Curs 4. Metode de rezolvare a sistemelor liniare bazate pe factorizare ortogonală. Sistemul supradeterminat de ecuaţii liniare

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Curs 4. Metode de rezolvare a sistemelor liniare bazate pe factorizare ortogonală. Sistemul supradeterminat de ecuaţii liniare"

Αργυρός Ταρσούλη
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Cs 4. Metode de ezovae a ssteeo ae bazate e factozae otogoaă. Sste sadeteat de ecaţ ae Ab, A R, b R, > adte î geea soţe. Soţa î ses ceo a c ătate (sa sedosoţa) se defeşte ca vecto * d R cae asgă zaea oe ecdee a vecto ezd * ( ) * b A ( ) b A R R Psedosoţa este soţe eactă et sste oa A AA b Sste oa este ă codţoat astfe îcât etodee obşte de ezovae (Gass, Choesy, etc) da eztate satsfăcătoae, fd ecesae etode a stabe d ct de vedee ec, bazate e tghazae otogoaă. Psedosoţa este că dacă atcea A ae cooaee a deedete, caz î cae se eă ca * (A A) - A ba # b î cae se defeşte A # (A A) - A R ca vesă geeazată sa sedovesă Peose - Mooe a atce detghae A R. Do vecto, y R st otogoa î aot c ods ecda dacă y. Coeet otogoa S S {y R y, S} a sbsaţ S R se defeşte ca Vecto,,..., R st otooaţ, dacă δ Matcea Q [... ] R este otogoaă ş Q.QI Cosdeă o atce otogoaă ătată Q R. Matcee otogoae a ătoaee oetăţ. Q - Q. det(q) ± det(q.q)det(q.q)det (Q)det(I ) Î C vecto st otogoa dacă y, de (tass cogat) Matcea Q este taă dacă Q.QI. 3. -tasfoaea otogoaă cosevă oa ecdaă a vecto (,)() () ( )

2 4. -oa atcaă ecdaă sbodoată este s 5. cod (A) 6..A A -tasfoaea otogoaă cosevă oa ecdaă a e atce R.A R.A. A A A.R A.R. R R.A A O atce P se eşte atce deotetă sa atce oecto, dacă P P. Î aot c oecto P, vecto v R oate f descos c î v P.v (I-P).v v v P.v P.(I-P).v (P-P ).v.v v P.v S oecţa v î saţ age a P v (I-P )v S oecţa v î saţ a P Dacă P este setc (PP ), atc v v (P.v).(I-P).vv.P.(I-P) v.(p-p )v v S v S P este oecto otogoa î S I-P este oecto otogoa î S O etodă otogoaă tasfoă sste Ab ît- sste echvaet c atce seo tghaă Ab î cae atcea de tasfoae R este otogoaă. Matcea sste echvaet (î ses că ae aceeaş sedosoţe c sste ţa), ae aceaş ă de codţoae î oă. It-adevă, tasfoăe otogoae cosevă oa ecdaă Metoda osehode O atce otogoaă eeetaă se obţe odfcâd atcea tate, c o atce de ag. Refecto osehode este o aseeea atce otogoaă I - β, β / ( ) este setcă (I - β ) I - β( ) I - β( ) I - β este otogoaă I-β β ( ) I-β β (/β) I se eşte vecto osehode. (I-β ) - β( ) - β(/β) - stfcă ee de efecto ceea ce

3 a Sa() a a (I - β )a a - β( a) Dacă a atc a ş a a atfe a a β( a) adcă a-a asfoaea efectă vecto a î aot c a oa vecto. Vo detea tasfoaea, astfe îcât vecto efectat a să abă toate cooetee, c eceţa ea dte ee a ±e, a a ±e e ±a/ Vo detea dec atcea otogoaă, avâd a cooaă ooţoaă c ±a/ Matcea osehode se fooseşte sb foa echvaetă I-, c (se obsevă că î acest caz atca β). Dacă,y R, y, y, -y (-y) (-y) - y-y y y( -y ) y y atc (I- )y. (I- ) ( y)( y) ( y)( y ) y ( y y) (I- ) -(-y)y C ate cvte, dacă do vecto ş y a aceeaş oge ş aceeaş ge, atc te detea o tasfoae (otaţe), cae să adcă e d e este ceăat. Ste teesaţ ca d vecto să fe aae c o aă de coodate, adcă dacă otă gea ±, ş aege ve, v/ v atc (I- )-e vv / v v (e )(e ) e e e e ( ) 3

4 ( ) Cosdeă R c Vo aca vecto efecto osehode et a- aa cooetee ( ) Fă cooetee vecto cae teve î eesa efecto a vaoe Acest vecto oată ee de vecto osehode. ( ) ( ) β β I ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) β Pet a evta aaea to β vo aege ca, să abă aceaş se c ( ) ( ) ( ) sg sg ( ) ( ) ( ) ( ) β ( ) Î a acă tasfoă, vecto se odfcă astfe ee - cooete ăâ eodfcate cooeta deve ae î vaoae absotă est cooeteo () se aează. fcto [, b, ]S(, ) % deteă efecto oshode cae % asa ee - cooete eschbate % odfcă cooeta a o vaoae ae % aează est cooeteo 4

5 (); %e asga ca e vecto cooaa egth(); sgsg(())*o(()); b/sg/(()sg); [zeos(-,); ()sg; ()]; ()-sg; (); % este deteat de v s b % eye()-v*v'./b; Patcază et ( ) e ) sg( e,,, asfoaea este deteată a de vecto ş de β. Aşada î cae e β, C eceţa e cooete, vecto ş cocd, ceea ce e sgeează să ăstă e î, î ozţe, de aa zeo. C vecto este deteat eseţa a ca decţe, î vo oa c Pa cooetă va f ăstată î β. Ît-adevă, îate de scaaea c, β. fcto [beta, ]S() % aca tasfoaea vecto % toace beta() s () (); egth();, β, 5

6 beta; sgo(); f sg~ f ()~ sg sg*sg(()); ed; ()()/sg; beta (); ()-sg; ese eo('eeete dea e'); ed Îtcât tasfoaea odfcă a cooetee d ozţe, ea se oate eaza acâd vecto () Acă efecto vecto oaecae y ρ ( I β ) y y β ( y) y ρ y β y β y ( y) y ρ, fcto ysy(, beta, y) % aca efecto vecto oaecae y f beta ~ t (); () beta; egth(); ov()'*y()*beta; y()y()-o.*(); ed Î oc ezovă sste A.b, c A R, b R se ezovă sste echvaet.a..b, c R, -otogoaă, sste cae ae aceeaş codţoae c sste ţa (cod(.a)cod(a)) Pet oce atce A R estă o atce otogoaă R astfe îcât.ar î cae R R este o atce seo tghaă Matcea otogoaă se foează dt- ods -....A -... A A A c, od c A A. De ee efecto cae aează a cooaă a atce A R [beta, A(,)]S(A(,)) fo A(,)Sy(A(,), beta, A(,)); ed este 6

7 Matcea ae stcta I V Se deosebe de etodee gassee, etodee otogoae asgă eeete dagoae a î vaoae absotă, ceea ce cofeă o stabtate deosebtă a etode. Vo detea atcea, cae tasfoă atcea A, tzâd agot S(), âd ca vecto cooaa d A A [a a... a ] [ a a... a ] Cooaee state î deata cooae, (>) se odfcă foosd agot Sy() asfoaea odfcă cooaee a et cae (cooaee d stâga cooae, c <). Acestea a a et <<. fcto Atoto(A) % tghazae otogoaa osehode [,]sze(a); zeos(,); fo (-,) % se detea sgsg(a(,))*o(a(,)); (,)A(,)sg; (,)A(,); beta()sg*(,); % se aca cooaeo d A fo o (,)*A(,)/beta(); A(,)A(,)-o*(,); ed; A(,)-sg; A(,); ed Matcea oate f ăstată î tgh feo d A (cae se aează), a eeetee dagoae î vecto beta. Î tgh seo d A vo avea atcea R I ezat, tasfoaea acată atce î asă eschbate ee cooae odfcă eeetee d cooaa astfe o ee eeete ăâ eschbat o eeet dagoa deve ae o eeetee sbdagoae se aează o odfcă eeetee d cooaee > astfe ee - eeete ăâ eschbate eeetee d ozţe se cacează c eaţa osehode. Pod de a sste ţa, acaea tasfoăo A A, A A, b b, b b 7

8 se age a sste echvaet seo tgha A b Metoda Gves (atce de otaţe eeetae). Metoda Gves tzează atce eeetae de otaţe, de foa I c s G, c s I, s c I O aseeea atce defeşte o otaţe de od î a (,) c gh θ, c ccos θ ş ss θ Matcea G este otogoaă G *G I asfoaea G acată vecto R î odfcă a cooetee ş G [ c s -s c ] fcto otvec(,, c, s, ) %aca tasfoaea G vecto t zeos(,); t [c s;-s c]*[(); ()]; () t(); () t(); Deteă tasfoaea (c, s), cae aează cooeta -s. c. c s c s Rotaţa G, cae odfcă cooetee a vaoe ş este fcto [c, s, ]ot(,, ) % detea otata (c,s) cae % aeaza () st(()^()^); c()/; s()/; Î etoda Gves atcea otogoaă G se foează ca ods de atce eeetae de "otaţe" de foa G G, 3 G G G,, G G G, G G 8

9 Matcea G afectează îţe a e ş A () G A (), -,, A () A Pecâd c atcea A ş foosd tasfoăe otogoae G se obţe o atce seo tghaă fcto Atot(A) % tghazae otogoaa c otat [,]sze(a); tzeos(,); fo (-,) fo [c,s]ot(,,a(,)); t[c s;-s c]* [A(,);A(,)]; A(,)t(,); A(,)t(,); ed ed Factozaea QR Oce atce A R c cooae deedete, oate f descosă sb foa AQR, cosctă sb ee de factozae QR î cae Q este o atce c cooae otogoae ş R este o atce ătată seo tghaă. Po de a teoea osehode A R, A-atce c cooae a deedete, R, otogoaă ( I ) astfe îcât.a R, c R R, R seo tghaă...a A.R Q.R Factozaea QR adte ş o eezetae ecoocă, obţtă atţoaea atce Q Q Q [ Q Q ] R, Q R R Q - I R ( ), R R. Q I I I [ Q Q ] Q K [, Q, R] osehode(a, b) %Ită A atcea sste % b vecto teeo be %Ieş vecto ecoscteo % Q atcea otogoaă % R atcea seo tghaă Q eye(); 9

10 fo s o(a(,)).^; f A(,) < s -s ed; v(-) ; v() A(,) s; A(,) -s; v() A(,) A(,) s * v(); % A Q * A fo t v()' * A(,) / ; A(,) A(,) - t * v(); ed; % b Q * b t v()' * b() / ; b() b() - t * v(); % QQ * Q fo t v()' * Q(,) / ; Q(,) Q(,) - t * v(); ed; ed; % ezovae sste tgha fo - s A(,) * (); () (b() - s) / A(,); ed; R t(a); Q Q'; [, Q, R] Gves(A, b) % Ită A atcea sste % b vecto teeo be % Ieş vecto ecoscteo % Q atcea facto otogoaă % R facto seo tgha Qeye(); tzeos(,); zeos(,); fo fo st(a(,)^ A(,)^); c A(,) / ; s A(,) / ; t [c s; -s c]* [A(,); A(,)]; A(,) t(); A(,) t(); [c s;-s c]*[b(); b()]; b() t();

11 b() t(); t [c s;-s c] * [Q(,); Q(,)]; Q(,) t(); Q(,) t(); ed ed; fo - s A(,) * (); () (b() - s) / A(,); ed R A; Q Q'; Î MAAB ae [Q,R] (A) odce descoeea atce A ît-o atce seo tghaă R R (de aceeaş dese c A) ş o atce Q R taă astfe îcât AQ*R. [Q,R] (A,) odce o descoee "ecoocă", î cae se cacează a ee cooae ae atce Q. [a a a Otogoazaea Ga-Schdt ] [ ] Cooaee atce Q st otogoae (foează o bază otooată),, a de de a ş a / a, a,, a -, (a - )/ a , a 3 3, 3, 33 a , 3 (a )/ 33 a a, -, et a et - a a / *

12 / Agot Ga-Schdt casc este ec stab. Reztate t a be e fzează o vaată odfcată a a (I- )a (I- )a (I- )a (I- )(I- )a 3 3 Q A et / et - Agot Ga-Schdt casc [Q, R] Ga_Schdt(,, A) % Ită A atcea de factozat (baza ţaă) % IeşQ facto otogoa(baza % otooată) % R facto seo tgha [,]sze(a); fo R(-,) Q(,-)'*A(,); y A(,)-Q(,-)*R(-,); R(,) o(y); Q(,) y./ R(,); ed Agot Ga-Schdt odfcat [Q, R] Ga_Schdt_Modfcat(,, A) %Ită A atcea de factozat % (baza ţaă) %IeşQ baza otooată % R facto seo tgha [,]sze(a); fo R(,) o(a(,)); Q(,) A(,) / R(,); fo R(,) Q(,)' *A(,); A(,) A(,)- Q(,)*R(,); ed ed

Σχετικά έγγραφα

rs r r â t át r st tíst Ó P ã t r r r â

rs r r â t át r st tíst Ó P ã t r r r â rs r r â t át r st tíst P Ó P ã t r r r â ã t r r P Ó P r sã rs r s t à r çã rs r st tíst r q s t r r t çã r r st tíst r t r ú r s r ú r â rs r r â t át r çã rs r st tíst 1 r r 1 ss rt q çã st tr sã