MATEMATIKA Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií žiakov 9. ročníka základných škôl Zbierka problémových úloh bežného života

Transcript

1 MATEMATIKA Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií žiakov 9. ročníka základných škôl Zbierka problémových úloh bežného života

2 Univerzita Konštantína Filozofa v Nitre Fakulta stredoeurópskych štúdií Jozef Fulier a kol. MATEMATIKA Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií žiakov 9. ročníka základných škôl Zbierka problémových úloh bežného života Nitra 2014

3 Fakulta stredoeurópskych štúdií UKF v Nitre, 2014 Recenzenti: RNDr. József Bukor, PhD. RNDr. Attila Tóth, PhD. Publikácia vznikla s podporou grantu Ministerstva školstva Slovenskej republiky KEGA 015 UKF- 4/2012 Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií II alternatívne a doplňujúce učebné programy z matematiky pre základné školy v zmysle cieľov nového štátneho vzdelávacieho programu a zvyšovanie matematickej gramotnosti podľa dopadov PISA. Autori: prof. RNDr. Jozef Fulier, CSc., prof. RNDr. Béla László, CSc., doc. RNDr. Mária Kmeťová, PhD., doc. RNDr. Peter Vrábel, CSc., doc. RNDr. Marta Vrábelová, CSc., PaedDr. Kristína Cafiková, Mgr. Antal Csáky, Mgr. Mária Kóšová, PhD., Mgr. Monika Krčmárová, Mgr. Lukáš Lednický, Mgr. Alexandra Maceková, PhD., Mgr. Lucia Plothová, RNDr. Ľubomír Rybanský, PhD., Mgr. Tibor Szabó, PhD., PaedDr. Edita Szabová, Mgr. Gabriela Szendy, PhD., PaedDr. Ján Šunderlík, PhD., PaedDr. Eva Uhrinová, PhD., Mgr. Zuzana Vitézová Editori: prof. RNDr. Jozef Fulier, CSc., RNDr. Attila Komzsík, PhD., Ing. Rastislav Žitný, PhD. ISBN EAN

4 Úvod Piata a posledná publikácia: Matematika. Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií žiakov 9. ročníka základných škôl. Zbierka problémových situácií bežného života. je zavŕšením série publikácií vydaných pre ročníky 5, 6, 7 a 8. Publikácia sleduje rozdelenie tematických celkov na sekcie: Čísla, premenná, počtové výkony s číslami; Vzťahy, funkcie, tabuľky, diagramy; Geometria a meranie; Kombinatorika, pravdepodobnosť, štatistika. Publikácia, rovnako ako publikácie pre 7. a 8. ročník, vznikla s podporou grantu Ministerstva školstva Slovenskej republiky KEGA 015 UKF-4/2012 Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií II alternatívne a doplňujúce učebné programy z matematiky pre základné školy v zmysle cieľov nového štátneho vzdelávacieho programu na zvyšovanie matematickej gramotnosti podľa dopadov PISA. Publikácia poskytuje učiteľom, žiakom a rodičom hodnotnú pomôcku na výučbu matematiky s aplikovaním problémov bežného života a ich riešením. Autori problémov ponúkajú riešenia porovnateľné s riešením problémov v štúdiách PISA. Veríme, že táto publikácia prispeje k zlepšeniu matematického vzdelávania na základných školách. Autori

5 Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií žiakov 9. ročníka základných škôl Čísla, premenná, počtové výkony s číslami Autori problémov: Mgr. Monika Krčmárová 9.1.3, 9.1.4, 9.1.5, Mgr. Lucia Plothová 9.1.6, 9.1.7, 9.1.8, PaedDr. Ján Šunderlík, PhD., 9.1.2, doc. RNDr. Peter Vrábel, CSc.,

6 Čísla, premenná, počtové výkony s číslami Kúpa auta Predajňa aut ponúka Škodu Fabia za eur s priemernou kombinovanou spotrebou 6 l benzínu na 100 km, pričom liter benzínu možno kúpiť za 1,50 eur. Ďalej ponúka Škodu Octavia za eur s priemernou kombinovanou spotrebou 4 l nafty na 100 km, pričom liter nafty možno kúpiť za 1,45 eur. Úloha 1 Pán Galbavý kúpil Škodu Fabia. Vypočítajte, koľko zaplatil približne za spotrebovaný benzín v závislosti od najazdených x kilometrov. Úloha 2 Pán Rosinský kúpil Škodu Octavia. Za ročné spotrebovanie nafty zaplatil 609 eur. Koľko kilometrov približne za rok najazdil? Úloha 3 Ak by pán Galbavý namiesto Fabie kúpil Octaviu, koľko kilometrov by musel približne najazdiť, aby celkové náklady za cenu auta a spotrebované palivo boli menšie ako pri Fabii? Motoristi pri kúpe auta zvažujú viacero výhod a nevýhod danej značky vozidla, ale, samozrejme, najviac si všímajú jeho cenu a priemernú spotrebu paliva. Riešenia úloh Úloha 1. Za 100 najazdených kilometrov potrebuje pán Galbavý na spotrebovaný benzín približne 9 eur. Teda jeden kilometer jazdy ho stojí asi 0,09 eur (deväť centov). Na najazdenie x kilometrov potrebuje približne 0,09 x eur. Úloha 2. Za 100 najazdených kilometrov potrebuje pán Rosinský na spotrebovanú naftu približne 5,8 eur (5 eur a 80 centov). Teda jeden kilometer jazdy ho stojí asi 0,058 eur. Potom počet najazdených kilometrov za rok vypočítame vyriešením rovnice 0,058 x = 609. Teda 609 x = = ,058 Pán Rosinský najazdil za rok asi km. Úloha 3. Celkové náklady za cenu auta a spotrebované palivo po najazdení x kilometrov pri Fabii sú ,09 x eur a pri Octavii ,058 x eur. Teda celkové náklady pri Octavii budú menšie, ak pre počet najazdených kilometrov x platí ,058 x < ,09 x. Riešením uvedenej nerovnice dostaneme, že pre počet najazdených kilometrov x platí < 0,032 x a teda x > = ,032 Pán Galbavý by musel najazdiť viac ako kilometrov. Metodické pokyny Vo všetkých úlohách sa žiadajú vypočítať približné hodnoty. Možno to komentovať tak, že sa vysvetlí význam priemernej kombinovanej spotreby i pohyblivej ceny paliva. 8

7 Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií žiakov 9. ročníka základných škôl Ľudské telo a čísla Čítajte viac: -telo-zmeni-na-cisla.html#ixzz2ev8ygiyk / preco-ludia-sediveju.html Úloha 1 Podľa uvedených odhadov určte koľko percent buniek sa denne nahradí? Úloha 2 Koľko krvných doštičiek má dospelý človek, ak budeme počítať s minimálnym počtom krvných doštičiek na mm 3. Úloha 3 Krvný obraz ukázal, že pacient má nasledovné hodnoty trombocytov: na liter krvi. Rozhodnite, či sa jedná o pacienta so zníženými alebo zvýšenými hodnotami trombocytov. O koľko percent sa líšia namerané hodnoty od prípustných hraničných hodnôt? Ľudské telo sa skladá z buniek, ktoré majú rozmanité vlastnosti. Z biologického hľadiska sú to najmenšie stavebné a funkčné jednotky, ktoré majú všetky základné vlastnosti života. Jednou zo základných zložiek človeka je krv. Skladá sa z viacerých druhov buniek, ktoré majú svoju nezastupiteľnú funkciu. Počet buniek v ľudskom tele je ťažké určiť. Svoju pozemskú púť začíname ako jediná bunka. Od tohto okamihu počet buniek narastá prípadne sa obnovuje. Odhaduje sa, že telo dospelého človeka obsahuje asi 100 biliónov buniek, ktorých je okolo 200 rôznych druhov. Jednotlivé bunky majú rôznu dĺžku života. Každodenne je nahradených približne buniek. Odhaduje sa, že počas ľudského života sa vytvorí dohromady asi 12 kvadriliónov buniek. Medzi krvné bunky patria aj krvné doštičky. Fyziologicé množstvo krvných doštičiek (trombocytov) sa pohybuje medzi 1, na mm 3. Budeme uvažovať, že dospelý človek má približne 5 l krvi. Riešenia úloh Úloha 1. V tele dospelého človeka je buniek. Tento počet je 100 %. Denne sa nahradí buniek, čo je x %. Jedným zo spôsobov riešenia je použitie trojčlenky. Výpočet je nasledovný: % x % x =. 100 = 1 % Podľa uvedených odhadov sa v tele dospelého človeka za deň nahradí približne jedno percento z celkového počtu buniek. Úloha 2. Na mm 3 máme približne krvných doštičiek. 5 l = 5 dm 3 = mm 3 = mm 3 Potom celkový počet krvných doštičiek je: 1, = Podľa použitých údajov máme v ľudskom tele pribli krvných doštičiek. Úloha 3. Použijeme výpočet z predošlej úlohy. Spodná hraničná hodnota krvných doštičiek je Teda na 1 l je to 1, / l. Nameraná hodnota bola / l teda to je 0, , < 1, Z uvedeného vyplýva, že sa jedná o znížené hodnoty krvných doštičiek, teda pôjde o pacienta so zníženými hodnotami trombocytov. Percentuálne môžeme uvedenú hodnotu vypočítať nasledovne. Za základ môžeme zobrať ľubovoľnú hodnotu z rozhrania daného v zadaní /l. Zoberieme za základ spodnú hraničnú hodnotu. Tým dostaneme minimálne o koľko percent je u daného pacienta znížená hodnota trombocytov. 9

8 Čísla, premenná, počtové výkony s číslami 100 %...1, x %...0, x = (0, /1, ). 100 x 64,29 % Teda nameraná hodnota je o 100 % 64,29 % = 35,71 % nižšia ako priemerné hodnoty u dospelého človeka. Metodické poznámky Riešenie úloh si vyžaduje adaptáciu známych počtových operácií a prácu s percentami na veľké čísla v kontexte buniek ľudského tela. V úlohe 3 sa od žiakov vyžaduje, aby na základe výsledkov rozhodli o aký typ pacientov sa jedná. 10

9 Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií žiakov 9. ročníka základných škôl Slnečná sústava Tabuľka 1 Vzdialenosti planét od Slnka v astronomických jednotkách. Planéta Vzdialenosť [AU] Merkúr 0,387 Venuša 0,723 Zem 1,000 Mars 1,524 Jupiter 5,203 Saturn 9,537 Urán 19,191 Neptún 30,069 Úloha 1 Vyber z možností 1 nesprávny zápis vyjadrujúci vzdialenosť Zeme od Slnka. Odpoveď (zakrúžkuj): a) 1, km b) km c) 0, km d) m Úloha 2 Vypočítaj vzdialenosť Marsu od Slnka v kilometroch a výsledok zapíš v tvare a. 10 x. Úloha 3 Vyjadri v kilometroch vzdialenosť Zeme od Jupitera a výsledok zapíš v tvare a. 10 x. S veľkými číslami sa môžeme stretnúť najmä v astronómii. Keďže vzdialenosti medzi nebeskými telesami sú obrovské, aby astronómovia nemuseli počítať s obrovskými číslami, používajú sa namiesto jednotiek dĺžky ako meter, kilometer, iné jednotky. Jednou z takých jednotiek je najmä astronomická jednotka (značka AU, z angl. astronomical unit), ktorá sa rovná strednej vzdialenosti Zeme od Slnka, t.j. približne 150 miliónov kilometrov. Nasledujúca tabuľka udáva približnú vzdialenosť planét od Slnka. Obr.1: Slnečná sústava (zdroj: scienceclass.ning.com) Riešenia úloh Úloha 1. Žiak musí vedieť násobiť mocniny, premieňať jednotky. Keďže km = m, možnosť d) je správna, ďalej km = = = 1, = 0, km, čiže nesprávna je možnosť c), keďže 0, = = Úloha 2. Keďže 1AU = km, potom 1,524 AU = 1, = 228, km (alebo zápis a pod.). Úloha 3. Vzdialenosť v Zeme od Jupitera je 5,203 1,000 = 4,203 AU, čo je 4, = 4, km, teda v = 63, km. Metodické poznámky žiaci si precvičujú počítové operácie s mocninami, zápis veľkých čísel, prípadne prácu s kalkulačkou, navyše využívajú medzipredmetové vzťahy, pri všetkých úlohách upozorníme žiakov na to, aby výsledok uvádzali v tvare a. 10 x (správny výsledok môže byť teda zapísaný rôzne), výsledky sme už nezaokrúhľovali, v úlohách sa často vyžaduje výsledok uvedený v kilometroch, čím môže žiak na vlastnej koži pochopiť význam zavádzania iných jednotiek v astronómii (nepraktickosť počítania s veľkými číslami, hoci sú zapísané v tvare a. 10 x ), pri práci žiakov s vedeckými kalkulačkami upozorniť na možnosť využitia tlačidla 10 x, ďalšie použité zdroje :

10 Čísla, premenná, počtové výkony s číslami Dlhy Štyri kamarátky, Jana, Ema, Petra a Miriam si počítali svoje úspory. Jana má v pokladničke x eur, Ema má y eur, Petra má z eur a Miriam má w eur. Z peňazí, čo majú, však každá niektorej niečo dlhuje. Jana dlhuje Eme 60, Ema dlhuje Petre 85, Miriam dlhuje Jane 78 a Petra dlhuje Miriam 100. Zdroj: may/14/savers-under euros-money-back Úloha 1 Vyjadri pomocou výrazu, koľko peňazí majú všetky štyri kamarátky spolu. Úloha 2 Vyjadri výrazom, koľko bude mať každá, ak všetky vyrovnajú svoje dlhy. Úloha 3 Kto mal celkovo (po vrátení všetkých peňazí všetkými dlžníkmi) najvyšší dlh? Úloha 4 Po vrátení všetkých peňazí si o dva dni Petra ešte od Štefana požičala niekoľko eur, čím sa je celkový dlh zvýšil na trojnásobok pôvodného celkového dlhu. Koľko si požičala od Štefana? Riešenia Úloha 1. Spolu majú jednoducho: x + y + z + w eur. Úloha 2. Každá z kamarátok musí určitú sumu nejakej kamarátke vrátiť, po vyrovnaní bude mať každá nasledovne: Jana... x = x + 18 Ema... y = y 25 Petra... z = z 15 Miriam... w = w + 22 Ako skúšku správnosti sčítajme x y 25 + z 15 + w + 22 a naozaj dostávame celkové množstvo peňazí: x + y + z + w. Úloha 3. Najvyšší dlh mala síce Petra u Miriam, lebo dlhovala až 100 (vidíme hneď zo zadania), ktoré musela vrátiť, keď ale zoberieme do úvahy, že jej ešte Ema vrátila 85, jej celkový dlh bol 15, najvyšší celkový dlh teda mala Ema, lebo z pôvodného množstva peňazí y po vyrovnaní všetkých dlhov mala y 25, čiže celkový dlh 25 bol najvyšší spomedzi všetkých dievčat. Úloha 4. Po vyrovnaní dlhov všetkých kamarátok mala Petra: z 15 eur. Aby sa celkový dlh 15 zvýšil na trojnásobok, teda na 45, musela si od Štefana požičať

11 Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií žiakov 9. ročníka základných škôl Vzdialenosti vo vesmíre Vzdialenosti hviezd či galaxií sú natoľko veľké, že bežné jednotky dĺžky ani astronomická jednotka niekedy nie je postačujúca. Preto bola zavedená ďalšia väčšia jednotka, a tou je svetelný rok (značka ly, z angl. light year), ktorá predstavuje vzdialenosť, ktorú prejde svetlo vo vákuu za jeden rok, čo približne predstavuje 10 biliónov kilometrov. Ak je napríklad nejaká hviezda vzdialená od Zeme 9 svetelných rokov, znamená to, že jej svetlo dorazí na Zem za deväť rokov. Veľký Magellanov mrak (zdroj:nationalgeographic.com) Úloha 1 Ak je nejaká hviezda vzdialená od Zeme 9 svetelných rokov, aká je to vzdialenosť v kilometroch? Úloha 2 Ktorý zápis čísla 10 biliónov je nesprávny? Odpoveď (zakrúžkuj): a) km b) km c) km d) km Úloha 3 Vyjadri v kilometroch vzdialenosť Veľkej hmloviny v súhvezdí Andromeda od Slnečnej sústavy. Úloha 4 Vyjadri v kilometroch vzdialenosť, kam siahajú hranice nášho pozorovateľného vesmíru. Úloha 5 Čísla zvýraznené v texte červenou farbou zapíš v tvare a. 10 x. Ďalšie použité zdroje: Galaxia Andromeda (zdroj:wikipedia.com) K najbližšej hviezde, Proxime Centauri, putuje svetlo od slnečnej sústavy 4,28 rokov, k najbližšej galaxii, Veľkému Magellanovmu mraku, rokov. Najvzdialenejší objekt, ktorý vidíme na oblohe voľným okom, Veľkú hmlovinu v súhvezdí Androméda, je od nás vzdialený 2,9 milióna svetelných rokov. Hranice nášho pozorovateľného vesmíru siahajú až do vzdialeností 20 miliárd svetelných rokov. Riešenia úloh Úloha 1. Svetelný rok je vzdialenosť, ktorú prejde svetlo vo vákuu za jeden rok, čo približne predstavuje 10 biliónov kilometrov, teda , čo je km. 9 svetelných rokov je teda km. Úloha biliónov = = Nesprávna je možnosť d). Úloha 3. 2,9 milióna svetelných rokov = 2, svetelných rokov, čo je 2, km, teda 2, km. Úloha miliárd svetelných rokov = svetelných rokov, čo môžeme zapísať ako V kilometroch je to = Úloha 5. Napr. 20 miliárd zapíšeme ako alebo alebo 0, a pod. Metodické poznámky úloha vhodná na počítanie bez kalkulačiek, žiaci si precvičujú počtové operácie s mocninami, zápis veľkých čísel, využívajú medzipredmetové vzťahy, pri všetkých úlohách upozorníme žiakov na to, aby výsledok uvádzali v tvare a.10 x (správny výsledok môže byť teda zapísaný rôzne). 13

12 Čísla, premenná, počtové výkony s číslami Cestovanie autobusom Úloha 1 Ak dopravný prostriedok prejde dráhu s kilometrov za čas t hodín jeho priemernú rýchlosť určíme tak, že zistíme akú dráhu prešiel za 1 hodinu. Akou priemernou rýchlosťou sa pohybuje autobus s dievčatami medzi mestami Lučenec Rimavská Sobota? V decembri na Slovensku vystúpi najznámejší armádny súbor Alexandrovci, zložený z najlepších ruských spevákov, sólistov, hudobníkov a tanečníkov. Vysokoškoláčky Katka a Petra žijúce v Bratislave si zakúpili vstupenky na koncert do Košíc. Keďže ani jedna nemá vodičský preukaz, pocestujú autobusom. Rozhodli sa ísť spojom číslo Úloha 2 Zajac poľný je bylinožravec schopný bežať rýchlosťou až 70 km/h. Dostihol by autobus zajaca na úseku Tornaľa Rožňava, ak by odišiel z Tornale o 6 minút neskôr ako zajac? Svoje tvrdenie zdôvodnite. Úloha 3 Postačí Petre a Katke 50 na zaplatenie cesty do Košíc a späť, ak majú nárok na zľavnené cestovné? Vysokoškoláčky budú platiť v hotovosti, keďže nemajú čipové karty. Cenník cestovného platný od Tarifná Obyčajné cestovné Zľavnené cestovné vzdialenosť km v hotovosti z čipovej karty v hotovosti z čipovej karty do 4 0,60 0,45 0,50 0, ,70 0,50 0,50 0, ,80 0,60 0,60 0, ,90 0,75 0,70 0, ,10 0,90 0,80 0, ,20 1,00 0,90 0, ,40 1,20 1,00 0, ,70 1,50 1,20 0, ,90 1,70 1,30 1, ,00 1,85 1,40 1, ,20 2,00 1,50 1, ,50 2,30 1,60 1, ,80 2,60 1,90 1, ,00 2,80 2,00 1, ,40 3,20 2,10 1, ,80 3,60 2,50 2, ,60 4,40 3,20 2, ,70 4,50 3,40 3, ,90 4,70 3,50 3, ,10 4,90 3,60 3, ,60 5,40 3,70 3, ,10 5,90 3,80 3, ,60 6,40 4,00 3, ,10 6,90 4,40 3, ,60 7,40 4,60 4, ,10 7,90 4,80 4, ,60 8,40 5,10 4, ,10 8,90 5,50 4,90 za každých ďalších 20 km 1,00 0,90 0,60 0,50 14

13 Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií žiakov 9. ročníka základných škôl Riešenie: Úloha 1. Rýchlosť dopravného prostriedku je daná vzťahom v = s [km/h]. t Pomocou cestovného poriadku zistíme, že autobus odišiel z Lučenca o 14:40 a na tachometri mal vodič 265 km (ak berieme do úvahy prípad, že tachometer bol pred jazdou vynulovaný), z Rimavskej Soboty o 15:10 a na tachometri bolo 297 km. Teda počet kilometrov, ktoré prešiel autobus medzi týmito mestami je 297 km 265 km, zatiaľ ubehlo 30 min. Potom pre priemernú rýchlosť autobusu medzi Lučencom a Rimavskou Sobotou platí v = ( ) km = 64 km/h. 30 h 60 Odpoveď: Medzi mestami Lučenec a Rimavská Sobota sa pohybuje autobus priemernou rýchlosťou 64 km/h. Úloha 2. Zajac i autobus štartujú z rovnakého miesta, preto prejdú rovnako dlhú dráhu. Platí s = vt. Čas zajaca nepoznáme, označíme ho t (h). Potom čas autobusu vieme vyjadriť ako t 6 (h). 60 Trasa, ktorú prejde zajac za čas t(h) rýchlosťou 70 km/h je 70t. Pre cestu autobusom platí 90 6 t km 60 Odkiaľ 90 6 t = 70 t t 9 = 70 t t = 9 = 0,45 h 20 Teda pre dráhu dostávame s = 70. t = 70. 0,45 = 31,5 km. Odpoveď: Na úseku medzi Tornaľou a Rožňavou nedostihne autobus zajaca. Podľa cestovného poriadku je vzdialenosť medzi týmito mestami je 27 km. Teda o 4,5 km menej ako by potreboval autobus. Úloha 3. Vzdialenosť medzi Bratislavou a Košicami je 432 km. Podľa cenníka cestovného za 200 km zaplatí jedna osoba za jednu cestu 5,50. Zostáva zistiť cenu za zvyšných ( ) = 232 km, ak každých ďalších 20 km stojí 0,60. Odtiaľ 232 : 20 =11,6. Keďže platíme za každých začatých 20 km, pri výpočte musíme namiesto hodnoty 11,6 zobrať číslo 12. Cena jednej cesty do Košíc pre jednu osobu je 5, ,60 = 12,70. Cena lístka do Košíc a späť pre jednu osobu je 2. 12,70 = 25,40. Cena lístka do Košíc a späť pre dve osoby je 2. 25,40 = 50,80. Odpoveď: Petre a Katke nebude stačiť 50 na zaplatenie cesty do Košíc a späť. Metodické poznámky Riešenie úloh vyžaduje zorientovanie sa v priložených tabuľkách a správnu interpretáciu získaných informácií. Nevyhnutnosťou je znalosť riešenia jednoduchých lineárnych rovníc, výpočtu neznámej zo vzorca. 15

14 Čísla, premenná, počtové výkony s číslami Slnko Slnko je naša najbližšia a súčasne najjasnejšia hviezda na oblohe. Vznikla asi pred 4,7 miliardami rokov. S hmotnosťou kg, priemerom km a povrchom 6,10 12 km 2 ju radíme medzi mierne nadpriemerné hviezdy našej Galaxie (Mliečnej cesty). Slnko je tvorené zo 73 % vodíkom, z 25 % héliom a 2 % pripadajú na ďalšie prvky. Pre ľudstvo predstavuje nevyčerpateľný zdroj energie, ktorá vzniká v jeho centre pri premene vodíka na hélium. Úloha 1 Veľkosť Slnka sa neustále mení. Aký bol priemer Slnka pred 4 storočiami, ak by sa sústavne skracoval každú hodinu o meter? Výsledok uveďte v metroch. Úloha 2 Koľko kg vodíka sa nachádza v Slnku? Úloha 3 Ak by sme mohli ísť autom zo Zeme k Slnku stálou rýchlosťou 90 km/h, trvalo by nám to približne 190 rokov. Aká je približná vzdialenosť medzi Zemou a Slnkom? Riešenia úloh Úloha 1. Najprv musíme vypočítať o koľko metrov sa skráti priemer Slnka za 400 rokov. Teda za 1h... o 1 m za 1 deň (24 h)... o 24 m za 1 rok (365 dní)... o = m za 400 rokov... o = m = 3, m Zo zadania úlohy vieme, že priemer Slnka dnes je km = m. Priemer pred 400 rokmi: m 3, m = 1 388, m. Odpoveď: Pred 4 storočiami bol priemer Slnka 1 388, m. Úloha 2. Hmotnosť Slnka je kg. Odtiaľ 100 % kg 1 % : 10 2 = kg 73 % = kg Odpoveď: V Slnku sa nachádza kg vodíka. Úloha 3. Vzdialenosť medzi Zemou a Slnkom vypočítame pomocou vzťahu s = v.t. Premeníme roky na hodiny a následne dosadíme zadané hodnoty do vzorca. Teda 190 rokov = ( ) dní = ( ) h = h. Potom s = km = km = 149, km. Odpoveď: Približná vzdialenosť medzi Slnkom a Zemou je 149, km. Metodické poznámky Predkladané úlohy sú zamerané na počítové operácie s veľkými číslami. Vyžadujú znalosť premieňania jednotiek času a dĺžky, počítania s percentami. 16

15 Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií žiakov 9. ročníka základných škôl Vodné, stočné Voda patrí medzi najrozšírenejšie kvapaliny na Zemi. Pred samotnou konzumáciou je potrebné ju vyčistiť a dezinfikovať (chlórovať). Prívod a odvod vody do domácností zabezpečuje i vodárenská spoločnosť Čistá voda, ktorá si za svoje služby účtuje nasledovné položky: Úloha 1 V trojizbovom rodinnom dome s obsahom plochy strechy 98 m 2 sa spotrebuje x m 3 pitnej vody za mesiac. Aké sú predpokladané mesačné náklady na vodu? Úloha 2 Pán Krasňanský platí vodárenskej spoločnosti za štvorizbový rodinný dom s obsahom plochy strechy 101 m 2 mesačne zálohu 30. Koľko kubíkov vody môže pán Krasňanský minúť za pol roka bez doplatku? Úloha 3 Pán Dolinský býva v bungalove s obsahom plochy strechy 75 m 2. V januári mu prišlo ročné vyúčtovanie s nedoplatkom 15 pri spotrebe 110 m 3 pitnej vody. Akú mesačnú zálohu platil počas roka? Cenník za vodné a stočné: Druh služby Vodné (cena za výrobu a dodávku pitnej vody verejným vodomerom) Stočné (cena za odvedenie a čistenie odpadovej vody verejnou kanalizáciou) cena bez DPH Cena Eur/m 3 cena s DPH 1,00 1,20 0,75 0,90 Pozn.: Zrážkové (cena za odvod zrážkovej odpadovej vody zo striech do verejnej kanalizácie) účtujeme v závislosti od plochy strechy domu nasledujúcim spôsobom: za dom s plochou strechy, ktorej obsah je do 100 m 2, účtujeme 64,80 m 3 /rok vody odvedenej do kanalizácie, za dom s plochou strechy, ktorej obsah je nad 100 m 2, účtujeme 75,00 m 3 /rok vody odvedenej do kanalizácie. Cena za odvedenú dažďovú vodu (m 3 ) je rovná cene za (m 3 ) odvádzanej odpadovej vody. Riešenia úloh Úloha 1. Pri odbere a odvode vody vodárenskou spoločnosťou musíme platiť vodné, stočné a zrážkové. vodné a stočné za 1 m ,20 + 0,90 = 2,10 paušálny poplatok za zrážkové na mesiac... (64,80 : 12). 0,90 =4,86 mesačné náklady za x m 3 vody... (2,10. x) + 4,86 Úloha 2. Záloha za 6 mesiacov je = 180. Paušálny poplatok za zrážkové počas pol roka bude 75 : 2 = 37,50. Zostavíme rovnicu 180 = 2,10x + 37,50 odtiaľ x 67,86 m 3 Odpoveď: Pán Krasňanský môže bez doplatku spotrebovať 67,86 m 3 vody za pol roka. Úloha 3. Mesačná záloha...x celkové náklady za rok... (12. x) +15 ročné zrážkové za dom do 100 m ,80 cena vodného a stočného za 110 m 3 vody... (1,20 + 0,90 ) x = 64,80 + (1,20 + 0,90). 110 Úpravou rovnice dostávame x = 22,40 Odpoveď: Pán Dolinský platil mesačne zálohu 22,40. Metodické poznámky Dané úlohy sú zamerané na zostavenie a riešenie jednoduchých lineárnych rovníc. Vyžadujú schopnosť vyjadrenia neznámej zo vzorca. 17

16 Čísla, premenná, počtové výkony s číslami 18

17 Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií žiakov 9. ročníka základných škôl Vzťahy, funkcie, tabuľky, diagramy Autori problémov: PaedDr. Kristína Cafiková 9.2.3, 9.2.5, Mgr. Antal Csáky 9.2.1, 9.2.2, prof. RNDr. Jozef Fulier, CSc , Mgr. Lukáš Lednický 9.2.6, PaedDr. Edita Szabová 9.2.3,

18 Vzťahy, funkcie, tabuľky, diagramy Medzi riadkami zo života rodiny Zvolenskej Úloha 1 O koľkej hodine odišla z domu rodina Zvolenská? Úloha 2 O ktorej hodine prišli členovia rodiny domov poobede? Úloha 3 Nastal počas dňa výpadok elektriny? Nasledujúci graf nám ukáže spotrebu elektriny rodiny Zvolenskej za jeden všedný deň. Keď sú členovia rodiny doma, spotrebujú 1,2 kilowattov elektriny za hodinu. Niektoré elektrické zariadenia fungujú aj vtedy, keď nikto nie je doma (napr. chladnička a niektoré spotrebiče v pohotovostnom režime). V takomto prípade je ich spotreba približne 0,3 kilowatthodín. Nulovú spotrebu elektriny majú len v prípade jej výpadku. Úloha 4 Rodina zvykne mať večeru o 19 hodine. Večerali doma aj v tento deň? Úloha 5 Vyplňte tabuľku! (Boli doma, Neboli doma, Výpadok elektriny). Čas 8:30 12:00 15:00 19:30 21:00 Čo sa stalo? Úloha 6 Koľko kilowatthodín spotrebovala rodina medzi hodinami 6:00 17:00? Úloha 7 Po večeri bola už rodina doma, od 22:00 do 6:00 hod. ráno všetci členovia rodiny spali a nebol výpadok elektriny. Koľko kilowatthodín spotrebovala rodina za 24 hodín, keď počítame od 6-tej ráno. Koľko rodina zaplatí za jeden deň, keď v roku 2012 na Slovensku bola cena 0,11661 za 1 kwh? Riešenie Úloha 1. Rodina Zvolenská odchádzala z domu pred 8-ou hodinou. Po odchodu graf spotreby pomalšie rastie, čo znamená, že spotreba klesá. Úloha 2. Rodina o 16 hodine prišla domov, pretože graf začal prudšie rásť. Úloha 3. Keď je výpadok elektriny, vtedy nespotrebováva rodina žiadnu elektrickú energiu, preto graf spotreby je grafom konštantnej funkcie. Podľa grafu bol výpadok elektriny v čase 12:00 do 14:00 hod. Úloha 4. Z grafu je vidieť, že medzi hodinami 18:00 a 20:00 hod. bolo nízke čerpanie elektrickej energie, čo pravdepodobne znamená, že rodina nebola doma a rodina večerala mimo domu. Úloha 5. Čas 8:30 12:00 15:00 19:30 21:00 Čo sa stalo? Neboli doma Výpadok elektriny Neboli doma Neboli doma Boli doma 20

19 Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií žiakov 9. ročníka základných škôl Úloha 6. Z grafu sa veľmi ľahko dá vyčítať, že od 6-ej hodiny do 17-ej hodiny rodina spotrebovala 4,8 kwh. Úloha 7. Po večeri už rodina trávila večer doma a o 22:00 hodine členovia rodiny išli spať. Celkovo do 22:00 hodiny spotrebovali: Od 6 do 20 hodiny spotrebovali 6,4 kwh môžeme to vidieť na grafe, a do 22 hodiny: 6,4 + (2. 1,2) = 8,8 kwh, pretože keď je rodina doma, za hodinu spotrebujú 1,2 kwh. Od 22:00 hodine rodina spala do 6:00 hodiny ráno (8 hodín). Vtedy fungovali len niektoré spotrebiče, spotreba elektrickej energie bola taká ako v prípade, že rodina je mimo domu, teda 0,3 kwh za hodinu. Do 6:00 hodiny ráno bola spotreba: 8,8 + (8. 0,3) = 11,2 kwh. Za 24 hodín mala rodina spotrebu elektrickej energie 11,2 kwh, za čo zaplatili 11,2. 0,11661= 1, Metodické pokyny Pomocou grafu môžeme vyvodiť aj také informácie, ktoré v ňom nie sú prítomné, napr. kedy bola rodina doma, či rodina večerala doma alebo mimo domu a pod. Žiaci sú prinútení premýšľať nad pokračovaním grafu. Úloha sa môže dopĺňať, žiaci si pomocou kontroly domácich meracích zariadení (napr.) za 24 hodín môžu určiť aj približnú spotrebu za celý mesiac, prípadne za rok a vypočítať, koľko zaplatia za elektrickú energiu na jeden mesiac alebo za celý rok. Úloha je vhodná pre ročníky 8 9 ZŠ. 21

20 Vzťahy, funkcie, tabuľky, diagramy Medzi riadkami Lacova cesta Úloha 1 Koľko hodín bol Laco tento deň v škole? Úloha 2 Akú priemernú rýchlosť mal autobus, ktorým cestoval Laco do školy? V tejto úlohe sa dozvieme o tom, ako cestoval Laco do školy v jeden všedný deň. Nie je to ľahké, pretože od Laca máme k dispozícii len jeden graf. Pomocou otázok skús určiť, kedy a akými dopravnými prostriedkami cestoval Laco! Úloha 3 Ktoré vozidlo bolo rýchlejšie, auto alebo autobus, keď vieme, že Laco cestoval autom aj autobusom? Úloha 4 Zaraď nasledujúce informácie do časového poradia! Laco: cestoval autobusom, cestoval autom, išiel peši, bol v škole. Riešenie Úloha 1. Na grafe vidíme, že Laco sa dostal do školy o 7,5 hod. (7:30), pretože graf je už grafom konštantnej funkcie. Podľa grafu Laco bol od 7,5 (7:30) do 11,5 (11:30) hodín na rovnakom mieste, resp. v rovnakej vzdialenosti od domu (v našom prípade v škole). Po 11,5 hodine sa graf konštantnej funkcie mení na graf klesajúcej funkcie, čo znamená že Laco je na ceste domov. Celkovo bol v škole: 11,5 7,5 = 4 hodiny. Úloha 2. Je to zaujímavá otázka, odpoveď na ňu sa na prvý pohľad nedá určiť. Pomôže nám jednoduchá fyzika. Lacova cesta trvala 0,5 hodiny do školy, vtedy graf bol grafom rastúcej funkcie. Počas tohto času sa dostane do vzdialenosti 30 km od domova. Po dosadení do známeho vzorca dostaneme: 30 km / 0,5 h = 60 km/h, čo je priemerná rýchlosť autobusu. Úloha 3. Keďže vieme, že Laco cestoval do školy autobusom, potom vieme aj to, že zo školy cestoval domov autom. Vzdialenosť od domova do školy autobus zvládol za 0,5 hodiny, auto zo školy išlo 1 alebo 1,5 hodinu. Z tohto vyplýva prekvapujúci záver, že autobus bol rýchlejší a auto pomalšie, z čoho je možné usudzovať, že auto sa pravdepodobne dostalo do dopravnej zápchy. Úloha 4. Podľa informácií uvedených v tejto časti sa dozvedáme, že Laco išiel aj peši. Možné riešenie je: cestoval autobusom > bol v škole > cestoval autom > išiel peši. Metodické pokyny Zaujímavosťou úlohy je to, že je potrebné, aby žiaci ju riešili postupne. V novej otázke je vždy nová informácia, pomocou ktorej môžu pracovať ďalej. Úlohu je možné využiť aj na hodinách fyziky pri príslušnom tematickom okruhu (vzťah v = s/t). Na hodinách matematiky je možné 22

21 Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií žiakov 9. ročníka základných škôl zaradiť úlohu od 7. ročníka, keď žiaci už poznajú z fyziky vzorec na výpočet priemernej rýchlosti vozidla. So žiakmi môžeme diskutovať aj o tom, prečo môže nastať situácia, že auto bolo pomalšie než autobus a prečo bolo potrebné ísť aj peši. Žiaci podľa príkladu môžu nakresliť aj vlastné grafy cesty do školy a na hodinách, prípadne na matematických krúžkoch, je možné pomocou nich vytvoriť zaujímavý kvíz, v ktorom musia žiaci uhádnuť, ku komu patria jednotlivé grafy. 23

22 Vzťahy, funkcie, tabuľky, diagramy Miera nezamestnanosti v krajinách EÚ Na internetovej stránke: eu/statistics_explained/index. php/main_page sú uverejnené informácie o krajinách Európskej únie, ako populácia alebo nezamestnanosť. Pomocou nasledujúcich tabuliek zistite: Tabuľka 1: Populácia v krajinách EÚ v jednotlivých rokoch Úloha 1 O koľko je vyšší/nižší podiel nezamestnaných v roku 2013 v krajinách Škandinávie (Švédsko, Nórsko, Dánsko, Fínsko, Island) v porovnaní s krajinami Vyšehradskej štvorky (Poľsko, Slovensko, Česko, Maďarsko)? Úloha 2 Popíšte, ako sa menili počty nezamestnaných a zamestnaných ľudí v Rakúsku v jednotlivých rokoch. Tabuľka 2: Miera nezamestnanosti v krajinách EÚ v percentách 24

23 Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií žiakov 9. ročníka základných škôl Riešenie Úloha 1. O koľko je vyšší/nižší podiel nezamestnaných v roku 2013 v krajinách Škandinávie (Švédsko, Nórsko, Dánsko, Fínsko, Island) v porovnaní s krajinami Vyšehradskej štvorky (Poľsko, Slovensko, Česko, Maďarsko)? Výsledok zaokrúhlite na jedno desatinné miesto. Škandinávske krajiny počet obyvateľov nezamestnanosť počet nezamestnaných Švédsko Nórsko , Dánsko , Fínsko Island , celkovo , Krajiny V4 počet obyvateľov nezamestnanosť počet nezamestnaných Poľsko , Slovensko , Česká republika , Maďarsko , celkovo , Súčet počtu obyvateľov 100 x súčet počtov nezamestnaných / súčet obyvateľov Súčet počtov nezamestnaných Do tabuľky vpíšeme príslušné počty obyvateľov a nezamestnanosť v percentách. Vypočítame ku každej krajine počet nezamestnaných ľudí. (Počet nezamestnaných ľudí = počet obyvateľov nezamestnanosť v % /100). Celkovú nezamestnanosť v % dostaneme pomocou výpočtu 100 krát súčet počtov nezamestnaných / súčet obyvateľov. Po zaokrúhlení získavame výsledky: v škandinávskych krajinách je podiel nezamestnaných ľudí 7 %, v krajinách V4 je to 10,4 %, teda o 3,4 % je vyššia nezamestnanosť v krajinách V4. Úloha 2. Popíšte, ako sa menili počty nezamestnaných a zamestnaných ľudí v Rakúsku v jednotlivých rokoch. Údaje pre Rakúsko zase nájdeme v príslušných tabuľkách počtov obyvateľov krajín a podielom nezamestnaných ľudí. Zistené údaje prepíšeme do pripravenej tabuľky. Dôležité je, že teraz nás zaujímajú počty zamestnaných ľudí, preto máme v pripravenej tabuľke aj stĺpec počet zamestnaných. Počet nezamestnaných sa vypočíta ako počet obyvateľov nezamestnanosť / 100 a počet zamestnaných ako rozdiel počtu obyvateľov a počtu nezamestnaných. 25

24 Vzťahy, funkcie, tabuľky, diagramy RAKÚSKO rok počet obyvateľov * nezamestnanosť * počet nezamestnaných * počet zamestnaných * , , , , Počet obyvateľov Rakúska má v priebehu rokov 2010 až 2013 stúpajúcu tendenciu, podiel nezamestnaných v rokoch 2010 a 2011 bol približne rovnaký. Keďže v roku 2011 malo Rakúsko viac obyvateľov ako v roku 2010, zvýšil sa teda počet nezamestnaných (pri zachovaní rovnakej nezamestnanosti) a teda vzrástol počet zamestnaných. V roku 2012 sa nezamestnanosť znížila na 4,1%, čo prinieslo za pozorované roky najvyšší počet zamestnaných ľudí. V roku 2013 máme najvyšší počet obyvateľov, najvyššiu nezamestnanosť, najvyšší počet nezamestnaných, ale (!!!) v porovnaní s rokom 2010 máme ešte stále vyšší počet zamestnaných, teda bolo vytvorených viac pracovných miest. Metodické poznámky Pri riešení úloh si žiaci precvičujú prácu s reálnymi údajmi. Je vhodné si zapisovať medzivýsledky do tabuliek, keďže používame väčší počet údajov a je potrebné prácu pri riešení úloh systematizovať. Ak je to možné, bolo by vhodné používať pri výpočtoch program Excel, pretože pracujeme s rádovo veľkými číslami a operácie opakujeme pri riadky (použitie príkazu sum, kopírovanie vzorcov). V úlohe 1 by si mali uvedomiť, že celkovú nezamestnanosť nedostaneme sčítaním jednotlivých počtov percent nezamestnaných ľudí (je možné to počítať cez vzorec pre vážený priemer). V úlohe 2 (pozri * v tabuľke) by bolo možno vhodné, aby sme žiakom nevpísali do tabuľky, čo presne majú počítať, teda mohli by si menovky stĺpcov vpisovať aj sami. Je tiež dôležité, aby si všimli, že v úlohe 2 nás zaujíma aj zamestnanosť. Zistenia by mali aj slovne čo najpodrobnejšie popísať. Pri sledovaní nezamestnanosti, resp. zamestnanosti, je dôležité sledovať nielen percentuálny počet nezamestnaných, ale aj to, koľko pracovných miest sa vytvorilo alebo zaniklo oproti ostatným rokom. 26

25 Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií žiakov 9. ročníka základných škôl Spomienka na jednu historickú úlohu Úloha 1 Na zhotovenie koruny zlatník dostal od kráľa Hierona 675 g rýdzeho zlata 1 (Au). Archimedes zistil, že zhotovená kráľovská koruna má objem 41,25 cm 3. Zistite, koľko gramov striebra (Ag) namiesto zlata (Au) zlatník pridal do koruny? Hustota zlata je ρ Au = 19,32 g/cm 3 a hustota striebra je ρ Ag = 10,50 g/cm 3. Úloha 2 Na Obr. 2 je znázornený vývoj ceny zlata (Au) a ceny striebra (Ag) v amerických dolároch (v US Dollars) za jednu tzv. trójsku uncu (1 trójska unca = 31,1045 g) na burze v New Yorku a v Londýne v časovom období od 16. októbra 2013 do 15. novembra Určte ceny zlata a cenu striebra, s ktorými sa 6. novembra 2013 obchodovalo na londýnskej burze (pre zlato berieme cenu, ktorá zodpovedá závislosti London PM a pre striebro závislosť London Fix) s presnosťou na 4 desatinné miesta. Vyjadrite túto cenu zlata a cenu striebra v eurách za 1 gram. Ak viete, že aktuálny kurz amerického dolára a eura v uvedený deň bol 1 USD 0,7407 eura. Na Podľa legendy z 1. stor. pred n. l. (jej autorom je rímsky architekt Vitrivius) syrakúzsky vládca Hieron II. si dal zhotoviť u svojho zlatníka kráľovskú korunu z rýdzeho zlata, v tvare vavrínového venca. Zlato na zhotovenie koruny poskytol samotný kráľ a toto zlato bolo prirodzene starostlivo odvážené. Napriek tomu, že zlatník korunu veľmi pekne urobil a aj jej hmotnosť sa rovnala hmotnosti zlata, ktoré dostal zlatník, predsa len kráľ Hieron začal mať pochybnosti o tom, či je koruna naozaj z rýdzeho zlata, či zlatník nepridal do nej namiesto zlata nejaký iný kov, pravdepodobne striebro. O vyriešenie tohto problému požiadal človeka najpovolanejšieho, Archimeda zo Syrakúz ( p.n.l.), najvýznamnejšieho matematika a fyzika staroveku. Archimedes dlho nevedel túto úlohu vyriešiť, pretože nedokázal nájsť nedeštruktívny spôsob ako určiť objem koruny. Určite by totiž nebolo veľmi rozumné, pretaviť peknú korunu do nejakého vhodnejšieho tvaru (napríklad do tvaru kvádra), ktorého objem sa dá ľahko určiť. Archimedes na uvedený problém myslel niekoľko dní a nocí. Takto hlboko zamyslený bol i pri kúpaní a vôbec si nevšimol, že vaňa je naplnená vodou úplne po horný okraj, takže keď sa Archimedes ponoril do vane, voda z vane samozrejme pretiekla. Toto sa stalo už predtým určite veľa ľudom, ale až Archimedes si uvedomil jednu veľmi dôležitú vec: z vane vytieklo práve také množstvo vody, ktoré sa rovná objemu jeho tela, resp. objemu ponorenej časti jeho tela. Obr. 1: Archimedes zo Syrakúz a zisťovanie objemu telesa ľubovoľného tvaru Okamžite ho napadlo ako je možné vyriešiť nastolený problém a to hneď dvoma spôsobmi. V eufórii vybehol nahý na ulicu a kričal Heuréka! (čo znamená Našiel som! ). Teraz už vyriešiť úlohu nebolo ťažké: ponoril kráľovskú korunu do nádoby vrchovate naplnenej vodou, na základe objemu vytečenej vody zistil objem koruny a využitím hustôt zlata a striebra zistil, že zlatník kráľa skutočne podviedol, pretože na jej výrobu nepoužil rýdze zlato, ale časť zlata si ponechal a do zvyšného zlata, ktoré roztavil, pridal aj trochu roztaveného striebra (striebro je oveľa lacnejšie ako 1 Vysvetlivka: Použili sme fiktívne údaje, pretože legenda skutočnú hmotnosť a objem kráľovskej koruny nespomína. Aj keď sa možno zdá, že koruna kráľa Hierona bola ťažká na nosenie na hlave, myslíme si, že hmotnosť tejto kráľovskej koruny je primeraná bohatstvu a významu kráľa Hierona. Napríklad uhorská kráľovská 27

26 Vzťahy, funkcie, tabuľky, diagramy základe takto získaných údajov určte celkovú cenu zlata, z ktorého mala byť pôvodne zhotovená vladárska koruna a tiež určte príslušnú sumu v eurách, ktorou sa zlatník obohatil zámenou zlata za striebro v uvedenej korune (tieto výsledky zaokrúhlite na dve desatinné miesta). zlato), čím vznikla zliatina zlata a striebra, ktorá na pohľad vypadala ako ozajstné zlato. Pripomeňme si, že pojem hustoty látky zaviedol práve Archimedes. Túto fyzikálnu veličinu (hustotu) označujeme gréckym písmenom ρ a je definovaná ako podiel hmotnosti m a objemu V telesa, teda m ρ = V Obr. 2.: Vývoj ceny zlata (Au) a striebra (Ag) v amerických dolároch (US Dollars) za tzv. 1 trójsku uncu: (zdroj: v čase od 16. okt do 15. nov Riešenie Úloha 1. Zlatník pridal do zlata 144,686 g striebra. Úlohu môžeme riešiť prostredníctvom sústavy rovníc. Ak označíme písmenami: x... hmotnosť pridaného striebra, y... hmotnosť zlata v korune, potom x + y = 675. Objem striebra v korune sa rovná x / 10,50 cm 3 a objem zlata v korune je y / 19,320 cm 3, súčet objemov týchto zložiek sa rovná objemu celej koruny, t.j. číslu 41,25 cm 3. Daná úloha vedie na sústavu rovníc x + y = 675, koruna pochádzajúca z 12. storočia, ktorá je uložená v budove maďarského parlamentu v Budapešti má hmotnosť g a kráľovská koruna, ktorú v roku 1346 nechal zhotoviť český kráľ a rímskonemecký cisár Karol IV. ( ) má dokonca hmotnosť až gramov. 28

27 Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií žiakov 9. ročníka základných škôl x y + = 41,25 10,50 19,320 Vyjadríme y = 675 x a dosadením do druhej rovnice máme x (675 x) + = 41,25, 10,50 19,32 odkiaľ po úprave máme 7087,5 + 8,85 x = 8367,975. Z poslednej rovnice pre hmotnosť striebra dostaneme 1 280,475 x = = 144,68644 g 144,69 g. 8,85 Úloha 2. Z grafov na obr. č. 2 môžeme určiť nákupné ceny zlata a striebra s ktorými sa obchodovalo na Londýnskej burze dňa Konkrétne: a) nákupná cena zlata (Au) bola USD za 1 trójsku uncu (31,1045 g), čo je znamená, že nákupná cena zlata za 1 g bola x = = 42, USD/g 42,44 48 USD/g, 31,1045 b) nákupná cena striebra (Ag) bola 22 USD za 1 trójsku uncu, čo je znamená, že nákupná cena striebra za 1 g bola 22 x = = 0, USD/g 0,7073 USD/g. 31,1045 Ak využijeme aktuálny kurz amerického dolára k euru 1 USD 0,7407 euro, tak v eurách boli nákupné ceny za 1 gram: a) zlata: 42,44 48 USD/g = (42,44 48). (0,7407) euro/g 31,4389 euro za 1 gram, b) striebra: 0,7073 USD/g = (0,7073). (0,7407) euro/g 0,5239 euro za 1 gram. Podľa zadania úlohy 1 na zhotovenie královskej koruny sa malo použiť 675 g zlata, čo v nákupných cenách zo bolo ,4389 = , ,2. Podľa riešenia Úlohy 1 podvodný zlatník nahradil v korune zlato o hmotnosti 144,686 g striebrom, rozdiel v nákupných cenách bol: 144, , ,686. 0,5239 = 144,686. (31,4389 0,5239) = 4 472, , euro. 29

28 Vzťahy, funkcie, tabuľky, diagramy Evidencia vozidiel na Slovensku Úloha 1 Koľko percent novoevidovaných vozidiel tvoria jednotlivo dovezené vozidlá v roku 2012? Výsledok zaokrúhľujte na dve desatinné čísla podľa pravidiel pre zaokrúhľovanie čísel. Zdroj: Úloha 2 Koľko percent novoevidovaných vozidiel tvoria evidované vozidlá v roku 2010? Úloha 3 V ktorom z období 2005/2006 a 2011/2012 bol vyšší podiel vozidiel vyradených z cestnej premávky? Graf 1: Počty evidovaných vozidiel na Slovensku Graf 2: Počty novoevidovaných vozidiel na Slovensku Graf 3: Počty jednotlivo dovezených vozidiel na Slovensku 30

29 Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií žiakov 9. ročníka základných škôl Graf 4: Počty vozidiel vyradených z evidencie na Slovensku Graf 5: Počty vozidiel vyradených z cestnej premávky na Slovensku Riešenie Úloha 1. Výsledok zaokrúhľujte na dve desatinné čísla podľa matematických pravidiel. Počet novoevidovaných vozidiel v roku 2012 je , počet jednotlivo dovezených vozidiel je v tom istom roku Ide o úlohu na výpočet percent pri známej hodnote a známom základe. h = z = p =? h p = 100. = = 80, ,44 %. z V roku 2012 jednotlivo dovezené vozidlá tvorili 80,44% novoevidovaných vozidiel. Úloha 2. V roku 2010 je počet novoevidovaných vozidiel , počet evidovaných vozidiel je Ide o úlohu na výpočet percent pri známej hodnote a známom základe. 31

30 Vzťahy, funkcie, tabuľky, diagramy h = z = p =? h p = 100. = z = 3, ,8 %. Úloha 3. V ktorom z období 2005/2006 a 2011/2012 bol vyšší podiel vozidiel vyradených z cestnej premávky? V roku 2005 bolo z premávky vyradených a v roku vozidiel, spolu je to vozidiel. V roku 2011 bolo vyradených z premávky a v roku 2012 to bolo vozidiel, spolu Ďalej budeme riešiť úvahou počet evidovaných vozidiel v roku 2005 bol približne a v roku 2006 približne Vyradených bolo spolu takmer vozidiel. V roku 2011 bolo evidovaných približne a v roku vozidiel, čo je oveľa viac ako v rokoch 2005 a 2006, zároveň bolo v období 2011/2012 vyradených menej vozidiel ako v období 2005/2006. Teda vyšší podiel vyradených vozidiel bol v období 2005/2006. Metodické poznámky Pri riešení úloh žiaci používali hodnoty, ktoré bolo treba vyčítať z adekvátneho grafu, resp. grafov. Úlohy 1 a 2 boli zamerané na výpočet počtu percent pri danom základe a hodnote, ktoré získali z grafov. Pri úlohe 3 bolo možné použiť úvahu, ktorá sa ukazuje byť vhodnejšou metódou ako presný výpočet vzhľadom na to, že vo väčšine prípadov vozidlá, ktoré boli evidované v jednom roku, boli evidované aj v nasledujúcom roku. 32

31 Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií žiakov 9. ročníka základných škôl Pravidlá hry V športe a v rôznych hrách sú vždy určené pravidlá, podľa ktorých sa určuje víťaz. Samozrejme snaha je, aby boli spravodlivé a víťazom bol ten najlepší. Niekedy sa však pravidlá upravujú, a ten kto vyhral podľa starých pravidiel, už nemusí vyhrať aj podľa nových. Takéto zmeny pravidiel sa udiali v hokeji, futbale alebo vo volejbale. Úloha 1 Vo futbale sa za výhru udeľujú 3 body, za remízu 1 bod a za prehru 0 bodov. Kedysi sa za výhru udeľovali len 2 body. V tabuľke 1 sú výsledky slovenskej 2. futbalovej ligy z ročníka 2011/2012. Zistite, aké by bolo poradie, keby sa bodovalo starým spôsobom. V prípade rovnosti bodov rozhoduje o poradí rozdiel v skóre, (napr. Spartak Myjava má rozdiel v skóre = 48). Družstvo s väčším rozdielom v skóre sa umiestni pred družstvo s menším rozdielom v skóre. Úloha 2 Tabuľka 2 obsahuje výsledky slovenskej volejbalovej ligy. Od ročníka 2012/2013 sa boduje nasledovne: za výhru 3 : 0 alebo 3 : 1 získa družstvo 3 body, za výhru 3 : 2 získa 2 body, za prehru 2 : 3 získa 1 bod a za prehru 1 : 3 alebo 0 : 3 nezíska body. V starom systéme bodovania sa za akúkoľvek výhru udeľovali 2 body a za akúkoľvek prehru 1 bod. Všimnite si, že družstvo VKP Bratislava (3.) má o 1 výhru viac ako družstvo Volley Team (2.), ale v poradí je nižšie. Mohla takáto situácia nastať aj podľa starého systému bodovania? Ak áno, uveďte príklad, ak nie, vysvetlite prečo. Tabuľka 1 Družstvo Z V R P Skóre B 1. TJ Spartak Myjava : FO ŽP Šport Podbrezová : ŠK SFM Senec : MFK Dolný Kubín : MŠK Rimavská Sobota : MFK Zemplín Michalovce : MFK Ružomberok B : MFK Dubnica : FK Bodva Moldava : Tatran Liptovský Mikuláš : LAFC Lučenec : FC Petržalka :54 20 Z počet zápasov V počet výhier R počet remíz P počet prehier B počet bodov Tabuľka 2 Zápasy Body Družstvo Celkom V P 3:0 3:1 3:2 2:3 1:3 0:3 1 Svidník Volley Team VKP Bratislava Prešov Myjava SPU Nitra Zvolen Stará Ľubovňa ATC Trenčín Riešenie Úloha 1. Najprv je potrebné prepočítať počet bodov. Za výhru sú 2 body, za remízu 1 a za prehru 0 bodov. Pre Spartak Myjava bude výpočet vyzerať nasledovne: = 51 Rovnako vypočítame počet bodov ostatných družstiev. Potom stačí usporiadať družstvá podľa počtu bodov. Rovnosť bodov nastáva na 4. a 5. pozícií a 6. až 9. pozícií. Musíme vypočítať rozdiel v skóre pre jednotlivé družstvá a porovnať ich. Dolný Kubín má rozdiel v skóre = 1 a Rimavská Sobota = 0, preto bude Dolný Kubín pred Rimavskou Sobotou. V druhom prípade musíme usporiadať 4 družstvá. Vypočítajme rozdiel v skóre pre ne: Michalovce = 5 Ružomberok B = 3 Dubnica = 1 Moldava = 6 Tieto družstvá budú usporiadané v poradí Ružomberok B, Dubnica, Michalovce, Moldava. Celá tabuľka bude vyzerať nasledovne. 33

32 Vzťahy, funkcie, tabuľky, diagramy Úloha 3 Vrátime sa k tabuľke z úlohy 1. Navrhnite svoj vlastný systém bodovania, ktorý bude spĺňať nasledujúce podmienky: 1. Počet bodov za výhru je väčší ako počet bodov za remízu, a ten je väčší ako počet bodov za prehru. 2. Počty bodov musia byť len z množiny {0, 1, 2, 3, 4}. 3. Podbrezová bude mať viac bodov ako Spartak Myjava. Ak také bodovanie neexistuje, vysvetlite prečo. Úloha 4 Majme rovnaké zadanie ako v úlohe 3, ale zmeňme tretiu podmienku nasledovne: Ružomberok B bude mať viac bodov ako Michalovce. Ak také bodovanie neexistuje, vysvetlite prečo. Tabuľka Družstvo Z V R P Skóre B 1. TJ Spartak Myjava : FO ŽP Šport Podbrezová : ŠK SFM Senec : MFK Dolný Kubín : MŠK Rimavská Sobota : MFK Ružomberok B : MFK Dubnica : MFK Zemplín Michalovce : FK Bodva Moldava : Tatran Liptovský Mikuláš : LAFC Lučenec : FC Petržalka :54 16 Úloha 2. Ak sa za výhru udeľovali 2 body a za prehru 1 bod, tak nemohlo družstvo s menším počtom výhier predbehnúť družstvo s väčším počtom výhier. V tomto spôsobe bodovania malo každé družstvo istý zisk jedného bodu za každý odohratý zápas. Keďže každé družstvo odohralo rovnaký počet zápasov, tak tento istý zisk bodov bol pre každé družstvo rovnaký. Ďalšie body boli už len za výhry, a teda kto vyhral viac zápasov, ten získal aj viac bodov. (Rovnaká situácia by bola v prípade, že za výhru by sa udeľoval 1 bod a za prehru 0 bodov.) Úloha 3. Označme počet bodov za výhru v, počet bodov za remízu r a počet bodov za prehru p. Podľa prvej podmienky musí platiť v > r > p. Počet bodov, ktoré získala Myjava je 20 v + 11 r + 2 p. Podbrezová získala 18 v + 11 r + 4 p. Aby bola splnená podmienka 3, musí platiť 20 v + 11 r + 2 p < 18 v + 11 r + 4 p. Upravujme nerovnicu pomocou ekvivalentných úprav: 20 v + 11 r + 2 p < 18 v + 11 r + 4 p 2 v 2 p < 0 v p < 0 v < p Odvodili sme podmienku, ktorá je však nevyhovujúca vzhľadom k podmienke 1. Preto také bodovanie neexistuje, ktoré by spĺňalo všetky 3 podmienky. Úloha 4. Zapíšme počty bodov pre obe družstvá. Michalovce 13 v + 7 r + 13 p Ružomberok B 12 v + 9 r + 12 p Z podmienky v zadaní vyplýva, že musí platiť 13 v + 7 r + 13 p < 12 v + 9 r + 12 p. Nerovnicu upravujeme pomocou ekvivalentných úprav. 13 v + 7 r + 13 p < 12 v + 9 r + 12 v 2 r + p < 0 Teraz musíme nájsť také trojice čísel z množiny {0, 1, 2, 3, 4}, ktoré budú spĺňať túto podmienku a súčasne bude tiež platiť v > r > p. Trojice čísel, ktoré spĺňajú podmienku v > r > p sú: 4, 3, 2; 4, 3, 1; 4, 3, 0; 4, 2, 1; 4, 2, 0; 4, 1, 0; 3, 2, 1; 3, 2, 0; 3, 1, 0; 2, 1, 0. Tie- 34

33 Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií žiakov 9. ročníka základných škôl to trojice si zapíšeme do tabuľky a budeme sledovať, ktoré z nich spĺňajú podmienku v 2 r + p < 0. v r p v 2 r + p Z tabuľky vidíme, že podmienku spĺňajú trojice 4, 3, 1; 4, 3, 0 a 3, 2, 0. Zdroj:

34 Vzťahy, funkcie, tabuľky, diagramy 36

35 Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií žiakov 9. ročníka základných škôl Geometria a meranie Autori problémov: Mgr. Alexandra Maceková, PhD , 9.3.4, Mgr. Gabriela Szendy, PhD , 9.3.2, 9.3.5, Mgr. ZuzanaVitézová 9.3.6,

36 Geometria a meranie Bazilika svätého Petra V Bazilike svätého Petra vo Vatikáne sa chystajú zreštaurovať jeden stĺp. Nachádzajú sa na ňom maličké mozaiky trojuholníkového tvaru. Preto musia kúpiť sklo troch farieb: žlté, modré a červené a následne z neho narezať požadované trojuholníky. Všetky sú pravouhlé s preponou 2,25 cm a jednou odvesnou 1,35 cm. Úloha 1 Vypočítajte, koľko cm 2 žltého, modrého a červeného skla musia reštaurátori kúpiť, ak napočítali 120 žltých trojuholníkov, 145 modrých a 100 červených, pričom chcú mať do zásoby sklo na 30 trojuholníkov každej farby, keby sa im sklo polámalo. Úloha 2 Koľko zaplatí bazilika za sklo na trojuholníkovú mozaiku, ak jeden cm 2 skla stojí 0,2? Predajňa však účtuje iba celé centimetre štvorcové (zaokrúhľuje ich nahor). Riešenia úloh Úloha 1. Musíme vypočítať najskôr obsah jedného trojuholníka mozaiky, ale najskôr musíme zistiť dĺžku druhej odvesny a na to využijeme Pytagorovu vetu: a 2 + b 2 = c 2 1, b 2 = 2,25 2 b 2 = 5,0625 1,8225 b 2 = 3,25 b = 3,24 b = 1,8 Vypočítame obsah jedného trojuholníka podľa nasledujúceho vzorca: a b 1,35 1,8 S = = = 2,43 cm Obsah jedného trojuholníka je 2,43 cm 2. Teraz musíme vypočítať obsah celého skla pre jednotlivé farby trojuholníkovej mozaiky. Nesmieme zabudnúť pripočítať aj zásobu, pre prípadnú chybu reštaurátora. S ž = 1,215 ( ) = 182,25 cm 2 S m = 1,215 ( ) = 212,625 cm 2 S č = 1,215 ( ) = 157,95 cm 2 Budú potrebovať 182,25 cm 2 žltého skla, 212,625 cm 2 modrého skla a 157,95 cm 2 červeného skla. Úloha 2. Už stačí iba spočítať obsahy jednotlivých skiel a vynásobiť sumou za jeden centimeter štvorcový. Predtým si však všetky obsahy musíme zaokrúhliť na celé čísla smerom nahor kvôli tomu, že predajňa účtuje iba celé centimetre štvorcové. S ž = 182,25 cm cm 2 x = 0,2. ( ) S m = 212,625 cm cm 2 x = 0, S č = 157,95 cm cm 2 x = 110,8 Bazilika zaplatí za materiál na trojuholníkovú mozaiku 110,8. 38

37 Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií žiakov 9. ročníka základných škôl Le Grand Louvre V hlavnom meste Francúzska v Paríži sa nachádza svetoznáme a jedno z najväčších múzeí sveta Musée du Louvre. Zaujímavosťou je, že hlavný vchod je cez sklenenú pyramídu, ktorá sa nachádza v strede celého komplexu Le Grand Louvre. Úloha 1 Koľko metrov kubických vzduchu sa nachádza pod presklenou časťou pyramídy, ktorá sa nachádza nad povrchom zeme? Vieme, že jej podstava je štvorec a jej vnútorné rozmery sú: strana štvorca 35 m a výška približne 20,6 m. Úloha 2 Sklenená pyramída sa skladá zo 673 sklenených častí. Niekoľko je trojuholníkových a niekoľko je kosoštvorcových. Koľko je ktorých, ak trojuholníkových je spolu 140 m 2, jeden kosoštvorcový dielik má obsah 2,9 m 2 a stenu sklenenej pyramídy tvorí rovnoramenný trojuholník s ramenom 32,2 m? Riešenia úloh Úloha 1. Musíme vypočítať objem pyramídy, pričom použijeme vnútorné rozmery a 2 v ,6 V = = 8 411, 67 m Pod sklenenú pyramídu sa zmestí približne 8 411, 67 m 3 vzduchu. Úloha 2. Musíme vypočítať výšku v rovnoramennom trojuholníku, ktorý tvorí stenu pyramídy. Na výpočet výšky použijeme Pytagorovu vetu a následne vypočítame povrch celej sklenenej časti. x v a = b 2 S = S pl a v 17,5 2 + v 2 = 32,2 2 S = 4 a 2 2 = v a 1 036,84 306,25 S = v a = 730,59 S = m 2 v a = 730,59 v a = 27, m Nakoniec musíme od povrchu odpočítať obsah trojuholníkových dielikov a zvyšok vydeliť obsahom jedného dielika tvaru kosoštvorca. y = ( ) : 2,9 y = 603, dielikov tvaru kosoštvorca z = z = 70 dielikov tvaru trojuholníka Na sklenenej pyramíde sa nachádza 603 dielikov tvaru kosoštvorca a 70 dielikov tvaru trojuholníka. 39

38 Geometria a meranie Práčka V prvej polovici 18. storočia zostrojil Angličan Stender prvú práčku. Jej vývoj postupne napredoval až k dnešnej podobe automatickej práčky, ktorú nájdeme takmer v každej domácnosti. Funkcie automatických práčok sú stále lepšie, čím uľahčujú pranie prádla v domácnostiach. Dnes už sú dostupné dva druhy práčom: plnené zhora a plnené spredu. Úloha 1 Koľko dm 2 špeciálneho plechu bolo použitých na výrobu bubnu s priemerom 50 cm, ak je o 2 cm kratší ako hĺbka práčky? (Výsledok zaokrúhlite na dve desatinné čísla.) Úloha 2 Po zaplatení otecko uvažoval, či sa mu práčka zmestí do kufra auta. Otecko má auto s kufrom v tvare kvádra s objemom 580 l. Otecko vie, že rozmery dverí od kufra sú 72,5 cm a 80 cm. Zmestí sa oteckovi práčka do auta? Svoju odpoveď zdôvodni. Úloha 3 Akú spotrebu vody v litroch má práčka na jedno pranie a jedno plákanie, ak sa napĺňa do 4/7 objemu bubna? (Zaokrúhlite na celé čísla.) V rodine Mokrých sa pokazila práčka, a tak sa otecko rozhodol zájsť do obchodu pre novú práčku. Mamička mu nakázala, že chce úspornú automatickú práčku plnenú spredu. Po prezretí ponuky sa otecko rozhodol pre práčku SAMSUNG WF1602WCC s rozmermi: šírka: 60 cm, hĺbka: 45 cm, výška: 85 cm. Keďže práčka bola drahšia ako otecko predpokladal, zisťoval, čo je na nej také drahé. Predavač mu povedal, že je to bubon, vyrobený zo špeciálneho materiálu. A tak otecka napadlo, že vypočíta, aký veľký plech bol použitý na výrobu bubnu. Riešenie Úloha 1. pri riešení úloh žiaci potrebujú vedieť premeny jednotiek objemu, kde platí: 1 l = 1 dm 3 1 ml = 1 cm 3 Na výpočet plochy plechu je potrebné vypočítať povrch valca s polomerom podstavy r = 25 cm a výškou v = 43 cm. Je potrebné si uvedomiť, že bubon práčky má len jednu podstavu. S = πr πrv S = 3, , S = 1 962, S = 8 713,5 cm 2 S = 87,135 dm 2 87,14 dm 2 Na výrobu bubnu bolo potrebné 87,14 dm 2 plechu. Úloha 2. Aj keď je zadaný objem kufra auta, nie je potrebné počítať aj objem práčky. Keďže sú známe rozmery práčky, stačí dopočítať posledný rozmer kufra (z objemu), a tak zistiť, či sa práčka zmestí do kufra. V = 580 l = ml a = 72,5 cm b = 80 cm c =? cm V = a. b. c = 72, c c = c = 100 cm Rozmery kufra sú teda 72,5 x 80 x 100 cm a rozmery práčky sú 60 x 45 x 85 cm. Je teda zrejmé, že práčka sa oteckovi do kufra zmestí. Úloha 3. Je potrebné vypočítať objem bubna, ak polomer r = 25 cm a výška v = 43 cm. V = π r 2 v V = 3, V = ,5 cm 3 Práčka sa napĺňa do 4/7 objemu bubna, teda jej spotreba je 40

39 Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií žiakov 9. ročníka základných škôl V 1 = , ,43 ml 48,22143 l 48 litrov 7 Pre jedno pranie a jedno plákanie spolu = 96 litrov Práčka má na jedno jednoduché pranie spotrebu vody 96 litrov. 41

40 Geometria a meranie Gelové sviečky Dorotka sa rozhodla, že tento rok na Vianoce vyrobí darčeky sama. Pre rodičov by chcela vyrobiť voňavé sviečky. Úloha 1 Pre mamičku sa rozhodla vyrobiť červenú sviečku. Dorotka má formičku v tvare polgule s priemerom 12 cm, ktorú naplní gélom na sviečky. V obchode predávajú gél v balíčkoch s objemom 0,2 l. Koľko balíčkov červeného gélu bude Dorotka potrebovať na výrobu takejto sviečky? Úloha 2 Pre ocina chce použiť formičku v tvare ihlanu, ktorú do dvoch tretín objemu naplní fialovým gélom a zvyšok žltým gélom. Ihlan má dĺžku podstavy 8 cm a výšku 9 cm. Koľko balíčkov fialového a koľko žltého gélu bude Dorotka potrebovať, ak sú balené v balíčkoch po 0,2 l? Úloha 3 Potom sa Dorotka zamyslela, ako dlho budú tieto sviečky pre mamičku a ocina horieť. Pani predavačka jej povedala, že takáto sviečka horí rýchlosťou 5 ml za hodinu. Za koľko hodín zhorí mamičkina sviečka a za koľko ocinova? (Zaokrúhlite na celé hodiny.) Rešenie Úloha 1. Vypočítame objem polgule, pričom r = 6 cm. V = π. r V = 2. 3, V = 452,16 cm 3 = 452,16 ml Keďže v jednom balíčku je 0,2 l gélu = 200 ml gélu, Dorotka bude potrebovať tri balíčky. Úloha 2. Vypočítame objem ihlana podľa vzorca V = 1 a 2. v 3 V = V = 192 cm 3 Objem fialového gélu je 2/3 objemu ihlana, čiže 2/ = 128 cm 3 = 128 ml. Objem žltého gélu je 1/3 objemu ihlana, čiže 1/ = 64 cm 3 = 64 ml. Na výrobu ocinovej sviečky bude Dorotka potrebovať 1 balíček fialového a 1 balíček žltého gélu. Úloha 3. Mamičkina sviečka má objem 452,16 ml a keďže za hodinu zhorí 5 ml gélu, sviečka bude horieť 452,16/5 = 90,432 hodín 90 hodín. Oteckova sviečka má objem 192ml a teda bude horieť 192/5 = 38,4 hodín 38 hodín. 42

41 Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií žiakov 9. ročníka základných škôl Buničina a papier Z 20 pripravených dubových stromov s priemerom 2 m a dĺžky 6 m máme vyrezať pravidelné štvorboké hranoly s uhlopriečkou podstavy 1 m a dĺžky 6 m. Zvyšok sa má použiť na výrobu papiera. Hustota dubového dreva je 0,67 g/cm 3. Z dreva sa získa 45 % buničiny a z nej 60 % papiera. Koľko kg papiera získame z odpadu? Riešenie a) Musíme vypočítať objem dreva, ktoré sa zo stromu využije na výrobu hranolov. Z jedného pripraveného stromu dokážeme vyzerať 4 pravidelné štvorboké hranoly (prierez je na obrázku). b) Stranu a vypočítame pomocou Pytagorovej vety a následne dosadíme do objemu hranola: a 2 + a 2 = c 2 V 1 = S p. v a 2 + a 2 = 2 2 V 1 = a 2. v 2a 2 = 4 V 1 = 2. 6 a 2 = 2 V 1 = 12 m 3 = cm 3 c) Vypočítame objem jedného stromu V = S p. v V = π. r 2. v V = 3, V = 18,84 m 3 = cm 3 d) Zistíme koľko cm 3 dreva bude odpad zo všetkých 20 tich driev. V 2 = 20. V 20. V 1 V 2 = V 2 = V 2 = cm 3 e) Vypočítame hmotnosť odpadového dreva m = V 2. ρ m = ,67 m = g = kg f) Vypočítame hmotnosť vyrobeného papiera y = ,45. 0,6 y = ,12 kg kg Zo zvyšku dreva vyrobíme kg papiera. 43

42 Geometria a meranie Guľaté akvárium Všetci dobre vieme, že akváriá pre rybičky majú rôzne tvary. No nie všetky tvary akvárií sú pre rybičky vhodné. Nevhodné sú guľaté akváriá. Ich vzhľad je veľmi zaujímavý a moderný, preto sa stávajú často módnym doplnkom v bytoch. No rybičky sa v nich necítia prirodzene a pôsobí na ne stresujúco. Keďže ryby v ňom nemajú dostatok priestoru, plávajú stále dokola a často to vedie k ich dezorientácii. Vďaka nedostatku priestoru nie je možné do guľatého akvária umiestniť viac rýb. To je ďalší problém, pretože väčšina rýb je biologicky naprogramovaná žiť v skupinách. K negatívam takéhoto druhu akvárií patrí aj nízka hladina vody. Napriek znalosti všetkých týchto nevýhod guľatých akvárií si rodičia Miškovi na jeho žiadosť jedno kúpili. Jeho akvárium stojí na podstavci. Má priemer 30 cm, z hora je z neho zrezaná malá časť s výškou 1 cm. Úloha 1 Koľko vody je možné naliať do Miškovho akvária, ak má jej hladina siahať 3 cm pod horný okraj akvária? Výsledok uveď s presnosťou na jedno desatinné miesto. Úloha 2 Miško dostal od rodičov akvárium s rybkami pod podmienkou, že sa oň musí sám aj starať. Hneď na začiatok sa dočítal, že v ňom treba rybkám vymeniť každý týždeň 33 % z 13,5 l vody. Avšak nenašiel na jej odber vhodnú nádobu, tak si vzal staré vedierko s priemerom 20 cm a výškou 15 cm. Bude mu stačiť na odber 33 % vody z akvária? Riešenie Úloha 1. Žiaci v prvej úlohe majú vypočítať objem vody, ktorú je možné naliať do akvária. Najprv vypočítajú objem celej gule s priemerom 30 cm. Keďže však majú počítať objem vody v litroch, musia si všetky jednotky premieňať na decimetre, teda 30 cm = 3 dm. Na výpočet potrebujú polomer, teda 3 : 2 = 1,5 dm V g = V g = V g = V g = V g = 4 π. r ,14. 1, ,14. 1, ,14. 3, ,39 =14,13 dm 3 3 Ďalej vypočítajú objem guľového odseku, ktorého výška je cm = 4 cm. Aj tu si musia centimetre premeniť na decimetre: 4 cm = 0,4 dm. πv 2 V o = 3. (3r v) V o = 3,14. 0, (3. 1,5 0,4) V o = 3,14. 0,16. 4,1 3 V o = 2, ,68661 dm 3 Objem vody vypočítajú, keď odčítajú 14,13 0,68661 = 13, ,4 dm 3 =13,4 l. Odpoveď: Do akvária môžeme naliať 13,4 l vody. Úloha 2. Množstvo vody v akváriu majú v druhej úlohe zadané. Na začiatok teda vypočítajú 33 % z 13,5 l. 33 % z 13,5 = 0, = 4,455 l 44

43 Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií žiakov 9. ročníka základných škôl Potom vypočítajú objem vedierka, ktoré si Miško našiel. Žiaci si však musia uvedomiť, že rozmery vedierka sú v cm a objem vody v dm 3 a že v zadaní majú uvedený priemer podstavy vedierka a nie polomer. Teda si budú musieť jednotky premieňať na dm. Objem vedierka vypočítajú nasledovne: V = π. r 2. v V = 3, ,5 = 3,14. 1,5 V = 4,71 dm 3 = 4,71 l Nakoniec porovnajú výsledky 4,455 < 4,71 a teda zistia, že Miškovi bude stačiť vedierko na odobratie vody z akvária. Odpoveď: Miškovi bude stačiť vedierko na odber 33 % vody z akvária. Metodické poznámky Žiaci v príklade pracujú s objemom gule a jej časti a s objemom valca. Počas počítania si precvičia premenu jednotiek a tiež zaokrúhľovanie a prácu s percentami. 45

44 Geometria a meranie Železničný násyp Priečny rez železničným násypom má tvar rovnoramenného lichobežníka. Horná základňa má 4,6 m, dolná základňa má 6,8 m. Dĺžka ramena je 1,7 m. V poslednom období sa množstvo stavieb realizuje v menej vhodných podmienkach na ich zakladanie. Výnimkou nie sú ani cestné komunikácie. Pri výstavbe ciest a diaľnic, ale aj železničných tratí sa preto často tvoria cestné násypy. Termínom násyp sa označuje umelá vyvýšená stavba v teréne, ktorá vzniká nasypávaním materiálu. Pomocou násypov prevádzame trasu cez údolia, hlboké strže, prepadliny, bažinaté miesta, pozdĺž riek apod. Zeminu potrebnú do násypov získame z výkopov alebo odrezov ako zeminu prebytočnú po priečnom vyrovnaní alebo ju vyťažíme zo zemníkov, odkiaľ ju dopravujeme do násypov. Úloha 1 Aký vysoký je železničný násyp? Výsledok uveď s presnosťou na dve desatinné miesta. Úloha 2 Železničný násyp je vytváraný z lomeného kameňa, ktorého merná hmotnosť, je kg/m 3 v závislosti od vlastností kameniny. Vypočítajte skutočnú hmotnosť kameniny potrebnej na vytvorenie 3,5 m dlhej časti železničného násypu s hornou základňou dlhou 4,6 m, dolnou podstavou dlhou 6,8 m, ktorého výška je 1,3 m, ak je jej merná hmotnosť stanovená na kg/m 3. Merná hmotnosť sa počíta podľa vzorca ρ = m/v. Výsledok zaokrúhľujte na dve desatinné miesta a uveďte v tonách. 4,6 m 6,8 m 1,7 m Riešenie Úloha 1. V prvom rade budú musieť žiaci vypočítať rozdiel medzi dĺžkami základní a ten vydeliť dvomi: (6,8 4,6) : 2 = 1,1. Potom už stačí, aby využili Pytagorovu vetu: v 2 = 1,7 2 1,1 2 v 2 = 2,89 1,21 = 1,68 v = 1,68 1,30 Odpoveď: Železničný násyp má výšku 1,30 m. Úloha 2. Zo vzorca ρ = m/v si žiaci musia vyjadriť, ako vypočítajú hmotnosť m: m = ρ. V ρ. (a + c) m =. v. d 2 m = (4,6 + 6,8). 1,3. 3,5 2 m = ,935 m = ,55 kg 55,24 t Odpoveď: Skutočná hmotnosť kameniny je 55,24 ton. Metodická poznámka Prvá úloha je zameraná na precvičenie a použitie Pytagorovej vety, druhá na prácu s číslami a vyjadrenie neznámej z nového vzorca. Žiaci sa tu dozvedia novú informáciu o výpočte mernej hmotnosti kameniny. Tiež si pri výpočtoch precvičia premenu jednotiek a zaokrúhľovanie. 46

45 Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií žiakov 9. ročníka základných škôl Kombinatorika, pravdepodobnosť, štatistika Autori problémov: PaedDr. Eva Uhrinová, PhD , 9.4.2, 9.4.3, NDr. Ľubomír Rybanský, PhD , 9.4.5, 9.4.6, 9.4.7, Mgr. Mária Kóšová, PhD ,

46 Kombinatorika, pravdepodobnosť, štatistika Žrebovanie Náhodný výber je najlepším spôsobom výberu ľudí do výskumu. Náhodný výber treba zrealizovať tak, aby každý človek mal rovnakú šancu dostať sa do tohto výberu. Vhodnou metódou je žrebovanie. Úloha 1 Napíš mená všetkých svojich spolužiakov na lístočky. Zrealizuj náhodný výber vyžrebovaním 10 mien svojich spolužiakov. Od vyžrebovaných spolužiakov zisti nasledujúce informácie. Mená spolužiakov Peter Matúš Katka Zuzka Marek Stela Kika Adam Fero Nika Počet súrodencov Počet mobilných telefónov v domácnosti Úloha 2 Roztrieď zistené údaje vyplnením nasledujúcich tabuliek. Počet súrodencov Početnosť Relatívna početnosť Relatívna početnosť v % a viac Spolu % Počet mobilných Početnosť Relatívna početnosť Relatívna početnosť v % telefónov v domácnosti a viac Spolu % Úloha 3 Zostroj stĺpcový graf znázorňujúci početnosti počtu súrodencov vybratých žiakov. Nezabudni pomenovať vodorovnú a zvislú os grafu. Riešenie Úloha 1 Mená spolužiakov Peter Matúš Katka Zuzka Marek Stela Kika Adam Fero Nika Počet súrodencov Počet mobilných telefónov v domácnosti Úloha 2 Počet súrodencov Početnosť Relatívna početnosť Relatívna početnosť v % 0 3 0,3 30% 1 4 0,4 40% 2 2 0,2 20% 3 1 0,1 10% 4 a viac 0 0,0 0% Spolu % 48

47 Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií žiakov 9. ročníka základných škôl Počet mobilných Početnosť Relatívna početnosť Relatívna početnosť v % telefónov v domácnosti 0 0 0,0 0% 1 0 0,0 0% 2 0 0,0 0% 3 4 0,4 40% 4 2 0,2 20% 5 a viac 4 0,4 40% Spolu % Úloha 3 Metodické pokyny V prvej úlohe žiaci uskutočnia náhodný výber a následne zrealizujú prieskum na vzorke 10 žiakov triedy. So žiakmi môžeme viesť diskusiu o tom, akým spôsobom môžeme ešte zrealizovať náhodný výber. Napríklad, očíslujem žiakov v triede a nechám počítač, alebo kalkulačku generovať náhodné čísla od 1 do 30 (podľa počtu žiakov v triede), alebo vyžrebujem čísla pomocou očíslovaných guľôčok, alebo rulety ap. V programe Excel môžeme generovať náhodné čísla zadaním funkcie =RANDBETWEEN(1; 30) Druhá úloha je zameraná na jednoduché triedenie získaných údajov. Relatívnu početnosť počítame ako podiel jednotlivých početností a počtu všetkých prvkov. Žiakom môžeme klásť otázky typu. Koľko žiakov z vášho výberu má jedného súrodenca? Koľko percent žiakov z vášho výberu má v domácnosti 3 mobilné telefóny? Tretia úloha je zameraná na tvorbu grafu, kde upriamime pozornosť žiakov na to, že na os y nanášame početnosti a na os x úrovne znaku teda počty súrodencov, počty mobilných telefónov. Žiaci by mali vedieť správne pomenovať os x aj os y. 49

48 Kombinatorika, pravdepodobnosť, štatistika Štatistický prieskum Oblasť štátnej štatistiky v Slovenskej republike patrí do kompetencie Štatistického úradu SR. Okrem neho realizujú štatistické prieskumy aj rôzne firmy zisťujú napríklad spokojnosť zákazníka so zakúpenými výrobkami, obľúbenosť politických strán, uplatnenie absolventov po VŠ ap. Zdroj: -spokojnosti-union-poistovne-a.s..html Úloha 1 Zrealizujte štatistický prieskum u 30 žiakov ročníka na vašej základnej škole. Zrealizujte stratifikovaný rovnomerný výber žiakov, teda taký náhodný výber, kde z každej triedy ročníka vylosujete po šesť žiakov (losujte poradové číslo žiaka v triednej knihe). Od každého vylosovaného žiaka zistite, aký je jeho obľúbený vyučovací predmet a akú známku z matematiky mal na poslednom vysvedčení. Výsledky zapisujte do tabuľky so stĺpcami: Poradové číslo, Ročník, Poradové číslo žiaka v triednej knihe Meno žiaka, Obľúbený predmet, Známka z matematiky. Úloha 2 Doplň údaje: Štatistický súbor: Štatistická jednotka: Rozsah výberového súboru: Štatistické znaky: Úloha 3 Urobte jednoduché triedenie zistených údajov: Riešenie Úloha 1. P.č. Ročník Poradové číslo žiaka v tr. knihe Meno žiaka Obľúbený predmet Známka z matematiky Adam Telesná výchova Peter Výtvarná výchova Zuzka Anglický jazyk Matúš Dejepis Stela Matematika Katka Matematika Filip Telesná výchova Majka Dejepis Eva Matematika Petra Anglický jazyk Marek Geografia Adelka Biológia Vlado Dejepis Edita Matematika Maria Geografia Ema Matematika Andrea Telesná výchova Adam Geografia Peter Matematika Tereza Anglický jazyk Silvia Biológia Michal Matematika Juraj Matematika Stano Anglický jazyk Martin Telesná výchova Anna Biológia Eliška Matematika Roman Geografia Veronika Matematika Matej Anglický jazyk 2 Úloha 2 Štatistický súbor: žiaci ročníka ZŠ Nitra, Štatistická jednotka: žiak ročníka ZŠ Nitra, Rozsah výberového súboru: 30, Štatistické znaky: obľúbený vyučovací predmet a známka z matematiky na poslednom vysvedčení. Úloha 3 Vyučovací predmet Absolútna početnosť Relatívna početnosť Telesná výchova 4 0,13 13% Výtvarná výchova 1 0,03 3% Anglický jazyk 5 0,17 17% Dejepis 3 0,10 10% Matematika 10 0,33 33% Geografia 4 0,13 13% Biológia 3 0,10 10% Spolu % Relatívna početnosť v % 50

49 Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií žiakov 9. ročníka základných škôl Vyučovací predmet Absolútna početnosť Relatívna početnosť Relatívna početnosť v % Známka z matematiky Absolútna Relatívna Relatívna početnosť v % početnosť početnosť 1 8 0,27 27% ,53 53% 3 5 0,17 17% 4 1 0,03 3% 5 0 0,00 0% Spolu % Spolu % Známka z matematiky Absolútna početnosť Relatívna početnosť Relatívna početnosť v % Spolu % Úloha4 Úloha 5 Úloha 4 Zostrojte kruhový diagram znázorňujúci obľúbený vyučovací predmet u žiakov ročníka vašej základnej školy. Úloha 5 Zostrojte stĺpcový graf znázorňujúci početnosti známok na poslednom vysvedčení vybraných žiakov ročníka vašej základnej školy. Úloha 6 Odpovedz na otázky: A. Ktorý predmet je najobľúbenejší u opýtaných žiakov ZŠ?... B. Koľko percent opýtaných označilo matematiku ako obľúbený predmet?... C. Koľko percent opýtaných malo jednotku z matematiky na poslednom vysvedčení?... D. Ktorá známka z matematiky má u opýtaných žiakov ZŠ najväčšiu početnosť?... E. Koľko percent žiakov, ktorí uviedli ako obľúbený predmet matematiku, mali z matematiky na poslednom vysvedčení jednotku?... Úloha 6 A. Matematika B. 33% C. 27% D. 2 E. päť žiakov z desiatich, 50% Úloha 7 Úloha 8 Ročník x = = 1,97 30 Známka z matematiky

50 Kombinatorika, pravdepodobnosť, štatistika Úloha 7 Aká je priemerná známka z matematiky na poslednom vysvedčení u vybraných žiakov ročníka vašej základnej školy? Úloha 8 Vyplňte nasledovnú dvojrozmernú tabuľku rozdelenia početnosti štatistického znaku Známka z matematiky. Ročník Známka z matematiky Metodické pokyny Úlohy sú zamerané na realizáciu vlastného štatistického prieskumu na vašej základnej škole. Žiak sa však nebude pýtať každého žiaka v škole, ale zrealizuje stratifikovaný rovnomerný výber. Stratifikovaný náhodný výber je taký náhodný výber, v ktorom sa základný súbor rozloží podľa podstatných znakov (napríklad veku, vzdelania, lokality, veľkosti sídla, ročníka ap.). Z každej z týchto kategórií sa vyberajú respondenti náhodným spôsobom. Rozlišujeme dva typy stratifikovaného náhodného výberu: Proporčný náhodný výber zachováva proporciu vybratých subjektov (mužov a žien). Rovnomerný náhodný výber v každej kategórii volíme rovnaký počet osôb. Výsledky zo svojho prieskumu žiak zapíše do prehľadnej tabuľky v úlohe 1. V úlohe 2 má žiak určiť, čo tvorí štatistický súbor, štatistickú jednotku, znak. Aký je rozsah výberového súboru. Štatistický súbor neprázdna množina prvkov (štatistických jednotiek), ktoré sú nositeľmi určitého hromadného javu. Štatistická jednotka prvok štatistického súboru, na ktorom môžeme skúmať konkrétny prejav určitého hromadného javu. Je vymedzená vecne, časovo a priestorovo. Rozsah výberového súboru Počet prvkov vo výberovom súbore. Štatistický znak hromadný jav, ktorý pozorujeme na štatistických jednotkách (vlastnosť štatistických jednotiek). V úlohe 3 majú žiaci urobiť jednoduché triedenie údajov. V úlohe 4 majú žiaci nakresliť kruhový diagram a v úlohe 5 stĺpcový graf. Všímame si, či žiaci správne pomenovali os x a os y v grafoch a takisto, či názov grafu vystihuje údaje znázornené na grafe. Tvorbu grafov môžeme so žiakmi realizovať aj v programe Excel. Úloha 8 je zameraná na vyplnenie dvojrozmernej tabuľky rozdelenia početnosti štatistického znaku Známka z matematiky. Ide o kontingenčnú tabuľku, ktorá vizualizuje vzájomný vzťah dvoch štatistických znakov. Z tabuľky teda môžeme vyčítať, že traja žiaci 5. ročníka z nášho výberu mali z matematiky dvojku. 52

51 Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií žiakov 9. ročníka základných škôl Hra Trojskok Úloha 1 Zahrajte sa hru 30 krát a zaznamenávajte výsledky hier do tabuľky 1. Úloha 2 Nahraďte hod tromi kockami hodom tromi mincami. Počet padnutých líc bude predstavovať posun figúrky doľava a počet padnutých rubov posun figúrky doprava. Zahrajte sa hru 30 krát a zaznamenávajte výsledky hier do tabuľky 2. Úloha 3 Je možné v tejto hre hod tromi kockami nahradiť hodom tromi mincami? Pomôžte si porovnaním relatívnych početností v tabuľkách úlohy 1 a úlohy 2. Svoju odpoveď zdôvodnite. Výherné políčka hráča 1 Výherné políčka hráča 2 Štart Hra je určená pre dvoch hráčov. Na začiatku hry sa položí figúrka na políčko Štart. Hráč 1 hodí naraz tromi hracími kockami a pohne figúrkou po hracom poli. Podľa počtu párnych čísel pohne figúrkou doprava a podľa počtu nepárnych čísel pohne figúrkou doľava (ráta sa aj políčko štart). Ak po trojskoku skončí figúrka na výherných políčkach hráča 1 (-3, -2, -1), zapíše si bod hráč 1. Ak skončí figúrka na výherných políčkach hráča 2 (3, 2, 1), zapíše si jeden bod hráč 2. Hráči sa pri hádzaní kockami striedajú. Hráč, ktorý získa viac bodov, vyhrá. Tabuľka 1 Početnosť čiarkovacou metódou Absolútna početnosť po 30 hrách Relatívna početnosť po 30 hrách Cieľové políčka po trojskoku v hre Štart Tabuľka 2 Početnosť čiarkovacou metódou Absolútna početnosť po 30 hrách Relatívna početnosť po 30 hrách Riešenie Úloha 1 Početnosť čiarkovacou metódou Absolútna početnosť po 30 hrách Relatívna početnosť po 30 hrách Cieľové políčka po trojskoku v hre Štart Cieľové políčka po trojskoku v hre Štart //// //// //// //// //// // ,17 0,00 0,33 0,00 0,40 0,00 0,10 /// 53

52 Kombinatorika, pravdepodobnosť, štatistika Úloha 2 Početnosť čiarkovacou metódou Absolútna početnosť po 30 hrách Relatívna početnosť po 30 hrách Cieľové políčka po trojskoku v hre Štart /// //// //// /// //// //// // ,10 0,00 0,43 0,00 0,40 0,00 0,07 // Úloha 3 Ak zameníme v hre hod tromi kockami, hodom tromi mincami, hra zostane rovnako spravodlivá pre oboch hráčov. Hod tromi kockami môžeme v tejto hre nahradiť hodom tromi mincami, pretože hráč jedna aj hráč dva vyhrávajú v oboch prípadoch rovnako často. Metodické pokyny Úlohy sú zamerané na realizáciu náhodných pokusov (hod tromi kockami a hod tromi mincami) a zaznamenávanie výsledkov hier do tabuľky. Úlohy slúžia aj na ozrejmenie a precvičenie pojmov absolútna a relatívna početnosť. So žiakmi si však môžeme precvičiť aj kombinatoriku a pravdepodobnosť. Môžeme zistiť počet priaznivých možností pre cieľovú polohu figúrky na jednotlivých políčkach pri hode tromi kockami. Figúrka sa dostane na políčko 1, ak pri hode tromi kockami padnú dve párne čísla a jedno nepárne číslo. Figúrka sa môže dostať na políčko 1 pre každú z možností PPN, PNP, NPP 27 krát ( ), teda máme = 81 možností. Figúrka sa dostane na políčko -1, ak pri hode tromi kockami padnú dve nepárne čísla a jedno párne číslo. Figúrka sa môže dostať na políčko -1 pre každú z možností NNP, NPN, PNN 27 krát ( ), teda máme = 81 možností. Figúrka sa dostane na políčko 3, ak pri hode tromi kockami padnú tri párne čísla (PPP), teda máme = 27 možností. Figúrka sa dostane na políčko 3, ak pri hode tromi kockami padnú tri nepárne čísla(nnn), teda máme = 27 možností. Pravdepodobnosť, že sa figúrka dostane na políčko 1 bude 3. 27/( ) = 81/216 = 0,375. Môžeme zistiť počet priaznivých možností pre cieľovú polohu figúrky na jednotlivých políčkach pri hode tromi mincami. LLL políčko 3 LLR políčko -1 LRL políčko -1 LRR políčko 1 R LL políčko -1 RLR políčko 1 RRL políčko 1 RRR políčko 3 Pravdepodobnosť, že sa figúrka dostane na políčko 1 bude 3/8 = 0,375. Upriamime pozornosť žiakov na vzťah medzi relatívnou početnosťou a pravdepodobnosť čím väčší počet hier zrealizujeme, tým viac sa bude relatívna početnosť približovať k pravdepodobnosti. 54

53 Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií žiakov 9. ročníka základných škôl Tenis Úloha 1 Vo finále Turnaja majstrov v Londýne 2012 sa stretli srbský tenista Djokovič a švajčiarsky tenista Federer. Víťazom turnaja sa stal Srb po víťazstve 7 : 5, 7 : 6. V tabuľke 1 je uvedený sumár počtu získaných (vyhral) a stratených (prehral) bodov pri prvom, resp. druhom podaní a taktiež celkovo. Doplňte do tabuľky chýbajúce údaje. (Zdroj: trollername=event&params=8950&show=s+- H+O+W) Úloha 2 V roku 2013 sa v druhom kole turnaja vo Wimbledone stretol ukrajinský tenista Stakhovsky a švajčiarsky tenista Federer. Zápas sa skončil prekvapujúcim víťazstvom ukrajinského tenistu v pomere 3 : 1 na sety. Dá sa z grafu 1 odhadnúť, ktorý z hráčov získal pri svojom podaní väčšie percento bodov? Váš predpoklad overte výpočtom. V tenisových stretnutiach si okrem výsledku môžeme všímať rôzne ukazovatele kvality hry hráčov. Jedným z nich je úspešnosť získavania bodov pri vlastnom podaní. V prípade, že sa podávajúcemu hráčovi prvé podanie nevydarí, má možnosť opravy druhé podanie. Hráč tak môže bod získať alebo stratiť pri svojom prvom, či druhom podaní. Nasledujúce úlohy sa týkajú troch tenisových stretnutí. Tabuľka 1 Djokovič Federer Vyhral Prehral Úspešnosť Vyhral Prehral Úspešnosť 1. podanie ,24 % podanie ,78 % Celkovo 57 58,16 % 39 Graf 1 (Zdroj: Úloha 3 V januári 2013 sa na prvom grandslamovom turnaji roka Australian Open stretol slovenský tenista Lukáš Lacko a srbský tenista Janko Tipsarevič. Z víťazstva v pomere 3 : 2 na sety sa nakoniec tešil srbský tenista. Dá sa s istotou tvrdiť, že Tipsarevičova percentuálna úspešnosť získaných bodov pri svojom podaní je vyššia ako Lackova? (Zdroj: Riešenie Úloha 1. V tabuľke 2 sú zelenou farbou doplnené chýbajúce údaje z tabuľky 1, kde si môžeme všimnúť, že Djokovič pri svojom podaní celkovo získal 58,16 % bodov a Federer získal pri svojom podaní 58,06 % bodov, teda Djokovič mal vyššiu percentuálnu úspešnosť získaných bodov pri svojom podaní. Tabuľka 2 Djokovič Federer Vyhral Prehral Úspešnosť Vyhral Prehral Úspešnosť 1. podanie ,24 % ,40 % 2. podanie ,67 % ,78 % Celkovo ,16 % ,06 % 55

54 Kombinatorika, pravdepodobnosť, štatistika Úloha 2. Na prvý pohľad sa zdá, že Stakhovsky by mal mať vyššiu percentuálnu úspešnosť získaných bodov pri svojom podaní, pretože je výrazne úspešnejší pri druhom podaní (Stakhovsky: 64,29 %, Federer 54,55 %), zatiaľ čo Federer je iba o málo lepší pri prvom podaní (Federer: 79,82 %, Stakhovsky: 76,15 %). Keď však spočítame percentuálnu úspešnosť hráčov pri svojom podaní (celkovo), tak zistíme, že lepší je prekvapujúco Federer (Federer: 72,78 %, Stakhovsky: 72,12 %). Tabuľka 3 Stakhovsky Federer Vyhral Prehral Úspešnosť Vyhral Prehral Úspešnosť 1. podanie ,15 % ,82 % 2. podanie ,29 % ,55 % Celkovo ,12 % ,78 % Úloha 3. V tomto prípade sa situácia javí byť úplne jasná. Tipsarevič získal väčšie percento bodov pri svojom podaní než Lacko (Tipsarevič: 73,40 %, Lacko: 72,55 %) a rovnako tak pri svojom druhom podaní (Tipsarevič: 50,82 %, Lacko: 50,00 %). Výpočtom celkovej percentuálnej úspešnosti pri svojom podaní však zistíme, že Tipsarevič pri svojom podaní získal 100 zo 155 bodov (úspešnosť 64,52 %), ale Lacko až 101 zo 156 bodov (úspešnosť 64,74 %)! Lacko bol pri svojom podaní úspešnejší! Je to veľmi nečakaný záver paradoxný a má aj svoje pomenovanie, nazýva sa Simpsonov paradox. Metodické pokyny Prvá úloha je zameraná na prácu s kontingenčnou tabuľkou a ide iba o jej doplnenie. Úloha má slúžiť ako príprava na nasledujúce dve úlohy, kde si má žiak natrénovať prácu s údajmi uvedenými v kontingenčnej tabuľke. V druhej úlohe je prekvapujúci výsledok (vzhľadom na graf) dôsledkom toho, že pri druhom podaní oboch hráčov sa rozdelilo výrazne menej bodov ako pri prvom podaní, a teda ani výrazne väčšia úspešnosť jedného z hráčov v tomto ukazovateli mu nemusí zaručovať vyššiu úspešnosť celkovo. V tretej úlohe sa jedná o Simpsonov paradox, ktorý sa dá matematicky vyjadriť takto: Nech a i, b i, c i, d i (i = 1, 2) sú kladné čísla, potom a 1 c 1 a 2 c 1 > a 1 + a 2 c 1 + c 2 <, < < b 1 c 2 b 2 c 2 b 1 + b 2 d 1 + d 2 Tento paradox prvýkrát popísal v roku 1951 Edward Simpson, paradox sa môže objaviť kedykoľvek, keď zlučujeme dáta. Ak sa hodnoty v tabuľke zlúčia napríklad tým, že sa zruší určitá klasifikačná dimenzia (prvé podanie a druhé podanie), tak nová tabuľka nemusí reprezentovať skutočné vzťahy medzi premennými. V štatistike samozrejme platí, že čím väčšie je množstvo dát, tým spoľahlivejšie výsledky dosahujeme. Simpsonov paradox však akoby toto pravidlo spochybňoval. Poukazuje na to, že musíme byť veľmi opatrní, keď zlučujeme niekoľko malých skupín dát do väčšej množiny. Môže sa stať, že záver z našej väčšej množiny môže byť pravým opakom záverov z menších množín. Úlohy majú žiakov varovať pred zbrklou interpretáciou štatistických dát. 56

55 Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií žiakov 9. ročníka základných škôl Textový graf Na niektorých internetových stránkach je populárne zobrazovať najčastejšie vyhľadávané slová alebo výrazy nie stĺpcovým grafom, ale textovým grafom. V takomto grafe je početnosť vyhľadávaného slova vyjadrená veľkosťou písma, ktorou je napísané. (Zdroj: Internet) Úloha 1 Jednou z veľmi zaujímavých štatistík, ktorá sa sleduje celosvetovo, je počet počítačov pripadajúcich na sto obyvateľov. V roku 2006 bol v tomto ukazovateli jednoznačným lídrom Izrael so 122,1 počítačmi na sto obyvateľov. Údaje pre niekoľko ďalších krajín sú na obrázku. Vypočítajte, aké veľkosti písma by zodpovedali týmto krajinám, ak maximálna veľkosť písma môže byť 50 a minimálna veľkosť písma nie je predpísaná. Úloha 2 Z vypočítaných hodnôt vytvorte textový graf. (Zdroj: Svět v číslech 2009, Paseka 2009) Riešenie Úloha 1. Najväčší počet počítačov na sto obyvateľov má Izrael (122,1), a preto slovo Izrael bude v grafe napísané písmom veľkosti 50. Veľkosť písma, ktorou bude napísaný názov každej inej krajiny, je priamo úmerný počtu počítačov pripadajúcich na sto obyvateľov v tejto krajine. Napríklad: v Japonsku pripadalo na sto obyvateľov 67,6 počítačov, preto veľkosť písma, ktorou bude napísané slovo Japonsko, bude 67, , ,1 V tabuľke sú veľkosti písma pre ostatné krajiny. krajina veľkosť písma krajina veľkosť písma Izrael 50,00 Slovensko 14,66 Kanada 35,87 ČR 11,22 Švajčiarsko 35,42 SAE 10,48 USA 31,20 Kuvajt 9,71 V.Británia 31,04 Kostarika 9,46 Singapúr 27,93 Maďarsko 6,10 Japonsko 27,68 Mexiko 5,57 Rakúsko 24,86 Mongolsko 5,45 J.Kórea 21,79 Portugalsko 5,45 N.Zéland 20,56 Rusko 5,00 Úloha 2. Textový graf je možné zostrojiť na výkres, prípadne aj vo Worde, či v grafickom programe (to ale nie je nutné). Samozrejme, najvhodnejšie by bolo túto úlohu nechať žiakom dokončiť doma a najkrajšie grafy aj ohodnotiť. Na obrázku je ukážka, ako by textový graf mohol vyzerať: 57

56 Kombinatorika, pravdepodobnosť, štatistika (Zdroj: Autor) Metodické pokyny Úloha je z hľadiska výpočtov pomerne jednoduchá (trojčlenka), ale poskytuje žiakom možnosť uvedomiť si, že údaje je možné reprezentovať nielen tabuľkou alebo stĺpcovým grafom, pretože práve tieto spôsoby v drvivej väčšine prípadov prevládajú. Tvorba textového grafu by mohla byť veľmi dobrým prepojením matematiky a výtvarnej výchovy, či estetiky (kompozícia, výber farby písma a tiež samotné zhotovenie textového grafu). Z matematického hľadiska možno úlohu mierne skomplikovať tak, že povieme, že najmenšie možné použité písmo môže mať veľkosť 10 (napríklad z toho dôvodu, aby aj to najmenšie slovo bolo čitateľné). V tomto prípade si už s trojčlenkou nevystačíme a musíme nájsť vhodnú lineárnu funkciu (aj s absolútnym členom). Napríklad, ak by maximálna veľkosť písma bola 50 a minimálna 6, tak predpis tejto funkcie by bol: v = 0,4p + 1,11, kde v je veľkosť písma a p je počet počítačov pripadajúcich na sto obyvateľov. 58

57 Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií žiakov 9. ročníka základných škôl Prvá číslica Úloha 1 Máte k dispozícii údaje (údaje sú v prvom hárku súboru prva_cislica.xlsx.) o počte obyvateľov, rozlohe v km 2, rozlohe v mil 2 (štvorcové míle) za 237 krajín sveta (zdroj: Wikipédia). Zostrojte stĺpcový graf relatívnej početnosti výskytu číslic 1 9 pre počet obyvateľov, rozlohu v km 2 a rozlohu v mil 2. Úloha 2 Predstavme si, že by sa niekedy v budúcnosti počet obyvateľov každej krajiny zvýšil o 50%. Ako to ovplyvní relatívne početnosti výskytov číslic 1 9 na prvých miestach? Úloha 3 Pokúste sa odhadnúť (nie napočítať) počet výskytov číslice 1, ak by sa počet obyvateľov v každej krajine zdvojnásobil, iba na základe toho, že poznáte počty výskytov číslic 1 9 pre nezvýšený počet obyvateľov. Niekedy nás nemusí zaujímať číslo samotné, ale napríklad číslica, ktorou sa toto číslo začína (prvá číslica zľava). Slovensko má celkovo obcí a miest. Vezmime si napríklad obec Rudník s rozlohou m 2, prvá číslica v rozlohe tejto obce je 9. Podobne by sme mohli určiť hodnotu prvej číslice pre všetky ostatné obce Slovenska. Na obrázku je graf relatívnych početností výskytu jednotlivých číslic na prvom mieste rozlôh obcí a miest Slovenska. Výsledok je prekvapujúci, pretože by sme očakávali, že čísla 1 až 9 by sa na prvom mieste mali vyskytovať približne rovnako často. Je to náhoda? (Zdroj: ŠÚSR, RegDat) Riešenie Úloha 1. Nakoľko pracujeme s pomerne veľkým súborom údajov (237 krajín a tri ukazovatele), tak by bolo vhodné na riešenie úlohy použiť MS Excel, v ktorom sú aj údaje pripravené. Pri zisťovaní počtu výskytov číslic 1 9 na prvom mieste zľava potrebujeme oddeliť túto číslicu od ostatných a uložiť ju do nového stĺpca. Postup je nasledovný: označíme údaje pre ktoré chceme oddeliť prvú číslicu zľava, v Menu zvolíme Údaje Text na stĺpce (Nástroje pre úpravu) pevná šírka a nastavíme oddelenie prvej číslice zľava (obrázok 1) a zvolíme miesto určenia kliknutím na bunku v Excelovskom zošite do ktorej chceme oddelené čísla uložiť. Obrázok 1 Pozn.: K príkladu je priložený aj pracovný súbor v MS Excel Počet výskytov číslic 1 9 v novovytvorenom stĺpci napočítame použitím funkcie COUNTIF. Relatívne početnosti pre vybrané tri ukazovatele sú v tabuľke 1 a na obrázku 2 sú relatívne početnosti v grafickej podobe. 59

58 Kombinatorika, pravdepodobnosť, štatistika Tabuľka 1 Relatívne početnosti výskytu číslic 1 9 na prvom mieste v ukazovateľoch počet obyvateľov, rozloha (km 2 ), rozloha (mil 2 ) číslica počet obyvateľov rozloha (km 2 ) rozloha (mil 2 ) 1 27,00 % 28,27 % 32,91 % 2 17,72 % 19,83 % 16,46 % 3 13,08 % 10,55 % 12,24 % 4 9,28 % 11,39 % 12,66 % 5 9,70 % 8,02 % 4,22 % 6 7,17 % 5,06 % 5,06 % 7 4,64 % 7,17 % 5,91 % 8 7,17 % 4,22 % 4,64 % 9 4,22 % 5,49 % 5,91 % Obrázok 2. Graf relatívnych početností výskytu číslic 1 9 pre vybrané ukazovatele 237 krajín sveta. Porovnaním relatívnych početností jednotlivých číslic pre počet obyvateľov, rozlohu v km 2, rozlohu v mil 2 vidíme, že relatívne početnosti sú približne podobné (číslica 1 sa v počte obyvateľov krajín vyskytuje na prvom mieste zľava v 27,00 % prípadov, v prípade rozlohy krajín v km 2 v 28,27 % a v prípade rozlohy v mil 2 v 32,91 % prípadov). Navyše porovnaním s grafom na obrázku v úvode zisťujeme podozrivú podobnosť. Úloha 2. Postupujeme podobne ako pri riešení úlohy 1, ale najskôr si musíme vytvoriť novú premennú počet obyvateľov 150 %, ktorá vyjadruje koľko obyvateľov by mali jednotlivé krajiny, ak by sa počet obyvateľov v každej z nich zvýšil o 50 %. Relatívne početnosti sú v tabuľke 2 a v grafe na obrázku 3. Tabuľka 2. Relatívne početnosti výskytu číslic

59 Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií žiakov 9. ročníka základných škôl Obrázok 3. Relatívne početnosti Opäť si môžeme všimnúť zaujímavú skutočnosť, že relatívne početnosti výskytu číslic 1 9 sa výraznejšie nezmenili (dá sa dokázať, že relatívne početnosti číslic 1 9 sa pre počet obyvateľov 100% štatisticky významne nelíšia od relatívnych početností číslic 1 9 sa pre počet obyvateľov 150 %). Zdá sa, že by mohlo existovať akési pravidlo prvej číslice. Úloha 3. Táto úloha by mohla byť pre žiakov 9. ročníka pomerne náročná, ale myšlienka je jednoduchá. Po zdvojnásobení počtu obyvateľov v tých krajinách, kde sa pôvodný počet obyvateľov začínal číslicou 5, 6, 7, 8, 9, sa bude začínať číslicou 1. V tých krajinách, kde sa začínal číslicou 1 sa bude začínať buď číslicou 2 alebo 3. V krajinách, kde sa počet obyvateľov začínal číslicou 2 sa bude začínať buď číslicou 4 alebo 5, tam kde sa začínam číslicou 3 sa bude začínať číslicou 6 alebo 7 a tam kde sa začínal číslicou 4 sa bude začínať buď číslicou 8 alebo 9. Početnosť výskytu číslice 1 po zdvojnásobení počtu obyvateľov bude preto súčtom početností výskytov číslic 5, 6, 7, 8, 9, teda = 78. Tabuľka 3. Početnosti výskytov číslic 1 9 pre pôvodný a zdvojnásobený počet obyvateľov. číslica počet obyvateľov 100% počet obyvateľov 200% Metodické pokyny Prvé dve úlohy sú venované práci s väčšími súbormi dát, než na aké sú žiaci zväčša zvyknutí. Navyše dáta nie sú pripravené v takej podobe, že by sa s nimi mohlo okamžite začať pracovať (čo je v praxi jav častý). Prvou fázou riešenia je teda príprava dát (oddelenie prvej 61

60 Kombinatorika, pravdepodobnosť, štatistika číslice zľava od ostatných). Prvé dve úlohy je najvhodnejšie riešiť v MS Excel, pretože povaha a rozsah dát neumožňujú riešenia priamo na papier. Veľkou výhodou týchto úloh je to, že dochádzame k pomerne nečakanému zisteniu (čo by mohlo byť pre žiakov motivujúce), že číslice 1 9 sa na prvom mieste pre určité typy dát vyskytujú nerovnako často, a dokonca sa zdá, že by mohlo existovať pravidlo, ktoré by tento výskyt popisovalo. A ono skutočne existuje a nazýva sa Benfordov zákon. Tento zákon hovorí, že relatívny výskyt F(d) číslice d (d = 1, 2,..., 9) na prvom mieste zľava je F(d) = log d Tento zákon platí pre rôzne skupiny dát počet obyvateľov, športové štatistiky, účtovníctvo. Často a úspešne sa využíval a využíva pri odhaľovaní daňových, volebných, ekonomických podvodov, či pri iných podozreniach z manipulácie dát. Benfordov zákon neplatí pre skupiny dát, ktoré majú určité obmedzenia, napríklad čísla v lotérii, telefónne čísla, ceny benzínu, výška ľudí. Pre žiakov by mohlo byť zaujímavé skúmať, či neplatí nejaké pravidlo aj pre druhú číslicu zľava a aká je asi spoľahlivosť tohto pravidla. Tretia úloha je zameraná na jednoduchý odhad početnosti výskytov určitej číslice (1) v upravených dátach (dvojnásobok pôvodnej hodnoty), ak poznáme početnosti výskytov ostatných číslic v pôvodných dátach. Je možné odhadovať aj početnosti výskytu iných číslic napríklad 2 (tu by bola najlepším odhadom početnosť 64/2 = 31). 62

61 Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií žiakov 9. ročníka základných škôl Ceny bytov Juraj a Tomáš sú kolegovia v práci. Obaja si plánujú kúpiť byť. Zhodujú sa v tom, že by nemal byť príliš drahý, ani príliš lacný, skôr by mal byť stredne drahý. Každý z nich si už nasporil určitú hotovosť a zaujímajú sa preto, koľko ešte asi potrebujú, aby si byty mohli kúpiť. Obaja si preto urobili malý prieskum cien bytov. Úloha 1 Juraj je slobodný, a preto si chce kúpiť v Bratislave jednoizbový byt. Na internete si vyhľadal ceny niekoľkých jednoizbových bytov s približne rovnakou výmerou v rôznych častiach Bratislavy. Ceny bytov zaradil do kategórií, a sú uvedené v tabuľke 1. Z týchto údajov odhadnite cenu stredne drahého jednoizbového bytu v Bratislave. Tabuľka 1 Kategorizované ceny jednoizbových bytov cenová kategória početnosť (tis. ) Úloha 2 Tomáš je ženatý a má aj dve deti, preto hľadá trojizbový byt. Na internete si vyhľadal ceny trojizbových bytov s približne rovnakou výmerou v Bratislave. Zistené údaje sú v tabuľke 2 a v grafickej podobe na obrázku. Odhadnite na základe týchto údajov cenu stredne drahého trojizbového bytu v Bratislave. Tabuľka 2 Ceny trojizbových bytov v tisícoch eur 180, , , , , ,9 99, ,99 94, ,9 90,99 89,9 89, ,9 79,9 58 (Zdroj: Riešenie Úloha 1. Úlohu je možné riešiť aj bez výpočtu. Vidíme, že početnosti kategórií cien bytov sú symetricky rozložené okolo kategórie od 60 tisíc eur do 70 tisíc eur, preto priemernú cenu jednoizbového bytu môžeme odhadnúť ako stred tohto intervalu, teda 65 tisíc eur. Presný výpočet (z údajov v tabuľke 3) by nám dal hodnotu eur. Odhad ceny stredne drahého bytu aritmetickým priemerom je dobrý, pretože zo 42 bytov, je ich 21 lacnejších než eur a 21 bytov je drahších ako eur. Tabuľka 3 Ceny jednoizbových bytov v tisícoch eur 86,7 79,9 79,6 76,7 76,6 73,9 73, ,9 71,7 71, , , ,7 66,6 66, , , ,6 61,9 61,5 61,5 59, ,5 58, , ,7 55,7 45 (Zdroj: Úloha 2. Ak by Tomáš cenu trojizbového bytu odhadoval ako priemer zo zistených cien bytov, tak priemerná cena bytu (z údajov v tabuľke 2) by mu vyšla eur, ale zo 41 trojizbových bytov by ich 24 (58,5 %) malo cenu nižšiu ako priemer. On však chce stredne drahý byt, teda taký, že približne polovica bytov je lacnejšia a polovica bytov drahšia ako tento stredne drahý byt. Lepším odhadom je v tomto prípade medián, ktorého hodnota je eur (21. hodnota v usporiadanej tabuľke cien bytov). Rozdiel medzi priemerom a mediánom je eur, čo je veľký rozdiel. 63

62 Kombinatorika, pravdepodobnosť, štatistika Metodické pokyny Hlavným cieľom týchto úloh je ukázať, že aritmetický priemer nie je vždy najlepšou mierou polohy dát. V úlohe 1 ňou bol, pretože dáta boli symetricky rozložené okolo najpočetnejšej kategórie (60-70 tisíc eur). V úlohe 2 však dáta neboli symetrické (pozri obrázok) a priemer v tomto prípade výrazne nadhodnocoval to, koľko stojí stredne drahý byt. Vhodnejšou mierou polohy dát je preto medián (prostredná hodnota v usporiadanej tabuľke). V úlohe 1 je možné urobiť odhad dokonca aj bez výpočtu (na základe symetrie rozdelenia početností okolo najpočetnejšej kategórie), pretože sa využíva tá vlastnosť aritmetického priemeru, že súčet odchýliek od priemeru je nula. Samozrejme, žiakom je dobré poskytnúť aj nekategorizované údaje a odhad porovnať s vypočítaným priemerom. 64

63 Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií žiakov 9. ročníka základných škôl Prieskumy Bol/a si už súčasťou nejakého prieskumu? Ak aj nie, isto si už o nejakých počul/a, napríklad: Prieskum ukázal, že až 97 % Slovákov si praje nájsť pod vianočným stromčekom technologické zaradenie. Prieskum bol realizovaný na vybranej vzorke mužov a žien vo veku rokov. Slováci požičajú radšej peniaze ako svoj mobilný telefón. Vyplýva to z prieskumu agentúry EGA na vybranej vzorke ročných Slovákov a Sloveniek. Úloha 1 Polož tretine tvojich spolužiakov v triede otázku: Čím by si sa chcel/a stať? (právnik, lekár, čašník, modelka,...). Rozlišuj pri tom, či ide o dievča alebo chlapca. Skús zo získaných údajov vyvodiť všeobecnejšie závery, napr. čím chcú byť žiaci, čím chcú byť dievčatá, čím chcú byť chlapci a iné. Platili by rovnaké zistenia aj keby si sa pýtal viacerých žiakov? Napríklad celej triedy? Úloha 2 Polož rovnakú otázku celej triede a doplň tieto údaje k údajom z úlohy 1. Skús teraz z údajov vyvodiť všeobecnejšie závery (podobne ako v úlohe 1). Porovnaj zistenia. Úloha 3 Vieš na základe údajov, ktoré máš (z úlohy 2) povedať podobné tvrdenia o žiakoch celej školy, do ktorej chodíš? Úloha 4 Akú vzorku žiakov školy by si si vybral/a, aby si zistil, čím chcú byť žiaci celej školy (ak nie je možné sa spýtať všetkých)? Úloha 5 Akým spôsobom by si vzorku žiakov z úlohy 4 vyberal/a? Čo znamená, že prieskum bol realizovaný na vzorke? Prečo sa nepýtali všetkých mužov a žien? Urob svoj vlastný prieskum: Čo by sa chceli robiť (aké povolanie) žiaci školy, do ktorej chodíš? Riešenie Úloha 1. Riešenie je individuálne. Žiaci získajú údaje: Napr. chlapci: policajt 1, lekár 1, kuchár 1, murár 2 Dievčatá: kozmetička 1, právnička 1, sekretárka 1 Na základe zistených údajov možno len ťažko tvrdiť, čím chcú byť žiaci školy. Odpovede ôsmich (tretina) žiakov sú príliš variabilné nato, aby sa z nich dali vyvodiť všeobecnejšie závery. Úloha 2. Riešenie je individuálne. Predpokladáme, že žiaci majú údaje, ktoré už nie sú až tak variabilné ako v úlohe 1 a dokážu vysloviť všeobecnejšie tvrdenia. Úloha 3. Riešenie je individuálne. Žiaci síce vyslovili v úlohe 2 všeobecnejšie tvrdenia, ale otázka v prieskume sa týka celej školy. Žiaci by sa pri riešení tejto úlohy mali zamyslieť nad tým, či výsledky, ktoré dostali na základe odpovedí žiakov ich triedy, naozaj platia pre všetkých žiakov školy. Úloha 4. Riešenie je individuálne. Žiaci by sa mali zamýšľať nad tým, že do prieskumu by mali byť zapojení žiaci z každého ročníka a to v počte, ktorý približne zodpovedá pomeru počtu žiakov v ročníku k celkovému počtu žiakov školy (prihliadať aj na chlapcov a dievčatá). Určenie počtu žiakov nie je striktne dané, závisí od variability skúmaného znaku. Čím je variabilita znaku väčšia (čím viac sú odpovede žiakov odlišné), tým väčšiu vzorku potrebujeme. Úloha 5. Riešenie je individuálne. Žiaci by sa mali zamyslieť nad tým, akým spôsobom si vyberú daný počet žiakov z ročníka. Teda či oslovia prvých, ktorých stretnú, alebo len tých čo poznajú, alebo si náhodne vyberú (napríklad budú vyťahovať lístky s menami žiakov z vrecúška). Riešením je akýkoľvek náhodný výber daného počtu žiakov z ročníka. Navyše, ak má škola v danom ročníku viacero tried, je možné si najskôr vybrať triedu a pýtať sa žiakov iba z jednej triedy alebo v prípade predpokladu, že žiaci v rôznych 65

64 Kombinatorika, pravdepodobnosť, štatistika triedach daného ročníka majú odlišné názory na budúce povolanie, vybrať adekvátny počet žiakov v každej triede daného ročníka. Metodické pokyny V úlohách žiaci postupne prichádzajú do kontaktu s pojmom reprezentatívna vzorka. Úlohy sú formulované tak, že nemajú jednoznačné riešenie. Ich cieľom je so žiakmi o riešení diskutovať. Postupným riešením úloh by mali žiaci intuitívne prísť na to, že pri výbere vzorky je nutné zvážiť nie len dostatočný počet opýtaných (tretina triedy nestačí, z každej triedy jeden žiak je málo) ale tiež zvážiť možný dôvod variability odpovedí (vzhľadom načo sa odpovede opýtaných môžu líšiť, napr. vek iné povolania uvedú žiaci 1. ročníka a iné žiaci 9. ročníka). Úloha 5 je zameraná na samotnú realizáciu výberu. Je vhodné žiakov oboznámiť s pojmom náhodný výber a s rôznymi spôsobmi výberu respondentov. Pri skúmaní je možné robiť aj tzv. vyčerpávajúce zisťovanie (CENZUS) spočíva v zisťovaní potrebných údajov u všetkých jednotiek základného súboru, ktorý je predmetom skúmania, napr. u všetkých žiakov školy, u všetkých mužova a žien. Oveľa častejšie sa však robí tzv. výberové zisťovanie potrebné údaje sú zisťované iba u časti jednotiek základného súboru, t.j. u jednotiek, ktoré boli určitým spôsobom vybrané zo základného súboru. Výsledky sú zaťažené tzv. výberovou chybou. V rámci výberového zisťovania je možné robiť tzv. zámerný výber (jednotky vyberáme na základe svojho úsudku) alebo náhodný výber. Náhodný výber je taký výber, pri ktorom sú jednotky vyberané do výberového súboru náhodne. Podmienkou náhodného výberu je, že všetky jednotky musia mať rovnakú pravdepodobnosť vybratia. Rozoznávame jednostupňový náhodný výber zo základného súboru vyberáme priamo jednotky, na ktorých realizujeme skúmanie: jednoduchý náhodný výber jednotky zo základného súboru vyberáme jednotlivo, skupinový výber zo základného súboru nevyberáme priamo jednotky, ale skupiny jednotiek (napr. triedy), stratifikovaný (oblastný) výber výber realizujeme tak, že najskôr celý základný súbor rozdelíme na oblasti (tento postup sa nazýva stratifikácia) a v týchto oblastiach potom uskutočníme náhodný výber, používame ho obzvlášť vtedy, keď celý základný súbor je silne nerovnorodý (heterogénny), stratifikácia predstavuje vylepšenie jednoduchého náhodného výberu. Možno tiež ďalej hovoriť o proporcionálnom stratifikovanom výbere alebo o optimálnom stratifikovanom výbere. viacstupňový náhodný výber zo základného súboru v prvom stupni vyberieme väčšiu štruktúru a z nej potom v druhom stupni vyberieme jednotky. Viac sa môžete dočítať napr. na: Fwww.fem.uniag.sk%2Fcvicenia%2Fksov%2Fsojkova%2FKMvM%2Fpred2.doc&ei=0rbwUt3qHdGshQfl3YGICg&usg=AFQjCNGqr4Ox5gBnTT07MgznSfCr1Ieeyg 66

65 Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií žiakov 9. ročníka základných škôl Cestári zvládli minulú zimu na 7 bodov z 10-tich! Ako ste boli spokojní s prácou cestárov minulú zimu Vy? Aj napriek tomu, že mnohí z nás nie sú spokojní s prácou cestárov cez zimu, výsledky prieskumu, ktorý pre cestnú správu realizovala spoločnosť REA s r. o., hovoria niečo iné. Prácu cestárov ohodnotilo až 56 % opýtaných na viac ako 5 bodov z celkových 10- tich. Dokonca 12 % opýtaných udelilo cestárom plný počet bodov. Vyplýva to z prieskumu realizovaného na vzorke náhodne opýtaných ľudí v Nitrianskom a Trnavskom kraji. Zdroj obrázku: Úloha 1 Čo si myslíš o výbere (vzorke) opýtaných, ktorý bol v prieskume použitý? Úloha 2 Nájdi na internete prieskum a zhodnoť vhodnosť použitej vzorky opýtaných. Riešenie Úloha 1. Do výskumu boli zapojení len ľudia z Nitrianskeho a Trnavského kraja. Vo výsledkoch a interpretácii výsledkov prieskumu sa už však hovorí všeobecne o hodnotení cestárov na Slovensku. Výsledky prieskumu sú neprávom zovšeobecnené na celé Slovensko. Je však všeobecne známe, že napr. v Žilinskom alebo v Prešovskom kraji napadne cez zimu viac snehu, čo znamená viac práce pre cestárov a z čoho potom môže prameniť aj nespokojnosť ľudí s ich prácou. Správne by bolo zmeniť interpretáciu výsledkov prieskumu, alebo rozšíriť vzorku opýtaných o respondentov zo všetkých krajov Slovenska. Úloha 2. Riešenie je individuálne. Metodické pokyny Úloha je zameraná na utvrdenie pochopenia významu pojmu reprezentatívna vzorka a na rozvoj kritického myslenia žiakov a ich schopnosti zhodnotiť relevantnosť výsledkov prieskumu vzhľadom na použitú vzorku respondentov. Úloha 2 môže byť žiakom zadaná ako domáca úloha. Každý žiak vyhľadá na internete výsledky nejakého prieskumu. Na ďalšej hodine sa bude diskutovať o vhodnosti použitej vzorky respondentov resp. ak nebude uvedená, o návrhu vhodnej vzorky. Žiaci by mali vedieť svoj názor aj správne zdôvodniť. V súvislosti s použitím nevhodnej vzorky respondentov v prieskume je nutné žiakov upozorniť, že samotný prieskum nie je zlý, nesprávna resp. nepresná je často interpretácia výsledkov prieskumu (relevantnosť získaných výsledkov vzhľadom na pôvodný zámer prieskumu). 67