Definiţia 1.1 Fiind date mulţimile A (alfabetul sursă) şi B (alfabetul cod), o codificare
|
|
- Σπυριδούλα Αγγελόπουλος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Prelegerea 1 Codificare şi decodificare 1.1 Codificare Definiţia 1.1 Fiind date mulţimile A (alfabetul sursă) şi B (alfabetul cod), o codificare este o aplicaţie injectivă K : A B. Elementele mulţimii K(A) B se numesc cuvinte-cod, iar K(A) se numeşte cod. Dacă B are numai două simboluri, codificarea K se numeşte binară. Exemplul 1.1 Printre secvenţele binare de lungime 5, numărul celor care au doi de 1 este C 2 5 = 10. Ele pot fi folosite pentru a codifica cifrele din scrierea zecimală (Tabelul 1.1). Tabelul 1.1: Codul doi-din-cinci Simbol zecimal Cuvânt cod Mesajul 173 are codul De remarcat că între cuvintele cod nu se lasă nici un spaţiu, deoarece spaţiu poate fi el însusi un simbol-cod. Astfel de exemplu, codul Morse are alfabetul B = {.,, spaţiu}. Decodificarea se face foarte simplu: se împarte mesajul codificat în grupe de câte cinci caractere şi se vede cifra din tabel corespunzătoare grupei respective. Repartizarea cuvintelor cod a fost făcută pentru a realiza şi o decodificare pe baza unei 1
2 2 PRELEGEREA 1. CODIFICARE ŞI DECODIFICARE formule. Astfel, dacă a 0 a 1 a 2 a 3 a 4 este cuvântul - cod, el corespunde cifrei k dată de algoritmul: begin x := a 1 + 2a 2 + 4a 3 + 7a 4 ; if x = 11 then k := 0 else k := x; end. Definiţia 1.2 Pentru o codificare K : A B, se numeşte codificare a mesajelor (textului) sursă aplicaţia K : A B definită recursiv prin: K (ɛ) = ɛ (ɛ este cuvântul vid); K (aα) = K (a)k (α), a A, α A. Definiţia 1.3 Codificarea K este unic decodabilă dacă K este injectivă. Codificarea dată în Exemplul 1.1 este - după cum s-a observat - unic decodabilă. Acest lucru nu este totdeauna posibil. Dacă luăm de exemplu codificarea K(a) = 00, K(b) = 10, K(c) = 101, K(d) = 110, K(e) = 1001, ea nu este unic decodabilă; astfel K (bd) = K (cb) = Definiţia O codificare K : A B în care toate cuvintele cod au lungimea n se numeşte codificare-bloc de lungime n, iar K(A) este un cod-bloc de lungime n. 2. O codificare K : A B se numeşte instantanee dacă K(A) are proprietatea prefixului (dacă α, αβ K(B) atunci β = ɛ). Codul definit în Exemplul 1.1 este un cod - bloc de lungime 5. Codurile bloc sunt eficiente în cazul când simbolurile sursă au frecvenţe egale de apariţie; în caz contrar, ele devin greoaie şi sunt preferabile codurile instantanee cu lungimi variabile ale cuvintelor cod. Exemplul 1.2 Codul Morse, dat în Tabelul 1.2 este un cod instantaneu cu alfabetul cod B = {.,, }. Deoarece spaţiul este folosit numai la sfârşitul fiecărui cuvânt - cod, procedura de decodificare este simplă: orice cuvânt - cod se află între două spaţii, de la începutul mesajului până la primul spaţiu, sau de la ultimul spaţiu până la sfârşit. Motivul pentru care nu se foloseşte un cod - bloc este simplu: frecvenţele literelor într-o limbă diferă foarte mult. Exemplul 1.3 Un alt exemplu de cod - bloc este codul octal:
3 1.2. EXEMPLE DE CODURI - BLOC IMPORTANTE 3 Tabelul 1.2: Codul Morse A. - F.. -. K -. - P U.. - B -... G - -. L. -.. Q V... - C H.... M - - R. -. W. - - D -.. I.. N -. S... X E. J O T - Y Z Exemplul 1.4 Să presupunem că vrem să construim un cod binar pentru alfabetul {0, 1, 2, 3} şi observăm că 0 apare în mesajele sursă mai des decât orice alt simbol. Atunci următoarea schemă de codificare pare rezonabilă: K(0) = 0, K(1) = 01, K(2) = 011, K(3) = 111. Decodificarea sa este foarte simplă: se aplică recursiv regula: Se consideră sufixul 01 k ; valoarea lui k reprezintă numărul codificat. Totuşi această codificare nu este instantanee. Într-adevăr, dacă se primeşte un mesaj lung de forma nu vom şti dacă primul simbol sursă este 0, 1 sau 2 până nu se termină mesajul. 1.2 Exemple de coduri - bloc importante Codurile binare sunt de obicei lungi şi deci greu de manipulat. Este deci convenabil să grupăm simbolurile binare formând alfabete mai complexe. Astfel, formând grupuri de câte trei simboluri, se obţin codurile octale (Exemplul 1.3). Reprezentarea în octal se indică de obicei prin indicele 8 aşezat la sfârşit. De exemplu, (01) 8 = În mod similar, prin gruparea a câte patru simboluri binare se obţine codul hexazecimal. Un cod foarte important folosit în reprezentarea standard a simbolurilor alfabetice şi numerice este codul ASCII (American Standard Code for Information Interchange) - Tabelul 1.3.
4 4 PRELEGEREA 1. CODIFICARE ŞI DECODIFICARE Tabelul 1.3: Codul ASCII (7 biţi de informaţie) Simbol Cod Simbol Cod Simbol Cod Simbol Cod sursă sursă sursă 1(00) 8 1(40) 8 NUL 0(00) 8 SP 0(40) 8 A 1(01) 8 a 1(41) 8 SOH 0(01) 8! 0(41) 8 B 1(02) 8 b 1(42) 8 STX 0(02) 8 0(42) 8 C 1(03) 8 c 1(43) 8 ETX 0(03) 8 # 0(43) 8 D 1(04) 8 d 1(44) 8 EOT 0(04) 8 $ 0(44) 8 E 1(05) 8 e 1(45) 8 ENQ 0(05) 8 % 0(45) 8 F 1(06) 8 f 1(46) 8 ACK 0(06) 8 & 0(46) 8 G 1(07) 8 g 1(47) 8 BEL 0(07) 8 0(47) 8 H 1(10) 8 h 1(50) 8 BS 0(10) 8 ( 0(50) 8 I 1(11) 8 i 1(51) 8 HT 0(11) 8 ) 0(51) 8 J 1(12) 8 j 1(52) 8 LF 0(12) 8 * 0(52) 8 K 1(13) 8 k 1(53) 8 VT 0(13) 8 + 0(53) 8 L 1(14) 8 l 1(54) 8 FF 0(14) 8 0(54) 8 M 1(15) 8 m 1(55) 8 CR 0(15) 8-0(55) 8 N 1(16) 8 n 1(56) 8 SO 0(16) 8. 0(56) 8 O 1(17) 8 o 1(57) 8 SI 0(17) 8 / 0(57) 8 P 1(20) 8 p 1(60) 8 DLE 0(20) 8 0 0(60) 8 Q 1(21) 8 q 1(61) 8 DCI 0(21) 8 1 0(61) 8 R 1(22) 8 r 1(62) 8 DC2 0(22) 8 2 0(62) 8 S 1(23) 8 s 1(63) 8 DC3 0(23) 8 3 0(63) 8 T 1(24) 8 t 1(64) 8 DC4 0(24) 8 4 0(64) 8 U 1(25) 8 u 1(65) 8 NAK 0(25) 8 5 0(65) 8 V 1(26) 8 v 1(66) 8 SYN 0(26) 8 6 0(66) 8 W 1(27) 8 w 1(67) 8 ETB 0(27) 8 7 0(67) 8 X 1(30) 8 x 1(70) 8 CAN 0(30) 8 8 0(70) 8 Y 1(31) 8 y 1(71) 8 EM 0(31) 8 9 0(71) 8 Z 1(32) 8 z 1(72) 8 SUB 0(32) 8 : 0(72) 8 [ 1(33) 8 { 1(73) 8 ESC 0(33) 8 ; 0(73) 8 1(34) 8 1(74) 8 FS 0(34) 8 0(74) 8 ] 1(35) 8 } 1(75) 8 GS 0(35) 8 = 0(75) 8 1(36) 8 1(76) 8 RS 0(36) 8 0(76) 8 1(37) 8 DEL 1(77) 8 US 0(37) 8? 0(77) 8 El are 2 7 = 128 simboluri sursă codificate în secvenţe binare de lungime 8; primele 7 conţin infomaţia, iar ultimul - numit bit de paritate dă un prim control asupra corectitudinii secvenţei. Valoarea acestui caracter este suma modulo 2 a primilor şapte biţi. De exemplu, litera A, va avea codul ; primele şapte simboluri provin din Tabelul 1.3 iar ultimul are valoarea 0 deoarece anterior au fost două (număr par) simboluri binare cu valoarea 1. Un ultim cod, folosit internaţional pentru toate cărţile este Internaţional Standard Book Number (ISBN). El este un cod - bloc de lungime 10 (lungimea cuvintelor - cod creşte prin folosirea simbolului - pe diverse poziţii, dar acest caracter este ig-
5 1.3. CONSTRUCŢIA CODURILOR INSTANTANEE 5 norat la prelucrarea automată). Alfabetul cod este B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, X}, (X pentru numărul 10). De exemplu, cartea S. Lin, P. Costello - Teoria Codurilor are codul ISBN X Primul număr (0) reprezintă ţara (SUA), 13 reprezintă editura (Prentice-Hall), iar următoarele şase cifre sunt asignate de editură ca număr de identificare al cărţii. Ultimul simbol este de control (similar cu bitul de paritate definit anterior) şi definit astfel: 10 Pentru codul ISBN a 1 a 2... a 10, ia 11 i = 0 (mod 11). Astfel,în ISBN-ul de sus, = (mod 11) Unele publicaţii au codul de identificare de trei cifre (de exemplu Wiley-Interscience are 471); în acest caz numărul pentru fiecare publicaţie are numai cinci simboluri. Pentru România, codul de ţară este Construcţia codurilor instantanee Ne punem problema construirii unui cod binar instantaneu peste alfabetul sursă A = {a 1,..., a n }. Iniţial se specifică lungimile d 1, d 2,..., d n ale cuvintelor cod. Fără a micşora generalitatea, putem presupune d 1 d 2... d n. Se alege un cuvânt - cod binar arbitrar K(a 1 ) de lungime d 1. Se alege un cuvânt - cod arbitrar K(a 2 ) din mulţimea cuvintelor binare de lungime d 2 care nu au pe K(a 1 ) ca prefix. Aceasta este totdeauna posibil pentru că: Numărul tuturor secvenţelor binare de lungime d 2 este 2 d 2 ; dintre acestea, numărul celor care nu au prefixul K(a 1 ) este 2 d 2 d 1. Cum 2 d 2 2 d 2 d 1 + 1, există cel puţin o alegere posibilă pentru K(a 2 ) de lungime d 2. Va trebui să selectăm în continuare un cuvânt de lungime d 3 care nu are ca prefix K(a 1 ) sau K(a 2 ). Deci, din cele 2 d 3 secvenţe binare posibile trebuiesc eliminate cele 2 d 3 d 1 secvenţe cu prefixul K(a 1 ) şi 2 d 3 d 2 secvenţe cu prefixul K(a 2 ). Aceasta este posibil dacă şi numai dacă 2 d 3 2 d 3 d d 3 d Împărţind această inegalitate cu 2 d 3 se obţine 1 2 d d d 3. În mod analog se poate arăta inegalitatea 1 2 d d dn din care rezultă construcţia. De remarcat că ea este o condiţie necesară şi suficientă pentru construcţia codurilor instantanee.
6 6 PRELEGEREA 1. CODIFICARE ŞI DECODIFICARE Teorema 1.1 Fiind dat un alfabet sursă de n simboluri şi un alfabet cod de k simboluri, se poate construi un cod instantaneu cu lungimile cuvintelor cod d 1, d 2,..., d n dacă şi numai dacă este verificată inegalitatea (Kraft): k d 1 + k d k d n 1. Demonstraţie: Fie A = {a 1, a 2,..., a n } şi putem presupune relaţia d 1 d 2... d n. Construim codificarea instantanee K prin inducţie astfel: Se alege K(a 1 ) arbitrar. Presupunem că au fost alese K(a 1 ), K(a 2 ),... K(a s 1 ). Atunci se va alege un cuvânt arbitrar K(a s ) care nu are ca prefix nici unul din cuvintele selectate anterior. Aceasta este posibil deoarece numărul cuvintelor cu prefixul K(a i ) este 2 d s d i (1 i s 1); deci alegerea poate fi făcută din k ds s 1 k ds d i elemente. Din inegalitatea lui Kraft avem s 1 1 k d i k ds care, prin multiplicare cu k ds conduce la s 1 k d s k d s d i 1. Afirmaţia reciprocă se demonstrează similar (pentru k = 2 ea a fost dată anterior). Teorema 1.2 (McMillan) Orice codificare unic decodabilă satisface inegalitatea lui Kraft. Demonstraţie: Fie K o codificare unic decodabilă. Notăm cu d i lungimea cuvântului cod K(a i ), (1 i n). Se observă că j, (j 1) se pot forma k j cuvinte de lungime j peste alfabetul - cod cu k simboluri. Din proprietatea de unic decodabilitate, numărul mesajelor sursă α = a i1 a i2... a ir al căror cod are lungimea j nu depăşeşte k j. Lungimea codului pentru α este d i1 +d i d ir ; deci numărul tuturor sumelor de forma d i1 + d i d ir = j este cel mult k j. n Rămâne de demonstrat că numărul c = k d i este cel mult 1. Pentru aceasta, vom arăta că r 1, cr este mărginit. r
7 1.4. CODURI HUFFMAN 7 Să calculăm puterile lui c: ( c 2 n = k i) n n d k d j = k (d i+d j ) j=1 i,j=1 şi, în general, c r = n k (d i 1 +d i d i r ) i 1,i 2,...,i r =1 Această sumă se poate re-ordona grupând toţi termenii de forma k j unde j satisface egalitatea anterioară. Cel mai mare j posibil este j = d + d d = rd, unde d = max{d 1, d 2,..., d n }. Numărul tuturor termenilor de forma k j din sumă este cel mult k j. Deci, c r rd j=1 k j k j = rd j=1 1 = rd. Deci, cr r d, de unde va rezulta c 1 (pentru c > 1 şirul a r = cr r este mărginit)., deci nu Corolarul 1.1 Pentru orice cod unic decodabil există un cod instantaneu care are toate cuvintele - cod de lungimi egale. Demonstraţie: Rezultă din demonstraţia teoremei precedente. Exemplul 1.5 Să considerăm alfabetul sursă = {a, b, c} şi alfabetul - cod B = {0, 1}; deci n = A = 3, k = B = 2. Vrem să construim o codificare instantanee K : A B care are toate cuvintele - cod de lungime d. Inegalitatea Kraft va da 2 d + 2 d + 2 d 1, deci 2 d 1. Cel mai mic d care o verifică este 3 d = 2. Deci orice mulţime de 3 secvenţe binare de lungime 2 va putea fi folosită drept cod. Sunt 4 astfel de mulţimi: {00, 01, 10}, {00, 01, 11}, {00, 10, 11}, {01, 10, 11} 1.4 Coduri Huffman Am menţionat anterior faptul că dacă frecvenţa simbolurilor sursă variază, atunci codurile instantanee sunt preferabile codurilor bloc, deoarece simbolurile care apar mai frecvent vor fi codificate cu cuvinte cod mai scurte. Ne punem problema aflării unor codificări cât mai eficiente, în ipoteza că frecvenţele simbolurilor sursă sunt cunoscute exact (de exemplu probabilitatea distribuţiei simbolurilor sursă în mesaje). Definiţia 1.5 O sursă de informaţie este o pereche S = (A, P ) unde A = {a 1, a 2,..., a n } este alfabetul sursă(mulţime ordonată); P = {P (a 1 ), P (a 2 ),..., P (a n )} este mulţimea ordonată a probabilităţilor elementelor lui A, deci
8 8 PRELEGEREA 1. CODIFICARE ŞI DECODIFICARE 0 P (a i ) 1, (1 i n); n P (a i ) = 1. Fie K o codificare a unei surse de informaţie. Dacă se notează cu d i = K(a i ) ( α reprezintă lungimea secvenţei α), se poate defini lungimea medie L a cuvintelor cod prin n L = d i P (a i ). O codificare este eficientă dacă lungimea medie a secvenţelor cod este cât mai mică. Definiţia 1.6 Fiind dată o sursă de informaţie S şi un alfabet cod, un cod Huffman este un cod instantaneu cu lungimea medie minimă. Lungimea medie minimă a unui cod Huffmann se notează cu L min (S). Exemplul 1.6 Să se determine un cod Huffman binar pentru alfabetul sursă A = {a, b, c, d, e, f} ştiind că a apare de două ori mai des decât e şi e de două ori mai des decât orice consoană. Deci, vom avea sursa de informaţie Simbol a b c d e f Probabilitate Putem asigna deci un cuvânt cod de lungime 1 lui a şi unul de lungime doi lui e. Atunci lungimile cuvintelor cod rămase sunt egale cu 4, iar inegalitatea lui Kraft este saturată: = 1. Un astfel de cod se poate construi: Lungimea sa medie este K(a) = 0 K(c) = 1101 K(e) = 10 K(b) = 1100 K(d) = 1110 K(f) = 1111 L = = 2.4 Deci, pentru acest exemplu, L min (S) Construcţia codurilor Huffman binare O sursă cu două simboluri are evident un cod Huffman de cuvinte cod {0, 1} (şi deci L min (S) = 1). O sursă cu trei simboluri {a 1, a 2, a 3 } în care a 1 are probabilitate maximă, poate fi redusă la cazul a două simboluri {a 1, a 2,3 } unde P (a 2,3 ) = P (a 2 ) + P (a 3 ). Vom găsi o codificare Huffman pentru sursa redusă K(a 1 ) = 0, K(a 2,3 ) = 1. după care spargem cuvântul cod 1 în două cuvinte: 10 şi 11; în acest fel se obţine un cod Huffman pentru sursa originală:
9 1.4. CODURI HUFFMAN 9 a 1 a 2 a În general, fie S o sursă de informaţie cu simbolurile {a 1, a 2,..., a n } ordonate după probabilităţi, adică: P (a 1 ) P (a 2 )... P (a n ). Contruim o sursă redusă S cu simbolurile {a 1,..., a n 2, a n 1,n } unde a n 1,n este un simbol nou, cu probabilitatea P (a n 1,n ) = P (a n 1 ) + P (a n ). Dacă nu se poate construi un cod Huffman pentru S, se reia procedeul pentru această sursă (reordonând eventual simbolurile după probabilitate); în final se va ajunge la o sursă (pentru două simboluri problema a fost rezolvată) în care care codul Huffman se poate construi. Dacă se poate găsi o codificare Huffman K pentru sursa redusă S, atunci codul din Tabelul 1.4 este un cod Huffman pentru S (vom demonstra această afirmaţie). Tabelul 1.4: a 1 a 2... a n 2 a n 1 a n K (a 1 ) K (a 2 )... K (a n 2 ) K (a n 1,n )0 K (a n 1,n )1 Lema 1.1 L(K) = L(K ) + P (a n 1 ) + P (a n ) Demonstraţie: Fie d 1, d 2,..., d n 2, d lungimile cuvintelor cod corespunzătoare lui K. Atunci lungimile cuvintelor cod pentru K sunt d 1, d 2,..., d n 2, d + 1, d + 1. Efectuând calculele, se obţine: n 2 L(K) = d i P (a i ) + (d + 1)P (a n 1 ) + (d + 1)P (a n ) = = n 2 d i P (a i ) + d [P (a n 1 ) + P (a n )] + P (a n 1 ) + P (a n ) = = L(K ) + P (a n 1 ) + P (a n ). Teorema 1.3 Fie K o codificare Huffman pentru o sursă de informaţie redusă S. Atunci codificarea K definită de Tabelul 1.4 este un cod Huffman pentru sursa de informaţie S. Demonstraţie: Fie a 1, a 2,..., a n simbolurile sursă, ordonate descrescător după probabilitate. Deoarece teorema este evidentă pentru P (a n ) = 0, vom considera doar cazul P (a n ) > 0. Demonstraţia constă din trei paşi: S admite o codificare Huffman K 0 cu lungimile cuvintelor cod ordonate: d 1 d 2... d n (d i = K 0 (a i ), 1 i n). Pentru a demonstra aceasta, plecăm de la un cod Huffman arbitrar K pentru S. Dacă există un simbol a i astfel ca d i > d i+1, notăm cu K codificarea
10 10 PRELEGEREA 1. CODIFICARE ŞI DECODIFICARE obţinută din K prin permutarea cuvintelor cod corespunzătoare lui a i şi a i+1. K este evident un cod instantaneu, iar diferenţa dintre lungimile medii L = L min (al lui K) şi L (al lui K ) este: L min L = [d i P (a i ) + d i+1 P (a i+1 )] [d i+1 P (a i ) + d i P (a i+1 )] = = (d i d i+1 )[P (a i ) P (a i+1 )]. Această expresie este produsul dintre un număr pozitiv şi unul nenegativ, deci L min L, iar din proprietatea de minimalitate rezultă L min = L. Cu alte cuvinte, K este un alt cod Huffman. Procedeul continuă până se obţine codul K 0 cerut. S admite o codificare Huffman K 1 în care ultimele cuvinte cod, K 1 (a n 1 ) şi K 1 (a n ) diferă doar prin ultimul simbol. Fie K 0 codul Huffman anterior şi K0 codul rezultat din K 0 eliminând ultimul simbol din K 0 (a n ). Lungimea medie a lui K0 va fi evident mai mică decât cea a lui K 0 (pentru că P (a n ) > 0), deci K0 nu poate fi instantaneu. Cuvântul cod K 0 (a i ) = K 0 (a i ), (1 i n 1) nu este prefixul nici unui cuvânt cod; deci există un i (i n 1) astfel încât K 0 (a n ) este prefixul lui K 0 (a i ). Aceasta este posibil numai dacă d i = d n şi deci K 0 (a i ) diferă de K 0 (a n ) numai prin ultimul simbol. Dacă i = n 1, se ia K 1 = K 0. Altfel, se observă că d i = d n implică d i = d i+1 =... = d n ; deci se pot permuta cuvintele cod definite în K 0 pentru a i şi a n 1. Codul K 1 astfel obţinut are aceeaşi lungime medie ca şi K 0, deci este un cod Huffman. Să presupunem că se dă o codificare Huffman K pentru sursa redusă S şi definim un cod K pentru S conform Tabelului 1.4. Lungimile lor medii L(K), L(K ) verifică relaţia din Lema 1.1. Să folosim acum codul Huffman K 1 construit mai sus. Deoarece ultimele două cuvinte cod diferă numai prin ultimul simbol, K 1 poate fi obţinut dintr-un cod K 1 al lui S prin spargerea ultimului cuvânt - cod. În plus, K 1 este evident instantaneu. Prin calcule se ajunge la relaţia L(K 1 ) L(K 1) = P (a n 1 ) + P (a n ) Cum avem şi L(K) L(K ) = P (a n 1 ) + P (a n ), rezultă L(K) = L(K 1 ) L(K 1) + L(K ). Acum, L(K ) = L min (S ), deci L(K1) + L(K ) 0. L(K 1 ) = L min (S). Deci, K este un cod Huffman. Rezultă L(K)
11 1.5. EXERCIŢII Exerciţii Exerciţiul 1.1 Care este cea mai mică lungime a unui cod bloc cu alfabetul sursă A = {A, B,..., Z} şi alfabetul cod B = {.,, spaţiu} (ca la codul Morse). Exerciţiul 1.2 Se defineşte codificarea Este ea unic decodabilă? Este instantanee? Se poate găsi un cod instantaneu cu aceleaşi lungimi ale cuvintelor cod? Exerciţiul 1.3 Se defineşte codificarea A 1010 D 0001 B 001 E 1101 C 101 F 1011 Este ea unic decodabilă? Dacă nu, găsiţi două mesaje sursă cu acelaşi cod. Exerciţiul 1.4 Este unic decodabilă codificarea: 0 AA 4 ABBAA 7 AAAABB 1 AABAB 5 BABBA 8 AAAABA 2 ABBBBB 6 BBBAB 9 AAAAAB 3 ABABA Exerciţiul 1.5 Se poate decide unic decodabilitatea codificărilor folosind inegalitatea lui Kraft? K(a) = 001 K(a) = 00 K(b) = 1001 K(b) = 10 K(c) = 0010 K(c) = 011 K(d) = 1110 K(d) = 101 K(e) = 1010 K(e) = 111 K(f) = K(f) = 110 K(g) = 0101 K(g) = 010 Exerciţiul 1.6 Să se construiască un cod binar instantaneu pentru următorul alfabet sursă cu lungimile corespunzătoare ale cuvintelor cod: Simbol A B C D E F G H I J K L Lungime Exerciţiul 1.7 Să se construiască un cod ternar (trei simboluri cod) instantaneu pentru următorul alfabet sursă, cu lungimile corespunzătoare ale cuvintelor cod:
12 12 PRELEGEREA 1. CODIFICARE ŞI DECODIFICARE Simbol Lungime Exerciţiul 1.8 Câte simboluri cod sunt necesare pentru ca următorul alfabet sursă să poată fi codificat într-un cod instantaneu cu lungimile cuvintelor cod date: A B C D E F G H I J K L M N O P Exerciţiul 1.9 Demonstraţi că pentru orice cod instantaneu în care inegalitatea Kraft este strictă, este posibil să se adauge un nou simbol sursă şi să se extindă codul dat la un nou cod instantaneu (cu acelaşi alfabet cod). Demonstraţi aceasta pentru codul definit la Exerciţiul 1.6.
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραCoduri detectoare şi corectoare de erori
Coduri detectoare şi corectoare de erori Adrian Atanasiu Editura Universităţii BUCUREŞTI Prefaţă Vă uitaţi la televizor care transmite imagini prin satelit? Vorbiţi la telefon (celular)? Folosiţi Internetul?
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραIII. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul
Metode Numerice Curs 3 III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul III.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi III. 1.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi fără semn (pozitive) Reprezentarea
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραAcesta este capitolul 2 Noţiuni de teoria informaţiei al ediţiei electronică
Acesta este capitolul 2 Noţiuni de teoria informaţiei al ediţiei electronică a cărţii Reţele de calculatoare, publicată la Casa Cărţii de Ştiinţă, în 2008, ISBN: 978-973-133-377-9. Drepturile de autor
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραDemonstraţie: Să considerăm polinomul {f(x)} asociat cuvântului - cod: f(x) = h(1) + h(α)x h(α n 1 )X n 1 = a 0 (1 + X + X
Prelegerea 13 Coduri Reed - Solomon 13.1 Definirea codurilor RS O clasă foarte interesantă de coduri ciclice a fost definită în 1960 de Reed şi Solomon. Numite în articolul iniţial coduri polinomiale,
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a V-a
(40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii
Διαβάστε περισσότεραFuncţii Ciudate. Beniamin Bogoşel
Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016
16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραCURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότερα5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Διαβάστε περισσότεραProgresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.
Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραf(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +
Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 21.2 - Sistemul de criptare ElGamal Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Scurt istoric
Διαβάστε περισσότεραAl cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015
Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2. Integrala stochastică
Capitolul 2 Integrala stochastică 5 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 51 2.1 Introducere În acest capitol vom prezenta construcţia integralei stochastice Itô H sdm s, unde M s este o martingală locală
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri
Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Principiul incluziunii si excluziunii Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Recapitulare din cursul trecut
Διαβάστε περισσότεραEcuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
Διαβάστε περισσότεραO generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013
O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii
Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1
Διαβάστε περισσότεραMatrice. Determinanti. Sisteme liniare
Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραCOMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi
OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete
Διαβάστε περισσότεραCâmp de probabilitate II
1 Sistem complet de evenimente 2 Schema lui Poisson Schema lui Bernoulli (a bilei revenite) Schema hipergeometrică (a bilei neîntoarsă) 3 4 Sistem complet de evenimente Definiţia 1.1 O familie de evenimente
Διαβάστε περισσότεραCriterii de comutativitate a grupurilor
Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότερα7 Distribuţia normală
7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare
Διαβάστε περισσότερα* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Διαβάστε περισσότεραCONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Διαβάστε περισσότεραCurs 4. I.4 Grafuri. Grafuri orientate
Curs 4 I.4 Grafuri I.4.1 Grafuri orientate Definiţia I.4.1.1. Un graf orientat este un tuplu G = (N, A, ϕ : A N N), unde N şi A sunt mulţimi, numite mulţimea nodurilor, respectiv mulţimea arcelor, iar
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραRădăcini primitive modulo n
Universitatea Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică Rădăcini primitive modulo n Îndrumător ştiinţific: Prof. Dr. Victor Alexandru 2010 Rezumat Tema lucrarii este studiul radacinilor primitive.
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Διαβάστε περισσότερα8 Intervale de încredere
8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva
Διαβάστε περισσότεραCURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.
Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1
Διαβάστε περισσότερα1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB
1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme
SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)
Διαβάστε περισσότεραSpaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.
Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele
Διαβάστε περισσότεραAlgebră liniară CAPITOLUL 3
Algebră liniară CAPITOLUL 3 TRANSFORĂRI LINIARE 3.. Definiţia transformării liniare Definiţia 3... Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K. O funcţie u: V W se numeşte transformare
Διαβάστε περισσότεραStatisticǎ - curs 3. 1 Seria de distribuţie a statisticilor de eşantioane 2. 2 Teorema limitǎ centralǎ 5. 3 O aplicaţie a teoremei limitǎ centralǎ 7
Statisticǎ - curs 3 Cuprins 1 Seria de distribuţie a statisticilor de eşantioane 2 2 Teorema limitǎ centralǎ 5 3 O aplicaţie a teoremei limitǎ centralǎ 7 4 Estimarea punctualǎ a unui parametru; intervalul
Διαβάστε περισσότεραVII.2. PROBLEME REZOLVATE
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea
Διαβάστε περισσότεραCURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n
CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n A. Arusoaie arusoaie.andreea@gmail.com andreea.arusoaie@info.uaic.ro Facultatea de Informatică, Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 30 Octombrie 2017 Structura
Διαβάστε περισσότεραprin egalizarea histogramei
Lucrarea 4 Îmbunătăţirea imaginilor prin egalizarea histogramei BREVIAR TEORETIC Tehnicile de îmbunătăţire a imaginilor bazate pe calculul histogramei modifică histograma astfel încât aceasta să aibă o
Διαβάστε περισσότερα1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială. Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial După cum s-a văzut deja, într-un spaţiu vectorial V avem mai multe baze, iar un vector x V va avea câte un sistem
Διαβάστε περισσότερα