4.1. Počeci, razvoj, značaj i definicija statistike

Transcript

1 Glava 4: U V O D U O P Š T U I M A T E M A T I Č K U S T A T I S T I K U 4.. Počec, razvoj, začaj defcja statste Pr zučavaju Teorje vjerovatoće upozal smo se sa em pojmovma oje proučava l a ojma se zasva statsta. Oslajajuć se a već zeše razvje aparat teorje vjerovatoće (TVJ), oja, ače, predstavlja matematču struturu a ojoj su zasovae statstče metode, u ovom poglavlju date su osove statste u mjer oja je eophoda za prmjeu statste u tehčm auama, posebo u saobraćaju, omuacjama formatc, al oja je eophoda za logč to daljeg dubljeg zučavaja odgovarajućh prmjea. Rječ statsta potče od latse rječ status što zač staje, država,.... Kao aua pojavljuje se u XVII vjeu, mada e orje statstčh metoda potču još z vremea ajstarjh cvlzacja. Smatra se da je rječ statsta prv upotrjebo auč Gotfrd Aheval (Gottfred Achewall, 79-77), uoseć ovaj azv u svoje radove u azv jedog predmeta (pod azvom Notta poltca vulgo statstca ) a jemačom uverztetu u Getgeu. Do je u Njemačoj ostalm razvjem zemljama otetale Evrope razvoj statstče djelatost bo pod sažm utcajem osvača uverztetse šole-državopsa, dotle se u Eglesoj razvo drug pravac, tzv. Poltča artmeta oja svoje teorjse osove ma u racoaloj flozofj Leoarda da Včja, Dearta dr. Osvač ove šole bo je Džo Graut (Joh Graut, ), do je osvač pravca uverztetsa statsta bo prof. Herma Corg (606-67) / profesor stražvača Gotfrda /. U XIX vjeu statsta se zato razvla po sadrž metodama, aročto orštejem račua vjerovatoće. Prve tave radove alazmo od Laplasa (Perre Smo de Laplace) (Jea Baptste Joseph) Fourera početom XIX vjea, ada su u Parzu departmama See vršl procjeu broja uupog staovštva a baz uzora sa zračuavajem ajvjerovatje greše. Međutm, ajzačajje me u razvoju statste XIX vjea je belgjs fzčar astroom (Lambert Adolphe Jacob) Ketle (Quetelet, ), a čju je cjatvu održa ogres statstčara u Brselu (Brussels, Belgque-Belgum) 853. gode, a zatm još šest ogresa u zemljama sredje Evrope. Kao što je XX vje postao vje tehe hemje, a sto tao je to vje statste oja prožma sav aš žvot, jer se daas statstče metode orste u razm stražvajma (u fzc, tehc, socološo-poltčm stražvajma, eoomj td.). Od raja XIX vjea a ovamo statsta se aglo razvja ao aua ao djelatost-prasa. Početom ovog vjea javljaju se razlčte metrje (bometrja, eoometrja, socometrja,...), a sredom ovog vjea javljaju se ee blse dscple ao što su: bereta, teorja formacja, teorja veza sl. Javlja se ao poseba dscpla matematča statsta, oja je ozačla upotpujavaje dalje razvjaje teorje metodologje vattatvog stražvaja masovh pojava. U mogm jgama alaze se raz poušaj defraja statste. Tao pr., Slvo Elazar (u jz: Matematča statsta) daje ovu defcju: Matematča statsta je aua oja se bav proučavajem zaoa slučajh događaja a osovu teorje vjerovatoće, matematčom obradom podataa mjereja masovh pojava., do e drug autor daju ovu defcju: Naua oja proučava pojave oje obuhvataju vrlo vel broj elemeata oj maju eo zajedčo svojstvo (oblježje) azva se matematča statsta. Matematča statsta javlja se u XVIII vjeu, prvestveo u radovma D. Beroullja fzčara Maxwella. No, savremea učeja u XX vjeu mogla b se zreć po ptaju defraja statste ao auče dscple u smslu da se usvoj ova (opsa) defcja: Statsta je aua o varjacjama oblježja, zaotostma razvoja odosa masovh pojava jhovh elemeata u

2 vremeu prostoru. (U vez sa gore avedem defcjama u vez sa osovm pojmovma opšte eoomse statste može se ać u jz: Dr. Mloš Blažć, Opšta statsta, Sarvremea admstracja, Beograd, 98.) Statstče metode stražvaja prmjejuju se a gotovo sva područja ljudse djelatost, gdje god se javlja vel broj posmatraja, espermetsaja mjereja (ao pr., pr zučavaju problema dohota-profta, atalteta, mortalteta, te razh mjereja u fzc, hemj, tehc,...). U statstc se prvo prupe podac o pojavama oje se stražuju pomoću opažaja, aeta, popsa dr., pa se t podac obrađuju zvode određe zaljučc progoze. 4.. Predmet zadac matematče statste. Osov sup oblježje U ovru matematče statste ao matematče dscple razvjaju se prmjejuju metode zučavaja (dobvaja, opsvaja obrade) statstčh podataa s cljem ustaovljavaja zaotost oje važe u određem slučajm masovm pojavama procesma masovog aratera. Pr tome se razluju sljedeća dva osova problema: ) Razvoj metoda prupljaja grupsaja statstčh podataa oj se stražuju (dobjeh l pomoću zapažaja odoso a osovu posmatraja l ao rezultat specjalo zvedeh pousa ao što su aete, pops, mjereja sl.). ) Razrada razvoj metoda aalze statstčh podataa u zavsost od clja stražvaja. U ovru problema pod ) mogu se detfovat dvje grupe metoda: a) Metode za ocjeu fucje dstrbucje parametara dstrbucje (raspodjele, razdobe). Npr., a osovu određeh statstčh podataa može se ocjet da o prpadaju ormaloj (l bomoj) raspodjel, a zatm se mogu odredt parametr μ (očevaje) σ (stadarda devjacja) te dstrbucje. b) Metode za provjeru (testraje) tzv. statstčh hpoteza o oblu (vrst) zaoa dstrbucje l ao je obl zaoa dstrbucje pozat, o parametrma zaoa dstrbucje. Npr., može se provjert da je pretpostava o ormaloj dstrbucj sprava l pogreša. Osov predmet razmatraja u statstc su supov elemeata oj maju zvjese zajedče araterste. Pr tome se, tutvo, pojam osovog supa ajčešće uvod a jeda od sljedećh (prblžo) evvaleth ača: () Osov sup (populacja, geeral sup, statstč sup, statstča masa) je sup (cjela) svh storodh elemeata (objeata) oj podlježu (statstčom) sptvaju. () Sup elemeata sa eom zajedčom osobom čja mjera vrjedost varra od elemeta do elemeta zove se statstč (l osov sup sl.). () Statstč sup predstavlja cjelu sastavljeu od storodh međusobo uporedvh elemeata sa zajedčm varjablm oblježjem što je u stvar teuća varjabla (pr. x ) slučaje promjeljve (pr. X ). (v) Supov elemeata oje proučava statsta zovu se osov supov (l populacje sl.). U defcjama (), () (v) defra se još pojam oblježja, tj. aže se još da se zajedčo svojstvo elemeata određeog osovog supa zove oblježje tog supa. Oblježje može bt umerčog al atrbutvog aratera. No, oblježja atrbutvog aratera mogu se svest a oblježja umerčog aratera. Iz prethodh defcja sljed da osov sup mora bt homoge, tj., sastavlje od x slučaje stovrsh međusobo uporedvh elemeata u odosu a teuću varjablu ( ) velče ( X ) zajedčog oblježja, te mora bt varjabla, tj. elemet osovog supa

3 3 moraju bt stovrs al e stovjet u odosu a zajedčo svojstvo (oblježje) oje araterše sup stovrsh objeata. Ao je a osovom supu defrao samo jedo oblježje, sup je jedodmezoala. Ao su defraa dva oblježja, sup je dvodmezoala. Zavso od toga da l je oblježje supa otualo (epredo), dsreto l mješovtog tpa, razluju se otual, dsret mješovtog tpa statstč sup. Defcja 4... Obmom osovog supa azvamo broj jegovh elemeata (objeata) u slučaju da je sup oača, odoso obm je ardal broj (moć supa) u slučaju besoačog supa. Posmatrajmo osov sup (obma N ) od ojeg se vrjedost x posmatra l uzma u razmatraje ( = f) puta, vrjedost x, ( ) = f puta,..., vrjedost x, ( = f) puta, pr čemu je = N ( ) = Posmatrae vrjedost =, azvaju se varjatama (varjasama), a z varjas apsa u rastućem poretu zove se varjaco red osovog supa. Brojev ( = f) zovu se učestaostma (frevecjama) odoso apsolutm frevecjama, a jhov odos prema obmu osovog supa N se zove relatva frevecja (relatva učestaost) ozačava se često sa ω ( l p ), tj. ω =, ( =, ). ( ). N x ( ) Defcja 4... Sup (uređeh) parova {( x, f),( x, f),, ( x, f), } vrjedost x jhovh frevecja f oblježja X, uređe po rastućm vrjedostma x,, x oblježja X, zove se dstrbucja l raspodjela (statstča raspodjela) frevecja oblježja X osovog supa. Dale, statstča raspodjela frevecja (odoso relatvh frevecja) je prdružvaje (preslavaje) zmeđu vrjedost oblježja (varjas) jhovh frevecja (odoso relatvh frevecja). Taođe se uvod pojam statstče raspodjele osovog supa ao zajedč azv za statstču raspodjelu relatvh frevecja statstču raspodjelu apsoluth frevecja, tj. statstča raspodjela osovog supa je prdružvaje zmeđu vrjedost oblježja (varjas) jhovh frevecja l relatvh frevecja. Najčešće se statstča raspodjela prazuje tabelaro a poead grafč. Tabela je občo u oblu:. x x x... x f f f... f Pr tome su vrjedost x,, x uzete u rastućem poretu a osov sup je oača. Međutm, grafč se statstča raspodjela prazuje aalogo ao zao raspodjele vjerovatoće u Teorj vjerovatoće pomoću polgoa, hstograma dr. Name zlomljea, x, ω zove se polgo frevecja lja oja povezuje uređee parove ( x f ) (odoso ( )

4 4 (odoso, polgo relatvh frevecja). Občo se pod hstogramom frevecja (relatvh frevecja) podrazumjeva uja pravougaoa čje osovce a os apscsa x maju mjer broj duže, a taođe su sredšta osovca vrjedost x posmatraog oblježja X, a mjer brojev vsa su jeda vrjedost pojedh frevecja (relatvh frevecja). Pr tome se ajčešće djagram frevecja produž do ose apcsa O x, tao da površa omeđea tm djagramom osom O bude jedaa površ posmatraog hstograma. x Prmjer 4...a). U jedom razredu od 30 učea uspjeh z matemate praza je sljedećom tabelom: Tabela Ocjea z matemate x Frevecja f Relatva frevecja f / 30 x = f = ω = 0, x = x 3 = 3 x 4 = 4 x 5 = 5 3 f = ω = 0, 6 f 3 = 0 ω3 0,3 f = ω4 0,3 4 8 f = ω 5 = 0, 5 3 Šta je ovdje osov sup? Nacrtat odgovarajuć polgo hstogram frevecja. Rješeje. Sup učea u razredu je osov sup čj je obm N = 30, a jhov uspjeh zraže ocjeom je oblježje oje se posmatra. U prvoj olo ujete su vrjedost oje poprma oblježje X. U drugoj olo ujet su brojev f ( =,,..., 5) učea oj su postgl ocjeu x ( f - su apsolute frevecje), u treću olou upsuju se relatve frevecje elemeata osovog supa Sl. 4...

5 5 Prmjer 4...b). Na jedoj stočoj farm je statstč posmatraa mlječost stotu rava, tj. broj X hl mljea oje svaa rava daje godšje. Podac su prvo sređe, pa su oda apsa u Tabel. Nacrtat odgovarajuć djagram frevecja hstogram frevecja, te zvest odgovarajuće prrode zaljuče. Klase oblježja x Sreda Klase Tabela Broj rava f Relatva frevecja f / , , , , , , ,3 Uupo 00 Rješeje. U ovom prmjeru je osov sup rdo od 00 rava( N = 00), a oblježje oje se posmatra je mlječost th rava. Pošto je broj elemeata populacje vel (broj rava 00), a ma puo vrjedost oblježja X, e b blo pregledo ada b se dala raspodjela za svau vrjedost oblježja posebo. Zato je segmet [ 9,43], duže 9 43 = 4 zmeđu ajveće ajmaje vrjedost podjelje a sedam tervala duže ( 4 : 7 = ) (apomemo da se često u pras broj lasa uzma tao da o bude prblžo jeda ; gdje je broj elemeata osovog supa (oačog), al se uz to često uzma da je tm brojem lasa djeljva razla zmeđu ajveće ajmaje vrjedost oblježja X). Artmetča sreda doje gorje grace jede lase zove se sreda te lase. U statstčoj obrad podataa lasu može reprezetovat jea sreda. Na sljedećoj slc je praza djagram raspodjele th sreda, tj. djagram raspodjele lasa ao hstogram frevecja. f 30 (36,30) f 8 0 (3,0) x x Sl Sl 4..3.

6 6 Još o pojmu statstčog supa statstče raspodjele U statstc se posmatraju problem sa vrlo mogo podataa, tj. (vrjedost oblježja), pa se javlja vel broj tervala th vrjedost. Duže th tervala su male pa se polgo raspodjele frevecja prblžava tzv. rvoj (rvulj) frevecja ao a sl Vše formalo možemo ovao uvest pojam osovog supa oblježja. Osov predmet razmatraja u statstc je sup, recmo Ω (epraza sup) elemeata, recmo ω, oj se zove osov sup l populacja. Kod svaog elemeta ω Ω posmatra se ea X ω, oja se zove oblježje (svojstvo, osoba) X. Dale, umerča aratersta, recmo ( ) oblježje X je fucja (preslavaje) sa (l z ) Ω u sup R (l u R l u C l u još opštj sup). Za ovu fucju pretpostavlja se da je F - zmjerva, tj. da je ([, ]) ( { ω Ω : }) X a b a X b = < F (tj. da je ovaj sup događaj) za sva terval [ a, b ) R, gdje je F σ - algebra (σ - polje) podsupova supa Ω. Taođer smo mogl X, x F ( x R σ, x : x R = zahtjevat da je (( )) ) jer je {( ) } = σ { x, + : x R} = σ { x, + : x R} = [ ) [ ) B R, gdje je B R σ - algebra Borelovh supova a R (tj. ajmaja σ - algebra podsupova z R oja sadrž famlju svh otvoreh supva a R). Sva otvore sup a R je prebrojva uja otvoreh tervala B = ( ab, )( ab, R, a< b), tj. B R = σ {( ab, ): ab, R,a< b} ( σ - algebra geersaa otvorem tervalma). Nad fucjom F se defra određea mjera P za oju ćemo pretpostavt da je ormraa, tj. da je P ( Ω ) =, tj. da je P vjerovatoća (ormalzovaa mjera). Prema tome u termma teorje vjerovatoće osov sup (populacja) je sup svh shoda jedog pousa ad ojm je defsao σ - algebra F događaja (podsupova od Ω ) vjerovatoća P. Oblježje X ao fta (oačh vjerovatoća) F - zmjerva fucja je slučaja velča. Dstrbucja vjerovatoća oblježja X je fucja P{ X B} defraa za B B R. Pozato am je da je ova dstrbucja vjerovatoća jedozačo određea fucjom ({ }) dstrbucje vjerovatoća oblježj X F ( x) = P ω Ω : X ( ω x), ( x ) : X R. Često se rječ raspodjela (dstrbucja) upotrebljava za fucju dstrbucje F x bez opasost od zabue. Sa aspeta statste oblježje X je potpuo određeo ao je određea jegova raspodjela ad supom Ω u prethodom smslu, tj. ao je određea jegova fucja raspodjele F x. Prmjer 4... Dato je uglca u utj oje če jedu populacju. Nea uglca može bt bjele l crvee boje. Oblježje X ea je boja uglce: X ( ω ) =, ao je uglca ω bjela, a X ( ω ) = 0 ao je uglca ω crvea. Iverza sla X ([ ab, )) je X { } ( = X ( ) ) - podsup supa bjelh uglca, odoso X ( 0) - podsup supa crveh uglca. Normalzovaa mjera (vjerovatoća) P može se defrat, pr., relacjom

7 7 broj bjelh uglca broj crveh uglca P( { x= } ) =, P( { x= 0 }) =. Nea je ({ } ) Oda je P( { x } ) p q P x= = p. = = =. U ovom prmjeru oblježje X je slučaja velča dsretog tpa za oju je fucja dstrbucje F zadaa zrazom F ( x) 0, x 0 = q,0<x, x >. Prmjer Populacju č sup svh mjereja ee velče zražee brojem m. Kao oblježje X = X( ω ) možemo uzet upravo rezultat mjereja ω. Vjerovatoća P ea je defraa relacjom { } ( x m) b σ P a X b e dx + =, gdje su m R σ R. Tada σ π a mamo da je oblježje X slučaja velča s Gaussovom dstrbucjom (ormalom) ( x m) σ N ( m, σ ), zadau fucjom gustoće: f ( x) = e. σ π 4.3. Slučaj uzora Pod statstčm pousom l statstčm espermetom podrazumjeva se regstrraje vrjedost oblježja X od elemeata z eog podsupa osovog supa Ω. Osov predmet statstčh zaljučvaja jeste da se a osovu statstčh pousa ešto zaljuč o dstrbucj ( ) x F x oblježja X. Pretpostavmo da treba sptat eo svojstvo (oblježje) oje araterše sup storodh objeata, tj. e osov sup Ω. Da b to uradl može se sprovest potpuo sptvaje posmatraog supa Ω. No, očgledo je da ao je Ω oača statstčm pousom regstrujemo oblježje X svaog elemeta ω Ω, oda je dstrbucja F x ptpuo određea. Međutm, redova je stuacja tava da statstč pous sprovede ad pravm podsupom od Ω oj se azva uzora. Razloz za to mogu bt sljedeć: ) prcpjela emogućost da se oblježje X regstruje od svaog elemeta ω Ω, odoso da pr velom broju objeata (elemeata) ostvart potpuo sptvaje je moguće; ) trošov l pratča besmsleost tavog postupa tj. sptvaje vezao za uštavaje objeata l je vezao za vele materjale trošove, (pr., ao je osov sup mjeseča prozvodja jede fabre sjalaca, a oblježje X recmo vje trajaja sjalce, regstrraje oblježja a cjeloj populacj dovod do uštavaja cjele mjeseče prozvodje). Prmjetmo da je u prmjeru 4...b) utvrđea lasa oblježja (mlječost) za svau pojedu ravu populacje. Najčešće populacja ma veoma mogo elemeata (a često besoačo), pa je u pras tešo l ča emoguće za sva od jh ustaovt odgovarajuću lasu, odoso sptat posmatrao oblježje svh elemeata te populacje. Ovavm slučajevma, općeto u slučajevma avedem pod ) l ), za sptvaje oblježja X oje as teresuje, prmjejuje se metod zbora. Sušta ovog metoda sastoj se u tome što se sptvaju podvrgu e sv objet (elemet), već jeda jhov do slučajo zabrah z

8 8 posmatraog osovog supa. Rezultat oj se dobju pr sptvaju tog djela preose se a sve elemete posmatraog supa elemeata. Defcja Izabram supom l uzorom azva se sup objeata slučajo zabrah z osovog supa. Poead se pod pojmom statstč sup l statstča masa podrazumjeva blo osov sup blo uzora. Dale, z osovog supa zdvojmo, putem slučajog odabraja, jeda prav podsup a ojem vršmo sptvaja doosmo zaljuče, oj se zove slučaj uzora osovog supa. Proučavajem slučajog uzora doosmo zaljuče o samom osovom supu, tj. zaljuče oj će pod zvjesm uslovma važt za čtav osov sup. Da b t zaljučc bl što pouzdaj, potrebo je da uzora što bolje predstavlja populacju, tj. da bude reprezetatva, što je slučaj ao o ma dovolja broj elemeata ao su o odabra slučajo, a sv elemet osovog supa treba da maju jedau vjerovatoću da uđu u uzora. U pras postoj z metoda za formraje slučajh reprezetatvh uzoraa (a baz tablce slučajh brojeva dr.). Aalogo, ao što smo od osovog supa mal, defraju se za uzora aalog pojmov ao što su obm, varjasa, statstča raspodjela uzora (relatvh l apsoluth frevecja), polgo, hstogram (varjaco red, varjaco terval td.). Defcja Obmom (l velčom, dužom) uzora azva se broj jegovh elemeata (objeata), jaso uolo je ozora oača. Ao sa N ozačmo obm osovog supa, a sa obm uzora, tada je po pravlu << N. Reprezetatvost uzora zavs od obma uzora al je obm e obezbjeđuje. Name, reprezetatvost zavs od rterja uzmaja uzora. Prestrogo rečeo, uzora je reprezetatva ao rterj po ojem ga uzmamo e zavs od oblježja oje posmatramo, tj. to sva elemet osovog supa ma jedau šasu da uđe u uzora. Uzora je sa poavljajem ao se vraća spta objeat u osov sup, bez poavljaja ao se spta objeat e vraća u osov sup. Ao osov sup sadrž besoačo mogo elemeata, oda su efasost uzora bez vraćaja uzora s vraćajem međusobo evvalete. Ao je osov sup oača, oda je efasj uzora bez vraćaja. U pras se ajčešće orst uzora bez vraćaja. Posmatrajmo e uzora zabra z osovog supa pr čemu se vrjedost x posmatra l uzma u razmatraje, vrjedost x, puta, vrjedost x, puta, gdje je =, ( obm uzora). Slučaj uzora obma sa vrjedostma x,, x občo se = raće pše u oblu : x,, x. Posmatrae vrjedost x zovu se varjase (realzacje, regstrrae vrjedost, opservacje l varjate). Nz varjas x,, xapsa u rastućem poretu zove se varjaco red, a R = X max - X m zove se varjaco razma (varjaco terval). Brojev ( = f ) zovu se frevecje (učestalost) varjat uzora, a olčc, =,, relatve frevecje varjat uzora. Defcja Statstča raspodjela uzora je prdružvaje (fucja) zmeđu supa varjat supa jhovh frevecja l relatvh frevecja. Statstča raspodjela može bt zadaa preo tabele u ojoj su varjate odgovarajuće frevecje.

9 9 Prmjer Zadaa je raspodjela frevecja uzora obma = 60: x Odavde lao se dobje raspodjela relatvh frevecja prmjeom formule ω = = 60, pa mamo x , ( ω = ). = Statstča raspodjela uzora može bt zadaa preo za eh tervala odgovarajućh frevecja. Ao je statstča raspodjela uzora zadata preo varjat x odgovarajućh frevecja ω (l oda se a osu apcsa aos x, a a osu ordata (l ω ). Dobjemo tače, recmo M( x, ), M ( x, ),, oje strogo uzevš predstavljaju graf statstče raspodjele u Deartovom oordatom sstemu. Dobjee tače povezujemo odrescma pravh. Tao dobjea lja (zlomljea) zove se polgo frevecja (apsoluth l relatvh) uzora. Ao je statstča raspodjela uzora zadaa preo tervala odgovarajućh frevecja, oda se ostruše hstogram frevecja. Name, terval ome prpadaju sve posmatrae vrjedost epredog oblježja X djel se a eolo podtervala jedae duže h. Na sva - t podterval uosmo broj (suma frevecja varjat oje prpadaju tom podtervalu. Na osu apscsa aosmo podtervale duže h, a a stm podtervalma ostrušemo pravougaoe vse h. Kolč zove se gustoća frevecje. Stepeasta h fgura oja se sastoj z pomeuth pravougaoa zove se hstogram frevecje uzora. Površa S hstograma jedaa je sum svh frevecja obma uzora. Name, ao je S površa tog pravougaoa, oda je S = h=, pa je S = S = =. h = = Na st ač ostruše se hstogram relatvh frevecja uzora, tj. stepeasta fgura predstavljea pravougaocma čja je osovca duže (podtervala) h, a vsa ω ω x =. Odos x = zove se gustoća relatvh frevecja uzora. Površa S hstograma h h ω relatvh frevecja uzora jedaa je. Zasta, ao je S = S, S = h = ω, to je = h S = ω = ω = = =. = = = =

10 0 Vratmo se poovo pojmu uzora. Iz avedeog se vd da je osov problem da uzora bude reprezetatva, tj. da formacja o dstrbucj F x oju o daje za oblježje X, bude u zvjesom smslu tača. Jaso je da se, općeto govoreć, reprezetatvost uzora postže ao je ač uzmaja elemeata u uzora ezavsa od oblježja oje se posmatra. Međutm, često je tešo provjert tu ezavsost ao što poazuje sljedeć teresata prmjer. Prmjer Dat su podac jede aete socjalog osguraja u Poljsoj. Osov sup če sv zaposle osgurac čj je broj N = 7573, a oblježje X je vrsta posla oo uzma sljedeće četr razlčte vrjedost: ) Radc, zuzev zaposleh u ugljeoopma čelčaama, N = , = 5 8; ) Radc u ugljeoopma čelčaama, N = , = 493; 3) Društvee jave službe, N 3 = 56447, 3 = ; 4) Usluže djelatost, N 4 = 644, 4 = 4 088; Svega: N = 7573, = N Raspodjela vjerovatoća za oblježje X je p =,( =,,3,4). Uzora obma = N zaposleh če sv o čja prezmea počju sa P. Raspodjela oblježja X u tom uzoru je, (,, 3, 4) =. Poazuje se pomoću tzv. Pearsoovog metoda, tj. pomoću tzv. χ - testa, da postoje vrlo začaje razle zmeđu oblježja X u osovom supu u uzoru, tao da se uzora e može smatrat reprezetatvm. Napomemo da je u ovom prmjeru blo tešo predvdjet zavsost zmeđu zaposleja početog slova prezmea. O metod slučajog uzora Do sada smo zlagal o uzoru metod uzora tutvo, a sada ćemo to čt vše sa formalog aspeta. Razmatraja u teorj vjerovatoće avode as ao treba uzet uzora da b o bo reprezetatva. Name, ao što je obrazložeo u prethodom djelu testa, elemete osovog supa treba brat u uzora slučajo, jer oda očeujemo da se eutralšu sve moguće zavsost zmeđu posmatraog oblježja uzora. Tao zabra uzora zove se slučaj uzora. Nadalje ćemo se uglavom bavt uzorom ostatog obma. Kao elemete osovog supa bramo u uzora slučajo to mamo slučajh shoda ω,, ω ašeg statstčog pousa. Oblježje X ašeg statstčog pousa posmatrao od svaog od th shoda daje - dmezoalu slučaju velču ( X,, X ), gdje je X = X ( ω) za =,,. Kao ćemo se uglavom bavt samo jedm oblježjem, pr. X, to mamo dmezoalu slučaju velču ( X X ),, oju ćemo taođe zvat slučaj uzora. Otuda vdmo da se sa formalog aspeta može reć da je jedodmezoal slučaj uzora obma ustvar dmezoala slučaja velča ( X,, X ). Ao pa posmatramo dva oblježja, recmo X Y, tj. ao se rad o dvodmezoalom statstčom supu, oda

11 jemu odgovara slučaj uzora obla (( ) ( ) ) - dmezoala statstč sup, gdje je prroda broj. X, Y,..., X, Y. Općeto se može posmatrat Kada je statstč pous jedom sprovede u uzora je uzeto eh elemeata dmezoala slučaja velča ( X,, X ) postaje tora brojeva ( x,, x ) oja predstavlja tzv. realzova uzora. Jedom realzova uzora je dale jeda realzovaa vrjedost - dmezoale slučaje velče. Defcja Slučaj uzora( X,, X ) zove se prost ao su slučaje X,, X ezavse jedao dstrburae, tj. svaa od jh ma fucju promjeljve ( ) dstrbucje F ( x ) ao oblježje X. Pr tome je zajedča fucja dstrbucje za ( X X ) zadaa zrazom ( ),, (,, )(: = X (( ))) ( ),, X,, = Q x x F x x F x. Popularo govoreć, prost slučaj uzora zač da se statstč pous sastoj od ezavsh regstrraja vrjedost oblježja X. Prje sprovođeja tavog pousa vrjedost oje ćemo dobt su slučaje velče ( X,, X ), a ada je pous sprovede mamo brojeve ( x x ),, (l ee opštje elemete), tj. realzova je prost slučaj uzora. Kao ćemo se dalje bavt uglavom prostm slučajm uzorom govorćemo rato uzora. Ao se rad o složeom (stratfovaom) uzoru posebo ćemo aglast. Prmjer U Prmjeru 4... prost slučaj uzora obma može se realzovat tzv. slučajm uzorom sa vraćajem (sa N jedaovjerovath shoda): slučajo bramo uglcu da b realzoval oblježje X, uglcu vraćamo azad u utju, slučajo bramo uglcu, td. Pr tome su očgledo ( X,, X ) ezavse slučaje velče sa stom fucjom raspodjele. No drugačja je stuacja od slučajog uzora bez vraćaja. Name, tada bramo uglcu da bsmo regstrral oblježje X, a zatm uglcu e vraćamo u utju već bramo ' ' slučajo sljedeću uglcu td. Slučaje velče X,..., X ( N) ovao defrae su ' ezavse, jer se poazuje da je pr. vjerovatoća događaja da je X = uz uslov da se deso ' ' događaj X =, razlčta od vjerovatoće događaja da je X = uz uslov da se deso ' događaj X =. Zapravo, u tom slučaju mamo: 0 ' ' ({ } { }) ' P { X = } P X = X = ' ' N p ' ' N q P( { X = } { X = } ) = = = P { } { } ( ) ( X = X = 0 ) = N N Nje tešo poazat (prmjeom formule potpue vjerovatoće) da u ovom prmjeru svaa slučaja velča =,, ma stu dstrbucju ao oblježje X. X ( ) ' =

12 4.4. Emprjsa fucja raspodjele (dstrbucje). Fudametala teorema statste Emprjsa fucja raspodjele U clju davaja odgovora a ptaje reprezetatvost uzora, tj. u om slučaju uzora( X,, X ) daje potpuu formacju o raspodjel F ( x ) oblježja X a cjelom osovom supu Ω ; defra se prvo tzv. emprjsa fucja dstrbucje. Defcja Nea je ( X,, X ) F, tj. ea su ( X X ) slučaj uzora obma z fucje dstrbucje,, ezavse jedao dstrburae slučaje velče sa zajedčom fucjom dstrbucje F. Fucja F ˆ ( l F l Fst l S l F emp ) defraa a R zrazom broj X ova oj su maj od ˆ x F ( x ): =, ( x R ), tj. Fˆ ( x) = χ{ X x} < l ˆ f F ( x) = zove se emprjsa fucja dstrbucje = x < X (raspodjele) uzora l umulatva l statstča fucja raspodjele. ) Dale, za sva fsra x R, Fˆ ( x) predstavlja relatvu frevecju događaja { X < x} u poovljeh ezavsh pousa, odoso F ( x) je slučaja velča. Iz same defcje sljed da emprjsa fucja dstrbucje ma sljedeća osova svojstva: ) jee vrjedost prpadaju segmetu [ 0, ] ; ) eopadajuća je; 3) ao je x ajmaja x ajveća vrjedost oblježja X, oda je za x x vrjedost Fˆ ( x ) = 0, a za x > x je Fˆ ( x ) =. Defcja Itegrala fucja raspodjele, recmo F ( x ), osovog supa za razlu od emprjse fucje Fˆ ( x ) zove se teorjsa fucja raspodjele oa se zadaje, ao što zamo, sa F ( x) : = P { ω Ω : X ( ω) x}, gdje je X slučaja velča, tj. ( ) posmatrao oblježje. 0 Kao za sva vrjed χ { } = X x (što sljed z defcje < F( x) F( x) araterstče fucje supa teorjse fucje raspodjele) ao su slučaje velče Fˆ x, F x F x je boma slučaja velča ( ) ezavse, to je ( ) B ( ), ( x R ), tj. ˆ ( ) sa parametrma F, ( x, ) odoso, mamo: ) U lteratur se, umjesto zaa <, u zrazu oj defra emprjsu fucju dstrbucje (aalogo ao u defcj fucje dstrbucje F X slučaje velče X) uzma za. ˆ

13 3 ˆ P F ( x) = = F ( x) F ( x), ( 0, ) =. Sada se doaže, orsteć tzv. Borelov ja zao velh brojeva, da za sva x R vrjed ˆ g. s. F x F x, /overgra gotovo sguro a/, tj. pšemo ( ) ( ) ( gs..) Fˆ ( x) = F( x), ( ) lm ( ( gs..)- vrjed svuda svojstvo osm a supu mjere 0, odoso, osm za događaje čja je vjerovatoća 0). To zač da fucju raspodjele F( x ) možemo u svaoj fsraoj tač x R soro sguro odredt pomoću uzora ( X X ) ada obm uzora eogračeo raste.,, Tzv. Cetrala teorema statste (fudametala teorema statste), l Glveo Catelljeva teorema, tvrd da je overgecja ( ) ča uforma po x (gotovo svuda, odoso, gotovo sguro). Oa glas: X,, ˆ F F = ao u prethodoj,, prost slučaja uzora sa oblježjem X čja je fucja Teorema (Glveo Catell). Nea je ( ) defcj, tj. ea je ( X X ) dstrbucje F (teoretsa) F ˆ emprjsa fucja dstrbucje uzora. Tada vrjed: ˆ P lm sup F ( x) F( x) = 0 =. x R Napomea Za realzova uzora : x,, x realzovaa emprjsa fucja raspodjele je ea određea fucja ( ) s ( x) x x x s x l f ( x ) ( ) ˆ <, ( ) x R defraa zrazom = za + =,, s ( x ) = 0 za x < x, gdje su x x vrjedost ( x,, x ) poredae po velč. Prema cetraloj teorem x R, zuzev možda oh oje prpadaju događaju statste sve realzacje s ( x ), ( ) vjerovatoće 0, uformo po x overgraju a fucj (teorjsoj) raspodjele F( x ) oblježja X ad obm uzora. Iteresato je posmatrat u statstc slučaje velče D defrae zrazom D = sup s x F x. Poazuje se (tzv. teorema Kolmogorov - Smrova čj je doaz x + ( ) ( ) dosta slože) da za fucju raspodjele slučaje promjeljve formula D važ ad ( ) ( ) { } ( ) ( ) F x = G x = P D < x D 0, x 0, + ( ) e x, x> 0, =

14 4 pod uslovom da je F( x ) epreda fucja dstrbucje. Prmjer Nać emprjsu fucju raspodjele prema datoj statstčoj raspodjel: x (f =) Rješeje. Kao su već sve varjate uzora apsae po velč, to datu tabelu već možemo smatrat tablčm prazom statstče raspodjele apsoluth frevecja. (Da b odredl aaltč zraz emprjse fucje dstrbucje može se prvo dat tabelar praz statstče raspodjele relatvh frevecja.) Imamo: Fˆ x = 0 za 6 = = 0, za 6 x 8 za x Fˆ x = 0, 5, za x 5 za 5 ˆ x =, tj. ( ) 8< je ( ) x > je F ( ) x, ( ) 0, x 6, 0,, 6 < x 8, ˆ F ( x) = 0, 5, 8 < x, 0, 75, < x 5,, x > 5. Fˆ x = 0,, < je ( ) < je ( ) y Fˆ x = 0,75, 0 x Sl O araterstčm fucjama dstrbucje tpovma overgecje u teorj vjerovatoće Jeda vrlo moća matematč aparat u teorj vjerovatoće, pa u statstc, predstavlja metoda araterstčh fucja dstrbucje u vez s tm je zgrađea čtava teorja araterstčh fucja. Te se fucje mogu orso upotrjebt u doazma gračh teorema u teorj vjerovatoće u jem prmjeama u statstc. Ovdje ćemo dat samo jeu defcju avest jea osova svojstva. Defcja Fucja ϕ zove se araterstča fucja slučaje velče X (l araterstča fucja fucje dstrbucje F, gdje je F fucja dstrbucje slučaje Ω, F, P ), ao je fucja ϕ zadaa zrazom velče X a eom prostoru vjerovatoće ( ) tx () t : E( e ) tx ϕ = ( magara jedca), tj. ao je ϕ () t = e df( x), ( ) + t R.

15 5 Napomemo da je e tx prmjer omplese slučaje velče Z( = X + Y): Ω C pr čemu je ao što zamo ta slučaja velča određea parom ( X, Y ) ezavsh slučajh velča X, Y, oj preslava sup Ω u C (gdje je C sup omplesh brojeva). Poazuje se da araterstča fucja ϕ ma ova osova svojstva: ) ϕ () t, ( t) ( t R ) ; ) ϕ je epreda ( t) ( ) 3) ϕ ( 0) = ; 4) ϕ( t) = ϕ( t), ( t) ( t R ); 5) ϕ j 0 = j E X j, ( j ) ( ) ( ) ( ) t R ;, ao je ( ) reda j u tač 0); tx ϕ t : = E e se dobje fucja gustoće f: 6) z () ( ) + tx f ( x) = e ϕ () t dt π, ( e= lm +, e, 78 ). E X < +, za e N ( zvod fucje ϕ Prmjer Lao se vd da je fucja ormale slučaje varjable. t ϕ : t e araterstča fucja Defcja Kažemo da z { X } slučajh velča overgra gotovo = sguro (overgra jao) prema slučajoj velč Y ao je ({ ω Ω ( ω) ( ω) } ) P Y = lm Y = (tj. overgra svuda osm evetualo a supu vjerovatoće 0). To se ozačava sa gs.. Y y ( + ) l (g. s.) lmy ( x) = Y( x). Defcja Kažemo da z { Y } slučajh velča overgra po vjerovatoć (overgra slabo) a slučajoj velč Y ao za sva ε > 0 vrjed relacja lm P ω Ω : Y ( ω) Y( ω) ε = 0, što se smbolč ozačava sa Y ({ }) P Y, ( ) l ( P) Y ( x) y( x) lm =. Osm ova dva tpa overgecje u teorj vjerovatoće, pa u statstc, posebo su začaja sljedeća dva tpa. Defcja Kažemo da z { Y } slučajh velča overgra po dstrbucj a Y ao je lm F ( x) = F ( x), za sva ( ), gdje je C(F Y ) sup svh tačaa Y Y x C F Y

16 6 epredost fucje dstrbucje F Y slučaje velče Y, a F Y je fucja dstrbucje slučaje velče Y. To se smbolč često pše u oblu F F. Y D ( ) Defcja Nea je p + ea postoj oač apsolut p-t momet p ( ) p E( Y Y ) E Y. Kažemo da z { } lm = 0, što često ozačavamo sa Y overgra u sredjem reda p prema Y ao je Y m p Y, ( ) Y x ajčešće pše Sl Posebo važa slučaj overgecje u sredjem je za p =, u om slučaju se Y s.. Y, ( ) da je to sredjevadrata overgecja. aže da dat z overgra u sredjem, odoso Poazuje se da su overgecja gotovo sguro overgecja u sredjem euporedve (tj. jeda drugu e mplcra), do obje mplcraju overgecju u vjerovatoć, a ova mplcra overgecju u dstrbucj (a obruto e vrjed; tj. poazuje se da vrjed odos overgecja slučajh velča dat šemom a sl O zaoma velh brojeva, gračm teoremama teoremama cetralog lmesa u teorj vjerovatoće Zao velh brojeva je jeda od osovh ajzačajjh zaoa u statstc.. Karater sadržaj statste ao aue prase zasva se a zaou velh brojeva. Osov smsao začeje zaoa velh brojeva u statstc može se ajjedostavje zrazt u sljedećem: što je već broj događaja, posmatraja l elemeata to je veća vjerovatoća da će aš sudov zaljučc bt real, stt, odoso to je maja greša u tačost ašh zaljučvaja. Pr tome treba vodt račua da je prmjea zaoa velh brojeva opšta (geerala) u statstc, tj. e treba shvatt da to zavs od metoda da l posmatraje prebraje vršmo putem potpuog obuhvataja svh jedca eog osovog supa l samo putem djelmčog (seletvog) posmatraja, odoso, putem uzora, tj. u svaom slučaju težmo da aše sudove zaljuče temeljmo a zaou velh brojeva, samo što od prmjee metode uzora to procjejujemo sa majm stepeom pouzdaost ego ad to vršmo potpum obuhvatajem svh elemeata osovog supa. U sušt, zao velh brojeva zasva se a zaoma vjerovatoće pa se jhov doaz zvod tm putem.

17 7 U lasčom oblu problemata zaoa velh brojeva sastoj se u sptvaju X+ X potrebog dovoljog uslova da z artmetčh sreda X,,..., X,... = ezavsh slučajh velča X,, X overgra u određeom smslu a eom broju. Ao se e stae suproto, u daljem zlagaju smatramo da su sve slučaje velče, oje se Ω, F, P. stovremeo posmatraju, defrae a stom prostoru vjerovatoće ( ) Sada ćemo preczje formulsat zao velh brojeva: Nea je { X } z ezavsh slučajh velča (defrah a fsom prostoru vjerovatoće ( Ω, F, P) ). ( = =,, ) = Posmatra se overgecja za X E( X ) a 0 (l, opštje, za S l za S a a osat, gdje je S = X, a R, ( =,, ) ). = Ao je u ptaju overgecja u vjerovatoć odgovarajuća teorema zove se slab zao velh brojeva, a od soro sgure overgecje zove se strog (ja) zao velh brojeva. Ne osov zao velh brojeva X Poazuje se da z (X ezavse) overgra gotovo sguro a ostat l = da dvergra gotovo sguro. Taođe se doazuje da vrjede sljedeć zao velh brojeva (a e drug, ao što su Čebševljev zao, Hčjev zao /slab zao/, te ja zao Kolmogorova dr.). Teorema (Beruljev slab zao velh brojeva). U Beruljevoj šem (tj. S B, p, tj. ao je S boma slučaja velča) za sva ε > 0 vrjed da je ao je ( ) P p ε 0 S, ( ), tj. P X = p, ( ). (Ovaj zao govor o overgecj po vjerovatoć za relatvh frevecja u Beruljevoj šem u svaom pojedom pousu. Ovaj zao pretpostavlja lasča rezultat teorje vjerovatoće jeda je od prvh važjh teorema teorje vjerovatoće a objavlje je 75. gode.) Doaz. Prema pozatoj ejedaost Čebševa: Ao je X slučaja velča sa oačm očevajem varjasom a eom prostoru vjerovatoće ( Ω, F, P), oda za Var ( X ) sva ε > 0 vrjed da je P( { ω Ω X ( ω) E( X) ε} ), (a često se orst ε ({ ω Ω ω ε} ) Marovljeva ejedaost P X ( ) ( X ) E :, 0 r ε r r >, ( ) E X < + ), mamo:

18 8 S Var S p q ( ) ω p q P ω Ω: p ε = = 0,, ε ε ε Var S = p q ( ) S Var a X = a Var ( X ) sljed da je Var = p q. jer z ( ( ) ) Prema tome, Beruljev slab zao velh brojeva je doaza. Napomemo još da Beruljev zao velh brojeva daje jedo tumačeje grupsaja S relatvh frevecja oo vjerovatoće p. Al to grupsaje je opsao sljedećom jačom teoremom oju je doazao Borel 909. gode zove se Borelov ja zao velh brojeva. Teorema U Beruljevoj šem (tj. za bomu slučaju velču S (, p) ( ω) vrjed ja zao velh brojeva dat sa P ω Ω: p, =, tj. p, ( ). g. s. X = S B ) I. Doaz. Doazuje se prmjeom Čebševljeve ejedaost Borel-Catelljeve leme Napomemo da se u prmjeama orst poopštea Čebševljeva ejedaost data sljedećom teoremom. Teorema (Kolmogorovljeva ejedaost). Ao su X,, X m ezavse slučaje velče ao je Var ( X j ) < + za sva j =,, m, oda za sva ε > 0 vrjed ({ ω Ω:max = ( ) }) ( ),, m ω ε, gdje je Y = ( X E( X) ) P Y Var X ε =. = Navedmo ovaj (moć) ja zao velh brojeva: Teorema (Teorema Kolmogorova). I. Nea je ( X ) z ezavsh slučajh velča taav da je F = F, ( ), tj. sve X su jedao dstrburae. Ao postoj E ( X ), oda je E( X ) ( ). X X g. s. X,

19 9 II. Obruto: Ao je P lm X postoj =, oda E ( X ) postoj prema I. je g. s. X E( X), ( ), l raće: Nz X =, gdje su X ezavse = jedao dstrburae slučaje velče, overgra gotovo sguro ao samo ao E ( X ) postoj u tom slučaju je lm X = E( X). = Doaz. Izlaz z ovra ovog ursa. Grače teoreme (teorem cetralog lmesa) u teorj vjerovatoće U prmjeama ajčešće je potrebo zračuat vjerovatoću da ea slučaja velča poprm vrjedost z eog tervala ao pr. vjerovatoću da se broj uspjeha u Beruljevoj šem (tj. ao je X B (, p) (boma slučaja velča) ) alaz zmeđu realh brojeva, recmo, a b. Ta vjerovatoća je p( ) = P( a X b) = P( X = ) = p q a b a b. Brojeve p ( ), a posebo P( a X b) vrlo tešo je zračuat za vele. U tom smslu orste se ee teoreme (grače) da se dobju prblže vrjedost ovh brojeva. Navedmo stoga sljedeće važe (lasče teoreme) grače teoreme u teorj vjerovatoće: Teorema (Possoova teorema). Nea je X B (, p) ( ) N lm p = 0,lm p = λ, λ > 0 fsa broj. Tada sljed da za sva = 0,,, vrjed λ λ lm P( X = ) = lm pq = e,! λ λ tj. mamo P( X = ) e, ( p ; 0,,, ) p < 0. X! Osm ove teoreme mamo dvje Laplaceove teoreme. λ = =, a orst se ao je 0, a Teorema (Loala Movre Laplaceova teorema). Nea je 0< p < p B (, p) ea je X =, ( = 0,, N ). Tada vrjed p q π p q P( X = ) lm = ( ) x e ab,, gdje je a x b za sve. to uformo a svaom ogračeom segmetu [ ]

20 0 0 r r t r Doaz. Uputa: Prmjejuje se Strlgova formula r! = π r r e e, t r dobje pratča prblža formula r < <. Napomemo da se z ( ) P X e f x π p q p q p ( = ) = ( ) Teorema (Itegrala Movre Laplaceova teorema). Nea je 0 < p < B (, p) ( ) X N. Tada za prozvolje ab, R l ab, R, a< b, vrjed b x X p X p D lm P a b = e dx p q π, tj. N ( 0,) ( ). a p q Doaz. Može se doazat da je ova overgecja u teorem uforma u odosu a ab,, pr čemu je a< b +. Teorem je specjala slučaj opšte cetrale grače teoreme. Pozat matematčar G. Polya je uveo azv cetrala da b aglaso da je taj problem bo u cetru stražvaja u teorj vjerovatoće u XVIII vjeu. Al, četrdeseth goda ovog vjea dobjeo je potpuo rješeje prošree verzje cetralog gračog teorema taj do teorje je jeda od ajljepšh djelova teorje vjerovatoće. Navedmo jedu od verzja opšte teoreme cetralog lmesa: Teorema (Lévyjeva teorema cetralog lmesa). Nea je X z ezavsh slučajh velča jedae dstrbucje, tj. F F, sa očevajem μ = E( X ) Var ( X ) σ S μ σ = ( 0 σ ) α l raće N ( 0,) X = ( ) < <. Tada za sve a R vrjed X μ + λ = lm P a = e dx σ π,, gdje je S = X. Doaz. Relatvo lao se zvod doaz orsteć metod araterstčh fucja razvoja araterstčh fucja prema Taylorovoj formul (MacLaurovoj formul), tj. orsteć razvoj: () ( ) ( ) t ϕ t = E X + o( t ), ao E( X ) postoj. = 0! = X Fudametala teorema statste U ovru ove tače doažmo raje avedeu fudametalu (cetralu) teoremu statste.

21 Teorema (Fudametala teorema statste). Ao je F( X ) fucja dstrbucje slučaje promjeljve X (teoretsa fucja dstrbucje) S ( X ) emprjsa fucja dstrbucje oja odgovara prostom uzoru ( X X ), oda vrjed:,, P sup S ( X) F( X) 0, =. < x< + Doaz. Izvest ćemo doaz za slučaj da se polaz od defcje fucje dstrbucje F F x = P ω Ω : X ω < x, tj. da je F epreda sa ljeve strae ({ }) po ojoj je ( ) ( ) (aalogo se zvod za slučaj da se F defraa zrazom F ( x) = P( X x), tj. da je F epreda sa dese strae) (vd pr. [N. Sarapa]). Nea je x ( j =,, ) (,, ) = ajmaja vrjedost od x za oju je j ( ) F( x+ 0). ( ) F x { } ' Stavmo da je Aj S ( xj ) F( xj ), ' '' brojeva P( A j ) =. Slčo se dobje da je P( A j ) = za '' j ( j ) ( j ) =. Tada je prema Borelovom zaou velh { 0 0, } A = S x + F x +. Dale, mamo P( A j ) = gdje je ( ) A = A A = A A ' '' ' '' j j j j j j. Taođe mamo: A = Aj = sup S( xj ± 0) F( xj ± 0) 0, ( ) j = j. Prema tzv. lem o porvaju (Booleova ejedaost) mamo da je c c c P( A ) = P A P( A ) = 0, tj. P ( A ) =. Prema osob epredost vjerovatoće j = j = m za A= A mamo da je P( A) = lm P A = lm =. Otuda za sva x ( xj, x j +, ) m m = = mamo F( xj + 0) F( x) F( x j +, ) S( xj + 0) S( x) S( x j +, ). Kao je, prema ( ), 0 F( xj+, ) F( xj + 0), to mamo: S( x) F( x) S( xj+, ) S( xj + 0) S( xj+, ) F( xj+, ) +, a s druge strae, S( x) F( x) S( xj + 0) F( xj+, ) S( xj + 0) F( xj + 0), ( gs..). Dale, dobl smo da za sva x R sva vrjed S ( x) F( x) sup S ( xj 0) F( xj 0) j Kao događaj ± ± +, ( gs..). ( )

22 mplcra događaj sup S( xj ± 0) F( xj ± 0) 0, j sup S ( x) F( x) 0, ( = A ) < x < P A P A =, to je cetrala teorema doazaa. + za oj vrjed, prema ( ), da je ( ) ( ) 4.5. Statsta. Dopustva famlja raspodjela Ao fucja F ma gustoću f, tj. ao je X epreda l dsreta slučaja velča s X,, X uzet z gustoće f l z dstrbucje gustoćom f, oda se občo aže da je uzora ( ) F. Defcja Nea je ( X,, X ) R R Borelova fucja (tj. ao je g ( B) g : B, sva a R geersaa famljom svh otvoreh podsupova a Borelovh supova a R (za sva,, uzora oblježja X z fucje dstrbucje F B B gdje je R, tj. B -σ algebra B je σ - algebra Y = g X,,, X u ojoj e fguršu epozat parametr, tj. e zavs esplcto od epozath parametara, zove se statsta (u užem smslu rječ, za razlu od pojma statste, u šrem smslu, ao auče dscple). = ). Slučaja velča ( ) No, raspodjela statste može da zavs od epozath parametara. Ao je u ptaju X,, X, oda je prpada statsta jeda broj Y = g( X,, X ), tj. realzova uzora ( ) realzovaa vrjedost slučaje velče Y g( X X ) =,,. U prmjeama se ajčešće posmatraju sljedeće statste: ) Suma uzora: ) = X = X = X oja se još zove artmetča sreda uzora, sredja vrjedost uzora (očevaje uzora). S = S = ( X X) varjasa (dsperzja) uzora. = Taođe se orst tzv. spravljea dsperzja ' S : = ( X X) = Lao se vd da vrjed sljedeća teorema. Teorema Nea je ( X X ) (, 3, ) =.,, slučaja uzora z fucje dstrbucje F ea je μ očevaje od F σ varjasa od F. Tada je

23 3 σ ' E( X) = μ, Var ( X ) =, E( S ) = σ. E X = E X = E X = μ = = dvje relacje. Doaz. Name, ( ) ( ). Slčo se doazuju ostale Prmjer Ao je E( X) = m pozat parametar, oda je jeda statsta, a ao je m epozat parametar, oda S je statsta. S X m = ( ) = Kao što smo rel, osov problem u statstc je da se pomoću uzora ( X,, X ) ešto zaljuč o raspodjel F( x ) oblježja X. Najčešće je stuacja tava da o raspodjel F( x ) mamo ee prethode formacje l pretpostave oje e podvrgavamo provjeravaju. Npr. često z opšth razmatraja zaljučmo da važ aprosmatvo cetrala grača teorema te uzmamo da (prblžo) oblježje X ma ormalu raspodjelu. Ao su am matematčo očevaje m varjasa σ oblježje X epozat, oda možemo reć da X ma raspodjelu N m, σ, < m < +, σ > 0, l recmo, mamo { } oja prpada famlj raspodjela ( ) dovoljo razloga da pretpostavmo da X ma uformu raspodjelu a segmetu [ 0,b ], pr čemu je b epozat. Tada je famlja raspodjela ojoj prpada raspodjela za X data sa { ( 0, b), b> 0}. Uopšte, redovo pretpostavljamo da oblježje X ma dstrbucju F x, θ, θ Θ. Ova famlja se azva { } (raspodjelu) oja prpada famlj dstrbucja ( ) dopustva famlja dstrbucja, gdje parametar θ prolaz roz sup dopustvh vrjedost Θ. Šta ćemo usvojt ao dopustvu famlju raspodjela u oretoj stuacj zavs od eh ašh rajh formacja od problema oj as teresuje. Izbor te famlje je u opštem slučaju subjetva. Međutm, ovj pravac u statstc, tzv. Bajesovs prlaz, još je ortodosj u tom smslu, jer o pretpostavlja da parametar θ oj određuje raspodjelu F x, θ oblježja X prpada supu Θ pretpostavljajuć jedu slučaju velču sa eom ( ) aprorom raspodjelom vjerovatoće G ( θ ) čj zbor zavs od prethodh formacja oblježja X, tj. subjetva je Ocjee parametara po uzoru Nea slučaja velča X ma dstrbucju F( x, α ), gdje je α epozat parametar. Pretpostavmo da treba ocjet parametar α, odoso da treba odredt prblžo jegovu vrjedost u zavsost od eog uzora : x,, x. Ozačmo tu ocjeu sa α. Očgledo α zavs od uzora : x,, x, tj. α = α( X,, X ). Kao u -toj serj z -ogleda α uzma eu vrjedost α to se α javlja ao slučaja velča α: Ω R, te se može govort o dstrbucj (raspodjel) te velče, a o jem umerčm araterstama. Da b ocjea α epozatog parametra α mala pratču (upotrebljvu) vrjedost, a ju se postavljaju određe zahtjev. Otuda mamo sljedeće defcje o ocjeama parametara:

24 4 Defcja Ocjea α α( X X ) (eprstrasa, epomjerljva), ao je ( ) E α Ao svojstvo ( ) E ( α ) =,, epozatog parametra α zove se cetrraa = α. ( ) je spujeo, oda je ocjea prstrasa tada je ( ) = α γ, gdje je γ prstrasost. E α = α + γ l ' ' α Elmacjom prstrasost γ (odoso α = α γ ) l α = dobje se eprstrasa γ ocjea. Defcja Ocjea α parametra α zove se asmptots cetrraa ao E α α. ( ), Defcja Ocjea α parametra α zove se stabla (postojaa, ozsteta, moća) ao za prozvolja ε > 0 vrjed da je { } lm P α α ε =, tj. α P α,.. Defcja Neprstrasa stabla ocjea α zove se ajefetvjom (ajefasjom) ao oa ma ajmaju varjasu (dsperzju) od svh eprstrash stablh ocjea parametra α z famlje Θ, tj. Var α = f Var α. α Θ Napomemo, da se često efetvost defra u las eprstrash ocjea (procjea) Grupsaje statstčh podataa. Numerče (statstče) araterste oblježja Grupsaje statstčh podataa O grupsaju statstčh podataa govorl smo raje ada smo defral pojmove statstče raspodjele uzora, te govorl o pojmovma grafčog metoda u statstc, (a u teorj vjerovatoće). Nea je z eog statstčog supa formra uzora od elemeata : x,, x. Občo se taj uzora prazuje u oblu statstčog za zadaom tabelom... x x x... x Da b se zračuale umerče araterste ao što su: srede uzora (artmetča, geometrjsa, harmojsa, vadrata dr.), medjaa, modus, statstč momet, vartl, araterste položaja, asmetrje escesa dr. (a osovu cetralog gračog teorema prrodo je očevat da će ove uzorače araterste bt dobre ocjee za odgovarajuće

25 5 araterste osovog supa) ocjee raspodjele slučaje velče X občo se vrš grupsaje ovh podataa. Pr tome se u slučaju dsrete slučaje velče vrjedost x poredaju po velč račuaju frevecje m l X. Kao rezultat dobje se tablca: m ( obm) pojavljvaja slučaje velče x x x x x x m m m m m m tj. dobje se ao praz statstče raspodjele uzora. Ao se rad o epredoj slučajoj velč, podac se grupšu tao da se terval posmatrae vrjedost podjel a podtervala (podsegmeata) jedae duže: [ x0, x],, x, x zračua relatva frevecja slučajog događaja oj se sastoj u tome da slučaja velča uzme vrjedost u posmatraom tervalu. Tao se dobje tabela terval [, ] m x0 x x, x m m pr čemu je m =. = Broj podtervala se bra a osovu sustveh formula, tao pr. može se uzet da je log ajveć prrod broj za oj je +. Poređejem polgoa umulatva (emprjsh log fucja dstrbucje za dsrete tervale zove) hstograma frevecja za tervale zove sa grafcma fucja frevecja (fucje vjerovatoće) fucja dstrbucje teoretsh raspodjela, može se dojet ocjea (pretpostava) o raspodjel posmatrae slučaje velče Osova sreda, sreda uzora ocjea očevae srede Svaodevo čujemo da se govor o prosjeu plata rada jede fabre, l o sredjoj ocje uspjeha učea jedog razreda sl. Slobodo govoreć, prosje je sredj broj l sreda oo oje se grupšu vrjedost oblježja, pa često daje dobru obavjest o tom oblježju. Pretpostavmo da treba zučt oblježje X za dsret osov sup. Defcja Osovom sredom azva se artmetča sreda oblježja X osovog supa.

26 6 Ozačmo osovu sredu sa X O. Ao su sve vrjedost x,, x oblježja X osovog supa obma N razlčte, oda prema datoj defcj mamo X = X ( ). O N N = Ao se oblježje (osoba) X razmatra ao slučaja velče čje su moguće vrjedost,, x x sa stom vjerovatoćom p =, oda je matematčo očevaje tave slučaje N velče dato sa ( ) E X = x + x + + x = x, tj. sljed da je očevaje N N N N = oblježja X dato zrazom E x X = N ( ) = O. ( ) Ao vrjedost x,, x maju respetvo frevecuju N,, N, pr čemu je = N, oda je O = N = X N X. ( 3 ) Nje tešo zaljučt da jedaost ( ) važ za ovaj slučaj. Međutm, za epredu raspodjelu oblježja X uzma se po defcj da je X O = E( X). ( 4 ) Pretpostavmo da za zučavaje osovog supa u odosu a oblježje X z jega zdvojmo uzora obma. Tada se defraju sljedeć pojmov (u sladu sa rajm defcjama): Defcja Sreda uzora uzora. X azva se artmetča sreda vrjedost oblježja Ao su sve vrjedost x, x razlčte, oda je, X = = x. ( 5 ) Ao pa vrjedost x,, x maju, respetvo, frevecje,,, pr čemu je + + =, oda je = = X x. ( 6 ) Kao je sva uzora obma zvuče z osovog supa ome odgovara broj određe sa ( 5 ) l ( ) 6, to se sreda uzora može smatrat ao slučaja velča X. Sreda uzora uzma se ao valteta ocjea osove srede, jer se poazuje da je ova ocjea E X = X da je epomjerljva moća. Zapravo, poazuje se da je (ao što smo vdjel) ( ) ( O ) lm P X X < ε = za sva ε > 0. Otuda sljed da pr eogračeom povećaju obma uzora sreda uzora tež po vjerovatoć a osovoj sred. Posljedja jedaost zač da O X

27 7 sreda uzora predstavlja moću ocjeu osove srede. Sljed taođe, da su srede uzora, ađee po vše uzoraa sa dovoljo velm obmom z eog osovog supa, jedae međusobo, što zražava svojstvo stablost srede uzora Osova dsperzja, dsperzja uzora emprjsa dsperzja Kao araterste rasjaja vrjedost oblježja X osovog supa oo svoje sredje vrjedost (l u ool svoje sredje vrjedost) služe sljedeć pojmov: osova varjasa (dsperzja) te osovo vadrato odstupaje (stadarda devjacja), što se defra a sljedeć ač: Defcja Osovom sredjom dsperzjom D O azva se artmetča sreda vadrata odstupaja vrjedost oblježja X osovog supa od jegove sredje vrjedost X O. Ao su sve vrjedost x,, xn oblježja X osovog supa obma N razlčte, oda je prema datoj defcj N D = ( x X ), ( ) O O N = a ao vrjedost x,, x maju respetvo frevecje,,, + + =, oda je D = ( x X ). ( ) O O N = Defcja Osovm sredjm vadratm odstupajem σ O azva se vadrat orje osove dsperzje D O, tj. σ O = DO (artmetč orje). Kao araterste rasjaja vrjedost osobe uzora u ool dsperzja uzora sredje vadrato odstupaje uzora. X uvode se pojmov Defcja Dsperzjom uzora D azva se artmetča sreda vadrata odstupaja. Ao su vrjedost x,, x oblježja X uzora obma sve razlčte, oda je D = ( x X), a ao vrjedost x,, x maju respetvo frevecje,,, za = oje je =, oda je D x X = ( ). = Defcja Sredje vadrato odstupaje σ = (artmetč orje). D σ uzora defra se zrazom je Za zračuavaje dsperzje uzora može se orstt formula: D X ( X ) = = X x, = = X x. =, gdje

28 8 Slčo se doazuje da važ da je: ( ) D = X X, odoso da važ O O O E ( D) = DO. Kao je očevaje E( D) DO, to se dsperzja uzora D javlja pomjerljvom (je cetrraa) ocjeom osove dsperzje D. Da b dobl epomjerljvu ocjeu (cetrrau) osove dsperzje D O, uvod se pojam emprjse (spravljee) dsperzje S sljedećom defcjom: Defcja Emprjsa dsperzja S defra se zrazom S = D. Otuda mamo da je S x X x X = ( ) = ( ) = =. E S = E D = E D = DO = DO, Kao je ( ) ( ) to je emprjsa dsperzja epomjerljva (eprstrasa) ocjea osove dsperzje. Za ocjeu sredjeg vadratog odstupaja osovog supa orst se spravljeo sredje vadrato odstupaje l emprjsa stadarda devjacja oja se defra zrazom S = S = D = ( x X), = tj. S je eprstrasa ocjea stadarde devjacje σ O osovog supa. a ao je Na raju doažmo da je E ( D ) = DO. Zasta, mamo: ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ) = = =, E D E S E x X E X E X = = (( ) ) = = + j = ( ) + ( ( )), E X E X E X X X E X E X = = j to mamo: ( ) ( ) ( ) E S = E X ( E X ) = σ, š.t.d.