Liceul Teoretic Mihail Sadoveanu REVISTA CALEIDOSCOP MATEMATIC
|
|
- Ἀσκληπιός Λόντος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Liceul Teoretic Mihail Sadoveanu REVISTA CALEIDOSCOP MATEMATIC Nr. 1 Ianuarie 2018
2 CUPRINS 1. Istoria apariției numerelor Matematicieni celebri Calculăm altfel Metoda fulgerului de înmulțire Probleme distractive Precipitații matematice...10 Mecanic ticăie ceasul...11 Let s dance Matematica în imagini Scamatorii matematice Paradoxurile lui Zenon Legenda paharului lui Pitagora Salut, 2018!
3 1. Istoria apariției numerelor Numerele au o istorie fascinantă și ne-a luat mult timp să descoperim sistemul simplu pe care îl folosim acum. Când primii oameni au început să numere, mai mult ca sigur că s-au folosit de degetele de la mâini. Având în vedere că avem zece degete la mâini, era normal să numărăm în zeci, astfel luând naștere prezentul sistem zecimal. Legătura dintre degete și numere este foarte veche. Chiar și astăzi folosim cuvântul latin pentru deget-digit pentru a exprima numere. Nu exista nici o explicație matematică de ce folosim un sistem zecimal, este doar un accident al naturii. Probabil dacă am fi avut doar 8 degete la mâini, acum am fi numărat in baza 8. Tribul Pirandă din pădurea tropicala Amazon numără doar până la doi, numerele mai mari decât acesta sunt reprezentate prin cuvântul multe. În Tanzania, tribul Hadza numără până la trei, și ambele triburi se descurcă bine fără numere, aparent neavând nevoie de acestea. 2
4 Știați ca puteți numără pe parți ale corpului vostru? Babilonienii, ce au trăit în Irak acum 6000 de ani, numărau în baza 60. Ei au dat anului 360 de zile (6 x 60), și tot ei au inventat minutele și secundele. Iată cum numărau ei: se foloseau de mâna stânga pentru a numără până la 12, împărțind fiecare deget exceptând degetul mare în 3 segmente. Apoi se foloseau de mâna dreaptă pentru a numără până la 60, atribuind fiecărui deget câte 12. Triburile din Papua, Noua Guinee au cel puțin 900 de diferite sisteme de numărat. Multe triburi se folosesc de degetele de la picioare pentru a număra mai sus de zece, folosind astfel un sistem în baza 20. Exprimarea lor pentru cuvântul zece este doua mâini. Pentru 15 este doua mâini și un picior, iar pentru 20 este un om. Tribul Fairwol număra 27 de parți ale corpului și se folosesc de cuvintele descriptive acestor parți pentru a se referi la numere. De exemplu, pentru numărul 14 cuvântul este nas. Pentru numere mai mari de 27, ei adaugă la numărat un om. Așa că 40 va fi un om și ochiul drept. 3
5 O lume de numere De-a lungul istoriei, oamenii au inventat sute de alfabete ale numerelor și câteva din cele mai importante sunt arătate aici. Ele sunt foarte diferite, dar au totuși în comun câteva elemente interesante. Majoritatea au început ca o înregistrare de semne simple, de exemplu linii sau puncte, și majoritatea își schimbă stilul după 10- numărul degetelor de la mâini. Numere arabe Numere Maya Numere Numere Numere Numere Babiloniene Egiptene Grecești Romane CE9B32 4
6 Matematicieni celebri Nimic nu are loc în această lume dacă sensul său nu este maxim sau minim. (Leonhard Euler) Euler Leonhard Acest matematician și fizician din Elveția era considerat că ar fi fost forța dominantă a matematicii secolului XVIII și unul dintre cei mai remarcabili savanți multilaterali ai omenirii. A avut o influență enormă asupra matematici, lucrând în aproape toate ramurile ei, inclusiv: geometrie, calcul, trigonometrie, algebră și teoria numerelor. În numeroasele sale manuale, Euler a introdus și a popularizat câteva convenții de notare. El a introdus noțiunea de funcție și a fost primul care a notat f(x) pentru aplicarea funcției f elementului x. De asemenea, el a introdus notația modernă pentru funcțiile trigonometrice, litera e pentru baza logaritmului natural (cunoscut în prezent drept numărul lui Euler), litera grecească (sigma) pentru sumă și litera i pentru unitatea imaginară. Folosirea literei grecești π (pi) pentru raportul dintre circumferința unui cerc și diametrul său a fost de asemenea popularizată de Euler, chiar dacă ideea nu a pornit de la el. Utilizarea seriilor de puteri i-a permis sa rezolve faimoasa,,problema Basel în 1735: Euler este cel care a definit funcția exponențială pentru numerele complexe și a făcut legătură dintre acestea și funcțiile trigonometrice prin celebra formulă: Un caz particular al acestei formule duce la identitatea lui Euler : În 1988 cititorii revistei de specialitate Mathematical Intelligencer au votat această identitate ca fiind cea mai frumoasă formulă matematică din toate timpurile, astfel din nou dovedind măreția lui Euler. 5
7 FARMECUL UNEI ECUAȚII Identitatea lui Euler este considerata ca una dintre cele mai frumoase ecuații. Cinci constante fundamentale ale matematicii Constanta lui Euler Unitatea imaginară a numerelor complexe Raportul dintre circumferința și diametrul oricărui cerc Elementul neutru al înmulțirii Elementul neutru al adunării Trei operații aritmetice de bază Înmulțirea Adunarea Ridicarea la putere 6
8 Calculăm altfel Calculatorii experimentaţi recurg adesea la transformări algebrice. De exemplu, calculul 988² se efectuează astfel: 988 * 988 = (988+12) * (988 12)+12² = 1000 * = Este uşor de observat că, în cazul de faţă, se foloseşte următoarea transformare algebrică: a² = a² b² + b² = (a + b) (a b) + b². În practică se poate folosi cu succes această formulă în calcule mintale. De exemplu: 27² = (27 + 3) (27 3) + 3² = ² = 66 * ² = ² = 20 * ² = ²= 40 * ² = ² = 50 * ² = ² = 58 * ² = Înmulțirea 986 * 997 se face astfel : 986 * 997 = (986 3) * *14 = Pe ce se bazează acest procedeu? Să reprezentăm termenii sub forma: ( ) *( ) și să înmulțim aceste binoame după regulile algebrei * * * *3 Efectuăm transformările: * ( ) * *3 = * * *3= = *(986 3) +14 *3. Ultimul rând reprezintă procedeul folosit de calculator. 7
9 Este interesantă metoda de înmulțire a două numere formate din 3 cifre, la care cifra zecilor este aceeași, iar suma unităților egală cu 10. De exemplu, înmulțirea 783 * 787 Se efectuează astfel: 78 * 79 = 6 162; 3 * 7 = 21; Iar rezultatul va fi : Justificarea metodei folosite rezultă din următoarele transformări: ( ) ( )=780 * * * 7=780 * * * 7=780( ) + 3 * 7 = 780 * = O altă metodă pentru efectuarea unor înmulțiri de acest fel este și mai simplă: 783 * 787 = (785 2) ( ) = = = În acest din urmă exemplu am vrut de ridicat la pătrat numărul 785. Pentru ridicarea la pătrat a numerelor care se termină cu cifra 5, este foarte utilă următoarea metodă: 35² ; 3 * 4 = 12 Răspuns ² ; 6 * 7 = 42 Răspuns ² ; 7 * 8 = 56 Răspuns Regula constă în înmulțirea cifrei zecilor cu cifra imediat superioară ei, și la produsul obținut se atașează numărul 25. Procedeul se bazează pe următoarele considerente: dacă cifra zecilor este 4, întregul număr poate fi reprezentat astfel: 10a + 5 Pătratul acestui număr, ca pătrat al unui binom, va fi egal cu: 100a² + 100a + 25 = 100a (a + 1) Termenul a*(a +1) reprezintă produsul dintre cifra zecilor și cifra imediat superioară. A înmulți numărul obținut cu 100 și a aduna la el 25 sau a adăuga la numărul obținut 25 este același lucru. Tot din acest procedeu rezultă o altă metodă simplă de a ridica la pătrat numerele formate dintr-un număr întreg și ½. De exemplu : 8
10 Metoda fulgerului de înmulțire! Presupunem că trebuie sa înmulțim 24 x 32. Așezăm în minte numerele unul sub altul după schema următoare: Efectuăm succesiv următoarele operații : 1) 4 x 2 = 8, este ultima cifră a rezultatului. 2) 2 x 2 = 4, 4 x 3 = 12; = 16; 6 este penultima cifră a rezultatului; 1 ținem minte. 3) 2 x 3 = 6, la care adăugăm unitatea ținută minte; se obține 7, adică prima cifră a rezultatului. Prin urmare, avem produsul 768. Dupa câteva exerciții această metodă este foarte ușor însușită. În continuare vom prezenta altă metodă, care constă în folosirea așa-numitelor completări, comodă în cazul când numerele înmulțite se apropie de 100. Presupunem că este necesar să înmulțim 92 x 96. Completarea pentru 92 până la 100 va fi 8, pentru 96 va fi 4. Operația se efectuează după schema următoare: Factorii : 92 și 96 Completările : 8 și 4 Primele două cifre ale rezultatului se obțin prin scăderea simplă din deînmulțit a completării deînmulțitului, sau invers din înmulțitor a completării deînmulțitului; adică din 92 se scade 4 sau din 96 se scade 8. În ambele cazuri avem 88; lângă număr se scrie produsul completărilor :8 x 4 = 32 Obținem rezultatul Iată alt exemplu : Trebuie înmulțim 78 x 77. Factorii înmulțirii : 78 și 77, completările : 22 și = x 23 = = Un al treilea exemplu : Să se inmulțească 99 x 98. Factorii înmulțirii : 99 și 98, completările : 1 și = 97 1 x 2 = 2 În cazul de față trebuie sa ținem minte că 97 reprezintă numărul de sute. De aceea adunăm =
11 Precipitații matematice Problemă: Vom caracteriza vremea numai după un singur criteriu, și anume dacă cerul este sau nu acoperit, adică vom face deosebirea numai între zilele senine și cele înnorate. Ce părere aveți, în aceste condiții, sunt oare posibile multe săptămâni în care alternarea zilelor senine cu cele înnorate să nu fie niciodată aceeași? S-ar părea că nu sunt prea multe, că vor trece vreo două luni și că toate combinațiile de zile senine și înnorate vor fi epuizate, atunci, în mod inevitabil se va repeta una din combinațiile care a avut loc înainte. Să încercăm, totuși, să calculăm precis câte combinații diferite sunt posibile în condițiile date. Prin urmare, în câte feluri pot alterna, în cursul unei săptămâni, zilele senine cu cele înnorate? Rezolvare: Prima zi din săptămână poate fi senină sau înnorată : deci avem deocamdată două «combinații». În decurs de două zile sunt posibile următoarele alternări de zile senine cu cele înnorate: 1.senină și senină, 2.senină și înnorată, 3.înnoratăși senină, 4.înnorată și înnorată. Deci 2² alternări diferite. În decurs de trei zile la fiecare din cele patru combinatii de mai sus le vor corespunde câte două posibilități pentru ziua a treia, în total vom avea un număr de alternări egal cu : 2² *2 = 2³ În decurs de patru zile, numărul alternărilor va fi : 2³ * 2 = 2⁴. În cinci zile sunt posibile 2⁵, în șase zile, 2⁶ și în sfârșit, în decurs de o săptămână, 2⁷ = 128 alternări diferite. De aici reiese că există 128 de săptămâni cu ordine diferită de alternare a zilelor senine cu cele înnorate. Peste 128 * 7 = 896 zile trebuie neapărat să se repete una din combinațiile care au avut loc înainte. Repetarea poate să se întâmple și mai curând, dar 896 de zile reprezintă termenul la expirarea căruia această repetare este inevitabilă. Și invers : pot să treacă doi ani întregi, chiar mai mult (2 ani și 166 zile), în decursul cărora nici o săptămână nu va semăna cu alta din acest punct de vedere. 10
12 Mecanic ticăie ceasul Temporar nu am ceas de buzunar, iar cel de perete s-a oprit. Mă pornesc la prietenul meu, ceasul căruia merge întotdeauna exact. După ce am petrecut ceva timp la el, mă întorc acasă și fixez pe ceas ora exactă. În ce mod am putut face aceasta, dacă preventiv nu am știut cât timp ocupă drumul până la el? Problema constă în fixarea orei exacte când mă întorc acasă. Plecând de acasă, eu pornesc ceasul, stabilind o oarecare oră, să o notăm cu a (imaginea 1). Ajungând la amicul meu, deodată îmi însemn ora pe care o arată ceasul lui, să o notăm cu b (imaginea 2). După ceva timp petrecut la el, mă pornesc acasă, însă înainte de a mă porni îmi notez iarăși ora, să o notăm cu c (imaginea 3). Ajungând acasă, verific, ce oră arată ceasul meu, fixat la întâmplare, notăm cu d (imaginea 4). Când mergeam spre casă, mi-am schițat planul de acțiuni, deci după un minut după întoarcerea mea, ceasul arăta timpul exact, îl notăm cu e (imaginea 5). Iată și calculele : Diferența d-a arată cât timp am lipsit : d-a= 3 : 50 3 : 00 = 50 (min). Diferența c-b indică cât timp am petrecut la amicul meu : c-b= 5 : 46-5 : 12 = 34 (min). Diferența (d-a)-(c-b) este echivalentă cu timpul pe care îl irosesc pentru drumul dus-întors: (d-a)-(c-b)= 50 min - 34 min = 16 min. În ambele direcții am încercat să merg cu pas egal, deci, pot presupune, că pentru drumul spre casă (într-o direcție) am folosit jumate din timpul dat : ((d-a)-(c-b))/2=8 min. Ajungând acasă la ora c, în sumă voi obține ora corectă : 5 : min = 5 : 54. Adaug o minută, ce am folosit-o pentru calcule și obțin ora exactă. Imag.1 Imag.2 Imag.3 Imag.4 Imag.5 11
13 Let s dance! Problemă: La o serată au fost invitate 20 persoane. Maria a dansat cu 7 tineri, Olga cu 8, Veronica cu 9 și așa mai departe până la Nina, care a dansat cu toți tinerii. Câți tineri (bărbați) au fost la serată? Rezolvare: Dacă alegem bine necunoscuta, problema se rezolvă foarte simplu. Vom căuta să aflăm, în primul rând, numărul fetelor pe care îl notăm cu x : Prima, Maria, a dansat cu 6+1 tineri, A doua, Olga, a dansat cu 6+2 tineri, A treia, Veronica, a dansat cu 6+3 tineri... A x a, Nina, a dansat cu 6+x tineri. Avem ecuația : x+(6+x)=20, de unde x=7, deci, numărul bărbaților a fost: 20-7=13. 12
14 Matematica în imagini Spirala lui Theodorus 13
15 Matematica face invizibilul vizibil. (Keith Devlin) 14
16 Scamatorii matematice Problema Spuneți cuiva să aleagă două cifre mai mici decât 5. Să înmulțească prima cu 5. La rezultat să adauge a doua cifră și să înmulțească totul cu 4. Comunicându-vă rezultatul, puteți numi cifrele alese inițial? Soluția : Fie a și b cele două numere inițiale. Persoana în cauză ne va comunica numarul : (5a+b)*4= 20a +4b =2(10a+2b)=2*a(2b). Împărțim numărul final în două. Prima cifră și jumătate a celei de-a doua sunt cifrele căutate. Problema Să se aleagă un număr format din trei cifre, dintre care ultima să fie zero. Să se scadă apoi din acest numar, numărul format din primele două cifre ( de exemplu =423). Cunoscând acest rest puteți afla numărul ales? Soluția: Fie ab0 numărul ales. Ni se va comunica numărul ab0-ab =9*ab. Împărțim rezultatul la nouă și adăugăm un zero. Problema Cereți cuiva să aleagă un număr oarecare. Să adauge 1; rezultatul să-l înmulțească cu 2; să adauge 3; rezultatul să-l înmulțească iar cu 2; în final sa scadă 10. Aflați numărul ales. Soluția: Persoana în cauză alege numărul a. Ni se va comunica [(a+1)*2+3]*2-10=4a. Împărțim numărul spus la 4. Problema Rugați pe cineva să scrie pe o bucată de hârtie numărul casei unde locuiește. Apoi să dubleze acest număr. Să mai adauge 5. Să înmulțească rezultatul cu 50. Să adauge vârsta pe care o are. Să mai adauge încă 365. În sfirșit, să scadă 615. Atât! Să vă comunice numărul. Soluția: Fie a numărul casei unde locuiește și b vârsta persoanei. Ni se va comunica numărul ( a 2+5)*50+b =100a+b. Ultimile două cifre indică vârsta pe care o are, iar prima cifră numărul casei unde locuiește (sau primele cifre). 15 7
17 Problema Dacă doriți să aflați ziua în care s-a născut cineva, rugați persoana în cauză să înmulțească cu 3 ziua de naștere, apoi să adauge 5, să multiplice această sumă cu 4, iar la rezultat să mai adauge încă o dată ziua de naștere, precum și numărul lunii în care s-a născut. Din total să scadă 20 și să spună rezultatul. Cum aflăm ziua și luna nașterii? Soluția: Fie a ziua și b luna în care s-a născut respectiva persoană. Ni se va comunica : (3a+5) 4+a+b-20=13a+b. Împărțim la 13 numărul final : câtul reprezintă ziua de naștere iar restul, luna nașterii, deoarece b 12. Problema Câți ani ai tinere? Îl întreabă o femeie pe Georgică. Dacă vrei să știi cîți ani am, scade din triplul vârstei mele peste trei ani, triplul vârstei mele de acum trei ani. Femeia a plecat bombănind. Știți câți ani are tânărul? Soluția: Notăm cu a vârsta tânărului. Atunci 3(a+3)-3(a-3)=a, de unde a = 18(ani). Problema Cinci mafioți i-au luat unui trecător un portofel plin cu euro. Cel mai puternic dintre ei a luat 810 euro, iar ceilalți patru au luat sume diferite. Din cauza împărțelii diferite între ei s-a iscat o ceartă și Nașul, care sosise între timp, a poruncit ca acela care luase mai mult să dubleze fiecăruia din ceilalți numărul de euro și dupa aceea să facă la fel și cel care luase suma a doua în ordinea mărimii, apoi și cei care luaseră sumele a treia, a patra și a cincea. Drept urmare s-a constatat în cele din urmă că toți cei cinci mafioți au primit același număr de euro. Să se afle câți euro erau în portofel și câți a luat fiecare la început. (G.H. Popov - Svornik istoriceskih zadaci po elementarnoi matematike) Soluția: Soluția dată de G.H.Popov. După terminarea împărțelii, fiecare avea câte 1/5 din sumă; înainte de a cincea dublare patru aveau câte 1/10 iar al cincilea 6/10; înainte de a patra dublare, primii trei aveau câte 1/20 al patrulea 11/20 iar al cincilea 6/20 ; înainte de a treia dublare, primii doi aveau câte 1/40 al treilea avea 21/40, al patrulea 11/40 iar al cincilea 6/40 ; înainte de a doua dublare, primul avea 1/80, a cincilea 6/80 ; înainte de prima dublare, primul avea 81/160, al doilea 41/160, al treilea 21/160, al patrulea 11/160, al cincilea 6/160. Dar primul avea 810 euro, ceea ce înseamnă că întotal au fost 1600 euro. 16
18 Paradoxurile lui Zenon Zenon a formulat mai multe raţionamente, cunoscute ca "Paradoxurile lui Zenon", pentru a susţine ideile mentorului său Parmenide despre numere sau despre mişcare. Paradoxurile sunt argumente aparent corecte care duc la concluzii ce sunt în mod evident false. Primul paradox Argumentul încearcă să demonstreze că mişcarea dintr-un punct în altul este imposibilă. Un om pleacă de la borna ce indică 0 km la borna ce indică 1 km. Zenon spune: Ca să parcurgă această distanţă de un kilometru, omul parcurge mai întâi jumătate de kilometru (adică jumătate din distanţa totală), apoi jumătate din distanţa rămasă, apoi jumătate din distanţa care i-a mai rămas şi tot aşa, astfel că niciodată nu va ajunge la final, pentru că această diviziune ar putea exista la infinit. Încerca astfel Zenon să refuze ideea că există infinitul cu adevărat? Al doilea paradox Cel de-al doilea paradox al lui Zenon, "Ahile şi broasca ţestoasă", încearcă să demonstreze concluzia conform căreia cel care aleargă mai repede nu îl va întrece niciodată pe cel care aleargă mai încet. Aceasta va fi susţinută şi de Aristotel în "Physica" două secole mai târziu. Să ne imaginăm o întrecere între celebrul atlet Ahile și un rival mai lent, transformat de legendă într-o broască ţestoasă (la acea vreme broasca ţestoasă era simbolul înţelepciunii). Să presupunem că Ahile are o viteză de două ori mai mare decât cea a ţestoasei. Ţestoasa are un avans de 1 km faţă de Ahile (acesta plecând din origine). Oricine va trage concluzia că peste 2 km Ahile va ajunge ţestoasa. 17
19 Folosindu-se de paradoxul prezentat anterior, Zenon ne spune altceva: când Ahile ajunge la 1 km, ţestoasa a ajuns la 1 km şi jumătate, iar când Ahile ajunge la 1 km şi jumătate, broasca a ajuns la 1 km şi trei sferturi şi aşa mai departe, astfel că niciodată Ahile nu va reuşi să întreacă broasca ţestoasă. Al treilea paradox Al treilea paradox, cunoscut ca fiind "paradoxul săgeţii", ne spune că o săgeată aflată în mişcare între punctele A şi B nu se află la un moment dat nici în punctul A, pentru că a plecat de acolo, nici în punctul B, că n-a ajuns încă acolo. Dacă reduci distanţa AB la lungimea săgeţii, înseamnă că săgeata este, de fapt, în repaus. Cum concluzia este evident falsă, este vorba de un paradox din domeniul logicii. 18
20 Legenda paharului lui Pitagora Cum funcţionează cupa specială care se goleşte singură şi nu te lasă să bei fără măsură? Celebrul filosof și matematician grec Pitagora este autorul unei invenţii prin care a dorit să demonstreze că lăcomia nu ajută niciodată. Pitagora, care a trăit în perioada înainte de Hristos, a rămas cunoscut lumii nu numai pentru contribuţiile aduse matematicii, cu celebrele sale tabla înmulţirii şi teorema care-i poartă numele, ci şi prin combinarea matematicii cu misticismul. Pitagora a fost însă şi un propovăduitor al echităţii, iar una dintre invenţiile sale ne arată de ce oamenii trebuie să fie cumpăraţi. Este vorba despre "Paharul lui Pitagora", sau cum îi mai spun grecii, Cupa echităţii, inventată de marele filosof pentru a răspunde unei nevoi reale de moment. Se spune că această cupă a fost inventată de Pitagora în timpul lucrărilor de alimentare cu apă a insulei greceşti Samos, aproximativ în jurul anului 530 î.hr., cu scopul de a fi împărţit în mod egal vinul pentru muncitorii constructori ai acelor vremuri. Pe atunci se obişnuia ca muncitorii să fie stimulaţi cu licoarea lui Bachus pentru a-şi îndeplini sarcinile. Cum foarte mulţi dintre ei erau lacomi şi necivilizaţi, se întreceau cu măsura şi beau mai mult decât alţi muncitori cumpătaţi la pahar. Prin urmare, rezultatul nu putea să fie decât unul dezastruos, în sensul că însetaţii făceau pagubă şi aveau nevoie de mai mult timp pentru a se trezi din euforie, fiind deci o piatră de moară pentru ceilalţi, care munceau mai mult. Atunci Pitagora a inventat celebra sa cupă, prin care vinul era distribuit egal pentru toată lumea. El a marcat pe interior nivelul maxim până la care se poate umple cupa. Partea deosebită a invenţiei sale este că această cupă are în interiorul său o coloană cu un orificiu în partea inferioară, iar lichidul din pahar nu curge dacă este umplut până la nivelul marcat. Dacă se toarnă chiar şi cu o picătură în plus peste limita marcată, atunci surpriza este totală: tot lichidul se scurge din cupă. Metoda este folosită în fizică şi se numeşte principiul vaselor comunicante. 19
21 Salut, 2018! Urătură matematică Aho, aho copii și frați, Stați puțin și m-ascultați! Și însușiți ce o să vă zic, Ca nu o să regretați nici un pic. Aflați de termeni și de câturi, Nu uitați de împrumuturi. Scrie suma și adună, Un an nou cu o veste buna! Matematica să o învățam, Fericire in prag să avem! Radicali și ecuații și de alte numerații, Sa ii învățați și pe alții! La mulți ani cu bucurie, Casa în cifre să vă fie, Să auzim numai de bine! Și ia mai mânați măi: hăi, hăi, hăi. Autor : Stratulat Nicolae, Clasa a 7-a A 20
22 Colectivul de redacție : Profesor coordonator: Chicu Lilia ; Redactarea grafică : Untila Vlada; Redactorii revistei : Iosob Ana, clasa a VII-a A ; Stratulat Nicolae, clasa a VII-a A ; Ilcu Valeria, clasa a VII-a A ; Harea Tudor, clasa a VII-a A ; Leiciu Alexia, clasa a VII-a A ; Grecu Adrian, clasa a VII-a A ; Vîlcu Constantin, clasa a VII-a C, Botnaru Cătălin, clasa a VII-a C ; Carazanu Vlad, clasa a VI-a A. Surse bibliografice : 1. I.I. Perelman, Aritmetica Distractivă, Editura Tineretului, București, I.I. Perelman, Algebra Distractivă, Editura Științifică, București, Artur Bălăucă, Alexandru Negrescu, Gheorghe Gându, Lenuța Pârlog, Cezar Chirilă, Lucian Gloambeș. Matematică. Teme pentru activități opționale.ediția a II-a, Iași, TAIDA este-singura-nu-lasa-bei-masura-1_551f e03c0fd331a7a/index.html 6.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a V-a
(40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότεραIII. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul
Metode Numerice Curs 3 III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul III.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi III. 1.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi fără semn (pozitive) Reprezentarea
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότεραEcuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
Διαβάστε περισσότεραAl cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015
Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραMatrice. Determinanti. Sisteme liniare
Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice
Διαβάστε περισσότεραProgresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.
Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραRĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραProblema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότερα1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <
Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie
Διαβάστε περισσότερα2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότεραSă se arate că n este număr par. Dan Nedeianu
Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)
Διαβάστε περισσότεραCum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme
Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
(40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii
Διαβάστε περισσότεραMiscarea oscilatorie armonica ( Fisa nr. 2 )
Miscarea oscilatorie armonica ( Fisa nr. 2 ) In prima fisa publicata pe site-ul didactic.ro ( Miscarea armonica) am explicat parametrii ce definesc miscarea oscilatorie ( perioda, frecventa ) dar nu am
Διαβάστε περισσότεραEcuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Διαβάστε περισσότεραTranzistoare bipolare şi cu efect de câmp
apitolul 3 apitolul 3 26. Pentru circuitul de polarizare din fig. 26 se cunosc: = 5, = 5, = 2KΩ, = 5KΩ, iar pentru tranzistor se cunosc următorii parametrii: β = 200, 0 = 0, μa, = 0,6. a) ă se determine
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότερα10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii
Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1
Διαβάστε περισσότερα1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB
1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul
Διαβάστε περισσότεραΑκαδημαϊκός Λόγος Κύριο Μέρος
- Επίδειξη Συμφωνίας În linii mari sunt de acord cu...deoarece... Επίδειξη γενικής συμφωνίας με άποψη άλλου Cineva este de acord cu...deoarece... Επίδειξη γενικής συμφωνίας με άποψη άλλου D'une façon générale,
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότεραMULTIMEA NUMERELOR REALE
www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότεραCURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραΕμπορική αλληλογραφία Ηλεκτρονική Αλληλογραφία
- Εισαγωγή Stimate Domnule Preşedinte, Stimate Domnule Preşedinte, Εξαιρετικά επίσημη επιστολή, ο παραλήπτης έχει ένα ειδικό τίτλο ο οποίος πρέπει να χρησιμοποιηθεί αντί του ονόματος του Stimate Domnule,
Διαβάστε περισσότεραAlgebra si Geometrie Seminar 9
Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE TEST 2.5.2 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Radicalul C 6 H 5 - se numeşte fenil. ( fenil/
Διαβάστε περισσότεραToate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότεραValori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili
Anexa 2.6.2-1 SO2, NOx şi de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili de bioxid de sulf combustibil solid (mg/nm 3 ), conţinut de O 2 de 6% în gazele de ardere, pentru
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE TEST 2.4.1 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. Rezolvare: 1. Alcadienele sunt hidrocarburi
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra
ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra Adevărul matematic, indiferent unde, la Paris sau la Toulouse, este unul şi acelaşi (Blaise Pascal) Diana-Florina Haliţă grupa 331 dianahalita@gmailcom
Διαβάστε περισσότεραCURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.
Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1
Διαβάστε περισσότεραCriterii de comutativitate a grupurilor
Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key
Διαβάστε περισσότεραavem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +
Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότερα5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 21.2 - Sistemul de criptare ElGamal Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Scurt istoric
Διαβάστε περισσότερα2. Circuite logice 2.5. Sumatoare şi multiplicatoare. Copyright Paul GASNER
2. Circuite logice 2.5. Sumatoare şi multiplicatoare Copyright Paul GASNER Adunarea în sistemul binar Adunarea se poate efectua în mod identic ca la adunarea obişnuită cu cifre arabe în sistemul zecimal
Διαβάστε περισσότερα1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.
Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc =
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότεραLaborator 1: INTRODUCERE ÎN ALGORITMI. Întocmit de: Claudia Pârloagă. Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu
INTRODUCERE Laborator 1: ÎN ALGORITMI Întocmit de: Claudia Pârloagă Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu I. NOŢIUNI TEORETICE A. Sortarea prin selecţie Date de intrare: un şir A, de date Date de ieşire:
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ. Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie CLASA a IV-a
Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie 207 SUBIECTUL CLASA a IV-a Într-o zi de Duminică, la Salina Turda, a venit un grup de vizitatori, băieți și de două ori mai multe fete. Au intrat în Salină 324 băieți și 400
Διαβάστε περισσότερα