2ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΟΥ Σχολικό έτος Ά τετράμηνο. Τάξη Β (ομάδα A) ΩΡΙΑΙΑ ΓΡΑΠΤΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 = 2

Transcript

1 2ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΟΥ Σχολικό έτος Ά τετράμηνο Τάξη Β (ομάδα A) ΩΡΙΑΙΑ ΓΡΑΠΤΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Α. Να αποδειξετε ότι αν M ( xm, y M) το μεσο του ευθυγραμμου τμηματος AB με x1+ x2 y1+ y2 A ( x1, y1) και B ( x2, y 2) τοτε x M = και y M = 2 2 (μονάδες 10) Θεωρια από το σχολικο βιβλιο Β. Να χαρακτηρίσετε σωστές ή λάθος τις παρακάτω προτάσεις: 1. Αν τα διανυσματα abg,, a + b + g = 0 είναι διαδοχικα και σχηματιζουν τριγωνο τοτε 2. Αν O το σημειο τομης των διαγωνιων του παραλληλογραμμου ABGD τοτε uu uu uu uu OA + OB + OG + OD = 0 3. Αν a = (1,2) και b = (2,1) τοτε a// b 4. Αν A ( ab, ) και ( ba, ) AB είναι ισες μεταξυ τους Σ, Σ, Λ, Σ B τοτε οι συντεταγμενες του μεσου του ευθυγραμμου τμηματος (μονάδες 5 Χ 4 = 20) ΘΕΜΑ 2 uu u u Δινονται τα σημεια RABG,,, του επιπεδου και το διανυσμα x= 2RA + RB- 3RG Α. Να αποδειξετε ότι το διανυσμα x είναι ανεξαρτητο του σημειου R. Β. Να αποδειξετε την προταση: Αν x = 0 τοτε τα σημεια ABG,, είναι συνευθειακα. Α. Είναι uu u u u x = 2RA + RB - 2RG - RG = uu u u u = 2RA - 2RG + RB - RG = uu u u u = 2( RA - RG ) + RB - RG = uu uu = 2GA - GB οποτε το διανυσμα x εκφραζεται χωρις τη βοηθεια του σημειου R

2 uu uu Β. Είναι από το Α ερωτημα x = 2GA - GB και επειδη x = 0 εχουμε : uu uu uu uu uu uu 2GA - GB = 0 οποτε GB = 2GA και επομενως GB// GA με κοινο σημειο το G, που σημαινει ότι τα σημεια ABG,, είναι συνευθειακα. ΘΕΜΑ 3 Δινονται τα σημεια A ( k,0), B (0, l), ( kl, ) uu uu 2det( ABA, G ) + k + l = 0 με kl¹, 0. uu uu Α. Να υπολογισετε τις συντεταγμενες των διανυσματων ABAG, uu uu Β. Να αποδειξετε ότι det( ABA, G ) =-kl G τετοια ώστε να ισχυει η ισοτητα: Β. Να αποδειξετε ότι το σημειο G ανηκει στη μεσοκαθετο του τμηματος AB (μοναδες 20) uu uu Α. Είναι AB = (0-kl, - 0) = (-kl, ) και AG= ( k -k, l - 0) = (0, l) uu uu -k 0 Β. Είναι det( ABA, G ) = =-kl - 0l =-kl l l uu uu Γ. Η δοσμενη ισοτητα για det( ABA, G ) =-kl γραφεται ( ) 0 - kl + k + l = Þ k - l = Þ k = l οποτε είναι A ( k,0), B (0, k), G ( kk, ). Το σημειο G ανηκει στη μεσοκαθετο του AB αν δειχθει ότι d( AG, ) = d( BG, ). α) τροπος : η ισοτητα ισχυει αν υπολογισουμε τις d( AG, ), d( BG, ) από τον τυπο υπολογισμου της αποστασης δυο σημειων. Δηλαδη A G = B G Û = Û d(, ) d(, ) ( k k) ( k 0) ( k 0) ( k k) Û = Û = k k k k με την τελευταια ισοτητα να ισχυει β) τροπος: (ισως πιο ενδιαφερον) Σε ορθοκανονικο συστημα συντεταγμενων τα σημεια O (0,0) A ( k,0), B (0, k), ( kk, ) OG είναι μεσοκαθετος της αλλης διαγωνιου AB. (δοκιμαστε να σχεδιασετε το σχημα μονοι σας) G οριζουν τετραγωνο οπου βεβαια η διαγωνιος

3 2ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΟΥ Σχολικό έτος Ά τετράμηνο Τάξη Β (ομάδα B) ΩΡΙΑΙΑ ΓΡΑΠΤΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Α. Να αποδειξετε ότι αν a = ( x, y) τοτε ΘΕΜΑ 1 a = x + y (μονάδες 10) Θεωρια από το σχολικο βιβλιο Β. Να χαρακτηρίσετε σωστές ή λάθος τις παρακάτω προτάσεις: 1. Αν τα διανυσματα abg,, a + b + g ¹ 0 είναι διαδοχικα και σχηματιζουν τριγωνο τοτε 2. Αν O το σημειο τομης των διαγωνιων του παραλληλογραμμου ABGD τοτε uu uu uu uu OA + OB + OG + OD = 0 3. Αν a = (-1,2) και b = (2, -1) τοτε a// b 4. Αν A ( aa, ) και ( bb, ) AB είναι ισες μεταξυ τους B τοτε οι συντεταγμενες του μεσου του ευθυγραμμου τμηματος Λ, Σ, Λ, Σ (μονάδες 5 Χ 4 = 20) ΘΕΜΑ 2 uu uuu u Δινονται τα σημεια RABG,,, του επιπεδου και το διανυσμα x= RA + 2RB- 3RG Α. Να αποδειξετε ότι το διανυσμα x είναι ανεξαρτητο του σημειου R. Β. Να αποδειξετε την προταση: Αν x = 0 τοτε τα σημεια ABG,, είναι συνευθειακα. Α. Είναι uu uuu u u x = RA + 2RB - 2RG - RG = uu u uuu uuu = RA - RG + 2RB - 2RG = u u uu u = 2( RB - RG ) + RA - RG = uu uu = 2GB - GA οποτε το διανυσμα x εκφραζεται χωρις τη βοηθεια του σημειου R

4 uu uu Β. Είναι από το Α ερωτημα x = 2GB - GA και επειδη x = 0 εχουμε : uu uu uu uu uu uu 2GB-GA= 0 οποτε GA = 2GB και επομενως GB// GA με κοινο σημειο το G, που σημαινει ότι τα σημεια ABG,, είναι συνευθειακα. ΘΕΜΑ 3 Δινονται τα σημεια A (0, k), B ( l,0), ( lk, ) uu uu -2det( ABA, G ) + k + l = 0 με kl¹, 0. uu uu Α. Να υπολογισετε τις συντεταγμενες των διανυσματων ABAG, uu uu Β. Να αποδειξετε ότι det( ABA, G ) = kl G τετοια ώστε να ισχυει η ισοτητα: Β. Να αποδειξετε ότι το σημειο G ανηκει στη μεσοκαθετο του τμηματος AB (μοναδες 20) uu uu Α. Είναι AB = ( l-0,0 - k) = ( l, -k) και AG= ( l-0, k - k) = ( l,0) uu uu l -k Β. Είναι det( ABA, G ) = = 0 -(- kl) = kl l 0 uu uu Γ. Η δοσμενη ισοτητα για det( ABA, G ) = kl γραφεται 2-2kl + k + l = 0 Þ( k - l) = 0Þ k = l οποτε είναι A (0, k), B ( k,0), G ( kk, ). Το σημειο G ανηκει στη μεσοκαθετο του AB αν δειχθει ότι d( AG, ) = d( BG, ). α) τροπος : η ισοτητα ισχυει αν υπολογισουμε τις d( AG, ), d( BG, ) από τον τυπο υπολογισμου της αποστασης δυο σημειων. Δηλαδη A G = B G Û = Û d(, ) d(, ) ( k 0) ( k k) ( k k) ( k 0) k k k k Û = Û = με την τελευταια ισοτητα να ισχυει β) τροπος: (ισως πιο ενδιαφερον) Σε ορθοκανονικο συστημα συντεταγμενων τα σημεια O (0,0) A (0, k), B ( k,0), ( kk, ) OG είναι μεσοκαθετος της αλλης διαγωνιου BA. (δοκιμαστε να σχεδιασετε το σχημα μονοι σας) G οριζουν τετραγωνο οπου βεβαια η διαγωνιος

5