Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις

Transcript

1

2 wwwzitigr

3 Πρόλογος Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις ομάδες προσανατολισμού: ç Θετικών σπουδών ç Οικονομίας και Πληροφορικής Αναπτύσσονται διεξοδικά τα κεφάλαια: ç Όριο και Συνέχεια συνάρτησης ç Παράγωγος συνάρτησης Η δομή του βιβλίου, σε γενικές γραμμές, είναι η εξής: Σε κάθε ενότητα παρουσιάζεται η θεωρία σύντομα και ελκυστικά Ακολουθούν παρατηρήσεις και σχόλια για να αποσαφηνιστούν όλες οι έννοιες Στη συνέχεια, παρουσιάζονται χαρακτηριστικές εφαρμογές με τις απαραίτητες μεθοδολογικές οδηγίες Κάθε παράγραφος κλείνει με ένα μεγάλο αριθμό ασκήσεων, που καλύπτουν την ύλη με κάθε λεπτομέρεια Για τις εύκολες ασκήσεις ή για αυτές που υπάρχουν αντίστοιχες εφαρμογές, δίνονται οι απαντήσεις στο τέλος του βιβλίου Για τις ασκήσεις μέτριας δυσκολίας, δίνονται ικανοποιητικές υποδείξεις, ενώ για τις δύσκολες ασκήσεις, που σημειώνονται με αστερίσκο (*), δίνονται σύντομες λύσεις Το βιβλίο περιέχει διάσπαρτα πέντε διαγωνίσματα των τεσσάρων θεμάτων, που είναι ανάλογα με τις απαιτήσεις των πανελλαδικών εξετάσεων Κάθε κεφάλαιο κλείνει με επαναληπτικές ασκήσεις Επίσης, στο τέλος δίνεται ένας μεγάλος αριθμών γενικών επαναληπτικών θεμάτων και η ενασχόληση του μαθητή με αυτά, θα τον βοηθήσει σημαντικά στην εμβάθυνση της ύλης της Μαθηματικής Ανάλυσης Με ευχαρίστηση θα δεχθώ οποιαδήποτε υπόδειξη που θα μπορούσε να συμβάλλει στη βελτίωση αυτού του βιβλίου Ιούλιος 05 Θανάσης Ξένος

4 Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Όριο και συνέχεια συνάρτησης Επανάληψη βασικών εννοιών Το σύνολο των πραγματικών αριθμών και τα υποσύνολά του Διάταξη στο R 4 Αξιοσημείωτες ταυτότητες 4 4 Απόλυτες τιμές 4 5 Δυνάμεις στο R 5 6 Διώνυμες εξισώσεις 6 7 Εξισώσεις δεύτερου βαθμού 6 8 Εξισώσεις ανώτερου βαθμού 7 9 Επίλυση ανισώσεων 7 0 Άρρητες εξισώσεις και ανισώσεις 8 Τριγωνομετρικές εξισώσεις 9 Αριθμητική και γεωμετρική πρόοδος 9 Λογάριθμοι 0 4 Μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής 0 Συναρτήσεις Η έννοια της πραγματικής συνάρτησης Γραφική παράσταση συνάρτησης 9 Ισότητα συναρτήσεων 7 4 Πράξεις συναρτήσεων 8 5 Σύνθεση συναρτήσεων 40 Ασκήσεις 48 Μονότονες συναρτήσεις - Αντίστροφη συνάρτηση 54 Μονοτονία συνάρτησης 54 Ακρότατα συνάρτησης 59 Συνάρτηση 6 4 Αντίστροφη συνάρτηση 64 Περιεχόμενα 7

5 Ασκήσεις 74 ο Διαγώνισμα (Γενικό μέρος συναρτήσεων) 8 4 Όριο συνάρτησης στο 0 R 8 Ασκήσεις 85 5 Ιδιότητες των ορίων 86 5 Όριο και διάταξη 86 5 Όρια και πράξεις 86 5 Όριο σύνθετης συνάρτησης Κριτήριο παρεμβολής Τριγωνομετρικά όρια Σημαντική ανισότητα 07 Ασκήσεις 08 6 Μη πεπερασμένο όριο συνάρτησης στο 0 R 4 6 Η έννοια του άπειρου ορίου 4 6 Ιδιότητες του άπειρου ορίου 5 6 Όριο αθροίσματος και γινομένου 6 Ασκήσεις 6 7 Όριο συνάρτησης στο άπειρο 7 Η έννοια του ορίου στο άπειρο 7 Βασικά όρια στο άπειρο 7 Όριο πολυωνυμικής και ρητής συνάρτησης στο άπειρο 74 Όριο εκθετικής και λογαριθμικής συνάρτησης 75 Όριο ακολουθίας 4 Ασκήσεις 6 ο Διαγώνισμα (Όριο συνάρτησης) 70 8 Συνέχεια συνάρτησης 7 8 Η έννοια της συνέχειας 7 8 Συνεχείς συναρτήσεις 75 8 Θεώρημα του Bolzano Πρόσημο συνεχούς συνάρτησης Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών 95 8 Θ Ξένος: Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γʹ Λυκείου Περιεχόμενα

6 86 Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής Σύνολο τιμών συνεχούς συνάρτησης 00 Ασκήσεις 04 ο Διαγώνισμα (Συνέχεια συνάρτησης) Επανάληψη κεφαλαίου 5 4 ο Διαγώνισμα (Κεφάλαιο ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παράγωγος συνάρτησης Η έννοια της παραγώγου 7 Η έννοια της παραγώγου συνάρτησης σε σημείο 7 Παραγωγισιμότητα και συνέχεια 8 Στιγμιαία ταχύτητα 9 4 Εφαπτομένη γραφικής παράστασης 9 Ασκήσεις 4 Παραγωγίσιμες συναρτήσεις Παράγωγος συνάρτηση 46 Παραγωγίσιμη συνάρτηση 46 Παράγωγος συνάρτηση 46 Παράγωγος μερικών βασικών συναρτήσεων 47 Ασκήσεις 54 Κανόνες παραγώγισης 56 Παράγωγος αθροίσματος 56 Παράγωγος γινομένου 57 Παράγωγος πηλίκου 57 4 Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης 58 Ασκήσεις 8 4 Ρυθμός μεταβολής 89 Ασκήσεις 99 5 ο Διαγώνισμα (Παράγωγος συνάρτησης) 0 Απαντήσεις - υποδείξεις ή σύντομες λύσεις των ασκήσεων 05 Περιεχόμενα 9

7 Όριο και συνέχεια συνάρτησης

8 Το σύνολο των πραγματικών αριθμών και τα υποσύνολά του α)το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι το k {0,,,,,}, ενώ το σύνολο των ακέραιων αριθμών είναι το w {,,,0,,,,,} β)ρητός αριθμός ονομάζεται κάθε αριθμός που γράφεται ως πηλίκο ακέραιων αριθμών Το σύνολο των ρητών αριθμών είναι το α n α,β w και β 0 β Οι αριθμοί που δεν είναι ρητοί, όπως πχ οι, 5,π,e, και, ονομάζονται άρρητοι Η ένωση των συνόλων ρητών και άρρητων αριθμών μας δίνει το σύνολο o των πραγματικών αριθμών γ)αν α, βo με α β, τότε ορίζουμε τα παρακάτω φραγμένα διαστήματα ανοικτό διάστημα: (α, β) { o α β} κλειστό διάστημα: [α, β] { o α β} ανοικτό κλειστό διάστημα: (α, β] { o α β} κλειστό ανοικτό διάστημα: [α, β) { o α β} δ)αν α o, ορίζουμε τα παρακάτω μη φραγμένα διαστήματα (α, ) { o α}, [α, ) { o α} (,α) { o α}, (,α] { o α} Επίσης, έχουμε (, ) o ε)οι πραγματικοί αριθμοί παριστάνονται με σημεία μιας ευθείας, η οποία ονομάζεται άξονας των πραγματικών αριθμών Τα διαστήματα είναι υποσύνολα του o και περιέχουν άπειρα σημεία Τα σημεία ενός διαστήματος Δ,που είναι διαφορετικά από τα άκρα του, ονομάζονται εσωτερικά σημεία του ΔΑν από ένα υποσύνολο Ατου o εξαιρέσουμε τον αριθμό 0,τότε το σύνολο Α {0} συμβολίζεται συνήθως με Α Για παράδειγμα, k είναι το σύνολο των θετικών ακέραιων αριθμών Επανάληψη βασικών εννοιών

9 Μονοτονία συνάρτησης ç Ορισμός Μια συνάρτηση f ονομάζεται i) Γνησίως αύξουσα σ ένα διάστημα Δτου πεδίου ορισμού της, όταν για κάθε, Δμε ισχύει f( ) f( ) ii) Γνησίως φθίνουσα σ ένα διάστημα Δτου πεδίου ορισμού της όταν για κάθε, Δμε ισχύει f( ) f( ) iii) Αύξουσα στο Δ,όταν για κάθε, Δμε ισχύει f( ) f( ) iv) Φθίνουσα στο Δ,όταν για κάθε, Δμε ισχύει f( ) f( ) Αντίστοιχα συμβολίζουμε f Δ, f Δ, f Δ, f Δ ç Αν η f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα στο Δ, τότε λέμε ότι είναι γνησίως μονότονη στο Δ ç Αν η f είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της, τότε λέμε απλώς ότι είναι γνησίως μονότονη ) Για την αύξουσα συνάρτηση του διπλανού σχήματος, μπορούμε να πούμε ότι είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα (, ], [, ) και σταθερή στο διάστημα [, ] Για το λόγο αυτό δεν θα ασχοληθούμε με αύξουσες ή φθίνουσες συναρτήσεις 54 Θ Ξένος: Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γʹ Λυκείου Κεφ Όριο και συνέχεια συνάρτησης

10 ) Η μονοτονία των βασικών συναρτήσεων θεωρείται γνωστή Για παράδειγμα, i) η εκθετική συνάρτηση ii) η f() e και η λογαριθμική συνάρτηση g() ln είναι γνησίως αύξουσες στο o και (0, ) αντίστοιχα f() είναι γνησίως φθίνουσα στο (,0] και γνησίως αύξουσα στο [0, ) iii) η f() είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήματα (,0) και (0, ) iv) η f() εφ είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε διάστημα του πεδίου ορισμού της, δηλαδή σε κάθε διάστημα κπ π, κπ π, κ w ) Οι συναρτήσεις f και f έχουν διαφορετικό είδος μονοτονίας 4) Είναι δυνατόν μια συνάρτηση f να είναι γνησίως μονότονη στα διαστήματα Δ και Δ του πεδίου ορισμού της, χωρίς όμως να συμβαίνει το ίδιο στο σύνολο Δ Δ Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι η συνάρτηση f(), για την οποία έχουμε f (,0) και f (0, ) Όμως, δεν είναι γνησίως φθίνουσα στο (,0) (0, ) o *, αφού για 0 ισχύει f( ) f( ) Άρα, η μονοτονία μιας συνάρτησης εξετάζεται στα διαστήματα του πεδίου ορισμού της Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη σ ένα διάστημα Δ D, τότε η εξίσωση f() = 0 δεν μπορεί να έχει δύο ή και περισσότερες ρίζες στο Δ, αφού τότε για θα ίσχυε f( ) f( ) 0, που είναι άτοπο Άρα, μια γνησίως μονότονη συνάρτηση έχει το πολύ μια ρίζα f Μονότονες συναρτήσεις - Αντίστροφη συνάρτηση 55

11 w Eφαρμογή (Εύρεση της μονοτονίας μιας συνάρτησης) Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία οι συναρτήσεις α) Λύση: f() e και β) Μεθοδολογία f() ln Για να βρούμε τη μονοτονία μιας συνάρτησης f:a o, θεωρούμε δύο τυχαία σημεία, A με και χρησιμοποιώντας ιδιότητες ανισοτήτων, καταλήγουμε στην ανισότητα f( ) f( ) ή f( ) f( ) Επίσης, με, μπορούμε να βρούμε το πρόσημο της διαφοράς f( ) f( ) f( ) f( ) Ακόμη, με, μπορούμε να βρούμε το πρόσημο του λόγου λ Αν ο λ>0 η f είναι γνησίως αύξουσα και αν λ<0 η f είναι γνησίως φθίνουσα Στο ο κεφάλαιο θα μάθουμε κι άλλο κριτήριο για τη μονοτονία συνάρτησης α) Για κάθε, o με ισχύει e e και Άρα, f o, οπότε e e, δηλαδή f( ) f( ) β) Για κάθε, (0, ) με ισχύει Άρα, f (0, ) και ln ln, οπότε ln ln, δηλαδή f( ) f( ) w Eφαρμογή (Μονοτονία μιας πράξης συναρτήσεων) α) Αν μια συνάρτηση f :A (0, ) είναι γνησίως αύξουσα και μια άλλη συνάρτηση g:a (0, ) είναι γνησίως φθίνουσα, να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f g είναι γνησίως αύξουσα στο Α β) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση εφ h(), 0, π συν 56 Θ Ξένος: Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γʹ Λυκείου Κεφ Όριο και συνέχεια συνάρτησης

12 Λύση: α) Για κάθε, A με ισχύει f( ) f( ) και g( ) g( ) Επειδή οι τιμές g( ) και g( ) είναι ομόσημες, ισχύει g( ) g( ) Τα μέλη των ανισοτήτων f( ) f( ) και g( ) g( ) είναι όλα θετικά, οπότε, αν τις πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη, έχουμε f( ) f( ) ή f f ( g( ) g( ) ) ( ) g g Άρα, η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο Α g β) Γνωρίζουμε ότι: η συνάρτηση π και ισχύει f() 0, f() εφ, 0, είναι γνησίως αύξουσα η συνάρτηση π και ισχύει g() 0 g() συν, 0, είναι γνησίως φθίνουσα Άρα, σύμφωνα με τα παραπάνω, η συνάρτηση εφ h() συν είναι γνησίως αύξουσα στο π 0, w Eφαρμογή (Μονοτονία της σύνθεσης συναρτήσεων) α) Αν η συνάρτηση f :A B είναι γνησίως αύξουσα και η g:bo είναι γνησίως φθίνουσα, να αποδειχθεί ότι η g f είναι γνησίως φθίνουσα β) Αν f(), o να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση (f f) f Λύση: α) Αρκεί να αποδειχθεί ότι για κάθε, Aμε ισχύει (g f)( ) (g f )( ) Πράγματι, επειδή η fείναι γνησίως αύξουσα στο Α,για ισχύει f( ) f( ) Μονότονες συναρτήσεις - Αντίστροφη συνάρτηση 57

13 Επίσης, επειδή f( ),f( ) Β και η gείναι γνησίως φθίνουσα στο B,ισχύει gf( ) gf( ), δηλαδή (g f )( ) (g f )( ) β) Για κάθε, o με ισχύει και Επομένως,, δηλαδή f( ) f( ), που σημαίνει ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο o Έτσι, έχουμε ακόμη ff( ) ff( ) και δηλαδή Άρα, η συνάρτηση (f f f f( ) f f f( ), (f f) f ( ) (f f) f ( ) f) f είναι γνησίως φθίνουσα στο o w Eφαρμογή 4 (Μονοτονία άρτιας συνάρτησης) Αν μια άρτια συνάρτηση f: o o είναι γνησίως αύξουσα σ ένα διάστημα (α, β) θετικών αριθμών, να αποδειχθεί ότι η fείναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα ( β, α) Λύση: Θεωρούμε δύο τυχαία σημεία, ( β, α) με και αρκεί να αποδείξουμε ότι f( ) f( ) Επειδή, (α,β), και η fείναι γνησίως αύξουσα στο (α, β),συμπεραίνουμε ότι f( ) f( ), δηλαδή f( ) f( ), αφού η fείναι άρτια συνάρτηση w Eφαρμογή 5 (Μονοτονία και επίλυση εξίσωσης) Να λυθεί στο o η εξίσωση Λύση: Μεθοδολογία e Μια μέθοδος για να λύσουμε εξίσωση της μορφής f()=0 είναι η εξής: Αποδεικνύουμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη, οπότε έχει το πολύ μια ρίζα Βρίσκουμε προφανή ρίζα Η εξίσωση γράφεται e 0 Η συνάρτηση f() e, o είναι γνησίως αύξουσα (βλέπε και την ε- φαρμογή παραπάνω) και επειδή f(0)=+0 =0, μοναδική ρίζα της εξίσωσης f()=0 είναι η =0 58 Θ Ξένος: Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γʹ Λυκείου Κεφ Όριο και συνέχεια συνάρτησης

14 - Χαρακτηρίστε με «Σωστό» ή «Λάθος» καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις Να αιτιολογηθούν οι απαντήσεις ν * α) Η συνάρτηση f(), νk είναι γνησίως αύξουσα β) Αν για μια συνάρτηση f: o o ισχύει f()<f(), τότε η f είναι γνησίως αύξουσα γ) Αν η γραφική παράσταση μιας γνησίως μονότονης συνάρτησης f: o o διέρχεται από τα σημεία Α(, ) και Β(0, 4), τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα δ) Η συνάρτηση f() είναι γνησίως αύξουσα στο o ε) Αν μια συνάρτηση f: o o είναι γνησίως φθίνουσα, τότε η f f είναι γνησίως αύξουσα στ) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα σε διάστημα Δ, τότε για κάθε f( ) f( ), Δμε ισχύει 0 ζ) Η συνάρτηση f() ( ) έχει ελάχιστο το η) Η συνάρτηση f() 5 έχει μέγιστο το θ) Αν για κάθε o ισχύει f() f(), τότε η fέχει μέγιστο το f() ι) Αν για κάθε o ισχύει f(), τότε η fέχει ελάχιστο το ια) Η συνάρτηση f() α β γ, α 0 είναι αντιστρέψιμη ιβ) Αντίστροφη της συνάρτησης f() e είναι η g() e ιγ) Αν f(), o, τότε f () log, 0 ιδ) Αν η f είναι γνησίως μονότονη, τότε και η ιε) Κάθε αντιστρέψιμη συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη f είναι γνησίως μονότονη Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία οι παρακάτω συναρτήσεις: α) f() 4, β) f() e, 0, γ) f() ln 74 Θ Ξένος: Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γʹ Λυκείου Κεφ Όριο και συνέχεια συνάρτησης

15 Να λυθούν οι εξισώσεις α) e ln(), β) και γ) ln 4 Θεωρούμε δύο συναρτήσεις f:ao και g:ao α) Αν οι f και g είναι γνησίως αύξουσες, να αποδειχθεί ότι και η f+g είναι γνησίως αύξουσα β) Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα και η g είναι γνησίως αύξουσα, να αποδειχθεί ότι η f g είναι γνησίως φθίνουσα γ) Αν οι f, g είναι γνησίως μονότονες με διαφορετικό είδος μονοτονίας και παίρνουν θετικές τιμές, να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση f g ημ δ) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση h() είναι γνησίως αύξουσα στο συν διάστημα 0, π 5 α) Αν π 0αβ, να αποδειχθεί ότι συνα συνβ α β β) Αν α, βo με α<β, να αποδειχθεί ότι α β α β α) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση β) Να λυθεί στο o η ανίσωση f() e, o e e ( ) γ) Να βρεθεί το διάστημα, στο οποίο η γραφική παράσταση της παραπάνω συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από την ευθεία y= 7 Αν οι συναρτήσεις f:a B και g:bo είναι γνησίως μονότονες, να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση g f 8 Αν μια περιττή συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σ ένα διάστημα (α, β) θετικών αριθμών, να αποδειχθεί ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και στο διάστημα ( β, α) 9 Να βρεθούν τα ακρότατα (αν υπάρχουν) των παρακάτω συναρτήσεων α) f(), β) f() 4, γ) f() 6, 5 δ) f(), ε) f() ημ, στ) f() Μονότονες συναρτήσεις - Αντίστροφη συνάρτηση - Ασκήσεις 75

16 Διδακτική ενότητα Γενικό μέρος συναρτήσεων Α Να αποδειχθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις δύο αντίστροφων συναρτήσεων είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = Τι ονομάζουμε σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f:a, όπου Α ; Να δοθεί ο ορισμός της σύνθεσης δύο συναρτήσεων; Χαρακτηρίστε με «Σωστό» ή «Λάθος» καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις α) Η συνάρτηση f() e είναι αντιστρέψιμη β) Αν για μια συνάρτηση f : o o ισχύει f()>0 για κάθε o, τότε η f δεν έχει ελάχιστο γ) Αν οι συναρτήσεις f, g, h ορίζονται στο o και ισχύει f h f g, τότε h = g δ) Αν μια συνάρτηση f :Ao είναι, τότε η συνάρτηση ταυτοτική f f είναι ε) Τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων δύο αντίστροφων συναρτήσεων ανήκουν στην ευθεία y = Να βρεθεί η αντίστροφη της συνάρτησης f(), 0 Αν f() και g(), να βρεθούν οι συναρτήσεις g f και f g e Έστω συνάρτηση f:o o με f() f( ) για κάθε o e e α) Να αποδειχθεί ότι f(), e β) Να βρεθεί η αντίστροφη της f Κεφ Όριο και συνέχεια συνάρτησης ο Διαγώνισμα 8

17 Δίνεται η συνάρτηση f:o o με f() Να συγκριθούν οι αριθμοί f(ημ) και f(συν) Να αποδειχθεί ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να λυθεί η ανίσωση f f() Να βρεθεί το διάστημα στο οποίο η γραφική παράσταση της συνάρτησης 4 g() ( ) βρίσκεται κάτω από την C Αν μια συνάρτηση h: o o είναι, να αποδειχθεί ότι και η συνάρτη- ση φ() h() h () είναι f Έστω συνάρτηση f : o o* με f( y) f() f(y) για κάθε,y o Να αποδειχθεί ότι α) f(0) =, β) f( ), γ) f() f() f( y) f(y) Να αποδειχθεί ότι f() > 0 για κάθε o Αν η C f τέμνει την ευθεία y = μόνο σ ένα σημείο, να αποδειχθεί ότι α) η f είναι αντιστρέψιμη και β) y ) f (y ) f (y f (y ) για κάθε y,y f( ) 8 Θ Ξένος: Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γʹ Λυκείου Κεφ Όριο και συνέχεια συνάρτησης ο Διαγώνισμα

18 , Κεφάλαιο Όριο και συνέχεια συνάρτησης Συναρτήσεις ) ) ) α) Λ, β) Σ, γ) Σ, δ) Λ, ε) Λ, στ) Λ (για α=0, Df o * ), ζ) Λ, D f (,0), η) Λ, θ) Σ, i) Λ, iα) Σ, iβ) Σ (η μηδενική συνάρτηση) Οι β) και ε) α β γ δ ε στ ζ vii i v ii iv vi iii 4) 5) 6) α) o {,}, β) (, ] [0,], γ) (,0), δ) (0, ), ε) o {}, στ) (, ) (0,), ζ) (0,π) (π,π) (4π,5π) η) (0,) (,π) (π,π) (4π,5π) θ) Αν α>, τότε D f (0, ) Αν α=, τότε D f (0,) (, ) Αν 0<α<, τότε D f (0, ) α Αν α=0, τότε D f (0,) (, ) Αν α<0, τότε D f (0, ) α α) o {}, β) στ) (,), ζ) 5, 4, γ),, δ) (,), ε) 5,, y () 4, f( ) o o, η), α) e e και συν Λύση η =0 β) και ημ Η εξίσωση είναι αδύνατη γ) Η εξίσωση γράφεται συνπ, η) (0, 8] Το αʹ μέλος έχει σύνολο τιμών [, 5] και το βʹ μέλος το [, ] Η εξίσωση αληθεύει μόνο για = Απαντήσεις - υποδείξεις ή σύντομες λύσεις των ασκήσεων 05

19 7) α) f() = (-) β) f() = ( ) 4 γ) f() = δ) f() = y y y y O 4 O / O ε) f() = στ) f() = e ζ) f() = ln(+) η) f() = (+) 8 y y y y 4 e O O O O 4 8 8) α= και β= y O 9) 0) ) α) (, ) και (0, ), β) f() g() ( ) 8 Το σημείο (,6) γ) Η f έχει σύνολο τιμών το (, ] [, ), ενώ η g το, Ισχύει f()=g() μόνο για = και το κοινό σημείο είναι το (,) Από τις ισότητες f(0)=g(0) και f()=g() βρίσκουμε α, β 57 4 ή α, β β) D f (0,) (, ) και D g o * γ) 5() ln 0 () Για > το αʹ μέλος της () είναι θετικό Για (0,) το αʹ μέλος της () είναι αρνητικό Μοναδική λύση είναι η = 06 Θ Ξένος: Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γʹ Λυκείου

20 Βιβλία Μαθηματικών του Θανάση Ξένου Μαθηματικά ΔHMOTIKOY Μαθηματικά ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ευκλείδεια Γεωμετρία Α & Β Λυκείου Τυπολόγιο για όλες τις τάξεις Μαθηματικά Α & Β Λυκείου

21 Προβλήματα & Κριτήρια A & Β Λυκείου Μαθηματικά Γ Λυκείου Ομάδα προσανατολισμού Θετικών Σπουδών, Οικονομίας και Πληροφορικής Προβλήματα & Κριτήρια Γ Λυκείου ΕΠΑΛ & ΑΣΕΠ

22 Μαθηματικά ΑΕΙ-ΤΕΙ KENTPIKH ΔIAΘEΣH: Aρμενοπούλου 7, Θεσσαλονίκη Tηλ: Fa: sales@zitigr ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ: