( ) 2. 3 upisana je kocka. Nađite brid kocke.

Transcript

1 Zdtk 00 (Tomislv, tehničk škol) Kugli polumje upisn je kok. Nđite id koke. Rješenje 00 ko je kugli upisn kok, ond je pomje kugle jednk postonoj dijgonli koke: =. Poston dijgonl koke čun se fomulom: D =. = => = 6 / :, jež 00 Kugli polumje Rezultt: = = = = =. upisn je kok. Nđite id koke. Zdtk 00 (Gon, tehničk škol) Jednkokčni tpez dulje osnovie 7 m, kće osnovie m i kk m oti oko veće osnovie. Izčunjte oujm (volumen) nstlog otijskog tijel. Rješenje 00 Izčunmo visinu jednkokčnog tpez: = 7 m, = m, = m v - ( - ) / v = v = v = = m. Rotijom jednkokčnog tpez oko dulje stnie nstje geometijsko tijelo koje se sstoji od vljk i dv stoš. = v = v h h ljk im visinu i polumje = v p je njegov oujm (volumen): ( ) = = v = = 6 π m. Stož im visinu h = i polumje = v p je oujm dv stoš: ( ) = h = v = = 6 π m. Oujm otijskog tijel je: = 6π m + 6π m = 5π m.

2 jež 00 Jednkokčni tpez dulje osnovie 8 m, kće osnovie m i kk 5 m oti oko veće osnovie. Izčunjte oujm (volumen) nstlog otijskog tijel. Rezultt: = 6π m. Zdtk 00 (Ines, gimnzij) Pvokutnik stni =, = 5 zotimo oko dulje stnie z 0. Nđite oujm otijskog tijel. Rješenje 00 Rotijom pvokutnik oko dulje stnie doivmo tijelo koje je po oujmu tećin oujm vljk. = = v 0 = = v = v = = 5 = 5 π. jež 00 Pvokutnik stni =, = 6 zotimo oko dulje stnie z 0. Nđite oujm otijskog tijel. Rezultt: π. Zdtk 00 (Hvoje, tehničk škol) U kuglu polumje m upisn je stož visine m. Koliki je omje oujm (volumen) stoš pem oujmu (volumenu) kugle? Rješenje 00 Oznčimo s s volumen stoš, s k volumen kugle. Iz oznčenog tokut doivmo polumje ze stoš: v R v - R = R v R = = =. ( ) ( ) Fomul z oujm (volumen) stoš glsi: = v, z oujm (volumen) kugle: = π. Gledmo omje volumen stoš i kugle:

3 ( ) v s v 9 = = = = = 9:. R k R jež 00 U kuglu polumje m upisn je stož visine m. Koliki je omje oujm (volumen) kugle pem oujmu (volumenu) stoš? Rezultt: : 9. Zdtk 005 (Di, ekonomsk škol) Pvokutnik povšine 0 m oti oko dulje stnie z 90º. Koliko je oplošje i volumen otionog tijel ko je zlik duljin stni pvokutnik 5.5 m? Rješenje 005 Iz pozntih podtk nđemo stnie i : 90 P = 0 = 0 = 0 ( + 5.5) = = 0 = 5.5 = 5.5 = ± 5.5 ± 0.5 ( 0) 5.5 ± ± 0.5, = = = =. Duljin stnie iznosi: = = =.5 m. Td je duljin stnie jednk: = = = 8 m. Rotijom pvokutnik oko dulje stnie doije se vljk čij je visin v = i polumje =. Z oplošje i volumen vljk vijede fomule: ( ) O = + v, = v. udući d pvokutnik oti z 90º =, čunmo smo četvtinu od ijelog oplošj i volumen: O = ( + v) = ( + v) = ( + ) =.5 (.5 + 8) =.5 m, = v = =.5 8 =.5 π m. jež 005 Pvokutnik povšine 0 m oti oko dulje stnie z 80º. Koliko je oplošje i volumen otionog tijel ko je zlik duljin stni pvokutnik 5.5 m? Rezultt: O = 6.5π m, = 5π m. Zdtk 006 (Gon, tehničk škol) Poočni idovi pvilne uspvne četveostne pimide sukldni su dijgonlm osnovie. ko je duljin id osnovie 6, ond volumen kugle opisne toj pimidi iznosi. 7 π. 96 π. 6 π D. π E. 6 6π Rješenje 006 Osnovi pvilne uspvne četveostne pimide je kvdt. ko je duljin stnie kvdt, ond je duljin dijgonle d =.

4 Iz uvjet zdtk slijedi = 6. = d = 6 Polem iz ti dimenzije (kugl je opisn toj pimidi) možemo peiti, pevesti n polem u dvije dimenzije (kužni je opisn jednkostničnom tokutu duljine stnie 6. Polumje kužnie opisne jednkostničnom tokutu duljine stnie čun se po fomuli =. Zto je: = 6 6 = = = olumen kugle iznosi: 6 = π = ( 6 ) π = 8 6 π = [ djelomično kojenovnje] = = π = 6π. jež 006 Poočni idovi pvilne uspvne četveostne pimide sukldni su dijgonlm osnovie. ko je duljin id osnovie 6, koliko je oplošje kugle opisne toj pimidi? Rezultt: 96π. Zdtk 007 (Ivn, tehničk škol) Svi idovi koji izlze iz jednog vh pimide međusono su okomiti i imju duljine =, =, =. Nđi polumje sfee opisne toj pimidi. Rješenje 007 d d Sfe opisn pimidi istodono je opisn i kvdu s idovim, i. Polumje sfee je: D = D = + +, gdje je D poston dijgonl kvd. jež 007 Svi idovi koji izlze iz jednog vh pimide međusono su okomiti i imju duljine = 8, = 6, = 5. Nđi polumje sfee opisne toj pimidi. Rezultt: 5 5. Zdtk 008 (Gog, gimnzij) Sfe polzi koz vhove donje osnovke koke id duljine 8 i dodiuje gonju osnovku koke. Nđite sfee. Rješenje 008 S S - D N N d

5 S slike vidi se: d d = = ( ) = + = + + d = ( ) + 8 = / = = = 6. jež 008 Sfe polzi koz vhove donje osnovke koke id duljine i dodiuje gonju osnovku koke. Nđite sfee. Rezultt: 9. Zdtk 009 (nte, gimnzij) Tokut s stnim, i oti oko stnie. ko je duljin visine n stniu jednk m, odedite volumen nstlog otijskog tijel. Rješenje 009 x olumen nstlog otijskog tijel jednk je zoju volumen dvju stož koji imju zjedničku osnovku (zu) polumje i visine x i y: = x y ( x y) m. π + π = π + = π x + y = jež 009 Tokut s stnim, i oti oko stnie. ko je duljin visine n stniu jednk 6 m, odedite volumen nstlog otijskog tijel. Rezultt: m. Zdtk 00 (Ivn, tehničk škol) Pvokutni tokut ( = 5, = 0) oti oko osi koz vh okomite n hipotenuzu. Nđite oplošje otijskog tijel. Rješenje 00 y S Uočimo pvokutn tokut i pomoću Pitgoin poučk izčunmo hipotenuzu : = + = + v = = N D = 65 / = 5. isin v pvokutnog tokut doije se pomoću fomul z povšinu tokut: P = v 5 0 = / v = = =. v 5 P = Uočimo pvokutn tokut S i pomoću Pitgoin poučk nđemo S : S = S S = 5 S = 5 S = 8 / S = 9. Nstlo je tijelo knji stož iz kojeg je izvđen mnji stož. E R = = D = = 5, = S = SE = 9 s = = DE = = 0, s = = E = = 5 Oplošje tko doivenog otijskog tijel sstoji se od: 5

6 osnovke knjeg stoš... O = R π = 5 π = 65 π, plšt knjeg stoš... O = ( R + ) s = ( 5 + 9) 0 = 680 π, plšt mnjeg stoš... O = s = 9 5 = 5 π. Oplošje otijskog tijel iznosi: O = O + O + O = 65 π π + 5 π = 0 π. jež 00 Pvokutni tokut ( = 5, = 0) oti oko osi koz vh okomite n hipotenuzu. Nđite oujm otijskog tijel. π v Rezultt: ( ) v R v = R + + R = ( R + ) = 00 π. Zdtk 0 (Ivn, gimnzij) U uspvni stož polumje = i visine v = upisn je kok. Nđite duljinu id koke. Rješenje 0 D N D N Iz dijgonlnog pesjek koke i stoš zjedno vidi se d su tokuti D i N slični. N = =, N = v =, D =, D = N DN = = Postvimo zmje: D : D = N : N : = : = ( ) = = = = /: =. jež 0 U uspvni stož polumje = i visine v = upisn je kok. Nđite duljinu id koke. Rezultt: =. Zdtk 0 (Ivn, gimnzij) Pvilnom oktedu id = 6 upisn je kugl. Koliki je polumje kugle? Rješenje 0 ko je oko sfee polumje opisn pimid kojoj je oplošje O, td se oujm pimide može izčunti n sljedeći nčin: zmislimo d je sedište sfee vh svih pimid kojim su osnovke osnovk pimide i sve njezine poočke, visin svih je polumje upisne sfee. udući d smo pimidu stvili n niz mnjih pimid, njezin oujm iznosi: 6 ( n ) = P + P + P + + P n = + P + P + P + + P = O Rčunmo oujm okted:

7 d = v d = v = v = v = / v =. Okted je jedno od pet pvilnih tijel i omeđeno je s osm jednkostničnih tokut. olumen okted iznosi: Polumje upisne kugle je: = v = =. = O = 8 8 = = / = 6 = = = = = = =. jež 0 Pvilnom oktedu id = 6 upisn je kugl. Koliko je oplošje kugle? Rezultt: O = π. Zdtk 0 (i, hotelijesk škol) U koku zdnog id upisn je kugl. Koliko u postoim iznosi oujm kugle s oziom n oujm koke? Rješenje 0 v d udući d je kugl polumje upisn u koku zdnog id, vijedi: Gledmo omje oujmov kugle i koke: =. ku 8 π 5.6 = = = = = 0.56 = = 5.6% ko jež 0 U koku zdnog id upisn je kugl. Koliko u postoim iznosi oplošje kugle s oziom n oplošje koke? Rezultt: 5.6%. Zdtk 0 (Kety, fmeutsk škol) U koku su upisni istostni vljk i kugl. Odedi : :, gdje je oujm kugle, oujm istostnog vljk i oujm koke. Rješenje 0 Ponovimo! 7

8 Oujm kugle: = π. Oujm istostnog vljk: = π (istostni vljk je uspvni kužni vljk kojemu je duljin s izvodnie jednk dijmetu znog kug, s = v = ). Oujm koke: =. udući d su istostni vljk i kugl upisni u koku duljine id, z omje oujmov vijedi: : : : : = : : : : = 8 8 pomnožimo : : : : = 6 svkičln s : : = : : : : = π : π :. 6 jež 0 U koku su upisni istostni vljk i kugl. Odedi : :, gdje je oujm koke, oujm istostnog vljk i oujm kugle. Rezultt: : π : π. Zdtk 05 (Kety, fmeutsk škol) U uspvni kužni stož oujm, čij izvodni s zom ztv kut od 60, upisn je kugl. Koliki je oujm kugle? Rješenje 05 Ponovimo! Oujm stoš: = v, gdje je polumje kug (ze), v visin stoš, Oujm kugle: = π, gdje je polumje kugle. udući d izvodni stoš s zom ztv kut od 60, dijmetlni pesjek stoš je jednkostničn tokut p oujm stoš iznosi: s = v s = s =. Kko je kugl upisn u stož njezin je polumje jednk visine stoš: v R Oujm kugle je: R = v R = R =. 8

9 = R = π π π. k k = = k 7 k 7 Gledmo omjee oujmov: 7 7 k = k = k = k = =. s 7 9 k s s s s 9 jež 05 U uspvni kužni stož oujm 8 m, čij izvodni s zom ztv kut od 60, upisn je kugl. Koliki je oujm kugle? Rezultt: 6 m. Zdtk 06 (Kety, fmeutsk škol) tnjom om oko njegove dulje dijgonle nstje tijelo oujm dv put mnjeg od oujm tijel koje nstje vtnjom om oko njegove kće dijgonle. Koliki je omje duljin dijgonl e : f? (e > f) Rješenje 06 Ponovimo! Oujm stoš: = v, gdje je polumje kug (ze), v visin stoš. Dijgonle om međusono su okomite i spolvljju se. e tnjom om oko njegove dulje dijgonle e nstje tijelo koje se sstoji od dv stoš s zjedničkom zom. f e Polumje ze tih stož je, visin svkog od njih je. Zto je volumen nstlog tijel jednk: f e f e = e = e e = f e e = f e. e tnjom om oko njegove kće dijgonle f nstje tijelo koje se sstoji od dv stoš s zjedničkom zom. e f Polumje ze tih stož je, visin svkog od njih je. Zto je volumen nstlog tijel jednk: e f e = f e f e f. f = π π π f = = f f udući d je zog petpostvke zdtk oujm e dv put mnji od oujm f, slijedi: / e e = / : :. f f e π = e f e f π f = e f f = e f = jež 06 tnjom om oko njegove dulje dijgonle nstje tijelo oujm ti put mnjeg od oujm tijel koje nstje vtnjom om oko njegove kće dijgonle. Koliki je omje duljin dijgonl e : f? (e > f) Rezultt: :. f f Zdtk 07 (Kety, gimnzij) Kvdt s stniom duljine oti oko svoje dijgonle. Koliki je volumen tko doivenog tijel? Rješenje 07 = = D = D =, DP = P = =, P = P = v = 9

10 D jež 07 Kvdt s stniom duljine tijel? Rezultt:. Nstlo tijelo sstoji se od dv stoš D i D s zjedničkom zom, kugom polumje. olumen tijel iznosi: = v = v = = = 6 = =. 6 oti oko svoje dijgonle. Koliki je volumen tko doivenog Zdtk 08 (Los-Hlos, gimnzij) Osni pesjek uspvnog stoš pvokutn je tokut. U stož je upisn vljk tko d mu jedn osnovi leži n zi stoš. Pomje ze vljk jednk je njegovoj visini. Koliki je omje volumen stoš i volumen vljk? Rješenje 08 Zto je: R v Rčunmo omje volumen stoš i volumen vljk: udući d je osni pesjek uspvnog stoš pvokutn tokut, tokut S je pvokutn jednkokčn: 0 S = S = R. Tokut P je, tkođe, pvokutn jednkokčn: P = P =. Pomje ze vljk jednk je njegovoj visini p vijedi: SP =. S = SP + P R = + R =. = h volumen stoš R R ( s s R s ) = = = v volumen vljk v 6 v = h 6 s = s = s = : 9 :. s v = v 6 v 6 v jež 08 Osni pesjek uspvnog stoš pvokutn je tokut. U stož je upisn vljk tko d mu jedn osnovi leži n zi stoš. Pomje ze vljk jednk je njegovoj visini. Koliki je omje volumen vljk i volumen stoš? Rezultt: v : s = : 9. P 5 P S v R 5 Zdtk 09 (Los-Hlos, gimnzij) U kvdt stnie = 6 upisn je kug. Lik koji je zlik kvdt i kug oti oko dijgonle kvdt. Nđite otijski volumen.

11 Rješenje 09 Ponovimo! Dijgonl kvdt stnie iznosi d =. olumen stoš: = h, volumen kugle: = π. = = =. D E ( ), Rotijom kvdt D oko, n pimje dijgonle D, doiju se dv stoš s zjedničkom zom, kugom s sedištem u točki S i polumjeom i visinom 6 = S = S = = = = 6 h = SD = S = = = = olumen nstlog tijel iznosi: ( ) 6 s = s = s = π. Rotijom kug oko dijgonle D doije se kugl polumje R = SE = olumen kugle je: = 6. k = = k 8 k Rotijski volumen iznosi: = s = 6 = 6 = 6 6 k 6. ( ) = 6 6 = 6 π. jež 09 U kvdt stnie = upisn je kug. Lik koji je zlik kvdt i kug oti oko dijgonle kvdt. Nđite otijski volumen. Rezultt: = ( ). Zdtk 00 (Los-Hlos, gimnzij) U polukuglu polumje 5 upisn je vljk čij je visin jednk pomjeu njegove ze. Nđite volumen vljk. Rješenje 00 R S 6 S olumen vljk iznosi: 5 P S slike vidi se: S =, P =, SP = 5. Uočimo pvokutn tokut SP i pomoću Pitgoin poučk nđemo polumje ze vljk: S + P = SP + = 5 ( ) ( ) + = 5 5 = 5 /:5 = =..

12 =, h = = = π = π. = h jež 00 U polukuglu polumje 5 upisn je vljk čij je visin jednk pomjeu njegove ze. Nđite volumen vljk. Rezultt: 6 π.