ANULOID GEOMETRICKÉ VARIÁCIE NA TÉMU ANULOID
|
|
- Ῥαχήλ Σπηλιωτόπουλος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ANULOID ÚVOD Matematická analýza a deskriptívna (prípadne konštrukčná) geometria sú dva rôzne predmety, ktoré úzko spolu súvisia. Anuloid a guľová plocha sú plochy technickej praxe.v texte sú z geometrického a analytického hľadiska popisované základné situácie, s ktorými sa pri jeho štúdiu môžeme stretnúť. GEOMETRICKÉ VARIÁCIE NA TÉMU ANULOID Rotačné plochy Vznikajú rotáciou ľubovoľnej čiary (rovinnej alebo priestorovej) tzv. tvoriacej čiary okolo pevnej priamky o osi rotácie. Ak namiesto čiary uvažujeme plochu, potom jej rotáciou okolo priamky o vznikne jednoparametrický systém plôch, ktorého obálka je rotačná obalová plocha. Tvoriaca plocha sa obalovej plochy dotýka v čiare - charakteristike, ktorá rotačným pohybom vytvorí tú istú obalovú plochu. Napr. rotáciou guľovej plochy (charakteristikou je hlavná kružnica ležiaca v rovine určenej osou o a stredom S guľovej plochy G(S, r)) získame obalovú plochu (plochu rúrovú). V ďalšom texte sa budeme zaoberať iba rotačnou plochou, ktorej tvoriaca čiara je kružnica k(s, r). Obr. 1 Globoid je rotačná plocha, ktorá vznikne rotáciou kružnice k okolo ľubovoľnej osi o. Ak os rotácie leží v rovine kružnice, môžu nastať tieto prípady: 1
2 a/ os rotácie prechádza stredom kružnice k guľová plocha b/ os rotácie neprechádza stredom, ale kružnicu k pretína v dvoch rôznych bodoch - melonoid c/ os rotácie sa dotýka kružnice k v jednom bode (v dvoch súmedzných bodoch) - axoid d/ os rotácie nepretína kružnicu k - toroid, kruhový prstenec, torus Plochy b/, c/, d/ majú spoločný názov anuloid (obr. 1). Rotáciou stredu S tvoriacej kružnice vznikne kružnica l(o, R), ktorú nazveme strednou kružnicou. Jej stred O leží na osi rotácie. Pri štúdiu vlastností rotačných plôch je výhodné pracovať v pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme O, x, y, z, os rotácie o umiestniť do súradnicovej osi z = o z a tvoriacu čiaru k do súradnicovej roviny R xz = ν nárysne. Analytické vyjadrenie plochy Nech tvoriaca kružnica k(s, r) leží v rovine R xz a pre súradnice jej stredu platí S =[R, 0, 0]. Je zrejmé, že parametrické rovnice tejto kružnice majú tvar x( u) = r cosu + R y( u) = 0 z( u) = r sin u pre u [0, π]. Rotáciou kružnice k okolo osi o z vznikne anuloid, ktorého analytické vyjadrenie vo vektorovom tvare je: (( r cosu + R)cosv, ( r cosu + R)sin v, r sin u), ( u, v) [ α, ] [ 0, π] r ( u, v) = α, kde α = π. Pre guľovú plochu α = π/. S použitím elementárnych metód sa dá ukázať, že súradnice anuloidu vyhovujú vzťahu ( x y + z + R r ) = 4R ( x + y ) +. Vidíme, že anuloid je plocha štvrtého stupňa. Špeciálne, ak R = 0, dostávame rovnicu guľovej plochy x + y + z = r. Dôležité čiary rotačnej plochy Na rotačnej ploche sa nachádzajú dva druhy dôležitých čiar, ktoré sa pretínajú pod pravým uhlom. a/ rovnobežkové kružnice, rovnobežky sú vytvorené rotáciou jednotlivých bodov tvoriacej kružnice a ležia v rovinách kolmých na os rotácie, ktoré nazývame normálové rezy. V prípade anuloidu, rovnobežkovú kružnicu, ktorá má najväčší polomer, nazývame rovníkovou kružnicou. Za predpokladu r < R, kružnicu, ktorá má najmenší polomer, nazývame hrdlovou kružnicou. Rovnobežkové kružnice, ktoré ležia v dotykovej rovine plochy, nazývame kráterové kružnice (majú najväčšiu a najmenšiu z-ovú súradnicu plochy). Ak hľadáme súvislosti medzi uvažovanými plochami, sledujeme ich vznik pomocou geometrického modelovania plochy, ktorú získame rotáciou kružnice k, a venujme pozornosť hrdlovej kružnici a kráterovej kružnici. Vychádzajme z toroidu, na ktorej sa nachádza hrdlová a kráterová kružnica a postupne približujeme kružnicu k ku osi rotácie. Keď os rotácie bude dotyčnicou kružnice k (axoid), z hrdlovej kružnice sa stane bod a kráterové kružnice zostávajú; keď os rotácie bude sečnicou (melonoid), miesto hrdlovej kružnice získame dva rôzne body a kráterové kružnice zostávajú; keď os rotácie bude prechádzať stredom kružnice k (guľová plocha), získame už
3 iba body na póloch najvyšší a najnižší bod, ktoré sú špeciálnym limitným prípadom hrdlovej i kráterovej kružnice. Rovníkovú kružnicu majú všetky vyššie uvedené plochy, melonoid má rovníkové kružnice. b/ meridiány, poludníky sú to rezy rovinami, ktoré prechádzajú osou rotácie, preto ich nazývame i osovými rezmi. Všetky meridiány rotačnej plochy sú navzájom zhodné. Meridián ležiaci v rovine rovnobežnej s nárysňou ν nazývame v deskriptívnej geometrii hlavným meridiánom. Pojem meridiánu sa v novej literatúre definuje ako rez polrovinou s hraničnou priamkou v osi rotácie, v staršej literatúre je takýto rez pomenovaný ako polmeridán. Prikloňme sa k pojmu meridiánu novej literatúry, potom meridián anuloidu je kružnica a meridián guľovej plochy je polkružnica Každým bodom na rotačnej ploche prechádza práve jedna rovnobežková kružnica a jeden meridián plochy, ktoré zodpovedajú u-krivkám a v-krivkám na ploche danej parametricky (1). u-krivky (r(u, v 0 ), v 0 je konštanta) sú meridiány, v-krivky (r(u 0, v), u 0 je konštanta) sú rovnobežkové kružnice. Vyjadrenie anuloidu v tvare grafu funkcie dvoch premenných Aplikáciou základných metód analytickej geometrie v priestore veľmi ľahko ukážeme, že časť anuloidu nad rovinou R xy = π (z-ové súradnice všetkých bodov tejto časti plochy sú nezáporné) môžeme z pohľadu matematickej analýzy stotožniť s grafom funkcie dvoch premenných, ktorá má nasledujúce analytické vyjadrenie: ( x, y) R x + y x y R r f = +. () Poznamenajme, že čitateľ sa môže dopracovať aj k iným, formálne odlišným, avšak správnym vyjadreniam tejto funkcie. Časť anuloidu pod rovinou R xy (z-tové súradnice všetkých bodov tejto časti plochy sú záporné), má úplne analogické vyjadrenie. Odlišnosť je len v použití znamienka mínus. Definičný obor funkcie je medzikružie ohraničené rovníkovou a hrdlovou kružnicou t.j. {, : ( R r) x + y ( R r) } ( f ) ( x y) D = +. Dotyková rovina, klasifikácia bodov na ploche Dotyková tangenciálna rovina plochy je vytvorená zväzkom dotyčníc ku krivkám prechádzajúcim bodom dotyku T. Bitangenciálna rovina sa dotýka plochy v dvoch bodoch. Podľa vzájomnej polohy plochy, dotykovej roviny a ich počtu bodov dotyku T rozoznávame rôzne typy bodov na ploche singulárne body (kónický, biplanárny, kuspidálny) a regulárne body (eliptický, parabolický a hyperbolický). Guľová plocha a anuloid nemajú singulárne body. Guľová plocha má iba eliptické body. Anuloidy majú všetky tri typy regulárnych bodov. Ak celá plocha leží v jednom polpriestore určenom dotykovou rovinou v bode plochy, dotykový bod E bude eliptickým bodom. Ak dotyková rovina v bode H plochy bude pretínať plochu, dotykový bod bude hyperbolický a rezová krivka bude mať v tomto bode dvojnásobný bod H. Ak dotyková rovina v bode P plochy obsahuje čiaru plochy, dotýka sa plochy v tejto čiare (príp. pretína plochu v krivke, ktorá má v bode dotyku bod vratu), bod bude parabolický. Na anuloide parabolické body P ležia na kráterových kružniciach. Na toroide existujú také hyperbolické body 1 H, H, v ktorých existuje bitangenciálna rovina všetky takéto body dotyku ležia na dvoch rovnobežkových kružniciach - viď. obr V konštrukčných úlohách dotykovú rovinu v bode T zostrojíme pomocou dotyčníc zostrojených ku meridiánu a rovnobežkovej kružnici v danom bode T, pretože obe krivky sú kružnice a konštrukcia dotyčníc k nim je najjednoduchšia. Pri konštrukcii využívame, že všetky dotyčnice k meridiánom v bodoch jednej rovnobežkovej kružnice vytvárajú (obr 4): 3
4 a/ dotykovú - dotyčnicovú (rotačnú) kužeľovú plochu s osou rotácie o okrem rovníkovej, hrdlovej a kráterových kružníc b/ dotykovú - dotyčnicovú (rotačnú) valcovú plochu s osou rotácie o v bodoch rovníkovej a hrdlovej kružnice c/ dotykovú dotyčnicovú rovinu v bodoch kráterovej kružnice [4]. Ako príklad uveďme jednoduchú situáciu súvisiacu s guľovou plochou. Guľová plocha má iba regulárne body a teda v každom bode má dotykovú rovinu. Ak však zvolíme za bod dotyku pól najvyšší alebo najnižší bod, pre študenta dostupný matematický aparát nám nedovolí zistiť rovnicu dotykovej roviny v tomto bode a pritom geometrickou úvahou rovnicu získame aj bez výpočtu. π π Zvoľme si v parametrických rovniciach (1) bod u 0 =, v0 =. 4 Smerový vektor dotyčnice k u-krivke, či v-krivke v zvolenom bode r(u 0,v 0 ) je pre obe dotyčnice nulový vektor r u ( u0, v0) = rv ( u0, v0) = [ 0, 0, 0] teda podľa kritéria bod r(u 0,v 0 ) nie je regulárny bod plochy a nedá sa v ňom určiť dotyková rovina. V skutočnosti však existuje, stačí sa lepšie prizrieť guľovej ploche: z + r = 0, pre bod dotyku M = [0, 0, -r]. Obr. Obr. 3 Obr. 4 Normála plochy Normála plochy v bode T je priamka kolmá na dotykovú rovinu. U guľovej plochy a anuloidu je totožná s normálou tej kružnice meridiánu, ktorá prechádza bodom T. Podobne ako pri dotyčniciach aj normály ku ploche v bodoch jednej rovnobežkovej kružnice vytvárajú (obr. 4): a/ normálovú (rotačnú) kužeľovú plochu s osou rotácie o - okrem rovníkovej, hrdlovej a kráterových kružníc b/ normálovú rovinu v bodoch rovníkovej a hrdlovej kružnice c/ normálovú valcovú plochu v bodoch kráterových kružníc. 4
5 Rovinné rezy plochy Rezom guľovej plochy akoukoľvek rovinou je kružnica (krivka druhého stupňa), v limitnom prípade bod. Rovinným rezom anuloidu je krivka štvrtého stupňa. Rezy anuloidu rovinami rovnobežnými s osou rotácie sa nazývajú spirické krivky Perseusové (podľa geometra Persea, ktorý ich okolo roku 130 pred Kr. prvýkrát študoval, [3]). Majú buď jednu alebo dve vetvy, v prípade osového rezu sú to dve zhodné kružnice meridián [3], (alebo podľa [6] dva polmeridiány). Špeciálnym typom spirických kriviek sú Cassiniho krivky (ovály). Vznikajú rezom roviny rovnobežnej s osou o, ktorej vzdialenosť od osi rotácie je rovná polomeru r rotujúcej kružnice [6]. Body týchto kriviek majú od dvoch pevných bodov F 1, F (tzv. ohnísk) konštantný súčin vzdialeností rovný Rr ( [1], str.15 ). Body F 1, F sú kolmé priemety stredov meridiánu ležiacich v rovine rovnobežnej s rezovou rovinou do rezovej roviny, r je polomer meridiánovej kružnice a súčasne vzdialenosti rezovej roviny od osi o, R je polomer strednej kružnice [3]. Tvar Cassiniho oválov je závislý od pomeru veľkostí R a r (obr. 5-7): a/ R r < - rezom sú dva ovály b/ R r = - rezom je Bernoulliho lemniskáta R c/ < r < R - rezom je ovál s driekom d/ 0 < R < r - rezom je elipsovitý ovál (Ak R = 0 je to prípad rezu guľovej plochy, rez sa stáva bodom.) Obr. 5 Pri reze toroidu všeobecnou rovinou môže mať rezová čiara jednu alebo dve časti. Ak režeme toroid dotykovou rovinou τ v hyperbolickom bode H plochy, rezová krivka má jeden uzlový bod (dvojnásobný bod H, krivka pretína samu seba), ak režeme bitangenciálnou rovinou β, rezová krivka sa rozpadá na dve loxodromické kružnice [] (obr. 8). Bernoulliho lemniskáta Je to jeden z typov Cassiniho kriviek a vzniká rezom roviny, ktorá je súčasne dotykovou rovinou v bode hrdlovej kružnice toroidu, pričom hrdlová kružnica má rovnaký polomer ako je polomer rotujúcej tvoriacej kružnice k (t.j. prípad b/ ). Dosadenie do všeobecnej rovnice anuloidu a jej úprava nám potvrdia predpokladaný tvar rovinného rezu. Pre body M rezovej krivky platí : F 1 M. F M = R. 5
6 Do všeobecnej rovnice anuloidu dosadíme podmienky, t.j. vzdialenosť rezovej roviny od osi rotácie: y = r, a vzťah medzi R, r : R r =, po úprave dostaneme: ( + z ) R ( x z ) = 0 x, čo je rovnica Bernoulliho lemniskáty. Obr. 6 Obr. 7 Rez všeobecnou rovinou Obr. 8 Kým začneme hľadať body rezu, urobíme klasifikáciu rezu otočením roviny rezu do roviny hlavného meridiánu pomocou spádovej priamky 1. osnovy 1 s, aby sme vedeli o aký typ rezu (viď obr 8) pôjde: 6
7 Obr. 9 Nech spádová priamka 1 s je určená jej priesečníkom s pôdorysňou (bod P) a s osou rotácie o (bod R) - 1 s = PR. Spádovú priamku otočíme okolo osi o do roviny hlavného meridiánu pomocou bodov P a R - 1 s = P 0 R 0. (Bod R hľadáme napr. pomocou hlavnej priamky n. osnovy) Ďalšie body rezu zostrojíme pomocou rovín i π rovnobežných s pôdorysňou. Rovina i π ležiaca v páse ohraničenom zdanlivým obrysom anuloidu pretne anuloid v jednej, alebo dvoch rovnobežkových kružniciach; rovinu rezu pretne v hlavnej priamke i p. Pretože kružnice a hlavná priamka ležia v jednej rovine, ich vzájomný prienik (ak existuje) sú bodmi rezu anuloidu. [Viď obr.10: π A ={k, k } π α = p p k ={L, L } p k ={K, K }; body rezovej čiary sú body K, K, L, L ] Je dôležité nájsť najvyšší a najnižší bod rezu. Tieto body ležia v rovine i π, ktorá prechádza priesečníkmi otočenej spádovej priamky 1 s 0 a hlavného meridiánu, ak existujú. Ak neexistujú, roviny i π prekladáme najvyššími bodmi, resp. najnižšími bodmi anuloidu, sú to parabolické body anuloidu. V našom prípade (obr. 9) rovina π a 3 π určuje pás, v ktorom prekladáme pomocné roviny i π. Pomocou roviny π určíme body X, X a pomocou roviny 3 π určíme body Y, Y, ktoré sú najvyššími a najnižšími bodmi rezovej krivky. Hlavná priamka p ( p π p α) je dotyčnicou rezovej čiary v bode X a X ; hlavná priamka 3 p ( 3 p 3 π 3 p α) je dotyčnicou rezovej čiary v bode Y a Y. Ďalšie dôležité body rezu ležia na hrdlovej a rovníkovej kružnici, v ktorých sa mení viditeľnosť v pôdoryse. Nájdeme ich pomocou roviny 1 π. Na obr. 9 sú to body G, H na hrdlovej kružnici a body E, F na rovníkovej kružnici. Dotyčnice ( E t, F t) rovníkovej a ( G t, H t) hrdlovej kružnice v bodoch rezovej čiary sú totožné s dotyčnicami k rezovej čiare v týchto bodoch. 7
8 Obr. 10 Dotyčnicu vo všeobecnom bode L (obr. 10) nájdeme pomocou dotykovej roviny τ, ktorá je určená dotyčnicou k t rovnobežkovej kružnice k prechádzajúcej bodom L a dotyčnicou m t meridiánu prechádzajúceho bodom L. Nárys dotyčnice m t hľadáme pomocou dotykovej kužeľovej plochy dotyčníc: bod L otočíme okolo osi o do roviny hlavného meridiánu. V bode L 0 zostrojíme obrysovú tvoriacu priamku dotykovej kužeľovej plochy, čo je dotyčnica m t 0 k hlavnému meridiánu. Vrchol dotykovej plochy je priesečník dotyčnice m t 0 a osi rotácie o, dotyčnica k meridiánu v bode L je m t = LV. Spoločný bod dotykovej roviny a rezovej roviny je napr. bod Q, ktorý je priesečníkom pôdorysných stôp rovín τ a α, spolu s bodom L určí dotyčnicu L t ( L t = LQ) k rezovej čiare. Parabolické body anuloidu, ktoré sú bodmi rezovej čiary a ležia pred rovinou hlavného meridiánu (X a Y), sú bodmi, v ktorých sa mení viditeľnosť v náryse. V náryse sú viditeľné iba eliptické body rezovej čiary, ktoré ležia pred rovinou hlavného meridiánu. Presečník priamky s anuloidom Priesečníky priamky s plochou hľadáme tak, že priamkou preložíme čo najvhodnejšiu rovinu. V našom prípade je to rovina kolmá na nárysňu (obr. 8). Priesečníky priamky s plochou sú priesečníky priamky s rezovou čiarou vhodne zvolenej roviny. Literatúra: [1] BRONŠTEJN, I. N., SEMENĎAJEV, K. A. Príručka matematiky. Bratislava: SVTL, [] GALLO, O., PALUCH, V. Deskriptívna geometria II. Košice: FS VŠT, s [3] KADEŘÁVEK, F., KLÍMA, J., KOUNOVSKÝ, J. Deskriptivní geometrie II. Praha: Nakladatelství ČSAV, s [4] MEDEK, V., ZÁMOŽÍK, J. Konštruktívna geometria pre technikov. Bratislava: Alfa,
9 [5] SENKO, E. Deskriptívna geometria. Zvolen: DF VŠLD, s [6] URBAN, A. Deskriptívní geometrie II. Praha: SNTL / SVTL, s [7] VELICHOVÁ, D. Konštručná geometria, Bratislava: ES STU, 003. [8] FEYNMAN, R., LEIGHTON, R., SANDS, M. Feynmanovy přednášky z fyziky 1. Časť. Praha: Nakladateľstvo FRAGMENT, 000. Autori textu: SZARKOVÁ Dagmar, Katedra matematiky SjF STU v Bratislave KOREŇOVÁ Božena, Katedra matematiky a deskriptívnej geometrie DF TU vo Zvoleni 9
Kapitola K2 Plochy 1
Kapitola K2 Plochy 1 Plocha je množina bodov v priestore, ktorá vznikne spojitým pohybom čiary u, ktorá nie je dráhou tohto pohybu, pričom tvar čiary u sa počas pohybu môže meniť. Čiara u sa nazýva tvoriaca
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραMatematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότεραSúradnicová sústava (karteziánska)
Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme
Διαβάστε περισσότεραZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ. Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol
II. ZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol Definícia II.1 Nech P n je ľubovoľný n-uholník v rovine α a l je priamka rôznobežná s rovinou α. Hranolová plocha - množina bodov
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότερα23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραMetodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραstereometria - študuje geometrické útvary v priestore.
Geometria Geometria (z gréckych slov Geo = zem a metro = miera, t.j. zememeračstvo) je disciplína matematiky prvýkrát spopularizovaná medzi starovekými grékmi Tálesom (okolo 624-547 pred Kr.), ktorý sa
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότερα16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh
16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh Kružnica k so stredom S a polomerom r nazývame množinou všetkých bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S konštantnú vzdialenosť /SX/ = r, kde r (patri)
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραZOBRAZOVACIE METÓDY 2. I Mongeovo zobrazenie
ZOBRAZOVACIE METÓDY 2 (prvý ročník, letný semester; prednáška 2 hod., cvičenie 2 hod. / týž.; 6 kreditov, 40 / 60) Program druhého semestra (Zobrazovacie metódy 2): I Mongeovo zobrazenie; II Perspektívna
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραAnalytická geometria
Analytická geometria Analytická geometria je oblasť matematiky, v ktorej sa študujú geometrické útvary a vzťahy medzi nimi pomocou ich analytických vyjadrení. Praktický význam analytického vyjadrenia je
Διαβάστε περισσότερα9 Planimetria. 9.1 Uhol. Matematický kufrík
Matematický kufrík 89 9 Planimetria 9.1 Uhol Pojem uhol patrí k najzákladnejším pojmom geometrie. Uhol môžeme definovať niekoľkými rôznymi spôsobmi, z ktorých má každý svoje opodstatnenie. Jedna zo základných
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραMargita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a )
Mrgit Váblová Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 101 Zákldné pom v onometrii Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 102 Definíci 1: onometri e rovnobežné premietnie bodov Ε 3 polu prvouhlým úrdnicovým
Διαβάστε περισσότεραStereometria Základné stereometrické pojmy Základné pojmy: Základné vzťahy: (incidencie) Veta 1: Def: Veta 2:
Stereometria 1. K úlohe č.1 v príklade vidíte sklenenú kocku, na ktorej je natiahnutý drôt. Vedľa vidíte 3 pohľady na túto kocku zhora, spredu a z pravého boku. Pre ďalšie kocky nakreslite takéto 3 pohľady.
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIA 4 KONŠTRUKČNÁ GEOMETRIA
GEOMETRIA 4 KONŠTRUKČNÁ GEOMETRIA Obsahom predmetu je súhrn poznatkov viacerých geometrických disciplín od elementárnej planimetrie a stereometrie, syntetickej deskriptívnej geometrie, cez analytickú a
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραZobrazenia v rovine. Každé zhodné zobrazenie v rovine je prosté a existuje k nemu inverzné zobrazenie.
Zobrazenia v rovine Zobrazením Z z množiny A do množiny B nazývame predpis, ktorý každému prvku x množiny A priraďuje práve jeden prvok y množiny B. Zobrazenie v rovine priraďuje každému bodu X danej roviny
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραZobrazovacie metódy 3
Zobrazovacie metódy 3 (druhý ročník, zimný semester, prednáška 4 hod., cvičenie 2 hod. / týž.; 7 kreditov, 40/60) Program tretieho semestra (Zobrazovacie metódy 3): I. Pravouhlá axonometria, II. Šikmé
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické funkcie
Goniometrické funkcie Oblúková miera Goniometrické funkcie sú funkcie, ktoré sa používajú pri meraní uhlov (Goniometria Meranie Uhla). Pri týchto funkciách sa uvažuje o veľkostiach uhlov udaných v oblúkovej
Διαβάστε περισσότεραDESKRIPTÍVNA GEOMETRIA
EKRIÍN GEERI meódy zobrzovni priesorových úvrov do roviny (premieni) mericé polohové vzťhy priesorových úvrov riešené v rovine bsh predmeu G Zobrzovcie meódy: olohové mericé úlohy: ongeov projeci Rezy
Διαβάστε περισσότεραZhodné zobrazenia (izometria)
Zobrazenie A, B R R (zobrazenie v rovine) usporiadaná dvojica bodov dva body v danom poradí (záleží na poradí) zápis: [a; b] alebo (a; b) karteziánsky (kartézsky) súčin množín množina všetkých usporiadaných
Διαβάστε περισσότερα9 Planimetria. identifikovať rovinné geometrické útvary a ich vlastnosti, vysvetliť podstatu merania obvodu a obsahu rovinných útvarov,
9 Planimetria Ciele Preštudovanie tejto kapitoly vám lepšie umožní: identifikovať rovinné geometrické útvary a ich vlastnosti, vysvetliť podstatu merania obvodu a obsahu rovinných útvarov, používať jednotky
Διαβάστε περισσότεραPovrch a objem ihlana
Povrch a objem ihlana D. Daný je mnohouholník (riadiaci alebo určujúci útvar) a jeden bod (vrchol), ktorý neleží v rovine mnohouholníka. Ak hraničnými bodmi mnohouholníka (stranami) vedieme polpriamky
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY DIPLOMOVÁ PRÁCA
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY DIPLOMOVÁ PRÁCA Bratislava 2006 Petra Klenková UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Katedra
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραCIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z DESKRIPTÍVNEJ GEOMETRIE
ŠTÁTNY PEDAGOGICKÝ ÚSTAV CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z DESKRIPTÍVNEJ GEOMETRIE BRATISLAVA 2012 Schválilo Ministerstvo školstva, vedy, výskumu a športu Slovenskej republiky dňa
Διαβάστε περισσότεραZBIERKA ÚLOH Z GEOMETRIE - ZOBRAZENIA
ZBIERKA ÚLOH Z GEOMETRIE - ZOBRAZENIA 1. Afinné zobrazenia Definícia. Zobrazenie F z afinného priestoru A n do A m, ktoré zobrazuje každú trojicu nekolineárnych bodov do jedného bodu alebo do trojice bodov,
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότερα1. Trojuholník - definícia
1. Trojuholník - definícia Trojuholník ABC sa nazýva množina takých bodov, ktoré ležia súčasne v polrovinách ABC, BCA a CAB, kde body A, B, C sú body neležiace na jednej priamke.. Označenie základných
Διαβάστε περισσότεραSTATIKA STAVEBNÝCH KONŠTRUKCIÍ I Doc. Ing. Daniela Kuchárová, PhD. Priebeh vnútorných síl na prostom nosníku a na konzole od jednotlivých typov
Priebeh vnútorných síl na prostom nosníku a na konzole od jednotlivých typov zaťaženia Prostý nosník Konzola 31 Príklad č.14.1 Vypočítajte a vykreslite priebehy vnútorných síl na nosníku s previslými koncami,
Διαβάστε περισσότεραMaturita z matematiky T E S T Y
RNr. Mário oroš Maturita z matematiky príprava na prijímacie skúšky na vysokú školu T E S T Y Všetky práva sú vyhradené. Nijaká časť tejto knihy sa nesmie reprodukovať mechanicky, elektronicky, fotokopírovaním
Διαβάστε περισσότεραKATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
Διαβάστε περισσότεραZÁKLADY ELEMENTÁRNEJ GEOMETRIE
UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED ZÁKLADY ELEMENTÁRNEJ GEOMETRIE ŠEDIVÝ ONDREJ VALLO DUŠAN Vydané v Nitre 2009 Fakultou prírodných vied Univerzity Konštantína Filozofa v Nitre s finančnou
Διαβάστε περισσότεραDeliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE. Funkcia základné pojmy. Graf funkcie
FUNKCIE Funkcia základné pojm. Graf funkcie V prai sa často stretávame so skúmaním závislosti veľkosti niektorých veličín od veľkosti iných veličín, napríklad dĺžka kružnice l závisí od jej priemeru d
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah rovinných útvarov
Obvod a obsah rovinných útvarov Z topologického hľadiska bod môže byť vnútorný, hraničný a vonkajší vzhľadom na nejaký rovinný útvar. D. Bod je vnútorný, ak môžeme nájsť taký polomer r, že kruh so stredom
Διαβάστε περισσότεραPlanárne a rovinné grafy
Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia
Διαβάστε περισσότεραDefinícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραKontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.
Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότεραdoc. Ing. František Palčák, PhD., Ústav aplikovanej mechaniky a mechatroniky, Strojnícka fakulta STU v Bratislave,
-550 Technická mechanika I 9. rednáška Kinematika bodu, translačný, rotačný a všeobecný pohyb telesa Ciele v kinematike. remiestňovanie súradnicovej sústavy po priestorovej krivke. riamočiary pohyb bodu.
Διαβάστε περισσότεραNeeuklidovská geometria
Pedagogická fakulta, Katolícka univerzita, Ružomberok Neeuklidovská geometria Seminárna práca História matematiky Katarína Dovcová Biológia matematika 1.Mgr 2008/2009 Cieľom mojej práce je priblížiť čitateľom
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh
Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II Zbierka riešených a neriešených úloh Anna Grinčová Jana Petrillová Košice 06 Technická univerzita v Košiciach Fakulta
Διαβάστε περισσότεραFAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITA KOMENSKÉHO Bratislava
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITA KOMENSKÉHO Bratislava D I P L O M O V Á P R Á C A 2004 Vladimír Palaj Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzita Komenského Bratislava Algoritmizácia
Διαβάστε περισσότεραSK skmo.sk. 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh domáceho kola kategórie A
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh domáceho kola kategórie A 1. Číslo n je súčinom troch (nie nutne rôznych) prvočísel. Keď zväčšíme každé z nich
Διαβάστε περισσότεραAFINNÉ TRANSFORMÁCIE
AFINNÉ TRANSFORMÁCIE Definícia0..Zobrazenie f: R n R m sanazývaafinné,ak zachováva kolinearitu(t.j. priamka sa zobrazí buď na priamku alebo na jeden bod), zachovávadeliacipomer(t.j.akprekolineárnebody
Διαβάστε περισσότεραPovrch a objem hranola
Povrch a objem hranola D. Daný je mnohouholník (riadiaci alebo určujúci útvar) a priamka, ktorá nie je rovnobežná s rovinou mnohouholníka. Ak hraničnými bodmi mnohouholníka (stranami) vedieme priamky rovnobežné
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραSK skmo.sk. 2009/ ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie A
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/2010 59. ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie A 1. V obore reálnych čísel riešte sústavu rovníc x2 y = z 1, y2 z = x 1, z2 x = y 1. (Radek Horenský) Riešenie.
Διαβάστε περισσότεραSmernicový tvar rovnice priamky
VoAg1-T List 1 Smernicový tvar rovnice priamk RNDr.Viera Vodičková U: Medzi prevratné objav analtickej geometrie patrí to, že s priamkou nenarábame ako s geometrickým objektom, ale popisujeme ju rovnicou.
Διαβάστε περισσότεραVektorové a skalárne polia
Vetorové a salárne pola Ω E e prestorová oblasť - otvorená alebo uavretá súvslá podmnožna bodov prestoru E určených arteánsm súradncam usporadaným trocam reálnch čísel X [ ] R. Nech e salárna unca torá
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I ZBIERKA ÚLOH
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STAVEBNÁ FAKULTA ÚSTAV TECHNOLÓGIÍ, EKONOMIKY A MANAŽMENTU V STAVEBNÍCTVE KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY RNDr. Pavol PURCZ, PhD. Mgr. Adriana ŠUGÁROVÁ MATEMATIKA I ZBIERKA
Διαβάστε περισσότεραPovrch a objem zrezaného ihlana
Povrch a objem zrezaného ihlana Ak je daný jeden ihlan a zobereme rovinu rovnobežnú s postavou, prechádzajúcu ihlanom, potom táto rovina rozdelí teleso na dve telesá. Jedno teleso je ihlan (pôvodný zmenšený
Διαβάστε περισσότεραJán Buša Štefan Schrötter
Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako
Διαβάστε περισσότεραCABRI GEOMETRY TM II PLUS
CABRI GEOMETRY TM II PLUS Inovačné nástroje matematiky KURZ PRE POKROČILÝCH VITAJTE! Vitajte v kurze pre pokročilých užívateľskej príručky Cabri Geometry. V tejto časti uvádzame v troch kapitolách niektoré
Διαβάστε περισσότεραVektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
Διαβάστε περισσότερα4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti
Reálna unkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Táto kapitola je venovaná štúdiu reálnej unkcie jednej reálnej premennej. Pojem unkcie patrí medzi základné pojmy v matematike. Je to vlastne matematický
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότεραSTEREOMETRIA. Umenie vidieť a predstavovať si priestor
UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED STEREOMETRIA Umenie vidieť a predstavovať si priestor Ondrej Šedivý Gabriela Pavlovičová Lucia Rumanová Dušan Vallo Vydané v septembri 007
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické nerovnice
Ma-Go--T List Goniometrické nerovnice RNDr. Marián Macko U: Problematiku, ktorej sa budeme venovať, začneme úlohou. Máme určiť definičný obor funkcie f zadanej predpisom = sin. Máš predstavu, s čím táto
Διαβάστε περισσότεραMa-Te-05-T List 1. Objem a povrch gule. RNDr. Marián Macko
Ma-Te-05-T List 1 Objem a povrch gule RNDr. Marián Macko U: Guľu a guľovú plochu môžeme definovať ako analógie istých rovinných geometrických útvarov. Ž: Máte na mysli kružnicu a kruh? U: Áno. Guľa je
Διαβάστε περισσότερα1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2
1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2 Rozdiel LMT medzi dvoma miestami sa rovná rozdielu ich zemepisných dĺžok. Pre prevod miestnych časov platí, že
Διαβάστε περισσότεραPRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm
PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c)
Prírodovedecká fakulta Univerzity P. J. Šafárika v Košiciach Božena Mihalíková, Ivan Mojsej Strana 1 z 43 DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c) 1 Obyčajné diferenciálne rovnice 3 1.1 Úlohy
Διαβάστε περισσότερα1 Logika a dôkazy. 2 Množiny. 3 Teória čísel. 4 Premenné a výrazy. 5 Rovnice, nerovnice a ich sústavy. Pojmy:
1 Logika a dôkazy výrok, axióma, definícia, úsudok, hypotéza, tvrdenie, pravdivostná hodnota, logické spojky, negácia výroku, konjunkcia, disjunkcia, implikácia, ekvivalencia, vyplýva, je ekvivalentné,
Διαβάστε περισσότεραEinsteinove rovnice. obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity. Pavol Ševera. Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky
Einsteinove rovnice obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity Pavol Ševera Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky (Pseudo)historický úvod Gravitácia / Elektromagnetizmus (Pseudo)historický
Διαβάστε περισσότεραDiferenciálne rovnice
Diferenciálne rovnice Juraj Tekel Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky FMFI UK Mlynska Dolina 842 48 Bratislava juraj(a)tekel(b)gmail(c)com http://fks.sk/~juro/phys_teaching.html Aktualizované
Διαβάστε περισσότεραPRUŽNOSŤ A PEVNOSŤ PRE ŠPECIÁLNE INŽINIERSTVO
ŽILINSKÁ UNIVERZITA V ŽILINE Fakulta špeciálneho inžinierstva Doc. Ing. Jozef KOVAČIK, CSc. Ing. Martin BENIAČ, PhD. PRUŽNOSŤ A PEVNOSŤ PRE ŠPECIÁLNE INŽINIERSTVO Druhé doplnené a upravené vydanie Určené
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραG. Monoszová, Analytická geometria 2 - Kapitola III
text obsahuje znenia viet, ktoré budeme dokazovat na prednáškach text je doplnený aj o množstvo poznámok, ich ciel om je dopomôct študentom k lepšiemu pochopeniu pojmov aj súvislostí medzi nimi text je
Διαβάστε περισσότεραReálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Διαβάστε περισσότεραGramatická indukcia a jej využitie
a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)
Διαβάστε περισσότεραM E C H A N I C K É P R E V O D Y
M E C H A N I C K É P R E V O D Y 1 Mechanické prevody slúžia k vytvoreniu kinematickej a silovej väzby medzi hnacím zariadením pohonom a poháňaným zariadením pracovným zariadením, zároveň umožňujú transformovať
Διαβάστε περισσότεραViliam Laurinc, Oľga Holá, Vladimír Lukeš, Soňa Halusková
FYZIKA II Viliam Laurinc, Oľga Holá, Vladimír Lukeš, Soňa Halusková SLOVENSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA V BRATISLAVE FAKULTA CHEMICKEJ A POTRAVINÁRSKEJ TECHNOLÓGIE PREDSLOV Skriptá sú určené študentom všetkých
Διαβάστε περισσότεραTézy matematika. 1. Množiny, základné pojmy a vzťahy. 2. Výroky a ich pravdivostné hodnoty
Tézy matematika 1. Množiny, základné pojmy a vzťahy 1. Vysvetlite obsah pojmov množina, prázdna množina, disjunktné množiny, popíšte vzťahy medzi množinami (podmnožina, rovnosť množín) a operácie s množinami
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah nepravidelného a pravidelného mnohouholníka
Obvod a obsah nepravidelného a pravidelného mnohouholníka Ak máme nepravidelný mnohouholník, tak skúsime ho rozdeliť na útvary, ktorým vieme vypočítať obsah z daných údajov najvšeobecnejší spôsob: rozdeliť
Διαβάστε περισσότερα