4. domáca úloha. distribučnú funkciu náhodnej premennej X.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "4. domáca úloha. distribučnú funkciu náhodnej premennej X."

Μέντωρ Αλεξανδρίδης
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 4. domáca úloha 1. (rovnomerné rozdelenie) Električky idú v 20-minútových intervaloch. Cestujúci príde náhodne na zastávku. Určte funkciu hustoty rozdelenia pravdepodobnosti a distribučnú funkciu náhodnej premennej X (dĺžka čakania cestujúceho na zastávke). Určte jej strednú hodnotu a rozptyl. Aká je pravdepodobnosť, že cestujúci nebude čakať dlhšie ako 8 minút? 2. (exponenciálne rozdelenie) Priemerná doba obsluhy v predajni je 30 sekúnd. Určte funkciu hustoty rozdelenia pravdepodobnosti a distribučnú funkciu náhodnej premennej X (doba obsluhy náhodného zákazníka). Určte jej strednú hodnotu a rozptyl. Aká je pravdepodobnosť, že náhodný zákazník bude obslúžený v čase kratšom ako 1 minúta? 3. (rovnomerné rozdelenie) Do predajne potravín vozia čerstvý chlieb v čase od 5:30 do 7:00 (dodávka je v tomto čase rovnako možná kedykoľvek). Predajňu otvárajú o 6:00. Aká je pravdepodobnosť, že si môžete kúpiť čerstvý chlieb hneď po otvorení predajne? Určte strednú hodnotu a rozptyl náhodnej premennej X (čas dodávky). Určte funkciu hustoty rozdelenia pravdepodobnosti a distribučnú funkciu náhodnej premennej X. 4. (exponenciálne rozdelenie) Priemerná dĺžka cyklu dodávky tehál do predajne Stavebniny je 7 dní. Celková zásoba tehál na sklade je na 10.5 dňa. Aká je pravdepodobnosť vyčerpania zásob? Určte strednú hodnotu a rozptyl náhodnej premennej X (dĺžka cyklu dodávky tehál do predajne). Určte funkciu hustoty rozdelenia pravdepodobnosti 5. (rovnomerné rozdelenie) Železiarne očakávajú dodávku železnej rudy 1x za deň (0:00-24:00). Príchod je rovnako možný v ktorúkoľvek hodinu. Aká je pravdepodobnosť, že budete rudu vykladať Vy, ak Vám Vaša smena začína o 12:00 a končí o 18:00? Určte strednú hodnotu a rozptyl náhodnej premennej X (čas príchodu dodávky v rámci dňa). Určte funkciu hustoty rozdelenia pravdepodobnosti a distribučnú funkciu náhodnej premennej X. 6. (exponenciálne rozdelenie) Náhodná premenná X je dĺžka dráhy v km, ktorú prejde auto do okamihu prvej poruchy. Priemerný dojazd je 1500 km. Vypočítajte pravdepodobnosť, že auto do prvej poruchy prejde aspoň 3000 km. Určte strednú hodnotu a rozptyl náhodnej veličiny X. Určte funkciu hustoty rozdelenia pravdepodobnosti a distribučnú funkciu náhodnej premennej X. 7. (rovnomerné rozdelenie) Autobusy Mestskej hromadnej dopravy odchádzajú zo stanice v päťminútových intervaloch. Cestujúci môže prísť na stanicu v ľubovoľnom okamihu. Aká je 1

2 pravdepodobnosť, že Vám utiekol autobus (autobus odišiel menej ako 30 sekúnd pred Vašim príchodom)? Určte strednú hodnotu a rozptyl náhodnej veličiny X (dĺžka čakania na autobus). Určte funkciu hustoty rozdelenia pravdepodobnosti 8. (exponenciálne rozdelenie) Priemerná dĺžka výdrže žiarovky je 500 hodín. vypočítajte pravdepodobnosť, že Vám žiarovka nevydrží ani 100 hodín. Určte strednú hodnotu a rozptyl náhodnej veličiny X (výdrž žiarovky). Určte funkciu hustoty rozdelenia pravdepodobnosti 9. (rovnomerné rozdelenie) Predajňa očakáva dodávku tovaru v určitý deň v čase od 8. do 10. hodiny. Podľa správy od dodávateľa je uskutočnenie dodávky rovnako možné kedykoľvek v tomto časovom intervale. Aká je pravdepodobnosť, že tovar bude dodaný v čase od pol deviatej do tri štvrte na deväť? Aká je stredná hodnota a rozptyl náhodnej veličiny X (čas dodania tovaru)? Určte funkciu hustoty rozdelenia 10. (exponenciálne rozdelenie) Priemerná životnosť istého výrobku je 3 roky. Určte dĺžku záručnej doby za predpokladu, že výrobok sa v záručnej dobe pokazí s pravdepodobnosťou 0.1. Aká je stredná hodnota a rozptyl náhodnej veličiny X (životnosť výrobku)? Určte funkciu hustoty rozdelenia pravdepodobnosti a distribučnú funkciu náhodnej premennej X. 11. (rovnomerné rozdelenie) Na plynovode medzi stanicami A a B dĺžky 500 km je pravdepodobnosť poruchy na nejakom úseku závislá len od dĺžky tohto úseku. Náhodná premenná X udáva vzdialenosť miesta poruchy od stanice A. Aká je pravdepodobnosť, že porucha je od miesta A vzdialená viac ako 300 km? Aká je stredná hodnota a rozptyl náhodnej veličiny X? Určte funkciu hustoty rozdelenia pravdepodobnosti 12. (exponenciálne rozdelenie) Výrobné zariadenie má poruchu v priemere raz za 2000 hodín. Doba bezporuchového chodu má exponenciálne rozdelenie. Vypočítajte takú hodnotu t, pre ktorú pravdepodobnosť toho, že doba bezporuchového chodu zariadenia bude dlhšia ako t hodín je Aká je stredná hodnota a rozptyl náhodnej veličiny X (doba bezporuchového chodu zariadenia)? Určte funkciu hustoty rozdelenia 13. (rovnomerné rozdelenie) Trolejbusy MHD premávajú v rovnomerných intervaloch. Istý cestujúci môže prísť na zastávku s rovnakou pravdepodobnosťou v ľubovoľnom okamihu medzi dvoma odchodmi. Aké sú intervaly odchodov trolejbusov, keď smerodajná odchýlka doby čakania na električku je 5 2 3? Aká je stredná hodnota a rozptyl náhodnej veličiny X (dĺžka čakania cestujúceho na zastávke)? Určte funkciu hustoty rozdelenia pravdepodobnosti a distribučnú funkciu náhodnej premennej X. 2

3 14. (exponenciálne rozdelenie) Stredná hodnota náhodnej premennej X, ktorá udáva dobu medzi registráciou dvoch častíc kozmického žiarenia v určitom zariadení je 8 hodín. Vypočítajte pravdepodobnosť, že medzi dvomi zaregistrovanými časticami uplynie nanajvýš 5 hodín. Aká je stredná hodnota a rozptyl náhodnej veličiny X? Určte funkciu hustoty rozdelenia pravdepodobnosti a distribučnú funkciu náhodnej premennej X. 15. (rovnomerné rozdelenie) Medzi dvoma dedinami od seba vzdialenými 6 km je elektrické vedenie. Na každom mieste môže dôjst k poruche s rovnakou pravdepodobnostou. Každá z dedín zodpovedá za údržbu vedenia vo svojom extraviláne. Vypočítajte pravdepodobnost toho, že poruchu musí odstrániť dedina B ak viete, že dedina A je 2x väčšia ako dedina B. Aká je stredná hodnota a rozptyl náhodnej veličiny X (vzdialenosť poruchy od dediny A)? Určte funkciu hustoty rozdelenia 16. (exponenciálne rozdelenie) Priemerná doba životnosti výrobku je 200 hodín. Vypočítajte maximálnu záručnú dobu (v celých hodinách), ktorú má poskytnúť jeho výrobca, ak pripúšta maximálne 5 percent reklamovaných výrobkov. Aká je stredná hodnota a rozptyl náhodnej veličiny X (doba životnosti výrobku)? Určte funkciu hustoty rozdelenia 17. (rovnomerné rozdelenie) Cestujúci môže prísť na zastávku električky v ľubovoľnom okamihu. Stanovte dĺžku intervalu medzi nasledujúcimi spojmi, ak pravdepodonosť toho, že cestujúci bude čakať aspoň 4 minúty je 0.6. Aká je stredná hodnota a rozptyl náhodnej veličiny X (dĺžka čakania na električku)? Určte funkciu hustoty rozdelenia 18. (exponenciálne rozdelenie) Priemerná doba životnosti kľúčovej súčiastky istého zariadenia je 300 hodín. Vypočítajte takú hodnotu t, pre ktorú možno s pravdepodobnosťou 0.25 očakávať, že doba životnosti súčiastky bude dlhšia ako t hodín. Aká je stredná hodnota a rozptyl náhodnej veličiny X (doba životnosti súčiastky)? Určte funkciu hustoty rozdelenia 19. (rovnomerné rozdelenie) Gejzír v Herľanoch strieka každých 35 hodín. Prišli ste tam náhodne a budete čakať 2 hodiny. Aká je pravdepodobnosť, že ho uvidíte v akcii? Aká je stredná hodnota a rozptyl náhodnej veličiny X (dĺžka intervalu medzi dvoma erupciami)? Určte funkciu hustoty rozdelenia pravdepodobnosti a distribučnú funkciu náhodnej premennej X. 20. (exponenciálne rozdelenie) Priemerná doba životnosti výrobku je 5 mesiacov. Vypočítajte pravdepodobnosť toho, že výrobok nebude funkčný dlhšie ako je jeho priemerná doba životnosti. Aká je stredná hodnota a rozptyl náhodnej veličiny X (doba životnosti 3

4 výrobku)? Určte funkciu hustoty rozdelenia pravdepodobnosti a distribučnú funkciu náhodnej premennej X. V úlohách nech X je spojitá náhodná veličina: funkciou hustoty rozdelenia pravdepodobnosti, určte parameter k tak, aby funkcia f (x) bola hustotou pravdepodobnosti náhodnej veličiny X a vyjadrite F (x), alebo distribučnou funkciou, určte parametre a, b tak, aby funkcia F (x) bola spojitá a bola distribučnou funkciou náhodnej veličiny X a vyjadrite f (x) a vypočítajte E (X), D (X) a pravdepodobnosť P. 21. P (1 X < 4) 22. P ( 1 < X 0) f(x) = k (3x x 2 ), 0 x < 3 0, 3 x f(x) = k (4x x 3 ), 0 x < P ( π/2 < X π/2) f(x) = k cos 2x, 0 x < π/4 0, π/4 x 24. P (X 0) 25. P ( 1 < X 1) ( 26. P X ) P (X 5) 0, x < 1 f(x) = k (1 x 2 ), 1 x < 1 0, x < π/2 f(x) = a cos x, π/2 x < π/2 0, π/2 x F (x) = a (x 2 x 4 /4), 0 x < 2 1, 2 x 0, x < 3 F (x) = a x b, 3 x < 6 1, 6 x 4

5 28. P ( 2 < X 1/2) 29. P (1 X 2) 30. P (X = 0) 31. P ( 1 < X) 32. P ( 1 < X 1) 33. P (X 1) 34. P (X 5) 35. P ( π < X < π/6) 36. P ( 1 X 1) 37. P ( 1 < X 0) f(x) = k x, 0 x < 1 f(x) = k, 0 x < 1 f(x) = k x, 0 x < 1 f(x) = x, 0 x < 4 k 0, 4 x f(x) = k x 2, 0 x < 2 f(x) = x (k x), 0 x < 2 0, x < 0 x, 0 x < 1 f(x) = a x, 1 x < 2 f(x) = k sin 2x, 0 x < π/4 0, π/4 x F (x) = a + x3, 0 x < 2 b 1, 2 x 0, x < 1 F (x) = a x 2 + b, 1 x < 2 1, 2 x 5

6 38. P (X = 3) 39. P (2 < X < 3) 40. P (0 X 2) 0, x < 1 F (x) = a x + b, 1 x < 5 1, 5 x 0, x < 5 x+a F (x) =, 5 x < 2 b 1, 2 x 0, x < 1 F (x) = a + b arcsin x, 1 x < 1 1, 1 x 6

Σχετικά έγγραφα

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej . Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny