v = = 4 = je vektor cu u n Npr. u = je vektor s komponentama u, u. v = su jednaki ako je u Vektori u Primjer 1 Vektori u

Transcript

1 VEKTORSKI PROSTOR. peaaje..5. st.. VEKTORI U R atie koje imaj koje samo jea stpa (tipa ) zo se -ektoi ili kaće ektoi. Np. je ekto s kompoetama,., K, Vektoi i s jeaki ako je i i za se i,, K,. Pimje Vektoi 5 i 5 is jeaki, je im se azlikj čette kompoete. Skp sih -ektoa s ealim kompoetama se ozačaa s Za ektoe iz R se efiiaj opeaije zbajaje i možeje skalaom (ealim bojem). Zboj ektoa i je ekto koji se ozačaa s. 5 ( 5) Pimje Zboj ektoa i iz R je. Umožak skalaa i ektoa je ekto. Pimje Za ekto iz R i je ( ) Opeaije zbajaja i možeja skalaom imaj sljeeća sojsta: Teoem Neka s, i w ektoi iz R i eka s i skalai. Vijei:. je ekto iz R (tj. R je zatoe s obziom a opeaij zbajaja ektoa), a), b) w, ( ) ( ) w ) postoji ekto iz R taka a je za se ektoe iz R, ) za saki ekto iz R postoji ekto iz R za koji je ( ),. je ekto iz R (tj. R je zatoe s obziom a opeaij možeja ektoa skalaom), e) ( ), f) ( ), g) ( ) ( ), h).

2 VEKTORSKI PROSTOR. peaaje..5. st.. okaz: Sojsta. i. slijee iekto iz efiiije zbajaja ektoa i možeja ektoa skalaom. Dokažimo a ijei sojsto f), a peostala okažite sami. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Lako se može pojeiti a s ektoi i iz sojstaa ) i ) jeistei te a je l-ekto i spota ekto o. ( ) Napomee:. Lakše je zapisiati ektoe kao matie koje imaj samo jea eak. [ ] L R se može gleati i kao skp točaka tj. eđeih -toki ( ),K,, ealih bojea. Oje e paimo azlik izmeđ -ektoa, matia tipa i eđeih -toki, je se algebaski (zbajaje, možeje skalaom) poašaj isto.. Najzačajiji s R i R koje smo eć počili aalitičkoj geometiji aie i postoa. Np. a), i s ektoi iz w b), i s ektoi iz 8 5 w Za ektoi iz > R se e mog gafički peočiti! Dljia (oma) ektoa iz R je L. Skalai možak ektoa i je L. ože se pokazati a ijei Cahy-Shwazoa ejeakost: ( ), za se ektoe i iz Vijei i ejeakost tokta: za se ektoe i iz Pimje Neka s ektoi i. Njihoe ljie s ( ) ( ) ( ), ( ). A jiho skalai možak je ( ) ( ) ( ) ( ) 6 8. Pojeimo a ijei ijei Cahy-Shwazoa ejeakost ( ),. Pojeite ejeakost tokta za ektoe i! Skalai možak se može zapisati pomoć matičog možeja oako:. T

3 VEKTORSKI PROSTOR. peaaje..5. st.. Kt ϕ [, π ] izmeđ ektoa i iz R je efiia s os ϕ. Da ektoa s otogoala(okomita) ako je. Jeiiči ekto iz R je ekto ljie. Ako je, oa je jeiiči ekto smje ektoa. U R : i e je ozaka za (,) ili, U R : i e je ozaka za (,,) ili, k e je ozaka za (,,) ili. U R jeiiči ektoi e (,, K, ) ili, s međsobo okomiti ektoi. j e j e je ozaka za (,) je ozaka za (,, ) ili. ili, e (,,, K,) ili,, e (,, K,,) ili VEKTORSKI PROSTOR REALNI VEKTORSKI PROSTOR je skp V s opeaijama i koje imaj sljeeća sojsta:. je ekto iz V (tj. V je zatoe s obziom a opeaij ), a) za se ektoe i iz V, b) ( w) ( ) w za se ektoe, i w iz V, ) postoji ekto iz V taka a je za se ektoe iz V, ) za saki ekto iz V postoji ekto iz V za koji je ( ),. je ekto iz V (tj. V je zatoe s obziom a opeaij ), e) ( ) za se eale bojee i se ektoe i iz V, f) ( ) za se eale bojee i i za se ektoe iz V, g) ( ) ( ) za se eale bojee i i za se ektoe iz V, h) za se ektoe iz V. Elemeti skpa V se zo ektoi, a eali bojei skalai. Opeaija se zoe zbajaje ektoa, a opeaija se zoe možeje ektoa skalaom. Pimjei. Skp R s pije efiiaim opeaijama zbajaja i možeja skalaom je ektoski posto.. Skp si matia tipa s opeaijama zbajaja matia i možeja matia skalaom je ektoski posto. Općeito, m si matia tipa m s opeaijama zbajaja matia i možeja matia skalaom je ektoski posto.. Skp F [ a, b] sih ealih fkija koje s efiiae a [ a, b] s opeaijama zbajaja fkija i možejem fkije bojem je ektoski posto.. Skp F (, ) sih ealih fkija koje s efiiae a R s opeaijama zbajaja fkija i možejem fkije bojem je ektoski posto.

4 VEKTORSKI PROSTOR. peaaje..5. st.. 5. Skp sih polioma P stpja s l-poliomom s opeijama zbajajem polioma i možejem polioma skalaom je ektoski posto. 6. Skp sih polioma P s l-poliomom s opeaijama zbajajem polioma i možejem polioma skalaom je ektoski posto. Neka je V ektoski posto i W jego epazi poskp. Ako je W ektoski posto s obziom a opeaije iz V, oa se W azia ektoski poposto o V. Pimje 5 Saki ektoski posto ima ajmaje a popostoa: - sam je sebi poposto i - l-poposto koji saži samo l-ekto tj.{ }. Teoem Neka je V ektoski posto s opeaijama i i W jego epazi poskp. W je ektoski poposto o V ako i samo ako ijee sljeeći jeti:. je iz W za se ektoe i iz W,. je iz W za se bojee i se ektoe iz W. Pimje 6 a b Neka je W skp sih matia tipa oblika gje s W je poskp ektoskog postoa. Pokažite! RJEŠENJE: a, b,, a b a b a a b b Za i iz W je i iz W. a b a b Ako je boj i iz W, oa je i iz W. Po pethoom teoem slijei a je W poposto o. Pimje 7 Koji o sljeećih poskpoa o R s običajeim zbajajem i možejem ektoa pestalja ektoski poposto? x a) W je skp sih ektoa gje je x. y x b) W je skp sih ektoa gje je x i y. y x ) W je skp sih ektoa gje je x. y

5 VEKTORSKI PROSTOR. peaaje..5. st. 5. RJEŠENJE: a) W je esa polaia. W ije poposto, je je p. iz W, a ije iz W. 5 5 b) W je pi kaat i ije poposto. Pokažite sami! ) W je y-os Za ektoe i iz W je i iz W. y z y z Za ekto i boj je i iz W. Zakljčjemo a je W poposto o y y Pimje 8 Neka je homogei ssta Ax gje je matia A tipa m. Njegoa ješeja s ektoi x iz Neka je W poskp o R koji se sastoji o sih ješeja homogeog sstaa Ax. Kako ijei A, oa je W pa W ije paza skp. Ako s x i y ješeja homogeog sstaa tj. ako ijei Ax i Ay, oa je A ( x y) Ax Ay pa je i x y ješeje homogeog sstaa. Za boj je A x Ax što zači a je i x ješeje homogeog sstaa. ( ) Tako smo okazali a je skp W sih ješeja homogeog sstaa Ax poposto o Taj poposto o R se zoe posto ješeja homogeog sstaa Ax ili l-posto o A. Naglasimo a skp ješeja ehomogeog sstaa Ax b, b ije poposto o Neka s ektoi,, K, iz ektoskog postoa V. Za ekto iz V kažemo a je lieaa kombiaija ektoa,, K, ako je K za eke bojee,, K,. Pimje 9 Neka s, i ektoi iz Vekto je lieaa 5 kombiaija ektoa, i ako postoje bojei, i tako a ijei Ka stimo ektoe, i, alazimo. 5 To alje oi a ssta Pa ijei. 5. koji iješimo i obiamo, i. Ako je S {,, K, } skp ektoa ektoskog postoa V, oa se ektoe koji se mog pikazati kao lieaa kombiaija ektoa iz S ozačaamo s L (,, K, ). Kažemo a je skp L (,, K, ) azapet ektoima,, K,. Pimje Ako s, ekolieai ektoi iz ishoištem i koja saži ektoe,. R, oa je ( ) L, aia koja polazi Teoem Ako je S {,, K, } skp ektoa ektoskog postoa V, oa je L (,, K, ) poposto o V.

6 VEKTORSKI PROSTOR. peaaje..5. st. 6. LINEARNA NEZAVISNOST Vektoi,, K, iz ektoskog postoa V s lieao zaisi ako postoje bojei,, K,, koji is si jeaki li, tako a je L. () U spotom kažemo a s ektoi lieao ezaisi. Vektoi,, K, s lieao ezaisi ako iz L slijei a je L. Jeia lieaa kombiaija lieao ezaisih ektoa koja iščezaa je oa kojoj s si koefiijeti jeaki li. Postpak tđiaja a li s ektoi,, K, lieao zaisi ili ezaisi: koak Zapisati jeažb L koja oi a homogei ssta. koak Ako taj homogei ssta ima samo tiijalo ješeje L, oa s ektoi lieao ezaisi. Ako ima etiijao ješeje, oa s ektoi lieao zaisi. Pimje Pojeite a li s ektoi i lieao zaisi ili ezaisi. RJEŠENJE: Jeažba () glasi i aje homogei ssta. Oaj homogei ssta ima samo tiijalo ješeje. Zaai ektoi s lieao ezaisi. Pimje Pokažite a s ektoi, i lieao ezaisi. Pimje Da li s ektoi,, i iz R lieao zaisi ili ezaisi? RJEŠENJE: Jeažba () oi a homogei ssta koji ima jeažbe i epozaie pa ima beskoačo mogo ješeja međ kojima je i,, i. Vektoi s lieao zaisi. Pimje Vektoi e i e s lieao ezaisi ijei samo za. Općeito, ektoi e, e, K,e s lieao ezaisi R, je e e tj. Pimje 5 Ako je međ ektoima,, K, k l-ekto i, oa jeažba () ijei za p. i za j i. Saki skp ektoa koji saži l-ekto je lieao zaisa. i j

7 VEKTORSKI PROSTOR. peaaje..5. st. 7. Vektoi,, K, iz V s baza ektoskog postoa V ako ijei.,,, s lieao ezaisi ektoi i K.,,, azapij V tj.v L,,,. K ( K ) Pimje 6 pioa ili staaa baza R, R ooso R Vektoi e i e čie s baza R, ektoi e, e, e čie baz R,. Općeito, ektoi e, e, K,e čie baz Već smo pokazali a s e, e, K,e lieao ezaisi. Očito je a se saki ekto iz R može zapisati kao jihoa lieaa kombiaija e e L e. Pimje 7 Pokažite a ektoi,, i čie baz RJEŠENJE: Da bi pokazali a s,, lieao ezaisi, stimo ih jeažb,. Dobije se homogei ssta koji ima samo tiijalo ješeje (pojeite!). Vektoi s lieao ezaisi. Peostaje pokazati a ektoi,, azapij k k, k,, k za koje ijei, k k k k Za ekto iz a b R teba aći bojee tj. teba ga zapisati kao liea kombiaij ektoa,,,. Ka se ste zaai ektoi, obije se lieai ssta za koji se ii (pokažite!) a je kozisteta tj. a ima ješeje k, k, k, k. (Ka bi ssta bio ekozisteta, oa ektoi,, e bi azapijali R!), Teoem Ako je S {,, K, } baza ektoskog postoa V, oa se saki ekto iz V može zapisati samo a jea jeii ači kao lieaa kombiaija ektoa baze S. Vektoski posto zoemo koačoimezioala ako je jegoa baza koača skp. Se baze koačoimezioalog ektoskog postoa imaj jeak boj ektoa. Dimezija im ektoskog postoa V je jeaka boj elemeata jegoe baze. Dimezija V { } } l-postoa { je jeaka. Pimjei 8 Dimezija o R je, imezija o R je. Općeito, imezija o R je tj. im ( R ). Dimezija postoa matia tipa m je m tj. im ( m ) m. Np. im. m ( ) 6

8 VEKTORSKI PROSTOR. peaaje..5. st. 8. kompoete ektoa jeaki ektoi zboj ektoa možak skalaa i ektoa l-ekto spota ekto ljia (oma) ektoa skalai možak ektoa Cahy-Shwazoa ejeakost ejeakost tokta kt ektoa možak skalaa i ektoa otogoali (okomiti) ektoi jeiiči ekto eali ektoski posto ektoi skalai zbajaje ektoa možeje ektoa skalaom ektoski poposto l-poposto posto ješeja sstaa Ax l-posto matie lieaa kombiaija ektoa skp azapet ektoima lieaa zaisost ektoa lieaa ezaisost ektoa baza ektoskog postoa pioa ili staaa baza imezija ektoskog postoa koačoimezioala ektoski posto