Acest manual este proprietatea Ministerului Educaţiei al Republicii Moldova. Școala/Liceul... Manualul nr... școlar la primire la returnare 1

Transcript

1

2

3 Mulul fost prot pri ordiul Miistrului Educţiei l Repulicii Moldov r 7 di i 0 Lucrre este elortă cofor curriculuului disciplir și fiţtă di Fodul Specil petru Mule cest ul este propriette Miisterului Educţiei l Repulicii Moldov Școl/Liceul Mulul r ul de Nuele și preuele elevului ul spectul ulului folosire cre priit ulul școlr l priire l returre Profesorii vor cotrol dcă uele elevului este scris corect Elevii u treuie să fcă ici u fel de îseări î ul spectul ulului l priire și l returre se v preci: ou u stisfăcător estisfăcător oisi de evlure: Dori fs doctor cofereţir uiversitr UST Gg profesoră grd didctic I Liceul Teoretic G ăliescu hișiău Olg Șputeco profesoră grd didctic superior Liceul Teoretic Gudeus hișiău utori: Io chiri doctor cofereţir uiversitr IȘE Modulele 6 7 Petru Efros doctor cofereţir uiversitr USM Modulul 9 Vleti Grit doctor cofereţir uiversitr USM Modulul 9 Nicole Prod doctor cofereţir uiversitr USM Modulele 7 Redctor: Tti Rusu orector: lio Zgrd opert: Sergiu Stciu dri Grosu Pgire coputeriztă: Vleti Strtu I chiri P Efros V Grit N Prod 0 Editur Prut Iterţiol 0 Editur Prut Iterţiol str l Iuli r 8 hișiău MD 07 Tel: 7 8 7; tel/f: 7 9 8; e-il: editur@prutro Difuzre: Societte de Distriuţie ărţii PRO NOI str l Iuli r l hișiău MD 0 Tel: ; wwwprooid; e-il: ifo@prooid Iprit l FE-P Tipogrfi etrlă od r 79 ZU 07 M 7 ISN

4 uvît-îite Prezetul ul este elort î coforitte cu curriculuul oderizt l tetică petru liceu Structur și z coceptulă le ulului du posiilitte să fie relizte prevederile curriculuului licel petru cls X- Mulul este structurt pe odule Petru orietre l îceputul fiecărui odul sît forulte oiectivele prioritre cre pot fi relizte studiid odulul î cuză Oiectivele rcte cu * sît precoizte dor petru profilul rel Meţioă că ulul iclude coprtiete ce ţi de lgeră geoetrie logică tetică coitorică teori ulţiilor trigooetrie cest ul perite relizre pricipiilor costructiv și fortiv pe cre se eză îvăţăîtul tetic Î cest scop s- cordt o teţie deoseită tît corelării coceptelor oţiuilor di diverse coprtiete cît și reveirii sistetice l celși cocept dezvăluidu-i diferite specte Petru îţelegere și coștietizre coceptelor sît propuse eeple otivţiole eeple de utilizre cestor î lte doeii iclusiv î viţ cotidiă Î celși scop l filul fiecărui odul sît oferite hărţi oţiole tele de siteză cu jutorul căror se v reliz o sistetizre celor studite se vor elucid legăturile priciple ditre cocepte su ditre diferite copoete le celuiși cocept Mulul este stfel structurt îcît să potă fi utilizt l predre teticii tît l profilul rel cît și l cel uistic De reţiut că terilul tetul rct î prte stîgă cu o ră verticlă este prevăzut petru profilul rel Petru profilul uistic ceste tete sît propuse c etideri Î plus î coforitte cu oiectivele precoizte eerciţiile și proleele propuse l sfîrșitul fiecărui prgrf evetul petru uele secveţe precu și l sfîrșitul fiecărui odul sît clsificte pe două iveluri: și Eerciţiile otte cu liter sît destite elevilor de l ele profiluri ir cele otte cu sît destite elevilor de l profilul rel Meţioă că eerciţiile rcte cu * sît de u grd sporit de copleitte și u sît oligtorii petru profilul respectiv Proele de evlure sît elorte pe profiluri: profilul uistic rte și sport; profilul rel Uele prevederi sît destite să fciliteze orgizre lucrului de sie stătător l elevilor Sisteele de eeple otivţiole de cosolidre și de utilizre coceptelor sît eite să jute elevul să îţelegă ceste cocepte să-și îsușescă tît coceptele oi cît și uele specte le coceptelor dej cuoscute de eeplu ootoi și etreele fucţiei ecuţii și iecuţii de oi tipuri ș Recodă î scopul forării copeteţelor respective să se isiste supr eiării și rezolvării eeplelor eerciţiilor propuse î ul Eerciţiile și proleele recpitultive l fiecre odul prezită de regulă u ivel i vst de itegrre itr- și iterdiscipliră Rezolvre cestor de seee v cotriui eficiet l forre copeteţelor specifice l tetică Mulul le oferă elevilor psioţi de tetică posiilităţi petru -și etide cuoștiţele tît pri uele oţiui teoretice suplietre cît și pri prolee i coplicte utorii

5 MODULUL Nuere rele Recpitulre şi copletări Nuerele guvereză lue Pitgor Oiective recuoștere eleetelor ulţiilor uerice studite N Z Q R și scriere uerelor rele su diverse fore; utilizre teriologiei ferete oţiuii de uăr; trecere de l o foră de scriere uerelor rele l lt; reprezetre geoetrică uerelor rele; efecture operţiilor studite cu uere rele; plicre proprietăţilor operţiilor cu uere rele petru siplificre clculelor; coprre uerelor rele pri etode diverse; proire pri lipsă su pri dos uerelor rele cu erore dtă; utilizre odulului uărului rel î cotete vrite Nuere rţiole irţiole rele iti că pri K K K se oteză respectiv ulţie uerelor eule ulţie uerelor pozitive ulţie uerelor egtive di ulţie uerică K Meţioă că uerele rţiole pot fi scrise su foră de uere zecile și ivers Eeple 06 00; 0 0 ; c ; d 0 0 ; e 0 ; f Mulţiile uerice N Z Q perit rezolvre uui șir de prolee Eistă îsă situţii cre u pot fi depășite utilizîd dor ceste ulţii uerice Proleă Să se deterie lugie digolei uui dreptughi cu lturile de lugiile și Rezolvre: Fie lugie digolei dreptughiului tuci cofor teoreei lui Pitgor Îcercă să rezolvă prole î ulţie uerelor rţiole Fie

6 MODULUL Nuere rele Recpitulre şi copletări Q o frcţie ireductiilă tuci de ude rezultă că și M dică M și t t N După sustituţie î oţie t t dică M de ude rezultă că frcţi este reductiilă cu cotrr presupuerii otr- dicţi oţiută deostreză că prole forultă u re soluţie î ulţie Q stfel lugie digolei treuie să fie u uăr erţiol l cărui pătrt este deci cre pote fi scris su for Petru scrie uărul c uăr zecil vo clcul vlorile lui proitive folosid proiările zecile pri lipsă și proiările zecile pri dos Deorece < < rezultă că < < Nuerele și sît proiările zecile pri lipsă și respectiv pri dos cu o erore i ică decît su cu o uitte le uărului Diviză itervlul [ ] î 0 părţi egle și lege uerele și cre stisfc ieglitte dulă < < Nuerele și sît proiările zecile pri lipsă și respectiv pri dos cu o erore i ică decît 0 su cu o zecie le uărului Î od log se deteriă proiările zecile și pri lipsă și respectiv pri dos cu o erore i ică decît 0 su cu o sutie le uărului cest procedeu pote fi cotiut l ifiit deorece pătrtul ici uui di uerele oţiute u v fi egl cu S- deostrt că u este uăr rţiol Nuărul zecil oţiut re u uăr ifiit de zecile și u este di celși otiv ici uăr zecil periodic uoște că stfel de uere cre pot fi reprezette c uere zecile eperiodice cu u uăr ifiit de zecile se uesc uere irţiole De eeplu uerele 7 este vlore rportului ditre lugie cercului și dietrul lui sît uere irţiole Î cz geerl uerele zecile α și α cu cifre după virgulă se uesc proiări zecile pri lipsă și respectiv proiări zecile pri dos cu o erore i ică decît 0 le uărului irţiol α dcă: α < < α α și α α 0 N stfel fiecărui uăr irţiol α i se sociză două șiruri ifiite de uere zecile rţiole α 0 α 0 N cre stisfc proprietăţile Petru cooditte și uiforitte covei să eiă și șiruri siilre de proiări zecile le uărului rţiol α cosiderîd că α α α îcepîd cu u orecre idice k De eeplu petru α 79 eleetele cestor șiruri sît: α0 α 0 ; α 7 α 8; α 7 α 7; α 79 α α α α α α k ceste șiruri se folosesc petru defii operţii cu uere rele Ne iti că reuiue ulţiii uerelor rţiole Q cu ulţie uerelor irţiole I foreză ulţie uerelor rele cre se oteză cu R Pri urre R este ulţie uerelor cre pot fi scrise c uere zecile cu u uăr fiit de zecile c uere zecile periodice su c uere zecile eperiodice cu u uăr ifiit de zecile Ître ulţiile uerice studite u loc relţiile: N Z Q R; I R; R Q N I

7 Nuere MODULUL rele Recpitulre şi copletări Reprezetre uerelor rele pe uerelor oprre uerelor rele Se știe că oricărui uăr rel îi corespude u uic puct M pe uerelor O stfel îcît OM și ivers Dcă > 0 tuci puctul M prţie seiei pozitive; dcă < 0 tuci M prţie seiei egtive ir dcă 0 tuci M coicide cu puctul O Nuărul se uește coordot puctului M Folosid cestă corespodeţă uerele rele pot fi reprezette geoetric Î fucţie de for su cre sît scrise uerele rele se plică diferite odlităţi de coprre cestor Ditre două uere rele reprezette pe O uerelor este i re uărul situt l drept spre sesul pozitiv celuillt De eeplu > fig O Dcă uerele rele pozitive sît scrise su foră zecilă tuci este i re uărul cre re i O ulte cifre pîă l virgulă Fig De eeplu > 999 Dcă uerele rele pozitive u celși uăr de cifre pîă l virgulă tuci este i re uărul cu pri cifră îcepîd di stîg i re De eeplu 77 > 76 deorece 7 > Ditre două uere rele egtive este i re uărul l cărui odul este i ic Dcă cel puţi uul di uerele rele su este scris su foră de epresii ce coţi rdicli tuci se pot plic urătorele odlităţi: se scriu ele uere su foră de rdicli poi se copră uerele de su rdicli; se deteriă seul difereţei ; c se fce presupuere că > și poi se utilizeză proprietăţile ieglităţilor Eerciţiu rezolvt Să se copre: cu ; cu 6 Rezolvre: 9 ; 7 Deorece < 7 rezultă că < 7 Deci < 6 u este egtiv < oţie că < 6 6

8 MODULUL Operţii ritetice cu uere rele Nuere rele Recpitulre şi copletări Fie șirurile α 0 β 0 și α 0 β 0 N proiări zecile pri lipsă și respectiv pri dos le uerelor rele α și β Su uerelor rele α și β este uărul rel γ α β cre stisfce ieglităţile dule α β γ α β N Difereţ uerelor rele α și β este uărul rel δ α β cre stisfce ieglităţile dule α β δ α β N Produsul uerelor rele pozitive α și β este uărul rel pozitiv η α β cre stisfce ieglităţile dule α β η α β N α îtul uerelor rele pozitive α și β este uărul rel pozitiv µ cre stisfce β α α ieglităţile dule µ N îcepîd cu cel petru cre proiările β β zecile β β sît eule Petru clcul produsul cîtul două uere rele ritrre se clculeză produsul cîtul odulelor ir seul rezulttului se deteriă î coforitte cu regul cuoscută Su difereţ produsul și cîtul cu îpărţitor eul oricăror două uere rele eistă și sît uic deterite Eerciţiu rezolvt e se îţelege pri uărul: t ; µ? Rezolvre: Deorece < < < < < < și < < < < < < rezultă că: t este uărul cre stisfce ieglităţile dule: < t < ; < t < ; < t < ; µ este uărul cre stisfce ieglităţile dule: < µ < ; < µ < ; < µ < ; Folosid reprezetre uerelor rţiole su for Z N iedit oţie că su difereţ produsul cîtul cu îpărţitor eul două uere rţiole vor fi de seee uere rţiole Di cest otiv su difereţ produsul cîtul cu îpărţitor eul uui uăr rţiol și uui uăr irţiol v fi u uăr irţiol Îtr-devăr dcă de eeplu î eglitte c ude rţiol irţiol r fi și c rţiol tuci di c oţie că și treuie să fie rţiol otrdicţi e cofiră cele spuse Dipotrivă su difereţ produsul cîtul două uere irţiole pot fi uere rţiole De eeplu I îsă Z Z 7

9 Nuere MODULUL rele Recpitulre şi copletări Eerciţii rezolvte Să se deostreze că este uăr rţiol Rezolvre: 7 Q Să se deterie dcă Rezolvre: este u uăr rţiol 0 R \ Q Pri urre u este u uăr rţiol Oservţie Î prctică de regulă petru esti su difereţ produsul su cîtul uerelor rele se folosesc proiările zecile le uerelor rele Proprietăţi le operţiilor de dure și îulţire cu uere rele Petru orice uere rele z u loc eglităţile: ; couttivitte; z z; z z socitivitte; 0 ; eisteţ eleetului eutru; 0; 0 eisteţ eleetului sietric; z z; z z distriutivitte dcă 0 iti că odulul uărului rel este uărul dcă < 0 și petru uerele rţiole se pote deostr Teore proprietăţi le odulului uărului rel Petru orice R ve: 0; ; ; ; * N ; 6 ; 7 0; 8 iti că este devărtă eglitte petru orice R utilă petru efecture diverselor trsforări De eeplu propriette cuoscută R se v scrie petru R 8

10 MODULUL Nuere rele Recpitulre şi copletări Eeple fiidcă > 0 Î cz că se cere eplicit odulul uei epresii î cre pr litere se vor fce presupueri referitore l seul ei Eeplu dcă dcă < Se pote deostr că ieglităţile uerice î R u celeși proprietăţi c și î Q Teore proprietăţi le relţiei de ieglitte î R Relţi re urătorele proprietăţi oricre r fi c d R: refleivitte; dcă și c tuci c trzitivitte; dcă și tuci tisietri; dcă tuci c c; dcă și c > 0 tuci c c; 6 dcă și c < 0 tuci c c; 7 dcă și c d tuci c d; 8 dcă și c d tuci c d; 9 dcă tuci N ipr; 0 dcă > 0 tuci N ; dcă și > 0 tuci Deostrţie: Să deostră de eeplu propriette Petru difereţ oţie: 0 deorece > 0 0 De ude rezultă că Eerciţiu Deostrţi proprietăţile 0 Oservţie Proprietăţile sît vlile și petru relţiile > < Proprietăţile euţte î teore se plică î prticulr și petru coprre uerelor Se presupue că > su < Di cestă ieglitte folosid proprietăţile ieglităţilor uerice se oţie o ieglitte echivletă cărei veridicitte se verifică i siplu 9

11 Nuere MODULUL rele Recpitulre şi copletări Eerciţiu rezolvt Să se copre 7 cu 0 Rezolvre: Presupue că 7 < 0 cestă ieglitte este echivletă cu ieglităţile: 7 89 < < Deorece ulti ieglitte este flsă rezultă că este flsă și ce 0 00 iiţilă dică este devărt că 7 u uerele u sît egle oţie că 0 7 > 0 Eerciţii şi prolee propuse Să se scrie c uăr zecil: ; ; c ; d ; e ; f ; g ; h Să se scrie su foră de frcţie uărul: 0; ; c ; d 0; e 7; f 07 Să se deterie dcă este u uăr rţiol vlore epresiei uerice: 8 ; ; c 8 ; d 6 V fi su u uăr rţiol dcă: uerele și sît rţiole; uerele și sît irţiole; c u uăr este rţiol ir celăllt irţiol? Să se deterie proiările zecile cu o erore i ică decît 0 : ; 7 ; c 0; d ; e 7 6 Să se copre uerele: 79 și 89; 76 și Să se de u eeplu de uăr rţiol cupris ître 067 și Să se copre: 087 cu ; cu ; c cu ; d cu 0 9 Să se decidă dcă petru orice di ulţie idictă este devărtă eglitte: * R ; R ; c 0 R 0 Să se rezolve î R ecuţi: ; Să se rezolve î R iecuţi: < 6; > 7 0

12 MODULUL Nuere rele Recpitulre şi copletări Tepertur pei î oce l suprfţă este de ir l dîcie de de osiderîd că tepertur t pei scde proporţiol cu dîcie h t h > 0 să se deterie tepertur l dîcie de: ; ri suprfeţei uei feţe cuului este eglă cu c Să se deterie lugie digolei cuului Să se clculeze voluul cuului cu o erore i ică decît 0 pri lipsă dcă Să se copre: 6 cu 6 7 ; 9 8 cu 6 Să se clculeze: 6 ; 6 Să se deterie vlore lui di dreptughiul lăturt 7 V fi produsul u uăr rţiol dcă: uerele și sît rţiole; uerele și sît irţiole; c u uăr este rţiol eul ir celăllt irţiol? 8 Relţi ditre putere P itesitte curetului I și rezisteţ R îtr-u circuit electric este: P I R re v fi itesitte curetului dcă se coecteză o sursă de putere 00 W și cu rezisteţ de 00 Ω? 9 Să se deterie vlore lui di dese dcă ri porţiuii colorte reprezită 60% di ri pătrtului 9 0 Să se deterie dcă este u uăr rţiol vlore epresiei uerice: ; 6 ; c ; 6 d Să se rte că > dcă > > 0 Trei gzie oferă reduceri petru celși cetru uzicl: preţul este de 99 u și se oferă reducere de % di preţ; preţul este de u și se oferă reducere de di preţ; c preţul este de u și se oferă reducere de 0 u Î cre gzi v fi cel i ic preţ fil? Prletul Repulicii Moldov este fort di 0 eri îte locuri îi revi uei coliţii dcă e cuult proitiv di voturile prticipţilor l scruti? Să se rte că petru orice R este devărătă ieglitte triughiului : Î ce cz fiecre di seele pote fi îlocuit cu seul? * Să se de u eeplu de uăr irţiol situt ître 067 și * e see treuie să iă petru c să se respecte eglitte? 6 9 REDUERI

13 Nuere MODULUL rele Recpitulre şi copletări Î iteii idicţi liter cre corespude vritei corecte Mulţie uerelor rele petru cre se verifică ieglitte este * * R R R D R Su oricăror două uere irţiole este u uăr rţiol este u uăr irţiol u se pote deteri dcă este u uăr rţiol su irţiol D este u uăr îtreg Deteriţi proiările zecile pri lipsă și pri dos cu o erore i ică decît 0 le uărului 0 oprţi cu Proă de evlure duceţi l for ce i siplă epresi 6 0 Tip efectiv de lucru: de iute Î iteii idicţi liter cre corespude vritei corecte 9 Vlore epresiei uerice prţie ulţiii Z Q \ Z R \ Q D Z \ N Mulţie uerelor rele petru cre este verifictă ieglitte este * * R R R D R Dcă N şi Q tuci Q \ N N R \ Q D R Deteriţi proiările zecile pri lipsă și pri dos cu o erore i ică decît 0 le uărului 7 flţi itersecţi și reuiue itervlelor 9; 6 duceţi l for ce i siplă epresi 7 Deteriţi dcă este u uăr rţiol vlore epresiei uerice 8 6

14 MODULUL Eleete de logică tetică şi de teori ulţiilor Mă îdoiesc deci cuget; cuget deci eist Reé Descrtes Oiective recuoștere și utilizre î diverse cotete oţiuilor: propoziţie vlore de devăr cutifictor teoreă ipoteză cocluzie teoreă directă teoreă reciprocă ioă codiţii ecesre codiţii suficiete codiţii ecesre și suficiete; ivestigre vlorii de devăr uei propoziţii cu jutorul eeplelor cotreeplelor proprietăţilor operţiilor; folosire î diverse cotete teriologiei ferete teoriei ulţiilor; plicre relţiilor de icluziue și eglitte ître ulţii relţiei de prteeţă eleetelor uei ulţii; efecture operţiilor cu ulţii; reprezetre litică sitetică geoetrică rezulttelor oţiute; * folosire î diverse cotete proprietăţilor de ză le operţiilor cu ulţii; * plicre teriologiei ferete iducţiei tetice î situţii rele și/su odelte; * plicre etodei iducţiei tetice l deostrţi idetităţilor uerice Eleete de teori ulţiilor Recpitulre şi copletări Noţiue de ulţie Eistă oţiui și relţii tetice cre u pot fi defiite Pritre ceste sît oţiuile ulţie eleet l uei ulţii și relţi de prteeţă ceste oţiui se eeplifică se tălăcesc îsă u pot fi descrise pri reducere lor l lte oţiui stfel o ulţie este o colecţie totlitte de oiecte orecre uite eleetele ulţiii ie deterite și disticte Ne iti că o ulţie pote fi defiită î urătorele oduri: pri euerre uire eleetelor ulţiii odul sitetic; pri euţre uei proprietăţi crcteristice eleetelor ulţiii odul litic; cu jutorul uei digre Euler Ve Mulţie cre coţie u uăr fiit de eleete se uește fiită Î cz cotrr ulţie se uește ifiită

15 Eleete MODULUL de logică tetică şi de teori ulţiilor Nuărul de eleete le uei ulţii fiite M se uește crdilul cestei ulţii și se oteză M su crd M Mulţie cre u re ici u eleet se uește ulţie vidă și se oteză ; crd 0 Eerciţiu rezolvt Să se euere eleetele ulţiilor defiite cu jutorul uei proprietăţi crcteristice eleetelor: { R 0} { Z 0} { N < și <} Rezolvre: Rezolvă ecuţi 0 și oţie: { } Mulţie u coţie ici u eleet dică Suulţii ulţii egle Defiiţie Mulţie se uește suulţie ulţiii dcă orice eleet l ulţiii este eleet și l ulţiii Se oteză: Relţi se uește relţie de icluziue cee ce îseă că orice eleet l ulţiii este și eleet l ulţiii Relţi se citește este iclusă î su este suulţie ulţiii Defiiţie Mulţiile și se uesc egle dcă Se oteză: Mulţiile egle coţi celeși eleete Eeple și Mulţiile { } şi { R 0} sît egle deorece și Mulţiile { 7} şi { N 7} u sît egle deorece u este o suulţie ulţiii 6 6 Mulţie suulţiilor ulţiii se uește ooleul ulţiii și se oteză cu ooleul ulţiii este o ulţie evidă chir dcă este ulţie vidă deorece ulţiii îi prţi cel puţi ulţie și ulţie Î odulul se v deostr Teore Dcă ulţie coţie N eleete tuci ulţie coţie eleete șdr crd Eeplu Dcă {ο } tuci crd ; { {ο} { } {} {ο } {ο } { } {ο }}; crd 8

16 MODULUL Operţii cu ulţii Reuiue ulţiilor Eleete de logică tetică şi de teori ulţiilor Defiiţie Se uește reuiue două ulţii și ulţie cre costă di tote eleetele ce prţi cel puţi uei di ulţiile su Reuiue ulţiilor și se oteză U și se citește reuit cu Pri urre U { su } fig porţiue hșurtă Itersecţi ulţiilor Defiiţie Se uește itersecţi două ulţii și ulţie cre costă di tote eleetele ce prţi și lui și lui Itersecţi ulţiilor și se oteză I și se citește itersectt cu Deci I { şi } fig porţiue hșurtă Mulţiile și se uesc disjucte dcă I dică dcă u u ici u eleet cou Difereţ două ulţii Defiiţie Se uește difereţ două ulţii și î cestă ordie ulţie cre costă di tote eleetele ce prţi ulţiii și u prţi ulţiii Difereţ ulţiilor și se oteză \ su și se citește ius șdr \ { și } fig c porţiue hșurtă c U I \ Fig Oservţie Reuiue și itersecţi ulţiilor se plică l rezolvre sisteelor totlităţilor de ecuţii și/su iecuţii se vede odulele 6 8 Produs crtezi Defiiţie Se uește produs crtezi două ulţii evide și ulţie perechilor ordote Produsul crtezi l ulţiilor și se oteză și se citește ori Deci { }

17 Eleete MODULUL de logică tetică şi de teori ulţiilor Eeple Dcă { } { c} tuci { c c} ir { c c } Produsul crtezi R R jocă u rol iportt î tetică fizică și î lte doeii Perechile de coordote le puctelor ditr-u siste de e ortogole reprezită de fpt eleete le produsului crtezi R R Produsul crtezi R R reprezită perechile de coordote le puctelor di cdrul I l uui siste de e ortogole Evidet î cz geerl Proprietăţi le operţiilor cu ulţii Operţiile cu ulţii posedă u șir de proprietăţi uele ditre ele fiid siilre cu proprietăţile operţiilor de dure și îulţire cu uerele rele Teore Petru orice ulţii ve: U U ; U ; U ; U U U U ; I U I U I ; 6 U U I I ; I ; I ; I I I I ; U I U I U ; 6 I I Eerciţii rezolvte Să se rte că U dcă Rezolvre: Evidet U Petru oţie eglitte cerută e suficiet că rătă icluziue iversă: U Fie U tuci su Dcă tuci di codiţi că stfel cee ce iplică U și î fil U Să se deterie reuiue ulţiilor Z { Z 00} Z Rezolvre: Î z proprietăţilor oţie: M U U U U U U Z U Z U Deorece Z U Z Z și Z rezultă că M Z U Z 6

18 MODULUL Eleete de logică tetică şi de teori ulţiilor Eerciţii şi prolee propuse Să se verifice dcă sît egle ulţiile: { } și { R 0}; { Z < 7} și {0 6} Fie ulţiile {0 } și N Să se deterie ulţie: U ; I ; c \ ; d \ Să se deterie ooleul ulţiii { } U{ 6} și crdilul lui Să se scrie trei uere cre stisfc codiţiile: Z și N; Z și < Fie ulţiile N Z Q R Z \ N Q \ Z R \ Q Să se deterie cre di ele re c eleet: ; 7 ; c 6 Să se deterie produsul crtezi l ulţiilor dcă: { 6} { }; { c} { z} Este devărt că? 7 Fie ulţiile: { R 0} și { R <}; { R > 0} și { R < 0} Să se stilescă dcă sît egle ulţiile și și să se deterie ulţiile U I 8 Să se verifice dcă sît egle ulţiile { } și { R 0} 9 Fie ulţiile { R 0} și { R 6 < 0} Să se deterie ulţie: \ ; \ 0 Să se deterie crd ooleul ulţiii crd dcă [ 0 I Z Să se deterie tote uerele cre stisfc codiţiile: R și Q; N și < < 0 Fie ulţiile N Z Q R Z \ N Q \ Z R \ Q Să se deterie cre di ele re c eleet: ; ; c 9 * Să se deostreze eglitte: I \ I \ ; \ U \ I \ * Să se deterie ulţie vlorilor rele le lui petru cre este devărtă propoziţi: { R 0} I{ R 0} { R 0} I{ R < 0} * Să se deterie vlore de devăr propoziţiei: Dcă U U tuci Dcă I I tuci 7

19 Eleete MODULUL de logică tetică şi de teori ulţiilor Eleete de logică tetică Noţiue de propoziţie Recpitulre și copletări Proleă Fie euţurile: Orșul hișiău este cpitl Repulicii Moldov 0 Orice pătrt este ro Să se deterie cre di ceste euţuri sît propoziţii rguetţi răspusul Să se deterie vlore de devăr fiecărei propoziţii Î logic tetică se uește propoziţie u euţ despre cre se pote spue cu certitudie că este devărt su fls Propoziţiile se vor ot cu iusculele lfetului lti: p q Reveid l proleă costtă că euţurile sît propoziţii fiidcă e pute prouţ cu certitudie despre vlore de devăr cestor: euţurile și sît propoziţii devărte ir euţul este propoziţie flsă Despre vlore de devăr euţului 0 u e pute prouţ deorece de eeplu petru 0 se oţie o propoziţie devărtă ir petru o propoziţie flsă îsă vlore lui u se cuoște Oservţie Spre deoseire de euţul sît eglităţi ieglităţi cre coţi vriile și totuși sît propoziţii fiidcă ele se trsforă î eglităţi ieglităţi uerice devărte oricre r fi vlorile vriilelor ditr-u uit doeiu eeplu pot servi proprietăţiile operţiilor cu uere rele: 0 0 R ș Porid de l propoziţiile p q cu jutorul opertorilor logici și su o u dcă tuci se oţi propoziţii copuse: p și q p su q șd De eeplu petru propoziţiile p: este u uăr turl q: este uăr îtreg se pote for propoziţi este uăr turl și este uăr îtreg Î cotiure e vo preocup de o ltă clsificre propoziţiilor î propoziţii prticulre propoziţii geerle Să cosideră propoziţiile: Nuărul 7 este diviziil cu Orice uăr îtreg este diviziil cu dcă su cifrelor di scriere s zecilă este diviziilă cu Nuărul este soluţie ecuţiei 0 Oricărui poligo regult i se pote circuscrie u cerc După grdul de geerlitte propoziţiile și se referă l czuri prticulre sît propoziţii prticulre ir propoziţiile și u crcter geerl se referă l u eleet ritrr l uei ulţii sît propoziţii geerle Forulre propoziţiilor geerle pote fi i copctă dcă utiliză cutifictorul uiversl se citește petru orice oricre r fi su cutifictorul eisteţil se citește eistă De eeplu 8

20 MODULUL Eleete de logică tetică şi de teori ulţiilor propoziţi Petru orice uăr rel se îdepliește codiţi 0 se v scrie R 0 Propoziţi Eistă u poligo regult le cărui ughiuri iteriore sît de 0 se pote scrie M ughiurile iteriore le lui sît de 0 ude M este ulţie tuturor poligoelor regulte ditr-u pl Pritre propoziţiile tetice u loc prte îl ocupă teoreele și ioele Teoreele sît propoziţii geerle cre de oicei ecesită deostrţii dică rguetre rigurosă fptului că ele sît devărte Pe prcursul deostrţiei se utilizeză lte propoziţii devărte uele ditre ele fiid teoree dej deostrte ir ltele pot fi ioe ioele sît propoziţii cosiderte devărte fără fi deostrte ici u pot fi deostrte Ele deotă uele ceriţe și proprietăţi evetul geerl recuoscute petru oţiuile și oiectele studite î cdrul uor teorii riguros costruite ioe sît de eeplu propoziţiile: Două pucte disticte deteriă o dreptă și ui u Pri orice puct eterior uei drepte se pote duce o uică prlelă cu drept dtă Mjoritte teoreelor di tetică u su pot fi scrise î u di forele: Dcă tuci su dcă și ui dcă ude sît codiţii ce ţi de oţiuile și coceptele tetice Eeple Dcă u ptrulter este ro tuci digolele lui sît perpediculre Nuărul îtreg este diviziil cu dcă și ui dcă ulti di drept cifră di scriere zecilă lui este 0 su Î teoreele de for Dcă tuci codiţi se uește codiţie suficietă petru ir codiţie ecesră petru Î teoreele de for dcă și ui dcă codiţiile se uesc codiţii echivlete su codiţii ecesre și suficiete dică este codiţie ecesră și suficietă petru ir codiţie ecesră și suficietă petru Eeple Î teore Dcă u uăr turl este diviziil cu 6 tuci el este diviziil cu codiţi u uăr turl este diviziil cu 6 este codiţie suficietă petru codiţi uărul turl este diviziil cu cre l rîdul său este codiţie ecesră petru pri Î teore di eeplul codiţiile uărul îtreg este diviziil cu și ulti cifră di scriere zecilă uărului îtreg este 0 su sît echivlete Orice teoreă iclude urătorele copoete structurle: prte eplictivă ipotez cocluzi Prte eplictivă teoreei idică ulţie de oiecte î cdrul cărei este devărtă propoziţi euţtă pri teoreă Î uele czuri prte eplictivă este prezetă eplicit î lte czuri iplicit Orice teoreă de tipul Dcă tuci pote fi scrisă su for M ude M este prte eplictivă ipotez cocluzi 9

21 Eleete MODULUL de logică tetică şi de teori ulţiilor Eeplu osideră teore: Fie p u ptrulter cove di plul α Dcă p este ro tuci digolele lui sît perpediculre Prte eplictivă teoreei este p este u ptrulter cove di plul α ipotez teoreei p este ro cocluzi teoreei digolele lui p sît perpediculre Schiîd locurile ipotezei și cocluziei teoreei Dcă tuci oţie o ltă propoziţie: Dcă tuci uită reciproc teoreei cre pote fi devărtă o ouă teoreă su flsă Î czul î cre reciproc Dcă tuci este devărtă teore iiţilă se uește teoreă directă ir reciproc ei teoreă reciprocă Teore reciprocă se scrie M Eeple Reciproc teoreei Dcă u uăr îtreg este diviziil cu 6 tuci el este diviziil cu este Dcă u uăr îtreg este diviziil cu tuci el este diviziil cu 6 cre este o propoziţie flsă cest se verifică pritr-u cotreeplu: uărul este diviziil cu dr u este diviziil cu 6 Reciproc teoreei Dcă puctul de itersecţie digolelor uui ptrulter este ijlocul lor tuci cest ptrulter este prlelogr este Dcă u ptrulter este prlelogr tuci puctul de itersecţie digolelor lui este ijlocul fiecărei digole propoziţie devărtă deci este teoreă Dcă petru teore Dcă tuci este devărtă reciproc ei tuci codiţiile și sît echivlete deci este devărtă teore dcă și ui dcă stfel teoreele directă și reciprocă di eeplul pot fi forulte c o sigură teoreă: U ptrulter este prlelogr dcă și ui dcă puctul de itersecţie digolelor ptrulterului este ijlocul lor dică M Î cotiure e vo referi l uele etode de deostrţie teoreelor î fră de deostrţi directă Se cuoște di giziu etod reducerii l surd de deostrţie teoreelor de for Dcă tuci E reprezită u rţioet pri cre se presupue că cee ce treuie deostrt cocluzi u este devărt și pri deducţii logice cestă presupuere duce l o cotrdicţie surditte tuci rezultă că presupuere făcută este flsă deci cocluzi iiţilă este devărtă Eeplu Să deostră pri etod reducerii l surd propoziţi Dcă u uăr îtreg u este diviziil cu tuci el u este diviziil cu 6 Presupuîd cotrriul că este diviziil cu 6 vo răt că este diviziil cu Îtr-devăr îtrucît este diviziil cu 6 el pote fi scris su for 6t t Z su t t Z Deci este diviziil cu cee ce cotrzice ipotez Î z etodei reducerii l surd oţie că propoziţi iiţilă este devărtă O ltă etodă de deostrţie uor propoziţii se epue î secveţ 0

22 MODULUL Iducţi tetică Eleete de logică tetică şi de teori ulţiilor Procedeele de oţiere propoziţiilor prticulre di ltele geerle su ivers se plică pe lrg deorece orice teorie î tetică și u ui se costruiește î od deductiv pri cre tote propoziţiile teoreele se oţi di ltele devărte Rţioetul logic pri cre di propoziţii geerle se oţi propoziţii prticulre se uește deducţie Eeplu Propoziţi geerlă Orice ecuţie de grdul II cu coeficieţi reli cre re discriitul eegtiv re soluţii rele se referă l tote eleetele ulţiii ecuţiilor de grdul II cu coeficieţi reli și cu discriit eegtiv deci este o propoziţie geerlă Propoziţi Ecuţi 0 re soluţii rele se referă l u eleet cocret l ulţiii eţiote deci este o propoziţie prticulră Fie P u euţ ce se referă l u eleet ritrr M Dcă o propoziţie geerlă M P este devărtă tuci pri deducţie di e se oţi propoziţii prticulre devărte: P petru Propoziţii devărte se pot oţie folosid rţioetul logic uit iducţi u jutorul lui di propoziţii prticulre se oţi propoziţii geerle Se plică iducţi icopletă petru cre propoziţi geerlă se foruleză î z eiării uor czuri prticulre și iducţi copletă petru cre propoziţi geerlă se foruleză î z eiării tuturor czurilor prticulre posiile Pri iducţi icopletă se pot oţie propoziţii geerle cre s-r pute să fie devărte dr s-r pute să fie și flse Îsă pri iducţi copletă se oţi propoziţii geerle epărt devărte Eeplu Fie propoziţiile prticulre devărte < și < Î z cestor propoziţii se pot for i ulte propoziţii geerle: p: Su oricăror două uere turle este i ică decît ; q: Su oricăror două uere turle i ici decît este i ică decît Propoziţi p este flsă ir propoziţi q este devărtă cee ce se pote stili pri eire tuturor propoziţiilor prticulre: < < < < < < Îcă o etodă de deostrţie propoziţiilor geerle teoreelor este etod iducţiei tetice Dcă petru u euţ P N este devărtă propoziţi prticulră P0 su P uăr turl fit și di presupuere că este devărtă propoziţi P k k > rezultă că este devărtă propoziţi P k tuci este devărtă propoziţi geerlă N P respectiv

23 Eleete MODULUL de logică tetică şi de teori ulţiilor Meţioă că cestă etodă se pote plic dor l propoziţiile căror eseţă ţie de uerele turle Deostrţi pri etod iducţiei tetice propoziţiei N P se efectueză î etpe Se verifică dcă propoziţi prticulră P este devărtă Utilizîd ipotez că propoziţi P k k este devărtă se deostreză că este devărtă și propoziţi P k Dcă ele etpe le deostrţiei sît verificte tuci este devărtă propoziţi N P Eerciţiu rezolvt plicîd etod iducţiei tetice să se rte că petru orice uăr turl eul este verifictă eglitte: Rezolvre: Folosid cutifictorul uiversl cestă propoziţie geerlă pote fi scrisă su for * N P ude P seifică Prcurge etpele etodei iducţiei tetice Petru se oţie propoziţi prticulră și e este devărtă Presupue că petru u orecre k turl este devărtă propoziţi prticulră k k P k : k Utilizîd cestă eglitte vo verific dcă este devărtă propoziţi P k : k k k [ k ] Procedă stfel: k k k k k [ k ] k k k Pri urre propoziţi P k este devărtă Î z etodei iducţiei tetice rezultă că eglitte * este devărtă petru orice N Eerciţii şi prolee propuse Să se deterie cre ditre urătorele euţuri sît propoziţii și să se fle vlorile de devăr le cestor Tepertur de fierere pei l presiue tosferică de 760 i coloei de ercur este de 0 Poligoul D este u pătrt c Greutte specifică pei de re diferă de ce pei distilte

24 MODULUL Eleete de logică tetică şi de teori ulţiilor Să se deterie vlore de devăr propoziţiei: N 0 R 0 c Z 0 d R 0 Să se foruleze propoziţii prticulre oţiute di propoziţi geerlă: Orice uăr turl diviziil cu 0 este diviziil cu Su ăsurilor ughiurilor iteriore le uui poligo cove cu lturi este eglă cu 80 Fie teore: Dcă ptrulterul D este u ro tuci digolele lui sît perpediculre Să se foruleze reciproc cestei teoree poi să se deterie vlore ei de devăr Să se deterie vlore de devăr propoziţiei: Tepertur de fierere pei î uţi circ 900 desupr ivelului ării este i ică decît 00 7 Q 6 Să se deterie vlore de devăr propoziţiei: M ărie ughiurilor lăturte zei uui triughi isoscel este de 0 ude M este ulţie triughiurilor isoscele ditr-u pl U ăriile ughiurilor iteriore le triughiului u depășesc 0 ude U este ulţie triughiurilor echilterle ditr-u pl c R 0 d R > 0 7 Să se deterie copoetele structurle le: teoreei lui Pitgor; teoreei Mărie ughiurilor iteriore le uui triughi echilterl este de 60 * 8 plicîd etod iducţiei tetice să se deostreze că petru orice N este devărtă propoziţi: c d e 9 Utilizîd etod reducerii l surd să se rte că este devărtă propoziţi Dcă u uăr îtreg u este diviziil cu tuci el u este diviziil cu 0 0 Fie teore Dcă uerele sît rţiole tuci su este u uăr rţiol Să se foruleze reciproc și să se deterie vlore ei de devăr * Să se deterie vlore de devăr propoziţiei: Eistă u poligo regult le cărui ughiuri iteriore sît de 0 6 ifr uităţilor uărului 7 este

25 Eleete MODULUL de logică tetică şi de teori ulţiilor Eerciţii şi prolee recpitultive 7 Să se deterie ulţiile U I dcă { R 0} și { R > } 8 Fie S S ulţiile soluţiilor î R le ecuţiilor 6 0 și respectiv 6 0 Să se deterie: S U S ; S I S ; c S \ S; d S \ S; e S S 9 Să se deterie ooleul ulţiii [ I Z 0 * Să se deterie vlore de devăr propoziţiei: Mulţie uerelor rţiole pozitive re cel i ic uăr Oricre r fi turl frcţi este ireductiilă c R < 0 Să se deterie cre ditre urătorele euţuri sît propoziţii și să se fle vlorile de devăr le cestor este uăr rel Greutte specifică gheţii este i ică decît ce pei c te este zeiţ îţelepciuii î itologi grecă d Orgizţi Nţiuilor Uite ONU fost fodtă î 9 petru istur î tote ţările regiuri de ceeși orietre e Piridele egiptee u fost costruite î secolul l XVI-le d H f Î Sisteul Solr sît 6 plete g R < h R < Să se foruleze o teoreă cărei reciprocă este o propoziţie devărtă Să se deterie codiţi ecesră și codiţi suficietă le teoreei; să se foruleze reciproc ei și să se deterie vlore de devăr cestei: Dcă uărul îtreg se divide cu tuci el se divide cu 7 Dcă u triughi este dreptughic tuci el re două ughiuri scuţite Să se deterie vlore de devăr propoziţiei: R > 0 N \{} și 7 Fie ulţiile { } { 9} Să se deterie U I \ \ 6 Îtr-o clsă sît 8 de elevi și toţi frecveteză fie secţi de volei fie secţi de schet fie ele secţii îţi elevi frecveteză ele secţii dcă secţi de volei este frecvettă de elevi ir ce de schet de 0 de elevi? * Să se rte că este devărtă propoziţi: Petru orice uere rţiole < eistă cel puţi u uăr rţiol c stfel îcît < c < Oricre r fi uerele irţiole rţiole eistă cel puţi u uăr irţiol c stfel îcît < c <

26 MODULUL Eleete de logică tetică şi de teori ulţiilor Proă de evlure Tip efectiv de lucru: de iute Decideţi dcă euţul U ptrulter cove re digole este o propoziţie și î cz firtiv deteriţi vlore ei de devăr Fie propoziţiile p: q: 8 lcătuiţi propoziţiile copuse: p și q p su q o p o q Deteriţi vlore de devăr fiecărei propoziţii oţiute Fie teore Dcă u ptrulter este ro tuci î el se pote îscrie u cerc Deteriţi codiţi ecesră și codiţi suficietă Forulţi reciproc teoreei și deteriţi vlore ei de devăr Fie ulţiile {0 6} și { 7 } Deteriţi cre ditre ulţiile M { } M { 6} M {0 6 7 } M {0 6} M {7 } M 6 {0 6 7 } sît egle cu ulţie: U ; I Deteriţi vlore de devăr propoziţiei: { z} { z }; {} Decideţi dcă euţul Șterge geurile este o propoziţie și î cz firtiv deteriţi vlore ei de devăr Fie propoziţiile p: q: 6 lcătuiţi propoziţiile copuse: p și q p su q o p o q Deteriţi vlore de devăr fiecărei propoziţii oţiute Fie teore Dcă u ptrulter este dreptughi tuci lui i se pote circuscrie u cerc Deteriţi codiţi ecesră și codiţi suficietă Forulţi reciproc teoreei și deteriţi vlore ei de devăr Fie S S ulţiile de soluţii î R le ecuţiilor 0 și respectiv 0 Deteriţi: S U S ; S I S ; c S \ S; d S \ S plicîd etod iducţiei tetice deostrţi că: N 6

27 Eleete de logică tetică şi de teori ulţiilor Propoziţii Vlori de devăr devărt Fls F Opertori logici și su o dcă tuci Propoziţii copuse și o su Dcă tuci MODULUL Eleete de logic tetic [i de teori ul]iilor Mulţii utifictori uiversl eisteţil Propoziţie geerlă P Suulţii : Dcă tuci Relţii de prteeţă icluziue eglitte M Iducţi tetică M P M N D dcă și ui dcă D și D Teoree directă: Dcă P tuci Q ; reciprocă: Dcă Q tuci P odiţie ecesră odiţie suficietă odiţii echivlete Operţii cu ulţii I { și } itersecţie U { su } reuiue \ { și } difereţă { } produs crtezi 6

28 MODULUL Rdicli Puteri Logriti ; ; ; ; 9; Ude-i uu u-i putere Ude-s doi putere crește Oiective efecture operţiilor cu uere rele: dure scădere îulţire ipărţire ridicre l putere cu epoet rţiol su rel; operţiilor cu rdicli de ordiul N operţiilor cu logriti i uerelor rele pozitive; plicre proprietăţilor puterilor rdiclilor logritilor l efecture uor clcule cu uere rele; folosire estiărilor și proiărilor petru verificre vlidităţii uor clcule cu uere rele folosid puteri rdicli logriti Rdicli Noţiue de rdicl Proprietăţi Se știe că putere uui uăr rel cu epoet turl eul ottă este produsul uere fiecre fiid egl cu Deci fiid dtă z și epoetul se deteriă vlore puterii S- eit și u di proleele iverse: fiid dtă vlore puterii și epoetul se cută z petru cre stfel rezolvre ecuţiilor de grdul II ipus defiire oţiuii rdicl de ordiul ue soluţi pozitivă ecuţiei > 0 s- ott cu și s- uit rdicl de ordiul di Diverse prolee ecesită rezolvre uor ecuţii de grd i re decît De eeplu să se deterie lugie uchiei uui cu cu voluul de: 8 ; Î czul lugie uchiei este de Petru vrit u eistă î Q vlore ectă lugiii uchiei deorece u eistă u uăr rţiol stfel îcît Soluţi cestei ecuţii se oteză și este rdicl de ordiul di * Defiiţii Nuărul rel se uește rdicl de ordi ipr N > di uărul rel dcă * Nuărul rel eegtiv se uește rdicl de ordi pr N > di uărul rel eegtiv dcă 7

29 Rdicli MODULUL Puteri Logriti Rdiclul de ordiul di se oteză Deci R * k și R k k N De eeplu 0 0; 0 0; 6 u eistă; 0 0 N Oservţie plicîd proprietăţile ieglităţilor uerice se pote deostr că î codiţiile euţte î defiiţie vlore rdiclului este uic deterită Rdiclul de ordiul ditr-u uăr se clculeză cofor defiiţiei cre firă că treuie să se deterie soluţi relă ecuţiei R k su soluţi * eegtivă ecuţiei R k k N Soluţi cestei ecuţii pote fi u uăr rţiol su u uăr irţiol Petru deteri î cz de ecesitte proiările zecile le cestui uăr folosi clcultorul su procedă c î urătore proleă Proleă Să se clculeze proiările pri lipsă și pri dos le uărului cu o erore i ică decît 0 Rezolvre: Folosid ieglitte evidetă < < oţie că < < dică și sît proiările zecile pri lipsă și respectiv pri dos cu o erore i ică decît le uărului Vo ei cuurile uerelor de l pîă l cu psul 0: ; ; ; 9 ; Oservă că uărul este cupris ître uerele 78 și 97; deci < < u 0 rezultă că și sît proiările pri lipsă și respectiv pri dos cu o erore i ică decît 0 le uărului Vo ei cuurile uerelor de l pîă l 9 cu psul 00: ; ; ; 9 Deorece 9 < < rezultă că < < 6 dică uerele și 6 sît proiările pri lipsă și respectiv pri dos le uărului cu o erore i ică decît 0 Teore proprietăţi le rdiclilor Petru R și uăr turl eul pr su R și uăr turl ipr k p s N ve: ; 7 > 0 > ; ; k k 8 ; k k ; k k k 9 R ; 0; k 0 k R 0; k k k ; k p k p k kp ks p s 6 p ; R p Deostrţie: Petru deostr ceste proprietăţi vo folosi defiiţi rdiclului și vo ţie cot că rdiclul dcă eistă este u uăr uic deterit ltfel spus este suficiet să rătă că putere respectivă epresiei ditr-u eru l eglităţii este eglă cu epresi de su rdicl di celăllt eru l ei 8

30 MODULUL Rdicli Puteri Logriti Notă tuci și după ce sustitui cu oţie Îtr-devăr Î z defiiţiei rdiclului de ordi- ul rezultă că Propriette este o coseciţă proprietăţii ir proprietăţile 6 9 și 0 se deostreză î od log 7 Presupuîd că oţie propriette 9 dică odulul teore cee ce este o cotrdicţie Pri urre > 8 Luîd î cosiderţie că rdiclul ditr-u uăr eegtiv este eegtiv și că k k k k ± oţie: k k Eerciţiu Deostrţi proprietăţile 6 9 Oservţie Dcă este uăr turl pr tuci l plicre proprietăţilor 9 0 treuie să e covige că erul drept este u uăr eegtiv Trsforări le epresiilor irţiole Scotere fctorului de su rdicl itroducere fctorului su rdicl Eerciţii rezolvte Să se ducă l for ce i siplă epresi 7 7 Rezolvre: Dcă rdiclul este de ordi pr și su rdicl sît vriile tuci pot fi folosite proprietăţile 8 6 Să se scotă fctorul de su rdicl: ] U[ Rezolvre: 6 Oservţie Este greșit să plică proprietăţile 7 î czul î cre u se cuosc seele vlorilor fctorilor deci este greșit de eeplu să scrie 7 7 Îtr-devăr doeiul vlorilor disiile DV l epresiei di erul stîg l eglităţii este ulţie [ 0] U [ ir DV l epresiei di erul drept este ulţie [ L itroducere fctorului su rdicl se pot coite greșeli de tipurile: ; 9

31 Rdicli MODULUL Puteri Logriti orect este: 7 98; dcă > 0 dcă < 0 Rţiolizre uitorului uui rport lgeric se uește trsforre cre eliiă rdiclii de l uitorul cestui Nuitorul rportului pote fi rţiolizt pri diverse oduri plificre rportului de tipul o epresie orecre: R cu ; R cu epresi cojugtă uitorului ± și sît epresii cojugte Eeplu Utilizre forulelor: Eeplu N 0; N 9 6 ipr c Eliire succesivă rdiclilor uei sue lgerice Eeplu Eerciţiu rezolvt Să se ducă l for ce i siplă epresi 8 : Rezolvre: Deorece epresiile de su rdicl coţi vriilă flă DV l epresiei : 0 U Oţie: : dcă 0 dcă

32 MODULUL Rdicli Puteri Logriti Eerciţii şi prolee propuse Să se clculeze: 0 00; 6 9 6; c ; d ; e 9 9 Î czurile d e să se deterie proiările pri lipsă și pri dos le uărului oţiut cu o erore i ică decît 0 Să se scotă fctori de su rdicl: ; < 0; c ; d 6 6 ; e 69 < 0; f 8 < 0 Să se itroducă fctorul su rdicl: < 0; ; c c 7; d ; e ; f > 0; g ; h ; i ; j Să se ducă l for ce i siplă epresi: 8 ; 8 7 7; 7 6 c ; d 6 6 ; 0 e Să se rţiolizeze uitorul rportului: ; ; c ; d ; e Să se clculeze: 6 7; ; c ; d ; e 6 0 Î czul e să se deterie proiările pri lipsă și pri dos le uărului oţiut cu o erore i ică decît 0 7 Să se ducă l for ce i siplă epresi: 7 00 ; : 6 ; 9 p p c ; p p e ; 6 g ; 8 d ; f ; h 8

33 Rdicli MODULUL Puteri Logriti 8 Să se verifice eglitte: 6 ; S- vopsit podeu uei cere de diesiuile 8 îte feţe le uui cu cu uchi de 6 pot fi coperite cu ceeși ctitte de vopse cosuul de vopse l fiid celși? 0 * Să se deterie vlore epresiei 7 dcă 7 * Petru R să se rte că Putere cu epoet rel uoșteţi dej oţiue putere cu epoet îtreg * * 0 Petru N R s- defiit: ; ; Oservţii Epresi 0 0 u este defiită > 0 petru > 0 Z fctori ir 0 0 Putere cu epoet rţiol Î cotetul eiării puterii și proprietăţilor ei pre îtrere dcă este ecesr să se eieze și putere cu epoet rţiol U rguet î fvore răspusului pozitiv r fi cel proveit di ecesităţile dezvoltării teticii: ulţie N fost etisă pîă l Z poi pîă l Q poi pîă l R și s-u defiit operţiile ritetice î ceste ulţii lte rguete provi di ecesităţile uor disciplie De eeplu s- costtt că uărul l cteriilor cre se îulţesc îtr-u uit ediu se epriă î fucţie de t tipul t pritr-o forulă de tipul Fie t ore tuci uărul de cterii î ediul dt peste ore v fi egl cu dică oţiut o putere cu epoet rţiol L defiire puterii cu epoet rţiol și irţiol e firesc să cere să fie devărte proprietăţile pe cre le u puterile cu epoeţi îtregi Respectîd cestă codiţie să dezvălui eseţ epresiei Z N Petru > 0 oţie Deorece cosideră că Defiiţie * * petru orice R * Oservţii Petru N se cosideră că 0 0 îsă u re ses epresi dcă Z și < 0 Eeplu: Z N *

34 MODULUL Rdicli Puteri Logriti Petru diferite reprezetări le epoetului putere se deteriă î od uic p Îtr-devăr dcă tuci plicîd proprietăţile rdiclilor oţie: q p q q q p p q Putere cu epoet rţiol uui uăr pozitiv este u uăr pozitiv deorece rdiclul de orice ordi ditr-u uăr pozitiv este uăr pozitiv Propriette fiid devărtă petru epoet îtreg este devărtă și petru epoet rţiol Îtr-devăr: k Eerciţiu rătţi că dcă k Z tuci Teore ce ureză rtă că puterile cu epoet rţiol u celeși proprietăţi c și puterile cu epoet îtreg Teore proprietăţi le puterii cu epoet rţiol * Petru R Q ve: ; ; ; ; ; 6 > dcă > > ; < dcă 0 < < > ; 7 > dcă > > 0; < dcă > < 0; 8 Deostrţie: Vo deostr proprietăţile celellte se deostreză î od log p * Fie p Z k r N plicîd proprietăţile rdiclilor și puterilor k r cu epoet îtreg oţie: k k p r p r k r p kr r kr kp q kr r kp r k p r k p rk p k k k k k k Eerciţiu Deostrţi proprietăţile 8 k p rk ; r kp kr p k r ; Eerciţii rezolvte Să se deterie vlore epresiei uerice 0 8 Rezolvre:

35 MODULUL Rdicli Puteri Logriti Să se copre uerele și Rezolvre: Î z ieglităţilor evidete 6 < < și proprietăţilor 6 și 7 oţie: 6 < < Să se deschidă prtezele î epresi Rezolvre: 6 7 Să se scrie su foră de putere epresi Rezolvre: Să se siplifice î DV epresi Rezolvre: 6 Să se ducă l for ce i siplă epresi: Rezolvre: Petru duce l for ce i siplă epresi descopue î produs uitorii și uărătorii rportelor: ; ; 6 Produsul prielor două rporte le epresiei devie: stfel oţie:

36 MODULUL Rdicli Puteri Logriti Putere cu epoet irţiol uui uăr pozitiv se defiește utilizîd proiările zecile pri lipsă și pri dos le uerelor irţiole se vede odulul Se știe că petru orice uăr irţiol eistă uerele rţiole stfel îcît < < 0 N Defiiţie Se uește putere cu epoetul irţiol uărului > 0 < < și se oteză u uăr rel t cre petru orice uăr turl stisfce ieglităţile dule < t < < t < fiid proiările zecile le lui pri lipsă și respectiv pri dos Pri defiiţie se cosideră că Eerciţiu rezolvt petru orice uăr irţiol e se îţelege pri uărul: ; 0? Rezolvre: Petru sît cuoscute proiările zecile: < < ; < < ; < < ; < < ; Pri urre t este cel uic uăr cre stisfce ieglităţile dule: < t < ; < t < ; < t < ; < t < ; s 0 este cel uic uăr cre stisfce ieglităţile dule: 0 < s < 0 ; 0 < s < 0 ; 0 < s < 0 ; 0 < s < 0 ; Putere cu epoet rel uui uăr pozitiv posedă celeși proprietăţi c și ce cu epoet rţiol Să deostră de eeplu propriette di teore Deostrţie: Di ieglităţile dule < și < ude sît proiările zecile le uerelor rele oţie < și petru > ve < < N Îulţid eru cu eru ceste ieglităţi ' ' oţie < su < Îtrucît de seee treuie să stisfcă ulti ieglitte dulă petru N î z uicităţii uărului ce stisfce ceste ieglităţi rezultă că Oservţii Putere cu epoet irţiol uărului 0 u se defiește Oricre r fi > 0 și rel rezultă că > 0 îtrucît este cupris ître două puteri cu epoeţi rţioli le lui cre cofor celor eţiote terior sît pozitive

37 Rdicli MODULUL Puteri Logriti Eerciţii rezolvte 7 Să se clculeze Rezolvre: Să se copre uerele rele și dcă se știe că 7 7 Rezolvre: Fiid dte două puteri cu ceeși ză vo stili dcă cestă ză este i re su i ică decît u < 7 < < < 7 > oţie că 0 < 7 < Î z proprietăţii 6 di teore rezultă că Să se rezolve î R ecuţi 7 Rezolvre: Deorece epoetul puterii este uăr irţiol rezultă că treuie să fie uăr pozitiv Oţie: 7 7 Răspus: S { 7 } Să se rezolve î R iecuţi > Rezolvre: și î eerciţiul i ui vlori pozitive u z puterilor este ceeși vo copr epoeţii Deorece < î z proprietăţii 7 oţie că 0 < < Răspus: S 0 Să se clculeze: 00 9 ; ; c ; d ; 6 e 7 0 ; f 0 Să se ducă l for ce i siplă epresi: ; ; c ; d ; e ; Eerciţii şi prolee propuse 6 7 f 9 9 ; g 7 8

38 MODULUL Rdicli Puteri Logriti Să se copre cu : ; ; c Preţul uui produs er de 00 u ir după două jorări succesive cu celși uăr de procete deveit de u u cîte procete s- jort preţul de fiecre dtă? Reţeu cristliă sării de ucătărie Nl costă di ioi l N de triu N și ioi de clor l rjţi î vîrfurile uui 8 cu vîd digol feţei eglă cu 0 c îte cuuleţe de cest fel sît proitiv îtr-u o de sre ce re voluul de 0? 6 Să se deterie dcă o ltură dreptughiului este eglă cu c celltă cu c ir ri dreptughiului este de c 7 Să se clculeze: ; 0 6 ; 8 c ; d 8 Să se ducă l for ce i siplă epresi î DV respectiv: ; : ; c ; 9 e ; f 7 ; d ; 8 : g Să se copre cu : 7 ; 7 ; c ; d 7 0 * Să se verifice eglitte: 8 ; dcă * Să se rte că difereţ ditre orice uăr îtreg de cifre și uărul eprit pri celeși cifre îsă scrise î ordie iversă este diviziilă cu 9 N l N l N l 7

39 Rdicli MODULUL Puteri Logriti Logriti Logritii u fost defiiţi de svtul scoţi Joh Npier 0 67 El descoperit că îulţire și îpărţire uerelor se pot efectu pri dure respectiv pri scădere logritilor cestor uere J Kepler de eeplu utiliz logriti î z 0 petru efecture uor clcule coplicte î doeiul strooiei stăzi este greu de găsit u doeiu l știiţei î cre să u se utilizeze logritii 8 Noţiue de logrit Î prgrful precedet fost defiită putere c uui uăr rel pozitiv cu epoet rel ritrr stfel îcît c c > 0 Î legătură cu cest se foruleză două prolee: să se deterie uărul fiid dte uărul rel și uărul pozitiv c; * să se deterie uărul fiid cuoscute uerele c R Pri proleă petru N servit c teei petru defii oţiue rdicl e de- dou proleă servit drept otiv petru defii oţiue logrit Vo euţ fără deostrţie Teore Petru orice uere rele pozitive c eistă u uic uăr rel cre stisfce eglitte c Oservţie Uicitte uărului rezultă di propriette 8 puterii Defiiţie Se uește logritul uărului pozitiv c î z R uărul rel petru cre c Se oteză: log c Pri urre log c c Sustituid î eglitte se oţie idetitte logritică fudetlă: Eeplu log deorece Eerciţii rezolvte Să se clculeze log 9 log Rezolvre: α Notă log α 9 α Î z defiiţiei logritului 9 de ude α Eglîd epoeţii oţie α c *

40 MODULUL Rdicli Puteri Logriti Să se deterie uerele rele stfel îcît să iă ses epresi log Rezolvre: > 0 > 0 Î z defiiţiei logritului 0 U > 0 < log Oservţii odiţi este ecesră fiidcă î cz cotrr cofor defiiţiei logritului petru orice R și stfel uărul este edeterit odiţi c și c să fie uere pozitive este ipusă de coceptul putere cu epoet rel și de fptul că cestă putere i ui vlori pozitive stfel epresiile de tipul log 6 log 9 u u ses Î uele czuri î clcule se folosesc logritii zecili se oteză lgc log 0 c c > 0 și/su logritii turli se oteză l c log e c c > 0 ude e 78 este u uăr irţiol cre v fi defiit ulterior L oţiue de logrit l uui uăr se v revei î odulul 7 Proprietăţile logritilor Teore proprietăţi le logritilor * Petru c R c α R ve: log ; 6 log α α log ; log 0; 7 log α α log α 0; log idetitte logritică logc 8 log ; fudetlă; log c log log log ; 9 log ; log c c log log log ; 0 log log Oservţie Proprietăţile 7 pot fi geerlizte pri proprietăţile î czurile î cre epresiile di erul stîg u ses și petru vlorile egtive le vriilelor; de eeplu log Teore proprietăţi le logritilor geerlizre * * * Petru R u v R α k k Z u loc eglităţile: log uv log u log v ; log u α α log u ; u log log u log v ; log α log u v u α Deostrţie: Proprietăţile și rezultă di eglităţile și respectiv 0 Fie tuci log Sustituid î pri eglitte oţie 9

41 Rdicli MODULUL Puteri Logriti log log log log log plicîd propriette oţie Î z proprietăţii 8 puterii rezultă că log log log Proprietăţile și 6 se deostreză î od log cu propriette α log log log α α α 7 deci log α log α log log c c logc logc log logc logc logc logc logc 8 c c c Eglîd epoeţii oţie propriette respectivă Propriette 9 rezultă di propriette 8 îlocuid c și ţiîd cot că log c Proprietăţile rezultă di proprietăţile 7 sustituid uv cu uv u u cu α α u cu u v v c Eerciţii rezolvte plicîd proprietăţile logritilor pute clcul î lt od logritul di eerciţiul rezolvt de l pgi 8: log 9 log log Să se ducă l for ce i siplă epresi: log log log log log log log Rezolvre: Utiliză proprietăţile logritilor și epriă tereii epresiei pri logriti î log log z > 0 : log log log log ; log ; log log log log log log log log log ; log log log tuci log log log log log log log log log log log log log log 0 Operţi pri cre uei epresii E i se sociză log E > 0 se uește operţie de logritre ir operţi iversă cestei scriere epresiei fiid dt logritul ei se uește operţie de poteţiere Oservţii Î z proprietăţii 0 rezultă că sît echivlete eglităţile log log c * și c petru orice c R oprre logritilor cu ceeși ză se efectueză stfel: dcă c > tuci log < log ir dcă 0 < c < tuci log < log c c < Eerciţii rezolvte log Să se rezolve î R ecuţi Rezolvre: DV: 0 c c >

42 MODULUL Rdicli Puteri Logriti Logritîd ii eri și plicîd proprietăţile logritilor oţie: log log log log log log log Pri poteţiere oţie: Răspus: S { } Să se copre log cu Rezolvre: Presupuîd că log < pri poteţiere î z proprietăţilor puterii oţie < < Ulti ieglitte este flsă fiidcă < Deci devărt este că log > log Oservţie Î z proprietăţilor și 6 orice uăr pozitiv se pote reprezet c putere oricărui lt uăr pozitiv su c logritul uui uăr pozitiv î orice ză logc * pozitivă diferită de Îtr-devăr c logc c c R c ceste reprezetări sît utile î diverse situţii: l rezolvre ecuţiilor iecuţiilor ș Eerciţii şi prolee propuse Să se ducă l for ce i siplă epresi: log log ; ; c log log 9 log ; d log log log 0 ; e log Pri poteţiere să se deterie dcă lg lg lg 0lg 6 0lg 6 Să se deterie lg6 dcă lg log 7 Să se ducă l for ce i siplă epresi log log 6 log 8 log 8 6 log Să se rte că 6 6 lg log Să se ordoeze crescător uerele log log 7 Efectuîd poteţiere să se rte că log > 0 8 Să se ducă l for ce i siplă epresi: log log ; log log ; log log9 c log log log log log ; d ; log96 log 6 log log e 6log log log log log ; f 8 ; g log p log log p log p log p; h * log log p p

43 Rdicli MODULUL Puteri Logriti 9 Pri poteţiere să se deterie dcă log log log log 0 Petru vlorile disiile le vriilelor să se rte că: log lg lg log ; lg dcă 7; log lg lg log c log c lg c log c ; d lg log c log c Să se deterie: log0 8 dcă log0 log0 ; log68 dcă log7 log Efectuîd poteţiere și utilizîd proprietăţile puterilor să se rte că re loc ieglitte dulă 06 < log < 07 * Știid că să se deterie vlore epresiei * Să se ducă l for ce i siplă epresi log log log log dcă Eerciţii şi prolee recpitultive Să se clculeze: 9 0; log log ; 07 c ; d Să se deterie vlore de devăr propoziţiei: 7 > 7; log < log 0; c 8 6 ; d log log ; e 0; 9 0 f R \ R ; g log log log R \ R Să se clculeze: 7 6 ; 0 : Să se ducă l for ce i siplă: : ; log log 9log Să se copre uerele: și ; și 0 6 Să se rţiolizeze uitorul rportului: ; ; c ; d 6 7 L o stţiue leră îtr-u zi de for uui prlelipiped cu diesiuile zei de 0 și se toră pă curtivă pîă l ivelul de 77 p se duce î vse de foră cuică Sît dispoiile vse cu uchi de: re este lugie uchiei celui i ic vs stfel îcît cu p di el să se uple ziul i posiil fără depăși ivelul precoizt?

44 MODULUL Rdicli Puteri Logriti 8 iev firă că < îtrucît di 0 < 0 rezultă cosecutiv: lg0 < lg0 lg0 < lg0 < Ude s- cois greșel? 9 Să se rte că: dcă ; logc logc logc dcă 7 0 Să se precizeze vlore de devăr propoziţiei: 7 7; Să se ducă l for ce i siplă petru vlorile disiile le vriilelor: ; log log log9 6 9 ; c ; d log log 6 log Să se copre: log 0 log 6 cu 0; cu ; 6 6 c cu 6 8 ; d log 7 cu log 0 Petru cre vlori le lui re loc eglitte log log? * Să se clculeze log 8 dcă log * 8 Să se deterie uărul turl petru cre re loc eglitte 7 Proă de evlure Tip efectiv de lucru: 90 de iute Î iteii 8 idicţi liter cre corespude vritei corecte Tote vlorile vriilelor petru cre prţi ulţiii R R R D Z oprţi uerele 7 și 7 lculţi duceţi l for ce i siplă epresi : Deteriţi vlore de devăr propoziţiei: 8 ;

45 Rdicli MODULUL Puteri Logriti 6 Scrieţi î ordie descrescătore uerele Rţiolizţi uitorul rportului Vlore epresiei 8 este i re decît i ică decît eglă cu log log 9 log lculţi 8 0 Deteriţi vlorile disiile le vriilelor și duceţi l for ce i siplă epresi: log log log log Î iteii 8 idicţi liter cre corespude vritei corecte * Tote vlorile vriilelor petru cre N prţi ulţiii R R R D Z oprţi cu 6 lculţi duceţi l for ce i siplă epresi Deteriţi vlore de devăr propoziţiei: 6 ; 6 Scrieţi î ordie crescătore uerele Rţiolizţi uitorul rportului 9 8 Vlore epresiei 6 8 este i re decît i ică decît eglă cu 9 lculţi log log Deteriţi vlorile disiile le vriilei și duceţi l for ce i siplă epresi: log 0 log7 9 : 7 log

46 MODULUL Rdicli Puteri Logriti Deterire lui Rdicli Puteri Logriti c ude c R Deterire lui dcă N Rdicli Defiiţii c c * k k N ; c * c k k N > 0 Proprietăţi Petru R proprietăţile ve: ; k k ; ; k k ; ; 6 * R R ; 7 0 ; ; 9 k k k pr Logriti Defiiţii * log c c c R R lg c log c logriti zecili; 0 l c log c logriti turli e ude e 7 Proprietăţi * * Petru c R \{} R proprietăţile 9 ve: log c log ; log 0 ; c ; log log log ; log log log ; 6 log log ; 7 log α log α 0 ; α log log c 8 log ; 9 log c ; c log k * 0 log k log k 0 ; Z log log log > 0 ; log log log > 0 c Deterire lui c Puteri Defiiţii 0 N : 0 ; fctori : 0 ; k k * : Z k N \{} > 0 ; k \ : k α k α R Q > ; k 0 k α < < ude k k sît proiările zecile le uărului α; α * 0 0 α R Proprietăţi Petru R ; R ve: ; ; ; ; :

47 MODULUL Eleete de coitorică ioul lui Newto Îvăţătur c urul re preţ oriude Epictet Isc Newto Oiective idetificre oţiuilor ulţie ordotă fctoril rjete perutări coiări de eleete le uor ulţii uerice fiite; utilizre rjetelor perutărilor coiărilor și proprietăţilor cestor î rezolvre ecuţiilor iecuţiilor proleelor siple di viţ cotidiă; * plicre ioului lui Newto su/și forulei tereului geerl î situţii rele su odelte; * folosire proprietăţilor coeficieţilor ioili și le dezvoltării ioului l putere l rezolvre proleelor Eleete de coitorică Mulţii ordote Prole E ecesr de sigur cele 0000 de prtete oi cu uere de telefoie fiă fiecre uăr fiid fort di șse cifre disticte Se v reuși ore dcă se știe că uărul de telefo pote să îcepă și cu 0? Prole L o sesiue de couicări s-u îregistrt 7 referte Î cîte oduri se pote fce progrre susţierii lor? Prole Î cls X- îvţă de elevi Î fiecre zi o echipă fortă di elevi fce de serviciu Î cîte oduri pote fi fortă cestă echipă? Oservă că î ceste tipuri de prolee se solicită rjre îtr-o ordie specilă eleetelor uei ulţii fiite deterire ditr-o ulţie fiită de eleete uărului de suulţii de eleete cre posedă uite proprietăţi relizre uei orecre coiţii de eleete etc Doeiul teticii cre studiză stfel de prolee se uește coitorică tre prolee se uesc prolee de coitorică Prolee de coitorică pr tît î viţ cotidiă cît și î diverse doeii le știiţei și tehicii: l studiul teoriei proilităţilor teoriei uerelor logicii tetice iforticii fizicii chiiei etc Î uele czuri vo căut cel puţi o soluţie proleei î ltele tote soluţiile ei su soluţi optiă su ui uărul de soluţii etc Petru uele 6

48 MODULUL Eleete de coitorică ioul lui Newto prolee de coitorică se v deostr că ele u u soluţii De eeplu Leord Euler forult prole ir i tîrziu s- deostrt că u e posiil de rjt 6 de ofiţeri cre u 6 tipuri de grde ilitre vizîd 6 ctegorii de trupe ilitre cîte u ofiţer cu grdul respectiv di trup ilitră respectivă pe 6 de pătrăţele le uui creu 6 6 stfel îcît î fiecre liie și î fiecre coloă să fie reprezette tote ctegoriile de trupe ilitre și tote Leord Euler tipurile de grde ilitre Î figur este reprezettă o secveţă di soluţi cestei prolee petru ctegorii de trupe ilitre D și petru tipuri de d Dc grde ilitre c d opletţi telul și fiisţi rezolvre c D d Prolee de coitorică pr și î jocurile sportive Î specil c d ele sît frecvete î jocurile de șh și de c Î cotiure vo studi prolee siple de coitorică fără repetre eleetelor Fig Vo cosider ulţii uerice fiite Î specil vo lucr cu ulţii ordote Fiecre ulţie re o structură iteră cre iclude tît eleetele ei cît și ordie de plsre cestor Eleetele uei ulţii pot fi ordote î diverse oduri De eeplu eleetele ulţiii { } pot fi rjte stfel: { } { } { } etc Fiecre di ceste ulţii deși coţie celeși eleete diferă pri ordie de dispuere cestor Defiiţie Mulţie fiită M { } se uește ulţie ordotă dcă eleetele ei sît rjte îtr-o ordie ie deterită u lte cuvite ulţie M se uește ordotă dcă fiecărui eleet l ei i se sociză u uit uăr turl de l l stfel îcît eleetelor diferite le lui M le corespud uere diferite U și ceeși ulţie fiită pote fi ordotă î diverse oduri De eeplu ulţie elevilor di cls X- pote fi ordotă după îălţie elevilor crescător su descrescător după s corporlă crescător su descrescător su î ordie lfetică uelor lor Oservţii S- coveit c ulţiile ordote oţiute di ulţie dtă să se scrie ître prteze rotude Eeplu { } Două ulţii ordote sît egle dcă coţi celeși eleete și u ceeși ordie de dispuere cestor Eeplu Mulţiile ordote c d și c e sît diferite De seee sît diferite ulţiile ordote și

49 Eleete MODULUL de coitorică ioul lui Newto Produsul prielor uere turle eule se oteză cu! dică! Notţi! se citește e fctoril Eeple! ;! ;! 6; 6! 6 70 Oservţie Pri defiiţie cosideră că 0! Mi tîrziu vo rguet cestă defiiţie Î prticulr Eeple rjete!! petru su!! petru su!! petru su!! petru șd 0! 8! 9 0!! 90 8! 8!!!!!!! Eerciţiu rezolvt! Să se rezolve î N ecuţi! Rezolvre: 0 DV: 0 N N Î DV ve:!!!! 6 DV DV Răspus: S {} Fie ulţie M { } crd M Luă eleete orecre di cele 0 le ulţiii M și foră diferite ulţii ordote Defiiţie Suulţiile ordote le ulţiii M crdm vîd fiecre cîte eleete ude 0 se uesc rjete de eleete lute cîte 8

50 MODULUL Eleete de coitorică ioul lui Newto Nuărul de rjete de eleete lute cîte se oteză Pri defiiţie cosideră că 0 Eerciţiu rezolvt Fie ulţie {0 } Să se clculeze uărul Rezolvre: Di trei eleete 0 lute cîte două eleete se pot for 6 suulţii ordote: șdr 6 Să clculă uărul de rjete eleete lute cîte dică să găsi o forulă petru clculul uărului Evidet că U eleet di eleete dte pote fi les î oduri ir cu u eleet se pote for ui o ulţie ordotă Petru reprtiz oricre eleete lute di eleete dte pe locuri se pot lu i îtîi oricre eleete și rj pe priele locuri cest se pote reliz î oduri De fiecre dtă l o stfel de selectre eleete di cele dte răî eleete fiecre ditre ele putîd fi puse pe locul l -le Deci petru fiecre di cele oduri de rjre eleetelor pe priele locuri oţie posiilităţi pri cre l -le loc este ocupt de uul ditre cele eleete răse De ici rezultă că Luîd î cosiderţie că oţie succesiv: stfel deostrt Teore Dcă și sît uere turle stfel îcît 0 < < tuci Î prctică e i cood să plică o ltă forulă petru clculul uărului u! oţie:!!! Petru 0 forul dă 0 ir petru di oţie! șdr teore și forul sît devărte petru orice și ude 0 Deci prole di secveţ se rezolvă stfel: 0! 0!! !!! Pri urre sît posiile 00 de uere de telefo de tipul eţiot ir răspusul este firtiv 9

51 Eleete MODULUL de coitorică ioul lui Newto Perutări Prole Fie ulţie {0 } Să se clculeze uărul Rezolvre: Di eleetele 0 lute cîte trei se pot for 6 suulţii ordote: Deci 6! Oservă că ceste rjete se oţi l schire locurilor celor trei eleete dte stfel oţiut iște perutări Defiiţie rjetele de eleete lute cîte le ulţiii M { } crd M se uesc perutări de eleete le cestei ulţii Nuărul de perutări de eleete se oteză P Ţiîd cot că! î z defiiţiei perutărilor oţie: șdr deostrt Teore Dcă N tuci P! * * P! N Deci prole propusă î secveţ pote fi rezolvtă plicîd oţiue de perutări ve M { 6 7} tuci P7 7! Pri urre eistă 00 de oduri de progrre susţierii celor 7 referte î cdrul sesiuii P Di forulele și oţie urătore forulă: P Oservţie Vo cosider că ulţie vidă pote fi ordotă îtr-u sigur od dică P 0 Deci 0! stfel forul este devărtă petru orice N oiări Prole Fie ulţie {0 } Să se deterie tote suulţiile ei Rezolvre: Oţie urătorele suulţii: ulţie vidă: ; suulţii vîd fiecre cîte u eleet: {0} {} {}; c suulţii vîd fiecre cîte două eleete: {0 } {0 } { }; d îsăși ulţie {0 } șdr ulţie {0 } re î totl opt suulţii 0

52 MODULUL Eleete de coitorică ioul lui Newto Defiiţie Suulţiile ulţiii M { } crd M vîd fiecre cîte eleete ude 0 se uesc coiări de eleete lute cîte Nuărul coiărilor de eleete lute cîte se oteză su 0 Petru prole ve: ir uărul tuturor suulţiilor crdilul ooleului ulţiii {0 } este 8 0 Oservă că 0 deorece oricre ulţie M re ui o suulţie fără ici u eleet și ue ulţie vidă deorece o ulţie cu eleete re ect suulţii cu u sigur eleet Oservţie Petru u cofud coiările cu rjetele ţie cot de fptul că: - l coiări suulţiile uei ulţii dte u sît ordote ir l rjete tote suulţiile cestei sît ordote; - eleetele rjetelor se scriu ître prteze rotude ir cele le coiărilor ître colde De eeplu rjetele și se cosideră diferite deși sît forte di celeși eleete ir suulţiile { } și { } se cosideră c u și ceeși coire Pri urre coiările sît stfel de suulţii le ulţiii dte cre diferă ui pri eleete fără se lu î cosiderţie ordie lor Să găsi o forulă petru clculul uărului de coiări de eleete lute cîte dică petru clculul uărului osideră tote suulţiile cîte eleete le ulţiii M { } Ordoă fiecre ditre ceste suulţii î tote odurile posiile și vo oţie tote suulţiile ordote le lui M cre u cîte eleete Se știe că uărul cestor suulţii este u uărul tuturor suulţiilor lui M cîte eleete este ir fiecre suulţie pote fi ordotă î P oduri rezultă că P Deci P Di forulele și oţie:! su!!! stfel deostrt Teore Dcă și sît uere turle și 0 < < tuci!!! Oservţie Petru 0 forul dă 0 ir petru di oţie șdr teore și forul sît devărte petru orice și 0

53 Eleete MODULUL de coitorică ioul lui Newto Pri urre prole di secveţ se rezolvă stfel:! 0!! Deci echip de serviciu pe clsă pote fi fortă î 0 de oduri Proprietăţi le uerelor Sît devărte eglităţile: 0 N forul coiărilor copleetre 0 < N forul de recureţă petru clculul uărului de coiări 0 N uărul tuturor suulţiilor ulţiii M forte di eleete este egl cu dică crdm Eerciţii Deostrţi proprietăţile plicîd forul petru Deostrţi propriette plicîd etod iducţiei tetice Oservţii O ltă deducere proprietăţii v fi propusă î prgrful urător ceste proprietăţi epriă diferite relţii ître suulţiile uei ulţii fiite Eerciţiu rezolvt 7 Să se rezolve î N iecuţi > Rezolvre: 0 7 DV: N N Î DV ve: 7!!!!! 7! 6 > > > > 7! 7!!! 7! 7!! 6 7 7! 6 > > 0 Ţiîd cot de DV oţie: > 6 N Răspus: S { } Regulile fudetle le coitoricii Regul ultiplicităţii îulţirii > 6 6 > 0 < 0 Prole 6 Î cls X- sît ăieţi și fete Î cîte oduri pot fi lcătuite echipe ite l copetiţiile licele de volei forte di ăieţi și fete? Rezolvre: Ptru ăieţi di cei pot fi leși î î oduri oduri ir două fete di cele pot fi lese

54 MODULUL Eleete de coitorică ioul lui Newto Î cest cz echipele respective pot fi forte î oduri Răspus: 97 de oduri L rezolvre cestei prolee folosit regul ultiplicităţii su regul îulţirii Teore Dcă ulţiile și sît fiite tuci crdilul produsului crtezi este egl cu produsul crdilelor cestor ulţii: crd crd crd Teore Dcă ulţiile k sît fiite tuci este verifictă eglitte: crd k crd crd crd k Regul duării Prole 7 îţi divizori turli re uărul 770? Rezolvre: Descopue uărul 770 î produs de fctori prii: stfel uărul 770 re ptru divizori turli prii uerele 7 Nuărul divizorilor turli forţi di produsul cîte doi fctori prii este 6 dică uerele 0 77 ir uărul divizorilor turli forţi di produsul cîte trei fctori prii este dică uerele Divizori i uărului 770 sît și uerele și 770 șdr uărul 770 re î totl 6 6 divizori turli Răspus: 6 divizori turli L rezolvre cestei prolee folosit regul duării Teore 6 Dcă ulţiile fiite și sît disjucte dică I tuci crdilul reuiuii ulţiilor este egl cu su crdilelor cestor ulţii: crd U crd crd Teore 7 Dcă ulţiile fiite k sît disjucte două cîte două dică i I j i j tuci este verifictă eglitte: crd U U U k crd crd crd k Proleă rezolvtă Di cotili și 8 ecooiști treuie să se foreze o coisie de 6 persoe Î cîte oduri pote fi fortă cestă coisie dcă î copoeţ ei pote fi cel puţi u cotil?

55 Eleete MODULUL de coitorică ioul lui Newto Rezolvre: Dcă î coisie v fi ui u sigur cotil cestă coisie cofor regulii ultiplicităţii pote fi fortă î 8 oduri Î czul î cre î coisie vor fi doi cotili cofor regulii ultiplicităţii ve 8 70 oduri Î totl cofor regulii duării coitoricii coisi respectivă pote fi fortă î oduri Răspus: 8 de oduri Meţioă că proleele de coitorică eite sît siple fără repetări de eleete Proleele de coitorică cu repetre eleetelor sît i coplicte De eeplu perutîd literele î cuvîtul cietul oţie P7 7! 00 de terei Dcă îsă vo perut literele î cuvîtul copcul vo oţie i puţii terei deorece perutările două litere c u schiă tereul Î ceste czuri costtă perutări cu repetre eleetelor De seee eistă rjete cu repetre eleetelor și coiări cu repetre eleetelor Eerciţii şi prolee propuse Fie ulţie { } Să se scrie tote ulţiile ordote oţiute di ulţie Să se scrie tote suulţiile ordote forte di două eleete le ulţiii c Să se scrie tote suulţiile ordote forte di trei eleete le ulţiii Să se clculeze: 0!!;!; 8!; ; 6!! Să se rezolve î N ecuţi:! ;! Să se rezolve î N iecuţi:! 0;! 9!! c 6!!! ;!! 6!! > ;!!! 6! c!!! c! 0 Să se clculeze: ; P P P0 P0 P8 ; c Să se clculeze: 7 P P6 ; 7 ; c ; d 8 P ; e P ; f ; g P P Să se rezolve î N ecuţi: ; ; c

56 MODULUL Eleete de coitorică ioul lui Newto 8 Fie ulţie: {0 }; { α β γ δ} Să se scrie tote suulţiile ulţiii Să se fle crdilul ooleului ulţiii 9 vîd 0 llele roșii și 6 llele glee să se decidă î cîte oduri se pote for u uchet lcătuit di llele 0 piotul ţiol l fotl se desfășoră după sisteul tur-retur Fiecre echipă jocă de două ori cu fiecre di celellte echipe Să se deterie cîte prtide treuie să fie plificte î totl dcă l cpiot prticipă 8 echipe O coisie este fortă di președite vicepreședite și trei eri Î cîte oduri persoe își pot reprtiz ceste fucţii? Î cîte oduri se pot șez 8 copii pe o că? Î cîte oduri pote fi cofecţiot u tricolor di șpte ucăţi de pîză de celeși diesiui și de culori diferite? îţi terei pot fi lcătuiţi folosid de fiecre dtă tote literele: p t r i e; u r; c p r e ţ; d î v ă ţ r e? Î cîte oduri 7 cărţi pot fi rjte pe o poliţă? 6 Î cîte oduri u cupărător pote să legă D-uri diferite cu jocuri di cele 8 D-uri diferite propuse de vîzător? 7 Î cîte oduri u treor pote for o echipă de volei copusă di 6 jucători dcă î totl sît 6 jucători? 8 O ură coţie 6 ile le și 8 ile egre Se etrg cocoitet două ile Să se fle proilitte eveietului: {se etrg două ile le}; {se etrg două ile egre} 9 Să se foruleze eeple de utilizre rjetelor perutărilor și coiărilor î viţ cotidiă și î lte disciplie școlre 0 Î cîte oduri pote fi ordotă ulţie { } stfel îcît fiecre uăr pr să iă rg pr? Să se rezolve î N ecuţi: 6!!!!! ; ;!!! c!! Să se rezolve î N iecuţi: 6!!! ; 0; c < 80!!! Să se clculeze: 7 9 P P P P ; 8 ; c ; d P P Să se rezolve î N ecuţi: P P ; P 6P

57 Eleete MODULUL de coitorică ioul lui Newto * Să se rte că petru orice N vlore epresiei este u pătrt perfect 6 Să se deostreze că P P P N 7 u cifrele se foreză tote uerele turle posiile de cîte șse cifre disticte îte stfel de uere se pot oţie? îte uere îcep cu cifr? c îte uere îcep cu cifr? d îte uere se teriă cu cifr? e îte uere îcep cu 0? 8 L u cocurs prticipă 8 fete și 9 ăieţi L o etpă cocursului treuie să se foreze 6 perechi cîte u ăit și cîte o ftă Î cîte oduri se pot for cele 6 perechi? 9 O echipă de fotl re de jucători iclusiv portri Î cîte oduri treorul pote for echip di jucători petru prtid de fotl precoiztă? 0 Doi re 7 D-uri diferite cu uzică clsică ir Nelu re 9 D-uri diferite cu uzică folk Î cîte oduri ei pot fce schi cîte D-uri? îţi divizori turli re uărul: 0; 8; c 0; d 0? Olg re 0 llele roșii și 6 llele glee Î cîte oduri e pote for u uchet cu llele roșii și llele glee? L o copie lucreză directori djucţi și 0 geri Î cîte oduri se pote for o coisie di persoe stfel îcît e să icludă cel puţi directori djucţi? Să se rezolve î N iecuţi: > P ; ; c > ; d ; e ; f P > < < Să se fle uărul digolelor uui poligo cove cu lturi utilizîd coiările 6 Să se deostreze că: ; 7 Să se foruleze prolee de coitorică: cu rjete; cu perutări; c cu coiări; d ite 8 * Să se rezolve î N N sisteul de ecuţii: 6 0 P P 70; 0 9 * Să se deostreze că N < Olipid de Mtetică Repulicii Moldov 00 6

58 7 MODULUL Eleete de coitorică ioul lui Newto ioul lui Newto ioul forul lui Newto Porid de l idetităţile se verifică ușor că Meţioă că ceste forule sît czuri prticulre le forulei petru orice N ude pot fi oricre epresii lgerice Vo răt că petru orice 0 N N este devărtă forul 0 cre se uește ioul lui Newto su forul lui Newto Deostrţie: Vo plic etod iducţiei tetice Notă propoziţi cu P * N Petru propoziţi P este devărtă deorece 0 Presupue că petru orice uăr turl propoziţi P este devărtă dică 0 k k k ude k N k Vo deostr că și petru orice uăr turl propoziţi P este devărtă Îtr-devăr 0 k k k 0 0 k k k k u 0 0 plicîd forulele de recureţă petru clculul uărului de coiări 0 k k k oţie: 0 k k k Pri urre î z etodei iducţiei tetice propoziţi P este devărtă petru orice uăr turl șdr petru orice * N oţie: 0 su su 0 * 0 N N Oservţie Petru scrie prescurtt su tereilor uui șir fiit de terei se folosește siolul sig stfel i i seifică și se citește su tereilor i i de l l

59 Eleete MODULUL de coitorică ioul lui Newto Eerciţiu rezolvt Să se clculeze Rezolvre: Defiiţii Merul drept l forulei lui Newto se uește dezvoltre ioului l putere 0 Nuerele di forul lui Newto se uesc coeficieţi ioili Proprietăţi le dezvoltării ioului l putere Nuărul tereilor dezvoltării ioului l putere deci și l coeficieţilor ioili 0 este egl cu Î dezvoltre ioului l putere epoeţii puterilor lui descresc de l l 0 ir epoeţii puterilor lui cresc de l 0 l Î orice tere l dezvoltării ioului l putere su epoeţilor puterilor lui și le lui este eglă cu T Tereul k k k k {0 } k dică l k -le tere di dezvoltre ioului l putere tereul de rgul k se uește tereul geerl l dezvoltării triuid lui k vlori de l 0 l deteriă toţi tereii dezvoltării ioului l putere De eeplu T 0 0 este priul tere T este l cicile tere di dezvoltre ioului l putere Proprietăţi le coeficieţilor ioili Su coeficieţilor ioili di dezvoltre ioului l putere este eglă 0 cu : Îtr-devăr fie Sustituidu-le î forul lui Newto oţie: 0 u oţie: coeficieţii ioili egl depărtţi de tereii etrei i dezvoltării sît egli Su coeficieţilor ioili situţi pe locurile pre î dezvoltre ioului este eglă cu su coeficieţilor ioili situţi pe locurile ipre le celeiși dezvoltări și este eglă cu Îtr-devăr cosiderîd î forul lui Newto e covige că 0 0 cee ce cofiră propriette forultă Petru k k N coeficietul ioil l tereului de ijloc l dezvoltării k este cel i re Petru k k N coeficieţii ioili i celor doi terei de l ijloc i k dezvoltării sît egli k și sît cei i ri 8

60 MODULUL Eleete de coitorică ioul lui Newto Oservţie E iportt să se fcă disticţie ître coeficietul uui tere l dezvoltării ioului l putere și coeficietul ioil l celuiși tere î czul î cre sît epresii cu coeficieţi De eeplu î dezvoltre coeficietul tereului l treile este 9 ir coeficietul său ioil este oeficieţii ioili i dezvoltării ioului pot fi clculţi folosid triughiul lui Pscl u jutorul forulei recurete se pot clcul succesiv uerele folosid uerele și Vlorile respective pot fi scrise su for uui tel triughiulr cre se uește triughiul ueric su triughiul lui Pscl N ioul l putere Î lii sît scrise uerele Regul de copletre uei liii triughiului lui Pscl vîd lii precedetă coplettă este urătore: priul și ultiul uăr l liiei este ; fiecre di celellte uere le cestei liii este egl cu su două uere di lii precedetă situte î stîg și î drept uărului cre ureză fi clcult stfel uerele liiei opt triughiului lui Pscl vor fi: Eerciţiu opletţi lii ou triughiului lui Pscl Oservţie Î cls XI- vo studi u lt od de deterire coeficieţilor ioili plicîd derivt fucţiei Putere cu epoet turl difereţei două epresii se clculeză după o forulă siilră cu forul lui Newto: 0 ocis vo scrie: 0 * N N 0 Forul rezultă di forul lui Newto scriid [ ] și dezvoltîd ioul l putere 9

61 Eleete MODULUL de coitorică ioul lui Newto plicţii le ioului lui Newto Să liză uele plicţii le coeficieţilor ioili și le dezvoltării ioului l putere Eerciţii rezolvte Să se deterie tereul l șsele di dezvoltre l putere ioului Rezolvre:! T ! 9! 0 Să se fle rgul tereului cre u-l coţie pe î dezvoltre l putere ioului Rezolvre: k k 0k Tereul geerl l dezvoltării este Tk 0 ofor euţului k 0k 0 0 k Deci k 0 k 0 Pri urre tereul de rgul u-l coţie pe î dezvoltre l putere ioului Răspus: Tereul l cicile l dezvoltării Să se clculeze cel i re coeficiet ioil l dezvoltării u Rezolvre: Deorece este uăr pr rezultă că cel i re coeficiet ioil l! dezvoltării este 70!! Răspus: 70 Î dezvoltre l putere ioului coeficietul ioil l tereului de rgul este 0 Să se fle tereul de rgul l cestei dezvoltări Rezolvre:! u oţie:!! ! stfel T 6 9!! Răspus: T 60

62 MODULUL Eleete de coitorică ioul lui Newto Eerciţii şi prolee propuse Să se dezvolte ioul l putere: ; ; c ; d ; e Să se dezvolte ioul l putere: 7 ; ; c 6 ; d ; e Să se dezvolte ioul l putere: ; ; c Să se rte că vlore epresiei N 7 7 este u uăr turl petru orice Să se deterie: 0 tereul l cicile di dezvoltre l putere ioului ; 9 tereul l șptele di dezvoltre l putere ioului ; c tereul l zecele di dezvoltre l putere ioului l lg 6 Să se deterie su coeficieţilor ioili di dezvoltre l putere ioului: 08 ; log ; c 7 ; d 8 7 Să se deterie su coeficieţilor ioili i tereilor de rg ipr di dezvoltre l putere ioului: ; ; 8 c ; d 8 Să se deterie: tereul cre îl coţie pe 0 î dezvoltre l putere ioului 6 ; tereul cre îl coţie pe î dezvoltre l putere ioului ; c tereul cre u îl coţie pe î dezvoltre l putere ioului 0 9 Să se deterie tereul di ijloc l dezvoltării l putere ioului: 6 ; ; c ; d 8 lg 0 Să se deterie cei doi terei de ijloc i dezvoltării l putere ioului: 7 ; ; c ; d Să se clculeze su coeficieţilor dezvoltării l putere ioului: ; 7 8 Să se deterie tereii rţioli i dezvoltării l putere ioului: 7 0 ; Să se fle tereul cre îl coţie pe î dezvoltre l putere ioului știid că su coeficieţilor ioili este eglă cu 6 6

63 Eleete MODULUL de coitorică ioul lui Newto Să se deterie di dezvoltre l putere ioului dcă coeficietul lui este egl cu coeficietul lui Să se fle tereul cre îl coţie pe 9 î dezvoltre l putere ioului dcă su coeficieţilor ioili de rg pr este eglă cu 08 6 Să se deterie dcă tereul l cicile di dezvoltre l putere ioului u-l coţie pe 7 Să se deostreze pri etod iducţiei tetice și cu jutorul forulei lui Newto ic teoreă lui Fert: Dcă p este u uăr turl pri și N tuci p se divide cu p Oservţie Teore lui Fert deseori se foruleză stfel: Dcă p este u uăr turl p pri și este u uăr turl cre u este ultiplu l lui p tuci se divide cu p 8 e proprietăţi le uerelor șirurilor se pot depist î triughiul lui Pscl? 9 Să se copuă utilizîd ioul lui Newto o proleă vizîd: rjetele; perutările; c coiările 0 * k k oprîd coeficieţii lui di ii eri i eglităţii să se l 0 l 0 l l deostreze că ude k l N și l i k k k k k Eerciţii şi prolee recpitultive ei de elevi i clsei XII- l sert de solvire u făcut schi de fotogrfii ître ei îte fotogrfii u fost ecesre? L u tureu de șh u prticipt șhiști și fiecre șhiști s-u îtîlit o dtă îte prtide s-u juct l tureu? Î cîte oduri se pot șez 6 elevi pe 0 de locuri? U tre de psgeri re vgoe Î cîte oduri pot fi cuplte vgoele petru forre treului? ele eee de treuie să fie progrte î 8 zile Î cîte oduri se pote fce progrre? Î cîte oduri se pote fce progrre dcă ultiul ee de se v susţie î od oligtoriu î ziu opt? 6 Î cîte oduri pot fi rjte 8 ecuri electrice distict colorte î 6 dulii? 7 Î cîte oduri pot fi rjţi 0 sportivi l o copetiţie dcă cel i îlt treuie să fie priul ir cel i scud ultiul? 8 ls X- este reprezettă l u cocurs de tetică de elevi și profesori Î cîte oduri se pot for echipe de cîte elevi și: u profesor; doi profesori; c trei profesori; d cel puţi u profesor? 9 O persoă fort l îtîplre u uăr de telefo deorece - reţiut ultiele două cifre re este proilitte că uărul v fi fort corect? 6

64 MODULUL Eleete de coitorică ioul lui Newto 0 Îtr-u coșuleţ sît ciocolte cu uci și ciocolte cu lue vîd tote celeși diesiui Se iu l îtîplre două ciocolte re este proilitte că ele ciocolte sît de celși fel? Să se rezolve î N ecuţi:! 90; ; P P c 8 ; d 6! Fie Să se deterie dcă: su coeficiţilor ioili este 6; su coeficieţilor ioili de rg ipr este 6; 9 c coeficietul ioil l lui este egl cu coeficietul ioil l lui ; d coeficietul ioil l tereului l treile este edi ritetică coeficieţilor ioili i tereilor l doile și l ptrule Să se deterie tereul di dezvoltre cre u-l coţie pe Fie 6 Să se fle dcă T 9 O ură coţie 6 ile le și 8 ile egre Se etrg cocoitet două ile Să se deterie proilitte eveietului: {se etrg două ile le}; {se etrg două ile egre}; {se etrg două ile de ceeși culore} 6 îte eleete treuie să coţiă o ulţie stfel îcît uărul perutărilor eleetelor cestei să fie cupris ître 000 și 00? 7 Sergiu ivitt l ziu de ștere 8 colegi de clsă Î cîte oduri îi pote șez l o să ovlă? Geerlizţi petru colegi 8 Di 0 opertori și igieri i firei Tepus se foreză o delegţie lcătuită di 6 persoe ditre cre cel puţi sît igieri Î cîte oduri se pote for cestă delegţie? 9 îte uere turle se pot for cu cifrele stfel îcît î scriere fiecărui uăr orice cifră să pră cel ult o dtă? 0 Să se rezolve î N iecuţi: > ; 8 6; c 0 > 0 Fie dezvoltre 7 Să se deterie uărul tereilor rţioli i dezvoltării dcă: ; 00 Să se deostreze că: ; N! Să se deostreze că N vlore uerică epresiei este u uăr îtreg! * Să se deostreze că vlore epresiei este u pătrt perfect * Să se rezolve î N N sisteul 6* Să se deostreze că N! >! 6

65 Eleete MODULUL de coitorică ioul lui Newto Proă de evlure Tip efectiv de lucru: de iute opletţi cu u uăr turl stfel îcît epresi oţiută să iă ses: flţi uărul de rjete oţiut l după copletre 0 Deteriţi vlore de devăr propoziţiei: u cifrele pot fi forte 00 de uere de telefo de cîte cici cifre disticte flţi crdilul ooleului ulţiii { 6 8 0} Rezolvţi î N ecuţi oitetul orgiztoric l uei serte tetice elevilor clsei X- este fort di eri Î cîte oduri pote fi fort cest coitet dcă î clsă sît de elevi? Forulţi u eeplu de utilizre eleetelor de coitorică î viţ cotidiă opletţi cu u uăr stfel îcît propoziţi oţiută să fie devărtă: P P Deteriţi vlore de devăr propoziţiei: Nuărul este defiit petru { } Rezolvţi î N iecuţi P 0P 7 îte uere turle de zece cifre disticte pot fi forte? Fie N și R \ Q Deostrţi că oricre r fi N vlore uerică epresiei este u uăr turl 6 Î cls X- sît ăieţi și 8 fete Î cîte oduri se pot for echipe lcătuite di ăieţi și fete? 6

66 MODULUL Eleete de coitorică ioul lui Newto Eleete de coitorică ioul lui Newto!!! 0! Mulţii fiite { } Prolee de coitorică siple ioul lui Newto N N 0 Mulţii ordote Perutări P! N 0 rjete!! N N 0 Proprietăţi le uerelor 0 ; ; 0 Regulile fudetle le coitoricii Regul ultiplicităţii îulţirii: crd crd crd Regul duării: crd U crd crd I oiări!!! N N Tereul geerl l dezvoltării T k k {0 k 0 k 0 k } Proprietăţi le coeficieţilor ioili 0 ; 0 ; ; ; k coeficietul ioil este cel i re petru k k N ; k coeficieţii ioili k sît cei i ri petru k k N plicţii: rezolvre ecuţiilor iecuţiilor totlităţilor sisteelor de ecuţii coitorii plicţii î diverse doeii fizică chiie teori proilităţilor î viţ cotidiă etc Triughiul lui Pscl plicţii: rezolvre ecuţiilor iecuţiilor sisteelor totlităţilor de ecuţii coitorii; dezvoltări le ioului l putere plicţii î diverse doeii le știiţei și tehicii 6

67 MODULUL Fucţii rele Proprietăţi fudetle Dcă ciev vre să cute î od serios devărul el u treuie să legă o sigură știiţă căci tote sît legte ître ele și depedete Reé Descrtes Oiective idetificre și utilizre oţiuilor fucţie grficul fucţiei î diverse cotete; deterire proprietăţilor fudetle le fucţiei și le grficului ei; clsificre fucţiilor studite după diferite criterii; plicre proprietăţilor fucţiilor î situţii rele și/su odelte Noţiue de fucţie Recpitulre şi copletări Noţiue de fucţie Moduri de defii o fucţie Î prctică se îtîlesc ării vriile cre își schiă vlorile î fucţie de vlorile ltor vriile De eeplu tepertur erului se schiă pe prcursul zilei î fucţie de or l cre se fc ăsurările; vlore vriilei u t depide de vlore vriilei t Vlorile vriilei se schiă î fucţie de vlorile vriilei îsă u oricărei vlori lui îi corespude o vlore lui de eeplu petru 0 Defiiţie Pri fucţie se îţelege tripletul ordot f ude sît ulţii evide ir f este o corespodeţă lege cre sociză fiecărui eleet u uic eleet Î lţi terei fucţi este o plicţie de l l Dcă lui i se sociză tuci se oteză f și se spue că este igie lui su vlore fucţiei f î puctul Mulţie se uește doeiu de defiiţie l fucţiei f și se oteză cu D f ir ulţie se uește codoeiul fucţiei f su doeiul de vlori Fucţi f se i scrie f: și se citește f defiită pe cu vlori î su f de l l Mulţie { f } se uește igie ulţiii su ulţie vlorilor fucţiei f și se oteză cu f su Ef su If Oservţie Vo ei fucţiile rele uerice petru cre și sît suulţii le ulţiii R Defiiţie Fucţiile f și g se uesc fucţii egle dcă: ; ; f g petru orice di 66

68 MODULUL Fucţii rele Proprietăţi fudetle Eeple Fucţiile f : R R f şi g: R g sît egle îtrucît R D f D g E f E g și petru orice R ve f g Fucţiile f : R R f şi g: R R g u sît egle deorece codoeiile lor sît diferite Este clr că fucţiile egle u și ulţiile de vlori egle Mulţie de vlori fucţiei f : R R f este R fiidcă oricre r fi R eistă R și ue ± stfel îcît f De ltfel și fucţi g : R R g re ceeși ulţie de vlori Oservţii Petru fucţi f: corespodeţ f se uește depedeţă fucţiolă Î relţi f cu vriil se uește vriilă idepedetă su rguetul fucţiei ir vriil vriilă depedetă Dcă este clr di cotet cre sît ulţiile tuci î loc de f: vo spue și vo scrie fucţi f Dcă f : este o fucţie M K tuci pri igie ulţiii M l plicţi f vo îţelege suulţie f M { f M} ulţiii ir pri preigie ulţiii K vo îţelege suulţie T { f K} ulţiii Eerciţiu rezolvt Fie fucţi f : R R f și ulţiile M [ 0 ] K [ 7] Să se deterie: igie ulţiii M; preigie ulţiii K Rezolvre: Petru deteri f M igie ulţiii M ţie cot că 0 și succesiv oţie: 0 7 f 7 Deci f M [ 7] Este devărtă și icluziue iversă [ 7] f M deorece ecuţi t t [ 7] re soluţii î itervlul [ 0 ] șdr f M [ 7] Di ieglitte dulă f 7 oţie dică preigie ulţiii K este ulţie T [ ] Fucţi pote fi defiită: î od sitetic pritr-u tel pritr-o digră pritr-u grfic pri euerre perechilor ordote de uere; î od litic cu jutorul uei epresii forule Modul sitetic de defiire fucţiei Pritr-u tel pote fi defiită o fucţie l cărei doeiu de defiiţie este fiit și coţie u uăr ic de eleete fig Pritr-o digră pote fi defiită o fucţie l cărei doeiu de defiiţie și codoeiu sît reprezette cu jutorul digrelor Euler Ve fig 0 f f Fig 67

69 Fucţii MODULUL rele Proprietăţi fudetle c Pritr-u grfic se vede secveţ d Fie o ulţie G de perechi ordote de uere rele stfel îcît petru G ve iti că î cestă situţie defiit o fucţie f : cosiderîd f dcă G Modul litic de defiire fucţiei el i frecvet o fucţie se defiește î od litic dică corespodeţ ditre vlorile vriilei depedete și le celei idepedete este dtă de o forulă o relţie o propriette Eeple Fie fucţi f : R R f Vlore rdiclului este uivoc deterită deci î od uic v fi deterită vlore fucţiei f petru orice R Fucţi prte îtregă Notă cu [ ] R cel i re uăr îtreg i ic su egl cu De eeplu: [ ] [ ] [ ] [ ] Fucţi g : R Z g [ ] se uește fucţi prte îtregă uărului și se oteză [ ] Se verifică ușor proprietăţile fucţiei [ ]: [ ] ; [ ] [ ] Z R Fucţi prte frcţioră Notă cu { } [ ] R prte frcţioră uărul De eeplu: { 0} 0[0] 0 00; { } [ ] 09; { } [ ] Fucţi h : R [0 h { } se uește fucţi prte frcţioră uărului și se oteză { } dcă este r]iol Fucţi lui Dirichlet este f : R {0 } f 0 dcă este ir]iol Oservţie Deseori se cceptă să se defiescă fucţi ui pri forul f deteriîd de fpt ui depedeţ fucţiolă cre de ltfel u depide de otţi vriilelor doeiul de defiiţie și codoeiul fucţiei urîd să fie deterite Î cest cz doeiul de defiiţie D D f se cosideră egl cu doeiul vlorilor disiile DV l vriilei î epresi f ir ulţie E f se cosideră eglă cu f D Eerciţiu rezolvt Să se fle ulţiile D f E f le fucţiei f defiite de forul f Rezolvre: D f este ulţie soluţiilor iecuţiei 0 deci D f [ Mulţie vlorilor uei fucţii f defiite litic este ulţie vlorilor rele le pretrului t petru cre ecuţi f t re cel puţi o soluţie î D f Î czul dt 68

70 MODULUL Fucţii rele Proprietăţi fudetle cestă ecuţie i for di ecuţiile t t și î itervlul [ este echivletă cu fiecre t petru 0 ecuţi t re soluţie cre prţie ulţiii D f Pri urre f D E f [ Operţii cu fucţii t stfel oricre r fi t [ Deseori vîd două fucţii pre ecesitte de ei su produsul și/su cîtul lor Defiiţie Se uește su produsul cîtul fucţiilor f : R și g: R respectiv fucţi f g: R f g f g ; fucţi f g: R f g f g ; f f f fucţi : R g 0 petru orice di g g g Eerciţiu rezolvt Să se deterie su și produsul fucţiilor Rezolvre: f : R R f și : g R R g Î z defiiţiei petru fucţiile f g: R R f g R R oţie: : f g f g f g Defiiţie Se uește restricţi fucţiei f : l suulţie evidă M M fucţi g: M f M cu g f petru orice di M Î cest cotet fucţi f se uește o prelugire fucţiei g l ulţie Eeplu Restricţi fucţiei f : R R f l suulţie M 0 este dtă î telul lăturt: 0 f 0 0 De fpt de fiecre dtă cîd este ecesr de oţie cîtev pucte crcteristice le grficului uei fucţii se folosește o restricţie cestei l o suulţie fiită Oservţie Dcă fucţiile f g u doeii de defiiţie diferite și este ecesr de ei su su produsul lor tuci se folosesc restricţiile lor pe ulţie D f I D g Petru etide plicre fucţiilor î diferite cotete este ecesr să se eieze și lte operţii cu fucţii 69

71 Fucţii MODULUL rele Proprietăţi fudetle Defiiţie Fie fucţiile f : şi g: E cu Fucţi h: E defiită pri eglitte h g f se uește copus copuere fucţiei g cu fucţi f și se oteză g o f Euţă fără deostrţie Teore Petru fucţiile f : g: şi h: D copuere lor este socitivă: h o g o f h o g o f Eerciţiu rezolvt Să se decidă dcă eistă copusele g o f f o g dcă: f : [ R f g: [ R g Rezolvre: u icluziue R [ este flsă rezultă că u se pote defii copus f o g Deorece R [ fucţi h g o f este defiită re doeiul de defiiţie [ codoeiul R și h g o f g f g Oservţie Operţi de copuere fucţiilor î cz geerl u este couttivă dică f o g g o f U rol deoseit î copuere fucţiilor îl u fucţiile idetice: ε M : M M ε M M Fie fucţiile f : ε : ε ε : ε Să deteriă copusele ε o f : și f oε : ve: ε o f ε f f și f o ε f ε f Pri urre fucţiile f o ε ε o f și f u celși doeiu de defiiţie celși codoeiu și iu vlori egle petru orice Rezultă că ceste trei fucţii sît egle: f o ε ε o f f Eerciţii propuse Să se precizeze doeiul de defiiţie l fucţiei f: D R: f ; f ; c f Să se deterie ulţie vlorilor fucţiei f: D R: f ; f ; c f Să se decidă dcă sît egle fucţiile f g: f : R R f g: Z R g ; f g ; c f g: D R f g 70

72 MODULUL Fucţii rele Proprietăţi fudetle Fie { 0 ± ± ± } {0 } f : f Să se defiescă fucţi f pritr-o digră Să se precizeze doeiul de defiiţie l fucţiei f: D R: f ; f ; c f ; d f { } [ ] 6 Să se deterie ulţie vlorilor fucţiei f: D R: f [ ]; f ; c f 7 Să se fle su produsul și copus f o g le fucţiilor f g: R R: f g ; f g ; c f g 8 Să se deterie copusele f o f f o f o f f o f o o f le fucţiei f: R R: ori f ; f 9 Să se reprezite fucţi Φ: R R su foră de copusă două fucţii diferite de cele idetice: 0 7 Φ ; Φ 0* Fie fucţiile f : g: M Pot fi restricţiile cestor fucţii l suulţie M fucţii egle? Să se de eeple Proprietăţile fudetle le fucţiilor rele Grficul fucţiei Defiiţie Se uește grficul fucţiei f: ulţie G f { f } Eeple Fie fucţi f : R R f Puctul prţie grficului fucţiei f fiidcă f ir puctul u prţie grficului cestei fucţii deorece f Reprezetre grfică e jută vizul să forulă cocluzii referitore l vriţi fucţiei De eeplu fie că depedeţ ditre uărul de feei di cele 7 de o uită îălţie și cestă îălţie este reprezettă grfic î figur Se oservă ușor că: feei cu sttur de 0 c sît puţie; odtă cu creștere îălţiii uărul lor crește pîă cîd îălţie juge l 6 c poi odtă cu creștere î cotiure îălţiii uărul feeilor de o uită sttură descrește Fig 7

73 Fucţii MODULUL rele Proprietăţi fudetle Zeroul fucţiei Este ie se cuoște puctele î cre grficul fucţiei f itersecteză O; î stfel de pucte fucţi pote să-și schie seul vlorilor sle ceste pucte se uesc zerourile fucţiei și se deteriă rezolvîd ecuţi f 0 Mootoi fucţiei Defiiţii Fucţi f: D E se uește crescătore descrescătore pe ulţie M M D dcă petru orice < M ve f f f f Fucţi f : D E se uește strict crescătore strict descrescătore pe ulţie M M D dcă petru orice < M ve f < f f > f Fucţi crescătore su descrescătore strict crescătore su strict descrescătore pe o ulţie se uește ootoă strict ootoă pe cestă ulţie reștere descreștere fucţiei pe o ulţie seifică fptul că vlorii i ri rguetului ce prţie cestei ulţii îi corespude vlore i re su eglă i ică su eglă fucţiei fig Geoetric creștere descreștere strictă uei fucţii pe u itervl se ilustreză stfel: l deplsre pe grficul fucţiei î sesul pozitiv l ei O se v efectu cocoitet o deplsre î sesul pozitiv egtiv l ei O dică î sus figur c î jos figur d O Grficul uei fucţii crescătore f f f f O Grficul uei fucţii descrescătore O c Grficul uei fucţii strict crescătore Fig O d Grficul uei fucţii strict descrescătore 7

74 MODULUL Fucţii rele Proprietăţi fudetle Proleă Să se rte că fucţi f : R R f c > 0 este strict descrescătore pe Rezolvre: c Se știe că f Di < < deci 0 < i cosecutiv oţie: < < 0 > > c c > su f > f Pri urre fucţi f este strict descrescătore pe log se eieză czurile > 0 < ; 0 și se oţie Teore Fucţi f : R R f c > 0 < 0 este strict crescătore descrescătore pe și strict descrescătore crescătore pe Pritte fucţiei Defiiţie Fucţi f : D R se uește pră ipră dcă: petru D ve D și f f f f petru orice D Eeple * * * Fucţi f : R R f R este ipră îtrucît: * petru R ve R și f f petru orice R Fucţi f : R R f este pră fiidcă f f petru orice R * Fucţi f : R R f c R u este ici pră ici ipră deorece f c și se v găsi o stfel de vlore 0 îcît f 0 ± f 0 de eeplu 0 7

75 Fucţii MODULUL rele Proprietăţi fudetle Este iportt să cuoște iterpretre geoetrică prităţii fucţiei Teore Grficul fucţiei pre este sietric fţă de O ir grficul fucţiei ipre este sietric fţă de origie O0 0 sisteului de e ortogole Deostrţie: Î z defiiţiei puctele M M sietrice fţă de O cocoitet prţi su u prţi grficului fucţiei pre f deorece f f fig ir puctele M M sietrice fţă de origie O0 0 cocoitet prţi su u prţi grficului fucţiei ipre f deorece f f fig f > 0 f f M M M f f O M f f O Grficul uei fucţii pre Grficul uei fucţii ipre Fig Eerciţiu rezolvt Să se studieze pritte fucţiei f : D R f Rezolvre: D f R u f f f f codiţi di defiiţie u se respectă deci fucţi f u este ici pră ici ipră Oservţie Orice fucţie f : D R l cărei doeiu de defiiţie D f D este sietric fţă de origie O0 0 pote fi reprezettă su for f h h ude h este o fucţie pră ir h este o fucţie ipră Îtr-devăr ceste sît fucţiile: h h: D f R h f f h f f Eerciţiu Deostrţi că h este o fucţie pră ir h este o fucţie ipră se vede oservţi 7

76 MODULUL Periodicitte fucţiei Fucţii rele Proprietăţi fudetle Vlorile fucţiei l cărei grfic este reprezett î figur se repetă l creștere rguetului cu : f f f f Z Despre coportre cestei fucţii pe R e pute d se știid coportre ei pe u itervl de lugie de eeplu pe [0 O Fig Defiiţie Fucţi f : D R se uește periodică dcă eistă u stfel de uăr rel T T 0 uit period fucţiei îcît: petru D ve ± T D; f ± T f petru orice D * Eerciţiu rătţi că uerele kt k Z de seee sît periode le uei fucţii periodice cu period T Eeplu osideră fucţi f : R [0 f { } ude {} este prte frcţioră uărului rel Orice uăr îtreg eul T este periodă cestei fucţii îtrucît { T} { } R Îtr-devăr î z proprietăţilor fucţiei [ ] oţie: f T { T} T [ T ] T [ ] T [ ] { } f Grficul cestei fucţii este reprezett î figur * Eerciţiu Deostrţi că orice uăr T Q este periodă fucţiei lui Dirichlet U di proleele jore petru fucţiile periodice este deterire periodei iie pozitive T 0 uită period priciplă deorece cuoscîd vlorile fucţiei pe u itervl [ T0 de lugie T 0 se vor cuoște vlorile î orice lte pucte di ulţie D f Îtr-devăr petru orice D f eistă k Z stfel îcît k T0 [ T0 și f f k T0 Eeple Period priciplă fucţiei f : R [0 f { } este T 0 Îtr-devăr orice T 0 < T < u este periodă cestei fucţii deorece eistă 0 < < stfel îcît 0 < T < < T Deci f < f T Fucţi f R u re periodă priciplă Oservţie Dcă fucţi f este strict ootoă pe u itervl ifiit eărgiit tuci e u este periodică 7

77 Fucţii MODULUL rele Proprietăţi fudetle 6 Etreele fucţiei Proleă U ferier oţiut dreptul de -și rc u lot eperietl de foră dreptughiulră ărgiit ditr-o prte de u cl rectiliiu de irigre Diesiuile lotului sît liitte de lugie p frîghiei cu cre el treuie să rcheze lotul di trei părţi Este firesc că ferierul vre să rcheze u lot de rie i posiilă Prieteii îi du sfturi cotrdictorii î priviţ diesiuilor lotului re este soluţi? Rezolvre: Petru soluţiore proleei vo epri ri lotului pri ărie lugiii lturii prlele cu clul: p p p 8 ude este lugie lturii perpediculre pe cl oţiut fucţi de grdul II defii- p p tă pri forul 0 p l cărei O p grfic reprezită o prolă cu rurile oriette î jos fig 6 e i re vlore fucţiei este Fig 6 p tisă î vîrful prolei cu scis 0 stfel fucţi p re i locl î puctul p Pri urre lugie lturii prlele p p cu clul este lugie lturii perpediculre pe cl este ir vlore iă p riei lotului este 8 p Și litic se pote răt că vlore iă riei lotului se oţie petru 0 p p p deorece petru orice 0 < < p ve 8 8 Defiiţie Se uește veciătte puctului orice itervl deschis de for V ε ε ε ε > 0 Itervlul se cosideră veciătte oricărui puct R Defiiţie Puctul se uește puct de i ii locl l fucţiei f : dcă eistă o veciătte V ε stfel îcît f f f f petru orice V I ε Puctele de i ii locl le fucţiei f se uesc pucte de etre locl le ei Dcă este puct de i ii locl l fucţiei f tuci vlore respectivă f se uește i ii locl l cestei fucţii Miurile iiurile locle 76

78 MODULUL le fucţiei se uesc etreele locle le cestei Î figur 7 este puct de ii locl ir sît pucte de i locl le fucţiei f Fucţii rele Proprietăţi fudetle f f Eerciţii rezolvte Să se rte că 0 este puct de i locl l fucţiei f : R R f c < 0 Fig 7 Rezolvre: Î puctul ve f ir petru orice ε ε este devărt 0 deci f f Pri urre 0 este puct de i locl petru f Să se rte că fucţi f : R R f re iiuri locle î puctele și i locl î puctul Rezolvre: Eplicit cestă fucţie se scrie stfel: 9 dcă ] U[ f 9 dcă u f f 0 și f 0 f f petru R deci și petru vlorile lui di orice veciătăţi le puctelor și rezultă că și sît pucte de ii locl le fucţiei f și i f 0 Eiă V ; o veciătte puctului Petru orice V ve f 9 9 f deci este puct de i locl l fucţiei f și f 9 Oservţie Fucţi strict ootoă pe u itervl u re etree pe cest itervl O f 7 Fucţii ijective Ivers uei fucţii Fucţii iversile Fie fucţiile: f : R R f ; g : R R g ; h: R R h S-r păre că fucţiile f g h se deoseesc puţi îsă ele u proprietăţi disticte iportte Petru fucţi f : eistă stfel îcît f f ; eistă eleete di codoeiu cre u u preigii î D f 77

79 Fucţii MODULUL rele Proprietăţi fudetle Petru fucţi g: orice eleet di codoeiu re preigie î Dg Petru fucţi h: orice eleet di codoeiu re preigie î D h și dor o uică preigie Defiiţie Fucţi iplică f : se uește fucţie ijectivă dcă f f ltfel zis eleetele di pot ve u i ult decît o preigie î Defiiţie Fucţi f : se uește fucţie surjectivă dcă petru orice di eistă di stfel îcît f ltfel zis fiecre eleet di re cel puţi o preigie î Defiiţie Fucţi și surjectivă Eeple f : se uește fucţie ijectivă dcă e este ijectivă Fucţi f u este ici ijectivă ici surjectivă Fucţi g este surjectivă: orice R re două preigii: și ; g g E îsă u este ijectivă fiidcă 0 dr g g Fucţi h este surjectivă și ijectivă: u eistă stfel îcît h h fiidcă di h h dică rezultă că stfel h este ijectivă Fucţiile ijective f : u o propriette deoseită: fiecărui eleet î od uic îi corespude u eleet f și ivers fiecărui eleet îi corespude u uic eleet stfel îcît f f Deci se pote defii fucţi g: : g f stfel dcă fucţi f trseză căi de l l tuci fucţi g trseză căi de l l iverse celor trste de f Dcă ulţiile și sît fiite tuci relţi pote fi reprezettă cu jutorul digrelor fig 8 g Fig 8 Defiiţie Fucţi g: se uește ivers fucţiei f : dcă g f Ivers fucţiei f se oteză cu f Evidet fucţi f este ivers fucţiei Fucţiile f și f se uesc fucţii iverse Nu cofudţi f cu! f f Defiiţie Fucţi cre posedă fucţie iversă se uește fucţie iversilă 78

80 MODULUL Fucţii rele Proprietăţi fudetle Eiîd copuere fucţiilor f g o o f : g: î codiţiile oţie: g f g f ; f g f g Folosid fucţiile idetice ε ε le ulţiilor și scrie relţiile stfel: f o g ε g o f ε Di cest otiv fucţi g ottă f este iversă petru f și respectiv fucţi f ottă g este iversă petru g Dcă fucţi f : este defiită pritr-o forulă tuci iversilitte precu și ivers ei pot fi deterite ţiîd cot de î odul urător: di relţi f vriil se epriă pri și se oţie g; dcă cestă relţie sigură o eprire uic deterită lui pri tuci fucţi f este iversilă; schiîd locurile vriilelor și î forul g petru păstr otţiile cceptte oţie forul g cre defiește fucţi iversă g: petru fucţi f Eerciţiu rezolvt Să se deterie ivers fucţiei f : [ R f Rezolvre: Petru deteri ivers f : R [ di eglitte epriă vriil pri și oţie Vriil este uic deterită Schiîd locurile vriilelor și oţie dică f Pri urre ivers fucţiei f este f : R [ f Proprietăţi le fucţiilor iverse f: și f : Ivers uei fucţii dcă eistă este uică D f E f D f E f Grficele fucţiilor f și f sît sietrice fţă de drept de ecuţie ele fucţii f și f cocoitet sît strict crescătore su strict descrescătore Eeplu Î figur 9 sît reprezette grficele fucţiilor iverse f : [ R O f și f : R [ f sietrice fţă de drept de ecuţie Fig 9 79

81 Fucţii MODULUL rele Proprietăţi fudetle 8 Fucţii ărgiite Defiiţii Fucţi f : se uește ărgiită iferior ărgiită superior dcă eistă u stfel de uăr rel M uit iort jort îcît petru orice este devărtă ieglitte f f M Fucţi ărgiită iferior și superior se uește fucţie ărgiită Eerciţiu rezolvt Să se rte că: fucţi f : R R f c > 0 este ărgiită iferior dr u este ărgiită superior; fucţi f : R R f este ărgiită Rezolvre: c f c tuci f fiidcă 0 c petru orice R Deci fucţi f este ărgiită iferior de uărul Petru răt că fucţi f u este ărgiită superior eiă ecuţi f t cu pretrul t : f t t Ulti ecuţie re soluţii îtrucît erul drept i vlori eegtive petru vlori oricît de ri le lui t stfel fucţi f pote lu vlori oricît de ri deci e u este ărgiită superior flă ulţie vlorilor fucţiei f dică flă vlorile pretrului t petru cre ecuţi f t re soluţii î Df t Fie t tuci t t t 0 t Ulti ecuţie t re soluţii dcă t [0 Pri urre E f [0 cest îseă că petru orice D f ve 0 f < și că fucţi f este ărgiită iferior de 0 și superior de dică este ărgiită Proprietăţile uor fucţii eleetre studite l trept gizilă precu și uele proprietăţi le cestor eite recet utilizre lor vor fi prezette î odulul 7 Eerciţii şi prolee propuse Să se deterie evetul utilizîd grficul itervlele de ootoie le fucţiei f : D R: f ; f ; c f Să se fle puctele de etre locl și etreele locle le fucţiei: f : R R f ; f : R R f 80

82 MODULUL Fucţii rele Proprietăţi fudetle Să se deterie zerourile fucţiilor di e Să se idetifice doeiul de defiiţie l fucţiei: f ; f ; c f Fie fucţi: f Să se descopere regul cre sociză fiecărui eleet di u eleet di și să se defiescă fucţi f î od litic 6 Să se deterie evetul utilizîd defiiţi ootoiei itervlele de ootoie le fucţiei f : D R: f ; f { } 7 Fucţiile f g: D R sît crescătore pe doeiul D Să se decidă cre di fucţiile f g f g f f f f f g o f de l D l R sît ootoe pe D 8 Fucţi f: D R este crescătore și pozitivă pe D Să se rte că: f este crescătore pe D; f este crescătore pe D; c este descrescătore pe D f 9 Să se fle etreele locle le fucţiei: f: R 0 f ; f: R R f 0 re di fucţiile f i : R R i f [ ] f { } f f {} sît periodice? Să se deterie periodele priciple le fucţiilor periodice Să se studieze pritte fucţiei f: D E: f ; f ; c f Să se deostreze că dcă f : R R este o fucţie periodică și g : R R este o fucţie orecre tuci copus g o f: R R este fucţie periodică Este cest devărt și petru fucţi f o g? Să se de eeple * Să se reprezite c suă două fucţii u pră și lt ipră fucţi f: D R: f ; f Să se deostreze că fucţi f este iversilă și să se deterie fucţi iversă respectivă: f: R R f ; f : R f R ; c f: R R f ; d * f: R\ {} R\ {} f * Fie fucţi f : R R f Să se decidă dcă fucţi f este ijectivă Să se deterie dcă este ijectivă fucţi f: M R f M [ restricţi lui f l M 8

83 Fucţii MODULUL rele Proprietăţi fudetle Eerciţii şi prolee recpitultive Să se fle Df Ef petru fucţi f defiită î od litic: f 0 ; f ; c f Petru fucţiile f di e să se deterie evetul utilizîd grficele itervlele i posiile pe cre ele sît crescătore descrescătore Fie ctitte de eergie electică cosută de l îceputul ului cledristic de către o îtrepridere tipul cre s- scurs de l îceputul ului re di grficele de i jos r pute reprezet depedeţ ditre și? c O O O Să se fle itervlele de se costt le fucţiei f : D R: f ; f ; c f 6 Să se deterie etreele locle le fucţiei f : R R: f ; f ; c f 6 6 Fie fucţiile f g Să se deterie su difereţ produsul și copusele f o g g o f le cestor fucţii 7 Să se studieze pritte fucţiei f : D R: f ; f ; c f 8 Să se reprezite su foră de fucţie copusă două fucţii diferite de cele idetice fucţi Φ: R R: 7 Φ ; Φ Proă de evlure Tip efectiv de lucru: de iute iteii idic]i liter cre corespude vritei corecte Doeiul de defiiţie l fucţiei f: D R f este ulţie 0 U [ 0 ] [ U D [ ] Fucţi f : R R f este strict ootoă pe uele di itervlele 0 Deteriţi itervlul de ootoie i posiil 8

84 MODULUL Fucţii rele Proprietăţi fudetle Deteriţi cre di puctele 0 sît pucte de etre locl le fucţiei f : R R f flţi etreele locle respective le fucţiei Deteriţi zerourile fucţiei f : D R f Grficul schetic l fucţiei f : D R f este D O 8 O O 6 Stiliţi itervlele de se costt le fucţiei f : D R f O iteii 6 idic]i liter cre corespude vritei corecte Doeiul de defiiţie l fucţiei f : D R f este ulţie 0 U [ 0 ] [ U D [ ] Reprezetţi fucţi h: R R h c o copusă două ditre fucţiile f i : R R i f f f f Fucţi f : R R f este strict ootoă pe uele di itervlele 0 Deteriţi itervlul de ootoie i posiil Deteriţi cre di puctele 0 sît pucte de etre locl le fucţiei f : R R f flţi etreele locle respective le fucţiei Grficul schetic l fucţiei f : D R f este D O O O O 6 Fucţi f : R R f este pră ipră ici pră ici ipră 7 Deteriţi itervlele de se costt le fucţiei f : R R f 8

85 Fucţii rele Proprietăţi fudetle triute le fucţiei Doeiul de defiiţie odoeiul ulţie vlorilor Zerourile Seele Etreele Grficul fucţiei Fucţii rele Operţii Fucţii egle Su Produsul îtul Resticţi Prelugire etidere opuere fucţiilor Fucţi iversă Proprietăţi Pritte Mootoi Periodicitte Ijectivitte Surjectivitte ijectivitte Iversilitte MODULUL 8

86 MODULUL 6 Ecuţii Iecuţii Sistee Totlităţi Niic îtîplător u se îtîplă î viţ ostră eîtîplătore Î ceruri ecuţi e siplă? Dr ce-cîlceli i jos î furicre! Iuli Filip Oiective recuoștere și utilizre ecuţiilor iecuţiilor sisteelor totlităţilor î diverse situţii; plicre teriologiei ferete oţiuilor ecuţie iecuţie siste totlitte î diverse cotete; utilizre relţiilor de echivleţă l rezolvre ecuţiilor iecuţiilor sisteelor totlităţilor; plicre oţiuilor ecuţie iecuţie siste totlitte î situţii rele și/su odelte Ecuţii Recpitulre şi copletări Noţiue de ecuţie Să iti uele oţiui ecesre petru rezolvre î R ecuţiilor Defiiţii Eglitte de for ude sît epresii î cre pre ecuoscut se uește ecuţie cu o ecuoscută Se uește soluţie ecuţiei cu o ecuoscută vlore ecuoscutei cre trsforă cestă ecuţie îtr-o eglitte uerică devărtă Mulţie vlorilor ecuoscutei ecuoscutelor petru cre u ses tote epresiile di ecuţie se uește doeiul vlorilor disiile DV l cestei ecuţii Mulţie de uere î cre se cută soluţiile uei ecuţii de regulă se precizeză î euţul proleei î joritte czurilor cestă ulţie este DV rezolv o ecuţie îseă găsi tote soluţiile ei î ulţie de uere idictă Vo ot cu S ulţie soluţiilor ecuţiei Oservţie Soluţii le ecuţiei pot fi ui cele vlori le ecuoscutei ecuoscutelor cre prţi DV l ecuţiei de cee de regulă rezolvre ecuţiei îcepe cu deterire DV 8

87 6 Ecuţii MODULUL Iecuţii Sistee Totlităţi Meţioă că ecuţi u re soluţii dcă DV l ei este ulţie vidă Defiiţie Două ecuţii se uesc echivlete dcă ulţiile soluţiilor lor sît egle Echivleţ ecuţiilor şi se oteză cu siolul stfel: Oservţie Dcă ecuţiile echivlete se rezolvă îtr-o ulţie M tuci ele se uesc echivlete î ulţie M Echivleţ ecuţiilor de regulă se v ei î DV l ecuţiei iiţile Î prticulr ecuţiile cre u u soluţii sît echivlete Defiiţie Fie ecuţiile și Ecuţi dou se uește coseciţă priei ecuţii dcă fiecre soluţie priei ecuţii este soluţie și ecuţiei dou Se oteză: Ecuţii rţiole P Epresi de for ude P Q sît polioe grdq se uește rţiolă Q Defiiţii Ecuţi E E ude E X E X sît polioe de o edeterită se uește ecuţie lgerică cu o ecuoscută Ecuţi E E ude epresiile E E sît rţiole su u di ele este lgerică și lt rţiolă se uește ecuţie rţiolă ecuţie cu ecuoscut l uitor lgoritul de rezolvre cestui tip de ecuţii este urătorul: se deteriă DV l ecuţiei; se trec toţi tereii î erul stîg l ecuţiei; se scrie erul stîg su for ; 0 se plică regul rportului ul: 0 0; se rezolvă ecuţi oţiută 0 ; se verifică dcă vlorile oţiute prţi DV; se scrie ulţie soluţiilor 86

88 6MODULUL Ecuţii Iecuţii Sistee Totlităţi Eerciţiu rezolvt Să se rezolve î R ecuţi 8 9 Rezolvre: DV: R \{ } 8 ve 0 9 duce erul stîg l celși uitor: 0 9 Oţie ecuţi 0 cu soluţiile Vlore u prţie DV deci e u este soluţie ecuţiei iiţile Răspus: S { } Eerciţii şi prolee propuse Se știe că lugie rîului Prut este cu 6 k i ică decît lugie rîului Nistru re este lugie fiecărui rîu dcă su lugiilor lor este de k? e porţiue di rîurile Prut și Nistru trverseză teritoriul Repulicii Moldov? Utilizţi hrt geogrfică Să se fle rădăciile rele le polioului PX: P X X ; X P X ; c P X X X Să se deterie zerourile fucţiei f : R R: f ; f ; c f Populţi uei culturi cteriologice î oetul de tip t 0 este de 00 de idivizi Peste h 0 i uărul lor crescut pîă l 00 de idivizi Să se eprie uărul de idivizi î fucţie de tip ăsurt î ore Să se fle peste cîte ore uărul de idivizi v devei egl cu 600 Să se rezolve î R ecuţi: 8 ; 8; c ; d ; e ; f ; g 8 0; h 0 0; i Perietrul uui triughi dreptughic este de 8 c ir ipoteuz lui este de 7 c Să se fle ri triughiului 7 U lot de păît de foră dreptughiulră cu ri de 080 fost îprejuit cu u grd de lugie 8 Să se fle lugie și lăţie lotului 8 O rcă cu otor prcurs 6 k pe u rîu î direcţi curetului de pă și 0 k pe u lc î h 0 i Să se deterie vitez ărcii dcă vitez pei este de k/h Prut Nistru 87

89 6 Ecuţii MODULUL Iecuţii Sistee Totlităţi 9 Să se copuă o ecuţie de grdul II cre re soluţiile: ; ; c 0 Îtr-o soluţie cre coţie 0 g de sre s-u turt 00 g de pă și stfel cocetrţi soluţiei s- icșort cu 0% e ctitte de pă coţie soluţi iiţilă și cre er cocetrţi ei? ofor grficului ou de circulţie utouzelor u utouz prcurge distţ de k cu 0 i i rpid Să se fle vitez edie cu cre se deplseză utouzul cofor oului grfic dcă se știe că e este cu 0 k/h i re decît vitez edie prevăzută de grficul precedet Să se copuă o ecuţie lgerică ce: re o uică soluţie; re trei soluţii disticte; c u re soluţii * Să se rezolve î R ecuţi: 7 7 0; 0 * Să se rezolve î R ecuţi * Să se rezolve î R ecuţi N R Sistee totlităţi de ecuţii Noţiue de siste de ecuţii Proleă L u prozr eru 00 t de crtofi și orcovi După ce s-u vîdut 0 t de crtofi și 0 t de orcovi crtofi u răs de trei ori i ulţi decît orcovi îte toe de crtofi și cîte toe de orcovi eru l îceput? Rezolvre: Fie uărul iiţil de toe de crtofi și uărul iiţil de toe de orcovi tuci cofor codiţiei proleei oţie sisteul de ecuţii cu două ecuoscute: cu soluţi 9; 907 Verificţi! Răspus: 9 t de crtofi și 907 t de orcovi Fie ecuţiile cu două ecuoscute E 0 E 0 Se cere să se fle soluţiile lor coue dică perechile ordote de vlori le ecuoscutelor cre stisfc fiecre di ecuţiile dte 88

90 6MODULUL Ecuţii Iecuţii Sistee Totlităţi Î seee czuri se spue că este dt u siste de două ecuţii cu două ecuoscute cest se scrie: E 0 E 0 Trtări siilre sît și petru sisteul de trei ptru etc ecuţii cu trei ptru etc ecuoscute Î cotiure vo studi și rezolv diverse tipuri de sistee de ecuţii Defiiţie Se uește soluţie sisteului de două trei ecuţii cu două trei ecuoscute pereche ordotă de vlori tripletul ordot c de vlori le ecuoscutelor cre este soluţie fiecărei ecuţii di sisteul dt cu lte cuvite cre trsforă fiecre ecuţie îtr-o eglitte uerică devărtă rezolv u siste de ecuţii îseă găsi tote soluţiile lui Mulţie soluţiilor uui siste de ecuţii ottă cu S este itersecţi ulţiilor soluţiilor ecuţiilor di siste U siste de ecuţii se uește coptiil dcă el re cel puţi o soluţie Sisteul cre re o ulţie fiită de soluţii se uește coptiil deterit ir cel cre dite o ifiitte de soluţii se uește coptiil edeterit U siste de ecuţii cre u re soluţii se uește icoptiil Rezolvre sisteului de ecuţii îcepe de regulă cu deterire doeiului vlorilor disiile DV l sisteului Doeiul de vlori disiile l sisteului de ecuţii este itersecţi doeiilor de vlori disiile le ecuţiilor sisteului Defiiţie Două sistee de ecuţii se uesc echivlete dcă ulţiile lor de soluţii sît egle Sisteele icoptiile sît echivlete Vo euer uele trsforări fudetle cre păstreză echivleţ sisteelor Fie o ulţie M î prticulr DV î cre ecuţiile sisteului u ses Schiîd ordie ecuţiilor uui siste oţie u siste echivlet cu cel iiţil î ulţie M Îlocuid o ecuţie sisteului pritr-o ecuţie echivletă cu cest oţie u siste echivlet cu cel iiţil î ulţie M Epriîd îtr-o ecuţie uui siste o ecuoscută pri celellte ecuoscute și sustituid cestă epresie î celellte ecuţii le sisteului oţie u siste lcătuit di ecuţi iiţilă și cele oi forte cre este echivlet cu cel iiţil î ulţie M Îlocuid o ecuţie uui siste cu o ecuţie cre se oţie î ur duării lgerice duării su scăderii ecuţiilor eru cu eru ecuţiei dte cu orice ltă ecuţie sisteului oţie u siste echivlet cu cel iiţil î ulţie M 89

91 6 Ecuţii MODULUL Iecuţii Sistee Totlităţi iti etodele priciple de rezolvre sisteelor de ecuţii: etod sustituţiei se vede trsforre echivletă III; etod reducerii ztă pe trsforre echivletă IV; c etod utilizării ecuoscutei ecuoscutelor uilire; d etod grfică Totlităţi de ecuţii sistee Proleă Să se rezolve î R ecuţi: 0 Rezolvre: DV: R U produs de doi su i ulţi fctori este egl cu zero dcă cel puţi uul di fctori este egl cu zero Pri urre oţie 0 su 0 su 0 șdr se pue prole de fl tote vlorile ecuoscutei cre stisfc cel puţi u di ceste ecuţii Î czul dt se spue că ve de rezolvt o totlitte de trei ecuţii cu o ecuoscută E se oteză: Fie ecuţiile E 0 și E 0 Dcă se cere să se fle tote vlorile ecuoscutei cre stisfc cel puţi u di ceste ecuţii tuci se spue că e dtă o totlitte E 0 de ecuţii și cest fpt se scrie stfel: su se pue seul ; ître ecuţii: E 0 E 0; E 0 Notţii siilre se folosesc petru totlităţi de trei ptru etc ecuţii și petru totlităţi de sistee de ecuţii Mulţie soluţiilor uei totlităţi de ecuţii sistee ottă cu S este reuiue ulţiilor soluţiilor ecuţiilor sisteelor di cestă totlitte Să rezolvă totlitte î DV l ecuţiei iiţile: 0 0 DV 0 DV 0 DV tuci S { 0 } este ulţie soluţiilor ecuţiei Prezetă îcă două trsforări echivlete cre păstreză echivleţ ecuţiilor: Ecuţi E E E 0 este echivletă î DV cu totlitte de ecuţii E 0 E 0 K E 0 Ecuţi E E este echivletă î DV cu totlitte de E E ecuţii E E 90

92 9 6MODULUL Ecuţii Iecuţii Sistee Totlităţi Oservţie Este iportt să sesiză că î czul î cre o ecuţie se reduce l o totlitte de ecuţii ulţie de soluţii ecuţiei dte este fortă ui di soluţiile totlităţii cre prţi DV l ecuţiei iiţile Î cotetul oţiuii totlitte de sistee de ecuţii l rezolvre sisteelor de ecuţii se plică și etod descopuerii De eeplu dcă o ecuţie sisteului este echivletă î DV l sisteului cu o totlitte de două trei etc ecuţii tuci sisteul dt este echivlet î DV l lui cu o totlitte de două trei etc sistee cre se oţi di cel iiţil pri îlocuire ecuţiei respective cu ecuţiile di totlitte Eerciţiu rezolvt Să se rezolve î R R sisteul de ecuţii 9 Rezolvre: ; 9 Răspus: S Sistee oogee de ecuţii Defiiţii Polioul PX Y U V de grdul î edeteritele X Y U V se uește polio ooge dcă petru orice siste de vlori uerice u v le edeteritelor și orice vlore uerică fită * R λ re loc idetitte: v u P v u P λ λ λ λ λ Ecuţi lgerică 0 v u P se uește ecuţie oogeă de grdul dcă polioul PX Y U V este u polio ooge de grdul Sisteul de două ecuţii lgerice cu două ecuoscute de for 0 0 d c R se uește siste ooge de grdul erii stîgi i elor ecuţii le sisteului sît polioe oogee de grdul Eerciţiu rezolvt Să se rezolve î R R sisteul de ecuţii Rezolvre: cest siste este ooge de grdul doi

93 6 Ecuţii MODULUL Iecuţii Sistee Totlităţi DV: R R Îulţi pri ecuţie cu poi duă ecuţiile și oţie sisteul 0 echivlet cu cel iiţil cre coţie o ecuţie oogeă Îpărţi pri ecuţie l 0 deorece 0 u este soluţie și oţie ecuţi de grdul II 0 cu soluţiile și Rezolvre sisteului iiţil se reduce l rezolvre totlităţii de sistee de ecuţii: ; Priul siste u re soluţii Verificţi! Sisteul l doile re soluţiile: 0 0; 0 0 Verificţi! Răspus: S { 0 0; 0 0} 9 Sistee sietrice de ecuţii Defiiţie Ecuţi cu două ecuoscute se uește sietrică dcă îlocuid cu și cu ecuţi u se odifică De eeplu ecuţiile și 0 sît sietrice Defiiţie Sisteul fort di ecuţii sietrice se uește siste sietric Oservţie Deorece ecuţiile cu două ecuoscute le uui siste sietric u se odifică l îlocuire lui cu su lui cu rezultă că dcă este soluţie sisteului sietric tuci de seee este o soluţie cestui siste Sisteul sietric cu două ecuoscute pote fi rezolvt pri etod utilizării ecuoscutelor uilire Eerciţiu rezolvt Să se rezolve î R R sisteul Rezolvre: cest siste este sietric Fie u Oţie sisteul v u v u v Sustituid u v î pri ecuţie oţie ecuţi v v 0 cu soluţiile v v tuci u u Rezolvre sisteului iiţil se reduce l rezolvre totlităţii de două sistee de ecuţii: ;

94 6MODULUL Ecuţii Iecuţii Sistee Totlităţi ele sistee sît icoptiile î R R; deci sisteul iiţil u re soluţii Răspus: S Oservţie Rezolvre sisteelor oogee de ecuţii și sisteelor sietrice de ecuţii se reduce de regulă l rezolvre totlităţilor de sistee Eerciţii şi prolee propuse Să se stilescă dcă sît echivlete sisteele: 0 0 și 6 6; 0 0 și Să se rezolve î R R sisteul de ecuţii: 8 0 0; c ; d ; 8 Să se rezolve pri etod descopuerii sisteul: 9; c 6; 0 Să se rezolve î R ecuţi 6 0 Să se rezolve prole pri copuere uui siste de ecuţii Ditr-u port s-u porit cocoitet două ve: u spre sud ir celltă spre est deplsîdu-se rectiliiu și uifor Peste două ore distţ ditre ele er de 60 k Să se fle vitez fiecărei ve dcă se știe că vitez priei ve este cu 6 k/h i re decît vitez vei dou 6 Petru ciete și ule s-u plătit 0 lei ir petru ciete și 0 ule 60 lei L ce preţ se vîd ulele și cietele? 7 Dcă îtr-o slă se șză cîte persoe l o să răî ese liere ir dcă se șză cîte persoe răî persoe fără locuri îte ese și cîte persoe sît î slă? 8 Doi ucitori lucrîd îpreuă eecută o codă î zile Dcă o juătte di cestă codă este îdepliită de u ucitor ir dou juătte de celăllt ucitor tuci totă cod este eecuttă î de zile Î cîte zile pote eecut itegrl cod fiecre ucitor prte? 9 Două echipe de elevi lucrîd îpreuă pot strîge rod de pe u lot eperietl î zile Î cîte zile r fce cest lucru fiecre echipă prte dcă u di ele r strîge recolt cu 6 zile i repede decît celltă echipă? 0 Să se rezolve î R ecuţi: 0 9

95 6 Ecuţii Iecuţii Sistee Totlităţi MODULUL Să se rezolve î R R sisteul ooge de ecuţii: ; 0 ; c 7 Să se rezolve î R R sisteul sietric de ecuţii: ; ; Propueţi cîtev etode de rezolvre sisteului c Să se rezolve î R R sisteul de ecuţii: 0 6 0; ; d e 7 ; 8 ; c c 6 8 ; f 0 Să se rezolve prole pri copuere uui siste de ecuţii: Două uzie treuie să producă îtr-o luă cofor plului 60 de piese Pri uziă îdepliit plul cu % ir dou cu 0% ele uzie u produs î totl 00 de piese îte piese produs fiecre uziă peste pl? L o uziă petru produce u otor electric de tip se folosesc kg de cupru și kg de plu ir petru produce u otor electric de tip kg de cupru și kg de plu îte otore de fiecre tip u fost produse dcă s-u folosit î totl 0 kg de cupru și 80 kg de plu? Să se copuă u siste o totlitte de ecuţii cre: re o uică soluţie; re o ifiitte de soluţii; c re soluţi ; d u re soluţii 6 L rdere î eces oigeului cu 0 g estec de etol și etol se oţi 0896 l de dioid de cro IV clcult î codiţii orle Să se deterie copoziţi ctittivă estecului î uităţi de să Să se rezolve prole pri copuere uui siste de ecuţii Să se rezolve prole cu jutorul ecuţiei 7 * Să se rezolve î R R și să se discute după pretrii reli c sisteul: c ; 0; z z c c > 0 9

96 6MODULUL Iecuţii cu o ecuoscută Recpitulre şi copletări Noţiue de iecuţie Ecuţii Iecuţii Sistee Totlităţi Proleă Îălţie l cre juge o ige ructă verticl î sus se clculeză cofor forulei h t t t ude h se ăsoră î etri ir t este tipul ăsurt î secude cosidert di oetul rucării îte secude se v fl ige l îălţie u i ică decît 6? Rezolvre: Petru răspude l îtrere treuie să flă itervlul de tip petru cre h t 6 stfel rezolvă iecuţi t t 6 su iecuţi t t 0 Oţie t [0; ] Verificţi! tuci ărie itervlului de tip este 0 6 secude Răspus: 6 secude Defiiţie Iecuţie cu o ecuoscută se uește ieglitte ce coţie o ecuoscută For geerlă uei iecuţii ici și î cotiure cu o ecuoscută este f > g su f < g su f g su f g ude f g sît epresii tetice Defiiţii Mulţie vlorilor ecuoscutei petru cre u ses eistă tote epresiile iecuţiei se uește doeiul vlorilor disiile DV l cestei iecuţii Nuărul se uește soluţie iecuţiei cu o ecuoscută dcă el trsforă iecuţi îtr-o ieglitte uerică devărtă îtr-o propoziţie devărtă rezolv o iecuţie cu o ecuoscută îseă deteri tote soluţiile ei Vo ot cu S ulţie soluţiilor iecuţiei Defiiţie Două iecuţii cu o ecuoscută se uesc echivlete dcă ulţiile soluţiilor lor sît egle Iecuţiile cu o ecuoscută cre u u soluţii sît echivlete L rezolvre iecuţiilor este util să cuoște cele i iportte trsforări echivlete: f > g f g > 0; f > g g < f ; f > g f > g petru R > 0; 9

97 6 Ecuţii MODULUL Iecuţii Sistee Totlităţi f > g f < g petru R < 0; f > g f > g f > g N f 0 g 0 și uăr turl; f > g f > g f > g N petru uăr turl ipr firţii siilre sît devărte și petru iecuţiile de tipul f g f < g f g teţie! Deorece l rezolvre iecuţiilor verificre î czul uui uăr ifiit de soluţii este prctic iposiilă v fi i eficiet să u dite trsforări cre coduc l oţiere soluţiilor străie su l pierdere soluţiilor Pri urre trsforările efectute treuie să fie echivlete Eerciţiu Forulţi verl trsforările echivlete I VI Iecuţii rţiole Metod itervlelor de rezolvre iecuţiilor cu o ecuoscută P P P P Defiiţie Iecuţiile de tipul > 0 0 < 0 0 ude PX Q Q Q Q QX sît polioe î edeterit X grdq X se uesc iecuţii rţiole Iecuţiile rţiole pot fi rezolvte pri diferite etode P osiderre seului cîtului Q P De eeplu petru iecuţi > 0 ve de rezolvt o totlitte de două sistee Q de iecuţii oţiuile de totlitte siste de iecuţii vor fi eite i jos: P > 0 P < 0 Q > 0; Q < 0 osiderre echivleţelor de tipul: P P > 0 P Q > 0; P Q 0 0 Q Q Q 0 O etodă eficietă de rezolvre iecuţiilor rţiole este etod itervlelor Fie fucţi f defiită pri forul f ude de eeplu c d 96

98 6MODULUL Ecuţii Iecuţii Sistee Totlităţi < < c < d și c d R Dcă > d tuci fiecre di fctorii c d este pozitiv deci pe itervlul d ve f > 0 Dcă c < < d tuci d < 0 ir ceillţi fctori sît pozitivi Rezultă că f < 0 pe itervlul c d Î od log pe itervlul c ve f > 0 fig 6 Se spue că î puctul c fucţi f își schiă c d seul Fig 6 Siilr ve petru puctele d fig 6 Schire seului fucţiei f pote fi reprezettă grfic pri cur seelor fig 6 cre c d se costruiește de l drept spre stîg îcepîd cu Fig 6 itervlul di drept Reprezetre di figur 6 se iterpreteză stfel: pe itervlele ude cur seelor e sitută i sus de uerelor este devărtă ieglitte f > 0 ir pe itervlele ude cur seelor este sitută i jos de uerelor ve f < 0 ceste rţioete u depid de uărul de fctori de grdul îtîi ce pr l uărător și uitor ici de plsre reciprocă zerourilor uărătorului și uitorului De cee ceste rţioete sît devărte și petru fucţi f defiită pri forul f ude sît uere rele disticte Petru cestă fucţie de seee se v costrui cur seelor Oservţie L plicre etodei itervlelor este iportt să ţie cot de urătorele: ui î czul î cre fucţi este de tipul dică toţi coeficieţii ecuoscutei sît egli cu și tote uerele sît disticte cur seelor se costruiește îcepîd cu itervlul di drept situîdu-se desupr ei uerelor Î celellte czuri seul fucţiei pe fiecre itervl se v deteri pri vlori de cotrol sustituite î forul ce defiește fucţi iiţilă L rezolvre iecuţiilor rţiole pri etod itervlelor vo proced cofor urătorului lgorit: pri trsforări echivlete duce iecuţi iiţilă l o iecuţie cu erul drept egl cu 0 l cărei eru stîg este o epresie de tipul ; deteriă fucţi f și flă zerourile uărătorului; deteriă vlorile î cre fucţi f u este defiită zerourile uitorului; zerourile uărătorului și uitorului divizeză uerelor î cz geerl DV l iecuţiei iiţile î itervle; costrui cur seelor ; selectă itervlele corespuzătore seului fucţiei f ; scrie răspusul 97

99 6 Ecuţii MODULUL t t Iecuţii Sistee Totlităţi Î czul î cre î uele di uerele sît egle dică i k for k kt * f c c c k k k Z l costruire curei seelor plică urătore regulă: * - dcă k i i { t t N } este uăr pr tuci l trecere peste zeroul c i seul fucţiei f u se schiă; * - dcă k i i { t t N } este uăr ipr tuci l trecere peste zeroul c i seul fucţiei f se schiă î opus Eerciţiu rezolvt Să se rezolve î R iecuţi 0 6 Rezolvre: Trsforă erul stîg l iecuţiei și oţie 0 Fie fucţi f defiită pri forul f Pri urre treuie să flă vlorile lui petru cre f 0 Zerourile uărătorului sît 0 ir le uitorului sît ochide că î 0 și fucţi f își schiă seul ir î și seul ei răîe eschit ur seelor este urătore: 0 Deci f 0 petru [ 0 U{ } Răspus: S { } U [0 Eerciţii şi prolee propuse Să se rezolve î R iecuţi: > 6 ; < ; 7 c ; d 6 6 Să se rezolve î R iecuţi: ; 0; c < 0; d 0; e U ferier vre să îgrădescă u ocol petru ile de for uui trpez isoscel Lturile eprlele le trpezului u lugie de 0 ir z re este de ori i lugă decît z ică e lugie treuie să iă z ică petru c lugie grdului să fie i re decît 0? 98

100 6MODULUL Ecuţii Iecuţii Sistee Totlităţi Să se deterie cre di propoziţiile urătore sît flse Depistţi greșel Dcă 6 tuci Dcă < tuci < c Dcă > tuci < d Dcă tuci Să se rezolve î R iecuţi: 7 0; > 0; c Să se copuă o iecuţie cu ecuoscut l uitor vîd ulţie soluţiilor: S [ ]; S 0]; c S ; d S R Sistee totlităţi de iecuţii cu o ecuoscută Recpitulre şi copletări Sistee de iecuţii cu o ecuoscută Să e iti ce este u siste de iecuţii cu o ecuoscută Fie două iecuţii > 0 și > 0 cu o ecuoscută Dcă se pue prole de deteri ulţie vlorilor ecuoscutei ce stisfc ele iecuţii tuci se spue că ve de rezolvt u siste de două iecuţii cu o ecuoscută Sisteul respectiv se oteză: > 0 > 0 Oservţii Fiecre iecuţie sisteului pote ve uul di seele: < Sisteul de iecuţii pote să coţiă două su i ulte iecuţii Defiiţie Orice vlore ecuoscutei cre stisfce tote iecuţiile sisteului se uește soluţie sisteului de iecuţii cu o ecuoscută rezolv u siste de iecuţii îseă deteri ulţie soluţiilor lui Mulţie soluţiilor uui siste de iecuţii cu o ecuoscută ottă cu S este itersecţi ulţiilor soluţiilor iecuţiilor cestui siste Defiiţie Două sistee de iecuţii cu o ecuoscută se uesc echivlete dcă ulţiile soluţiilor lor sît egle Sisteele de iecuţii cre u u soluţii sît echivlete Oservţie Sisteele echivlete de iecuţii ce se rezolvă pe o ulţie se uesc echivlete î cestă ulţie Eerciţii rezolvte Să se rezolve î R sisteul de iecuţii <

101 6 Ecuţii MODULUL Iecuţii Sistee Totlităţi Rezolvre: Deteriă DV l sisteului: R \{ } plică etod itervlelor și flă soluţiile priei iecuţii: stfel U Iecuţi dou re soluţiile Deostrţi! Răspus: S U Să se rezolve î R sisteul de iecuţii Rezolvre: 9 > 7 0 DV: R \ Soluţiile priei iecuţii sît Soluţiile iecuţiei dou sît Pri urre soluţiile sisteului sît I Răspus: S Totlităţi de iecuţii cu o ecuoscută Fie două iecuţii < 0 și < 0 cu o ecuoscută Dcă se pue prole de deteri ulţie vlorilor ecuoscutei stfel îcît fiecre vlore ecuoscutei să fie soluţie cel puţi uei ditre iecuţii tuci se spue că ve de rezolvt o totlitte de două iecuţii cu o ecuoscută Totlitte respectivă se oteză: < 0 < 0 Oservţii Fiecre iecuţie totlităţii pote ve uul di seele: > Totlitte de iecuţii pote să coţiă două su i ulte iecuţii Defiiţie Orice vlore ecuoscutei cre verifică cel puţi o iecuţie totlităţii se uește soluţie totlităţii de iecuţii cu o ecuoscută rezolv o totlitte de iecuţii îseă fl ulţie soluţiilor ei Mulţie soluţiilor uei totlităţi de iecuţii cu o ecuoscută ottă cu S este reuiue ulţiilor soluţiilor iecuţiilor cestei totlităţi 00

102 6MODULUL Ecuţii Iecuţii Sistee Totlităţi Defiiţie Două totlităţi de iecuţii cu o ecuoscută se uesc echivlete dcă ulţiile soluţiilor lor sît egle Totlităţile cre u u soluţii sît echivlete Eerciţiu rezolvt 9 > 7 Să se rezolve î R totlitte de iecuţii 0 Rezolvre: Pri iecuţie re soluţiile ir dou soluţiile Reuiue ulţiilor soluţiilor elor iecuţii este ulţie U Pri urre soluţiile totlităţii sît: Răspus: S Eerciţii şi prolee propuse Să se deterie dcă sît echivlete sisteele: 0 0 și > > 0; < 0 > 0 și 0 < 0 Să se rezolve î R iecuţi: 8; 0 < ; c < 0 Să se rezolve î R sisteul de iecuţii: c < ; 6 < 0; > Să se rezolve î R totlitte de iecuţii: 0 > 0 0 c 0 < ; 0; < 0 Să se fle vlorile lui R petru cre eistă triughiuri cu lturile de lugie 6 Să se rezolve î R sisteul de iecuţii: 0 > ; > 0 0; 6 c < 0

103 6 Ecuţii MODULUL Iecuţii Sistee Totlităţi 7 Să se rezolve î R iecuţi: 7 ; < 8 O rcă cu otor prcurs pe u rîu 0 k î direcţi curetului de pă și 6 k î ses cotrr Vitez pei este de k/h Î ce liite treuie să fie cuprisă vitez ărcii petru c totă călători să se îcdreze ître și ore? 9 Să se copuă u siste de iecuţii cu o ecuoscută cre re ulţie soluţiilor: S U{}; S { 0}; c S 0 * Să se rezolve î R sisteul de iecuţii: < 0; 8 0 < 0; < c 0 * 6 Să se rezolve î R iecuţi 0 Eerciţii şi prolee recpitultive Să se rezolve î R ecuţi: 8; 0 0 ; c 7 Să se trspuă î lij tetic poi să se rezolve prole: cu jutorul ecuţiei; pri siste de ecuţii Su două uere rele este Să se fle uerele dcă uul este cu 0 i re decît celăllt Difereţ două uere rele este Să se fle uerele dcă uul este de 0 ori i ic decît celăllt Î două prozre sît 0 t de ere Dcă s-r ut 60 t ditr-u prozr î celăllt ctităţile di cele două prozre r fi egle e ctitte de ere se flă î fiecre prozr? L o prcre sît otociclete cu două roţi și utoturise Î totl sît 8 de uităţi și 68 de roţi îte otociclete și cîte utoturise sît l prcre? Să se rezolve prole: pri etod flsei ipoteze; cu jutorul ecuţiei; c pri copuere uui siste de ecuţii 0

104 6MODULUL Ecuţii Iecuţii Sistee Totlităţi Se știe că puctele și prţi grficului fucţiei f : R R f Să se fle coordotele ltui puct cre de seee prţie grficului fucţiei f Sergiu re 7 i ir ttăl lui re 9 de i Să se fle cîţi i Sergiu v răîe i ic decît di vîrst ttălui 6 O societte pe cţiui re cţiori Procetele respective de prticipre cestor se rportă c :: Profitul societăţii î 0 costituit 0000 lei El fost îpărţit proporţiol cu procetul de prticipre e profit î lei priit fiecre cţior petru ul 0? 7 Să se fle uerele rele și dcă se știe că și 8 Să se deterie rădăciile rele le polioului: P X X X X ; Q X X X X 9 Dcă vo îulţi trioul X X cu trioul X X tuci vo oţie u polio de grdul ptru î cre coeficietul lui X este 8 ir coeficietul lui X este Să se fle și 0 Să se fle vlore de devăr propoziţiei: 0 0; Să se rezolve î R ecuţi: ; Să se rezolve î R R sisteul de ecuţii: 6 ; ; < 0 < 0 8 c 6 Să se rezolve î R R sisteul de ecuţii: ; Petru cre vlori rele le lui sisteul de ecuţii re o uică soluţie; re două soluţii; c este icoptiil? Să se deostreze că petru orice R: 0 > 7 ; > 6 6 U di lturile uui dreptughi este cu 7 c i re decît celltă re pote fi lugie cestei lturi dcă ri dreptughiului este i ică decît 60 c? 0

105 6 Ecuţii MODULUL Iecuţii Sistee Totlităţi opletţi stfel îcît propoziţi oţiută să fie devărtă: Fie polioul P X X X Proă de evlure flţi rădăciile rele le polioului PX Tip efectiv de lucru: de iute Scrieţi u polio de grdul doi le cărui rădăcii sît opusele rădăciilor polioului PX Fie fucţi f : D R f flţi D f Deteriţi petru cre vlori rele le lui fucţi f i vlori eegtive U uchet de flori fort di llele și rcise costă lei ir u uchet fort di 6 llele și rcise l celși preţ costă 6 lei ît costă o lle și cît costă o rcisă? Rezolvţi î R R sisteul de ecuţii 0 Fie fucţi f : D R f flţi D f Reprezetţi grfic fucţi f Di stţiile și situte l o distţă de 600 k poresc cocoitet uul spre celăllt două treuri Peste 6 ore distţ ditre ele er de 60 k Dcă treul di r fi ieșit cu oră 0 i i devree decît cel di tuci treurile s-r fi îtîlit l ijlocul distţei ditre și flţi vitez fiecărui tre 0 Fie sisteul < 0 opletţi cu u uăr rel stfel îcît ulţie soluţiilor sisteului să fie eglă cu ulţie soluţiilor priei iecuţii Rezolvţi î R sisteul oţiut după copletre 0

106 6MODULUL Ecuţii Iecuţii Sistee Totlităţi Echivleţ Soluţii DV Soluţii Reuiue ulţiilor soluţiilor iecuţiilor Itersecţi ulţiilor soluţiilor iecuţiilor sisteelor Metode de rezolvre plicre forulelor Metod itervlelor Metod grfică Reducere l iecuţi Utilizre ecuoscutelor sisteul to- uilire tlitte echivletă Metod reducerii Utilizre ecuoscutelor Metod sustituţiei uilire 6 Descopuere î fctori lte 7 lte Itersecţi ulţiilor soluţiilor ecuţiilor Reuiue ulţiilor soluţiilor ecuţiilor sisteelor Totlităţi de iecuţii sistee Sistee de iecuţii Sistee de ecuţii Totlităţi de ecuţii sistee Ecuţii Iecuţii rţiole de grdul I rţiole ș 0 I Iecuţii > 0 ude I Ecuţii 0 ude X X polioe I Iecuţii > 0 0 < 0 0 Eeplu: < X X polioe Eeple: 0 Eeplu: > II Sistee totlităţi Eeple: 0; lgerice I Ecuţii: 0 0 c 0 0 c d 0 ș Eeple: 0; 6 0 ; 0 II Sistee totlităţi c ș 0 0 > > > II Sistee totlităţi Eeple: II Sistee totlităţi 0; 0 c ; c Echivleţ 0 < 0 0 > 7 6 oogee sietrice 0 < I Ecuţii Eeple: I Ecuţii Eeple: 0 > 0; II Sistee oogee de ecuţii 0; lte ecuţii iecuţii sistee totlităţi II Sistee sietrice de ecuţii Eeple: 0 ; 0 ; Ecuţii iecuţii cu odul Ecuţii iecuţii cu pretru 0

107 MODULUL 7 Fucţii eleetre Ecuţii Iecuţii ee ce cuoște este pre puţi ee ce u ști este ies Lplce Oiective recuoștere fucţiilor ecuţiilor iecuţiilor sisteelor totlităţilor studite î diverse cotete; plicre fucţiilor studite și proprietăţilor cestor î rezolvări de prolee di diverse doeii; clsificre ecuţiilor iecuţiilor sisteelor totlităţilor după diverse criterii; rezolvre ecuţiilor iecuţiilor sisteelor totlităţilor pri etode decvte; odelre uor situţii cotidiee și/su di diverse doeii cu jutorul fucţiilor ecuţiilor iecuţiilor sisteelor studite Fucţi de grdul I Ecuţii de grdul I Iecuţii de grdul I Fucţi de grdul I Proleă O firă de ti di uicipiul hișiău plică urătorele trife: - l porire lei - cursele î rz orșului lei/k - cursele î fr orșului lei/k Să se scrie forul ce deteriă depedeţ ditre costul l călătoriei î rz orșului și distţ prcursă cu tiul Este ore cestă depedeţă fucţiolă? e tip de fucţie ve? c Să se clculeze costul călătoriei cu tiul cuplului Petrescu de l doiciliu pîă î cetrul orșului dcă distţ este de 0 k d Este ore suficietă su de 0 lei petru chit călători cu tiul de l hișiău pîă l ălţi distţ ditre orșe fiid de 0 k? 06

108 7MODULUL Fucţii eleetre Ecuţii Iecuţii Rezolvre: rguetţi! * f : N R f fucţie de grdul I rguetţi! c u 0 oţie 0 66 lei * d ve g: N R g Deorece 0 deteriă că su de 0 lei u este suficietă Verificţi! Defiiţie Se uește fucţie de grdul I fucţi de for f : R R f R 0 Fucţi de grdul I posedă urătorele proprietăţi: D f R Grficul fucţiei f itersecteză O î puctul 0 ir O î puctul 0 Zeroul fucţiei: 0 Dcă > 0 : f > 0 petru și f < 0 petru Dcă < 0 : f > 0 petru și f < 0 petru Fucţi este ipră dor dcă 0: f f Î lte czuri e u este ici pră ici ipră 6 Mootoi: Petru > 0 fucţi este strict crescătore pe R di < rezultă cosecutiv < < f < f Petru < 0 fucţi este strict descrescătore 7 Fucţi f u este periodică fiidcă e este strict ootoă pe u itervl eărgiit 8 Di celși otiv f u re etree locle 9 Fucţi f este ijectivă deci este iversilă 0 Grficul fucţiei este o dreptă Poziţi ei depide de seul ptei tgα : dcă > 0 tuci drept foreză u ughi scuţit cu sei pozitivă O de l O î ses opus ișcării celor de cesoric fig 7 ir dcă < 0 tuci cest ughi este otuz fig 7 > 0 O α O α < 0 Fig 7 07

109 7 Fucţii MODULUL eleetre Ecuţii Iecuţii Ecuţii de grdul I Iecuţii de grdul I Defiiţii Ecuţi de tipul 0 R se uește ecuţie liiră su ecuţie fiă Dcă 0 ecuţi liiră se uește ecuţie de grdul I cu o ecuoscută Sisteul de două ecuţii de grdul I cu două ecuoscute re for c c Soluţi sisteului este pereche ordotă de vlori le ecuoscutelor cre trsforă fiecre ecuţie sisteului îtr-o eglitte uerică devărtă iti etodele de rezolvre sisteelor de două ecuţii de grdul I cu două ecuoscute: etod sustituţiei; etod reducerii; etod grfică Defiiţie Iecuţiile de tipul < 0 0 > R se uesc iecuţii de grdul I cu o ecuoscută De regulă iecuţiile de grdul I se rezolvă pri efecture uor trsforări echivlete Eerciţiu rezolvt Să se rezolve î R iecuţi 6 0 Rezolvre: Grfic ulţie soluţiilor se reprezită stfel: Răspus: S [ Mulţie soluţiilor uui siste uei totlităţi de iecuţii de grdul I cu o ecuoscută este itersecţi reuiue ulţiilor soluţiilor iecuţiilor cestui siste cestei totlităţi 0 Eerciţiu rezolvt Să se rezolve î R: sisteul de iecuţii 6 > ; 6 totlitte de iecuţii > Rezolvre: 6 6 > < < < Răspus: S [ ; 6 > < Oţie: Răspus: S R 08

110 7MODULUL Ecuţii liire cu pretru Fucţii eleetre Ecuţii Iecuţii Fie F 0 o ecuţie cre coţie ecuoscutele și Dcă se pue prole de rezolv ecuţi cu ecuoscut petru fiecre vlore lui tuci F 0 se uește ecuţie cu ecuoscut și pretrul Eerciţiu rezolvt Să se rezolve î R ecuţi ude este pretru rel: ; 9 Rezolvre: Dcă 0 tuci oţie ecuţi 0 cre u re soluţii deci S Dcă 0 tuci oţie ecuţi de grdul I cu soluţi deci S Răspus: S petru 0; S petru R 9 Dcă tuci oţie ecuţi 0 0 deci S R Dcă tuci oţie ecuţi 0 6 deci S Dcă R \{ ± } tuci oţie ecuţi de grdul I cu soluţi deci S Răspus: S R petru ; S petru ; S petru R \{ ± } Eerciţii şi prolee propuse Să se rezolve î R ecuţi: 8; 0; c 6 Să se rezolve î R R pri trei etode sisteul de ecuţii: ; 0 Să se rezolve î R iecuţi: 9 > ; > 0 Fie fucţiile f g: R R f g 6 6 Să se fle zerourile fucţiilor f și g Să se deterie itervlele pe cre f 0; f < 0; g 0; g > 0 c Să se fle coordotele puctului de itersecţie grficelor G f și G g d Să se rezolve î R iecuţi f < g e Să se rezolve î R sisteul de iecuţii f 0 g > 0 09

111 7 Fucţii MODULUL eleetre Ecuţii Iecuţii Să se rezolve î R ecuţi: 6 0; Să se rezolve pri trei etode prole: de ucitori u priit petru o zi de lucru 600 lei Uii sît plătiţi cu 00 lei pe zi ir ceillţi de ori i ult îţi ucitori u priit cîte 00 lei? U zi de 7 hl pote fi uplut de două roiete î 7 ore Deitul pe oră l uui roiet este cu 90 l i re decît l celuillt re este deitul fiecărui roiet? 7 Să se idice îtr-u siste de e ortogole ulţie puctelor: le căror scise stisfc iecuţi: < < ; < 6; le căror ordote stisfc iecuţi: < < ; < 8 Să se rezolve î N ecuţi: P 0P ; 0 9 Petru cre vlori le pretrului rel ulţie soluţiilor ecuţiei 8 0 este: S {8}; S {}; c S ; d S? 0 Să se rezolve î R ecuţi ude este pretru rel: ; ; c ; d 0 Fie fucţiile f g: R R f g Să se deostreze că f este strict crescătore pe R ir g strict descrescătore pe R Să se deterie vlorile lui petru cre grficul G f este situt i sus decît grficul G g Petru cre vlori le pretrului rel sisteul de ecuţii 8 eegtive? re soluţii Să se rezolve prole: cu jutorul ecuţiei; pri copuere uui siste de ecuţii Distţ ditre două stţii este de 60 k U tre ccelert prcurge cestă distţă cu ore i repede decît u rfr deorece vitez cestui este cu k/h i re decît rfrului Să se fle vitez fiecărui tre 7 k k Să se rezolve î N iecuţi: > ; > U lij di cupru și cositor cu s de kg coţie % de cupru îte kilogre de cositor treuie de dăugt l cest lij petru oţie u lij ce coţie 0% de cupru? 6 ve două ctegorii de oţel: cu % de ichel și cu 0% de ichel e ctitte de oţel de fiecre di ceste ctegorii treuie să luă stfel îcît fiid retopite să oţie 0 t de oţel ce coţie 0% de ichel? 7 Să se rezolve î R ecuţi ude este pretru rel: ; 8 * Petru cre vlori le pretrului rel sisteul de ecuţii: este coptiil edeterit; este coptiil deterit; c este icoptiil?

112 7MODULUL Fucţii eleetre Ecuţii Iecuţii Fucţi de grdul II Ecuţii de grdul II Iecuţii de grdul II Fucţi de grdul II Defiiţie Fucţi f : R R f c c R 0 se uește fucţie de grdul II Fucţi de grdul II posedă urătorele proprietăţi: D f R Dcă c < 0 tuci grficul u itersecteză O ir dcă 0 ± tuci și grficul itersecteză O îtr-u puct su î două pucte Fie > 0 Dcă < 0 tuci f > 0 petru R Dcă 0 tuci f > 0 petru U și f < 0 petru Fie < 0 Dcă < 0 tuci f < 0 petru R Dcă 0 tuci f > 0 petru și f < 0 petru U Petru 0 fucţi este pră: f c f Î lte czuri e u este ici pră ici ipră Petru > 0 fucţi f este strict crescătore pe și strict descrescătore pe Petru < 0 fucţi f este strict descrescătore pe și strict crescătore pe se vede odulul teore 6 Fucţi f u este periodică fiidcă este ootoă pe u itervl ifiit eărgiit 7 Dcă > 0 tuci i f ir dcă < 0 tuci 0 este puct de i locl se vede odulul și 8 Fucţi f u este ijectivă 9 Grficul: > 0 < 0 0 > 0 O O O < 0 O > 0 O < 0 O 0

113 7 Fucţii MODULUL eleetre Ecuţii Iecuţii Ecuţii de grdul II cu o ecuoscută Defiiţie Ecuţi de tipul c 0 c R 0 se uește ecuţie de grdul II ir c se uesc coeficieţii ei Meţioă că soluţiile ecuţiei de grdul II sît scisele puctelor de itersecţie grficului fucţiei de grdul II socite cestei ecuţii cu O Eisteţ soluţiilor rele le ecuţiei de grdul II precu și uărul lor depid de seul discriitul c l cestei ecuţii Dcă < 0 ecuţi u re soluţii rele Pri urre S Dcă 0 ulţie soluţiilor coţie u uic eleet: Deci S Dcă > 0 ulţie soluţiilor ecuţiei coţie două eleete: stfel S Îpărţid ii eri i ecuţiei de grdul II c 0 c R 0 l oţie ecuţi de grdul II for redusă: p q 0 p q R Teore teore lui Viète Dcă sît soluţiile ecuţiei c 0 0 tuci c Dcă sît soluţiile ecuţiei p q 0 tuci p q Teore reciproc teoreei lui Viète Dcă uerele rele verifică relţiile tuci sît soluţiile ecuţiei ecuţiei Dcă uerele rele relţiile tuci verifică sît soluţiile Ecuţii de grdul II cu pretru Fie F 0 ecuţie de grdul II cre coţie ecuoscutele și Dcă se pue prole de rezolv ecuţi cu ecuoscut petru fiecre vlore lui tuci F 0 se uește ecuţie de grdul II cu ecuoscut și pretrul Eerciţiu rezolvt Să se rezolve î R și să se discute după pretrul R ecuţi: 0

114 7MODULUL Fucţii eleetre Ecuţii Iecuţii Rezolvre: liză situţi cîd coeficietul lui i vlore zero deorece î cest cz ecuţi iiţilă se trsforă îtr-o ecuţie de grdul I ve Petru oţie: 7 0 Petru deteriă vlorile lui stfel îcît discriitul ecuţiei să i vlore zero: 6 0 Dcă > tuci < 0 și ecuţi u re soluţii rele Dcă < și tuci > 0 și ecuţi re soluţiile Răspus: S {} petru ; S petru ; S petru U ; S {} petru Iterpretre geoetrică uor ecuţii de grdul II cu două ecuoscute Geoetric ulţie soluţiilor uei ecuţii cu două ecuoscute reprezită o ulţie de pucte îtr-u pl dott cu u siste de e ortogole For figurii respective depide de grdul ecuţiei și de structur ei ele i siple ecuţii de grdul II cu două ecuoscute și figurile deterite de ele sît reprezette î figur 7 u jutorul ecuţiilor cestor figuri pot fi rezolvte diferite prolee r r O r Fig 7 r c k k Prolee rezolvte O porţiue de dru se flă pe drept O porţiue de cle fertă re for hiperolei Dcă druul v fi costruit prelugit î cotiure v itersect el ore cle fertă? Rezolvre: Prole se reduce l deterire puctelor de itersecţie dreptei și hiperolei respective L rîdul său cest se reduce l stilire coptiilităţii sisteului de

115 7 Fucţii MODULUL eleetre Ecuţii Iecuţii ecuţii: Pri sustituţi lui î ecuţi dou oţie sisteul u ecuţi dou u re soluţii rele Verificţi! rezultă că și sisteul u re soluţii Deci druul prelugit rectiliiu u v itersect cle fertă Să se deterie rz și cetrul cercului tget l ele de coordote și l hiperol fig 7 Rezolvre: Di cosiderete de sietrie este clr că cetrul cercului se v fl pe drept de ecuţie deci coordotele lui vor fi cestă dreptă itersecteză hiperol î puctul le cărui coordote sît soluţie sisteului: O Fig 7 Oţie Oservă că u stisfce codiţi prole- ei etrul l cercului v stisfce codiţi: deci < Oţie stfel cetrul cercului este și rz lui este r Ecuţii ce coţi ecuoscut î odul Vo epue uele etode de rezolvre ecuţiilor ce coţi ecuoscut î odul plicre defiiţiei odulului 7 Eeplu Răspus: S { 7} Folosire relţiei f g f g Eeplu Răspus: S f g plicre relţiei f g f g 0 Eeplu 0 Răspus: S { } Utilizre ecuoscutei uilire Eeplu Să se rezolve î R ecuţi 0

116 7MODULUL Fucţii eleetre Ecuţii Iecuţii Rezolvre: DV: R Fie t t 0 Deorece oţie ecuţi t t 0 cu soluţiile t t Revei l ecuoscut și oţie: Răspus: S { } Metod itervlelor Eeplu Să se rezolve î R ecuţi Rezolvre: Deteriă DV: R flă zerourile epresiilor di odul: 0 0; 0 Zerourile oţiute divizeză uerelor î cz geerl DV l ecuţiei iiţile î itervlele ; [ ; 0 [0; : 0 Eplicită odulele pe fiecre itervl: ; ; ; 0 Rezolvă ecuţi pe fiecre itervl luîd î cosiderţie rezulttul eplicitării odulelor pe itervlul respectiv stfel eiă trei czuri Petru ve <0 0 Deci și oţie: șdr 0 u este soluţie ecuţiei iiţile Petru ve 0 0 și oţie: Pri urre 8 este o soluţie ecuţiei iiţile 7 c Petru ve 0 > 0 și oţie: 0 0 Deci u este soluţie ecuţiei iiţile 6 Răspusul reprezită reuiue ulţiilor soluţiilor oţiute î fiecre cz 8 Răspus: S 7

117 7 Fucţii MODULUL eleetre Ecuţii Iecuţii Metod grfică Eeplu Să se fle vlorile pretrului rel petru cre ecuţi re ect trei soluţii rele Rezolvre: ostrui grficul fucţiei f fig 7 Oservă că dor drept prlelă cu O de ecuţie re pucte coue cu grficul costruit stfel petru ecuţi iiţilă re ect trei soluţii rele G f O Fig 7 6 Iecuţii de grdul II cu o ecuoscută Defiiţie Iecuţiile de tipul c > 0 c 0 c < 0 c 0 c R 0 se uesc iecuţii de grdul II cu o ecuoscută Vo liz două etode de rezolvre cestor iecuţii plicre studiului fucţiei Fie fucţi f: R R f c c R 0 Î tel sît prezette ulţiile soluţiilor iecuţiei c > 0 0 î fucţie de seul coeficietului și l discriitului c ude 0 sît soluţii le ecuţiei c 0 0 Vlorile lui lui Mulţie soluţiilor iecuţiei c > 0 0 Seul fucţiei defiite pri f c 0 > 0 > 0 S U 0 S U < 0 S O O O 6

118 7MODULUL Fucţii eleetre Ecuţii Iecuţii > 0 S O < 0 0 S O < 0 S O Oservţie Mulţie soluţiilor iecuţiei c 0 0 se oţie pri reuiue ulţiii soluţiilor ecuţiei c 0 0 și ulţiii soluţiilor iecuţiei c > 0 De eeplu ulţie soluţiilor iecuţiei c 0 petru > 0 > 0 este S ] U[ Î od log oţie ulţiile soluţiilor celorllte iecuţii de grdul II Metod itervlelor Vo eplic plicre etodei itervlelor l rezolvre î R iecuţiei 7 0 Rezolvre: DV: R Soluţiile ecuţiei de grdul II 7 0 sît Descopue epresi 7 î fctori: 7 Pri urre oţiut iecuţi 0 echivletă cu ce iiţilă plicîd etod itervlelor costrui cur seelor : Pri urre [ ] Răspus: S [ ] 7 Iecuţii ce coţi ecuoscut î odul Vo ei uele etode de rezolvre iecuţiilor ce coţi ecuoscut î odul Iecuţi de tipul f g este echivletă î DV cu iecuţi dulă g f g dică cu sisteul f g f g Eeplu 9 Siilr petru seul < 7

119 7 Fucţii MODULUL eleetre Ecuţii Iecuţii Iecuţi de tipul f g î DV este echivletă cu totlitte f g f g Eeplu ] [ U Siilr petru seul > Utilizre ecuoscutei uilire Eeplu Să se rezolve î R iecuţi 0 Rezolvre: Fie t t 0 tuci oţie iecuţi t t 0 cu soluţiile t [ ] su t Revei l ecuoscut și oţie: Rezolvă pri iecuţie sisteului: 0] [ U 0 Petru iecuţi dou ve: [ ] 0 șdr soluţiile sisteului deci și le iecuţiei iiţile sît: [ 0] U[ ] Răspus: S [ 0] U[ ] Metod itervlelor lgoritul de plicre cestei etode este siilr cu cel plict l rezolvre ecuţiilor ce coţi ecuoscut î odul Eerciţii şi prolee propuse Să se rezolve iecuţi: 6 > 0; 0; c 0; d 7 > 8 Să se deterie itervlele î cre fucţi f : R R i vlori pozitive egtive: f ; f ; c f Să se deterie doeiul de defiiţie l fucţiei f : D R: f ; f ; c f 8

120 7MODULUL Fucţii eleetre Ecuţii Iecuţii O vă cosică este lstă cu vitez iiţilă de 00 /s Depedeţ ditre distţ prcursă de vă și tip este l etp iiţilă descrisă de fucţi h t 00t 9t e distţă prcurs v î priele 0 secude? Să se deterie lugiile lturilor uui dreptughi de rie iă dcă perietrul lui este de 0 c 6 Să se scrie ecuţi cercului de cetru tget l drept 7 Să se rezolve î R ecuţi: 8 ; ; c ; d ; e ; f 8 Să se rezolve î R iecuţi: ; ; c 6 > ; d 0; e 0; f < 6 9 Să se deterie puctele de etre locl și etreele locle le fucţiei f : R R: f ; f 0 O ige ructă î sus cu vitez iiţilă de 7 /s se v fl peste t secude l îălţie h t 7t 9t de l suprfţ păîtului Să se fle îălţie l cre se v fl ige peste s Peste cîte secude ige v căde pe păît? Să se deterie doeiul de defiiţie l fucţiei f : D R: f ; f ; 6 c f 9 ; d f Să se rezolve pri etod grfică și poi să se verifice litic soluţiile sisteului: c 6 8; 0; 6 6 Să se scrie ecuţi cercului ce trece pri puctele 0 0 și este tget l O Să se fle coordotele puctelor de itersecţie prolelor 6 și c Să se fle coordotele puctelor de itersecţie hiperolei și cercului Să se rezolve î R ecuţi: ; ; 9 c 8 Să se rezolve î R iecuţi: 9 8 ; > ; c ; d > 0; e 0; f > 0 6 Să se rezolve î R și să se discute după pretrul rel ecuţi: ; 9

121 7 Fucţii MODULUL eleetre Ecuţii Iecuţii 7 Să se deterie vlorile rele le lui stfel îcît iecuţi > 0 să u iă ici o soluţie î R 8 Să se deterie vlorile pretrului rel petru cre iecuţi > 0 este verifictă petru orice R 9 Să se deterie vlorile rele le lui stfel îcît iecuţi > 0 să fie verifictă petru orice < Să se fle vlorile rele le lui petru cre iecuţi < 7 u re soluţii pozitive * Petru fucţi f : ] ] f să se deterie f Fie cercul 9 Să se scrie ecuţi cercului cre trece pri origie sisteului de e ortogole pri puctul 0 și este tget l cercul iiţil * Să se deterie vlorile pretrului rel petru cre ulţie soluţiilor sisteului de iecuţii este R < * Petru cre vlori le pretrului rel orice soluţie iecuţiei < 0 este și soluţie iecuţiei < 0? Fucţi rdicl Fucţi putere Ecuţii irţiole Iecuţii irţiole Fucţi rdicl Defiiţie Se uesc fucţii rdicl fucţiile f : R R f și g: R R g N Eeple : R R f f : R R f și f Proprietăţile priciple le fucţiei rdicl D f R f : R R f Fucţi f re u uic zerou: 0 Puctul de itersecţie grficului G cu O este O0 0 f > 0 petru 0 ; f < 0 petru 0 Fucţi f este ipră: f f f D g R sît fucţii rdicl g: R R g Fucţi g re u uic zerou: 0 Puctul de itersecţie grficului cu O este O0 0 g > 0 petru 0 ; fucţi g u re vlori egtive Gg Fucţi g u este ici pră ici ipră deorece ulţie Dg u este sietrică fţă de O0 0 0

122 7MODULUL Fucţii eleetre Ecuţii Iecuţii Fucţi f este strict crescătore pe R rezultă di propriette 7 rdiclilor 6 Fucţi f u este periodică deorece este strict ootoă pe u itervl ifiit 7 Fucţi f u re etree locle fiidcă este strict ootoă pe u itervl ifiit 8 Fucţi f este ijectivă 9 Fucţi f este iversilă Ivers ei este f : R R f Fucţi g este strict crescătore pe R 6 Fucţi g u este periodică 7 Fucţi g u re etree locle 8 Fucţi g este ijectivă 9 Fucţi g este iversilă Ivers ei este g : R R g 0 Grficele fucţiilor rdicl f și g sît reprezette î figur 7 O O f : R R f N Fig 7 g : R R g N Fucţi putere cu epoet rel * * α * Defiiţie Fucţi f : R R f α R \{ } se uește fucţie putere cu epoet rel Proprietăţile priciple le fucţiei putere * Doeiul de defiiţie l fucţiei f este R fiidcă putere cu epoet rel se eieză ui petru o ză pozitivă Di proprietăţile puterii se oţie că fucţi f este strict crescătore dcă α > 0 ir * dcă α < 0 tuci f este strict descrescătore pe R Evidet fucţi f u este ici pră ici ipră Di cuz ootoiei pe D f f u este periodică u re etree locle Î fucţie de vlore epoetului grficul fucţiei putere pote ve u di forele reprezette î figur 76 c α < 0 0 < α < α > 0 O O Fig 76 O

123 7 Fucţii MODULUL eleetre Ecuţii Iecuţii Oservţie Fucţiile deterite de forulele f și g ude este uăr turl ipr sît diferite deorece sît diferite doeiile lor de defiiţie: * D f R ir D g R Eerciţii şi prolee propuse Să se deterie doeiul de defiiţie l fucţiei f: D R: f ; f Să se trseze grficele fucţiilor: f : R R f ; f : R R f Să se studieze pritte fucţiei f : R R: f ; f Să se deterie su și produsul fucţiilor f g: D R: f g ; f g Să se deterie doeiul de defiiţie și ulţie vlorilor fucţiei f : D R: f ; f ; c f 6 Folosid defiiţi ootoiei să se deterie itervlele de ootoie le fucţiei f : D R: f ; f ; c f ; d f 7 Să se rte că fucţi f : D E este iversilă și să se deterie ivers ei: f : R R f ; f : R R f ; c f : R R f 8 * Să se deterie su produsul și copus f o g le fucţiilor f g: R R: f g ; f g Ecuţii irţiole Proleă U ferier re două loturi seprte de păît de foră pătrtă ri uui este cu de ri i ică decît ri celuillt Să se fle ri fiecărui lot dcă se știe că petru le îgrădi coplet ferierul folosit u grd de 0 lugie Rezolvre: Fie ri priului lot tuci 00 este ri lotului l doile ofor codiţiei proleei oţie ecuţi 00 0 cestă ecuţie este irţiolă Vo ui ecuţie irţiolă o ecuţie î cre ecuoscut pre su rdicl su î z puterii cu epoet rţiol

124 7MODULUL Fucţii eleetre Ecuţii Iecuţii De eeplu ecuţiile 0 sît ecuţii irţiole Meţioă că l rezolvre ecuţiilor irţiole î ur efectuării uor trsforări pot să pră soluţii străie priţi lor pote fi cuztă de fptul că de eeplu petru * k k f g orice k N f g f g De cee petru ecuţi dtă f g pute oţie și soluţii străie ue soluţiile ecuţiei f g șdr î ur ridicării ilor eri i ecuţiei f g l o putere turlă pră pute oţie soluţii străie Eerciţiu rezolvt Să se rezolve î R ecuţi Rezolvre: Ridicîd l pătrt oţie 0 Deci 0 Pri verificre î ecuţi iiţilă e covige că este o soluţie ir 0 u este soluţie cestei ecuţii fiid soluţie ecuţiei Meţioă că dcă ii eri i ecuţiei f g iu vlori de celși * se petru fiecre DV tuci petru orice N ecuţiile f g și f g sît echivlete î DV L rezolvre ecuţiilor irţiole vo ţie cot de * Teore Petru orice N ecuţi f g este echivletă cu sisteul f g ir ecuţi g 0 f g este echivletă cu ecuţi f g Eerciţiu Deostrţi teore Eerciţiu rezolvt Să se rezolve î R ecuţi Rezolvre: 0 Răspus: S { 0} 0 0 Meţioă că ecuţiile f g și f g u celși DV De cee rezolvîd o ecuţie pri etod ridicării ilor eri l o putere turlă pră este ecesr de verific dcă soluţiile ecuţiei oţiute prţi DV l ecuţiei iiţile Soluţii străie pot păre de seee î ur efectuării uor sustituţii

125 7 Fucţii MODULUL eleetre Ecuţii Iecuţii Eerciţiu rezolvt Să se rezolve î R ecuţi Rezolvre: Ridică ii eri i ecuţiei l cu și oţie ecuţi 6 echivletă cu ce iiţilă Ţiîd cot de ecuţi îlocui epresi di prteze cu și oţie 7 Ridică l cu ii eri i ecuţiei 7 și oţie ecuţi 0 cu soluţiile 0 Pri verificre î ecuţi iiţilă e covige că este o soluţie ir 0 u este soluţie cestei ecuţii Răspus: S {} Ridicîd ii eri i ecuţiei l cu oţiut ecuţi 6 echivletă cu ce dtă Sustituţi epresiei străie cu codus îsă l priţi uei soluţii Oservţie Verificre soluţiilor este u lucru ecesr l rezolvre ecuţiilor irţiole î fră de czul î cre tote ecuţiile oţiute î procesul rezolvării sît echivlete î DV l ecuţiei iiţile O etodă geerlă de rezolvre ecuţiilor irţiole costă î trsforre lor î ecuţii sistee ce coţi tît ecuţii cît și iecuţii fără rdicli echivlete cu ecuţi irţiolă dtă Î ur plicării cestei etode verificre u este oligtorie Eerciţiu rezolvt Să se rezolve î R ecuţi Rezolvre: Răspus: S {} Ueori cestă etodă coplică procesul de rezolvre de cee î stfel de czuri se folosesc lte etode se plică teore su etodele descrise i jos Dcă deterire DV su codiţiei g 0 este i dificilă decît îsăși rezolvre ecuţiei dte u vo deteri DV și u vo rezolv iecuţi g 0 ci dor vo verific dcă soluţiile oţiute verifică ceste codiţii Ueori îsă cu deterire DV se îcheie rezolvre ecuţiei dte

126 7MODULUL Fucţii eleetre Ecuţii Iecuţii Eerciţiu rezolvt Să se rezolve î R ecuţi Rezolvre: 0 DV: 0 cest siste de iecuţii u re soluţii deci ecuţi iiţilă 0 u re soluţii Răspus: S Vo ei uele etode frecvet plicte l rezolvre ecuţiilor irţiole Metod ridicării ilor eri i ecuţiei l ceeși putere turlă Metod cest se plică de regulă l rezolvre ecuţiilor de tipul f g ; k k k k k k f ± g h ; f ± g h k N k Dej plict cestă etodă l rezolvre ecuţiei pgi Eeplu Să se rezolve î R ecuţi 8 Rezolvre: 0 flă DV: 0 Sepră u rdicl și pri ridicre l pătrt oţie se vede 8 8 Ridică l pătrt ii eri i ultiei ecuţii și oţie ecuţi cu soluţiile 0 8 Efectuă verificre deorece trsforările -u fost echivlete Vlorile DV Deci ele vlori pot fi soluţii le ecuţiei iiţile Pri verificre î ecuţi iiţilă e covige că 8 este o soluţie ir 0 u este soluţie ecuţiei iiţile Răspus: S {8} * Rezolvre ecuţiilor de tipul f k g 0 k N g 0; cestă ecuţie este echivletă î DV cu sisteul f 0 g 0 Eeplu Să se rezolve î R ecuţi 0 Rezolvre: Răspus: S { } 0

127 7 Fucţii MODULUL eleetre Ecuţii Iecuţii Metod utilizării ecuoscutelor uilire Utilizre uei ecuoscute uilire Ueori pri utilizre uei ecuoscute uilire ecuţiile irţiole se reduc l ecuţii fără rdicli Eeplu Să se rezolve î R ecuţi Rezolvre: DV: 0 Î DV 0 Fie t 0 Oţie ecuţi t t 0 cu soluţiile t t Deorece t < 0 rezolvă ui ecuţi cre re soluţiile 0 u trsforările efectute sît echivlete verificre u este ecesră Răspus: S { 0} Utilizre două ecuoscute uilire Petru rezolv uele ecuţii irţiole e i coveil de utiliz două ecuoscute uilire cest procedeu perite de reduce ecuţi irţiolă l u siste de ecuţii fără rdicli Eeplu Să se rezolve î R ecuţi 77 0 Rezolvre: 77 0 DV: [ 77 0] u Fie 8 tuci ecuţi iiţilă se trsforă î u v 0 v Petru oţie îcă o ecuţie cu ecuoscutele u și v ridică l putere ptr erii ecuţiilor sisteului 8 Oţie sisteul 77 u de ude u v 97 0 v stfel oţiut sisteul de ecuţii u v plicîd trsforările u v 97 u v u v u v [ u v uv] u v oţie soluţiile u su v u Verificţi! v Deci petru deteri soluţiile ecuţiei iiţile vo rezolv totlitte de sistee: 77 0 ;

128 7MODULUL Fucţii eleetre Ecuţii Iecuţii Priul siste re soluţi 6 ir sisteul l doile soluţi Pri verificre stili că ele vlori sît soluţii le ecuţiei iiţile Răspus: S {6 } Oservţie cestă etodă pote fi plictă l rezolvre ecuţiilor cre coţi doi rdicli Rezolvre ecuţiilor de tipul k f g * k N k cestă ecuţie cofor teoreei este echivletă cu ecuţi f g * petru orice k N Eeplu Să se rezolve î R ecuţi Rezolvre: 0 de ude Răspus: S { } Metode specile de rezolvre ecuţiilor irţiole Metod îulţirii ecuţiei cu cojugt epresiei ce reprezită uul ditre erii ecuţiei Eeplu Să se rezolve î R ecuţi 6 9 Rezolvre: Îulţid ecuţi 9 cu epresi ϕ 6 oţie duîd ecuţiile 9 și 0 oţie stfel 0 de ude Sustituid vlorile î ecuţi iiţilă e covige că ele sît soluţii le cestei Răspus: S { } Oservţie cestă etodă se plică de regulă l rezolvre ecuţiilor irţiole de tipul f ± g h Metod copletării pătrtului cuului etc suei su difereţei su rdicl Eeplu Să se rezolve î R ecuţi Rezolvre: DV: 0 [ deorece 7

129 7 Fucţii MODULUL eleetre Ecuţii Iecuţii Efectuîd trsforări echivlete î DV oţie: Sustituid t t 0 î ecuţi dtă oţie ecuţi t t t Rezolvîd ulti ecuţie pri etodele cuoscute ţiîd cot de sustituţi t t 0 și de DV oţie că soluţi ecuţiei iiţile este Răspus: S {} Oservţie Deseori ecuţi irţiolă pote fi rezolvtă pri i ulte etode Eperieţ vă v jut să legeţi etod ce i eficietă petru ecuţi dtă Eerciţii şi prolee propuse Să se rezolve î R ecuţi: ; 7; c ; d ; e 7 ; f 0 Să se rezolve î R ecuţi: 0; 0; c 0; d 6 0 Să se copleteze cu u uăr rel poi să se rezolve ecuţi oţiută: ; ; c 0 Să se deterie vlore de devăr propoziţiei Să se rezolve î R ecuţi: ; ; c 6 ; d ; e corespuzătore proleei de l îceputul secveţei și să se răspudă l îtrere proleei 6 Să se rezolve î R ecuţi: ; 6 7 ; c ; d 7 Să se rezolve î R ecuţi: 7 0; Utilizîd o ecuoscută uiliră să se rezolve î R ecuţi: 8 ; 6 0; c 0; d 9 ; e 6 8 8

130 7MODULUL Fucţii eleetre Ecuţii Iecuţii 9 Pri etod îulţirii cu cojugt uei epresii să se rezolve î R ecuţi: ; Utilizîd două ecuoscute uilire să se rezolve î R ecuţi: ; ; c 6 * plicîd o etodă cît i eficietă să se rezolve î R ecuţi: 0 0 7; 6; c ; d 8 6 ; e 9 7 ; f 6 * Să se rezolve î R ecuţi: ; Să se copuă o ecuţie irţiolă cre: u re soluţii; re o uică soluţie; c re două soluţii; d re ulţie soluţiilor itervlul de tipul [ ]; e re ulţie soluţiilor itervlul de tipul su Să se copuă o ecuţie irţiolă le cărei soluţii sît uerele și * Să se rezolve î R și să se discute după pretrul R ecuţi: ; Iecuţii irţiole Proleă Să se rezolve î R iecuţi 0 cestă iecuţie este irţiolă Vo ui iecuţie irţiolă o iecuţie î cre ecuoscut pre su rdicl su î z puterii cu epoet rţiol De eeplu iecuţiile 0 < sît iecuţii irţiole Iecuţiile irţiole se rezolvă plicîd procedee și etode siilre cu cele folosite l rezolvre ecuţiilor irţiole Oservţie Î procesul rezolvării iecuţiilor irţiole vo efectu trsforări echivlete luîd î cosiderţie urătorele firţii: Dcă este u uăr turl ipr tuci iecuţiile f < g și f < g sît echivlete Dcă fucţiile f și g sît eegtive îtr-o ulţie M ir este u uăr turl tuci iecuţiile f < g și f < g sît echivlete î ulţie M Dcă fucţiile f și g sît egtive îtr-o ulţie M ir este u uăr turl pr tuci iecuţiile f < g și f > g sît echivlete î ulţie M 9

131 0 MODULUL 7 Fucţii eleetre Ecuţii Iecuţii Epue etodele priciple de rezolvre uor tipuri de iecuţii irţiole Iecuţii irţiole de tipul g f < Î z proprietăţilor rdiclilor și le iecuţiilor < > < 0 0 g f f g g f Iecuţii irţiole de tipul g f > plicîd proprietăţile rdiclilor și le iecuţiilor oţie: > < > < > 0 0; g f g f g g f f g f g g f Oservţie Di sisteul l doile fost eclusă iecuţi 0 f deorece e rezultă di iecuţi trei cestui siste Eeplu Să se rezolve î R iecuţi > Rezolvre: [ > < > Răspus: S Iecuţii irţiole de tipul g f Î z proprietăţilor rdiclilor și le iecuţiilor 0 0 g f f g g f Eeplu Să se rezolve î R iecuţi Rezolvre: 0 0 Răspus: S

132 7MODULUL Fucţii eleetre Ecuţii Iecuţii Oservţie Î uele czuri este i eficiet să folosi totlitte ită f g echivletă cu iecuţi iiţilă f < g Iecuţii irţiole de tipul f g Î z proprietăţilor rdiclilor și le iecuţiilor f 0 f 0 g < 0 g < 0; f g f 0 g 0 g 0 f g f g f g Oservţie Ueori este i eficiet să utiliză totlitte ită f > g echivletă cu iecuţi iiţilă L rezolvre iecuţiilor irţiole vo plic celeși etode c și l rezolvre ecuţiilor irţiole: ridicre iecuţiei l o putere turlă utilizre ecuoscutelor uilire copletre pătrtului cuului suei su difereţei su seul rdiclului etc Eeple Să se rezolve î R iecuţi Rezolvre: DV: [ Iecuţi iiţilă este echivletă cu iecuţi ii eri i cestei iecuţii sît eegtivi î DV deci ridică l pătrt și oţie iecuţi echivletă 0 0 [ 0 Luîd î cosiderţie DV oţie soluţiile [ le iecuţiei iiţile Răspus: S [ Să se rezolve î R iecuţi 7 6 > Rezolvre: DV: [ Fie t t 0 tuci t Oţie: t t t 6t 9 > t t > Iecuţi t t > este echivletă cu totlitte sisteelor t < t t > ; t < t t > ; t t t >

133 7 Fucţii MODULUL eleetre Ecuţii Iecuţii Priul siste u re soluţii Sisteul l doile re soluţiile t ir sisteul l treile re soluţiile t [ Reveid l ecuoscut și l DV oţie sisteul > Soluţiile cestui siste deci și le iecuţiei iiţile sît 6 Răspus: S 6 Eerciţii şi prolee propuse Să se rezolve î R iecuţi: > ; ; c ; d ; e ; f > 0 > ; < ; c 6 ; d ; e ; f 8 0; 9 8 0; 6 c 0 ; > ; c 6; d 0 ; < ; c < 6 ; 6 9 > ; c t 9t 6t t; d 7 > ; 7 ; 8 * Să se rezolve î R și să se discute după pretrul R iecuţi: c 7 > ; < ; c 9 Să se copleteze cu u uăr rel poi să se rezolve î R iecuţi oţiută: ; < ; c > 0 Să se rezolve iecuţi propusă l îceputul secveţei Să se copuă o iecuţie irţiolă cre î R: re o uică soluţie; re două soluţii; c u re ici o soluţie; d re c ulţie soluţiilor u itervl de tipul

134 7MODULUL Sistee totlităţi de ecuţii irţiole Fucţii eleetre Ecuţii Iecuţii L rezolvre sisteelor totlităţilor de ecuţii irţiole vo plic tît etode geerle de rezolvre sisteelor lgerice etod sustituţiei etod reducerii etod utilizării ecuoscutelor uilire etc cît și etode specifice de rezolvre ecuţiilor irţiole Să liză cîtev eeple de sistee și totlităţi de ecuţii irţiole Eerciţii rezolvte Să se rezolve î R R sisteul Rezolvre: 7 DV: 0 Sustitui î pri ecuţie și oţie ecuţi irţiolă cu soluţi Verificţi! tuci 9 9 Verificre Pereche 0 prţie DV Sustituid ceste vlori î sisteul 9 9 iiţil e covige că pereche 0 este o soluţie sisteului dt Răspus: S 9 9 Să se rezolve î R R sisteul Rezolvre: 0 DV: 0 Oservă că î DV 0 0 și plică etod utilizării ecuoscutelor uilire u v 0 u u v 0 Fie u 0 v 0 Oţie: uv ; v u v u v 0 uv Luîd î cosiderţie că u 0 v 0 oţie u v Deci rezolvre sisteului iiţil se reduce l rezolvre sisteului de ecuţii irţiole siple: u tote trsforările sît echivlete verificre este de prisos Răspus: S {7 7 0}

135 7 Fucţii MODULUL eleetre Ecuţii Iecuţii Să se rezolve î R ecuţi Rezolvre: DV: 0 plică etod descopuerii î fctori și scrie ecuţi iiţilă su for 0 Rezolvre cestei ecuţii se reduce l rezolvre 0 î DV totlităţii 0 Pri ecuţie re soluţiile ir ecuţi dou re soluţiile Luîd î cosiderţie DV costtă că ui vlorile sît soluţii le ecuţiei iiţile Răspus: S { } Să se rezolve î R R sisteul de ecuţii: ; ; 0 d e ; 7; Să se rezolve î R R sisteul de ecuţii: 8; Să se rezolve î R totlitte de ecuţii: 7 Să se rezolve î R ecuţi: ; Eerciţii şi prolee propuse ; ; 9 c ; f 6 c Să se copuă u siste de ecuţii irţiole cre: re o uică soluţie; re două soluţii; c u re ici o soluţie; d re o ifiitte de soluţii 6 Să se copuă u siste de ecuţii irţiole cărui soluţie să fie pereche de uere 0 7 Să se copuă o ecuţie irţiolă cărei rezolvre să se reducă l rezolvre uei totlităţi de ecuţii irţiole 8 * Să se rezolve î R și să se discute după pretrul R sisteul de ecuţii: c 8 ; 0;

136 7MODULUL Fucţii eleetre Ecuţii Iecuţii 6 Sistee totlităţi de iecuţii irţiole cu o ecuoscută Idee priciplă l rezolvre sisteelor și totlităţilor de iecuţii irţiole costă î reducere l rezolvre sisteelor totlităţilor de iecuţii fără rdicli Sistee de iecuţii irţiole Să eiă cîtev eeple de rezolvre sisteelor de iecuţii irţiole Eeple Să se rezolve î R sisteul de iecuţii > < Rezolvre: cest siste este echivlet cu urătorul siste de iecuţii lgerice: > > 0 0 < Verificţi! > 0 Rezolvîd ultiul siste oţie soluţiile U cre sît și soluţiile sisteului iiţil Răspus: S U Să se rezolve î R sisteul de ie- 0 cuţii 0 Rezolvre: 0 DV: Rezolvîd cest 0 siste oţie DV l sisteului iiţil: [ Totlităţi de iecuţii irţiole Să eiă cîtev eeple de rezolvre totlităţilor de iecuţii irţiole Eeple Să se rezolve î R totlitte de iecuţii 0 Rezolvre: Rezolvă pri iecuţie DV: [ 0 Notă t t 0 și oţie iecuţi lgerică t t 0 cu soluţiile t [ ] su t Reveid l ecuoscut oţie 9 Luîd î cosiderţie DV l priei iecuţii oţie soluţiile [ 9] Iecuţi dou este echivletă cu totlitte de sistee de iecuţii lgerice: < 0 0 0; Priul siste u re soluţii Verificţi! Rezolvă sisteul l doile: 0 [0 ] 0 Reuiue ulţiilor soluţiilor iecuţiilor totlităţii iiţile dică reuiue 0

137 7 Fucţii MODULUL eleetre Ecuţii Iecuţii Rezolvă î DV pri iecuţie sisteului iiţil Notă t t 0 Oţie iecuţi t t 0 cu soluţiile t [ ] u t 0 oţie soluţiile t [0 ] de ude 0 0 cest siste re soluţiile [ ] U[ ] Luîd î cosiderţie DV oţie soluţiile priei iecuţii sisteului: [ ] Iecuţi dou este echivletă î DV cu totlitte 0 > 0 Ecuţi totlităţii re soluţi ir sît soluţiile iecuţiei Totlitte re soluţiile [ Di și rezultă că soluţiile sisteului iiţil sît [ Răspus: S [ ulţiilor și este ulţie soluţiilor totlităţii: [0 9] Răspus: S [ 0 9] Să se rezolve î R totlitte de iecuţii < Rezolvre: Rezolvă pri iecuţie: > 0 > 0 { } U Rezolvă iecuţi dou: < < 0 6 Di și 6 rezultă că soluţiile totlităţii iiţile sît { } U 0 Răspus: S { } U 0 Oservţie Procedă siilr și î czul rezolvării totlităţii de sistee de iecuţii irţiole Să se rezolve î R sisteul de iecuţii: 6 > < 0; 0; 6 ; Eerciţii şi prolee propuse c Să se rezolve î R totlitte de iecuţii: 8 0 < ; ; > ; 0 < 0 d 0 0 > 0 c

138 7MODULUL Fucţii eleetre Ecuţii Iecuţii Să se copuă: u siste de iecuţii irţiole cu o ecuoscută cre re ulţie soluţiilor itervlul ; o totlitte de iecuţii irţiole cu o ecuoscută cre re ulţie soluţiilor itervlul Să se copuă u siste de iecuţii irţiole cre: re o uică soluţie; re două soluţii; c re ulţie soluţiilor u itervl de tipul [ ]; d u re soluţii Pro de evlure I Fie fucţi f : R R f flţi zerourile fucţiei f Rezolvţi î R iecuţi f 0 c Deteriţi î od litic coordotele puctelor de itersecţie grficelor fucţiilor dcă g: R R g Tip efectiv de lucru: de iute Rezolvţi î R ecuţi 7 0 Doi eșteri u eecutt îpreuă o codă î ore Dcă i îtîi priul eșter sigur r fi eecutt o juătte di codă ir poi l doile eșter sigur r fi eecutt celltă juătte tuci cod r fi fost reliztă î de ore Î cîte ore fiecre ditre eșteri r eecut cestă codă lucrîd sigur? 6 Fie iecuţi Rezolvţi î R iecuţi Deteriţi soluţiile îtregi le iecuţiei c Scrieţi o fucţie f de grdul II le cărei zerouri sît soluţiile îtregi le iecuţiei d Deteriţi itervlele de ootoie le fucţiei f Fie polioul P X X X Petru cre vlori rele le lui polioul PX re cel puţi o rădăciă? flţi su pătrtelor rădăciilor polioului PX c Deteriţi vlore iiă suei pătrtelor rădăciilor polioului PX d Petru cre vlori le lui polioului PX re două rădăcii pozitive? 7

139 7 Fucţii MODULUL eleetre Ecuţii Iecuţii Fucţi epoeţilă Ecuţii epoeţile Iecuţii epoeţile Fucţi epoeţilă Î tipul recţiei uclere î lţ î locul fiecărui eutro lier peste l secude pr lţi ν eutroi lieri Măriile l și ν depid de sustţ și ediul î cre re loc recţi S- deterit că uărul K de eutroi lieri î oetul de tip t se estieză pri forul ν t / l K K0 e ude K 0 este uărul de eutroi lieri î oetul t 0 0 e o costtă Fucţi * µ t de for f: R R f t e cre pre î ceste clcule este o fucţie epoeţilă * Defiiţie Se uește fucţie epoeţilă fucţi f : R R f * R * De eeplu f g: R R f g sît fucţii epoeţile Oservţie zul se eclude di eire deorece oţie fucţi costtă f le cărei proprietăţi sît diferite de proprietăţile fucţiei epoeţile Proprietăţile priciple le fucţiei epoeţile D f R E f R Îtr-devăr di proprietăţile puterii cu epoet rel se știe că > 0 petru orice rel * deci E f R Pote fi deostrtă și icluziue iversă Di propriette rezultă că fucţi epoeţilă u re zerouri Grficul ei itersecteză O î puctul 0 fiidcă 0 petru orice > 0 Î virtute proprietăţilor de coprre puterilor cu ceeși ză și cu orice epoet rel odulul rezultă că fucţi epoeţilă este strict crescătore pe R dcă > și strict descrescătore pe R dcă 0 < < Oservţie Î z ootoiei se oţi urătorele echivleţe: α β > α > β α β R > α β > α < β α β R 0 < < α β α β α β R α R cre se folosesc l rezolvre ecuţiilor și iecuţiilor epoeţile Fucţi epoeţilă i vlori pozitive pe R 8

140 7MODULUL Fucţii eleetre Ecuţii Iecuţii 6 Fucţi epoeţilă u este ici pră ici ipră deorece f și eistă 0 stfel îcît f 0 ± f 0 7 Fucţi epoeţilă u este periodică deorece este strict ootoă pe R 8 Fucţi epoeţilă u re etree locle deorece este strict ootoă pe R 9 Fucţi epoeţilă este surjectivă propriette și ijectivă propriette oservţie deci ijectivă și iversilă 0 Grficul fucţiei epoeţile : f R R f > 0 este reprezett î figur 77 0 < < > G f G f O Eerciţiu Î figur 78 sît reprezette grfic * fucţiile f f: R R f f Utilizîd ceste grfice deteriţi proprietăţile fucţiilor f și f Eerciţii rezolvte Să se copre uerele și Rezolvre: u fucţi f : R R f este strict Fig 77 G f O G f O Fig 78 crescătore ir > rezultă că > Să se copre cu : ; Rezolvre: este vlore fucţiei epoeţile f : R R f î puctul 0 > 0 u z cestei fucţii este i ică decît rezultă că < este vlore fucţiei epoeţile f : R R f î puctul 0 < 0 u z cestei fucţii este i ică decît oţie că > 9

141 7 Fucţii MODULUL eleetre Ecuţii Iecuţii Ecuţii epoeţile Proleă L iurie 0 u elev depus l că leu Peste cîţi i cest elev v devei ilior dcă doîd ulă copusă este de 0%? Rezolvre: Peste elevul v ve pe cot 0 lei peste i 0 lei șd Fie uărul respectiv de i Oţie ecuţi cestă ecuţie este o ecuţie epoeţilă Vo ui ecuţie epoeţilă o ecuţie î cre epoetul puterii este o epresie ce coţie ecuoscut z puterii fiid o costtă pozitivă diferită de De eeplu ecuţiile 8 0 sît ecuţii epoeţile L rezolvre ecuţiilor epoeţile vo ţie cot de Teore Dcă > 0 și tuci ecuţiile echivlete f g și g f sît Eerciţiu Deostrţi teore Vo ei etodele priciple de rezolvre uor tipuri de ecuţii epoeţile Ecuţii epoeţile de tipul > 0 f R Fie f Ecuţi se uește ecuţie epoeţilă fudetlă Sît posiile urătorele czuri prticulre 0 Ecuţi u re soluţii se vede grficul fucţiei epoeţile figur 77 > 0 și α α α R tuci α Eeplu Răspus: S {} c > 0 și u este eprit c putere lui Î cest cz folosi idetitte log logritică fudetlă plicîd teore oţie: log log log Eeplu log Răspus: S { log } Siilr se procedeză l rezolvre ecuţiei epoeţile de tipul R f > 0 f g Ecuţiile epoeţile de tipul > 0 R sît echivlete cofor teoreei cu ecuţi f g Eeplu Răspus: S { 0 } 0

142 Ecuţii epoeţile rezolvile pri etod descopuerii î fctori Eeplu Să se rezolve î R ecuţi 6 0 Rezolvre: DV: R Grupîd tereii oţie: Deci 6 0 su 0 de ude 6 su Soluţi ecuţiei 6 este 0 ir ecuţi dou u re soluţii Răspus: S {0} Ecuţiile epoeţile de tipul f 0 se rezolvă pri etod utilizării ecuoscutei uilire t cre reduce ecuţi iiţilă l ecuţi de tipul f t 0 Eeplu Să se rezolve î R ecuţi 9 Rezolvre: DV: R 9 0 Fie t t > 0 Oţie ecuţi t t 0 cu soluţiile t t Ditre ceste vlori ui t > 0 Rezolvă ecuţi și oţie Răspus: S {} Uele ecuţii epoeţile î cre pr puteri cu ceeși epoeţi dr cu ze diferite pot fi rezolvte pri etod utilizării ecuoscutei uilire după îpărţire fiecărui eru l ecuţiei l u di ceste puteri Eeplu Să se rezolve î R ecuţi Rezolvre: DV: R Îpărţid ii eri 0 Efectuîd sustituţi i ecuţiei iiţile l 8 oţie ecuţi t t > 0 oţie: t t 0 t t t 0 t tuci 0 Răspus: S {0} Ecuţii epoeţile rezolvile pri etod logritării Eeple Să se rezolve î R ecuţi Rezolvre: DV: R Logritîd î z 0 oţie ecuţi lg lg echivletă lg lg cu ce iiţilă Soluţi ecuţiei este Răspus: S lg6 lg lg6 lg 7 MODULUL Fucţii eleetre Ecuţii Iecuţii

143 7 Fucţii MODULUL eleetre Ecuţii Iecuţii 6 Să se rezolve î R ecuţi Rezolvre: DV: R Logritîd î z 0 oţie ecuţi 6 lg lg lglg lglg Logritîd di ou oţie lg6 lglg lg lglg lg6 lg lglg lglg Răspus: S lg6 lg Uele ecuţii epoeţile pot fi rezolvte plicîd proprietăţile fucţiilor deterite de erii respectivi i ecuţiei Eeplu Să se rezolve î R ecuţi Rezolvre: DV: R Pri proe găsi soluţi 0 u fucţi f defiită pri forul f este strict crescătore pe R ir fucţi g defiită pri forul g este strict descrescătore pe R rezultă că grficele cestor fucţii u u uic puct de itersecţie Pri urre ecuţi re dor soluţi 0 Răspus: S {0} f g p q Ecuţii de tipul Eeplu Să se rezolve î R ecuţi 0 Rezolvre: log 0 log Î cz geerl f g p q f p Răspus: S { log } qg D f I Dg f p [ q g ]log Eistă ecuţii î cre ecuoscut pre tît î z puterii cît și l epoetul f g ei dică ecuţii de tipul h h f g Ecuţi de tipul h h h > 0 este echivletă cu totlitte de h > 0 h sistee h f g ; D f I D g Eeplu > 0 Ecuţi este echivletă cu totlitte ; Răspus: S {0 } R

144 7MODULUL Eerciţii şi prolee propuse Fucţii eleetre Ecuţii Iecuţii Să se trseze grficul și să se deterie proprietăţile fucţiei f : R R: f ; f ; c f ; d f Să se decidă dcă 0 su > știid că: > ; < ; c < Să se copre uerele: și ; 0 8 și 0 Să se deterie vlorile lui petru cre fucţi f : R R i vlori i ici decît dcă: f ; f 0 ; c f Să se rezolve î R ecuţi: ; e 7 9; 6 ; 9 7 ; ; 6; f 8; ; 0 ; 7 7 ; 9 9 7; 6 0 ; c 8; g ; d 0 ; h 0 0 c 8 6 c 6 6 c c 0 0 Să se trseze grficul și să se deterie proprietăţile fucţiei f : R R: f ; f ; c f 0 Să se selecteze uerele i ri decît : Să se copre: 9 7 cu ; cu 9 Petru cre vlori le lui fucţiile f g: D R f g 0 iu vlori egle? Petru cre vlori le lui fucţi f : D R i vlori i ri decît dcă: f ; f Să se rezolve î R ecuţi: 6 ; ; ; 8 ; 9 0 0; ; c 0 0

145 7 Fucţii MODULUL eleetre Ecuţii Iecuţii 0 ; ; c ; 7; c ; log6 6 ; log7 7 7; c 7 Să se rezolve î R și să se discute după pretrul R ecuţi: 6 0; 7 ; c Să se copuă o ecuţie epoeţilă cu soluţi 6 Să se copuă o ecuţie epoeţilă cre: u re soluţii; re o uică soluţie; c re două soluţii Iecuţii epoeţile Proleă Să se rezolve î R iecuţi < 6 cestă iecuţie este o iecuţie epoeţilă Vo ui iecuţie epoeţilă o iecuţie î cre epoetul puterii este o epresie ce coţie ecuoscut z puterii fiid o costtă pozitivă diferită de De eeplu iecuţiile < sît iecuţii epoeţile Vo ei etodele priciple de rezolvre uor tipuri de iecuţii epoeţile f g Iecuţii epoeţile de tipul < > 0 R Rezolvre cestui tip de iecuţii epoeţile se zeză pe f g Teore Dcă > tuci iecuţi < este echivletă cu iecuţi f < g f g Dcă 0 < < tuci iecuţi < este echivletă cu iecuţi f > g Deostrţi cestei teoree re l ză propriette secveţ fucţiei epoeţile : f R R f > 0 Eeple Să se rezolve î R iecuţi < Rezolvre: < < < Răspus: S Să se rezolve î R iecuţi < Rezolvre: < Răspus: S > >

146 7MODULUL Fucţii eleetre Ecuţii Iecuţii Î od log se rezolvă iecuţiile de tipul: g f g f g f > 0 R > Folosid celeși etode c și l rezolvre ecuţiilor epoeţile rezolvre iecuţiilor epoeţile de regulă se reduce l rezolvre uei di iecuţiile de tipul: 0 R > > < g f g f g f g f Ueori ecuoscut pre tît î z puterii cît și l epoetul ei dică iecuţi re for g f h h < Iecuţi g f h h < este echivletă cu totlitte de sistee > < < ; 0 g f h < > g f h Iecuţi g f h h este echivletă cu totlitte de sistee > ; g f h < < ; 0 g f h g D f D h I c Î uele czuri e coveil să folosi echivleţ: > g f g f g f h h h h h h Î od log se eieză czurile > Î cest ul vo rezolv stfel de iecuţii ui dcă 0 > h Eeplu Să se rezolve î R iecuţi dcă > 0 Rezolvre: ve g f h R R g D f D ] 0 > < < R Răspus: ] S Să se rezolve î R iecuţi: ; 6 > 6 ; < c ; > d ; 0 8 > e ; 0 < f ; 0 00 g > Eerciţii şi prolee propuse

147 7 Fucţii MODULUL eleetre Ecuţii Iecuţii 0 0; 0 > ; ; c > ; c lg < log 0 ; d 06 < 6 propusă l îceputul secveţei ; < ; 0 0 c > ; d 8 8 0; e > 0; f 9 9; 6 6 g 9 ; h 6 > 9 ; i < < ; 6 Să se rezolve iecuţi: ; 8 ; < ; c > 0 c Să se copuă o iecuţie epoeţilă cre: re o uică soluţie; re două soluţii; c re ulţie soluţiilor itervlul de for [ ]; d re ulţie soluţiilor itervlul de for c su d; e u re soluţii 8 Să se copuă o iecuţie epoeţilă cre re ulţie soluţiilor itervlul ] 9 * Să se rezolve î R și să se discute după pretrul R iecuţi: > 0; > Fucţi logritică Ecuţii logritice Iecuţii logritice Fucţi logritică * Se știe că fucţi epoeţilă petru R \{ } posedă fucţie iversă Ivers fucţiei epoeţile este uită fucţie logritică ltfel zis este devărtă echivleţ: log > 0 > 0 Defiiţie Se uește fucţie logritică fucţi f : R R f log * R * De eeplu f f : R f log f log sît fucţii logritice R * 6

148 7MODULUL Fucţii eleetre Ecuţii Iecuţii Mjoritte proprietăţilor fucţiei logritice se oţi di proprietăţile fucţiei epoeţile cu ceeși ză * D f R fiidcă Df coicide cu codoeiul fucţiei epoeţile E f R doeiul de defiiţie l fucţiei epoeţile Fucţi logritică i vlore 0 ui î puctul 0 îtrucît log 0 0 Grficul ei u itersecteză O fiidcă 0 R Fucţi logritică este strict crescătore descrescătore pe R dcă z respectiv 0 Îtr-devăr petru > și > plicîd idetitte logritică fudetlă odulul secveţ oţie > log log u fucţi epoeţilă este strict crescătore descrescătore pe R dcă > 0 < < ve: log > log log < log Î z ootoiei dcă > tuci fucţi logritică i vlori pozitive petru și vlori egtive petru 0 Dcă 0 < < tuci fucţi logritică i vlori pozitive petru 0 și vlori egtive petru Îtr-devăr dcă > tuci î z ootoiei log > 0 log > log > Î od log se deostreză celellte propoziţii 6 u ulţie R u este sietrică fţă de origie sisteului de coordote fucţi logritică u este ici pră ici ipră * 7 Fucţi logritică u este periodică deorece este strict ootoă pe R * 8 Fucţi logritică u re etree locle deorece este strict ootoă pe R 9 Fucţi logritică este ijectivă deci este iversilă Ivers ei este fucţi epoeţilă cu ceeși ză * 0 Grficul fucţiei logritice f : R R f log > 0 este reprezett î figur 79 G 0 < < > f O O G f Fig 79 Oservţie plicîd ootoi fucţiei logritice se oţi urătorele ieglităţi * echivlete petru α β R : log α > log β α > β > log α > log β α < β 0 < < log α log β α β cre se folosesc l rezolvre ecuţiilor și iecuţiilor logritice 7

149 7 Fucţii MODULUL eleetre Ecuţii Iecuţii Eerciţiu rezolvt Fie fucţiile f: R R f ; f: f R R Să se reprezite grficele fucţiilor logritice: * * g R g f log g : R R g f log : R f f g g Să se reprezite îtr-u siste de e ortogole grficele fucţiilor Rezolvre: ostrui telul de vlori l fucţiilor g și g : Grficele fucţiilor g g sît reprezette î figur 70 Grficele fucţiilor f f g g sît reprezette î figur 7 Oservă că grficele fucţiilor f și g f și g sît sietrice fţă de isectore cdrelor I și III G log G f G f g G g O 6 7 O Fig 70 G g plicţii le logritului și fucţiei logritice î diverse doeii Î chiie: l deterire ph-ului soluţiilor lichide Î seisologie: scr Richter petru ăsurre gitudiii puterii cutreurului Î fizică: itesitte suetului l clculre uărului de decieli Î strooie: strălucire uui corp ceresc; clculre gitudiii prete Î iologie: forul oleculei DN; cochiliile elcilor și scoicilor de re sît forte di porţiui de tipul grficelor uor fucţii logritice 8 8 g log 0 g log 0 Fig 7 G g Eerciţiu rezolvt Să se copre: log cu log 9 7; log cu log 7 Rezolvre: Vo trsfor ceste epresii petru oţie logriti î ceeși ză: log log log log log 7 log

150 7MODULUL Fucţii eleetre Ecuţii Iecuţii u fucţi logritică cu z i re decît este strict crescătore și > 7 rezultă că log > log 7 Deci log > log9 7 Î z proprietăţii fucţiei logritice log < 0 ir log 7 > 0 Pri urre log < log7 Eerciţii şi prolee propuse Să se trseze grficul și să se deterie proprietăţile fucţiei f : R R: f log ; f log ; c f lg ; d f l 0 Să se copre cu 0 poi cu : log ; log 0; c log 0; d log 0 plicîd proprietăţile fucţiilor studite să se copre: cu 8 6 ; cu ; c log cu log 0 Să se deterie itervlele de ootoie pritte ulţie vlorilor etreele locle le fucţiei defiite pri forul: f ; f ; c f log Să se selecteze uerele i ri decît : log 0 log 0 log0 6 Să se copre log 6 cu log 7 Petru cre vlori le lui fucţiile f g: D R f log g log iu vlori egle 8 Să se rte că fucţi f este iversilă și să se deterie ivers ei: f : R R f ; f : R f log 9 Petru cre vlori le lui fucţi f : D R i vlori i ri decît dcă: f log0 ; f lg 0 Să se deterie ulţie R \ D f dcă fucţi f este defiită pri forul: f lg{ }; f ; c f lg plicîd proprietăţile fucţiilor studite să se copre: cu log 8; cu 0 ; c cu 7 ; 0 d cu log 9 7 Să se deterie itervlele de ootoie pritte ulţie vlorilor etreele locle le fucţiei defiite pri forul: f ; f 0 ; c f log Să se deterie D f l fucţiei f : D R: lg lg f log ; f lg ; lg c f lg 9 9

151 7 Fucţii MODULUL eleetre Ecuţii Iecuţii Ecuţii logritice Vo ui ecuţie logritică o ecuţie î cre epresiile ce coţi ecuoscut pr î z uor logriti și/su su siolul cestor De eeplu ecuţiile log log sît ecuţii logritice Oservţie Sustituid su log f log g cu log f g de regulă DV l epresiei log f log g se etide Îtr-devăr DV l epresiei log f log g este ulţie soluţiilor sisteului f > 0 ir DV l epresiei log f g este ulţie soluţiilor totlităţii g > 0 f > 0 f < 0 sisteelor g > 0; g < 0 Î ceste czuri se pot oţie soluţii străie ecuţiei dte O situţie siilră este și î czul f î cre epresi log f log g se îlocuiește cu epresi log g Vo ei etodele priciple de rezolvre uor tipuri de ecuţii logritice Ecuţii logritice de tipul Ecuţi log f > 0 R log se uește ecuţie logritică fudetlă plicîd defiiţi logritului oţie soluţi Eeplu Petru ecuţi log oţie 9 Răspus: S {9} Ecuţi log pote fi rezolvtă și î lt od Epriă c logrit î z : log Di log log oţie Eeplu Petru ecuţi log oţie log log 6 6 Răspus: S {6} Ecuţii logritice de tipul log f log g L rezolvre ecuţiilor logritice de cest tip vo ţie cot de Teore 6 Dcă > 0 tuci ecuţi log f log g este echivletă cu uul di sisteele f g su f > 0 f g g > 0 0

152 Fucţii eleetre Ecuţii Iecuţii 7 MODULUL Eeplu Să se rezolve î R ecuţi log log Rezolvre: log log 0 > 0 Răspus: S { } Ecuţii logritice rezolvile pri etod grupării Eeplu Să se rezolve î R ecuţi log log log Rezolvre: > 0 DV: > 0 > Grupîd tereii î od coveil oţie > 0 log log log log log 7 0 cu DV DV Răspus: S {} Ecuţii logritice de tipul f log 0 Ecuţiile logritice de cest tip se rezolvă pri etod utilizării ecuoscutei uilire Pri sustituţi log t rezolvre ecuţiei iiţile se reduce l rezolvre ecuţiilor de tipul log ti ude ti sît soluţiile ecuţiei f t 0 Eeplu Să se rezolve î R ecuţi log log 0 Rezolvre: DV: > 0 Efectuîd sustituţi log t oţie ecuţi t t 0 cu soluţiile t t 6 DV log Rezolvă totlitte de ecuţii și oţie 80 log 8 DV u trsforările sît echivlete rezultă că ceste uere sît soluţiile ecuţiei 80 Răspus: S 6 8 Ecuţi logritică de tipul log f log g este echivletă cu uul f > 0 g > 0 > 0 > 0 su di sisteele f g f g

153 7 Fucţii MODULUL eleetre Ecuţii Iecuţii Eeplu Să se rezolve î R ecuţi log log Rezolvre: > 0 0 > > > log log 0 0 Răspus: S {} Eistă ecuţii logritice cre u se îcdreză î tipurile eite Ecuţii cu logriti î ze diferite Eeplu Să se rezolve î R ecuţi log log Rezolvre: lg lg DV: > 0 plică forul de schire zei: lg lg lg lg Răspus: S 0 lg lg lg 0 lg Ecuţii cre coţi ecuoscut și î z logritului și su siolul cestui Eeplu Să se rezolve î R ecuţi log log Rezolvre: DV: 0 U 0 u log oţie: log log log log Răspus: S {} c Ecuţii cre coţi ecuoscut și î zele puterilor și l epoeţii puterilor cre pot coţie și logriti Eeplu * Să se rezolve î R ecuţi log log 8 Rezolvre: log log log log log log DV: 0 u sustituid î log ecuţi iiţilă oţie ecuţi 8 cu soluţiile DV DV Răspus: S

154 7MODULUL Fucţii eleetre Ecuţii Iecuţii Uele ecuţii cu ecuoscut su siolul logritului pot fi rezolvte plicîd proprietăţile fucţiilor cre reprezită erii respectivi i ecuţiei Eeplu Să se rezolve î R ecuţi log 6 Rezolvre: DV: Pri proe oţie soluţi u fucţi f defiită pri forul f log 6 este strict crescătore pe DV ir fucţi g defiită pri forul g este strict descrescătore pe DV rezultă că grficele cestor fucţii u u uic puct de itersecţie Deci ecuţi re ui soluţi Răspus: S {} Oservţie Metodele eite pot fi clsificte stfel: etod poteţierii dică trecere de l ecuţi log f log g l ecuţi f g ; etod utilizării ecuoscutelor uilire; c etod logritării dică trecere de l ecuţi f g l ecuţi log f log g Eerciţii şi prolee propuse Să se rezolve î R ecuţi: log ; log 0; c log 00 ; d log 0 ; e log ; f log 8 log ; log ; c log 6 0 log log ; log0 log0 ; c log log lg lg lg ; log lg log lg lg lg ; log log 0; c lg lg 6 Să se rezolve î R ecuţi: log log 7 log 8; log log ; c log 9 log 8; d log log ; 9 log e > 0; f lg 00 > 0 ; g log log ; h log log log 0; 9 i log 9 > 0; j > 0; log k log 0

155 7 Fucţii MODULUL eleetre Ecuţii Iecuţii 7 Să se rezolve î R ecuţi: log ; log 7 ; c lg Să se rezolve î R ecuţi: log log ; log 8 9 Să se copuă o ecuţie logritică cu soluţiile 0 și 0 Să se copuă o ecuţie logritică ce î R: u re soluţii; re o uică soluţie; c re două soluţii * Să se rezolve î R și să se discute după pretrul R ecuţi: log lg lg6 > 0 > 0; ; c lg lg lglg Iecuţii logritice log0 Proleă Să se rezolve î R iecuţi 0 < Rezolvre: f DV: > 0 u iecuţi este de tipul < ude 0 < oţie iecuţi echivletă log 0 cest este o iecuţie logritică 0 > Vo ui iecuţie logritică o iecuţie î cre epresiile cre coţi ecuoscut pr î z uor logriti și/su su siolul cestor De eeplu iecuţiile log < log0 0 lg lg 6 0 log > log sît iecuţii logritice Vo ei etodele priciple de rezolvre uor tipuri de iecuţii logritice Iecuţii logritice de tipul Rezolvre cestui tip de iecuţii se zeză pe log f > log g > 0 R Teore 7 Dcă > tuci iecuţi log f > log g este echivletă cu sisteul g > 0 f > g Dcă 0 < < tuci iecuţi este echivletă cu sisteul f > f < Eerciţiu Deostrţi teore 7 Eeplu Să se rezolve î R iecuţi log > log Rezolvre: > 0 < log > log > > Răspus: S ; ; 0 g

156 7MODULUL Fucţii eleetre Ecuţii Iecuţii Siilr se rezolvă iecuţiile logritice de tipul: log f log g log f < log g log f log g ude > 0 R Rezolvre iecuţiei logritice de regulă se reduce l rezolvre uei ditre iecuţiile su Iecuţii logritice de tipul log f log g h h cestă iecuţie este echivletă cu totlitte de sistee: h > 0 < h < g > 0 f > 0 f g ; f g Eeplu Să se rezolve î R iecuţi log log Rezolvre: > > 0 log log > 0 < < > 0 Răspus: S Î od log se rezolvă iecuţiile logritice de tipurile: log h f > logh g log h f < logh g log h f logh g Rezolvre iecuţiilor logritice pri logritre Eeplu Să se rezolve î Rezolvre: DV: 0 * lg R iecuţi > 00 Deorece î DV ii eri i iecuţiei sît pozitivi logrită î z 0 și oţie: lg lg > lg00 lg > Deci lg > lg lg > 0 Oţie lg U lg < 0 < < lg > > 0 0 Răspus: S U Ţiîd cot de DV U

157 7 Fucţii MODULUL eleetre Ecuţii Iecuţii Oservţie Dcă epresi se logriteză î z > tuci seul < > iecuţiei oţiute l logritre răîe celși c și î iecuţi iiţilă; dcă epresi se logriteză î z 0 < < tuci seul iecuţiei oţiute l logritre se schiă î opus Eerciţii şi prolee propuse Să se rezolve î R iecuţi: log < 0; lg ; c l 0; d log 7 > ; e log 0; f log 0 > log log ; log log 8; c lg > log log log ; lg lg < lg lg lg 0 0; log 6 log 6 0; c < ; log log > d log log0 0 log 0 ; log ; > c log log0 lg 0; d < 0; e log log log 0; f log log log ; l 6 l0 g < 0; l i log 6 log > 7 > 0; h log log log > ; j log log 6 log log log ; log ; log0 c > 0; 9 d log 0 9 > 7 Să se copuă î R o iecuţie logritică ce re ulţie soluţiilor itervlul [ 0 8 * Să se rezolve î R și să se discute după pretrul R iecuţi: log log ; > > 0; c log > log 9 * Fie iecuţi log log log > 0 Să se deterie tote vlorile pretrului rel stfel îcît iecuţi să fie devărtă petru orice vlori rele le lui Olipid de Mtetică Repulicii Moldov 0 0 6

158 7MODULUL Fucţii eleetre Ecuţii Iecuţii Sistee totlităţi de ecuţii epoeţile și logritice Nu eistă o etodă uică și uiverslă de rezolvre sisteelor totlităţilor de ecuţii epoeţile și logritice L rezolvre lor vo folosi tît etode plicte l rezolvre sisteelor totlităţilor de ecuţii lgerice cît și etodele studite vlile petru ecuţiile ce foreză sisteul dt totlitte dtă Eerciţii rezolvte Să se rezolve î R R sisteul 8 Rezolvre: DV: R R Îulţid ecuţiile eru cu eru oţie: Îpărţid eru cu eru pri ecuţie l dou toţi tereii ecuţiilor iu vlori eule î R oţie Rezolvre sisteului iiţil se reduce l rezolvre sisteului de ecuţii lgerice cărui soluţie este Luîd î cosiderţie echivleţ trsforărilor costtă că este soluţi sisteului iiţil Răspus: S Să se rezolve î R ecuţi 6 lg 8 0 Rezolvre: DV: 8 > 0 Î DV ecuţi iiţilă este echivletă cu totlitte de 6 0 ecuţii lg 8 0 Rezolvă pri ecuţie: și oţie soluţi 0 Verificţi! Rezolvă ecuţi dou lg 8 0 E este echivletă cu ecuţi cre re soluţiile 0 6 Sustituid vlorile 0 și 6 î iecuţi 8 > 0 e covige că ele prţi DV l ecuţiei iiţile tuci totlitte deci și ecuţi iiţilă re soluţiile 0 și 6 Răspus: S {0 6} 7

159 7 Fucţii MODULUL eleetre Ecuţii Iecuţii Eerciţii şi prolee propuse Să se rezolve î R R sisteul de ecuţii: ; d lg lg lg0 6; 77 7; e log log log log ; c 6 8 ; log lg f 0 lg lg0 lg ; g 8 l l l; h log log ; i log 7 Să se rezolve î R totlitte de ecuţii: lg 9lg 0 0 0; 0 c log 7 log 0; log log 0 lg 0; d log 0 Să se rezolve î R R sisteul de ecuţii: log c log log ; > 0; d log log 0 e f 7 log 9 > 0; 8; 8; log g log log ; h lg lg lg lg lg lg lg lg > 0; > 0 Să se rezolve î R ecuţi: log log log log ; ; c ; d log log log Să se copuă u siste de ecuţii logritice și epoeţile cre î R R: re două soluţii; re o uică soluţie; c u re ici o soluţie 6 Să se copuă u siste de ecuţii logritice epoeţile cărui soluţie să fie pereche de uere rele 0 7 * Să se rezolve î R R și să se discute după pretrul R sisteul: log log lg lg lg c ; > 0; 8

160 7MODULUL Fucţii eleetre Ecuţii Iecuţii Eerciţii şi prolee recpitultive Petru fucţi f : R R: f ; f 7; c să se deterie zeroul; să se deterie itervlul î cre f i vlori pozitive; să se reprezite grficul G f f 7 Olg re cuultă su de 00 lei Estiîdu-și posiilităţile e decis că pote lur să doge l cestă suă cîte 80 lei Să se deterie fucţi cre descrie depedeţ ditre su cuultă și uărul de lui Peste cîte lui e v cuul su de 900 lei ecesră petru procurre uui clcultor? Tepertur solului l suprfţ păîtului este de 0 l dîcie de k tepertur este de 90 ir l dîcie de 0 k de 70 Presupuîd că depedeţ ditre tepertură și dîcie este liiră să se deterie cestă fucţie Să se fle tepertur solului l dîcie de k red uui utoturis petru o zi depide de distţ prcursă și costituie de eeplu: $ petru 00 de ile; 8 $ petru 60 de ile; 6 $ petru de ile Să se rte că depedeţ ditre costul redei și uărul de ile prcurse de utoturis este liiră și să se deterie fucţi respectivă e suă treuie chittă dcă utoturisul prcurs 00 de ile? Să se deterie doeiul de defiiţie l fucţiei f : D R: f ; f 6 6 Să se deterie itervlele pe cre fucţi f : D R i vlori pozitive dcă: f 6; f ; c log ; f 6 d f 7 Îălţie h de l pode l cre se flă o ige ructă î sus se deteriă cofor forulei h t t 0t ude t este tipul ăsurt î secude t [0; ] Să se deterie oetul de tip t î cre ige se flă l îălţie iă Peste cît tip ige v căde pe pode? 8 Îtr-u rîu di eric de Sud ivelul pei s- ridict după ploie El îceput să scdă cu ţoli pe oră ţol c și l oet este cu piciore i sus de ivelul orl picior 0 c Presupuîd că ivelul pei scde uifor să se scrie fucţi de grdul I ce descrie depedeţ ditre ivelul pei i sus de cel orl și tip Peste cîte ore ivelul pei v revei l cel orl? 9 Utilizîd proprietăţile fucţiilor studite iclusiv grficele lor să se copre: 70 cu 7; 9 cu 9 ; c cu ; 7 d 7 cu ; e log cu log ; f log cu log 0 0 9

161 7 Fucţii MODULUL eleetre Ecuţii Iecuţii 0 Utilizîd proprietăţile fucţiilor studite să se copre: 7 7 cu 7 ; 7 cu ; d log 0 9 cu log 09 ; e log 7 cu log c cu ; Să se rezolve î R ecuţi: ; ; c log ; d log log ; e 0 ; f Să se deterie doeiul de defiiţie l fucţiei defiite pri forul: f ; f ; c f 6 Să selecteze uerele di ulţie { } cre prţi ulţiii de vlori fucţiei f și să se deterie vlorile respective le lui : f ; f Petru circuitul reprezett se știe: Rtotl Să se deterie Ω R Ω R Folosid dtele di dese să se deterie fucţi respectivă de grdul II f O Ω R R R R O 6 U delfi sre di pă și ureză trseul: 0 6 L ce îălţie iă desupr pei juge delfiul? re este distţ ditre puctele de ieșire și de itrre î pă? 7 U otociclist se deplseză pe u pl îclit și prcurgîd o prte di dru pri er juge pe u lt pl îclit Î z dtelor di dese să se deterie fucţi de grdul II cărei porţiue de grfic reprezită triectori 8 O 0 8 * Să se precizeze dcă fucţi f este iversilă și să se deterie ivers ei: f : R R f ; f : [ [ f 60

162 7MODULUL Fucţii eleetre Ecuţii Iecuţii 9 * Să se deterie ulţie vlorilor fucţiei f : D R: f ; f 0 * Nuărul rel pozitiv stisfce ieglitte log 9 log log log 9 Să se deterie uărul log Olipid de Mtetică Repulicii Moldov 00 7 Pro de evlure II Tip efectiv de lucru: de iute Deteriţi vlore de devăr propoziţiei: 0 0 Dcă vo du vîrst ttălui și fiului vo oţie de i Peste 8 i vlore rportului ditre vîrst ttălui și vîrst fiului v fi eglă cu flţi cîţi i re ttăl și cîţi fiul Rezolvţi î R ecuţi lg 00 0 Rezolvţi î R R sisteul de ecuţii log log 6 Tip efectiv de lucru: 90 de iute Pe prcursul celor 0 lui le uui veiturile uei fire de vîzre utoturiselor u 0 vrit î ii lei cofor legii: f 0 < 0 Reprezetţi grficul veiturilor firei Deteriţi: î cre di ceste 0 lui veiturile firei u fost ie; periodele î cre fir lucrt î pierdere; periodele de creștere veiturilor; periodele de descreștere veiturilor Scrieţi ecuţi cercului circusris triughiului deterit de drept de ecuţie 6 și de ele de coordote Rezolvţi î R R sisteul de ecuţii log log Rezolvţi î R iecuţi Rezolvţi î R ecuţi ude este pretru rel 6

163 7 Fucţii eleetre Ecuţii Iecuţii Fucţi de grdul I Fucţi de grdul II f : R R f 0 R : g R R g c 0 c R Ecuţii 0 c polioe Iecuţii > 0 su < c > 0 0 su < > 0 su < Sistee totlităţi c c 0 > c c > 0 0 < ș 0 Df Fucţii eleetre Ecuţii Iecuţii DV Fucţi rdicl Fucţi putere Fucţi epoeţilă Fucţi logritică f R R : f g : R R g h * * : R R h α R \{ } α f : R R f R * : R R f log * R f Ecuţii irţiole f g k f g 0 k N k f g k N f g h ș Iecuţii irţiole f < g f > g f g h ș Sistee totlităţi > ș * * Ecuţii epoeţile > 0 f g > 0 0 f g h h ș Iecuţii epoeţile h < g < > 0 h f > 0 ș g Sistee totlităţi 0 < 8 0 < 0 ș R R R log Ecuţii logritice f > 0 R log log g f f log 0 log f log g ș Iecuţii logritice log log g f > log h f log h g ș lg lg l lg Sistee totlităţi lg lg l lg 0 0 log > log 9 l 0 ș Ecuţii iecuţii sistee totlităţi cu ecuoscut î odul și/su cu pretru MODULUL lte de e fucţii trigooetrice lte ecuţii iecuţii și sistee totlităţi Mite 0 log > log lg lg ș Sietrice 0 0 ș Oogee 0 0 ș f f f f 6

164 MODULUL 8 Eleete de trigooetrie Ochii îţeleptului văd i deprte Prover Oiective ăsurre ughiurilor folosid diverse uităţi de ăsură; utilizre cercului trigooetric l rezolvre uor eerciţii și prolee; * utilizre î diverse cotete proprietăţilor fucţiilor trigooetrice și proprietăţilor fucţiilor trigooetrice iverse; idetificre și utilizre idetităţilor fudetle le trigooetriei și forulelor trigooetrice î diverse cotete; * idetificre ecuţiilor și iecuţiilor trigooetrice și plicre diverselor etode de rezolvre cestor; plicre eleetelor de trigooetrie î diverse doeii Fucţii trigooetrice Sistee de ăsură petru ughiuri și rce Geerlizre oţiuilor de ughi și de rc Știţi că Grecii tici priii u îvăţt să deterie distţ de l ţăr pîă l cori di re Oservţi deseul și rguetţi cu procedu grecii tici ocluzie: celși procedeu pote fi utilizt î orice situţie de cest fel forulţi eeple dică eleetele de trigooetrie ăsurile ughiurilor sît plicile î diverse doeii iclusiv î viţ cotidiă 90 Măsur î grde Se știe că fiecărui rc circulr îi corespude u ughi l cetru uic deterit Î trigooetrie se folosesc două uităţi de ăsură ughiurilor: grdul și rdiul Î sisteul de ăsură î grde uitte de ăsură ughiului este grdul defiit c ăsur ughiului egl cu 90- prte di ughiul drept Suultiplii săi sît iutul egl cu 60- prte di grd și secud 60- prte di iut Deci

165 8 Eleete MODULUL de trigooetrie Măsur ughiului lugit desfășurt este de 80 de ori i re decît ughiului drept; ăsur ughiului coplet î jurul uui puct este de 60 Măsur î rdii Sisteul de ăsură î rdii ughiurilor re l ză urătore firţie: rportul ditre lugie rcului circulr corespuzător uui ughi l cetru și lugie rzei cercului este o ărie costtă cre u depide de lugie rzei Defiiţie Fie l lugie rcului circulr de rză r Nuărul α egl cu rportul ditre lugie rcului circulr și lugie rzei cercului se uește ăsur î rdii rcului și ughiului l cetru corespuzător cestui rc dică l α r Dcă î cosideră l r tuci α Pri urre î cest siste de ăsură uitte de ăsură uită rdi ott rd este ăsur ughiului l cetru cores- l r puzător rcului circulr de lugie rzei cercului fig 8 rdi Eeple O r Măsur î rdii α ughiului coplet este Îtr-devăr cu lugie cercului este r rezultă că r α rd ude 6 este u uăr irţiol r Fig 8 Măsur î rdii ughiului lugit este ir ughiului drept este Trecere de l o uitte de ăsură l lt uui ughi se relizeză pri relţi α 80 ude este ăsur î grde ir α ăsur î rdii ughiului Di rezultă că α rd 80 α 80 Eeple Ughiul de re î rdii ăsur α Ughiul de rdi re î grde ăsur Ughiuri și rce oriette Î geoetrie ughiul se cosideră c reuiue două seidrepte îchise cre u ceeși origie îsă cest cocept u pote fi plict î uele doeii prctice De eeplu u este suficiet să spue Răsucește piuliţ cu 0 treuie să idică și direcţi de rotţie Deseori este ecesr să roti u o cheie cu u ughi i re decît 60 Petru soluţiore cestor prolee vo geerliz oţiuile de ughi și rc eiîd ughiuri și rce oriette 6

166 8MODULUL Eleete de trigooetrie Î pl sît două sesuri petru rotţi uei seidrepte î jurul origiii sle: sesul opus ișcării celor M de cesoric uit ses pozitiv și sesul ișcării K celor de cesoric uit ses egtiv Sesul de rotţie se rtă cu o săgetă fig 8 osideră că ughiul oriett OM este geert de seidrept [O O cre se rotește î jurul origiii sle Îtrucît orice ughi oriett OM re u di lturi sei pozitivă [O cosideră petru viitor că ughiul OM este deterit de seidrept [OM Î cocordţă cu sesul rotţiei seidreptei [O vo ui ughiul OM și Fig 8 rcul pe cre îl descrie puctul pozitiv su egtiv Fie seidrept [OM foreză cu direcţi pozitivă ei O ughiul de ăsură α * 0 < α < Dcă seidrept [O i efectueză N rotţii coplete tuci vo oţie u ughi de ăsur α su α după cu rotţiile se efectueză î ses pozitiv su egtiv Î figur 8 sît idicte trei ughiuri forte de seidrept [OK cu seidrept [O: u ughi de ăsur 90 su rd l doile de ăsur 0 su rd l treile de ăsur 70 su rd Î geerl ăsur oricărui ughi oriett fort de seidreptele [OK și [O î situţi descrisă pote fi deterită plicîd forul: Z su α Z Defiiţie erc trigooetric se uește cercul de rză cu cetrul î origie sisteului de coordote Vo ei de regulă ughiuri deterite de seidrept [ OM și de sei pozitivă [O ude puctul M prţie cercului trigooetric fig 8 Vo spue că ughiul OM prţie cdrului I II III su IV după cu puctul M prţie cdrului I II III su respectiv IV ir puctul prţie seidreptei [O Î ceste codiţii se oţie o corespodeţă ijectivă ditre ulţie ughiurilor oriette ulţie rcelor și ulţie uerelor rele vîd stilită uitte de ăsură grdul su rdiul Ţiîd cot de cestă corespodeţă covei c pri α β etc să se oteze tît ughiul cît și ăsur lui Fucţiile trigooetrice sius cosius tgetă cotgetă sectă cosectă Proleă Să se deterie îălţie uui stîlp de telegrf perpediculr pe suprfţ păîtului folosid ui u istruet de ăsurt lugie segetelor Rezolvre: Fie îălţie stîlpului d o dreptă perpediculră pe ce trece pri puctul fig 8 Î puctul plsă verticl prlel cu o ră 6

167 8 Eleete MODULUL de trigooetrie rectiliie [ ] cărei lugie este cuoscută Vizul deteriă puctul O pe drep- t d stfel îcît puctele O să fie coliire Evidet că triughiurile dreptughice O și O sît seee de cee α d O de ude O O u O O Fig 8 lugiile segetelor O O pot fi deterite pri ăsurări vo clcul lugie segetului Î z fptului că î triughiurile dreptughice seee O O fig 8 rportele de tipul u vlore costtă u fost defiite oţiuile sius O O cosius tgetă cotgetă petru ăriile ughiurilor scuţite ue: O O siα cosα tgα ctgα O O O Defiire fucţiilor trigooetrice petru ăsur ughiului ritrr re c suport urătore T M Leă Fie M M pucte îtr-u siste crtezi de coordote O și 0 Dcă seidreptele [OM [OM coicid M O M O tuci fig 8 OM OM OM OM M O α Fig 8 0 K K M T O Fig 8 Defiiţii Fie cercul trigooetric și ughiul α fort de seidrept [OM cu sei pozitivă [O puctul M prţie cercului trigooetric fig 8 Siusul ughiului α este ordot puctului M dică siα osiusul ughiului α este scis puctului M dică cosα Tget ughiului α este rportul ditre ordot și scis puctului M dică siα tgα α k k Z cosα otget ughiului α este rportul ditre scis și ordot puctului M cosα dică ctgα α k k Z siα 66

168 8MODULUL Eleete de trigooetrie Oservţie u fost defiite de fpt fucţii uerice pe suulţii le ulţiii uerelor rele deorece ăsur î rdii oricărui ughi este u uăr rel Defiiţii Se uește fucţie: sius fucţi f : R R f si ; cosius fucţi f : R R f cos ; tgetă fucţi f : \ R k k Z f tg ; R cotgetă fucţi f : R \{ k k Z} R f ctg Oservţie Î uele czuri se i folosesc și fucţiile: sectă fucţi f : \ R k k Z f sec ; R cos cosectă fucţi f : R \{ k k Z} R f cosec si Fucţiile sius cosius tgetă cotgetă sectă și cosectă se oteză si cos tg ctg sec și respectiv cosec și se uesc fucţii trigooetrice Eerciţiu rezolvt Să se clculeze vlorile fucţiilor trigooetrice si cos tg ctg petru ughiurile de ăsuri 0 Rezolvre: Ughiurile 0 sît deterite respectiv de seidreptele [ O [ O [ OD fig 86 u M α l O D P 0 ughiurile O și DOD u ăsurile de și respectiv rdii di triughiurile O OD D oţie O DD OD cee ce perite să deteriă coordotele puctelor respective: 0 D stfel plicîd defiiţiile fucţiilor trigooetrice oţie: si si cos cos tg ctg ; tg si 0 0 cos 0 tg 0 0 ir ctg 0 u eistă Fig 86 D ctg ; 67

169 8 Eleete MODULUL de trigooetrie Î od log se oţi vlorile fucţiilor trigooetrice petru uele ughiuri frecvet folosite t Telul α rdii α grde Vlore fuc] iei si α 0 cos α tg α 0 u ctg α eist 0 u eist u eist u eist 0 Proprietăţile fudetle le fucţiilor trigooetrice I Fucţi f: R R f si Doeiul de defiiţie Dsi R fiidcă petru fiecre α R se deteriă î od uic ordot puctului M de pe cercul trigooetric ude [OM foreză ughiul de ăsur α cu sei pozitivă [O fig 87 Doeiul vlorilor Esi [ ] Icluziue [ ] Esi este evidetă fiidcă petru orice α R ve siα M Icluziue iversă [ ] Esi se oţie folosid cercul trigooetric Petru orice [ ] eiă pe O puctul K0 fig 87 Drept α P prlelă cu O ce trece pri puctul K v itersect O cercul trigooetric cel puţi îtr-u puct M Di costrucţie rezultă că petru orice ughi α deterit K0 M de seidrept [OM ve siα dică este o vlore fucţiei sius Se oţie Esi [ ] Zerourile fucţiei sius sît soluţiile ecuţiei Fig 87 si α 0 dică 0 Se știe că puctele u ordot zero dcă ele prţi ei O Î figur 87 ceste sît puctele și Ughiurile deterite de seidrept [O u ăsur 0 k k Z ir cele deterite de seidrept [O u ăsur Z Reuiue cestor două ulţii uerice este ulţie { k k Z} stfel zerourile fucţiei sius sît uerele { k k Z} oordotele puctului de itersecţie grficului fucţiei sius cu O sît deterite de eglitte si0 0 dică sît

170 8MODULUL Eleete de trigooetrie Periodicitte Di defiiţi fucţiei sius rezultă că si α si α siα deorece ughiurile α α ± sît deterite de ceeși seidreptă cest îseă că uărul T este periodă fucţiei sius Să rătă că T este periodă priciplă fucţiei sius period pozitivă iiă Presupuîd că eistă o periodă i ică T T > 0 oţie si si T R Î prticulr petru 0 ve 0 si0 sit Îtrucît uărul T este u zerou l fucţiei sius el re for T k k Z Uic vlore pozitivă de for k k Z i ică decît este T Dcă r fi periodă oţie si si R cestă relţie u este îsă devărtă petru orice R De eeplu petru ve si și si Rezultă că u este periodă stfel period priciplă fucţiei sius este Oservţie Î z proprietăţilor fucţiilor periodice cochide că este suficiet să studie proprietăţile vriţi fucţiei sius pe orice itervl de lugie Seul fucţiei sius coicide cu seul ordotei puctului respectiv l cercului trigooetric Dcă α k k k Z dică ughiul α prţie cdrului I su II tuci fucţi sius i vlori pozitive fig 88 Dcă α k k k Z dică ughiul α prţie cdrului III su IV tuci fucţi sius i vlori egtive fig 88 6 Pritte Dcă seidrept [OM deteriă u ughi α ir seidrept [OM deteriă ughiul α fig 88 tuci puctele M M ce prţi cercului trigooetric sît sietrice fţă de O Î cest cz se oţie si α M M siα petru orice α R Pri urre fucţi sius este o fucţie ipră O Fig 88 O α 7 Mootoi Î se v răt că fucţi sius este strict crescătore pe fiecre di itervlele k k k Z cu vlori de l pîă l și strict descrescătore pe fiecre di itervlele k k k Z cu vlori de l pîă l M M α 69

171 8 Eleete MODULUL de trigooetrie 8 Etreele Î z ootoiei fucţiei sius puctele k k Z sît pucte de i locl le cestei și f k ir puctele k k Z sît puctele ei de ii locl și i f k 9 Grficul fucţiei sius pe [0 ] se costruiește i ușor dcă se folosește cercul trigooetric Petru oţie geoetric vlorile proitive le fucţiei sius fig 89 se v ţie cot că 68 α 7 α α6 α α α α α α α 8 α 0 0 α α α α 6 α 9 α 9 α α 0 α α α α Fig 89 f si Pe itervlele [ ] [ 0] grficul fucţiei sius se oţie î z periodicităţii fucţiei sius repetîd coportre cestei pe [0 ] II Fucţi f : R R f cos Proprietăţile fucţiei cosius se oţi î od log cu proprietăţile fucţiei sius Dcos R Ecos [ ] Zerourile fucţiei cosius sît uerele k k Z ir grficul ei itersecteză O î puctul 0 Fucţi cosius este periodică cu period priciplă Seele vlorilor fucţiei cosius coicid cu seele sciselor puctelor cercului trigooetric: vlorile fucţiei cosius sît pozitive dcă ughiul α prţie cdrului IV su I α k k Z k și egtive dcă ughiul α prţie cdru- lui II su III α k k Z k 6 Fucţi cosius este pră deorece dcă seidreptele [ OM și [ O M deteriă respectiv ughiurile α și α tuci puctele M M le cercului trigooetric sît sietrice fţă de O și u ceeși scisă Deci cos α cosα α R 7 Fucţi cosius este strict crescătore pe fiecre di itervlele [ k k ] k Z cdrele III IV cu vlori de l l și strict descrescătore pe fiecre di itervlele [ k k ] k Z cdrele I II cu vlori de l pîă l 8 Petru fucţi cosius puctele k k Z sît pucte de i locl și f k ir puctele k k Z sît pucte de ii locl și f k i 70

172 8MODULUL Eleete de trigooetrie 9 O porţiue grficului fucţiei cosius este reprezettă î figur 80 f cos O α α 7 Fig 80 III Fucţi f : D R f tg tg \ D R k k Z Etg R Petru orice R eistă u ughi α MP M stfel îcît tgα deorece tgα OP O α fig 8 α O P Ordot puctului de itersecţie seidreptei [OM cu tget l cercul trigooetric î puctul 0 este tgα de cee drept se uește drept tgetelor Zerourile fucţiei tgetă coicid cu zerourile fucţiei Fig 8 sius: { k k Z} si α siα u petru orice α Dtg ve tg α tgα rezultă cos α cosα că fucţi tgetă este periodică Se pote răt că period priciplă fucţiei tgetă este Fucţi tgetă i vlori pozitive î cdrele I III ude fucţiile sius și cosius iu vlori de celși se și vlori egtive î cdrele II IV ude fucţiile sius și cosius iu vlori de see opuse 6 Fucţi tgetă este ipră deorece petru orice α Dtg oţie: si α siα tg α tgα cos α cosα 7 Fucţi tgetă este strict crescătore pe fiecre di itervlele k k k Z fig 8 8 Fucţi tgetă u re etree O Fig 8 7

173 8 Eleete MODULUL de trigooetrie 9 O porţiue grficului fucţiei tgetă este reprezettă î figur 8 Oservţie Dreptele k k Z sît siptote verticle le grficului fucţiei f tg IV Fucţi f : D R f ctg Dctg R \{ k k Z} Ectg R fig 8 scis puctului este ctgα dică ctgα de cee drept se uește drept cotgetelor Zerourile fucţiei cotgetă sît uerele k k Z Period priciplă fucţiei cotgetă este Fucţi cotgetă i vlori pozitive î cdrele I III și egtive î cdrele II IV 6 Fucţi cotgetă este ipră: ctg ctg Dctg 7 Fucţi cotgetă este strict descrescătore pe fiecre di itervlele k k k Z fig 8 8 Fucţi cotgetă u re etree 9 O porţiue grficului fucţiei cotgetă este reprezettă î figur 8 Urătorele eeple se rezolvă plicîd proprietăţile fucţiilor trigooetrice P α M O Fig 8 O Fig 8 Eerciţii rezolvte Să se deterie seul produsului cos si tg cos ctg Rezolvre: osttă că ughiurile de rd rd prţi cdrului I ughiul de rd cdrului II ughiul de rd cdrului III ughiul de rd cdrului IV u cos > 0 si > 0 tg > 0 cos < 0 ctg < 0 rezultă că vlore epresiei este u uăr pozitiv 7

174 8MODULUL Eleete de trigooetrie cos0 cos9 Să se deterie seul vlorii epresiei si Rezolvre: u 0 < 9 < 0 < 80 ir fucţi cosius pe [0 80 ] este strict descrescătore rezultă: cos 9 > cos0 Deci cos 0 cos9 < 0 dică uărătorul este egtiv Vlore epresiei de l uitor este pozitivă deorece si < Pri urre vlore epresiei iiţile este u uăr egtiv Idetităţile fudetle le trigooetriei Fie α R Mcosα siα puctul respectiv pe cercul trigooetric u coordotele origiii sît 0 0 petru lugie segetului OM rz cercului trigooetric se oţie: cosα 0 siα 0 cos α si α stfel oţiut idetitte fudetlă trigooetriei: si α cos α α R Îulţid epresiile di defiiţiile fucţiilor tgetă și cotgetă oţie: tg α ctgα su tgα su ctgα α k k Z ctgα tgα Îpărţid ii eri i idetităţii l si α poi l cos α oţie: ctg α α k k Z; tg α α k k Z si α cos α Eerciţii şi prolee propuse Să se eprie î rdii ăsur ughiului: 0 0 ; ; c 0 80 ; d Să se eprie î grde ăsur ughiului: ; ; 6 c ; d 7 8 Să se clculeze vlore epresiei: si 90 cos 70 si ; tg cos ctg ; 6 c tg ctg si ; d si 0tg ctg 6 6 7

175 8 Eleete MODULUL de trigooetrie Este posiil c siusul și cosiusul uui și celuiși ughi să fie egle respectiv cu: 7 și ; și ; c 0 și 09; d și? Este posiil c tget și cotget uui și celuiși ughi să fie egle respectiv cu: 7 și ; și ; c și ; d și? 7 6 Să se ducă l for ce i siplă epresi: cos α cos α si α tgα cosα; siα si α cosα cos α; c ; tg α ctg α d tgα ctgα siα siα 7 Să se fle lugie ipoteuzei și ăsurile ughiurilor uui triughi dreptughic cre re ctetele de: c și c; c și c 8 Să se fle ăsurile ughiurilor roului cu ltur de c și îălţie de c 9 re este distţ ditre doi oei de îălţie 7 dcă uul îl vede pe celăllt su u ughi de? 0 Să se deterie doeiul de defiiţie l fucţiei f: D R: f ctg ; f ; c f tg ctg tg Să se deterie seul produsului cos0 si cos 0 ctg Fie fucţi f : D R f si cos tg Să se clculeze: f ; f ; c f ; d f Folosid ootoi fucţiilor trigooetrice să se deterie seul vlorii epresiei: tg00 tg60 tg tg0 si si ; ; c si 0 si 0 si cos0 tg tg 6 Să se deterie pritte fucţiei defiite pri forul: f si cos ; f si ; c f si si * Să se fle ulţie vlorilor fucţiei defiite pri forul: f cos ; f ; c f si cos 6 * Să se reprezite grfic fucţi defiită pri forul: cos f ; f si ; c f cos ; d f si 7

176 8MODULUL Eleete de trigooetrie Trsforări le epresiilor trigooetrice Forule petru fucţiile trigooetrice le suei și difereţei de ughiuri Fie α β α β [0 cosαβ siαβ OM β OM α M cosβ siβ ude 0 Mcosα siα M cos β si β sît pucte de pe cercul αβ trigooetric fig 8 α β 0 Să clculă cos α β Fie u O puct pe cercul trigooetric stfel îcît l M l M l e e em cest îseă că O α β u rcele M și M M u ceeși ăsură rezultă că și cordele ce le suîtid sît cogruete dică M cosα siα Fig 8 M M Ţiîd se de coordotele puctelor 0 M cos β si β cos α β si α β M cosα siα și plicîd forul distţei ditre două pucte oţie: cos α β si α β 0 cos α β cos α β si α β cos α β ; M M cosα cos β siα si β cos α cosα cos β cos β si α siα si β si β cosα cosβ siα si β Di și oţie: cos α β cosα cos β siα si β Fie β > α α β [0 u fucţi cosius este pră rezultă că cos α β cos β α plicîd forul oţie: cos α β cos β α cos β cosα si β siα cosα cos β siα si β * Se știe că orice uere rele α * β cre sît ăsurile uor ughiuri î rdii pot * fi scrise su for α α k β * β k Z ude α β [0 stfel petru orice uere rele α β ţiîd cot de periodicitte fucţiilor sius cosius oţie forul: cos α β cosα cos β siα si β petru orice α β R Deorece cos α β cos[ α β ] cosα cos β siα si β luîd î cosiderţie pritte fucţiilor trigooetrice respective oţie: cos α β cosα cos β siα si β petru orice α β R Eeple cos t cos cost si si t si t 7

177 8 Eleete MODULUL de trigooetrie Sustituid î forul di eeplul t cu t oţie si t cos t cost Vo deduce forul petru si α β plicîd forul și ce di eeplul : si α β cos α β cos α β cos α cos β si α si β siα cos β cosα si β stfel oţiut forul si α β siα cos β cosα si β petru orice α β R 6 Îlocuid î 6 β cu β și plicîd proprietăţile fucţiilor trigooetrice oţie deostrţi! urătore forulă: si α β siα cos β cosα si β petru orice α β R 7 Eerciţiu rezolvt 7 Să se clculeze si Rezolvre: 7 si si si cos cos si 6 Siilr se deduc forulele: tgα tgβ tgα tgβ tg α β tg α β 8 tgα tgβ tgα tgβ petru orice α β R stfel îcît eistă tgetele respective și ± tgα tgβ 0 Eerciţiu Deduceţi forulele 8 plicîd forulele 7 Forulele de reducere Se știe că orice ughi β ăsurt î rdii pote fi scris su for β k α k Z 0 α < tuci î z forulelor di secveţ clculul vlorilor fucţiilor trigooetrice petru u ughi ritrr β pote fi redus l clculul vlorilor lor petru u ughi scuţit α Eeple si α siα cos cosα si siα siα 76

178 8MODULUL si α si cosα cos siα cosα; Eleete de trigooetrie cos α cos cosα si siα siα si α 7 cos tg α α tg α tg α tgα siα cos α Oservţie Fucţi si fucţi tg se uește cofucţie fucţiei cos fucţiei ctg și ivers Petru fcilitre clculului vlorilor fucţiilor trigooetrice pot fi plicte două reguli uite reguli forule de reducere: vlore oricărei fucţii trigooetrice de ughiul β k ± α k Z este eglă cu vlore fucţiei trigooetrice de celși ue de ughiul α petru k uăr pr și este eglă cu vlore cofucţiei trigooetrice corespuzătore de ughiul α petru k uăr ipr; seul rezulttului coicide cu seul vlorii fucţiei trigooetrice iiţile ţiîd cot de cdrul î cre se flă ughiul k ± α și cosiderîd că α 0 idiferet de ăsur ughiului α Eerciţiu rezolvt Să se clculeze si 00 Rezolvre: si00 si90 0 cos0 deorece k este uăr ipr și 00 prţie cdrului IV ude vlore fucţiei sius este uăr egtiv Forule petru fucţii trigooetrice le ultiplilor uui ughi osiderîd β α î forulele și 7 oţie: cosα cos α si α si α siα cosα 9 uite forule le cosiusului și siusului ughiului dulu osiderîd β α î pri ditre forulele 8 și tgα tgα defiite oţie urătore forulă petru tget de ughi dulu: tgα tgα α α Z 0 tg α Petru fucţiile trigooetrice de ughi triplu ve forulele: si si si α α α cosα cos α cosα 77

179 8 Eleete MODULUL de trigooetrie Eerciţiu Deduceţi forulele 0 și Vo deduce două forule uite forule de icșorre puterii fucţiilor trigooetrice: cosα cos α si α cosα cos α cosα si α cos cos α α cos si α α plicîd forulele pute icșor puterile cu epoet pr le fucţiilor trigooetrice reducîdu-le l cele de ordiul I Eeplu cos cos cos cos cos si si cos Forulele de trsforre suelor î produse α β α β α β α β α β α β ve siα siβ si si si cos α β α β α β α β α β α β α β α β cos si si cos cos si si cos Deci α β α β siα si β si cos petru orice α β R 8 6 Siilr α β α β siα si β cos si α β α β cosα cos β cos cos α β α β cosα cos β si si petru orice α β R Eerciţiu Deduceţi forulele Eerciţiu rezolvt Să se ducă l for ce i siplă epresi si cos Rezolvre: si cos si si si cos si si 78

180 8MODULUL Eleete de trigooetrie Forulele u o plicţie iporttă l deostrre ootoiei fucţiilor trigooetrice se vede Fie α < α Petru difereţ siα siα se oţie α α α α α α si cos u α α 0 rezultă că α α α α si > 0 cos > 0 > 0 Pri urre siα > siα și fucţi sius pe itervlul idict este strict crescătore Î od log pote fi deostrtă ootoi fucţiilor cosius tgetă cotgetă euţtă î Deostrţi! Eerciţii şi prolee propuse Să se clculeze: cos0 si 6tg ; si 70 ctg90 cos0 ; c tg 60 cos60 si 90 cos ; d cos 60 tg0 si0 Să se clculeze vlore epresiei: E cos cos cos cos ; E ctg ctg ctg ctg 6 Să se deterie siα cosα tgα ctgα dcă: cos α și α ; 0 ctg α și α prţie cdrului I; c si α și α ; 0 d tg α și α 0 Să se clculeze: cos α β cos α β si α β si α β si α cosα tg α știid că cos α α 0 și si β β 0 ; tg α β tg α β tg α tg β știid că cos 0 α α 7 și cos β β 0 Să se clculeze: si 0 cos0 cos0 si 0 ; cos cos si si ; 0 0 c si 0 cos70 cos0 si 70 ; d cos cos si si Să se deterie dcă eistă u ughi α stfel îcît: 0 8 si α cosα ; si α cosα ; c tg α ctgα ; d tg α ctgα 79

181 8 Eleete MODULUL de trigooetrie 7 Să se ducă l for ce i siplă epresi: cos α si α ; siα cosα ctgα ; c si α cos α ctg α ; siα cosα cosα si α d tg αsi α ; e ; f cosα siα cosα 8 Utilizîd forulele de icșorre puterii să se ducă l for ce i siplă epresi: si α cos α; si α cosα ; c cos α cosα 9 Să se fle siα cosα dcă siα cosα 06 α R 0 Să se fle tg α ctg α dcă tgα ctgα α R \ Z Să se rte că oricre r fi α β R re loc eglitte: si α β si α β si α si β; cos α β cos α β cos α si β; c cos α β cos α β cos β si α; d siα si β siα si β cosα cos β cos β cosα Să se deostreze idetitte: cos si α ; α ctg tg α α Să se deostreze că: si α ctgα siα cosα cos α tgα dcă α R \ Z ; cosα cosα dcă α 0 ; cosα cosα tgα siα si α siα c dcă α Z; cosα cosα cosα ctgα cosα cosα cosα cos7α d dcă α Z siα siα siα si 7α ctgα Să se clculeze: siα tgα dcă cosα și < α < ; cos α si β dcă si α cos β 08; ctgα siα cosα α c dcă tg ; d tg α β γ știid că tg α tgβ tgγ siα cosα Să se ducă l for ce i siplă epresi: cos α ctgα tgα ; dcă 0 < α < α cos si α α ctgα tgα 6 Să se deostreze idetitte: si α si β si α β si α β ude α β R; si α cos α 6 6 ude α R; si α cos α siγ c tgα tgβ ude α β γ sît ăsurile ughiurilor uui triughi; cosα cos β d tgα tgβ tgγ tgα tgβ tgγ ude α β γ sît ăsurile ughiurilor uui triughi 80

182 8MODULUL Eleete de trigooetrie 7 Să se rte că dcă: cos cos si si tuci este dreptughic; si cos si cos tuci este dreptughic su isoscel; c si cos si cos tuci este isoscel; d cos cos cos tuci este echilterl 8 Să se fle îălţie trpezului dreptughic circuscris uui cerc dcă ăsur ughiului scuţit l trpezului este ir perietrul lui este P 9 Să se copuă: o idetitte trigooetrică; o proleă de geoetrie cărei rezolvre ecesită plicre eleetelor de trigooetrie 0 Să se foruleze eeple di diverse doeii de plicre eleetelor de trigooetrie Ecuţii trigooetrice Fucţii trigooetrice iverse L trsforre epresiilor trigooetrice se vede pr situţii î cre este ecesr să se deterie vlore uei fucţii trigooetrice fiid cuoscută vlore ltei fucţii trigooetrice de celși ughi su de u ultiplu suultiplu l său cest fpt și ulte ltele fc oportuă prole de deteri ughiul fiid cuoscută vlore uei fucţii trigooetrice de cest ughi Vo ei fucţiile trigooetrice ui pe doeiile ude ele sît iversile deci uite restricţii le cestor ue vo ei fucţiile: f : [ ] f si ; f : [0 ] [ ] f cos ; f : f tg ; R f : 0 R f ctg ceste fucţii sît iversile Iversele lor se oteză respectiv cu rcsi rccos rctg rcctg și se citesc rcsius rccosius rctgetă rccotgetă Defiiţie Fucţiile rcsi: [ ] g rcsi ; rccos: [ ] [0 ] g rccos ; rctg: R g rctg ; rcctg: R 0 g rcctg se uesc fucţii trigooetrice iverse 8

183 8 Eleete MODULUL de trigooetrie șdr î z defiiţiei fucţiei iverse oţie: Eeple rcsi si [ ] ; rccos cos [ ] [0 ]; rctg tg R ; rcctg ctg R 0 rcsi fiidcă 6 6 și si ; 6 rccos deorece [0 ] și cos Petru deterire vlorilor fucţiilor trigooetrice iverse se pot folosi telele de vlori le fucţiilor sius cosius tgetă cotgetă pe itervlele respective schiîd rolurile vlorilor rguetelor și vlorilor fucţiilor t Telul rcsi rccos 6 rctg rcctg 6 Se pote deostr că: rcsi rcsi R; rctg rctg R; rccos rccos R; rcctg rcctg R Telul 6 Di defiiţi fucţiilor trigooetrice iverse și di relţiile rezultă relţiile idetităţile 9: sircsi [ ]; rcsisi cosrccos [ ]; rccoscos [0 ] 6 8

184 8MODULUL Eleete de trigooetrie tgrctg ; rctgtg R 7 ctgrcctg R ; rcctgctg 0 8 sirccos [ ]; cosrcsi [ ]; rcsi rccos [ ] Eerciţiu rezolvt Să se fle doeiile de defiiţie le fucţiilor f h : D R f rccos h rctg Rezolvre: Î z defiiţiei fucţiei rccosius ve de ude 0 stfel Df [0 ] rguetul fucţiei rccotgetă pote lu orice vlore relă deci este suficiet c uitorul rportului să u i vlore 0 stfel D h U Grficele fucţiilor trigooetrice iverse sît sietrice grficelor fucţiilor trigooetrice respective f f f f de l îceputul secveţei fţă de isectore cdrelor I și III Grficele fucţiilor rcsi rccos rctg și rcctg sît reprezette î hrt oţiolă Fucţii trigooetrice și proprietăţile lor odulului Ecuţii trigooetrice Proleă ri suprfeţei lterle uei piride triughiulre regulte este de ori i re decît ri zei Să se fle ăsur ughiului D de l vîrful piridei fig 86 Rezolvre: Fie DE α ude DE ve D și l P DE u E di triughiul ED E 90 oţie: α DE ctgα DE E ctgα ctgα Deorece E l oţie ctgα ctg α E stfel prole s- redus l rezolvre ecuţiei ctg α cre este o ecuţie trigooetrică Fig 86 Rezolvîd cestă ecuţie i jos vo studi etod ei de rezolvre și luîd î cosiderţie că DE este scuţit oţie DE rcctg 60 Deci D DE 0 Răspus: 0 9 8

185 8 Eleete MODULUL de trigooetrie Defiiţie Ecuţiile cre coţi ecuoscut ecuoscutele ui l rguetul fucţiilor trigooetrice se uesc ecuţii trigooetrice Ecuţii trigooetrice fudetle Defiiţie Ecuţiile trigooetrice de tipul si cos tg ctg ude R se uesc ecuţii trigooetrice fudetle Să deteriă forulele de clcul l soluţiilor ecuţiilor trigooetrice fudetle Sît posiile două odlităţi de ilustrre soluţiilor cestor ecuţii: folosid cercul trigooetric; utilizîd grficele fucţiilor trigooetrice Ecuţi si DV: R Vo ilustr rezolvre ecuţiei dte folosid cercul trigooetric Fie cercul trigooetric și drept fig 87 Soluţiile ecuţiei si sît ăsurile ughiurilor î rdii su î grde forte de sei pozitivă [O cu seidreptele [ OM [ OM etc corespuzătore puctelor pe cerc cre u ordot Deci dcă > ecuţi 0 si u re soluţii Dcă tuci uicul puct cre re ordot puctul de itersecţie cercului cu drept este 0 Pri urre o soluţie prticulră ecuţiei si este 0 Ţiîd cot de periodicitte fucţiei sius oţie tote soluţiile ecuţiei si : Z Siilr petru puctul 0 oţie tote soluţiile ecuţiei si : Z Dcă 0 tuci pe cerc eistă puctele 0 și 0 cu ordot 0 stfel soluţii prticulre le ecuţiei si 0 sît 0 și Luîd î cosiderţie periodicitte fucţiei sius oţie tote soluţiile ecuţiei si 0: 0 Z Z su reuiue lor: Z M > 0 < < M rcsi rcsi 0 O 0 < Fig

186 8MODULUL Eleete de trigooetrie Dcă 0 U 0 tuci drept itersecteză cercul trigooetric fig 87 î două pucte M și M cu ordot ceste pucte sît sietrice fţă de ordotelor Deci soluţii prticulre le ecuţiei si sît rcsi rcsi Î z periodicităţii fucţiei sius oţie forulele de clcul l tuturor soluţiilor ecuţiei si petru 0 U 0 : rcsi Z rcsi Z ceste forule pot fi uite îtr-o sigură forulă: k rcsi k k Z Oservă că di petru 0 oţie respectiv soluţiile 0 Pri urre este forul de clcul l tuturor soluţiilor ecuţiei trigooetrice fudetle si [ ] stfel ulţie soluţiilor ecuţiei si [ ] este: k S { rcsi k k Z} Eerciţiu rezolvt Să se rezolve î R ecuţi si Rezolvre: plicîd forul oţie: k k rcsi k k Z su k k Z k Răspus: S { k k Z} Oservţie Ecuţi si ude [ ] re î ulţie R o ifiitte de soluţii cest fpt pote fi ilustrt pri scisele puctelor de itersecţie grficelor fucţiilor f si și g fig 88 O rcsi g rcsi rcsi f si Fig 88 teţie! L rezolvre ecuţiilor iecuţiilor trigooetrice se v lu î cosiderţie că rcsi și rcsi rcsi 8

187 8 Eleete MODULUL de trigooetrie Ecuţi cos DV: R Fie cercul trigooetric și drept fig 89 Soluţiile ecuţiei cos sît ăsurile ughiurilor forte de sei pozitivă [O cu D N seidreptele [ ON [ ON [ OD [ OD etc rccos corespuzătore puctelor pe cerc cre u scis stfel dcă > ecuţi cos O u re soluţii Siilr cu ecuţi si utilizîd figur 89 și ţiîd cot de periodicitte fucţiei cosius oţie forul de clcul l tuturor soluţiilor ecuţiei fudetle cos [ ]: ± rccos Z Deci ulţie soluţiilor ecuţiei cos [ ] este: D Fig 89 N S { ± rccos k k Z} Eerciţiu Deduceţi forul < rccos ; < > Eerciţiu rezolvt Să se rezolve î R ecuţi cos Rezolvre: ofor forulei oţie soluţiile: ± rccos k k Z ± rccos Z k k de ude ± Z k k Pri urre ± k k Z Răspus: S ± k k Z Oservţie Ecuţi cos ude [ ] re î ulţie R o ifiitte de soluţii cest fpt pote fi ilustrt pri scisele puctelor de itersecţie grficelor fucţiilor f cos și g fig 80 f cos O rccos rccos g Fig 80 teţie! L rezolvre ecuţiilor iecuţiilor trigooetrice se v ţie cot de fptul că rccos [0 ] și rccos rccos 86

188 8MODULUL Eleete de trigooetrie Ecuţi tg DV: \ R k k Z T u E tg R rezultă că ecuţi tg P re soluţii petru orice R > 0 Vo ilustr rezolvre ecuţiei tg folosid cercul trigooetric și tgetelor α T fig 8 Petru orice uăr pe tgetelor este u uic puct T cărui ordotă O P este Drept OT itersecteză cercul trigooetric î două pucte P și P Deci eistă două ughiuri α și α căror tgetă este ude Fig 8 α și α rctg tuci o soluţie prticulră ecuţiei tg este rctg Siilr cu rezolvre ecuţiilor si cos utilizîd figur 8 și ţiîd cot de periodicitte fucţiei tgetă oţie forul de clcul l tuturor soluţiilor ecuţiei fudetle tg R: rctg Z α Petru 0 oţie forul de clcul l tuturor soluţiilor ecuţiei tg 0: Z Pri urre ulţie soluţiilor ecuţiei tg R este: S { rctg Z} Eerciţiu rezolvt Să se rezolve î R ecuţi tg Rezolvre: ofor forulei rctg Z rctg Z de ude Z Răspus: S Z Oservţie Ecuţi tg R re î ulţie R \ k k Z o ifiitte de soluţii cest fpt este ilustrt pri scisele puctelor de itersecţie grficelor fucţiilor f tg și g fig 8 O rctg Fig 8 g 87

189 8 Eleete MODULUL de trigooetrie teţie! L rezolvre ecuţiilor iecuţiilor trigooetrice se v lu î cosiderţie că rctg și rctg rctg Ecuţi ctg DV: R \{ k k Z} u E ctg R rezultă că ecuţi ctg re soluţii petru orice R Vo ilustr rezolvre ecuţiei ctg folosid cercul trigooetric și cotgetelor T fig 8 Siilr cu ecuţi tg petru ecuţi fudetlă ctg R ve forul de clcul l tuturor soluţiilor ei: rcctg Z Petru 0 oţie forul de clcul l tuturor soluţiilor ecuţiei ctg 0 : Z Deci ulţie soluţiilor ecuţiei ctg R este: α O Fig 8 S { rcctg Z} 6 Eerciţiu Deduceţi forul 6 Oservţie Ecuţi ctg R re o ifiitte de soluţii î ulţie R \{ k k Z} cest fpt pote fi ilustrt pri scisele puctelor de itersecţie grficului fucţiei f ctg cu drept g ostruiţi! α P > 0 P T teţie! L rezolvre ecuţiilor iecuţiilor trigooetrice se v ţie cot de fptul că rcctg 0 și rcctg rcctg Eerciţiu rezolvt Să se rezolve î R ecuţi ctg Rezolvre: ofor forulei 6 rcctg Z rcctg Z Pri urre Z 6 Răspus: S Z 6 88

190 8MODULUL Eleete de trigooetrie Ecuţii trigooetrice de tipul fsi 0 fcos 0 ftg 0 fctg 0 Ecuţiile î cre ecuoscut este rguet ui l uei fucţii trigooetrice se rezolvă de regulă pri etod utilizării ecuoscutei uilire cre reduce ecuţi iiţilă l o ecuţie cre u coţie fucţii trigooetrice Eerciţiu rezolvt Să se rezolve î R ecuţi cos si 0 Rezolvre: DV: R u cos si oţie ecuţi echivletă si si 0 Fie si t ude t tuci di ulti ecuţie oţie ecuţi lgerică de grdul II t t 0 cu soluţiile t t Vlore t u stisfce codiţi t Reveid l ecuoscut oţie ecuţi si de ude k k Z Răspus: S k k Z Ecuţii trigooetrice oogee Defiiţie Ecuţiile trigooetrice de for si si cos si cos 0 cos 0 7 se uesc ecuţii trigooetrice oogee de grdul N î si și cos Ecuţiile de for 7 dcă 0 se rezolvă pri îpărţire ilor eri l cos l si petru 0 0 dcă cos respectiv si u este fctor cou Oţie ecuţi echivletă tg tg tg 0 0 cre pri sustituţi tg t se reduce l ecuţi lgerică t t t 0 0 Îtr-devăr dcă tuci u eistă u ughi ϕ petru cre cos ϕ 0 si ϕ 0 deorece dcă r eist u stfel de ughi tuci îlocuid î cestă ecuţie cu ϕ oţie si ϕ 0 cos 0 ϕ 0 su si ϕ 0 cos ϕ 0 Nu eistă îsă u ughi petru cre fucţi sius și fucţi cosius să i siult vlore 0 șdr l îpărţire ilor eri i ecuţiei 7 l cos su si oţie o ecuţie echivletă cu ce dtă Eerciţiu rezolvt Să se rezolve î R ecuţi cos si cos si Rezolvre: DV: R Sustituid î ecuţi dtă cos si oţie ecuţi oogeă cos si cos si 0 Îpărţid ulti ecuţie l cos oţie ecuţi echivletă tg tg 0 Fie tg t tuci oţie ecuţi lgerică t t 0 cu soluţiile t t 89

191 8 Eleete MODULUL de trigooetrie Reveid l ecuoscut oţie totlitte de ecuţii tg ; tg cu soluţiile S { rctg k k Z} și S Z Răspus: { rctg } S k k Z U Z teţie! Dcă l rezolvre ecuţiilor trigooetrice i les celor oogee e posiilă plicre etodei descopuerii î fctori tuci i îtîi plică cestă etodă poi folosi lte etode petru rezolvre ecuţiilor oţiute Î cz cotrr pute pierde soluţii chir l pri etpă de rezolvre Eerciţiu rezolvt Să se rezolve î R ecuţi oogeă cos si cos 0 Rezolvre: Î erul stîg cos este fctor cou Rezolvîd cestă ecuţie pri etod descopuerii î fctori oţie ecuţi cos 0 cos cos si 0 echivletă cu totlitte cos si 0 Pri ecuţie re ulţie soluţiilor S k k Z ir ecuţi dou ulţie soluţiilor S rctg Z Răspus: S k k Z rctg U Z Oservţie Dcă fi îpărţit ii eri i ecuţiei l cos fi pierdut soluţiile ecuţiei iiţile de for k k Z soluţiile ecuţiei cos 0 Ecuţii trigooetrice de for si cos c * R Vo ei cîtev etode de rezolvre ecuţiilor de cest tip Metod oogeizării u si si si cos ir cos cos cos si și si cos di si cos c oţie î cz geerl o ecuţie oogeă: si cos cos si c cos si si cos cos si ccos csi 0 90

192 8MODULUL Eleete de trigooetrie ccos si cos csi 0 Dcă c 0 erul stîg se descopue î fctori și se oţi două ecuţii trigooetrice fudetle Dcă c 0 tuci îpărţid ii eri i ultiei ecuţii l cos 0 oţie ecuţi echivletă ctg tg c 0 Fie tg t tuci oţie ecuţi c t t c 0 cre î codiţi c re soluţiile c c t t c c Rezolvîd ecuţiile tg t tg t oţie soluţiile ecuţiei iiţile Oservţie Ecuţi de for si cos c re soluţii dcă și ui dcă c Petru c oţie ecuţi trigooetrică fudetlă de tipul tgt ir petru c vo plic etod descopuerii î fctori Petru c 0 oţie o ecuţie trigooetrică oogeă de grdul I Eerciţiu rezolvt Să se rezolve î R ecuţi si cos Rezolvre: DV: R Oogeiză cestă ecuţie e re soluţii deorece > și oţie: si cos cos si cos si 0 si si cos cos 0 Îpărţid ii eri i ultiei ecuţii l cos 0 oţie ecuţi echivletă tg tg 0 Fie tg t Sustituid oţie ecuţi lgerică t t 0 cu soluţiile t t Reveid l ecuoscut oţie totlitte de ecuţii tg ; tg respectiv cu ulţiile de soluţii: S rctg k k Z S rctg Z Răspus: S rctg k k Z rctg U Z 9

193 8 Eleete MODULUL de trigooetrie Metod ughiului uilir Îpărţid ii eri i ecuţiei si cos c 8 l R oţie c ecuţi echivletă si cos 9 Fie tgα ude rctg α Ughiul α se uește ughi uilir Sustituid tgα î ecuţi 9 oţie: c siα c si cosα siα cos si tgα cos si cos cosα cosα si α c c si α cosα cosα Rezolvîd cestă ecuţie fudetlă oţie soluţiile ecuţiei 8 * c 9 Eerciţiu rezolvt Să se rezolve î R ecuţi si cos Rezolvre: DV: R Îpărţid ii eri i ecuţiei iiţile l oţie ecuţi si cos ve tg α Pri urre α 6 Ecuţi iiţilă devie si k 6 de ude k k Z 6 Răspus: k S k k Z 6 Metod reducerii l u siste de ecuţii lgerice * vîd ecuţi si cos c R și știid că si cos petru orice R efectuă sustituţiile si u cos v stfel ecuţi iiţilă se reduce l sisteul de ecuţii lgerice u v Rezolvîd cest siste și reveid l sustituţiile făcute u v c oţie soluţiile ecuţiei iiţile Rezolvre ecuţiilor trigooetrice cu selectre soluţiilor Ueori se cere u ui rezolvre ecuţiei trigooetrice respective dr și selectre soluţiilor cre stisfc uite codiţii specile: prţi uui itervl ueric sît soluţii le ltor ecuţii su iecuţii etc Vo eplic procedeul de selectre soluţiilor pritr-u eeplu Eerciţiu rezolvt Să se rezolve î R ecuţi si cos si cos 0 și să se deterie soluţiile ei cre prţi itervlului

194 8MODULUL Eleete de trigooetrie Rezolvre: DV: R Fie si cos t tuci si cos t și ecuţi iiţilă se reduce l ecuţi lgerică de grdul II t t 0 cu soluţiile t t Reveid l ecuoscut oţie totlitte de ecuţii: si cos ; si cos Pri ecuţie u re soluţii î R Petru rezolv ecuţi dou plică etod ughiului uilir și oţie ecuţi si k cu soluţiile rcsi k k Z Petru deteri soluţiile cre prţi itervlului eiă două czuri: Fie k Z ve rcsi Z u rezultă că rcsi rcsi rcsi Z Deci rcsi rcsi Z 8 8 Efectuîd clculele respective rcsi 9 cochide că 0 tuci rcsi 0 rcsi dică ui o soluţie prţie itervlului Fie k Z tuci rcsi Z rcsi Z u rezultă că rcsi Z Efectuîd clculele respective rcsi 9 cochide că Î ele czuri reuiue soluţiilor oţiute foreză ulţie soluţiilor ecuţiei iiţile ce prţi itervlului idict Răspus: S rcsi Oservţie Î cest eerciţiu rătt cu se plică etod utilizării ecuoscutei uilire l rezolvre uor ecuţii de tipul f si ± cos sicos 0 9

195 8 Eleete MODULUL de trigooetrie Să se rezolve î R ecuţi: si ; si ; c si ; d si 6 cos ; cos ; c cos ; d cos tg ; tg ; c tg ; d tg 6 cos ; si ; c tg ; 6 d cos cos ; e si cos si 6; f si cos cos si si 0; cos cos 6 0; Eerciţii şi prolee propuse c tg 7tg 0; d cos si 0 6 si cos 0; si cos 0; c si cos si ; d si si 7 cos si ; si cos ; c si cos ; d cos si si 8 cos si cos ; si cos si ; c si si cos cos ; d si cos ; e si cos ; f * si sicos ; g tg ctg si cos ; h tg tg tg 0; 6 6 i tg si cos si ; j si tg 9 Să se fle soluţiile rele le ecuţiei trigooetrice cre prţi itervlului idict: si si cos 0 ; * si si cos ; c si si 0 ; d cos 7cos Ur uui stîlp verticl de 7 re lugie de Să se eprie î grde îălţie l cre se flă Sorele fţă de lii orizotului α 9

196 8MODULUL Eleete de trigooetrie U ptrulter îscris îtr-u cerc re lturile de lugie 0 c c c c d 8 c î cestă ordie Să se fle ăsur ughiului fort de lturile și Vlore rportului ditre ri lterlă și ri zei uei piride triughiulre regulte este eglă cu Să se fle ăsur ughiului fort de uchi lterlă și îălţie piridei Digolele feţelor lterle le uui prlelepiped dreptughic foreză cu lturile respective le zei ughiurile α și β Să se fle ăsur ughiului fort de digol prlelepipedului și digol respectivă zei Se știe că două lturi le uui triughi u lugiile l și ir isectore ughiului fort de ceste lturi re lugie Să se fle ăsur cestui ughi Să se copuă și să se rezolve o ecuţie trigooetrică: * oogeă; de for si cos c R ; c cre se reduce l o ecuţie lgerică 6 * Să se rezolve î R ude este u pretru rel ecuţi: si si 0; si si 0; c tg tg 0; d cos si Iecuţii trigooetrice Noţiue de iecuţie trigooetrică Defiiţie Iecuţiile cre coţi ecuoscut ui l rguetul fucţiilor trigooetrice se uesc iecuţii trigooetrice Iecuţiile trigooetrice pot fi rezolvte plicîd tît proprietăţile fucţiilor trigooetrice periodicitte ootoi idetităţile respective etc cît și etodele geerle de rezolvre iecuţiilor iclusiv etod itervlelor Deorece l rezolvre iecuţiilor trigooetrice verificre soluţiilor este deseori dificilă vo ve grijă c trsforările efectute să fie trsforări echivlete Rezolvre iecuţiilor trigooetrice se reduce de regulă l rezolvre iecuţiilor trigooetrice fudetle su l rezolvre sisteelor totlităţilor de iecuţii trigooetrice fudetle Iecuţii trigooetrice fudetle Defiiţie Iecuţiile de tipul si > si < si si cos > cos < cos cos tg > tg < tg tg ctg > ctg < ctg ctg R se uesc iecuţii trigooetrice fudetle Iecuţiile trigooetrice fudetle siilr cu ecuţiile trigooetrice fudetle pot fi rezolvte: folosid cercul trigooetric; folosid grficele fucţiilor trigooetrice 9

197 8 Eleete MODULUL de trigooetrie Vo ilustr rezolvre iecuţiilor trigooetrice fudetle pe cercul trigooetric Eerciţiu rezolvt N Să se rezolve î R iecuţi si t > P P Rezolvre: M DV: t R Rezolvă i îtîi iecuţi pe t itervlul [ 0 ] de lugie Fie cercul trigooetric și drept fig 8 Tote puc- t O tele cercului trigooetric corespuzătore vlorilor lui t t < t < t cre stisfc iecuţi iiţilă u ordot i re decît Mulţie cestor Fig 8 pucte foreză rcul P P suîtis de ughiul P OP Etreităţii P îi corespude vlore t rcsi ir etreităţii P vlore t rcsi Deci puctul cercului v prţie rcului P P dcă < t < Rezultă că tote soluţiile iecuţiei iiţile cre prţi itervlului [ 0 ] de lugie sît < t < u fucţi sius este o fucţie periodică cu period priciplă tote celellte soluţii le iecuţiei iiţile se oţi pri dure uerelor de for k k Z l cele dej deterite stfel soluţiile iecuţiei iiţile sît: k < t < k k Z Răspus: S U k k k Z Iecuţi fudetlă si t > N Petru iecuţi u re soluţii Petru < soluţi iecuţiei este orice P M P t R t Fie < α rcsi tuci î z t periodicităţii fucţiei sius oţie soluţiile iecuţiei O fig 8: rcsi k < t < rcsi k k Z șdr ulţie soluţiilor iecuţiei este: S U rcsi k rcsi k k Z Fig 8 Iecuţi fudetlă si t < Petru > iecuţi re soluţie orice t R Petru iecuţi u re soluţii 96

198 8MODULUL Eleete de trigooetrie Rezolvre iecuţiei petru < se reduce l rezolvre iecuţiei si t > efectuîd sustituţi t z Î cest cz soluţiile iecuţiei sît: rcsi k < t < rcsi k k Z Mulţie soluţiilor iecuţiei este: S U rcsi k rcsi k k Z Iecuţi fudetlă si t Petru iecuţi re soluţie orice t R Petru > iecuţi u re soluţii Petru < soluţiile iecuţiei sît: rcsi k t rcsi k k Z ir S U [rcsi k rcsi k ] k Z Iecuţi fudetlă si t Petru iecuţi re soluţie orice t R Petru < iecuţi u re soluţii Petru < soluţiile iecuţiei sît fig 86: rcsi k t rcsi k k Z ir S U [ rcsi k rcsi k ] k Z Oservţie L rezolvre iecuţiilor trigooetrice fudetle se cută soluţiile i îtîi Fig 86 pe u itervl de lugie petru sius și cosius su de lugie petru tgetă și cotgetă Răspusul se v scrie ţiîdu-se cot de periodicitte fucţiei respective Iecuţi fudetlă cos t > Eerciţiu rezolvt Să se rezolve î R iecuţi cos t > Rezolvre: DV: t R Rezolvă iecuţi pe itervlul [ ] de lugie Fie cercul trigooetric și drept fig 87 Tote puctele cercului trigooetric petru orice vlore lui t cre stisfce iecuţi iiţilă u scis i re decît P M P O t N M N O t t t Fig 87 P P 97

199 8 Eleete MODULUL de trigooetrie Mulţie cestor pucte foreză rcul P P suîtis de ughiul P OP ve P rccos rccos P Pri urre pe itervlul [ ] puctul v prţie rcului P P dcă rccos < t < rccos su < t < Rezultă că soluţiile iecuţiei iiţile cre prţi itervlului [ ] de lugie sît < t < Deorece fucţi cosius este o fucţie periodică cu period priciplă tote celellte soluţii le iecuţiei se oţi pri dure uerelor de for k k Z l cele dej deterite Deci soluţiile iecuţiei iiţile sît: k < t < k k Z Răspus: S U k k k Z Revei l iecuţi cost > Se pote deostr că: petru iecuţi u re soluţii; petru < iecuţi re soluţie orice P t R; petru < soluţiile iecuţiei sît t M N fig 88: rccos k < t < rccos k O k Z t Pri urre ulţie soluţiilor iecuţiei este: S U rccos k rccos k k Z Iecuţi fudetlă cos t < 6 Petru > iecuţi 6 re soluţie orice t R Petru iecuţi 6 u re soluţii Petru < soluţiile iecuţiei 6 sît: rccos k < t < rccos k k Z ulţie soluţiilor fiid: S U rccos k rccos k k Z P Fig 88 Iecuţi fudetlă cos t 7 Petru iecuţi 7 re soluţie orice t R Petru > iecuţi 7 u re soluţii Petru < soluţiile iecuţiei 7 sît: rccos k t rccos k k Z ir ulţie soluţiilor este: S U[ rccos k rccos k ] k Z 98

200 8MODULUL Iecuţi fudetlă cos t 8 Petru iecuţi 8 re soluţie orice t R Petru < iecuţi 8 u re soluţii Petru < soluţiile iecuţiei 8 sît fig 89: rccos k t rccos k k Z ir S U[rccos k rccos k ] k Z Eleete de trigooetrie P t N M t O Iecuţi fudetlă tg t > R 9 P Eerciţiu rezolvt Fig 89 Să se rezolve î R iecuţi tg t > Rezolvre: P T DV: \ t R k k Z P N u period priciplă fucţiei tgetă este și t t rctg vo deteri soluţiile iecuţiei cre prţi itervlului O K de lugie Fie cercul trigooetric și tgetelor T fig 80 Dcă vlore lui t este soluţie iecuţiei iiţile tuci ordot puctului T cre este eglă cu Fig 80 tgt treuie să fie i re decît Mulţie tuturor cestor pucte T foreză seidrept NT Tote puctele seicercului cre corespud seidreptei NT foreză rcul P P tuci t < t < t trge teţi că puctele P și P u prţi cestui rc Pri urre rctg < t < dică < t < 6 N P Ţiîd cot de periodicitte fucţiei tgetă oţie soluţiile iecuţiei iiţile: t tgt t k < t < k k Z O 6 Răspus: S U k k 6 k Z D lizîd figur 8 oservă că puctul P divizeză rcul D î două părţi: rcul P și r- Fig 8 99

201 MODULUL 8 Eleete de trigooetrie cul DP Pe rcul P puctele P și se eclud re loc ieglitte tg t > stfel soluţiile iecuţiei 9 sît: rctg k < t < k k Z ir S U rctg k k k Z Iecuţi fudetlă tg t < R 0 Pe rcul DP fig 8 puctele D și P se eclud re loc ieglitte tg t < Pri urre soluţiile iecuţiei 0 sît: k < t < rctg k k Z ir S U k rctg k k Z Iecuţi fudetlă tg t R re soluţiile: rctg k t < k k Z ir k S U rctg k k k Z Iecuţi fudetlă tg t R re soluţiile: k k Z ir k < t rctg k S U k rctg k k Z Eerciţiu Deduceţi forulele Iecuţi fudetlă ctg t > R fig 8 re soluţiile: k < t < rcctg k k Z ir S U k rcctg k k Z N P t O rcctg Iecuţi fudetlă ctg t < R re soluţiile: rcctg k < t < k k Z ir S U rcctg k k k Z Fig 8 Iecuţi fudetlă ctg t R re soluţiile: k < t rcctg k k Z ir S U k rcctg k ] k Z 00 6

202 8MODULUL Eleete de trigooetrie Iecuţi fudetlă ctg t R re soluţiile: rcctg k t < k k Z ir S U [ rcctg k k 7 k Z Eerciţiu Deduceţi forulele 7 Eerciţiu rezolvt Să se rezolve î R iecuţi si Rezolvre: DV: R Fie t tuci si t si t si t cost cost k t k k Z k t k k Z 6 6 Revei l ecuoscut : k k k Z Răspus: S U k k k Z Eerciţii şi prolee propuse Să se rezolve î R iecuţi: si < ; si ; c si < ; d si < ; e cos < ; f cos ; g cos < ; h cos ; i tg > ; j tg < ; k tg ; l tg ; ctg <; ctg ; o ctg > ; p ctg > ; q cos cos 0; r si si 0; s tg tg > 0 si ; 6 cos ; c ctg > ; d tg < ; e cos > ; f ctg 0 si cos < ; si cos ; c si cos > ; d si cos si cos < ; e * cos cos > 0; f * si cos < si Să se deterie soluţiile ecuţiei cos cos 0 petru cre si Să se deterie soluţiile ecuţiei si si si stfel îcît cos 6 Să se copuă o iecuţie trigooetrică ce se rezolvă pri etod sustituţiei 0

203 8 Eleete MODULUL de trigooetrie Eerciţii şi prolee recpitultive Să se clculeze vlore epresiei: si cos80 cos ; ctg90 si si 7 6 Să se fle cosα dcă se știe că: cos α 06; siα 0 Să se fle vlore epresiei: cos 7 ; cos α si α si O scră rezetă de u perete verticl foreză cu cest u ughi de Să se fle lugie scării dcă distţ de l z scării pîă l perete este de Pedulul de lugie 0 c l uui cesoric oscileză și ughiul fort de două poziţii etree este de 60 Să se deterie îălţie l cre juge cpătul lui î rport cu poziţi pedulului î codiţi de echiliru stil 6 Să se ordoeze î od crescător vlorile: si cos tg ctg Fie: cos α și 0 < α < 90 Să se fle cos 90 α si α 0 8 și 0 < α < Să se fle si α c tg α și 0 < α < Să se fle siα d tg α tg α β Să se fle tgβ e ctg α tg α β Să se fle ctgβ 8 Să se ducă l for ce i siplă epresi: tgα cosα ctgα siα cos α; si α si α cos α si α cosα 9 Să se clculeze vlore epresiei: ; tg0 tg70 tg0 tg0 0 U călător s- propit de lul uui rîu Pe lul celăllt lîgă pă crește u copc Di îtîplre călătorul re l el u rportor u pote deteri călătorul lăţie rîului? u r proced el dcă u r ve rportor? O rotă re 7 de ziţi Să se eprie î grde ughiul de rotţie petru czul de rotire roţii cu: ziţ 0 de ziţi de ziţi 00 de ziţi 0

204 8MODULUL Eleete de trigooetrie Fie vectorii euli Produsul sclr l vectorilor este defiit pri îsă se pote clcul și stfel: cosα ude α este ăsur ughiului fort de cești vectori Să se deostreze că 0 * Să se deostreze că: ; k k ; c c; c Să se clculeze dcă ^ 0 d Să se fle dcă Fie D u ro vîd lugie lturii eglă cu 6 ir D 60 Să se fle produsul sclr D D Fie D u pătrt vîd lugie lturii eglă cu Să se fle produsul sclr Fie vectorii c c ir ^ 0 Să se deterie uărul rel k stfel îcît vectorul k să fie perpediculr pe vectorul 6 Să se copre cu vlore epresiei dcă cos 0 si cos0 7 Să se deterie utilizîd proprietăţile fucţiilor trigooetrice seul vlorii epresiei: ctg0 ctg 70 cos cos ; cos0 cos60 ctg ctg 6 8 Să se studieze pritte fucţiei f : D R: f si cos ; f si tg 9 Să se clculeze: rccos ; rctg ; c rcctg 0 Se știe că tgα ctgα Să se fle: tg α ctg α; tg α ctg α Să se deterie vlore de devăr propoziţiei: si 87 αcosα cos87 αsiα < 0 cos 9 αcosα si9 αsiα > 0 Să se clculeze fără plic clcultorul de uzur si 7 cos ctg Să se clculeze: cos α cos β cos γ cosα cosβ cosγ ude α β γ sît ăsurile ughiurilor iteriore le uui triughi; α β γ α β γ ctg ctg ctg ctg ctg ctg ude α β γ sît ăsurile ughiurilor iteriore le uui triughi 0

205 8 Eleete MODULUL de trigooetrie Să se rezolve î R pri 6 etode ecuţi si cos Să se fle soluţiile ecuţiei log si log cos ce prţi itervlului [ 0 ] si 6 Să se rezolve î R ecuţi logcos cos si si 7 Să se deostreze că > si cos ude α este ăsur uui ughi scuţit α α 8 Să se deostreze că si α si α 9 Să se reprezite grfic fucţiile f și g și să se fle utilizîd grficele soluţiile ecuţiei f g dcă: f : R R f cos g: R R g ; f : R R f si g: R R g 0 Rz cercului îscris îtr-u triughi isoscel este de ori i ică decît rz cercului circuscris cestui triughi Să se fle ăsurile ughiurilor triughiului * Ughiul lăturt zei uui triughi isoscel re ăsur α Să se clculeze rportul ditre ri triughiului și su pătrtelor lugiilor lturilor cestui Să se deostreze idetitte tgα ctgα c Să se fle α stfel îcît 8 d Să se deterie vlorile lui α petru cre i ce i re vlore e Să se fle ulţie de vlori le rportului Să se reprezite grfic fucţi f : D R: si cos f ; f cos si Fie D u ptrulter î cre D D 0 Să se deostreze că D este isoscel Să se clculeze vlorile fucţiilor trigooetrice le ughiului D c Să se deostreze că puctele M N sît coliire ude M și N sît ijlocele lturilor D și respectiv D d Să se deostreze că drept D este tgetă cercului circuscris triughiului MD e Să se fle ri ptrulterului D î fucţie de f Să se clculeze siusul ughiurilor forte de dreptele și D * Să se clculeze: cos rctg ; sirccos06 * Să se rezolve î R ecuţi: si cos si cos ; log si si log cos si 0 6 * Să se rezolve î R ecuţi: si 8si cos 0; 0 cos cos cos 0 0

206 8MODULUL Eleete de trigooetrie Proă de evlure Idicţi liter cre corespude vritei corecte Ughiul α 7 este u ughi di cdrul I II III D IV lculţi vlore epresiei cos60 si 0 tg 60 ctg Fie 0 0 α β Știid că si α si β clculţi: si α cosα si α β cos α β tg α β tg α β Tip efectiv de lucru: de iute tgα tg β tgα tg β duceţi l for ce i siplă epresi tg α β tg α β lculţi vlore epresiei si cos Lugiile lturilor uui prlelogr sît de c și de c ir îălţie costruită pe ltur i re este de c lculţi ăsur ughiului scuţit fort de digolele prlelogrului Tip efectiv de lucru: 90 de iute Deteriţi vlore de devăr propoziţiei: Dcă si cos tuci si cos 0 Fie si α < α < 80 lculţi si cos tg ctg Deostrţi că ecuţi si cos si u re soluţii î R Deteriţi soluţiile ecuţiei ctg ctg si si cre stisfc codiţi cos 0 Fie fucţi f : D R f tg Deteriţi vlorile lui 0 < < petru cre fucţi f este defiită R r 6 Deostrţi că petru orice triughi re loc relţi cos cos cos R ude R este rz cercului circuscris cestui triughi ir r rz cercului îscris î cest triughi 0

207 8 Eleete de trigooetrie rorele trigooetric Idetităţile trigooetrice fudetle tg si cos α α cos α α ctg si α α si tg α cos cos ctg α si α α α α tg α ctg α α cos sec α α si cosec α cos cos α α cos cos β β cos siα si β α cos si α α [ cos α β cos α β ] cosα cos β [ cos α β cos α β ] β β cos α cos cos α α cos si α α cos α ± cos cos si α α α β β cos α cos α β cos α cos β si α si si α α β β β cos α β cos α cos α β β cos[ si α α si β β ] si α si β cos si α β si α cos α β β cos α si β cos α si [ α β ] cos α si β si α ± cos α α cos α cos α si cos tg α α α ± tg tg tg tg α α cos cos si α α α α α si α si α cos si α si α cos si α cos α cos tg ctg tg α α tg α ctg α ctg α α α α tg α si α cos α tg α cos α si α α β MODULUL Forule de reducere si α cos α ; si α cos α si α ; cos α cos α si tg α ctg α ; cos α cos α cos α si α ; si α si α etc α [ si α β si α ] si α cos β β α si α si β si β α β cos α si α si β cos β α β si [ ] tg α β tg α β tg α β tg α tg α tg tg β β ctg α β ctg α ctg α ctg β ctg β [ ] ctg α β ctg α β 06

208 8MODULUL Eleete de trigooetrie α O M f si O o si 0 k k Z; o ipră; o period: ; o crescătore pe ; k k Z k descrescătore pe k k Z k k k o ; Z ; ; i k k Z i Fucţii trigooetrice și proprietăţile lor Fucţii trigooetrice Fucţii trigooetrice iverse si cos: R R ; rcsi : [ ] rcsi t si t tg : R \ Z k k ; R rccos : [ ] [0 ] rccos t cos t ; ctg : R \{ k k Z } R ; rctg : R cos α ; si α ; rctg t tg t ; tg α ; ctg α ; rcctg : R 0 rcctg t ctg t sec α ; cosec α f cos O o cos 0 k k o pră; o period: ; o crescătore pe Proprietăţi Z [ k k ] k Z descrescătore pe [ k k ] k Z o k k Z ; ; i k k Z i ; ; ; f tg O o tg 0 k k o ipră; Z; o period: ; o crescătore pe k k k o u re etree Z ; f ctg O o ctg 0 k o ipră; o period: ; o descrescătore pe k k k Z ; o u re etree ; O si rcsi rcsi ; rccos rccos ; rctg rctg ; rcctg rcctg ; rcsi rccos [ rctg rcctg R ]; ; rcsi O rccos cos tg rctg O O rcctg ctg 07

209 8 Eleete MODULUL Ecuţii iecuţii trigooetrice de trigooetrie Iecuţii trigooetrice Ecuţii trigooetrice * Reductiile l iecuţii lgerice: Iecuţii trigooetrice fudetle Soluţii: lte tipuri de iecuţii trigooetrice si > rcsi rcsi U Z 0 0 Ecuţii trigooetrice fudetle si ; rcsi Z cos ; ± rccos Z tg R; rctg Z ctg R; rcctg Z Metod sustituţiei f si 0 t si ; f tg 0 t tg; si < rcsi rcsi < 0 etc 0 si cos tg ctg U Z cos > rccos rccos U Z cos < rccos rccos U Z f f f f rctg Z U > tg f cos 0 t cos ; f ctg 0 t ctg Metod sustituţiei: ş si cos α β Z siα si β α β k k Z α β Z cosα cos β α β k k Z α β Z tgα tg β α β k lte tipuri de ecuţii trigooetrice rctg Z U < tg ctg > rcctg U Z ctg < rcctg U Z t t ] si [rcsi rcsi U Z ] si [ rcsi rcsi U Z oogee c si cos ] cos [ rccos rccos U Z etod ughiului uilir: ; α tg α c si 0 si cos si 0 : cos cos ] cos [rccos rccos U Z si 0 cos rctg Z U tg rctg Z U tg ] ctg rcctg U Z etod oogeizării; * etod plicării forulelor sustituţiei uiversle; etod reducerii l sisteul si cos ude u v c v ctg [rcctg U Z v u u 08

210 MODULUL 9 Figuri geoetrice î pl Geoetri este o iesă grădiă și fiecre itrîd î e își pote lege u uchet după plcul său Dvid Hilert Oiective idetificre și utilizre ioelor defiiţiilor și teoreelor specifice geoetriei î pl; folosire eleetelor de geoetrie î diverse cotete Eleete de geoetrie deductivă Î cursul gizil de geoetrie ţi îvăţt să distigeţi și să defiiţi priciplele figuri geoetrice di pl și di spţiu să recuoșteţi proprietăţile fudetle le cestor figuri î z eperieţei pri costruire repettă oservre tetă și descriere lor Di ceste oservţii eperietle s-u dedus reguli și s-u forult defiiţii c geerlizări le proprietăţilor oservte cest este etod ituitivă iductivă de studiere geoetriei Î cele ce ureză vo profud și vo sistetiz ceste deprideri copeteţe pri utilizre deopotrivă cu etod ituitivă etodei rţiole deductive de studiere geoetriei Eseţ etodei rţiole de studiere geoetriei costă î fptul că proprietăţile figurilor geoetrice sît stilite î virtute uor rţioete precise cre u iu î cosiderţie tot ce re î prticulr figur eită ci se zeză dor pe proprietăţile ei geerle stfel rţioetul cpătă u crcter uiversl dică este vlil tît petru figur cercettă cît și petru tote figurile cre posedă celeși proprietăţi Fptul că proprietăţile figurilor geoetrice u pot fi rguette dor î z eperieţelor rezultă și di urătorele eeple hir dcă itersectîd două drepte disticte prlele cu o ie de secte diferite oţie pri verificări că ughiurile ltere itere sît cogruete ereu vo ve duii că cestă propriette este vlilă și î czul itersecţiei cu o urătore sectă Dcă vo costrui o sută de triughiuri diferite și vo verific petru ele că su ăriilor ughiurilor iteriore este eglă cu 80 ereu v răîe sezţi că 09

211 9 Figuri MODULUL geoetrice î pl cestă propriette să u fie devărtă petru u urător triughi diferit de cele costruite terior Dcă vo costrui i ulte triughiuri dreptughice vo ăsur lugiile lturilor lor și e vo covige că su pătrtelor lugiilor ctetelor este eglă cu pătrtul lugiii ipoteuzei u ve ici u drept să firă că cestă propriette este devărtă petru orice triughi dreptughic Se cere o deostrţie rigurosă Deci u șir de eeple reușite chir dcă ele sît uerose u pote servi drept ză petru forulre uei proprietăţi geerle Di cotr u sigur eeplu uit cotreeplu este suficiet petru cotrzice o firţie geerlă! D E uăoră u elev rct pe o ltură uui ughi puctele și ir pe celltă ltură puctele D și E stfel îcît [ ] [ DE] fig 9 Și iedit trs cocluzi că dreptele D și E treuie să fie prlele olegul său - fost de cord cu el costruid u D E ughi de ceeși ăsură dr schiîd poziţiile puctelor și spre vîrful ughiului fig 9 oţiut Fig 9 F u dese cre cotrzice firţi priului elev Geoetri este știiţ cre studiză proprietăţile figurilor geoetrice Figurile geoetrice sît strcţii idele di relitte fizică stfel suprfţ uui lc î repos suprfţ uei tle uei oglizi sît iitţii proitive și grosole le figurii geoetrice cre se uește pl De seee gur făcută de vîrful uui c î hîrtie ur lăstă de vîrful uui creio scuţit pe hîrtie sît reprezetări le celei i siple figuri geoetrice uită puct Figurile geoetrice sît ulţii de pucte Reuiue și itersecţi figurilor geoetrice sît figuri geoetrice Lijul teoriei ulţiilor este dptt l ecesităţile geoetriei stfel lături de eprire puctul prţie dreptei d se folosesc pe lrg și urătorele: puctul este situt pe drept d drept d trece pri puctul puctul este coţiut de drept d De seee fptul că puctele și deteriă drept su deteriă segetul pote fi eprit și pri îiările drept trece pri puctele și drept uește puctele și segetul uește puctele și Noţiuile fudetle cre u se defiesc le geoetriei sît: puct dreptă pl c ulţii de pucte distţă ăsură ughiului Relţiile fudetle sît: de icideţă de ordie de cogrueţă și de prlelis Vo forul propoziţii ce epriă relţii ître oţiuile fudetle ceste propoziţii se cosideră priori devărte și se uesc ioe Î ele sît euţte proprietăţi cuoscute le figurilor geoetrice utilizte pe lrg î clsele gizile 0

212 9MODULUL Figuri geoetrice î pl Sisteul de ioe folosit î cest ul este o vrită odifictă sisteului de ioe l lui Hilert și se clsifică î urătorele grupe: ioe de icideţă I; ioe de ordie O; ioe de ăsurre M și de costrucţie segetelor și ughiurilor; io de eisteţă uui triughi cogruet cu u triughi dt PT; io prlelelor P I I ioe de icideţă Două pucte disticte deteriă o dreptă și ui u Oricre r fi drept eistă pucte ce-i prţi și pucte ce u-i prţi Drept se oteză cu literele ici le lfetului lti fig 9 Dcă și sît pucte disticte ce prţi uei drepte tuci drept pote fi ottă fig 9 Î figur 9 c puctele disticte și prţi dreptei ir puctele și D u prţi dreptei D c D Fig 9 ioe de ordie ioele de ordie pu î evideţă relţiile ditre puctele situte pe o dreptă ceste relţii se epriă pri fi ître su se fl ître etc O Ditre trei pucte disticte le uei drepte uul și ui uul se flă ître celellte două Fie puctele situte pe drept fig 9 Propoziţiile sît echivlete Puctul se flă ître puctele și Fig 9 Puctul este situt ître și Puctele și se flă de o prte și de lt puctului Puctele și sît situte de ceeși prte puctului O Oricre r fi două pucte disticte și pe drept deterită de ele eistă cel puţi u puct stfel îcît se flă ître și O Orice dreptă îprte ulţie puctelor plului ce u prţi dreptei î două suulţii disjucte evide de pucte uite seiple stfel îcît segetul deterit de două pucte orecre di seiple diferite itersecteză α D drept segetul ir segetul deterit de două pucte disticte di ce- lși seipl u itersecteză drept segetul fig 9 Fig 9

213 9 Figuri MODULUL geoetrice î pl ioe de ăsurre și de costrucţie segetelor și ughiurilor M Fiecărui seget i se sociză u uic uăr eegtiv uit lugie segetului Lugie uui seget este eglă cu zero dcă și ui dcă segetul este ul Lugie uui seget este eglă cu su lugiilor segetelor î cre el este îpărţit de orice puct iterior l său Lugie segetului se oteză Folosid diferite uităţi de ăsură etrul cetietrul kiloetrul etc oţie diferite vlori uerice le lugiii uui seget M Fiecărui ughi i se sociză o sigură ăsură î grde cuprisă ître 0 și 80 Ughiului lugit i se sociză 80 ir ughiului ul i se sociză 0 Măsur uui ughi este eglă cu su ăsurilor ughiurilor î cre el este îpărţit de orice seidreptă cu origie î vîrful ughiului și sitută î iteriorul lui Petru orice uăr rel eegtiv p pe o seidreptă dtă eistă u uic puct cre îpreuă cu origie seidreptei deteriă u seget de lugie p Petru orice ϕ 0 < ϕ < 80 î seiplul dt deterit de drept suport oricărei seidrepte dte eistă u uic ughi de ăsur ϕ o ltură cărui este seidrept dtă io de eisteţă uui triughi cogruet cu u triughi dt PT io de perutre cogruetă triughiului Fie triughiul și seidrept [ M tuci î seiplul dt deterit de drept M eistă u triughi cogruet cu triughiul stfel îcît u vîrf l cestui triughi coicide cu l doile vîrf prţie seidreptei [ M ir l treile vîrf se flă î seiplul dt P io prlelelor Pri orice puct ce u prţie uei drepte trece o uică dreptă prlelă cu drept dtă Noţiuile oi î geoetrie se itroduc cu jutorul defiiţiilor Eeple Drept cre trece pri ijlocul uui seget și este perpediculră pe el se uește editore segetului Segetul cre uește vîrful triughiului cu ijlocul lturii opuse cestui vîrf se uește ediă triughiului Puctele cre prţi celeiși drepte se uesc pucte coliire Î cz cotrr puctele se uesc ecoliire

214 9MODULUL Figuri geoetrice î pl Teoreele sît proprietăţi iportte cre se deostreză Mjoritte teoreelor di cursul de geoetrie se foruleză su pot fi forulte su for: Dcă I tuci ude I și sît euţuri cre se uesc respectiv ipotez și cocluzi teoreei se vede odulul Ipotez teoreei se uește codiţie suficietă petru cocluzie ir cocluzi se uește codiţie ecesră petru ipoteză Deostrţi teoreei este o îlăţuire rigurosă de deducţii zte pe ioe teoree su pe proprietăţi dej deostrte Eeplu Să liză deostrţi schetică teoreei: Dcă figur este u triughi tuci su ăsurilor ughiurilor iteriore le este eglă cu 80 Duce D fig 9 E D S ughiuri ltere itere ughiuri ltere itere deci S 80 Fig 9 deorece ED este lugit stfel S 80 L deostrţie plict teore despre cogrueţ ughiurilor ltere itere teore Deostrţi se zeză pe io prlelelor P și pe io M Sît prezete iplicit și defiiţii: defiiţi prlelelor sectei ughiului triughiului ughiurilor ltere itere De seee sît folosite iplicit oţiuile edefiite: puct dreptă eglitte Se utilizeză și diferite operţii logice Fie propoziţi: Dcă I tuci Schiîd locurile ipotezei și cocluziei propoziţiei oţie o ouă propoziţie: Dcă tuci I ceste două propoziţii pot fi: ele devărte u devărtă și lt flsă ele flse Dcă ele propoziţii sît devărte tuci ele sît teoree și se uesc teoree reciproce u petru lt De oicei u di ceste teoree se uește teoreă directă ir celltă se uește reciproc celei directe se vede odulul Eeple Reciproc teoreei Dcă două corde le uui cerc sît cogruete tuci ele sît situte l distţe egle de cetrul cercului este teore Dcă două corde le uui cerc sît situte l distţe egle de cetrul cercului tuci ele sît cogruete

215 9 Figuri MODULUL geoetrice î pl Reciproc teoreei Dcă u ptrulter este dreptughi tuci digolele lui sît cogruete este propoziţi Dcă digolele uui ptrulter sît cogruete tuci el este dreptughi cre este flsă Î figur 96 D este ptrulter cu digolele și D cogruete dr D u este dreptughi! Reciproc propoziţiei Dcă u ptrulter este dreptughi tuci lturile lui sît cogruete este propoziţi Dcă lturile uui ptrulter sît cogruete tuci ptrulterul este dreptughi ele propoziţii sît flse D Fig 96 ovei c euţurile două teoree reciproce u petru lt să fie forulte c o sigură teoreă utilizîd îiările codiţie ecesră și suficietă su dcă și ui dcă su tuci și ui tuci stfel cele două teoree reciproce di eeplul pot fi euţte îpreuă zicîd: odiţi ecesră și suficietă petru c două corde le uui cerc să fie cogruete este c ele să fie situte l ceeși distţă de cetrul cercului su Două corde le uui cerc sît situte l ceeși distţă de cetrul cercului dcă și ui dcă ele sît cogruete Propoziţi Digolele roului sît reciproc perpediculre este teoreă ceeși teoreă pote fi forultă stfel: Dcă u prlelogr este ro tuci digolele lui sît reciproc perpediculre cu pute forul ușor reciproc ei: Dcă digolele uui prlelogr sît reciproc perpediculre tuci el este ro cest este de seee teoreă Deostrţiile teoreelor pot fi de tip direct su de tip idirect uite și deostrţii pri reducere l surd Î stfel de deostrţii devărul cocluziei rezultă di flsitte egţiei cestei se vede odulul Eeplu Teoreă Dcă două drepte sît prlele tuci orice dreptă cre o itersecteză pe u o itersecteză și pe cellt Ipotez c c I {P} fig 97 ocluzi c c Deostrţie plică etod reducerii l surd P Dcă presupue că c tuci pri puctul P trec două drepte disticte și c prlele cu drept Dr cest este surd deorece cotrzice io P prlelelor Pri urre cu c și u pot fi prlele ele Fig 97 treuie să iă u puct cou

216 9MODULUL Figuri geoetrice î pl iti clsificre perechilor de ughiuri ce se oţi l itersecţi două drepte disticte cu o trei dreptă uită sectă Perechile de ughiuri fig 98: se uesc ughiuri corespodete; 6 se uesc ughiuri ltere itere; se uesc ughiuri ltere etere; 6 se uesc ughiuri itere de ceeși 8 7 Fig 98 prte sectei; 8 7 se uesc ughiuri etere de ceeși prte sectei Teore Dcă două drepte itersectte de o sectă foreză fig 99: su două ughiuri ltere itere cogruete; su două ughiuri ltere etere cogruete; su două ughiuri corespodete cogruete; su două ughiuri itere de ceeși prte sectei supleetre; su două ughiuri etere de ceeși prte sectei supleetre tuci sît cogruete tote ughiurile ltere itere ltere etere și corespodete; de seee sît supleetre tote ughiurile itere de ceeși prte c sectei și cele etere de ceeși prte sectei Fig 99 Teore Două drepte disticte sît prlele dcă și ui dcă ughiurile ltere itere forte de o sectă cu ceste două drepte sît cogruete fig 90 Fig 90 c Teore Două drepte disticte sît prlele dcă și ui dcă ughiurile ltere etere forte de o sectă cu ceste două drepte sît cogruete fig 9 c Fig 9 Teore Două drepte disticte sît prlele dcă și ui dcă su ăsurilor ughiurilor itere de ceeși prte forte de o sectă cu ceste două drepte este eglă cu 80 fig 9 c Fig 9 Teore L itersecţi dreptelor și cu drept c ughiurile corespodete sît cogruete dcă și ui dcă Teore 6 propriette ughiurilor cu lturile respectiv prlele Două ughiuri cu lturile respectiv prlele sît cogruete dcă ele sît scuţite su otuze și sît supleetre dcă uul este scuţit ir celăllt otuz

217 9 Figuri MODULUL geoetrice î pl Să deostră de eeplu teore Fie dreptele și D itersectte de sect EF foreză ughiurile ltere itere co- F D gruete FE și FE fig 9 Să deostră G că dreptele și D sît prlele E Deostră pri etod reducerii l surd Fig 9 Presupue că dreptele și D u sît prlele tuci ele treuie să se itersecteze îtr-u puct G Pri urre puctele E F G vor fi vîrfurile triughiului EFG l cărui ughi eterior FE este cogruet cu ughiul iterior EF edicet lui cee ce cotrzice firţi cofor cărei ughiul eterior l uui triughi u pote fi cogruet cu ici uul di ughiurile iteriore edicete u dreptele și D u pot ve u puct cou ele sît prlele Ivers fie dreptele și D prlele și să deostră că ughiurile ltere itere FE și FE forte de ceste cu sect EF sît cogruete plică etod reducerii l surd Presupue N F D că ughiurile FE și FE u sît cogruete de eeplu FE > FE fig 9 Di M cestă presupuere deduce că pri puctul F pute E duce o dreptă MN diferită de drept D stfel îcît MFE FE ofor deostrţiei de Fig 9 i sus dreptele MN și sît prlele deorece l itersecţi cu sect EF se oţi ughiuri ltere itere cogruete MFE și EF De ici rezultă că pri puctul F trec două drepte disticte prlele D și MN cu ceeși dreptă Dr cest cotrzice io P prlelelor Nu e răîe decît să dite că ughiurile FE și EF sît cogruete orolre Dcă două drepte sît prlele tuci orice perpediculră pe u di ele este perpediculră și pe celltă Două drepte perpediculre pe ceeși dreptă sît prlele Perpediculrele pe două drepte cocurete sît de seee cocurete Eerciţiu Deostrţi teoreele 6 Prolee propuse Să se foruleze o defiiţie : digolei uui poligo; c isectorei uui triughi; cordei uui cerc; d roului Defiiţiile: Reuiue segetelor [ ] [ ] [ ] se uește liie frîtă ; Pătrtul este u prlelogr cu tote cele ptru lturi cogruete sît icoplete u pot fi trsforte ceste defiiţii petru devei corecte? 6

218 9MODULUL Figuri geoetrice î pl Să se foruleze ipotez și cocluzi î propoziţi: Două ughiuri opuse l vîrf sît cogruete U dietru l uui cerc este i re decît orice cordă cre u trece pri cetrul cercului c Două triughiuri sît cogruete dcă u lturile cogruete d Două drepte cre u două pucte coue disticte coicid re di urătorele propoziţii sît devărte? Petru cre ditre ceste sît devărte propoziţiile reciproce? Mărie uui ughi otuz este i re decît ărie uui ughi scuţit U triughi cre re două lturi cogruete re și două ughiuri cogruete c Su ăsurilor două ughiuri supleetre este eglă cu 80 d Dcă u ptrulter cove re digolele cogruete tuci el este dreptughi N Triughiurile și LMN di dese sît isoscele Drept drept MN Să se rte că triughiurile D E P DE și LQP sît isoscele 6 Triughiurile și LMN di dese sît dreptughice Drept drept LN Să se rte că triughiurile DE și PMQ sît dreptughice D E L L P M Q Q M N 7 Dreptele și di dese sît prlele c este sectă și sît isectore Să se rte că c 8 Dreptele și di dese sît prlele c este sectă este isectore Să se rte că [ ] [ ] c 9 Dreptele și di dese sît prlele puctul M este ijlocul segetului D este sectă cre trece pri puctul M Să se rte că puctul M este ijlocul segetului D c M D 7

219 9 Figuri geoetrice î pl MODULUL 0 Notă cu P u ptrulter și cosideră propoziţiile: P este u dreptughi; lturile lui P sît cogruete; ughiurile lui P sît cogruete; digolele lui P sît cogruete Să se costruiscă trei firţii cre u c ipoteză și drept cocluzii respectiv c și d Să se deterie cre di ceste firţii este flsă și cre di cele trei firţii reciproce este devărtă Fie și două drepte di plul P cocurete î puctul Să se descrie figur: I I P U P; I U P { } I U Fie D și D două suprfeţe dreptughiulre Î ce codiţii D U D este suprfţă dreptughiulră? Dr D I D? Fie T și T două suprfeţe triughiulre cogruete u pot fi rjte ceste suprfeţe î pl stfel îcît: T I T să fie suprfţă hegolă; T U T să fie suprfţă triughiulră; c T U T să fie suprfţă ărgiită de u prlelogr? Să se deostreze că: isectorele două ughiuri dicete supleetre sît perpediculre; două ughiuri cre u celși vîrf și lturile respectiv perpediculre sît cogruete su supleetre; c ăsur ughiului fort de isectore O ughiului O și seidrept OD sitută î iteriorul ughiului O este eglă cu seidifereţ ăsurilor ughiurilor DO și DO O D d ăsur ughiului fort de isectore O ughiului O și seidrept OD eteră ughiului O este eglă cu seisu ăsurilor ughiurilor DO și DO O D e ăsur uui ughi eterior l triughiului este eglă cu su ăsurilor ughiurilor iteriore edicete lui 8

220 9MODULUL Figuri geoetrice î pl Triughiuri ogrueţ triughiurilor lsificări Defiiţii Două segete îchise se uesc cogruete dcă lugiile lor sît egle Două ughiuri se uesc cogruete dcă ăsurile lor sît egle ogrueţ ughiurilor O și O se oteză O O ir cogrueţ segetelor și se oteză ] [ ] [ Defiiţie Triughiurile și se uesc cogruete dcă u loc relţiile: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Se oteză: Meţioă că di fptul că u rezultă că dică l cogrueţ triughiurilor coteză ordie vîrfurilor Se pote deostr că două triughiuri cogruete cu l treile sît cogruete L rezolvre ultor prolee se plică criteriile de cogrueţă două triughiuri riteriul LUL Dcă î triughiurile și u loc relţiile [ ] [ ] [ ] [ ] și tuci fig 9 riteriul ULU Dcă î triughiurile și u loc relţiile [ ] [ ] tuci fig 9 Fig 9 Defiiţie Triughiul cu două lturi cogruete se uește triughi isoscel Teore 7 Dcă u triughi este isoscel tuci ughiurile lăturte zei sît cogruete Defiiţie Triughiul cu tote lturile cogruete se uește triughi echilterl riteriul LLL Dcă î triughiurile și u loc relţiile [ ] [ ] ] [ ] [ ] [ ] tuci [ Deostrţie: Fie și î cre u loc relţiile di euţ fig 96 Î virtute ioei PT î seiplul deterit de drept ce u coţie puctul eistă stfel îcît Fig 96 9

221 9 Figuri MODULUL geoetrice î pl Di oţie: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ostrui segetul și oţie triughiurile isoscele și î cre u loc relţiile și De ici rezultă că și cofor criteriului LUL oţie că u rezultă că Eerciţiu Deostrţi criteriile LUL și ULU de cogrueţă triughiurilor Ughiul dicet supleetr uui ughi iterior l triughiului se uește ughi eterior l triughiului Teore 8 propriette ughiului eterior l uui triughi Măsur ughiului eterior l uui triughi este i re decît ăsur oricărui ughi iterior edicet lui Deostrţie: Vo deostr că ăsur ughiului eterior F l triughiului fig 97 este i re decît ăsur E ughiului iterior Petru cest costrui puctul D pe ltur stfel îcît [ D] [ D] ir pe seidrept [D luă puctul E stfel îcît D să fie situt D ître și E și [ D] [ DE] u puctele și E se flă F î seiple diferite deterite de drept și se flă pe copleetr seidreptei [DE deduce că Fig 97 puctul E este situt î iteriorul ughiului F plicîd io M deduce că F > ED ofor criteriului LUL de cogrueţă triughiurilor rezultă că D ED și pri urre ED < F Î od log se deostreză că F > iti că triughiurile se clsifică după: Ughiuri Triughi scuţitughic Triughi dreptughic Triughi otuzughic Tote ughiurile sît scuţite: < 90 < 90 < 90 U ughi este drept: 90 U ughi este otuz: > 90 0

222 9MODULUL Figuri geoetrice î pl Lturi Triughi scle orecre Triughi isoscel Triughi echilterl Tote lturile u lugii diferite: Două lturi cogruete: Tote lturile cogruete: Prolee rezolvte Lugie uei di lturile cogruete le uui triughi isoscel este de două ori i re decît lugie zei Să se clculeze lugiile lturilor triughiului dcă seiperietrul lui este de 0 c Rezolvre: Perietrul triughiului este egl cu 80 c deci 80 c u oţie: 80 c 6 c tuci c Răspus: 6 c c c Să se rte că dcă două îălţii le uui triughi sît cogruete tuci triughiul este isoscel Rezolvre: Fie triughiul cu îălţiile și cogruete fig 98 Triughiurile și sît dreptughice cu ipoteuz couă și ctetele și cogruete Fig 98 Î z criteriului I de cogrueţă triughiurilor dreptughice rezultă că dică Deci este isoscel cctd Să se rte că o dreptă perpediculră pe isectore D uui ughi tie pe lturile ughiului segete cogruete Rezolvre: Fie drept perpediculră pe isectore ughiului dt itersecteză lturile și isectore ughiului î puctele și respectiv D fig 99 Fig 99

223 9 Figuri MODULUL geoetrice î pl Triughiurile D și D sît cogruete c triughiuri dreptughice criteriul U de ude rezultă că ipoteuzele sît cogruete dică [ ] [ ] cctd Să se costruiscă triughiul dcă se du eleetele două lturi și edi corespuzătore uei di cele două lturi fig 90 Rezolvre: Eseţ proleelor de costrucţie costă î costruire uei figuri geoetrice fiid dte uele eleete le cestei su uele eleete le figurii geoetrice și su/difereţ M uor eleete le cestei Etpele de rezolvre uei prolee de costrucţie pot fi: Fig 90 liz codiţiilor î cre pote fi costruită figur geoetrică; costrucţi figurii geoetrice; deostrţi că figur geoetrică costruită verifică codiţi proleei; discuţii liză dite că triughiul este costruit și că [M] este edi lui Di codiţi proleei rezultă că triughiul M pote fi costruit deorece se cuosc lturile lui: M și M Vîrful este situt pe seidrept [M stfel îcît M M ostrucţie ostrucţiile se eecută cu rigl și copsul ostrui triughiul M cu M M Pe seidrept [ M costrui puctul stfel îcît puctul M este ijlocul segetului Este evidet că Deostrţie Di costrucţi triughiului rezultă că M este ediă și re lugie lturile și u lugiile și respectiv deci triughiul verifică codiţi proleei Discuţii Triughiul pote fi costruit dcă pote fi costruit triughiul M Pri urre soluţi eistă dcă cel i re ditre uerele este i ic decît su celorllte două Prolee propuse Segetele și D se itersecteză î ijlocele lor Să se deterie lugie segetului dcă D c O dreptă itersecteză segetul î ijlocul lui Distţ de l puctul l dreptă este de 8 c Să se fle distţ de l puctul l dreptă Perietrul uui triughi isoscel este de 00 c ir lugie zei lui este de 0 c Să se deterie lugie lturilor cogruete

224 9MODULUL Figuri geoetrice î pl Să se fle perietrul uui triughi isoscel cu z de 0 c și lturile cogruete de 0 c Perietrul uui triughi isoscel este de c Să se deterie lugiile lturilor triughiului dcă lugie zei este cu c i ică decît lugie lturilor cogruete 6 Perietrul uui triughi isoscel este de 6 c Să se fle lugiile lturilor triughiului dcă lugie lturilor cogruete este cu c i ică decît lugie zei 7 Pe lturile cogruete și le triughiului isoscel se costruiesc două segete cogruete D și E Să se fle lugie segetului F dcă F c Idicţie D E F este isoscel D E M F L 8 Pe lturile și le triughiului ritrr se costruiesc î eterior pătrtele LM și NP Să se rte că L P P N E 9 Pe lturile triughiului echilterl se costruiesc segetele cogruete D E și F c î figură Știid că DE c să se deterie lugiile celorllte lturi le DEF 0 Să se deostreze că îălţiile corespuzătore lturilor cogruete le uui triughi isoscel sît cogruete Să se deostreze că isectorele ughiurilor lăturte zei uui triughi isoscel sît cogruete Să se deostreze că ediele corespuzătore lturilor cogruete le uui triughi isoscel sît cogruete Să se deostreze că puctul egl depărtt de lturile uui ughi prţie isectorei cestui ughi Pri ijlocul uui seget este costruită o dreptă Să se deostreze că etreităţile segetului sît egl depărtte de dreptă Triughiul este isoscel Pe lturile și se iu puctele și respectiv stfel îcît Să se deostreze că: ; 6 Triughiurile și sît cogruete Să se deostreze că: ediele M și M sît cogruete; isectorele L și L sît cogruete 7 Fie triughiurile și cu ediele M și respectiv M Să se deostreze cogrueţ triughiurilor și dcă se știe că [ M ] [ M ] [ ] [ ] și ] [ ] [ D F

225 9 Figuri MODULUL geoetrice î pl 8 Să se deostreze cogrueţ triughiurilor și știid că [ ] [ ] [ ] [ ] și [ M ] [ M ] ude [M ] și [ M ] sît edie le triughiurilor și respectiv 9 Să se deostreze că triughiurile și sît cogruete dcă [ ] [ ] [ M ] [ M ] și M M ude [M ] și [ M] sît edie le triughiurilor și respectiv 0 Să se rte că lugie ediei uui triughi este i ică decît seisu lugiilor lturilor ce poresc di celși vîrf cu edi Să se rte că su lugiilor edielor uui triughi este i re decît seiperietrul triughiului și este i ică decît perietrul lui Să se deostreze că triughiurile și sît cogruete dcă [ M ] [ M ] [M ] și [ M] sît edie le triughiurilor și respectiv M M și M M Să se deostreze că triughiurile și sît cogruete dcă [ ] [ ] [ L] [ L ] și [L] și [ L ] sît isectore le triughiurilor și respectiv Fie triughiul isoscel cu edi M Să se clculeze lugie ediei M dcă triughiul re perietrul P ir triughiul M re perietrul Lugiile c le lturilor uui triughi se flă î relţi : : c : : Să se deterie lugiile lturilor triughiului dcă perietrul lui este de 60 c 6 Să se costruiscă triughiul dcă se cuosc eleetele: ; ; c > 7 Să se costruiscă triughiul dreptughic sît ctete ir c este ipoteuză dcă se du eleetele: c; ; c c 8 Să se costruiscă u triughi isoscel dcă se cuosc eleetele: z și ltur cogruetă; ltur cogruetă și ughiul lăturt zei; c z și ughiul lăturt zei; d ltur cogruetă și ughiul opus zei; e îălţie corespuzătore zei și ltur cogruetă; f îălţie corespuzătore zei și ughiul opus zei; g z și ughiul fort de ză cu îălţie corespuzătore lturii cogruete 9 Să se costruiscă triughiul dcă se du edi și ughiurile forte de ediă și lturile triughiului ce poresc di celși vîrf cu edi 0 Să se costruiscă triughiul dcă se cuosc eleetele su eleetele și su/difereţ uor eleete: h ; h ; c c; d c ; e c ; f c ; g c ; h c P

226 9MODULUL Figuri geoetrice î pl Prlelogrul şi proprietăţile lui Trpezul Oservţie ici și î cotiure vo ei ptrultere poligoe covee dică ptrultere poligoe situte î celși seipl îchis deterit de drept suport oricărei lturi ptrulterului Defiiţie Ptrulterul cu lturile opuse prlele se uește prlelogr Teore 9 U ptrulter este prlelogr dcă și ui dcă lturile opuse sît cogruete Teore 0 U ptrulter este prlelogr dcă și ui dcă două lturi opuse sît prlele și cogruete Teore U ptrulter este prlelogr dcă și ui dcă ughiurile opuse sît cogruete Teore U ptrulter este prlelogr dcă și ui dcă digolele lui u celși ijloc Eerciţiu Deostrţi teoreele 9 Teore teore prlelelor echidistte Fie dreptele eprlele și d Dcă pe drept sît costruite segete cogruete și pri etreităţile lor sît costruite drepte prlele cu drept d tuci ceste drepte tie pe orice ltă dreptă d segete cogruete fig 9 Deostrţie: ostrui pri puctele i i i - i seidrepte prlele cu drept și otă puctele de d itersecţie cu dreptele - i i pri i Se i costtă că ptrulterele i i i i - sît prlelogre de ude oţie i i relţiile [ ii ] [ i i ] c lturi opuse le prlelogrului plicîd criteriul de cogrueţă ULU se pote Fig 9 deostr că ii i de ude rezultă că ] [ ] [ ] [ ] [ i i Prlelogre prticulre Dreptughiul este prlelogrul cu u ughi drept Di teore despre prlelogr rezultă că tote ughiurile dreptughiului sît drepte Teore U prlelogr este dreptughi dcă și ui dcă digolele lui sît cogruete

227 9 Figuri MODULUL geoetrice î pl Roul este prlelogrul cu două lturi cosecutive cogruete Pri urre tote lturile roului sît cogruete Teore U prlelogr este ro dcă și ui dcă digolele lui sît perpediculre su sît coţiute de isectorele ughiurilor lui Eerciţiu Deostrţi teoreele Pătrtul este roul cu u ughi drept su dreptughiul cu două lturi cosecutive cogruete Trpezul este ptrulterul cu două lturi opuse prlele și două lturi eprlele Lturile prlele se uesc ze z re și z ică Trpezul cu lturile eprlele cogruete se uește trpez isoscel Segetul cre uește ijlocele lturilor eprlele le uui trpez se uește liie ijlocie trpezului Lii ijlocie este prlelă cu zele și lugie ei este eglă cu seisu lugiilor lor Prolee rezolvte z ică uui trpez isoscel este cogruetă α cu ltur eprlelă ir digol trpezului este perpediculră pe ltur lui eprlelă Să se fle ăsurile α α α ughiurilor iteriore le trpezului D Rezolvre: Fig 9 Fie D u trpez isoscel cu [ ] [ ] [ D] și D fig 9 u D rezultă că D α Deorece [ ] [ ] rezultă că este isoscel cu α u ughiurile lăturte zei trpezului isoscel sît cogruete oţie că D D α Î triughiul dreptughic D ve α 90 dică α 0 tuci D D 0 60 D α 90 0 Răspus: Să se rte că ăsur ughiului fort de îălţie și edi costruite di vîrful ughiului drept l uui triughi dreptughic este eglă cu β β difereţ ăsurilor ughiurilor scuţite α Rezolvre: D M β Fie [D] îălţie și [M] edi triughiului dreptughic 90 M D fig 9 Fig 9 Triughiurile M și M sît isoscele deorece M M M Ughiurile D și sît cogruete c ughiuri scuţite două triughiuri dreptughice cu ughiul cou Pri urre DM M D α β cctd Dcă M D firţi este evidetă 6

228 9MODULUL Figuri geoetrice î pl Să se costruiscă u trpez dcă se du o ză ughiul lăturt cestei ze și L lturile eprlele l h l Rezolvre: α liză Fie trpezul D costruit cu z D lturile eprlele l D l și ughiul D cu D α fig 9 Fig 9 D Di codiţi proleei rezultă că pute costrui D cuoscîd două lturi și ughiul fort de ele Vîrful se flă pe seidrept [ L prlelă cu drept D și pe cercul D l de cetru D și rză D l deci puctul este itersecţi seidreptei [ L cu cercul D l ostrucţie ostrui D poi costrui seidrept [ L D puctele L și D sît î celși seipl liitt de drept ostrui cercul D l Puctul de itersecţie cercului D l cu seidrept [ L este l ptrule vîrf l trpezului Deostrţi este evidetă Discuţii Este evidet că prole re soluţii dcă [ L și D h ude h este îălţie trpezului Prole re două soluţii dcă D > D > h î czul î cre D h eistă o uică soluţie: trpezul este dreptughic u D l l cos h l siα α oţie relţi l l cosα > l l si cre sigură eisteţ soluţiei α Prolee propuse Digolele uui ptrulter u lugii de 6 c și 8 c Să se fle perietrul ptrulterului cu vîrfurile î ijlocele lturilor ptrulterului dt isectore ughiului l prlelogrului D itersecteză ltur D î puctul E Să se deterie lugie segetului E dcă 8 c și D 0 c Uul di ughiurile uui prlelogr re ăsur de 0 Să se fle ăsurile celorllte ughiuri Digol uui prlelogr foreză cu lturile prlelogrului ughiuri de 0 și 0 Să se deterie ăsurile ughiurilor prlelogrului Măsur uui ughi fort de edi corespuzătore ipoteuzei și ipoteuză este de 80 Să se deterie ăsurile ughiurilor scuţite le triughiului dreptughic 6 Măsur ughiului fort de edi costruită di vîrful ughiului drept și u di ctete uui triughi dreptughic este de 0 Să se fle ăsurile ughiurilor scuţite le triughiului 7 Difereţ ăsurilor ughiurilor opuse le uui trpez isoscel este eglă cu 0 Să se deterie ăsurile ughiurilor trpezului 7

229 9 Figuri MODULUL geoetrice î pl 8 Piciorul îălţiii costruite di vîrful ughiului otuz l uui trpez isoscel îprte z re î segete de 8 c și c Să se fle lugiile zelor trpezului 9 Lugiile zelor uui trpez se rportă c : ir lugie liiei ijlocii trpezului este de 70 c Să se fle lugiile zelor trpezului 0 Puctele M și N sît situte î celși seipl liitt de drept d Distţ de l puctul M l drept d este de c ir distţ de l puctul N l drept d este de 8 c Să se deterie distţ de l ijlocul segetului MN l drept d isectore ughiului l prlelogrului D itersecteză ltur î puctul E Să se rte că triughiul E este isoscel Să se deostreze că lugie ediei corespuzătore ipoteuzei uui triughi dreptughic este eglă cu juătte di lugie ipoteuzei Să se deostreze că dcă lugie ediei uui triughi este de două ori i ică decît lugie lturii cărei îi corespude tuci triughiul este dreptughic Să se rte că puctele de itersecţie isectorelor celor ptru ughiuri iteriore le uui prlelogr sît vîrfurile uui dreptughi Lugiile zelor uui trpez isoscel sît și > Să se rte că piciorul îălţiii trpezului costruite di vîrful ughiului otuz îprte z re î două segete cu lugiile și 6 Lugiile digolelor uui ptrulter sît d și d Să se fle perietrul ptrulterului cu vîrfurile î ijlocele lturilor ptrulterului dt 7 Piciorul îălţiii costruite di vîrful ughiului otuz l uui trpez isoscel îprte z trpezului î două segete Să se fle rportul lugiilor cestor segete dcă lugiile zelor sît de 0 c și 6 c 8 Să se costruiscă u ro dcă se du u ughi și digol ce porește di vărful ughiului dt 9 Să se costruiscă u ro dcă se du su digolelor și ughiul fort de o digolă cu u di lturile roului 0 Să se costruiscă u prlelogr dcă se cuosc două lturi ce poresc di celși vîrf și u di digole Să se costruiscă u prlelogr dcă se du digolele și u di lturile lui Să se costruiscă u ro dcă se du o digolă și ltur lui Să se costruiscă u ro dcă se cuosc digolele lui Să se costruiscă trpezul D dcă se du ughiurile scuţite și D și zele D > Să se costruiscă u prlelogr dcă se cuosc digolele și îălţie lui 6 Să se costruiscă u trpez dcă se du o ză îălţie și digolele sle 8

230 9MODULUL seăre figurilor seăre triughiurilor Teore lui Thles Figuri geoetrice î pl Defiiţie Fie k u uăr rel pozitiv Trsforre de seăre de coeficiet k su seăre de coeficiet k plului se uește plicţi plului pe el îsuși cre petru orice două pucte disticte și igiile lor respective stisfce codiţi k Di eglitte k rezultă că dcă tuci Teore 6 opuere două seăări de coeficieţi k și k este o seăre de coeficiet k k Trsforre iversă seăării de coeficiet k este o seăre de coeficiet k Deostrţie: dite că puctele ritrre și se plică pri seăre de coeficiet k pe puctele și respectiv ir ceste l rîdul lor pri seăre de coeficiet k se plică pe puctele și respectiv tuci k și k De ici oţie kk dică trsforre cre plică puctele și pe și respectiv este o seăre de coeficiet k k L seăre de coeficiet k petru puctele și le plului și igiile respective și re loc eglitte k De ici rezultă că k dică trsforre cre plică puctele și pe puctele și respectiv este o seăre de coeficiet k Două figuri se uesc seee dcă eistă o trsforre de seăre plului cre plică u di ceste figuri pe celltă ogrueţ figurilor este u cz prticulr l seăării k Defiiţie Triughiurile și se uesc triughiuri seee dcă k și Se oteză ~ iti uele teoree proprietăţi precu și criteriile de seăre triughiurilor Teore 7 Thles O dreptă ce u trece pri ici uul di vîrfurile uui triughi și este prlelă cu u di lturile lui tie pe dreptele deterite de celellte două lturi segete proporţiole fig 9 9

231 9 Figuri MODULUL geoetrice î pl Teore 8 le fudetlă seăării Fie u triughi și u puct pe drept diferit de Dcă drept prlelă cu ltur ce trece pri puctul itersecteză drept î puctul tuci ~ fig 9 Fig 9 Petru deostr că două triughiuri sît seee deseori se folosesc urătorele criterii de seăre triughiurilor: riteriul Dcă două ughiuri le uui triughi sît cogruete cu două ughiuri le ltui triughi tuci ceste triughiuri sît seee riteriul Dcă două lturi le uui triughi sît proporţiole cu două lturi le ltui triughi și ughiurile forte de ceste lturi sît cogruete tuci ceste triughiuri sît seee riteriul Dcă tote lturile uui triughi sît proporţiole cu lturile respective le ltui triughi tuci ceste triughiuri sît seee Teore 9 propriette isectorei ughiului iterior l triughiului Fie triughiul și u puct iterior lturii Petru c seidrept [ să fie isectore ughiului iterior l cestui triughi este ecesr și suficiet c fig 96 * Teore 0 Dcă lturile ughiului XOY sît itersectte de N > drepte prlele tuci segetele respective tăite de ceste O drepte pe lturile lui sît proporţiole: fig 97 O * Teore Dcă două drepte prlele și sît itersectte de N > drepte ce trec pri celși puct O O O tuci segetele tăite pe dreptele și sît proporţiole: fig 98 O X Y O Fig 96 Eerciţiu Deostrţi teoreele 9 Fig 97 Fig 98 0

232 9MODULUL Figuri geoetrice î pl Proleă rezolvtă Lturile triughiului sît c Să se fle ltur roului îscris î stfel îcît u ughi l roului coicide cu ughiul l triughiului ir u vîrf l cestui prţie lturii triughiului fig 99 Rezolvre: Fie roul MLN îscris î triughiul u o digolă roului este isectore ughiului l triughiului dt rezultă că vîrful L l roului este puct de itersecţie lturii și isectorei ughiului Triughiurile ML și sît seee deci : ML : L L L : L L : L Di teore isectorei uui triughi rezultă că L : L : : c c Di eglităţile și oţie: ML ML c c c Răspus: Ltur roului este c Prolee propuse M N L Fig 99 Lugiile două lturi le uui triughi isoscel sît de 8 c și 6 c ir lugie lturilor cogruete le uui lt triughi isoscel este de 6 c Să se clculeze lugie zei triughiului l doile dcă ughiurile lăturte zei le priului triughi sît cogruete cu ughiurile lăturte zei le triughiului l doile Triughiurile și sît seee și c c 6 c c Să se fle perietrele triughiurilor și Piciorul îălţiii D triughiului dreptughic 90 îprte ipoteuz î segetele D 8 c și D c Să se deterie lugiile lturilor triughiului Î triughiul cu îălţie D 0 c și ltur c este îscris u pătrt stfel îcît două vîrfuri le cestui prţi lturii ir celellte două se flă pe lturile și Să se fle lugie lturii pătrtului Dreptele suport le lturilor eprlele și D le trpezului D se itersecteză î puctul E Să se deterie lugiile lturilor triughiului ED dcă 0 c 0 c D c D 0 c 6 Lugiile urelor doi copci sît de 08 și 8 opcul l doile re îălţie de Să se fle îălţie priului copc

233 9 Figuri MODULUL geoetrice î pl 7 Ughiurile și le triughiurilor isoscele [ ] [ ] și [ ] [ ] sît cogruete Să se rte că ~ 8 Fie triughiul dreptughic cu 90 și îălţie D Să se rte că: ~ D; ~ D; c D ~ D 9 Fie triughiurile seee și cu ediele M și respectiv M Să se rte că M : M : 0 Fie triughiurile seee și cu isectorele L și respectiv L Să se rte că L : L : Digolele ptrulterului D se itersecteză î puctul E Să se rte că E E E DE dcă și ui dcă D Să se rte că dcă H este puctul de itersecţie dreptelor suport le îălţiilor le oricărui triughi tuci u loc relţiile H H H H H H Să se rte că î orice trpez sît coliire: puctul de itersecţie dreptelor suport le lturilor eprlele ijlocele zelor și puctul de itersecţie digolelor Fie triughiul < cu isectore L și edi M Să se rte că L < M Digolele ptrulterului D se itersecteză î puctul M și re loc relţi M M M MD Să se rte că D 6 Lugiile lturilor uui triughi se rportă c : : Să se fle lugiile lturilor triughiului seee cu cel dt știid că perietrul lui este de 66 c 7 Triughiurile și sît seee și c 0 c c c Să se deterie lugiile celorllte lturi le triughiurilor 8 Fie triughiul cu M N și MN Să se fle lugie segetului M dcă c 0 c și MN 0 c 9 Dreptele suport le lturilor eprlele și D le trpezului D se itersecteză î puctul O Să se fle îălţie triughiului OD dcă c D c și îălţie trpezului este de 6 c 0 Să se costruiscă triughiul dcă se du eleetele ir : c : Să se costruiscă triughiul dcă se cuosc eleetele și su h Î triughiul să se îscrie u pătrt stfel îcît două vîrfuri să fie situte pe ltur ir celellte două să fie situte pe lturile și Să se costruiscă u triughi isoscel fiid dte ughiul fort de lturile cogruete și su lugiii zei și îălţiii corespuzătore zei

234 9MODULUL Figuri geoetrice î pl Liii şi pucte rercile le triughiului Segetul deterit de ijlocele două lturi le uui triughi se uește liie ijlocie triughiului Teore Dcă [MN] este lii ijlocie triughiului M este ijlocul lturii N ijlocul lturii tuci [MN] [] și MN fig 90 M N Deostrţie: Pri puctul M costrui o dreptă prlelă cu ofor P teoreei cestă dreptă v itersect ltur Fig 90 î ijlocul ei deci v trece pri puctul N stfel oţie [MN] [] Dcă pri puctul N vo costrui o dreptă prlelă cu ltur tuci e v itersect ltur î ijlocul ei pe cre îl otă P deci P P P Ptrulterul MNP este u prlelogr pri urre MN P Di ultiele două eglităţi rezultă că MN Segetul deterit de u vîrf l triughiului și ijlocul lturii opuse cestui vîrf se uește ediă triughiului Teore Mediele uui triughi sît cocurete îtr-u puct cre îprte fiecre ediă î rportul : cosiderîd de l vîrf Eerciţiu Deostrţi teore Puctul de itersecţie edielor triughiului se uește cetru de greutte l triughiului Meditore uui seget se uește drept ce trece pri ijlocul segetului și este perpediculră pe el Folosid propriette editorei puctele editorei segetului sît egl depărtte de etreităţile lui se pote deostr că editorele lturilor uui triughi se itersecteză îtr-u puct egl depărtt de vîrfurile lui cest puct este cetrul cercului circuscris triughiului Pri urre oricărui triughi i se pote circuscrie u cerc Segetul deterit de u vîrf l triughiului și proiecţi cestui vîrf pe drept suport lturii opuse se uește îălţie triughiului Teore Dreptele suport le îălţiilor triughiului sît cocurete Eerciţiu Deostrţi teore Puctul de itersecţie dreptelor suport le îălţiilor triughiului se uește ortocetru l triughiului Triughiul se uește îscris îtr-u cerc dcă vîrfurile lui se flă pe cerc Triughiul se uește circuscris uui cerc dcă lturile lui sît tgete l cerc

235 9 Figuri MODULUL geoetrice î pl Segetul coţiut de isectore uui ughi l triughiului și cre este deterit de vîrful cestui ughi și de puctul de itersecţie isectorei lui cu ltur opusă se uește isectore triughiului Teore isectorele ughiurilor iteriore le triughiului sît cocurete î cetrul cercului îscris î triughi Meditore edi isectore și îălţie triughiului se uesc liii rercile le triughiului etrul cercului îscris î triughi cetrul cercului circuscris triughiului cetrul de greutte l triughiului și ortocetrul triughiului se uesc pucte rercile le triughiului Prolee rezolvte z triughiului isoscel re lugie de 0 c ir lturile cogruete și u lugie de c Să se deterie distţ ditre puctul de itersecţie edielor și puctul de itersecţie isectorelor triughiului Rezolvre: Deorece îălţie D triughiului isoscel este ediă și isectore puctul G de itersecţie edielor și puctul O de itersecţie isectorelor sît situte pe D fig 9 flă D D c G ofor proprietăţii edielor GD D c O ofor proprietăţii isectorei O triughiului D OD D ve D O Fig 9 0 Deorece O D OD OD rezultă că OD c 0 Pri urre OG c Î triughiul sît duse îălţiile și fig 9 Să se deterie ăsurile ughiurilor triughiului știid că α β α β 90 Rezolvre: Deorece triughiurile dreptughice și u ughiurile scuţite de l vîrful cogruete ele sît seee Pri urre u triughiurile și u lturile ce deteriă ughiurile cogruete de l vîrful cou proporţiole cofor criteriului de seă- Fig 9 re ele sît seee Pri urre α β

236 9MODULUL Figuri geoetrice î pl ocluzi ce rezultă di cestă proleă pote fi forultă stfel: dcă piciorele îălţiilor duse di două vîrfuri le uui triughi u coicid tuci îpreuă cu l treile vîrf l triughiului ele deteriă u triughi seee cu cel dt Triughiul este isoscel cu z fig 9 Î cest triughi îălţie 6 c și îălţie 9 6 c Să se fle lugiile lturilor triughiului Rezolvre: Fie Di seăre triughiurilor dreptughice și deduce: 96 De ici Fig 9 6 ofor teoreei lui Pitgor di oţie 6 Rezolvîd sisteul de ecuţii oţie stfel 0 c 6 c Prolee propuse Două lturi le uui triughi u lugiile de 6 c și 8 c Mediele corespuzătore cestor lturi sît perpediculre Să se fle lugie lturii trei Să se deterie perietrul triughiului cu vîrfurile î ijlocele lturilor uui triughi vîd lturile de c 6 c și 8 c Lugie zei uui triughi isoscel este de c ir ăsur ughiului opus zei este de 0 Să se fle îălţiile triughiului Două lturi le uui triughi u lugiile de 0 c și 6 c ir ughiul fort de ele este de 0 Să se fle îălţiile corespuzătore cestor lturi U puct l ipoteuzei este egl depărtt de ctete și îprte ipoteuz î segete cu lugii de 0 c și 0 c Să se deterie lugiile ctetelor 6 Două edie le uui triughi sît perpediculre și u lugiile de c și 6 c Să se fle lugiile lturilor triughiului 7 Medi costruită di vîrful ughiului drept l uui triughi dreptughic este cogruetă cu o ctetă și re lugie de c Să se fle lugiile lturilor triughiului 8 Să se deterie lugiile isectorelor ughiurilor scuţite le uui triughi dreptughic cu ctetele de c și c 9 Lugie uei lturi uui triughi este de 6 c Pri puctul de itersecţie edielor triughiului este costruită o dreptă prlelă cu ltur dtă Să se fle lugie segetului tăit di cestă dreptă de lturile triughiului

237 9 Figuri MODULUL geoetrice î pl 0 Mediele corespuzătore ctetelor uui triughi dreptughic u lugiile de c și 7 c Să se deterie lugie ipoteuzei Lugiile ctetelor uui triughi dreptughic sît de 9 c și c Să se fle distţ ditre puctul de itersecţie isectorelor și puctul de itersecţie edielor cestui triughi Să se deterie ăsurile ughiurilor uui triughi știid că îălţie și edi costruite di celși vîrf îprt ughiul î trei ughiuri cogruete Distţele de l cetrul cercului îscris îtr-u triughi dreptughic l vîrfurile ughiurilor scuţite sît de c și 0 c Să se deterie lugiile lturilor triughiului și rz cercului îscris î cest triughi Lugiile lturilor uui triughi sît de c 6 c 7 c etrul cercului îscris î cest triughi îprte isectore ughiului i re î două segete Să se fle rportul lugiilor segetelor oţiute Să se deterie lugiile isectorelor ughiurilor scuţite le uui triughi dreptughic cu ctetele de 8 c și c 6 Î cercul de rză R este îscris u triughi isoscel Știid că su îălţiii corespuzătore zei și lugiii zei este eglă cu lugie dietrului cercului să se fle îălţie triughiului corespuzătore zei 7 Fie triughiul cu îălţiile și Să se deterie lugie lturii dcă 6 c c c Pro de evlure I Tip efectiv de lucru: de iute Igie fotogrfică lută di vio uui l de poru re for uui dreptughi cu diesiuile c Știid că rportul de seăre ître fotogrfie și pl este :0000 flţi diesiuile rele le lului de poru V O scră dulă re lugie uui rţ [V] de Petru fire se folosește u fir [D] l distţ de pe rţ E D [] de l sol re este lugie S firului dcă lugie scării [VS] este de? Ditr-o ţevă cu rz de plecă trei ţevi de celși dietru flţi dietrul cestor ţevi stfel îcît ele să prei tot deitul D Fie triughi dreptughic î și [D] isectore ughiului D Știid că D c D c deteriţi lugiile lturilor triughiului U pilo etlic re for și diesiuile priciple c î figură Deteriţi lugie grizilor orizotle D EF 0 E F 6

238 9MODULUL Figuri geoetrice î pl U coperiș triughiulr re deschidere D d ir pt Deteriţi D lugie grizii N dcă DN N M N Ditr-o foie pătrtă de ltură se decupeză colţuri stfel îcît să se oţiă o piesă octogolă regultă flţi lugie lturii octogoului lculţi cîte discuri de rză r se pot cofecţio pri tăiere erţiolă și pri tăiere rţiolă uei ezi de etl vîd lăţie r și lugie 0r î figură se rtă tăiere erţiolă și ce rţiolă r r Îtr-u telier de tăiere tlei răî deșeuri î foră de triughi echilterl de ltură 0 Petru u ou produs itrodus î fricţie se vor eecut piese î foră de pătrt cu ltur de 80 și î foră de dreptughi cu diesiuile 90 0 re di ceste piese se pot eecut di deșeuri? 0r M D 0r N O O O 6 Relţii etrice î triughiuri şi cercuri 6 Relţii etrice î triughiul dreptughic Fie triughiul dreptughic î cu otţiile oișuite și D îălţie corespuzătore lturii fig 9 Î triughiurile D D ve: siα cosα ; c c c siα c tg α ; hc h c cosα c tg α 6 c oprîd eglităţile și și și 6 oţie: c dică c c 7; c c dică c c 8; c c h c dică h h c c c c c α c α h c D c Fig 9 c 7

239 9 Figuri MODULUL geoetrice î pl duîd eglităţile 7 și 8 eru cu eru oţie: c c c u c c c rezultă că c stfel deostrt urătorele trei teoree Teore 6 teore ctetei Îtr-u triughi dreptughic pătrtul lugiii uei ctete este egl cu produsul ditre lugie ipoteuzei și lugie proiecţiei cestei ctete pe ipoteuză Î figur 9 D D Teore 7 teore îălţiii Îtr-u triughi dreptughic pătrtul îălţiii costruite di vîrful ughiului drept pe ipoteuză este egl cu produsul lugiilor proiecţiilor ctetelor pe ipoteuză Î figur 9 D D D Fig 9 Teore 8 teore lui Pitgor Îtr-u triughi dreptughic pătrtul lugiii ipoteuzei este egl cu su pătrtelor lugiilor ctetelor Î figur 9 D Prolee rezolvte Î iteriorul ughiului O cu ăsur de 60 se cosideră u puct M situt l distţele c și c de lturile ughiului 0 M Să se fle distţ de l puctul M l vîrful ughiului fig 96 Rezolvre: ve M c M c Prelugi M pîă l itersecţi î cu ltur O ughiului O u M este dreptughic cu 0 rezultă că M c 60 Î triughiul dreptughic O ve: O O tg 0 c Fig 96 plică triughiului dreptughic OM teore lui Pitgor și oţie: OM O M 7 c Răspus: OM c Fie triughiul dreptughic D este îălţie costruită di vîrful ughiului drept F ir E și F sît proiecţiile puctului D pe ctetele E și respectiv Să se deostreze că D D F F E E fig 97 D Fig 97 8

240 9MODULUL Figuri geoetrice î pl Rezolvre: Ptrulterul EDF este u dreptughi Pri urre D ED FD 9 plică triughiurilor D D teore îălţiii și oţie: D D D ED E E DF F F 0 Sustituid 0 î 9 oţie cctd Să se eprie rz r cercului îscris î triughiul dreptughic pri ctetele și ipoteuz c fig 98 Rezolvre: Fie O cetrul cercului îscris î triughiul și E F G puctele de tgeţă u ptrulterul EOG este u pătrt cu ltur r rezultă că G r F E r F segetele deterite de u puct și de puctele de tgeţă l cerc u lugii egle Dr F F c c Deci c r r r Fig 98 Fie triughiul dreptughic cu ctetele și Este costruită isectore uui ughi scuţit l triughiului Să se deterie lugie perpediculrei costruite di vîrful ughiului drept pe cestă isectore Să se cerceteze ele czuri posiile fig 99 α α Rezolvre: c Fie [M] isectore ughiului K M ofor teoreei lui Pitgor c Î ve cos α u c K cos si α α c M oţie că Fig 99 siα c Î K ve K siα Pri rţioete siilre deteriă lugie perpediculrei și î czul î cre isectore este costruită di vîrful : Răspus: su E r r c F O r r r r r G r 9

241 9 Figuri MODULUL geoetrice î pl tetele triughiului dreptughic u lugiile și Să se deterie lugie isectorei ughiului drept fig 90 E Rezolvre: l Fie l lugie isectorei D Duce DE și otă DE u DE este dreptughic isoscel rezultă că l D Fig 90 E ED Ţiîd cot că ED ~ oţie: stfel l Prolee propuse Î iteriorul uui ughi cu ăsur de 60 se cosideră u puct M situt l distţele 7 c și 7 c de lturile ughiului Să se deterie distţ de l puctul M l vîrful ughiului Lugiile ctetelor uui triughi dreptughic sît de 9 c și c Să se fle rzele cercurilor îscris și circuscris triughiului Lugie ediei corespuzătore ipoteuzei uui triughi dreptughic este eglă cu lugie uei ditre ctete Să se deterie ăsurile ughiurilor scuţite le triughiului Piciorul îălţiii costruite di vîrful ughiului drept îprte ipoteuz uui triughi î segete de c și 9 c Să se fle lugiile ctetelor Lugiile ctetelor uui triughi dreptughic sît de 8 c și c Să se fle lugie isectorei ughiului drept 6 Puctul de tgeţă cercului îscris îtr-u triughi dreptughic îprte ipoteuz î segete de c și c Să se deterie lugiile ctetelor 7 Puctul de tgeţă cercului îscris îtr-u triughi dreptughic îprte u di ctete î segete de c și 9 c Să se fle lugie ipoteuzei și celeillte ctete 8 tetele uui triughi dreptughic sît de 6 c și 8 c Să se deterie distţ de l cetrul cercului îscris î triughi l cetrul cercului circuscris triughiului 9 Rz cercului circuscris uui triughi dreptughic este de c ir rz cercului îscris de 6 c Să se fle lugiile lturilor triughiului 0 Fie triughiul dreptughic și [D] isectore ughiului drept Știid că D și D să se deterie îălţie costruită di vîrful 0

242 9MODULUL Figuri geoetrice î pl Î triughiul dreptughic di vîrful ughiului drept este costruită îălţie D Rzele cercurilor îscrise î triughiurile D și D sît r și respectiv r Să se deterie rz cercului îscris î triughiul Să se deostreze că dcă uul di ughiurile uui triughi dreptughic re ăsur de tuci îălţie costruită di vîrful ughiului drept re lugie eglă cu u sfert di lugie ipoteuzei Idicţie ostruiţi edi corespuzătore lturii opuse vîrfului ughiului drept isectore uui ughi scuţit l uui triughi dreptughic îprte ctet opusă î segete de c și c Să se fle lugiile lturilor triughiului Îtr-u triughi dreptughic este îscris u seicerc stfel îcît dietrul lui este situt pe ipoteuză ir cetrul lui îprte ipoteuz î segete de c și c Să se fle lugiile lturilor triughiului și rz seicercului Î triughiul dreptughic î cu E și F sît ijlocele segetelor și respectiv ir dreptele E și F sît perpediculre Să se deterie lugiile lturilor triughiului 6 Piciorul D l îălţiii D costruite di vîrful ughiului drept l triughiului este situt l distţele și de ctetele și respectiv Să se deterie lugiile ctetelor 6 Relţii etrice î triughiul ritrr Fie triughiul scuţitughic cu otţiile oișuite și D h îălţie costruită di vîrful fig 9 h Î D ve siα dică h h si α ir î D ve si β dică h si β Pri urre siα si β dică si β siα Î od log costruid îălţiile di vîrfurile și oţie că c și respectiv oiîd ceste rezultte oţie: siα siγ c siα si β siγ c si β siγ Î czul triughiului otuzughic pri rţioete seăătore oţie celși rezultt Eerciţiu Efectuţi ceste rţioete α c Fig 9 γ h D β

243 9 Figuri MODULUL geoetrice î pl stfel deostrt Teore 9 teore siusurilor Lugiile lturilor oricărui triughi sît proporţiole cu siusurile ughiurilor opuse: c fig 9 siα siβ siγ Fie u triughi ritrr cu otţiile oișuite D h îălţie costruită di vîrful fig 9 osideră sisteul crtezi de coordote cu origie î puctul stfel îcît sei pozitivă sciselor să coicidă cu seidrept [ Fie coordotele vîrfului Vîrful re coordotele 0 0 ir vîrful coordotele c 0 Î D ve: D cos 80 α cosα D si 80 α siα α 0 0 γ β c Fig 9 c α β c 0 Fig 9 γ D Pri urre D c cosα siα plicîd forul distţei ditre două pucte oţie: c cosα siα c ccosα cos α si α c ccosα Î D ve D cos β D si β și cosβ c si β cos β ccos β c si β c ccosβ Î od log cosiderîd sisteul de coordote cu origie î vîrful oţie c cosγ stfel deostrt Teore 0 teore cosiusului Î orice triughi pătrtul lugiii oricărei lturi este egl cu su pătrtelor lugiilor celorllte două lturi ius produsul dulu ditre lugiile cestor două lturi și cosiusul ughiului fort de ele: c ccos ; c ccos ; c cos fig 9 c Di cestă teoreă rezultă că: Fig 9 dcă > c tuci ughiul opus lturii este u ughi otuz; dcă < c tuci ughiul opus lturii este u ughi scuţit; c dcă c tuci ughiul opus lturii este u ughi drept

244 9MODULUL Figuri geoetrice î pl Se oservă că petru α > 90 fig 9 proiecţi lturii pe drept suport lturii este D cosα și tuci c c D Petru β < 90 proiecţi lturii pe drept suport lturii este D cos β și tuci c c D Forulele costituie Teore teore lui Pitgor geerliztă Pătrtul lugiii uei lturi oricărui triughi este egl cu su pătrtelor lugiilor celorllte două lturi plus/ ius produsul dulu ditre lugie uei di ceste două lturi și proiecţi celeillte lturi pe drept suport priei Prolee rezolvte Să se deostreze că î codiţi teoreei siusurilor R ude R este rz cer- c siα si β siγ cului circuscris triughiului fig 9 O α Rezolvre: α Este suficiet să deostră că uul di ceste rporte este egl cu R D Fig 9 Fie de eeplu ughiul scuţit Trsă dietrul D l cercului circuscris triughiului Î cest cz ughiul D re ceeși ăsură α c și ughiul Î triughiul dreptughic D ve D dică R cctd siα siα Îtr-u cerc de rză R 6 este îscris u c triughi cu două ughiuri de ăsurile și 60 fig Să se fle perietrul triughiului O Rezolvre: Folosid otţiile oișuite și plicîd teore siusurilor oţie: Fig 96 Rsi60 Rsi80 7 Rsi 7 c Rsi De ici P Rsi 60 si 7 si Rsi 60 si cos0 R Răspus: P R 6 6 6

245 9 Figuri MODULUL geoetrice î pl Să se deostreze că su pătrtelor lturilor oricărui prlelogr este eglă cu su pătrtelor digolelor Rezolvre: α Fie prlelogrul D cu α D fig 97 tuci 80 α Scrie Fig 97 teore cosiusului petru triughiurile D și : D D D cosα cos80 α duîd ceste eglităţi eru cu eru și ţiîd cot de eglitte cos 80 α cosα oţie că D D dică D D cctd 80 α Prolee propuse Lturile prlelogrului sît de c și 7 c ir o digolă este de c Să se deterie lugie celeillte digole Îtr-u cerc de rză 0 c este îscris u triughi cu două ughiuri de 60 și Să se fle ri triughiului Două lturi le uui triughi sît de și ir siusul ughiului fort de ele este Să se clculeze lugie lturii trei Distţele de l cetrul cercului îscris îtr-u triughi dreptughic pîă l vîrfurile ughiurilor scuţite sît de c și 0 c Să se fle ăsurile ughiurilor scuţite U triughi re lturile de și 6 Să se deterie lugiile proiecţiilor lturilor de și pe ltur trei 6 O ltură uui triughi este de c uul di ughiurile lăturte cestei lturi este de 0 ir ltur opusă cestui ughi este de 7 c Să se fle lugie lturii trei 7 Să se deterie lugie ediei triughiului corespuzătore lturii opuse vîrfului dcă c 8 Îălţie și edi uui triughi îprt ughiul di cre sît costruite î trei ughiuri cogruete Să se fle lugiile lturilor triughiului dcă edi este de c 9 Lugiile lturilor uui triughi cu u ughi de 0 sît tereii uei progresii ritetice Să se fle lugiile cestor lturi știid că ce i re ditre ele este de 7 c 0 Pritr-u vîrf l uui pătrt cu ltur pri ijlocul uei lturi cre u coţie cest vîrf și pri cetrul pătrtului este costruit u cerc Să se deterie rz cestui cerc ri triughiului este eglă cu c 7 c c și ughiul este otuz Să se fle rz cercului circuscris triughiului

246 9MODULUL 6 ercul și discul erc de cetru O și rză R R > 0 se uește ulţie puctelor plului situte l distţ R de puctul O Se oteză O R fig 98 Figuri geoetrice î pl O dietru R rză cordă M Discul de cetru O și rză R R > 0 este fort di ulţie puctelor plului căror distţă pîă l O u îtrece R Se oteză D O R fig 98 O dietru R Fig 98 rză M Mulţie puctelor plului situte de l cetrul O l distţ i ică/re decît rz cercului R se uește iteriorul/eteriorul cercului O R Poziţiile reltive le dreptei fţă de cercul O R sît reprezette î figur 99 Drept este: d > R d R d < R d O R eterioră cercului tgetă cercului î puctul M d M O R Fig 99 M R O d N c sectă cercului î puctele M N Dcă drept este tgetă l cercul O R î puctul M tuci fig 99 : puctul M este uicul puct cou l dreptei și cercului; drept este perpediculră pe rz OM î puctul M; distţ de l cetrul O l drept este eglă cu rz R d R

247 9 Figuri MODULUL geoetrice î pl Poziţiile reltive două cercuri sît reprezette î figur 90 ercurile O r și O R sît: O r R M M r R r R O O O O O eteriore tgete eterior î puctul M N c secte î puctele M și N M r O O R R r r R O O O O d tgete iterior î puctul M e cocetrice f priul iterior celui de l II-le l II-le eterior priului Fig 90 Teore ele două tgete lute c segete costruite l cerc di celși puct eterior cercului u lugii egle isectore ughiului fort de ceste tgete trece pri cetrul cercului fig 9 Eerciţiu Deostrţi teore O T T Fig 9 Teore putere puctului î rport cu cercul Fie u cerc u puct M o dreptă ce trece pri puctul M și itersecteză cercul î puctele și tuci produsul M M u depide de legere dreptei fig 9 Deostrţie: D osideră czul cîd M puctul M u prţie cercului dică se flă su î iteriorul M cercului fig 9 su î eteriorul lui fig 9 D Duce pri puctul M Fig 9 două drepte: pri itersecteză cercul î puctele și ir dou î puctele și D ostrui segetele și D și oţie că DM ~ M Di proporţiolitte lturilor cestor triughiuri D M DM rezultă că M M M DM M M 6

248 9MODULUL Dcă puctul M este situt pe cerc fig 9 tuci cest puct este o etreitte cordei dică puctul M îprte cord î două segete ditre cre uul este ul Î cest cz M M MM 0 0 Produsul M M se uește putere puctului î rport cu cercul dt Figuri geoetrice î pl Fig 9 M Prolee rezolvte Fie puctul I cetrul cercului îscris î puctul L itersecţi dreptei suport isectorei ughiu-lui cu cercul circuscris triughiului Să se rte că L IL L fig 9 Rezolvre: u [L este isectore rezultă: e L e L și L L Deostră că LI IL Îtr-devăr LI LD ir LD este îscris L î cerc deci Fig 9 LD L D LD e e e Ughiul IL re vîrful î iteriorul cercului circuscris triughiului deci L D IL e e u [D este isectore ughiului rezultă că e D e D 6 Di eglităţile 6 rezultă că LI IL deci triughiul IL este isoscel cu L LI Di ulti eglitte și di oţie cctd Să se costruiscă triughiul dcă se du îălţie h isectore l și edi costruite di celși vîrf fig 9 liză dite că triughiul este costruit ir [D] [L] și [M] sît îălţie isectore și N O respectiv edi costruite di vîrful D L M ofor codiţiei proleei se pot costrui triughiurile DL și DM c triughiuri dreptughice fiid dte o ctetă și ipoteuz Meditore lturii E itersecteză drept suport isectorei L îtr-u puct E l cercului circuscris triughiului etrul Fig 9 cercului circuscris triughiului este puctul O de itersecţie editorelor segetelor E și Vîrfurile și le triughiului căutt sît puctele de itersecţie cercului O O cu drept suport segetului DM I O D 7

249 9 Figuri MODULUL geoetrice î pl ostrucţie ostrui triughiurile dreptughice DL și DM stfel îcît D h L l M Pri puctul M costrui o dreptă perpediculră pe drept DM și deteriă puctul E de itersecţie cestei perpediculre cu drept suport isectorei L Puctul O de itersecţie perpediculrei ME și editorei segetului E este cetrul cercului circuscris triughiului deci puctele și de itersecţie cercului O O cu drept suport segetului DM sît celellte două vîrfuri le triughiului căutt Deostrţie Este evidet că triughiul costruit este cel căutt deorece triughiul costruit re D h L l M Discuţii Di liză rezultă că puctele și E sît situte î seiple diferite deterite de drept u D ME rezultă că drept suport isectorei E v itersect segetul DM deci isectore ughiului uui triughi este sitută î iteriorul ughiului fort de îălţie și edi costruite di celși vîrf Prolee propuse Două cercuri de rze c și c sît tgete eterior Să se fle distţ ditre cetrele cercurilor Două cercuri de rze 8 c și 0 c sît tgete iterior Să se deterie distţ ditre cetrele cercurilor Puctele prţi uui cerc de rză 8 c Să se clculeze lugie cordei dcă ăsur ughiului este de 0 Pe u cerc se du puctele și D Știid că D 0 să se deterie ăsur ughiului D ordele și D le uui cerc se itersecteză î puctul E Știid că 0 c E 6 c și că E : E : să se clculeze lugie segetului ED 6 Fie u cerc le cărui corde D și se itersecteză Știid că 0 D 00 să se fle ăsur ughiului D 7 Să se rte că edi corespuzătore ipoteuzei uui triughi dreptughic îprte triughiul î două triughiuri isoscele 8 Două cercuri se itersecteză î puctele și Pri puctul este costruită o dreptă cre itersecteză cercurile î puctele și D Să se rte că ăsur ughiului D este o ărie costtă petru orice dreptă ce trece pri puctul 9 Să se rte că o dreptă ce trece pri puctul de tgeţă două cercuri tgete eterior le îprte stfel îcît rcele situte î seiple diferite ărgiite de dreptă u celeși ăsuri 8

250 9MODULUL Figuri geoetrice î pl 0 Pri puctul de tgeţă două cercuri tgete eterior trec două drepte cre itersecteză priul cerc î puctele și ir cercul l doile î puctele D și E Să se rte că triughiurile cu vîrfurile și D E sît seee și că DE Di puctul eterior uui cerc sît costruite două tgete l cerc î puctele de tgeţă și L rcul situt î iteriorul triughiului este costruită o tgetă cre itersecteză segetele și î puctele și respectiv Să se rte că perietrul triughiului este egl cu și u depide de poziţi puctului de tgeţă pe rcul Fie triughiul cu îălţiile și și puctul O cetrul cercului circuscris cestui triughi Să se rte că: ptrulterul este iscriptiil; drept O este perpediculră pe drept Două cercuri sît tgete eterior î puctul L cercuri este costruită o tgetă couă eterioră î puctele de tgeţă și Să se rte că triughiul este dreptughic Fie triughiul scuţitughic cu îălţie și cetrul O l cercului circuscris triughiului Să se rte că O Două cercuri se itersecteză î puctele și Di puctul situt pe drept și cre u prţie segetului sît costruite două tgete l cercurile dte î puctele D și E Să se rte că segetele E și D sît cogruete 6 Două cercuri de rze R și r sît tgete eterior Să se fle ăsur ughiului fort de tgetele coue eteriore costruite l ceste cercuri 7 Lugiile zelor uui trpez sît și > ir su ăsurilor ughiurilor lăturte uei ze este de 90 Să se fle lugie segetului deterit de ijlocele zelor 8 Două cercuri de rze R și r sît tgete eterior Să se fle distţ ditre puctele de tgeţă tgetei coue eteriore cu ceste cercuri 9 Fie puctele și și ughiul ϕ Să se costruiscă ulţie puctelor M di pl stfel îcît M ϕ Se i spue că segetul se vede su u ughi de ăsură ϕ 0 Să se costruiscă triughiul dcă se cuosc eleetele h Să se costruiscă triughiul dcă se du eleetele h R ude R este rz cercului circuscris cestui triughi Puctele de itersecţie cercului circuscris triughiului cu dreptele suport le îălţiii isectorei și ediei triughiului costruite di celși vîrf sît puctele ecoliire P L și M Să se costruiscă triughiul Să se costruiscă triughiul dcă se cuosc eleetele și r ude r este rz cercului îscris î cest triughi Să se costruiscă triughiul dcă se du eleetele R ude R este rz cercului circuscris cestui triughi 9

251 9 Figuri MODULUL geoetrice î pl 7 Poligoe Poligoe regulte Defiiţie Se uește liie frîtă reuiue segetelor [ ] [ ] ude puctele i i i u sît coliire petru toţi i { } fig 96 Fig 96 Puctele se uesc vîrfuri su etreităţi le liiei frîte ir segetele [ ] [ ] [ ] se uesc lturi le liiei frîte Lturile liiei frîte se uesc lturi dicete dcă ele u u vîrf cou și edicete î cz cotrr Lii frîtă se uește liie frîtă siplă dcă oricre două lturi edicete le ei u u ici u puct cou fig 97 6 Dcă vîrfurile și le liiei frîte sît ecoliire tuci reuiue cestei liii frîte cu segetul [ ] se uește liie frîtă îchisă și se oteză de seee Fig 97 fig 98 O liie frîtă îchisă siplă deteriă î pl Eterior E trei ulţii disjucte: lii frîtă iteriorul liiei frîte eteriorul liiei frîte Orice seget E E deterit de u puct di iteriorul liiei frîte și E u puct di eteriorul ei itersecteză lii frîtă Iterior fig 98 7 Fig 98 6 O liie frîtă îchisă siplă se uește poligo Vîrfurile și lturile liiei frîte se uesc vîrfuri și respectiv lturi le poligoului U poligo se uește poligo cove dcă el este situt î celși seipl îchis deterit de drept suport oricărei lturi poligoului fig 99 Î cz cotrr poligoul se uește ecove fig 99 c d c d Fig 99 0

252 9MODULUL Figuri geoetrice î pl Reuiue poligoului și iteriorului său se uește suprfţă poligolă Se uește ughi iterior l poligoului cove ughiul fort de seidreptele suport le două lturi dicete Ughiul dicet supleetr uui ughi iterior l poligoului se uește ughi eterior l poligoului cove Segetele deterite de vîrfurile cre u sît etreităţi le celeiși lturi se uesc digole le poligoului Nuărul de lturi le poligoului este egl cu uărul de ughiuri vîrfuri de cee poligoele se uesc după uărul de ughiuri su uărul de lturi De eeplu: triughi ptrulter petgo hego etc Defiiţie U poligo cove se uește poligo regult dcă el re tote lturile cogruete și tote ughiurile cogruete ele i siple poligoe regulte sît triughiul echilterl și pătrtul Di fiecre vîrf l poligoului cove cu lturi pot fi costruite digole cre îprt poligoul î triughiuri fig 960 u su ăsurilor ughiurilor iteriore le uui triughi este eglă cu 80 rezultă că su S ăsurilor ughiurilor iteriore le uui poligo cove cu lturi este eglă cu 80 dică S 80 Fig 960 Pri urre ăsur β ughiului iterior l uui poligo regult cu lturi 80 se clculeză folosid forul β Defiiţii Poligoul cove se uește îscris î cerc dcă vîrfurile lui sît situte pe cerc Poligoul cove se uește iscriptiil dcă el pote fi îscris îtr-u cerc Poligoul cove se uește circuscris uui cerc dcă lturile lui sît tgete l cerc Poligoul cove se uește circuscriptiil dcă el pote fi circuscris uui cerc Teore Dcă este poligo regult tuci el este: îscriptiil fig 96 circuscriptiil fig 96 Deostrţie: osideră cercul circuscris triughiului Fie puctul O cetrul cestui cerc Vo răt că vîrful este situt pe cest cerc Îtr-devăr cu triughiurile isoscele O O Fig 96 O

253 9 Figuri MODULUL geoetrice î pl și O sît cogruete criteriul LLL rezultă că β Pri urre O O criteriul LUL dică O O O O cee ce deostreză că este situt pe celși cerc cu puctele Î od log se deostreză că cercul O O trece și pri celellte vîrfuri le poligoului Î rătt că lturile poligoului regult sît corde cogruete le cercului O O Pri urre ele se flă l ceeși distţă de cetrul O l cercului dică ele sît tgete cercului de cetru O și rză O ude O fig 96 Deci poligoul este circuscris cercului O O orolr etrul cercului îscris î poligoul regult coicide cu cetrul cercului circuscris cestui poligo fig 96 etrul cou l cestor cercuri se uește cetru cetru de rotţie cetru de sietrie l poligoului regult E D Rz cercului circuscris se uește rză poligoului regult ir rz cercului îscris se uește O poteă poligoului regult Ughiul O cu vîrful α î cetrul poligoului ude și sît etreităţile uei F lturi poligoului se uește ughi l cetru l poligoului regult fig 96 Măsur cestui ughi 60 este α ude este uărul de lturi le poligoului Fig 96 regult Ptrultere îscrise și circuscrise iti că ughiul cu vîrful situt pe u cerc și le cărui lturi itersecteză cercul se uește ughi îscris î cerc fig 96 Teore Măsur ughiului îscris îtr-u cerc este eglă cu juătte ăsurii rcului cupris ître lturile lui e fig 96 Teore 6 Petru c u ptrulter să fie iscriptiil este ecesr și suficiet c su ăsurilor ughiurilor opuse să fie eglă cu 80 fig 96 Teore 7 Petru c u ptrulter să fie iscriptiil este ecesr și suficiet c ughiul fort de o digolă și o ltură să fie cogruet cu ughiul fort de ltur opusă și celltă digolă fig 96 Fig 96

254 9MODULUL Figuri geoetrice î pl Teore 8 Petru c u ptrulter să fie iscriptiil este ecesr și suficiet c u ughi iterior să fie cogruet cu ughiul eterior de l vîrful opus cestui fig 96 c c O O O D D Fig 96 Teore 9 U ptrulter pote fi circuscris uui cerc dcă și ui dcă suele lugiilor lturilor opuse O sît egle: D D fig 96 Eerciţiu Deostrţi teoreele 9 D D Prolee rezolvte Să se eprie lugie lturii uui poligo regult cu lturi pri rz R cercului circuscris Rezolvre: α 80 Î O ve OD fig D Rsi Î prticulr Rsi 60 Rsi Rsi 0 R R 80 Răspus: Rsi Să se eprie lugie lturii uui poligo regult pri rz r cercului îscris î cest poligo Rezolvre: α 80 Î OE ve EO fig F E r tg Î prticulr r tg60 r tg r r r 6 r tg0 80 Răspus: r tg r 6 R Fig 96 O R R D Fig 966 O r E F Fig 967

255 9 Figuri MODULUL geoetrice î pl îte lturi re u poligo regult dcă fiecre ughi eterior l lui este de: 9 ; 0? Rezolvre: u ăsur ughiului iterior l poligoului regult cu lturi este β oţie: 60 β β Dr 80 β este ăsur ughiului eterior l poligoului Pri urre: ; 0 9 Răspus: 0; 9 Prolee propuse îte lturi re u poligo regult dcă ăsur fiecărui ughi iterior l cestui este de: 0 ; 60? îte lturi re u poligo regult dcă ăsur fiecărui ughi eterior l cestui este de: 6 ;? Să se eprie rz cercului îscris îtr-u triughi echilterl pri rz cercului circuscris cestui triughi Lugie lturii uui triughi echilterl îscris îtr-u cerc este Să se fle lugie lturii pătrtului îscris î cest cerc Lugie lturii uui poligo regult cu lturi este Să se eprie rz R și pote r le cestui poligo pri și 6 Îtr-u cerc de rză este îscris u poligo regult cu lturi Să se deterie perietrul P l poligoului petru { 6 8 } 7 U pătrt și u triughi echilterl sît îscrise îtr-u cerc de rză stfel îcît o ltură pătrtului este prlelă cu o ltură triughiului Să se fle ri părţii coue pătrtului și triughiului 8 Îtr-u cerc de rză este îscris u triughi echilterl ir pe ltur cestui este costruit u pătrt Să se clculeze rz cercului circuscris pătrtului 9 Să se circuscrie uui cerc u triughi echilterl u pătrt u octgo regult 8 riile figurilor ple Defiiţie Fiecărei figuri ple i se sociză u uăr rel eegtiv uit ri figurii respective ri posedă urătorele proprietăţi: figurile cogruete u rii egle; dcă o figură este reuiue două figuri disjucte tuci ri figurii dte este eglă cu su riilor celor două figuri disjucte; pătrtul cu ltur de ul re ri up

256 9MODULUL Figuri geoetrice î pl Î z cestei defiiţii se pote deostr că ri oricărui dreptughi fig 968 este eglă cu produsul lugiilor două lturi ce u u vîrf cou: Nr crt Fig 968 Forulele petru clculul riilor uor figuri geoetrice sît prezette î telul Telul Figur Reprezetre geoetric Forul Ptrt Prlelogr Triughi h α c α h d Trpez h h d d d ϕ h siα d siϕ d c h csiα pr R r p p p p c rz cercului \scris c ude p r \ rz cercului R rz cercului circuscris îscris î R rz cercului circuscris triughiului Ptrulter cove d d ϕ d siϕ d 6 Poligoe regulte r r pr ude r rz cercului \scris \ poligoul regult p p seiperietrul poligoului ir urul de lturi le poligoului 7 Disc O R R 8 Sector de disc α R R α α \ rdii α R α \ grde 60

257 9 Figuri MODULUL geoetrice î pl Prolee rezolvte Puctul de tgeţă cercului îscris îtr-u triughi dreptughic îprte ipoteuz î segete de lugii și Să se fle ri triughiului fig 969 Rezolvre: ofor teoreei lui Pitgor r r r r r r r r r tuci r r r r r up Fig 969 Să se rte că ediele oricărui triughi îl îprt î șse triughiuri echivlete de rii egle Rezolvre: Notă cele șse triughiuri cu cifrele 6 fig 970 ϕ ϕ M Triughiurile și u rii egle deorece și u ceeși îălţie costruită di M puctul de itersecţie edielor Î od log triughiurile și precu și și 6 u rii egle Fig 970 Vo răt de eeplu că triughiurile și 6 u rii egle ofor proprietăţii M M edielor M M M M M M Ughiurile M și M sît opuse l vîrf deci u ceeși ăsură fie ϕ stfel M M M si si ϕ M M ϕ M log să deostreză că triughiurile și sît echivlete ir de ici rezultă firţi proleei Fie cu 0 c Știid că ediele corespuzătore celorllte două lturi sît de c și 8 c să se fle ri triughiului Rezolvre: Fie 8 c c M puctul de itersecţie edielor fig 97 ofor proprietăţii edielor M c M 6 c Oservă că M este dreptughic deci 6 96 c M ir c se vede prole M M Fig 97 6

258 9MODULUL Figuri geoetrice î pl Digolele trpezului D D îl îprt î ptru triughiuri cu u vîrf cou O Știid că riile triughiurilor OD și O sît și respectiv să se fle ri trpezului fig 97 Rezolvre: u OD ~ O rezultă că O O D O OD seăre de coeficiet Fie O ϕ tuci O OD O O O O Osiϕ O ODsiϕ OD u O OD oţie că siϕ siϕ O O O O OD O OD si80 ϕ Pri urre D ϕ O Fig 97 D Prolee propuse Lugiile ctetelor uui triughi dreptughic se rportă c : ir lugie ipoteuzei este de 0 c Să se deterie ri triughiului Puctul de tgeţă cercului îscris îtr-u triughi dreptughic îprte ipoteuz î segete de c și c Să se fle ri triughiului Să se deterie ri uui triughi echilterl cu lugie lturii de c Digolele uui ro sît de 8 c și c Să se fle ri roului Perietrul uui prlelogr este de 7 c Lugiile lturilor lui se rportă c :7 ir ăsur ughiului scuţit este de 0 Să se fle ri prlelogrului 6 Digolele uui trpez isoscel sît perpediculre ir lugie liiei ijlocii este de c Să se fle ri trpezului 7 Di puctul l uui cerc sît costruite cordele și stfel îcît c ir 60 Să se fle ri discului ărgiit de cest cerc 8 Să se deterie ri uui ro dcă lugie lturii lui este ir su lugiilor digolelor lui este d 9 Digol uui trpez isoscel este isectore ughiului otuz Perietrul trpezului este de c ir lugie zei ri este de 6 c Să se deterie ri trpezului 7

259 9 Figuri MODULUL geoetrice î pl 0 Fie triughiul dreptughic cu Să se fle riile triughiurilor D și D dcă D este isectore Îtr-u trpez isoscel se pote îscrie u cerc Lii ijlocie de 0 îprte trpezul î două figuri le căror rii se rportă c : Să se deterie ri trpezului Piciorul îălţiii prlelogrului D costruită di vîrful îprte ltur D î juătte Să se fle ri prlelogrului dcă perietrul lui este de c ir perietrul triughiului D este de 8 c Digolele ptrulterului cove D sît perpediculre și u lugiile și Să se fle ri ptrulterului EFGH ude E F G și H sît ijlocele lturilor D și respectiv D Puctul M este ijlocul lturii prlelogrului D Drept M itersecteză digol D î puctul E Să se deterie riile triughiurilor E și ED dcă ri triughiului EM este eglă cu up O digolă uui trpez dreptughic re lugie d și îl îprte î două triughiuri dreptughice isoscele Să se fle ri trpezului 6 etrul cercului îscris îtr-u trpez dreptughic este situt l distţele de d și d de cpetele uei lturi eprlele Să se deterie ri trpezului Prolee recpitultive O ctetă uui triughi dreptughic este de c ir ipoteuz s este de c Să se deterie ri triughiului Lugiile lturilor uui triughi dreptughic foreză o progresie ritetică cu rţi Să se fle lugie ipoteuzei isectore uui ughi scuţit l uui triughi dreptughic îprte ctet opusă î segete cu lugie de c și c Să se fle lugiile lturilor triughiului Lturile cogruete le uui triughi isoscel u lugie de c ir ediele corespuzătorelor lor sît de c Să se fle lugie zei triughiului Să se fle rportul ditre rz cercului îscris îtr-u triughi dreptughic isoscel și îălţie corespuzătore ipoteuzei 6 Două vîrfuri le uui pătrt sît situte pe u cerc de rză 7 c ir celellte două sît situte pe o tgetă l cest cerc Să se fle lugie digolei pătrtului 7 Îălţie dusă di vîrful ughiului otuz l uui ro îprte ltur lui î juătte Să se fle ăsurile ughiurilor roului 8 ord couă două cercuri de rze egle re lugie de c și este o digolă roului îscris î itersecţi cestor cercuri elltă digolă roului re lugie de 6 c Să se fle rzele cercurilor 8

260 9MODULUL Figuri geoetrice î pl 9 Îtr-u ro cu u ughi cu ăsur de 0 este îscris u cerc ir î cerc este îscris u pătrt Să se fle rportul ditre ri roului și ri pătrtului 0 Lugiile lturilor respective le uui prlelogr și le uui dreptughi sît egle ri prlelogrului este de două ori i ică decît ri dreptughiului Să se fle ăsur ughiului otuz l prlelogrului zele uui trpez isoscel sît de c și c ir ltur eprlelă este de c Să se fle îălţie trpezului Lturile eprlele și D le trpezului D se prelugesc pîă l itersecţi î puctul E Se știe că c E c E 6 c Să se fle D Su ăsurilor ughiurilor lăturte zei ri uui trpez este eglă cu 90 z re este de 0 c ir ce ică de c Să se fle distţ ditre ijlocele zelor Proiecţi digolei uui trpez isoscel pe z re este de 7 c ir îălţie lui este de c Să se fle ri trpezului Distţ de l cetrul cercului pîă l o cordă este de c ir rz cercului este de c Să se fle lugie cordei 6 Două cercuri de ceeși rză 7 c și sît tgete eterior O dreptă itersecteză cercurile î puctele și D stfel îcît D Să se fle 7 Di puctul situt î eteriorul uui cerc de rză 8 c este dusă o sectă de lugie 0 c cre este îpărţită de cerc î două segete de ceeși lugie Să se fle distţ de l puctul pîă l cetrul cercului 8 Ipoteuz triughiului dreptughic este de 9 c ir o ctetă s de 6 c Di vîrful l ughiului drept se duc edi M și îălţie D Să se fle MD 9 Î triughiul dreptughic 8 c 0 c Pe prelugire ctetei după puctul se i puctul D stfel îcît puctul se flă ître și D Să se fle D dcă D D 0 Îălţie corespuzătore zei uui triughi isoscel este de 0 c ir îălţiile corespuzătore lturilor cogruete sît de c Să se fle lugiile lturilor triughiului Îtr-u triughi dreptughic este îscris u seicerc stfel îcît ipoteuz coţie dietrul cercului ir cetrul îprte ipoteuz î segete de c și c Să se fle rz seicercului și lugiile lturilor triughiului Rz cercului îscris îtr-u triughi dreptughic este eglă cu r ir rz cercului circuscris triughiului cu R Să se fle ri triughiului Triughiul dreptughic este îpărţit de îălţie D dusă di vîrful l ughiului drept î două triughiuri: D și D Rzele cercurilor îscrise î ceste triughiuri sît de c și respectiv c Să se fle rz cercului îscris î triughiul 9

261 9 Figuri MODULUL geoetrice î pl Fie triughiul dreptughic U cerc cu cetrul pe ctet tget l ipoteuz itersecteză ctet î puctul D stfel îcît D : D : Se știe că : : Să se fle rportul ditre rz cercului și lugie ctetei Rz cercului îscris îtr-u triughi isoscel re lugie de c ir cercului circuscris de c Să se fle lugiile lturilor dcă ele se epriă pri uere îtregi 8 6 Fie triughiul echilterl cu ltur Se cosideră cercul cre re c dietru îălţie D Pri puctele și se duc tgete l cest cerc cre se itersecteză î puctul E Să se fle perietrul triughiului E 7 Mediele și le triughiului isoscel se itersecteză î puctul M Rportul ditre rz cercului îscris î triughiul M și rz cercului îscris î ptrulterul M este egl cu Să se fle rportul : 8 Îălţie dusă di vîrful uui ughi lăturt zei uui triughi isoscel este de două ori i ică decît lugie lturii corespuzătore Să se fle ăsurile ughiurilor cestui triughi să se lizeze ele czuri posiile 9 Lugiile zelor uui trpez sît egle cu și > Să se fle lugie segetului ce uește ijlocele digolelor trpezului 0 Lugiile zelor uui trpez sît egle cu și O dreptă prlelă cu zele itersecteză lturile eprlele stfel îcît trpezul este îpărţit î două trpeze de rii egle Să se fle lugie segetului cestei drepte cupris ître lturile eprlele Două cercuri de rze r și R sît tgete eterior O dreptă itersecteză ceste cercuri stfel îcît cercurile deteriă pe dreptă trei segete cogruete Să se fle lugiile cestor segete Să se fle ăsurile ughiurilor scuţite le uui triughi dreptughic dcă rportul ditre rz cercului îscris î triughi și rz cercului circuscris este egl cu * ercul îscris î triughiul îprte edi î trei segete cogruete Să se fle rportul lugiilor lturilor triughiului * Se cosideră ulţie triughiurilor dreptughice de ceeși rie Să se deterie triughiurile di cestă ulţie le căror cercuri circuscrise u rie iiă * Ditre tote triughiurile cu ceeși ltură și celși ughi α opus cestei lturi să se deterie cel cre re perietrul i 6 re este lugie triectoriei prcurse de etreitte orrului de lugie 8 l uui cesoric î: oră; de ore? 7 re este lugie triectoriei prcurse de etreitte iutrului de lugie 0 c l uui cesoric î: oră; ore; c de ore? 8 U ciclist se deplseză pe o pistă circulră de rză 0 Îtr-u iut el prcurge 00 Î cîte iute ciclistul v prcurge u cerc? 9 U utoturis re lăţie de și se deplseză pe o pistă circulră cu rz iterioră de 00 păstrîd peret distţ de 0 c de l rgie pistei Să se deterie difereţ ditre druul prcurs de roţile eteriore și cele iteriore dcă utooilul prcurge u cerc 60

262 9MODULUL Pro de evlure II Figuri geoetrice î pl Tip efectiv de lucru: de iute Două discuri de ceeși rză de c se itersecteză ri reuiuii cestor discuri este de c Deteriţi ri itersecţiei discurilor Se du vîrfurile le uui prlelogr Deteriţi coordotele puctelor cre pot fi l ptrule vîrf l prlelogrului Fie triughiul cu 6 c 0 flţi perietrul triughiului Îtr-u cerc sît costruite cordele cocurete și D Măsurile ughiurilor și D sît de 0 și respectiv de 0 flţi ăsur ughiului D flţi lugiile lturilor eprlele și le digolelor trpezului îscris îtr-u cerc de rză 7 c dcă z ică este de c ir z re este dietrul cercului 6 Uui cerc de rză 6 c i se circuscrie u ro cu ăsur ughiului scuţit de 0 Deteriţi ri roului D este u prlelogr cu D c c D 60 Pe lturile și î eterior sît costruite triughiurile echilterle E și F Deteriţi ri triughiului DEF U cerc de lugie c este îpărţit de puctele î trei rce le căror lugii se rportă c :: Deteriţi ri triughiului Lugiile lturilor uui triughi sît terei cosecutivi i uei progresii ritetice cu rţi osiusul celui i re ughi l triughiului este egl cu flţi ri triughiului Deostrţi că su distţelor de l orice puct situt pe o ltură uui triughi echilterl pîă l celellte două lturi este o ărie costtă zele uui trpez sît de c și 6 c flţi rz cercului îscris î trpez și rz cercului circuscris cestui dcă se știe că ele eistă 6 Îtr-u disc de rză R sît costruite două corde prlele stfel îcît cetrul cercului se flă ître corde U di ele suîtide u rc de 90 ir celltă u rc de 60 Deteriţi ri părţii discului cuprisă ître corde 6

263 9 Figuri geoetrice î pl MODULUL Figuri ple c α h h c si α p p p p p c Triughiul dreptughic c h c c D G c c h c c edie G G c c Poligoe ercul Triughiuri Ptrultere α ϕ d d D h si α siϕ d d d d Trpezul Trpezul isoscel h d D h α d Prlelogrul Ptrultere îscrise Ptrultere circuscrise E D 80 D D D D DE D D E h h ED E d d D D siα D M ϕ T α O R M R O O R cerc R sec R α ; sec t α ăsură î rdii ϕ ăsură î grde D M M M MD R MT M D D MD e D e R ϕ 60 M M M MD R c O c e M D MD e D e t 6

264 Răspusuri şi idicţii Răspusuri şi idicţii Modulul Nuere rele Recpitulre și copletări 07; 06; c 06; d 0; e 008; f 0008; g 06; h 0 ; ; c ; e 7 ; f Irţiol; c d rţiol D; posiil; c u 7 și 7; d ; și 6; c 0 și 0; d 7 și 7; e 6 și < 89; 76 > < ; < ; c < ; d > 0 9 F; c 0 S { }; S S 6 ; ; 0 c; 809 c 6 > 6 7 ; 9 8 > 6 ; D; posiil; c u Irţiol; c rţiol; d irţiol 0 de locuri * 0 97 Idicţie Utilizţi pătrtele cestor uere 6 * < 0 Proă de evlure 6 și 6 < și 068 9; itersecţi; reuiue Rţiol Modulul Eleetele de logică tetică și de teori ulţiilor D; u N ; ; c ; d { } crd De eeplu ; de eeplu 0 ± N Z Q R; R R \ Q; c N Z Q R 6 { 6 6 }; { z z c c c z} D 7 U ] I { }; U I 8 D 9 6 U 6; 6] U [6 0 crd crd Mulţie uerelor irţiole; { } R R \ Q; R R \ Q; c Z Q R Z \ N * R \{}; R * F; F F; u este propoziţie; c c d F Dcă digolele ptrulterului D sît perpediculre tuci ptrulterul este ro F ; F 6 c F; d 7 este u triughi prte eplictivă este u triughi dreptughic ipotez pătrtul lugiii ipoteuzei este egl cu su pătrtelor lugiilor ctetelor cocluzi; ughiul α este ughi iterior l triughiului prte eplictivă triughiul este echilterl ipotez ărie ughiului α este de 60 cocluzi 0 Dcă este u uăr rţiol tuci uerele sît rţiole F * F 6

265 Eerciţii și prolee recpitultive c g ; d e f h F uărul se divide cu codiţi suficietă uărul se divide cu 7 codiţi ecesră; Dcă uărul îtreg se divide cu 7 tuci el se divide cu F; triughiul eit este dreptughic codiţi suficietă triughiul eit re două ughiuri scuţite codiţi ecesră; Dcă u triughi re două ughiuri scuţite tuci el este dreptughic F ; F U { 9} I { } \ { } \ { 9} { 9 9} 6 elevi 7 U ; I {} 8 S U S { 6}; S I S {6}; c S \ S { }; d S \ S ; e S S { 6 6 6} 9 de suulţii: { } { } {0} {} {} { } { 0 } 0 * c F; Proă de evlure F p și q F p su q o p o q F ptrulterul este ro codiţi suficietă î ro se pote îscrie u cerc codiţi ecesră; Dcă îtru ptrulter se pote îscrie u cerc tuci ptrulterul este ro F M ; M ; F Nu este propoziţie p și q F; p su q ; o p ; o q F ptrulterul este dreptughi codiţi suficietă ptrulterului i se pote circuscrie u cerc codiţi ecesră; Dcă ptrulterului i se pote circuscrie u cerc tuci el este dreptughi F S U S { }; S I S { }; c S S {}; d S S { } ± Modulul Rdicli Puteri Logriti 00; 88; c 90 ; d ; e ; ; c ; d ; e ; f 8 ; ; c 7c dcă c 0; 7c dcă c > 0; d ; e ; f ; g dcă > 0 și dcă < 0; h ; i ; j ; 8 ; c ; 7 0 d 6 ; e 8 9 ; ; c ; d 8; e 7 6 ; 9 ; c ; d ; e ; ; c p dcă > p ; d 08 e ; f dcă > 0; dcă 0 < < ; dcă < ; g Idicţie 6 ; h 9 feţe 0 * 7 7 ; 0 ; c ; d 0; e ; f 9 ; ; c ; 6 d ; e 6 ; f ; g Mi ic decît ; c i re decît % cuuleţe 6 c 6 \ \ 6

266 Răspusuri şi idicţii 7 ; ; c 700; d 8 ; ; c ; d ; e dcă > dcă 0; f 7 ; ; g 0 9 Mi re decît ; c d i ic decît 9; ; c ; d ; e 6 6 < log < log 8 log ; log ; c log ; d ; e log dcă log 0 și dcă log < 0; f ; g log p; h * 0 9 ; Idicţie 8 Descopueţi uerele î fctori prii * * 0 Eerciţii și prolee recpitultive ; ; c ; d 700 e f ; c d g F ; ; > ; 6 < 6 6 ; ; c 9 ; d F; ; 6; c ; d log6 Priul i ic; priul i re; c egle; d priul i re R * * Proă de evlure < 7 8 F; 6 > > * R \{} > F < < * 0 R Modulul Eleete de coitorică ioul lui Newto S {}; S {}; c S {6} S { 6}; S { }; c S { 6 7} 6 7 Epresi u re ses 6 ; 00; c ; d 6; e 76; f ; g u re ses 7 S {}; S {}; c S {6 } 9 68 de oduri 0 06 prtide 0 de oduri 00 de oduri 0 oduri 70 de terei 00 de oduri 6 6 de oduri oduri 8 06; 0 S {}; S ; c S {} [ 6 N; [ 0 9] N; c [ ] N 6 [0 0] N; [0 ] N 7 6!! 600; 6 6! 0; c! 0; d!! 96; e! oduri oduri Idicţie plicţi lgoritul folosit l rezolvre pr 7 di secveţ 0 6 oduri 0 0 oduri S { N}; S { }; c S ; d S { [ ] N}; e S { }; f S {7 8 9 } 8 Idicţie Reduceţi ecuţi dou l for! 6! S { 8} ; c

267 Răspusuri şi idicţii ; c 7 Idicţie plicţi etod iducţiei te- 6 9 tice și ioul lui Newto T 9900 ; T 76 ; c T 060 Modulul Fucţii rele Proprietăţi fudetle R \{ }; R ; c R \{ } 0 * [ ; ; 0]; c R Nu; c d * ] U ; R \{ }; c R \ Z; d R \ [0 6 Z ; R ; c R \ 7 f g f g f o g ; f g f g f o g 66 c f g f g f o g 8 f o f o f ; o f o f o f o Φ f o g f g ; Φ f o g f g ; 0 * D De eeplu R M {0} f g ; 0 0 ; c 0 0 i f ; f 0 0 ; ; c { 0}; { 0}; {0} [ 0 U 0 ; ]; c { } f 0 6 ; 08 ; c ; d 7 7 ; ; c 7 ; d 0 8 T 90 ; 6 T9 9 7 ; c T T ; c T T 0000 T 0000 ; T 76 T 76 Idicţie Î forul lui Newto ilocuiţi și 7 8 cu ; Idicţie Î forul lui Newto îlocuiţi și cu T T 6 8 T Eerciţii și prolee recpitultive de fotogrfii 9 de prtide de oduri de oduri 680 de oduri; 7 80 oduri de oduri 7 00 de oduri 8 76 oduri; 76 de oduri; c 79 de oduri; d de oduri su % 0 0 S {8}; S {7}; c S {8}; d S {} 8; 9; 7 c ; d 7 T P ; P ; P 6 7 eleete 7 00 de oduri;! 8 Idicţie de uere 0 S {6 7 8 }; S {0 6}; c S {8 9 0} U sigur tere rţiol; 7 terei rţioli Idicţie plicţi etod iducţiei tetice * S {; } 6 * Idicţie plicţi etod iducţiei tetice Proă de evlure ; S {} 60 de oduri F S { 6 7 9} 9 9! uere 6 87 de oduri 0

268 Răspusuri şi idicţii 6 0 ; 0 ; crește pe fiecre itervl [ Z 7 f g f f f g o f crescătore f descrescătore 9 f 0 ; 0 0 i f f f 0 f period ; f period ; f period Ipră; pră; c ici pră ici ipră * f h h h h ; f h h h h f : R R f ; f : R R f ; c f : R R f ; d * f : R \{} R \{} f * f u este ijectivă; f ijectivă Eerciţii și prolee recpitultive * 9 D f R E f R; D f R E f R \{}; c D f R E f rescătore pe R ; d descrescătore pe 0 0 ; c descrescătore pe crescătore pe 7 Pe vlori egtive pe 7 U vlori pozitive; pe vlori egtive pe U vlori pozitive; c pe 6 vlori egtive pe 6 U vlori pozitive f ; 9 i f ; c i f 9 6 f g f g f g 6 f o g g o f 7 7 c Ipră; ici pră ici ipră 8 Φ f o g f g ; Φ f o g f g Proă de evlure ; f { } 6 Pe vlori pozitive pe vlori egtive h f o f 0 0; f 0 D 6 7 Pe 0 vlori egtive pe 0 vlori pozitive Modulul 6 Ecuţii Iecuţii Sistee Totlităţi PX u re rădăcii rele; c α rădăciă ultiplă de ordi α rădăciă siplă ; 0; c f t 600t 00; ore d S ; e S R; f S { }; g 0 S ; h S ; i S { } 6 0 c k/h 0 60 g 0% 0 k/h * Idicţie este soluţie ecuţiei * S { 6 * S R D S { }; S { }; c S { }; d S { 0 0 } 7 7 S ; c S S { } 67

269 Răspusuri şi idicţii k/h 8 k/h 6 U ul 0 lei u ciet 0 lei 7 0 de ese de persoe 9 6 zile zile 0 S Idicţie Îulţiţi pri ecuţie cu poi duţi ecuţi oţiută cu dou; S Idicţie Sustituiţi: t z; c S { } Idicţie Îulţiţi ecuţiile eru cu eru; S { }; c S ; d Idicţie plicţi defiiţi odulului; e S ; f Idicţie plicţi defiiţi odulului 6 H OH 06 g H OH 06 g W 088 HOH W H OH 08 7 * S R; c Idicţie Îulţiţi cele trei ecuţii eru cu eru S ; ; S ; 0; c S ; ]; d S [ 0; S 0 ]; 0] S U ; c S 0 U ; d S U 0 ; e S [ 0 U[ 0 S ] U 0]; S ; c S 8 ] U Nu; d S [0 ]; S [ 0 U ]; c S 0 U [ S U ; S 6 ; c S 0 S ; S 0 ; c S U [ 0] U Idicţie plicţi ieglităţile triughiului 6 S {} 7 S [ 8 6 U[0 ; S U k/h 0 * S ] U U * S U{ } U{} Eerciţii și prolee recpitultive 9 S ; 9 c S 7 7; 0; c 00 t 0 t otociclete 6 de șii 8 i lei 000 lei 000 lei 7 8 rădăcii siple; rădăciă dulă; rădăciă siplă 9 ; 6 0 F; S { }; S { 8} S { ; 0 }; S { 70 8 }; c S { } S { }; S { } { 0 0}; 0 0; c R \ [ 0 0] Proă de evlure rădăcii siple D f R \{ ± }; U 0] U O lle 8 lei o rcisă lei S { } D f R \{0 } 0 k/h 0 k/h 68

270 Răspusuri şi idicţii Modulul 7 Fucţii eleetre Ecuţii Iecuţii 6 S ; c S S { }; S {0 } S ; 6 S 0 f 8 0; g 0; c 8 9 ; d S ; 7 e S ; 6 S ; S ucitori; hl; hl 8 S {}; S 0 S petru S petru R \{ }; S R petru S petru S petru R \{ }; c S R petru 0 S { } petru R 0] S {7 8 9 }; S {9 0 } kg 6 0 t cu % ichel 00 t cu 0% ichel 7 S petru 7 S petru R \{7; ± } 8 * ; ; c u eistă stfel de vlori le lui S U ; S ; c S ; U d S ; U ; U c U 0 0 [ ]; U ; 6 c ] U [ S {6 0}; ± 7 S ; c S {0}; d S ; e S 8 S [ ]; S R; 7 c S ; U d S [ ]; e S ] U[ 9 0 i f ; f f i f 0 8 f f 8 0 h 7 ; 7 s R \{ }; ] U [ ; c [ ] U[0 ]; d U ] U[ 0 ; 0 ; u se itersecteză; c c Idicţie Fie t t 0 Idicţie plicţi etod itervlelor; c S ; d Idicţie plicţi etod itervlelor; e S ; f S R \ 0 6 Idicţie Pote fi plictă etod grfică 8 Idicţie Pueţi codiţiile > 0 și > 0 0 [ ; 0] * f : ] ] f * 6 6 * ; 0] [ ; R Pră; ipră 9 f g: R R f g ; f g: R R f g ; f g: R R f g ; f g: R f g R 69

271 Răspusuri şi idicţii D f [0 ] E f [0 ]; D f ] E f [0 ; c D f R E f 0 6 [ 0 0] ; ] [ ; c 0 ; d 7 f : R R f ; f : R R f ; c f : R R f 8 * f g: R R f g ; f g: R R f g ; f o g: R R f o g ; f o g: R R f o g f g: R R f g ; f g: R R f g S {8}; S {0}; c S {0}; d S {0}; e S {}; f S {} S { }; S ; c S ; d S {; ; ; } F S ; S 7 ; c S ; d S {}; e 6 6 S {}; S ; c S {}; d S { 0} 7 S { }; S {8 8} 8 S { }; S { 9}; c S ; d S { 7 7} 9 S { } 0 S { } * 7 S ; S {}; d S [ 0]; e S {0}; f S {7 } * 9 S ; S 6 * 6 S 0 R ; 6 S {0} petru 0 S petru 0 U 0 S petru [ ; S [ ]; c S ; d S ] U[ ; e S ; f S 0 S ; 9 S [; ; d S [ ; e S 0]; f S R S U ; S [ 8 ; c S [ 0 ] U[ 7 9 S ; c S [ 6 8 U 6 Idicţie Rezolvţi iecuţi ; Idicţie Rezolvţi iecuţi > ; c Idicţie Rezolvţi iecuţi t t t; d Idicţie plicţi etod itervlelor 7 S U ; Idicţie Efectuţi sustituţi t ; c Idicţie Fie t t 0 8 * Idicţie S petru < 0 DV: [0 ] Ridicîd iecuţi l pătrt oţie < lizţi czurile > 0 plicţi etod grfică Grficul fucţiei și 0 luîd î cosiderţie DV; c Idicţie ; este u seicerc ir grficul fucţiei f este o dreptă lizţi czurile: drept este tgetă l seicerc; drept itersecteză seicercul î două pucte îtr-u puct; grficele u se itersecteză S ; S { }; c S { }; d S ; e S { 7 7 } S { 8 8 }; S { 8 8} S { }; S { 7 7 } 70

272 Răspusuri şi idicţii S {7 0 } 8 * S petru < 0 S {9 } petru > 0 S {0 0} petru 0; Idicţie DV: R R Ecuţi dou se v scrie 0 tuci ± Î czul pri ecuţie devie 0 cre se rezolvă c ecuţie de grdul II î rport cu ; c Idicţie DV: 0 Pri ecuţie devie Di ecuţi dou și sustituiţi î ecuţi de i sus 6 S 7 ; S [ ; c S [ ; d S S [ ; S S R; c S 0 Pro de evlure I ; ; S ; ] U[; ; c 0 ; 0 S { } 0 de ore 0 de ore S [0; ; ] U[9 ; 8 9; c 7; d 9 >; c 0 > ; 8 0 < 0 6 0; 0 ; c 0 S ; lg S {}; c S {}; d S {}; e S ; f S ; g S { }; h S 6 S {8}; S {log }; c S {} 7 S {0; 0}; S { }; c S 8 S {log 8}; S ; c S {} 9 S {log 6}; S { 0 log }; c S 0 8 Priul uăr i ic 0; 0 S { }; S {; } 6 S {0} 7 S ; S { } 8 Idicţie Fie t tuci ; Idicţie Fie 6 t tuci t 6 9 S {0}; S {0; 0}; c Idicţie DV: N Ecuţi se v t îpărţi l 0 Idicţie plicţi etod itervlelor; c S {0 } Idicţie Ecuţi se v 0 scrie S {}; S {}; c S Idicţie Utilizţi proprietăţile fucţiilor ce reprezită erii ecuţiei respective Idicţie Ecuţi se v scrie ; S Idicţie Fie t t > 0 Ecuţi devie 6 7 t t 0; S petru ] U[7 S log petru 7; c Idicţie Fie t t > 0 Ecuţi devie t t 0 S ; S ; c S U 0 ; d S R; e S ; f S [ S ]; S log0; c S log0 7 0] 7 S [ ]; S ; c S S ; c S ; d S [ 0 ; e Idicţie Fie t t > 0; f Idicţie Fie t t > 0; i Idicţie Fie 8 t t > 0 S 0 U 0 U ; Idicţie Fie t t > 0 plicţi etod itervlelor; c Idicţie Îpărţiţi iecuţi l 9 6 S ] U[ ; Idicţie lizţi czurile 0 < < și > ; c Idicţie lizţi czurile 0 < 7 < 7

273 Răspusuri şi idicţii 7 7 > 9 * S petru 0 Idicţie Rezolvţi iecuţi < 0 c iecuţie de grdul II fţă de poi lizţi czurile > 0 și < 0 0 < log < ; log 0 < 0; c 0 < log 0 ; d log 0 < 0 c Priul uăr i re < * 6 log 6 > log 7 8 f : R log ; R f f : R f 9 0; 0; 0 Z ; R \ ; c 0 > log 8; > ; c > 7 ; d > log 7 c 9 ici pră ici ipră E f R i f 0 \{0 ± }; 0 0 U 0; c ] U[ \{ ± } S {6}; S { }; c S {00}; d S ; e ; f S S ; S { }; c S S { }; S { 6 6}; c S { } S { 0 00}; S S { }; S 79 ; c { 0 0 S } 6 S ; c S { }; d S {6}; e S ; 6 6 f S {0 0 9 }; g S {}; h S ; 9 i S 9 ; j S { }; k S {±} ; c S {} Idicţie plicţi proprietăţile fucţiilor ce reprezită erii respectivi i ecuţiilor 8 c S {} * S petru S petru 0 U ; c S petru 0] U{ } S petru 0 Idicţie Petru 0 U 0 U 0 rezolvţi ecuţi de grdul II lg S 0; S [ ]; c S [; ; d S 7 U 7 ; e S U S 0 [ ; U S 6; ; c S 9 S ; S c S 0 U S ; S 0 U [ ; d S ; f Idicţie Treceţi l logriti î z ; g Idicţie 6 log Î DV l iecuţiei iiţile rezolvţi iecuţi log < 0; i Idicţie Fie t; 0 j Idicţie lizţi czurile > și 0 < < 6 Idicţie plicîd etod itervlelor rezolvţi î DV iecuţi ; S ; d Idicţie lizţi czurile > și 0 < < 8 * Idicţie DV: > 0 lizţi czurile 0 < < și >; 7

274 Răspusuri şi idicţii S petru 0] U{ } S petru 0 S 0 U petru ; c Idicţie lizţi czurile 0 < < și > 9 * 0 S { }; S { log 9 }; c S ; d S ; e S ; f S {7 }; g 6 0 S ; 9 9 h S S ; 0 0 S ; 0 c S { 0}; d S { log } S { }; S 7 ; 8 c S { }; 8 8 d S {; ; 0 0}; e S {7 7}; f S { 7 9 } S { }; c S {log6 log 6}; d S {} Eerciţii și prolee recpitultive 0 [ 0 ; ; c f t 00 80t; 8 lui f 0 ; f 08; 9 $ [ ; U 6 U ; ; c ; d 6 7 t 0 s; t s 8 f t t c 8 ore ore 8 i 9 c l doile uăr i re; d e f priul uăr i re 0 l doile uăr i re; c d e priul uăr i re S ; S { }; c S ; d S ; f S ; [ 0 U ; c 6 6 ; Idicţie R Ω R T R R R f 6 0 ul; ul 7 f * f : R R f ; f : [ [ f Pro de evlure II de i 9 i S { } S { 0} 0 S { } S ] U U{ } Idicţie Fie 6 t t 0 Modulul 8 Eleete de trigooetrie ; ; cos ; ; c ; d D; d; c u; d u Nu; d; 6 c d; d d 6 si α siα; siα cosαcosα siα; c ; d ctgα 7 8 c 0 60 ; c

275 Răspusuri şi idicţii k 0 k k Z; k Z; c k k Z Mius 0; ; c ; d Mius; ius; c ius Nici pră ici ipră; pră; c ipră * [ ]; ] U [ ; c ] U[ ; ; c ; si α tgα ctg α ; 7 d ctg α siα cosα ; ; c 0; d cos 6 D; u; 70 c d; d d 7 si α; d si α; e ; f siα cos α siα 8 si α; cosα ; c cosα 9 Idicţie plicţi relţi siα cosα Idicţie plicţi relţi tg ctg α α ; ctg α; c Idicţie cos si α α ctg ; α ctg α 6 c d Idicţie Folosiţi relţi α β γ k S ; S { k k Z}; c k S k Z S Z ; 6 S ± k k Z ; 6 c S S k k Z ; 6 rctg S Z ; d S k k Z 6 k S ± k Z ; d S Z ; 6 e k S Z 0 U k Z 8 7 Idicţie Îpărţiţi ii eri i ecuţiei l ; f Idicţie Îpărţiţi ii eri i ecuţiei l poi plicţi relţi si cos k S Z ; U k k Z 6 d k S k Z 0 6 S k k Z ; c {rctg } S k k Z U Z 7 S Z ; 6 d S Z 6 U k k Z 8 8 Z Z S { Z}; U k k U k k c Idicţie si cos ; d k S k Z ; i Idicţie Îpărţiţi ii eri i ecuţiei l poi plicţi relţi si cos S 0 α rctg rcsi 7 siα siβ l rcsi rccos 6 si α si β l * Petru 0 S Z Idicţie Petru 0 eiţi prte czurile 0 și < 0 ţiîd cot că 7

276 7 Răspusuri şi idicţii ; si d Idicţie Rezolvţi ecuţi si ţiîd cot de codiţi ; S Z U ; S Z U c ; S Z U d ; S e ; S Z U f ; 6 6 S Z U g ; S Z U h ; R S i ; S Z U j ; 6 S Z U k ; rctg S Z U l ; S Z U ; S Z U ; 6 S Z U o ; S Z U p ; rcctg S Z U r ]; [ S Z U s rctg S U U Z ; S Z U ; 7 S Z U c ; 0 S Z U d ; 8 S Z U e R S ; \ Z R S ; S Z U c 0 S Z U d Idicţie Rezolvţi iecuţi ; si < e * Idicţie Itroduceţi ecuoscut uiliră ; cos t f * Idicţie si cos Idicţie cos cos Idicţie Scrieţi ecuţi stfel: 0 si si si si si poi trsforţi î produs epresiile di prteze Eerciţii și prolee recpitultive ; 08; 068 ; c 6 si 6 tg cos ctg 8 cosα 9 ; ; 0 ; 70 ; 00 c ; d 9 8 k 6 Mi ică decît 7 Plus; plus 8 Nici pră ici ipră; ipră 9 ; ; 6 c 6 0 Idicţie Utilizţi ctg tg α α ; ; F ; Z S 0 czuri: rccos ăsur ughiului lăturt zei rccos ăsur ughiului de l vîrf; rccos ăsur ughiului lăturt zei rccos ăsur ughiului de l vîrf

277 Răspusuri şi idicţii cos D si D tg D ctg D ; 9 e 7 ; f * 0 ; 08 0 * 0 0 S rcsi rcsi Z rcsi rccos ; 0 U k k Z 0 S Z 6 6 * S Z ; S k k Z Proă de evlure 6 D rcsi 7 F 096; 08; ; S { k k Z} 7 76 Modulul 9 Figuri geoetrice î pl c ; d F 0 F ; F F I { } I P U P P; P {} c 8 c 0 c 00 c 6 c c 6 8 c 8 c 0 c 7 c 9 EF FD c 0 Idicţie plicţi criteriul IU Idicţie plicţi criteriul ULU Idicţie plicţi criteriul LUL Idicţie plicţi criteriul I Idicţie plicţi criteriul IU Idicţie plicţi criteriul LUL 6 Idicţie Pe [ M și [ M luţi puctele D și D stfel îcît M MD și M MD Di M MD și M M D rezultă că LUL ULU LLL D D D D; L L 7 M M LUL 8 Idicţie Pe [ M și [ M luţi puctele D și LLL respectiv D stfel îcît M MD și M MD D D M M LLL LUL ir D D M M stfel LUL 9 Idicţie M M ; M M Deci LLL 0 Idicţie Pe edi M luţi u puct D stfel îcît M MD MD M D ir î D ve D > D su > M Idicţie Di prole 0 rezultă că < c < c c < duîd ceste c ieglităţi oţie duîd ieglităţile > c > > c < P c LUL oţie c > P Idicţie Vezi prole 8 Idicţie L L ULU LUL P L L L L P c 0 c c 6 c Idicţie ostruiţi MN și puctul [M stfel îcît I[ N { } Triughiul este cel căutt 8 g { } M I N ude M N 9 Idicţie Pe [ M luţi puctul D stfel îcît M MD Î D ve

278 Răspusuri şi idicţii D D M deci D pote fi costruit ULU Vîrful [M stfel îcît M M 0 Idicţie Î ve D h M DM pote fi costruit c dreptughic I Vîrfurile și sît puctele de itersecţie cercului M cu drept DM; d Idicţie Î ve c Luţi puctul D [ stfel îcît D Deci D pote fi costruit LUL Vîrful este itersecţi D cu editore segetului D; e Idicţie Î luţi puctul D stfel îcît D c D pote fi costruit LUL D c DD D este isoscel; f Idicţie Î luţi puctul D [ stfel îcît D c D deci D pote fi costruit Vîrful este itersecţi D cu editore segetului D; g Idicţie Î stfel îcît ir pe copleetr seidreptei pe copleetr seidreptei [ luţi puctul [ luţi puctul stfel îcît Triughiul pote fi costruit deorece și c ULU Vîrfurile și sît itersecţiile editorelor segetelor și cu drept ; h Idicţie Î luţi puctul D stfel îcît D D c Deostrţi că D de ude rezultă că D pote fi costruit Vîrful se deteriă di D cre este isoscel c c c 0 c 9 6 c 8 c 0 0 c DE E c ughiuri ltere itere Idicţie Pri vîrfurile ughiurilor scuţite costruiţi drepte prlele cu ctetele și veţi oţie u dreptughi Idicţie Fie edi M 0 tuci triughiurile M și M sît isoscele Pri urre M M α M M β tuci 80 α β Idicţie Folosiţi rezolvre proleei Idicţie Dcă se costruiesc îălţiile di vîrfurile ughiurilor otuze tuci se oţi două triughiuri cogruete 6 d d 7 : 6 8 Idicţie ostruiţi u ughi cogruet cu cel dt precu și isectore lui Pe isectore luţi u seget cogruet cu cel dt și costruiţi drepte prlele cu lturile roului 9 Idicţie ostruiţi roul MNL cu ML cogruet cu cel dt Pe [ N luţi puctul Q stfel îcît N NQ N ML Pe [ N luţi puctul stfel îcît d d Pri costruiţi o prlelă cu MQ și deteriţi vîrful l treile 0 Idicţie plicţi criteriul LLL Idicţie plicţi criteriul LLL Idicţie ostruiţi E cu E E E D Pe [ E luţi puctul D stfel îcît D Vîrful este itersecţi prlelei cu D duse pri și prlelei cu E duse pri D Idicţie ostruiţi ED cu E h D d ED 90 poi [ M DE Vîrfurile și sît itersecţiile cercului O d cu seidreptele [ M și [D ude O este ijlocul lui [D] 6 Idicţie Vezi prole c 6 c 9 c 0 c 0 c 0 c 6 c 0 c 6 c Idicţie plicţi criteriul ULU LUL ULU 9 Idicţie M ~ M : M : M 0 Idicţie L ~ L : L : L E E E DE E : E DE : E DE ~ E 77

279 Răspusuri şi idicţii DE E D Idicţie H ~ H H : H H : H H H H H etc Idicţie Fie trpezul D D { O} I D M ijlocul lturii și { N} D I MO tuci N : ND M : M N ND Deci M O N sît pucte coliire Dcă { O } I D tuci M : M N : ND deci puctele O M N sît coliire Idicţie Î LM LM este otuz ir ML scuţit tuci L < M M ~ MD 6 c c 0 c 7 8 c 6 c 0 c 8 6 c 9 9 c 0 Idicţie Pe lturile uui ughi cogruet cu costruiţi puctele și stfel îcît : : Pe [ costruiţi poi D Puctul { } [ I D Idicţie ostruiţi cu și [ D ] îălţie lui Pe [ luţi puctul E [ ] stfel îcît E D Pe [ luţi puctul E stfel îcît E h și costruiţi [ ED E { } [ ED I și Idicţie ostruiţi u pătrt M N P Q stfel îcît N M Q Puctul { P} [ P I este u vîrf l pătrtului Idicţie Vezi prole c c 7 c c c 8 c c c 6 c 0 0 c 8 c c 9 c 6 7 c c c 7 c c 0 0 c c c c c c : 7 6 0R 7 8 c Pro de evlure I c c D EF d 0 de discuri de discuri Dor piese pătrte 6 6 c c 7 c 60 0 c și c c 6 8 c c 7 c 9 c c 9 8 c c 0 c 0 r r 9 c c c 6 c c; r c c c su 0 rcsi rcsi 6 c 7 c c 8 0 c c c 9 c c 7 c c c c 8 c 0 6 c Idicţie Mijlocul ipoteuzei este cetrul cercului circuscris uui triughi 8 Idicţie D D Ughiurile D și sît îscrise î cerc și suîtid rce cre u depid de drept D 9 Idicţie Se cosideră două triughiuri isoscele seee cu vîrfurile î cetrele cercurilor 0 Idicţie DE Idicţie Fie T puctul de tgeţă tuci T și T de ude T T Idicţie ; Idicţie Di oţie că este cogruet cu ughiul fort de și tget l cerc î vîrful Deci tget este 78

280 Răspusuri şi idicţii prlelă cu tuci O Idicţie Tget couă î trece pri ijlocul segetului Idicţie Vezi prole Idicţie E D R r 6 rcsi 7 8 R r 9 Idicţie ostruiţi drept stfel îcît R r ϕ poi drept D Itersecţi editorei segetului cu D este puctul O Mulţie cerută este uul di rcele cercului O O precu și rcul sietric cestui 0 Idicţie ostruiţi ulţie puctelor M stfel îcît M vezi prole 9 tuci puctul de itersecţie rcului și dreptei prlele cu distţ ditre ele fiid h este vîrful l treile Idicţie ostruiţi î cercul O R cord Vîrful l treile este itersecţi cercului O R și prlelei cu distţ ditre ele fiid h Idicţie Vezi prole rezolvtă Idicţie Dcă I este cetrul cercului îscris tuci I Idicţie [] [] sît cordele cercului O R 7 lturi; 8 lturi 0 lturi; lturi 0R 80 7 R r ctg si c 60 c c 60 c 7 c 6 c 7 c 9 d c c d E up ED up 6 6 d Prolee recpitultive 6 80 c 9 c c c 0 c 6 c c 9 : 0 0 c c 8 c 8 c c 6 7 c 7 c 8 0 c 9 c 0 c c 0 c c 6 c c 7 c r R r 9 c : c c 6 c : su Rr R r : : : 0 : Triughiurile dreptughice isoscele cu ctetele Triughiurile isoscele cu ughiul de l vîrf α 6 9 ; d; 608 d; c 6 d 8 i și s 9 76 Pro de evlure II 6 c Idicţie Sît trei vîrfuri posiile 6 c 90 0 c c 6 88 c 7 eglă cu îălţue triughiului c c 8 c 8 up Idicţie Deostrţi că cestă ărie este R c up 79

281 upris uvît-îite Modulul Nuere rele Recpitulre și copletări Nuere rţiole irţiole rele Reprezetre uerelor rele pe uerelor oprre uerelor rele 6 Operţii ritetice cu uere rele 7 Eerciţii și prolee propuse 0 Proă de evlure Modulul Eleete de logică tetică și de teori ulţiilor Eleete de teori ulţiilor Recpitulre și copletări Eleete de logică tetică 8 Eerciţii și prolee recpitultive Proă de evlure Modulul Rdicli Puteri Logriti Rdicli 7 Putere cu epoet rel Logriti 8 Eerciţii și prolee recpitultive Proă de evlure Modulul Eleete de coitorică ioul lui Newto Eleete de coitorică 6 ioul lui Newto 7 Eerciţii și prolee recpitultive 6 Proă de evlure 6 Modulul Fucţii rele Proprietăţi fudetle Noţiue de fucţie Recpitulre și copletări 66 Proprietăţile fudetle le fucţiilor rele 7 Eerciţii și prolee recpitultive 80 Proă de evlure 8 Modulul 6 Ecuţii Iecuţii Sistee Totlităţi Ecuţii Recpitulre și copletări 8 Sistee totlităţi de ecuţii 88 Iecuţii cu o ecuoscută Recpitulre și copletări 9 Sistee totlităţi de iecuţii cu o ecuoscută Recpitulre și copletări 99 Eerciţii și prolee recpitultive 0 Proă de evlure 0 Modulul 7 Fucţii eleetre Ecuţii Iecuţii Fucţi de grdul I Ecuţii de grdul I Iecuţii de grdul I 06 Fucţi de grdul II Ecuţii de grdul II Iecuţii de grdul II Fucţi rdicl Fucţi putere Ecuţii irţiole Iecuţii irţiole 0 Pro de evlure I 7 Fucţi epoeţilă Ecuţii epoeţile Iecuţii epoeţile 8 Fucţi logritică Ecuţii logritice Iecuţii logritice 6 Eerciţii și prolee recpitultive 9 Pro de evlure II 6 Modulul 8 Eleete de trigooetrie Fucţii trigooetrice 6 Trsforări le epresiilor trigooetrice 7 Ecuţii trigooetrice 8 Iecuţii trigooetrice 9 Eerciţii și prolee recpitultive 0 Proă de evlure 0 Modulul 9 Figuri geoetrice î pl Eleete de geoetrie deductivă 09 Triughiuri ogrueţ triughiurilor lsificări 9 Prlelogrul și proprietăţile lui Trpezul seăre figurilor seăre triughiurilor Teore lui Thles 9 Liii și pucte rercile le triughiului Pro de evlure I 6 6 Relţii etrice î triughiuri și cercuri 7 7 Poligoe Poligoe regulte 0 8 riile figurilor ple Prolee recpitultive 8 Pro de evlure II 6 Răspusuri și idicţii 6 80

282