Reprezentare si rationament folosind clauze precise. Capitolul 2
|
|
|
- Οφέλια Φιλομήνα Γλυκύς
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Reprezentare si rationament folosind clauze precise Capitolul 2
2 Agenti bazati pe cunostinte Una dintre abordarile clasice ale IA porneste de la premisa ca inteligenta umana este rezultatul realizarii de catre oameni a unor procese de rationament (engl. reasoning) efectuate asupra unor reprezentari interne ale cunoasterii. Acest punct de vedere a condus la ideea ca inteligenta este incapsulata in agenti bazati pe cunostinte (engl. knowledgebased agents KBA). Un KBA dispune de o componeenta speciala numita sistem de reprezentare si rationament (engl. representation and reasoning system RRS) a cunostintelor ce foloseste logica matematica / computationala ca mecanism de baza pentru reprezentarea cunostintelor si efctuarea rationamentelor asupra cunostintelor.
3 Sisteme de reprezentare si rationament Sistemele de reprezentare si rationament sunt instrumentele de baza pentru implementarea KBA. Un RRS se compune din: Un limbaj formal pentru reprezentarea cunoasterii din domeniul problemei (engl.task domain). O semantica pentru specificarea intelesului enunturilor limbajului formal al RRS. O teorie a rationamentului (engl.reasoning theory) numita si procedura de demonstrare (engl.proof procedure).
4 RRS sintaxa Un limbaj formal pentru reprezentarea cunoasterii din domeniul problemei (engl.task domain). Reprezinta partea de sintaxa a RRS. El este specificat printr-o gramatica. Se mai numeste si limbaj de reprezentare a cunostintelor (engl. knowledge representation language). O multime de enunturi (engl. statements sau sentences) in acest limbaj formeaza o baza de cunostinte (engl.knowledge base KB).
5 RRS semantica O semantica pentru specificarea intelesului enunturilor limbajului formal al RRS. Permite aprecierea adevarului enunturilor din baza de cunostinte independent de implementare. Este baza a determinarii corectitudinii si completitudinii rationamentului.
6 RRS teoria rationamentului O teorie a rationamentului (engl.reasoning theory) numita si procedura de demonstrare (engl.proof procedure). De obicei este constituita dintr-o multime de reguli de inferenta (engl.inference rules). Ele reprezinta o specificatie nedeterminista a modului in care se determina rezultatele unei interogari.
7 Contine doua componente: Implementarea RRS Un program de analiza sintactica si translatare (engl.language parser). El recunoaste enunturile corecte exprimate in formalismul de reprezentare a cunostintelor si le traduce sub forma unor structuri de date interne. O procedura de rationament (engl.reasoning procedure). Uneori se numeste si motor de inferenta (engl. reasoning engine). Ea reprezinta implementarea unei teorii a rationamentului si foloseste o strategie de cautare (engl.search strategy). Strategia de cautare are rolul de a rezolva problema nedeterminismului din cadrul teoriei rationamentului. Servicii: ASK (interogare) si TELL (revizuire).
8 Corectitudine si completitudine Observatie: semantica nu este reflectata direct intr-o implementare a SRR. Ea ne da doar o modalitate de apreciere a semnificatiei simbolurilor folosite si este utila pentru interpretarea rezultatelor. O procedura de rationament este: corecta (engl.sound) in raport cu semantica daca rezultatele obtinute de aceasta procedura sunt adevarate in raport cu semantica respectiva. completa in raport cu semantica daca orice enunt adevarat in raport cu semantica poate fi obtinut de procedura.
9 Utilizarea RRS 1. Se porneste de la un domeniu problema (engl.task domain). Exemple: topologia unui birou, sistemul electric al unei case, sistemul de cursuri al unei universitati. 2. Se identifica obiectele/conceptele/relatiile din domeniul problemei. Aceasta etapa se mai numeste si conceptualizarea domeniului. 3. Se asociaza simboluri pentru reprezentarea obiectelelor/ conceptelor/relatiilor din domeniul problemei. 4. Se construieste baza de cunostinte din domeniul problema. Pentru aceasta se foloseste serviciul TELL. Ea poate cuprinde: Cunoastere referitoare la ceea ce este adevarat in domeniul respectiv. Cunoastere referitoare la rezolvarea de probleme in domeniul respectiv. 5. Se interogheaza RRS folosind serviciul ASK. Rezultatele se interpreteaza conform semanticii.
10 Functia unui KBA Agentul transmite KB prin TELL ceea ce a perceput. Agentul intreaba KB prin ASK ce actiune trebuie sa execute. In final agentul transmite KB prin TELL ce actiune trebuie sa execute, efectul fiind executia acestei actiuni.
11 Rolul semanticii in RRS
12 Metodologia de reprezentare intr-un RRS Se poate face o analogie intre un limbaj de programare si un RRS. La fel cum avem o metodologie de programare, tot asa exista si o metodologie de reprezentare intr-un RRS. Separarea teoriei rationamentului de strategia de control intr-un RRS corespunde separarii dintre logica domeniului si controlul calculului solutiei in limbajele de programare. Diferenta dintre un limbaj de programare ordinar si un RRS este modul de definirre a semanticii. Aceasta conduce la imposibilitatea de interpretare a rezultatelor intr-o maniera independenta de modul cum au fost ele calculate. Drept RRS vom folosi logica matematica. Logica permite specificarea semanticii printr-o functie de interpretare a simbolurilor limbajului in termenii entitatilor din domeniul problemei. O astfel de semantica se numeste semantica Tarskiana.
13 Ipoteze simplificatoare in RRS Ipoteza IR (engl.individuals and Relations): cunoasterea unui agent poate fi descrisa in termeni de indivizi si relatii intre indivizi. Relatiile sunt n-are. Daca n = 0 relatiile se numesc propozitii, daca n = 1 se numesc relatii unare, daca n = 2 se numesc relatii binare, etc. Ipoteza DK (engl.definite Knowledge): cunoasterea unui agent consta din enunturi precise (engl.definite) si pozitive. Acest lucru inseamna ca enunturile nu sunt vagi (cu disjunctii) sau negative. Ipoteza SE (engl.static Environment): mediul agentului este static. Ipoteza FD (engl.finite Domain): exista un numar finit de indivizi de interes in domeniul agentului. SRR cu ipotezele IR, DK, SE se numeste logica clauzelor precise (engl.definite clause logic). SRR cu ipotezele IR, DK, SE, FD se numeste Datalog.
14 Sintaxa Datalog (I) Variabila: secvente de litere, cifre si _ ce incep cu litera mare sau _. Exemple: X, Persoana, Lista, _002, Cel_mai_mare. Constanta: secvente de litere, cifre si _ incepand cu litera mica (simboluri) sau secvente de cifre (numere). Exemple: carte, 120, celmaimare, cel_mai_mare. Simbol de predicate: secvente de litere, cifre si _ incepand cu litera mica. Exemple: p, bunic, mai_mare. Un simbol de predicat are o anumita aritate ce este un numar natural. Un simbol de predicat de aritate 0 se numeste simbol de propozitie. Termen: variabile sau constante. Atom: p, unde p este un simbol de propozitie sau p(t 1,, t n ) unde p este un simbol de predicat de aritate n 1 si t i sunt termeni. Exemple: pozitiv(2), preda(costin,ia), vremea_este_frumoasa.
15 Sintaxa Datalog (II) Corp: a 1... a n unde a i sunt atomi, n 1. Un corp este o conjunctie de atomi. este simbolul si logic (conjunctie). Exemple: ploua bate_vantul. Fapt: a, unde a este atom. Exemplu: pozitiv(3). Regula: a b unde a este atom si b este corp. Exemplu: % in(p,s) profesorul P este in sala S in(p,s) preda(p,c) planificat(c,s)
16 Sintaxa Datalog (III) Clauza precisa: fapt sau regula. Interogare:?b unde b este corp. Expresie: termen, atom, clauza precisa sau interogare. O expresie se numeste de baza sau complet instantiata (engl.ground) daca nu contine variabile. Baza de cunostinte: multime de clauze precise. Comentariu: linie ce incepe cu %.
17 Exemplu de baza de cunostinte depozitare(x,container_metalic) consistenta(x,solid) proprietate(x,toxic) depozitare(x,container_metalic) consistenta(x,solid) proprietate(x,inflamabil) depozitare(x,rezervor_presurizat) consistenta(x,gaz) proprietate(x,inflamabil)
18 Conceptul de semantica Tarskiana Semantica (engl.semantics) = o metoda de specificare a intelesului enunturilor unui limbaj. In SRR bazate pe logica matematica se adopta o semantica Tarskiana. O astfel de semantica cuprinde doua parti: O multime de obiecte numite si indivizi din lumea inconjuratoare, ce formeaza domeniul problemei si o multime de relatii intre acestia. O corespondenta intre simbolurile din limbaj si obiectele si relatiile din lumea inconjuratoare. Constantele simbolice desemneaza indivizii Simbolurile de relatii (predicate) desemneaza relatiile Aceasta corespondenta se numeste functie de interpretare.
19 Semantica formala Formal inseamna in acest context precis, bine-definit, clar. Interpretare = un triplet I = D,, unde: D este o multime nevida numita domeniu. Elementele lui D se numesc indivizi. este o functie care asociaza fiecarui simbol de constanta c un element (c) D. este o functie care asociaza fiecarui simbol de predicat n-ar o functie definita pe D n cu valori in multimea {adevarat,fals}. Domeniul D poate contine fie obiecte reale (de ex. persoane), fie obiecte abstracte (de ex. numere). Daca p este un simbol de predicat n-ar, n 1, atunci (p) este o relatie pe D n. Daca p este un simbol de propozitie atunci (p) este adevarat sau fals.
20 Exemplu de interpretare D = {persoana numita Alan, camera 123, camera 023, cladirea departamentului de Computer Science}. Facem observatia ca D nu este o multime de simboluri, ci o multime formata chiar din obiectele desemnate de simbolurile respective. Constantele simbolice sunt: alan, r123, r023, cs_building. Functia se defineste astfel: (alan) = persoana numita Alan, (r123) = camera 123, (r023) = camera 023, (cs_building) = cladirea departamentului de Computer Science Simbolurile de predicate sunt: person/1 (person de aritate 1), in/2, part_of/2 Functia se defineste astfel: (person) = {(persoana numita Alan)} (in) = {(persoana numita Alan,camera 123), (persoana numita Alan,cladirea departamentului de Computer Science)} (part_of) = {(camera 123,cladirea departamentului de Computer Science), (camera 023,cladirea departamentului de Computer Science)}
21 Adevar intr-o interpretare Fiecare termen de baza desemneaza printr-o interpretare I un individ. Constanta simbolica c desemneaza in I individul c I = (c) D. Simbolul de predicat n-ar p desemneaza in I relatia n-ara p I = (p) D n. [p(t 1,, t n )] I = p I (t 1I,,t ni ) [p q] I = p I q I [p q] I = p I q I p q p q p q adevarat adevarat adevarat adevarat adevarat fals fals adevarat fals adevarat fals fals fals fals fals adevarat [h b 1... b n ] I = fals daca h I = fals si b i I = adevarat pentru toti i =1,n altfel [h b 1... b n ] I = adevarat.
22 Model si consecinta logica O baza de cunostinte Δ este adevarata intr-o interpretare I daca fiecare clauza din este adevarata in I, adica Δ I = adevarat daca si numai daca φ I = adevarat pentru orice φ Δ. Se numeste model pentru o baza de cunostinte Δ o interpretare I astfel incat Δ I = adevarat. Acest lucru se noteaza prin: I Δ. Daca Δ este o baza de cunostinte si g este o conjunctie de atomi de baza atunci se spune ca g este o consecinta logica a lui Δ, fapt notat prin Δ g daca si numai daca g este adevarata in toate modelele lui Δ. Cu alte cuvinte Δ g daca si numai daca nu exista nici o interpretare in care Δ este adevarata si g falsa.
23 Exemple de modele si consecinte logica (p) (q) (r) (s) I 1 adevarat adevarat adevarat adevarat I 2 fals fals fals fals I 3 adevarat adevarat fals fals I 4 adevarat adevarat adevarat fals I 5 adevarat adevarat fals adevarat
24 Semantica din punctul de vedere al utilizatorului 1. Se alege domeniul problema. Acesta va furniza interpretarea intentionata (engl.intended interpretation). Ea va cuprinde o multime de indivizi si o multime de relatii. 2. Se asociaza constante simbolice indivizilor din interpretarea intentionata. 3. Se asociaza simboluri de predicate relatiilor din interpretarea intentionata. 4. Se construieste baza de cunostinte. Ea va fi formata din clauze precise care sunt adevarate in interpretarea intentionata. Aceasta etapa se mai numeste si axiomatizarea domeniului problema. Clauzele scrise se numesc si axiomele domeniului. 5. Se formuleaza interogari, rezultatele fiind interpretate conform interpretarii intentionate. - Daca Δ g atunci g va fi in particular adevarata si pentru interpretarea intentionata. - Daca insa nu este adevarat ca Δ g atunci va exista un model I al lui Δ in care g este falsa. Acesta poate fi tocmai interpretarea intentionata. In concluzie in aceasta situatie nu putem sti daca g este adevarata sau nu in interpretarea intentionata.
25 Variabile Pentru definirea semanticii clauzelor cu variabile se defineste notiunea de asignare a variabilelor (engl.variable assignment). Aceasta este o functie definita pe multimea simbolurilor de variabile cu valori in domeniul D. Find date o interpretare I = D,, si o asignare a variabilelor, fiecarui termen t i se va asocia un individ t, din D. Daca t este un simbol de constanta atunci t, = (t). Daca t este un simbol de variabila atunci t, = (t). Fiind date o intepretare si o asignare a variabilelor, se poate determina valoarea de adevar a unui atom cu variabile si a unei clauze cu variabile. Variabilele dintr-o clauza se considera cuantificate universal. Acest lucru inseamna ca o clauza este adevarata daca si numai daca ea este adevarata pentru toate asignarile variabilelor.
26 Interogari si raspunsuri Interogarile ofera posibilitatea de a determina daca o conjunctie de atomi (corp) este sau nu o consecinta logica a unei baze de cunostinte:?b 1... b n O instanta (engl.instance) a unei interogari se obtine prin inlocuirea variabilelor interogarii cu termeni (constante sau variabile) astfel incat aparitiile diferite ale aceleiasi variabile sa fie inlocuite cu acelasi termen. O astfel de inlocuire se numeste substitutie. Un raspuns poate fi: O instanta a unei interogari ce este o consecinta logica a bazei de cunostinte. Raspunsul se poate da sub forma substitutiei ce a generat instanta respectiva. Raspunsul nu daca nici o instanta a interogarii nu este o consecinta logica a bazei de cunostinte. Fie?B o interogare si fie V 1,, V k variabilele ce apar in conjunctia de atomi B. Se construieste urmatoarea clauza raspuns: da(v 1,, V k ) B. Determinarea raspunsului la interogare se reduce acum la determinarea tuturor instantelor atomului da(v 1,, V k ) ce sunt consecinte logice ale bazei de cunostinte reunita cu {da(v 1,, V k ) B}.
27 Exemplu Interogare?part_of(r123,B) Raspuns part_of(r123,cs_building)?part_of(r023,cs_building) nu?in(alan,r023)?in(alan,b) nu in(alan,r123) in(alan,cs_building)
28 Colorarea hartilor color(red) color(blue) color(green) color(yellow)?coloring(c1,c2,c3,c4,c5) C1 = red C2 = blue C3 = green C4 = red C5 = blue 120 solutions coloring(c1,c2,c3,c4,c5) color(c1), color(c2), C2 C1, color(c3), C3 C1, C3 C2, color(c4), C4 C1,...
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Curs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Curs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
riptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Subiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Integrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
MARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Curs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Subiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Criptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Elemente de logicǎ matematicǎ
Elemente de logicǎ matematicǎ 9 noiembrie 2004 - Calcul propoziţional - Calculul predicatelor - Proceduri de decizie pt. realizabilitate - Demonstrare de teoreme prin rezoluţie Elemente de logicǎ matematicǎ
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Cunoastere si rationament incerte. Capitolul 9
Cunoastere si rationament incerte Capitolul 9 Cunoastere incerta Agentii umani si artificiali nu sunt omniscienti sau atotstiutori (engl. omniscient). Perceptia lumii este limitata si nu le permite sa
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE TEST 2.5.2 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Radicalul C 6 H 5 - se numeşte fenil. ( fenil/
Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare. Copyright Paul GASNER
2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare Copyright Paul GASNER Definiţii Un decodor pe n bits are n intrări şi 2 n ieşiri; cele n intrări reprezintă un număr binar care determină în mod unic care
Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE TEST 2.5.3 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Sulfonarea benzenului este o reacţie ireversibilă.
EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016
16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex
Metode de demonstraţie pentru teorema de completitutine - studiu comparativ -
Metode de demonstraţie pentru teorema de completitutine - studiu comparativ - Denisa Diaconescu 1 1 Introducere Teorema de completitudine a lui Gödel pentru logica de ordinul I este unul dintre cele mai
Curs 4. I.4 Grafuri. Grafuri orientate
Curs 4 I.4 Grafuri I.4.1 Grafuri orientate Definiţia I.4.1.1. Un graf orientat este un tuplu G = (N, A, ϕ : A N N), unde N şi A sunt mulţimi, numite mulţimea nodurilor, respectiv mulţimea arcelor, iar
Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
z a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Curs 4. RPA (2017) Curs 4 1 / 45
Reţele Petri şi Aplicaţii Curs 4 RPA (2017) Curs 4 1 / 45 Cuprins 1 Analiza structurală a reţelelor Petri Sifoane Capcane Proprietăţi 2 Modelarea fluxurilor de lucru: reţele workflow Reţele workflow 3
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n
CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n A. Arusoaie arusoaie.andreea@gmail.com andreea.arusoaie@info.uaic.ro Facultatea de Informatică, Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 30 Octombrie 2017 Structura
MULTIMEA NUMERELOR REALE
www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).
Principiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.3.ALCHINE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.3.ALCHINE TEST 2.3.3 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Acetilena poate participa la reacţii de
Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,
Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Inteligenta Artificiala Universitatea Politehnica Bucuresti Anul universitar
Inteligenta Artificiala Universitatea Politehnica Bucuresti Anul universitar 2010-2011 Adina Magda Florea http://turing.cs.pub.ro/ia_10 si curs.cs.pub.ro 1 Curs nr. 5 Reprezentarea cunostintelor in IA
Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
8 Intervale de încredere
8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată
CIRCUITE LOGICE CU TB
CIRCUITE LOGICE CU T I. OIECTIVE a) Determinarea experimentală a unor funcţii logice pentru circuite din familiile RTL, DTL. b) Determinarea dependenţei caracteristicilor statice de transfer în tensiune
Partea a II-a. Elemente de teoria mulţimilor şi aplicaţii
Partea a II-a Elemente de teoria mulţimilor şi aplicaţii Cuprins I. Logică, mulţimi, axiome... 2 I.1. Mulţimi, teorie naivă. Paradoxuri şi necesitatea axiomatizării... 2 I.2. Principiile axiomaticii Zermelo-Fraenkel...
2. Circuite logice 2.2. Diagrame Karnaugh. Copyright Paul GASNER 1
2. Circuite logice 2.2. Diagrame Karnaugh Copyright Paul GASNER Diagrame Karnaugh Tehnică de simplificare a unei expresii în sumă minimă de produse (minimal sum of products MSP): Există un număr minim
Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].
![Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].](/thumbs/72/67648751.jpg "Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].")
Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie
f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +
Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,
George Georgescu 1, Afrodita Iorgulescu 2 1 Universitatea din Bucureşti, Catedra de Fundamentele Informaticii 2 Academia de Studii Economice, Catedra
Logică matematică George Georgescu 1, Afrodita Iorgulescu 2 1 Universitatea din Bucureşti, Catedra de Fundamentele Informaticii 2 Academia de Studii Economice, Catedra de Informatică Economică October
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Ecuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.
Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a
VII.2. PROBLEME REZOLVATE
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea
CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
prin egalizarea histogramei
Lucrarea 4 Îmbunătăţirea imaginilor prin egalizarea histogramei BREVIAR TEORETIC Tehnicile de îmbunătăţire a imaginilor bazate pe calculul histogramei modifică histograma astfel încât aceasta să aibă o
Transformata Laplace
Tranformata Laplace Tranformata Laplace generalizează ideea tranformatei Fourier in tot planul complex Pt un emnal x(t) pectrul au tranformata Fourier ete t ( ω) X = xte dt Pt acelaşi emnal x(t) e poate
Asemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu,
Asemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu, Iaşi Repere metodice ale predării asemănării în gimnaziu
O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013
O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE TEST 2.4.1 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. Rezolvare: 1. Alcadienele sunt hidrocarburi
V O. = v I v stabilizator
Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,
RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul
Metode Numerice Curs 3 III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul III.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi III. 1.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi fără semn (pozitive) Reprezentarea
CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar