M. (2010) 17 (1) ISSN

Transcript

1 Jochmann, Markus and Koop, Gary and Potter, Simon M. (2010) Modeling the dynamics of inflation compensation. Journal of Empirical Finance, 17 (1). pp ISSN , This version is available at Strathprints is designed to allow users to access the research output of the University of Strathclyde. Unless otherwise explicitly stated on the manuscript, Copyright and Moral Rights for the papers on this site are retained by the individual authors and/or other copyright owners. Please check the manuscript for details of any other licences that may have been applied. You may not engage in further distribution of the material for any profitmaking activities or any commercial gain. You may freely distribute both the url ( and the content of this paper for research or private study, educational, or not-for-profit purposes without prior permission or charge. Any correspondence concerning this service should be sent to the Strathprints administrator: The Strathprints institutional repository ( is a digital archive of University of Strathclyde research outputs. It has been developed to disseminate open access research outputs, expose data about those outputs, and enable the management and persistent access to Strathclyde's intellectual output.

2 Μοδελινγ ηε Dψναmιχσ οφ Ιν αιον Χοmπενσαιον Μαρκυσ ϑοχηmανν Dεπαρmεν οφ Εχονοmιχσ Υνιϖερσιψ οφ Σραηχλψδε εmαιλ: Μαρκυσ.ϑοχηmανν σραη.αχ.υκ Σιmον Μ. Ποερ Γαρψ Κοοπ Dεπαρmεν οφ Εχονοmιχσ Υνιϖερσιψ οφ Σραηχλψδε εmαιλ: Γαρψ.Κοοπ σραη.αχ.υκ Μαχροεχονοmιχσ ανδ Μονεαρψ Συδιεσ Φυνχιον Φεδεραλ Ρεσερϖε Βανκ οφ Νεω Ψορκ εmαιλ: σιmον.ποερ νψ.φρβ.οργ ϑυνε 2008 Αβσραχ Τηισ παπερ ινϖεσιγαεσ ηε ρελαιονσηιπ βεωεεν σηορ ερm ανδ λονγ ερm ιν αιον εξπεχαιονσ υσινγ δαιλψ δαα ον ιν αιον χοmπεν σαιον. Wε υσε α εξιβλε εχονοmεριχ mοδελ ωηιχη αλλοωσ υσ ο υνχοϖερ ηισ ρελαιονσηιπ ιν α δαα βασεδ mαννερ. Wε ρελαε ουρ νδινγσ ο ηε ισσυε οφ ωηεηερ ιν αιον εξπεχαιονσ αρε ανχηορεδ, υνmοορεδ ορ χοναινεδ. Ουρ εmπιριχαλ ρεσυλσ ινδιχαε νο συππορ φορ ειηερ υνmοορεδ ορ ρmλψ ανχηορεδ ιν αιον εξπεχαιονσ. Μοσ εϖιδενχε ινδιχαεσ ηα ιν αιον εξπεχαιονσ αρε χοναινεδ. Τηε ϖιεωσ εξπρεσσεδ ιν ηισ παπερ αρε ηοσε οφ ηε αυηορσ ανδ δο νο νεχεσσαριλψ ρε εχηεϖιεωσοφηεφεδεραλρεσερϖεβανκοφνεωψορκορηεφεδεραλρεσερϖεσψσεm. Μαρκυσ ϑοχηmανν ανδ Γαρψ Κοοπ αρε Φελλοωσ οφ ηε Ριmινι Χενερ φορ Εχονοmιχ Αναλψσισ. Πρελιmιναρψ ϖερσιον, πλεασε δο νο θυοε. 1

3 1 Ινροδυχιον Μανψ δεχισιονσ οφ χενραλ βανκερσ ανδ mοδελσ οφ εχονοmισσ δεπενδ ον αν υνδερσανδινγ οφ ηοω αγενσ φορm εξπεχαιονσ αβου ιν αιον. Ιν ηισ πα περ, ωε σηεδ λιγη ον ηισ ισσυε υσινγ δαα ον ιν αιον χοmπενσαιον δεριϖεδ φροm ρεαλ ανδ νοmιναλ Υ.Σ. Τρεασυρψ σεχυριιεσ. Wιη σοmε θυαλι χαιονσ, ονε χαν ινερπρε ιν αιον χοmπενσαιον ασ α mεασυρε οφ εξπεχεδ ιν αιον. Οφ παριχυλαρ ινερεσ ισ ιν αιον πασσ ηρουγη: ηοω χηανγεσ ιν σηορ ερm ιν αιον εξπεχαιονσ ιν υενχε λονγ ερm εξπεχαιονσ. Wε σηοω ηοω δι ερεν mοδελσ οφ ιν αιον εξπεχαιονσ, ωηιχη ωε ρεφερ ο ασ ανχηορεδ, υνmοορεδ ανδ χοναινεδ, ιmπλψ δι ερεν φορmσ φορ ιν αιον πασσ ηρουγη. Wε ηεν ινϖεσιγαε ωηεηερ ηερε ισ εmπιριχαλ συππορ φορ ανψ οφ ηεσε mοδελσ. Ουρ εmπιριχαλ ωορκ υσεσ α εξιβλε παραmεριχ εχονοmεριχ φραmεωορκ δε ϖελοπεδ ιν Κοοπ ανδ Ποερ(2007). Τηισ φραmεωορκ χοmβινεσ σοmε οφ ηε βενε σ οφ α νονπαραmεριχ αππροαχη(ι.ε. ι λεσ ηε δαα σπεακ ραηερ ηαν ενφορχινγ α παραmεριχ, οφεν λινεαρ, φυνχιοναλ φορm) ωιη ηε βενε σ οφ α παραmεριχ mοδελ ροοεδ ιν ηε χονσιδεραιονσ οφ εχονοmιχ ηεορψ. Τηα ισ, δι ερεν ηεορειχαλ mοδελσ οφ ιν αιον εξπεχαιονσ ιmπλψ ηε ιν αιον πασσ ηρουγη χοε χιεν σηουλδ ηαϖε ϖαριουσ φορmσ. Wε δισχυσσ ηοω, ιφ ιν α ιον εξπεχαιονσ αρε ανχηορεδ, ηε ιν αιον πασσ ηρουγη χοε χιεν σηουλδ βε χονσαν ανδ σmαλλ (ανδ χεραινλψ λεσσ ηαν ονε). Υνmοορεδ ιν αιον εξπεχαιονσ ιmπλψ ηα ηε πασσ ηρουγη χοε χιεν σηουλδ βε νεαρ ονε. Ηοωεϖερ, ιφ ιν αιον εξπεχαιονσ αρε χοναινεδ, ηεν ηε mαγνιυδε οφ ηε πασσ ηρουγη χοε χιεν σηουλδ ϖαρψ ωιη ηε λεϖελ οφ σηορ ερm ιν αιον εξπεχαιονσ ιν α παριχυλαρ ωαψ. Συχη ηεορειχαλ χονσιδεραιονσ χαν βε ιν χορποραεδ ιν ουρ εξιβλε παραmεριχ φραmεωορκ ανδ αλλοω ηε δαα ο ελλ υσ ωηιχη(ιφ ανψ) σπεχι χαιον ισ πρεφερρεδ. Ουρ εmπιριχαλ ρεσυλσ, υσινγ δαιλψ δαα, ινδιχαε συππορ φορ χοναινεδ ιν αιον εξπεχαιονσ. Wε προϖιδε σρονγ εϖιδενχε ηα ηε ιν αιον πασσ ηρουγη χοε χιεν ισ νο χονσαν, βυ δοεσ ενδ ο βε θυιε σmαλλ. Τηεσε νδινγσ αρε νο χονσισεν ωιη ειηερ υνmοορεδ ορ ανχηορεδ ιν αιον εξ πεχαιονσ, βυ αρε χονσισεν ωιη ηε ιδεα ηα ιν αιον εξπεχαιονσ αρε χοναινεδ ιν σοmε ωαψ. Τηε παριχυλαρ ηεορειχαλ mοδελ οφ χοναινεδ εξ πεχαιονσ δισχυσσεδ ιν ηισ παπερ συγγεσσ ηα ηε ιν αιον πασσ ηρουγη χοε χιεν σηουλδ δεπενδ ον ηε αβσολυε δεϖιαιον οφ σηορ ερm ιν αιον εξπεχαιονσ φροm α χενραλ ϖαλυε. Φυρηερmορε, ι σηουλδ ηαϖε α χεραιν φυνχ ιοναλ φορm. Wε νδ εmπιριχαλ εϖιδενχε ιν συππορ οφ βοη ηεσε φεαυρεσ οφ ηισ ηεορειχαλ mοδελ. 2

4 Τηεπαπερισοργανιζεδασφολλοωσ. Ινηενεξσεχιονωεδε νεβασιχχον χεπσ ανδ δισχυσσ ηε ιmπλιχαιονσ οφ ϖαριουσ mοδελσ οφ ιν αιον εξπεχαιονσ φορ ηε ιν αιον πασσ ηρουγη χοε χιεν. Ιν ηε ηιρδ σεχιον, ωε δεσχριβε ανδ mοιϖαε ουρ εχονοmεριχ mεηοδσ(ωιη εχηνιχαλ δεαιλσ αϖαιλαβλε ιν αν αππενδιξ). Τηε φουρη σεχιον πρεσενσ εmπιριχαλ ρεσυλσ ανδ ηε φη σεχιον χονχλυδεσ. 2 Μοδελινγ Ιν αιον Πασσ Τηρουγη Ιν ηισ παπερ ωε ινϖεσιγαε ηε ρελαιονσηιπ βεωεεν λονγ ερm εξπεχεδ ιν αιον (ψ ) ανδ σηορ ερmεξπεχεδ ιν αιον (ξ ) υσινγ δαιλψ ιmε σεριεσ δαα ( = 1;::;Τ). Wε υσε ιν αιον χοmπενσαιον ασ α mεασυρε οφ ηεσε εξπεχαιονσ. Wε βεγιν βψ δε νινγ ηεσε χονχεπσ ανδ mοιϖαινγ ωηψ ηισ ρελαιονσηιπ ισ οφ ιmπορανχε. Ιν αιον χοmπενσαιον ισ χαλχυλαεδ υσινγ ινερεσ ραεσ ον νοmιναλ ανδ ιν αιον ινδεξεδ βονδσ. Λε ρ (η) ισ ηε ρεαλ ινερεσ ραε ον αν η περιοδ βονδ(ι.ε. ηε ρεαλ ρευρν ηα αν ινϖεσορ ρεθυιρεσ ολενδmονεψαιmεινρευρνφοραπαψmενηψεαρσινηεφυυρε)ανδι (η) βε ηε νοmιναλ ινερεσ ραε ον αν η περιοδ βονδ. Τηεσε ϖαριαβλεσ ρε εχ ηε οαλ ρευρν βεωεεν ηε πρεσεν ανδ m περιοδσ ιν ηε φυυρε. Υσινγ ηεσε ρευρνσ,ωεχανχαλχυλαειν αιονχοmπενσαιονβεωεενη 1 ανδη 2 περιοδσ ινηεφυυρεασ: ει (η 1;η 2 ) = η 2 ι (η 2) ρ (η 2) η 1 ι (η 1) ρ (η 1) η 2 η 1 Ιν αιον χοmπενσαιον ισ χοmmονλψ υσεδ ασ α mεασυρε οφ εξπεχεδ ιν αιον ανδ ωε ωιλλ ρεφερ ο εϖερψ ονε οφ ηε ϖαριαβλεσ υσεδ ιν ουρ εmπιριχαλ ωορκ ασ εξπεχεδ ιν αιον φορ παριχυλαρ ϖαλυεσ οφ η 1 ανδ η 2. Τηε ισσυεσ υνδερ συδψ ινϖολϖε ηε ρελαιονσηιπ βεωεεν λονγ ερm ανδ σηορ ερm εξπεχεδ ιν αιον. Ουρ εmπιριχαλ σεχιον δε νεσ λονγ ερm εξπεχεδ ιν αιον ασ 9 ο 10ψεαρσανδσηορ ερmεξπεχεδιν αιονασ2ο5ψεαρσ. Τηυσ,ωεωιλλυσε ψ=ει (9;10) ανδξ=. Ασ α ερmινολογιχαλ διγρεσσιον, ιν ηισ παπερ ωε ινφορmαλλψ υσε ηε ερmσ εξπεχεδ ιν αιον ανδ ιν αιον χοmπενσαιον(αλσο κνοων ασ βρεακεϖεν ιν αιον) ινερχηανγεαβλψ. Ιν αιον χοmπενσαιον ισ ηε χοmπενσαιον ηα ιν ϖεσορσ ρεθυιρε φορ ηολδινγ νοmιναλ ραηερ ηαν ρεαλ ιν αιον ινδεξεδ βονδσ. Τηισ χοmπενσαιον λαργελψ ρε εχσ εξπεχεδ ιν αιον(ανδ εmπιριχαλ συδιεσ συχη ασ ουρσ ψπιχαλλψ ινερπρε ι ασ συχη). Ηοωεϖερ, ιν αιον χοmπενσαιον 3

5 αλσο ρε εχσ χοmπενσαιον ηα ινϖεσορσ αρε δεmανδινγ φορ ρισκσ ασσοχιαεδ ωιη ηε υνχεραινψ αβου φυυρε ιν αιον. Βυ, φολλοωινγ mοσ οφ ηε λιερ αυρε(ε.γ. Γυρκαψνακ, Λεϖιν ανδ Σωανσον, 2006), ωε αργυε ηα ηε ιν α ιον εξπεχαιον χοmπονεν ωιλλ δοmιναε(εσπεχιαλλψ ωηεν υσινγ δι ερενχεδ δαα) ανδ σιmπλψ υσε ηε ερmινολογψ εξπεχεδ ιν αιον ιν ηισ παπερ. Ιmποραν ισσυεσ οφ πολιχψ ηινγε ον ιν αιον πασσ ηρουγη (ι.ε. ηοω χηανγεσινσηορερmιν αιονεξπεχαιονσα εχλονγερmεξπεχαιονσ 1 ). Ασ α σαρινγ ποιν, α σιmπλε ρεγρεσσιον mοδελ, οφ ηε σορ ωηιχη ηασ βεεν υσεδινηελιεραυρε(σεε,ε.γ.,ποερανδροσενβεργ,2007),χανβευσεδο ινϖεσιγαε ηεσε ισσυεσ: ψ =ξ + ; (1) ωηερε ισρεφερρεδοασηεπασσηρουγηχοε χιεν. Τηερεαρεσρονγηε ορειχαλ ανδ εmπιριχαλ ρεασονσ φορ ηινκινγ ηα ηε πασσ ηρουγη χοε χιεν mιγηνοσιmπλψβεαχονσανβυmιγηδεπενδονηελεϖελοφεξπεχεδ ιν αιον ορ mιγη βε ϖαρψινγ οϖερ ιmε. Τηεσε ρεασονσ mοιϖαε ηε εξιβλε παραmεριχ ρεαmεν υσεδ ιν ηισ παπερ ωηιχη αλλοωσ φορ ηε πασσ ηρουγη χοε χιεν ο ποενιαλλψ ηαϖε συχη προπεριεσ. Βεφορε ωε δεσχριβε ουρ σαισ ιχαλ mοδελ, ι ισ υσεφυλ ο βριε ψ δεσχριβε σοmε ηεορειχαλ mοδελσ οφ εξπεχεδ ιν αιον(λαργελψ ακεν φροm Ποερ ανδ Ροσενβεργ, 2007) ανδ δισχυσσ ωηα ηειρ ιmπλιχαιονσ αρε φορ ηε πασσ ηρουγη χοε χιενσ. Τηισ ωιλλ αλλοω υσ ο φορmαλλψ δε νε ηε χονχεπσ οφ ανχηορεδ, χοναινεδ ανδ υνmοορεδ ιν αιον εξπεχαιονσ ανδ ηελπ υσ λαερ ωηεν ι χοmεσ ο ινερπρεινγ ουρ εmπιριχαλ ρεσυλσ. Wεβεγινωιηασανδαρδδεχοmποσιιονοφοβσερϖεδιν αιον( )ινο περmανεν( )ανδρανσιορψ(χ )χοmπονενσ: = +χ : Ι ισ χοmmον ο ινερπρε ασ υνδερλψινγ ιν αιον ανδ δε νε ι ηρουγη ηε προπεριεσ: 1 Νοε ηα, ηεορειχαλλψ, σηορ ερm ιν αιον εξπεχαιονσ σηουλδ βε ϖερψ χλοσε ο αχυαλ ιν αιον. Γιϖεν α λαχκ οφ δαιλψ δαα ον ιν αιον, σηορ ερm ιν αιον εξπεχαιονσ χαν βε χονσιδερεδ ασ α προξψ φορ ιν αιον. Τηυσ, ηε ιν αιον πασσ ηρουγη χοε χιεν χαν αλσο βε χονσιδερεδ ασ αν αππροξιmαε mεασυρε οφ ηε ε εχ οφ χηανγεσ ιν χυρρεν ιν αιον ον λονγ ερm εξπεχαιονσ οφ ιν αιον. 4

6 Ε ( +η )! Ε +η Ε (χ +η )! 0αση!1. Τηε προπεριεσ οφ ηε πασσ ηρουγη χοε χιεν δεπενδ ον υνδερλψινγ ιν α ιον. Ποερ ανδ Ροσενβεργ(2007) δισινγυιση βεωεεν ανχηορεδ, χοναινεδ ανδ υνmοορεδ ιν αιον εξπεχαιονσ(ανδ οηερ παπερσ αδοπ σιmιλαρ ερmι νολογιεσ) ανδ ωορκ ου ηε ιmπλιχαιονσ φορ ηε πασσ ηρουγη χοε χιεν οφ σεϖεραλ σιmπλε ηεορειχαλ mοδελσ οφ ηε ιν αιον προχεσσ. Ιν ηε ρεmαινδερ οφ ηισ σεχιον, ωε βριε ψ συmmαριζε σοmε οφ ηειρ ρεσυλσ. Ιν ηισ ηεορει χαλδισχυσσιον,ωεωιλλλε η1 ;η 2 βεηεπασσηρουγηοφχηανγεσινιν αιον εξπεχαιονσαηοριζονη 1 οχηανγεσινιν αιονεξπεχαιονσαηοριζονη 2 (ωηερεη 1 ανδη 2 αρεαππροπριαελψχηοσενοβεσηορ ερmανδλονγ ερm, ρεσπεχιϖελψ). Wε εmπηασιζε ηα, υνλικε α χονσαν παραmεερ mοδελ συχη ασ (1),ωεαρενοασσυmινγ η1 ;η 2 ονεχεσσαριλψβεασινγλεχονσανπαραmεερ. Ισ mαγνιυδε χουλδ ϖαρψ ωιη εξπεχεδ ιν αιον ορ βε ιmε ϖαρψινγ. Ανχηορεδ ιν αιον εξπεχαιονσ χαν αρισε ωηεν ηερε ισ α χρεδιβλε ιν α ιον αργε(β). Φαυσ ανδ Ηενδερσον(2004) χονσιδερ α σαιοναρψ mοδελ οφ υνδερλψινγ ιν αιον: =β(1 )+ +υ ; ωηερε υ ισ α σαιοναρψ ρεσιδυαλ ανδ ϕϕ < 1. Ι χαν βε ιmmεδιαελψ σεεν ηαλονγρυνιν αιονεξπεχαιονσινηισmοδελωιλλβεβανδ,ηυσ,ιν α ιον εξπεχαιονσ αρε ανχηορεδ αβου ηισ αργε. Ασ σηοων ιν Ποερ ανδ Ροσενβεργ(2007), ιν ηισ mοδελ ηε πασσ ηρουγη χοε χιεν ισ χονσαν, δοεσ νοδεπενδονηελεϖελοφεξπεχεδιν αιονανδισλεσσηανονειναβσολυε ϖαλυε. Τοβεπρεχισε,ιισ: η1 ;η 2 = η 2 η 1 : Τηισ ιλλυσραεσ ηοω α χονσαν πασσ ηρουγη χοε χιεν ωηιχη ισ λεσσ ηαν ονε ιν αβσολυε ϖαλυε ισ χονσισεν ωιη ανχηορεδ εξπεχαιονσ. Φυρηερmορε, ιφη 1 ισσmαλλ(ασωιησηορ ερmιν αιονεξπεχαιονσ)ανδη 2 ισλαργε(ασ ωιλλ λονγ ερm ιν αιον εξπεχαιονσ). ηεν ηε πασσ ηρουγη χοε χιεν ωιλλ ενδοβεσmαλλ. Υνmοορεδ ιν αιον εξπεχαιονσ αρισε ηρουγη υνοβσερϖεδ χοmπονενσ mοδελσ ωηερε υνδερλψινγ ιν αιον ισ α ρανδοm ωαλκ: 5

7 = +υ : Τηισ mοδελ, εξενδεδ ο αλλοω φορ σοχηασιχ ϖολαιλιψ, ισ υσεδ ιν Σοχκ ανδ Wασον(2007). Ποερ ανδ Ροσενβεργ(2007) σηοω ηα ηε mοδελ υσεδ ιν Σοχκ ανδ Wασον(2007) ιmπλιεσ: η1 ;η 2!1αση 2!1ωιηη 1 ξεδ. Φορ νιεη 2 ηεφορmυλαφορ η1 ;η 2 δεπενδσονηεϖαριανχεσανδπερσισενχεσ οφηεπερmανεν( )ανδρανσιορψ(χ )χοmπονενσοφιν αιον. Ηοωεϖερ, ακεψ νδινγισηα, ιφη 2 ισλαργεενουγησοηαηερανσιορψσηοχκηασ δισσιπαεδ,ηενωεηαϖε η1 ;η 2 =1. Ηενχε,ωεχανακεσυχηmοδελσοφυν mοορεδ ιν αιον εξπεχαιονσ ασ ιmπλψινγ χονσαν πασσ ηρουγη χοε χιενσ οφονε(ορχλοσεοονεφορ νιεη 2 ). Ποερ (2007) προποσεσ α ηιρδ χλασσ οφ mοδελσ ωηιχη ιmπλψ χοναινεδ ιν αιον εξπεχαιονσ. Τηισ mοδελ ηασ προπεριεσ ωηιχη λιε βεωεεν ηοσε οφ ηε ανχηορεδ εξπεχαιονσ ανδ υνmοορεδ εξπεχαιονσ mοδελσ. Ιν αιον εξπεχαιονσ αρε νο φυλλψ ανχηορεδ, βυ αρε χοναινεδ ωιηιν βουνδσ. Ιν ηισ mοδελ, υνδερλψινγ ιν αιον εξπεχαιονσ λοοκ λικε ηε υνmοορεδ εξπεχαιονσ mοδελ: = +υ ; βυυ ισχονσραινεδσοηαυνδερλψινγιν αιονλιεσιναβουνδεδινερϖαλ, [α; β]. Ιν παριχυλαρ, υ ΤΝ α ;β ;0; 2 υ ; ωηερετν α ;β ;0; 2 υ ισηερυνχαεδνορmαλδισριβυιον(ι.ε. ηεν(0; 2 υ)δισριβυιονρυνχαεδοηεινερϖαλ α ;β ). Πο ερ ανδ Ροσενβεργ(2007) σηοω ηοω ηισ mοδελ ιmπλιεσ ηα ηε πασσ ηρουγη χοε χιεν δεπενδσ ον σηορ ερm ιν αιον εξπεχαιονσ. Νεαρ ειηερ α ορ β, ωεηαϖε η1 ;η 2 βεινγνεαρζερο. Βυ,υνλικεmοδελσοφανχηορεδεξπεχαιονσ, η1 ;η 2 βεχοmεσλαργερνεαρηεmιδδλεοφηεινερϖαλ[α;β]. Εmπιριχαλλψ,ωε ωιλλ ακε ηισ ηεορειχαλ mοδελ ασ ιmπλψινγ ηα η1 ;η 2 ισ ποενιαλλψ λαργε (ι.ε. ι χουλδ εϖεν βε νεαρ ονε) ωηεν σηορ ερm ιν αιον εξπεχαιονσ αρε νεαρ α χενραλ ϖαλυε, (ε.γ. ηε αϖεραγε ϖαλυε οφ ιν αιον), βυ ασ σηορ ερmιν αιονεξπεχαιονσδεϖιαεφροm, η1 ;η 2 γοεσοβεχοmεσσmαλλερ. Ινυιιϖελψ, αγενσ βελιεϖε ηα ιφ σηορ ερm ιν αιον εξπεχαιονσ αρε νεαρ 6

8 ηε Φεδ ωιλλ νο αχ ανδ υνδερλψινγ ιν αιον χουλδ ποενιαλλψ ϕυσ ωανδερ αχχορδινγοαρανδοmωαλκ(ανδ, ηυσ, ωεοβαινηε η1 ;η 2!1ρεσυλοφ ηε υνmοορεδ ιν αιον εξπεχαιονσ mοδελ). Ηοωεϖερ, ιφ σηορ ερm ιν αιον εξπεχαιονσδεϖιαεοοφαρφροm ηενηεφεδωιλλαχανδρεϖερσιονωιλλ κιχκιν(ανδωεοβαιναρεσυλχλοσεροηαοβαινεδφροmηεανχηορεδεξ πεχαιονσ mοδελ ωηερε ηε πασσ ηρουγη χοε χιεν ισ σmαλλ). Ιφ ηισ mοδελ οφ χοναινεδ ιν αιον εξπεχαιονσ ισ χορρεχ, ηεν εmπιριχαλλψ ωε σηουλδ ηαϖε ηε mαγνιυδε οφ ηε πασσ ηρουγη χοε χιεν ϖαρψινγ ωιη ηε αβσολυε δε ϖιαιον οφ σηορ ερm ιν αιον εξπεχαιονσ φροm. Ιν παριχυλαρ, ηε πασσ ηρουγη χοε χιεν χουλδ βε λαργε ωηεν ισνεαρζερο,βυσηουλδ βεσmαλλωηενιισλαργε. Ινουρεmπιριχαλωορκ,ωευσεηεηεορψδισχυσσεδινηισσεχιονογυιδε ουρ εχονοmεριχ σπεχι χαιον. Wε αδοπ α σαισιχαλ αππροαχη ωηιχη λεσ ηε δαασπεακ,ελλινγυσωηαηεφορmοφηεπασσηρουγηχοε χιενισ. Wειν διρεχλψ υσε ηισ ηεορψ ο mοιϖαε ηε ιδεα ηε πασσ ηρουγη χοε χιεν χουλδ ποενιαλλψ δεπενδ ον ηε λεϖελ οφ σηορ ερm ιν αιον εξπεχαιονσ. Φυρηερ mορε, ωε υσε ηισ ηεορψ ο γυιδε υσ ιν ηε ινερπρεαιον οφ ουρ ρεσυλσ. Τηα ισ, ιφ ηε πασσ ηρουγη χοε χιεν ισ χονσαν ανδ σmαλλ, ηα ισ χον σισεν ωιη ανχηορεδ ιν αιον εξπεχαιονσ. Ιφ ηε πασσ ηρουγη χοε χιεν ισ αλωαψσ νεαρ ονε, ηα ισ χονσισεν ωιη υνmοορεδ ιν αιον εξπεχαιονσ. Ιφ ηε πασσ ηρουγη χοε χιεν ισ λαργε α (αππροξιmαελψ) αϖεραγε λεϖελσ οφ σηορ ερm ιν αιον εξπεχαιονσ, βυ βεχοmεσ σmαλλ ασ σηορ ερm εξπεχ αιονσ δεϖιαε φροm αϖεραγε, ηεν ουρ νδινγσ αρε χονσισεν ωιη Ποερ (2007) σ mοδελ οφ χοναινεδ ιν αιον εξπεχαιονσ. Ουρ σαισιχαλ mεηοδσ, δεσχριβεδινηενεξσεχιον,αλλοωυσουνχοϖερωηιχηοφηεσεmοδελσοφιν αιον εξπεχαιονσ ισ mοσ χονσισεν ωιη ηε δαα(ασ οπποσεδ ο ωορκινγ ωιη α mοδελ ωηιχη ιmποσεσ ονε παριχυλαρ ϖιεω οφ ιν αιον εξπεχαιονσ). Τηεψχαναλσοελλυσιφηεδααισινχονσισενωιηανψοφηεσεmοδελσοφ ιν αιον εξπεχαιονσ. 3 Φλεξιβλε Παραmεριχ Μοδελινγ Ινπρεϖιουσωορκ(σεεΚοοπανδΠοερ,2007),ωεδεϖελοπεδασιmπλεmοδ ελινγ φραmεωορκ ηα ισ εξρεmελψ εξιβλε, εξαχλψ ορ αππροξιmαελψ νεσινγ α ωιδε ϖαριεψ οφ νονλινεαρ ιmε σεριεσ ανδ σρυχυραλ βρεακ mοδελσ. Wε υσε ηισ φραmεωορκ ηερε. Φορ πρεσεν πυρποσεσ, ηε κεψ ηινγσ ο νοε αρε ηα ι αλλοωσ φορ ηε ιν αιον πασσ ηρουγη χοε χιεν ο βε χονσαν ορ χηανγε 7

9 οϖεριmε(ειηεριναγραδυαλφασηιονοριναmορεαβρυπφασηιον). Ιχαν αλσο αλλοω φορ ηε mαγνιυδε οφ ηε πασσ ηρουγη χοε χιεν ο δεπενδ ον ανοηερ εξπλαναορψ ϖαριαβλε(ωηιχη ισ ρεφερρεδ ο ασ αν ινδεξ ϖαριαβλε). Τηε αργυmενσ ιν ηε πρεϖιουσ σεχιον συγγεσ α λογιχαλ χηοιχε φορ ηε ινδεξ ϖαρι αβλε: σηορ ερm ιν αιον εξπεχαιονσ(αληουγη ωε εξπεριmεν ωιη οηερ χηοιχεσ ασ ωελλ). Ανδ ηε φυνχιοναλ φορm δεσχριβινγ ηε ρελαιονσηιπ βεωεεν ηεινδεξϖαριαβλεανδηεπασσηρουγηχοε χιενχανακεοναωιδερανγεοφ σηαπεσ, δεπενδινγ ον ωηεηερ ιν αιον εξπεχαιονσ αρε ανχηορεδ, υνmοορεδ ορ χοναινεδ(ορ σοmεηινγ ελσε). Ουρ εξιβλε παραmεριχ αππροαχη σεεmσ ιδε αλλψ δεσιγνεδ φορ ηε πρεσεν προβλεm. Ι αλλοωσ ηε δαα ο δεερmινε ηε ρελαιονσηιπ βεωεεν λονγ ερm ανδ σηορ ερm ιν αιον εξπεχαιονσ ιν αν εξρεmελψ εξιβλε φασηιον. Λοοσελψ σπεακινγ, ουρ αππροαχη χαν βε ηουγη οφ ασ νονπαραmεριχ ιν σπιρι, βυ ιδεασ δραων φροm εχονοmιχ ηεορψ(πριmαρ ιλψ ηρουγη χηοιχε οφ ινδεξ ϖαριαβλεσ) αρε υσεδ ο συγγεσ εmπιριχαλλψ υσεφυλ διρεχιονσ φορ ηε mοδελ ο λοοκ. Ιν ηισ σεχιον, ωε βριε ψ δεσχριβε ουρ mοδελ. Βαψεσιαν mεηοδσ φορ χαρρψινγ ου εχονοmεριχ ινφερενχε ιν ηισ mοδελ αρε δεσχριβεδ ιν ηε αππενδιξ. Φορ χοmπλεε δεαιλσ(ανδ αδδιιοναλ mοιϖαιον φορ ηισ εξιβλε παραmεριχ αππροαχη), σεε Κοοπ ανδ Ποερ(2007). Ασ α ρσ σεπ, χονσιδερ εξενδινγ (1) ο βε α ιmε ϖαρψινγ παραmε ερ(τςπ) ρεγρεσσιον mοδελ, ωριεν ιν σαε σπαχε φορm ωιη mεασυρεmεν εθυαιον γιϖεν βψ: ψ = ξ + ; (2) ανδ σαε εθυαιον γιϖεν βψ: = + ϖ (3) ωηερε ανδ ϖ αρε ι.ι.δ. Ν(0;1) (ανδ ινδεπενδεν οφ ονε ανοηερ). Τηισ mοδελισοφινερεσινανδοφισελφ(ε.γ. ιαλλοωσφορηεπασσηρουγηχοε χιεν ο γραδυαλλψ εϖολϖε οϖερ ιmε, ωηιχη mιγη βε οφ εmπιριχαλ ρελεϖανχε), νεσσσοmεινερεσινγmοδελσ(ε.γ. ϖ =0ισηελινεαρmοδελ)ανδεξβοοκ mεηοδσ φορ σαισιχαλ ινφερενχε αρε αϖαιλαβλε. Wηα ηε εξιβλε παραmεριχ αππροαχη οφ Κοοπ ανδ Ποερ(2007) δοεσ ισ αδδ ωο εξενσιονσ ο ηισ φαmιλιαρ φραmεωορκ. Τηεσε εξενσιονσ αρε βοη σιmπλε(ανδ εξβοοκ mεηοδσ οφ σαισιχαλ ινφερενχε ρεθυιρε ονλψ ϖερψ mι νορ αδαπαιονσ), βυ ηυγελψ ινχρεασε ηε εξιβιλιψ οφ ηε mοδελ. Τηεσε εξενσιονσ ινϖολϖε δαα ρε ορδερινγ ανδ δισανχε βεωεεν οβσερϖαιονσ. Το υνδερσανδ ωηα ωε mεαν βψ δαα ρε ορδερινγ, νοε ηα ηε πρε χεδινγσαεεθυαιονωασωριενινναυραλιmεορδερινγ(=1;::;τ). Βυ 8

10 ωεχαναλσοωριεασαεεθυαιονωιηηεοβσερϖαιονσορδερεδιναδι ερεν mαννερ: σ = σ 1 + ϖ δ(ζ σ ;ζ σ 1 )ϖ σ ; (4) ωηερε σ ινδεξεσ α ρε ορδερινγ(ιν ασχενδινγ ορδερ) οφ ιmε αχχορδινγ ο αν ινδεξϖαριαβλε ζ. Φορινσανχε,ινουρχασεζ χουλδβεσηορερmιν αιον εξπεχαιονσινωηιχηχασε,ωερε ορδερηεδααασζ σ =1;::;Τ ωιηζ 1 ηαϖ ινγ ηε λοωεσ ιν αιον εξπεχαιονσ, ζ 2 ηε σεχονδ λοωεσ, εχ. Το αιδ ιν ινερπρεαιονοφηεδισανχεφυνχιον,νοεηαζ σ ανδζ σ 1 ωιλλβεαδϕαχεν οβσερϖαιονσ(ε.γ. ιφηεινδεξισσηορερmεξπεχεδιν αιον,ηενζ σ 1 ωιλλ ηαϖεηενεξλοωεσϖαλυεοφσηορερmεξπεχεδιν αιονοζ σ ). δ(ζ σ ;ζ σ 1 ) ισ α(νον νεγαιϖε) δισανχε φυνχιον mεασυρινγ ηε δισανχε βεωεεν αδϕα χενοβσερϖαιονσ,ζ σ ανδζ σ 1. Τηεσε ωο αππαρενλψ mινορ εξενσιονσ αδδ ηυγελψ ο ηε εξιβιλιψ οφ ηε mοδελ. Το σεε ηε βενε οφ δαα ρε ορδερινγ, χονσιδερ α σιmπλε σρυχ υραλβρεακmοδελωηερεηεπασσηρουγηχοε χιενχηανγεσαιmε (σο ηα ι ισ (1) φορ = 1;::; ανδ ισ (2) φορ = +1;::;Τ). Νεξ χον σιδερ ηε χασε ωηερε ηε πασσ ηρουγη χοε χιεν ακεσ ον ηε ϖαλυε (1) ιφ σηορερmιν αιονεξπεχαιονσαρελεσσηαν ανδισοηερωισε (2). Ουρ mεηοδσ δραω ον ηε φαχ ηα ηεσε ωο χασεσ αρε σαισιχαλλψ εξαχλψ ηε σαmεmοδελ,εξχεπηαονευσεσηεδααινναυραλιmεορδερινγανδηε οηερ ωουλδ ηαϖε αλλ ηε ϖαριαβλεσ ορδερεδ αχχορδινγ ο σηορ ερm ιν αιον εξπεχαιονσ. Τηισισανεξαmπλεοφαγενεραλρεσυληαηασλονγβεενρεχογ νιζεδ(σεε, ε.γ., Τσαψ, 1989): mανψ χοmmον ρεγιmε σωιχηινγ ανδ ηρεσηολδ ρεγρεσσιον mοδελσ αρε εθυιϖαλεν ο ρεγρεσσιον mοδελσ ωιη σρυχυραλ βρεακσ ιφ ηε δαα ισ συιαβλψ ρε ορδερεδ. Ιν ωορδσ, ηε σαε εθυαιον φορ α χον ϖενιοναλ ΤςΠ ρεγρεσσιον mοδελ σαψσ πασσ ηρουγη χοε χιενσ α σιmιλαρ ποινσινιmε αρελικελψοβεσιmιλαροονεανοηερ. Ουρσαεεθυαιον, (4), σαψσ πασσ ηρουγη χοε χιενσ φορ οβσερϖαιονσ ωιη σιmιλαρ σηορ ερm ιν αιον εξπεχαιονσ αρε λικελψ ο βε σιmιλαρ ο ονε ανοηερ (ωηεν ωε υσε σηορ ερm ιν αιον εξπεχαιονσ ασ ηε ινδεξ ϖαριαβλε). Ιν γενεραλ, ι ιmπλιεσ πασσ ηρουγη χοε χιενσ φορ οβσερϖαιονσ ωιη σιmιλαρ ϖαλυεσ φορ ηε ινδεξ ϖαριαβλε αρε λικελψ ο βε σιmιλαρ ο ονε ανοηερ. Νονπαραmεριχ ρεγρεσσιον mοδελσ εσιmαε ηε ρελαιονσηιπ ψ = φ(ξ) υσινγ ηε ιδεα ηα οβσερϖαιονσ ωιη σιmιλαρ ϖαλυεσ φορ ξ ιmπλψ σιmιλαρ ϖαλυεσ φορ φ(ξ)(ε.γ. κερνελ αλγοριηmσ σmοοη οϖερ νειγηβορινγ οβσερϖαιονσ). Ιν ηισ σενσε, ουρ εξιβλε παραmεριχ mεηοδσ αρε δοινγ σοmεηινγ σιmιλαρ ανδ αρε νονπαραmεριχ ιν σπιρι(εξχεπ 9

11 ηα, υνλικε mανψ νονπαραmεριχ αππροαχηεσ, ωε δο νο χηοοσε α σινγλε ινδεξ ϖαριαβλε ο δε νε ωηα ωε mεαν βψ νειγηβορινγ οβσερϖαιονσ ). Τηυσ, σιmπλψ βψ αλλοωινγ φορ ϖαριουσ ρε ορδερινγσ οφ ηε δαα, ωε χαν οβαιν σπεχι χαιονσ συχη ασ ηοσε ιν Ποερ ανδ Ροσενβεργ (2007). Φορ ινσανχε, ηειρ mοδελ ωηερε ιν αιον εξπεχαιονσ αρε χοναινεδ, ιmπλιεσ ηε πασσ ηρουγη χοε χιεν δεπενδσ ον εξπεχεδ ιν αιον(βεινγ ηιγηεσ ωηεν εξπεχεδ ιν αιον ισ νεαρ α χενραλ ϖαλυε, βυ δεχλινινγ ασ ι mοϖεσ αωαψ φροmαργε). Συχηαπαερνχανεασιλψβεοβαινεδυσινγουρmοδελ. Βυ ουρ mοδελ ισ mυχη mορε εξιβλε, αλλοωινγ φορ δι ερεν φυνχιοναλ φορmσ ηαν ηε ινϖερεδ Υ οφ Φιγυρε 2 οφ Ποερ ανδ Ροσενβεργ(2007). Κοοπ ανδ Ποερ (2007)εξπλορεϕυσηοω εξιβλεηισαππροαχηισ. Βυ,ιισωορηνοινγιν πασσινγ ηα ηε ρελαιονσηιπ βεωεεν σαε σπαχε mοδελσ ανδ νονπαραmεριχ κερνελ σmοοηινγ αλγοριηmσ ισ ωελλ δεϖελοπεδ ιν ηε σαε σπαχε λιεραυρε (ε.γ. Ηαρϖεψ, 1989 ανδ Ηαρϖεψ ανδ Κοοπmαν, 2000). Αν ιmποραν φεαυρε οφ ουρ αππροαχη ισ ηα ι δοεσ νο ινϖολϖε σελεχινγ ϕυσ ονε ινδεξ ϖαριαβλε. Ινσεαδ, ι αλλοωσ φορ α ϖαριεψ οφ ινδεξ ϖαριαβλεσ οβεσελεχεδ. Ονεχανρεαιασειηεραmοδελσελεχιονδεϖιχε(ι.ε. ηε ρεσεαρχηερ χαν σελεχ ηε ινδεξ ϖαριαβλε ωηιχη ρεχειϖεσ mοσ συππορ ανδ υσε ηαmοδελ)ορασαmοδελαϖεραγινγδεϖιχε(ι.ε. ηερεσεαρχηερχανοβαινρε συλσ υσινγ εαχη ινδεξ ϖαριαβλε ανδ ηεν αϖεραγε οϖερ ηεm ωιη δαα βασεδ ωειγησ 2 ). Φροm α πυρελψ σαισιχαλ περσπεχιϖε, ηερε ισ νο ρεασον νο ο χονσιδερ λαργε νυmβερσ οφ δι ερεν ινδεξ ϖαριαβλεσ. Ινδεεδ, ιφ ωε χονσιδερεδ εϖερψποσσιβλεωαψοφρε ορδερινγηεδαα,ηισχλασσοφmοδελσωουλδβεσο εξιβλε ασ ο βε ϖιρυαλλψ εθυιϖαλεν ο α νονπαραmεριχ mοδελ. Ηοωεϖερ, φροm αν εχονοmιχ περσπεχιϖε, ηερε αρε σρονγ ρεασονσ ο λιmι ηε σε οφ ινδεξ ϖαριαβλεσ. Εmπιριχαλ χονσιδεραιονσ συγγεσ ηα ιmε ϖαριαιον ιν πασσ ηρουγη ισ ωορη ινϖεσιγαινγ. 3 Τηε ηεορειχαλ δισχυσσιον οφ ηε πρεχεδ ινγ σεχιον συγγεσσ ηα ι ισ ωορη ινϖεσιγαινγ ωηεηερ ηε mαγνιυδε οφ ηε πασσ ηρουγη χοε χιεν ισ ρελαεδ ο σηορ ερm ιν αιον εξπεχαιονσ. Αχχορδινγλψ, ωε υσε ηε φολλοωινγ χηοιχεσ φορ ζ: 1. ζ =ισναυραλιmεορδερινγ 2. ζ = 2 ΙνσανδαρδΒαψεσιανφασηιον,ηεσεδααβασεδωειγησαρεπροποριοναλοmαργιναλ λικελιηοοδσ. 3 Αλερναιϖελψ,ιmιγηβεηεχυρρενορλαγγεδλεϖελοφιν αιονωηιχησηουλδβεηε ινδεξϖαριαβλε. Γιϖενηελαχκοφδαιλψδααονιν αιον,ηισχανβεπροξιεδβψσηορερm ιν αιον εξπεχαιονσ. 10

12 3. ζ = 4. ζ = 5. ζ =,ωηερε=2:25%. Τηε σεχονδεξενσιονοφ ηε σανδαρδτςπmοδελ ισ οαλλοωφορ αδισ ανχε φυνχιον, δ(ζ σ ;ζ σ 1 ), ιν (4). Τηισ αλλοωσ φορ εϖεν γρεαερ εξιβιλιψ. Ιν παριχυλαρ, νοε ηα σανδαρδ ΤςΠ σαε εθυαιονσ συχη ασ (3) (ορ ουρ σαεεθυαιον,4,ωιηδ(ζ σ ;ζ σ 1 )=1φοραλλσ)αλλοωφορχονινυαλγραδυαλ εϖολυιον οφ ηε πασσ ηρουγη χοε χιεν. Βψ αδδινγ ηε δισανχε φυνχιον ωε ρελαξ ηε χονινυουσ γραδυαλ ασπεχ. Ουρ mοδελ δοεσ αλλοω φορ χονινυ ουσγραδυαλχηανγε,βυωεχαναλσοηαϖεειηεριρρεγυλαρχηανγεινηεπασσ ηρουγηχοε χιεν(ε.γ. ιφιισχονσανοϖερλονγσπελλσοφιmε)ορχηανγε χαν βε mορε αβρυπ. Το ιλλυσραε ηε λαερ ποιν, συπποσε ηε ινδεξ ϖαριαβλε ισαmεασυρεοφσηορ ερmιν αιονεξπεχαιονσανδωεηαϖεδ(ζ σ ;ζ σ 1 )=1 ιφζ σ 1 < ανδζ σ,ανδδ(ζ σ ;ζ σ 1 )=0οηερωισε. Τηενωεηαϖεαmοδελ ωηερε ηε πασσ ηρουγη χοε χιεν χηανγεσ αβρυπλψ ονχε σηορ ερm ιν αιον εξπεχαιονσ ηι α ηρεσηολδ,. Ασ αργυεδ ιν Κοοπ ανδ Ποερ(2007), α εξιβλε δισανχε φυνχιον ισ: δ(ζ σ ;ζ σ 1 )=(ζ σ ) (ζ σ 1 ); ωηερε(ζ)ισηεχ.δ.φ. οφηεν( δ ; 2 δ )εϖαλυαεδαηεποινζ. Νοεηα ηενορmαλισθυιε εξιβλεωηενυσεδινηισχονεξ. ΤηεΝορmαλχαν(βψ χηοοσινγαϖερψλαργεϖαριανχε)αππροξιmαεχλοσελψηεδ ζσ;ζ σ 1 =ζσ ζ σ 1 δισανχε φυνχιον ωηιχη ισ σιmπλψ ηε δισανχε βεωεεν αδϕαχεν οβσερϖαιονσ οφηεινδεξϖαριαβλε. Βυιαλσοχαν(βψσεινγ δ ο ανδχηοοσινγαϖερψ σmαλλϖαλυεφορ 2 δ )αππροξιmαεχλοσελψασρυχυραλβρεακαιmε (οραν αβρυπ χηανγε ιν ηε πασσ ηρουγη χοε χιεν ωηεν ιν αιον εξπεχαιονσ ηι α ηρεσηολδ, ). Ινερmεδιαε ϖαλυεσ οφ ηε ϖαριανχε οφ ηε Νορmαλ ωουλδ αλλοω φορ α σmοοη χηανγε ιν ηε πασσ ηρουγη χοε χιεν αρουνδ α ηρεσηολδ δεερmινεδβψ δ. Τηεαδϖαναγεοφουραππροαχηισηαωερεα δ ; 2 δ ασ υνκνοων παραmεερσ ανδ, ηυσ, ηε πρεχισε σηαπε οφ ηε δισανχε φυνχιον ισ εσιmαεδ φροm ηε δαα. ΤηεινερεσεδρεαδερισρεφερρεδοΚοοπανδΠοερ(2007)φοραγρεα δεαλ οφ αδδιιοναλ ϕυσι χαιον φορ ηισ εξιβλε παραmεριχ mοδελ. Συ χε ι ο νοε ηερε ηα ι χαν υνχοϖερ ανψ πλαυσιβλε ρελαιονσηιπ βεωεεν ηε 11

13 πασσ ηρουγη χοε χιεν ανδ σηορ ερm ιν αιον εξπεχαιονσ ορ ανψ ιmε ϖαριαιονινηεχοε χιεν. Βυιδοεσσοιναωαψωηερεηεδααδεχιδεσ ωηα ηε ρελαιονσηιπ ισ ραηερ ηαν ιmποσινγ α παριχυλαρ ρελαιονσηιπ(ασ ισ δονε ιν σανδαρδ ρεγρεσσιον βασεδ αππροαχηεσ). Τηε πρεϖιουσ mαεριαλ σκεχηεσ ου ηε βασιχ χονχεπσ ινϖολϖεδ ιν ουρ mοδελινγ σραεγψ. Το χοmπλεε ουρ εmπιριχαλ σπεχι χαιον, ωε mυσ δισχυσσ ουρ ρεαmεν οφ ηε χονδιιοναλ ϖαριανχε. Σο φαρ ωε ηαϖε σαιδ νοηινγ αβου σοχηασιχ ϖολαιλιψ εϖεν ηουγη ηισ ισ ποενιαλλψ ιmποραν ιν συδιεσ οφ ιν αιον δψναmιχσ(σεε, ε.γ., Σοχκ ανδ Wασον, 2007). Wε γιϖε ηε χονδι ιοναλ ϖαριανχε ηε σαmε εξιβλε παραmεριχ ρεαmεν ηα ωε γιϖε ο ηε χονδιιοναλ mεαν. Τηισ ωιλλ νεσ α σανδαρδ σοχηασιχ ϖολαιλιψ mοδελ, βυ βεmυχηmορε εξιβλε. Wεαλσοαδδανινερχεποουρmοδελ. Τηυσ, ουρ χοmπλεε mοδελ ισ γιϖεν βψ: ψ σ =(1;ξ σ ) σ + σ ; (5) ωηερε σ ισνοωα21ϖεχορχοναινινγανινερχεπανδηεπασσηουγη χοε χιεν. Φυρηερmορε, σ = σ 1 +ϖ σ (6) η ανδ ϖ σ Ν 0; π ι δ 1 (ζ σ ;ζ σ 1 )Θ. Τηε ερρορ ιν ηε mεασυρεmεν εθυαιον, (5). ηασηεφορm, ωηερε ρ Ν(0;1), ανδ ρ Ν η 0; π δ 2 (ζ ρ ;ζ ρ 1 ) 2 1 ρ = ρ εξπ 2 ρ (7) ρ = ρ 1 + ρ (8) ι. Τηεερρορσ, ;ϖ ανδ,αρεινδεπενδεν ααλλλεαδσανδλαγσανδαρεινδεπενδενοφονεανοηερ. Νοεηαηεπρε ϖιουσ εθυαιονσ ινϖολϖε βοη σ ανδ ρ συβσχριπσ. Τηεσε δενοε ωο δι ερεν ρε ορδερινγσ ιν ιmε αχχορδινγ ο ωο ποενιαλλψ δι ερεν ινδεξ ϖαριαβλεσ. Σο, φορ ινσανχε, ι ισ ποσσιβλε ηα ηε πασσ ηρουγη χοε χιεν ϖαριεσ ωιη ηε λεϖελ οφ εξπεχεδ ιν αιον, βυ ηε χονδιιοναλ ϖαριανχε ϖαριεσ ωιη ιmε (ι.ε. ηασ α σανδαρδ σοχηασιχ ϖολαιλιψ σπεχι χαιον). Τηε σε οφ ινδεξ ϖαριαβλεσ ισ λισεδ αβοϖε. Φιναλλψ, νοε ηα ωε αλλοω φορ δι ερεν δισανχε φυνχιονσ φορ ηε χονδιιοναλ mεαν ανδ ϖαριανχε. 12

14 Φυρηερ δεαιλσ οφ ουρ εχονοmεριχ mεηοδσ αρε γιϖεν ιν ηε Τεχηνιχαλ Αππενδιξ. 4 Εmπιριχαλ Ρεσυλσ Τηισ σεχιον πρεσενσ εmπιριχαλ ρεσυλσ υσινγ δαιλψ ΥΣ δαα φροm ϑανυαρψ 2, 2003ηρουγηϑυνε9,2008. Τηεσηορερm(2 5ψεαρ)ανδλονγερm(9 10 ψεαρ) ιν αιον εξπεχαιονσ ϖαριαβλεσ ωερε χαλχυλαεδ φροm ηε ΥΣ ρεαλ ανδ νοmιναλ Τρεασυρψ σεχυριψ ψιελδσ (φροm ηε ΤΙΠΣ mαρκε) ασ δεσχριβεδ ιν Σεχιον 2. Ποερ ανδ Ροσενβεργ(2007) προϖιδε mορε δεαιλ οφ ηε χαλχυλα ιονσανδαδισχυσσιονοφηετιπσmαρκε. Τηεχηοιχεσοφσαρινγδαεανδ 2 5(9 10)ασουρδε νιιονσοφσηορερm(λονγερm)αρεmοιϖαεδβψουρ δεσιρε ο υσε δαα φροm ηιγηλψ λιθυιδ mαρκεσ. Ουρ εχονοmεριχ mοδελσ αρε ασ δεσχριβεδ ιν ηε πρεϖιουσ σεχιον. Ρε mεmβερ ηα ωε χονσιδερ ϖε δι ερεν ορδερινγσ (ι.ε. ϖε δι ερεν χηοιχεσ φορ ηε ινδεξ ϖαριαβλε) ανδ δι ερεν ορδερινγσ χαν αππλψ ο ηε παραmεερσ χηαραχεριζινγ ηε χονδιιοναλ mεαν ανδ χονδιιοναλ ϖαριανχε. Αχχορδινγλψ, ωεηαϖε25δι ερενϖαριανσοφουρmοδελ. Wενοεινπασσινγηαωεεξπερ ιmενεδ ωιη ρεσριχεδ ϖερσιονσ οφ ουρ mοδελ ωηερε ηε χονδιιοναλ ϖαριανχε ισ χονσαν (βυ νονλινεαριιεσ χαν οχχυρ ιν ηε χονδιιοναλ mεαν) ανδ ηε σανδαρδ ηοmοσκεδασιχ λινεαρ mοδελ βυ ηεσε ωερε σρονγλψ ρεϕεχεδ βψ ηε δααανδ,ηενχε,ωεδονοπρεσενρεσυλσφορηεmηερε. Νοε αλσο ηα ουρ αππροαχη αλλοωσ φορ mοδελ σελεχιον(ι.ε. χηοοσινγ ηε σινγλε mοδελ mοσ συππορεδ βψ ηε δαα) ορ mοδελ αϖεραγινγ(ι.ε. αϖεραγινγ αχροσσ αλλ mοδελσ ωιη ωειγησ προποριοναλ ο ηε mαργιναλ λικελιηοοδσ). Wε πρεσεν ρεσυλσ υσινγ βοη αππροαχηεσ. Wε πρεσεν ρεσυλσ φορ α συβϕεχιϖελψ ελιχιεδ βυ ρελαιϖελψ νονινφορmαιϖε πριορ. Φυρηερmορε, ιν ηε Εmπιριχαλ Αππενδιξ ωε πρεσεν ρεσυλσ φορ ωο ραινινγ σαmπλε πριορσ. Ονε υσεσ ηε ρσ 200 οβσερϖαιονσ ο χαλιβραε ηε πριορ ωηιλε ηε οηερ υσεσ ηε λασ 200 οβσερϖαιονσ. Φυλλ δεαιλσ ον ουρ πριορσ αρε προϖιδεδ ιν ηε Τεχηνιχαλ Αππενδιξ. 13

15 4.1 Μοδελ Χοmπαρισον Wε βεγιν ιν Ταβλε 1 ωιη εϖιδενχε ον ωηιχη mοδελσ αρε συππορεδ βψ ηε δαα. 4 Wιηρεγαρδσοηεερρορϖαριανχε(ι.ε. )ασρονγσορψισοβαινεδ. Μοδελσ ωηιχη αλλοω φορ σοχηασιχ ϖολαιλιψ οφ α χονϖενιοναλ σορ(ι.ε. ωιη δαα ιν ναυραλ ιmε ορδερινγ) χλεαρλψ ρεχειϖε mυχη mορε συππορ ηαν ανψ οηερ mοδελσ(ι.ε. mοδελσ ωιη οηερ νονλινεαρ παερνσ ιν ηειρ χονδιιοναλ ϖαριανχε). Βυ ηερε ισ σοmε υνχεραινψ οϖερ ωηιχη νονλινεαρ παερν ιν ηε χονδιιοναλ mεαν σ ηε δαα βεερ. Τηε mοδελ ωιη ηε ηιγηεσ mαργιναλ λικελιηοοδηασζ =. Ηενχε,ιφωεσελεχασινγλεmοδελωεωουλδ χηοοσε ηε λαγγεδ αβσολυε δεϖιαιον φροm ασ ουρ ινδεξ ϖαριαβλε. Βυ ηερε ισνεαρλψασmυχησυππορφορσοmεοφηεοηερινδεξϖαριαβλεσ. Ινδεεδ,ωηεν δοινγβαψεσιανmοδελ αϖεραγινγ αλλ οφ ηε ινδεξδε νιιονσ φορορδερινγ ωιλλρεχειϖενον νεγλιγιβλεωειγη(βυφορ,ηεναυραλιmεορδερινγωιλλ ρεχειϖε ϖιρυαλλψ 100% οφ ηε ωειγη). 4 Φορηενον Βαψεσιανρεαδερ,νοεηελογσοφmαργιναλλικελιηοοδσχανβεινερπρεεδ ιν α σιmιλαρ φασηιον ο ινφορmαιον χριερια. Ινδεεδ, ηε Σχηωαρζ χριεριον ισ αν ασψmποιχ αππροξιmαιον ο ηε λογ mαργιναλ λικελιηοοδ. 14

16 Ταβλε 1: Μαργιναλ Λικελιηοοδσ φορ Dι ερεν Ορδερινγσ Ινδεξ ςαριαβλε φορ Ινδεξςαριαβλε φορ ΛογοφΜαργιναλ Λικελιηοοδ

17 4.2 Φεαυρεσ οφ Ινερεσ Ιν ηισ σεχιον, ωε πρεσεν ποσεριορ προπεριεσ οφ σοmε φεαυρεσ οφ ινερεσ. Γιϖεν ηα ηε mαιν mαχροεχονοmιχ ισσυεσ ηινγε ον ηε πασσ ηρουγη χοε χιεν,,mοσοφηεεmπιριχαλρεσυλσινηισσεχιονρελαεοηεm. Φιγυρε 1 συmmαριζεσ ηε ποσεριορσ οφ ηε πασσ ηρουγη χοε χιενσ φορ α βενχηmαρκ χασε(ηε σανδαρδ ΤςΠ mοδελ) αλονγ ωιη ηε ωο mοδελσ υσινγ ηε ινδεξ ϖαριαβλεσ ωηιχη ψιελδεδ ηε ηιγηεσ λογ mαργιναλ λικελιηοοδσ. Τηεσε αρε ηε χασεσ ωηερε ζ = ανδ ζ =. Φορ ηε χονδιιοναλ ϖαριανχε,ωεαλωαψσηαϖεζ =(ι.ε. χονϖενιοναλσοχηασιχϖολαιλιψ)σινχε ηισ ρεχειϖεσ οϖερωηελmινγ συππορ φροm ηε δαα. Νοε ηα ηε ηρεε πανελσ οφ Φιγυρε 1 πλο ηε ιν αιον πασσ ηρουγη χοε χιεν αγαινσ ηε αππροπριαε ινδεξϖαριαβλεσοηαεαχηπανεληασαδι ερενξ αξισ. Τηεπανελσχοναινα ποιν εσιmαε(ηε ποσεριορ mεαν) αλονγ ωιη χρεδιβλε ινερϖαλ(ηε ινερϖαλ βεωεεν ηε 16η ανδ 84η περχενιλεσ οφ ηε ποσεριορ). Νοε ηα ηε ιν αιον πασσ ηρουγη χοε χιεν ισ σmαλλ εϖερψωηερε. Φορ νοϖαλυεοφανψινδεξϖαριαβλεδοεσισποινεσιmαεγοαβοϖε0.3ανδηε χρεδιβλε ινερϖαλσ αρε φαιρλψ ιγη αρουνδ ηε ποιν εσιmαε. Τηυσ, ηερε ισ σρονγ εϖιδενχε αγαινσ ηε υνmοορεδ ιν αιον εξπεχαιονσ ηψποηεσισ. Ηοωεϖερ, ηε ιν αιον πασσ ηρουγη χοε χιεν ισ αλσο νο χονσαν ανδ νεαρ ζερο ασ ωουλδ βε συγγεσεδ βψ ρmλψ ανχηορεδ ιν αιον εξπεχαιονσ. Ουρ ρεσυλσ αρε mοσ χονσισεν ωιη χοναινεδ ιν αιον εξπεχαιονσ. Ρεmεmβερ ηα ηισ ηψποηεσισ ινϖολϖεδ ηε εξισενχε οφ αν ινερϖαλ, ινσιδε ωηιχη ινϖεσορσ εξπεχεδ ηε Φεδ ο κεεπ ιν αιον. Ι ιmπλιεδ ηα ηε ιν α ιον πασσ ηρουγη χοε χιεν σηουλδ δεχρεασε νεαρ ηε βουνδσ οφ ηε ινερϖαλ. Ηοωεϖερ, νεαρ ηε mιδδλε οφ ηε ινερϖαλ, ηε χοε χιεν ωουλδ βε θυιε λαργε (ποενιαλλψ εϖεν βεινγ νεαρ ονε). Τηε ρεσυλσ φορ ουρ mοσ προβαβλε mοδελ (ι.ε. ηε ονε ωηερε ισ ηε ινδεξ ϖαριαβλε) αρε χονσισεν ωιη ηισ παερν(σεε ηε βοοm πανελ οφ Φιγυρε 1). Wηεν σηορ ερm ιν αιον εξπεχ αιονσαρενεαρηερεισαφαιρδεγρεεοφπερσισενχε(ι.ε. ηειν αιονπασσ ηρουγη χοε χιεν ισ αρουνδ 0.2), βυ ιφ ηεψ δεϖιαε mορε ηαν ονε περ χεν φροm ηεν ηε περσισενχε ϖανισηεσ(ι.ε. ηε πασσ ηρουγη χοε χιεν ισϖιρυαλλψζερο). Τηισπαερνισαλσοχονσισενωιηαλεσσριγιδφορmοφηε χοναινεδ ιν αιον εξπεχαιονσ ηψποηεσισ ωηερε ινϖεσορσ βελιεϖε ηα ηε Φεδωιλλνοαχσρονγλψοχορρεχσmαλλδεϖιαιονσφροm (ε.γ. λεσσηαν 1% δεϖιαιονσ), βυ ωιλλ ινχρεασινγλψ ενδ ο αχ ασ δεϖιαιονσ βεχοmε λαργερ. Ιν συmmαρψ, ιφ ωε σελεχ α σινγλε mοδελ ωιη ηε ηιγηεσ mαργιναλ λικελιηοοδ, 16

18 ωε αρε νο νδινγ εϖιδενχε φορ ειηερ υνmοορεδ νορ ρmλψ ανχηορεδ ιν αιον εξπεχαιονσ, βυ ραηερ σοmεηινγ ιν βεωεεν ωηερε ιν αιον εξπεχαιονσ αρε χοναινεδ. Φιγυρε 2 πρεσεν ποιν εσιmαεσ οφ ηε ιν αιον πασσ ηρουγη χοε χιενσ, βυ αϖεραγεδ οϖερ αλλ mοδελσ(ανδ πλοεδ ωιη ηε Ξ αξισ ορδερεδ ιν ηρεε δι ερεν ωαψσ). 5 Νοε ηα, υνλικε Φιγυρε 1, ηε ηρεε πανελσ ιν Φιγυρε 2 δο νο χορρεσπονδ ο δι ερεν mοδελσ, βυ ινσεαδ αρε πρεσενινγ ηε σαmε ινφορmαιον βυ ορδερεδ ιν δι ερεν ωαψσ. Ιν ηε βοοm πανελ οφ Φιγυρε 2 ωε σεε αγαιν ηε παερν χονσισεν ωιη χοναινεδ ιν αιον εξπεχαιονσ. Φιγυρεσ 1 ανδ 2 ηιγηλιγη ωο θυαλι χαιονσ οφ ηισ σορψ. Φιρσ, ρεσυλσ υσινγζ = ασηεινδεξϖαριαβλεινδιχαεηαηεπασσηρουγηχοε χιεν ισ νεαρ ζερο ωηεν σηορ ερm ιν αιον εξπεχαιονσ αρε λοω(ι.ε. βελοω ), βυ ισ ηιγηερ ωηεν ηεψ αρε ηιγη (αβοϖε ). Wε σρεσσ ηα ηισ ινδεξ ϖαριαβλε ψιελδσ α λοωερ mαργιναλ λικελιηοοδ ηαν υσινγ,σοωεπλαχε λεσσ ωειγη ον ηισ mοδελ. Νεϖερηελεσσ, ι συγγεσσ ηα ηε εϖιδενχε οφ χον αινεδιν αιονεξπεχαιονσισmοσλψχοmινγφροmπεριοδσωηερε <. Λοοκινγαηεραωδαα,ισαππροξιmαελψηεmεανοφ, ηε δισριβ υιονοφ αβου ηισ mεαν ισ ασψmmεριχ ωιη mορε εξρεmε δεϖιαιονσ οχχυρρινγ βελοω ηαν αβοϖε ηε mεαν. Ι ισ ηεσε λαργερ δεϖιαιονσ βελοω ηε mεαν(ωηιχη οφεν οχχυρ νεαρ ηε βεγιννινγ οφ ουρ σαmπλε) ωηιχη αρε πλαψινγ α λαργε ρολε ιν ουρ νδινγ οφ χοναινεδ ιν αιον εξπεχαιονσ. Σεχονδ,ηερεσυλσυσινγζ =(αmοδελωηιχη,οφηεηρεεπλοεδιν Φιγυρε 1, ηασ mυχη ηε λοωεσ mαργιναλ λικελιηοοδ) ινδιχαε ηα ηε ιν αιον πασσ ηρουγη χοε χιεν ωασ λοωερ α ηε βεγιννινγ οφ ουρ σαmπλε περιοδ. Τηισ ισ χονσισεν ωιη ηε ναλ σαεmεν ιν ηε πρεχεδινγ παραγραπη. Τηεσε ρεσυλσ αρε οβαινεδ υσινγ α συβϕεχιϖελψ ελιχιεδ, βυ ρελαιϖελψ νονινφορmαιϖε πριορ. Ιν ορδερ ο ινϖεσιγαε ποσσιβλε πριορ σενσιιϖιψ, ωε ηαϖε αλσο προδυχεδ ρεσυλσ υσινγ ωο ραινινγ σαmπλε πριορσ. Τηεσε αρε ιν ηε Εmπιριχαλ Αππενδιξ ανδ ηε ινερεσεδ ρεαδερ χαν λοοκ α ηεm ιν δεαιλ. Ηερεωενοεηαηεβασιχσορψουλινεδαβοϖεισροβυσ. Τηαισ,ωεαρε νδινγ νο εϖιδενχε φορ ειηερ υνmοορεδ ορ ρmλψ ανχηορεδ ιν αιον εξπεχ αιονσ. Ιν αιον εξπεχαιονσ δο σεεm ο βε βεερ χηαραχεριζεδ ασ βεινγ χοναινεδ. Ηοωεϖερ, οβσερϖαιονσ α ηε βεγιννινγ οφ ηε σαmπλε δο πλαψ α 5 Τηε ραηερ ιρρεγυλαρ παερνσ οφ ηε ποσεριορ mεανσ ιν σοmε πλαχεσ αρε δυε ο ουρ αϖεραγινγ οϖερ mοδελσ ωηιχη ορδερ ηε δαα ιν ϖερψ δι ερεν ωαψσ. Το κεεπ ηε γραπησ υνχλυερεδ ωε δο νο ινχλυδε χρεδιβλε ινερϖαλσ (ηειρ αππροξιmαε ωιδη ισ σιmιλαρ ο ηοσε ιν Φιγυρε 1). 17

19 δισπροποριοναε ρολε ιν ηισ νδινγ. Φιγυρε 1: Ποσεριορ Μεανσ οφ Πασσ ηρουγη Χοε χιεν φορ Μοδελσ ωιη Dι ερεν Ινδεξ ςαριαβλεσ(ωιη 16η 84η περχενιλε βανδσ) 18

20 Φιγυρε 2: Ποσεριορ Μεανσ οφ Πασσ ηρουγη Χοε χιεν. Αϖεραγεδ Οϖερ Αλλ Μοδελσ. Πλοεδ Αγαινσ Dι ερεν Ινδεξ ςαριαβλεσ Τηεmαινσοριεσινουρπαπερρελαεοηειν αιονπασσηρουγηχοεφ χιεν. Ηοωεϖερ, ουρ εmπιριχαλ ρεσυλσ αρε χλεαρλψ ινδιχαινγ ηα ηε ερρορ 19

21 ϖαριανχεισνοχονσανοϖεριmε. Ινφαχ,Ταβλε1σηοωσηαηερεισσρονγ εϖιδενχε οφ σοχηασιχ ϖολαιλιψ οφ α χονϖενιοναλ σορ ιν ηισ δαα σε. Αχ χορδινγλψ, ωε πρεσεν Φιγυρε 3 ωηιχη πλοσ ποσεριορ ρεσυλσ ρελαινγ ο ηε χονδιιοναλ ϖαριανχε ιν α σιmιλαρ φορmα ο Φιγυρε 1. Τηα ισ, ηε ηρεε πανελσ οφφιγυρε3χορρεσπονδοηεσαmεηρεεmοδελσασινφιγυρε1(αληουγηαλλ οφ ηεσε υσε ηε σαmε ινδεξ φορ ηε χονδιιοναλ ϖαριανχε ανδ αχχορδινγλψ αλλ ηαϖε ιmε ασ ηε Ξ αξισ). Ρεmεmβερ ηα Ταβλε 1 ινδιχαεσ σρονγ συππορ φορ χονϖενιοναλ σοχηασιχ ϖολαιλιψ(σο ε.γ. ηερε ισ νο συππορ φορ ηε ιδεα ηα ηε ερρορ ϖαριανχε δεπενδσ ον ηε λεϖελ οφ σηορ ερm ιν αιον εξπεχα ιονσ). ΑλληρεεπανελσοφΦιγυρε3λοοκϖερψσιmιλαρανδινδιχαεηαηε ερρορ ϖαριανχε ηασ βεεν υχυαινγ συβσανιαλλψ οϖερ ιmε. 20

22 Φιγυρε 3: Ποσεριορ Μεανσ οφ Χονδιιοναλ ςαριανχεσ φορ Μοδελσ ωιη Dι ερεν Ινδεξ ςαριαβλεσ(ωιη 16η 84η περχενιλε βανδσ) 21

23 5 Χονχλυσιονσ Ιν ηισ παπερ, ωε ηαϖε ινϖεσιγαεδ ηε ρελαιονσηιπ βεωεεν σηορ ερm ανδ λονγ ερm ιν αιον χοmπενσαιον. Wε φοχυσ ον ηε ιν αιον πασσ ηρουγη χοε χιεν ωηιχη mεασυρεσ ηοω χηανγεσ ιν σηορ ερm εξπεχαιονσ ιmπαχ ον λονγ ερm εξπεχαιονσ. Wε υσε α εξιβλε παραmεριχ αππροαχη ωηιχη αλλοωσηισπασσηρουγηχοε χιενοϖαρψοϖεριmεορϖαρψωιηηελεϖελοφ σηορ ερm ιν αιον εξπεχαιονσ ορ ϖαρψ ωιη αβσολυε δεϖιαιονσ οφ ιν αιον εξπεχαιονσ φροm α χενραλ ϖαλυε. Φυρηερmορε, ηε ρελαιονσηιπ βεωεεν ηε πασσ ηρουγη χοε χιεν ανδ ανψ οφ ηεσε ινδεξ ϖαριαβλεσ χαν ηαϖε ϖιρυαλλψ ανψ φυνχιοναλ φορm. Ουρ εmπιριχαλ ρεσυλσ ινδιχαε ηα, αληουγη ηερε ισ α φαιρ δεγρεε οφ mοδελ υνχεραινψ, ηα mοσ συππορ γοεσ ο α mοδελ ωηερε ηε ιν αιον πασσ ηρουγη χοε χιεν δεπενδσ ον ηε αβσολυε δεϖιαιον οφ σηορ ερm ιν αιον εξπεχαιονσ φροm α χενραλ ϖαλυε ανδ ηα ηε σηαπε οφ ηισ ρελαιονσηιπ ισ χονσισεν ωιη α ηεορειχαλ mοδελ οφ χοναινεδ ιν αιον εξπεχαιονσ. 22

24 Ρεφερενχεσ Χηιβ, Σ. ανδ Γρεενβεργ, Ε. (1995). Υνδερσανδινγ ηε Μεροπολισ Ηασινγσ αλγοριηm, Τηε Αmεριχαν Σαισιχιαν, 49, Dυρβιν, ϑ. ανδ Κοοπmαν, Σ.(2002). Α σιmπλε ανδ ε χιεν σιmυλαιον σmοοηερ φορ σαε σπαχε ιmε σεριεσ αναλψσισ, Βιοmερικα, 89, Φαυσ, ϑ. ανδ Ηενδερσον, D.(2004). Ισ ιν αιον αργεινγ βεσ πραχιχε mονεαρψ πολιχψ? Φεδεραλ Ρεσερϖε Βανκ οφ Σ. Λουισ Ρεϖιεω, 86, 117. Γελφανδ, Α. ανδ Dεψ, D. (1994). Βαψεσιαν mοδελ χηοιχε: Ασψmποιχσ ανδ εξαχ χαλχυλαιονσ, ϑουρναλ οφ ηε Ροψαλ Σαισιχαλ Σοχιεψ Σεριεσ Β, 56, Γυρκαψνακ, Ρ., Λεϖιν, Α. ανδ Σωανσον, Ε.(2006). Dοεσ ιν αιον αρ γεινγ ανχηορ λονγ ρυν ιν αιον εξπεχαιονσ? Φεδεραλ Ρεσερϖε Βανκ οφ Σαν Φρανχισχο, ωορκινγ παπερ Ηαρϖεψ, Α. (1989). Φορεχασινγ, Σρυχυραλ Τιmε Σεριεσ Μοδελσ ανδ ηε Καλmαν Φιλερ, Χαmβριδγε Υνιϖερσιψ Πρεσσ: Χαmβριδγε. Ηαρϖεψ, Α. ανδ Κοοπmαν, Σ.(2000). Σιγναλ εξραχιον ανδ ηε φορmυ λαιον οφ υνοβσερϖεδ χοmπονενσ mοδελσ, Εχονοmεριχσ ϑουρναλ, 3, Κιm, Σ., Σηεπηαρδ, Ν. ανδ Χηιβ, Σ.(1998). Σοχηασιχ ϖολαιλιψ: Λικε λιηοοδ ινφερενχε ανδ χοmπαρισον ωιη ΑΡΧΗ mοδελσ, Ρεϖιεω οφ Εχονοmιχ Συδιεσ, 65, Κοοπ, Γ.(2003). Βαψεσιαν Εχονοmεριχσ, ϑοην Wιλεψ: Χηιχηεσερ. Κοοπ. Γ. ανδ Ποερ, Σ.(2007). Α εξιβλε αππροαχη ο παραmεριχ ινφερ ενχε ιν νονλινεαρ ανδ ιmε ϖαρψινγ ιmε σεριεσ mοδελσ, mανυσχριπ αϖαιλαβλε α ηπ://περσοναλ.σραη.αχ.υκ/γαρψ.κοοπ/. Ποερ, Σ.(2007). Α βουνδεδ mοδελ οφ ιν αιον, Φεδεραλ Ρεσερϖε Βανκ οφ Νεω Ψορκ, Σα Ρεπορσ. Ποερ, Σ. ανδ Ροσενβεργ, ϑ. (2007). Αρε Υ.Σ. ιν αιον εξπεχαιονσ ανχηορεδ, χοναινεδ ορ υνmοορεδ? mανυσχριπ. Σοχκ, ϑ. ανδ Wασον, Μ.(2007). Wηψ ηασ Υ.Σ. ιν αιον βεχοmε ηαρδερ ο φορεχασ? ϑουρναλ οφ Μονεψ, Χρεδι ανδ Βανκινγ, 39, Τσαψ, Ρ.(1989). Τεσινγ ανδ mοδελινγ ηρεσηολδ αυορεγρεσσιϖε προχεσσεσ, ϑουρναλ οφ ηε Αmεριχαν Σαισιχαλ Ασσοχιαιον, 84,

25 Τεχηνιχαλ Αππενδιξ Τηε Μαρκοϖ χηαιν Μονε Χαρλο(ΜΧΜΧ) αλγοριηm φορ ηε εξιβλε παρα mεριχmοδελισφυλλψδεσχριβεδινκοοπανδποερ(2007)ανδηερεαδερισ ρεφερρεδ ηερε φορ χοmπλεε δεαιλσ. Ηερε ωε ϕυσ σκεχη ου ηε βασιχ ιδεασ. Τηεαδϖαναγεοφουραππροαχηισηαωεχανδραωυπονσανδαρδσαεσπαχε αλγοριηmσ. WεβεγινβψδεσχριβινγηοωοδοΜΧΜΧφοραγιϖενχηοιχεοφ ωο ινδεξ ϖαριαβλεσ (ονε χονρολλινγ ϖαριαιον ιν ηε χονδιιοναλ mεαν, ηε οηερ ιν ηε χονδιιοναλ ϖαριανχε). Τηε mοδελ ισ γιϖεν ιν (5), (6), (7) ανδ (8). Το δραω φορ = 1;::;Τ (ορωηενωερε ορδερηεδαα, σ φορσ=1;::;τ), ωευσεηεαλγοριηmοφ Dυρβιν ανδ Κοοπmαν(2002). Wε υσε ηε αλγοριηm οφ Κιm, Σηεπηαρδ ανδ Χηιβ(1998)(ωηεννεχεσσαρψυσινγσυιαβλψρε ορδερεδδαα)οδραω ρ φορ =1;::;Τ (ορ ρ φορρ=1;::;τ ωηενωερε ορδερηεδαα). ΦορΘανδ 2 ωε υσε ινϖερεδ Wισηαρ ανδ Γαmmα πριορσ, ρεσπεχιϖελψ. Νοε ηα, χονδιιοναλ ον ηε σαεσ, ηε σαε εθυαιονσ ρεδυχε ο σιmπλι εδ ϖαριανσ οφ λινεαρ ρεγρεσσιον mοδελσ. Τηυσ, φορ ουρ πριορσ ανδ χονδιιοναλ ον δραωσ οφ ηε σαεσ, ηε ποσεριορ φορ Θ ακεσ ηε υσυαλ ινϖερεδ Wισηαρ φορm (σεε, ε.γ., Κοοπ, 2003, παγεσ ) ανδ ηε ποσεριορ οφ 2 ακεσ ηε υσυαλ Γαmmα φορm(σεε, ε.γ., Κοοπ, 2003, παγεσ 61 62). Φορανψγιϖενορδερινγ,ωενεεδοδραωηεπαραmεερσοφηεδισανχε φυνχιονσ. Τηε νυmβερ οφ παραmεερσ ιν ηεσε ισ ονλψ φουρ. Τηα ισ, ωε ηαϖεα δ ανδα 2 δ φορηεδισανχεφυνχιονιν(6)ασωελλασ(8). Ρανδοm Wαλκ Χηαιν Μεροπολισ Ηασινγσ αλγοριηmσ(σεε, ε.γ., Χηιβ ανδ Γρεενβεργ, 1995)ωορκωελλινλοω διmενσιοναλmοδελσσυχηασηισανδωευσεσυχηαν αλγοριηm. Κοοπ ανδ Ποερ (2007) γιϖεσ ηε φορmυλαε φορ ηε αχχεπανχε προβαβιλιιεσ. Τηε πρεχεδινγ mαεριαλ δεσχριβεδ ουρ ΜΧΜΧ αλγοριηm, γιϖεν α παριχ υλαρ χηοιχε οφ ινδεξ ϖαριαβλεσ. Το αϖεραγε οϖερ ινδεξ ϖαριαβλεσ (ορ σελεχ α παριχυλαρ χηοιχε), ωε mυσ χαλχυλαε ηε mαργιναλ λικελιηοοδ φορ εαχη χηοιχε. WευσεηεαππροαχηοφΓελφανδανδDεψ(1994)οδοσο. Wιη ρεγαρδσ ο ηε πριορ, ωε υσε α συβϕεχιϖε(βυ ρελαιϖελψ νονινφορ mαιϖε) πριορ ασ ωελλ ασ ωο ραινινγ σαmπλε πριορσ. Τηε συβϕεχιϖε πριορ ισ σιmιλαρ ο ηα mοιϖαεδ ιν Κοοπ ανδ Ποερ (2007) ανδ ηε ρεαδερ ισ ρε φερρεδοηαπαπερφοραδεαιλεδϕυσι χαιον. Νοεηααλλοφουρmοδελσ ηαϖε ηε σαmε διmενσιον, σο σοmε προβλεmσ ωιη ηε υσε οφ ρελαιϖελψ νον ινφορmαιϖε πριορσ(ε.γ. Βαρλε σ παραδοξ) δο νο αρισε. Τηε κεψ πριορσ αρε ηοσε φορ ηε ινιιαλ χονδιιονσ, ηε ερρορ ϖαριανχεσ ιν ηε σαε εθυαιονσ ανδ ηοσε φορ ηε παραmεερσ οφ ηε δισανχε φυνχιονσ. Φορ ηεσε, ωε υσε ηε 24

26 σαmε πριορσ φορ εϖερψ χηοιχε οφ ινδεξ ϖαριαβλεσ. Ινπαριχυλαρ,ωεασσυmεπριορσοφηεφορm: 6 ΘιW Θ;θ ; 2 Γ α ;β ; 1 Ν(;ς ); 1 Ν ;ς ; ανδ δ Ν ;ς 2 δ Γ(α δ ;β δ ) Τηε συβϕεχιϖε πριορ ισ οβαινεδ σεινγ = 5, ς = 10, = 0 ανδ ς = 10Ι 2. Φυρηερmορε, α = 400, β = 2, θ = 50 ανδ Θ = 0:001 0:000. 0:000 0:005 Φορ ηε ραινινγ σαmπλε πριορσ, ωε υσε ειηερ ηε ρσ ορ ηε λασ 200 οβσερϖαιονσ. Βασεδ ον ΟΛΣ ρεσυλσ υσινγ ειηερ ραινινγ σαmπλε ωε σπεχιφψ ηεπριορπαραmεερσφορηεινιιαλ χονδιιονσασ =λογ( 2 ΟΛΣ), ς =10, = β ΟΛΣ ανδς =10ϖαρ βολσ. Wεηενσεα =400,β =2,θ=50 ανδθ=0:01(50 3)ϖαρ βολσ. Τηε ηψπερπαραmεερσ οφ βοη δισανχε φυνχιον πριορσ αρε ηε σαmε φορ ηεραινινγσαmπλεπριορσανδηεσυβϕεχιϖεπριορανδσεα=0,ς =1, α δ =1:0ανδβ δ =1:0. 6 Τηε Γαmmα ισ παραmεεριζεδ σο ηα Γ(α;β) ηασ mεαν α β ανδ ϖαριανχε α β2. Τηε Α ινϖερεδ Wισηαρ ισ παραmεεριζεδ σο ηα ιw(α; α) ηασ εξπεχεδ ϖαλυε α π 1 ωηερε π ισ ηε διmενσιον. 25

27 Εmπιριχαλ Αππενδιξ Ιν ηισ αππενδιξ, ωε πρεσεν ποσεριορ ρεσυλσ φορ ουρ ωο ραινινγ σαmπλε πριορσ. ΦιγυρεσΑ.1ανδΑ.2αρεινηεσαmεφορmαασΦιγυρεσ1ανδυσεηε λασ 200 οβσερϖαιονσ ανδ ηε ρσ 200 οβσερϖαιονσ, ρεσπεχιϖελψ, ο χαλιβραε ηε πριορ. Ταβλε Α.1 ισ χοmπαραβλε ο Ταβλε 1 ανδ χοναινσ λογ mαργιναλ λικελιηοοδσ φορ δι ερεν ινδεξ ϖαριαβλεσ. Χονσιδερ ρσ ηε ραινινγ σαmπλε υσινγ ηε λασ 200 οβσερϖαιονσ. Ταβλε Α.1 ινδιχαεσ ηα ηε mοσ πρεφερρεδ mοδελ ηασ ηε ινδεξ ϖαριαβλε βεινγ ηε αβσολυε δεϖιαιον φροm. Φιγυρε Α.1 λοοκσ ϖερψ σιmιλαρ ο Φιγυρε 1. Τηισ σρονγλψ συππορσ ηε ιδεα ηα ουρ ρεσυλσ αρε ροβυσ ο πριορ χηοιχε. Ρεσυλσ υσινγ ηε ρσ 200 οβσερϖαιονσ, ηουγη, εξηιβι λεσσ ροβυσνεσσ. Τηε mοδελσ ωιη ηιγηεσ mαργιναλ λικελιηοοδσ αρε νο ηοσε ωηερε ηε ινδεξ ισ ηε αβσολυε δεϖιαιονφροm, βυ ραηερσιmπλψηε λεϖελ οφ σηορ ερm ιν αιον εξπεχαιονσ(ορ ισ λαγ). Τηισ ισ χονσισεν ωιη ηε ιδεα δισχυσσεδ ινηεβοδψοφηεπαπερ:τηαηε ρσοβσερϖαιονσ(ωηιχηαρεσεασιδεφορ ηισ ραινινγ σαmπλε, βυ αρε ινχλυδεδ ωιη ηε οηερ πριορσ) αρε ιmποραν ιν προϖιδινγ συππορ φορ ηε mοδελ ωηερε ηε ινδεξ ισ ηε αβσολυε δεϖιαιον φροm. Νεϖερηελεσσ, mοσ ασπεχσ οφ ουρ βασιχ σορψ (ι.ε. ηα ιν αιον εξπεχαιονσ σεεm νο ο βε υνmοορεδ νορ ανχηορεδ, βυ ραηερ αρε χοναινεδ ιν σοmε ωαψ) αρε λεφ υνχηανγεδ. 26

28 Φιγυρε Α.1: Ποσεριορ οφ Πασσ ηρουγη Χοε χιεν φορ Μοδελσ ωιη Dι ερεν Ινδεξ ςαριαβλεσ(τραινινγ σαmπλε λασ 200 οβσερϖαιονσ) 27

29 Φιγυρε Α.2: Ποσεριορ οφ Πασσ ηρουγη Χοε χιεν φορ Μοδελσ ωιη Dι ερεν Ινδεξ ςαριαβλεσ(τραινινγ σαmπλε ρσ 200 οβσερϖαιονσ) 28

30 Ταβλε Α.1: Μαργιναλ Λικελιηοοδσ φορ Dι ερεν Ορδερινγσ Τραινινγ σαmπλε: Λασ 200 οβσ. Φιρσ 200 οβσ. Ινδεξ ςαριαβλε φορ σ Ινδεξςαριαβλε φορ σ ΛογοφΜαργιναλ Λικελιηοοδ Λογ οφ Μαργιναλ Λικελιηοοδ