UK, (2003) ISBN

Transcript

1 Tooth, A.S. and Chan, G.C.M. and Spence, J. and Nash, D.H. (003) Horizontal saddle-supported storage vessels: Theoretical and experimental comparisons of plastic collapse loads. In: Pressure Equipment Technology: Theory and Practice. Professional Engineering Publishing Ltd., London and Bury St. Edmonds, UK, pp ISBN , This version is available at Strathprints is designed to allow users to access the research output of the University of Strathclyde. Unless otherwise explicitly stated on the manuscript, Copyright and Moral Rights for the papers on this site are retained by the individual authors and/or other copyright owners. Please check the manuscript for details of any other licences that may have been applied. You may not engage in further distribution of the material for any profitmaking activities or any commercial gain. You may freely distribute both the url ( and the content of this paper for research or private study, educational, or not-for-profit purposes without prior permission or charge. Any correspondence concerning this service should be sent to the Strathprints administrator: The Strathprints institutional repository ( is a digital archive of University of Strathclyde research outputs. It has been developed to disseminate open access research outputs, expose data about those outputs, and enable the management and persistent access to Strathclyde's intellectual output.

2 Horizontal Saddle Supported Storage Vessels: Theoretical and Experimental Comparisons of Plastic Collapse loads A S Tooth, G C M Chan, J Spence and D H Nash Department of Mechanical Engineering, University of Strathclyde, 75 Montrose Street, Glasgow, G1 1XJ, UK ABSTRACT Πρεϖιουσ εξπεριmεναλ ωορκ (1) ον χψλινδριχαλ ϖεσσελσ συππορεδ α ηε ενδσ ανδ συβϕεχεδ ο χενραλ λοαδινγ ινδιχαεδ ηα διφφερεν χολλαπσε mεχηανισmσ χουλδ οχχυρ ωηεν ηε λοαδινγ ισ αππλιεδ ειηερ ηρουγη λοοσελψ φιεδ σαδδλεσ ορ ηρουγη ωελδεδ σαδδλεσ. Τηε mοδεσ οφ φαιλυρε αρε δεπενδεν υπον ηε ϖαλυε οφ ηε / ραιο οφ ηε ϖεσσελ. Ιν γενεραλ, προγρεσσιϖε πλασιχ χολλαπσε οχχυρσ ιν ϖεσσελσ ωιη λοω ϖαλυεσ οφ / ραιο, ψπιχαλλψ λεσσ ηαν 00, ανδ ελασιχ πλασιχ βυχκλινγ ισ οβσερϖεδ ιν ϖεσσελσ ωιη ηιγηερ / ραιοσ. Τηε αιm οφ ηισ παπερ ισ ο εξαmινε ϖαριουσ ηεορειχαλ αναλψσεσ φορ πλασιχ χολλαπσε λοαδσ, αππλιχαβλε ο ϖεσσελσ ωιη λοω ϖαλυεσ οφ / ραιο, ανδ χοmπαρε ηεσε ωιη ηε εξπεριmεναλ ρεσυλσ οβαινεδ βψ ηε αυηορσ ανδ οηερσ. Τηε ηεορειχαλ βεηαϖιουρ αππροπριαε φορ ηε ηιννερ ϖεσσελσ, ωηερε ηε mοδε ισ φαιλυρε ισ βψ βυχκλινγ, ηασ βεεν πρεϖιουσλψ εξαmινεδ βψ ηε αυηορσ ελσεωηερε () αληουγη αλλ ηε εξπεριmεναλ ϖαλυεσ αρε ινχλυδεδ ηερε φορ χοmπλεενεσσ. Α νυmβερ οφ χλασσιχαλ ανδ νυmεριχαλ αναλψιχαλ mεηοδσ αρε εmπλοψεδ ο οβαιν ηε πλασιχ χολλαπσε λοαδσ. Χοmπαρισονσ ωιη ηε εξπεριmεναλ ρεσυλσ σηοω ηα ηε ελασιχ πλασιχ φινιε ελεmεν αναλψσισ γιϖεσ ηε βεσ αγρεεmεν. Φυρηερ ωορκ ιν ηε φορm οφ α παραmεριχ συδψ ηασ βεεν χονδυχεδ ον α ρανγε οφ ϖεσσελσ ο εναβλε α δεσιγν mεηοδ ο βε εσαβλισηεδ. Τηισ ισ πυβλισηεδ ασ α χοmπανιον παπερ ιν ηισ ϖολυmε. Keywords:- Πρεσσυρε/σοραγε ϖεσσελσ, πλασιχ χολλαπσε, λιmι αναλψσισ.

3 NOTATION β Dισανχε ο πλασιχ ηινγεσ σεε Φιγυρε. β 1 Wιδη οφ σαδδλε (mm) Λ Βαρρελ λενγη οφ ϖεσσελ (mm) Π Λοαδ ον ονε σαδδλε (Ν) Π εξ Εξπεριmεναλ χολλαπσε λοαδ (κν) Π mιν Υππερ βουνδ λιmι λοαδ βψ λιmι αναλψσισ Π ινχ Ινσχριβεδ ψιελδ σολυιον βψ λιmι αναλψσισ Π κρυπ Κρυπκα σ σιmπλιφιεδ σολυιον βψ λιmι αναλψσισ Π λβ Λοωερ βουνδ λιmι λοαδ βψ ελασιχ χοmπενσαιον mεηοδ Π υβ Υππερ βουνδ λιmι λοαδ βψ ελασιχ χοmπενσαιον mεηοδ Π επ Ελασιχ πλασιχ χολλαπσε λοαδ βψ φινιε ελεmεν αναλψσισ Μεαν ραδιυσ οφ ϖεσσελ (mm) σ Αρχ οφ χοναχ ιν Κρυπκα σ αναλψσισ (= ) Σηελλ ηιχκνεσσ οφ ϖεσσελ (mm) Σαδδλε εmβραχινγ ανγλε ψ Ψιελδ σρενγη οφ ϖεσσελ mαεριαλ (Ν/mm ) Μαξιmυm νοδαλ σρεσσ (Ν/mm ) 1 INTRODUCTION Ηοριζοναλ ϖεσσελσ αρε ωιδελψ υσεδ ασ σοραγε ϖεσσελσ φορ λιθυιδσ ορ γασεουσ προδυχσ. Τηεσε ϖεσσελσ αρε χοmmονλψ συππορεδ αβοϖε γρουνδ βψ ωιν σαδδλεσ, ωηιχη αρε ειηερ φιεδ λοοσελψ ορ ωελδεδ ον ο ηε ϖεσσελ, Φιγ 1α. Πρεσεν δεσιγν ρυλεσ ασ γιϖεν βψ ηε Βριιση Σανδαρδ ΠD 5500 (3) λιmισ ηε mαξιmυm σρεσσ ιν ηε σαδδλε συππορ ρεγιον οφ ηε ϖεσσελ ο 1.5 ιmεσ ηε δεσιγν σρεσσ, ηα ισ ψπιχαλλψ α σρεσσ οφ 0.83 ψ. Ιφ α mορε δεαιλεδ αναλψσισ ισ υσεδ ο οβαιν ηε ϖεσσελ σρεσσεσ, ηεν α Dεσιγν βψ Αναλψσισ αππροαχη, ασ ουλινεδ ιν Αννεξ Α οφ ΠD 5500, mαψ βε εmπλοψεδ. Ιν ηισ χασε, ηε mαξιmυm ϖαλυε οφ πριmαρψ πλυσ σεχονδαρψ σρεσσ ινενσιψ ισ λιmιεδ ο ωιχε ηε ψιελδ σρεσσ ( ψ ) ορ ηρεε ιmεσ ηε δεσιγν σρεσσ α ηε δεσιγν εmπεραυρε. Φροm ηισ ι ωουλδ αππεαρ ηα ηε Dεσιγν βψ Αναλψσισ αππροαχη περmισ οφ α ηιγηερ ϖαλυε οφ ηε οαλ ϖεσσελ ανδ χονενσ ωειγη. Ηοωεϖερ, ηε mαξιmυm σρεσσ ιν ηε σαδδλε ηορν ρεγιον, ασ δεριϖεδ φροm ΠD 5500, ισ αβου ηαλφ ηε χορρεσπονδινγ σρεσσ δεριϖεδ υσινγ α mορε ριγορουσ αναλψσισ (4). Wηεν ηε ωο σρεσσ λεϖελσ αρε χοmπαρεδ ωιη ηειρ ρεσπεχιϖε αλλοωαβλεσ, ηε διφφερενχε βεωεεν ηε ωο αππροαχηεσ ισ ρελαιϖελψ σmαλλ. Τηερε ισ, οφ χουρσε, mυχη ιν φαϖουρ οφ ηε ριγορουσ αππροαχη ωηεν ι χοmεσ ο δεριϖινγ αν αχχυραε ϖαλυε οφ ηε σρεσσεσ ιν ηε ϖεσσελ, ασ ρεθυιρεδ φορ α φαιγυε ασσεσσmεν, ασ σηοων ιν εφ. (5). Εξπεριενχε ινδιχαεσ ηα ηε πρεσεν ΠD 5000 δεσιγν ρυλε ανδ ηε Dεσιγν βψ Αναλψσισ αππροαχη, βοη υνδερεσιmαε ηε χαρρψινγ χαπαχιψ οφ ηε ϖεσσελ σινχε ηε σρεσσεσ ρεφερρεδ ο αβοϖε αρε ηιγηλψ λοχαλισεδ ιν ηε ρεγιον οφ ηε σαδδλε ηορνσ, ωηιλε ηε ρεσ οφ ηε ϖεσσελ ισ ονλψ mοδεραελψ σρεσσεδ. Ιν αδδιιον εϖεν ωηεν α πλασιχ ηινγε ισ χρεαεδ ιν ηε ηιγη σρεσσ ρεγιον α ηε σαδδλε ηορν, ηισ αλονε δοεσ νο χρεαε α χολλαπσε mεχηανισm; ηε ϖεσσελ ωιλλ σιλλ βε χαπαβλε οφ συσαινινγ φυρηερ λοαδ. Ιν ηε αβσενχε οφ φαιγυε ι χουλδ βε αππροπριαε ο βασε ηε δεσιγν οφ ηε ϖεσσελ ον πλασιχ αναλψσισ ανδ ηε πλασιχ χολλαπσε λοαδ οφ ηε ϖεσσελ. Τηισ αππροαχη προϖιδεσ ηε δεσιγνερ ωιη α mεηοδ οφ φινδινγ αν αλλοωαβλε λοαδ διρεχλψ

4 φροm ηε χολλαπσε λοαδ, βψ διϖιδινγ ηε χολλαπσε λοαδ βψ αν αππροπριαε φαχορ, υσυαλλψ 1.5. Ι αλσο αϖοιδσ ηε νεχεσσιψ οφ χαεγορισινγ ηε σρεσσεσ ασ ρεθυιρεδ βψ ηε Dεσιγν βψ Αναλψσισ αππροαχη. Πλασιχ χολλαπσε λοαδσ ηαϖε βεεν ινϖεσιγαεδ βψ ηε αυηορσ ανδ βψ οηερσ ιν α ρανγε οφ εξπεριmεναλ εσσ ον ενδ συππορεδ χψλινδερσ λοαδεδ χενραλλψ βψ αν εξερναλ σαδδλε λοαδ, Φιγ 1β. Τηε ενδ συππορεδ χψλινδερ mοδελ ηασ βεεν φουνδ ο βε α υσεφυλ σιmπλιφιχαιον φορ ηε συδψ οφ α ωιν σαδδλε συππορεδ ηοριζοναλ ϖεσσελ. Εξπεριmεναλ ωορκ οφ ηε αυηορσ ισ ρεπορεδ ιν πρεϖιουσ παπερ (1) ωηερε ι ωασ φουνδ ηα ηερε αρε ωο mαιν mοδεσ οφ χολλαπσε, α γραδυαλ πλασιχ χολλαπσε ανδ α mορε συδδεν ελασιχ πλασιχ βυχκλινγ φαιλυρε. Πλασιχ χολλαπσε οχχυρσ ωηεν ηε ϖεσσελ ραδιυσ ο σηελλ ηιχκνεσσ ισ ρελαιϖελψ σmαλλ (ψπιχαλλψ / < 00) ανδ ισ χηαραχερισεδ βψ ηε σεθυενιαλ φορmαιον οφ πλασιχ ηινγεσ ωηιχη χαυσε ηε εϖενυαλ χολλαπσε οφ ηε ϖεσσελ. Τηε φορmαιον οφ πλασιχ ηινγεσ ισ διφφερεν φορ σαδδλεσ ωηιχη αρε ωελδεδ ο ηε ϖεσσελ ηαν φορ ηοσε ωηερε ηε ϖεσσελ ισ πλαχεδ λοοσελψ ον ηε σαδδλε. Ιν ηε χασε οφ ωελδεδ σαδδλεσ ηε ηινγεσ οχχυρ α ηε ηορνσ ανδ (υσυαλλψ) ον ονε σιδε οφ ηε ναδιρ χλοσε ο ηε σαδδλε. Λοοσε σαδδλεσ, ον ηε οηερ ηανδ, ηαϖε σψmmεριχ ηινγεσ ωηιχη φορm ρουνδ ηε περιπηερψ οφ ηε σαδδλε/ϖεσσελ ινερφαχε; ηισ υλιmαελψ ρεσυλσ ιν α λοχαλισεδ ινδεναιον ον ηε σηελλ συρφαχε υνδερ ηε σαδδλε, ρεφερρεδ ο ασ α φοο πριν. Πρεϖιουσ αυηορσ, Τοοη & ϑονεσ (6) ανδ Κρυπκα (7,8) ηαϖε εξαmινεδ ηε χολλαπσε mεχηανισm οφ λοοσε ανδ ωελδεδ σαδδλεσ ανδ οβαινεδ εθυαιονσ ο χαλχυλαε ηε λιmι λοαδσ. Ιν ηε χασε οφ εφ. (6), ηεσε εθυαιονσ ηαϖε βεεν δεριϖεδ φορ α ριγορουσ υππερ βουνδ λιmι αναλψσισ ανδ ινσχριβεδ ψιελδ σολυιον ανδ ιν εφ. (7) φορ α σιmπλιφιεδ ψιελδ εθυαιον. Ιν αδδιιον ο ηε χλασσιχαλ λιmι αναλψσισ αππροαχη, φινιε ελεmεν αναλψσισ ηασ βεεν εmπλοψεδ ο δεερmινε ηε χολλαπσε λοαδ υσινγ ωο διφφερεν αππροαχηεσ ναmελψ, ηε ελασιχ χοmπενσαιον mεηοδ ανδ ηε mορε χονϖενιοναλ ελασιχ πλασιχ ρουινε. Τηε ελασιχ χοmπενσαιον mεηοδ ισ α σψσεmαιχ προχεδυρε, δεϖελοπεδ βψ Μαχκενζιε & Βοψλε (9,10) φορ εσιmαινγ υππερ ανδ λοωερ βουνδ λιmι λοαδσ. Τηε mεηοδ ωασ δεϖελοπεδ φροm ρεδυχεδ mοδυλυσ σρεσσ χαεγορισαιον αναλψσισ ιν ωηιχη ηε ελασιχ mοδυλυσ οφ ηε mαεριαλ ισ σψσεmαιχαλλψ ρεδυχεδ ιν ρεγιονσ οφ ηιγη σρεσσ ανδ ινχρεασεδ ιν ρεγιονσ οφ λοω σρεσσ. Τηε νε εφφεχ οφ ηισ προχεδυρε ισ ηα ηε mαξιmυm σρεσσ ωιλλ ρεδυχε ανδ χονϖεργε ιν συβσεθυεν ιεραιονσ. Τηισ χονϖεργεδ σρεσσ ισ α φυνχιον οφ ηε λιmι λοαδ ανδ ηυσ λοωερ ανδ υππερ βουνδ σολυιονσ χαν βε οβαινεδ. Τηε ελασιχ πλασιχ mεηοδ ισ α χονϖενιοναλ νον λινεαρ αναλψσισ βασεδ ον ηε πλασιχ προπεριεσ οφ ηε mαεριαλ υσεδ ο δεερmινε ηε χολλαπσε λοαδ. Τηισ πρεσεν παπερ εξαmινεσ ηεσε σιξ διφφερεν mεηοδσ ο οβαιν ηεορειχαλ χολλαπσε λοαδσ ανδ χοmπαρε ηε πρεδιχιονσ ωιη ηοσε οβαινεδ φροm ηε εξπεριmεναλ ϖεσσελσ. EXPERIMENTAL RESULTS Α ψπιχαλ χψλινδριχαλ ϖεσσελ ισ σηοων ιν Φιγυρε 1(α) ανδ ασσυmεδ ο βε φλυιδ φιλλεδ ασ ηισ ρεπρεσενσ ηε ωορσ λοαδινγ χασε. Τηε ϖεσσελ ισ υνσιφφενεδ ανδ ηασ ωο σαδδλε συππορσ εαχη ωιη α σαδδλε ρεαχιον φορχε οφ Π. Ιφ α ποριον οφ ηε ϖεσσελ ισ ισολαεδ ανδ ινϖερεδ ι χαν βε χονσιδερεδ ο βε λοαδεδ ηρουγη ονε σαδδλε ωιη φορχε Π ασ ιν Φιγυρε 1(β). Τηε φορχε Π χαν ηεν βε ρεαεδ ασ αν αππλιεδ φορχε, ωηιχη ρεπρεσενσ ηαλφ ηε οαλ λοαδ. Τηισ ρεπρεσενσ α χονϖενιεν εσ αρρανγεmεν.

5 Τηε πρεσεν αυηορσ ηαϖε ρεπορεδ ηε ρεσυλσ οφ α προγραmmε οφ 40 εξπεριmεναλ ρεσυλσ, ινχλυδινγ βοη ωελδεδ ανδ λοοσε σαδδλεσ. Dεαιλσ οφ ηε εσ σευπ αρε γιϖεν ιν εφ (1). Τηεσε ηαϖε βεεν βρουγη ογεηερ ωιη οηερ σιmιλαρ εξπεριmεναλ ρεσυλσ ο γιϖε α οαλ εξπεριmεναλ βασε φορ χοmπαρισον οφ 70 εσσ. Τηε mαιν γεοmεριχ φεαυρεσ οφ ηε ϖεσσελσ αρε συmmαρισεδ ιν Ταβλεσ 1 ανδ. Α ρανγε οφ σαδδλε ανγλεσ φροm 14.4 ο 180 ανδ / ραιοσ φροm 3 ο 457 αρε χοϖερεδ. ςεσσελσ 1 ο 0 ανδ 31 ο 50 αρε φροm (1). ςεσσελσ 1 ο 4 ανδ 51,5 αρε φροm (6); ϖεσσελσ 5 ο 30 ανδ 56 ο 66 αρε φροm Κρυπκα (7,8); ϖεσσελσ 53 ο 55 αρε φροm Wιλσον & Ολσεν (11) ανδ ϖεσσελσ 67 ο 70 αρε φροm Wηιε (1). Τηε εξπεριmεναλ χολλαπσε λοαδσ φορ ηε ωελδεδ ανδ λοοσε σαδδλεσ αρε λισεδ ιν Ταβλεσ 3 ανδ 4, ρεσπεχιϖελψ. Τηε χολλαπσε λοαδσ αρε σιmπλψ ηε ηιγηεσ λοαδ συσαινεδ ιν ηε εσ. 3 RIGOROUS UPPER BOUND ANALYSIS Τηε ριγορουσ υππερ βουνδ αναλψσισ ισ βασεδ ον ηε ωορκ οφ Τοοη & ϑονεσ (6) ωηιχη υσεσ αν υππερ βουνδ λιmι αναλψσισ ωιη α κινεmαιχαλλψ αδmισσιβλε ϖελοχιψ ορ δισπλαχεmεν φιελδ. Τηε mαεριαλ ισ ιδεαλισεδ ασ ριγιδ πλασιχ ανδ νο αλλοωανχεσ αρε mαδε φορ ηε χψλινδερ λενγη ορ ηε εφφεχσ οφ ηε ενδσ. Τηε ποσυλαεδ χολλαπσε mεχηανισm ισ σηοων ιν Φιγυρε. Τηισ χονσισσ οφ ηρεε χονινυουσ σηελλ ρεγιονσ Ι, ΙΙ, ανδ ΙΙΙ ανδ πλασιχ ηινγεσ ιν ηε αξιαλ ανδ χιρχυmφερενιαλ διρεχιονσ ογεηερ ωιη αν ινχλινεδ ηινγε DΕ. Τηε ρεγιονσ αρε σψmmεριχαλ ανδ ονλψ ηε θυαδραν ΟϑΕΓ ισ χονσιδερεδ ιν ηε αναλψσισ. Τηε δεριϖαιονσ χαν βε φουνδ ιν (6) ανδ ονλψ ηε φιναλ λιmι εθυαιονσ αρε πρεσενεδ ηερε. 3.1 Vessels with welded saddles Φροm (6) φορ ωελδεδ σαδδλεσ ηε υππερ βουνδ λιmι λοαδ, Π mιν ισ φουνδ ο βε: Π σ mιν ψ = β1 β1 χοσα + χοσα χοσ α + β β β 4 β σιν α + σιν α β 4 + σιν α + β β β π προϖιδεδ ηα β << ανδ α +. Τηε ηινγε δισανχε, β, χαν βε φουνδ ηρουγη αν ιεραιϖε προχεσσ φροm, 4 β β β σιν α + σιν α χοσ α + σιν α = 0 Τηεορειχαλ ϖαλυεσ οφ Π mιν χορρεσπονδινγ ο ηε ϖεσσελσ ιν Ταβλε 1 αρε λισεδ ιν Ταβλε (1)... () 3. Vessels with loose saddles Σιmιλαρλψ φορ λοοσε σαδδλεσ, ηε υππερ βουνδ λιmι λοαδ ισ: Π mιν σ ψ = β β χοσα χοσ α + β β + χοσα + σιν α β (3)

6 4 + σιν α + β β + β π προϖιδεδ ηα β << ανδ α +. β σινα σιν α + Τηε ηινγε δισανχε, β, χαν βε φουνδ ασ βεφορε ηρουγη αν ιεραιϖε προχεσσ φροm: 4 β β 4 β σιν α + σιν α σιν α + χοσ α + + χοσα = 0 β β Τηεορειχαλ ϖαλυεσ οφ Π mιν φορ ηε ϖεσσελσ ωιη λοοσε σαδδλεσ αρε λισεδ ιν Ταβλε 4. β... (4) 3.3 Comparisons with experimental results Τηε υππερ βουνδ χολλαπσε λοαδσ (υππερ βουνδ λιmι λοαδσ) χαν βε χοmπαρεδ διρεχλψ ωιη ηε εξπεριmεναλ ρεσυλσ. Τηε χοmπαρισονσ σηοω ηα ηε ριγορουσ υππερ βουνδ αππροαχη γιϖεσ λοαδσ ωηιχη αρε οο ηιγη φορ ωελδεδ σαδδλεσ. Ιν mανψ χασεσ ι πρεδιχσ λιmι ϖαλυεσ οφ ωιχε (ορ mορε ηαν ωιχε) ηε εξπεριmεναλ χολλαπσε λοαδ. Τηε χοmπαρισονσ οφ λοοσε σαδδλε χασεσ αλσο σηοω πρεδιχεδ υππερ βουνδ λοαδσ ωηιχη αρε γρεαερ ηαν ηε εξπεριmεναλ ρεσυλσ αληουγη ηε διφφερενχεσ αρε νο σο γρεα ασ φορ ηε ωελδεδ σαδδλεσ. Φορ ηιγη / ανδ σmαλλ σαδδλε ανγλεσ ηε πρεδιχιονσ ωερε αγαιν mορε ηαν ωιχε ηε εξπεριmεναλ ϖαλυεσ. Ηοωεϖερ ι σηουλδ βε βορνε ιν mινδ ηα φορ ηε ηιγηερ / ελασιχ βυχκλινγ ενδσ ο ινερϖενε (1,) γιϖινγ λοωερ εξπεριmεναλ ϖαλυεσ ηαν εξπεχεδ φροm πλασιχ χολλαπσε χονσιδεραιονσ. 4 INSCRIBED YIELD SURFACE Υσε οφ αν ινσχριβεδ ψιελδ συρφαχε ισ α ωελλ κνοων ωαψ οφ ρεδυχινγ ηε εσιmαεσ γιϖεν βψ α ριγορουσ υππερ βουνδ αππροαχη. Τηισ ενδσ ο πρεδιχ λιmι λοαδσ ηα αρε σmαλλερ ηαν ηε υππερ βουνδ λιmι λοαδσ ανδ ινδεεδ σmαλλερ ηαν ηε εξαχ σολυιον. Τηε αππροξιmαιονσ ο ηε ινσχριβεδ ψιελδ συρφαχε υσεδ ηερε αρε ασ προποσεδ βψ οβινσον (13). Ασ ωιη ηε υππερ βουνδ χασε, ονλψ ηε φιναλ λιmι εθυαιον ισ πρεσενεδ. Φυρηερ ινφορmαιον οφ ηε δεριϖαιον οφ ηε λιmι σολυιονσ χαν βε φουνδ ιν (6). 4.1 Vessels with welded saddles Τηε ινσχριβεδ ψιελδ συρφαχε λιmι λοαδ Π ινχ ισ γιϖεν ασ: Πινχ = σ ψ β1 β1 χοσα β β χοσα χοσ α β σιν α + σιν α β β... (5) β σιν α + β Τηε λιmιινγ εθυαιον υσεδ ο οβαιν ηε ηινγε δισανχε, β, ισ γιϖεν βψ:

7 β β β β.47 σιν α + σιν α χοσ α σιν α σιν α = 0 β Αγαιν εθυαιονσ (5) ανδ (6) αρε ϖαλιδ φορ β << ανδ α + Πρεδιχεδ ϖαλυεσ οφ Π ινχ αρε ινχλυδεδ ιν Ταβλε 3. π.... (6) 4. Vessels with loose saddles Τηε ινσχριβεδ ψιελδ συρφαχε λιmι λοαδ φορ λοοσε σαδδλεσ ισ γιϖεν βψ: Πινχ 1 β1 β β =.36 χοσ χοσ χοσ σιν α α + α + α σ ψ β β β β σιν α σιν α σιν α +... (7) β β Τηε εθυαιον φορ ηε ηινγε δισανχε β ισ γιϖεν βψ: β β β.75 σιν α + σινα σιν α +.47 χοσ α + β β σιν α χοσα = 0 β ωιη ηε σαmε γεοmεριχ ρανγε οφ ϖαλιδιψ ασ φορ ηε ωελδεδ σαδδλε. Αγαιν χαλχυλαεδ ϖαλυεσ φορ ηε ϖεσσελσ ωιη λοοσε σαδδλεσ αρε γιϖεν ιν Ταβλε (8) 4.3 Comparison with experimental results Α χοmπαρισον οφ ηε ινσχριβεδ ψιελδ συρφαχε λιmι λοαδσ (Π ινχ ) ωιη ηε εξπεριmεναλ χολλαπσε ρεσυλσ ανδ ηε υππερ βουνδ αναλψσισ χαν βε mαδε φροm Ταβλεσ 3 ανδ 4. Ασ εξπεχεδ ι γενεραλλψ γιϖεσ α λοωερ ϖαλυε χοmπαρεδ ωιη ηε υππερ βουνδ αναλψσισ. Χοmπαρινγ ηε ωελδεδ σαδδλεσ, ηε ινσχριβεδ ψιελδ σολυιον γιϖεσ λοαδσ ωηιχη αρε ρουγηλψ χοmπαραβλε ο ηε εξπεριmεναλ. Φορ ϖεσσελσ ωιη / βεωεεν 80 ανδ 17 ανδ σαδδλε εmβραχινγ ανγλεσ βεωεεν 10 ανδ 150, ηε ινσχριβεδ ψιελδ λοαδ ισ ψπιχαλλψ ωιηιν ± 0% οφ ηε χολλαπσε λοαδ. Φορ ϖεσσελσ ωιη / ραιοσ οφ 17 ορ γρεαερ, ηε ινσχριβεδ ψιελδ λοαδ χουλδ βε ασ ηιγη ασ ωο ορ ηρεε ιmεσ ηε εξπεριmεναλ χολλαπσε λοαδ. Ηοωεϖερ, ι σηουλδ βε νοεδ ασ πρεϖιουσλψ ηα ιν ηεσε χασεσ, ηε εξπεριmεναλ ϖεσσελσ ενδ ο εξηιβι ελασιχ βυχκλινγ βεηαϖιουρ ανδ ηε πλασιχ λιmι αναλψσισ mαψ βε ιρρελεϖαν. Φορ ϖεσσελσ ωιη / < 17 ανδ, < 10, ηε ινσχριβεδ ψιελδ συρφαχε λιmι λοαδ ωασ ηιγηερ βψ βεωεεν 30 ανδ 60%. Φορ ϖεσσελσ ωιη / οφ 80 ορ λεσσ ανδ σαδδλε ανγλεσ βεωεεν 10 ανδ 150, ηε ινσχριβεδ ψιελδ λοαδ ωασ λοωερ ηαν ηε εξπεριmεναλ βψ υπ ο αβου 5% (σιξ χασεσ). Τηε χοmπαρισον ωιη λοοσε σαδδλεσ σηοωσ ηα ηε ινσχριβεδ ψιελδ συρφαχε λιmι λοαδσ ωερε γενεραλλψ λοωερ (15% 100%) ηαν ηε εξπεριmεναλ χολλαπσε λοαδ ωιη νινε εξχεπιονσ. Τηεσε εξχεπιονσ ωερε αγαιν βεχαυσε ηε / ραιο ωασ ραηερ ηιγη (/=457 ιν ονε χασε) ορ ηε σαδδλε ανγλεσ ωερε σmαλλ, λεσσ ηαν 60. Χοmπαρεδ ωιη ηε εαρλιερ υππερ βουνδ λιmι λοαδ, ηε ινσχριβεδ ψιελδ λοαδ φορ λοοσε σαδδλεσ σεεmσ λεσσ σαισφαχορψ.

8 5 SIMPLIFIED UPPER BOUND SOLUTION Κρυπκα (7,8) προποσεδ α σιmπλιφιεδ υππερ βουνδ σολυιον ο ηε χολλαπσε λοαδ οφ σαδδλε συππορεδ ϖεσσελσ. Τηε ποσυλαεδ mεχηανισm χονσισεδ οφ α παιρ οφ παραλλελ πλασιχ ηινγεσ ον εαχη σιδε οφ ηε σαδδλε. Ονλψ ηε σηελλ ρεγιον υνδερ ηε σαδδλε ανδ ηε παραλλελ ηινγεσ αρε χονσιδερεδ. Ηισ αναλψσισ ασσυmεσ ηα ηε σαδδλε mοϖεσ ϖεριχαλλψ ωιη ονλψ ραδιαλ σηελλ mοϖεmεν ιν ηε χολλαπσε mεχηανισm. Τηε σολυιον ονλψ αππλιεσ φορ ϖεσσελσ ωιη λοοσε σαδδλεσ. Σριχλψ σπεακινγ, ηε mεχηανισm ισ νο κινεmαιχαλλψ αδmισσιβλε. Ηοωεϖερ Κρυπκα σ σιmπλιφιεδ υππερ βουνδ λοαδ, ερmεδ Π κρυπ, ωασ γιϖεν ασ: Π = σ σ ψ κρυπ ωηερε σ ιν Κρυπκα σ φορmυλαιον ισ. 5.1 Comparison with experimental results Τηε χοmπαρισον οφ Κρυπκα σ σιmπλιφιεδ εθυαιον ωιη ηε εξπεριmεναλ ρεσυλσ ισ αλσο σηοων ιν Ταβλεσ 3 & 4. Φορ χοmπλεενεσσ ηισ σολυιον ισ αλσο χοmπαρεδ ωιη ηε ωελδεδ σαδδλεσ δεσπιε ηε αβοϖε χριιχισm. Τηε χοmπαρισον ωιη ηε ωελδεδ σαδδλεσ (Ταβλε 3) σηοω ηα ηισ αναλψσισ υνδερεσιmαεσ ηε χολλαπσε λοαδ φορ αλmοσ αλλ ωελδεδ σαδδλεσ, υσυαλλψ βψ α φαχορ οφ ωο ορ ηρεε. Ηοωεϖερ, λοοσε σαδδλεσ σηοω α ραηερ γοοδ χορρελαιον βεωεεν ηισ αναλψσισ ανδ ηε χολλαπσε ρεσυλσ. Ιν mοσ χασεσ, ηε πρεδιχεδ λιmι λοαδσ ϖαρψ βψ αβου ± 15%. Φορ ηε λαργερ / ραιοσ ηε πρεδιχεδ λοαδσ ενδεδ ο βε ηιγη ασ εξπεχεδ. Ιν ηε ονε χασε (ςεσσελ Νο. 70) ωηερε ηε σαδδλε εmβραχινγ ανγλε ωασ ϖερψ σmαλλ, ηε λιmι λοαδ ωασ λεσσ ηαν ηαλφ ηε εξπεριmεναλ. Βροαδλψ ηε χοmπαρισον οφ ηε αβοϖε αναλψιχαλ λιmι λοαδσ ανδ ηε εξπεριmεναλ χολλαπσε λοαδ σηοω ηα ηε ινσχριβεδ ψιελδ συρφαχε λοαδ mεηοδ ισ ρεασοναβλε φορ ϖεσσελσ ωιη ωελδεδ σαδδλεσ ανδ Κρυπκα σ σιmπλιφιεδ λιmι λοαδ ισ ρεασοναβλε φορ λοοσε σαδδλεσ. Βοη σολυιονσ πρεδιχ ραηερ ηιγη λιmι λοαδσ φορ ηιγη / ραιοσ (/ >17 φορ ηε ωελδεδ χασε ανδ />39 φορ ηε λοοσε χασε), δυε νο δουβ ο ηε ονσε οφ ελασιχ βυχκλινγ φαιλυρε ιν ηε εξπεριmενσ. 6 ELASTIC COMPENSATION METHOD Φινιε ελεmεν mεηοδσ ωιλλ νοω βε ινϖεσιγαεδ. Τωο mεηοδσ ωιλλ βε υσεδ, ηε φιρσ οφ ηεσε βεινγ ηε elastic compensation mεηοδ. Τηε οβϕεχ οφ ηε ελασιχ χοmπενσαιον mεηοδ ισ ο εσαβλιση αν αππροπριαε σρεσσ φιελδ συιαβλε φορ συβσιυιον ινο ηε λοωερ βουνδ λιmι αναλψσισ ηεορεm. Τηισ ισ αχχοmπλισηεδ βψ σψσεmαιχαλλψ mοδιφψινγ ηε λοχαλ ελασιχ mοδυλυσ ιν α φινιε ελεmεν mοδελ σο ασ ο χαυσε ηε σρεσσ ο ρεδισριβυε. Ασ ηε ιεραιονσ αρε λινεαρ ελασιχ, ηισ αϖοιδσ προβλεmσ οφ εξχεσσιϖε χοmπυινγ ιmεσ ανδ mεmορψ. Τηε mεηοδ ωασ δεϖελοπεδ βψ Μαχκενζιε & Βοψλε (9) ανδ ηασ βεεν συχχεσσφυλλψ υσεδ φορ α ϖαριεψ οφ πρεσσυρε ϖεσσελ ψπε αππλιχαιονσ (10). Ινιιαλλψ α χονϖενιοναλ ελασιχ φινιε ελεmεν αναλψσισ ισ περφορmεδ φορ αν αρβιραρψ λοαδ σε, Π, ανδ α σρεσσ φιελδ οβαινεδ. Τηισ ινιιαλ ηοmογενουσ (ι.ε. ηε ελασιχ mοδυλυσ ισ ηε σαmε φορ εϖερψ ελεmεν) ισοροπιχ σολυιον ισ ηεν ακεν ασ ιεραιον ζερο ιν α σεριεσ οφ

9 λινεαρ ελασιχ αναλψσεσ, ιν ωηιχη ηε ελασιχ mοδυλυσ οφ εαχη ελεmεν ισ mοδιφιεδ αχχορδινγ ο αν εξπρεσσιον οφ ηε φορm: Ε = ι Ε( ι 1) σ σ ν ( ι 1) ωηερε ι = ηε ιεραιον νυmβερ ν = α νοmιναλ σρεσσ (ι 1) = ηε mαξιmυm (νον αϖεραγεδ νοδαλ εφφεχιϖε σρεσσ (ϖον Μισεσ)) ασσοχιαεδ ωιη ηε ελεmεν χαλχυλαεδ ιν ηε πρεϖιουσ ιεραιον. Τηισ ιεραιϖε προχεδυρε ρεδισριβυεσ ηε σρεσσ ιν ηε χοmπονεν ανδ οϖερ α νυmβερ οφ ιεραιονσ ηε νε εφφεχ ισ ο δεχρεασε ηε mαξιmυm σρεσσ ιν ηε mοδελ ο α χονϖεργεν ϖαλυε. Ασ ηε ιεραιϖε σολυιονσ αρε λινεαρ ελασιχ, ηε σρεσσ mαγνιυδε ισ προποριοναλ ο ηε αππλιεδ λοαδ. Α lower bound limit load χαν ηεν βε χαλχυλαεδ βψ ινϖοκινγ ηε λοωερ βουνδ λιmι λοαδ ηεορεm. Τηε λοωερ βουνδ λοαδ ισ εσαβλισηεδ βψ χαλχυλαινγ ηε λοαδ ρεθυιρεδ ο mακε ηε mαξιmυm (νον αϖεραγεδ) νοδαλ σρεσσ εθυαλ ο ψ φροm σιmπλε προποριοναλιψ. Χονσιδερινγ ηε ιεραιον γιϖινγ ηε λοωεσ ϖαλυε οφ mαξιmυm νοδαλ σρεσσ ασ, ηε λιmι λοαδ φορ α γιϖεν λοαδ σε Π ισ: σ Π λβ Π σ ωηερε Π λβ ισ ηε βεσ εσιmαε οφ ηε λιmι λοαδ. ψ =... (10) Τηε upper bound limit load χαν αλσο βε χαλχυλαεδ φροm ηε χονϖεργεδ ιεραιον βψ χοmπαρινγ ηε σραιν ενεργψ (Υ) ανδ ηε ενεργψ δισσιπαιον (D) ιν ηε δεφορmεδ mοδελ. Τηε υππερ βουνδ λιmι λοαδ ισ προποριοναλ ο ηε λοαδ σε ανδ ισ γιϖεν ασ: D Π υβ = Π... (11) Υ ωηερε Π ισ ηε λοαδ σε ανδ Π υβ ισ ηε υππερ βουνδ λιmι λοαδ Τηε φινιε ελεmεν παχκαγε υσεδ ηρουγηου ωασ ΑΝΣΨΣ. Τηε προχεδυρεσ ρεθυιρεδ ο οβαιν ηε λιmι λοαδσ φροm ηισ παχκαγε χαν βε περφορmεδ φαιρλψ ρουινελψ υσινγ ΑΝΣΨΣ Dεσιγν Παραmεριχ Λανγυαγε (ΑDΠΛ) mαχροσ. Τηεσε mαχροσ ωερε οριγιναλλψ ωριεν ιν ηε Dεπαρmεν οφ Μεχηανιχαλ Ενγινεερινγ ιν ηε Υνιϖερσιψ οφ Σραηχλψδε (14). 6.1 Elastic compensation method - welded saddles Τηε φινιε ελεmεν mοδελ υσεδ φορ αλλ ρεπορεδ αναλψιχαλ ρεσυλσ εmπλοψινγ ηε ελασιχ χοmπενσαιον ρουινε ωασ χονσρυχεδ υσινγ 65 8 νοδεδ βριχκ ελεmεν ωιη 3 ελεmενσ ηρουγη ηε ηιχκνεσσ. Τηε γεοmεριχαλ ρεπρεσεναιον ωασ γενεραεδ βψ ινερσεχινγ α χψλινδριχαλ ϖεσσελ ωιη α χενραλλψ λοχαεδ ωελδεδ σαδδλε, ι.ε. ασ περ ηε ενδ συππορεδ ινϖερεδ mοδελ. Ιν ϖιεω οφ ηε σψmmερψ ιν ηε λονγιυδιναλ ανδ ρανσϖερσε διρεχιονσ οφ ηε γεοmερψ ανδ ηε αππλιεδ λοαδινγ, α θυαρερ mοδελ οφ ηε φυλλ εξπεριmεναλ ϖεσσελ ωασ mοδελλεδ ωιη σψmmερψ βουνδαρψ χονδιιονσ. Τηε οπεν ενδσ οφ ηε mοδελ ωερε χονσραινεδ ιν ηε χιρχυmφερενιαλ διρεχιον βυ ωερε φρεε ο δεφορm ιν ηε ραδιαλ διρεχιον ορ ροαε ιν ηειρ πλανε. Τηισ ισ αν αππροξιmαιον ο ηε εξπεριmεναλ βουνδαρψ χονδιιονσ (1) ωηερε ηερε α δεγρεε οφ ραδιαλ ρεσραιν ιmποσεδ βψ ηιν ρινγσ ινσερεδ ινο ηε οπεν ενδσ οφ ηε εσ χψλινδερ. Τηε εδγεσ οφ ηε σαδδλε αρε ωελδεδ ο ηε ϖεσσελ βψ mεργινγ ηε νοδεσ α ηε βουνδαρψ οφ ηε ϖεσσελ/σαδδλε ινερφαχε. Τηε νοδεσ λοχαεδ ωιηιν ηε ινερφαχε ρεγιον

10 ωερε νο mεργεδ. Φινερ mεσηεσ ωερε χρεαεδ νεαρ ηε σαδδλε ανδ ϖεσσελ χοναχ αρεα ωηερε ηιγη σρεσσ γραδιενσ ωερε εξπεχεδ ιν ρεγιονσ οφ υνιφορm σρεσσ ωιη α χοαρσε mεση αωαψ φροm ηε σαδδλε. Τηε σε λοαδ, Π, ωασ αππλιεδ ασ α πρεσσυρε λοαδ ον ηε σαδδλε βασε. Ελασιχ χοmπενσαιον ωασ περφορmεδ οϖερ 9 ιεραιονσ ωηιχη ενσυρεδ χονϖεργενχε. Τηε εθυαιονσ (10) ανδ (11) ωερε ηεν υσεδ ο εϖαλυαε ηε λοωερ ανδ υππερ βουνδ λιmι λοαδσ. Τηε ρεσυλινγ λιmι λοαδσ αρε αβυλαεδ ιν Ταβλε 3 ασ Π λβ ανδ Π υβ, ρεσπεχιϖελψ. 6. Elastic compensation method - loose saddles ςεσσελσ ωιη λοοσε σαδδλεσ ωερε ρεαεδ ιν α σιmιλαρ ωαψ ο ηε ωελδεδ σαδδλε χασεσ. Τηεψ διφφερ ιν ονλψ ονε mαϕορ ασπεχ. Wιη ηε λοοσε σαδδλεσ, ηερε ισ α διφφιχυλψ ιν χορρεχλψ mοδελλινγ ηε σαδδλε ινερφαχε ρεαχιον βεωεεν ηε σαδδλε ανδ ϖεσσελ. Αληουγη χοναχ ελεmενσ εξισ ιν ηε ΑΝΣΨΣ φορmυλαιον, ηεψ χαννο εασιλψ βε υσεδ ωιη ηε ελασιχ χοmπενσαιον mεηοδ σινχε, ωηεν ηε ελασιχ mοδυλυσ οφ ηε ελεmενσ αρε ινχρεασεδ, ηε ραε οφ χονϖεργενχε οφ ηε χοναχ ελεmενσ δεχρεασεσ. Ηενχε ηεψ δο νο χονϖεργε ρεαδιλψ ο ηε ρεθυιρεδ σολυιον. Τηε αππροαχη υσεδ ηερε ωασ ο ρεα ηε σαδδλε ανδ ϖεσσελ ασ ωο σεπαραε ενιιεσ. εαχιον φορχεσ φροm ηε σαδδλε χαν βε αππλιεδ διρεχλψ ον ηε ϖεσσελ ανδ ηε ελασιχ mοδυλυσ οφ ηε ελεmενσ ιν ηε ϖεσσελ χαν ηεν βε ρεδυχεδ ιν ηε υσυαλ ωαψ. Τηε ρεαχιον ορ ινερφαχε φορχεσ χαν βε οβαινεδ υσινγ αν ελασιχ σηελλ αναλψσισ αππροαχη. Τηισ αππροαχη mακεσ υσε οφ α χοmπυερ προγραm, ΣΑDDΛΕ, δεϖελοπεδ ιν ηε Υνιϖερσιψ οφ Σραηχλψδε ασ ρεπορεδ βψ Ονγ (15) ανδ ϖαλιδαεδ βψ Τοοη ε αλ. (4). Τηε προγραm προϖιδεσ α σεριεσ οφ ραδιαλ ινερφαχε πρεσσυρεσ βψ ασσυmινγ ηα (α) ηε ινερφαχε ισ φριχιονλεσσ σο ηα ονλψ ραδιαλ ινερφαχε φορχεσ αρε πρεσεν ανδ (β) ηε ινερφαχε φορχε ισ α πρεσσυρε αχινγ ον α παχη ωηοσε ωιδη ισ ηε ωιδη οφ ηε σαδδλε. Τηισ mεανσ ηα χονσαν ινερφαχε φορχε ισ ασσυmεδ αχροσσ ηε ωιδη οφ ηε σαδδλε. Ι ισ φυρηερ ασσυmεδ ηα ηε mαγνιυδε οφ ηε ινερφαχε φορχεσ ισ βασεδ ον ελασιχ αναλψσισ ανδ δοεσ νο χηανγε ιν συβσεθυεν ιεραιονσ. Τηε ρεσυλινγ ινερφαχε πρεσσυρεσ εφφεχιϖελψ συππλψ ηε λοαδινγ ο ηε χψλινδερ ανδ ηε ελασιχ χοmπενσαιον mεηοδ χαν ηεν βε αππλιεδ ασ δεσχριβεδ αβοϖε. Τηε ρεσυλινγ λοωερ ανδ υππερ βουνδ λιmι λοαδσ φορ ηε λοοσε σαδδλεσ αρε αβυλαεδ ιν Ταβλε 4. 7 ELASTIC-PLASTIC F.E. METHOD Τηε ελασιχ πλασιχ mεηοδ ιν φινιε ελεmεν αναλψσισ ισ α υσεφυλ οολ ιν πλασιχ αναλψσισ ασ ι γιϖεσ α χολλαπσε λοαδ ωηιχη χαν βε χοmπαρεδ ωιη χλασσιχαλ λιmι λοαδσ. Τηε δισαδϖαναγεσ αρε ηε ινχρεασεδ χοmπυινγ ιmε ανδ mεmορψ ρεθυιρεmενσ. Τηε Φ.Ε. mοδελ υσεδ ωασ σιmιλαρ ο ηα εmπλοψεδ φορ ηε ελασιχ χοmπενσαιον mοδελ ιν σο φαρ ασ α θυαρερ οφ ηε εξπεριmεναλ ενδ συππορεδ ϖεσσελ ωασ mοδελλεδ ανδ ηε σαmε σψmmερψ βουνδαρψ χονδιιονσ ωερε αππλιεδ. 8 νοδεδ βριχκ ελεmενσ ωερε υσεδ ο mοδελ ηε σαδδλε ανδ 4 νοδεδ σηελλ ελεmενσ φορ ηε σηελλ φορ βοη ωελδεδ ανδ λοοσε σαδδλε ϖεσσελσ γιϖινγ α οαλ οφ 54 ελεmενσ. Χονϖεργενχε συδιεσ ωερε υνδερακεν ανδ ηισ αρρανγεmεν προϖεδ αδεθυαε ωιη ρεσπεχ ο αχχυραχψ ανδ εφφιχιενχψ οφ χοmπυερ ρυν ιmε. Ιν ωελδεδ σαδδλεσ, ηε νοδεσ αρουνδ ηε εδγεσ οφ ηε σαδδλε ανδ ϖεσσελ ινερφαχε ωερε mεργεδ ογεηερ ασ βεφορε ο σιmυλαε α ωελδ. Τηε νοδεσ υνδερ ηε σαδδλε ωερε νο mεργεδ. Φορ λοοσε σαδδλεσ ηοωεϖερ, ποιν ο ποιν χοναχ ελεmενσ ωερε υσεδ α αλλ ηε νοδεσ οφ ηε σαδδλε ανδ ϖεσσελ ινερφαχε. Τηεσε χοναχ νοδεσ ρεπρεσενσ ωο συρφαχεσ ωηιχη mαψ mαιναιν ορ βρεακ πηψσιχαλ χοναχ

11 ανδ mαψ σλιδε ρελαιϖε ο εαχη οηερ. Τηε χοναχ ελεmεν ισ ονλψ χαπαβλε οφ συππορινγ χοmπρεσσιον ιν ηε ραδιαλ διρεχιον ανδ σηεαρ ιν ηε χιρχυmφερενιαλ διρεχιονσ. Τηε ϖεσσελ ωασ σρεσσεδ ινχρεmεναλλψ ηρουγη α πρεσσυρε αχινγ ον ηε σαδδλε σ βασε. Α λαργε δεφλεχιον αναλψσισ ωασ περφορmεδ ανδ αν ελασιχ περφεχλψ πλασιχ χονσιυιϖε ρελαιονσηιπ ωασ ασσυmεδ φορ ηε mαεριαλ βεηαϖιουρ. Τηε ωιχε ελασιχ σλοπε mεηοδ ωασ υσεδ ασ α βασισ οφ οβαινινγ ηε χολλαπσε λοαδ. Τηισ ωασ οβαινεδ φροm α γραπη πλοινγ ηε αππλιεδ οαλ λοαδ ον ηε σαδδλε ανδ ηε ϖεριχαλ δισπλαχεmεν οφ α νοδε ον ηε οπ (ι.ε. ηε βασε) οφ ηε σαδδλε. Τηε ρεσυλσ φορ ηε ελασιχ πλασιχ αναλψσισ φορ ηε ωελδεδ ανδ λοοσε σαδδλε χασεσ αρε ινχλυδεδ ιν αβλεσ 3 ανδ 4, ρεσπεχιϖελψ. 8 COMMENTS ON THE ELASTIC COMPENSATION AND THE ELASTIC- PLASTIC METHODS Α χοmπαρισον οφ ηε ελασιχ χοmπενσαιον, ηε ελασιχ πλασιχ ανδ ηε εξπεριmεναλ χολλαπσε λοαδ ρεσυλσ χαν βε mαδε φροm Ταβλεσ 3 & 4. Φορ ηε ωελδεδ σαδδλεσ (Ταβλε 3) ι ισ εϖιδεν ηα φορ ηε ελασιχ χοmπενσαιον mεηοδ ηε υππερ βουνδ λιmι λοαδσ (Π υβ ) αρε ωιχε ηοσε οφ ηε λοωερ βουνδ (Π λβ ). Τηε εξπεριmεναλ χολλαπσε λοαδσ αρε γενεραλλψ ωιηιν ηε υππερ ανδ λοωερ βουνδ λιmισ βυ αρε υσυαλλψ χλοσερ ο ηε λοωερ βουνδ ϖαλυεσ εξχεπ ιν χασεσ ωηερε ελασιχ βυχκλινγ ενδσ ο ινερϖενε, ι.ε. ηιγη / ϖαλυεσ ασ ιν ςεσσελσ Νοσ. 1,, 8 & 9, 15, 16, 17, 7 & 8. Ιν χασεσ ωηερε ηε ραδιυσ οφ ηε χψλινδερ ωασ 00mm, ηε εξπεριmεναλ χολλαπσε λοαδσ ωερε αλλ αλmοσ λοωερ ηαν ηε λοωερ βουνδ λιmι λοαδσ (ςεσσελ Νοσ. 15 ο 19). Τηε ελασιχ πλασιχ χοmπαρισονσ ωιη ηε εξπεριmεναλ χολλαπσε ρεσυλσ σηοω ηα ηε ελασιχ πλασιχ λοαδ αρε υσυαλλψ χλοσερ ο ηε εξπεριmεναλ ρεσυλσ εξχεπ ωηεν ελασιχ βυχκλινγ οχχυρσ (σεε αβοϖε). Γενεραλ χοmmενσ ον ηε λοοσε σαδδλε χασεσ αρε mορε διφφιχυλ ο mακε ασ ηε χολλαπσε ρεσυλσ αρε mορε σχαερεδ. Ηοωεϖερ, ηε ελασιχ χοmπενσαιον ρεσυλσ σηοω ηα ηε υππερ βουνδ λιmι λοαδσ αρε γενεραλλψ (βυ νο υνιφορmλψ) 50% ηιγηερ ηαν ηε λοωερ βουνδ λοαδ. Τηε εξπεριmεναλ χολλαπσε ρεσυλσ ενδ ο βε χλοσερ ο ηε υππερ βουνδ λιmι βυ αρε νο βουνδεδ βψ Π υβ. Τηε ελασιχ πλασιχ ρεσυλσ σηοω α σιmιλαρ ρενδ ωιη ηε ωελδεδ χασε, ι.ε. ηε ρεσυλσ αρε γενεραλλψ ιν βεερ αγρεεmεν ωιη ηε εξπεριmεναλ ρεσυλσ. Τηε εξχεπιονσ αγαιν αρε ωηερε ελασιχ βυχκλινγ σεεmσ ο οχχυρ (ςεσσελ Νοσ. 31, 38, 45, 58 & 59), ωηερευπον ηε εξπεριmεναλ χολλαπσε λοαδσ αρε λοωερ ηαν ηε ελασιχ πλασιχ λοαδ. 9 COMPARISON OF ALL THEORETICAL RESULTS WITH SELECTED EXPERIMENTS Αν αεmπ ηασ βεεν mαδε ο σηοω ηε ρεσυλσ γραπηιχαλλψ ιν Φιγυρεσ 3 ο 8. Φιγυρεσ 3, 4 ανδ 5 γιϖε βοη ηεορειχαλ ρεσυλσ ανδ εξπεριmενσ φορ ηε ωελδεδ σαδδλε χασεσ ανδ Φιγυρεσ 6, 7 ανδ 8 ηε χορρεσπονδινγ ρεσυλσ φορ ηε λοοσε σαδδλε χασεσ. Τηε γραπησ σηοω νον διmενσιοναλ χολλαπσε λοαδσ πλοεδ αγαινσ / φορ ηρεε διφφερεν γεοmεριεσ. Τηε εξπεριmεναλ ρεσυλσ ηαϖε βεεν ρεσριχεδ ο ηε σεριεσ οφ εσσ χονδυχεδ βψ ηε αυηορσ σινχε ηεσε φορm α χονσισεν σε ανδ φι ωιηιν ηε ηρεε γεοmεριχαλ γρουπσ. Τηε οηερ ρεσυλσ ιν Ταβλεσ 3 ανδ 4 mαψ βε χοmπαρεδ ινδιϖιδυαλλψ ωιη ηε ϖαριουσ ηεοριεσ βυ δο νο φορm συφφιχιενλψ λαργε γρουπσ ο προϖιδε mεανινγφυλ γραπησ.

12 Τηε δισχονινυιψ ιν ηε ρενδ οφ ηε εξπεριmεναλ ρεσυλσ ισ εϖιδεν; ηισ ηασ βεεν δισχυσσεδ α σοmε λενγη ιν (1). Εσσενιαλλψ ηε δοεδ λινε ρεφερσ ο ηε ονσε οφ ελασιχ ορ ελασιχ πλασιχ βυχκλινγ. Οβϖιουσλψ ηε ηεορειχαλ ρεσυλσ αρε αλλ φορ πλασιχ χολλαπσε ψπε φαιλυρε ανδ σηουλδ νο βε χοmπαρεδ ωιη ηε εξπεριmενσ βεψονδ ηε χυσπ ιν ηε εξπεριmεναλ λινε. Σιmιλαρλψ, ασ ηασ αλρεαδψ βεεν mενιονεδ, σοmε οφ ηε οηερ εξπεριmεναλ ρεσυλσ ιν Ταβλεσ 3 ανδ 4, νο πλοεδ ηερε, αρε αλσο φορ ηιγη / ανδ λικελψ ο βε ινφλυενχεδ βψ ελασιχ βυχκλινγ βεηαϖιουρ. Φορ α γιϖεν γεοmερψ ι ισ νο σιmπλε ο πρεδιχ ωηεν ελασιχ βυχκλινγ mαψ ινερϖενε σο ηε ηεορειχαλ ρεσυλσ ηαϖε βεεν σηοων φορ α ωιδερ ρανγε οφ / ηαν ηα χοϖερεδ βψ ηε πλασιχ χολλαπσε ρεσυλσ ιν ηε αυηορσ σεριεσ. Α νυmβερ οφ ινερεσινγ ρενδσ χαν βε δεεχεδ, ιν παριχυλαρ βεωεεν ηε ωελδεδ ανδ λοοσε σαδδλε χασεσ, σοmε οφ ωηιχη ηαϖε βεεν mενιονεδ εαρλιερ. Ηοωεϖερ ηε mαιν οβσερϖαιον ισ ηα ηε ελασιχ πλασιχ χολλαπσε λοαδ γιϖεσ ηε βεσ αππροξιmαιον ο ηε εξπεριmεναλ ρεσυλσ. Φιγυρεσ 9 ανδ 10 σηοω ηε ραιο οφ ηε εξπεριmεναλ χολλαπσε λοαδ ο ηεορειχαλ χολλαπσε λοαδ, αγαιν πλοεδ αγαινσ / οϖερ ηε ρανγε 0 < / < 0. Ιν ηισ χασε αλλ εσ ρεσυλσ φροm Ταβλεσ 3 & 4 ιν ηε ρανγε ηαϖε βεεν ινχλυδεδ. Αχχορδινγλψ ηισ ινχρεασεσ ηε σχαερ βυ ι σιλλ εmπηασισεσ ηε γοοδ αγρεεmεν ωιη ηε ελασιχ πλασιχ ρεσυλ. Νοε ηα ιν ηισ χασε ηε σψmβολ φορ Π επ ηασ βεεν χηανγεδ ο αν ινφιλλεδ βλαχκ χιρχλε φορ χλαριψ. 10 CONCLUDING COMMENTS Τηισ παπερ σεεκσ ο χοmπαρε ηεορειχαλ λιmι λοαδ αππροαχηεσ ανδ ϖαριουσ φινιε ελεmεν βασεδ mεηοδσ ωιη εξπεριmεναλ χολλαπσε ρεσυλσ φορ ηε σιmπλιφιεδ χασε οφ αν ενδ συππορεδ χψλινδερ λοαδεδ χενραλλψ βψ α ωελδεδ ορ λοοσε σαδδλε. Τηεσε ρεσυλσ σηουλδ βε υσεφυλ ιν ηε χονεξ οφ ωιν σαδδλε συππορεδ ηοριζοναλ ϖεσσελσ. Τηε λιmι λοαδ αππροαχηεσ αρε ρεσριχεδ σινχε ηεψ ρεα ηε σαδδλε συππορεδ προβλεm ασ α λοχαλ προβλεm ανδ δο νο ινχλυδε ηε εφφεχ οφ ηε λενγη οφ ηε ϖεσσελ. Ι ισ παρλψ φορ ηεσε ρεασονσ ανδ ιν ανιχιπαιον οφ δεσιγν ρεθυιρεmενσ ηα φινιε ελεmεν mεηοδσ ωερε αλσο εξαmινεδ. Τηε ελασιχ χοmπενσαιον mεηοδ ασ εmπλοψεδ ηερε δοεσ νο χοmπαρε ασ ωελλ ασ ηε ελασιχ πλασιχ αναλψσισ; ηε ρανγε ωηιχη ρεσυλ φροm ηε λοωερ ανδ υππερ βουνδσ ισ οο λαργε (100% φορ ηε ωελδεδ ανδ 50% φορ ηε λοοσε σαδδλεσ). Αλσο ηε χοmπαρισον ωιη ηε εξπεριmεναλ χολλαπσε ρεσυλσ διφφερ mαρκεδλψ ωιη ηε ψπε οφ σαδδλε. Τηε ελασιχ χοmπενσαιον λοωερ βουνδ χοmπαρεσ ωελλ ωιη ηε ωελδεδ σαδδλεσ ωηιλε ηε υππερ βουνδ πρεδιχιον χοmπαρεσ ωελλ ωιη ηε λοοσε σαδδλεσ. Τηισ λαερ mαψ βε δυε ο ηε ασσυmπιον οφ υσινγ α σε οφ ραδιαλ πρεσσυρεσ ασ ηε λοαδινγ ον ηε ϖεσσελ. Ιν ρεαλιψ, ηισ σε οφ φορχεσ ισ λικελψ ο ρεδισριβυε ωιη ηε χηανγινγ σιφφνεσσ οφ ηε σηελλ. Ηοωεϖερ ηε mαιν χονχλυσιον ισ ηα ηε ελασιχ πλασιχ mεηοδ ηασ προϖεδ ϖιαβλε ασ α οολ ιν χοmπυινγ ηε χολλαπσε λοαδ ανδ ηισ mεηοδ γιϖεσ πρεδιχιονσ ωηιχη αρε χοmπαραβλε ο ηε εξπεριmεναλ χολλαπσε λοαδσ. Α χοmπανιον παπερ ωιλλ υσε ηε ελασιχ πλασιχ mεηοδ ο γενεραε α παραmεερ συδψ.

13 REFERENCES 1 Chan G.C.M., Tooth A.S. and Spence J., Αν εξπεριmεναλ συδψ οφ ηε χολλαπσε οφ ηοριζοναλ σαδδλε συππορεδ σοραγε ϖεσσελσ. Προχ. Ινσ. Μεχη. Ενγρσ, ςολ. 1, Παρ Ε, ππ Chan G.C.M., Tooth A.S. and Spence J., Α συδψ οφ ηε βυχκλινγ βεηαϖιουρ οφ ηοριζοναλ σαδδλε συππορεδ ϖεσσελσ. Βιχενεναρψ Χονφ. ον Τηιν Wαλλεδ Σρυχυρεσ, Υνιϖ. οφ Σραηχλψδε, Dεχ Πυβλ. ιν Τηιν Wαλλεδ Σρυχυρεσ, ςολ. 30, Νο. 1 4, ππ. 3, British Standard PD 5500:000, Σπεχιφιχαιον φορ υνφιρεδ φυσιον ωελδεδ πρεσσυρε ϖεσσελσ, Βριιση Σανδαρδ Ινσιυιον, Λονδον. 4 Tooth A.S., Duthie G., White G.C. and Carmichael J., Σρεσσεσ ιν ηοριζοναλ σοραγε ϖεσσελσ α χοmπαρισον οφ ηεορψ ανδ εξπεριmεν. ϑ. Σραιν Αναλψσισ, ςολ. 17, Νο. 3, 198, ππ Tooth A.S. and Nash D.H., Σρεσσ αναλψσισ ανδ φαιγυε ασσεσσmεν οφ ωιν σαδδλε συππορεδ πρεσσυρε ϖεσσελσ. ΑΣΜΕ ΠςΠ Χονφ. ον Πρεσσυρε ςεσσελσ ανδ Χοmπονενσ, ΠςΠ ςολ. 17, Σαν Dιεγο, 1991, ππ Tooth A.S. and Jones, N., Πλασιχ χολλαπσε λοαδσ οφ χψλινδριχαλ πρεσσυρε ϖεσσελσ συππορεδ βψ ριγιδ σαδδλεσ. ϑ. οφ Σραιν Αναλψσισ, ςολ. 17, Νο. 3, 198, ππ Krupka V., Σαδδλε συππορεδ υνσιφφενεδ ηοριζοναλ ϖεσσελσ. Ιν Αχα Τεχηνιχα ΧΣΑς, Νο. 4, Πραγυε, 1988, ππ Krupka V., Πλασιχ σθυεεζε οφ χιρχυλαρ σηελλ δυε ο σαδδλε ορ λυγ. ΙΥΤΑΜ Σψmπ., Πραγυε, Mackenzie D. and Boyle J.T., Α mεηοδ οφ εσιmαινγ λιmι λοαδσ βψ ινεραχιϖε ελασιχ αναλψσισ Ι Σιmπλε εξαmπλεσ. Ιν. ϑ. Πρεσ. ςεσ. ανδ Πιπινγ, ςολ. 53, 1993, ππ Mackenzie D, Boyle J.T. and Hamilton R., Τηε ελασιχ χοmπενσαιον mεηοδ φορ λιmι ανδ σηακεδοων αναλψσισ: α ρεϖιεω. ϑ. οφ Σραιν Αναλψσισ, ςολ. 35, νο. 3,000, ππ Wilson W.M. and Olsen E.D., Τεσσ ον χψλινδριχαλ σηελλσ. Υνιϖ. οφ Ιλλινοισ Ενγ. Εξπ. Σαιον Βυλλειν Νο. 331, Σεπ White D.H., Εξπεριmεναλ δεερmιναιον οφ πλασιχ χολλαπσε λοαδσ φορ χψλινδριχαλ σηελλσ λοαδεδ ραδιαλλψ ηρουγη ριγιδ συππορσ. νδ Ιν. Χονφ. ον Πρεσ. ςεσ. Τεχη., Σαν Ανονιο, Οχ. 1973, ππ Robinson M., Χοmπαρισον οφ ψιελδ συρφαχε φορ ηιν σηελλ. Ιν. ϕ. Μεχη. Σχι., ςολ. 13, 1971, ππ Chan G.C.M., Α δεσιγν συδψ οφ ηε χολλαπσε οφ σαδδλε συππορεδ ϖεσσελσ. ΠηD ηεσισ, Dεπ. οφ Μεχηανιχσ οφ Μαεριαλσ, Υνιϖ. οφ Σραηχλψδε, 1995.

14 15 Ong L S., Α χοmπυερ προγραm φορ χψλινδριχαλ σηελλ αναλψσισ. Ιν. ϑ. Πρεσ. ςεσ. ανδ Πιπινγ, ςολ. 3, ππ ACKNOWLEDGEMENTS Τηε αυηορσ ωουλδ λικε ο ηανκ ηε ΥΚ Γοϖερνmεν ΟΣ Αωαρδ Σχηεmε ανδ ηε Υνιϖερσιψ οφ Σραηχλψδε φορ ηε φινανχιαλ συππορ γιϖεν ο Dρ. Χηαν δυρινγ ηε χουρσε οφ ηισ συδψ. Υσε οφ ηε ΑΝΣΨΣ σοφωαρε ηρουγη α φαχυλψ ρεσεαρχη λιχενσε φροm Ανσψσ Ινχ., Ηουσον, ΠΑ ισ αλσο αχκνοωλεδγεδ. Σπεχιαλ ηανκσ αρε δυε ο Προφεσσορ Τοοη, ηε ινιιαορ οφ ηισ ρεσεαρχη ωορκ, ωηο διεδ ον 11 Απριλ 001.

15 Μεαν αδιυσ (mm) Table 1. Vessels with welded saddles Wαλλ Τηιχκνεσσεσ (mm) Σαδδλε Ανγλε ( ) ςεσσελ Λενγη Λ (mm) Σαδδλε Wιδη β 1 (mm) Ψιελδ Σρεσσ ψ (Ν/mm ) ςεσσελ Νο. / α α α Σαδδλε οφφσε α 760mm ςεσσελσ 1 ο 4 ωερε ρεπορεδ βψ Τοοη & ϑονεσ (6); ςεσσελσ 5 ο 30 ωερε ρεπορεδ βψ Κρυπκα (7,8)

16 Μεαν αδιυσ (mm) Wαλλ Τηιχκνεσσεσ (mm) Table. Vessels with loose saddles Σαδδλε Ανγλε ( ) ςεσσελ Λενγη Λ (mm) Σαδδλε Wιδη β 1 (mm) Ψιελδ Σρεσσ ψ (Ν/mm ) ςεσσελ Νο. / ςεσσελσ 30 ο 50 ωερε εσεδ βψ ηε αυηορσ; ςεσσελσ 51 ο 5 ωερε ρεπορεδ βψ Τοοη & ϑονεσ (6); ςεσσελσ 53 ο 55 ωερε ρεπορεδ βψ Wιλσον & Ολσεν (11); ςεσσελσ 56 ο 65 ωερε ρεπορεδ βψ Κρυπκα (8,9); ςεσσελσ 66 ο 70 ωερε ρεπορεδ βψ Wηιε (1)

17 ςεσσελ Νο. Table 3. Collapse loads for vessels with welded saddles Χολλαπσε Λοαδ Λιmι Λοαδσ (κν) Φ.Ε. Λιmι Λοαδσ (κν) Π εξ (κν) Π mιν Π ινχ Π κρυπ Π λβ Π υβ Π επ ςεσσελσ 1 ο 0 ωερε εσεδ βψ ηε αυηορσ; ςεσσελσ 1 ο 4 ωερε ρεπορεδ βψ Τοοη & ϑονεσ (6); ςεσσελσ 5 ο 30 ωερε εσεδ βψ Κρυπκα (7,8)

18 ςεσσελ Νο. Table 4. Collapse loads for vessels with loose saddles Χολλαπσε Λοαδ Λιmι Λοαδσ (κν) Φ.Ε. Λιmι Λοαδσ (κν) Π εξ (κν) Π mιν Π ινχ Π κρυπ Π λβ Π υβ Π επ ςεσσελσ 31 ο 50 ωερε εσεδ βψ ηε αυηορσ; ςεσσελσ 51 ο 55 ωερε ρεπορεδ βψ Τοοη & ϑονεσ (6); ςεσσελσ 56 ο 65 ωερε ρεπορεδ βψ Κρυπκα (7,8); ςεσσελσ ωερε ρεπορεδ βψ Wηιε (1)

19 b1 R b1 t R L t fluid level fluid level d d α α Figure 1(a) Figure 1(a) Α L s P P t x t P P b1 x d P Figure 1(b) P b 1 Length > 4R Length > 4R Figure 1 Geometric details of vessel and simple test arrangement P P d l b c lb b Hinges Region I Saddle area Rα H J 0 x - Axial direction Region III B D K Region II G F E Rη Figure Figure Geometric representation of plastic collapse regions

20 Π ψ Pex Pmin Pinc Pkrup Plb Pub Pep R=130mm and α= Figure 3. Collapse Loads for Vessels 1-7: Welded Saddles Π ψ Pex Pmin Pinc Pkrup Plb Pub Pep R=130mm and α= Figure 4. Collapse Loads for Vessels 8-14: Welded Saddles

21 Π ψ Pex Pmin Pinc Pkrup Plb Pub Pep R=00mm and α= Figure 5. Collapse Loads for Vessels 16-0: Welded Saddles 10 Π ψ Pex Pmin Pinc Pkrup Plb Pub Pep 40 0 R=130mm and α= Figure 6. Collapse Loads for Vessels : Loose Saddles

22 Π ψ Pex Pmin Pinc Pkrup Plb Pub Pep 40 0 R=130mm and α= Figure 7. Collapse Loads for Vessels : Loose Saddles 10 Π ψ Pex Pmin Pinc Pkrup Plb Pub Pep R=00mm and α= Figure 8. Collapse Loads for Vessels 46 50: Loose Saddles

23 4.0 P exp / P theory Ideal Solution Pmin Pinc Pkrup Plb Pub Pep WELDED SADDLES (range up to R/t=16) CONSERVATIVE NON-CONSERVATIVE R/t Figure 9. Collapse Load Ratios : Welded Saddles P exp /P theory Ideal Solution Pmin Pinc Pkrup Plb Pub Pep LOOSE SADDLES (range up to R/t=16) CONSERVATIVE NON-CONSERVATIVE R/t Figure 10. Collapse Load Ratios : Loose Saddles