Επαναλαμβάνοντας το συλλογισμό (1), εάν x = (x 1,..., x k ) H k, υπάρχει (A m ) m N στην A, ώστε φ k (T) x = lim φ k (A m ), άρα T x j = lim A m (x j ), j = 1,..., k. k m 3. Ισχυρισμός : T A S OT Εστω W = {A B(H) : Ax i T x i < ε, i = 1,..., k 0 } μία SOT-περιοχή του Τ. Τότε από το συλλογισμό (2), υπάρχει ακολουθία (A m ) m N στην A, ώστε φ k0 (T) = lim φ k0 (A m ) άρα T x j = lim A m (x j ), j = 1,..., k 0. Οπότε για αρκετά k m μεγάλο N N έχουμε A N (x j ) T x j < ε, j = 1,..., k 0, οπότε A n W, άρα W A. Θεώρημα 3.1 (Θεώρημα Δεύτερου Μεταθέτη). Εστω A B(H) αυτοσυζυγής άλγεβρα με μονάδα, τότε A = A S OT = A WOT. Ειδικότερα, τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (α) η A είναι άλγεβρα von Neumann

35 26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΑΛΓΕΒΡΕΣ VON NEUMANN (β) η A είναι SOT-κλειστή (γ) η A είναι WOT-κλειστή Απόδειξη. Επεται από τα λήμματα 3.1 και 1.2. Πρόταση 3.4. Κάθε άλγεβρα von Neumann είναι η norm κλειστή γραμμική ϑήκη των προβολών που περιέχει. Απόδειξη. Εστω A μία άλγεβρα von Neumann. Παρατηρούμε ότι κάθε τελεστής A M, γράφεται στη μορφή A = A 1 + ia 2, όπου A 1, A 2 M αυτοσυζυγείς τελεστές. Οπότε αρκεί να δείξουμε ότι κάθε αυτοσυζυγής τελεστής της M ανήκει στην norm κλειστή ϑήκη των προβολών που περιέχει. Εστω λοιπόν Α αυτοσυζυγής τελεστής. Από το φασματικό ϑεώρημα έχουμε ότι A [{E(Ω) : Ω B(σ(A))]. Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι E(Ω) M, Ω B(σ(A)). Εστω T M. Αφού ο Τ αντιμετατίθεται με τον Α, από το Συναρτησιακό Λογισμό αντιμετατίθεται με κάθε τελεστή f (A), όπου f C(σ(A)). Επομένως, x, y B(H) έχουμε : f (A)T x, y = T f (A)x, y f (A)T x, y = f (A)x, T y f µ T x,y = f µ x,t y, f C(σ(A)). Άρα τα μέτρα µ T x,y, µ x,t y είναι ίσα, οπότε χ Ω µ T x,y = χ Ω µ x,t y E(Ω)T x, y = E(Ω)x, T y E(Ω)T x, y = T E(Ω)x, y, Ω σ(a), x, y B(H). Επομένως E(Ω)T = T E(Ω), Ω B(H). Πόρισμα 3.1. Εστω A B(H) αυτοσυζυγής τελεστής και {E t : t } φασματική ανάλυση της μονάδας στον H, ώστε A = tde t. Τότε από την απόδειξη της προηγούμενης πρότασης προκύπτει ότι {A} = {E t : t }. Πρόταση 3.5. Αν M είναι μία άλγεβρα von Neumann, η οποία δρα σε ένα διαχωρίσιμο χώρο Hilbert H, τότε υπάρχει αριθμήσιμο σύνολο E M προβολών, το οποίο παράγει την M ως άλγεβρα von Neumann, δηλαδή E = M.

36 3.4. ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΑΛΓΕΒΡΕΣ VON NEUMANN 27 Απόδειξη. Από την πρόταση 1.3 η μοναδιαία μπάλα του B(H) είναι WOT-συμπαγής, οπότε υπάρχει αριθμήσιμο σύνολο {A n : n N} το οποίο είναι WOT-πυκνό στη μοναδιαία σφαίρα της M 3. Από την προηγούμενη πρόταση, κάθε A n ανήκει στην norm κλειστή γραμμική ϑήκη των προβολών που περιέχονται στην M. Επομένως, υπάρχουν για κάθε m N ένα πεπερασμένο σύνολο προβολών E n,m = {E n,m 1,..., E n,m λ 1,..., λ k ώστε A n k n,m k n,m } M και λ i E n,m i < 1 m ή ισοδύναμα A n < E n,m >. Θεωρούμε το σύνολο E n,m. E = E n, όπου E n = n m Εφόσον E M και η M είναι άλγεβρα von Neumann έπεται ότι E M. ολοκληρωθεί η απόδειξη αρκεί να δείξουμε τον αντίστροφο εγκλεισμό. Για να Εστω T E ή ισοδύναμα T E n, n N, οπότε T A n = A n T, n N. Εφόσον {A n : n N} WOT = (B(H)) 1 M, ο Τ μετατίθεται με τη μοναδιαία μπάλα της M, συνεπώς και με όλη την M, άρα E M, άρα M = M E. 3.4 Αβελιανές Άλγεβρες von Neumann Πρόταση 3.6. Εστω αβελιανή άλγεβρα von Neumann M, η οποία δρα σε ένα διαχωρίσιμο χώρο Hilbert H. Υπάρχει αυτοσυζυγής τελεστής A M, ώστε {A} = M. Μάλιστα μπορούμε να επιλέξουμε τον Α, ώστε 0 A I Απόδειξη. Από την πρόταση 3.5, υπάρχει E = {E n : n N} αριθμήσιμη οικογένεια προβολών της M, ώστε E = M. Ορίζουμε τον τελεστή B = n 1 4 n (2E n I) = n 1 4 n S n, όπου S n = 2E n I. Παρατηρούμε ότι B M ενώ: 1 I 1 ( I) B 1 I 1 I. 3 4 n n 4 n n 3 Αρκεί να δείξουμε ότι εάν T B(H) μετατίθεται με τον B, τότε μετατίθεται με κάθε προβολή E n. Υποθέτουμε αρχικά ότι ο Τ μετατίθεται με τον B και τις προβολές E 1,...E n 1, άρα μετατίθεται και με τον τελεστή: 4 n (B n S k) = k 4 n ( k=n 1 4 k S k) = + k=n 4 n 4 k S k = S n k S n+k = S n + B 1, 3 Εστω Ξ ένα αριθμήσιμο πυκνό υποσύνολο του H. Το σύνολο Ω = {ω ξ,η : ξ, η Ξ} είναι αριθμήσιμο, οπότε υπάρχει αρίθμηση του συνόλου, ώστε Ω = {ω n : n N}. Αποδεικνύεται ότι η συνάρτηση d : ((B(H)) 1, (B(H)) 1 ) + : (T, S ) n=1 1 ω n (T S ) 2 n ω n είναι μετρική. Συνεπώς ο περιορισμός της WOT-τοπολογίας στην (B(H)) 1 είναι μετρικοποιήσιμη, άρα διαχωρίσιμη, αφού είναι συμπαγής.

37 όπου B 1 = 28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΑΛΓΕΒΡΕΣ VON NEUMANN 1 4 k S n+k Επεται λοιπόν ότι ο T μετατίθεται και με τον τελεστή 1 2 [3(S n + B 1 ) (S n + B 1 ) 3 ] = 3 2 S n B S 3 n 3 2 S 2 nb S n B B3 1 S 2 n=i = = ( )S n + ( )B S nb B3 1 = S n + B 2, όπου B 2 = 3 2 S nb B3 1 Ως προς τη νόρμα του τελεστή B 2 βλέπουμε ότι: B 2 = 3 2 S nb B S n B B B B B 1, καθώς S n = 1 και B Τοποθετώντας τον τελεστή B 2 στη ϑέση του τελεστή B 1, παρατηρούμε ότι ο T μετατίθεται με τον τελεστή 1 2 [3(S n + B 2 ) (S n + B 2 ) 3 ] = S n + B 3, όπου B 3 = 3 2 S nb B3 2, οπότε B B 2 ( 5 9 )2 B 1. Συνεχίζοντας επαγωγικά κατασκευάζουμε ακολουθία B k με νόρμα B k ( 5 9 )k 1 B 1, ώστε ο T να μετατίθεται με τον τελεστή S n + B k, k N. Συνεπώς ο T μετατίθεται και με τον τελεστή lim k + (S n + B k ) = S n, οπότε και με την προβολή E n. Για να ολοκληρωθεί η διαδικασία, αρκεί να δείξουμε ότι T E 1 = ET 1 ή ισοδύναμα TS 1 = S 1 T. Παρατηρούμε ότι + 4B = 4 + n=1 1 4 n S n = + n=1 1 4 n 1 S n = S n=1 1 4 n S n+1 = S 1 + A 1, 1 όπου A 1 = 4 S n n+1. n=1 Επαναλαμβάνοντας τον ίδιο συλλογισμό όπως πριν κατασκευάζουμε ακολουθία A k με νόρμα A k ( 5 9 )k 1 A 1, ώστε ο T να μετατίθεται με τον τελεστή S 1 + A k, k N. Επομένως, όμοια ο T ϑα μετατίθεται και με την προβολή E 1. Θέτοντας A = 3 2 (B I), έχουμε ότι 0 A I, ενώ {A} = {B}. Επομένως, ο A είναι ο ζητούμενος τελεστής. Παρατήρηση 3.1. Εστω M μια αβελιανή άλγεβρα von Neumann, η οποία δρα σε ένα διαχωρίσιμο χώρο Hilbert H και αυτοσυζυγής τελεστής A B(H) ώστε {A} = M. Από το φασματικό ϑεώρημα έχουμε ότι A = λde λ, οπότε από την πρόταση 3.4

38 3.4. ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΑΛΓΕΒΡΕΣ VON NEUMANN 29 έπεται ότι M = {E(Ω) : Ω B(}. Εάν P = E(Ω 0 ) προβολή, τότε για κάθε x P(H) παρατηρούμε ότι : ( ) A P(H) x = AE(Ω 0 )x = E(Ω 0 )AE(Ω 0 )x = E(Ω 0 ) λde λ E(Ω 0 )x = λd(e(ω 0 )E λ E(Ω 0 ))x = λd(f λ )x, όπου F λ = E λ P(H) καθώς η οικογένεια {F λ = λ είναι φασματική ανάλυση της μονάδας στον P(H). Επεται λοιπόν ότι M P(H) = {E λ P(H) : Ω B()} = {A P(H) }. Ορισμός 3.4. Μια αβελιανή άλγεβρα von Neumann σε ένα χώρο Hilbert H καλείται μεγιστική αβελιανή αυτοσυζυγής άλγεβρα (maximal abelian selfadjoint algebra) ή για λόγους συντομίας masa εάν δεν περιέχεται σε άλλη αβελιανή αυτοσυζυγή άλγεβρα στον H. Από το Λήμμα του Zorn προκύπτει ότι κάθε αβελιανή άλγεβρα von Neumann σε ένα χώρο Hilbert H περιέχεται σε μία masa. Μάλιστα, παρατηρούμε ότι για κάθε αβελιανή άλγεβρα von Neumann M ισχύει ότι M M, ενώ η άλγεβρα αυτή είναι masa αν και μόνο αν M = M. Πρόταση 3.7. Αν ο (X, µ) είναι χώρος σ-πεπερασμένου μέτρου, τότε η M µ είναι masa. Απόδειξη. Εφόσον η M µ είναι αβελιανή, αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε T (M µ ), υπάρχει g L (X, µ), ώστε T = M g. (i) Αρχικά, υποθέτουμε ότι µ(x) <, οπότε η σταθερή συνάρτηση 1 L 2 (X, µ). Ισχυρισμός : Για κάθε T (M µ ) ισχύει ότι T = M g, όπου g = T1. Παρατηρούμε πρώτα ότι για κάθε f L (X, µ), έχουμε ότι : T f = T( f 1) = T M f 1 = M f T1 = M f g = f g = g f. Εφόσον ο χώρος L (X, µ) είναι πυκνός υπόχωρος του L 2 (X, µ), οι τελεστές T και M g ταυτίζονται στον L 2 (X, µ). Αρκεί πλέον να δείξουμε ότι g L (X, µ). Εστω α > 0, ώστε το σύνολο U α = {t X : g(t) > α} να έχει μέτρο ϑετικό. Εχουμε : T 2 χ Uα 2 Tχ 2 U α 2 = χ α g 2 dµ αχ Uα 2 dµ = α χ Uα 2 2. συνεπώς T α, οπότε T g.

39 30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΑΛΓΕΒΡΕΣ VON NEUMANN (ii) Στη σ-πεπερασμένη περίπτωση, γράφουμε το χώρο X, ως αριθμήσιμη ένωση ξένων ανα δύο υποσυνόλων X n πεπερασμένου μέτρου. Από το (i), γνωρίζουμε ότι T Xn = M gn, όπου g n = Tχ n, και μάλιστα ότι οι τελεστές M gn είναι ομοιόμορφα φραγμένοι από τη νόρμα του τελεστή T. Θεωρούμε τη συνάρτηση g στο X, η οποία ορίζεται από τη σχέση g Xn = g n Xn, για κάθε n N και παρατηρούμε ότι g L (X, µ), αφού g sup n g n T. Εφόσον οι τελεστές M g και T συμπίπτουν στους χώρους L 2 (X n, µ), συμπίπτουν και στην κλειστή γραμμική τους ϑήκη, δηλαδή σε όλο τον L 2 (X, µ). Ορισμός 3.5. Εστω S γραμμικός υπόχωρος του B(H). Ενα διάνυσμα ξ H καλείται διαχωρίζον στον S, αν S ξ 0, S S \ {0}. Το ξ καλείται κυκλικό για τον S, αν ο υπόχωρος Sξ είναι πυκνός στον H. Λήμμα 3.2. (i) Αν S B(H) και ξ H κυκλικό διάνυσμα για τον S, τότε το ξ είναι διαχωρίζον διάνυσμα για την S (ii) Αν η M είναι άλγεβρα von Neumann και ξ H διαχωρίζον στην M, τότε το ξ είναι κυκλικό διάνυσμα για την S Απόδειξη. (i) Εστω T S ώστεtξ = 0. Τότε για κάθε S S, ισχύει ότι T(S ξ) = S (Tξ) = 0. Εφόσον Sξ = H, έπεται ότι T = 0 (ii) Εστω P = pro j(m ξ). Ο M ξ είναι M -αναλλοίωτος, άρα P (M ) = M. Ομως, αφού I M, έχουμε ότι Pξ = ξ ή ισοδύναμα (I P)ξ = 0, άρα I = P, καθώς το ξ είναι διαχωρίζον για την M. Συνεπώς ο υπόχωρος M ξ είναι πυκνός στον H. Λήμμα 3.3. Κάθε αβελιανή άλγεβρα von Neumann M σε ένα διαχωρίσιμο χώρο Hilbert H έχει διαχωρίζον διάνυσμα ξ. Μάλιστα εάν η M είναι masa τότε το ξ είναι και κυκλικό. Απόδειξη. Εστω αβελιανή άλγεβρα von Neumann M, και N μία masa ώστε M N. Θα καλούμε δύο διανύσματα ξ, η πολύ κάθετα εάν οι υπόχωροι Nξ, Nη είναι κάθετοι. Από το λήμμα του Zorn υπάρχει μεγιστική αριθμήσιμη οικογένεια Ξ = {ξ n : n N},

40 3.4. ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΑΛΓΕΒΡΕΣ VON NEUMANN 31 αποτελούμενη από πολύ κάθετα μοναδιαία διανύσματα. Εστω P n = pro j(nξ n ). Εφόσον Nξ n είναι N-αναλλοίωτος, έπεται ότι P n N = N. 1 Ισχυρισμός : Το διάνυσμα ξ = 2 ξ n n είναι κυκλικό για την N. n Αν το ξ δεν είναι κυκλικό, τότε υπάρχει μοναδιαίο διάνυσμα η H κάθετο στον υπόχωρο Nξ, οπότε για κάθε T, S N έχουμε ότι Tη, S ξ n = η, T S (2 n P n ξ) = 0, αφού T S P n N. Συνεπώς, Nη Nξ n, n N, το οποίο είναι άτοπο, καθώς η Ξ είναι μεγιστική οικογένεια πολύ κάθετων διανυσμάτων. Ορισμός 3.6. Αν H, K δύο χώροι Hilbert, δύο υποσύνολα S B(H), T B(K) καλούνται unitarily ισοδύναμα, αν υπάρχει unitary τελεστής U : H K, ώστε η απεικόνιση να απεικονίζει το S επί του T. ad U : B(H) B(K) : A UAU Λήμμα 3.4. Δύο άλγεβρες von Neumann είναι unitarily ισοδύναμες αν και μόνον αν οι μεταθέτες τους είναι unitarily ισοδύναμοι. Απόδειξη. ( ) Εστω M B(H), N B(K) δύο άλγεβρες von Neumann και U unitary τελεστής ώστε η απεικόνιση ad U : B(H) B(K) : A UAU να απεικονίζει την M επί της N. Εστω T M, οπότε T M = MT, M M. Παρατηρούμε ότι (UTU )(UMU ) = UT MU = UMTU = UMU UTU, UMU N. Αφού ad U (M) = N, έχουμε ότι UTU N. Ομοια, έχουμε S N ότι U S U M, οπότε η ad U απεικονίζει την M επί της N. Συνεπώς οι M, N είναι unitarily ισοδύναμες. ( ) Εφόσον (M ) = M = M, επαναλαμβάνουμε τα ίδια βήματα σε αυτήν την κατεύθυνση, όπως και στην ( ) και έχουμε το ζητούμενο. Πόρισμα 3.2. Αν μία άλγεβρα von Neumann είναι unitarily ισοδύναμη με μία masa, τότε είναι και αυτή masa.

5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις

5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις 5 Μετρήσιμες συναρτήσεις 5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις Ορισμός 5.1. Εστω (Ω, F ), (E, E) μετρήσιμοι χώροι. Μια συνάρτηση f : Ω E λέγεται F /Eμετρήσιμη αν f 1 (A) F για κάθε A E. (5.1) Συμβολίζουμε το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικά. 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία

Εισαγωγικά. 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία 1 Εισαγωγικά 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία Στη θεωρία μέτρου, όταν δουλεύει κανείς σε έναν χώρο X, συνήθως έχει διαλέξει μια αρκετά μεγάλη σ-άλγεβρα στον X έτσι ώστε όλα τα σύνολα που εμφανίζονται να ανήκουν

Διαβάστε περισσότερα

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή.

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Mαθηματικό σύστημα Ένα μαθηματικό σύστημα αποτελείται από αξιώματα, ορισμούς, μη καθορισμένες έννοιες και θεωρήματα. Η Ευκλείδειος γεωμετρία αποτελεί ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο

Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο 4 Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο Σε αυτό το κεφάλαιο είναι συγκεντρωμένοι ορισμοί και αποτελέσματα από τη θεωρία των στοχαστικών ανελιξεων συνεχούς χρόνου. Με εξαίρεση την Παράγραφο 4.1, η οποία είναι εντελώς

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές στην κίνηση Brown

Εφαρμογές στην κίνηση Brown 13 Εφαρμογές στην κίνηση Brown Σε αυτό το κεφάλαιο θέλουμε να κάνουμε για την πολυδιάστατη κίνηση Brown κάτι ανάλογο με αυτό που κάναμε στην Παράγραφο 7.2 για τη μονοδιάστατη κίνηση Brown. Δηλαδή να μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές ιδιότητες

Αναλυτικές ιδιότητες 8 Αναλυτικές ιδιότητες 8. Βαθμός συνέχειας* Ξέρουμε ότι η κίνηση Brown είναι συνεχής και θα δείξουμε αργότερα ότι είναι πουθενά διαφορίσιμη. Πόσο ομαλή είναι λοιπόν; Μια ασθενέστερη μορφή ομαλότητας είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

Δημήτρης Χελιώτης ΕΝΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Δημήτρης Χελιώτης ΕΝΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δημήτρης Χελιώτης ΕΝΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ii ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΕΛΙΩΤΗΣ Επίκουρος καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Ενα δεύτερο μάθημα στις πιθανότητες Ενα δεύτερο

Διαβάστε περισσότερα

Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα.

Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα. 2 Δεσμευμένη μέση τιμή 2.1 Ορισμός Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα. Ορισμός 2.1. Για X : Ω R τυχαία

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0,

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα Εαρινό Εξάμηνο 2015 Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα 1. Να διατυπώσετε το παρακάτω παίγνιο μηδενικού αθροίσματος ως πρόβλημα γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα Τα βιβλία διακριτών μαθηματικών του Γ.Β. Η/Υ με επεξεργαστή Pentium και χωρητικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη. του Frostman 4.1. Τέλος, η ϑεωρία του μέτρου Hausdorff αναπτύσσεται περαιτέρω στην τελευταία παράγραφο. Εισαγωγή 2

Περίληψη. του Frostman 4.1. Τέλος, η ϑεωρία του μέτρου Hausdorff αναπτύσσεται περαιτέρω στην τελευταία παράγραφο. Εισαγωγή 2 Το Μέτρο και η Διάσταση Hausdorff Γεωργακόπουλος Νίκος Τερεζάκης Αλέξης Περίληψη Αναπτύσσουμε τη ϑεωρία του μέτρου και της διάστασης Hausdorff με εφαρμογές στον υπολογισμό διαστάσεων συνόλων fractal (Θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών 1 Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζουμε ένα από τα σημαντικότερα αποτελέσματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων, τον ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών. Η διατύπωση που θα αποδείξουμε

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις Αναγνώριση Προτύπων Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις 1 Λόγος Πιθανοφάνειας Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να ταξινομήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ιάσταση του Krull Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, / 27

ιάσταση του Krull Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, / 27 ιάσταση του Krull Χ. Χαραλάμπους Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Ιανουάριος, 2017 Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 1 / 27 Ορισμοί Εστω R (αντιμεταθετικός) δακτύλιος. Ορισμός Η διάσταση του Krull

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις και ιδιότητές τους

Σχέσεις και ιδιότητές τους Σχέσεις και ιδιότητές τους Διμελής (binary) σχέση Σ από σύνολο Χ σε σύνολο Υ είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Χ Υ. Αν (χ,ψ) Σ, λέμε ότι το χ σχετίζεται με το ψ και σημειώνουμε χσψ. Στην περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg)

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Β Δ Β Δ Γ Γ Κύκλος του Euler (Euler cycle) είναι κύκλος σε γράφημα Γ που περιέχει κάθε κορυφή του γραφήματος, και κάθε ακμή αυτού ακριβώς μία φορά. Για γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση. (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή)

Εισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση. (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή) Εισαωή στη Μιαδική Ανάλυση Σημειώσεις (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή) Ε. Στεφανόπουλος Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αιαίου Καρλόβασι Καλοκαίρι 26 Πρόλοος Οι σημειώσεις αυτές είναι αποτέλεσμα επεξερασίας

Διαβάστε περισσότερα

{ i f i == 0 and p > 0

{ i f i == 0 and p > 0 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 014-015 Λύσεις 1ης Σειράς Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Martingales. 3.1 Ορισμός και παραδείγματα

Martingales. 3.1 Ορισμός και παραδείγματα 3 Martingales 3.1 Ορισμός και παραδείγματα Εστω χώρος πιθανότητας (Ω, F, P). Διήθηση σε αυτό τον χώρο λέμε μια αύξουσα ακολουθία (F n ) n 0 σ-αλγεβρών, η καθεμία από τις οποίες είναι υποσύνολο της F. Δηλαδή,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Πίνακες και απαλοιφή Gauss

Κεφάλαιο 1. Πίνακες και απαλοιφή Gauss Κεφάλαιο 1 Πίνακες και απαλοιφή Gauss Γύρω απ το γινομένου πινάκων Κάτι σαν τυπολόγιο Αν AB = C, τότε: 1 (C) i j = (i-γραμμή A) ( j-στήλη B) Το συμβολίζει εσωτερικό γινόμενο 2 (i-γραμμή C) = k(a) ik (k-γραμμή

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ A Ε B Ζ Η Γ K Θ Δ Ι Ορισμός Ένα (μη κατευθυνόμενο) γράφημα (non directed graph) Γ, είναι μία δυάδα από σύνολα Ε και V και συμβολίζεται με Γ=(Ε,V). Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες

Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες 5 Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες 51 Ορισμός, ύπαρξη, και μοναδικότητα Ορισμός 51 Μια στοχαστική ανέλιξη { : t } ορισμένη σε έναν χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και με τιμές στο R λέγεται (μονοδιάστατη)

Διαβάστε περισσότερα

Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2

Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2 12 Ο τύπος του Itô Για συνάρτηση f : R R με συνεχή παράγωγο, έχουμε d f (s) = f (s) ds που σε ολοκληρωτική μορφή σημαίνει f (b) f (a) = b a f (s) ds (12.1) για κάθε a < b. Αν επιπλέον και η g : R R έχει

Διαβάστε περισσότερα

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελικές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος μέρος Α Εισγωγή, κι η σική θεωρί των πεπερσμένων

Διαβάστε περισσότερα

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» HY 118α «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ εώργιος Φρ. εωργακόπουλος ΜΕΡΟΣ (1) ασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση Black-Scholes

Η εξίσωση Black-Scholes 8 Η εξίσωση Black-Scholes 8. Μια απλή αγορά Θεωρούμε ότι έχουμε μια αγορά που έχει μόνο δύο προϊόντα. Το ένα είναι η δυνατότητα κατάθεσης σε μια τράπεζα (ισοδύναμα, αγορά ομολόγων της τράπεζας) και το

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η εκθετική κατανομή. Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση (1.1) f(x) = 0 αν x < 0.

Κεφάλαιο Η εκθετική κατανομή. Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση (1.1) f(x) = 0 αν x < 0. Κεφάλαιο Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Η εκθετική κατανομή Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση f(x) = λe λx αν x, αν x

Διαβάστε περισσότερα

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης 7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε P(X = = P(X = = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 8 Μαΐου 0 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

σε ευκλείδειους χώρους και σε πολλαπλότητες Riemann

σε ευκλείδειους χώρους και σε πολλαπλότητες Riemann Κ Ε Ο μετασχηματισμός Riesz σε ευκλείδειους χώρους και σε πολλαπλότητες Riemann Διπλωματική Εργασία στα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Μαθηματικών Αθήνα 213 Αφιερώνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Δημήτρης Χελιώτης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ B τ u(x):=e x {f(b τ ) u(x) = } x ii ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΕΛΙΩΤΗΣ Επίκουρος καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Εισαγωγή στον

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Δημήτρης Χελιώτης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ B τ u(x):=e x {f(b τ ) u(x) = } x ii ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΕΛΙΩΤΗΣ Επίκουρος καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Εισαγωγή στον

Διαβάστε περισσότερα

Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή:

Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή: Ας πούμε και κάτι για τις δύσκολες μέρες που έρχονται Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein 1879-1955 Πηγή: http://www.cognosco.gr/gnwmika/ 1 ΚΥΚΛΙΚΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος Γραμμικές Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Γραμμικές Σ Ε 2ης τάξης Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Αθήνα, 12 Απριλίου 2016.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Αθήνα, 12 Απριλίου 2016. Αλγεβρική Γεωμετρία ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος Κεφάλαιο 1. Αλγεβρικές ποικιλότητες 1 1. Αλγεβρικά Σύνολα 1 2. Το Θεώρημα Ριζών του Hilbert 7 3. Συγγενείς Αλγεβρικές Ποικιλότητες 14 4. Πολλαπλότητα και Πολλαπλότητα

Διαβάστε περισσότερα

Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων.

Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. A A N A B P Y T A Άρθρο στους Μιγαδικούς Αριθμούς 9 5 0 Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. Δρ. Νίκος Σωτηρόπουλος, Μαθηματικός Εισαγωγή Το άρθρο αυτό γράφεται με

Διαβάστε περισσότερα

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις»

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις» ( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «πεικονίσεις» 1. ΣΧΕΣΕΙΣ: το σκεπτικό κι ο ορισμός. Τ σύνολ νπριστούν ιδιότητες μεμονωμένων στοιχείων: δεδομένου συνόλου S, κι ενός στοιχείου σ, είνι δυντόν είτε σ S είτε

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Εκτίμηση Πυκνότητας με k NN k NN vs Bayes classifier k NN vs Bayes classifier Ο κανόνας ταξινόμησης του πλησιέστερου γείτονα (k NN) lazy αλγόριθμοι O k NN ως χαλαρός

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Ιστόγραμμα Παράθυρα Parzen Εξομαλυμένη Kernel Ασκήσεις 1 Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Κατά τη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει ΕΙΣΑΓΩΓΗ ------------------------------------------------------------------------------------- H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια.

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ταξινόμηη των μοντέλων διαποράς ατμοφαιρικών ρύπων βαιμένη ε μαθηματικά κριτήρια. Μοντέλο Ελεριανά μοντέλα (Elerian) Λαγκρατζιανά μοντέλα (Lagrangian) Επιπρόθετος διαχωριμός Μοντέλα

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Ερευνα Ι

Επιχειρησιακή Ερευνα Ι Επιχειρησιακή Ερευνα Ι Μ. Ζαζάνης Κεφάλαιο 1 Τετραγωνικές μορφές στον R n και το ϑεώρημα του Taylor Ορισμός 1. Εστω a 11 a 1n A =.. a n1 a nn συμμετρικός πίνακας n n με στοιχεία στους πραγματικούς αριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ FRACTALS

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ FRACTALS Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ FRACTALS ΕΛΕΝΗ ΤΑΝΤΟΥΛΟΥ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΑΝΤΩΝΗΣ ΤΣΟΛΟΜΥΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΑΜΟΣ 2009 Στην μητέρα μου που μπορεί και με ανέχεται ακόμα,

Διαβάστε περισσότερα

Διανυσματικές Συναρτήσεις

Διανυσματικές Συναρτήσεις Κεφάλαιο 5 Διανυσματικές Συναρτήσεις 51 Διανυσματατικές συναρτήσεις Μια συνάρτηση με τιμές στοr n, n>1 λέγεται διανυσματική συνάρτηση Τις διανυσματικές συναρτήσεις ϑα τις συμβολίζουμε με παχειά γράμματα,

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Τετάρτη 23 Μαΐου 2012 Εκφωήσεις και Λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Κεφάλαιο Αλυσίδες Markov σε Συνεχή Χρόνο. Αλυσίδες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Την ευθύνη του εκπαιδευτικού υλικού έχει ο επιστημονικός συνεργάτης των Πανεπιστημιακών Φροντιστηρίων «ΚOΛΛΙΝΤΖΑ», οικονομολόγος συγγραφέας θεμάτων ΑΣΕΠ, Παναγιώτης Βεργούρος.

Διαβάστε περισσότερα

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν 1 1. Αποδοχή κληρονομίας Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν μπορεί να ασκηθεί από τους δανειστές του κληρονόμου, τον εκτελεστή της διαθήκης, τον κηδεμόνα ή εκκαθαριστή

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου. Άλγεβρα Β λυκείου. 13 Οκτώβρη 2016

Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου. Άλγεβρα Β λυκείου. 13 Οκτώβρη 2016 Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου Άλγεβρα Β λυκείου Εργασία2 η : «Συναρτήσεις» 13 Οκτώβρη 2016 Ερωτήσεις Θεωρίας 1.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςάυξουσασεέναδιάστημα του πεδίου ορισμού της; 2.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςφθίνουσασεέναδιάστημα

Διαβάστε περισσότερα

επίπεδων καμπυλών Χειμερινό Εξάμηνο I(P, F G) των F και G σε ένα σημείο P A 2 K

επίπεδων καμπυλών Χειμερινό Εξάμηνο I(P, F G) των F και G σε ένα σημείο P A 2 K Θεωρία Τομών Επίπεδων Καμπυλών Εργασία στο πλαίσιο τού μαθήματος Αλγεβρικές Καμπύλες (με κωδ. αριθμό Α 19) Χειμερινό Εξάμηνο 2008-2009 Μιχαήλ Γκίκας 1 Αριθμός τομής δυο συσχετικών επίπεδων καμπυλών Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Η κατανομή του Euler επί των αυτοαντίστροφων στοιχείων της

Η κατανομή του Euler επί των αυτοαντίστροφων στοιχείων της Ε Κ Π Α Τ Μ Η κατανομή του Euler επί των αυτοαντίστροφων στοιχείων της υπεροκταεδρικής ομάδας Μ Ε Μουστάκας Βασίλης - Διονύσης : Χ Α. Α Αθήνα Ιούνιος 07 Στον πρώτο μου δάσκαλο, μαθηματικό Γιάννη Καρρά.

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες ΙΙ 1 o Μέρος. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Πιθανότητες ΙΙ 1 o Μέρος. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Πιθανότητες ΙΙ o Μέρος Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών 4 Απριλίου 7 Κεφάλαιο Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Η εκθετική κατανομή Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

(3 ο ) Εξαντλητική αναζήτηση I: μεταθέσεις & υποσύνολα (4 o ) Εξαντλητική αναζήτηση II: συνδυασμοί, διατάξεις & διαμερίσεις

(3 ο ) Εξαντλητική αναζήτηση I: μεταθέσεις & υποσύνολα (4 o ) Εξαντλητική αναζήτηση II: συνδυασμοί, διατάξεις & διαμερίσεις (3 ο ) Εξαντλητική αναζήτηση I: μεταθέσεις & υποσύνολα (4 o ) Εξαντλητική αναζήτηση II: συνδυασμοί, διατάξεις & διαμερίσεις Είναι πράγματι τα «προβλήματα» τόσο δύσκολα; Είδαμε (σύντομα) στα προηγούμενα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Πληροφορικής

Μαθηματικά Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Αθηνών Μαθηματικά Πληροφορικής Ηλίας Κουτσουπιάς Αθήνα, Οκτώβριος 2009 Περιεχόμενα Περιεχόμενα 1 Σύνολα... 5 ΆλλαΣύμβολα... 6 1 Υποθέσεις και Θεωρήματα 9 1.1 Παρατήρηση-Υπόθεση-Απόδειξη...

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Μεταπτυχιακό Μάθημα ΠΜΣ/ΕΤΥ 2η Ενότητα: Μοντελοποίηση Προβλημάτων ως ΓΠ, Ισοδυναμες Μορφές ΓΠ, Γεωμετρία Χωρου Λύσεων

Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Μεταπτυχιακό Μάθημα ΠΜΣ/ΕΤΥ 2η Ενότητα: Μοντελοποίηση Προβλημάτων ως ΓΠ, Ισοδυναμες Μορφές ΓΠ, Γεωμετρία Χωρου Λύσεων Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Μεταπτυχιακό Μάθημα ΠΜΣ/ΕΤΥ 2η Ενότητα: Μοντελοποίηση Προβλημάτων ως ΓΠ, Ισοδυναμες Μορφές ΓΠ, Γεωμετρία Χωρου Λύσεων Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός

Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός gior.panagopoulos@gmail.com Βουλδής Άγγελος Φυσικός angelos_vouldis@hotmail.com Μεντζελόπουλος Λευτέρης Φυσικός MSc Περιβαλλοντολογία

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Κεφάλαιο Αλυσίδες Markov σε Συνεχή Χρόνο Αλυσίδες Markov

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ Ο ιατρός αφού διαπιστώσει εάν το πρόσωπο που προσέρχεται για εξέταση είναι το ίδιο με αυτό που εικονίζεται στο βιβλιάριο υγείας και ελέγξει ότι είναι ασφαλιστικά ενήμερο (όπως ακριβώς γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Bias (απόκλιση) και variance (διακύμανση) Ελεύθεροι Παράμετροι Ελεύθεροι Παράμετροι Διαίρεση dataset Μέθοδος holdout Cross Validation Bootstrap Bias (απόκλιση) και variance

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο

Διαβάστε περισσότερα

G περιέχει τουλάχιστον μία ακμή στο S. spanning tree στο γράφημα G.

G περιέχει τουλάχιστον μία ακμή στο S. spanning tree στο γράφημα G. ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 2014-2015 Λύσεις 3ης Σειράς Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ. Σημειώσεις μεταπτυχιακοῦ μαθήματος 1. Ν.Γ. Τζανάκης. Πανεπιστήμιο Κρήτης - Ηράκλειο

ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ. Σημειώσεις μεταπτυχιακοῦ μαθήματος 1. Ν.Γ. Τζανάκης. Πανεπιστήμιο Κρήτης - Ηράκλειο ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Σημειώσεις μεταπτυχιακοῦ μαθήματος 1 Ν.Γ. Τζανάκης Τμῆμα Μαθηματικῶν Πανεπιστήμιο Κρήτης - Ηράκλειο 1 Τελευταία ἔκδοση 12-11-2016 2 Περιεχόμενα 1 Διαχωρισιμότητα 3 2 Βοηθητικὲς Προτάσεις 9 1

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Πανεπιστήμιο Πατρών Σχολή : Θετικών Επιστημών Τμήμα : Μαθηματικών Μ.Δ.Ε. : Μαθηματικά των Φυσικών και Βιομηχανικών Εφαρμογών Ακαδημαϊκό Έτος

Διαβάστε περισσότερα

17 Μαρτίου 2013, Βόλος

17 Μαρτίου 2013, Βόλος Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

Η έκδοση αυτή είναι υπό προετοιμασία. Γιάννης Α. Αντωνιάδης, Αριστείδης Κοντογεώργης

Η έκδοση αυτή είναι υπό προετοιμασία. Γιάννης Α. Αντωνιάδης, Αριστείδης Κοντογεώργης Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές Η έκδοση αυτή είναι υπό προετοιμασία Γιάννης Α. Αντωνιάδης, Αριστείδης Κοντογεώργης 9 Φεβρουαρίου 2015 2 Περιεχόμενα I ΑΡΙΘΜΟΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 7 1 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΩΤΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κωνσταντίνος Α. Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading

Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading Κληρονομικότητα Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading 2 1 Κλάση Βάση/Παράγωγη Τα διάφορα αντικείμενα μπορούν να έχουν μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κώστας Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό και το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΟΜΑΔΑ Α Για τις προτάσεις Α1 μέχρι και Α6 να

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Αβελιανές Αλγεβρες von Neumann. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Αβελιανές Αλγεβρες von Neumann. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Αβελιανές Αλγεβρες von Neumann Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10

Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου Εκλογής Προέδρου με O(nlogn) μηνύματα Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Περιγραφικός Αλγόριθμος Αρχικά στείλε μήνυμα εξερεύνησης προς τα δεξιά

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο.

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΧΗΜΕΙΑ - ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

Ευρωπαϊκά παράγωγα Ευρωπαϊκά δικαιώματα

Ευρωπαϊκά παράγωγα Ευρωπαϊκά δικαιώματα 17 Ευρωπαϊκά παράγωγα 17.1 Ευρωπαϊκά δικαιώματα Ορισμός 17.1. 1) Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς σε μία μετοχή είναι ένα συμβόλαιο που δίνει στον κάτοχό του το δικαίωμα να αγοράσει μία μετοχή από τον εκδότη

Διαβάστε περισσότερα

Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά

Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά 1/35 Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά Νίκος Γιαννακόπουλος Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2014-2015 Εαρινό Εξάμηνο Τι γνωρίζουμε; 2/35 Αγορά αγαθών και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία ΘΕΜΑ: ποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία Σύνταξη: Μπαντούλας Κων/νος, Οικονομολόγος, Ms Χρηματοοικονομικών 1 Η πρώτη θεωρία σχετικά με τον αυτόματο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983 20 Φεβρουαρίου 2010 ΑΣΕΠ 2000 1. Η δεξαμενή βενζίνης ενός πρατηρίου υγρών καυσίμων είναι γεμάτη κατά τα 8/9. Κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας το πρατήριο διέθεσε τα 3/4 της βενζίνης αυτής και έμειναν 4000

Διαβάστε περισσότερα

Ring Routing and Wavelength Conversion. Γιώργος Ζώης

Ring Routing and Wavelength Conversion. Γιώργος Ζώης Ring Routing and Wavelength Conversion Γιώργος Ζώης Ενότητες της παρουσίασης 1. Directed Ring Routing Wavelength Conversion σε WDM δίκτυα. 2. Wavelength Conversion σε shortest path δρομολογήσεις. 3. Επιπλέον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ Ο ασθενής έχοντας μαζί του το βιβλιάριο υγείας του και την τυπωμένη συνταγή από τον ιατρό, η οποία αναγράφει τον μοναδικό κωδικό της, πάει στο φαρμακείο. Το φαρμακείο αφού ταυτοποιήσει το

Διαβάστε περισσότερα

Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α 0. Η παραβολή ψ = αχ 2. Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α 0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση.

Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α 0. Η παραβολή ψ = αχ 2. Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α 0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση. Η παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ Σελίδα 1 από 10 Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α0 Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση. Η παραβολή ψ = αχ 2 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί Laplace. Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

Μετασχηματισμοί Laplace. Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ιαφορικές Εξισώσεις Μετασχηματισμοί Laplace Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Βόλος, 11 Μαΐου 2015 Περιεχόμενα Μετασχηματισμοί Laplace Ορισμός μετασχηματισμού

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Η κατάρα της διαστατικότητας Μείωση διαστάσεων εξαγωγή χαρακτηριστικών επιλογή χαρακτηριστικών Αναπαράσταση έναντι Κατηγοριοποίησης Ανάλυση Κυρίων Συνιστωσών PCA Γραμμική

Διαβάστε περισσότερα

Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 01: ΕΞΑΝΤΛΗΤΙΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ

Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 01: ΕΞΑΝΤΛΗΤΙΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 01: ΕΞΑΝΤΛΗΤΙΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ Δεδομένου ενός προβλήματος Q, ο πρώτος σκοπός μιας εξαντλητικής αναζήτησης είναι να μας εφασφαλίσει

Διαβάστε περισσότερα

Συντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ

Συντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση

Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση ΠΜΣ/ΕΤΥ: Μεταπτυχιακό Μάθημα 8η Ενότητα: Γραμμικός Προγραμματισμός ως Υπορουτίνα για Επίλυση Προβλημάτων Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης (kontog@cs.uoi.gr)

Διαβάστε περισσότερα

α 0. α ν x ν +α ν 1 x ν α 1 x+α 0 α ν x ν,α ν 1 x ν 1,...,α 1 x,α 0, ...,α 1,α 0,

α 0. α ν x ν +α ν 1 x ν α 1 x+α 0 α ν x ν,α ν 1 x ν 1,...,α 1 x,α 0, ...,α 1,α 0, Άλγεβρα Β Λυκείου - Πολυώνυμα: Θεωρία, Μεθοδολογία και Λυμένες ασκήσεις Κώστας Ράπτης Μάιος 2011 Μέρος I Πολυώνυμα 1 Πολυώνυμα 1.1 Στοιχεία ϑεωρίας Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφήςαx ν,

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης Εφαρμογὲς τῶν συνεχῶν κλασμάτων 1 1. Η τιμὴ τοῦ π μὲ σωστὰ τὰ 50 πρῶτα δεκαδικὰ ψηφία μετὰ τὴν ὑποδιαστολή, εἶναι 3.14159265358979323846264338327950288419716939937511.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ): ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. Σημερινό μάθημα

Συναρτήσεις. Σημερινό μάθημα Συναρτήσεις Σημερινό μάθημα C++ Συναρτήσεις Δήλωση συνάρτησης Σύνταξη συνάρτησης Πρότυπο συνάρτησης & συνάρτηση Αλληλο καλούμενες συναρτήσεις συναρτήσεις μαθηματικών Παράμετροι συναρτήσεων Τοπικές μεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης. (β) Η απόλυτη υπεραξία. Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης

Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης. (β) Η απόλυτη υπεραξία. Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης (β) Η απόλυτη υπεραξία Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης Στο κεφάλαιο για την αγορά και την πώληση της εργατικής δύναμης (ελληνική έκδοση: τόμος

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα σε κάθε αριθμό την ένδειξη Σωστό, αν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ: μια σύνοψη των θεμελιακών χαρακτηριστικών.

ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ: μια σύνοψη των θεμελιακών χαρακτηριστικών. ΘΕΩΡΙ ΣΥΝΟΛΩΝ: μια σύνοψη των θεμελιακών χαρακτηριστικών. 1. ΣΥΝΟΛ: το σκεπτικό. σύνολο = πολλά στοιχεία ως «ένα», ως «μία» ολότητα. τα στοιχεία ανήκουν στο σύνολο, ή είναι μέλη του συνόλου το σύνολο περιέχει

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις & Κλάσεις

Συναρτήσεις & Κλάσεις Συναρτήσεις & Κλάσεις Overloading class member συναρτήσεις/1 #include typedef unsigned short int USHORT; enum BOOL { FALSE, TRUE}; class Rectangle { public: Rectangle(USHORT width, USHORT

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2012-13 Πρώτη Γραπτή Εργασία Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικη Αλγεβρα ΙΙ. 1 Ο διανυσματικὸς χῶρος L(V, W) Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης. [v] B =

Γραμμικη Αλγεβρα ΙΙ. 1 Ο διανυσματικὸς χῶρος L(V, W) Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης. [v] B = Γραμμικη Αλγεβρα ΙΙ Καθηγητὴς ΝΓ Τζανάκης Σύνοπτικὴ περιγραφὴ τῆς μέχρι τώρα διδαγμένης ύλης 1 1 Ο διανυσματικὸς χῶρος L(V, W) Σὲ αὐτὴ τὴν ἑνότητα, V, W εἶναι διανυσματικοὶ χῶροι πάνω ἀπὸ ἕνα σῶμα F Υποθέτομε

Διαβάστε περισσότερα

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Η εργασιακή διαδικασία και τα στοιχεία της. Η κοινωνική επικύρωση των ιδιωτικών

Διαβάστε περισσότερα