PHƯƠNG TRÌNH HÀM. yđều tồn tại a thuộc A sao cho x<a<y. Chú ý: Tập trù mật trong m n trù mật trong 2 n 3. Cận trên cận dưới

Transcript

1 PhÇ thø hêt : C c Chuyª Ò PHƯƠNG TRÌNH HÀM Nguyễ Hoàg Ngải Tổ trưởg tổ Toá THPT Chuyê Thái Bìh Một trog hữg chuyê đề rất qua trọg trog việc bồi dưỡg học sih giỏi dự thi học sih giỏi toá quốc gia, hu vực và quốc tế, đó là phươg trìh hàm, bất phươg trìh hàm. Có rất hiều tài liệu viết về chuyê đề ày. Qua một số ăm bồi dưỡg học sih giỏi dự thi học sih giỏi toá quốc gia và qua một số ì tập huấ hè tại Đại học hoa học tự hiê Đại học quốc gia Hà Nội, chúg tôi rút ra một số ih ghiệm dạy về chuyê đề ày và trao đổi với các đồg ghiệp. Phầ I: NHẮC LẠI NHỮNG KHÁI NIÊM CƠ BẢN. Nguyê lý Archimede Hệ quả:! : < +. Số hư thế gọi là phầ guyê của, í hiệu [] Vậy : [ ] < [ ] +. Tíh trù mật Tập hợp A gọi là trù mật trog, y, < yđều tồ tại a thuộc A sao cho <a<y. Chú ý: Tập trù mật trog m Tập A= m, trù mật trog. Cậ trê cậ dưới Giả sử A. Số được gọi là một cậ trê của tập A ếu với mọi a Athì a Số được gọi là một cậ dưới của tập A ếu với mọi a Athì a Cậ trê bé hất( ếu có) của A được gọi là cậ trê đúg của A và í hiệu là supa Cậ dưới lớ hất( ếu có) của A được gọi là cậ dưới đúg của A và í hiệu là ifa Nếu supa A thì sup A maa Nếu if A A thì ifa mia Ví dụ: cho a < b Nếu A = (a, b) thì sup A = b if A = a Nếu A = [a, b] thì sup A = ma A =b if A = mi A = a Tíh chất: Tíh chất : Nếu A, A bị chặ thì tồ tại supa, ifa

2 Tíh chất : a α, a A α = sup A ε >, a A: α ε < a a β, a A β = ifa ε >, a A: β + ε > a 4. Hàm sơ cấp Hàm số sơ cấp cơ bả là các hàm lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lượg giác, hàm số lượg giác gược. Hàm số sơ cấp là hữg hàm được tạo thàh bởi hữu hạ các phép toá số học ( +, -,, : ), phép toá lấy hàm hợp đối với các hàm số sơ cấp cơ bả. 5. Hàm cộg tíh, hâ tíh trê một tập hợp Hàm số f() được gọi là cộg tíh trê tập ác địh D ếu với mọi, y D thì + y D và f( + y) = f() + f(y). Hàm số f() được gọi là hâ tíh trê tập ác địh D ếu với mọi, y D thì. y D và f(. y) = f(). f(y). Nếu với mọi, y D mà +y D, y D và f( y) = f() f(y) thì f() cũg gọi là một hàm cộg tíh trê D. Hàm f() = ( là hàm hâ tíh. 6. Hàm đơ điệu Hàm số f() gọi là tăg trê (a, b) ếu : Với mọi, ( a, b), f( ) f( ) Hàm số f() gọi là giảm trê (a, b) ếu : Với mọi, ( a, b), f( ) f( ) Phầ II. CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG Phươg pháp : Hệ số bất địh. Tạp chí toá học trog hà trườg, số 8 4 trag 6 66 (bả tiếg Nga) Nguyê tắc chug: Dựa vào điều iệ bài toá, ác địh được dạg của f(), thườg là f() = a + b hoặc f() = a + b + c Đồg hất hệ số để tìm f() Chứg mih rằg mọi hệ số hác của f() đều hôg thỏa mã điều iệ bài toá. Phươg pháp dồ biế Bài : Tìm f: sao cho: ( y) f( + y) ( + y) f( y) = 4 y.( y ),, y Giải: u+ v = u = + y Đặt v= y u v y =

3 vf ( u) uf ( v) ( u v ) uv = f( u) f( v) u = v, u, v u v Cho v = ta có: f( u) f() u =, u u f( u) = u + au, u (a = f() ) Cho = y = ta có f() = do đó f() = Kết luậ f( ) = + a, Bài : f( ) f =, Giải : Đặt : y = y = = y y y y f f( y ) =, y y y f f( ) =, f( ) f =, f f( ) =, 8 f( ) = + f( ) = + +, 8 f( ) = + +, 8 + Ví dụ : Đa thức f() ác địh với và thỏa mã điều iệ: f( ) + f( ) =, (). Tìm f() Giải: Ta hậ thấy vế trái của biểu thức dưới dấu f là bậc hất :, vế phải là bậc hai. Vậy f() phải có dạg: f() = a + b + c Khi đó () trở thàh: (a + b + c) + a( ) + b( ) + c = a + (b a) + a + b + c =, Đồg hất các hệ số, ta thu được: a = a = b a = b= a b c + + = c = do đó:

4 Vậy f( ) = ( + ) Thử lại ta thấy hiể hiê f() thỏa mã điều iệ bài toá. Côg việc cò lại ta phải chứg mih mọi hàm số hác f() sẽ hôg thỏa mã điều iệ bài toá. Thật vậy giả sử cò hàm số g() hác f() thỏa mã điều iệ bài toá. Do f() hôg trùg với g() ê : g ( ) f( ). Do g() thỏa mã điều iệ bài toá ê: g ( ) + g( ) =, Thay bởi ta được: g ( ) + g( ) = Thay bởi ta được g( ) + g( ) = ( ) Từ hai hệ thức ày ta được: g ( ) = ( + ) = f( ) Điều ày mâu thuẫ với g ( ) f( ) Vậy phươg trìh có ghiệm duy hất là f( ) = ( + ) Ví dụ : Hàm số y = f() ác địh, liê tục với và thỏa mã điều iệ: f(f()) = f() +, Hãy tìm hai hàm số hư thế. (Bài ày đăg trê tạp chí KVANT số 7 ăm 986, bài M 995 bả tiếg Nga) Giải Ta viết phươg trìh đã cho dưới dạg f(f()) f() = () Vế phải của phươg trìh là một hàm số tuyế tíh vì vậy ta ê giả sử rằg hàm số cầ tìm có dạg : f() = a + b. Khi đó () trở thàh: a( a + b) + b (a + b) =, hay (a a ) + ab =, đồg hất hệ số ta được: a a= a= a= ab = b = b= Ta tìm được hai hàm số cầ tìm là: ± 5 f ( ) = Hiể hiê thỏa mã điều iệ bài toá. Ví dụ : Hàm số f : thỏa mã đồg thời các điều iệ sau: a) f( f( )) =, () b) f( f( + ) + ) =, () c) f() = () Tìm giá trị f(995), f(-7) (olympic Ucraia 995) Giải: Cũg hậ ét và lý luậ hư các ví dụ trước, ta đưa đế f() phải có dạg: f() = a +b Khi đó điều iệ () trở thàh: a+ ab+ b=, Đồg hất các hệ số, ta được: a = a= a= ab + b = b= b= 4

5 a = Với ta được f() = b = Trườg hợp ày loại vì hôg thỏa mã () a = Với ta được f() = - + b b = Từ điều iệ () cho = ta được b = Vậy f() = - + Hiể hiê hàm số ày thỏa mã điều iệ bài toá. Ta phải chứg mih f() = - + là hàm duy hất thỏa mã điều iệ bài toá Thật vậy giả sử tồ tại hàm g() hác f() cũg thỏa mã điều iệ bài toá. Từ () suy ra f() = g() = Từ () suy ra f() = g() = Sử dụg điều iệ () và () ta hậ được: g(g()) = g(g(+)+) do đó g(g(g())) = g(g(g(+)+)) Hay g() = g(+)+ Giả sử là số tự hiê bé hất làm cho f ( ) g( ) Do f() cũg thỏa mã (4) ê ta có: g( ) = g( ) + = f( ) + = f( ) g ( ) = f( ) Mâu thuẫ với điều iệ là số tự hiê bé hất thỏa mã (5) Vậy f() = g(), Chứg mih tươg tự ta cũg được f() = g() với mọi guyê âm. Vậy f() = là ghiệm duy hất. Từ đó tíh được f(995), f(-7). Các bài tập tươg tự: Bài : Tìm tất cả các hàm số f : thỏa mã điều iệ: f( + y) + f( y) f( ) f( + y) = y( y ),, y Đáp số f() = Bài : Hàm số f : thỏa mã điều iệ f(f()) + f() = +, Tìm f(5) Đáp số : 6 Bài : Tìm tất cả các hàm f : sao cho: f( f( )) + ( f( )) = + +, Bài 4: Tìm các hàm f : ếu : 8 f 5 f =,,,, + Bài 5: Tìm tất cả các đa thức P() [ ] sao cho: P( + y) = P() + P(y) + y( + y), y, Phươg pháp ét giá trị Bài : Tìm f : thỏa mã: f( y) + f( yz) f( ) f( yz),, y, z 4 5 Đáp số : f() = + Đáp số : f( ) = 5 Đáp số : P() = + c

6 Giải: Cho = y = z = : f() + f() f () 4 ( f () ) f () = Cho y = z = : + f( ), f( ), () Cho = y = z = f() + f() f () 4 ( f () ) f () = Cho y = z = f( ) + f( ) f ( ) 4 f( ), () Từ ( ) và () ta có f() = Bài : Tìm f :(,) thỏa mã: f(yz) = f() + yf(y) +zf(z) yz,, (,) Giải : Chọ = y = z: f( ) = f() Thay, y, z bởi f( 6 ) = f( ) Mặt hác f( 6 ) = f(.. ) = f() + f( ) + f( ) Hay f( ) = f() + f( ) + 4 f() f( ) = f() + 4 f() + f( ) = f( ), Thay bởi ta được : f( ) = f( ), 9 + f( ) = f( ), f( ) = f( ), f( ) =, Vậy f() = với mọi Phươg pháp : Sử dụg tíh chất ghiệm của một đa thức (Bài giảg của Tiế sỹ Nguyễ Vũ Lươg ĐHKHTN ĐHQG Hà Nội) Ví dụ : Tìm P() với hệ số thực, thỏa mã đẳg thức: ( ) P( ) = ( + ) P( ), () 6

7 Giải: () ( + )( + + ) P( ) = ( )( + ) P( ), Chọ : = P( ) = = P( ) = = P() = = P() = Vậy P() = ( )( + )( + )G() Thay P() vào () ta được: ( + )( + + )( )( ) ( + ) G( ) = ( )( + ) ( )( + )( + ) G( ), ( ) G( ) ( ) G( ), + + = + G ( ) G ( ) =, G ( ) G ( ) =, ( ) + ( ) G ( ) Đặt R ( ) = (,, -) + + ± R ( ) = R ( ) (, ±, -) R ( ) = C Vậy P ( ) = C ( + + ) ( )( + )( + ) Thử lại thấy P() thỏa mã điều iệ bài toá. Chú ý : Nếu ta ét P() = ( + )( ) Thì P( + ) = ( ) Do đó ( )P() = ( )( + )P( + ) Từ đó ta có bài toá sau Ví dụ : Tìm đa thức P() với hệ số thực, thỏa mã đẳg thức: ( )P() = ( )( + )P( + ) với mọi Giải quyết ví dụ ày hoà toà hôg có gì hác so với ví dụ Tươg tự hư trê ếu ta ét: P() = ( + )( + ) Ta sẽ có bài toá sau: Ví dụ : Tìm đa thức P() với hệ số thực thỏa mã đẳg thức: ( )(4 ) P( ) = ( + )( + ) P(+ ), Các bạ có thể theo phươg pháp ày mà tự ság tác ra các đề toá cho riêg mìh. Phươg pháp : Sử dụg phươg pháp sai phâ để giải phươg trìh hàm.. Trước hết ta hắc lại hái iệm về dãy số. Dãy số là một hàm của đối số tự hiê: : () Vì {,,,,... } ( ) {,,,...} = o. Địh ghĩa sai phâ Xét hàm () = Sai phâ cấp của hàm là = + Sai phâ câp của hàm là = + =

8 i i Sai phâ câp của hàm là = ( ) C + i i=. Các tíh chất của sai phâ Sai phâ các cấp đều được biểu thị qua các giá trị hàm số Sai phâ có tíh tuyế tíh: Δ ( af + bg) = aδ f + bδ g Nếu đa thức bậc m thì: Δ Là đa thức bậc m ếu m> Là hằg số ếu m= Là ếu m< Ví dụ : Xét dãy số hữu hạ:, -, -,, 5,, 9, 9, 4, 55 Tìm quy luật biểu diễ của dãy số đó. Giải: Ta lập bảg sai phâ hư sau: Δ Δ Vậy Δ = cost do đó là đa thức bậc hai: = a + b + c Để tíh a, b, c ta dựa vào ba giá trị đầu =, =, = sau đó giải hệ phươg trìh ta hậ được: a =, b = -, c =. Do đó = + 4. Phươg trìh sai phâ tuyế tíh thuầ hất a + a + + a =, a, a () + + Gọi là phươg trìh sai phâ tuyế tíh thuầ hất cấp (ở đây = + -) 5. Phươg trìh đặc trưg. aλ a λ + + aλ + + a = () 6. Nghiệm tổg quát Nếu () có ghiệm phâ biệt λ, λ, λ,, λ thì ghiệm tổg quát của () là = cλ + cλ+ cλ Nếu () có ghiệm bội, chẳg hạ ghiệm λ có bội s thì ghiệm tổg quát của () sẽ là: s = cλ + cλ+ c λ+ cs λ+ cs+ λs+ + + cλ 7. Ví dụ Ví dụ : cho dãy ( ) có + = =, = 4, = Hãy tìm Giải : Ta có = Phươg trìh đặc trưg là : 8

9 λ 6λ + λ 6 = λ =, λ =, λ = Suy ra: = c+ c + c Để tìm c, c, c ta phải dựa vào,, hi đó ta sẽ tìm được : Từ đó Ví dụ : Cho dãy số ( Tìm c = c = 8 c = 7 = ) có =, =, = và = 7 + 5, Phươg trìh đặc trưg là : λ 7λ + λ 5 = λ =, λ =, λ = 5 Vậy ghiệm tổg quát là : = c+ c+ c 5 Để tìm c, c, c ta phải dựa vào,, hi đó ta sẽ tìm được : c = 6 c = 4 c = 6 Từ đó ta được: 5 = Chú ý : Với phươg trìh sai phâ, ta có một số loại hác ữa hư phươg trìh sai phâ tuyế tíh hôg thuầ hất, phươg trìh sai phâ phi tuyế và có cả một hệ thốg phươg pháp giải quyết để tuyế tíh hóa phươg trìh sai phâ. Sog liê qua đế phươg trìh hàm trog bài viết ày, chỉ hắc lại phươg trìh sai phâ tuyế tíh đơ giả hất ( chưa ét đế phươg trìh sai phâ tuyế tíh thuầ hất có ghiệm phức). 8. Áp dụg đối với phươg trìh hàm Ví dụ : Tìm tất cả các hàm f : thỏa mã: f(f()) = f(), Giải : Thay bởi f() ta được: f(f(f())) = f(f()) f(),.. f (... f( )) = f(... f( )) f(... f( )) + + 9

10 Hay f+ ( ) = f+ ( ) f( ), Đặt = f( ), Ta được phươg trìh sai phâ: + = + Phươg trìh đặc trưg là : λ λ + = λ = λ = Vậy = c+ c Ta có: = c+ c = = c+ c = f( ) Từ đó ta được c = f( ), c = f( ) Vậy f ( ) = + c hoặc f ( ) = c Ví dụ : Tìm tất cả các hàm f ác địh trê N và thỏa mã đồg thời các điều iệ sau: f ( ) f( + ) f( ) = f( ) f( ), f () = Giải: Cho = = f () f() = f () f() = f() = Nếu f() = chọ = ta được: - f() = do đó f() = với mọi Chọ = ta được f() = mâu thuẫ với giả thiết. Vậy f() = - Chọ = ta được phươg trìh: f () f( + ) f( ) = f() f( ), f( + ) f( ) = f( ), Đặt = f( ) ta có phươg trìh sai phâ = Phươg trìh đặc trưg là + λ λ = λ = λ = Vậy f( ) = c + c Ta tìm c, c từ điều iệ f() = -, f() = Dễ tìm được c =, c = Vậy f( ) = Phươg pháp 4: ĐIỂM BẤT ĐỘNG.. Đặc trưg của hàm

11 Như ta đã biết, phươg trìh hàm là một phươg trìh thôg thườg mà ghiệm của ó là hàm. Để giải quyết tốt vấ đề ày, cầ phâ biệt tíh chất hàm với đặc trưg hàm. Nhữg tíh chất qua trắc được từ đại số sag hàm số, được gọi là hữg đặc trưg hàm. Hàm tuyế tíh f() = a, hi đó f( + y) = f() + f(y) Vậy đặc trưg là f( + y) = f() + f(y) với mọi, y Hàm bậc hất f() = a + b, hi đó f() + f(y) = f( + y f( ) + f( y) Vậy đặc trưg hàm ở đây là f =,, y Đế đây thì ta có thể êu ra câu hỏi là : Nhữg hàm ào có tíh chất f( + y) = f ( ) + f( y),, y. Giải quyết vấ đề đó chíh là dẫ đế phươg trìh hàm. Vậy phươg trìh hàm là phươg trìh sih bởi đặc trưg hàm cho trước. Hàm lũy thừa f( ) =, > Đặc trưg là f(y) = f()f(y) Hàm mũ f( ) = a ( a>, a ) Đặc trưg hàm là f( + y) = f()f(y), y, Hàm Logarit f( ) = log a (a>,a ) Đặc trưg hàm là f(y) = f() + f(y). f() = cos có đặc trưg hàm là f( + y) + f( y) = f()f(y) Hoà toà tươg tự ta có thể tìm được các đặc trưg hàm của các hàm số f() =si, f() = ta và với các hàm Hypebolic: si hypebolic cos hypebolic ta hypebolic cot hypebolic e sh = e ch = e + e sh e e th = = ch e + e ch e + e coth = = sh e e sh có TXĐ là tập giá trị là ch có TXĐ là tập giá trị là [, + ) th có TXĐ là tập giá trị là (-,) coth có TXĐ là \{} tập giá trị là (, ) (, + ) Ngoài ra bạ đọc có thể em thêm các côg thức liê hệ giữa các hàm hypebolic, đồ thị của các hàm hypebolic. Điểm bất độg Trog số học, giải tích, các hái iệm về điểm bất độg, điểm cố địh rất qua trọg và ó được trìh bày rất chặt chẽ thôg qua một hệ thốg lý thuyết. Ở đây, tôi chỉ êu ứg dụg của ó qua một số bài toá về phươg trìh hàm. Ví dụ : Xác địh các hàm f() sao cho: f(+) = f() + Giải: Ta suy ghĩ hư sau: Từ giả thiết ta suy ra c = c + do đó c =

12 Vì vậy ta coi hư là f() ta được f( + ) = f() + f() (*) Như vậy ta đã chuyể phép cộg ra phép cộg. Dựa vào đặc trưg hàm, ta phải tìm a : f() = a để hử số. Ta được (*) a ( + ) = a+ a = Vậy ta làm hư sau: Đặt f() = + g() Thay vào (*) ta được: ( + ) + g( + ) = + g() +, Điều ày tươg đươg với g( + ) = g(), Vậy g() là hàm tuầ hoà với chu ì. Đáp số f() = + g() với g() là hàm tuầ hoà với chu ì. Qua ví dụ, ta có thể tổg quát ví dụ ày, là tìm hàm f() thỏa mã: f( + a) = f() + b,, a, b tùy ý Ví dụ : Tìm hàm f() sao cho: f( + ) = - f() +, Giải: () ta cũg đưa đế c = -c + do đó c = vậy đặt f() = + g(), thay vào () ta được phươg trìh: g( + ) = - g(), Do đó ta có: g( + ) = g( ) g( + ) = g( ) g( ) = [ g( ) g( + ) ] () g( + ) = g( ) Ta chứg mih mọi ghiệm của () có dạg : g ( ) = [ h ( ) h ( + ) ], ở đó h() là hàm tuầ hoà với chu ì qua ví dụ ày, ta có thể tổg quát thàh: f( + a) = - f() + b,, a, b tùy ý Ví dụ : Tìm hàm f() thỏa mã : f( + ) = f() +, () Giải: Ta đi tìm c sao cho c = c + dễ thấy c = - Đặt f() = - + g() Lúc đó () có dạg g( + ) = g() Coi hư g() ta được g( + ) = g().g() () Từ đặc trưg hàm, chuyể phép cộg về phép hâ, ta thấy phải sử dụg hàm mũ : a + = a a = Vậy ta đặt: g ( ) = h ( ) thay vào () ta được: h( + ) = h() Vậy h() là hàm tuầ hoà chu ì. Kết luậ f ( ) = + h( ) với h() là hàm tuầ hoà chu ì.

13 Ở ví dụ ày, phươg trìh tổg quát của loại ày là : f( + a) = bf() + c,, a, b, c tùy ý, b >, b hác Với loại ày được chuyể về hàm tuầ hoà. Cò f( + a) = bf() + c,, a, b, c tùy ý, b <, b hác được chuyể về hàm phả tuầ hoà. Ví dụ 4: Tìm hàm f() thỏa mã f( + ) = f() () Ta có: c = c suy ra c = Đặt f() = + g() Khi đó () có dạg g( + ) = g() Giải: () Khi biểu thức bê trog có ghiệm thì ta phải ử lý cách hác. Từ + = suy ra = Vậy đặt = - + t ta có + = - + t () có dạg: g(- + t) = g(- + t ) t Đặt h(t) = g(- + t), ta được h(t) = h(t) () t = t t = ( ) m m t =. t m= log Xét ba hả ăg sau: Nếu t = ta có h() = log Nếu t> đặt ht () = t ϕ() t thay vào () ta có ϕ( t) = ϕ( t), t > Đế đây ta đưa về ví dụ hàm tuầ hoà hâ tíh. log Nếu t < đặt ht () = t ϕ() t thay vào () ta được ϕ( t) = ϕ ( t), t < ϕ( t) = ϕ( t), t < ϕ(4 t) = ϕ( t), t < ϕ() t = [ ϕ() t ϕ(), t ] t < ϕ(4 t) = ϕ( t), t < Bài toá tổg quát của dạg ày hư sau: f( α + β) = f( a) + b α, ± Khi đó từ phươg trìh α + β = ta chuyể điểm bất độg về, thì ta được hàm tuầ hoà hâ tíh. Nếu a = bài toá bìh thườg Nếu a = chẳg hạ ét bài toá sau: Tìm f() sao cho f( + ) = f(), - () Nghiệm + = = ê đặt = - + t thay vào () ta được f(- + t) = f(- + t) +, t Đặt g(t) = f( - + t) ta được g(t) = g(t) + t () Từ tích chuyể thàh tổg ê là hàm loga Ta có log a( t) = log at a = Vậy đặt gt () = log t+ ht ()

14 Thay vào () ta có h( t) = h( t), t Đế đây bài toá trở ê đơ giả Þh lý Roll vμ p dôg vμo ph g tr h. 4 TiÕ Sü : Bïi Duy H g Tr êg THPT Chuyª Th i B h I) Þh lý Roll : lμ tr êg hîp riªg cña Þh lý Lagr g.trog ch g tr h to gi i tých líp cã Þh lý Lagr g h sau : NÕu hμm sè y = f() liª tôc trª [a; b] vμ cã ¹o hμm trª (a; b) th tå t¹i mét ióm c (a; b) sao cho: f (b) f (a) f / (c) = b a ý ghüa h h häc cña Þh lý h sau: XÐt cug AB cña å thþ hμm sè y = f(), víi to¹ é cña ióm A(a; f(a)), B(b; f(b)). HÖ sè gãc cña c t tuyõ AB lμ: f (b) f (a) = b a f (b) f (a) ¼g thøc : f / (c) = b a ghüa lμ hö sè gãc cña tiõp tuyõ t¹i ióm C(c; f(c)) cña cug AB b»g hö sè gãc cña êg th¼g AB. VËy Õu c c iòu iö cña Þh lý Lagr g îc tho m th tå t¹i mét ióm C cña cug AB, sao cho tiõp tuyõ t¹i ã sog sog víi c t tuyõ AB.. NÕu cho hμm sè y = f() tho m thªm iòu iö f(b) = f(a) th cã f / (c) =. Ta cã Þh lý sau y cã tª gäi lμ : Þh lý Roll. NÕu hμm sè y = f() liª tôc trª [a; b], cã ¹o hμm f / () trª (a; b) vμ cã f(a) = f(b) th tå t¹i ióm o (a,b) sao cho f ( o ) =.. Nh vëy Þh lý Roll lμ mét tr êg hîp riªg cña Þh lý Lagr g. Tuy hiª cã thó chøg mih Þh lý Roll trùc tiõp h sau: Hμm sè f() liª tôc trª [a; b] ª ¹t c c gi trþ ma, mi trª o¹ [a; b] gäi m = mi f(), M = ma f()

15 [ a, b] [ a, b] NÕu m = M th f() = C lμ h»g sè ª o (a,b) Òu cã f ( o ) = NÕu m < M th Ýt hêt mét trog hai gi trþ ma, mi cña hμm sè f() ¹t îc t¹i ióm μo ã o (a; b). VËy o ph i lμ ióm tíi h¹ cña f() trª ho g (a; b) f ( o ) =. Þh lý îc chøg mih. ý ghüa h h häc cña Þh lý Roll : Trª cug AB cña å thþ hμm sè y = f(), víi A(a; f(a)), B(b; f(b)) vμ f(a) = f(b), tå t¹i ióm C ( c; f(c) ) mμ tiõp tuyõ t¹i C sog sog víi O. II ) p dôg cña Þh lý Roll. Bμi to. Cho lμ sè guyª d g, cß a, b, c lμ c c sè thùc tuú ý tho m hö thøc : a + + b + + c = () CMR ph g tr h : a + b + c = cã Ýt hêt mét ghiöm trog ( ; ). Gi i : XÐt hμm sè: f() = a b ++ c +. Hμm sè f () liª tôc vμ cã ¹o hμm t¹i R. a b c Theo gi thiõt () cã f() =, f() = + + = + + Theo Þh lý Roll tå t¹i o (; ) sao cho f ( o ) = mμ: + f () = a + b + c + f ( ) = a o + b o + c o = (a + b +c) = ( o o o o ) a o + b o + c = + b + c = cã ghiöm o (; ). ( pcm). VËy ph g tr h a Bμi to : Gi i ph g tr h : + 6 = Gi i : Ph g tr h cho t g g víi : 6 5 = 4 (). Râ rμg o = lμ mét ghiöm cña ph g tr h (). Ta gäi α lμ ghiöm bêt ú cña ph g tr h (). XÐt hμm sè : α α f() = ( + ), víi > Hμm sè f() c Þh vμ liª tôc trª ( ; + ) vμ cã ¹o hμm : f () = α α α ( + ) - α α α =α [ ( + ) ] Tõ () cã f(5) = f(). VËy tå t¹i c ( ; 5) sao cho f (c) =, hay lμ : α α α [ (c + ) c ] = o α = o, α =. Thö l¹i thêy =, = Òu tho m ph g tr h (). VËy ph g tr h cho cã óg ghiöm lμ : =, = Bμi to 5

16 Chøg mih r»g víi c c sè thùc bêt ú a, b, c ph g tr h : acos + bcos + csi = () cã Ýt hêt mét ghiöm thuéc ho g ( ; π ) Gi i a si bsi XÐt hμm sè f() = + + csi cos. Hμm f() liª tôc trª [ ; π ], cã ¹o hμm trª ( ; π ) vμ cã ¹o hμm lμ: f () = acos + bcos +ccos + si. mæt h c cã f() = -, f ( π ) = -. Theo Þh lý Roll tå t¹i o (;π) Ó f ( ) =. VËy (;π) lμ ghiöm cña ph g tr h ( ). ( pcm ). o cos cos Bμi to 4 Gi i ph g tr h : = cos (4). Gi i : Ph g tr h (4) cã Ýt hêt mét ghiöm =. Gäi α lμ ghiöm bêt ú cña (4).Khi ã cã : cos α cos α = cosα cos α cos cosα = α t cosα α cosα. (5) XÐt hμm sè f() = t cos, (víi t > ). Hμm sè f() liª tôc trª ho g (; + ) vμ cã ¹o hμm lμ: cos α f () = cosα.t cosα. Tõ ¼g thøc (5) cã : f() = f (). VËy tå t¹i gi trþ c ( ; ) sao cho: cos α f (c) =. c cosα = cos α. cos α cosα(c ) = cos α = hoæc cosα = π α = + π ; α = π. Víi Ζ Thö l¹i thêy tho m ph g tr h (4). π VËy (4) cã ghiöm = + π, = π ( Ζ ) NhË Ðt : Tõ Þh lý Roll cã thó rót ra mét sè hö qu qua träg h sau : Cho hμm sè y = f () c Þh trª [a; b] vμ cã ¹o hμm t¹i (a;b). HÖ qu : NÒu ph g tr h f() = cã ghiöm ph biöt th : ph g tr h f () = cã Ýt hêt ghiöm ph biöt. ( ) ph g tr h f () = cã Ýt hêt ghiöm ph biöt, víi =,, 4 HÖ qu : NÕu ph g tr h f() = cã ghiöm ph biöt th ph g tr h : f() + α f () = cã Ýt hêt - ghiöm ph biöt, víi α R mμ α. Chøg mih : e XÐt hμm F () = α.f (). Hμm sè F () liª tôc trª [a; b] vμ cã ghiöm ph biöt. Theo hö qu th ph g tr h F () = o cã Ýt hêt - ghiöm ph biöt. MÆt h c cã: e.f '() + e α. α F () = α.f () 6

17 α e = α. [ f() +α f () ] VËy ph g tr h : f() + α f () = cã Ýt hêt - ghiöm. Chó ý : Trog tr êg hîp ph g tr h f () = cã - ghiöm ph biöt th ph g tr h f() = ch a ch¾c cã ghiöm ph biöt. XÐt vý dô sau y : Ph g tr h : + 5 = cã óg ghiöm h g ph g tr h : 6 = cã ghiöm. HÖ qu : NÕu f () > o hoæc f () < o (a;b) th ph g tr h f() = cã h«g qu hai ghiöm. HÖ qu 4 : NÕu f () > hoæc f () < (a;b) th ph g tr h f() = cã h«g qu ba ghiöm. Bμi to 5 : Gi i ph g tr h : + + = + + (6) Gi i : iòu iö Ph g tr h (6) + + = XÐt hμm sè: f() = + ; f () = f () = ( + ) <. > Theo hö qu suy ra ph g tr h (6) cã h«g qu ghiöm Thö trùc tiõp =, = tho m ph g tr h. VËy (6) cã óg ghiöm =, =. +. Víi [ + ) Bμi to 6: Gi i ph g tr h : = + + log ( + ) Gi i : iòu iö: + > > - Ph g tr h cho t g g víi : + = ( + ) + log ( + ) ( 7 ) XÐt hμm f(t) = t + log t, víi t ( ; + ) ta cã : f (t) = + >, t >. VËy f (t) åg biõ trª ( ; + ) t l Ph g tr h ( 7 ) hi ã trë thμh: f ( ) = f ( + ) = + = (8) 7

18 XÐt hμm sè: g () = víi ( ; + ) ta cã : g () =.l g () =.l >. > VËy ph g tr h (8) cã h«g qu ghiöm trog ho g ( - ; ) MÆt h c thö trùc tiõp thêy =, = lμ ghiöm cña ph g tr h (8). VËy ph g tr h (8) cã ghiöm,. KÕt luë : Ph g tr h cho cã óg ghiöm =, = Bμi to 7 : Gi i ph g tr h : ( + )(4 ) = (9). Gi i : XÐt hμm sè f () = ( + )(4 ). X c Þh vμ liª tôc trª R. f () =.l.(4 ) ( + ). f () =.l.(4 ).l.l. =.l. [ l.(4 ) ]. f () = ( 4).l + = o = 4. l Ph g tr h f () = cã ghiöm duy hêt. Theo Þh lý Roll th ph g tr h ( 9 ) cã h«g qu ghiöm, bëi v Õu (9) cã 4 ghiöm ph biöt th f () = cã Ýt hêt ghiöm ph biöt. Thö trùc tiõp thêy (9) tho m víi =, =, =. VËy (9) cã óg ghiöm =, =, =. Bμi to 8 : Chøg mih r»g : Víi m R ph g tr h : m( ) = (). cã óg ghiöm. Gi i : 5 XÐt hμm sè f() = + + m( ) Hm sè f() liª tôc vμ cã ¹o hμm trª R. 4 f () = m 9. f () = m. f () = >.. VËy ph g tr h () cã h«g qu ghiöm. MÆt h c lim f() = -, lim f() = +, f(- ) = >, f() = - < + Cho ª : ( ; ) mμ f ( ) = (-;) mμ f( ) = (; + ) mμ f( ) = NghÜa lμ ph g tr h ( ) cã Ýt hêt ghiöm ph biöt <. 8 <

19 VËy ph g tr h ( ) cã óg ghiöm ph biöt.( pcm). Bμi to 9 : Cho biõt ph g tr h : 4 + a + b + c = () cã 4 ghiöm ph biöt. Chøg mih r»g : ab < Gi i : 4 XÐt P () = + a + b + c liª tôc trª R. f() = P () = 4 + a + b. Ph g tr h () cã 4 ghiöm ph biöt, theo Þh lý Roll suy ra: ph g tr h f() = cã ghiöm ph biöt f CD.f CT <. MÆt h c cã f () = + 6a = 6.( + a ) a a + 4b f.f = f (o).f ( ) = b.( ). ( iòu iö a ) CD CT 4 iòu iö f.f < b(a + 4b) < CD CT () Tõ () dô dμg suy ra ab <. Bëi v Õu cã : a >, b > th : võ tr i () > a <, b < th : VÕ tr i () > b = th : VÕ tr i () =. VËy ab <. ( iòu ph i chøg mih ). Bμi to : Cho sè guyª d g tuú ý lí h, vμ c c sè thùc a,a,a,...a. tho m iòu iö : a a a a a 4a.a = = Chøg mih r»g ph g tr h : a + a + a a = o cã ghiöm. Gi i : a a + XÐt F() = + a a a thøc F() liª tôc trª R, cã ¹o hμm cêp tuú ý trª R. F () = F () = a + a + a a a + a + a a a a a a a.a.a a 4a a.a F() =, F() = F() = = 4 ( ) Theo gi thiõt () suy ra F() = F() = F(). Theo Þh lý Roll suy ra ph g tr h F () = cã Ýt hêt ghiöm ph biöt (;), (;). Suy ra ph g tr h F () = cã Ýt hêt ghiöm. VËy ph g tr h : a + a a cã ghiöm ( pcm). = ΙΙΙ ) C c bμi to luyö tëp : Gi i c c ph g tr h vμ hö ph g tr h sau. 9. ().

20 ) = + log ( + ) ) + 5 = ) ( 4 + )( ) = 6 4) ( + ) + log ( + ) 6 5) log = = + log y y = + log z z = + log 4 + = 4y + y y 6) 4 + = 4z + z z 4 + = 4 + Tø GI C TOμN PHÇN NéI TIÕP, NGO¹I TIÕP Th¹c sü : Ph¹m C«g SÝh Tæ to tr êg t.h.p.t Chuyª Th i B h lêi ãi Çu *******

21 Trog c c thi häc sih giái quèc gia, häc sih giái to quèc tõ cã uêt hiö c c bμi to vò h h ph¼g mμ häc sih gæp h«g Ýt hã h hi gi i quyõt c c bμi to μy.nª viöc hö thèg c c d¹g bμi tëp h h theo chuyª Ò cho häc sih lμ rêt qua träg. Trog bμi viõt μy t«i i tr h bμy chuyª Ò Tø gi c Toμ PhÇ éi,go¹i tiõp, y chø lμ mét trog c c ph g ph p Ó gióp häc sih cã c ch h h i qu t h, h»m gi i quyõt mét sè c c bμi to chøg mih trog h h häc ph¼g. Néi dug cña chuyª Ò μy gåm c c phç sau : Kh i iöm vòtø gi c Toμ PhÇ Mét sè bæ Ò c së Mét sè bμi tëp p dôg Mét sè Õt qu ¹t îc ChÝh v suy ghü h trª ª t«i tr h bμy chuyª Ò μy,gãp phç cïg åg ghiöp trog viöc d¹y häc sih giái.t«i hy väg r»g chuyª Ò μy gióp cho c c em häc sih giái cã høg thó, say mª h trog viöc gi i c c bμi to vò h h häc ph¼g. Trog chuyª Ò μy, t«i a ra mét sè bμi to há,mæc dï c c bμi to ch a phog phó vμ a d¹g, h g do thêi l îg cña chuyª Ò, t«i i îc t¹m dõg ë y vμ sï tiõp tôc bæ ug c c bμi tëp h c. Trog qu tr h hoμ thμh chuyª Ò h«g tr h hái h g thiõu sãt, t«i rêt mog muè îc sù gãp ý,bæ sug cña c c thçy, c«gi o vμ c c b¹ åg ghiöp Ó chuyª Ò hoμ thiö h. T«i i ch thμh c m! Th i B h,ngμy 5 Th g N m 8 I. Þh ghüa: Tø gi c toμ phç éi tiõp, go¹i tiõp. Cho tø gi c låi ABCD cã c¹h AB vμ CD c¾t hau t¹i N,AD c¾t BC t¹i M (B thuéc o¹ CM ;D thuéc o¹ CN ).Tø gi c toμ phç bao gåm tø gi c ABCD vμ c c tam gi c ABM, AND îc c Þh bëi ABCDMN.C c o¹ AC, BD, MN îc gäi lμ c c êg chðo.a,b,c,d,m,n lμ c c Øh. C¹h cña tø gi c toμ phç ABCDMN bao gåm c¹h cña tø gi c ABCD vμ c¹h cña c c tam gi c ABM,AND. +)NÕu tø gi c ABCD éi tiõp êg trß th ABCDMN îc gäi lμ tø gi c éi tiõp. +)NÕu tø gi c ABCD go¹i tiõp êg trß th ABCDMN îc gäi lμ tø gi c go¹i tiõp.

22 D N A C B M II.Bæ Ò C Së Bæ Ò: Cho êg trß (O) vμ 4 ióm A,B,C,D»m trª (O).NÕu tiõp tuyõ víi êg trß t¹i A, B c¾t hau t¹i M, tiõp tuyõ t¹i C,D c¾t hau t¹i N th AC,BD,MN åg quy ;AD,BC, MN còg åg quy (NÕu chóg tå t¹i). Gi sö AB c¾t CD t¹i H ; OH c¾t MN t¹i K th OK MN vμ OH. OK =R. Chøg mih: *Tr êg hîp 4 ióm A,B,C,D thø tù lμ 4 Øh cña mét tø gi c Gi sö Δ MAB»m trog Δ NCD=> AC vμ BD lμ êg chðo cña tø gi c D A M P N C B E E lμ giao cña MB,NC vμ F lμ giao cña MA,ND.Trog Δ MNE,B thuéc o¹ ME cß C»m goμi o¹ NE ª BC ph i c¾t MN gi sö t¹i P p dôg Þh lý Meelauyt trog Δ MNE víi ióm th¼g hμg C, B, P ta cã NP P M MB BE EC CN = NP NC => = () P M MB T g tù èi víi Δ MNF êg AD c¾t MN t¹i P ta cã MP DN AF NP NC = => = () P N DF AM P M MB Tõ () vμ () => P P Do ã AD,BC,MN åg quy t¹i P XÐt Δ PCD v M lμ ióm»m trog Δ ª PM c¾t c c o¹ AC, BD gi sö t¹i Q, Q Gäi h h chiõu cña M,N trª AC lμ M,N.

23 Ta cã MM QM = () NN Q N V c c gãc cña Δ MM A vu«g t¹i M vμ Δ NN C vu«g t¹i N t g øg b»g hau ª MM MA F Δ MM A~ Δ NN C => = (4) NN NC Tõ () vμ (4) ta cã T g tù ta cã MQ MA = (5) NQ NC MQ MB = (6) NQ ND MQ MQ => Mμ MA=MB, NC=ND vμ tõ (5),(6) ta cã = C B NQ NQ E L¹i cã M,N»m cïg phýa èi víi M ª AD, BC, MN åg quy *Tr êg hîp tø gi c MENF go¹i tiõp êg trß DÔ dμg chøg mih t g tù îc P, P cïg chia o¹ MN theo cïg mét tø lö, Q,Q còg chia MN theo cïg tø lö ª,suy ra iòu ph i chøg mih *Tr êg hîp AB,CD lμ c c êg chðo cña tø gi c ACBD.A thuéc cug há CD,C thuéc cug há AB t g tù trog Δ MNE va Δ MNF ta chøg mih îc AD vμ BC chia MN theo cïg mét tø lö (do AD vμ BC cïg chia trog o¹ MN).VËy ta cã iòu ph i chøg mih A D F N O N H D A M Gi sö OK MN ta ph i chøg mih H»m trª OK H,H' lç l ît lμ giao ióm cña OK vμ AB, OM vμ AB => B E C OH '. OM = OH. OK M H,H'' lç l ît lμ giao ióm cña OK vμ CD, ON vμ CD => OH. OM = OH ''. OK Mμ OH ''. ON = OH '. OM =R => OH = OH => H H H Bæ Ò : Cho tø gi c ABCD éi tiõp êg trß,c c êg chðo h«g i qua t m.chøg mih Õu c c êg ph gi c cña BCD vμ BAD c¾t hau t¹i I vμ tiõp tuyõ víi êg trß t¹i A,C c¾t hau t¹i M th M»m trª BD <=> I thuéc BD. Chøg mih iòu iö cç Gi sö M thuéc tia DB.Ph gi c BAD c¾t MD t¹i I'=>ta cã MAB= ADB, MAI'= MI'A=>MA=MC=MI=>CI' lμ ph gi c BCD

24 A M B I D C iòu iö ñ: Ta ph i chøg mih r»g Õu I thuéc BD th M thuéc BD BD c¾t MA t¹i M, MC t¹i M => M C = M I, M A = M I <=>MA - MM = MC + MM =>MM + MM = => M M M Bæ Ò : Cho tø gi c ABCD éi tiõp êg trß, êg chðo tø gi c h«g i qua t m.nõu tiõp tuyõ víi êg trß t¹i A, C c¾t hau t¹i mét ióm thuéc êg th¼g BD th tiõp tuyõ t¹i B,D còg c¾t hau t¹i mét ióm thuéc êg th¼g AC. Chøg mih : NÕu tiõp tuyõ t¹i A,C c¾t hau t¹i mét ióm thuéc êg th¼g BD th ph gi c cña BAD vμ BCD giao hau t¹i mét ióm thuéc BD (B II).Sö dôg týh chêt cña êg ph gi c trog Δ ABD vμ Δ BCD ta cã AB CB BA DA = => = => Ph gi c cña ABC vμ ADC giao hau t¹i mét ióm trª AC.Do ã tiõp AD CD BC DC tuyõ t¹i D,B vμ AC åg quy A M B D III.Sö dôg c c bæ Ò trª Ó gi i mét sè bμi tëp sau: Bμi tëp. C 4

25 Cho b t gi c A A...A 8 éi tiõp êg trß t m O.Chøg mih r»g Õu c c êg chðo A A, A A, A A A A åg quy t¹i H (H h«g trïg víi t m O) th giao ióm cña c c cæp êg chðo 5 6 7, 4 8 AA vμ A 5 A 7, A A 7 vμ A A 5 ; A A 8 vμ A 4 A 6 (Õu chóg tå t¹i) cïg»m trª mét êg th¼g. Gi i. Gäi M lμ giao ióm gi a tiõp tuyõ víi êg trß t¹i A vμ A 5 N lμ giao ióm gi a tiõp tuyõ t¹i A vμ A 6 P lμ giao ióm gi a tiõp tuyõ t¹i A 4 vμ A 8 Q lμ giao ióm gi a tiõp tuyõ t¹i A vμ A 7 Sö dôg bæ Ò I èi víi c c cæp tiõp tuyõ Î tõ M, N ta cã OH MN.T g tù èi víi tiõp tuyõ Î tõ M,P ta cã OH MP,cuèi A A A 6 cïg èi víi cæp tiõp tuyõ Î tõ M, Q ta l¹i cã OH MQ.Do ã A ióm M,N,P cïg»m trª mét êg th¼g. p dôg bæ Ò I ta suy ra r»g giao ióm cña c c cæp êg chðo AA vμ A 5 A 7, A A 7 vμ A A 5 ; A A 8 vμ A 4 A 6 cïg»m trª MN. Bμi tëp. Cho êg trß t m O,O' c¾t hau t¹i A,B.Tõ M trª tia BA vï tiõp tuyõ víi (O')t¹i C,D.AC,AD c¾t (O) t¹i P,Q. i)chøg mih : CA = CP DA DQ ii)chøg mih : CD i qua ióm chýh gi a d y cug PQ Gi i. i) Ap dôg bæ Ò II ta cã ph gi c c c gãc ACB vμ ADB c¾t hau t¹i mét ióm»m trª AB. Sö dôg týh CA DA CA CB chêt cña êg ph gi c trog Δ ABC vμ Δ ABD ta cã = => = ().Ta hë thêy c c Δ CB DB DA DB BDQ vμ Δ CBP cã BDQ= BCP DQ BD =>Δ BDQ åg d¹g víi Δ CBP=> = ().Tõ () vμ ()suy ra iòu chøg mih CP BC ii)nõu E lμ giao cña CD vμ PQ,F lμ giao PQ vμ êg th¼g qua A vμ sog sog víi CD, th EI DA =.VËy EP = EQ EQ DQ A A A 8 H A 7 CA EI = vμ CP EP 5

26 Q B E O'. D O. F C A P M A. O M Bμi tëp. Cho M cè Þh»m trog (O,R).D y cug AB tuú ý i qua M. T m quü tých giao ióm cña tiõp tuyõ víi êg trß t¹i A vμ B (AB quay quah M) C N Gi i. *) => Gi sö tiõp tuyõ c¾t hau t¹i C,N lμ h h chiõu cña C lª OM,ta cã OM. ON = R () (theo bæ Ò I).Do ã N cè Þh,C»m trª êg th¼g Δ cè Þh vu«g gãc víi OM *) <=Tõ C bêt trª Δ ta Î tiõp tuyõ tíi êg trß t¹i A, B. OC c¾t AB t¹i K,AB c¾t ON t¹i H=> OK.OC = OH. ON = R ().Tõ ()vμ ()ta cã OM = OH,chøg tá M H.VËy M thuéc AB. B Bμi tëp4. Cho Δ ABC go¹i tiõp (O).A',B',C' thø tù lμ c c tiõp ióm cña BC,CA,AB víi êg trß.bc c¾t B'C' t¹i P,CA c¾t C'A' t¹i Qvμ AB c¾t A'B' t¹i R.Chøg mih P,Q,R th¼g hμg. Gi i. Gäi t m êg trß lμ I => AA',BB',CC' åg quy t¹i I. A, B, C lç l ît lμ giao ióm cña AA',BB',CC' víi (O). p dôg bæ Ò III èi víi tø gi c A'B' A C' ta cã tiõp tuyõ C' A B' víi (O)t¹i A i qua P.T g tù tiõp tuyõ t¹i B, C i qua Q vμ R.Mμ A' A,B' B,C' C i qua I ª p dôg bæ Ò I èi víi cæp tiõp B A ' C tuyõ víi (O) Î tõ P,Q,R ta suy ra iòu ph i chøg mih Bμi tëp5. 6

27 AB CD EF Cho gò gi c ABCDEF éi tiõp êg trß tho m.. = BC DE FA TiÕp tuyõ víi êg trß t¹i A vμ D c¾t hau t¹i P. TiÕp tuyõ víi êg trß t¹i B vμ E c¾t hau t¹i Q TiÕp tuyõ víi êg trß t¹i C vμ F c¾t hau t¹i K. Chøg mih. P, Q, K th¼g hμg. AB BC Gi i. Trog Δ ABE vμ ΔCBE cã = =R=> si AEB si CEB AK si AEB T g tù èi víi Δ AKE vμ Δ CKE cã = () AE si AKE CK si CEB vμ = () CE si CKE AK CE si AEB Nh võ víi võ cña () vμ ()ta cã. = (4) CK AE si CEB KÕt hîp ()vμ (4)ta cã T g tù AK CE AB. = (5) CK AE BC CP AE CD. = (6) vμ EP AC DE EQ AC EF. = (7) AQ EC FA AB BC AK CP EQ AB CD EF Nh tõg võ (5),(6),(7)ta cã.. =.. = CK PE QA BC DE FA.Chøg tá AD,CF,BE åg quy, p dôg bæ Ò I ta cã iòu chøg mih si AEB = () si CEB B A C D H E F Bμi tëp6. Cho êg trß t m O vμ O' c¾t hau t¹i A,B.LÊy C trª (O) sao cho C»m trog (O').P,Q lç l ît lμ giao ióm cña AC,BC víi (O') i) Chøg mih: NÕu OAO'=9 th PQ lμ êg Ýh cña(o') ii)gi sö PQ lμ êg Ýh cña(o')víi mçi ióm C»m trª cug trß AB vμ»m bª trog (O') (C cã thó trïg A,B). Chøg mih : OAO'=9. A C Q C O E B C P O ' D 7

28 Gi i. i)gäi E,D lç l ît lμ giao ióm cña OC víi (O') Ta dô dμg cm îc AP lμ ph gi c DAE vμ BQ lμ ph gi c DBE.Do ã P,Q lμ ióm chýh gi a cug EBD vμ EAD=>dpcm ii)nõu C trïg A hoæc B th Δ APQ vμ BPQ lμ tam gi c vu«g. LÊy H lμ giao AB vμ OO',K lμ giao cña AP vμ (O') V K còg»m trª (O')vμ AP lμ ph gi c HAO' ª ta cã AOO'= ABK= HAO'=>Δ OAO' vu«g t¹i A Bμi tëp7. Cho Δ ABC éi tiõp (O).LÊy P sao cho PB,PC lμ tiõp tuyõ víi (O) vμ M lμ trug ióm c¹h BC. Chøg mih : AM èi øg AP qua ph gi c BAC. Gi i.ta Ðt tr êg hîp A vμ P»m h c phýa èi víi BC.K lμ giao cña AP vμ (O).H lμ giao cña KM vμ AB KB (O).Theo bæ Ò III giao ióm cña ph gi c ABK vμ ACK»m trª AP do ã = ().Bª c¹h AC KC MB BK MC CK ã Δ MBK åg d¹g víi Δ MHC => =. Δ MCK åg d¹g víi Δ MHB=> = mμ MH CH MH BH BK CK MB=MC ª ta cã = (). CH BH Tõ ()vμ () ta cã => Δ ABC åg d¹g Δ HBC => ACB= HBC=>BC AH =>PM AH=>H èi øg A qua PM,K' èi øg K qua PM=>K' lμ giao ióm cña AM víi (O) B A VËy ph gi c BAC lμ ph gi c KAK' Tr êg hîp A,P»m cïg phýa èi víi BC c ch chøg mih t g tù. iv.mét sè Õt qu tæg hîp vò tø gi c toμ phç éi tiõp C *Chóg ta coi Ðt èi víi tø gi c toμ phç cã 4 Øh A,B,C,D»m trª êg trß t m O mμ c c c¹h h«g i qua t m (B»m trª c¹h MC,D»m trª c¹h NC ).Giao ióm cña êg chðo AC vμ BD lμ S. *KÕt qu : NÕu êg th¼g MS c¾t (O) t¹i ióm P vμ Q th NP vμ NQ lμ tiõp tuyõ víi(o) t¹i P,Q. iòu h¼g Þh trª còg óg Õu AC vμ BD lμ êg Ýh cña (O) K M Chøg mih: Ta lêy P' vμ Q' trª (O) sao cho NP' vμ NQ' lμ tiõp tuyõ. èi víi tø gi c AP'BQ', giao ióm gi a tiõp tuyõ víi êg trß t¹i A,B»m trª P'Q'.T g tù èi víi tø gi c CP'DQ', tiõp tuyõ víi êg trß t¹i C, D c¾t hau t¹i mét ióm thuéc P'Q'.Theo bæ Ò giao ióm cña CA vμ BD còg h cña AD vμ BC»m trª P'Q'.Do ã P' vμ Q' trïg víi P vμ Q. NÕu CD i qua t m O th tiõp tuyõ t¹i C vμ D sog sog víi hau.tiõp tuyõ víi êg trß t¹i A vμ B c¾t hau t¹i Z trª P'Q'. NÕu H lμ giao cña AC vμ P'Q' th Δ ZAH lμ tam gi c c t¹i Z. NÕu H lμ giao ióm cña BD vμ P'Q' th Δ ZBH còg lμ tam gi c c t¹i Z.VËy H, H»m trª c¹h ZQ' vμ tho m iòu iö ZH =ZH do ã H trïg H. 8

29 B M C O S A D N *KÕt qu : Q C c cæp êg th¼g ON vμ MS,OM vμ NS,MN vμ OS tho m iòu iö ON MS,OM NS,vμ OS MN(bμi to Brocard ) Chøg mih:v M vμ S»m trª êg th¼g chøa d y cug PQ vμ PQ vu«g gãc víi ON *KÕt qu : Cho K,L lç l ît lμ trug ióm c c êg chðo AC vμ BD ta cã MK ML = NK NL = AC BD : V Δ MAC åg d¹g Δ MBD => Δ NAC åg d¹g Δ NBD => NK = NL MK BD =. ML AC BD AC *KÕt qu 4 Cho b Ýh cña 4 êg trß go¹i tiõp c c Δ NBC,NAD,MCD,MAB lç l ît lμ R,R,R,R 4 ta cã R. R R. R4 = CB. CD AB. AD R BC Chøg mih: Δ NBC åg d¹g víi Δ NAD do ã ta cã =. R AD Δ MCD åg d¹g víi Δ MAB ta cã R = R 4 CD AB.Nh võ ta îc. 4 = R R Cb. CD R. R AB. AD *KÕt qu 5: B Ýh cña c c êg trß go¹i tiõp Δ NAC,MAC,NBD,MBD lç l ît lμ r, r, r, r 4,ta cã r.r 4 = r.r r CA Chøg mih: Δ NAC åg d¹g víi Δ NBD => = r BD r CA Δ MBD åg d¹g Δ MAC ta cã =, suy ra iòu ph i chøg mih r BD 4 *KÕt qu 6 : Ph gi c c c gãc CMD, CNB vu«g gãc víi hau.giao ióm cña chóg»m trª êg th¼g i qua trug ióm êg chðo AC vμ BD 9

30 Chøg mih: Ta dô dμg chøg mih îc êg ph gi c vu«g gãc víi hau.ta Ó ý r»g ph gi c cña CMD åg thêi lμ ph gi c gãc KML.Ph gi c cña gãc CNB còg åg thêi lμ ph gi c gãc KNL.Theo phç. ta cã dpcm *KÕt qu 7. 4 êg trß go¹i tiõp Δ MCD,NBC,MAB,NAD cïg i qua ióm M»m trª êg chðo MN vμ OM MN(M îc gäi lμ ióm Miel) Chøg mih: êg trß i qua ióm N,B,C c¾t víi êg th¼g MN t¹i M.V M»m goμi êg trß go¹i tiõp Δ NBC do ã M»m trª c¹h MN.Ta thêy MM B= BCDvμ MAB= BCD.Bª c¹h ã M vμ A»m vò mét phýa èi víi êg th¼g BM (M vμ A cïg»m trog MCN).VËy tø gi c AM MD éi tiõp.t g tù c c tø gi c AM ND, MM DC vμ NM BC éi tiõp.(giao cña MN vμ OS lμ M '.Theo Õt qu ta cã OM ' MN). V AD lμ trôc ¼g ph g cña êg trß (O) vμ (ADN) vμ M»m trª AD vëy ta cã MM. MN = MO -R.T g tù N»m trª trôc ¼g ph g cña (O)vμ (ABM) (R lμ b Ýh cña êg trß (O)),ta cã NM. MN = NO -R MO R NO R Tõ h g Õt qu trª ta cã MM =,NM = MN MN ( MO R ) ( NO R ) vμ MN = MO +NO -R => MM -NM = =MO -NO MN Chøg tá OM MNvμ M trïg M *KÕt qu 8. T m cña 4 êg trog go¹i tiõp Δ MCD,NBC,MAB,NAD vμ ióm Miel cïg»m trª mét êg trß Chøg mih: Çu tiª ta ph i chøg mih bæ Ò phô sau Bæ Ò:Víi ióm A,B,C cïg»m trª mét êg th¼g vμ ióm L h«g»m trª AB.Gäi K,M,N lç l ît lμ t m cña c c êg trß go¹i tiõp t ABL,BCL vμ ACLth c c ióm K,L,M,N cïg»m trª mét g trß Chøg mih: Trug ióm LA, LC lμ I,J.Ta thêy Δ KLM åg d¹g víi Δ ALC vμ Δ ILJ åg d¹g víi Δ ALC.Do ã Δ KLM åg d¹g víi Δ ILJ vμ ta cã LKM= LIJ.Ta thêy K,M t g øg»m trª IN vμ JN v KLM= ILJ vμ tø gi c LINJ éi tiõp êg trß do ã tø gi c LKNJ éi tiõp êg trß B y giê quay trë l¹i víi Õt qu 8 Gäi t m c c êg trß go¹i tiõp Δ ABM, AND, CDM, BCN Lμ O,O,O,O 4.Sö dôg bæ Ò èi víi êg Trß(O ),(O 4 ),(O ) ta thêy r»g c c ióm M, B C A D O,O 4,O»m trª cïg mét êg trß T g tù c c ióm M, O,O,O 4»m trª M N Cïg mét êg trß mμ c c êg trß μycã M ióm chug h c hau ª chóg ph i trïg hau, suy ra iòu ph i chøg mih *KÕt qu 9: Trùc t m cña c c tam gi c MCD,NBC,MAB,NAD cã cïg ph g tých tíi c c êg trß êg Ýh AC,BD,MN

31 Chøg mih:trùc t m cña Δ AND Ý hiöu lμ H.C c êg thègh,nh,dh t g øg vu«g gãc víi ND,AD,AN t¹i X,Y,Z. X»m trª êg trß êg Ýh AC,Y»m trª êg trß êg Ýh MN vμ Z»m trª êg trß ê Ýh BD.Ph g tých tõ H Õ h g êg trß μy b»g H X, H Y, H Z.Trog êg trß go¹i tiõp Δ AND ta cã H X = H Y = H Z chøg tá H cã cïg ph g tých víi c c êg trß μy.t g tù trùc t m cña c c Δ MCD,NBC,MAB cã cïg ph g tých tíi c c êg trß êg Ýh AC,BD.MN *KÕt qu Trùc t m cña c c tam gi c MCD,NBC,MAB,NAD»m trª cïg mét êg th¼g λ.trug ióm cña êg chðo AC,BD,MN»m trª cïg mét êg th¼g ( êg th¼g Gauss) vμ êg th¼g μy vu«g gãc víi λ. Chøg mih:theo Õt qu 9 th trùc t m cña 4 tam gi c cïg»m trª êg trôc ¼g ph g cña êg trß êg Ýh AC vμ BD.T g tù h vëy trog bμi μy c c trùc t m còg»m trª êg trôc ¼g ph g cña êg trß êg Ýh AC vμmn.ta biõt r»g trôc ¼g ph g cña êg trß th vu«g gãc víi êg èi t m cña êg trß *KÕt qu : ióm S»m trª λ ( ióm So) Chøg mih:ph g tých cña S Õ c c êg trß êg Ýh AC vμ BD b»g SA. SC, SB. SD V tø gi c ABCD éi tiõp êg trß do ã SA. SC = SB. SD vμ S thuéc trôc ¼g ph g cña êg trß êg Ýh AC vμ BD.Theo Õt qu 9 ta suy ra S thuéc λ *KÕt qu êg trß êg Ýh AC,BD vμ MN giao hau t¹i ióm trª λ Chøg mih: v S»m bª trog êg trß êg trß êg Ýh AC vμ BD mμ λ i qua S=> λ ph i c¾t mçi êg trß t¹i ióm c Þh cã ph g tých b»g.giao ióm cña êg trß»m trª λ.chóg ta biõt r»g λ lμ trôc ¼g ph g cña êg trß êg Ýh AC vμ MN vμ λ c¾t êg trß êg Ýh AC.VËy c c êg trß êg Ýh AC vμ BD,MN i qua ióm mμ cã ph g tých b»g *KÕt qu : ióm Miel,S vμ t m O»m trª cïg mét êg th¼g vμ tho m iòu iö OS.OM =R víi R lμ b Ýh (O) Chøg mih:theo Õt qu vμ 7 ta hë thêy ióm O,S,M cïg»m trª mét êg th¼g.lêy I lμ giao cña tiõp tuyõ t¹i B vμ D.Theo bæ Ò I»m trª MN.OI vu«g gãc víi BD t¹i trug ióm J cña BD.Tõ ã I,J,M,S cïg»m trª mét êg trß,ta cã OF.OM =OJ.OI=OB =R. *KÕt qu 4: Cho T vμ T lμ tø gi c toμ phç éi tiõp trog cïg mét êg trß.nõu ióm So cña T vμ T trïg hau th ióm Miel cñat vμ T trïg hau.ng îc l¹i Õu ióm Miel cña T vμ T trïg hau th ióm So cña T vμ T còg trïg hau. Chøg mih:suy ra tõ Õt qu. KÕt qu 5 Cho T vμ T lμ tø gi c toμ phç éi tiõp trog êg trß åg t m.nõu ióm Miel vμ ióm So cña c c tø gi c trïg hau th êg trß còg trïg hau KÕt qu 6:

32 Giao ióm cña λ vμ êg th¼g i qua trug ióm cña AC vμ BD»m trª êg trß i qua S, ióm Miel M vμ trug ióm cña MN. êg trß ã trùc giaovíi êg trß (O) ( êg trß ù c gäi lμ trùc giao víi hau Õu chóg c¾t hau vμ c c tiõp tuyõ víi êg trß t¹i ióm chug vu«g gãc víi hau) Chøg mih:giao cña λ vμ êg th¼g i qua trug ióm AC vμ BD lμ U,trug ióm MN lμ K.Ta thêy U vμ M h c¹h SK d íi mét gãc vu«g tøc lμ SUK= SM K=9 v vëy 4 ióm S,U,K,M»m trª cïg mét êg trß ª ph g tých cña O víi êg trß So b»g OS. OM =R iòu ã chøg tá êg th¼g qua O vμ ióm chug cña êg trß lμ tiõp tuyõ cña êg trß. V.Mét sè Õt qu tæg hîp vò tø gi c toμ phç go¹i tiõp *XÐt tø gi c toμ phç ABCDMN (B thuéc c¹h MC,D thuéc c¹h NC) víi tø gi c ABCD go¹i tiõp êg trß t m O.C c ióm A,B,C,D lμc ctiõp ióm cña êg trß víi c c c¹h AB,BC,CD,DA C B B C A D D M A N *KÕt qña Giao cña c c cæp êg th¼g A B vμ C D, A D vμ C B (Õu chóg tå t¹i )»m trª MN.Giao cña A C vμ D B trïg víi giao ióm cña AC vμ BD. Chøg mih: ta thêy Õu giao cña c c cæp A B vμ C D, A D vμ C B tå t¹i gi sö lμ M vμ N th tø gi c A B C D M N lμ mét tø gi c toμ phç éi tiõp.sö dôg týh chêt cña tø gi c toμ phç éi tiõp, ta cã iòu ph i chøg mih *KÕt qu MA+MB+NB+NC=NA+ND+MD+MC Chøg mih:tõ iòu iö AB+CD=AD+BC ta suy ra NB-NA+NC-ND=MC-MB+MD-MA. *KÕt qu : LÊy T = A B C D M N vμ A B C D M N lμ c c tø gi c toμ phç éi tiõp víi A B C D, A B C D cïg go¹i tiõp êg trß t m O.NÕu êg chðo cña tø gi c A B C D, A B C D c¾t hau t¹i mét ióm th c c Øh M,N,M,N»m trª cïg mét êg th¼g *KÕt qu 4 NÕu c c tiõp tuyõ chug goμi cña êg trß éi tiõp Δ ABM vμ Δ AND giao hau t¹i K th K thuéc êg th¼g MN Chøg mih: Dïg phðp vþ tù t m M biõ êg trß go¹i tiõp Δ ABM thμh êg trß éi tiõp tø gi c ABCDvμ phðp vþ tù t m N biõ êg trß éi tiõp tø gi c ABCD thμh êg trß éi tiõp Δ AND.Do ã t m

33 cña phðp vþ tù biõ êg trß éi tiõp Δ ABM thμh êg trß éi tiõp Δ AND lμ giao cña c c êg tiõp tuyõ chug (lμ K).Theo týh chêt cña t m c c phðp vþ tù ta cã ióm M,N,K th¼g hμg. *KÕt qu 5 LÊy O,O t g øg lμ t m c c êg trß éi tiõp Δ ABM vμ Δ AND.P lμ giao ióm cña OO vμ AB ;Q lμ giao ióm cña OO vμ AD. Chøg mih r»g PQ, O O vμ MN sog sog hoæc åg quy. Chøg mih: Ta dô dμg hë thêy P vμ Q lμ t m cña phðp vþ tù biõ (O ) thμh (O),vμ biõ (O) thμ (O ).NÕu g trß (O ),(O )b»g hau th MN,O O,PQ sog sog.nõu (O ),(O ) h c hau th PQ,MN,O O åg quy. *KÕt qu 6: NÕu O lμ t m êg trß éi tiõp Δ AMN,E lμ giao AM vμ O O, F lμ giao cña AN vμ O O, th PQ, EF, MN sog sog hoæc åg quy *KÕt qu 7: Cho (O') lμ h cña (O ) qua phðp èi øg t m lμ trug ióm cña AB,vμ (O") lμ h cña (O ) qua phðp èi øg t m lμ trug ióm AD.NÕu (O') tiõp óc AB t¹i A',vμ (O'') tiõp óc AD t¹i D' th c c ióm A, A', D',O»m trª cïg mét êg trß.nõu (O') c¾t (O'') t¹i ióm X,Y th h h chiõu cña O trª XY»m trª êg trß i qua 4 ióm A,A',D',O. Chøg mih: Ta thêy (O') tiõp óc AB t¹i A vμ (O'') tiõp óc AD t¹i D.=>(O')vμ (O'') tiõp óc víi (O ) t¹i A vμ D vμ XY i qua A.Ta cã OA AB vμ OD AD.Tõ ã A,D h OA d íi gãc 9 *KÕt qu 8: Cho T = A B C D M N vμ T = A B C D M N lμ c c tø gi c toμ phç víi A B C D, A B C D cïg go¹i tiõp (O).NÕu c c êg chðo cña tø gi c A B C D, A B C D c¾t hau t¹i mét ióm th c c Øh M,N, M,N»m trª cïg mét êg th¼g Tμi liöu tham h o. Tμi liöu h h ph¼g (tiõg Ah) cña ç Thah S.. c c bμi to vò h h häc ph¼g cña V.VPRXOLOV. Tμi liöu trª m¹g CHUYÊN ĐỀ HÀM SINH Thạc sỹ : Phạm Quag Thắg Tổ Toá T.H.P.T Chuyê Thái Bìh Trog việc bồi dưỡg học sih giỏi thì các bài toá tổ hợp, phâ hoạch các tập hợp là một bài toá rất hó, các dạg bài tập ày thườg được đưa vào đề thi trog các ỳ thi học sih giỏi quốc gia, cũg hư quốc tế. Hàm sih là một côg cụ hiệu lực để giải quyết dạg bài tập ày. Khái iệm hàm sih đơ giả, dễ hiểu hưg ứg dụg thì rất tuyệt vời. Chuyê đề ày trìh

34 bày hái iệm về hàm sih cũg hư ứg dụg của ó trog các dạg bài tập hác hau. Cấu trúc của chuyê đề gồm. A. Địh ghĩa Địh ghĩa hàm sih Ví dụ về hàm sih Côg thức hai triể Taylor Một số tíh chất của hàm sih B. Ứg dụg của hàm sih Tìm dãy số Phươg pháp Bài tập áp dụg Tíh tổg tổ hợp Phươg pháp Bài tập áp dụg Ứg dụg của hàm sih trog các bài toá phâ hoạch tập hợp C. Bài tập tươg tự A. Địh ghĩa. Địh ghĩa Cho dãy số { a }. Tổg hìh thức F() = a gọi là hàm sih sih bởi dãy { a } và ta ý hiệu { a } F Nhậ ét: Mỗi dãy số { a } cho ta duy hất một hàm sih và gược lại. Để tìm hiểu tíh chất của dãy số ta có thể tìm hiểu tíh chất của hàm sih sih bởi ó Bá íh hội tụ của F() là R =, ghĩa là với, < R thì chuỗi trê hội tụ. Khi lim a R = chuỗi trê phâ ỳ. Các chuỗi trog chuyê đề luô hội tụ ( ếu hôg có giải thích gì thêm).. Ví dụ: Dãy {} vì =, < 4

35 Tươg tự {( ) } ; { m }, m=cost + m. Côg thức hai triể Taylor Giả sử f() là hàm số liê tục, có đạo hàm mọi cấp trê hoảg (a, b); (a,b). Khi đó ta có () f ( ) côg thức hai triể Taylor: f() =! () f () Khi (a,b) ta có f() =! Ví dụ: a. Với () () f() = e f () = e f () = e =, e!! f () =. Vậy b. Với λλ ( ) ( λ + ) Ở đó C = f() = C Khi Khi () f() = (+ ) λ, λ f () =λ( λ ) ( λ + ) =!Cλ λ λ! * λ ta có Cλ =, λ < ta có côg thức hai triể Newto * λ= m,m ta có C { λ C m ( ) C m+ ( ) Cm+ } m 4. Một số tíh chất. a F b Cho { } { }, { } G hi đó ta có: = = ( + ) a ± b F± G () { a } F, () F.G () h F a a ah a + h, h h (4) ab l += l { } { } ( + )a F' (5) + B. Ứg dụg I.Tìm dãy số.. Phươg pháp Để tìm dãy số { a }. Ta ét hàm sih sih bởi dãy { } Dựa vào đặc điểm của dãy { a } ta tìm được F() Đồg hất thức sẽ thu được dãy { a } a là F() = a. Bài tập áp dụg Bài (Dãy Fiboacci) Tìm dãy số Fiboacci thỏa mã điều iệ: Lời giải: Xét hàm sih F() sih bởi dãy { F } F F Ta có { F }, { F } + + (do tíh chất 4) Vậy ta có phươg trìh: 5 F = F + F F =,F= + +

36 F F = + F ( Do giả thiết của bài toá ) F = = = Vậy F = 5 Bài : Tìm số tập co của tập {,,..., } sao cho trog mỗi tập co hôg chứa hai phầ tử liê tiếp. Lời giải. Gọi F là số các tập co hư vậy. Chia các tập hợp co của {,,..., }mà trog mỗi tập co hôg chứa hai phầ tử liê tiếp thàh hai hóm. Nhóm hôg chứa : số tập co hư vậy là F Nhóm chứa : đó là {} và các tập co dạg { } a,a, a,,ai, i =,..., ; =,..., trog trườg hợp ày có F tập co. Vậy ta có F = F + F Dễ thấy F() =, F() = Áp dụg bài tập ta có: F = 5 Bài : Tìm số tập co phầ tử của tập {,,..., } sao cho trog mỗi tập co hôg chứa hai phầ tử liê tiếp. Lời giải: Gọi F, là số các tập co hư vậy. Chia các tập hợp co phầ tử của {,,..., }mà trog mỗi tập co hôg chứa hai phầ tử liê tiếp thàh hai hóm. Nhóm hôg chứa : số tập co hư vậy là F, Nhóm chứa : đó là {} và các tập co dạg { } a,a, a,,ai, i =,..., ; =,..., trog trườg hợp ày có F, tập co. Vậy ta có F, = F, + F, với > (*) Xét hàm sih: F() = F, Từ hệ thức (*) ta có: F () = F (), áp dụg liê tiếp côg thức ày ta được: F() C C i i i i+ = = + = ( ) i i F, = C + C + = + = C + Đồg hất thức ta thu được Nhậ ét : Kết hợp hai bài tập, và ta thu được hệ thức rất đẹp: 6 C = F + +

37 Bài 4: Tìm dãy { a } thỏa mã: Lời giải: Xét hàm sih f() sih bởi dãy { a } a =,a= a = 4a 8a + +, tươg tự hư bài tập ta có phươg trìh: f 4f 8 = f = = i ( + i) ( i) ( Mẫu thức có Δ= 4= 4i ) = ( i) ( i) i + Đồg hất thức ta được : ( + i) ( i) a = i π π π π cos + isi cos + isi = ( ) i π = ( ) si 4 Bài 5: Tìm số hạg tổg quát của dãy { } thỏa mã: = = = + Lời giải: Đặt { } f() ta có phươg trìh : f(). f() 6 + 9f () = + ( ) f () = + ( ) ( ) Viết f() dưới dạg: a b c d e f() = + = ( ) ( ) ( ) ( ) Quy đồg mẫu số rồi đồg hất hệ số ta thu được: 5 5 a =,b =,c=,d =,e= Vậy: f() = + = ( ) ( ) ( ) ( ) Ta có: 7

38 + { } = { (+)} ( ) {} = {+} ( ) { } ( ) Vậy : = (+ ) + (+ ) + = 4 4 II. Tíh tổg. Phươg pháp Để tíh tổg f() = S () ta ét hàm sih: = = F() f () S m() m m m (*) Sau đó sử dụg phươg pháp đổi tổg để tíh vế phải của (*) rồi đồg hất thức hai vế ta được f().. Bài tập áp dụg Bài : Tíh tổg sau: C Lời giải: Đặt f() = C ét hàm sih : F() = f () = C Biế đổi F() ta có: F() = C C = = C = ( + ) = ( + ) = Vậy F() chíh là hàm sih của dãy Fiboacci, do đó: f() = C = F + Bài : Tíh tổg sau: Lời giải: Đặt f(m) = m = ( ) C C m m m ( ) CC ét hàm sih: = 8

39 F() = f (m) = ( ) C C m m m m m = m = ( ) C C = ( ) C (+ ) = ( ) ( ) C ( + ) = ( ) ( + ) m m m ( ) = Đồg hất thức ta có: ( ) hi m = f(m) = hi m < Bài : Tíh tổg sau: Lời giải: Đặt m = m m = CC m f(m) = C C ét hàm sih: F() = f (m) = C C m m m m m = m = C C = C (+ ) m m m = ( ) ( ) + + = + Mặt hác theo côg thức hai triể Newto ta có: ( ) C + = m m m m Đồg hất thức ta có: f(m) = C m m Bài 4: a) Tíh tổg sau: b) Tíh tổg sau: C m CC Lời giải: a. Ta có: + + C = C + C b. Đặt = C ( ) + C ( ) = ( + ) + (+ ) = ( + )( + ) = m. Xét hàm sih: f(m) C C 9

40 F(y) = f (m)y = C C y m m = C C y m m m = C y C y m Áp dụg câu a ta có m m m m m m m m = + + C y ( y)( y ) m m F(y) = C y C y m = C (y) ( + y)( + y ) = ( + y) C (y) ( + y ) = ( + y)( + y + y ) + m m Khi = ta có: F(y) = (+ y) = C y do đó đồg hất các hệ số ta có: m m = + CC C m Khi = - ta có : F(y) = (+ y)( y) = ( y) + y( y) = ( ) C ( ) C + y m Đồg hất thức ta được : m m m m m m m m m = CC ( ) ( ) [C C ] Bài 5: Tíh tổg sau: Lời giải: Xét hàm sih của dãy { f() } ta có: ( ) m+ f() = C+ C + m+ ( ) F() = C C + + ( ) m+ + = C C+ + ta có: C = C = C m+ + m+ m+ m m+ m m m+ m m = C (m+ + ) m+ (m+ + ) = ( ) m+ Vậy ta có : = ( ) m+ + 4

41 m+ ( ) F() = C m+ + + ( ) m = C m+ ( ) + ( ) m 4 = m + ( ) ( ) m + = m ( ) m = m ( ) m m + m m Mặt hác: = m Cm+ = Cm+ = C ( ) m+ ( ) m Đồg hất thức ta hậ được: f() = C+ C = C + III. Ứg dụg của hàm sih trog các bài toá phâ hoạch tập hợp. Bài. Tìm số ghiệm guyê hôg âm của phươg trìh: = m với m, là các số guyê dươg cho trước (*) Lời giải: Ta ét hàm sih: F() = ( + + )(+ + ) (+ + ) với < tích Mỗi số hạg trog hai triể F() thàh tổg có dạg trog đó i, i hư vậy qua sát tổg từ trái qua phải mỗi hi ta gặp lũy thừa của bằg m thì trog biểu thức hai triể m m thu gọ của F() hệ số của được tăg lê một đơ vị, do đó hệ số của trog hai triể m của F() thàh tổg chíh là số ghiệm của phươg trìh đã cho. Vậy ta cầ tìm hệ số của trog hai triể thàh tổg của F(). Ta có: F() = = ( ) = ( ) C ( ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) Ở đó: C = = = ( ) C+!! m Vậy hệ số của trog hai triể F() là C +,đó cũg là số ghiệm của phươg trìh (*). m m Bài : Cho và giả sử rằg phươg trìh: + y = có m ghiệm trog + y = có m ghiệm trog ( + )y = có m ghiệm trog ( + ) + ( + )y = có m + ghiệm trog Chứg mih rằg : m = + Lời giải: Ta ét hàm sih: 4 F() = (+ + )(+ + ) = với < < 4

42 Khai triể F () thàh tổg thì các số hạg là các lũy thừa của với số mũ có dạg i + j. Vậy m chíh là hệ số của trog hai triể F () thàh tổg. Do đó ta có: F() = + m + Lý luậ tươg tự ta có : + F () = + m + F () = + m + + (+ ) Ở đó F() = (+ + )(+ + ) =, = + + Suy ra: F () = + m + Mặt hác : Hệ số của F () = = + + = ( )( ) ( ) F () là hệ số của + trog hai triể của trog hai triể. ) ( ) ( )( Vậy m = C C = + Bài : Cho hữu hạ cấp số cộg, sao cho mỗi số tự hiê hác là một phầ tử của đúg một cấp số. Chứg mih rằg có hai cấp số cộg trog số các cấp số cộg trê có cùg côg sai. Lời giải: Giả sử có m cấp số cộg {a j+ b j}, j =,,m mà mỗi số tự hiê là phầ tử của đúg một cấp số. Ta có: m m a j aj+ b j = < b j j= j= Mà m aj+ bj j= = < j= a j m = (*) b j Giả sử hôg có hai cấp số cộg ào ói trê có cùg côg sai, suy ra tập hợp { b,b, b } hữu hạ dó đó tồ tại duy hất phầ tử lớ hất, giả sử đó là b. Gọi ε là một ghiệm hác của b bi phươg trìh = thỏa mã ε, i:<i m hi đó thay ε vào phươg trìh (*) ta thấy vế trái là hằg số cò vế phải bằg Vậy giả sử là sai (đpcm) Tiếp theo chúg ta qua tâm đế một địh lý mà địh lý ày sog hàh cùg hàm sih trog giải toá tổ hợp rất hiệu quả. Địh lý RUF (Root of uity filter) Giả sử F() = f là hàm sih của dãy { f } f = F() + F( ε ) + + F( ε ), với πi ε= e ( ε là că bậc của đơ vị) ta có: Bài 4.(Rumaia ) Cho tập A={,, 7, 9} Tìm số các số có chữ số lập từ A mà số đó chia hết cho Lời giải. Ta cầ tìm số các bộ (,,, ), i A i =,, sao cho : (+ + + ) là 4

43 Tươg tự hư bài tập chúg ta ét hàm sih: 7 9 F() = ( ) Lý luậ hư trê ta có số các số cầ tìm chíh là tổg các hệ số của các lũy thừa có số mũ chia hết cho. Giả sử F() có hai triể F() = f Chúg ta cầ phải tíh P= f Áp dụg địh lý RUF ta có : F() = 4 P= f = F() + F( ε ) + F( ε ), ε=e 7 9 F( ε ) = ( ε +ε +ε +ε ) = ( ε + +ε+ ) = F( ε ) = ( ε +ε +ε +ε ) = ( ε+ +ε + ) = πi 4 + Vậy P = Bài 5.(IMO-95) Cho tập hợp A = {,,, p}, p là số guyê tố. Tìm số các tập co của A thỏa mã: +) Mỗi tập có đúg p phầ tử. +) Tổg các phầ tử của tập co đó chia hết cho p. Lời giải. Để giải bài toá bằg phươg pháp hàm sih ta phải sử dụg biế, y: Lũy thừa của biế để tíh tổg của các phầ tử của tập co, lũy thừa của biế y để tíh số phầ tử của tập co đó. Giả sử hi đã có một tập co của B, hi thêm một phầ tử m vào tập co đó thì tổg các phầ tử sẽ tăg lê m đơ vị và số lượg phầ tử của tập sẽ tăg lê một đơ vị. Nhưg ta phải giữ lại hữg tập co hôg chứa m trước hi thêm m vào, do đó trog hàm sih sẽ chứa các hâ tử m có dạg + y. Xét hàm sih hư sau: p F(, y) = ( + y)(+ y)...( + y) Khai triể dưới dạg tổg của F(, y) có dạg: F(, y) = f, y Ta sẽ đi tìm ý ghĩa của f,. Khi hai triể F(, y) thàh tổg thì các số mũ của có dạg với,,, là các số đôi một phâ biệt của tập A, số mũ tươg ứg của y là, hư vậy f, chíh là số tập co của A có phầ tử mà tổg các phầ tử là. Để giải bài toá chúg ta phải đi tìm tổg P= fp,p = f,p p Áp dụg địh lý RUF cho F(, y) trog đó ta coi là biế số ta được: p πi j p f,y = F( ε, y), ε=e, p p j= Ta có: p F(, y) = (+ y) j j j jp F( ε, y) = ( +ε y)(+ε y)...(+ε y); j Vì p là số guyê tố ê {j, j,..., pj}, {(p+)j,..., pj} tạo thàh các hệ thặg dư thu gọ p mod p, mặt hác ta có ε = do đó : ε = +ε +ε +ε = [( +ε y)(+ε y) (+ε y)] ; j j j j jp F(, y) ( y)( y)...( y) p Dễ hậ thấy phươg trìh p y + = có các ghiệm là, p ε, ε,, ε do đó ta có : 4

44 p p (+ε y)(+ε y) (+ε y) = + y p p f,y = ( y) (p )( y ), p p p Cp + (p ) f,p = p p p Cp + (p ) Vậy số tập co tìm được là: p Nhậ ét : Nếu bỏ qua điều iệ thứ hất thì bài toá sẽ đơ giả hơ rất hiều, hi đó ta chỉ cầ ét hàm sih: p F() = ( + )( + )...(+ ) Khi đó số tập co cầ tìm là p p + 4(p ) P = fp = F() + F( ε ) + + F( ε ) = p p Ta có thể mở rộg bài toá 5 thàh bài toá 5 hư sau: Bài toá 5 : Cho tập hợp A = {,,, m}, p là số guyê tố. Tìm số các tập co của A thỏa mã: +) Mỗi tập có đúg p phầ tử. +) Tổg các phầ tử của tập co đó chia hết cho p. Lời giải Lý luậ tươg tự hư bài tập 5 chúg ta ét hàm sih: m F(, y) = ( + y)(+ y)...( + y) = f, y Và ta cầ phải tíh tổg : P= fp,p = f,p, p Áp dụg địh lý RUF cho F(, y) trog đó ta coi là biế số ta được: p πi j p f,y = F( ε, y), ε=e, p p j= Ta có: m F(, y) = (+ y) j j j jm F( ε, y) = ( +ε y)(+ε y)...(+ε y); j Ta viết m = pq + r với r< p Vì p là số guyê tố ê {j, j,..., pj}, {(p+)j,..., pj},...,{(q-p+)j,...,qj} tạo thàh các p hệ thặg dư thu gọ mod p, mặt hác ta có ε = do đó : j j j mj F( ε, y) = ( +ε y)(+ε y)...( +ε y) p q j j rj = [( +ε y)(+ε y) (+ε y)] (+ε y)(+ε y) (+ε y) ; j p q j j rj = ( + y ) (+ε y)( +ε y) ( +ε y) = ε = + +ε +ε +ε + + p p j p q j j rj f,y F(,y) ( y ) ( y)( y) ( y) ( y), p p j= p j= p p Đồg hất hệ số của yta có : m m (p ) + C (p )q + C p p P= fp,p f =,p = = p p p Khi = p ta được ết quả là bài toá 5 44 p m

45 Bài 6: Cho tập hợp A = {,,..., 9} Tìm số các tập co của A mà tổg các phầ tử trog mỗi tập co đó chia hết cho 7 Lời giải. Tươg tự hư hậ ét trê chúg ta ét hàm sih: 9 F() = ( + )( + )...( + ) Khai triể F() thàh dạg F() = f ta cầ tíh : 6 P = f7 = F() + F( ε ) + + F( ε ) 7 Vì 7 là số guyê tố, với phươg pháp tươg tự bài tập ta có: 9 F() = j j j 9 j F( ε ) = ( +ε )( +ε ) ( +ε ) = ( )( ) ( ) +ε +ε +ε = (+ ) = Vậy: P = 7 Bài 7: Cho số guyê dươg. Chứg mih rằg số các cách phâ tích thàh tổg của các số guyê dươg lẻ bằg số cách phâ tích thàh tổg của các số guyê dươg hác hau. Lời giải. Xét hàm sih: 6 5 F() = (+ + + )(+ + + )(+ + + ) Số mũ của số hạg trog phâ tích thàh tổg của F() có dạg: i+ i+ 5i+ có ghĩa là tổg của các số lẻ, mỗi số lẻ có thể lặp lại. Vậy số cách phâ tích thàh tổg các số guyê dươg lẻ chíh là hệ số của trog hai triể của F() Tươg tự ta ét hàm sih: G() = (+ )(+ )(+ ) Số mũ của các số hạg trog hai triể thàh tổg của G() có dạg i+ i+ i+ với i,i,i, là các số guyê dươg đôi một phâ biệt. Như vậy hệ số của phâ tích thàh tổg của các số guyê dươg phâ biệt. Vậy ta chỉ cầ chứg mih : F() = G(). Thật vậy: F() = = G() = (+ ) = = 45 chíh là số cách Vậy F() = G() (đpcm) Bài 8: Giả sử với mỗi số tự hiê có hai dãy số dươg a,a,,a và b,b,,b sao cho dãy tổg a+ a,a+ a,,a + alà một hoá vị của dãy các tổg b + b,b+ b,,b + b Chứg mih rằg là lũy thừa của Lời giải: Xét các hàm sih ai bi F() =, G() = ai A bi B Ta có: [F()] = ai + = F( ) + ai+ aj ai+ aj ai A a,a i j A a,a i j A b b i i+ bj bi+ bj [G()] = + = G( ) + bi B b,b i j B b,b i j B [F()] [G()] = F( ) G( )

46 Vì F() = G() = do đó là ghiệm của F() G() suy ra * F() G() = ( ) H(), F() G() F() G() ( )H() H() F() + G() = = = = (+ ) F() G() F() G() ( ) H() H() Chọ = ta hậ được : H( ) = F() + G() = (+ ) = H() = Bài 9: Tìm số các hoá vị hôg có điểm cố địh của tập hợp {,,..., } Lời giải. Gọi số các hoá vị với đúg điểm cố địh cho trước là D suy ra tổg số các hoá vị với đúg điểm cố địh là CD. Vì tổg số hoá vị là! ê ta có: D H D! = CD = = ; H =!( )!! ( )! Áp dụg tíh chất hâ hai hàm sih ta có m e ( ) m e H() = H() = = m m! D ( ) Vậy ta có : = D =! + + ( )! =!!! 4!! Số hoá vị cầ tìm là D =! + + ( )!! 4!! Bài : (Chọ dự tuyể Việt Nam 8) Cho M là tập hợp của 8 số guyê dươg đầu tiê, mỗi số đó được tô bởi một trog màu : ah, đỏ và vàg, và mỗi màu thì được tô ít hất một số, ét tập : S = { (, y, z) thuộc M mà, y, z tô cùg màu, + y + z (mod 8) } S = { (, y, z) thuộc Chứg mih rẳg : S > S M mà, y, z tô cùg màu, + y + z (mod 8) } Lời giải: Gọi A, B, C là tập hợp tươg ứg gồm các số màu ah, đỏ, vàg Xét các hàm sih: F() =,G() =,H() = a b c a A b B c C a + a + a b + b + b c + c + c ai A bi B ci C I() = F () + G () + H () = + + = f Trog đó f chíh là số bộ (, y, z) có cùg một màu và có tổg là 8 Gọi ε là ghiệm của phươg trìh =. Theo địh lý RUF ta có I( ε ) = f + f8 + f.8 + f.8 = S 8 Vậy S = I( ε ) = F ( ε ) + G ( ε ) + H ( ε ) 8 8 Lý luậ tươg tự ta có : 6 S = F( ε )G( ε )H( ε ) =.F( ε )G( ε )H( ε ) 8 8 Với ta có F( ε ) + G( ε ) + H( ε ) = do đó : F ( ε ) + G ( ε ) + H ( ε ) = F( ε )G( ε )H( ε ) vậy ta chỉ cầ chứg mih F () + G () + H () > F()G()H() 46

47 Thật vậy ta luô có F () G () H () F()G()H() + + (BĐT Cauchy), dấu bằg ảy ra hi và chỉ hi F() = G() = H(), suy ra F() = 8 điều ày vô lý vì 8 hôg chia hết cho. (Đpcm). C. Bài tập tươg tự: Bài : Tíh tổg sau: Bài : Chứg mih rằg: Từ đó tíh tổg (C ) C Bài : Chứg mih rằg: C p+ + + p+ CC = C t t m m+ C C = C m+ + m+ Bài 4: Chứg mih rằg với mọi > ta có: + + C + + = + 4 Bài 5: Tíh tổg sau: C C + + Bài 6: Cho T là tập các số guyê hôg âm. a. Kí hiệu f(,, T) là số các tập co sắp thứ tự của T gồm phầ tử mà có tổg là ( các phầ tử có thể trùg hau). Xác địh f(,,t) b. Kí hiệu g(,, T) là số các tập co sắp thứ tự của T gồm phầ tử phâ biệt mà có tổg là. Xác địh g(,,t) Bài 7: Chứg mih rằg có duy hất cách phâ chia tập số tự hiê thàh hai tập hợp A và B sao cho : với mỗi số guyê hôg âm thì số cách phâ tích thàh dạg a+ a,a a,a A,a A bằg số cách phâ tích thàh tổg b+ b,b b,b B,b B f = Bài 8: Xác địh dãy { f } thỏa mã điều iệ: f = f f+ = f + f+ Bài 9: Cho p là một số guyê tố lẻ và số guyê dươg guyê tố cùg hau với p. Tìm số các bộ (,,,p ) gồm p số tự hiê sao cho tổg + + (p )p chia hết cho p, trog đó các số,,,p đều hôg lớ hơ Bài : Cho hai số guyê dươg m và, trog đó + chia hết cho m. Tìm số các bộ ba số guyê dươg (, y, z) thỏa mã điều iệ + y + z chia hết cho m trog đó, y, z đều bé hơ hoặc bằg TÀI LIỆU THAM KHẢO Geeratig fuctioology - Herbert S. Wilf. Departmet of Mathematics Uiversity of Pesylvaia. 47

48 Chuyê đề chọ lọc tổ hợp và toá rời rạc. Nguyễ Vă Mậu, Trầ Nam Dũg, Vũ Đìh Hòa, Đặg Huy Ruậ, Đặg Hùg Thắg, Nhà uất bả giáo dục 8. PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Trầ Xuâ Đág (THPT chuyê Lê Hồg Phog - Nam Địh) Trog các ỳ thi Olympic toá Quốc gia và Quốc tế chúg ta thườg gặp các bài toá về phươg trìh ghiệm guyê. Các địh ghĩa và địh lý sau thườg được sử dụg trog việc tìm lời giải cho các bài toá tìm ghiệm guyê của một phươg trìh. ) Địh lý hỏ Phecma: Nếu p là số guyê tố và a là số guyê hôg chia hết cho p thì a p- (mod p) ) Số chíh phươg (mod) a) Địh ghĩa: Cho số guyê dươg. Số guyê a được gọi là số chíh phươg (mod) ếu tồ tại N sao cho a (mod) b) Địh lý : Cho số guyê tố p. i) Nếu p = thì mọi số lẻ a đều là số chíh phươg (mod ) ii) Nếu p > thì a là số chíh phươg (mod p) a p (mod p) p a là số hôg chíh phươg (mod p) a - (mod p) a c) Ký hiệu Lơgiăgđrơ: Cho số guyê tố lẻ p; a là số guyê hôg chia hết cho p. Ký hiệu p được địh ghĩa hư sau: a ếu a là số chíh phươg (mod p) = p - ếu a là số hôg chíh phươg (mod p) d) Địh lý : Cho số guyê tố p và số guyê a hôg chia hết cho p. Khi đó: p a +) a (mod p) p a b +) Nếu a b (mod p) (a, b Z; (a, p) = (b, p) = ) thì = p p 48

49 a b ab +) = (a, b Z; (a, p) = (b, p) = ) p p p a p p 8 +) = +) = ( ) +) = ( ) p p p e) Luật tươg hỗ Gauss: (p )(q ) p q 4 Nếu p, q là các số guyê tố lẻ và p q thì = ( ) q p Tiếp theo là một số bài toá về phươg trìh ghiệm guyê với lời giải của chúg: Bài toá : Tìm tất cả các bộ số guyê dươg (a, b, c) sao cho: a + b+ = c (Đề thi Olympic Toá của Italia ăm 8) Lời giải: Giả sử (a, b, c) là bộ số guyê dươg sao cho a + b+ = c c chẵ (vì b+ 4 ; a (mod 4) hoặc a (mod 4)) c = d (d N*) b+ = ( d - a) ( d + a) d - a = m ; d + a = (m, N, m < ). d = + m = m ( -m + ) m = d = - + Nếu - = d =, = c =, a =, b = Nếu d chẵ d = ( N*) - = ( - ) ( + ) - = t, + = s (t, s N*; t < s). = t + s = t ( s - t + ) t = =, s = - = d = c = 4, = 4, a = 7, b = 4 Vậy (a, b, c) = (,, ) hoặc (a, b, c) = (7, 4, 4) Bài toá : Tìm tất cả các ghiệm guyê dươg của phươg trìh + 4 y = 7 z Lời giải: Giả sử, y, z là các số guyê dươg sao cho + 4 y = 7 z Trườg hợp : y z > Giả sử r (mod 6) ( r 5, r N) r {,, 9, } Nếu z = + ( N*) thì 7 z 7 (mod 6) z = ( N*) (7 - y ) (7 + y ) = 7 - y = a ; 7 + y = b (a, b N; a < b) y+ = b - a = a ( b-a - ) a = 7 = y + Ta có y 4 chẵ = m (m N*) y = (7 m - ) (7 m + ) Ta có 7 m -, y hôg chia hết cho. Đó là điều vô lý Trườg hợp : y = + 4 = 7 z. Nếu = z =. Giả sử > z >. Ta có - = 7 z - 7 ( - - ) = 7(7 z- - ) = 6 ( N*) ( 6 - ) = 7(7 z- - ) 7 z- - 49

50 z - = m (m N*) 7(7 z- - ) =7 (7 m - ) 9 Mặt hác ( 6 - ) hôg chia hết cho 9. Đó là điều vô lý. Vậy phươg trìh đã cho có một ghiệm guyê dươg duy hất (, y, z) = (,, ) Bài toá : Tìm tất cả các ghiệm guyê dươg của phươg trìh 7 + y = z (Đề thi Olympic Toá của Serbia ăm 8) Lời giải: Giả sử, y, z là các số guyê dươg sao cho: 7 + y = z Đặt d = 7 + y, g = z Nếu y = thì d 5 (mod 7), g (-) z (mod 7). Đó là điều vô lý. Nếu y thì y 8 d (-) (mod 8). Với N ta có 5 (mod 8), (mod 8) z và chẵ g (-) z (mod 7) 5 y (mod 7) Ta có 5 6 (mod 7) và 5 t (mod 7) với t {,,, 4, 5} y 6, y, z đều chẵ. Giả sử = a, y = b, z = c (a, b, c N*) (7 a ) + ( b ) = ( c ) Vì (7 a, b ) = các số guyê dươg m, (m >, (m, ) = ) sao cho 7 a = m -, b = m, c = m +. Ta có b. b = b = m Trườg hợp : =, m = b-. b (m - ) (m + ) = 7 a m + 7, m Đó là điều vô lý. Trườg hợp : {m, } = { b- ; b } Ta có m - = 4b- - b ( 4 ) b-. - b b-. - b b (mod 7) m - hôg chia hết cho 7. Đó là điều vô lý vì m - = 7 a (a N*). Vậy phươg trìh 7 + y = z hôg có ghiệm guyê dươg. Bài toá 4: Tìm tất cả các cặp số guyê dươg (, ) thoả mã + + = (Đề thi Olympic Toá của Serbia ăm 7) Lời giải: Giả sử, là các số guyê dươg sao cho + + = () Nếu thì = và =. Giả sử ; Từ () lẻ Từ () ( + ) = -. Vì ( + ) ê chẵ. Từ () + + = + ( + ) ( - + ) = + Giả sử p là một ước guyê tố của - + p lẻ và - là số chíh phươg (mod p) p 8 = = = ( ).( ) p p p p có dạg 8m + hoặc 8m + (m N) 5 p

51 Ta có + + (mod 8) 5 (mod 8) (mod 8) Đó là điều vô lý. Vậy chỉ có một cặp số guyê dươg (, ) duy hất thoả mã đề bài là (, ) = (, ) m + + Bài toá 5: Chứg mih tồ tại vô số cặp số guyê dươg (m, ) sao cho + là một m số guyê dươg. (Đề thi Olympic Toá của Ah ăm 7) + y + Lời giải: Ta chứg mih rằg phươg trìh + = 4 () có vô số ghiệm guyê dươg. y Thật vậy () + ( - 4y) + y + y = () ( =, y = ) là một ghiệm guyê dươg của () Xét dãy (t ) ( ) sao cho t = t =, t + = 4t + - t - ( ) Dễ dàg chứg mih được t + > t >,. Ta có (t, t ) là một ghiệm guyê dươg của phươg trìh (). Giả sử (t, t + ) là một ghiệm guyê dươg của phươg trìh () tức là t + ( - 4t + ) t + t + + t + =. Xét t + + ( - 4t + ) t + + t + + t + - [ t + ( - 4t + )t + t + + t + ] = = t + - t + ( - 4t + ) (t + - t ) = (t + - t ) (t + + t + - 4t + ) = t + + ( - 4t + ) t + + t + + t + = (, y) = (t +, t + ) cũg là ghiệm guyê dươg của phươg trìh () Vì t + > t ê phươg trìh () có vô số ghiệm guyê dươg. m + + Vậy tồ tại vô số cặp số guyê dươg (m, ) sao cho + là một số guyê m dươg. Bài toá 6: Chứg mih rằg hôg tồ tại số guyê dươg sao cho là bìh phươg của một số guyê dươg. (Đề chọ đội tuyể Mỹ thi IMO ăm 8) Lời giải: Giả sử = a (a N*) Khi đó = a + a + = ( + ) ( ) Nếu chẵ a 7 (mod 8). Đó là điều vô lý. Vậy lẻ (mod 4) Đặt b = thì b lẻ và b ( - ) - 4 (mod 4) Vì 4 (mod 4) và - chẵ ( - ) (mod 4) b - (mod 4) 5

52 b có ước guyê tố dạg 4 + ( N). Giả sử p là ước guyê tố dạg 4 + ( N) của b a + p p = và a p a = q (q N*) và b. Nếu + thì b 7.8 (mod ). Đó là điều vô lý. Vậy + hôg chia hết cho. Mặt hác a + b b =. r (r N*, r lẻ). Ta có a + = (q + ) = ( + )b= r ( + ) r ( + ) = q + r hôg có ước guyê tố dạg 4t + (t N) b (mod 4). Đó là điều vô lý. Vậy hôg tồ tại số guyê dươg sao cho là bìh phươg của một số guyê dươg. Bài toá 7: Tìm tất cả các ghiệm guyê hôg âm của phươg trìh + y 4 = 8 z (Đề thi Olympic Toá của Serbia ăm 8) Lời giải : Giả sử, y, z là các số guyê hôg âm sao cho + y 4 = 8 z z = =, y = Nếu z > 8 z 8. Ta có 8 = 5. Giả sử chẵ = ( N*) ( ) -y 4 (mod 5) 5 ( ) (y ) 5 - (mod 5). Đó là điều vô lý. Giả sử lẻ. Hiể hiê y chẵ y = u y (y N*, y lẻ, u N*) + 4u y 4 = z 5 z Ta có 4u (vì lẻ) z = hoặc z = 4u Trườg hợp : z = < 4u z và + 4u- y 4 = 5 z Vế trái có dạg 4 + ( N) (vì lẻ), vế phải có dạg 4m + (m N). Đó là điều vô lý. Trườg hợp : z = 4u < z. Ta có - 4u. + Vế phải có dạg 5 + ( N). Nếu y hôg chia hết cho 5 4 y (mod 5) - 4u (mod 5). Đó là điều vô lý. 4 y = 5 z Nếu y 5-4u - ± (mod 5) (vì lẻ). Đó là điều vô lý. Vậy phươg trìh đã cho có một ghiệm guyê hôg âm duy hất là = y = z = Lời giải : Giả sử z > y >. Với chẵ vế trái có dạg a + b, với lẻ vế trái có dạg a + b, trog đó a, b là các số guyê dươg hôg chia hết cho 5. Tuy hiê - và - hôg là số chíh phươg (mod 5). Vậy phươg trìh đã cho hôg có ghiệm guyê hôg âm thoả mã z >. Cuối cùg là một số bài toá dàh cho bạ đọc: 5

53 Bài toá 8: Tìm tất cả các ghiệm guyê dươg của phươg trìh + 4 y = 5 z Bài toá 9: Chứg mih rằg phươg trìh + 5 = y hôg có ghiệm guyê (Đề thi Olympic Toá của Ba La ăm 7) + y + Bài toá : Chứg mih rằg phươg trìh + = có vô số ghiệm guyê dươg. y Bài toá : Cho số guyê dươg m. Tìm tất cả các ghiệm guyê hôg âm của phươg trìh + y = m (y + ). (Đề thi Olympic Toá của Caađa ăm 998) Bài toá : Cho số guyê tố p. Chứg mih rằg số p + 7p - 4 hôg là bìh phươg của một số guyê. Bài toá : Tìm tất cả các ghiệm guyê của phươg trìh = y (Đề thi Olympic Toá Quốc tế ăm 6) Bài toá 4: Cho hai số guyê dươg (a, b) sao cho (4a -) chia hết cho (4ab - ). Chứg mih rằg a = b. (Đề thi Olympic Toá Quốc tế ăm 7) Bài toá 5: Tìm tất cả các số guyê dươg sao cho - là bìh phươg của một số guyê. Bài toá 6: Tìm tất cả các số guyê a để tồ tại các số guyê dươg phâ biệt, y sao cho (a + ) chia hết cho ay +. Bài toá 7: Cho số guyê dươg. Chứg mih rằg số + hôg có ước guyê tố dạg 8 - với là số guyê dươg. (Đề chọ đội tuyể Việt Nam thi IMO ăm ) Bài toá 8: Tìm tất cả các cặp số guyê tố (p, q) sao cho p q - q p = 7. Ph g ph p gie gi i ph g tr h ghiöm guyª. Th¹c sü : ĐÆg Kim Log Tr êg THPT Chuyª Lª Håg Phog - Nam Þh Ph g tr h ghiöm guyª (hay cß gäi lμ ph g tr h Diophat) lμ mét trog h g d¹g to uêt hiö sím hêt trog to häc. NhiÒu hμ to häc æi tiõg trª thõ giíi h clit, Diophatus, Fiboacci, Fermat, Euler, Lebesgue,... ghiª cøu d¹g to μy vμ Ó l¹i hiòu Õt qu thó vþ. Trog c c bμi thi häc sih giái quèc gia vμ quèc tõ vé th êg cã c c bμi to vò ph g tr h ghiöm guyª, vμ ã lμ h g bμi to hã v týh h«g méu mùc cña ã. Bμi viõt μy giíi thiöu mét ph g ph p ¹i sè, gäi lμ ph g ph p gie, cã thó p dôg hi gi i mét sè ph g tr h ghiöm guyª. 5

54 NÕu tõ mét ghiöm cña ph g tr h cho ta cã quy t¾c Ó y dùg ra mét ghiöm míi th quy t¾c ã gäi lμ gie. Ph g ph p gie lμ ph g ph p dùa vμo gie Ó t m têt c c c ghiöm cña ph g tr h cho tõ c c ghiöm c së cña ã. Ch¼g h¹ víi ph g tr h Pell: - Dy = trog ã D lμ sè guyª d g h«g chýh ph g, Õu biõt (, y ) lμ ghiöm guyª d g há hêt cña ã th mäi ghiöm (, y ) cña ph g tr h Òu t m îc theo c«g thøc: y ( = ( = + y + y D) + ( D) ( D y y Sau y, ta Ðt øg dôg cña ph g ph p gie vμo ph g tr h Marov cæ ió, ã lμ ph g tr h cã d¹g: = D) D) + () trog ã, lμ c c tham sè guyª d g, i lμ c c È hë gi trþ guyª( i =, ) Ta hë thêy Õu ph g tr h () cã ghiöm guyª th ã sï cã rêt hiòu ghiöm guyª. ThËt vëy Õu ph g tr h () cã ghiöm lμ: (,,..., ) ( i z) Th : - (... ). + ( ) = XÐt ph g tr h bëc hai: (... ) + ( +... ) = () Th ph g tr h () cã ghiöm =, dã ã ph i cã ghiöm Theo Þh lý Viet cã: V / / + =.... = * N, i z ª tõ hö trª suy ra / guyª. NÕu cã thªm diòu iö i guyª d g th tõ hö trª suy ra / = NÕu l¹i cã thªm iòu iö < <... <, i N * th tõ hö trª suy ra / guyª d g. / / >, ta îc ghiöm míi (,,..., ) cña ph g tr h () lí h ghiöm cò (,,..., ). Néi dug h trª còg îc p dôg cho c c ph g tr h d¹g t g tù, ch¼g h¹ cho ph g tr h d¹g: ( + y + z) = yz Sau y lμ mét sè vý dô p dôg cña ph g ph p gie VÝ dô : (Bμi thi häc sih giái quèc gia THPT m häc - b g A) T m têt c c c sè guyª d g sao cho ph g tr h + y + u + v = yuv cã ghiöm guyª d g,y,u,v. 54

55 Gi i: Víi *,y,u, v N th ph g tr h cho t g g víi: ( + y + u + v) =.yuv + (y+ u+ v) + (y+ u+ v) =.yuv + (y+ u+ v) yuv. + (y+ u+ v) = () iòu iö cç: Gi sö lμ sè guyª d g sao cho ph g tr h () cã ghiöm guyª d g,y,u,v.gäi (,y,u,v ) lμ ghiöm guyª d g cña () mμ tæg c c thμh phç ghiöm cã gi trþ há hêt. Kh«g mêt týh tæg qu t cã thó gi thiõt y u v + (y + u + v ) y u v. + (y + u + v ) = Ta cã: [ ] Do ã ph g tr h bëc hai: f() = + [ (y + u + v ) y u v ]. + (y + u + v ) = Cã ghiöm: =, suy ra ph g tr h μy ph i cã ghiöm = vμ theo Þh lý ViÐt: + = (y + u + v ) + y u v. = (y + u + v ) Do,, y, u, v lμ c c sè guyª d g ª tõ hö trª suy ra guyª d g. V (, y, u,v ) tho m () ª ã lμ ghiöm guyª d g cña ph g tr h cho. Tõ gi thiõt (, y, u,v ) lμ ghiöm guyª d g há hêt, ta suy ra. Do ã y u v. Tam thøc bëc hai f() cã ghiöm tho m y f(y ) y + (y y u v u v + u y 6 + v + (y )y y u + u + v v )y + (y + (y u v 6 vëy {,,, 4} + u + u + v + v ) ) 6y iòu iö ñ: Víi = ph g tr h + y + u + v = yuv cã ghiöm (4,4,4,4) Víi = ph g tr h + y + u + v = yuv cã ghiöm (,,,) Víi = ph g tr h + y + u + v = yuv cã ghiöm (,,,) Víi = 4 ph g tr h + y + u + v = 4 yuv cã ghiöm (,,,) KÕt luë: C c gi trþ cç t m lμ {,,, 4} 55

56 VÝ dô : ( Ò thi v«þch quèc tõ 988) Cho a, b lμ sè guyª d g sao cho ab + chia hõt a + b CMR: a + b ab + lμ sè chýh ph g a + b Gi i: Æt p = tõ gi thiõt suy ra p lμ sè guyª d g. Ta cã ab + a + b - pab - p =. Chøg tá cæp (a,b) lμ ghiöm guyª d g cña ph g tr h + y - py - p = (4) Ta chøg mih: ph g tr h (4) víi tham sè p guyª d g sï cã ghiöm guyª d g hi vμ chø hi p lμ sè chýh ph g. iòu iö cç: Gi sö ph g tr h (4) cã ghiöm guyª d g. Gäi (, y ) lμ ghiöm guyª d g sao cho + y há hêt, h«g mêt týh tæg qu t cã thó gi thiõt y Ta cã: + y p y p = py + y p= XÐt ph g tr h: py + y p= th ph g tr h cã ghiöm =. Mμ ã lμ ph g tr h bëc hai, ª còg cã ghiöm =. Theo Þh lý ViÐt cã: suy ra = py - ª lμ sè guyª Ta cã: ( + )( + ) = +( + )+ = = y p + py + = y + p(y ) + ( v p >, y ) suy ra + > > - mμ Z ª NÕu > th guyª d g Ta cã py + y p,y ) lμ ghiöm guyª d g cña ph g tr h (4). = ( Tõ gi thiõt (, y) lμ ghiöm guyª d g há hêt ta suy ra MÆt h c ta l¹i cã: y p y y = y m u thué + = py = y p VËy ph i cã = y p= p= y tøc p lμ sè chýh ph g. iòu iö ñ: NÕu p lμ sè chýh ph g tøc p = ( guyª d g) ta dô thêy ph g tr h (4) cã ghiöm guyª d g: = y = KÕt luë: Ph g tr h (4) cã ghiöm guyª d g hi vμ chø hi p lμ sè chýh ph g. Bμi to îc chøg mih. VÝ dô : (Bμi thi chä éi tuyó to quèc tõ ViÖt Nam ) 56

57 Chøg mih r»g tå t¹i sè guyª vμ sè guyª d g ph biöt a, a,..., a sao cho a i 4 a i lμ sè chýh ph g. i= i= Gi i: Ta chøg mih tå t¹i sè guyª d g vμ sè guyª d g a, a,..., a sao cho : a i 4 a i = i= i= i= a hay a a + = () i i= i Ta lêy m sè vμ sè a = a =... = a m = a m + = a m + =... a m + = Sao cho tho m ph g tr h () m = m = Sè c c sè lêy îc lμ = m +. Chä m, ñ lí th. Cô thó lêy = m = = Nh vëy ta îc: = m + = 4 sè ( > ) a, a,..., a 4 tho m () a = a =... = a = a 4 = a 5 =... = a 4 = i= i ViÕt () d íi d¹g XÐt ph g tr h: a ai. a+ ai + = i= i= ai. + ai + = i= i= Th ph g tr h cã ghiöm = a, do ã sï cã ghiöm / = a Theo Þh lý Vi-Ðt: / a + a = ai i= / aa. = ai + i= / i i= a = a a Do d y a, a,..., a Õp t g dç ª a a / ta îc c c sè æi chç / a, a,..., a tho m ph g tr h () / a vμ a ta îc d y sè míi Õp t g dç, l¹i coi ã lμ d y a, a,..., a -, a trog ã a > a -. Lμm l¹i qu tr h trª - lç, cuèi cïg ta îc d y sè : a < a <... < a vμ tho m ph g tr h () C c sè μy tho m a i 4 a i lμ sè chýh ph g vμ > ( pcm). i= i= Cuèi cïg lμ mét sè bμi tëp Ó c c b¹ tù gi i 57

58 Bμi : Cho a, b lμ hai sè guyª d g tho m : ab chia hõt a + b +. CMR: Bμi : Bμi : Bμi 4: Bμi 5: Bμi 6: Bμi 7: a + b + lμ sè guyª tè ab T m têt c c c gi trþ guyª d g m Ó ph g tr h: + y + z = myz cã ghiöm guyª d g T m têt c c c gi trþ guyª d g Ó ph g tr h : + y = y - cã ghiöm guyª d g T m têt c c c gi trþ guyª d g sao cho ph g tr h: ( + y + z) = yz cã ghiöm guyª d g T m têt c c c cæp sè guyª d g (m, ) sao cho m - chia hõt m + Tå t¹i hay h«g ghiöm cña ph g tr h + y + z + u + v = yzuv - 65 Trog tëp c c sè guyª lí h 4. Chøg mih r»g ph g tr h: + y + z +u + v = yzuv - 85 Cã ghiöm guyª d g tho m : + y + z + 4u + 5v > 4 Bμi 8: Cho A lμ tëp hîp h u h¹ c c sè guyª d g ph biöt. Chøg mih r»g tå t¹i tëp hîp h u h¹ c c sè guyª d g ph biöt B sao cho A B vμ i B i = i B i Nam Þh, th g m 8 58

59 B chêt h h häc trog bióu hiö ¹i sè Chuyª qu g ih Néi dug cô thó: Gîi më vê Ò h thõ μo Ó tù hiª h? y lμ mét c u hái th êg trùc cho bêt ú mét gi o viª μo hi chóg ta chuè bþ mét giê gi g trog PP to¹ é dμh cho häc sih líp, chóg ta sï hë îc Õt qu tèt h Õu ta hë ra, lμm râ c i hå h h häc tiòm È trog mçi bióu hiö ¹i sè. Ta Ðt c c vý dô sau: VÝ dô I..: Trª mét êg th¼g ( d) cho ba ióm th¼g hμg theo thø tù: A, BC., Ó m«t vþ trý t g èi cña chóg mét c ch chýh c h ta cç ba th«g ti: (d) A B C +) C c ióm A, BCth¼g, hμg; +) ióm B»m gi a hai ióm A vμ C ; +) Kho g c ch AC = a; BC = b. MÆc dçu vëy vþ trý chýh c tuyöt èi cña ba ióm trª êg th¼g ( d ) vé h«g c Þh, ã chø lμ vþ trý t g èi gi a chóg! Bμi to sï îc gi i quyõt mét c ch triöt Ó hi ta y dùg êg th¼g ( d) thμh trôc. Vμ hi ã thay v m«t h trª ta chø cç ãi Õ to¹ é cña chóg trª trôc. Vμ sù t g øg cña mçi ióm trª ( d ) víi mét sè thùc α îc gäi to¹ é cña ã, iòu μy më ra co êg chih phôc c c bμi to h h häc b»g c«g cô ¹i sè sau μy (thùc chêt y lμ mét phðp hóg). * Mét h h h rêt hay: +) Co KiÕ bß (chêt ióm chuyó ég) trog phßg (mæt ph¼g) hoæc co Ruåi (chêt ióm chuyó ég) bay trog phßg (h«g gia) Ó m«t vþ trý cña ã ta ph i ãi thõ μo (vò mæt h h häc)? C hai c u hái μy Òu îc gi i bëi c c h i iöm MÆt ph¼g to¹ é vμ Kh«g gia to¹ é trog PP to¹ é mμ quy tr h suy luë lμ: Qua hö h h häc Qua hö vðc t Qua hö To¹ é. VÝ dô I.: Tr íc hõt ta Ðt mét qua hö h h häc gi trª trôc sè: Ta cã mét trôc gèc O lμ O : Ta cã Õu mét ióm M ( ) trª trôc: +) > th M»m bª ph i ióm gèc O; +) < th M»m bª tr i ióm gèc O; +) = th M»m chýh t¹i ióm gèc O; TiÕ a h mét chót ta qua s t trª êg th¼g ( AB ) ta cã ióm M hi ã tå t¹i mét sè thùc sao cho: AM = AB vμ chó ý lμ: +) Õu > th thuéc tia AB; +) Õu < th M thuéc tia èi cña tia AB; +) Õu = th M trïg t¹i A. Æc biöt: [,] th t g øg víi M thuéc o¹ AB TÝh chêt thuéc cña ióm M èi víi êg th¼g AB lμ sù tå t¹i hay h«g cña sè thùc tho M = a + ( b a) m : AM = AB hay trª mæt ph¼g to¹ é: :? ym = ya + ( yb ya) 59

60 ViÖc gi i to «i hi h«g chø diô ra trª êg th¼g ( AB) mμ cã thó cß v ît ra hái êg th¼g μy v vëy cç më rég hö thøc AM = AB trë thμh: Víi mäi ióm I trog mæt ph¼g hay Ó c h«g gia th tå t¹i cæp sè ( p, q) R R: IM = pia+ qib víi p + q = ; Æc biöt pq, [,] th M [ AB]. Nh vëy cã thó ãi mçi bióu hiö vò mæt ¹i Sè Òu È tμg trog ã mét b chêt h h häc t g øg vμ g îc l¹i. iòu μy hých lö chóg ta t m tßi c ch bióu thþ c c b chêt h h häc th«g qua c c hió thþ ¹i sè, më Çu cho viöc gi i to h h häc b»g c ch ¹i sè ho mμ PP to¹ é chø lμ mét c ch thøc. VÒ qua ióm th mäi vët thó h h häc Òu îc h hë d íi co m¾t mét tëp hîp ióm chø cã iòu chóg îc s¾p Õp h thõ μo mμ th«i. iòu μy dé Õ h i iöm ph g tr h cña c c êg trog PP to¹ é. y lμ sù chuyó dé bμi to tëp hîp ióm trog h h häc sag ¹i sè. Tuy hiª trog giíi h¹ CT PT th c c tëp hîp ióm îc Ðt chø lμ c c êg: êg ( L ) trog mæt ph¼g to¹ é îc Ðt theo qua ióm tëp hîp ióm: ( L) = { M(, y): f(, y) = } vμ hö thøc f ( y, ) = îc gäi lμ ph g tr h cña êg ( L) trog mæt ph¼g to¹ é Oy. +) NÕu f ( y, ) = A+ By+ C = ta hë îc êg th¼g +) NÕu f ( y, ) = α +β y +γ +η y+μ= ; ta cã thó hë îc êg trß hoæc Coic. +) NÕu f ( y, ) = y= f( ); = g( y) ta hë îc c c å thþ hμm. B y giê ta Ðt mét tam gi c vu«g ABC vu«g t¹i C: Ta qua s t h h h h h häc sau: C a C b b C a A a c b B NhË Ðt: Râ rμg ta cã åg thêi : π C < < C vμ: a + b > c > a + b VËy ph i ch g tå t¹i mèi qua hö gi a é lí gãc ACB víi hiöu sè: H = a + b c. Lêi gi i c u hái μy lμ Þh lý Cosi ph t bióu cho tam gi c: a + b c Trog tam gi c ABC ta cã: c = a + b abcosc cosc =. ab Nh vëy ta cã: a + b c > th gãc C hä; a + b c = th gãc C vu«g; a + b c < th gãc C tï. Lêi chøg mih îc uêt ph t tõ tých v«h íg cña hai vðc t : CACB = b..cos a C. TiÕp ã ta còg hë îc c«g thøc týh é dμi êg trug tuyõ uêt ph t tõ hö thøc vðc t : ( a + b ) c CM = ( CA + CB) mc =. 4 VËy Õu CD lμ ph gi c trog cña tam gi c CAB th ta cã hö thøc vðc t : b a CD = CA + CB tõ y b h ph g v«h íg hai võ ta hë îc c«g thøc: a+ b a+ b 6

61 abp( p c) ab C a+ b+ c CD = lc = = cos. Trog ã p = lμ öa chu vi. a+ b a+ b Tam gi c CAB c Þh, mét ióm M c Þh trª êg th¼g (AB) ta lu«týh îc é dμi CM theo c ch t g tù. iòu μy hiõ ta liª hö víi Õt qu que thuéc trog êg trß: Cho mét êg trß ( C ) t m O b Ýh R hi ã ta cã: M ë trog êg trß hi chø hi MI R< ; M ë trª êg trß hi chø hi MI R= ; M ë goμi êg trß hi chø hi MI R>. Nh vëy Õu mét êg trß (C) cã ph g tr h: f ( y, ) = vμ mét ióm ( m, m) f ( m, ym) = MI R =P M /( c) lμ ph g tých cña ióm M èi víi êg trß (C) Trog ã I lμ t m êg trß vμ R lμ b Ýh cña ã; thõ th ta cã: M y. f( m, y m) < t g øg ta cã ióm M ( m, y m)»m trog êg trß. f( m, y m) > t g øg ta cã ióm M ( m, y m)»m goμi êg trß. f( m, y m) = t g øg ta cã ióm M ( m, y m)»m trª êg trß. ( C): f( y, ) = ;( C): f( y, ) = ; h«g åg t m th êg Æc biöt víi hai êg trß: th¼g: ( Δ ): (, ) = (, ) ChÝh lμ trôc ¼g ph g cña hai êg trß ã. f y f y èi víi c c êg Coic ta còg cã Õt qu t g tù: NÕu gäi ph g tr h Elip lμ: f ( y, ) = vμ ióm (, ) M m y m th : f( m, y m) < t g øg ta cã ióm M ( m, y m)»m trog miò chøa tiªu ióm. f( m, y m) > t g øg ta cã ióm M ( m, y m)»m trog miò h«g chøa tiªu ióm. f(, y ) = t g øg ta cã ióm M (, y )»m trª Coic. m m m m 4 M M M F O F èi víi c c å thþ hμm sè còg vëy (em h h vï sau): 6

62 Gäi (C) lμ å thþ hμm sè: y= f( ). hi ã trª mæt ph¼g to¹ é tëp hîp c c ióm M ( m, y m) tho m : i) ym f( m) > lμ miò trª å thþ miò g¹ch (vý dô M) ii) ym f( m) < lμ miò d íi å thþ miò h«g g¹ch (vý dô M*) iii) y f( ) = lμ å thþ (C) (vý dô M) m m 6 4 y f () = ( + )- M tre do thi O -5 5 M* - M duoi do thi VÝ dô I.: Trª mét o¹ th¼g AB ta lêy mét ióm M bêt ú hi ã víi mäi I trog h«g gia ta cã: {, } I IM Ma IA IB A M B R ; pq, [,] ThËt vëy do tå t¹i cæp ( p, q) ; p+ q= sao cho: IM = pia+ qib ª: IM = IM pia + qib ( p + q) Ma{ IA, IB} = Ma{ IA, IB}. iòu μy dé Õ bμi to cùc trþ trª a gi c låi: Ch¼g h¹: Trª mæt ph¼g to¹ é Oy cã tam gi c ABC c Þh bëi giao c c êg th¼g: ( d): A + By+ C = ; ( d): A+ By+ C = ; ( d): A+ By+ C =. ióm M ( m, y m) thuéc miò trog tam gi c ABC hi chø hi åg thêi cã: f( A) f( M) > ; f( B) f( M) > ; f( C) f( M) >. á y ta ý hiöu: f ( M) = f (, y ) = A + B y + C. i i m m i m i m Theo trª víi mäi ióm I trog mæt ph¼g Oy (Ó c trog h«g gia): IM Ma{ IA, IB, IC}. KÕt qu μy cß cã thó më rég cho -gi c bêt ú (tam gi c chø lμ mét vý dô). 6

63 KÕt qu μy còg cã thó dïg tèt cho viöc ph biöt êg ph gi c øg víi gãc hä hay tï cña c c gãc do hai êg th¼g c¾t hau mμ thμh, còg h viöc ph biöt ph gi c trog hay goμi cña tam gi c. B 4 (d) M (d) K (d) A C O -5 5 I - -4 Sau y Ó lμm râ vê Ò îc Ò cëp ta Ðt mét sè bμi to cô thó: Bμi to : T m gi trþ lí hêt vμ há hêt cña bióu thøc: f ( y, ) = + y 4 y. XÐt trª miò: D= {(, y) : 5; y 6}. Lêi gi i: XÐt bμi to trª mæt ph¼g cã hö trôc Oy, hi ã miò rμg buéc lμ miò h h ch hët cã c c Øh A(,); B(,6); C(5,6); D(5,). ViÕt f(, y) = ( ) + ( y ) 5 NÕu Æt M ( y, ) vμ I (,) th f(, y) = IM 5. Do ã Mif (,) y = IM 5= ; Maf (,) y = Ma{ IA, IB, IC, ID }5 = 4 5= 9 D D 6

64 8 B 66 y C 4 A M D I - O Bμi to : -8 T m a Ó mäi ghiöm bêt ph g tr h: + y. () còg lμ ghiöm bêt ph g tr h: + y a () y B A O C D Mçi cæp sè thùc (, y ) tho m bêt ph g tr h () t g øg duy hêt víi mét ióm M ( y, )»m trog h h vu«g ABCD. Râ rμg cç cã a > vμ trog iòu iö μy Mçi cæp sè thùc (, y ) tho m bêt ph g tr h () t g øg duy hêt víi mét ióm M ( y, )»m trog miò h h trß t m O b Ýh R = a Do vëy a cç t m lμ: a a. 64

65 Bμi to : T m gi trþ lí hêt há hêt: P= Lêi gi i: Ta cã: P= ( ) ( + ) + 9 Trª mæt ph¼g to¹ é ta Ðt c c ióm: M (,); A(,); B(, ). Th gi trþ P= AM + BM. Khi thay æi th ióm M ch¹y trª trôc hoμh; hai ióm A; B cè Þh, h c phýa so víi trôc 9 hoμh ª: MiP = AM * + BM*; M* ( AB) ' O tøc ph i chä = * =. 5 Bμi to 4: T m ghiöm guyª d g cña ph g tr h: y+ y + y yz+ z = + z+ z ; + y+ z.. A O y B z E C Lêi gi i: Æt OA=; OB=y; OC=z vμ AOB = BOC = 6. Khi ã theo Þh lý Cosi trog tam gi c ta cã: AB = y + y ; BC = y yz + z ; AC = + z + z. Theo h h häc ta lu«cã: AB+ BC AC, dêu b»g chø cã hi chø hi A, BCth¼g, hμg. Î BE CE y z y BE// OA th : = = = +, l u ý tõ gi thiõt OA OC z y z + y+ z ;, y, z N* b»g ph g ph p liöt ª dô dμg cã c c ghiöm lμ: (,,);(4,,4);(,,6);(6,,). Bμi to 5: a, a,..., a ; b, b,..., b. lμ c c sè thùc tuú ý. Cho Chøg mih r»g: ai + bi ( ai) + ( bi) i= i= i= Lêi gi i:. () XÐt c c vðc t : = ( a, b); i=,,..., i i i i i. Khi ã: = ( a, b) hió hiª cã: i i i i= i= i= () pcm. DÊu b»g y ra hi chø hi c c vðc t îc Ðt cïg ph g cïg chiòu, tøc tå t¹i t R : ai = ta; bi = tb; t i=,,...,. B»g c ch μy ta còg hë îc d¹g h h häc cña bêt ¼g thøc Buhiac«pi 65

66 Cã thó thêy gay lêi gi i c c bμi to sau:. Cho c c sè thùc tho m a+ b+ c= ; a+ by+ cz = 6. Chøg mih r»g: 6a + a + 6b + b y + 6c + c z.. Chøg mih r»g víi mäi α, β ta cã: 4 4 cos α+ cos β+ si α+ si β.. Cho c c sè thùc bêt ú: a, a,..., a Chøg mih r»g: ai + ( ai+ ) ; a+ a. i= Bμi to 6: ( Ò thi HSG Duyª h i B¾c bé lç thø hêt) Cho mét 8 gi c cã týh chêt: têt c c c Øh cã täa é guyª vμ é dμi cña têt c c c c¹h lμ h g sè guyª. Chøg mih r»g: chu vi cña a gi c lμ mét sè ch½. Lêi gi i: Gi sö AiAi+ = ( ai; bi) víi i = ;8 (Quy íc A9 = A ), trog ã a i ; b i lμ c c sè guyª vμ a + b còg lμ sè guyª víi mäi ;8 A A a b víi i i i =. Ta cã: Gi sö ( ) i = ;8 (Quy íc A9 = A ), trog ã a i ; b i μ c c sè guyª vμ guyª víi mäi i = ;8. i i+ = i; i a i bi + còg lμ sè Ta cã: AA = a = b =. Do ã i i+ i i i= i= i= 8 8 ai = aa i j; bi = bb i j i= i< j 8 i= i< j 8, tøc lμ 8 8 ai ; bi i= i= lμ c c sè ch½. KÝ hiöu N lμ chu vi tam gi c, ta cã N lμ mét sè guyª d g vμ: 8 8 = + = ( + ) + i= i= i< j Tøc lμ N lμ sè ch½ vμ do ã N còg lμ sè ch½. i i i i i i j j N a b a b a b a b Bμi to 7 ( Ò do H g Yª Ò ghþ ú thi HSG Duyª h i B¾c bé lç thø hêt) Cho tam giác ABC cố địh. MNPQ l hìh chữ hật thay đổi sao cho BC. P thuộc cạh AC, Q thuộc cạh AB. Tìm tập hợp tâm các hìh chữ hật. M, N thuộc đườg thẳg Lêi gi i: Chọ hệ Oy sao cho O l châ đườg cao ẻ từ A của tam giác ABC, A Oy. B, C thuộc trục hoàh, chiều dươg của trục hoàh từ B đế C. Giả sử A ( ; a) a >, B (b;), C (c;). AQ AP = = p < p <. AB AC AQ = p. AB AQ( pb; pa) Q( pb; a pa) 66

67 CN CP = = p CN = ( p) CO CO CA CN( cp c;) N( cp;) p( b + c) ( p) a ( p) a a I là trug điểm QN I( ; ) ( ) Do p (;) yι = (; ). ( p) a Nếu tam giác ABC câ tại A I(; ) ; I [KO] với K là trug điểm OA ; I K; I O. Nếu tam giác ABC hôg câ tại A. Từ ( ) ta có I thuộc đuờg thẳg Δ có phươg trìh: y + b + c a =. a b + c Δ cắt trục tug tại K (; ) ( K là trug điểm OA ), Δ cắt trục hoàh tại J ( ;). [ KO] I với I K; I J. KL: Tập hợp tâm I của hìh chữ hật MNPQ là đoạ KJ bỏ đi hai đầu mút, với K là trug điểm AO, J thuộc BC được ác địh cụ thể hư sau: +) Nếu C 9 ; J ằm giữa O, B : OB + OC O;C : OJ = ; +) Nếu B < C < 9 ; J ằm giữa O, B : OC OB OJ = `. OB + OC OJ = ; Nếu OB OC OJ = ;Nếu B 9 ; J ằm giữa C < B < 9 ; J ằm giữa O ;C : C c Õt qu ªu trª gióp Ých rêt lí trog c c bμi to cùc trþ ¹i sè hay h h häc Ó c trog mæt ph¼g hay trog h«g gia, ö lý c c bμi to biö luë Þh týh trog vê Ò ph g tr h, bêt ph g tr h, hö ph g tr h, hö bêt ph g tr h, dμi h lμ c c bμi to cùc trþ vμ tèi u. Sau y chóg ta Ðt mét sè t m tßi trog lüh vùc rêt îc qua t m: BÊt ¼g thøc. Bμi to 8 ( Ò do Qu g ih Ò ghþ thi HSG Duyª h i B¾c bé lç thø hêt) Cho ửa đườg trò tâm O bá íh bằg. Trê ửa đườg trò ày gười ta lấy điểm: PPP,,,..., P, là một số tự hiê lẻ hôg hỏ hơ. Chứg mih rằg : OP+ OP + OP OP. Lêi gi i: +) Đặt =-. Chọ trục OP và véc tơ OP là véc tơ đơ vị của trục. OP =. 67

68 +) Chiếu các véc tơ OPi ; i =,,... lê trục ta hậ được các hìh chiếu là hìh chiếu của véc tơ tổg v= OPi chíh là OP = OPi. i= i= OP i và chú ý rằg A B là các hìh chiếu của A,B trê trục. OP OA i = Và: OP OB; j = +, +,...,. Gọi AB là đườg íh của ửa đườg trò,, +) Ta có i ;,,...,. j Hơ ữa OA< < OB; OA+ OB =. +) Từ = ( )( + ) + =. (Đpcm). v OP OP OA OB OP i= i Bμi to 9 Cho lμ mét sè tù hiª h«g há h. chøg mih tå t¹i mét tëp hîp gåm ióm tho m åg thêi c c iòu iö: i) Ba ióm bêt ú trog chóg h«g th¼g hμg; ii) Kho g c ch gi a hai ióm bêt ú trog chóg lμ mét sè v«tû; iii) DiÖ tých cña tam gi c bêt ú thμh lëp tõ ba ióm bêt ú trog chóg lμ mét sè v«tû. Lêi gi i: Trª mæt ph¼g to¹ é Oy Ðt c c ióm Ai (, ii); i=,,...,. Ta sï chøg mih y lμ bé ióm tho m yªu cçu Æt ra. < < hi ã ta cã: i) Gi sö cã ba ióm th¼g hμg A, Al, Am; l m AAl = ( l, l ); AA l m = ( m l, m l ); do týh th¼g hμg ta cã: m l m l = m= iòu μy v«lý v < m. l l ii) Ta cã AAl = ( l) + ( l ) gi sö ho g c ch μy lμ mét sè h u tû thi sï tå t¹i p q tèi gi sao cho: p AA l = ( l) + ( l ) = p = ( ) ( + ( + ) ); q Ó ý lμ p q ;( p, q) = q= vμ p lμ sè guyª d g, b»g c ch ph tých tiªu chuè ra c c thõa sè guyª tè ta suy ra: a N*: a = + ( l + ) = ( a l)( a+ + l) > ª a+ + l 4 4v«lý! iii) XÐt mét tam gi c bêt ú cã c c Øh lêy tõ c c ióm ã: A( a, a ); B( b, b ); C( c, c ); a< b< c; a, b, c N*. Gäi E( ac, ); Fba (, ); Kcc (, ); Khi ã ta cã: ABC AKCE AEC ABF FBCK [ ] = [ ] [ ] [ ] [ ] ta ý hiöu [ ] Ω. Ω lμ diö tých miò iv) [ ] ABC = VËy ta cã: = + ( c a)( c a ) ( c a)( c a ) ( b a)( b a ) ( c b)( c b a ) = s Q do,, abc Òu lμ c c sè guyª d g. 68

69 y E C B A F K O Lêi Õt: Ph i thùc sù thõa hë r»g tå t¹i mèi liª hö È tμg gi a h h thøc ¹i sè vμ b chêt h h häc, PP h h häc ho c c bμi to ¹i sè lμ Æc biöt h u hiöu. Chóg ta cã thó Ó ra y goμi PP to¹ é rêt hiòu PP h c a Ó tiõp cë ý t ëg μy, ch¼g h¹ mét trog chóg lμ Lý thuyõt å thþ,vμ g hiª h«g thó Ó hõt c c øg dôg, c c bμi to, iòu qua träg lμ vai trß g êi thμy trog viöc dé d¾t c c em tiõp cë PP h thõ μo, h»m h i dëy trog chóg h g t duy s g t¹o iòm say mª t m tßi h m ph vî Ñp trog to häc. Do h g vμ ih ghiöm cß h¹ chõ bμi viõt h«g tr h hái sai sãt t«i chø d m hy väg bμi viõt μy lμ mét chia sî há víi c c åg ghiöp. Cuèi cïg Ó Õt thóc t«i i îc h¾c ra y lêi cña gi o s George Polya, hμ to häc vμ gi o dôc Mü æi tiõg dμh cho c c b¹ yªu To : Cã thó r»g bμi to ia ch¼g hã, h g Õu ã th ch thøc trý tß mß còg h ph t huy îc h g s g t¹o cña b¹ vμ Õu h b¹ gi i ã chø b»g ph g tiö riªg cña b¹, th b¹ sï tr i hiòu cam go c g th¼g cïg bao iòm vui h m ph. Vμo løa tuæi h¹y c m, h g ih ghiöm h thõ sï t¹o ª iòu thó vþ cho ho¹t ég tih thç vμ lμ dêu so h h ëg m i t g lai... H¹ log gμy 9--8 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ y= a +b và y= a +b + c = ĐỖ VĂN ĐỨC Tổ trưởg tổ toá ti Trườg THPT Chuyê Lươg Vă Tụy - Nih Bìh Trog chươg trìh lớp, học sih đã được học về các hàm số bậc hất và bậc. Đây là hàm số cơ bả trog chươg trìh phổ thôg và có rất hiều ứg dụg trog ì thi các cấp. 69

70 Sau đây tôi êu lê một số ví dụ áp dụg hai hàm số trê (ể cả trườg hợp suy biế) để giải toá. I) Ta chú ý đế một số ết quả sau:. Hàm số f() luô đồg biế, hoặc luô ghịch biế, hoặc hôg đổi trê [α, β] thì: Ma f() = Ma{ f(α), f(β) } [α, β]. f() = a +b + c (a ) Ma f() = [α, β] b Ma{ f(α), f(β) } Khi (α, β) a b b Ma{ f(α), f(β), f( a )} Khi a (α, β). Ma f(,,, ) Ma( Ma ( Ma f(,,, )) ) X i D i ( i =,,.. ) D D D II) Các bài toá được chia làm loại A- Các bài toá ứg dụg hàm bậc hất và suy biế B- Các bài toá ứg dụg hàm bậc hai và suy biế C- Các bài toá ứg dụg phối hợp hai hàm số trê. A Các bài toá ứg dụg hàm y= a +b Bài toá (đề thi vô địch KIEP) Chứg mih rằg với bất cứ a, b ào cũg tìm được, y [,] để y a - by Giải: Bài ày đã có hiều sách đưa lời giải hưg các lời giải đều mag tíh chất áp đặt. Với cách giải hư vậy là hôg cho ta cách mở rộg được bài toá, đồg thời cũg hôg cho ta cách tìm thấy số. Sau đây tôi đưa ra cách giải sử dụg tíh chất hàm y= a +b, và qua đó cho ta ra thêm hàg loạt các bài toá dạg ày. Ma y-a-by Ma { a, b. a+b- } a+b-a-b+ = Bài toá : Cho số thực α, β, b (α<β) Tìm a để Ma a+b Có giá trị bé hất [α, β] Giải: Ma a+b = Ma { aα +b, aβ +b } [α, β] aαβ + bβ + aαβ + bα b β α α + β α + β 7

71 Có g thc aα +b = aβ +b () αβ (aα +b) (-aβ -b) () *) Nều αβ () (aα +b)(-aβ -b) hi đó () aα +b = -aβ -b a= b α + β *) Nều αβ () (aα +b)(-aβ -b) Khi đó () aα +b = aβ + b a = - b b β α Khi αβ và a = Vậy Ma a+b bé hất bằg α + β α + β hi αβ và a = b β α Ma a +b bé hất bằg α + β [α, β] Bài toá : Cho hai số α và β ét các hàm số Giải: f() = a + αa + β Xác địh a để Ma f() hỏ hất trườg hợp : β [-,-] A) Nếu α β > ta chọ > sao cho α( ) ( + ) = β α = α α + β > β Ma f() = Ma { a + αa + β ; a αa β } [-, ] a + αa + β + a αa β = + = a β β β + a + α = ( a + ) β + α α α β có đẳg thức a= - α β α B) ếu α β Ma f() = Ma { a + αa + β, a αa β } [α, β] α α Ta chứg mih Ma f() bé hất là β - a = - 4 7

72 Thật vậy với a = - α Ma { a + αa + β, a αa β } α 4 α 4 do (β - ) - - β = = Ma{β - α α α ; - β } = β β - α α Mặt hác Ma { a + αa + β, a αa β } a + αa + β = = (a + α ) + β - α α β có a= - α β hi α β, β Vậy β thì Ma f() bé hất = α α β hiα β, β 4 trườg hợp : β < β < do Ma f() = Ma a(-) + (-α )a + (-β ) [-,] - - α là α Áp dụg ết quả của trườg hợp với β là β > Vậy ta có ết luậ chug β Và a = α α Và a = β α hi α β > và a = α β Ma f() bé hất = [-,] α β β hi α β và a = α 4 β Bây giờ ta lại ét bài toá ở trê với điều iệ α β β >, β > hưg a = ( vô ghiệm) (ét bài 4) α Hoặc α β, β > và phươg trìh a= vô ghiệm (ét bài 5) Bài toá 4: Cho <α <β và α + β < 8 5 Xét các hàm số f() = (a 9 + a+ ) + 5 Tìm a để Ma f() hỏ hất [α, β ] Giải: Để ý rằg với điều iệ <α <β và α +β < 8 5 thì Phươg trìh a 9 + a + = (vô ghiệm ẩ a) 5 α + β 7

73 Nê ết quả bài hôg thoả mã *) Nếu a 9 9 +a + = a {-, - } f() = *) Nếu a 9 +a + > f() > 5 *) với a 9 9 +a + < - <a< ) f(α ) = (a 9 +a + )α +>(a 9 5 +a + ) += = [(a+) 6 5 α + β 5 - ] + do α < = f(α ) = f(α) = [(a+) ]α + - α 5 5 Có đẳg thức a= ) ếu β f(β) f( ) f(α) > f(β) > Ma f() = f(α) - α [α,β] 5 đạt a= - 5 +) Nếu f(β) β f(β ) = - f(β)= 6 = - [(a+) 6 - ]β = f do β < - α f - [(a+) ]( -α ) = = - α - (a+) 5 6 ( -α ) - α f(α) Vậy Ma f() - α có đẳg thức a= - 5 [α,β] Bài toá 5: f() = (a +) cho α < o < β Tìm a để Ma f() bé hất [α, β ] Giải:Trườg hợp ày a + = vô ghiệm ê giải hư bài hôg được M = Ma f() = Ma{ f(α ) ; f( β ) }= Ma { (a +)α - ; (a +) β - } [α, β ] *) f(α ) = (a +)α - = α (a +)= + (a +) α + α Nếu M= f( β ) = (a +) β - M + α ê 7

74 M = (a +) β - = (a +) β - β - + α β + α Vậy β + α M bé hất là β - a= - Cò β < + α M bé hất là α + a = - Vậy M bé hất = Ma { β - ; α +} a= - Bài toá 6: Cho <a <a < a ; b a b < a b < a f() = Ma { a b ; a b ; a b } R tìm Mi f() R Giải: *) Phươg trìh a +b = a b = = b + b a + a () *) Phươg trìh a + b = a b = = b a + b + a () b b b b < < V ó < a a a a Khi đó () b b b b < < < V ó a a a a Ta ét trườg hợp I) Ta chứg mih Mi f() = a b X R a) Ta chứg mih f( ) = a b Do () a b = a b = - a + b = a b Ta chứg mih a b > a b *) a b - a + b = b + b a + a > b + b a + a (a b a b + a b a b ) + (a b a b ) > đúg a b + a b > a b +a b + a b Do b - a a b b > b - a b a b > a a a (a b a b ) >a b a b a *) a b = a b = -a + b - a + b = a b a b Vậy f( ) = a b b) Ta chứg mih f() f( ) R *) < - a + b >- a + b = a b = f( ) 74

75 *) > a b >a b = f( ) Vậy Mi f() = a - b = X R ab ab a + a II) a) Ta chứg mih f( ) = a b a b = a b = - a + b = a b a b > a b đúg do a b = a b = - a + b > - a + b = a b >a b > b >a - b > a f( ) = a b b) Ta chứg mih f() f( ) R Nếu f() a b =a b a b X < f() - a + b = - a + b > - a + b = a b ab ab ab ab Vậy Mi f() = Ma {f( ); f( )} = Ma ; a + a a + a X R Bài toá 7:f(,y) = y + y a by. Tìm a, b để Ma f(, y) bé hất,y [,] Bài ày có thể yêu cầu cao hơ các bài trê là phải tìm giá trị bé hất của hàm số f(,y) Ma f(,y) Ma { a ; b ; -a-b } a+b+ a -b =,y [,] Với a = b = f(,y) = (+y) (y - ) a) Nếu y do,y [,] ê (+y)(y- ) = (+y)(y- ) (+)( - ) = b) Nếu y < ( )(- y) +y + y (+y)(y - ) ( + y) (y - ) 75

76 (+y)(y - ) ( + y) (y - ) = ( + y) ( - y) = = - y (y) Ma f(,y) bé hất là,y [,] SAU ĐÂY LÀ CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ Bài toá 8: Chứg mih rằg với bất cứ a, b, c, d, p, q ào ta cũg tìm được,y,z thuộc đoạ [,] để yz ay byz cz d py qz 7 Bài toá 9:Chứg mih rằg với mỗi mười bố số thực a, a,... a 4 ào ta cũg tìm được, y, z, t thuộc [,] để yzt a yz a yt a yzt a 4 zt +a 5 y - a 6 z a 7 y a 8 yz a 9 yt a zt + - a a y a z a 4 t 5 Bài toá : Cho < a< b, m, m Z Các số a, a,... a hôg âm và hôg thuộc hoảg (a, b) các số b, b,... b đều thuộc đoạ [a, b] thoả mã a i i= = b j j= m a) Chứg mih rằg i= a i α b) Chứg mih rằg a i i= j= j= m α b j b j ( α ) Bài toá : Cho a < a <... <a f() = Ma { -a, -a,... - a } Tìm Mi f() R Bài toá cho <a < a <..<a b < a a b b <... < a f() = Ma { a i bi (i =,,...,)} Tìm Mi f() R Trê đây là một số bài toá áp dụg tíh chất của hàm y = a + b để giải. Cò phầ ữa i được trao đổi cùg các bạ ở chuyê đề sau. Nih Bìh, Ngày thág ăm 8 76

77 PhÐp biõ h h trog h h häc ph¼g Tr êg THPT Chuyª Hμ Nam Phầ I: Đặt vấ đề Trog chuyê đề hìh học phẳg sử dụg phép biế hìh trog hìh học phẳg là một phầ iế thức rất qua trọg. Sau đây là ội dug bài soạ của tôi hi dạy về các phép biế hìh trog mặt phẳg. Phầ II: Nội dug A. Phép đối ứg tâm, đối ứg trục, tịh tiế. I. Phép đối ứg tâm. Địh ghĩa: Đ : M M OM = OM '. Tíh chất: a. Đ biế điểm thẳg hàg thàh điểm thẳg hàg. b. Đ biế đườg thẳg thàh đườg thẳg // hoặc trùg với đườg thẳg ba đầu. c. Biế đoạ EF thàh E F : EF = E F d. Góc Sy thàh góc S y và góc S y = góc S y. e. Đ là phép biế đổi - h: Đo: A A B B AB = A'B' II. Phép đối ứg trục. Địh ghĩa: Đđ: M M MM d tại H MH = HM '. Tíh chất Giốg hư phép đối ứg trục III. Phép tịh tiế:. Địh ghĩa: Cho V T V : M M ' MM ' = v. Tíh chất:- Giốg hư phép đối ứg tâm, đối ứg trục - Phép T V hôg có điểm bất độg. IV. Bài tập áp dụg 77

78 Bài tập : Cho tam giác ABC và đườg trò O. Trê cạh AB lấy điểm E sao cho BE = AE gọi F là trug điểm AC và I là đỉh thứ 4 của hìh bìh hàh AEIF. Với mỗi điểm P trê đườg trò (O) dựg Q sao cho * Hướg dẫ học sih PA+ PB + PC = 6IQ. Tìm tập hợp Q hi P thay đổi. + Xác đỉh điểm K cố địh t/c: KA + KB + KC = + Chứg mih K I + Đ I : P Q vậy Q thuộc đườg trò là ảh (O) * Lời giải: Gọi K là điểm thoả mã: KA + KB + KC = A 6KA = (AB + AC) AI = AE + AF E F Ta có = AB + AC B I C 6AI = AB + AC AK = AI I K Từ PA+ PB + PC = 6IQ 6PI + IA + IB + IC = 6IQ PI + QI = là trug điểm PQ Đ: P Q OP thuộc đườg trò Q đườg trò là ảh của (O) qua Đ I Bài tập : Cho hìh bìh hàh ABCD và đườg trò (γ) bàg tiếp của tam giác ABD tiếp úc với phầ éo dài AB và AD tươg ứg tại M, N. Đoạ thẳg MN cắt BC, DC tươg ứg tại P và Q. Chứg mih đườg trò ội tiếp tam giác BCD tiếp úc BC, DC tại P và Q. * Hướg dẫ học sih: + Chứg mih BH = DK Có Đ I : B D + Chứg mih DQ = DN = BH = BM Đ I : (C) (C) Với (C) là đườg trò qua M, N, H ; (C) là đườg trò qua D, Q, P Lời giải: 78

79 Gọi K là tiếp điểm (γ) và BD (C) là đườg trò ội tiếp ΔABC tiếp úc AB, AD,BD tại M, N, H Do: MM = NN MM = MB + DN = BK + BH NN = ND + DN = DH + DK BH + BK = DH + DK BH + BH + HK = DK + DK + HK BH = DK Phép đối ứg tâm Đ I : B D H K A C ΔAMN câ tại A => góc AMN = góc ANM DQ // AM => góc DQN = góc AMN => góc DQN = góc ANM => ΔDQN câ tại D => DQ = DN = DK = BH = BM Do Đ I : B -> D => Đ I : M -> Q Tươg tự ΔMBP câ Đ I : N -> P H -> K (C) -> (C) (C) là đườg trò qua M, N, H và (C) là đườg trò qua D, Q, P do M, N H là điểm chug duy hất của AB, AD, BC và (C) Và hi đó K, Q, P là điểm chug duy hất (C ) và BC, CD, CB 79

80 Bài tập : Cho đườg trò (O, R) ΔABC có góc đều họ ội tiếp trog đườg trò. Gọi A, B, C lầ lượt là giao điểm thứ hai của các đườg cao ẻ từ A, B,C với đườg trò. Hãy ác địh ích thước cạh ΔABC theo R để diệ tích lục giác AB CA BC lớ hất. * Hướg dẫ giải CMih: dt BHC = dt BCA dt AHC = dt ACB dt AHB = dt ABC + Từ đó dt AB C.A BC ma hi S ABC ma + Dựa vào côg thức hê rôg tìm ma S ABC * Lời giải: B A C H B C A Đ BC : H -> A => S BHC = S BCA Đ AC : H -> B => S AHC = S ACB Đ AB : H -> C => S AHB = S ABC Đặt S ABC = S => S AB CA BC = S Vậy ma S AB CA BC hi S đạt ma * Ta chứg mih ết quả que thuộc a + b + c +) S 4 +) a + b + c 9R (R là bá íh đườg trò goại tiếp ΔABC) Thật vậy: S a + b + 4 c ( a p( p a)( p b)( p c) + b + c ) 48 ( a ( a + b + c)( a + b c)( b + c b)( a + c b) [( a + b) c ][ c ( a b) ] ( a + b + ) c + b + c ) <=> a 4 + b 4 + c 4 a b + b c + c a (BĐT luô đúg) Chứg mih: a + b = c 9R <=> si A + si B + si C 9/4 (dễ dàg chứg mih) Vậy 9R 9R S ma S = 4 4 8

81 9R ma S = hi Δ ABC đều 4 Bài tập 4: Cho lục giác lồi ABCDEF có AB = BC = CD; DE = EF = FA Và GócBCD góc EFA = 6. giả sử G và H là hai điểm ằm trog lục giác sao cho góc AGB = góc DHE =. CMR AG + GB + GH + DH + EF CF * Hướg dẫ giải +) Đ BE biế đ ào: A -> D C -> C D -> A F -> F +) CM: GA + GB = GC +) Vẽ thêm hìh phụ cho bài toá dễ qua sát * Giải: Ta có: BD = AB AE = DF Đ BE : A -> D vì (ΔDBE = ΔBAE => Góc B = góc B => BE là phâ giác và BE AD) C -> C C D -> A => CD = C A = AB => ΔABC đều E -> F -> ΔDEF đều * ΔBCD; ΔAEF dựg phía goài tứ giác ABDE B C, G hác phí với AB H, F hác phía với DF B 6 6 => Tứ giác AGBC ội tiếp góc BGA + góc B CA = 8 = ( + 6G ) => BC = C G + BG BG. C G./ C A = C G + GA AG.C G./ 8 6

82 => BG BG. C G = GA AG. C G <=> (GA - GB ) (GA + GB GC ) = a * Nếu GA = GB => GC AB => C K = ; GK = BK tg a = 6 4a a GC ' = = 6 a Cos = a BG = GA+ GB = a GB Vậy có GA + GB = GC Trog cả trườg hợp GA + GB = GC HE + HD = HF Vậy có C G + GH + HF C F Mà C F là ảh CF qua phép BE C F Vậy GA + GB + GH + HE + HD C F Dấu = hi G, H ằm trê [ C F ] Bài tập 5: Cho ΔABC. Từ đỉh A ta ẻ trug tuyế AM và phâ giác trog AD. Phép đối BK AB ứg qua đườg thẳg AD biế đườg thẳg AM thàh AK (K BC): CMR: = CK AC Hướg dẫ học sih: + Gọi P là điểm đối ứg của A qua M + Từ C ẻ đườg thẳg // PB cắt AK tại Q. Từ đó có tứ giác AC PB là hìh bìh hàh. + áp dụg địh lý talet ta có đpcm. Lời giải: Đ AD : B B C C 8

83 M M M là trug điểm B C, B AC, C AB, M đườg thẳg AK Gọi P là điểm đối ứg của A qua M Từ C ẻ đườg thẳg // PB cắt AK tại Q M C = M B Tứ giác AC PB là hìh bìh hàh M A = M P AB // PB // QC Theo địh lý ta lét: Ta có: Vậy BK AB = () KC CQ ' ' CQ CQ CQ PB AC AC = = = = = ' ' ' PB C A AC AB AB AB CQ AC AC AB AB AB = = = () AC AB CQ AC CQ AC BK AB Từ () và () = CK AC Bài tập 6: Cho hìh bìh hàh ABCD. Từ B ta ẻ các đườg thẳg BE vuôg góc CD và BK vuôg góc AD (E CD, K AD). Biết KE = a và BD = b (b > a). Tíh hoảg cách từ B đế trực tâm Δ BEK. Hướg dẫ giải + Xác địh phép tịh tiế TKD : K D H E B B (H là trực tâm Δ BKE) + Chỉ ra B E = BH = b a Lời giải: Gọi H là trực tâm Δ BEK Do EH vuôg góc BK, EK vuôg góc BH DE = KH; EH = KD TKD : K D H E B B BH B E A Vì BH vuôg góc EK ê B E vuôg góc KE Δ B EK vuôg tại E B E = B K KE Mặt hác B K = BD (do tứ giác BB DK là hìh chữ hật) Do đó B K = b vậy B E BH = b a B B C K H D E * Các bài tập rè luyệ ỹ ăg: Bài : Cho Δ ABC và điểm O ằm trog tam giác. Tìm tập hợp điểm M và N thuộc các cạh tam giác sao cho O là trug điểm của đoạ MN 8

84 Gợi ý học sih: + Thực hiệ phép đối ứg tâm O. Đ o : M N A A M là điểm chug AB và A B (A B là ảh của AB qua Đ o ) N là điểm chug AC và A C (A C là ảh của AB qua Đ o ) + Từ đó suy ra các điểm M, N phải thuộc đoạ AB, AC có thể cả các đỉh tam giác. Bài : Cho hìh bìh hàh ABCD. Với mỗi điểm M trê cạh AB ta lấy điểm M đối ứg với M qua đỉh D, M đối ứg với M qua trug điểm cạh CD và M đối ứg với M qua B. Tìm tập hợp các điểm M hi M thay đổi trê cạh AB. Gợi ý học sih: Đ D : M M Đ H : M M (H là trug điểm CD) Đ B : M M Đ K : M M (K ác địh HK = HD + HB) Từ đó suy ra tập hợp M là đoạ AB. Bài : Cho đườg trò (O) và hai đườg trò bằg hau (O ); (O ) cùg tiếp úc với (O) lầ lượt tại các điểm A, A. Trê đườg trò (O) ta lấy điểm M. Các đoạ MA, MA cắt lầ lượt thứ hai các đườg trò (O ), (O ) tươg ứg tại điểm B, B. Chứg mih B B // A A. Gợi ý học sih: + Gọi đườg thẳg là trug trực của O O O + Đ : O O + Ta chứg mih dễ dàg: A B O B A B A B = = A M OM OM = A M Bài 4: Gọi I là tâm đườg trò ội tiếp hìh tam giác ABC hôg câ. Đườg trò goại tiếp Δ BIC cắt phầ éo dài của các cạh AB, AC tươg ứg tại B và C. Chứg mih BB = CC. Gợi ý học sih: + Ta chứg mih AI đi qua tâm đườg trò goại tiếp Δ BIC vì vậy tâm của đườg trò đó M cách đều hai dây cug BB và CC. I. Địh ghĩa: Q α O : M M Sao cho (OM, OM ) = α OM = OM O: tâm quay α: Góc quay /α/ [O o, 8 o ] II. Tíh chất. Q α o có một điểm bất độg duy hất. Q α o : A A B) Phép quay - α M M α M 84

85 B B Thì AB = A B ; (AB, AB ) = α ( α 8 ). Phép quay biế điểm thẳg hàg thàh điểm thẳg hàg. Hệ quả: + Phép quay biế đườg thẳg thàh đườg thẳg + Biế tia S thàh tia S và góc tạo bởi hai tia đó bằg α. + Biế đoạ thẳg PQ thàh đoạ P Q : PQ = P Q + Biế góc thàh góc bằg ó O + Biế đườg trò (I,R) thàh (I,R) III. Mở rộg phép quay tâm O góc quay α: 8 < α 6 : β. Địh ghĩa: Cho trước điểm O và góc α với 8 < α 6. Phép biế đổi α 8 Q = Q. Q là phép quay tâm O với góc quay α í hiệu là Q α.. Tíh chất: 8 a. Tíh chất : Q α với α (8, 6 ) Q α α 6 : M M thì Q : M -> M và (OM, OM ) = α - 6 b. Tíh chất : β/ O α/ α O y O Cho phép quay Q α O, Q β O với tâm quay phâ biệt (O O ) và thoả mã điều iệ < α 6 ; < β 6 α + β, 8 Khí đó Q = Q β O. Q α O là phép quay với góc quay ϕ = α + β và tâm quay O được ác α địh: Q : -> Q β / : O O y IV. Bài tập áp dụg và cắt y tại O Bài tập : Cho Δ ABC trê các cạh AB, AC và về phía goài ta dựg các Δ đều ABC, ACB, ACB. Gọi G là trọg tâm Δ ABC ; M là trug điểm BC, Chứg mih rằg Δ MGB vuôg và MB = MG Hướg dẫ học sih - Học sih có thể chứg mih dựa vào tam giác đồg dạg - Sử dụg tíh chất trích hai phép quay Lời giải: 85

86 Q G 6 Q b Q Q 6 b 8 M : B A : A C. Q G : B C : B C Q 6 B. Q Theo tíh chất trê Góc (GB, GM) = - 6 Góc (GM, GB ) = 6 ; Góc (B G, B M) = Góc GMB = 9 MB = MG G Bài tập : Cho Δ ABC câ (AB = AC). Trê cạh AB lấy điểm M sao cho MA = BC. Tíh góc BMC. Hướg dẫ học sih: A C M 8 7 B + Xét phép quay tâm A góc quay là bao hiêu + Xét các tam giác bằg hau. Xét Q 6 A : C C ; B, C ằm về phía AC Xét Δ MAC và Δ ABC có MA = BC AC = AC Góc MAC = 6 + = 8 = Góc ACB Δ MAC = Δ ABC (c.g.c) C M = C A = CC (vì Δ ACC đều) Δ MCC câ tại C Mà C M = C A Δ AMC câ tại C Góc AMC = góc MAC = 8 Góc AC M = Góc AC C = 4 86 C

87 Do Δ MC C câ tại C Góc CM C = góc MCC = Góc BMC = = 8 4 = 7 Bài : Cho lục giác lồi ABCDEF ội tiếp trog đườg trò (O) có AB, CD, EF bằg bá íh đườg trò. Gọi M, N, P lầ lựơt là trug điểm của BC, DF, AF. Chứg mih rằg Δ MNP đều. Hướg dẫ học sih 6 + Xét Q + Có phép quay Q 6 P : N M hi đó có Δ MNP đều: Giải: - Gọi P là trug điểm của AF - K là trug điểm BE I là trug điểm EF Q 6 : B A F E => BF BE ( BF, AE) = 6 AE cắt BF theo góc họ 6 Do tứ giác ABEF là hìh thag câ AE = BF PI = IK theo tíh chất đườg trug bìh PI cắt IK theo một góc họ 6 Δ PIK đều Q 6 : F E D C (, EC) = 6 FD mà IN FD KM EC => góc ( IN, KN ) = 6 () Mà IN = KM = FD = FD = EC 6 -> : I K Q P Q P N N' => ( IN, KN ) = 6 từ () -> ( IN, KN ) = 6 KN = KM M N' 6 => : N M ΔPMN đều 87

88 Bài tập rè ỹ ăg Bài : Cho hìh vuôg ội tiếp trog hìh bìh hàh MNPQ, A MN, B NP, C PQ, D QM. Gọi M là châ đườg vuôg góc hạ từ M uốg AD, N là châ đườg góc vuôg hạ từ N uốg AB, P là châ đườg vuôg góc hạ từ P uốg BC, Q là châ đườg vuôg góc hạ từ Q uốg CD. CMR tứ giác M N P Q là hìh vuôg. Gợi ý học sih 9 + Xét phép quayq O : A B M M D A Từ đó AQ qua trực tâm H của Δ ABN 9 Q O Q Q : M H [MM ] [HN ] AD AB M N Bài : Hai Δ vuôg ABC = Δ vuôg A B C (Góc C = góc C = 9 ) được đặt trog mặt phẳg và các đỉh của tam giác được đáh số theo cùg chiều đườg thẳg. Gọi D là giao điểm của các đườg thẳg BC và B C ; E là giao điểm các đườg thẳg AC, A C. CMR 4 điểm C, D, M, E cùg thuộc một đườg trò. Gợi ý học sih Ta thực hiệ phép quay tâm M biế C C A A B B + Chỉ ra góc CMC = góc CA C = góc CDC I. Địh ghĩa: V O : M M C- PHÉP TỰ VỊ OM ' = OM ZZ O: tâm tự vị : tỷ số tự vị > : V O phép tự vị dươg < : V O phép tự vị âm Đặc biệt = ảh thuộc điểm M đều là II. Tíh chất. Phép V O ( ) có điểm bất độg duy hất là. V O : M M O, M, M thẳg hàg. V O A A B B A ' B' = AB (A B) 4. Phép vị tự biế điểm thẳg hàg thàh điểm thẳg hàg 88

89 Hệ quả: Phép V O biế * Biế đườg thẳg (d) thàh đườg thẳg (d ) và d //d hoặc d d * Tia S thàh tia S và hai tia đó họăc trùg hau * Đoạ PQ thàh P Q : P Q = // PQ * Δ ABC thàh Δ A B C và hai tam giác ày đồg dạg tỷ số đồg dạg bằg //. * Góc Sy thàh góc S y : góc sy = góc s y * Biế đườg trò (I,R) thàh đườg trò (I,R ) và R = //R Bài tập áp dụg Bài : Cho Δ ABC bê trog Δ dựg 4 đườg trò (O ); (O ); (O ); (O 4 ) bằg hau sao cho đườg trò đầu tiê cùg tiếp úc với cạh Δ. CMR tâm đườg trò ội goại tiếp Δ ABC và tâm đườg trò (O 4 ) thẳg hàg. Gợi ý học sih * Xét phép vị tự tâm I tỷ số * Dựa vào tíh chất V O : M M chứg tỏ O, M, M thẳg hàg Lời giải: Ta có IA, IB, IC chứa O, O, O O O //AB O O //BC O O //AC IO IO IO Đặt = = IA IB IC = V I : O A O B O C Do O 4 là tâm đườg trò goại tiếp Δ O O O (vì cách đều điểm). Tức là: V I : O 4 O I, O 4, O thẳg hàg 89

90 Bài : (Đề thi HSGQG ). Cho đườg trò cố địh (O, R ); (O, R ); (R > R ) tiếp úc hau tại M. Xét điểm A ằm trê (O, R ) sao cho điểm A, O, O hôg thẳg hàg.từ A ẻ các tiếp tuyế AB, AC với đườg trò (O, R ), (B, C là tiếp điểm). Các đườg thẳg MB; MC cắt lầ thứ hai đườg trò (O, R ) tươg ứg tại E, F. Gọi D là giao điểm EF và tiếp tuyế tại A của (O, R ). CMR điểm D di độg trê đườg thẳg cố địh hi A di độg trê (O, R ) sao cho A, O, O hôg thẳg hàg. Hướg dẫ học sih: * Gọi D là giao tiếp tuyế tại M và A Chứg mih D thuộc trục đẳg phươg BC của đườg trò (O ) và (O ). R R * Xét phép vị tự V M : (O, R ) (O, R ) B E C F BC EF Lời giải: * Ta thấy tứ giác ABO C ội tiếp đườg trò (O ) * Gọi A là giao điểm thứ hai của AM với (O, R ) * D là giao tiếp tuyế tại M và A - Chứg mih D thuộc trục đẳg phươg của BC của (O ) và (O ) Chứg mih: P D /(, R) = P D /() Vậy D di độg trê tiếp tuyế của đườg trò (O, R ) tại M D đườg thẳg cố địh R R Xét V M : (O, R ) (O, R ) B E C F BC EF Tiếp tuyế tại A tiếp tuyế tại A D ằm trê đườg thẳg MD là tiếp tuyế với đườg trò (O, R ). Bài : (Đề thi HSGQG ăm ) 9

91 Cho đườg trò (O) và (O ) có bá ih hác hau cắt hau tại A và B. Một đườg thẳg tiếp úc với (O) tại P, tiếp úc (O ) tại P. Gọi Q, Q lầ lượt là châ đườg thẳg AQ, AQ cắt lầ thứ hai đườg trò tại M và M. CMR M, M, B thẳg hàg. Hướg dẫ học sih: R R * Xét phép vị tự V S (S là tâm vị tự goài của đườg trò) * Chứg mih tứ giác AQOA ội tiếp * Chứg mih: Tổg góc bằg 8 B, M, M thẳg hàg Lời giải: đườg trò cắt hau, R R, Gọi S là tâm vị tự goài của đườg trò V R R S : O O P P Góc A A A = Góc OA Q Q Q Ta lại có: SP = SQ. SO ; SP = SA.SA' SQ. SO = SA. SA' Tứ giác AQOA ội tiếp đườg trò Góc A = góc OA Q (chắ góc QO). Vậy góc A = góc A Do Δ MOA câ và Δ M O A câ Góc MOA = góc AOM Có Góc B = / (6 góc MO A) Góc B = / góc M O A Góc B + góc B M, B, M thẳg hàg HU Bài tập 4: Cho đườg trò (O) và (O ) tiếp úc với hau tại A, (O ) ằm trog (O) BC là dây cug của (O) tiếp úc (O ). Tìm tập hợp tâm đườg trò ội tiếp ΔABC hi dây BC thay đổi. Hướg dẫ học sih R R - Xét phép vị tự V A : O O (M là tiếp điểm của BC và (O )) M M 9

92 trê. B B - Từ đó ác địh phép vị tự M I Do M chạy trê đườg trò (O ) I chạy trê đườg trò là ảh của (O ) qua phép vị tự Lời giải: R R' V A : O O M M R AO = R' AO' ; M; đườg trò (O) Ta thấy AM là tia phâ giác của góc BACư Vì Góc A = góc C; Góc A = góc B O M // NM OM vuôg góc BC OM vuôg góc BC OM là đườg íh chia đôi dây BC Δ M BC câ Góc C = góc B Góc A = góc A I là tâm đườg trò ội tiếp Δ ABC thuộc MA Theo tíh chất phâ giác MI BM AB = = IA AB IA PB/ (O ) = BM = BB. BA R' V A R : B' B AB BM = AI IM = BM MI AB BB'. BA AB BM = AI IM 9

93 R R' AB = AB AB' =. AB R' R R AB = AB'( = > ) R' AB' AB AB' = = AB AB AB BB' = ( ) AB = BA. BB' Ta có: AI IM = q + V A q : q = q AI = AM + q M I AB ( ) AB Vậy I thuộc đườg trò là ảh (O ) qua V q q A + = Bài tập rè ỹ ăg Bài : Cho Δ ABC, I là tâm đườg trò ội tiếp tiếp úc BC tại M. Gọi N là điểm đối ứg với M qua I, K là giao điểm AN và BC. Ta í hiệu H là điểm đối ứg với riếp điểm (I) trê AC qua trug điểm cạh AC. L là điểm đối ứg với tiếp điểm của (I) trê AB qua trug điểm cạh AB, G là trọg tâm Δ ABC. P là giao HB và CL. Chứg mih rằg P, G, I thẳg hàg. * Hướg dẫ học sih: * Gọi A là trug điểm BC Phải chứg mih A là trug điểm MK r Phép r V A : N K I I Chứg mih K K * Chứg mih phép tự vị: V - G : I P Vậy chứg tỏ G, I, P thẳg hàg Bài tập : Cho đườg trò (C ), (C ) cùg tiếp úc trog với đườg trò (C) tại M với tâm (C ) ằm trê (C ) Dây chug của (C ); (C ) cắt (C) tại A, B. MA, MB cắt (C ) tại C và D. CMR: (C ) tiếp úc CD Hướg dẫ học sih: * Chứg mih bài toá phụ: Cho đườg trò (O ) tiếp úc trog (O) tại A, tiếp tuyế của (O ) tại M cắt (O) ở B và C. AM cắt (O) ở D. Khi đó AD là phâ giác góc BAC và AM.DP = DB. * Chứg mih B thuộc trục đẳg phươg (C ) và (C ) B thuộc trục đẳg phươg (C ) và (C ) Từ đó B B ; D D Chứg mih: O E = O I = R Bài tập : Cho đườg trò (J) tiếp úc trog với đườg trò goại tiếp ΔABC câ ở A đồg thời tiếp úc với cạh AB, AC tại M và N. Chứg mih rằg trug điểm của đoạ MN là tâm đườg trò ội tiếp Δ ABC. Hướg dẫ học sih 9

94 * Xét phép vị tự V A : H K A A Với = AK/AH B D C E Chứg mih J là tâm đườg trò ội tiếp ΔADE D.PHÉP NGHỊCH ĐẢO I. Địh ghĩa: O cho trước O. Mỗi M O đựg điểm M đườg thẳg OM sao cho OM.OM ' =. Đây là phép ghịch đảo tâm O, hệ số biế M M Kí hiệu: I (, ): M M II. Tíh chất Cho phép ghịch đảo I (, ). Tíh chất : Phép I (, ) là phép biế đổi -. Tíh chất : là phép đồg hất Tích I (, ). I (, ). Tíh chất : I (, ): A A B B Thì A B = λab với λ = OAOB. 4. Tíh chất 4: ảh đườg thẳg d đi qua tâm ghịch đảo là chíh (d). 5. Tíh chất 5: ảh đườg thẳg d đi qua tâm ghịch đảo của đườg trò đi qua tâm ghịch đảo. 6. Tíh chất 6: ảh của đườg trò (C) đi qua tâm ghịch đảo O là đườg thẳg (d) hôg đi qua O và đườg thẳg đó sog sog với tiếp tuyế tại O. 7. Tíh chất 7: ảh của đườg trò (C) hôg đi qua tâm ghịch đảo O là đườg trò (C ). Đườg trò (C ) cũg là ảh của đườg trò phép vị tự tâm O. Tỷ số α = /p (với p là P o / (C) ). Bài tập áp dụg: Bài tập : Cho đườg trò (O,R); (O, R ) có hoảg cách giữa tâm bằg α (a > ). Gọi (O, R ) là ảh của (O,R) trog phép ghịch đảo I (O, R ), (O,R ) là ảh của (O, R ) trog phép ghịch đảo I(O, R ). Tíh R, R theo R và R,a. Hướg dẫ học sih: * Sử dụg tíh chất 7 Lời giải: I (O, R ): C (O,R) C (O, R ) I (O, R ): C (O, R ) C (O ; R ) V λ o : C (O, R) C (O, R ) R' λ = a R Vậy R = λ R R R =. R a R 94

95 R = a R. R' R' Bài tập : Cho Δ ABC hôg câ và đườg trò tâm O ội tiếp, tiếp úc với các cạh BC, CA, AB tươg ứg tại các điểm A, B, C. Gọi P là giao điểm thứ hai của đườg trò mà các đườg íh là OA và OA ; Q là giao điểm thứ hai của đườg trò mà các đườg íh OB và OB, K là giao điểm thứ hai của đườg trò mà các đườg íh OC và OC. CMR: P, Q, K, O cùg ằm trê đườg trò. Hướg dẫ học sih: * Xét phép I (O, R ) * Phép ghịch đảo trê biế đườg trò qua tâm ghịch đảo thàh đườg thẳg. Lời giải: Xét I (O, R ): A A vì OA. OA = R BC đườg trò đườg íh C [OA ] và gược lại I(O,R ): C C B B đườg thẳg B C C [OA ] và gược lại I (O, R ) O P P P là giao BC và B C Q là giao AC và A C K là giao AB và A B Q Q K K Chứg mih P, Q, K thẳg hàg theo địh lý Mêê auyt O, Q, P, K cùg thuộc đườg trò Bài tập : Cho đườg trò (, r) ội tiếp trog tứ giác ABCD tiếp úc với AB, BC, CD, AD tại M, N, P, Q. Biết tứ giác ABCD ội tiếp trog đườg trò bá íh R và hoảg cách giữa tâm đườg trò bằg a. Tíh MP + NQ theo r, R. Hướg dẫ học sih: * Xét phép ghịch đảo I(,r ) 95

96 * Tứ giác A B C D là hìh chữ hật. Gọi là bá íh đườg trò goại tiếp tứ giác r. R A B C D tíh = R a * Chứg mih I là tâm đườg trò goại tiếp tứ giác ABCD * Thiết lập phươg trìh ẩ a (bậc ) Lời giải: I (, R ): A A B B C C D D A, B, C, D là trug điểm MQ, MN, NP và PQ. Tứ giác A B C D là hìh bìh hàh Do A B // NQ; B C // MP C P // NQ; A D // MP Nếu A, B, C, D cùg thuộc đườg trò thì A B C D cũg ằm trê đườg trò tứ giác A B C D là hìh chữ hật. Gọi là tâm đườg trò goai tiếp A B C D NQ + MP = 4b + 4a = 4 (b + a ) = 6 Gọi đườg trò goại tiếp tứ giác ABCD là (O, R ) Gọi đườg trò goại tiếp tứ giác A B C D là (O, R ) V λ o : O O ϕ (O ) C (O ) R R R = λr λ = P r ; P o /( ) = R - a ( O trog (O )) r r R λ = = R a R a Gọi A, C là giao OA, OC và đườg trò goại tiếp tứ giác OA. OA = OC. OC = R - a r r A C OA = si A ; OC = si C ; si + si = Do góc A + góc C = 8 96