Περιγραφή των φυσικών δοµών που χαρακτηρίζονται από ακανόνιστη, τραχεία ή τεµαχισµένη µορφή

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Περιγραφή των φυσικών δοµών που χαρακτηρίζονται από ακανόνιστη, τραχεία ή τεµαχισµένη µορφή"

Λητώ Αβραμίδης
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Περιγραφή των φυσικών δοµών που χαρακτηρίζονται από ακανόνιστη, τραχεία ή τεµαχισµένη µορφή Ανωµαλίες των δοµών που ποικίλουν ως προς το µέγεθος και χαρακτηρίζονται από µια ειδική σχέση µεταβολής της κλίµακας Η κλασµατική γεωµετρία χαρακτηρίζει τη δοµή ενός συνόλου σηµείων του χώρου εκφρασµένη µέσω ενός αριθµού που ονοµάζεται κλασµατική διάσταση γεωµετρία (θεωρία διαστάσεων) κλασµατική διάσταση (fractal imension) αυτο-οµοιότητα (self-similarity) αυτο-οµοπαραλληλία (self-affinity) ΜΕΓΕΘΟΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΓΡΑΜΜΗΣ δ (S) ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΛΕΓΧΟΥ: h( δ ) = γ δ γ = ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟ ΤΜΗΜΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ ΚΥΒΟΣ γ = π 4 ΙΣΚΟΣ 6 π = γ ΣΦΑΙΡΑ

2 ΙΑΣΤΑΣΗ HAUSORFF-BESICOVITCH ΜΕΤΡΙΚΗ: M = h( δ ) = γ δ δ 0 M 0 M M = γ δ = γ Ν( δ ) δ δ 0 0, όταν >, όταν < ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ Στον ευκλείδιο χώρο R E : r > 0 x = ( x, x,..., xe ) r ( x) = ( rx, rx,..., rxe ) S S(r) ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΟΜΟΠΑΡΑΛΛΗΛΙΑΣ Στον ευκλείδιο χώρο R E : r = ( r, r,..., re ), ri > 0 x = x, x,..., ) r x) = ( r x, r x,..., r ) ( xe ( ExE S S(r)

3 ΜΗΚΟΣ ΑΚΑΝΟΝΙΣΤΩΝ ΓΡΑΜΜΩΝ ε Ν(ε) L( ε ) = ( ε) ε Richarson (96): L( ε) = k ε k > 0 Log 0 (Αναπτύγµατος σε km) Aκτογραµµή Αυστραλίας Κύκλος Ακτογραµµή Νότιας Αφρικής Σύνορα Γερµανίας (900) υτική ακτογραµµή Βρεττανίας Σύνορα Πορτογαλίας Log 0(Μήκους βήµατος σε km) 3

4 Ηκλασµατική διάσταση () ενός συνόλου σηµείων του χώρου είναι η διάσταση Hausorff-Besicovitch Ηκλασµατική διάσταση κυµαίνεται ως τιµή µεταξύ της τοπολογικής ( T ) και της ευκλείδιας διάστασης ( E ) Γραµµές: T = < < = E Επιφάνειες: T = < < 3 = E Ηκλασµατική διάσταση συνόλων σηµείων του χώρου εκφράζει το βαθµό µε τον οποίο µια γραµµή «γεµίζει» το ευκλείδιο επίπεδο, και αντίστοιχα, µια επιφάνεια τον ευκλείδιο χώρο ΑΥΤΟ-ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Κλασµατικάσύνολαείναισχήµατα των οποίων τα επί µέρους τµήµατα είναι όµοιαπροςτοόλον σύµφωνα µε µια ορισµένη γεωµετρική διαδικασία ΑΥΤΟ-ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ, µελόγοοµοιότητας r(): r( ) = Κλασµατική διάσταση αυτό-όµοιων σχηµάτων: = log log r( ) 4

5 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΝΗΣΟΣ ΤΟΥ KOCH Ευθύγραµµοτµήµα: r( ) = 4 Ν = 8 r( ) = 6 Ν = 64 =.50 AYTO-OMOIOTHTA / AYTO-OMOΠΑΡΑΛΛΗΛΙΑ Κάθε φραγµένο σύνολο σηµείων S ονοµάζεται αυτο-όµοιο (self-similar), ως ως προς προςένα έναλόγο λόγοr, r, αν αντο τοσύνολο S αποτελείται από απότην τηνένωση Ν διακριτών υποσυνόλων, κάθε κάθεένα ένααπό απότα ταοποία είτε είτεταυτίζεται άµεσα είτε είτε µετά µετάαπό στροφήήκαιµετάθεση µετοσύνολοr(s), που που προέρχεται από απότο τοs ύστερα από από µετασχηµατισµόοµοιότητας µε µελόγοr Κάθε φραγµένο σύνολο σηµείων S ονοµάζεται αυτο-οµοπαράλληλο (self-affine), ως ωςπρος προςένα έναδιανυσµατικό λόγο λόγοr=(r,, rr,,,, rr E ), E ), αν αντο τοσύνολο S αποτελείται από απότην τηνένωση Ν διακριτών υποσυνόλων, κάθε κάθεένα ένααπό απότα ταοποία είτε είτεταυτίζεται άµεσα είτε είτε µετά µετάαπό απόστροφή ή και και µετάθεση µετοσύνολοr(s), που πουπροέρχεται από απότο τοs ύστερα από απόοµοπαράλληλο µετασχηµατισµό µελόγοτοδιάνυσµα rr 5

6 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ AYTO-OMOIOTHTA / AYTO-OMOΠΑΡΑΛΛΗΛΙΑ Κάθε φραγµένο σύνολο σηµείων S ονοµάζεται στατιστικά αυτο-όµοιο (statistical self-similar), ως ωςπρος προςένα έναλόγο λόγοr, r, αν αντο τοσύνολο S αποτελείται από από την τηνένωση Ν διακριτών υποσυνόλων, κάθε κάθεένα ένααπό απότα ταοποία ταυτίζεται σε σε όλες όλεςτις τιςστατιστικές εκτιµήτριες µετοσύνολοr(s), που πουπροέρχεται από απότο τοs ύστερα από από µετασχηµατισµόοµοιότητας µελόγοr Κάθε φραγµένο σύνολο σηµείων S ονοµάζεται στατιστικά αυτοοµοπαράλληλο (statistical self-affine), ως ωςπρος προςένα έναδιανυσµατικό λόγο λόγοr=(r,, rr,,,, rr E ), E ), αν αντο τοσύνολο S αποτελείται από απότην τηνένωση Ν διακριτών υποσυνόλων, κάθε κάθεένα ένααπό απότα ταοποία ταυτίζεται σε σεόλες όλεςτις τιςστατιστικές εκτιµήτριες µετοσύνολοr(s), που πουπροέρχεται από απότο τοs ύστερα από από οµοπαράλληλο µετασχηµατισµό µε µελόγοτοδιάνυσµα rr ΑΡΧΕΣ ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗΣ ΙΑΣΤΑΣΗΣ Σχέση κλασµατικής διάστασης επιφάνειας ( S ) και παράγωγων γραµµών ( L ) (τοµές) S = L + ολική (global) = ΜΑΚΡΟΣΚΟΠΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ Αυτο-οµοπαράλληλες γραµµές τοπική (local) > ΜΙΚΡΟΣΚΟΠΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ 6

7 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΜΕ ΒΗΜΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ = b τουλάχιστον πέντε βήµατα Log 0 (Αναπτύγµατος σε km) Aκτογραµµή Αυστραλίας Κύκλος Ακτογραµµή Νότιας Αφρικής Σύνορα Γερµανίας (900) υτική ακτογραµµή Βρεττανίας Σύνορα Πορτογαλίας Log 0(Μήκους βήµατος σε km) ΦΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ = 3 b Fast Fourier Transform - FFT 7

8 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ V ( ) = E{( Z i Z j ) V ( ) = ( Z = = 3 i Z n b 3 b 3. Καθορισµός του µέγιστου µήκους συσχέτιση στο της µεγίστης διάστασης του δείγµατος. Οι τιµές της συνάρτησης µεταβλητότητας να υπολογίζονται στις τέσσερεις βασικές διευθύνσεις 3. Οι τιµές των µηκών συσχέτισης να ακολουθούν γεωµετρική πρόοδο j ) } ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΕΜΒΑ ΟΥ-ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΥ = b 4 H µέθοδος αυτή εµφανίζει τη µεγαλύτερη σταθερότητα και τα καλύτερα αποτελέσµατα απ όλες τις προηγούµενες 8

9 ΙΑΠΙΣΤΩΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΟΥ ΧΑΡΑΚΤΗΡΑ. Στατιστικά ισχυρή γραµµική σχέση µετρούµενων µεγεθών: Η 0 : «ρ = 0» ΑΠΟΡΡΙΠΤΕΤΑΙ ΜΕ 99% ΕΕ. Τα χαρτογραφικά σύµβολα (γραµµές) να µην αποτελούν ευκλείδια σχήµατα: Η 0 : «b = 0 ή» ΑΠΟΡΡΙΠΤΕΤΑΙ ΜΕ 95% ΕΕ 3. Στατιστικά σηµαντικήητιµή της προσδιοριζόµενης κλασµατικής διάστασης: Η 0 : «b = 0» ΑΠΟΡΡΙΠΤΕΤΑΙ ΜΕ 99% ΕΕ σ = σ b ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΜΕ ΒΗΜΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ σ 4 = σ b ΦΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ σ = 4 4 b σ b ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΕΜΒΑ ΟΥ-ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΥ «ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ» = c E c F 0 m 0 m c E και c F παράµετροι «µεγέθυνσης» και «µορφής» του συµβολισµού Για χαρτογραφικά σύµβολα µε γραµµές ίσου πάχους: c E = και c F = m0 m = 0 m0 m 9

10 ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΓΡΑΜΜΩΝ ΒΑΣΙΚΟΣ ΣΕ ΠΑΡΑΓΩΓΟ 0 = r r0 = r ΟΙ ΛΟΓΟΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΑΝΑΛΟΓΟΙ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΩΝ ΚΛΙΜΑΚΩΝ r 0 m0 = r m m0 = 0 m 0

Σχετικά έγγραφα

ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ. Βύρωνας Νάκος

1. Εισαγωγή ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ Βύρωνας Νάκος Η θεωρία της κλασµατικής γεωµετρίας (fractal geometry) έχει προταθεί από τον Β. Β. Mandelbrot, για να περιγράψει γεωµετρικούς νόµους που διέπουν