OPĆA UPRAVA ZA KLIMATSKU POLITIKU I AKTIVNOSTI Uprava A Međunarodna i klimatska strategija. KLIMA.A.3 Praćenje, izvješćivanje i verifikacija

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "OPĆA UPRAVA ZA KLIMATSKU POLITIKU I AKTIVNOSTI Uprava A Međunarodna i klimatska strategija. KLIMA.A.3 Praćenje, izvješćivanje i verifikacija"

Transcript

1 EUROPSKA KOMISIJA OPĆA UPRAVA ZA KLIMATSKU POLITIKU I AKTIVNOSTI Uprava A Međunarodna i klimatska strategija KLIMA.A.3 Praćenje, izvješćivanje i verifikacija Uputa za konzervativnu procjenu emisija u skladu s člankom 70. UPI uputa, verzija od 16. prosinca Status ovog dokumenta: Ovaj je dokument dio niza dokumenata koje sastavljaju službe Europske komisije kao potporu provedbi Uredbe Komisije (EU) br. 601/2012 od 21. lipnja 2012.o praćenju i izvješćivanju o emisijama stakleničkih plinova u skladu s Direktivom 2003/87/EC Europskog parlamenta i Vijeća 1. Ova uputa predstavlja stajalište službi Komisije u trenutku objave. Uputa nije pravno obvezujuća. Ovaj dokument uzima u obzir rasprave sa sastanaka neformalne Tehničke radne skupine za Uredbu o praćenju i izvješćivanju u okviru Radne skupine III (WGIII) Odbora za klimatske promjene (Climate Change Committee CCC), kao i pisane primjedbe zaprimljene od dionika i stručnjaka iz država članica. Sve upute i obrasci mogu se preuzeti s mrežne stranice Komisije na sljedećoj adresi: 1

2 SADRŽAJ 1 UVOD O ovom dokumentu Gdje pronaći dodtane informacije UPI ZAHTJEVI SLUČAJEVI KOJI ZAHTIJEVAJU KONZERVATIVNU PROCJENU PAKET INSTRUMENATA ZA DAVANJE KONZERVATIVNIH PROCJENA Paket instrumenata utvrđen u dokumentu radne skupine Granica sigurnosti..9 5 PREPORUČENI PRISTUP (KORAK PO KORAK)...11

3 1 UVOD 1.1 O ovom dokumentu Namjera je ovog dokumenta pružiti pomoć u donošenju konzervativnih procjena u skladu s člankom 70. Uredbe o praćenju i izvješćivanju (UPI). Djelokrug ovog dokumenta je osigurati uputu o načinu za identifikaciju i pristup slučajevima koji zahtijevaju konzervativne procjene. Dodatni tehnički detalji obuhvaćeni su u dokumentu o nedostajućim podacima i nesukladnostima koji osigurava Radna skupina za praćenje i izvješćivanje EU ETS foruma usklađenosti. Za razliku od članka 70. koji se odnosi na odluke nadležnog tijela (NT), ovaj dokument i opseg dokumenta Radne skupine nisu ograničeni na NT-e. Oboje daju potporu operaterima i verifikatorima za davanje konzervativnih procjena. Kako bi se olakšalo čitanje, neki dijelovi u ovom dokumentu preuzeti su iz dokumenta Radne skupine. 1.2 Gdje pronaći dodatne informacije Sve upute i obrasci koje osigurava Komisija na temelju Uredbe o praćenju i izvješćivanju i Uredbe o akreditaciji i verifikaciji mogu se preuzeti s mrežne stranice Komisije na sljedećoj adresi: Sljedeći dokumenti mogu dati korisne smjernice za davanje konzervativnih procjena: Dokument Radne skupine o nedostajućim podacima i nesukladnostima. To je glavni temelj ovog dokumenta. Smatra se da su njime obuhvaćeni svi tehnički detalji za davanje konzervativnih procjena. Uputa za praćenje i izvješćivanje br. 6: Aktivnosti protoka podataka i sustav nadzora. Ovaj dokument bavi se mogućnostima za opisivanje aktivnosti protoka podataka za praćenje u EU ETS sustavu, procjeni rizika kao dijelu sustava nadzora i primjerima aktivnosti nadzora. Ključna uputa (KGN) II.2 za AV Uredbu: Analiza rizika. Ovaj dokument bavi se aspektima procjene rizika iz perspektive verifikatora. A&V KGN II.3: Analiza procesa. Ovaj dokument bavi se s nekoliko provjera i ispitivanja koja provodi verifikator u svrhu prikupljanja dovoljnih dokaza za donošenje odgovarajućeg verifikacijskog mišljenja. A&V KGN II.5: Terenski pregledi. Ovaj dokument daje uputu verifikatorima za obavljanje terenskih pregleda. Posebno, kao osnovu za odlučivanje o potrebi terenskih pregleda NT može koristiti kriterije na temelju kojih verifikator procjenjuje može li se odustati od terenskog pregleda. 2 UPI ZAHTJEVI [Kako bi se olakšalo čitanje ovog dokumenta, ovo poglavlje preuzeto je iz dokumenta Radne skupine o nedostajućim podacima i nesukladnostima] U određenoj je mjeri neizbježna pojava nedostajućih podataka ili potrebe za korektivnim radnjama u odnosu na izmjerene podatke budući da nije moguće isključiti nastup događaja koji mogu utjecati na

4 sustav mjerenja ili kvalitetu podataka. UPI se već bavi takvim situacijama i zahtijeva da se ispravke ili zamjenski podaci procijene na konzervativan način kako bi se osiguralo da ne dođe do podcjenjivanja emisija. Odredbe se nalaze u sljedećim člancima i stavcima: Čl. 23. UPI-ja: Privremene izmjene metodologije praćenja Ako zbog tehničkih razloga za podatke o djelatnosti ili pojedini faktor izračuna toka goriva ili materijala privremeno nije moguće primijeniti razinu koju je prema planu praćenja odobrilo nadležno tijelo, dotični operator primjenjuje najvišu razinu koju je moguće postići, dok se ponovno ne uspostave uvjeti za primjenu razine koja je odobrena u planu praćenja. Čl. 63. UPI-ja: Ispravi i korektivne radnje Ako se utvrdi da bilo koji dio aktivnosti protoka podataka iz članka 57. ili nadzornih aktivnosti iz članka 58. ne funkcionira učinkovito ili funkcionira izvan granica koje su zadane u dokumentaciji postupaka za te aktivnosti protoka podataka i nadzorne aktivnosti, operator ili operator zrakoplova vrše odgovarajuće ispravke i ispravljaju odbijene podatke pri čemu izbjegavaju podcjenjivanje emisija. Čl. 65. UPI-ja: Postupak s nedostajućim podacima Ako nedostaju podaci potrebni za utvrđivanje emisija iz postrojenja, operator koristi primjerenu metodu procjene za utvrđivanje konzervativnih zamjenskih podataka za dotično vremensko razdoblje i parametar koji nedostaje. Ako operator nije u pisanom postupku utvrdio metodu procjene, utvrđuje takav pisani postupak i nadležnom tijelu dostavlja na odobrenje primjerenu izmjenu plana praćenja u skladu s člankom 15. UPI-ja. Čl. 70 UPI-ja: Utvrđivanje emisija od strane nadležnog tijela 1. Nadležno tijelo izvodi konzervativnu procjenu emisija iz postrojenja ili emisija operatora zrakoplova u bilo kojoj od sljedećih situacija: a) ako operator ili operator zrakoplova nisu dostavili verificirano izvješće o godišnjim emisijama do roka iz članka 67. stavka 1.; b) ako verificirano izvješće o godišnjim emisijama iz članka 67. stavka 1. nije u skladu s ovom Uredbom; c) ako izvješće o godišnjim emisijama operatora ili operatora zrakoplova nije verificirano u skladu s Uredbom (EU) br. 600/ Ako je u izvješću o verifikaciji u skladu s Uredbom (EU) br. 600/2012 verifikator naveo da postoje neesencijalni pogrešno prikazani podaci koje operator ili operator zrakoplova nije ispravio prije izdavanja izjave o verifikaciji, nadležno tijelo procjenjuje te pogrešno prikazane podatke i prema potrebi izvodi konzervativnu procjenu emisija iz postrojenja ili emisija operatora zrakoplova. Nadležno tijelo obavještava operatora ili operatora zrakoplova da li i kako treba ispraviti izvješće o emisijama. Operator ili operator zrakoplova te informacije stavlja na raspolaganje verifikatoru. Prilikom podnošenja izvješća o emisijama na verifikaciju i naknadno nadležnom tijelu, primjenjuju se sljedeći zahtjevi u pogledu nedostajućih podataka. Prilog X. UPI-ja, Minimalni sadržaj godišnjih izvješća, stavak 11. Ako je došlo do nedostajućih podataka koji su nadomješteni zamjenskim podacima u skladu s člankom 65. stavkom 1.: a) tok izvora ili izvor emisije na koji se odnose nedostajući podaci; b) razlozi nedostajanja podataka;

5 c) datum i vrijeme početka i kraja svake pojave nedostajućih podataka; d) emisije izračunate na temelju zamjenskih podataka; e) ako metoda procjene zamjenskih podataka još nije uključena u plan praćenja, detaljan opis metode procjene, uključujući dokaz da ta metodologija ne dovodi do podcjenjivanja emisija za odgovarajuće vremensko razdoblje; Napominjemo da zahtjevi u Prilogu X. možda nemaju osobitu važnost za NT koji treba donijeti konzervativne procjene, ali ovdje se spominju zbog cjelovitog prikaza. Međutim, u obzir se može uzeti zahtjev u točci e), koji se odnosi na obvezu operatera da pripremi odgovarajući postupak za bilo koji budući slučaj nedostajućih podataka. Izraz konzervativno definiran je u članku 3. stavku 19.: konzervativno znači skupina pretpostavki koje su definirane kako bi osigurale da ne dođe do podcjenjivanja godišnjih emisija [..]. Budući da ova definicija ostavlja prostor za tumačenje, primjerenije je donositi procjene s visokim stupnjem sigurnosti da godišnje emisije nisu podcijenjene. U duhu UPI-ja ovo se može protumačiti kao nastojanje davanja procjena koje su jednake ili više od nepoznatog točnog iznosa godišnjih emisija u 95% slučajeva. Tehnički aspekti načina za davanje konzervativnih procjena za različite situacije obuhvaćeni su dokumentom Radne skupine o nedostajućim podacima i konzervativnim procjenama [upućivanje na dokument Radne skupine kada bude dovršen i objavljen]. U sljedećim poglavljima ovog dokumenta raspravlja se o pristupima i postupcima sa stajališta nadležnog tijela. Neki aspekti pristupanja takvom slučaju slični su s pristupom verifikatora koji mora potvrditi postrojenje ili operatera zrakoplova, odnosno koje vrste informacija ili podataka treba prikupiti i na koji način, kako riješiti sve povezane rizike itd. Zbog toga se ovdje upućuje na relevantne odjeljke i aspekte iz Uputa za AV Uredbu, u mjeri u kojoj je to moguće. Nadalje, u mnogim slučajevima konzervativne procjene će se davati samo za dio postrojenja umjesto za cijelo postrojenje, npr. nesukladnost će se najčešće odnositi samo na jedan tok izvora ili čak na samo jedan parametar kao što je računski faktor. 3 SLUČAJEVI KOJI ZAHTIJEVAJU KONZERVATIVNE PROCJENE Na temelju zakonskog okvira koji je opisan u 2. poglavlju (i bez obzira na odgovornosti operatera i operatera zrakoplova), moguće je odrediti sljedeće slučajeve koji od NT-a zahtijevaju konzervativnu procjenu: 1. Nije podneseno verificirano godišnje izvješće Dostupni podaci o praćenju (uobičajeni slučaj): Najčešći razlog za nepodnošenje verificiranog godišnjeg izvješća je taj da je operater jednostavno zaboravio poslati izvješće na vrijeme ili verifikacija nije obavljena u roku. Budući da u tom slučaju nema nedostajućih podataka, NT može iskoristiti raspoložive podatke i ne treba donositi konzervativne procjene. Dostupni podaci o praćenju (izvješće nije verificirano): Drugi uobičajeni razlog je slučaj kada operateri imaju pravnih ili gospodarskih problema (npr. bankrot). Kada godišnje izvješće nije podneseno zbog takvog razloga ono, u načelu, neće biti verificirano. U takvim okolnostima operater postrojenja ili zrakoplova možda je poslovao samo dio izvještajne godine, s vrlo niskom razinom poslovanja, ili uopće ne. Nisu dostupni podaci o praćenju: Ovakav slučaj može se desiti ako, na primjer, postrojenje ranije nije bilo uključeno u ETS, a trebalo je biti. Međutim, nepostojanje plana praćenja ne znači nužno da podaci nisu dostupni.

6 Još jedna situacija kada nema dostupnih podataka je viša sila, iako se to dešava rijetko. 2. Godišnje izvješće nije verificirano Utvrđeno je da neki elementi metodologije praćenja nisu sukladni s UPI-jem i/ili najnovijim odobrenim planom praćenja: npr. operater primjenjuje pristup bilance mase za određeni proces što UPI ne dozvoljava; Verifikator je utvrdio značajne greške, koje operater ili operater zrakoplova nije ispravio: npr. glavni mjerač plina nije bio primjereno kalibriran i održavan Verifikator je utvrdio da operater nije osigurao dostatne podatke (članak 28. točka (a) AV Uredbe) za dobivanje dovoljnih dokaza koji bi omogućili izdavanje verifikacijskog mišljenja s razumnom sigurnošću da izvješće ne sadrži značajne greške (članak 27. stavak 1. točka (c) AV Uredbe) 3. Neispravljene značajne greške u verifikacijskom izvješću NT mora procijeniti te greške i donijeti konzervativne procjene, ako je potrebno 4. Podneseno verificirano godišnje izvješće nije sukladno s UPI-jem Takav slučaj može nastupiti ako, na primjer, NT tijekom kontrole godišnjeg izvješća i verifikacijskih izvješća utvrdi da nedostaju podaci za proračun emisija ili toka izvora. 4 Paket instrumenata za davanje konzervativnih procjena 4.1 Paket instrumenata utvrđen u dokumentu Radne skupine Radna skupina u svom dokumentu o nedostajućim podacima i nesukladnostima osigurava paket instrumenata za davanje konzervativnih procjena, prema potrebi. Ovaj paket instrumenata sastoji se od hijerarhije različitih postupaka za primjereno ispunjavanje nedostajućih podataka. Hijerarhija postupaka, u mjeri u kojoj je to moguće, u skladu je s hijerarhijom razina u UPI-ju. Kao rezultat, pristup dokumenta Radne skupine u skladu je sa zahtjevom članka 23. da u slučaju privremene promjene metodologije praćenja operater primjenjuje najvišu razinu koju je moguće postići. Kada se različiti postupci ne odnose na različite razine, cilj je hijerarhije korištenje najboljih raspoloživih podataka. Određivanje nedostajućih podataka i nesukladnosti Izravno ponovljivi podaci mjerenja Podaci mjerenja koji nisu izravno ponovljivi Zamjenski podaci iste razine Zamjenski podaci s gubitkom točnosti Zamjenski podaci niže razine (primjenjivo samo za računske faktore) Zamjenski podaci iz procjena Postupak 1. Postupak 2. Postupak 3. Korelacijski parametri Povijesni podaci Mišljenje stručnjaka Postupak 4. Postupak 5. Postupak 6. Slika 1. Prikaz paketa instrumenata koji se temelji na postupcima iz poglavlja 5. dokumenta Radne skupine o nedostajućim podacima i nesukladnostima

7 Postupak 1. Podaci se mogu ponoviti na istoj razini Dr = S Postupak 2. Podaci se mogu ponoviti samo uz gubitak kvalitete Slučaj 2-1: Zamjenski podaci s gubitkom točnosti kvantificirani za podatke o aktivnosti Slučaj 2-2: Zamjenski podaci s gubitkom točnosti kvantificirani za računske faktore Slučaj 2-3: Zamjenski podaci s gubitkom točnosti nije moguće kvantificirati Dr = S + S * (Us Ut) Dr = S + S * (Us Up) Dr = S + S * x% Postupak 3. Nije moguće ponoviti, zamjenjuje se pristupom miže razine Postupak 4. Nije moguće ponoviti, zamjena procjenom koja se temelji na koreliranim parametrima Dr = podaci koji se koriste za izvještavanje o emisijama S = zamjenski podaci niže kvalitete U s = kvantificirana neizvjesnost sekundarnog sustava uključujući korektivne mjere U t = neizvjesnost odobrene razine Up = kvantificirana neizvjesnost nenarušenog primarnog sustava x% = od strane operatera pojedinačno dokazana granica sigurnosti Slučaj 3-1a: Zamjenski podaci zadani propisom ili u literaturi D r = S + U L or D r = S U Slučaj 3-1b: Zamjenski podaci zadani u propisu/literaturi, ali nedostaju informacije o neizvjesnosti D r = S + S * x% D r = podaci koji se koriste za izvještavanje o emisijama S = zadana vrijednost iz propisa/smjernica/literature U L = neizvjesnost kako je naznačeno u istom izvoru podataka S U = zadana vrijednost iz propisa/smjernica/literature u slučaju da je neizvjesnost već uključena x% = od strane operatera pojedinačno dokazana granica sigurnosti Slučaj 4-1: Zamjenski podaci za određeno postrojenje na temelju korelacijskih parametara Slučaj 4-2: Zamjenski podaci za određeno postrojenje na temelju dokazane korelacije bez evidencije D r = S + 2 * σ Dr = S + x% * S D r = podaci koji se koriste za izvještavanje o emisijama S = zamjenski podaci dobiveni korelacijskim parametrom/funkcijom σ = standardno odstupanje od istodobnog povijesnog praćenja x%= od strane operatera pojedinačno dokazana granica sigurnosti

8 Postupak 5. Nije moguće ponoviti, zamjena procjenom koja se temelji na povijesnim evidencijama Slučaj 5-1a: Zamjenski podaci dobiveni iz statističkog ponašanja Slučaj 5-1b: Zamjenski podaci za određeno postrojenje na temelju povijesne evidencije s ograničenim skupom podataka (važeće samo za računske faktore) Slučaj 5-2: Zamjenski podaci u slučaju kada nije moguće razumno odrediti standardno odstupanje Dr = S + 2 * σ Dr = S (S = najveća vrijednost skupa povijesnih podataka; manje od 20 evidencija) Dr = S + x% * S Postupak 6. Nije moguće ponoviti, zamjena procjenom na temelju kombinacije metoda uključujući mišljenje stručnjaka D r = podaci koji se koriste za izvještavanje o emisijama S = zamjenski podaci dobiveni iz statističkog ponašanja povijesnih evidencija σ = standardno odstupanje od povijesnih evidencija x% = od strane operatera pojedinačno dokazana granica sigurnosti U slučaju da ni jedan gore predstavljeni postupak nije primjenjiv, procjene se daju koristeći kombinaciju metoda, uključujući mišljenje stručnjaka. Postupak 6. Treba koristiti u slučaju različitih i/ili nepredvidivih podataka, na primjer spaljivanje, ili kada nedostaje rezultat analize za seriju i nema reprezentativnih povijesnih podataka ili postojećih vrijednosti iz literature ili propisa. Ove nedostajuće treba ocijeniti ovisno o slučaju, a granicu sigurnosti treba odrediti za svaki pojedini slučaj. Mišljenje stručnjaka treba dati opravdanje zbog čega se ne mogu očekivati više emisije od dobivenog rezultata.

9 4.2 Granica sigurnosti U slučaju kada nisu primjenjivi ili nisu dostupni podaci o neizvjesnosti ili standardnom odstupanju, mora se koristiti granica sigurnosti koja se temelji na pokaznim vrijednostima. Sa stajališta nadležnog tijela najjednostavniji pristup bio bi korištenje unaprijed definiranih zadanih granica sigurnosti (npr. 5%) kada operater nije bio u mogućnosti dokazati primjerenije vrijednosti. Međutim, takve zadane granice sigurnosti nisu dostupne u zakonodavstvu, niti se jedna zadana granica sigurnosti može smatrati konzervativnom u svim slučajevima. Iz premjera na slici 2. može se vidjeti da zadana granica sigurnosti od, recimo, 2% može biti prevelika u slučaju (a), ali može biti skoro ispravna ili čak nedovoljno konzervativna u slučaju (b). Procjena kretanja Procjena sezonskog ciklusa Rezultat Analizirano Zamijenjeno Rezultat Analizirano Zamijenjeno Vrijeme Slika 2.Ogledni nedostajući podaci za (a) procjenu kretanja i (b) procjenu sezonskog ciklusa (izvor: dokument Radne skupine o nedostajućim podacima i nesukladnostima) Ogledni pristup (preporučeno): Jedan primjeren način za dogovor između svih uključenih strana je usuglašavanje o najnižoj razumnoj vrijednosti i/ili najvišoj razumnoj minimalnoj vrijednosti. To je često lakše postići nego izravno raspravljati o vrijednosti postotka. Na primjer, u slučaju (b) iz slike 2. nadležno tijelo slaže se s operaterom (a vjerojatno također s verifikatorom) da očekivana vrijednost nedostajućih podataka iznosi 0,0585 i smatra se izuzetno malo vjerojatnim da je viša od Izraz izuzetno malo vjerojatno može se protumačiti kao da odgovora intervalu pouzdanosti od 99%. To znači da postoji 99% šanse da je točna vrijednost u rasponu od 0,0585 ± 0,001. Da bi se ovaj raspon pretvorio u 95%-tni interval pouzdanosti, 0,001 treba podijeliti sa 2,58 (99%) i pomnožiti sa 1,96 (95%) 2. Kao rezultat, konzervativna procjena od 0, ,001*1,96/2,58 = 0,05926 može se koristiti kao zamjenski podatak uzimajući u obzir odgovarajuću granicu sigurnosti. 5 PREPORUČENI PRISTUP (KORAK PO KORAK) Sljedeći pristup korak po korak preporuča se nadležnom tijelu za davanje konzervativnih procjena. Međutim, mogu se koristiti i drugi pristupi ako se smatra da su primjereniji: 1. Odrediti veličinu nedostajućih podataka (odnosno ograničiti opseg za davanje konzervativnih procjena samo na zahvaćene tokove izvora/izvore emisija). Polazište nadležnog tijela za ovu identifikaciju treba biti najnoviji odobreni plan praćenja i aktivnosti protoka podataka. Na temelju informacija koje osigura operater u godišnjem izvješću ili verifikator u verifikacijskom izvješću trebalo bi biti moguće utvrditi koji je dio protoka podataka zahvaćen. U slučajevima kada ne postoji plan praćenja (npr. ako postrojenje već nije uključeno u ETS sustav a trebalo bi biti) cijeli protok podatka ujedno predstavlja nedostajuće podatke. Uputa (KGN) II.3 za AV Uredbu o analizi procesa (uključujući odjeljak 4.2 o nedostajućim podacima) 2 U mnogim slučajevima, također i dokumentu Radne skupine, koristi se vrijednost 2 umjesto 1,96.

10 ovdje također može osigurati korisne informacije. 2. Zahtjev za informacijama od operatera (zrakoplova) Ovisno o ishodu točke 1., potrebno je zatražiti dodatne informacije od operatera, recimo očitanja mjerenja sa zamjenskih mjerača u slučaju kvara glavnog mjerača; informacije o dostupnosti zadržanih uzoraka (vjerojatno također cijeli plan uzrokovanja), kada nedostaje jedna analitička vrijednost za jedan računski faktor. 3. Procjena rizika nadležnog tijela Kako bi se na ekonomičan način zatvorile praznine zbog nedostajućih podataka, provođenje procjene rizika može biti korisno. Vlastita procjena rizika operatera priložena uz najnoviji odobreni plan praćenja poslužit će kao temelj za ovu procjenu. Nadalje, procjena rizika koja naglasak stavlja na nedostajuće podatke možda je već dostupna iz procjene rizika koju je proveo verifikator. Ako to nije slučaj, korisne informacije sadrže UPI Uputa br. 6 o aktivnostima protoka podataka i sustavu nadzora kao i Uputa KGN II.2 za AV Uredbu o analizi rizika. 4. Odluka o terenskom pregledu Katkada se podaci mogu dobiti i provjeriti isključivo na terenu. Zbog toga nadležno tijelo može razmotriti potrebu da obavi terenske preglede. Osnova za odluku o tome jesu li potrebni terenski pregledi ovisit će o kvaliteti i cjelovitosti podataka iz točke 2. koje osigura operater kao i o ishodu procjene rizika iz točke 3. s ciljem pronalaženja razumne razine sigurnosti davanjem planiranih konzervativnih procjena. Uputa (KGN) II.5 za AV Uredbu o terenskim pregledima daje korisne informacije. Uputa za verifikatore o okolnostima pod kojima se može odustati od terenskog pregleda može biti odgovarajuće polazište u ovom slučaju. 5. Odabir odgovarajuće metode za popunjavanje nedostajućih podataka i granice sigurnosti Vidi dokument Radne skupine o nedostajućim podacima i konzervativnim procjenama (također vidi poglavlje 4.)

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

EUROPSKA KOMISIJA OPĆA UPRAVA ZAKLIMATSKO DJELOVANJE Uprava Međunarodna i klimatska strategija KLIMA.A.3-Praćenje,Izvješćivanje,Verifikacija

EUROPSKA KOMISIJA OPĆA UPRAVA ZAKLIMATSKO DJELOVANJE Uprava Međunarodna i klimatska strategija KLIMA.A.3-Praćenje,Izvješćivanje,Verifikacija EUROPSKA KOMISIJA OPĆA UPRAVA ZAKLIMATSKO DJELOVANJE Uprava Međunarodna i klimatska strategija KLIMA.A.3-Praćenje,Izvješćivanje,Verifikacija Upute Uredba o praćenju i izvješćivanju Opće upute za postrojenja

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Uvod Teorija odlučivanja je analitički i sistematski pristup proučavanju procesa donošenja odluka Bez obzira o čemu donosimo odluku imamo 6 koraka za

Uvod Teorija odlučivanja je analitički i sistematski pristup proučavanju procesa donošenja odluka Bez obzira o čemu donosimo odluku imamo 6 koraka za Osnovne teorije odlučivanja Uvod Teorija odlučivanja je analitički i sistematski pristup proučavanju procesa donošenja odluka Bez obzira o čemu donosimo odluku imamo 6 koraka za donošenje dobre odluke:

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

TROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju

TROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju TROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju Sadržaj predavnaja: Trošak kapitala I. Trošak duga II.

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje

Διαβάστε περισσότερα

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010. GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

TOLERANCIJE I DOSJEDI

TOLERANCIJE I DOSJEDI 11.2012. VELEUČILIŠTE U RIJECI Prometni odjel OSNOVE STROJARSTVA TOLERANCIJE I DOSJEDI 1 Tolerancije dimenzija Nijednu dimenziju nije moguće izraditi savršeno točno, bez ikakvih odstupanja. Stoga, kada

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

Tranzistori s efektom polja. Postupak. Spoj zajedničkog uvoda. Shema pokusa

Tranzistori s efektom polja. Postupak. Spoj zajedničkog uvoda. Shema pokusa Tranzistori s efektom polja Spoj zajedničkog uvoda U ovoj vježbi ispitujemo pojačanje signala uz pomoć FET-a u spoju zajedničkog uvoda. Shema pokusa Postupak Popis spojeva 1. Spojite pokusni uređaj na

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE TEHNOLOGIJE PROMETA

OSNOVE TEHNOLOGIJE PROMETA OSNOVE TEHNOLOGIJE PROMETA MODUL: Tehnologija teleomuniacijsog rometa FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI Predavači: Doc.dr.sc. Štefica Mrvelj Maro Matulin, dil.ing. Zagreb, ožuja 2009. Oće informacije Konzultacije:

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

BR. P-MLU-02/2017. Cerium d.o.o. Sjedište: Lašćinska cesta 143 Ured: Koprivnička 70/II Zagreb

BR. P-MLU-02/2017. Cerium d.o.o. Sjedište: Lašćinska cesta 143 Ured: Koprivnička 70/II Zagreb PROGRAM MEĐULABORATORIJSKE BR. P-MLU-02/2017 Cerium d.o.o. Sjedište: Lašćinska cesta 143 Ured: Koprivnička 70/II 10 000 Zagreb Tel: +385 1 5805 921 Fax: +385 1 5805 936 e-mail: info@cerium.hr Organizator:

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

15/Sv. 31 Službeni list Europske unije SLUŽBENI LIST EUROPSKE UNIJE L 165/13

15/Sv. 31 Službeni list Europske unije SLUŽBENI LIST EUROPSKE UNIJE L 165/13 15/Sv. 31 Službeni list Europske unije 251 32013R0525 18.6.2013. SLUŽBENI LIST EUROPSKE UNIJE L 165/13 UREDBA br. 525/2013 EUROPSKOG PARLAMENTA I VIJEĆA od 21. svibnja 2013. o mehanizmu za praćenje i izvješćivanje

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA. Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.

Διαβάστε περισσότερα

FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI

FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI SVUČILIŠT U ZAGU FAKULTT POMTNIH ZNANOSTI predmet: Nastavnik: Prof. dr. sc. Zvonko Kavran zvonko.kavran@fpz.hr * Autorizirana predavanja 2016. 1 Pojačala - Pojačavaju ulazni signal - Zahtjev linearnost

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) PRILOG Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) Tab 3. Vrednosti sačinilaca α i β za tipične konstrukcije SN-sabirnica Tab 4. Minimalni

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

Periodičke izmjenične veličine

Periodičke izmjenične veličine EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα