MARKO ČUPIĆ SKRIPTA IZ RAČUNALNE GRAFIKE

Transcript

1 MAKO ČUPIĆ KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE

2 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE ADŽAJ. UVOD U ONOVNE MAEMAIČKE POJMOVE 8. NAČINI OZNAČAVANJA 8. OČKA 8. VEKO 9. PAVAC. JEDNADŽBA PAVCA.. PAAMEAKA JEDNADŽBA.. AČUNANJE JEDNADŽBE PAVCA KOZ DVIJE OČKE. POEBNI LUČAJEVI JEDNADŽBE PAVCA.. D POO.. D POO.. POEŠKOĆE 4. HOMOGENI POO. HOMOGENE KOODINAE. 5. IDEJA 5. JEDNADŽBA PAVCA U D U HOMOGENOM POOU 6. JEDNADŽBA PAVCA U D U HOMOGENOM POOU 6.4 ALENAIVNI OBLIK JEDNADŽBE PAVCA U D U HOMOGENOM POOU 7 4. AVNINA 4. JEDNADŽBA AVNINE 4. JEDNADŽBA AVNINE KOZ I OČKE 5. BEENHAMOV POUPAK CANJA LINIJE 4 5. UVOD 4 5. JEDNADŽBA PAVCA 4 5. BEENHAMOV POUPAK BEENHAMOV POUPAK MODIFIKACIJA BEENHAMOVOG POUPKA KUOVI OD DO KUOVI OD DO VI KUOVI 6. KONVEKNI POLIGONI 6. DEFINICIJA KONVEKNOG POLIGONA 6. MAEMAIČKI OPI POLIGONA 6. OIJENACIJA VHOVA POLIGONA ODNO OČKE I POLIGONA 7

3 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 6.5 BOJANJE KONVEKNOG POLIGONA UKUA PODAAKA ZA PAMĆENJE KONVEKNOG POLIGONA FUNKCIJE ZA AD A POLIGONIMA 4 7 KONKAVNI POLIGON DEFINICIJA KONKAVNOG POLIGONA POVJEA KONKAVNOI POLIGONA I OIJENACIJA VHOVA MAEMAIČKI OPI KONKAVNOG POLIGONA ODNO OČKE I KONKAVNOG POLIGONA MAEMAIČKI OPI POBLEMA C IMPLEMENACIJA POVJEE ODNOA OČKE I POLIGONA BOJANJE KONKAVNOG POLIGONA C IMPLEMENACIJA BOJANJA KONKAVNOG POLIGONA ( BOJANJE KONKAVNOG POLIGONA PO DUGI PUA C IMPLEMENACIJA BOJANJA KONKAVNOG POLIGONA ( 6 7. KOAK DALJE U PAVOM MJEU 6 7. ZAKLJUČAK 6 8. KIVULJE - OPĆENIO UVOD ZADAVANJE KIVULJA KLAIFIKACIJA KIVULJA POŽELJNA VOJVA KIVULJA ED NEPEKINUOI C KONINUIEI G KONINUIEI KIVULJE ZADANE PAAMEAKIM OBLIKOM UVOD UPOABA PAAMEAKOG OBLIKA PIMJE CANJA KUŽNICE PIMJE CANJA ELIPIE KONUKCIJA KIVULJE OBZIOM NA ZADANE OČKE ZAKLJUČAK 7. BEZIEOVE KIVULJE 74.. UVOD 74. APOKIMACIJKA BEZIEOVA KIVULJA 74.. OZNAKE 74.. BEZIEOVE EŽINKE FUNKCIJE BENEINOVE EŽINKE FUNKCIJE 77

4 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE VEZA BEZIEOVIH I BENEINOVIH EŽINKIH FUNKCIJA CANJE APOKIMACIJKE KIVULJE POMOĆU BENEINOVIH POLINOMA VOJVA APOKIMACIJKIH BEZIEOVIH KIVULJA 8. INEPOLACIJKA BEZIEOVA KIVULJA 8. PIKAZ KIVULJA POMOĆU AZLOMLJENIH FUNKCIJA 86.. UVOD 86.. PIKAZ POMOĆU KVADANIH AZLOMLJENIH FUNKCIJA 86.. PAAMEAKE DEIVACIJE U HOMOGENOM POOU PIKAZ POMOĆU KUBNIH AZLOMLJENIH FUNKCIJA PAAMEAKE DEIVACIJE U HOMOGENOM POOU 9.6. VEZA IZMEĐU PAAMEAKIH DEIVACIJA U ADNOM I HOMOGENOM POOU 9.7. PIMJEI 9.8. ODEĐIVANJE MAICE A 9.9. HEMIOVA KIVULJA 95.. ODEĐIVANJE MAICE A - PIMJE 96. D ANFOMACIJE 99.. UVOD 99.. ANLACIJA.. OACIJA.4. KALIANJE.5. MIK 5.6. PIMJENA ANFOMACIJA 7. D ANFOMACIJE 9.. UVOD 9.. ANLACIJA 9.. OACIJA... OACIJA OKO OI X... OACIJA OKO OI Y... OACIJA OKO OI Z.4. KALIANJE.5. MIK.7. PIMJE 4. POJEKCIJE I ANFOMACIJE POGLEDA POJEKCIJE PAALELNA POJEKCIJA 4

5 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE PEPEKIVNA POJEKCIJA ANFOMACIJE POGLEDA 4.. PIMJENA NA POOPĆENJE PEPEKIVNE POJEKCIJE KOAK KOAK KOAK VIEW-UP VEKO 4.4. ANFOMACIJE POGLEDA NA DUGI NAČIN MALI IZVOD PIMJENA NA PEPEKIVNU POJEKCIJU 4 5. OVJELJAVANJE 5 5. UVOD PHONGOV EFLEKIJKI MODEL OPĆENIO O MODELU DIFUZNA KOMPONENA ZCALNA KOMPONENA AMBIJENNA KOMPONENA UKUPAN UJECAJ ZBINI PEGLED MODELA PIMJE GOUAUDOVO JENČANJE POLIGONA PHONGOVO JENČANJE UKLANJANJE NEVIDLJIVIH ELEMENAA UVOD UKLANJANJE AŽNJIH POLIGONA POVJEA NOMALE MINIMAX POVJEE Z BUFFE 5 7. FAKALI UVOD AMOPONAVLJAJUĆI FAKALI MANDELBOOV FAKAL JULIJEVA KIVULJA FAKAL "" GINGE PEGLED ONOVNIH UEĐAJA VEZANIH UZ AČUNALA I LIKU UVOD MONIOI ONOVE ADA KAODNE CIJEVI (C C A F C A INION CIJEVI COMACLEA LCD ZALONI 7

6 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE ZALONI PLAZMOM PIAČI OPĆENIO LAEKI PIAČI ii pisči KENEI BOJE UVOD HEME ZA PIKAZ BOJA POOI BOJA MODELI GB MODEL CMY/CMYK MODEL HL MODEL GAMMA KOEKCIJA PAMĆENJE BOJA NA AČUNALU 84. DODAAK A. 86 JEŠENI ZADACI 9 ZADAAK. 9 ZADAAK. 9 ZADAAK. 95 ZADAAK ZADAAK ZADAAK ZADAAK ZADAAK ZADAAK 9. ZADAAK.

7 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 7 Nekoliko iječi... Šoi čielji! Osoio mi je dooljso šo Vm mogu poudii oj eks spolgje. čul gfik je podučje koje se u dšje do ij soiom iom i poje oso čule gfike polko se može poisojećii s čulom pismeošću. U ooj skipi glsk je če koepe i ideje kko i se šo lkše mogli uočii polemi koji se u pojljuju i čii koje se oi ješju ukoliko isi posoje. Ko eks će se pojii i ekoliko pimje pisi u C pogmskom jeiku koji će demosii ilgj i ideje koje se ođuju. Pimjei su pisi ko d de i d se lo lgo mogu uočii pojedii dijeloi kod. Pimjei isu pisi ko d ude psoluu opoos pogeške i opok mlo jeoj sj. O pooljšj osljju se Vm d i implemeie ukoliko mislie d su poe... D ise mogli pii skipu poe je odeđe podlog i memike i o očio liee memike iko sm se udio d gdje je o god ilo moguće keem od smi oso i ojsim šo se de pojedii koi. Zog oi je skip je mjeje peseo sudeim koji su slušli oe pedmee ili kojim memik ije elik epoi. No o e či d je iko dugi e smije čii. Oim puem poseo i se lio pofesoii Željki Mijloić pužeu pomoć ko i pijeljim koji su mi ili popo.

8 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 8. UVOD U ONOVNE MAEMAIČKE POJMOVE. NAČINI OZNAČAVANJA Pije ego šo keemo s gdiom poeo je ojsii koji će se či u eksu oči pojedii elemei. očk će se oičo oči ko pi čemu će sloo X ii mijejeo u ukoliko se gooi o počeoj oči p u E ukoliko se gooi o šoj oči p odoso u P ukoliko se gooi o poioljoj oči p. (emii poče očk p i š očk p ii će jsiji ko pogllj.4. Zpis očke po kompoem ii će (... pi čemu je i i- kompoe očke. Vekoi će se oči sličo ko i očke. Veko p ii će oče ko kompoem (.... P P P p odoso po Mie će se oči elikim šmpim sloim i podlkom. Np. kkeisič mi p osii će oku L. like u pojediim poglljim oče su ojem pogllj i kojeg slijedi edi oj slike u pogllju. Np. ok slike 5... oč sliku u pogllju 5... pod edim ojem. elije (jeddže; fomule oče su slič či: u sku eliju u gdi se li ok koj počije s ":" i koje slijedi ok pogllj kos i edi oj elije u om pogllju. Np. ok (:../ oč eliju oj u pogllju... Ok či očj uede je d i se mksimlo olkšlo polžeje elije kd se o efeei u eksu.. OČKA očk je memički pojm koji se u pilu e defii. No poeo je uesi eke osoe pojmoe. očk je sojso poso (eleme poso; oso gđe edjelji jeli. Zog og očje očke oisi o posou u kojem se očk li. Oo osoo šo odeđuje očje očke je dimeiolos poso. k očk ii će oče sojim koodim i o s oliko koodi kolik je dimeij poso. ko će očk u D "posou" ii oče pomoću dije koodie: i. U D očk će ii oče pomoću i koodie: i. U sku ćemo očke oči ko ueđee -oke koodi p. ( ili ko miu [ ].

9 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 9. VEKO Veko ćemo pomi ko usmjeeu dužiu iko iječ "duži" možd i ije š jpikldij. Nime eko će m oičo služii ko gdije j. pokelj koji gooi koliko se ešo mijej. Vekoe ćemo oči pomoću selie id ime šo je uoičje memičk oij. Zpis eko iso ko i očke oisi o posou u kojem j eko opisuje e će imi ooliko kompoei kolik je dimeiolos poso. Zog og ćemo ekoe kođe pisii ko ueđee -oke p. (. Kko ćemo u sku gooii o čuloj gfii ekoe ćemo oičo piji imeđu dije očke i o slijedeći či: eko pe imeđu očke i E keće i očke i š u očku E. Oime je odeđe smje eko jego ios se ču pomoću elije: E (:./ E Pi ome se očke oduimju j či d se odgojuće kompoee očk odumu.

10 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE. PAVAC. JEDNADŽBA PAVCA.. PAAMEAKA JEDNADŽBA P se kođe e defii o jopćeiije gooeći može se eći d je p skup očk. Ok defiiij odi jopćeiiji pis p: pmeski pis. Idej pmeskog pis je d se pomoću kočog oj pme opišu se očke koje pipdju doičoj kiulji. Z opis p doolj je smo jed pme jeddžu možemo doii i slike: λ E P P ( E λ λ (:../ Fomul po kže: eko skli pmeom λ dodj oči i doii ćeš jedu očku p. Oo pi ski λ i doii ćeš se očke p. Pojm "sklii" pmeom λ či sku kompoeu eko pomožii elim ojem λ. ime se om eko poeć λ pu e ijedi: λ λ Np. pem gojoj slii ukoliko oči dodmo λ u λ doći ćemo do očke E. No ukoliko je λ eći od jed d ćemo doći do eke očke koj se keuši od očke li i očke E. U jeddži p koju smo peodo pisli kije se po ooliko jeddži koliko očke imju kompoe. Vžo je uočii d ok pis p doekle i usmje p. Nime posom pme λ očk P gi se u smjeu eko odoso od očke pem očki E i dlje. Oj olik pis p pogod je i odeđije gdje se ek d očk p li u odosu očke i E. Vijedi slijedeće. Ukoliko je du očku P pme λ: egi očk P je isped očke. ul očk P se upo poklp s očkom. poii i mji od očk P je imeđu očke i očke E. jed očk P se upo poklp s očkom E. poii i eći od očk P je i očke i i očke E.

11 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE spišemo li jeddžu P ( λ λ E po kompoem doimo: ili u mičom pisu: ( P P... P ( P P... P λ (... (:../ P P P [... ] [ λ ] [ ] L P P P λ (:../ gdje L soji kkeisiču miu p. Kko jeddž mo ii doolje sku kompoeu seo goji pisi jeddže spdju se jeddži... AČUNANJE JEDNADŽBE PAVCA KOZ DVIJE OČKE Nek su de dije očke ko koje poli p. očk ek ude poče očk p očk E ek ude š očk p. Jeddžu p ko e dije očke možemo ičui emeljem elije: ( λ λ P E ko d ičumo eko pomoću elije (:./ koj glsi:. (:../ E No do sličog se ješej može doći i oko. Keimo i pmeskog olik jeddže p pisog mičo (:../: [ ] [ ] L P P... P λ U gojoj eliji jedi je epoi mi L koju e odedii. Budući d p kojeg žimo eki pme λ poli ko očku i eki pme λ poli ko očku E oslje m je slood io d smi odlučimo koje će se o ijedos pme λ dogodii. Zog og ćemo se odlučii jjedosiji mogući io: ek p pođe ko očku λ ko očku E λ. d možemo pisi: E [ ] L [ ] L gdje su mie i E jedoeče mie s ooliko sup koliko immo koodi. Goje dije jeddže možemo sopii u jedu jeddžu: E L

12 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE e uočii d i E lijeoj si jeddže pedsljju mie p mi lijeoj si ije eć! Kko je u jeddži se poo osim mie L možeći jeddžu s lije ieom miom u L doi se: E L (:../ E E pi čemu je mi L dimeij.. POEBNI LUČAJEVI JEDNADŽBE PAVCA.. D POO k očk im po dije kompoee p elij (:../: peli u: ( P P... P ( P P... P λ (... ( P ( P P λ ( P (:../ Umjeso ok P i P mogli smo koisi i oke p p umjeso ok i mogli smo koisi i oke s s. Goj jeddž spd se dije jeddže po kompoem: λ λ P P P P Elimiijom pme λ doi se ekspliii olik jeddže p: P P ( P P (:../ Budući d je eko defii ko E (:./ ili po kompoem: P E P E ušjem u ekspliii olik doi se: E ( (:../ P P E

13 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE šo ko pomjee ime odgojući ijli u "školsk" ime dje: ( ( ( ( ( E E P E P E ( ( ( ( (:../ Pomožimo li oo s jedičkim iikom i sedimo doii ćemo impliii olik jeddže p: (:../4 ili: (:../4 Općeio impliii olik pisujemo ko: P P (:../5 Od imljiiji olik ijedo je još spomeui i segmei olik jeddže p koji dieko dje odsječke p oje osi. Doije se sođejem impliiog olik olik: P P l l (:../6 P P P P P P P P Pi ome ijedosi l i l pedsljju odsječke oje osi. I ekspliiog se olik doije: (:../7.. D POO U D posou ije moguće p piki jeddžom u ekspliiom oliku. Nime pmeski olik jeddže p (:../... (... (... ( P P P P P P λ u om slučju peli u ( ( ( P P P P P P λ (:../ pi čemu se sk očk (ili eko opisuje pomoću i koodie. O jeddž ekile je i jeddže (po jed sku koodiu e je pme λ emoguće elimiii ko d se doije jed jeddž. No elimiijom pme λ i d p jeddži moguće je doii impliii sus jeddže p u i dimeije:

14 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 4 P P P P P P (:../ odoso E E P P E P (:../.. POEŠKOĆE Kd djemo jeddžu p želimo ii u sju pomoću je piki se moguće pe. P keemo li od segmeog olik (u ogičeje mj pis p smo u D posou idimo d o e može piki ii jed p plel s ilo kojom osi. Ekspliii olik im poeškoć s pim plelim s odiom. Jedii olik koji em polem je impliii olik. Međuim impliii olik p pimjeu u čulim ije pkič. Zog og se ko elio do olik pokuje pmeski olik. Dod "plus" oom oliku osi i mogućos mičog pis koji je idel pimjeu u čulim.

15 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 5. HOMOGENI POO. HOMOGENE KOODINAE.. IDEJA Dijeljeje s ulom još je jed od česi polem pi geomeijskim počuim. Np. žeje sjeiš d p koji su pleli eulii će dijeljejem s ulom udući d se sjeiše li u eskočosi. D i se oki polemi ijegli uodi se omogei poso i omogee koodie. Eo mišljj. Ukoliko je ek od koodi jedk eskočo o či d se može doii dijeljejem s ulom. D i se oo ijeglo poeo je se koodie pisi u oliku lomk: P P P P (:./ pi čemu su P i P sdde ( ili de koodie P i P su omogee koodie. Ušjem oi i u impliii olik jeddže p doimo: P P odoso P P (:./ U oom slučju koodie P i P ikd eće ii jedke eskočo. Općeio se može eći oko. Zd je ek poiolj očk u -dimeiolom posou. očk u omogeom će se posou opisii pomoću koodie i ki omogei očk i će eskočo. Np. očk (4 u dom posou u i dimeije imi će u omogeom posou pise: (4 (66.5 ( Pose slučj je pis eskočosi: ukoliko je omoge koodi očke jedk očk leži u eskočosi! Ako doijemo d se d p sijeku u omogeoj oči (664 o či d se u dom posou sijeku u oči (. Ukoliko se sijeku u omogeoj oči ( d su i pi u dom posou pleli i emju sjeiš. Ukko d pooimo jžije. Ukoliko je očk u dom posou d ko: P ( P P... d očk u omogeom posou im pis: pi čemu je defii e: P ( P P P... P

16 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 6 Pi Pi odoso Pi Pi (:./. JEDNADŽBA PAVCA U D U HOMOGENOM POOU U pogllju.. d je jeddž p u D u dom posou (:../: ( P P ( P P λ ( Pošiijem e jeddže u eliju (:./: Pi Pi odoso Pi Pi doli se do jeddže: ( λ ( (:./ ( P P P P P P pi ome e oii pžju P i kompoee očk. Nepžlji upo goje elije može doesi do epoželji posljedi (idi dk. Comme: Pogledj je li oo doo poeo s dkom. (omogei p.... JEDNADŽBA PAVCA U D U HOMOGENOM POOU U pogllju.. d je jeddž p u D u dom posou (:../: ( ( λ ( P P P P P P Pošiijem e jeddže u eliju (:./: Pi Pi odoso Pi Pi doli se do jeddže: ( P P P P ( P P P P λ ( (:./ pi ome e oii pžju P i kompoee očk. Nepžlji upo goje elije može doesi do epoželji posljedi (idi dk. Comme: Pogledj je li oo doo poeo s dkom. (omogei p...

17 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 7.4 ALENAIVNI OBLIK JEDNADŽBE PAVCA U D U HOMOGENOM POOU Keemo li od impliiog olik jeddže p u D (:../5: P P i usimo u jeddžu eliju omogee koodie (:./ Pi Pi odoso Pi Pi dolimo do jeddže P P odoso ko seđij P P (:.4/ O se jeddž može piki i u mičom oliku šo je dos čes slučj. d o glsi: [ ] P P (:.4/ Uođejem uoičjei ok [ P P P ] G (:.4/ doli se do jeddže P G (:.4/4 Odje se može moii još jed iees slučj. Ukoliko odeemo očku P ku d leži pu d će goj elij ii doolje. No šo ko uimo poiolju očku u jeddžu p? Goj elij očio eće ii jedk uli i emelju og eul možemo defiii odos očke i p pem slijedećem kieiju:

18 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 8 < > je ispod p pu je je id p P P P P G ( ( B A A A A (:.4/5 Pojem diju očk A i B jedos se či može doći do p ko se pi -poduk i očk: B B B [ ] [ ] G k j i k j i B A B A A B B A A B B A B A B A A B B A A B B A B B B A A A B ( k j i k j i A ( ( ( G G ličo se pojem dju p može odedii očk u kojoj se oi sijeku ko se pi -poduk: k j ( [ ] P k j ( i i k j i ( ( G G P P Opeij spoij už je ukoliko se žele pisi jeddže u skldu s pilim memike. Odje se može podiskuii opdos uođej omogei koodi. Nime ljujući omogeim koodim miči ču e dje ii jedo dijeljeje. Oo či d će i pleli pi imi sjeiše! Dois ukoliko su pi pleli d su im koefiijei smje jedki i eć kompoe očke P iosii će ul šo pem defiiiji či očku u eskočosi! Eo jedosog dok. Jeddž p u D s omogeim koodim glsi šo se može pisi ko:

19 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 9 P k P P gdje je k koefiije smje p. Ukoliko pi G i G imju jedke koefiijee smje o či pem gojoj eliji d ijedi: kko je poslijedj elij upo jeddž dje koodie očke sjeiš slijedi d je u plele pe dj koodi (j. omogei fko očke sjeiš jedk.

20 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 4. AVNINA 4. JEDNADŽBA AVNINE ie ope možemo defiii u -dimeijskim posoim o kko se u čuloj gfii koise jedio ie u D mj ćemo ogičii j ip. U D posou i je odeđe s d eko koji leže u joj i isu koliei e jedom očkom ie. Keuši okom defiiijom dolimo lo jedoso do jeddže ie u pmeskom oliku: ili iječim: λ µ A B (:4./ keuši od očke sk očk ie može se doii pomkom i A λ B µ pi čemu su λ i µ eli pmei. pedslj ilo koju očku ie. lijedeć slik jso ilusi eliju (:4./. O ν A ν B ν A λ ν B µ Zpis elije (:4./ ekile je sus od i jeddže: A A A λ λ B λ B B µ µ µ Oo se može piki i mičim pisom:

21 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE [ ] [ λ µ ] No oj se olik može i pojedosii. Ukoliko đemo eko koji je okomi i eko A i eko B u pmeskoj jeddži peimo lijeu su A λ e liku očk lijeoj si poglsimo ekoom A λ B Zim se pomožimo ekoom doii ćemo B µ µ A B A B A B (:4./ Cijel des s jeddže je esl je ekoi A i B pomožei s dju ulu (je smo ijeli d eko ude okomi i eko A i eko B! Oo s odi pis ie pomoću jeie omle: ( (:4./ Comme: Pogledj je li oo doo poeo s dkom. (omogei p... O ν ν A ν A λ ν B µ ν B - Veko i se oml ie i očii log. Ukoliko mo ekoe A i B eko možemo doii ličie čie (i j eko ije jedoč; posoji eskočo mogo eko koji su okomii iu; isi si su koliei i lik imeđu ji je isključio u jiooj duljii odoso omi jed od či je i -poduk. Možemo odi:

22 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE B A ( (:4./4 Ukoliko u pis ie pomoću jeie omle (:4./ usimo ijedosi po kompoem doimo: ( ( ( ( odoso ko možej i gupij: (:4./5 ili D C B A (:4./6 Ako sd u doieu jeddžu uimo omogee koodie doi se: D C B A D C ili ko seđij B A D C (:4./7 [ ] B A šo možemo piki i mičo (:4./8 O elij koisi se lo česo i koiso ju je poi. No o je io i još jedog log. Kod jeddže p emelju sliče elije defiili smo odos očke i p. Pomoću oe elije defiii ćemo odos očke i ie! Jeddžu (:4./8 simolički možemo pisi: (:4./9 Dkle sku očku koj je ii elije je doolje. No ko usimo eku očku koj e pipd ii goj elij eće ii doolje. N emelju og eul defii se odos očke i ie:

23 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE > < je id ie je ii je ispod ie (:4./ 4. JEDNADŽBA AVNINE KOZ I OČKE i je jedočo odeđe s i očke. D ismo odedili jeddžu ie ko i očke keui ćemo od pmeskog olik ie u omogeom posou: A A A A B B B B µ (:4./ [ ] [ λ µ ] [ λ ] Odje je dkle i odeđe s d eko i očkom. Pi ome su ekoi i očke čeeokompoei je dimo u i dimeije ( kompoee u omogeom posou (još jed kompoe. Ko i kod odeđij jeddže p i odje možemo dii isom filoofijom. Jeddž će ko očku A poći eki λ i eki µ ko očku B poći eki dugi λ i eki dugi µ i ko očku C poći eki eći λ i eki eći µ. No d idemo mi odi koje će o λ i µ i poći ko koje očke. Odi ćemo d i poli ko A λ i µ ko B λ i µ e ko C λ i µ. d će ijedii: A B C [ A A A A ] [ ] [ B B B B ] [ ] [ ] [ ] C C odoso ko spj u jedu jeddžu: odkle slijedi: C A B C C A B C A B C B C A A A (:4./

24 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 4 5. BEENHAMOV POUPAK CANJA LINIJE 5. UVOD Kd moiou želimo i liiju o oičo poimo ugđeu fukiju jeik u kojem pišemo pogm i pi ome djemo koodie počee očke i še očke. Pi ome se podumije d će fukij sm u šo kćem emeu i u liiju. No koji či se iodi o o je liije? Posupk kojim se o ds di oičo je implemeij Besemoog posupk. Pi ome e imi u idu d je moio dodimeiol pik jedii odoso se se dogđ u jedoj ii. Moio je kođe sesk pik jedii. Oo či d se slik koju pikuje moio ssoji od i elemei djelić slike - piel (piue eleme. Oo či d je slik koju pikuje moio diske. Moguće je osijelii piel poiiji p. ( o ije moguće osijelii piel poiiji (..5 je k piel e posoji. Posljedi oke diskeiije slike je d pilikom j p. liij doli do uljeosi ise. Više o ooj poji eći ćemo u sku. lik 5... Nuljeos liije uslijed seiije 5. JEDNADŽBA PAVCA Pilikom j liije poe su m koodie počee i še očke. Iso ko mo d liiju mo u ii. Zoimo e d liiju mo slou. Zmislimo d immo idelu piku jediiu koj može piki se šo poželimo. P s koju momo pii je ičui koje se očke momo osijelii. D ismo si olkšli mje djmo očke slijedeći či: Poče očk im koodie ( s s. Zš očk E im koodie ( e e. Vijedi: s < e s < e. P je pod kuom mjim ili jedkim 45.

25 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 5 Ksije ćemo se osloodii oi ogičej o poček ek ogičej ijede. Koodie očk i E u oom slučju isu očee sddim okm ( i ( E E eć su iskoišee oke ( s s i ( e e udući d ćemo ijeli posupk iodii imjući umu čul gdje su sloi dodimeijski s sddim okm i pojedie osi. Jeddž p ko dije očke može se pisi pem eliji (:../ u oliku: s e e s s ( s ili ko seđij i uođej oke ges smje p e oke odsječk osi : e s pi čemu je s s i su idojei ko see kose je se mogu ičui smo jedom počeku oiom d oise smo o kosm. Umjeso ok i česo su u upoi i oke k ges smje i l odsječk osi. U ou posljedju fomulu p se može i slijedećim iijlim lgoimom: ( e - s /(doule( e - s ; -* s s ; fo( s ; < e ; { * ; okuži(; osijeli_piel(; Oiom diskeiios moio poeo je ski poći odgojući i u očku osijelii. No oj lgoim iko di im jed eliki edosk: spoos. Osoi polem oog lgoim je možeje u pelji. Z ski odgojući ču se možejem i o u imeii pomičog e! Algoim pi pooljšjem! e s 5. BEENHAMOV POUPAK Pogledmo još jedom šo peodo opisi lgoim di. Vijl mijej se u pelji od ijedosi s do ijedosi e po jed i ski se ču odgojući u upou opeije možej. Pogledjmo mlo olje šo o pogm po ču: ( ( ( (... s s s s ( ( ( s s s s s s s s ( ( ( s s s s

26 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 6 Pogledmo li dese se u skom eku možemo idjei d se ski edk može doii ko d se peodom dod ijedos ijle. o je is eul je m ukuje o d m iše e e emeski jeo možeje! Možd i io polem s pim ekom je po šoj filoofiji o em peodik p ismo u eli koisii možeje o ije ko. Vijedos pog ek eć m je d i iosi s. Pogledjmo sd šo smo doili. i _pom; doule ; ( e - s /(doule( e - s ; s ; fo( s ; < e ; { _pom okuži(; osijeli_piel(_pom; ; Pooljšje je eć čjo. I pelje ijedos ijle poslj se počeu ijedos. U pelji je uede pomoć ijl _pom koj pmi ijedos ijle ko okužij je ijlu e smijemo dii udući d m e i u sku. Pogledjmo šo još e lj. Pečeso oemo fukiju okuži(! Bilo i jko godo kd ismo mogli i e okužij i koj je okuže ijedos koodie ili ko iš dugo pokuši fukiju i jeđe. I o se može! Eo kko. 5.4 BEENHAMOV POUPAK Idej je slijedeć. Počeu okužeu ijedos koodie mo: o je s j. s. emo dkle osijelii piel poiiji ( s s. Kd se pomkemo jed piel udeso ijedos koodie poeć se koefiije. Kko smo posili ogičeje d je p pod kuom mjim ili jedkim 45 o či d se ijedos ijle keće imeđu i. Umimo pimje d iosi.. d ko jedog pomk u deso se je poećo. e iosi s.. Zokužijem oe ijedosi doli se do ijedosi s e se koodi očke koju emo osijelii e likuje od peodog kok. Zči emo osijelii piel poiiji ( s s. Pomkimo se još jed piel u deso. Y koodiu ope e ueći ijedos ijle. d o iosi s.. s.4. No okužijem se ope doli do ijedosi s. Zči d emo osijelii piel poiiji ( s s. Idemo još jed piel u deso: s.4. s.6. I kočo okužijem oe ijedosi pejemo se jed piel pem goe: s i osijeljmo piel poiiji ( s s. Očimo jelooju ijedos koodie s pidodi deimli dio s f. d goji posupk možemo opisi oko: osjeljmo očke poiiji ( s k. N počeku je s f. kim pomkom u deso f uećmo koefiije. Oog euk kd f peđe (ili dođe.5 uećmo jed. U oom euku možemo sii d či:

27 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 7. Možemo sii pilikom pomk u deso s dodjem ijedosi ijle ijli f. U om slučju slijedeće uećje - jed ii će kd f pekoči.5 p slijedeće kd pekoči.5 id. No o idej i ije š jolj je ope doolj d f pose eći od jed p momo odii ču d ski pu jelooji dio "oimo" i sl. šo je ope emeski jeo.. Možemo od f oduei i ime poišii gomilu pogešku e f dži u opsegu od -.5 do.5 čime m je uspoed o olkš. Budući d je dugi posupk olji odlučii ćemo se jeg. No u om slučju e još pojsii šo se od f oduim š. mislimo mlo šo m pedslj f. Cjmo liiju i počee očke s koodiom jedkom i pooimo ukko goe opisi posupk. Po smo ili u odoso f. Zim smo došli u. j. f.. Zim.4 j. f.4 i kočo.6 j. f.6. Vijedos poje u f m po gooi koliko smo pojegli od jelooje koodie. Np..4 j. f.4 osijelii ćemo piel s koodiom dok smo elo gledjući eć.4 piel id. Oog e kd od piel pojegemo.5 ili iše (p. f.6 pem dogoou uećmo jed. No d iše ismo u oči s koodiom eć s koodiom. A o pogešku ( f či d iše ismo.6 piel id ego.4 piel ispod euog piel odeđeog s šo či pogešk s f.6 peli u f Implemeij oog lgoim d je u sku. i ; doule f ; ( e - s /(doule( e - s ; s ; f.; fo( s ; < e ; { osijeli_piel( ; f f ; if( f >.5 { f f -.; ; Uedemo li još smo jedu miou modifikiju o je d iiijlo f umemo ijedos -.5 e poslije uspoedu dimo s.5-.5 dkle ulom doili smo Besemo lgoim! Besemo lgoim i ; doule f ; ( e - s /(doule( e - s ; s ; f -.5; fo( s ; < e ; {

28 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 8 osijeli_piel( ; f f ; if( f >. { f f -.; ; Može li olje? No MODIFIKACIJA BEENHAMOVOG POUPKA Do osoog Besemoog posupk došli smo i smo jedog je: i! Pogledom sm lgoim poslj se pije može li još olje? u oku u opisom lgoimu skko su ojei s pomičim eom. Pokuje se d se ijeli lgoim može peii u jelooju domeu opće je poo d su opeije s ijelim ojeim dleko že od imeike u pomičom eu. og ćemo oo pogllje poseii pilgodi osoog Besemoog lgoim ko d podi s ijelim ojeim. Osoi eleme koji je ueo deimle ojee u igu io je koefiije smje koji smo čuli pem fomuli: e s e s Oj koefiije koisili smo pilikom iču pogeške ( f ijl. Pogešku smo čuli pem fomuli: f f Idemo o mlo spisi. Ušjem i doi se: e f ( e s e s s f f ( e s f e s e s ( e s f ( e s e s Uođejem f doimo f f f ( e e s. s Oj posljedji edk m gooi d umjeso dosdšje pogeške možemo pmii pogešku pomožeu s koefiijeom e - s. Kko su o se ijeli ojei odje smo se iješili spoi deimli oje. lijedeći kok je ješje iiijli uje. Nime iiijlo ijedos pogeške posljmo. o ope možemo spisi:

29 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 9 ( ( s e f s e s e f s e f koo p doo. Još d se iješimo dojke u iiku i si ši polemi su iješei. Dojke ćemo se jedoso iješii ko d se pomožimo s. No d lijeoj si umjeso oe pogeške soji jei dosuk ijedos! o će s još pisilii d kod iod oe pogeške se pomožimo s dojkom e će se doii edom: pogešku ćemo koisii i ( ( ( ( ( s e f s e f s e s e f s e f ( ( ( s e s e f s e ( ( f f s e s e s e s e f s e s e f f d iiijlo dodjeljije peli u ( e s ( f f ( ( ( s e f e s e f s e f s e f u oe oke oduimje jediie od pogeške može se pisi f ( f s f Imjući u idu oe imjee može se pisi Besemo lgoim s ijelim ojeim. Pi ome će se umjeso oke koisii sdd f ok podumijejući d se pi ome gooi o ooj pogeški. Besemo lgoim s ijelim ojeim i ; i f ; *( e - s ; s ; f -( e - s ; fo( s ; < e ; { osijeli_piel( ; f f ; if( f > {

30 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE f f -*( e - s ; ; 5.6 KUOVI OD DO 9 d kd smo se iješili deimli oje ijeme d se iješimo i ogičej ei u kuoe. P idemo posupo. mje ćemo dii posupk s ijelim ojeim li ćemo imi slo u idu kko smo do og posupk po došli. P pod kuom od 9 lgoim d deimlim ojeim (oso ied io je eiedi. Nime ges ku je d eskočo i mi immo dijeljeje s ulom (i jeojo sili pekid pogm. No lgoim s ijelim ojeim em dijeljej p oo iše ije polem. Z kuoe od do 45 lgoim smo eć ieli. No šo smo se ogičili o podučje? Odgoo ope e žii u iosu ges ku. Nime om ielu o se keće u gim od ul do jed osigujući pi ome d ćemo se pomkom jed piel u deso pomkui mksimlo jed piel pem goe. No šo ko dopusimo d ges pose eći od? o či d ismo se jedim pomkom u deso mogli pomkui i iše piel pem goe (odeći ču o ome d i se e osijelii. Međuim pojljuje se polem u odeđiju koje se piele pi om pejju e osijelii. D e ulimo dulje u pe spe o oome ješeje ćemo požii jed dugi či. Ako je ku imeđu p i psise eći od 45 d je očio ku imeđu p i odie mji od 45! Zči ukoliko sd jedoso mijeimo osi pilikom posupk j umjeso polemičog išepielog pomk pem goe s skim pomkom u deso doimo mksimlo jedopieli pomk u deso s skim pomkom pem goe. I o je ješeje! e šo e pii je ispii je li ges ku eći od (j. ku eći od 45. Ako ije koisimo eć poi lgoim; ko je mijejmo uloge osim i kopimo lgoim. Eo implemeije: oid j_liiju(i s i s i e i e { i ; i f; if(e-s < e-s { *(e-s; s; f-(e-s; fo( s; < e; { osijeli_piel(; ff; if(f> { ff-*(e-s; ; else { e; ee; e; s; ss; s; *(e-s; s; f-(e-s;

31 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE fo( s; < e; { osijeli_piel(; ff; if(f> { ff-*(e-s; ; Fukij kee s ispiijem d li je lik po -u mj od like po -u. Ako je p je pod kuom mjim od 45 i koisi se eć iedei lgoim. Ukoliko je lik po -u eć od like po -u koiseći pomoću ijlu mjejuju se i koodie očk i slj se s jem. U pelji se u oom slučju može uočii još jed lik: fukiji osijeli_piel pedjemo pi pogled mijejee koodie. No imjući u idu d smo eć peodo pili jedu mjeu oo šo se mijej u ijli po je ijedos kompoee očke i ouo. 5.7 KUOVI OD DO -9 Oso lik od peodog slučj je okomio gije koje sd ide pem dolje umjeso pem goe. Zog og e umjii e ueći jed. Iso ko posupk pi čuju pogeške se poešo modifii o modifikije su čiso komeičke piode. Eo lgoim: oid j_liiju(i s i s i e i e { i ; i f; if(-(e-s < e-s { *(e-s; s; f(e-s; fo( s; < e; { osijeli_piel(; ff; if(f< { ff*(e-s; -; else { e; es; s; s; se; e; *(e-s; s; f(e-s; fo( s; < e; { osijeli_piel(;

32 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE ff; if(f< { ff*(e-s; -; Od imje u odosu kod koji pe pod kuoim od do 9 mogu se esi slijedeće: iiijl ijedos pogeške pomijeil je pedk kompoe se e ueć jed eć se smjuje jed kko je s > e ispiije ( e - s <( e - s peoeo je -( e - s <( e - s d i se poišio egi pedk eul lijeoj si 5.8 VI KUOVI Do sd smo odili slučjee kd smo se pi ju p gili od lije u deso. Oslo m je odii je p kojeg ismo eli i s des u lijeo. No oo m e eju posei lgoimi: ukoliko je p d ko d se s des u lijeo mjeom počee i še koodie doimo p koji se s lije u deso. oid j_liiju4(i s i s i e i e { if( s < e { if( s < e j_liiju(ssee; else j_liiju(ssee; else { if( s > e j_liiju(eess; else j_liiju(eess; Fukij oiso o pedim očkm poi odgojuću fukiju i pi ome po poei mijei počeu i kjju očku. Pisjeimo se šo smo eć implemeili: fukij j_liiju liije pod kuoim od do 9 u s < e fukij j_liiju liije pod kuoim od do -9 u s < e fukij j_liiju4 komiijući peode dije liije pod sim kuoim u poiolj odos koodi s i e

33 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 6. KONVEKNI POLIGONI 6. DEFINICIJA KONVEKNOG POLIGONA Poligo je lik koji sje slijedim poeijem di očk koje pedsljju oe poligo. Pi ome se poeuje i š očk s počeom. očke koje pedsljju oe poligo oči ćemo okom i gdje je i ideks. očke ćemo di u dom posou i edoslijed dj ii će očo defii je j edoslijed odeđuje kko ćemo poeii očke poligo. Poeije o poligo olj se liijm (pim koje čie idoe poligo. Bidoe ćemo oči okom i gdje je i ideks id. Može se uočii d je oj ido uijek jedk oju o poligo. Poligo je koeks ukoliko e posoji spoji poiolji diju očk poligo koj i polil i poligo. Jsije umčeje dje slik 6... Koeksi poligo Koki poligo MAEMAIČKI OPI POLIGONA Osoo šo će s kod poligo ieesii i pomoću čeg ćemo doosii e ključke jesu jeddže ido poligo. U oom mju ogičii ćemo se poligoe u dije dimeije. Pem slii 6.. id i odeđe je s oim i i i... i < i < i Pi ome ćemo idoe pikii u omogeom posou. e koodie poligo pije upoe pošiii ćemo omogeim pmeom udući d oe poligo djemo u dom posou.

34 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE Pmesk jeddž p (u dom posou glsi: λ i < i < λ i ( i i ( i gdje je poiolj očk p. i Jeddž p u omogeom posou može se doii ko -poduk o p ko šo je opiso u memičkom uodu: i j k i i i i i i [ i j k ] ( i i [ i j k ] i < i < i i i i i i i j k i i i i [ i j k ] ( i [ i j k ] i i i i Ok ik pedslj k-u kompoeu očke i. Kko smo se ogdili D poso umjeso i mogli smo pisi i umjeso i mogli smo pisi i. 6. OIJENACIJA VHOVA POLIGONA Poligo može imi oe de ko d se jioim oilskom gimo u smjeu kljke su ili u smjeu supoom od kljke su. Oijeij o ii će m i u dljjim mjim p je užo ojsii kko se is može ispii. U pogllju 6. ičuli smo jeddže ido. N emelju i jeddži može se usoii u kojem su odosu očk i di id odoso p kojem id leži (id p pu ispod p. Mudim odiom ispie očke jedoso ćemo doći do spoje o oijeiji o. Pogledjmo sliku 6...

35 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE je ispod (u očei smje kej li se deso 6... Bid odeđe je oim i. U kkom je odosu j id s očkom? očk li ispod id! Iso ijedi i id odeđe oim i i očku 4. očk 4 je ispod id. Oiđemo li ko se idoe u kug ispiujući odos og id i pog slijedećeg poligo eul je isi! Pogledmo li kko su di oi šeg poligo idimo d su di u smjeu kljke su. Oo okiće dje sluii kieij koji i se mogo koisii o pije ego šo poglsimo kieij ispim pogledjmo i dugi slučj. N slii 6... pik je poligo s oim dim u smjeu supoom od smje kljke su. 4 4 je id (u očei smje kej li se lijeo 6...

36 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 6 Pogledmo sd odos id odeđeog oim i i očke. očk li se id id. ličo se ope može idjei d oo ijedi ski id i pi slijedeći poligo. Dkle kieij je isp! Eo či kko pojeii oijeiju o poligo: Voi poligo di su u smjeu kljke su ukoliko ijedi: j i < i < ( i j i j j i - i Voi poligo di su u smjeu supoom od smje kljke su ukoliko ijedi: j i < i < ( i j i j j i - i Ukoliko usoimo d je poligo d u jedu oijeiju o m e supo oijeij o d se jedoso može mijeii edoslijed o poligo i pooo pečui jeddže ido. Imjući u idu d dimo s koeksim poligoom može se jedoso poki slijedeće: ukoliko ijedi d j i < i < ( i j i < j j i - i dkle d posoji jed (pi i d koj odeđuju id k d se li ispod id d mo ijedii: j i < i < ( i j i j j i - i odoso d o ijedi ski. Oo poili i čijeie d je poligo koeks. Iso ko se može poki i d ukoliko ijedi j i < i < ( i j i > j j i - i dkle d posoji jed (pi i d koj odeđuju id k d se li id id d mo ijedii: j i < i < ( i j i j j i - i odoso d o ijedi ski. KIEIJ ZA ODEĐIVANJE IPA POLIGONA Peod d uje mogu se složii u kieij koji odeđuje ip poligo: koeks ili kok. Možemo eći oko: poligo je koeks ukoliko ijedi: j i < i < ( i j i j j i - i ili j i < i < ( i j i j j i - i Koeksos ije d ukoliko eki i udimo d je ispod (id id i (odeđeog oim i i i d i si oi j moju ii ispod (id si ido j

37 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 7 poligo. Ukoliko pk udimo d su eki oi id eki ispod odgojućeg id d je poligo siguo kok! No odje iečei kieij možemo iskoisii i dugi či. Ukoliko siguo mo d je poligo koeks d se odeđije oijeije o sodi jedo jedio ispiije! Np. umemo očku i id (odeđe očkm i. Ukoliko je ispod oijeij je u smjeu kljke su; ukoliko je id oijeij je u smjeu supoom od smje kljke su. Jedio šo se odje epediđeog može dogodii jes d je poligo d "čudo" p d leži idu. No d se jedoso pomkemo slijedeći id i slijedeću očku. 6.4 ODNO OČKE I POLIGONA Želimo udii u kkom je odosu poiolj očk i poligo (je li očk uu poligo ili i. o možemo pii sličim posupkom ko i kod pojee oijeije ido. Poeo je pogledi odos skog id i de očke. Iso ko je poeo poi oijeiju ido poligo. Pem slikm i 6.4. kieij glsi: očk je uu poligo ukoliko su oi poligo di su u smjeu kljke su i ijedi: ( i i i odoso iječim: očk je uu poligo ko su oi poligo di u smjeu kljke su i očk je ispod skog id. očk je uu poligo ukoliko su oi poligo di su u smjeu supoom od smje kljke su i ijedi: ( i i i odoso iječim: očk je uu poligo ko su oi poligo di u smjeu supoom od smje kljke su i očk je ispod skog id. I memički "pmeo" kj: očk je i poligo ukoliko ije uu.

38 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE je ispod (u očei smje kej li se deso jeid (u o čei smje kej li se lijeo je id li je ispod BOJANJE KONVEKNOG POLIGONA Posoji ekoliko či ojje poligo. U sku će ii opis posupk s puujućom odoom kom. Idej je slijedeć: puši ćemo odoe ke i pii gdje se sijeku s poligoom (j. jegoim idoim. Doii ćemo ili ul ili d sjeiš. Ukoliko sjeiš posoje spojii ćemo i odoom liijom de oje. D ismo osiguli d sku ku sjeiš uijek posoje pije ojj poći ćemo ko se oe poligo i pmii jeću i jmju -koodiu. oim podkom odou ku ćemo puši se -e od mi do m (udući d je k po p kos žejem sjeiš s sim km čiji se keće od mi do m poći ćemo ijeli poligo. Pilikom polsk ko očke koiso će ii i pmii jmju i jeću koodiu. Opis idej čii se lo jedosom o čuski je dos je. og ćemo si uesi dode olkšie i iskoisii čijeiu d ojimo koeks poligo. U om slučju idej je slijedeć. Poligo ekko iuiio možemo podijelii lijei dio (gdje oi su pem

39 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 9 ećim ijedosim i desi dio (gdje oi pdju pem ižim ijedosim pem slii V 4 V V 5 V V Lijei idoi očei su podeljo dok su desi poučei oičom liijom žii ćemo sjeiš s sim idoim (slik 6.5. i pmii jioe koodie ( eć mo; o je koodi sme ke i o slijedeći či: lijee idoe pmii ćemo oo sjeiše koje im jeću koodiu i j očii s L dese idoe pmii ćemo oo sjeiše koje im jmju koodiu i j očii s D Nko šo đemo sjeiše s sim idoim isi ćemo liiju imeđu L i D koodi isii. Fomlo idoe možemo podijelii lijee i dese slijedeći či: id i odeđe oim i i i je lijei ukoliko je i < i. id i odeđe oim i i i je desi ukoliko je i > i.

40 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 4 m V 4 4 V V 5 L L L D 5 D 4 V 5 mi V mi m UKUA PODAAKA ZA PAMĆENJE KONVEKNOG POLIGONA Pi opisu poligo ekli smo d poligo im ooliko ido koliko im o. og elemei dio sukue koj pmi podke o poligou možemo uei pmćeje jedog i jedog id. Poligo će se d ssoji od oki suku. Kko oe poligo djemo u pielim pmćeje koodi mogu poslužii ijeli ojei. Iso ko oiom d jeddže ido čumo e dijeljej si koefiijei mogu ii jelooji. Npome: sukue su pise -ii opeijski sus e ok i podumije - ii ijeli oj s pedkom; d pod DO-om oke i e pomijeii u log. Pmćeje očke u D s jeloojim koodim: pedef su { i ; i ; iokd; Pmćeje koefiije id u D s jeloojim koefiijeim: pedef su { i ; i ; i ; ibidd;

41 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 4 Pmćeje elemeog dijel poligo: pedef su { iokd V; ibidd Bid; i lijei; ipolelem; Elemeu lijei piduže je ip i u edosku pikldijeg ip. ip koji i jolje odgoo io i oole koji u C-u e posoji. 6.7 FUNKCIJE ZA AD A POLIGONIMA Isje poligo slou: oid CjPoligoKo(iPolElem *poleli { i ii; i -; fo( i ; i < ; i { j_liiju4(polel[i].v. polel[i].v. polel[i].v. polel[i].v.; i i; Fukij jedoso spj d po d u smjeu kko su di. pj se i ši i počei kko i se poligo oio. Agumei fukije su polje eleme poligo e oj eleme polj. čuje koefiije poligo: oid ujkoefpoligoko(ipolelem *poleli { i ii; i -; fo( i ; i < ; i { polel[i].bid. polel[i].v.-polel[i].v.; polel[i].bid. -(polel[i].v.-polel[i].v.; polel[i].bid. polel[i].v.*polel[i].v. - polel[i].v.*polel[i].v.; polel[i].lijei polel[i].v. < polel[i].v.; i i; Fukij ču koefiijee ido deći pi ome -poduk d po d. Jeddž se doije u omogeom posou očke se u omogee peju pošiijem s omogeim pmeom ios. Dodo se id klsifii ko lijei ukoliko je d s oim od koji je pi ispod dugog. O klsifikij ii će isp smo ukoliko je poligo d oim u smjeu kljke su. Ukoliko su oi di supoo d će poslje si lijei po oči d je id desi. Bojje koeksog poligo: oid PopuiPoligoKo(iPolElem *poleli { i ii;

42 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 4 i mi m mi m; doule LD; /* žeje miimli i mksimli koodi */ mi m polel[].v.; mi m polel[].v.; fo( i ; i < ; i { if( mi > polel[i].v. mi polel[i].v.; if( m < polel[i].v. m polel[i].v.; if( mi > polel[i].v. mi polel[i].v.; if( m < polel[i].v. m polel[i].v.; /* Bojje poligo: ski imeđu mi i m di... */ fo( mi; <m; { /* Podi jeće lijeo i jmje deso sjeiše... */ L mi; D m; i-; fo( i ; i < ; ii { if(polel[i].bid.. { if(polel[i].v. { if(polel[i].v.<polel[i].v. { L polel[i].v.; D polel[i].v.; else { L polel[i].v.; D polel[i].v.; ek; else { (-polel[i].bid.*-polel[i].bid./(doulepolel[i].bid.; if(polel[i].lijei { if( L < L ; else { if( D > D ; j_liiju4(okui(lokui(d; Fukij je implemeij opisog posupk u pogllju 6.5. Fukij očekuje d su koefiijei ido eć ičui. Pogledjmo euk kko se čuju sjeiš s idoim. Posoje d slučj: Bid je odo (i k odo! e posoji opsos d se id i k sijeku u puo(!!! očk. Bid je odo ukoliko mu je koefiije jedk uli. d ope immo d slučj: ili se id i k uopće e sijeku je su ličiim -im ili se sijeku u sim očkm je su isim -im. Ukoliko se e sijeku d jedoso peskčemo dju liu i sljmo s odom slijedećeg id. Ukoliko se sijeku d ko lijeo sjeiše uimmo koodiu oog kod kojeg je o mj ko deso sjeiše uimmo koodiu oog kod kojeg je o eć. Zim pesjemo s djom liom sjeiš (je kod koeksog poligo o ioko e posoje i mo liiju odeđeu s pođeim lijeim i desim sjeišem.

43 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 4 Bid ije odo e posoji očo jedo sjeiše. d polimo o sjeiše i oiso o ome je li id lijei ili desi pmimo o sjeiše ko lijeo ili deso (odoso pmimo g smo ukoliko je lijeo i eće od euo pmćeog lijeog odoso ukoliko je deso i mje od euo pmćeog desog. Poje je li poligo koeks e koj je oijeij o poligo: oid PojeiPoligoKo(iPolElem *poleli i *ko i *oij { i ii; i id ispod ; ispod id ; i -; fo( i ; i < ; ii { if(i> i; polel[i].bid.*polel[i].v. polel[i].bid.*polel[i].v. polel[i].bid.; if( ; else if( > id; else ispod; *ko ; *oij ; if( ispod { *ko ; else if( id { *ko ; *oij ; Fukij se si ojju koliko o leži id odgojući ido koliko ispod koliko jim. Podk koliko o leži odgojućim ido edud je i eo i ii ul. Zključije je slijedeće: ispod Poligo je koeks je su d si oi id odgojući ido. Oijeij je u smjeu supoom od smje kljke su. id Poligo je koeks je su d si oi ispod odgojući ido. Oijeij je u smjeu kljke su. id! && ispod! Neki su oi id eki ispod odgojući ido. Poligo je kok i ifomiju o oijeiji u ijli oij e igoii. lik 7.. lik 7..

44 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 44 7 KONKAVNI POLIGON 7. DEFINICIJA KONKAVNOG POLIGONA Pilikom upoj s koeksim poligoim eć smo u iše spomijli koke poligoe - ko ešo šo komplii si. D je oo isi ujeii ćemo se u oom pogllju. Koki poligo em ikki ogičej odose imeđu soji ido i pog slijedećeg. Koeksi poligo odje je posljo jse jee: keuši od pog id poligo ski slijedeći id skeće s ili ulijeo ili udeso (li uijek iso; p. si idoi s skeću u lijeo šo odm gooi i o oijeiji o u smjeu kljke su. Koki poligo odje m dje popuu sloodu. Dugi či defiiije koeksosi ijeo je d spoji ilo koje dije očke poligo leži isključio uu poligo. Koki poligo se odiče i oog je. poji ilo koje dije očke može koč oj pu ilii i poligo i pooo ulii u jeg (pi čemu je oj ilk jedk oju ulk je se š očk spojie ipk li uu poligo. Pimje i jsu liku imeđu oe dije se poligo dje slik 7... Pod je pik koeksi poligo pod koki poligo. Koeksi poligo Koki poligo POVJEA KONKAVNOI POLIGONA I OIJENACIJA VHOVA D li je poligo kok može se pojeii lo jedoso. Nime dooljo je pojeii d poligo ije koeks pem kieiju edeom u pogllju 7.. Ukoliko je koeks d ije kok; ukoliko ije koeks d jes kok. duge se kokos i koeksos može se gledi ko ele i piode ojee. ki piodi oj ujedo je i el. Iso ko ski koeksi poligo ujedo je i kok; koeksos je smo skup pil koj ogičju kokos oo šo oemo koeksim likoim ( u oom slučju poligoim. No ski lgoim koji di koke poligoe dii će i koekse je su oi smo speifič podskup koki. Comme: Oo se odosi pogllje o koeksim poligoim e oo! Pi koji X sljs!

45 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 45 Oijeiju o poligo možemo pojeii slijedeći či. Ukoliko su oi poligo di u smjeu kljke su d posoji em jed id k d su si oi ( ime i idoi ispod og id odoso memički fomulio: ( i( j i < ( i( j i > j Pisjeimo li se koeksi poligo uočii ćemo d je mo uje io gooo ideič. lik je il smo u čijeii d og koeksosi ukoliko je posojo em jed i d je o ijedilo se i! Ukoliko su oi poligo di u smjeu supoom od smje kljke su d posoji em jed id k d su si oi ( ime i idoi id og id odoso memički fomulio: j Pisjeimo li se ope koeksi poligo uočii ćemo d je mo lik il smo u čijeii d og koeksosi ukoliko je posojo em jed i d je o ijedilo se i! 7. MAEMAIČKI OPI KONKAVNOG POLIGONA Z koke poligoe koisii ćemo ideiče sukue i jeddže ko i koekse poligoe. I odje je ski id odeđe s dije očke. Bido kođe im očo oliko koliko i o. ki id odeđe je elijom: λ i < i < λ i ( i i ( i i gdje je poiolj očk p kojem leži i id λ upo poiolj očk smog id. 7.4 ODNO OČKE I KONKAVNOG POLIGONA D ismo ispili u leži li poioljo d očk uu poligo ili e leži kod koeksi smo poligo dli jedos lgoim koji je dio ou pojeu osljjući se koeksos i olkšie koje o doosi. Odje ćemo žlos moi posegui dugim kompliiijim meodm. Jed od ji si se ideji d se i de očke pusi k (polup koji počije u doj oči e se ioji koliko pu k sječe poligo (slik 7.4..

46 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 46 očk je i poligo očk je uu poligo Lko je usoii d ukoliko je j oj p očk je i poligo (slik ukoliko je j oj ep očk je uu poligo (slik Ojšjeje je jedoso: keimo po i od počee očke i pimo s sjeiš ke i poligo. Umimo p. d je poče očk ke uu poligo. Po sjeiše koje iđemo oči će il ke i poligo. Ukoliko posoji još jedo sjeiše o će oči d je k ope ušl u poligo o d će siguo posoji još jedo sjeiše gdje će k pusii poligo i ko edom. Bojjem oi sjeiš usoii ćemo d i je ep oj! Možemo ključii: očk je uu poligo ukoliko k pouče i e očke sječe poligo ep oj pu. Pooimo li peodi posupk li u peposku d je k i poligo d će po sjeiše oči ulk u poligo p će siguo posoji još jedo koje će oči ilk i poligo; i ope se se može pooii koč oj pu. No lik je oči: sd je sjeiš uijek p oj! Dkle očk je i poligo ukoliko k pouče i e očke sječe poligo p oj pu. I defiiije se može uočii d se e poslj ikko ogičeje smje ke; oćemo li ju poući pem goe pem dolje ili kmo eć popuo je poioljo. očk je uu poligo ukoliko k pouče i e očke sječe poligo ep oj pu. očk je i poligo ukoliko k pouče i e očke sječe poligo p oj pu. Goj m defiiij dje mogućos d odedimo odos očke i poligo o kko je defiiij jedo elos ešo ssim dugo e pogledi ekoliko speifiči slučje koji se mogu pojii e idjei šo učiii s jim. U mjim ćemo ući odoe ke je su oe jjedosije memičku odu. PECIFIČNI LUČAJEVI. Zd očk se li idu. U om slučju smi ćemo d očk pipd poligou odoso d je uu poligo i posupk se pekid.. Zd očk se poklp s om poligo.

47 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 47 kođe ćemo smi d je očk uu poligo i posupk se pekid.. jeiše se poklp s om poligo idoi i og isu pleli s kom i e ijedi. i. Mogući slučjei koji su oućei oim pilom piki su slii U slučju i k e uli u poligo e sjeiše e igoii ili oji ko dosuko. U slučju i d k e puš poligo e oo sjeiše kođe e igoii (ili oji ko dosuko. U slučju e i f k i poligo ili e oo sjeiše e oji (i o ko jedosuko. I kočo u slučju g i k i uli u poligo e oo sjeiše kođe e oji (i o ko jedosuko. 4. jeiše se poklp s om poligo li jed od ido i og je plel s kom i e ijedi. i. lučjei su piki slikom Pojedii dijeloi slike poklpju se s dijeloim slike Pilikom odlučij šo učiii s sjeišim sd iše ije dooljo pomi smo d id i og eć e pii i idoe ko sjeiš se dok su oi pleli s kom ko og pogledi pi slijedeći id koji ije plel s kom. d se emelju počeog id i pođeog id koji ije plel s kom doosi odluk. U slučjeim i d sjeiš e ili oji ko dosuk ili i odii je k ili je il i poligo e osje i poligo ili je il uu poligo e osje uu. U slučjeim e i f k i poligo ili u slučjeim g i k i uli u poligo. U s čeii slučje sjeiše e oji ko jedo. Jedos kieij oj slučj može se doijei emelju podk koji su idoi lijei koji su desi (defiiij lijeog i desog id d je u 6.5 pogllju ukoliko je id odo d ije ii lijei ii desi eć je eul. Pilo je slijedeće: ukoliko se ip id e mijej sjeiše e oji; iče g e odii. Np. kećemo s lijeim idom p slijedi odo id koji em ujej i ko jeg ope slijedi lijei id; d sjeiše e oji. Comme: misli se pogllje o koeksim poligoim! Pi X! Može se uočii d je oj slučj (4 pošieje slučj pi čemu je mijeje odoim pem. Zog og se slučj može igoii je će g slučj 4 ispo odii. 5. Bid je plel s kom. Ukoliko se id e poklp s kom em sjeiš i ide se dlje. Ukoliko se id poklp s kom li d očk leži i id sjeiš se igoiju je će ii ođe ko dio slučj 4. Ukoliko se id poklp s kom i leži idu očk je uu poligo i posupk se pekid. Oo su iše mje si imljii slučjei koji se mogli dogodii. e uki još jed iees delj koji može uii u počeku. Kd oilimo id idom u poi sjeišim i leimo sjeiše koje se poklp s om poligo i og (ko i i skog ile očo d id; jedom idu je o š očk dugom idu je o poče očk. Zemije oe čijeie doelo i s do dosukog ojj sjeiš i pogešog

48 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 48 eul. Zo ćemo se u sku dži jedosog pil: ukoliko se sjeiše poklopi s počeom očkom id d sjeiše igoimo je ćemo g odii kod oog id kojemu će o ii š očk. Zpo d smo sjeiše eć odili je kojim god smjeom išli pem u poligo (i šem sjeišu po ćemo ići id koji počije u peodom u i kojemu je sjeiše š očk e ćemo g u odii. U sku ćemo poki pimje implemeije oog lgoim u kod. i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i d i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i e f g lik 7.4..

49 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 49 i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i d i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i e f g MAEMAIČKI OPI POBLEMA Ne uimjući u oi d je poligo oe (di šo jedosije ideksije; poslije se lko se pilgodi jeddžu id poligo možemo pisi: ( λ λ i i i pi čemu je ilo koj očk id. Z ku ćemo uei odo polup koji počije u doj oči Z e jeddžu možemo pisi: Z ( µ Z µ pi čemu je Z ilo koj očk ke. Bid i k sijeku se u ekoj oči p ijedi: Z odoso ušjem i i Z : ( Z i i λ i ( µ spisijem po kompoem doiju se dije jeddže s dije epoie:

50 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 5 ( λ µ Z ( i i i i λ i i Z Podiskuijmo jpije dugu jeddžu. I je možemo jedoso ičui pme λ ukoliko g jeddž sdži. Nime ukoliko je id plel d je i jeddž peli u: λ Z i i i Ukoliko je i Z d jeddž em ješej i id i k se e sijeku. Ukoliko je Z j. ko se id i k poklpju d je ješeje ilo koji λ o i kko je λ odeđe jeddžom id ko ješeje se može uei ilo koji λ. Kko se posup u oim slučjeim kd su id i k pleli odeđeo je u 7.4 pogllju pod "speifičim slučjeim". Ukoliko id i k isu pleli j. ičui pme λ ko: Z λ i i i i i d se i duge jeddže može e se ušjem u pu eliju doi i pme µ: µ i i ( λ i Z D i se id i k sjekli mo ii dooljeo: λ i µ. Ukoliko ešo od oog e ijedi o ukuje d se p kojem leži id i p kojem leži k sijeku li i smog id odoso sme ke. 7.6 C IMPLEMENACIJA POVJEE ODNOA OČKE I POLIGONA Osljjući se peodi memički opis polem lgoim koji di ispiije dde se lo jedoso implemeii. Fukiju koj će oii ispiije li smo okukokpoli. Fukij očekuje d su peodo ičue jeddže ido i odeđei lijei i desi idoi (dkle d je po fukij ujkoefpoligoko. Fukij ć ue ukoliko je očk uu poligo odoso flse ukoliko ije. ool okukokpoli(ipolelem *poleli i Z i Z { i i j j i sje; i i_mi i_l; doule mi l; i -; sje ; fo( i ; i < ; ii { if( i > i ;

51 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 5 if(polel[i].v.polel[i].v. { // Bid je odo p ko ije i odimo g if(polel[i].v.! Z oiue; i_l polel[i].v. - Z; i_mi polel[i].v. - Z; if( i_mi i_l eu ue; //slik kop_ if( i_mi> && i_l< i_mi< && i_l> eu ue; //slik kop_ // ie odi id je g odujemo dugdje oiue; l (doule(z-polel[i].v./(polel[i].v.-polel[i].v.; mi l*(polel[i].v.-polel[i].v.polel[i].v.-z; if( mi< oiue; // e pipd i if( l< l > oiue; // e pipd idu if( mi eu ue; // s je e ok if( l < { sje; oiue; // Ukoliko je l emo pogledi jos ekoliko si j i; jj; wile( { if( j> j; if( j> j; if(polel[j].v.!polel[j].v. ek; j; j; if(polel[i].lijei polel[j].lijei sje; eu ((sje%; Vijle mi i l e jioe jelooje ičie i_mi i i_l pedsljju pmee µ i λ. Vijl i im ulogu ideks i i fomul ijl i im ulogu ideks i u fomulm. 7.7 BOJANJE KONKAVNOG POLIGONA Ok oč epopujei piel (slik Polem ojj kokog poligo iješii ćemo osljjući se eć seče j o odosu očke i poligo. Nime mo smo učili kko polii sjeiš ke i poligo o će m u sku ii od ključog čj. Pogledjmo jpije jed jedos slučj pik slii U u sliku idej ješje polem ojj mogl i glsii

52 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 5 oko. Umjeso ke pedsljee ko polup uei ćemo ku - p. Posii ćemo ku odeđei i poći s sjeiš ke i poligo. Oi će sjeiš o ii p oj! Nek sjeiš im. oii ćemo sjeiš po koodim. Zim ćemo doiei sjeiš pomi ko segme e ćemo ski segme oojii jedosim polčejem liije imeđu počee i še očke segme i isii. Posupk ćemo pooii ski imeđu mi i m pi čemu su mi i m odeđei miimlom i mksimlom koodiom o poligo. U sku e pojsii šo sjeiš soimo i šo i gupimo u segmee po d sjeiš. Odgoo po pije poili i čijeie d oiso o ome od kud keemo žii sjeiš i oiso o ome kko je poligo d kei ćemo se po osi epo či. Jedom kd pođemo s sjeiš soijem po ijedosim (-i su sim isi osigumo d po sjeiše ude oo koje pedslj ulk ke u poligo slijedeće jei ilk p slijedeće ope ulk p ilk... Odgoo dugo pije slijedi i peode ečeie: ku e oji smo u oom dijelu gdje poli ko poligo. A ko poligo poli imeđu sjeiš koje oč ulk i sjeiš koje oč ilk. Zči imeđu p d p imeđu dug d (ećeg i čeog p imeđu eć d (peog i šesog id. Uesi ćemo si još jedu dodu pogodos: ukoliko sjeiše pd u sm šiljk poligo sjeiše ćemo odii ("šiljk" ćemo defiii ko ski i kojeg ile idoi supoi usmjeej: lijei i desi ili desi i lijei. lik pokuje odeđije sjeiš ku isii dok pokuje ojje segme koji se le u poligou. lik pikuje ooji ijeli poligo. Poglede li mlo pžljiije ooji poligo uočii ćee d ii jed -šiljk koji gled i poligo pem (i o pem goe ili pem dolje ije ooj dok oi-šilji koji gledju u poligo jesu ooji. Kko o ojsii? P o poili i odij si sjeiš koj se poklope s šiljkom. ko upo spomeui oi-šilji usmjeei pem goe ili dolje se igoiju i e oj i se. Ukoliko ismo oe oe ueli u oi moli ismo i uei ko dosuke! U supoom ukoliko i ojimo li ko jedosuke dogodii će m se siuij pik slii ki šiljk služi ko jed očk segme. Pogledmo li lik slii d pi šiljk poče segme dugi šiljk g ši; eći g poče i dlje g iko e ši. No og og ojimo segme koji se uopće e li u poligou! Pogledmo li šiljke koji gledju u ijelo d imeđu pog i dugog šiljk poligo uopće ije ooj. log je ope jedos: jski id poligo počeo je segme koji je pi šiljk šio. e do dugog šiljk iš se e oj i ek dugi šiljk poče segme koji se ši ilskom i poligo i o se ooji u edu. Odje opisi polem može se ispii lo jedoso: ski šiljk e uei u oi i o ko dosuko sjeiše! U om slučju jski šilji pem goe ili dolje ii će poglšei segmeom duljie piel; posljedi je ojje smog. Šilji pem uušjosi poligo kođe eće kii ojje: ski će šiljk og soje dosukosi šii eui segme i odm i ise očke počei oi! ko ćemo ijeći se poleme s slike i doii ispo ooji poligo (slik

53 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE Jedos lgoim koji može poslužii demosiju oog ede je u sku. 7.8 C IMPLEMENACIJA BOJANJA KONKAVNOG POLIGONA ( Fukij koj implemei ideju du u pogllju 7.7 pik je u sku. Fukij očekuje d su idoi poligo eć ičui. oid OojiKokPoli(iPolElem *poleli { i i j i sje ; doule mi l; i mi m; i *sjeis; i s; sjeis (i*mllo(sieof(i*; /* eje miimli i mksimli koodi */ mi m polel[].v.; fo( i ; i < ; i { if( mi > polel[i].v. mi polel[i].v.; if( m < polel[i].v. m polel[i].v.; fo( mi; <m; { i -; sje ; fo( i ; i < ; ii { if( i > i ; if(polel[i].v.polel[i].v. { // Bid je odo oiue; l (doule(-polel[i].v./(polel[i].v.-polel[i].v.; mi l*(polel[i].v.-polel[i].v.polel[i].v.; if( l< l > oiue; // e pipd idu if( l < { sjeis[sje]okui(mi;

54 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 54 oiue; // Ukoliko je l emo pogledi je li šiljk if(polel[i].lijei polel[i].lijei { // ije siljk oji jedosuko sjeis[sje] polel[i].v.; else { // je siljk oji dosuko sjeis[sje] polel[i].v.; sjeis[sje] polel[i].v.; // d su po s sjeis; // e i soii fo( i ; i < sje; i { i i; fo( j i; j < sje; j { if(sjeis[j]<sjeis[i] ij; if( i! i { s sjeis[i]; sjeis[i]sjeis[i]; sjeis[i] s; // i odoim liijm pospji segmee fo( i ; i < sje; ii { fo(sjeis[i]; <sjeis[i]; { osijeli_piel(; fee(sjeis; N slii pik je eooji poligo slii pik je j isi poligo ooj oom fukijom. Fukij je sslje od eć opisi osoi dijelo:. žeje miimle i mksimle koodie. pesijeje poligo s sim km u pođeom ielu. žeje sjeiš sku ku jioo soije i ojje segme odoim liijm euom -u. Z poee pmćej sjeiš dimički se loi spemik je upijed ije moguće i kk se poligo oj. Šo se iče oj eleme koje spemik mo pmii lko je poki d poligo i k e mogu imi eći oj sjeiš ego šo poligo im o p čk i u ojje eki sjeiš ko dosuk (šilji u šem pimjeu. Zo se loi spemik koji može piii ooliko sjeiš koliko poligo im o čime se ijeg poe slog dimičkog eloij spemik skim pođeim sjeišem.

55 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 55 lik lik lik 7.8. kođe m doč eule ojj jedog poligo. Pod je is eooji poligo pod jego ooj eij... Zpo mom se ispiči li oo pod siguo ije jego ooj eij eć ešo... U čemu je polem? Poligo s slike 7.8. doio je šoj fukiji ešo oog - odoe idoe! I o je mjeso gdje se š fukij - spd! Zšo je o ko i šo se odoi idoi doose s soom ojsii ćemo u slijedećem pogllju. lik lik BOJANJE KONKAVNOG POLIGONA PO DUGI PUA U peodim poglljim dli smo ideju ojje kokog poligo i poliili jeiu eliiju. Vidjeli smo d lgoim di ko dugo dok emmo u igi odoe idoe. Ukoliko se eć oili šo su m polemiči š odoi idoi eo mlog podsjeik: eć pi lii odos očke i poligo imli smo polem s isim! log ome il je plelos ke i id je smo d imli ili ii jedo ili eskočo mogo sjeiš! j se je polem peio i odje. D smo koisii ku pod kuom od 45 d m odoi idoi e i ili polem - polem i ili idoi pod kuom od 45. Kku god ku odli oo e možemo ijeći. Zo smo ueli jjedosiju moguću ku - i šili s polemičim odoim idoim. Pogledjmo sd se slučjee pesijej ke i id.

56 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 56. Zk i id su pleli (j. id je odo. Bid se oduje je će ii lii u jedom od slijedeći kok.. Zk i id se e sijeku. Bid se oduje.. Zk i id se sijeku po uušjosi id i id ije odo. jeiše se oji ko jedosuko. 4. Zk i id se sijeku u počeoj očki id i id ije odo. jeiše se oduje je će ii ođeo u jedom od slijedeći kok. 5. Zk i id se sijeku u šoj očki id i id ije odo. Z liu oog slučj pogledi slijedeću lisu. Defiijmo pije sk pošie pojm šiljk. Vodoe idoe smi ćemo eulim u mje ćemo uei osle idoe. V je šiljk ukoliko doli id i odli (pi koji ije odo id imju supo usmjeej j. lijei i desi ili desi i lijei. Pimjei oko sćei šiljk piki su slii do d. Ukoliko se k i id sijeku pem očki 5 i goje lise d su mogući slijedeći slučjei: id ko -sjeiš ije odo j. immo šiljk u užem smislu JECIŠE JE ZAKA E PIJE ZAKA E POLIJE LIKA AKCIJA ŠILJAK JECIŠA NALAZI JECIŠA NALAZI DA IZVAN IZVAN oji sjeiše dosuko DA UNUA UNUA odi sjeiš 7.4..d NE UNUA IZVAN 7.4..e oji sjeiše jedosuko 7.4..f NE IZVAN UNUA 7.4..g oji sjeiše jedosuko id ko -sjeiš je odo j. immo šiljk u pošieom smislu JECIŠE JE ZAKA E PIJE ZAKA E POLIJE LIKA AKCIJA ŠILJAK JECIŠA NALAZI JECIŠA NALAZI DA IZVAN IZVAN pmi počeo i šo sjeiše DA UNUA UNUA odi sjeiš 7.4..d NE UNUA IZVAN 7.4..e pmi šo sjeiše 7.4..f NE IZVAN UNUA 7.4..g pmi počeo sjeiše Pogledom oje lie lko se uoči lik: si su odgojući elemei li isi osim šo je šiljk i dijel u dijelu odoim idoim uče u dije očke: počeu očku šiljk i šu očku šiljk. Aliom p i sup lie može se doći do slijedećeg ključk: šiljk e mijej "oiše" ke j. ko je k pije dolsk šiljk il u poligou i ko odlsk osi će u jemu. I li se kođe idi d je odeđije či posupj s idoim poeo poi gdje se je k lil pije dolsk u sjeiše i kmo ide ko og. Oe podke ijeme žej sjeiš žlos e mo!

57 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 57 iuij pi pogled igled edo. No smo pi pogled. Ključo odlučije šo učiii s sjeišim je poje "oiš" ke u om euku. Pisjeimo li se kko žimo sjeiš očio je d u om euku e spolžemo om ifomijom. No umjeso og možemo pii ešo dugo: možemo poći s sjeiš e d iš igoimo. Nime pilikom žej sjeiš mo d li je slijedeći id odo ili ije; o je jmji polem. Ukoliko iđemo šiljk u užem smislu (dkle ii jed id ije odo pmii ćemo sjeiše ko dosuko. Ukoliko iđemo i kojeg odli odo id pmii ćemo počeu očku (sjeiše i šu očku (poček pog eodoog id. U o sko sjeiše ćemo pmii pipd li šiljku ili e e pipd li "oičom" sjeišu (očk i peode lise ili iimi (sjeiš pem očki 5 i peode lise. Pimje okog odeđij ido pik je slii Ok s u oku sjeiš oč pipdos šiljku dok ok! oč sjeiše-iimku. slike je jso idljio d se sjeiš-iimke odeđee oj či uijek pojljuju u poim. Nko šo oj či pođemo s sjeiš u skldu s lgoimom ćemo i i soii. I sd se poslj pije: "šo sd mo o i"? Gdje je k il pije dolsk u po sjeiše? Budući d k doli i egie eskočosi poligo počije u ekoj kočoj očki k je očio il i poligo! I s oom ifomijom i ipiijom sjeiš poedei u peodom koku mo se! Nime ko sd iđe sjeiše šiljk k osje i! Ako iđe sjeiše koje ije šiljk k će ući u poligo. N oj či možemo jedoso pii šo se dogđ s kom i u možemo poesi filije epoei sjeiš. Dijgm odlučij pik je u sku.

58 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 58 Je li sjeiše iimk? DA NE Jesmo li i poligo? Pii sjeiše. Ieij oiše ke. Nsi s slijedećim sjeišem. DA NE Je li sjeiše šiljk? Je li sjeiše šiljk? DA NE DA NE Pii oo i slijedeće sjeiše. Idi dlje s sjeišem ko o d. Kopij po sjeiše i igoij slijedeće. Ieij oiše ke. Idi dlje s sjeišem ko o d. Igoij slijedeć d sjeiš. Nsi s sjeišem i o d. Odi oo sjeiše pii slijedeće. Ieij oiše ke. Nsi s sjeišem i o d.

59 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 59 Nko šo smo poeli soije sjeiš pem peodom dijgmu poeo je pojeii sko sjeiše i po poei ek odii. Oo se može iesi ko dodi kok pije smog spjj segme. Iso ko kko posupkom e umećemo o sjeiš ijeli posupk možemo iesi koiseći smo polje koje smo eć loili pmćeje sjeiš. Eo i ekoliko modifikij koje e poesi d i se omogućio d oog lgoim. O sjeišu smo do sd pmili smo koodiu. Zog poee ipiije sjeiš momo uesi dodu siu koj će čui opis sjeiš. Zog og ćemo uesi jedu jedosu sukuu koj će opisii sko sjeiše: pedef su { i ; usiged Vs; jeis; Pi ome će eleme Vs čui ifomiju o sjeišu: VA_OBICAN jeiše ije iimk VA_IJECE jeiše je iimk i ije šiljk. VA_DIA jeiše je iimk i jes šiljk. Okom ogiijom ijegmo poeu dije sie: je li iimk i je li šiljk. Nime pem dijgmu odlučij ukoliko sjeiše ije iimk dug m ifomij i e e. ek ukoliko jes iimk koisimo "dugu" siu. Oo se u kodu može ispii lo jedoso; ek je sje ijl ip jeis. d ijedi: if( sje.vs VA_OBICAN { // sjeiše ije iimk else { if( sje.vs VA_IJECE { // jeise je iimk i ije šiljk else { // jeise je iimk i jes šiljk D i se ijeglo poođeje oog kok koji m kko io jedos ipk uosi dodo uspoeje lgoim uesi ćemo dodu siu koju ćemo eseii ulu sku ou ku ueći skim polžejem sjeiš-iimke. ko ćemo moći pojeii e li iodii dodi kok ili e.

60 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 6 7. C IMPLEMENACIJA BOJANJA KONKAVNOG POLIGONA ( Fukij koj implemei ideju du u pogllju 7.9 pik je u sku. Fukij očekuje d su idoi poligo eć ičui. #defie VA_OBICAN #defie VA_IJECE #defie VA_DIA oid fsll Fom::OojiKokPoli(iPolElem *poleli { i i j j i sje ; doule mi l; i mi m; jeis *sjeis; jeis s; i i; i epojeu; sjeis (jeis*mllo(sieof(jeis*; /* eje miimli i mksimli koodi */ mi m polel[].v.; fo( i ; i < ; i { if( mi > polel[i].v. mi polel[i].v.; if( m < polel[i].v. m polel[i].v.; fo( mi; <m; { epojeu ; i -; sje ; fo( i ; i < ; ii { if( i > i ; if(polel[i].v.polel[i].v. { // Bid je odo oiue; l (doule(-polel[i].v./(polel[i].v.-polel[i].v.; mi l*(polel[i].v.-polel[i].v.polel[i].v.; if( l< l > oiue; // e pipd idu if( l < { sjeis[sje].okui(mi; sjeis[sje].vsva_obican; oiue; // Ukoliko je l emo pogledi jos ekoliko si j i; jj; wile( { if( j> j; if( j> j; if(polel[j].v.!polel[j].v. ek; j; j; if(polel[i].lijei polel[j].lijei { sjeis[sje]. polel[i].v.; if(polel[i].v.!polel[j].v. { sjeis[sje].vsva_ijece; sjeis[sje]. polel[j].v.; sjeis[sje].vsva_ijece; epojeu; else { sjeis[sje].vsva_obican; else { sjeis[sje]. polel[i].v.; sjeis[sje].vsva_dia; sjeis[sje]. polel[j].v.; sjeis[sje].vsva_dia; epojeu;

61 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 6 // d su po s sjeis; // e i soii fo( i ; i < sje; i { i i; fo( j i; j < sje; j { if(sjeis[j].<sjeis[i]. ij; if( i! i { s sjeis[i]; sjeis[i]sjeis[i]; sjeis[i] s; // i e poesi lgoim odedije koj // sjeis osju if( epojeu! { i ; i ; j; do { if( sjeis[i].vs VA_OBICAN { i!i; sjeis[j] sjeis[i]; oiue; if( i { if(sjeis[i].vs VA_DIA { sjeis[j] sjeis[i]; sjeis[j] sjeis[i]; oiue; else { sjeis[j] sjeis[i]; i; i!i; oiue; else { if(sjeis[i].vs VA_DIA { i; i; oiue; else { i; sjeis[j] sjeis[i]; i!i; oiue; wile( i < sje ; fo( i ; i < j; ii { fo(sjeis[i].; <sjeis[i].; { osijeli_piel(; fee(sjeis; Fukij se od peode likuje smo po implemeiji dijgm odlučij kko i odedil koj su sjeiš epoe. 7. KOAK DALJE U PAVOM MJEU

62 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 6 Osimo se mlo ud i pogledjmo kko smo žili sjeiš? Z sku ku koisili smo iedeu fomulu i sko sjeiše dili ekoliko oduimj dijeljeje možeje p čk i jje i se o d elim ojeim! I ko ski id i sku ku. No idemo mlo mislii... Ako k sječe id i d li će i k sječi id i i ko oće u kojoj očki? Odgoo po pije je: jeojo oće. Odgoo dugo pije idemo ičui! Bid i odeđe je: ( λ λ i i i Zk isii odeđe je elij om: ( µ ( µ jeiše su oe očke koje ijedi e se doije d je e očke -koodi jedk: i i ( ( ( i i i i Gdje se sijeku j isi id i k? i i ( ( ( i i i i i i i i i i i i i ( ( ( ξ i i i i jeišu s peodom kom poeo je dodi jed jedii kosi eli oj koji se ski id može ičui smo jedom!!! Oime smo se oe čuske opeije seli jedoso jje d el oj. Posupk Vs podsjeć ešo? Ne? Ime Besem e uči poo? Bš ko kod Besemoog lgoim je liije sjeiš po pedsljju piele liije koje smo mo lo uspješo i lo o li ičui... Dkle i oj se posupk dde lo jedoso sesi jeloojo čuje. Keimo dlje. Kko ćemo i kd se uopće k i id sijeku d možemo počei pimjejii goji posupk? Eo ideje. e idoe podijelii ćemo u i kegoije:. id koji će ii ki. id koji je ki. id koji ije ki je id oisii će o pedoju ke. Zk keće od isie mi. Pije poček d lgoim si su idoi ip (id koji će ii ki. Algoim kee. Oog e kd k sige do dojeg kj id i ip id se mijej u ip (id koji je ki poslj se počeo sjeiše ke i id koodiu dojeg kj id (oo se oi u ieom spemiku pidužeom skom idu i u oom koku se o sjeiše igoi i i

63 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 6 (logijom s peodim lgoimim sjeiše odgo oom gdje je λ. Ukoliko je k išl id i ip d se ču sjeiše (pomoću pmćeog u ieom spemiku i pomoću fko ξ koji se kođe pmi u om spemiku i sjeiše se pić. Ukoliko je k pošl id ip id je poslj u ip (eki id. Pomoću oe kegoiije odm se idi d pilikom polsk ko popis ido: ekie idoe peskčemo (ip kie idoe čumo sjeiš i pojemo e li id posi eki idoe koji će ii kii pojemo smo e li i kiii N odje opisi či polžeje sjeiš dde se dos ui. Ukoliko se još i idoi u popisu ido soiju pem koodim pedojem lgoim može se posići d odeđe dio popis uopće e e pojei je su u jemu siguo si idoi ekii e se mogu doii i dljj uj. Kko oo igled pimjeu može se idjei slii ZAKLJUČAK U oom pogllju ili smo se općeiim posupim popujj poligo. Keuli smo od ideje i došli do lgoim koji se emelji s-lie lgoimu popujje poligo. Posljedj pik fukij čk i popuj poligo e geške. No piki lgoim im elio eliku mu - polžeje sjeiš je og opeij s ojeim s pomičim eom dos spo posupk. Ds su ijei i dugi lgoimi koji oj polem miimiiju (pimje je d u pogllju 7..

64 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE KIVULJE - OPĆENIO 8. UVOD Pojm kiulje pomi ćemo u jšiem oliku: kiulj je i očk (u dode ujee koji poliže opisuju speifiči ip kiulje. U oom dijelu eks poii ćemo se čiim dj kiulj klsifikijm kiulj e poželjim sojsim kiulj. 8. ZADAVANJE KIVULJA Kiulje oičo opisujemo liički fomulom (ili fomulm. ko immo i osoe kegoije pis kiulje: Ekspliiom jeddžom f(. Polemi koji se pi ome jljju skom su poi. Np. jeddž p u ekspliiom oliku glsil je. No oj olik pisij imo je i oilji polem. Jeddžu kužie oduijek smo pisli u oliku: ± e i oode eć jedoso i čijeie d se ekspliiim olikom e mogu piki fukije s išesukim ijedosim! Kod kužie je o još ekko polilo dodjem k ± isped koije i pešuim pićjem d ko po dimo s dije kiulje e s jedom. Impliiom jeddžom f(. Ok olik jeddže može piki išesuke ijedosi o e može di djelomič pik. Np. impliii olik jeddže kužie je. Oime su oućee se očke koje pipdju kužii o sd iječ se počije pedslji polem. Nime poekd želimo piki smo p. če kužie! Pmeskim pisom. Pi ome se uede jed (ili iše pme e se se koodie opišu ko ekspliie fukije pme (ili pme. Np. kužiu možemo pisi oko: pme je koodie su os( si( <π. Oj olik udi i mogućos djelomičog pik ojek. ko pik smo pe čeie kužie pme umjeso u ielu <π e ii u ielu <π/. Neoiso o liičkom piku kiulje kiulje možemo di pem slijedećim kieijim: ko d pole ko de očke ko d im defiimo ijedosi pe deiije u pojediim očkm (gee ko d im defiimo ijedosi iši deiij Pi ome se mogu opo koisii i komiije edei kieij; p. možemo žii d kiulj poli ko di očk e d ge u poj oči ude pod kuom π/4 i sl. No pilikom okog dj e imi u idu d poekd ije jedoso doii se poee pmee kiulje koj će ispuji oke miješe kieije.

65 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE KLAIFIKACIJA KIVULJA Kiulje možemo klsifiii pem ličiim kieijim. Njčešće su klsifikije slijedeće: peiodičke epeiodičke iole eiole ooee oee iepolijske poksimijske 8.4. POŽELJNA VOJVA KIVULJA U sku će ii ojo šo se želimo kod kiulj. Mogućos pik išesuki ijedosi (či jed iše mogući ijedosi. Neisos od koodiog sus. ojso loklog do (pomje jede očke uokuje pomjeu olik kiulje smo u okolii e očke. mjeje ijije (og isokog supj poliom kiulje poekd se umjeso glke kiulje pojljuje epoželjo isije. ed epekiuosi šo eći (iše o oome u sku. Mogućos opis osoi geomeijski olik popu kužie elipse i sl ED NEPEKINUOI ed epekiuosi doli i memičke lie i odosi se fukije. Kko se kiulje dju kođe peko fukij e pogledi šo se odose edoi epekiuosi u oom slučju C KONINUIEI C koiuie (či se "e ul" e "e ulu". Zje se epekiuos u koodim. Oo je fukijski gledo je fukiju d em diskoiuiee. Np. fukij psoluo( je fukij C koiuie. C koiuie. Zje se epekiuos gee u sim očkm. Dugim iječim e smije ii šiljk eć kiulj mo ii glk. Np. fukij psoluo( ije fukij C koiuie iko im C koiuie. log je šiljk u isodišu! C koiuie. Zje se epekiuos duge deiije u sim očkm. C koiuie. Zje se epekiuos eće deiije u sim očkm. Može se opisi ko epekiuos u iijju.

66 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE G KONINUIEI G koiuiei posljju ešo lže jee. D i ijedio G koiuie je se d deiije udu popoiole (dok C koiuiei jeju d udu ise. ži se d ijedi: f k f

67 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE KIVULJE ZADANE PAAMEAKIM OBLIKOM 9.. UVOD U peodom pogllju opisi su čii pisij fukij. U oom pogllju poseii ćemo se jimljiijem oliku pmeskom. Oj olik speifič je po ome šo uodi dodi pme ljujući kojemu omoguć opisije i pi fukij i fukij s išesukim ijedosim. Idej je d se se koodie ie ko fukij og oog pme. Pme ćemo oči okom. U om se slučju oisos koodi o pmeu može iii fukijski: f ( g( Fukije f i g mogu ii ličii olik. Neke od olik upoi ćemo u slijedećem pogllju. Pmeski olik sku ijedos pme odeđuje po jedu očku kiulje. Zmislimo li d pme pedslj ijeme kiulj puju sićuše česie d pmeski olik ski euk odeđuje položj česie. Pusimo li ijeme d eče koiuio d će se česi gii po doj kiulji. Dkko pi ome se momo osloodii fiikli koiosi koje idu u ou sliku; ime kko će igledi puj oisi jedio o fukijm koje odeđuju oisosi koodi o pmeu. ko je moguće d se česi u jedom euku gi ulijeo p eć u slijedećem kee 9 i si gije ili pk pekie gije om mjesu i si ekom ssim dugom. Mijejmo li pme po sim dooljeim ijedosim ( koje su fukije defiie doii ćemo ijelu kiulju. No mijejmo li j pme uu mjeg iel [ ] česi će opisi smo segme kiulje. 9.. UPOABA PAAMEAKOG OBLIKA Kiulj je po defiiiji skup očk. Beskoč skup očk. Pmeski olik m oiso o pmeu dje ski po jedu očku kiulje. Ukoliko želimo i ijelu kiulju (dkle pokupii se očke poso ećemo oii ikd. Kiulje oičo pikujemo slou koji je sesk jedii. Zslo se ssoji od i eleme koji mogu ii ili upljei ili ugšei. Elemei slo desiju se jeloojom desom. Poili d slo im kočo mogo eleme i kiulj će slou ii poksimi kočim ojem eleme. No kko ćemo odedii e elemee? Jed od či je odeđije kočog oj očk kiulje e jioo poeije pim. Z pimje ćemo uei pik kužie. Kuži se u pmeskom oliku može pisi: os ( π CeeX ( π CeeY si e očke kužie pokupii ćemo ukoliko mijejmo pme u ielu [>. ediše kužie li se u očki (CeeXCeeY dijus kužie je.

68 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 68 Pem edeom eepu d ismo li kiulju (kužiu idemo odedii Dis očk kužie e susjede očke spojii liijm. No poslj se pije koliko očk e odedii? Pokušjmo o udii ekspeimeom. N slikm 9.. do 9..f piki su euli ličie ijedosi oj očk. Dis Dis 4 Dis 6 d Dis 8 e Dis f Dis I slik je jso idljio kd je pik olji; šo iše očk odedimo čuski pik slou je ujeljiiji. Šo s ope odi ključk d e uei eskočo fiu podjelu. No oo š i ije isi! Nek je kuži dijus eleme. I peposimo d smo ičuli upo ooliko očk koliko je poeo d i sk iču očk iml i susjedu koj je iso iču (dugim iječim liije kojim spjmo e očke dugčke su očo jed eleme j. sk spoji degeeil je u očku. U om slučju fiijom podjelom ećemo iš posići osim d slou iše pu osijelimo ise očke. Koliko smo očk osijelili? P gu čui kže d smo osijelili ijeli opseg kužie dkle π 68 eleme! No u pksi ćemo ipk ići mlo iše očk. Eo oložej. Mijejmo li pme od do.5 opisi ćemo pu čeiu kužie. Pogledjmo kko še fukije spodjeljuju očke u oj čeii. Pi 45 polimo s imeđu i.5. Dugi 45 polimo s imeđu.5 i. 5. O o segme imju isi oj ičui očk. D smo umjeso kužie li elipsu dos idužeu po X osi d i u pi 45 segme io puo duži od segme u dugi 45 o i doil isi oj očk! Oo odi ključk d fukije eć ieeo eomjeo spoeđuju očke e se može dogodii d jedom segmeu immo puo ičui očk dugom mlo. N segmeu kojem im mlo očk jsije i se idjelo spjje liijm o e želimo! Zo je poeo pii eć u su gušću podjelu d se oi efeki učie emiim.

69 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE PIMJE CANJA KUŽNICE U sku ćemo di implemeiju fukije koj kužiu slou osljjući se pmeski pis kiulje. Fukiji se pedju koodie gojeg lijeog i dojeg desog kd kojemu se upisuje kuži. Pooip fukije ii će: oid Cile(DelPoi Poi DelPoi Poi i Dis ; uku DelPoi opisuje jedu očku i defii je ko: pedef su { doule ; doule ; DelPoi; Ukoliko će se fukij koisii isključio pik kužie slou kompoee očke mogu ii i jelooje; iče je opdo koisii ele koodie (p. ukoliko su dimeije pl koje se omie ko d su šii i isi jedke. Fukij osim o kd pim još jed pme : Dis kojim se odeđuje s koliko će se segme i kiulje. oid Cile( DelPoi Poi DelPoi Poi i Dis { doule CeeX CeeY d; DelPoi p p; ool Pi; i ; if(poi. > Poi. { Poi.; Poi. Poi.; Poi. ; if(poi. > Poi. { Poi.; Poi. Poi.; Poi. ; CeeX (Poi.Poi./.; CeeY (Poi.Poi./.; d Poi. - CeeX;.*M_PI/Dis; Pi ue; fo(.; <Dis; { p. d*os(ceex; p. d*si(ceey; if( Pi { p p; Pi flse; else { Moeo(p. p.; Lieo(p. p.; p p;

70 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 7 U fukiji se jpije osigu d je goji lijei ku dois goji lijei e se is poje pi i s dojim desim. Zim se ču e kužie i jei dijus. Kočo se u pelji čuju koodie očk i međusoo se spjju. Kool oj poljj pelje ši se pomoću jelooje ijle. Iko se pi pogled čii ko epoeo poeo je og og šo je imeik pomičog e eoč i doesi do og d se je djeg segme peskoči. Fukije Moeo i Lieo dužee su je pojedii segme. Ukoliko se koise fukije koje ko gumee ijeju ijele ojee d koodie e okužii (iče će deimli dio ii odsječe p će p ii peoeo u 4 šo ije doo. Odje pimijeje posupk ičuje očk kužie emelji se dieko jeddži kužie (pmeskom oliku e ko k e spd u gupu opimli. Z isje kužie posoje i ži posupi jed od ji je i Besemo posupk kužie! 9.4. PIMJE CANJA ELIPIE Peodi pimje može se lo modifiii ko d se umjeso kužie elips. Elips liku od kužie im d dijus; jed odeđuje šiiu elipse dugi isiu. Fukij koju ćemo pisi piii će koodie pokuik kojemu e upisi elipsu. oid Ellipse(DelPoi Poi DelPoi Poi i Dis { doule CeeX CeeY dx dy; DelPoi p p; ool Pi; i ; if(poi. > Poi. { Poi.; Poi. Poi.; Poi. ; if(poi. > Poi. { Poi.; Poi. Poi.; Poi. ; CeeX (Poi.Poi./.; CeeY (Poi.Poi./.; dx Poi. - CeeX; dy Poi. - CeeY;.*M_PI/Dis; Pi ue; fo(.; <Dis; { p. dx*os(ceex; p. dy*si(ceey; if( Pi { p p; Pi flse; else { Moeo(p. p.; Lieo(p. p.; p p;

71 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE KONUKCIJA KIVULJE OBZIOM NA ZADANE OČKE Jed od jčešći polem koji je e u podučje kiulj može se iski slijedećim dkom: "do je očk; poeo je poući kiulju oiom e očke". Šo očo či "oiom" oisi o poem; o može čii "ko očke" li i e mo. kođe se mogu poslji ličii jei olik kiulje; p. možemo žii d kiulj ude glk i sl K i f i i ( i Jedo od mogući ješej je upo ežiski fukij. Idej je slijedeć. Želimo kosuii kiulju čiji se poček doije ijedos pme s kj e. Pi ome kiulj poli kj očke i ijedos pme i. Iskoisii ćemo ežiske fukije oolikog olik koje imju mksimum i ko slii ežiski fukij ii će ooliko koliko je do očk. k očk oliku kiulje dopiosii će sojim koodim pomožeim s ežiskom fukijom. Jeddžu kiulje d ćemo pisi ko sumu ske očke pomožee ežiskom fukijom. ežiske fukije oči ćemo okom f i pi čemu ideks i gooi kojoj oči pipd ežisk fukij. ko jeddžu kiulje možemo pisi: gdje je K očk kiulje i i- d očk (kko je do očk ideks ide od do. Umimo ko pimje de i očke. ežiske fukije mogle i igledi ko slii f f f Ukoliko kiulju mo od do šo možemo eći o kiulji gledjući oe ežiske fukije? Z je f f f p je: K i ( f i ( i f ( f( f (

72 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 7 Z je f f f p je: ( f i ( i f ( f( f ( K i Z je f f f p je: ( f ( f ( f ( f ( K i i i Kiulj dkle poli ko se de očke međuočke se poksimiju. Možemo li pogledom sliku eći kko kiulj oisi o pomjei pojedie očke? N slii je jso idljio d isoemeo položj očke djeluju jiše dije ežiske fukije dok su osle ul; ime ielu [ ] djeluju f i f dok je f jedk uli. N ielu [ ] djeluju f i f dok je f jedk uli. o či d olik kiulje ielu [ ] odeđuju isključio očke i dok očku možemo pomii kmo god želimo e d uječemo oj segme kiulje. Olik kiulje ielu [ ] odeđuju pk očke i dok očku možemo pomii kmo god želimo e d uječemo oj segme kiulje. Oko sojso kiulje kd pomje položj jede očke uječe pomjeu olik kiulju isključio u okolii e očke i se sojso loklog do. Nime eke kiulje emju oo sojso p pomkemo li jedu očku kiulje mijej se ijel kiulj! ojso loklog do poželjo je sojso. Pogledjmo još mlo sliku N slii su se ežiske fukije jedke. ke fukije imo uifomim. Kod ežiski fukij možemo mijeji d pme: isiu ežiske fukije e šiiu ežiske fukije. Pogledjmo kkog o ujej im olik kiulje. Ukoliko mijejmo isiu ežiske fukije fiiklo o možemo poumčii ko pomjeu pilčej doiče očke i kiulje. Šo je ežisk fukij iš o će odgojuć očk iše ujei olik kiulje; šo je ežisk fukij iž o će očk mje mijeji olik kiulje. Oo m omoguć d osim smi očk odedimo i jioe "ežie" e emelju og mijejmo olik kiulje. Pomje šiie ežiske fukije može se umčii ko pomje doseg pilče sile imeđu očke i kiulje. Šo je ežisk fukij ši o će odgojuć očk imi ujej eći komd kiulje; šo je ežisk fukij už o će očk ujei kiulju mjem segmeu. N slii ode su ežiske fukije ko d sk očk uječe kiulju segmeu od peodog susjed očke p do slijedećeg susjed očke. Oime smo posigli sojso loklog do je ujej jede očke ije dopio dlje od jeii susjed. Ukoliko ismo šiie ežiski fukij udosučili d i ujej očke dopio se do očke ; kko kiulju mo upo od očke do očke d i očk ujel ijelu kiulju! A ime ismo iguili sojso loklog do. Ukoliko se doolj d se pojedie ežiske fukije likuju po šiii i po isii d ke ežiske fukije kžemo d su euifome.

73 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE ZAKLJUČAK U oom pogllju upoli smo se s čjem pmeskog olik čiim j fukij di j či e idejom kosukije kiulje oiom de očke. U dijelu 9.5. pokli smo kko se kiulje mogu kosuii koiseći ežiske fukije. Pi ome su ko pimje uee oolike ežiske fukije. Pimje m je poslužio i upoje s ujejim pojedii pme smi ežiski fukij olik kiulje. iuij u pksi šo se iče oog dijel je lo šolik. Ne smo d se koise skki olii ežiski fukij ego se i iode oi oiso o jeim koji se posljju kiulje. Ko pimje kiulj koje ude dos sloode koise oolike fukije esi ću NUB (euifomi ioli -splie. Pimje česo koišei kiulj koje e koise oolike ežiske fukije su Beieoe kiulje. U sku oe skipe upoi ćemo se ekim od česi olik kiulj.

74 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 74. BEZIEOVE KIVULJE.. UVOD U čuloj gfii jed od česi dk je polčeje glke kiulje imeđu dog i očk (poksimij kiulje. Jedo od ješej polem ude m Beieoe kiulje. Do kiulj su eiso došli 96. Beie koji je dio ku eul e 959. De Cselju koji je dio ku Cioe. D je iječ o isim kiuljm 97. godie doko je oe Foes. Z memički opis Beieoi kiulj posoje dije meode: gije ssljeog ooeog poligo koj odi Beieoe ežiske fukije e pmesko dijeljeje eko koje odi Beseioe ežiske fukije. Z pkiču pimjeu u čulim Beseioe ežiske fukije su dleko pogodije. Iso ko ćemo likoi d ip Beieoi kiulj: poksimijsk i iepolijsk. Apoksimijsk Beieo kiulj poli ko počeu i šu očku dok ko osle očke e poli. Zo se i kže d poksimi du kiulju. Iepolijsk Beieo kiulj poli ko se de očke; o dkle iepoli kiulju po segmeim imeđu di očk poli ko de očke. No poksimijsku Beieou kiulju lgo je odedii kko ćemo idjei u sku. duge se iepolijsku Beieou kiulju doimo ikom. Nime udući d jedoso polčimo poksimijsku kiulju de su m očke ko koje kiulj mo poći e očke ćemo iskoisii ko d ičumo oe očke imeđu koji ćemo poući poksimijsku kiulju u uje d kiulj poli ko se de očke. Vidimo dkle d osoo šo momo učii je kko čui poksimijsku kiulju.. APOKIMACIJKA BEZIEOVA KIVULJA.. OZNAKE Pilikom d s Beieoim kiuljm e jioog memičkog em koisii ćemo slijedeće oke: očke - oi poligo ii će očei okom i gdje je i ideks očke. Beieo kiulj ii će d očkm.... Pi ome oč supj kiulje. ko će kiulj ećeg supj ( ii d s čeii očke: i. Okom i oči će se dij-ekoi očk o poligo. dij eko je eko koji spj isodiše i du očku i. Zog og su mu se kompoee jedke ko i kod sme očke i. Dkle dij-eko koji spj očku ( je (. Okom i oči će se ekoi imeđu očk i- i i ; kko očk em peode eko ii će jedk dij-ekou e očke j. Općeio se i i i > može pisi: i i ežiske fukije i će oče okom ψ i pi čemu će kod Beieoi ežiski fukij umjeso ψ sji f kod Beseioi ežiski fukij. Pi

75 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 75 ome i oč ideks fukije i j pme će se mijeji imeđu i dok oč supj kiulje... BEZIEOVE EŽINKE FUNKCIJE Do oi se fukij doli meodom gij ssljeog ooeog poligo ko šo je eć spomeuo u uodu. sljei ooei poligo oč poligo koji se doije kd se si ekoi ioog poligo i pomože s odeđeim ežiskim fukijm i im oje. Kod s će dkko ekoi ii pomožei Beieoim ežiskim fukijm. lijedi d se može pisi: p( i i f i ( pi čemu je p ( dij-eko očke koj pipd kiulji ( ssljeog ooeog poligo je pme kojim odeđujemo se očke kiulje. Z doi se poče očk kiulje doi se š očk kiulje. e osle očke doiju se. Do liički i fukije doli se i slijedeći je:. Kiulj p ( poli ko pu du očku: odkle slijedi: f ( f i ( i.... Kiulj poli ko dju du očku: p( f i i i odkle slijedi: ( i.... U počeoj očki gi kiulje jedk je giu eko : f ( f i ( i Z iod pogledi oki U šoj očki gi kiulje jedk je giu eko : f ( f i ( i 5. Poslj se je duge deiije u počeoj očki: ( f ( f ( i f i 6. Poslj se je duge deiije u šoj očki: f ( f ( f ( i i

76 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE Zje se simeičos odoso ži se d edoslijed očk e uječe igled kiulje (mje počee i kjje očke em ujej šo odi je: f i ( f i ( i... Veko je lik dij eko g e sojim kompoem odeđuje gi:. Kiulj je d u pmeskom oliku sumom. O δ p( i f i ( i d jeddž ijedi i sku kompoeu seo. Ngi kiulje odeđe je deiijom d šo i de jeddže e možemo doii dieko eć mlim ikom. Pomožimo žeu deiiju s pikldo pisom jediiom: d d d d d d d d d d d d d d f f ( f (... f ( ( f (... f ( i i Zje je d u počeoj očki ( gi ude i i f f i i ( i f i ( i. i ( i f i ( odkle slijedi: ( f (... f ( ( f (... f ( d f ( d f šo je moguće smo ko su deiije si ežiski fukij u oj oči jedke uli osim deiije fukije f je o moži žee kompoee eko. ličo se doije i je 4 gdje se ži jedkos gi u šoj oči kiulje ( i eko ukoliko se u goju fomulu usi i gδ. d se ijedčjem doije d deiije si ežiski fukij osim f moju ii ul. Oki... ežiske fukije koje poile i oi je iju se Beieoe ežiske fukije i de su iom: f f i ( ( i ( d ( i! Φ ( d ( i ( i i... pi čemu je fukij Φ ( d jeddžom: ( Φ (

77 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 77 Zog poee deiijem i lo složei i idljio je d ok pis ije š pikld upou u čulim. No oi se ii mogu pisi u čul puo piljiijem oliku: ko ekuie fukije. f f ( ( f ( i i i ( ( f ( f f ( k k k... BENEINOVE EŽINKE FUNKCIJE Do fukij se doli slijedeći či. Poeo je odedii očku kiulje fiksi. Np. /. e sie ioog poligo podijele se oom očkom koj odgo dom pmeu (dulji ijele sie je. Noodoiee očke spoje se spojim i im se spojim odeđuju oe očke de pmeom. Posupk se polj se dok e ose smo jed spoji i joj odeđe očk. očk ujedo je i očk kiulje. Posupk ćemo jolje ilusii pimjeu. Nek su de očke pem slii... N slii... očke su odm spojee u ooei poligo. Odedimo očku /4. očk oč očku čeii imeđu očk i. očk je čei imeđu očk i. očk je čei imeđu očk i. očk i spojee su u dije oe spojie. N slii... e su spojie podijeljee ko d se očk li čeii imeđu i očk li čeii imeđu i. Oe dije očke ope su spojee spojiom. N slii... je spojie podijelje ko d se očk li čeii imeđu i. ime je posupk goo je iše emmo oi spoji i očk pipd kiulji.

78 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 78...

79 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 79 Memički se posupk može opisi slijedeći či. Keuli smo od očk poligo: ( ( ( ( ( ( ( Zim smo spojie dijelili: I kočo smo i e spojie podijelili: ( ( Ako sd iimo smo peko očk doii ćemo: ( ( ( ili d o pišemo koeko peko dij-eko očk: ( ( ( ( p O očk pipd kiulji p kočo možemo pisi: i i i p ( ( Doie je fomul koj opisuje se očke Beieoe kiulje de peko čeii očke dkle kiulje ećeg ed. Pogled li se fomul mlo olje idi se d fkoi isped dijeko eoičo podsjećju iomu fomulu. D im isie u ome gooi m slijedeći pis odje piki ežiski fukij po ko Beseioe ežiske fukije: i i i ( ( pi čemu su ežiske fukije de elijom: i i i i i (!!(! Oo je jjedosiji olik upou u čulim i mi ćemo g koisii u sku. Poj fkoijel kođe e komplii si.

80 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE VEZA BEZIEOVIH I BENEINOVIH EŽINKIH FUNKCIJA U uodu smo eć ekli d se i pomoću Beieoi i pomoću Beseioi ežiski fukij opisuje is kiulj; o je doko oe Foes. Mi ćemo u sku smo di u eu: f i ( j ( ji..5. CANJE APOKIMACIJKE KIVULJE POMOĆU BENEINOVIH POLINOMA Uesi ćemo sukuu sveod koj će ii duže pmćeje dij-eko de očke. uku je olik: pedef su { doule ; doule ; sveod; uku m dopuš pmćeje očk čije koodie isu ijeli ojei (oo se česo pojljuje pi du s gfičkim ojekim pije še fe u kojoj se ojek pikuje seskoj jediii. Defiii ćemo i ijele: Veos ko polje koje pmi de ekoe Fos ko polje pmi iome koefiijee ( "po" i e ko oj koji pokuje supj kiulje (i poliom. Deklije ijli su: i ; i *Fos; sveod *Veos; lijedeći kok je dje oj e loije i popujje polj Veos i Fos; p. ; Fos ew i[]; Veos ew sveod[]; Veos[]. ; Veos[]. ; Veos[]. ; Veos[]. 4; Veos[]. 5; Veos[]. ; Veos[]. 45; Veos[]. 4; ClFos(; Opeo ew doli i jeik C i še poee može se poisojeii fukiji mllo; lokije polj Fos i Veos mogle su se u klsičom C-u pisi oko:

81 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 8 Fos (i*mllo(sieof(i*(; Veos (sveod*mllo(sieof(sveod*(; Odje se lgo može uočii e imeđu supj kiulje i oj očk: supj kiulje jed je mji od oj očk kojim je kiulj d. Goji pogmski isječk poi fukiju ClFos(. Fukij ču iome koefiijee i popuj polje Fos. Eo ijel fukije: oid ClFos( { i i ; ; fo( i ; i < ; i { Fos[i-] ; * (-i / i; Ko šo se idi i ijel fukije fkoijele se igdje e spomiju! Ojšjeje je iijlo. Nek je d supj. d su fkoi edom: Fos Fos Fos Fos... Fos [] ( ( ( [] Fos[] [] Fos[] [] Fos[] ( ( [] Fos[ ] ( odoso ski se fko može doii pojem smo peodog fko; kođe si su fkoi ijeli ojei. Oslo je još jedio i kiulju! Fukij koj o di oe se DwBeie ijelo fukije slijedi: oid DwBeie( { i i j; doule ; sveod p; // Isje koolog poligo... fo( i ; i < ; i { Lie(Veos[i].Veos[i].Veos[i].Veos[i]. led; // Isje kiulje... ; fo( i ; i < ; i./. { p. p..; fo( j ; j < ; j {

82 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 8 if( j! { Fos[j]*pow(j*pow(--j; else { Fos[j]*pow(--j; p. Veos[j]. * ; p. Veos[j]. * ; PuPiel( p. p. lblk ; Isje kiulje di se isuću ijedosi pme u ielu od do (oo je odeđeo peljom po i. dij-eko ske očke ču se sumom si dij-eko di očk pomožei s odgojućim Beseioim koefiijeom (pelj po j. Beseio koefiije pojuje se u ijlu dok je ičuje dikio ijlom j. Nime ukoliko je j i limo se u pom koku p je i opći i ičuje koefiije m dje ul ulu i u pogm di kio. No mi mo d u om slučju eul iosi je je j dio i poišo i ulu šo je jed. e oslo i elo ii dooljo jso. Z isje liije koiše je fukij koj pim počeu i šu očku e oju liije. Fukij isje piel pim koodie i oju. U edosku oi fukij lgo se pišu fukije koje oo mogu opoši...6. VOJVA APOKIMACIJKIH BEZIEOVIH KIVULJA. Posoji koeks ljusk i kiulj je uu ljuske.. Kiulj em iše lo od koolog poligo (ili dugim iječim i kojom pesiječemo kiulju em iše sjeiš od koolog poligo.. Kiulj em sojso loklog do. Nime ukoliko pomkemo smo jedu očku kojom smo dli kiulju ijel će kiulj pomijeii olik. Poželjo i ilo kd i se kiulj pomijeil smo u okolii pomkue očke o oo kod Beieoi kiulj e ijedi. 4. Boj očk u diekoj je ei s supjem kiulje. Np. kiulj peog supj d je pomoću čeii koole očke. 5. Neoisos o fiim sfomijm (slije oije sklij. Pespekie sfomije isu fie sfomije p ji oo e ijedi! 6. imeičos. Kiulj im isi igled ukoliko koole očke mijeimo ko d očk koj je il p pose dj (i oo.. INEPOLACIJKA BEZIEOVA KIVULJA Iepolijsk kiulj poli sim dim očkm. Nči j iepolijski kiulj eć je opis u uodu o eće škodii d pooimo ideju. Zdi ćemo očke (odoso dijekoe očk ko koje želimo d kiulj pođe eki pme. Zim ćemo emelju i očk ičui koole očke poksimijske kiulje koj će poći ko še žee očke. Polem se općeio može pisi oko. Zdi su dij-ekoi:

83 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 8 (... (... ( ( p p p p i i Kko je kiulj d s dij-ekoom kiulj je -og supj. Z opis kiulje koisii ćemo Beieoe ežiske fukije. Nek je kooli poligo poksimijske kiulje d ekoim. d je sk očk poksimijske kiulje d sumom:... ( i i f p ( ( ( ( i i j i j j i p f p p i i U om slučju posii ćemo jedos je: oiom de dij-ekoe ijei ćemo d ijedi: Odoso žimo d kiulj de i pođe ko de. Oo se može pisi i mičo: P F A F f f f A ( ( ( L P f f f f f f p p ( ( ( ( ( ( M M O M M L L M i I oi jeddži poeo je odedii miu A. Nko og su m poi si ekoi e se i ji može dieko i kiulj ili se mogu ičui dij-ekoi očk koolog poligo poksimijske kiulje i im i kiulju pomoću Beseioi ežiski fukij. Vlo česo se u pksi dju smo očke ko koje želimo poući kiulju li se pi ome e speifii koju ijedos pme kiulj mo poći ko koju očku. d se pme može odi i lo jedos olik: i i p se peodi miči ču pojedosljuje:

84 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 84 P F A F P f f f f p p A ( ( ( ( M L M O M M L L M p p p p Ko pimje možemo uei kiulju ećeg supj koju želimo poući ko čeii očke:. Budući d ijedosi pme isu de uei ćemo pmee pem eliji: i i p p p p p p p ( ( f f f f p e doimo: ( Beieoe ežiske fukije kiulju ećeg ed glse: ( p 7 9 Usimo li oo u miu doimo: P F A F A P P p p p ješeje miu A glsi: A odoso po kompoem:

85 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE p p p p ( ( ( ( ( f f p i i i i d kd smo ičuli žee ekoe jeddž poksimijske Beieoe kiulje (koj je iepolijsk oiom de očke glsi: i i U oom pimjeu ile su de očk. No iepolijsk se kiulj može polčii i emelju dugi podk. Z iču poksimijske kiulje poeo m je uje. Neki od či dj su slijedeći: po očk (ko u pimjeu poi očk i po ge u ekoj od očk (oičo p ili dj očk Moguće je čui kiulju i emelju poj iši deiij i sl.

86 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 86. PIKAZ KIVULJA POMOĆU AZLOMLJENIH FUNKCIJA.. UVOD Jed od či pisij kiulj jes pomoću lomljei fukij. Pi ome se kiulje po opisuju pmeski u jed pme u omogeom posou sk koodi očke poliom fukij pme. Kko ćemo kiulje opisii općeio u D posou sk očk K imi će soje i koodie K ili K ili i K ili u dom posou odoso i K i čeii koodie K K K i K u omogeom posou... PIKAZ POMOĆU KVADANIH AZLOMLJENIH FUNKCIJA Oe fukije omogućju jedos pik koiči kiulj (kiulje koje sju ko pesjeiše soš i ie p. kužie elipse i sl.. Kko je iječ o kdi fukijm fukijske oisosi si koodi u omogeom posou ii će ižee kdim poliomom: K K K K K Pokom u di poso doi se: K [ ] K [ ] [ ] K K K K K K log i "lomljee kde" fukije eo i ii js i peodi jeddži. Zdžimo li se u omogeom posou d se jeddže po koodim mogu spojii u jed miči pis: Mi K i se kkeisič mi kiulje.

87 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 87 Z odeđije mie K dooljo je poi i očke ko koje kiulj mo poći. Np. ek pođe ko očku A ko očku B.5 i ko očku C. d ijedi: A B C A [ A A A A ] [ ] K [ B B B B ] [ ] K [ ] [ ] K C C C C Zpišemo li oo pomoću jede mie doimo: B C A A A A B B B B K C C C C D ismo odedili miu K ijelu jeddžu poeo je pomožii s ieom miom koefiije i o s lijee se: K A A A A A B B B B B C C C C C Usimo li de -oe u i doi se: K B 4 C A A B C Zdmo li sd i očke A B i C može se mi K odedii u popuosi... PAAMEAKE DEIVACIJE U HOMOGENOM POOU im koodim defiili smo fukijsku oisos o pmeu. U oom slučju je fukijsk oisos defii kdim poliomom. No o či d se e fukije dju i deiii! P pogledjmo kko i igledl p deiij po pmeu. Fukijske oisos koodi defiie su elijm: K K K K

88 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 88 Deiijem ske elije po doi se: d K d d K d d K d d K d Očimo li deiiju u očki K po pmeu okom K d možemo deiiju spisi po kompoem u mičom oliku: K K K K K [ ] [ ] [ ] K Možd d još jedom glsim šo pedslj ok K. o ije deiij očke je očku (očio e možemo deiii (em se dm d je sim jso d se ueđei p od čeii fiks d oj e može deiii... Okom K očili smo deiiju fukij kojim su defiie oisosi o pmeu u ekoj poioljoj očki K. Kko i fukij im čeii ko je i suku K čeeokompoei eko. Dugu deiiju doimo deiijem pe deiije; doi se: d K d d K d d K d d K d ili mičo piso: K [ K K ] [ ] K K [ ] K e iše deiije dju:

89 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 89 d K d d d d d d d K K K > odoso mičo: ( K K K K K ( ( ( ( [ ] [ ] [ ] K > I oog jedosog iod jso se idi d su se deiije odeđee upo kkeisičom miom kiulje K. kođe se idi d se se deiije mogu dieko doii smo deiijem eleme mie pme. ko smo keuli od: K [ ] K P deiij je il: K [ ] K Dug deiij: K [ ] K I se osle iše: ( K [ ] K.4. PIKAZ POMOĆU KUBNIH AZLOMLJENIH FUNKCIJA Oe fukije omogućju jedos pik koiči kiulj (kiulje koje sju ko pesjeiše soš i ie p. kužie elipse i sl. o može di i ifleksije šo kde lomljee fukije isu mogle. Kko je iječ o kuim fukijm fukijske oisosi si koodi u omogeom posou ii će ižee kuim poliomom: K K K K d d d d

90 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 9 Pokom u di poso doi se: d d d d d K K K d d d d K K K Jeddže de omogei poso ope ode miči pis: [ ] [ ] A d d d d K gdje je A kkeisič mi kiulje..5. PAAMEAKE DEIVACIJE U HOMOGENOM POOU U oom su slučju se fukijske oisosi kue: d K d K Deiijem po pmeu doi se: d d K [ ] [ K K K K K d d d d d K K šo se mičo može pisi ko: ] A Više deiije iose:

91 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 9 K K ( K [ K K K K ] [ 6 ] A [ K K K K ] [ 6 ] A ( ( ( ( [ ] [ ] A > K K K K.6. VEZA IZMEĐU PAAMEAKIH DEIVACIJA U ADNOM I HOMOGENOM POOU Ve imeđu di i omogei koodi eć m je po: K K K K K K K K K gdje je K očk u dom posou K očk u omogeom posou. Ou oisos možemo i kće pisi mičo: K [ ] [ ] K K K K K K Peposimo d su m poe pmeske deiije koodi u dom posou odoso d mo: d d d K K K K K K d d d K K K K K K K K K e d mo fukiju kojom ćemo šii peije u omogei poso K i jeiu deiiju K. Kko ijede ee: pmeske deiije u omogeom posou mogu se piki: K K ( ( K K K K K K K K K K K K ( K K K K K K K Zpiso mičo doije se: K [ ] [ ] K K K K K K K K K K K K K K K K K [ ] [ ] K K K K K K K K K K K K

92 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 9 N oj či doili smo dieku eu imeđu žei pmeski deiij u omogeom posou i poi pmeski deiij u dom posou. Dug pmesk deiij u omogeom posou doije se deiijem pe pmeske deiije u omogeom posou; ko šo se deiiju ii i ko uij u miu doi se: K [ ] [( ( ( ] K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K [ ] [ ] K K K K K K K K K K K K K K K I iše deiije mogu se iesi slič či..7. PIMJEI Pomoću lomljee kde fukije želimo odedii kiulju koj će polii slijedećim očkm: ko očku [ ].5 ko očku [ ] ko očku [- ] N pi pogled popis očk odgo kužii o pogledjmo šo ćemo doii. U pogllju.. poko je kko se emelju oi podk ču mi K. Doi se: K Posljedji sup ( m gooi d je iječ o poli e o koičoj kiulji. e koiče kiulje imju posljedji sup jedk (. k očk oe še kiulje odeđe je jedosom elijom: 4 K [ ] [ ] K 4 Ukoliko želimo piki kužiu moi ćemo se poslužii ikom. Zmo d kod kužie ijedi e:

93 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 9 osϕ siϕ I memike mo i eu imeđu fukij si i os s fukijom g. Pimjeimo li u eu doimo: ϕ g Umemo li iik lomk fukiju omogeog pme doi se: K [ ] odoso mi K iosi: K Zdji sup m gooi d smo doili koiču kiulju..8. ODEĐIVANJE MAICE A U sku ćemo odedii miu A kiulju koj je d pomoću počee i še očke u dom posou e pe deiije u im očkm; poče očk doi se pme dok se š očk doi se pme. Dkle poo m je slijedeće: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Kko p očk leži kiulji d doolj jeddžu kiulje. Zo možemo pisi: [ ] A [ ] Oo se kće može pisi sžimjem p i sup u jed u kojem ćemo d pisi okompoeu očku dog poso (čime dimeij mie osje oču: [ ] A

94 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 94 Z pu deiiju u omogeom posou u pogllju.6. smo ieli eu s deiijom u dom posou: [ ] [ ] [ ] ličo se može pisi i dugu očku e se doiju čeii jeddže: [ ] [ ] [ ] [ ] [ [ ] [ ] A ] A A B V H H V H M V H B A us se može pisi ko jed poeć mi e se doi: Miu desoj si očii ćemo okom B (mi pme. Ušjem ijedosi pmee doi se: Miu lijeoj si peode jeddže možemo mlo peuedii ko d je pišemo ko umožk diju mi kko slijedi: A B V P mi u umošku i se mi H (mi ois smo o omogeom pmeu i fukiji po kojoj se o mijej dok se dug mi i mi V (i o je ois smo o dim očkm i deiijm u jim. d se poče jeddž može pisi: Z miu A se doi:

95 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 95 Mi M i se uiel sfomijsk mi i jedk je ieu mie B. Kko smo miu B eć odedili mi M iosi: B M ( ( ( Ukoliko su m poe očke kiulje i deiije u jim (V e omogei pmei i jioe deiije oje očke (H emelju iedee elije možemo odedii miu A ko umožk uiele sfomijske mie mie omogeog pme i mie očk..9. HEMIOVA KIVULJA Hemio kiulj speijl je slučj kue lomljee kiulje po ome šo fukij po kojoj se mijej omogei pme ije ku eć je kos i iosi. Dugim iječim očku kiulje K u omogeom posou ijedi: K K K K Q P V H M A H I A gdje su P Q i poliomi po ijli. Iskoisimo sd i miu A: Mi M je po miu V lko odedimo ko mo dije očke i deiije u jim. Osje m još mi H. O u sei sdži omogee pmee (koji su u oom slučju se očke jedki - Hemio kiulj! i jioe deiije. Kko su fukije omogei pme kose jio je deiije! ime mi H posje jediič! V M Imeđu Hemioe kiulje i Beieoe kiulje kui slučj posoji e! Već smo ekli d Hemio kiulje defii d je sim očkm omogei pme jedk jed. o či d su pe i omogee koodie jedke dim koodim. U om je slučju pelk i omogei u de koodie dooljo u iu miu V mijeii smo s je p i sup. Doije se:

96 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 96 [ ] [ ] 6 ( p p p p M p [ ] [ ] [ ] A M H Lije s jeddže doli od Hemioe kiulje; des s jeddže je Beieo kiulj! Zključk je d o mogu ii ise kiulje! Pi ome se Hemio kiulj dje počeom i kjjom očkom i deiijm u jim dok se Beieo kiulj dje peko čeii očke: počeu dije koole i šu... ODEĐIVANJE MAICE A - PIMJE Zdo je slijedeće: [ ] V H M e odedii miu A. Z miu A smo ieli i: M je poo: H možemo odedii: Okud sd i? Poje ios omogeog pme u ekoj oči e gooi m iš o deiiji u oj oči! D ismo li deiiju momo i fukiju po kojoj se mijej omogei pme! Zo osljmo dije epoie: i koje ćemo ičui ksije. Mi V m je kođe po:

97 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 97 V A Možejem oe i mie doi se: V H M No d ismo odedili miu A jedočo idimo d m edosje još jed uje. ko možemo žii slijedeće: ek kiulj / pođe ko očku dog poso (/ /. Oj podk pomoći će m d odedimo žeu miu. Ali čuu e pisupii opeo! Zdli smo si očku u dom posou i žimo d kiulj pođe ko ju. No jeddž kiulje dje se očke u omogeom posou! I o sku očku dog poso dje smo jedu očku omogeog poso (iko i očk sku očku dog poso im eskočo. Ukoliko ou čijeiu igoimo mogli ismo eći slijedeće: očk leži kiulji p ijedi: [ ] 4 8 j. A 4 4 Oj sus pedslj čeii jeddže s čeii epoie i pi ome je eješi (po ješi je: ješeje e posoji. Nime eć ijedčjem po dugoj kompoei doi se: šo je očio esmisleo. Jedo od loši umčej oog ješej je d kiulj jedoso e može poći ko u očku u de pmee. I oo je mjeso kojem e mislii. Kiulj (očio e može poći ko u očku omogeog poso o može li možd poći ko eku dugu očku omogeog poso d pi ome poli ko isu očku dog poso? Odgoo oo je pod! Nime sus je ispo pisi i ješi po kompoem smo ukoliko su se kompoee u popuosi eise - šo odje isu. D ismo doili še ješeje poeo je pimijeii isosi koje mo i dii jedčeje po so-eisim kompoem: kompoem dog poso! d ćemo doii suse:

98 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 98 ( ( ( ( ( ( d umjeso čeii "eise" jeddže immo smo i i o ješie. eć jeddž je ideie p opd. Pe dije dju: A že mi A glsi: Oslo m je još d pogledmo ko koju je očku omogeog poso kiulj pošl žeu očku dog poso: 4 4 K 4 4 K odgojuć očk dog poso je dois že:

99 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 99. D ANFOMACIJE.. UVOD Posoji ekoliko elemei sfomij koje djeluju d očkom. Ukoliko se očk li u D posou d gooimo o D sfomijm. U sku ćemo odii slijedeće elemee sfomije: slij oij klije mik Pi ome ćemo uijek koisii očke u omogeom posou e u mičom oliku. ku elemeu sfomiju pedslj opeo koji ćemo pedsii kdom miom. U D posou oi opeoi imju kde mie ed udući d se očke pisuju ko jedoeče mie s i sup ( i. Djeloje opeo očku doi se možejem mie očke i mie opeo: Ψ gdje je ψ mi opeo. Budući d se djeloje opeo opisuje mičim možejem lko se može doći do slijedećeg ključk: ukoliko jedu očku djeluje iše sfomij d je i edoslijed djeloj sfomij! Dok oe dje je iijl. Nime mičo možeje ije komuio p se ličie edoslijede možej mi doiju ličii euli. Djeloje iše sfomij može se pisi: Ψ Ψ K Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ K Ψ pi čemu očku po djeluje opeo ψ p ψ id. Posoji i jed iimk goje pilo: uu jede se sfomij edoslijed djeloj pojedie sfomije ije i! Oo se može i memički doki o osimo logičkom doku: oimo li očku ku α p ku β doii ćemo isi eul ko i d oimo očku jpije ku β p od ku α.

100 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE.. ANLACIJA slij je sfomij koj skoj kompoei očke u dom posou dodje odeđei pomk. Pimje slije pik je slii... očk sli se u očku.... Posupk slije može se opisi slijedećim jeddžm u dom posou: gdje su i kompoee očke i kompoee očke. Iskoisimo li eu imeđu di i omogei koodi doi se: pi čemu su i kompoee omogeog pis očke (odoso d dok je omogei pme. Peode elije pokuju d se očk može doii mičim možejem očke s opeoom slije: [ ] [ ] p se opeo slije pisuje:

101 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE Ψ Iei opeo oom opeou je opeo slije egi pomk: Ψ je ijedi: Ψ Ψ Ψ Ψ.. OACIJA oij je slij koj očku oi oko isodiš di ku ϕ. mje oije može ii podud s smjeom kljke su ili supo od smje kljke su. Kko je memički "poii" smje oije defii ko smje supo od smje kljke su ko će u sku ii iede opeo koji oi očku u smjeu supoom od kljke su. Ukoliko se želi oii u smjeu kljke su dooljo je umjeso ku ϕ oii smje -ϕ. Pimje oije pik je slii... ϕ... D ismo ieli miu opeo oije poeo se je pisjeii liee lgee gdje smo učili d se djeloje opeo može pisi ko oj djeloj opeo sku kompoeu e poso pojedičo (o ko opeo doolj odeđee ujee

102 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE koji su odje dooljei. Budući d iodimo oiju u ii immo dije kompoee e: kompoeu u smjeu osi i kompoeu u smjeu osi. Djeloje opeo e dije kompoee piko je slii... ϕ ϕ ϕ ϕ Ujej oije koodiu Ujej oije koodiu... Pogledjmo jpije sliku... Ako očku koj leži osi oimo ku ϕ doii ćemo očku čij je koodi jedk osϕ. Ako očku koj leži osi oimo ku ϕ doii ćemo očku čij je koodi jedk: siϕ. d je djeloje opeo očku dje kompoeu jedku sumi o d djeloj: osϕ si ϕ D ismo udili kko se oi kompoe očke pogledjmo djeloje opeo ope očke ( i ( smo sd pimo šo se dogđ s -pojekijm sli očk ko šo je piko slii... Djelojem ( doi se siϕ djelojem ( doi se osϕ. Ukupo djeloje dje: siϕ osϕ Zpiso u mičom oliku u omogeim koodim doi se: osϕ siϕ [ ] [ ] si os ϕ ϕ p se opeo oije pisuje: Ψ o osϕ siϕ si ϕ osϕ Ukoliko želimo opeo koji oi u smjeu kljke su dooljo je umjeso ku ϕ oii smje -ϕ p se ušjem u miu opeo i uimjem u oi posi fukije os i eposi fukije si doi opeo:

103 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE Ψ o osϕ siϕ siϕ osϕ Koišejem oog opeo u poiie ijedosi ku ϕ doii ćemo oiju u smjeu kljke su. Odm se može uočii d se opeoi Ψ i međusoo poišju u djeloju e su o Ψ o iei jed dugome. Nime ko pogledmo opeo koji opisuje djeloje o opeo doi se: Ψ o Ψo Ψo Ψo i čeg je idljio d slijedo djeloje jedog p dugog opeo ć očku u poii položj..4. KALIANJE klije je sfomij koj "skli" (seže ili seže sku kompoeu očke. Pi ome je sklije ske kompoee odeđeo fkoom sklij pi čemu fkoi e moju ii isi se kompoee. Ukoliko je o slučj d gooimo o epopoiolom skliju. Ukoliko su fkoi sklij jedki se kompoee d gooimo o popoiolom skliju. Pimje sklij pik je slii Djeloje opeo po kompoem piko je slii.4..

104 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE Vijedi: k k [ ] [ ] k k odoso pelskom omogee koodie: k k sk p se opeo sklij pisuje: Ψ Ψ k k psk Ukoliko želimo popoiolo sklije d će k ii jedk k šo možemo i k p opeo popim olik: šo se još može pisi i u oliku:

105 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 5 k psk Ψ Iei opeo opeou sklij je sklije eipočim koefiijeim šo epopoiolo sklije dje: k sk Ψ k k popoiolo sklije: k psk ili k Ψ psk Ψ oiso o mii kojom je šeo popoiolo sklije..5. MIK mik je "uduž" defomij čije se djeloje jolje idi s slike.5.. soji se od defomije uduž osi i defomije uduž osi e se opisuje kuoim β i α. β α.5..

106 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 6 Djeloje opeo pojedie osi piko je slii.5.. β β α α.5.. Z pojedie kompoee poili: gβ gα p se pelskom omogee koodie doi: [ ] [ ] g β p se opeo smik pisuje: gα Ψ sm gβ gα Požimo li ie oog opeo i uje d umožk opeo smik i ieog opeo dje jediiču miu doi se: Ψ sm gα gα gβ gα gβ gβ gα gβ gα gβ šo ije defiio ukoliko je umožk ges jedk.

107 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 7.6. PIMJENA ANFOMACIJA U sku ćemo poki jed jedos pimje kojem se mogu uočii eki ieesi delji. Poeo je oii očku (55 u smjeu supoom od smje kljke su ku ϕ oko očke (. lik.6.. pokuje šo želimo učiii. N slii je pik pimje oije ϕ Pokušmo li dieko pimijeii opeo oije eul eće di očekii eul (po oisi šo se očekili. Nime opeo oije iede je ko d oi očku oko isodiš! Želimo li oii očku oko ekog dugog sediš moi ćemo pimijeii i opeo slije! Eo kok koje e pii:. očku poeo je slii slijom koj i očku (željeo sediše oije doel u isodiše koodiog sus. o će ii slij i ko je očk d kompoem (. Noimo ou fomiju ψ : Ψ. N oko doieu očku možemo pimijeii opeo oije je se sd sediše osϕ siϕ oije li u isodišu! d je ψ osϕ : Ψ siϕ. I kočo očku koju smo oili momo g slii ieom slijom od oe i pog kok: Ψ Šo se je dogodilo ko pog kok opisuje slik.6..

108 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE ϕ ϕ U skom koku doili smo po jed opeo. Zii opeo ψ koji će pii du opeiju doije se ko umožk s i opeo i o upo edoslijedom kojim su djeloli: Ψ Ψ Ψ Ψ D je oo ispo možemo se lko ujeii pokusom. Ako oimo očku 8 oko očke eli ismo doii očku (. Ako ičumo ijedos opeo u di ku doii ćemo: Ψ 6 6 Pimijeimo li opeo očku (55 doimo: [ ] [ ] Ψ Dkle doili smo očku koju smo i očekili. [ ] [ ] [ ] lič posupk koji je ede u peod i kok česo se poodi je iedee elemee sfomije djeluju oiom isodiše p e doo pii šo se želi posići šo sfomije po dju.

109 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 9. D ANFOMACIJE.. UVOD D sfomije su sfomije d očkom u D posou. U sku ćemo odii ise sfomije koje smo odili u D posou. Jedi oos koju doosi D poso su i opeo oije umjeso jedog u D posou. ko ćemo odii:. sliju. oiju oko osi. oiju oko osi 4. oiju oko osi 5. klije 6. mik I podsjeimo se još jedom: edoslijed djeloj sfomij i je kjji eul osim ko se e di o usopom djeloju ise sfomije kd je edoslijed ei. No oij oko osi i oij oko osi isu ise sfomije! U sku će ii di ii oe sfomije udući d se oi iode ideičo ko i ii D sfomije koje smo eć odili u peodom pogllju... ANLACIJA slij pomiče očku ko d skoj koodii očke dod odeđei pomk. Vijedi: ili ko pelsk u omogee koodie: [ ] [ ] šo dje opeo slije u D: Ψ Ie je slij egie pomke:

110 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE Ψ.. OACIJA likujemo i oije: oiju oko osi oiju oko osi e oiju oko osi.... OACIJA OKO OI X oij oko osi oi očku u ii pi čemu -koodi očke osje epomijeje. Opeo oije oko osi u smjeu supoom od smje kljke su glsi: Ψ o osα siα siα osα Njemu iei opeo je opeo oije oko osi u smjeu kljke su: Ψ o osα siα siα osα... OACIJA OKO OI Y oij oko osi oi očku u ii pi čemu -koodi očke osje epomijeje. Opeo oije oko osi u smjeu supoom od smje kljke su glsi: Ψ o os β si β si β os β Njemu iei opeo je opeo oije oko osi u smjeu kljke su:

111 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE Ψ o os β si β si β os β... OACIJA OKO OI Z oij oko osi oi očku u ii pi čemu -koodi očke osje epomijeje. Opeo oije oko osi u smjeu supoom od smje kljke su glsi: Ψ o os χ si χ si χ os χ Njemu iei opeo je opeo oije oko osi u smjeu kljke su: Ψ o os χ si χ si χ os χ Uspoedimo li ou miu s miom doieom D oiju idjei ćemo d je mi gđe ideičo! Oo je posljedi čijeie d smo oiju u D upo ieli ko oiju u ii gdje smo ekli d očku oimo oko isodiš; oo i se sloodo moglo pošiii p eći d oiju iodimo oko osi okomie iu koj poli isodišem -osi!.4. KALIANJE klije sku koodiu "skli" (seže ili seže možeći je s odgojućim koefiijeom. Kko immo i koodie dog poso imi ćemo i i koefiije. Ukoliko su i koefiijei međusoo ličii gooimo o epopoiolom skliju; iče gooimo o popoiolom skliju. Opeo sklij glsi:

112 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE k k k sk Ψ Iei opeo je sklije eipočim koefiijeim: k k k sk Ψ Popoiolo sklije doije se k k k k o d se opeo popoiolog sklij može pisi još jed či (osim eć pikog općeg p ušjem k se koefiijee: k psk Ψ psk U om slučju ie oom opeou je opeo: Ψ k.5. MIK mik je uduž defomij koj defomi položj očke i opisuje se kuom defomije pem skoj koodioj osi. U D posou immo koodie osi i i ku: α β i χ. Opeo smik u D glsi:

113 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE Ψ sm gβ gχ gα gχ gα gβ Iođeje ieog opeo i polžeje uje jegoe egiseije osljm čieljim u..7. PIMJE U sku oe skipe ei će m oij oko dog sediš p ću Vs odje podsjeii pimje koji smo eć pokli kod D sfomij. Poeo je očku oii oko očke. No kko u D posou immo se oij poeo je di i koju oiju želimo pimijeii. No jedom kd immo se podke posupk je slijedeći:. slii očku u isodiše koodiog sus. išii oiju. pimijeii ieu sliju od slije i pog kok

114 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 4 4. POJEKCIJE I ANFOMACIJE POGLEDA 4.. POJEKCIJE Podučje čule gfike osim d u D posou ouć i d u D posou. Šoiše ljudim je koepij D poso dleko liž ego D poso. log ome je mogo jed je i j šo žiimo u D posou i pojmoi popu id ispod lijeo deso isped ili i ssim su m jsi. No u D posou ogičei smo smo d smje. U D posou e možemo piki ijel; moguć je isključio pik liko. duge se pike jediie ds su još uijek dodimeiole! Zslo moio udi m mogućos pikij u jedoj ii. duge se čojek soji i u sije čul uesi D poso. I dkko o je jedim dijelom moguće. jeimo se smo foop. Kd slikmo slikmo ojeke u D posou. Ko eul slikj doimo sliku dkle komd ppi kojemu je "slik" smješe u iu u D poso. Ipk pogledom sliku doimo jsu pedodžu o oome šo je sliko; immo piid D poso. Dkko u om D posou e možemo pogledi kko i ojeki igledli kd ismo i pogledli mlo desije ili pk kd ismo oišli i ji. Doie slik jedoso je mu pik oog šo smo idjeli očo s mjes s kojeg smo gledli i očo u smjeu u kojem smo gledli. I o je mjeso koje uskče čul gfik. u se dkle puž mogućos d i čulu keimo ke "simke" koje m pokuju šo ismo idjeli od D poso kd ismo sjli u jedoj oči og poso i gledli pem ekoj dugoj oči. Meode koje opisuju koji či "gledmo" i šo ismo po idjeli ou se pojekije. Ni "pojekije" doli od čijeie d ojeke D poso "pojiimo" iu u D poso. Pojekije su memički modeli koji m gooe koji či e očke D poso pesliki u iu u očke D poso. Posoji iše s pojekij mi ćemo u sku odii dije: Plel pojekij Pespeki pojekij Eo jedosog pimje šo či pojiii ojeke D poso u D poso. Umimo lis ppi i simo g sol. Id jeg (li e jeg posimo ekk ojek p. oloku i id posimo uključeu sjeiljku. eul je sje oloke ppiu; D ojek pesliko se je u iu. Oj jedos pokus poko m je još ešo pojekije su desukie! U D posou mo i duljiu oloke i deljiu oloke pomje i sl. Pojiijem u D poso doili smo sliku i koje iše e možemo doi se e ifomije PAALELNA POJEKCIJA Jed od jjedosiji model pojekij jes model plele pojekije. j model podumije d su se ke sijelosi koje osjju ojek okomie iu pojiij i smo ke ke oe sliku. Dugim iječim pojekij dje sliku koju i do očksi io id ie pojiij i o eskočoj udljeosi; d i se ke koje

115 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 5 dole do ojek id ie ile plele i okomie smu iu. Np. pojiijem ojek šiokog m doili ismo i sliku šioku očo m. Z opisije pojekije poslužii ćemo se slijedećim pimjeom. Želimo doii plelu pojekiju očk iu H pi čemu je H je poiolj oj (o je dkle pojekij u iu isii H. lik 4... pikuje polem. lik 4... N slii je pik lik koji se pojii ispod jeg i pojekije s likom koji se doije pojiijem e kkeisiče ke pojiij ko s čeii lik. Zke su okomie iu pojekije. Oj model ue je og jedososi d ismo se lkšu upoli s idejom plele pojekije. ješeje dog polem je jedoso. Ako poiolju očku pojiimo doii ćemo očku P i pi ome će kompoee očke P ijedii: P P P H o se jso idi s slike 4... N slii je pik siuij -kompoeu o iso ijedi i -kompoeu. Pojii se očk pojekij je očk P.

116 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 6 P H P e očke koje ćemo oj či pojiii imi će koodiu jedku H; dkle se će leži u ii H. Odje piko plelo pojiije može se opisi miom plele pojekije: π p H d se pojekij opisuje umoškom očke i mie pojekije: P [ ] P P P P [ ] [ ] πp H H Kd doiee očke pikujemo u ii d ko i koodiu koisimo pe dije kompoee očke dok osle kompoee emujemo. Pilikom j očk u ii jlj se i jed jedos polem: dije očke D poso peslikju se u isu očku ie. Koju očku d piki u ii? Np. ko se želi piki pojekij pe očke d ćemo je piki eom ojom ko se želi piki pojekij duge očke d ćemo je piki plom ojom. Kojom ojom piki očku? D ismo odgooili oo pije e se pisjeii koj je po s pojekije? Želimo "idjei" D poso slou! Ako je o ko d se dije ličie očke D poso koje se peslikju u isu očku D poso mogu umčii ko d ojek jed i dugog! P koji ćemo ojek idjei? No oj koji je liži smoj ii pojekije! U om slučju ćemo oju odi pem ooj očki koj je liž ii pojekije. No kko modifiii miu pojekije ko d sču udljeos od ie pojekije? Iskoisii ćemo -koodiu pojiie očke pou udljeosi očke koju smo pojiili od sme ie. Ako o učiimo d ijedi:

117 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 7 P P P H dok se mi plele pojekije koj ču udljeos očke od ie modifii u: π p H eul koji se doije možejem očke koju pojiimo i oe mie e umčii oko: Pe dije kompoee odgoju kompoem očke u ii Z koodi očke udući d očk pipd ii H iosi upo H eć kompoe ie odgo udljeosi očke koju smo pojiili od ie pojekije i može poslužii ko kieij odeđije koju očku e piki u slučju d se iše očk pojii u isu očku ie Mi plele pojekije ispl je oko jedos og og šo smo odli lo jedos pimje pojekije: pojekiju iu H. umo i ilo pii se kko i igledl mi plele pojekije poiolju iu u D posou. No odgoo oo glsi: ku miu ( su seću e momo žii je i ispl kjje komplii i epegled. Umjeso og pimijeii ćemo posupk sfomije pogled o kojem će ii iše iječi u sku i im iskoisii upo ou jedosu miu plele pojekije. No pije o šo se upusimo u posupk sfomij pogled pogledjmo još i dugi ip pojekije PEPEKIVNA POJEKCIJA Pespeki pojekij je model koji je čojeku liži. Nime model uodi dije očke: očiše i glediše. Očiše je očk u koju smješmo oko dok glediše pedslj očku oko koje se s i pojekije (glediše pipd oj ii. i pojekije koj se s ujedo je okomi eko očiše-glediše. Pojekij poiolje očke doije se ko d se očiše spoji pe s dom očkom i ko pojekij se uim očk u kojoj doiei p siječe (odoso pod iu pojekije. Jed općeii pimje pespekie pojekije pik je slii 4...

118 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 8 i pojekije Očiše lik 4... Z memičku liu polem pokušjmo odedii pespekiu pojekiju poiolje očke ukoliko očiše simo u isodiše koodiog sus glediše -os isii H. Okim odiom očiš i glediš posiže se d je i pojekije upo i H (dkle i podigu od isodiš H. lik 4... pokuje pespekiu pojekiju lik u do očiše i glediše: lik 4... Pogledjmo šo se dogđ s pojediim očkm. Jed lik i jego pojekij s slike 4... spojim su spojei e su i koodiim osim očee jioe koodie (ili ko se osemo peodo pogllje učijee su jioe plele pojekije iu. Aliu e poesi sku koodiu seo o kko je eul ideič u sku je slii 4... pik slučj -koodiu.

119 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 9 P H 4... P ϕ okui -H- P i - - su sliči okui je dijele jedk ku ϕ. d ijedi: P H odkle slijedi: P H lič li dje i koodiu pojekije e se doije: H H P P Odje iedei odosi mogu se pisi i mičo ukoliko se očke iskoisimo jioe omogee ičie. Doije se: π pe.poj H U očos se možemo ujeii pomožimo li očku i miu pojekije:

120 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE π pe.poj [ ] P H H Pelskom u di poso ko dijeljej s omogeim pmeom doiju se upo ii od koji smo keuli. Z koodi očke koj se doije pespekiom pojekijom peko peodo iedee mie iosi. Nime kko očk leži u ii pojekije logičo je -koodiu uei ijedos ul. No poekd pojekiju ećemo koisii ko pijel i D u D sus. U om slučju poeo je pojekiji ske očke osii se i koodie ispim: či ko pojiimo iu H d se pojiie očke imju koodiu jedku H. Mi koj će šii oko pojiije doije se modifikijom peode mie: π pe.poj H Ko i kod plele pojekije i odje ćemo se usii i ećemo ići u kompliiije slučjee odoso u opći slučj (šo ismo idjeli kd i očiše ilo egdje glediše egdje dugdje. log ome je kompliios ijelog posupk ukoliko ismo išli oko dieko guom silom. Umjeso og dooljo je eći d se k opći slučj može posupkom sfomije pogled sesi upo oj jedos! I sog pogledjmo šo m udi sfomij pogled 4.. ANFOMACIJE POGLEDA sfomije pogled su posupi kojim se očke i jedog koodiog sus peslikju u dugi koodii sus. Idej je ko i uijek kjje jedos. e poći miu (44 ku d kd soju poiolju očku pomožie om miom doijee očku s koodim koje i š očk iml kd ise je pomli i ekog dugog sus. Posoji ekoliko kok koje e poći puu do e mie. P keimo ko pimjee. U koodiom susu immo očku. Koje i koodie očk iml u susu koji ismo doili kd ismo sus lgo kuli ko d mu isodiše oklii u očku O? Polem je pik slii:

121 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE d d 4... Polem je di jedosos pik u D posou. slike 4... jso se idi e imeđu koodi u o sus: d d d d Pošiejem koodii sus u D posou doije se: d d d Upoijeimo li omogei pis očk goju sfomiju možemo piki mičim umoškom očke i mie: Θ d d d O mi i se miom slije i čii pu od mogući sfomij pogled. Dok d o mi olj željeu sfomiju je jedos:

122 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE [ ] [ ] d d d d d d Θ Pelskom u di poso doije se: d d d d d d d d d Oim mjem učili smo kko pesliki koodie i jedog koodiog sus u dugi ukoliko je isodiše dugog smo pomkuo eki eko (d d d. No šo ukoliko je dugi koodii sus umjeso pomk uslijed šeg ud i gojeg pimje dožiio oiju? di jedososi peposii ćemo d mu je isodiše ilo učšćeo u efeei sus p ije moglo doći do pomk eć smo do oije (oj oii sus očii ćemo s. Kko će d igledi koodie de očke u om susu? U D susu sk oij jedočo je odeđe kuom oije jedim kuom. U D posou opis oije je upou posoog ku ku koji se može u pokuom koodiom susu opisi pomoću dije kompoee ku: kuom koji pojekij oie očke u iu čii s osi koodiog sus e kuom koji pojekij oie očke u iu čii s osi koodiog sus (po oo ije jedi mogućos; mogu se koisi ilo koj d p i i u jim odgojući kuoi. No uoč oko složeom opisu posoog ku idej ješej je is ko i kod peodog polem. U peodom slučju ješeje smo doili ko d smo pogledli šo emo učiii d ismo o koodi sus pooo poklopili jed peko dugog; ješeje je ilo isodišu oog sus oduei eko pomk i ime su se susi poklopili. No u oom pimjeu isodiš se eć poklpju. Oo šo se e poklp su osi. Oo šo ćemo pokuši d ismo poklopili še suse jes slijedeće: uii ćemo -os oog sus i oii je ko d se poklopi s - osi sog sus. No kko je oo poeo pimijeii posou oiju ložii ćemo polem d dijel. Njpije ćemo -os oii kuom u -ii u smjeu kljke su (dkle u memički egiom smjeu ko d pde u iu. lijedeć slik pikuje posupk:

123 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE Umimo d se očk G(G G G li -osi oiog sus. Ku α šo g pojekij e očke u iu s osi odeđe je: osα G siα G G G G G G G oijem j ku α očk G peslikl se je u očku G koj leži u ii. Pi ome su kompoee očke G odeđee iim: G G G G oijom u ii -koodi očke osl je oču. Y-koodi pl je ulu je je očk oijom sigl u iu. O sfomij opisuje se miom: Θ osα siα siα osα Odje e spomeui i speijli slučj koji može supii. Ako je G i G d se o oij peskče je su osi oju sus eć koliee e ku α ije defii! No keimo dlje. Zjedo s očkom G koj se je peslikl u G -os šeg oiog sus kođe je pl u iu efeeog sus. No siuij pik je slii 4...

124 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 4 Još m je peoslo d očku G odučemo -os efeeog koodiog sus oijom u ii ope u smjeu kljke su. Ku β koji pedslj ku u ii šo g očk G (odoso peio gooeći jei pojekij iu s -osi odeđe je: G G os β siβ G G G G ( ( ( ( oijom očke G doi se očk G koj leži i -osi efeeog sus e jeie kompoee ijedi: G G G ( G ( G G G G I o se sfomij može opisi mičo: os β si β Θ si β os β Oim posupkom posigli smo poklpje osi efeeog sus s oiim susom. Pi iođeju i si(β i os(β speijlog slučj em. Nime pogešk i supil ukoliko i G i G ili isodoo jedki uli o o se e može dogodii osim u slučju d se je pol očk G poklpl s isodišem (šo e smije je d ismo defiili -os. oijm Θ i Θ posigli smo ispo poklpje -osi efeeog sus i -osi oiog sus. No d li smo im oijm uspjeli poklopii i i osi? Geelo gooeći i jesmo i ismo. Odgoo "jesmo" možemo pdi oko: oii sus dli smo smo jedom očkom očkom -osi. Zog og smo položj i osi oiog sus osili edefiie! Zim smo oijm posigli poklpje -osi o sus. I šo je s i osim? P i osi oiog sus ile su š ke d se sd upo poklpju s i osim efeeog sus! No oo oložeje ije š jpiljiije o isiio je ko dugo dok oii sus e defiimo mlo olje u uli u igu odgoo "ismo". odimeioli sus jedočo je d ukoliko je poo p. isodiše očk -osi i očk -osi e je sus desi. očku isodiš

125 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 5 mo o je is očk koj je i isodiše efeeog sus. očku -osi iso mo: dli smo je ko očku G. D ismo sus defiili do kj djmo još i očku K koj leži -osi sus i iješimo polem do kj. N sus do oog e eć smo djeloli oijm Θ i Θ. očk K uslijed i oij pešl je u očku K: K K Θ Θ pi čemu je K omoge iči očke K. Uslijed oljei oij -kompoe očke K posl je ulom dok su i kompoee općeio ličie od ule (em jed od ji. iuiju pikuje slijedeć slik: G K χ K K χ Ku χ koji odeđuje epoklpje imeđu i osi defii je: K os χ siχ ( K ( K ( K ( K oijem sus oko osi ku χ posići ćemo popuo poklpje efeeog sus i sus. Mi kojom se iodi oij oko osi ku χ glsi: K

126 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 6 Θ 4 os χ si χ si χ os χ eul oe oije pik je slii G K Ukoliko se ipk odlučimo edje očke K može se uei jedos peposk: ku χ iosi 9. d će mi oije oko -osi igledi: Θ 4 Pogledmo li koje smo se sfomije pimijeili idjei ćemo d smo iskoisili sfomije Θ Θ i Θ 4 ili Θ 4. o či d se ijeli poso može oii jedom sfomijom Θ *Θ *Θ 4 (odoso Θ *Θ *Θ 4. Dkle ukoliko immo de koodie očke u efeeom susu i immo du jedu očku G koj leži -osi šeg oiog sus e očku K koj se li -osi šeg oiog sus d ćemo koodie očke u oiom susu doii možejem očke i sfomijski mi.

127 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 7 Još m je peoslo odgooii jopćeiiji slučj: kko i glsile koodie očke u susu koji je uslijed "ud" pepio i oiju i sliju? d mu se ii isodiš ii osi iše e poklpju. Odgoo oo pije di će m kompoiij peodi slučje: po e isodiše oiog sus ii u isodiše efeeog sus (miom Θ im sus e još dodo oii miom Θ *Θ *Θ 4. Pi ome e oii pžju očke koje će se uei ko G očk i K očk odeđije Θ Θ i Θ 4. Nime kd miom Θ isodiše oiog sus imo u isodiše efeeog sus d i ioe očke G i K e slii isom miom Θ i ko doiee očke e uei odeđije mi Θ Θ i Θ 4. slike idljio je d se oijeij sus pilikom fomij e mijej: poli sus io je desi ši sus kođe je desi. Posoji sfomij pogled koj m omoguć i u pomjeu. Ukoliko je efeei sus lijei odediši sus desi (ili ouo d će se koodie imeđu sus sfomii jedosim okejem pedk osi šo čii mi: Θ 5 Oime šmo pegled sfomij pogled. 4.. PIMJENA NA POOPĆENJE PEPEKIVNE POJEKCIJE U pogllju 4... pokli smo osoe pespekie pojekije. Ueli smo očku očiš ko ou očku gdje sljmo še oko e očku glediš ko ou očku koj pedslj očku koj pipd ii pojekije i koj ujedo oi isodiše D koodiog sus u oj ii. Dodo smo ekli d je i pojekije odeđe jedom pipdom očkom (gledišem i omlom (eko očiše-glediše. No u smo sli. Ko pimje pespekie pojekije ueli smo jjedosiji mogući: očiše je u isodišu koodiog sus glediše je os i o očk ( H gdje je H udljeos očiš od glediš. D ismo poopćili polem sd ćemo moii siuiju kd su očiše i glediše poiolje očke u posou. Kko d ći pespekiu pojekiju? Pogledjmo još jedom šo mo. Zmo ći pespekiu pojekiju ko se očiše li u isodišu glediše osi. Hm A koje i ile koodie poiolje očke ko mjeeje šimo i koodiog sus koji im isodiše u očišu glediše mu se li -osi? D iječ je o sfomiji pogled P keimo edom. Očiše ćemo u sku oči s Q glediše s KOAK Pisjeimo li se sfomije pogled d je pi kok ćje oog isodiš u isodiše efeeog sus. Dkle koisimo miu Θ u pomke koji odgoju upo koodim očiš. sfomije ćemo dii d poioljom očkom.

128 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 8 Q Q Q Θ Q os si si os α α α α Θ O sfomij očiše će pesliki u isodiše dok će glediše pesliki u: [ ] [ ] Q Q Q Q Q Q Θ Q Pem ome pojedie kompoee ijedi: Q 4... KOAK d kd se isodiš oju sus poklpju e išii oiju sus ko d im se osi poklope. Pi kok je io oij u ii miom Θ. si os G G G G G G α α pi čemu ijedi: si os α α dok je G očk upo jedk oči glediš ko pe sfomije: G p se može pisi: sfomij Θ djelojem očku dje očku :

129 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 9 [ ] osα siα siα osα [ osα siα siα osα ] Θ Ušjem i si(α i os(α doi se: 4... KOAK d je poeo pimijeii i oiju u ii sfomijom Θ. os β si β Θ si β os β Pi čemu su: os β siβ ( ( ( ( sfomij Θ djelojem očku dje očku šo po kompoem dje: ( ( Pimijeimo li još i sfomiju Θ 4 ( po poei i Θ 5 ko su susi ličio oijeii učiili smo se poee sfomije kko i sus s isodišem u očišu i očkom glediš jegooj osi peeli u sus kojemu se isodiše i os poklpju s efeeim susom. Šo smo ime doili? Ako mo očku u efeeom susu d su jeie koodie u susu s isodišem u očišu jedke: Θ Θ Θ Θ4 Θ 5 Budući d su m ime poe koodie u susu u kojem je očiše jedko isodišu glediše se li -osi d očku mo oom jedosom miom pespekio pojiii e možemo pisi:

130 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE p π Θ Θ pe.poj Θ Θ 4 Θ 5 π pe.poj pi čemu je mi pespekie pojekije d s: π pe.poj H H je udljeos od očiš do glediš p se može ičui i i podk ili se može pimijeii d smo u udljeos eć ičuli pilikom sfomije pogled e se udljeos li ko kompoe očke. Dkle H ijedi: H H H H ( Q ( Q ( Q ( ( ( ( ( ( D smo željeli doii opću plelu pojekiju posupk i io ideič smo ismo umjeso posljedje mie pespekie pojekije ueli miu plele pojekije. U posupku se koisi mi Θ 4 udući d pilikom dj pme pespekiu pojekiju ismo dli ii jed podk koji i m omogućio ideifiije položj osi. Ukoliko se želi popu kool d slikom koju geei pespeki pojekij d je poeo di još i jedu očku K koj se li -osi sus u kojem dimo pojekiju. Podsjeimo se još jedom šo je o ko. Kod opće pespekie pojekije djemo dije očke: očiše Q i glediše. Pi ome se s oi sus s isodišem u oči Q i s poiiom -osi ko očku. Okomio spojiu -Q u ko očku s se i pojekije. U oj ii leže i i osi oog oog sus. Jedii polem u semu ome je šo speifiijem smo očk Q i mi emmo koolu d i osim j. e možemo ikko di: "j oću d -os gled š oko ". Jed od mogućosi d se doije kool d im osim ojšje je u pogllju o sfomijm pogled pomoću očke K. Dkle ukoliko pilikom dj pme pespekie pojekije dmo i očku K d ćemo umjeso mie Θ 4 koisii miu Θ 4 čime ćemo doii koolu d sim osim sus. Implemeij oe jedose modifikije oslj se čieljim ježu. No posoji i dugi pisup.

131 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE VIEW-UP VEKO View-up eko popul je i jed od či "koćej" si osi sus (dkle osi i. Eo ideje. Koisik će pilikom dj pme p. pespekie pojekije di i eko koji će pokii smje osi. Oo može ii dos polemičo je jediiči eko osi leži u ii pojekije koisik pilikom dj "šo želi doii" e mo sm čui se ome služe čul. og je polem slijedeći: koisik pogm može eći p. " os ek gled pem goe". U piodi "pem goe" oičo oč u smjeu poiie -osi čiji je epee p. eko [ ]. No (p. očiše i glediše di su ko d i pojekije leži pod kuem od 45 pem ii i okomi je iu. Veko koji će u om slučju gledi "pem goe" ii će p. [ ] je o leži u ii pojekije (dok eko očio e leži. Poslj se pije kko u piliži eko poći pi eko. Polem je ilusi slii Q očiše glediše ješeje iew-up eko doi se jedosim čuom. e uočii d ijedi: (el: 4..4/ Veko defii je ko lik očk: Q (el: 4..4/ Ku imeđu eko i eko defii je s: os( (el: 4..4/ Z eko omu možemo doii i pokuog oku: ( os (el: 4..4/4 dok je sm eko jedk sojoj omi pu jediiči eko u smjeu :

132 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE (el: 4..4/5 Ako i elije (el: 4..4/ iučemo eko i usimo oo šo smo doili eko doi se: (el: 4..4/6 I iew-up eko d se još pojedosii ko se eko pije upoe omi p se umjeso i (el: 4..4/ koisi i: Q (el: 4..4/7 Q d i iew-up eko dje: K ( (el: 4..4/8 Koiseći doiei i očk K može se ičui iijlo: (el: 4..4/9 Nko ičuj očke K može se keui u igdju mi opću pespekiu pojekiju koiseći pi ome miu Θ ANFOMACIJE POGLEDA NA DUGI NAČIN MALI IZVOD U pogllju 4.. idjeli smo jed či pelsk imeđu d sus. U sku ćemo di pik još jede mogućosi. Zim s koje će koodie imi očk u susu ko mo koodie očke u efeeom susu. Nek je efeei sus š poi osoi sus s osim i koje su u smjeu eko i j i k. us možemo di slijedeći či: isodiše mu je u oči C (čije koodie mo u susu poii - os d je ekoom N poii -os d je ekoom V poii -os d je ekoom U. Dkle immo siuiju piku slii slik Pilikom dj eko N V i U e pii d su ekoi međusoo okomii i jediiči (dkle om im je. Ukoliko di ekoi isu jediiči e i pije upoe omii! Kko sd doći do koodi očke u susu? Pem eć edeom eepu jpije e isodiše sus doesi u isodiše sus. o ćemo posići miom Θ u pomk koji odgo koodim isodiš sus mjeeo i sus :

133 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE Θ C C C Oime smo posigli poklpje isodiš oju sus. d još e očii koodie. No pije ego šo se upusimo u o pisjeimo se šo su po koodie? Hm Koodii sus d je sojim im ekoim. Ako od isodiš keemo mlo po jedom ekou p ko og keemo po dugom ekou i ko po sim ekoim došli smo u eku očku poso. Koodie e očke su upo oe "mlo po jedom ekou"- kompoee. očk u koju smo sigli može se pedočii ekoom: pojekije og eko ski i eko dje upo odgoo "koliko mlo" smo se pomkuli po om ekou! Dkle sku koodiu očke možemo doii ko d eko očke pojiimo odgojući i eko. A pojekij jedog eko dugi je upo jio skli poduk (ukoliko je eko koji pojiimo jediič; iče e eul podijelii s jegoom omom. Pogledjmo o pimjeu. U efeeom susu d je očk (5. Peoom u eko doimo 5 i j k je je efeei sus upo d ekoim i j i k. Koliko iosi kompoe očke? Možimo (5 i j k sklo s ( i j k i eul je 5! Y kompoe doije se možejem (5 i j k s ( i j k i eul je! I -koodi doije se možejem (5 i s ( j k j k i i eul je! Po ooj logiji može se poki d kompoee očke u susu odgoju upo pojekijm eko e ekoe sus (memički dok dje d koodie u oom susu pedsljju upo pojekije dij-eko očke pojedie e ekoe oog sus možee pogledi u dodku A. Kko je sus d s i eko: U V i N (koji su jediiči d ijedi: U U U U V V V V N N N N Oo se može i mičo pisi p mi Θ glsi: Θ U V N U V N U V N Ukup mi sfomije pogled d glsi: ΘΘ Θ. U posupku smo peposili d su d s i eko: U V i N. No lko je poki d e moju ii di š si ekoi. Np. ukoliko su di ekoi V i N eko U može se doii ko -poduk eko V i (šo će eulii desom oijeijom sus ili ko -poduk eko N i V N (šo će eulii lijeom oijeijom sus.

134 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 4 Ndlje eko V mo ii d ko d ude okomi ekoe U i N. Ukoliko se koisiku dopusi d d eko koji je piližo okomi d se pi okomi eko može ičui pomoću elije iew-up eko (el: 4..4/6 odoso (el: 4..4/8. Njsloodiji pisup dopusii će koisiku dje odimeiole očke C eko N ko pokič poiiog smje osi eko smje V koji i e mo ii š okomi eko N e podk d li se želi lijei ili desi sus. U om slučju pikld posupk čuj je slijedeći: po e omii eko N im ičui pi eko V e i podk o oijeiji sus e ičui eko U ko -poduk. Zim se slože mie Θ i Θ e ukup mi sfomije glsi: ΘΘ Θ PIMJENA NA PEPEKIVNU POJEKCIJU očk C ii će očiše. Glediše možemo di d či:. Ekspliiim djem očke glediš ; d se eko N ču ko -C u kdo omije. d se H može uei om od -C ili se očk može koisii smo odeđije eko N dok se H i dlje dje poioljo.. Zdjem eko N (koji po poei e omii e djem udljeosi H (u oom slučju H se mo di U oe podke poeo je di i iew-up eko e željeu oijeiju sus. Pogllje sdži se fomule poee doije mie sfomije pogled (ΘΘ Θ. Jedio šo peosje je pomožii u miu s miom pespekie pojekije!

135 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 5 5. OVJELJAVANJE 5. UVOD U peodim poglljim učili smo dooljo d mo kko isi žiči model ojek slou. d je došlo ijeme d se upomo s čiim kko u seu uesi sjelose ioe i liii jio ujej ojeke. jelos je smo jed od olik čej e i ju ijede općeie fiikle koiosi: EFLEKIANA APŠENA UPADNA VJELO ABOBIANA ANMIIANA k od oi kompoei ois je o smim fiiklim sojsim meijl o guoći pošie o loj duljii sme sijelosi i još mošu fko. Zog og je općei li lo slože i u pksi eiedi. Dode poeškoće s i međuso iekij ojek (ukoliko u sei immo iše od jedog ojek. Nime dio sjelosi koji osjelj ojek A doli do ojek B (ilo efleksijom ilo spšejem i sl. i osjelj g. Ojek B ope dio e sjelosi odij pem ojeku A; ojek A ope dio šlje ojeku B i mislim d se sili. Zog oe kompleksosi uode se modeli koji u odeđeoj mjei užju pojedie fiikle koe i iekije ojek e dju koliko-oliko dooljjuće eule. Među jjedosije modele spd i Pogo eflekijski model koji ćemo odii u sku. 5.. PHONGOV EFLEKIJKI MODEL 5... OPĆENIO O MODELU Model peposlj d se jelokupo osjeljeje ojek (i skog jegoog djelić može opisi ko lie komiij iju kompoe: Difu kompoe Zl kompoe Amije kompoe U o sjelosi ioi s kojim oj model mogu ii isključio očksi (dkle em sjei ijel; s sijelos dopie i jede ili iše očk p gooimo o jedom ili iše očksi io DIFUZNA KOMPONENA I fiike je poo d ieie sjelosi koji dopie do ilo koje elemee pošie ijel oisi o kuu pod kojim upd sjelos u odosu omlu e elemee pošie. Pi ome pem slii 5... ijedi:

136 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 6 io L N θ 5... I d ( θ I k os (el:5.../ i d Pi ome je I i je ieie očksog io k d empiijski koefiije efleksije ois o loj duljii upde sijelosi ( k d. θ je ku imeđu omle pošie i liije od pome očke do io. Pogledjmo sliku 5... i joj očee ekoe. Veko L pedslj jediiči eko i očke koju pommo i usmjee je pem iou. Veko N jediiči je eko koji pedslj omlu u pomoj oči. d kosius ku θ možemo iii sklim podukom i eko p elij (el:5.../ peli u: I d I k i d ( L N (el:5.../ Ako I L N d ispde egi og < d se I d uim. Ukoliko u sei im iše očksi io d se ukup ieie u pomoj oči može pisi: I d k d I i ( L N (el:5.../ 5... ZCALNA KOMPONENA Zl kompoe pem slii 5... fukij je ku Ω.

137 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 7 N io L θ θ Ω V 5... I I k os Ω (el:5../ s i s pi čemu je I i ieie io ks koefiije ois o meijlu ( k s. je ideks koji opisuje guoću pošie i jei eflekijuć sojs. Pem slii 5... eko pedslj eko eflekie ke i li se u ii koj oe ekoi i. pod isim kuem šo g eko s ekoom N. Veko V u L N L pedslj eko usmjee i pome očke pem pomču (oku. Vekoi i V kođe su jediiči ekoi. U om slučju ku Ω može se opisi sklim podukom V p elij (el:5../ peli u: I s I (el:5../ i k s ( V O kompoe omoguć m posije efek lješil. Nime oiso o fkou ku imeđu pomč i eflekie ke imi će ličii ujej. Ukoliko eži u eskočos poši se poš ko lo! Nime d će o kompoe posoji smo u smjeu eflekie ke o je upo kkeisik idelog l. Ukoliko je pk poši ešo gulj d ćemo imi sipje sjelosi i u mlim kueim oko eflekie ke. o opisujemo kočim -om. lik 5... pokuje ujej ideks ieie oe kompoee ueši u oi položj eko V.

138 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 8 N L V 5... lik je geei 486 i. U doie je jsk kiulj šo pokuje d je mle ijedosi ideks o kompoe pisu u šiokom speku kue oko eflekie ke. Njeći ( geeio je južu kiulju. I oog poili d se spek kue u kojim o kompoe im ujej smjuje i eži pem kuu Ω u kojem i slučju kompoe posojl smo u smjeu eflekie ke AMBIJENNA KOMPONENA Amije kompoe eul je iekij među ojekim opisi u uodu. U oom modelu mije kompoe uim se kosom: I g I k (el:5..4/ Amije kompoe osigu d pošie koje su sžje u odosu io sjelosi e udu popuo e UKUPAN UJECAJ Ukup ujej iskuje se ko lie komiij si iju kompoe: i ( k ( ( d L N ks V I I k I (el:5..5/ di jedososi model peposlj d se sjelosi io ko i pomč le u eskočosi. O peposk euli kosim ijedosim eko L i V ko čiu seu čime se ijeg poe čujem isi u skoj pomoj oči p se ijeli posupk čjo u. No oo polči posljediu d će poioljo elikoj pošii ii u skoj oči pidjelje isi ieie. D i se oo ijeglo u model se ipk uodi oisos ieie o udljeosi. No udući d se pomč li u

139 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 9 esko osi ko mjeod se uim udljeos od očke pogled (kojom se defii eko V č i pome očke. d se elij (el:5..5/ modifii u: I I k I i kd ( L N k s ( V / k (el:5..5/ I I I ( ( pi čemu je udljeos pome očke od očke pogled k kos eć od ule koj spječ dijeljeje s ulom u slučju. Ukoliko se opis sjelosi koise G i B kompoee d eliju (el:5..5/ e pimijeii se i kompoee pi čemu e uočii d k s ije ois o sjelosi; sog ijedi: g ( kd ( L N k s ( V ( k ( kd g ( L N k s ( V / k k ( L N k ( V / k I k I / I I k k g i I i i I ( ( d s ( (el:5..5/ ZBINI PEGLED MODELA jelosi ioi su očksi. jelosi ioi i pomč le se u eskočosi. Difu i eflekijuć kompoe modeliju se loklo. Koisi se empiijski model simulije sipj sjelosi oko eflekijskog eko čime se modeli lješilo. Z oju sipe sjelosi uim se oj io. Amije je modeli kosom PIMJE Pogledjmo kko se oj model poš u jjedosijim slučjeim. U seu ćemo posii kuglu u isodiše D sus. Z pijel u D sus koisii ćemo plelu pojekiju u pomč koji se li u -osi i gled pem isodišu. Koisii ćemo jed sjelosi io koji će se kođe lii u eskočosi li e osi eć u ii e u odosu isodiše pod kuem od 45 imeđu osi i ; memički ečeo pod ekoom [ ]. Budući d gledmo odogo i ćemo smo goji plš kugle (. U plelu pojekiju peslikje i D u D sus lo je jedoso:. Cje kugle ije iješeo jopimlije o poslužii će demosiju. Kko se ijel kugl pojii u iu sede kug upis kdu - i - fukij poje sku očku e pošie d li pipd kugu; ko e ide se slijedeću očku ko pipd ču se ieie. Fukij koj oo ču d je u sku: oid fsll Fom::BuoClik(Oje *ede { i ; doule I Id Is; os i ;

140 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 4 doule ; doule l l l l ; l ; l ; l ; sq(l*l l*l l*l; l l / ; l l / ; l l / ; ; ; ; sq(* * *; / ; / ; / ; fo( -; <; { fo( -; <; { * - (* *; if( < oiue; sq(; sq(* * *; / ; / ; / ; Id l* l* l*; l *Id; if( Id >. Id *Id; else Id.; l *-l; l *-l; l *-l; sq(* * *; / ; / ; / ; Is * * *; if( Is >. { Is 45*pow(Is8; else Is.; I. Id Is; Imge->Cs->Piels[5][-5]GB(II/I; ki ičui piel se slou udući d se dio kug doi u egie ijedosi i koodi isodiše je pomkuo u očku (55. Dodo se mijej i oijeij osi pem goe ( sloim se poiii poeže pem dolje. Fukij peposlj slijedeće ijedosi: I i 56 k d.785 I d I i k d k s I s I i k s 45 I g I k. 8 Čeii slike u ličie ijedosi fko pike su u sku.

141 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 4 lik lik lik lik GOUAUDOVO JENČANJE POLIGONA U pogllju 5.. opis je Pogo model. Jed od posupk koji sječje poligo emelje om modelu je Gouudo posupk. Pem eliji (el:5.../ difu kompoe u skoj oči oisi o sklom poduku eko L i eko N. Budući d je io smješe u eskočosi eko L kosog je ios u ijeloj sei. Kko sječmo poligo poligo je dio ie d je po ijeloj pošii poligo eko N kos. lijedi d je skli poduk i eko ime i difu kompoe po ijeloj pošii poligo kos.

142 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 4 ijel (po jioo oplošje u D posou oičo modelimo iom poligo. ječje ijel d se sodi sječje poligo. ki poligo dijeli pojedie oe s dugim poligoim. Poeo je u skom u poći sedju omlu i pomoću je ičui ieie u om u. edj oml ču se ko imeičk sedi oml si poligo koji dijele j. lik 5... pikuje pimje. N N N N 5... U sliku ijedi elij N ( N N N dok općeio ijedi: N N i i (el:5./ Ieie u u ču se pem eliji (el:5..5/ pi čemu emujemo I s kompoeu p slijedi: I I k I k (el:5./ i d ( L N Nko šo oo ičumo se oe kećemo sječje poligo. d ski poligo općeio gooeći im u sojim oim ličie ieiee. Oe ieiee e jpije iepolii uduž si ido (p. DDA posupkom. Nko oog poi su ieiei u skoj oči skog id poligo. d još e e ieiee iepolii od lijei ido poligo do desi ido poligo (ope DDA posupkom. Idej je pok slii 5...

143 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 4 I ( I (s I s (ss I (s I 4 (44 I ( I ( 5... Z očku (s ieie se doije iepolijom imeđu I i I 4 : I ( I( 4 s I 4 ( s 4 Z očku (s ieie se doije iepolijom imeđu I i I : I ( I( s I ( s Ieie očke (ss doije se iepolijom ieie I i I : I s ( I ( s I ( s Ok posupk čuj i se ilie iepolij (ime jpije se lieo iepoliju ieiei uduž osi poom se ši iepolij i iepolii ijedosi uduž osi. Budući d se ieie I s ču ski piel s-liije koji se li uu poligo posupk se može mlo modifiii d i se doilo ii. Uede se pis I s : I s ( I I p se ieie može čui pem: I s I s I s

144 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 44 Pi ome oč kok po -osi. Ukoliko popujmo ski piel šo je uoičjeo iosi PHONGOVO JENČANJE Oo je još jed posupk koji se si Pogoom eflekijskom modelu. Posupk je čulo jeiji li dje olje eule od Gouudoog sječj. Posupk dž ilieu iepoliju li iše se e iepoliju ieiei eć sme omle d i se kju ski piel emelju doiee ijedosi omlu ielo čuje ieie emelju elije (el:5./. d je idljio šo je posupk puo jeiji. Međuim do s posupk jes piid d iepoli oml slijedi kiljeosi pošie. lik pokuje pimje. N N N s io poši poligoii poši Zkiljeu pošiu pokušli smo piki poligoim. U u su geeio je ekoliko poligo ko d "slijede" kiljeos pošie. No mi smo ueli seg i poligo (dok i koliko oliko elu i glku kiljeos elo uei puo iše.nomle u jedičkim oim su N i N. Ukoliko omlu N s doijemo (ilieom iepolijom doi se dojm d oml slijedi kiljeos ioe pošie p očekujemo i olje eule od sječj. U posupk kećemo ko i kod Gouudoog sječj: poeo je ičui omle u sim oim pem eliji (el:5./. Zim se iodi ilie iepolij oml ko d u oči (ss doijemo omlu N s. Posljedji kok je iču ieie u oj oči pem eliji (el:5./ gdje N uimmo N s. lik pokuje posupk.

145 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 45 N ( N (s N s I s (ss N (s N ( N 4 (44 N ( Z očku (s oml se doije iepolijom imeđu N i N 4 : N ( N( 4 s N 4 ( s 4 Z očku (s oml se doije iepolijom imeđu N i N : N ( N( s N ( s Noml očke (ss doije se iepolijom oml N i N : N s ( N ( s N ( s Budući d se oml N s ču ski piel s-liije koji se li uu poligo posupk se može mlo modifiii d i se doilo ii. Uede se pis N s : N s ( N N p se ieie može čui pem: N s N s N s Pi ome oč kok po -osi. Ukoliko popujmo ski piel šo je uoičjeo iosi. e uočii d odje se elije opisuju ekoe šo či d se sk elij pi čuju spd i elije (je se čuje poodi sku kompoeu eko

146 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 46 poseo. o je još jed log dleko eće čuske jeosi sklopolje koje iodi oe klkulije.

147 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE UKLANJANJE NEVIDLJIVIH ELEMENAA 6.. UVOD Ojeke see opisujemo memičkim modelim: poligoim fukijm i sl. d s okim opisom (doduše jediim mogućim lo je spo i čuski je. Dok oe dje idi se eć i posupk sječj. D i se isje see mksimlo ulo e i posupk isj iii se dje koje su epoee ( ki im. Np. ukoliko u seu simo koku gdjegod d se lio pomč ikd mu eće ii idljie se sie koke. e "eidljie" sie po su sžje sie koke gledo i smje pomč. e sie e e ii sječi je će ioko ii uklojee. Počie li pžljio peodu ečeiu uočii ćee d se u joj le dije ličie dje. P dj je d sie e e sječi. N oom mjesu o se poso lgoime koji upijed odlučuju koje dje e e čiii. ije je i lgoim u oe se o eći i di s pošim (dkle sim sm poligo i sl.. Okim lgoimim polem pedsljju sme očke. Nime očk em ii pošiu ii oijeiju i lo je egod D seu. Dug spomeu dj je "ioko će ii uklojee". Oo je mjeso kojem su sli ličii lgoimi koji idljios ješju ii očke. Dkko oi lgoimi su dleko moćiji od peodo spomeui je de s jmjim djelićem poso (se oslo popu liij poši i sl. ssoji se upo od očk. Nedosk oi lgoim je u iueoj spoosi i elikim memoijskim jeim. U lgoime i pog dijel spdju pojee u susu see (ukljje sžji poligo i sl i pojee u susu pik (miim pojee. Dugi dio odosi se Z-uffe lgoim. 6.. UKLANJANJE AŽNJIH POLIGONA POVJEA NOMALE Oj posupk pomoći će m d okijemo koji su poligoi ijel sžji u odosu pomč. Peposk je d je ijelo opiso iom poligo i d je ijelo koekso. Ndlje peposlj se d su oi poligo di u smjeu supoom od smje kljke su ko gledmo poligo i očke koj se li i ijel. Oo će posljediu imi d se omle poligo gledju i ijel pem. d se odluk d li je poligo pedji ili sžji može doijei emelju ku šo g oml poligo ekoom usmjeeim pem gledelju. lik 6... demosi ključije:

148 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 48 N p <9 N N p >9 <9 N p 6... Poeo je pomi ku šo N g eko omle poligo poligo pem pomču. d ijedi: Poligo je sžji ukoliko je N p N < Poligo je pedji (idlji ukoliko je N p N > Poligo je degeeio u liiju ukoliko je N N p N p i eko i sediš 6.. MINIMAX POVJEE Miim pojee služe m poje d li se d ojek e peklpju. Peod ečei uči mlo čudo li ispo kkeii posupk. Nime miim pojem možemo udii d li je siguo d se d ojek e peklpju. Ukoliko pk udimo d posoji mogućos d se ojeki peklpju d dljje pojee e šii dugim lgoimim. Eo ideje. ki ojek u susu pik im soje miimle i mksimle koodie ko koje se poeže. Uspoedom i ijedosi možemo doijei eke ključke. Pimje je pik slii 6... Poje se peklpj dju segme liije. Liije su uee di jedososi o posupk je ideič ilo kke duge ojeke.

149 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 49 m mi m mi mi m mi m 6... Poslj se pije kd možemo ii sigui d se ojeki e peklpju? Ukoliko je m < mi Ukoliko je m < mi Ukoliko je m < mi Ukoliko je m < mi Ukoliko je doolje ilo koji od o čeii uje d smo sigui d se ojeki e peklpju. Ukoliko ii jed od čeii uje ije ispuje d e išii dljje pojee. Nime i dlje je moguće d se ojeki e peklpju ii jed goji ujei ije ispuje (pimje slii 6... m m mi mi mi m mi m 6... N slii 6... ojeki se i dlje e peklpju o miim pojeom o e možemo udii. Miim poje u oom slučju eulii će poeom dodim pojem je se kd podučj u kojim leže ojeki peklpju.

150 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE Z BUFFE Z uffe je posupk koji pojeu peklpj di ii očk. Idej je slijedeć. lik se is slo koči dimeij. d se pilikom isj očke slo u uffeu pmi udljeos ioe očke od pomč ( koodi očke ko pojekije. Np. poeo je isi očku (. Vši se pojekij očke i doije se očk (. N slo e isi očku poiiji (. No pije ego šo mo u očku poeo je u uffeu pogledi d li je u poiiju eć ek dug očk i ko je koliko je o dleko il od pomč. Ukoliko je š očk liž d o ski peodo isu očku (je je liže pomču p je mo i u uffe upisujemo mjeso ( udljeos še očke. Ukoliko je š očk dlj d je e mo. U pkičim iedm uffe implemei se ko polje dimeij eoluij_ * eoluij_. D li će o ii polje ip so i ili ešo eće oisi o dooljeoj duii see. Iiijlo se si elemei polj pose jeće ijedosi (dkle do sd smo "isli" jedio očke u eskočosi koje su i si. Njeći edosk okog pisup je u jeim memoijom. Np. odlučimo li se pik u eoluiji 4768 piel u mksimlu duliu see ku d možemo koisii so-ip ( j poe količi memoije iosi 4*768*57864 jo ili.5mb! Zjei memoijom mogu još posi ko u uffe odlučimo upisii iše ifomij. Nime ukoliko g koisimo spemje duie očke ismo slou d ćemo kod lo kompleksi se kojim e dos eme isje uočii kko se eki pieli pojljuju p i mjejuju dugi pieli doiei od liži ojek. D i se oo ijeglo uffe možemo koisii ko d pmi i duiu pojedie očke i jeiu oju (dkle isje se u oom koku e di slo. Jedom kd smo čiu seu isli možemo ijelu sliku u jedom polu i uffe peii slo. No ok posupk sku očku uffe je j duiu j oju šo dje 5 jo po očki ili u eoluiju 4768 ios od 96 jo ili.75mb. Oe ogome memoijske jee možemo ulžii išepolim isjem see: p. u pom polu isi ćemo goju poloiu slo u dugom polu doju poloiu. d m e uffe eličie pol slo. Općeio polo isje je smo -i dio uffe koji i elo jedopolo isje li o posupk je pu dulje! ije je i s lie uffe lgoim koji is liiju po liiju slo; o efiks pimje oog lgoim je elike imjee u čiu pmćej ojek. Kod Pogoog model osjeljj pikli smo fukiju koj je l kuglu i osječl je. U sku ćemo poki fukiju koj je osječi dije kugle koje se međusoo podju koiseći Pogo model i uffe. eul d fukije pik je slii fukij je ede u sku.

151 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 5 lik Ce dese kugle li se ešo ispod e lijee kugle. oid DijeKugle(oid { i ; doule I Id Is; os i ; doule ; so *uffe; doule l l l l ; l ; l ; l ; sq(l*l l*l l*l; l l / ; l l / ; l l / ; ; ; ; sq(* * *; / ; / ; / ; uffe (so*mllo(*4*sieof(so; if( uffenull { Appliio->MessgeBo("Nem dooljo memoije""pouk"mb_applmodal MB_ICONEO MB_OK; eu; fo( ; <; { fo( ; <4; { uffe[*4] -; fo( -; <; { fo( -; <; { * - (* *; if( < oiue; sq(; sq(* * *; / ; / ; / ; Id l* l* l*; l *Id; if( Id >. Id *Id; else Id.; l *-l; l *-l; l *-l; sq(* * *; / ; / ; / ;

152 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 5 Is * * *; if( Is >. { Is 45*pow(Is.; else Is.; I. Id Is; uffe[(5*4(5] ; Imge->Cs->Piels[5][5]GB(II/I; fo( -; <; { fo( -; <; { * - (* *; if( < oiue; sq(; sq(* * *; / ; / ; / ; Id l* l* l*; l *Id; if( Id >. Id *Id; else Id.; l *-l; l *-l; l *-l; sq(* * *; / ; / ; / ; Is * * *; if( Is >. { Is 45*pow(Is.; else Is.; I. Id Is; if(uffe[(5*4(5]<-5 { uffe[(5*4(5] -5; Imge->Cs->Piels[5][5]GB(II/I; fee(uffe; Lije kugl im e u isodišu dok des kugl im e u oči (-5. U pelji koj lijeu kuglu -uffe smo se popuj ijedosim udući d je o pi ojek. Pi ju duge kugle posupk čuj je isi smo šo se uffe jpije poje. k očk dese kugle ču se ko d je u isodišu umjeso doiei i i koodi koise se koodie (-5. Pi implemeiji uffe u ooj fukiji očk je liž i pomču šo joj je koodi eć (je je pomč osi u plus eskočosi. Zog og je iiijlo uffe popuje s egiim ijedosim.

153 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 5 7. FAKALI 7.. UVOD Jedo od ljepši podučj čule gfike poki i memičke umooie fkle. Mi ćemo u sku di pik ekoliko kkeisiči fkl i pojsii posupk kko se do ji doli. e pomeui d odje piki fkli čie lo mli dio do sd okiei fkl geelo gooeći skup fkl je eskoč skup ko d i ikd ii ećemo upoi se. Iče mom se koigii glede uode ečeie; fkli po i isu memičke eć piode oeie. Memiči su smo šli či ko i s jim. P keimo od jjedosije se. 7.. AMOPONAVLJAJUĆI FAKALI mopoljjući fkli su oeie koje sim sklm umjej džju isi kkeisiči olik. Ko pimje ćemo uei Koiu kiulju. Koi kiulj doije se slijedećim jedosim lgoimom.. Keimo od osoog olik pikog slijedećoj slii. C A B Kosukij fkl. ki od čeii segme pepi ko d umjeso liije umeeš ijeli lik i očke. Doii će se slik:

154 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 54 C A B Kosukij fkl očke A i C spojee su spojiom d se pokže kko oi oi leže joj; iče spoji e spd u poes geeij fkl.. ki segme so u peodom koku ope mijei olikom i kok.; i poes poljj u eskočos Pkič implemeij gojeg lgoim eće o ići u eskočos eć do eke de duie. Np. ukoliko se ide do duie 6 doije se slik: Pimje fkl Koi kiulj doije se kd ekuiju pusimo d ide u eskočos. Dkko čulim oičo pikujemo poksimiju Koie kiulje. Niko još ije uspio i ssim oču kiulju Fukij koj is kiulju pem peodom lgoimu može se pisi ko lo jedos ekui fukij: oid DwFlek( DelPoi A DelPoi B DelPoi C i dep { DelPoi ApBpCp; if( dep > 5 { Moeo(foud(A.foud(A.; Lieo(foud(A.(B.-A./.foud(A.(B.-A./.; Lieo(foud(C.foud(C.; Lieo(foud(A..*(B.-A./.foud(A..*(B.-A./.; Lieo(foud(B.foud(B.; eu; dep;

155 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 55 Ap. A.; Ap. A.; Bp. A.(B.-A./.; Bp. A.(B.-A./.; Cp. A.(C.-A./.; Cp. A.(C.-A./.; DwFlek( Ap Bp Cp dep ; Ap. Bp.; Ap. Bp.; Bp. C.; Bp. C.; Cp. A..*(C.-A./.; Cp. A..*(C.-A./.; DwFlek( Ap Bp Cp dep ; Ap. Bp.; Ap. Bp.; Bp. A..*(B.-A./.; Bp. A..*(B.-A./.; Cp. B..*(C.-B./.; Cp. B..*(C.-B./.; DwFlek( Ap Bp Cp dep ; Ap. Bp.; Ap. Bp.; Bp. B.; Bp. B.; Cp. B.(C.-B./.; Cp. B.(C.-B./.; DwFlek( Ap Bp Cp dep ; Fukij pim očke A B i C koje peodim slikm odgoju očkm A B i C e u ji i mlo elemee geomeije ču očke A B i C soj ski segme e ičue očke pedje u oi ekuii poi. Mksiml dui ekuije odeđe je pim ispiijem i poslje je pu eću od 5 (dkle 6. U ou fukiju još je poe i eekui fukij koj će poi soju ekuiu ičiu: oid DwFl( { DelPoi ABC; A. ; A. - ; B. - ; B. - ; C. ( A. B. /.; C. A. - sq(/.*( B. - A. /.; DwFlek(A B C ; Fukij peposlj slo lučiosi i oslj po pi piel lijeo deso i ispod kiulje. Jedosim pošiejem gojeg lgoim doii ćemo pou Koiu puljiu (Kos owflke. Umjeso od jede liije keui ćemo od oku čije su sie segmei piki u peodom lgoimu pod ojem. Doii ćemo lik: d ćemo sku liiju ieio mjejii im segmeim. eul je slijedeći:

156 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 56 p I opisog posupk može se idjei d se Koi pulji može doii ko jedkosiči oku čije su sie Koie kiulje! Memički gledo oj fkl imlji je po još ečemu: dulji jego opseg je eskoč iko je poši koju lik uim koč! Algoim je puljie kođe se ssoji od d dijel: jede ekuie fukije koj je eć ede kod Koie kiulje (DwFlek i eekuie fukije koj poi isu: oid DwFlowflke( { DelPoi ABC; doule isid; isi - ; d sq(.*isi/.; A. ; A. - - isi/4.; B. A. d; B. A.; C. ( A. B. /.; C. A. sq(/.*d/.; DwFlek(A B C ; B. A. d/.; B. A. - d*sq(./.; C. (A.B./.-isi/4.*sq(/.; C. (A.B./.-isi/4./.; DwFlek(A B C ; A. A. d; C. (A.B./.isi/4.*sq(/.; C. (A.B./.-isi/4./.; DwFlek(A B C ; I o fukij podumije ek piel. Fukij se ssoji od i jelie: poi isje doje Koie kiulje poi isje lijee Koie kiulje e poi isje dese Koie kiulje. 7.. MANDELBOOV FAKAL Mdeloo fkl sje pojejem koegeije ieiog i u kompleksoj ii. Eo o čemu se di. Nek je do ieio peslikje: i

157 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 57 Vijle i su kompleksi ojei. Odi ćemo jed kompleksi oj (i dodijelii g ijli. Počei ćemo posupk ieije i doii edom ojee: 4... Posoje i mogućosi oj i: Ni koegi pem ekom oju Ni osili Ni diegi u eskočos Z poee doij Mdelooog fkl oe i mogućosi pomi ćemo ko smo dije: Ni diegi Ni e diegi D ismo ispili pošje i čui ćemo edom odeđei oj koefiije. Koliko će o koefiije ii oisii će o doieom iu. Nime odedii ćemo d uje usljj.. Mksimli ios modul koefiije koji ćemo očii s ε. Nime ukoliko i diegi d će ojei u iu posji se eći i eći. Kd usoimo d je modul oj eći od ε eći ćemo d i diegi i pekiui ćemo ieiju.. Mksiml oj ieij m. D li i diegi ili e pojeii ćemo u mksimlo m ieij. Ako do d i pokže edeiju diegij ieije će se pekiui og uje. Iče ćemo ieije pekiui ko m ieij. Mdeloo fkl doi se ko d se edom pojeju očke u kompleksoj ii i skoj oči piduži se oj koj odgo oju ieij koje smo išili pi pojeju diegeije i u oj oči. d e još smo odgooii pije kko ćemo o i! Nši sloi isu komplekse ie. No logije im. Zslo im i os; kompleks i im elu i imgiu os. Zog og ćemo išii "mpije" slo u kompleksu iu. Može se lo jedoso poki d ukoliko se želi mpii iel od mi do m u iel mi do m odgojuć fomul glsi: ( mi ( m mi mi ( m mi Pi isju Mdelooog fkl pojei ćemo dio komplekse ie omeđe elim kompoem u mi i u m e imgiim kompoem mi i m. Kko želimo iskoisii ijeli slo dimeij WH koodie očk slo kei će se u ielu od do W-; dkle mi m W-. Y-koodie očk kei će se u ielu od do H- p je mi m H-. U om slučju goj se fomul mlo pojedosljuje p se očk ( peslik u kompleksi oj (u pi čemu ijedi: u m m ( u u m mi u mi ( m mi mi (el:7./

158 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 58 U oe se podke lgoim isje Mdelooog fkl glsi:. [ mi m ] i [ mi m ]. iši mpije očke ( u kompleksi oj (u pem eliji (el:7./.. posi k-; (u; (; 4. kk; ; ko je modul( eći od ε ili ko je k>m peđi kok 5. Iče pooi kok N koodie ( ispiši piel u oji k. Pimje implemeije oog lgoim d je u sku. oid Mdelo(doule eps i m doule umi doule um doule mi doule m i mi i m i mi i m { i k; doule u; doule _e _im; doule _e _im; doule ; doule deludel; eps eps*eps; delu(doule(um-umi/(doulem; del(doule(m-mi/(doulem; (doulemi*(m-mi/mmi; fo( mi; < m; { u (doulemi*(um-umi/mumi; fo( mi; < m; { _e u; _im ; _e _im.; k -; do { k; _e * _e - _im * _im _e;. * _e * _im _im; _e ; _im ; wile(**<eps && k<m; k 55-k; Piels[][] GB( udelu; del; ;.77E-*k*k-.89*k55 4.5E-*k*k-.86*k E-4*k*k6.777E-*k Fukij je pis u slijedeće peposke: d e plee oj (-i oj ko d se oje mogu dieko sieiii koiseći fukiju GB(. Mksimli oj ieij 55 (oj uje doli smo og či koji se čuju pojedie kompoee oje. Ogičeje se može mkui ukoliko se pomjei či odeđij oje. Poje d li oj koegi e koisi modul eć kd modul; ime je ijeguo đeje koije sku očku ie i sku ieiju čime se doi ii. No og og je počeku pogm i sm pogešk kdi. Koise se opće fomule mpije ( (u ko d se e mo fkl isi ijelom slou. Dodo su fukije ložee dijeloe i umjeso epesog

159 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 59 možej i dijeljej se je sedeo ikemeije ijli upije ičue ijedosi koje se čuju smo kd o im poee. Neki pimjei piki su u sku. Mdeloo fkl pokuje ieese olike u kompleksoj ii i o u dijelu od piližo do po eloj i iso ko do po imgioj osi. Ukoliko se odlučimo kdu pošiu s eom u oju (CC i šiiom (i isiom w d se peod fukij može poi: Mdelo( 55 C-w/. Cw/. C-w/. Cw/ ; U sku ćemo sediše pogled posii u očku (CC( Vijedos pme w ii će ede u sku sliku. w4. W4./5. W4./(5. W4./(5. 4 W4./(5. 5 W4./(5. 6

160 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 6 W4./(5. 7 W4./( JULIJEVA KIVULJA D kiulj. Zšo kiulj e fkl ije mi poo li sim mjesim gdje sm se suseo s oime oičo je ilo edeo ešo popu "Mdelo se d Julis Cue". Posoji i log šo se o d pojm spomiju jedo: Julijeu kiulju doimo mioom imjeom lgoim Mdeloo fkl. Pisjeimo se još jedom. Mdeloo fkl smo doili ko poslijediu pojee koegeije i koji sje ieiim peslikjem:. i Pi ome smo kosu ueli upo očku u kompleksoj ii koju smo ispiili. Julijeu kiulju doii ćemo u iso peslikje:

161 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 6 u i li u dije like. Pi čl i ije (i eć upo očk koju ispiujemo koegeiju (ui. Kos je upijed čso defii kompleksi oj koji e oisi o oči koju ispiujemo koegeiju. U oe dije imjee fukij koj će isi Julijeu kiulju mogl i igledi oko: Void Julij(doule eps i m doule _e doule _im doule umi doule um doule mi doule m i mi i m i mi i m { i k; doule u; doule _e _im; doule ; doule deludel; eps eps*eps; delu(doule(um-umi/(doulem; del(doule(m-mi/(doulem; (doulemi*(m-mi/mmi; fo( mi; < m; { u (doulemi*(um-umi/mumi; fo( mi; < m; { _e u; _im ; k -; do { k; _e * _e - _im * _im _e;. * _e * _im _im; _e ; _im ; wile(**<eps && k<m; k 55-k; Piels[][] GB( udelu; del; ;.77E-*k*k-.89*k55 4.5E-*k*k-.86*k E-4*k*k6.777E-*k Z pik eki kkeisiči olik poslužii ćemo se isom kikom ko i kod Mdelooog fkl. Dkle u kompleksoj ii odi ćemo poo koji ćemo ispiii koegeije očk. Ce poo je u oči (CC šii (i isi poo je w. Dodo kos koj se koisi u posupku ii će oče s CosX i CosY. C: C: W:. CosX:.798 CosY: C: C: W:. CosX:. CosY:.4

162 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 6 C: C: W:. CosX: CosY: C: C: W:.8 CosX: -.56 CosY: C: C: W:.7 CosX:.7588 CosY: C: C: W:.5 CosX: CosY:.

163 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 6 U edosku poso u sku ću esi smo eke od pme koji ode do imljii slik. im su jedički pmei: Ce poo u oči (CC( Šii (i isi poo w4

164 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 64 CosX CosY CosX CosY

165 KIPA IZ AČUNALNE GAFIKE 65 Oi čedesek očk doieo i pesoijk isj u slučjo ode očke p su poe jieesije slike. U pme w4 doii će se pik ijelog fkl o o i el ii ek pol očk. Z sku sliku ko šo se is e poo može se pomkui u eku imljiu očku i pme w se smji p. w/. Zim se o is. U slijedećem koku ope se može još umii (smjijem w id FAKAL "" GINGE Nžlos peiiji od oog e mogu ii je sm do fkl došo ssim slučjo peko iee i se šo je mo ilo edeo je oo ime. No oo o me se dojmilo je iijl geeo fkl: se šo e učiii jes odi poiolje počee ijedosi i koodie e slou isi očke koje se doiju slijedećim ieiim posupkom: Oo je pimje ieiog peslikj koje eke počee ijedosi e diegi. Np. u počee ijedosi: -..8 doije se: Boj ske očke može se odedii poioljo. U oom pimjeu oj se skom ieijom ueć e kd sige do 56 ope se esei ulu. lik je doie u ieij. Fukij koj je is: oid Gige(i m doule doule i g_mi i g_m i g_mi i g_m i _oumi i _oum i _oumi i _oum { i k ; doule ; i p p; ; fo( k ; k < m; k { if(>.-; else.--; ; p ( - g_mi/(doule(g_m-g_mi*(doule(_oum-_oumi_oumi; p ( - g_mi/(doule(g_m-g_mi*(doule(_oum-_oumi_oumi; if(p>_oumi && p<_oum &&