Lineárne kódy. Ján Karabáš. Kódovanie ZS 13/14 KM FPV UMB. J. Karabáš (FPV UMB) Lineárne kódy Kodo ZS 13/14 1 / 19
|
|
- Ζηνοβία Αξιώτης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Lineárne kódy Ján Karabáš KM FPV UMB Kódovanie ZS 13/14 J. Karabáš (FPV UMB) Lineárne kódy Kodo ZS 13/14 1 / 19
2 Algebraické štruktúry Grupy Grupa je algebraická štruktúra G = (G;, 1, e), spolu s binárnou operáciou taká, že (G1) a, b G, a b G (je uzavretá vzhľadom na operáciu ), (G2) a, b, c G, a (b c) = (a b) c (operácia je asociatívna na G), (G3)!e G, a G, e a = a e = a (existuje jedinečný neutrálny prvok e), (G4) a G,!b G, a b = b a = e (každý prvok a má jedinečný inverzný prvok b). Za operáciu berieme zvyčajne (bežné aritmetické) operácie +, (násobenie); neutrálnymi prvkami sú (zvyčajne) 0 (resp. 1); inverzným prvkom je a (resp. a 1 ). Pre násobenie používame notačnú skratku a b ab. Zápis (G;, 1, e) skracujeme zvyčajne na (G; ), prípadne G, ak je operácia pochopiteľná z kontextu. Príklady množina symetrií štvorca, množina symetrií číselnej osi, (Z; +), (Z k ; +), (Z p \ {0};.), ({0, 1} k, +), (R, +),(R \ {0},.), (C, +),... Komutatívna grupa je grupa, pre ktorú platí dodatočná identita (G5) a, b G, a b = b a (operácia je komutatívna na G). Príklady (Z; +), (Z k ; +), (Z p \ {0};.), (R, +),(R \ {0},.), (C, +) sú komutatívne grupy. J. Karabáš (FPV UMB) Lineárne kódy Kodo ZS 13/14 2 / 19
3 Algebraické štruktúry Polia Pole je algebraická štruktúra F = (F; +,,, 1, 0, 1) taká, že (F; +,, 0) je komutatívna grupa, (F \ {0};, 1, 1) je komutatívna grupa, a, b, c F, a(b + c) = ab + ac (platí distributívny zákon pre + a ) Príklady (Z p; +,.), ({0, 1} k, +,.), (R, +,.),(R n, +,.), (C, +) sú polia. Nech F je pole. Potom (F1) a, b F, a + b F a ab F; (F2) a, b, c F, (a + b) + c = a + (b + c) a (ab)c = a(bc); (F3) a, b F a + b = b + a a ab = ba; (F4) a, b, c F a(b + c) = ab + ac; (F5) existujú jedinečné prvky 0 a 1 také, že a + 0 = 0 + a = a a 1.a = a.1 = a; (F6) a F!b F a + b = b + a = 0 (b = a); (F7) a F \ {0}!c F ac = ca = 1 (c = a 1 ); J. Karabáš (FPV UMB) Lineárne kódy Kodo ZS 13/14 3 / 19
4 Algebraické štruktúry Konečné polia Z p a Z p k Pre každé prvočíslo p definujeme na množine {0, 1,..., p 1} dve binárne operácie { a + b ak a + b p 1, a b = a + b p inak, a a b = ab kp, kde k Z zvolené tak, aby 0 ab kp p 1. Číslo k je definované jednoznačne. Veta 1 Algebraická štruktúra (Z p) je pre každé prvočíslo p (konečné) pole. Algebraická štruktúra (Z p k ) je (konečné) pole pre každé prvočíslo p a ľubovoľné celé číslo k 1. Pre overenie prvej časti stačí overiť (F6) a (F7). Druhá časť je komplikovanejšia... Je algebraická štruktúra Z n pole pre ľubovoľné n Z? Zoberme n = 6. Potom 2 3 = 6 6 = 0 a ak exituje inverzný prvok x k 2, potom z 2 x = 1 vyplýva 3 (2 x) = 3 1, t.j. 3 = (3 2) x = 0 x = 0. Algebraická štruktúra (Z 6,, ) je príkladom okruhu. Faktorový okruh (pole) Z(modp). Prvky sú triedy ekvivalencie [x] = {x + pq, q Z} a operácie sú [a] [b] = [a + b] = (a + b) mod p a [a] [b] = [a.b] = (ab) mod p. J. Karabáš (FPV UMB) Lineárne kódy Kodo ZS 13/14 4 / 19
5 Algebraické štruktúry Vektorové priestory Nech F je vybrané pole. Potom vektorový priestor V(F) = (F; +,.) je algebraická štruktúra s vlastnosťami štruktúra (V, +) je komutatívna grupa, x V a t F, tx V. Prvky množiny V voláme vektory a prvky poľa F voláme skaláry. Pre výber ľubovoľnej dvojice vektorov x, y V a ľubovoľnej dvojice skalárov s, t F platí (V1) t(x + y) = tx + ty = xt + yt = (x + y)t, (V2) (st)x = s(tx), (V3) (s + t)x = sx + tx, (V4) 1.x = x, ak 1 je neutrálny prvok multiplikatívnej grupy poľa F. Vektor je usporiadaná k-tica prvkov poľa F, označujeme x = (x 1, x 2,..., x k ). Operácia sčítania je definovaná po zložkách, tj. x, y F k V(F), x + y = k (xi + yi) a i=1 skalárny násobok je definovaný x F k, a c F, cx = (cx 1, cx 2,..., cx k ). Príklady {0, 1} = Z 2, Z p, Z p n, Z k 2, Z k p, Z k p n, R, Rk,... J. Karabáš (FPV UMB) Lineárne kódy Kodo ZS 13/14 5 / 19
6 Algebraické štruktúry Báza, dimenzia a podpriestor vektorového priestoru Majme ľubovoľný výber {x 1, x 2,..., x m} V = V(F). Funkciu (funktor) l : V m V definovanú l : {x 1, x 2,..., x m} c 1x 1 + c 2x c mx m, c 1, c 2,..., c m F Hovoríme, že {x 1, x 2,..., x m} je lineárne nezávislá, ak pre lineárnu kombináciu platí c 1x 1 + c 2x c mx m = 0 c 1 = c 2 =... = c m = 0. Každá lineárne nezávislá podmnožina V tvorí bázu B(V) vektorového priestoru. Príklad Ak V = R 2, potom báza je {(0, 1), (1, 0)}, ale napr. aj {(1, 1), ( 1, 0)}... Nech K a V sú vektorové priestory. K je podpriestor vektorového priestoru V ak B(V), B(K) B(V). Dimenzia vektorového priestoru je mohutnosť najmenšej množiny lineárne nezávislých vektorov v V. Príklad Ak V = R 2, potom dimenzia V = 2. Z lineárnej algebry vieme, že všetky riešenia homogénnej sústavy lineárnych rovníc nad n neznámymi tvoria vektorový (lineárny) priestor K, ktorý je podpriestorom priestoru V = F n. Súčet a + b = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,..., a n + b n) patrí do K a skalárny násobok ta = (ta 1, ta 2,..., ta n) patrí do K. J. Karabáš (FPV UMB) Lineárne kódy Kodo ZS 13/14 6 / 19
7 Metrika Hammingova vzdialenosť Binárna funkcia δ : M 2 R je metrika ak 1 δ(x, y) 0 pre všetky x, y M ; špeciálne δ(x, x) = 0; 2 δ(x, y) = δ(y, x); 3 x, y, z M : δ(x, z) δ(x, y) + δ(y, z). Hammingova vzdialenosť slov w, v K, dimenzie k, definovaná ako δ(w, v) = {i : w i v i, i 1, 2,..., k}. Hammingova vzdialenosť je metrika na vektorovom priestore K. Minimálna Hammingova vzdialenosť d(k) vektorového priestoru K je definovaná ako d(k) = min{δ(v, w): v w; v, w K}. J. Karabáš (FPV UMB) Lineárne kódy Kodo ZS 13/14 7 / 19
8 Metrika Hammingova vzdialenosť Kód ( 5 2) má minimálnu Hammingovu vzdialenosť d( ( 5 2) ) = 2. Paritný kód P má minimálnu Hammingovu vzdialenosť d(p) = 2. Koktavý kód K má minimálnu Hammingovu vzdialenosť d(k) = 2. k-repetičný kód R má minimálnu Hammingovu vzdialenosť d(r) = k. J. Karabáš (FPV UMB) Lineárne kódy Kodo ZS 13/14 8 / 19
9 Metrika Detekcia a oprava chýb prenosu Pozorovanie 2 Blokový kód K s minimálnou Hammingovou vzdialenosťou d = d(k) deteguje t-násobné chyby pre všetky t < d, ale nie je schopný detegovať všetky d-násobné chyby. Kód K opravuje t-násobné chyby, ak pri vyslaní ľubovoľného kódovaného slova w má prijaté kódové slovo v, pri t-násobnej chybe Hammingovu vzdialenosť h(v, w) < d(k). w K, v B k : h(v, w) < h(x, w); x K, x w. Pozorovanie 3 Blokový kód K s minimálnou vzdialenosťou d = d(k) opravuje t-násobné chyby pre všetky t < d 2. ( ) t < d, h(w, v) = t < d a x K : h(w, x) d. Potom 2 2 h(w, x) h(w, v) + h(v, x), tj. h(x, v) h(x, w) h(w, v) d h(w, v) d. 2 ( ) Majme slová w, w K, h(w, w ) = d. Skonštruujme slovo v = v 1v 2... v k, kde v i = w i, ak i je párne, inak v i = w i. Ak v = 2l, potom h(w, v) = d d 1, inak h(w, v) =. 2 2 J. Karabáš (FPV UMB) Lineárne kódy Kodo ZS 13/14 9 / 19
10 Lineárne kódy Lineárny kód Blokový kód K, dĺžky n je lineárny, ak K je k-dimenzionálny vektorový podpriestor vektorového priestoru A n. Pre vektorový priestor K je definovaná minimálna Hammingova vzdialenosť vektorov (slov), d = d(k). Hovoríme o (n, k, d)-lineárnom kóde. Generujúca matica G(K) je matica G(K) = (g i,j) n,k = x 1 x 2. x k, kde { x1, x2,..., x k} je báza K. Paritný 5-bitový kód má generujúcu maticu G = Ternárny kód dĺžky 6 s kontrolnými znakmi a 3 = a 1 + a 2 a a 6 = a 4 + a 5 má generujúcu maticu G = J. Karabáš (FPV UMB) Lineárne kódy Kodo ZS 13/14 10 / 19
11 Lineárne kódy Kódovanie informačných znakov Každý (n, k, d)-kód nesie k informačných a (n k) kontrolných znakov. Pre zvolenú generujúcu maticu G(K) je každé kódové slovo určené lineárnym zobrazením s predpisom alebo v maticovej forme ϕ : w = (w 1, w 2,..., w k ) ϕ : A k K k w ix i, w i A, x i B(K); i=1 ϕ : w w.g, w A k. Vektorový priestor A k voláme informačný priestor, vektorový priestor K voláme kódový priestor. Zobrazenie ϕ voláme kódovanie alebo kód. Majme ternárny kód dĺžky 6 s kontrolnými znakmi a 3 = a 1 + a 2 a a 6 = a 4 + a 5. Potom ϕ((w 1, w 2, w 3, w 4)) = (w 1, w 2, w 3, w 4) = (w 1, w 2, a, w 3, w 4, b), kde a = 2w 1 + 2w 2 a b = 2w 3 + 2w 4. J. Karabáš (FPV UMB) Lineárne kódy Kodo ZS 13/14 11 / 19
12 Systematický kód Informačné a kontrolné znaky Nech K B n je blokový kód dĺžky n. Ak existuje prosté zobrazenie ε : B k K, k < n, hovoríme, že K má k informačných a n k kontrolných znakov. Zobrazenie ε sa nazýva kódovanie informačných znakov. Počet informačných znakov určuje kapacitu kódu. Blokový kód K B n sa nazýva systematický, pokiaľ exituje k < n také, že ϕ : a 1a 2... a k a 1a 2... a k c k+1... c n je dobre definované prosté zobrazenie. Kódovanie ϕ : B k K sa nazýva systematické kódovanie. Pozorovanie 4 Minimálna Hammingova vzdialenosť d systematického kódu nemôže prekročiť počet n k kontrolných znakov viac ako o jeden, tj. d n k + 1. Nech K B n. Zvoľme ľubovoľný prefix w = a 1a 2... a k 1 B k a označme K 0 = {w : w K; w = w x}. Potom minimálna vzdialenosť d 0 dvoch kódov z K 0 je d 0 n (k 1), pretože ľubovoľné slová majú aspoň k 1 spoločných znakov. Keďže K 0 K d d 0. Dve protichodné požiadavky pre kódy dĺžky n: maximalizovať d, (aby sme dokázali opraviť čo najviac chýb) a zároveň maximalizovať k, (aby sme dokázali kódovať čo najviac znakov). Informačný pomer kódu je R(K) = k ; pre optimálny kód sa pohybuje R(K) blízko 1. n J. Karabáš (FPV UMB) Lineárne kódy Kodo ZS 13/14 12 / 19
13 Systematický kód Informačné a kontrolné znaky Kód ( 5 2) nemá oddelené informačné a kontrolné znaky; nie je systematický. p-repetičný kód má 1 informačný znak a p 1 kontrolných znakov; je systematický (k = 1). Paritný kód má k 1 informačných znakov a 1 kontrolný znak; je systematický (k = n 1) 2D-paritný kód má l.k informačných znakov a l + k + 1 kontrolných znakov; nie je systematický. J. Karabáš (FPV UMB) Lineárne kódy Kodo ZS 13/14 13 / 19
14 Systematický kód Systematický lineárny kód Lineárny (n, k)-kód je systematický, ak má generujúca matica tvar G(K) = (E B), kde E je jednotková matica rádu k. Potom dostávame b 1,1... b 1,n k b 1,2... b 2,n k (w 1, w 2,..., w k ) b 1,k... b k,n k kde v = wb. Veta 5 = (w1,... w k, v k+1,..., v n), Každý lineárny kód je ekvivalentný so systematickým lineárnym kódom. Generujúca matica systematického lineárneho kódu je tzv. štandardná generujúca matica. Z lineárnej algebry vieme, že každá matica hodnosti k má k lineárne nezávislých stĺpcov. Nájdeme permutáciu stĺpcov π takú, že prvých k stĺpcov matice G = π(g(k) bude lineárne nezávislých. Ekvivalentnými úpravami prevedieme G na tvar G = (E B). J. Karabáš (FPV UMB) Lineárne kódy Kodo ZS 13/14 14 / 19
15 Systematický kód Príklady Majme ternárny kód s generujúcou maticou G = Generujúca matica systematického kódu vzniká permutáciou π = (3, 5, 4), tj G = Majme nad Z 5 ( ) G = ( ) ( Permutácia stĺpcov π = (3, 5) a ďalšími ekvivalentnými úpravami dostaneme ( ) ( ) ( G = Kód daný touto maticou pozostáva zo slov w = (w 1, w 2, w 3, v, v), kde v = 4w 1 + 3w 2. J. Karabáš (FPV UMB) Lineárne kódy Kodo ZS 13/14 15 / 19 ) )
16 Detekcia chýb Kontrolná matica Kontrolná matica lineárneho kódu K je matica H prvkov abecedy (poľa) A, pre ktorú platí: w = (w 1, w 2,..., w n) je kódové slovo vtedy a len vtedy, keď tj. w K H w T = 0 T. H w 1 w 2. w n = , Paritný kód je popísaný jedinou rovnicou c 1 + c c n = 0, kontrolná matica. H = (1, 1,..., 1) n-repetičný kód je popísaný (homogénnou) sústavou (lineárnych) rovníc c 1 + c 2 = 0 c 1 + c 3 = 0. c 1 + c n = 0 Kontrolná matica? J. Karabáš (FPV UMB) Lineárne kódy Kodo ZS 13/14 16 / 19
17 Detekcia chýb Konštrukcia kontrolnej matice V abecede Z 3 majme generujúcu maticu ( ) 1 G = Ak w K, potom pre každý (j-ty) riadok matice H platí h 1,jw 1 + h 2,jw 2 + h 3,jw 3 + h 4,jw 4 + h 5,jw 5 = 0, tj. máme sústavu h 1 + h 2 + h 3 + h 4 + h 5 = 0 h 2 + h 3 + h 4 + h 5 = 0 h 1 + h 2 = 0 Jej riešeniami sú slová w = (0, 0, h 3, h 4, h 5), kde h = h 4 h 5. Dimenzia riešenia je 2 (máme dva voľné parametre) a ak zvolíme v prvom prípade h 4 = 1, h 5 = 0 a v druhom prípade h 4 = 0, h 5 = 1, dostávame kontrolnú maticu ( ) H = J. Karabáš (FPV UMB) Lineárne kódy Kodo ZS 13/14 17 / 19
18 Detekcia chýb Kontrolná matica systematického kódu Veta 6 Lineárny kód s generujúcou maticou G = (E B) má kontrolnú maticu H = ( B T E ). Treba ukázať, že lineárny priestor kódu K je zhodný s lineárnym priestorom riešení L systému rovníc H w T = 0 T. Platí ( ) E HG T = ( B T E ) = B T E + E B T = B T + B T = 0, B T teda vektorový priestor L obsahuje bázu vektorového priestoru K. Na druhej strane, má jednotková matica E hodnosť n k a teda hodnosť matice H je n k. Potom, ale dimenzia L je n h(h) = k, a teda L = K. J. Karabáš (FPV UMB) Lineárne kódy Kodo ZS 13/14 18 / 19
19 Detekcia chýb Príklad Ternárny kód daný maticou G = ( ) je systematický, lebo G dokážeme transformovať na ( ) 0 G = Kontrolnú maticu vypočítame ako ( ) H = = ( ). J. Karabáš (FPV UMB) Lineárne kódy Kodo ZS 13/14 19 / 19
Kódovanie prenosu I.
Kódovanie prenosu I. Ján Karabáš KM FPV UMB 20. november 2012 J. Karabáš (FPV UMB) Bezpečnostné kódy Kodo ZS 12/13 1 / 13 Definície Abeceda, slovo, kódovanie Abeceda je konečná postupnosť symbolov (znakov),
Διαβάστε περισσότεραMatematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότερα1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia... 3
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 3 1.3 Základné označenia................................. 3 2 Množiny a zobrazenia
Διαβάστε περισσότεραLineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus
1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových
Διαβάστε περισσότεραVektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραKódovanie a dekódovanie
Kódovanie a deovanie 1 Je daná množina B={0,1,2} Zostrojte množinu B* všetkých možných slov dĺžky dva 2 Je daná zdrojová abeceda A={α,β,ϕ,τ} Navrhnite príklady aspoň dvoch prostých ovaní týchto zdrojových
Διαβάστε περισσότεραUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vektorové prostory. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vektorové prostory študenti MFF 15. augusta 2008 1 9 Vektorové priestory Požiadavky Základné vlastnosti vektorových priestorov, podpriestorov generovania,
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραVLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b
VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený
Διαβάστε περισσότεραUvod do kodovania T. K.
Uvod do kodovania T. K. May 5, 2009 1 Uvod (1. lekcia) Teoria kodovania sa zaobera konstrukciou kodov zameranych hlavne na schopnost opravovat chyby, tzv. samoopravne kody, pripadne na zrychlenie prenosu
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότερα1-MAT-220 Algebra februára 2012
1-MAT-220 Algebra 1 12. februára 2012 Obsah 1 Grupy 3 1.1 Binárne operácie.................................. 3 1.2 Cayleyho veta.................................... 3 2 Faktorizácia 5 2.1 Relácie ekvivalencie
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότερα1 Úvod Sylabyaliteratúra Základnéoznačenia... 3
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Sylabyaliteratúra.... 3 1.2 Základnéoznačenia.... 3 2 Množiny a zobrazenia 4 2.1 Dôkazy... 4 2.1.1 Základnétypydôkazov... 4 2.1.2 Matematickáindukcia... 4 2.1.3 Drobnéradyakodokazovať....
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότερα1. POLIA A VEKTOROVÉ PRIESTORY. V tejto kapitole zavedieme dva druhy algebraických štruktúr, ktoré budú hrať v celom
1. POLIA A VEKTOROVÉ PRIESTORY V tejto kapitole zavedieme dva druhy algebraických štruktúr, ktoré budú hrať v celom ďalšom výklade kľúčovú úlohu, a dokážeme o nich niekoľko jednoduchých základných tvrdení.
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραGramatická indukcia a jej využitie
a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)
Διαβάστε περισσότεραVzorové príklady s riešeniami k lineárnej algebre a geometrie pre aplikovaných informatikov k písomke
Vzorové príklady s riešeniami k lineárnej algebre a geometrie pre aplikovaných informatikov k písomke 23.5.26 Príklad č. Riešte sústavu Bx = r (B r) 2 3 4 2 3 4 6 8 8 2 (B r) = 6 9 2 6 3 9 2 3 4 2 3 2
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy matematiky I
Prednáška č. 7 Numerické metódy matematiky I Riešenie sústav lineárnych rovníc ( pokračovanie ) Prednáška č. 7 OBSAH 1. Metóda singulárneho rozkladu (SVD) Úvod SVD štvorcovej matice SVD pre menej rovníc
Διαβάστε περισσότερα1 Polynómy a racionálne funkcie Základy Polynómy Cvičenia Racionálne funkcie... 17
Obsah 1 Polynómy a racionálne funkcie 3 11 Základy 3 1 Polynómy 7 11 Cvičenia 13 13 Racionálne funkcie 17 131 Cvičenia 19 Lineárna algebra 3 1 Matice 3 11 Matice - základné vlastnosti 3 1 Cvičenia 6 Sústavy
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραBANACHOVE A HILBERTOVE PRIESTORY
BANACHOVE A HILBERTOVE PRIESTORY 1. ZÁKLADNÉ POJMY Normovaným lineárnym priestorom (NLP) nazývame lineárny (= vektorový) priestor X nad telesom IK, na ktorom je daná nezáporná reálna funkcia : X IR + (norma)
Διαβάστε περισσότερα4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
Διαβάστε περισσότεραPrirodzené čísla. Kardinálne čísla
Prirodzené čísla Doteraz sme sa vždy uspokojili s tým, že sme pod množinou prirodzených čísel rozumeli množinu N = { 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10,11,12, } Túto množinu sme chápali intuitívne a presne sme ju
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie Fourierove rady
Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru
Διαβάστε περισσότεραÚvod 2 Predhovor... 2 Sylaby a literatúra... 2 Označenia... 2
Obsah Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Označenia Euklidovské vektorové priestory 3 Skalárny súčin 3 Gram-Schmidtov ortogonalizačný proces 8 Kvadratické formy 6 Definícia a základné vlastnosti 6 Kanonický
Διαβάστε περισσότεραG. Monoszová, Analytická geometria 2 - Kapitola III
text obsahuje znenia viet, ktoré budeme dokazovat na prednáškach text je doplnený aj o množstvo poznámok, ich ciel om je dopomôct študentom k lepšiemu pochopeniu pojmov aj súvislostí medzi nimi text je
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry
Katedra matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická Univerzita v Košiciach Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová, Helena Myšková 005 RECENZOVALI: RNDr. Štefan Schrötter, CSc. RNDr.
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. Lineárna algebra. (ver )
Matematika 2 Lineárna algebra (ver.01.03.2011) 1 Úvod Prehľad. Tieto poznámky obsahujú podklady k prednáške Matematika 2 na špecializácii Aplikovaná informatika: jedná sa o 12 dvojhodinových prednášok
Διαβάστε περισσότερα2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin
2. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Verzia: 27. 9. 2009 Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότερα(IP3) (f, g) = (g, f) (symetria), (IP4) (f, f) > 0 pre f 0 (kladná definitnosť). Z podmienok (IP1) (IP4) sa ľahko dokážu rovnosti:
Hilbertove priestory Veľké množstvo aplikácií majú lineárne normované priestory, v ktorých norma je odvodená od skalárneho (vnútorného) súčinu, podobne ako v bežnom trojrozmernom euklidovskom priestore.
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I. Doc. RNDr. Michal Šabo, CSc
MATEMATIKA I Doc. RNDr. Michal Šabo, CSc 2 Obsah Predhovor 5 2 VYBRANÉ STATE Z ALGEBRY 2. Úvod................................... 2.2 Reálne n-rozmerné vektory...................... 2.3 Matice..................................
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραReprezentácia informácií v počítači
Úvod do programovania a sietí Reprezentácia informácií v počítači Ing. Branislav Sobota, PhD. 2007 Informácia slovo s mnohými významami, ktoré závisia na kontexte predpis blízky pojmom význam poznatok
Διαβάστε περισσότεραPodmienenost problému a stabilita algoritmu
Podmienenost problému a stabilita algoritmu Ing. Gabriel Okša, CSc. Matematický ústav Slovenská akadémia vied Bratislava Stavebná fakulta STU G. Okša: Podmienenost a stabilita 1/19 Obsah 1 Vektorové a
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραRiešenie sústavy lineárnych rovníc. Priame metódy.
Riešenie sústavy lineárnych rovníc. Priame metódy. Ing. Gabriel Okša, CSc. Matematický ústav Slovenská akadémia vied Bratislava Stavebná fakulta STU G. Okša: Priame metódy 1/16 Obsah 1 Základy 2 Systémy
Διαβάστε περισσότεραmnožiny F G = {t1, t2,, tn} T a pre ľubovoľný valec C so základňou B1, B2,, Bn v bodoch t1, t2,, tn, takou, že pre t G - F je Bt = E, platí PF(C) = PG
STOCHASTICKÝ PROCES Definícia stochastického procesu Definícia 1 Nech (Ω, F, P) je pravdepodobnostný priestor a nech T je podmnožina R. Pre každé t T nech X(t, ω) je náhodná premenná definovaná na pravdepodobnostnom
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότεραPevné ložiská. Voľné ložiská
SUPPORTS D EXTREMITES DE PRECISION - SUPPORT UNIT FOR BALLSCREWS LOŽISKA PRE GULIČKOVÉ SKRUTKY A TRAPÉZOVÉ SKRUTKY Výber správnej podpory konca uličkovej skrutky či trapézovej skrutky je dôležité pre správnu
Διαβάστε περισσότεραNumerická lineárna algebra. Zobrazenie
Numerická lineárna algebra. Zobrazenie reálnych čísiel v počítači Ing. Gabriel Okša, CSc. Matematický ústav Slovenská akadémia vied Bratislava Stavebná fakulta STU G. Okša: Reálne čísla v počítači 1/16
Διαβάστε περισσότεραReálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Διαβάστε περισσότεραKATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
Διαβάστε περισσότερα3. prednáška. Komplexné čísla
3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet
Διαβάστε περισσότεραXVIII. ročník BRKOS 2011/2012. Pomocný text. Kde by bola matematika bez čísel? Čísla predstavujú jednu z prvých abstrakcií, ktorú
Pomocný text Číselné obory Číselné obory Kde by bola matematika bez čísel? Čísla predstavujú jednu z prvých abstrakcií, ktorú ľudia začali vnímať. Abstrakcia spočívala v tom, že množstvo, ktoré sa snažili
Διαβάστε περισσότεραII. Diferencovateľné variety
II. Diferencovateľné variety 1. Potreba diferenciálneho počtu na množinách bez lineárnej štruktúry 1.1. Príklad. Ideálne kyvadlo. Ide o pohyb hmotného bodu na nehmotnej niti v zvislej rovine pod vplyvom
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c)
Prírodovedecká fakulta Univerzity P. J. Šafárika v Košiciach Božena Mihalíková, Ivan Mojsej Strana 1 z 43 DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c) 1 Obyčajné diferenciálne rovnice 3 1.1 Úlohy
Διαβάστε περισσότεραAutomaty a formálne jazyky
Automaty a formálne jazyky Podľa prednášok prof. RNDr. Viliama Gefferta, DrSc., PrírF UPJŠ Dňa 8. februára 2005 zostavil Róbert Novotný, r.novotny@szm.sk. Typeset by LATEX. Illustrations by jpicedit. Úvodné
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότεραDeliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2013/2014 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/27
Διαβάστε περισσότεραMetódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/28 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie APLIKÁCIE p. 2/28 II 1. PRÍKLAD: Lineárna regresia - metóda najmenších štvorcov Na základe dostupných
Διαβάστε περισσότεραp(α 1 ) = u 1. p(α n ) = u n. Definícia (modulárna reprezentácia polynómu). Zobrazenie
1. Rychlá Fourierová transformácia Budeme značiť teleso T a ω jeho prvok. Veta 1.1 (o interpolácií). Nech α 0, α 1,..., α n sú po dvoch rôzne prvky telesa T[x]. Potom pre každé u 0, u 1,..., u n T existuje
Διαβάστε περισσότεραCieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie,
Kapitola Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie, keď charakteritická rovnica má rôzne
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότερα7. Dokážte, že z každej nekonečnej množiny môžeme vydeliť spočítateľnú podmnožinu.
Teória množín To, že medzi množinami A, B existuje bijektívne zobrazenie, budeme symbolicky označovať A B alebo A B. Vtedy hovoríme, že množiny A, B sú ekvivalentné. Hovoríme tiež, že také množiny A, B
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότεραMini minimaliz acia an BUˇ Koˇ sice 2011
Mini minimalizácia Ján BUŠA Košice 2011 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Noname, CSc. Doc. RNDr. Emanname, PhD. Prvé vydanie Za odbornú stránku učebného textu zodpovedá autor. Rukopis neprešiel redakčnou ani jazykovou
Διαβάστε περισσότερα23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I ZBIERKA ÚLOH
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STAVEBNÁ FAKULTA ÚSTAV TECHNOLÓGIÍ, EKONOMIKY A MANAŽMENTU V STAVEBNÍCTVE KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY RNDr. Pavol PURCZ, PhD. Mgr. Adriana ŠUGÁROVÁ MATEMATIKA I ZBIERKA
Διαβάστε περισσότεραObyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
Διαβάστε περισσότεραRozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti rozvodu tepla
Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti príloha č. 7 k vyhláške č. 428/2010 Názov prevádzkovateľa verejného : Spravbytkomfort a.s. Prešov Adresa: IČO: Volgogradská 88, 080 01 Prešov 31718523
Διαβάστε περισσότεραPageRank algoritmus. Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky
Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky PageRank algoritmus Bakalárska práca Študijný program: Informatika Študijný odbor: 9.2.1 Informatika Školiace pracovisko: Katedra
Διαβάστε περισσότερα13. EUKLIDOVSKÉ PRIESTORY
13. EUKLIDOVSKÉ PRIESTORY Naše štúdium vektorových priestorov sa doteraz nieslo prevažne v algebraickom duchu a bolo vedené takmer výlučne algebraickými prostriedkami. Geometria bola v tomto poňatí zredukovaná
Διαβάστε περισσότεραSymbolická logika. Stanislav Krajči. Prírodovedecká fakulta
Symbolická logika Stanislav Krajči Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice 2008 Názov diela: Symbolická logika Autor: Doc. RNDr. Stanislav Krajči, PhD. Vydala: c UPJŠ Košice, 2008 Recenzovali: Doc. RNDr. Miroslav
Διαβάστε περισσότεραAnalytická geometria
Analytická geometria Analytická geometria je oblasť matematiky, v ktorej sa študujú geometrické útvary a vzťahy medzi nimi pomocou ich analytických vyjadrení. Praktický význam analytického vyjadrenia je
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA. Martin Kalina
MATEMATIKA Martin Kalina Slovenská technická univerzita v Bratislave Všetky práva vyhradené. Nijaká časť textu nesmie byť použitá na ďalšie šírenie akoukoľvek formou bez predchádzajúceho súhlasu autorov
Διαβάστε περισσότερα2 Základy vektorového počtu
21 2 Základy vektorového počtu Fyzikálne veličíny sa dajú rozdeliť do dvoch skupín. Prvú skupinu fyzikálnych veličín tvoria tie, pre ktorých jednoznačné určenie postačí poznať veľkosť danej fyzikálnej
Διαβάστε περισσότεραHASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S
PROUKTOVÝ LIST HKL SLIM č. sklad. karty / obj. číslo: HSLIM112V, HSLIM123V, HSLIM136V HSLIM112Z, HSLIM123Z, HSLIM136Z HSLIM112S, HSLIM123S, HSLIM136S fakturačný názov výrobku: HKL SLIMv 1,2kW HKL SLIMv
Διαβάστε περισσότεραPrednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák
Prednáška 6 6.1. Fourierove rady Základná myšlienka: Nech x Haφ 1,φ 2,...,φ n,... je ortonormálny systém v H, dá sa tento prvok rozvinút do radu x=c 1 φ 1 + c 2 φ 2 +...,c n φ n +...? Ako nájdeme c i,
Διαβάστε περισσότεραFakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzita Komenského v Bratislave. dizertačná práca
Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzita Komenského v Bratislave dizertačná práca jún 2008 Mgr. Peter Novotný Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzita Komenského v Bratislave Katedra
Διαβάστε περισσότεραPRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm
PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda
Διαβάστε περισσότεραPlanárne a rovinné grafy
Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia
Διαβάστε περισσότεραÚvod do molekulovej symetrie
Úvod do molekulovej symetrie Obsah: 1. Operácie a prvky symetrie 2. Klasifikácia molekúl podľa symetrie 3. Tabuľky charakterov a označovanie symetrie 4. Niektoré dôsledky symetrie molekúl (polarita, chiralita,
Διαβάστε περισσότεραAproximačné algoritmy. (7. októbra 2010) DRAFT
R. Královič Aproximačné algoritmy (7. októbra 2010) ii Obsah 1 Úvod 1 1.1 Algoritmy a zložitosť........................... 1 1.2 Lineárne programovanie......................... 1 1.3 Použité vzťahy..............................
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότερα15. Matlab Lineárna algebra
1 Portál pre odborné publikovanie ISSN 1338-0087 15. Matlab Lineárna algebra Blaho Michal MATLAB/Comsol 18.09.2009 Matlab pracuje s dátami vo forme vektorov a matíc. Základnej práci s vektormi a maticami
Διαβάστε περισσότερα... 5 A.. RS-232C ( ) RS-232C ( ) RS-232C-LK & RS-232C-MK RS-232C-JK & RS-232C-KK
RS-3C WIWM050 014.1.9 P1 :8... 1... 014.0.1 1 A... 014.0. 1... RS-3C()...01.08.03 A.. RS-3C()...01.08.03 3... RS-3C()... 003.11.5 4... RS-3C ()... 00.10.01 5... RS-3C().008.07.16 5 A.. RS-3C().0 1.08.
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραHľadanie, skúmanie a hodnotenie súvislosti medzi znakmi
Hľadanie, skúmanie a hodnotenie súvislosti medzi znakmi Typy súvislostí javov a vecí: nepodstatné - vonkajšia súvislosť nevyplýva z vnútornej potreby (javy spoločne vznikajú, majú zhodný priebeh, alebo
Διαβάστε περισσότερα