Automatsko upravljanje 2016/2017
|
|
|
- Ρεία Μπουκουβαλαίοι
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Automatsko upravljanje 2016/2017 Prof.dr.sc. Nedjeljko Perić, Prof.dr.sc. Zoran Vukić Prof.dr.sc. Mato Baotić, Izv.prof.dr.sc. Nikola Mišković Zavod za automatiku i računalno inženjerstvo Fakultet elektrotehnike i računarstva Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 1 / 82
2 Uvod Sažetak Predavanja 04 Blok, sumator i linija sa strelicom osnovni su elementi blokovskog dijagrama Blokovski dijagram, kao i GTS (Masonov teorem), pomažu nam da lakše odredimo prijenosnu funkciju zatvorenog kruga složene strukture Blokovski dijagram prikazuje samo prolaz informacije kroz sustav Prolaz energije i/ili materije kroz sustav ne prikazuje se blokovskim dijagramom Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 2 / 82
3 Uvod Cilj Spoznati važnost matematičkih modela procesa u upravljanju sustavima Spoznati analogije izmed _ u matematičkih modela raznorodnih procesa Naučiti pristupe i načine prikaza matematičkih modela procesa Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 3 / 82
4 Svrha matematičkog modela (1) Matematički modeli su matematički objekti koji se koriste za opis raznorodnih procesa (sustava) čija se stanja vremenom mijenjaju Primjeri matematičkih modela: modeli tehničkih sustava modeli za financijska i ekonomska predvid _ anja modeli za medicinske dijagnoze... Glavna svrha modeliranja u automatici je: analiza sustava upravljanja sinteza sustava upravljanja Za uspješno projektiranje sustava upravljanja (regulatora) te njegovu analizu i sintezu neophodno je dobro poznavanje vladanja procesa kao dinamičkih sustava (naglašenija svrha u ovome kolegiju) Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 4 / 82
5 Svrha matematičkog modela (2) Vladanje procesa matematički se opisuje matematičkim modelom: stacioniranim - opisuje vladanje sustava u stacionarnom (ustaljenom, uravnoteženom) stanju dinamičkim - opisuje vladanje sustava pri prijelazu iz jednog stanja u drugo stanje, tj. pri prijelazu iz jedne radne točke u drugu; brzina prijelaza ovisi o karakteristikama sustava (broju i veličini skladišta energije) i o pobudnom signalu koji djeluje na ulaz procesa Matematički modeli procesa (čest je sinonim: proces ˆ= sustav) mogu imati i širu primjenu, primjerice: obuka operatera za vod _ enje složenih postrojenja (nuklearnih elektrana, brodova, letjelica) za što se koriste trenažeri zasnovani na matematičkim modelima procesa u postrojenjima nadzor i dijagnostika postrojenja i procesa (monitoring); monitoring je često sastavni dio suvremenih rješenja sustava automatizacije složenih postrojenja i procesa Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 5 / 82
6 Svrha matematičkog modela (3) Nadalje, matematički modeli sustava mogu poslužiti i za: simulaciju hipotetskih situacija u koje bi stvarni sustav bilo opasno dovesti ("eksperimentiranje" na matematičkom modelu, umjesto na stvarnom sustavu); matematički model je "surogat stvarnog sustava" predikciju (predvid _ anje) budućih stanja sustava (primjerice sustava iz ekonomske sfere) Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 6 / 82
7 Dva pristupa promatranju sustava Vladanje sustava može se promatrati kroz dva pristupa: pristup kojim se promatra unutarnje djelovanje sustava pristup kojim se promatra sustav izvana Matematički modeli zasnovani na prvom pristupu nazivaju se unutarnjim modelima, modelima stanja ili modelima bijele kutije (engl. white box) u ovu kategoriju spadaju modeli prikazani pomoću diferencijalnih jednadžbi i modeli prikazani u prostoru stanja, dakle modeli u vremenskom području ovi modeli predstavljaju nasljed _ e iz mehanike, povezano s Johannesom Keplerom i Isaacom Newtonom Matematički modeli zasnovani na drugom pristupu nazivaju se vanjskim modelima, ulaznoizlaznim modelima ili modelima crne kutije (engl. black box) u ovu kategoriju spadaju modeli prikazani pomoću prijenosnih funkcija i modeli prikazani pomoću frekvencijskih karakteristika, dakle modeli u području kompleksne varijable odnosno u frekvencijskom području ovi modeli predstavljaju nasljed _ e iz elektrotehnike Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 7 / 82
8 Složenost matematičkog modela Složenost matematičkog modela procesa ovisi o svrsi matematičkog modela Matematički modeli koje se koristi u svrhu sinteze i analize sustava upravljanja u pravilu su jednostavnije strukture (opisuju dominantna stanja sustava, a pri tome se zanemaruju nedominantna stanja sustava - govorimo o nemodeliranoj dinamici sustava) Dakle, iz praktičnih razloga koriste se jednostavniji (reducirani) modeli procesa u svrhe analize i sinteze sustava upravljanja Modeli koje se koristi u svrhu simulacijskih istraživanja samih procesa u pravilu su složenije strukture Takod _ er su složeniji modeli koje se koristi u svrhu monitoringa Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 8 / 82
9 Točnost matematičkog modela Pogreška matematičkog modela može se definirati na razne načine Ovdje je definirana kao odstupanje e izlaza matematičkog modela y M od izlaza stvarnog sustava y z u P + + y + e - M y M Slika 5.1: Odstupanje matematičkog modela e = y Mu (5-1) Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 9 / 82
10 Neodred _ enost matematičkog modela (1) Usko povezano s točnošću modela definira se i neodred _ enost (engl. uncertainty) matematičkog modela: neodred _ enost matematičkog modela sustava predstavlja bilo koje njegovo odstupanje od stvarnog sustava Neodred _ enosti mogu biti: spoznajne neodred _ enosti (engl. epistemic uncertainty) - posljedica su nepotpunog poznavanja zakonitosti koje vrijede za sustav; dubljom analizom sustava ove se neodred _ enosti mogu smanjiti prirodne neodred _ enosti - posljedica su inherentne promjenjivosti sustava, a posebno su izražene u slučajevima gdje je čovjek dio sustava, kao i u slučajevima modeliranja prirodnih (stohastičkih) pojava; ove se neodred _ enosti u principu ne mogu smanjiti Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 10 / 82
11 Neodred _ enost matematičkog modela (2) Sa stajališta automatskog upravljanja pod pojmom neodred _ enosti najčešće se podrazumijeva modelska neodred _ enost, tj. neodred _ enost koja predstavlja razliku izmed _ u realnog sustava i njegova matematičkog modela Kod modelske neodred _ enosti razlikujemo: strukturnu neodred _ enost koja se odnosi na neodgovarajuću strukturu matematičkog modela sustava, a može biti uzrokovana: nepotpunim poznavanjem sustava (spoznajna neodred _ enost) pojednostavljenjem modela što može obuhvaćati: korištenje usredotočenih parametara umjesto raspodijeljenih, zanemarivanje visokofrekvencijskih modova sustava, linearizaciju nelinearnih sustava i slično parametarsku neodred _ enost koja se odnosi na nemogućnost točnog odred _ ivanja parametara sustava odgovarajuće strukture, a to može biti posljedica: nedovoljno informativnog skupa podataka na temelju kojeg se obavlja identifikacija sustava inherentne promjenjivosti parametara sustava Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 11 / 82
12 Struktura matematičkog modela Matematički modeli mogu se klasificirati prema strukturi na sljedeći način: parametarski modeli (modeli sa strukturom) neparametarski modeli (modeli bez strukture) Parametarski modeli predstavljaju se jednadžbama, koje eksplicitno sadrže parametre (npr. diferencijalne jednadžbe n-tog reda, prijenosne funkcije n-tog reda, gdje je n strukturni parametar modela kojim je odred _ en red sustava) Neparametarski modeli prikazuju ovisnost ulazne i izlazne veličine procesa u obliku tablica vrijednosti ili krivulja (npr. težinske funkcije, prijelazne funkcije u tabličnom ili grafičkom obliku, frekvencijske karakteristike); neparametarski modeli sadrže parametre implicitno Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 12 / 82
13 Opći zahtjevi postavljeni na matematičke modele procesa Odgovarajuća složenost odred _ ena namjenom modela (opisuje bitna dinamička svojstva koja su relevantna za namjenu modela) Štedljivost (engl. parsimony) model treba biti štedljiv u parametrima (minimalni, ali zadovoljavajući broj parametara modela) Fleksibilnost model treba biti fleskibilan, tj. primjenljiv za opis vladanja sustava u svim radnim režimima Dobra numerička svojstva model treba biti prikladan za računalne simulacije (memorijska i računska složenost) Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 13 / 82
14 Kako doći do matematičkog modela? Potrebno je odrediti strukturu i parametre matematičkog modela Do matematičkog modela procesa može se doći teoretskom i eksperimentalnom analizom procesa Teoretska analiza procesa zasniva se na detaljnom poznavanju fizikalnih (i drugih) zakonitosti procesa iz čega slijedi prikaz sustava u obliku matematičkih jednadžbi (ovaj se pristup zasniva na sustavskoj dinamici) Eksperimentalna analiza zasniva se na mjerenju ulazno-izlaznih veličina procesa te obradbi tih veličina zasnovanoj na algoritmima identifikacije iz čega slijede struktura i parametri matematičkog modela procesa (ovaj se pristup zasniva na identifikaciji procesa) Načelni pristup postavljanju matematičkog modela procesa zasnovan na teoretskoj analizi: 1. korak proučiti proces, tj. spoznati fizikalne (i kemijske) zakonitosti djelovanja u procesu (npr. tijekove materije, tijekove energije) 2. korak fizikalne (i kemijske) zakonitosti izraziti pomoću matematičkih jednadžbi (diferencijalnih, algebarskih, logičkih) Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 14 / 82
15 Temeljne jednadžbe procesa (1) Fizikalne (i kemijske) zakonitosti u procesu zasnivaju se na općem principu konzervacije (održanja ravnoteže) kao temeljnom principu opstojnosti, koji se matematički može izraziti jednadžbom: [AKUMULACIJA] = [ULAZ] [IZLAZ] +[UNUTARNJI PROIZVOD] (5-2) odnosno jednadžbom: [ ] PROMJENA = AKUMULACIJE [ PROMJENA ULAZA [ + ] [ PROMJENA IZLAZA PROMJENA UNUTARNJEG PROIZVODA ] ] (5-3) Jednadžba (5-2), odnosno (5-3), zasniva se na općem principu konzervacije i naziva se općom temeljnom jednadžbom procesa Primjena principa konzervacije može se odnositi na konzervaciju mase, energije ili gibanja Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 15 / 82
16 Temeljne jednadžbe procesa (2) Jednadžbe (5-2) i (5-3) mogu se odnositi na ukupni sustav ili na mali segment sustava pa u tome smislu imamo modele s: makroskopskom ravnotežom mikroskopskom ravnotežom Modeli s makroskopskom ravnotežom opisuju proces kao proces s koncentriranim parametrima - opis pomoću običnih diferencijalnih jednadžbi (ODE) Modeli s mikroskopskom ravnotežom opisuju proces kao proces s raspodijeljenim parametrima - opis pomoću parcijalnih diferencijalnih jednadžbi (PDE) Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 16 / 82
17 Temeljne jednadžbe procesa (3) Iz opće temeljne jednadžbe slijede jednadžbe održavanja ravnoteže za razne fizikalne veličine Jednadžba ravnoteže ukupne mase (bilanca ukupne mase): [ ] Promjena akumulacije = mase u procesu [ ] [ ] (5-4) Dotok mase Odtok mase = u proces iz procesa Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 17 / 82
18 Temeljne jednadžbe procesa (4) Jednadžba ravnoteže komponenata mase (bilanca komponenata) Promjena akumulacije molova j te = komponente u procesu = + Dotok molova j te komponente u proces Tvorba molova j te komponente uslijed kemijske reakcije Odtok molova j te komponente iz procesa + Nestajanje molova j te komponente uslijed kemijske reakcije (5-5) Mol je množina uzorka koji sadrži onoliko elementarnih jedinki koliko ima atoma u 0,012 kg ugljika 12 (C 12 ) Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 18 / 82
19 Temeljne jednadžbe procesa (5) Jednadžba ravnoteže ukupne energije (bilanca energije): [ ] Promjena akumulacije = energije u procesu = [ Dotok energije u proces [ Promjena generirane + energije u procesu ] [ Odtok energije iz procesa ] + ] [ Promjena rada kojeg proizvodi proces Jednadžba održanja količine gibanja (bilanca gibanja): d(mv i ) dt = ] (5-6) N F ji (5-7) m - masa [kg] v i - brzina u i-tom smjeru [m/s] F ji - j-ta komponenta sile koja djeluje u i-tom smjeru [N] Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 19 / 82 j=1
20 Temeljne jednadžbe procesa (6) Rotacija krutog tijela oko nepomične osi: ] J - moment inercije [kgm 2 d(jω i ) dt = N M ji (5-8) ω i - kutna brzina u i-tom smjeru [rad/s] M ji - j-ta komponenta momenta koja djeluje u i-tom smjeru [Nm] j=1 Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 20 / 82
21 Temeljne jednadžbe procesa (7) U jednadžbama ravnoteže pojavljuju se tzv. konstitutivne jednadžbe koje se zasnivaju na fizikalnim (kemijskim) zakonima i na temelju kojih se dogad _ aju promjene u procesu, npr.: jednadžbe kemijskih kinetičkih odnosa jednadžbe ekvilibrija (kemijski i fazni ekvilibrij) jednadžbe stanja jednadžbe transporta... Jednadžbe ravnoteže omogućuju jedinstveno sagledavanje dinamike procesa kao znanosti o vremenskim promjenama stanja Jedinstvenost se ogleda u analognim oblicima matematičkih modela raznorodnih procesa Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 21 / 82
22 Primjer 5.1: Analogija izmed _ u električne i vodovodne mreže Električna mreža (sastoji se od aktivnih i pasivnih elemenata) Aktivni elementi izvori električne energije: naponski i strujni izvori Pasivni elementi troše ili pohranjuju električnu energiju: otpornici, prigušnice, kondenzatori Vodovodna mreža (sastoji se od aktivnih i pasivnih elemenata) Aktivni elementi izvori energije: izvori tlaka (potencijala) i izvori protoka, kao što su kompresori i crpke Pasivni elementi troše ili pohranjuju mehaničku energiju: cijevi, masa vode u cijevima, spremnici Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 22 / 82
23 Modeliranje komponenata SAU (1) Pri modeliranju sustava automatskog upravljanja treba na odgovarajući način modelirati i dinamičko vladanje izvršnog člana (aktuatora) te dinamičko vladanje mjernog člana Izvršni član Proces Mjerni član Slika 5.2: Prošireni model procesa Često se dinamičko vladanje i izvršnog i mjernog člana može opisati matematičkim modelom prvog reda Isto tako, nije rijedak slučaj da se njihova dinamička vladanja mogu zanemariti (u tome je slučaju njihovo vladanje opisano proporcionalnim članom) Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 23 / 82
24 Modeliranje komponenata SAU (2) Signal mjernog člana često je onečišćen superponiranim smetnjama - šumom posljedica fizikalne/kemijske zakonitosti na kojoj se zasniva mjerni član, ili nastaje utjecajem okoline na mjerni član Šum superponiran mjernom signalu (signalu povratne veze) prenosi se na regulator s posljedicom da će i upravljački signal regulatora biti "zašumljen", tj. imat će izraženu varijancu (dodatno naprezanje aktuatora i loše vladanje sustava) Zbog toga je mjerni signal (signal povratne veze) nužno filtrirati Modeliranje mjernog šuma u SAU zasniva se na statističkim postupcima (model mjernog šuma zasniva se na generiranju slučajnih brojeva) Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 24 / 82
25 Modeliranje pomoću diferencijalnih jednadžbi (1) Linearni sustavi s koncentriranim parametrima modeliraju se pomoću običnih linearnih diferencijalnih jednadžbi Sustavi s raspodijeljenim parametrima modeliraju se pomoću parcijalnih diferencijalnih jednadžbi (koje mogu biti linearne ili nelinearne, ovisno o tome je li sustav linearan ili nelinearan) Fizikalni zakoni su polazište pri postavljanju matematičkog modela procesa (dinamičkog modela procesa) Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 25 / 82
26 Modeliranje pomoću diferencijalnih jednadžbi (2) Za električke sustave su od posebne važnosti: za sustave s koncentriranim parametrima: Kirchhoffovi zakoni Ohmov zakon Zakon indukcije... za polja kao i sustave s prostorno raspodijeljenim parametrima: Maxwellove jednadžbe Za mehaničke sustave su od posebne važnosti: Newtonovi zakoni zakoni ravnoteža sila i momenata zakoni održanja količine gibanja i energije Za termodinamičke sustave su od posebne važnosti: zakoni očuvanja unutarnje energije ili entalpije zakoni vod _ enja topline i prijenosa topline (često povezani sa zakonima termodinamike i dinamike plinova) Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 26 / 82
27 Primjer 5.2: Električki sustav (1) i 1 L A i 3 Slika 5.3: RLC krug u u Petlja 1 i 2 R Petlja 2 u i C Promatrani fizikalni sustav posjeduje dva neovisna energetska spremnika: L i C Za petlju 1: u u (t) = L di 1 dt + Ri t i 2 (τ)dτ + u c (0) (5-9) C 0 Za petlju 2: u i (t) = Ri C t 0 i 2 (τ)dτ + u c (0) (5-10) Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 27 / 82
28 Primjer 5.2: Električki sustav (2) i 1 L A i 3 Slika 5.3: RLC krug u u Petlja 1 i 2 R Petlja 2 u i C Za čvor A: Iz jednadžbi (5-9), (5-10) i (5-11) slijedi: i 1 i 2 i 3 = 0; i 3 = 0 i 1 = i 2 = i (5-11) T 2 2 d 2 u i dt + T du i 2 1 dt + u du u i = T 1 + u u (5-12) dt gdje je T 1 = RC i T 2 = LC Za rješenje ove diferencijalne jednadžbe 2. reda, u i (t), mora biti poznato: u u (t), u C (0) i i 1 (0) Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 28 / 82
29 Primjer 5.3: Mehanički sustav (prigušeni mehanički oscilator) (1) v 1, v 2 i v u su brzine u označenim točkama na slici Prema Newtonovu zakonu je: F i su vanjske sile U promatranom slučaju je: m dv 2 dt m dv dt = F i (5-13) = d(v 1 v 2 ) (5-14) Slika 5.4: Prigušeni mehanički oscilator u 1 2 Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 29 / 82
30 Primjer 5.3: Mehanički sustav (prigušeni mehanički oscilator) (2) Iz ravnoteže sila u točki P slijedi (sila prigušenja = sila opruge): t d(v 1 v 2 ) = c [v u (τ) v 1 (τ)] dτ (5-15) 0 Iz jednadžbi (5-14) i (5-15) slijedi (usporedba s diferencijalnom jednadžbom (5-12) - imaju jednake matematičke strukture): T 2 2 gdje je d 2 v 1 dt + T dv 1 dv u v 1 = T 1 + v u (5-16) dt dt T 1 = m d i T 2 = m c Slika 5.4: Prigušeni mehanički oscilator u 1 2 Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 30 / 82
31 Analogije Matematički modeli Analogije u primjerima 5.2 i 5.3: sila i struja Fˆ=i brzina i napon vˆ=u Koriste se i druge analogije, kao: sila i napon Fˆ=u brzina i struja vˆ=i Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 31 / 82
32 Primjeri mehaničkih sustava Primjer 5.4: Gibanje mase uz djelovanje trenja Jednadžba ravnoteže sila F = ma (5-17) x x Gibanje mase m Sila trenja -bx m u Narinuta sila Slika 5.5: Gibanje mase uz djelovanje trenja u bẋ = mẍ ẍ + b mẋ = u m v + b m v = u m (5-18) Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 32 / 82
33 Primjeri mehaničkih sustava Primjer 5.5: Dvomaseni sustav - ovjes automobila (1) { m 1 - masa kotača m 2 - masa četvrtine automobila 1 1 c 1 - konstanta elastičnosti amortizera d - konstanta prigušenja amortizera Slika 5.6: Ovjes automobila c 2 - konstanta elastičnosti kotača Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 33 / 82
34 Primjeri mehaničkih sustava Primjer 5.5: Dvomaseni sustav - ovjes automobila (2) 2 c 1 (y x) d(ẏ ẋ) = m 2 ÿ (5-19) d(ẏ ẋ)+c 1 (y x) c 2 (x r) = m 1 ẍ (5-20) c (y-x) 1 d(y-x) ɺ ɺ ÿ + d m 2 (ẏ ẋ)+ c 1 m 2 (y x) = 0 (5-21) 1 c (x-r) 2 ẍ + d m 1 (ẋ ẏ)+ c 1 m 1 (x y)+ c 2 m 1 = c 2 m 1 r (5-22) Napomena: x i y su pomaci masa iz ravnotežnog položaja za r = 0 Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 34 / 82
35 Primjer 5.6: Njihalo Matematički modeli Primjeri mehaničkih sustava M c l θ mg Slika 5.7: Njihalo M c vanjski moment M c mgl sinθ = ml 2 θ (5-23) θ + g l sinθ = M c ml 2 (5-24) Nelinearni matematički model Za θ malog iznosa nelinearni model se aproksimira linearnim modelom: sinθ = θ θ + g θ = M c (5-25) l ml 2 g ω n = (5-26) l Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 35 / 82
36 Primjer 5.7: Vjetroagregat (1) Primjeri mehaničkih sustava Lopatice i toranj vjetroagregata nisu apsolutno kruti Vjetar brzine v vj sila potiska F p na rotor njihanje tornja (pomaci vrha tornja x t ) Zakretanje lopatica oko njihove uzdužne osi takod _ er uzrokuje njihanje tornja x t v vj Generator F p Slika 5.8: Spoj lopatica na gondolu Slika 5.9: Pojednostavljena nadomjesna shema vjetroagregata Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 36 / 82
37 Primjer 5.7: Vjetroagregat (2) Primjeri mehaničkih sustava Snaga vjetra: gdje je: ρ z - gustoća zraka [kg/m 3 ] R - polumjer rotora turbine [m] Snaga vjetroagregata: P vj = 1 2 ρ zr 2 π v 3 vj (5-27) P vja = 1 2 ρ zr 2 π C P v 3 vj (5-28) gdje je: C P = f 1 (v vj,ω,β) - koeficijent snage (engl. power performance coefficient) ω - brzina vrtnje turbine [rad/s] β - kut zakreta lopatice [ ] Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 37 / 82
38 Primjeri mehaničkih sustava Primjer 5.7: Vjetroagregat (3) Zakretni moment rotora: M t = 1 2 ρ zr 3 πc Q (v vj ẋ t ) 2 (5-29) gdje je: C Q = f 2 (v vj,ω,β) - koeficijent momenta (engl. torque coefficient) v vj C Q = C P ωr = C P λ (5-30) λ - engl. tip speed ratio zbog njihanja tornja nastaje relativna brzina tornja prema vjetru (v vj ẋ t ) Dinamika rotora: J t ω = M t M g M l (5-31) gdje je: J t - moment inercije turbine M g - elektromagnetski moment generatora M l - moment trenja u ležajevima Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 38 / 82
39 Primjer 5.7: Vjetroagregat (4) Primjeri mehaničkih sustava Nadomjesna dinamika tornja: gdje je: M - modalna masa D - modalno prigušenje C - modalna elastičnost Sila potiska rotora: Mẍ t + Dẋ t + Cx t = F P (5-32) F P = 1 2 ρ zr 2 πc T (v vj ẋ t ) 2 (5-33) gdje je: C T = f 3 (v vj,ω,β) - koeficijent potiska (engl. thrust coefficient) Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 39 / 82
40 Primjer 5.7: Vjetroagregat (5) Primjeri mehaničkih sustava Matematički model vjetroagregata predstavlja podlogu za upravljanje brzinom vrtnje i snagom generatora vjetroagregata i vjetroelektrane Zahtjevi na upravljanje brzinom vrtnje generatora: Maksimizacija iskorištenja energije vjetra za vrijeme slabih vjetrova (tipično za v vj < 10 m/s) Ograničenje brzine vrtnje i snage generatora za vrijeme jakih vjetrova (tipično za 10 m/s < v vj < 25 m/s) P el [kw] [ ] β ~ v vj [m/s] Slika 5.10: Statičke karakteristike vjetroagregata ~ Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 40 / 82
41 Primjer 5.7: Vjetroagregat (6) Primjeri mehaničkih sustava Zahtjevi na upravljanje brzinom i snagom generatora Promjena elektromagnetskog momenta generatora pomoću frekvencijskog pretvarača Zakretanje lopatica oko njihove uzdužne osi (engl. pitching) Zahtjevi na upravljanje vjetroelektranom Upravljanje radnom i jalovom snagom vjetroelektrane sukladno potrebama EES-a Daljinsko upravljanje i nadzor nad pojedinim vjetroagregatom u vjetroelektrani Cjelovito upravljanje vjetroagregatom (vjetroelektranom) treba osigurati: prilagodbu napona i frekvencije zahtjevima električne mreže zakretanje gondole vjetroagregata okomito na vjetar praćenje iznosa procesnih veličina i atmosferskih prilika detekciju kvarova komponenata sustava sigurno zaustavljanje vjetroagregata u slučaju kvara ili nepovoljnih vremenskih uvjeta pravodobnu dojavu kvarnih stanja udaljenim kontrolnim mjestima Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 41 / 82
42 Primjeri električnih sustava Primjer 5.8: Istosmjerni motor s nezavisnom uzbudom (1) U a i a R a Φ u L a i u L u E Armaturni krug R u U u Ω Uzbudni krug J Mehanički dio motora Slika 5.11: Nadomjesna shema istosmjernog motora s nezavisnom uzbudom M m M t b 0 Varijable motora: U u, U a - napon uzbudnog i armaturnog kruga i u, i a - struja uzbudnog i armaturnog kruga Φ u - magnetski tok uzbudnog kruga E - protuelektromotorna sila M m - razvijeni moment motora Ω - brzina vrtnje M f - moment trenja M t - moment tereta Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 42 / 82
43 Primjeri električnih sustava Primjer 5.8: Istosmjerni motor s nezavisnom uzbudom (2) U a i a R a Φ u L a i u L u E Armaturni krug R u U u Ω Uzbudni krug J Mehanički dio motora Slika 5.11: Nadomjesna shema istosmjernog motora s nezavisnom uzbudom M m M t b 0 Parametri motora: R a, L a - otpor i induktivitet namota armaturnog kruga R u, L u - otpor i induktivitet namota uzbudnog kruga J - moment inercije rotirajućih masa b 0 - koeficijent trenja u ležaju Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 43 / 82
44 Primjeri električnih sustava Primjer 5.8: Istosmjerni motor s nezavisnom uzbudom (3) i u R u Armaturni krug: i a Φ u L u U u Uzbudni krug b 0 U a = R a i a + L a di a dt + E (5-35) E = KΩ (5-36) U a R a L a E M m Ω M t J (K - konstrukcijska konstanta motora) Razvijeni moment: Armaturni krug Uzbudni krug: U u = R u i u + L u di u dt U daljnjem razmatranju pretpostavit ćemo U u = konst. Φ u = konst. Mehanički dio motora (5-34) M m = Ki a (5-37) Jednadžba ravnoteže momenata: J dω dt M m = M t + M f + J dω dt - dinamički moment (5-38) Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 44 / 82
45 Primjeri električnih sustava Primjer 5.8: Istosmjerni motor s nezavisnom uzbudom (4) Uz pretpostavku da je M f M t, iz (5-34) - (5-38) slijedi: gdje je: T a = La R a T m = JRa K 2 K a = 1 R a T a T m Ω+Tm Ω+Ω = U a K M t K a K 2 T a K a K 2 Ṁ t (5-39) - armaturna vremenska konstanta - elektromehanička vremenska konstanta Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 45 / 82
46 Primjeri električnih sustava Primjer 5.9: Automobil - Elektronička zaklopka (1) Prednosti korištenja elektroničke zaklopke (engl. electronic throttle) nad mehaničkom izvedbom zaklopke: mogućnost smanjenja potrošnje goriva mogućnost smanjenja emisije polutanata mogućnost bržeg upravljanja momentom motora poboljšava vozljivost vozila Dvopoložajni ventili Ispuh Klip cilindra Ubrizgavač goriva Svjećica Upravljanje svjećicama Pumpa za gorivo Senzor zakreta zaklopke Zaklopka Tijelo elektroničke zaklopke Senzor protoka zraka Senzor Elektromotor tlaka zraka Regulator + pojačalo Upravljanje motorom Zračni filtar Senzor položaja papučice gasa Papučica gasa Senzori motora Slika 5.12: Dio sustava upravljanja motorom s unutarnjim izgaranjem Dotok zraka Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 46 / 82
47 Primjeri električnih sustava Primjer 5.9: Automobil - Elektronička zaklopka (2) Zaklopka Reduktor Elektromotor Slika 5.13: Tijelo elektroničke zaklopke Slika 5.14: Sustav upravljanja elektroničkom zaklopkom Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 47 / 82
48 Primjeri električnih sustava Primjer 5.9: Automobil - Elektronička zaklopka (3) Matematički model elektroničke zaklopke: di a L a dt + R ai a = K ch u Kω (5-40) M m = Ki a (5-41) J dω dt = M m M s M t M f (5-42) dm f dt dθ dt = K lω (5-43) = f f (M f,ω) (5-44) M s = M s (θ) (5-45) ω Ka 1+ T s a 1 s θ LH θ Slika 5.15: Nelinearni model elektroničke zaklopke Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 48 / 82
49 Primjeri električnih sustava Primjer 5.10: Fotonaponski pretvornici (1) Prednja elektroda (-) Sunčeva svjetlost Antirefleksivni sloj + N-tip silicij (P+) - + P-tip silicij (B+) - Stražnja elektroda (+) Slika 5.16: Fotoelektrični članak Pretvaraju energiju Sunca u električnu energiju Svjetlosna energija pobud _ uje elektrone u N sloju silicija Slobodni elektroni skupljaju se na prednjoj elektrodi Koncentracija elektrona ostvaruje električni napon Zatvaranje strujnog kruga - električna energija Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 49 / 82
50 Primjeri električnih sustava Primjer 5.10: Fotonaponski pretvornici (2) Dozračenost 6 5 G=1000 W/m 2 4 G=800 W/m 2 R S struja [A] 3 2 G=600 W/m 2 G=400 W/m 2 I pv 1 I D I sh napon [V] 90 D R sh U pv R t snaga [W] Povećanje G Slika 5.17: Nadomjesni model fotonaponskog pretvornika napon [V] Slika 5.18: Statičke karakteristike fotonaponskog pretvornika Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 50 / 82
51 Primjer 5.11: Gorivni članak (1) Primjeri električnih sustava Ballard-Mark 1030 P = 1.32 kw hlad _ en tekućinom Ballard-Mark 1020 ACS P = 1.26 kw hlad _ en zrakom Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 51 / 82
52 Primjer 5.11: Gorivni članak (2) Primjeri električnih sustava Svrha Upotreba vodika u proizvodnji električne i toplinske energije Djelovanje Spajanje vodika i kisika u vodu uz oslobad _ anje električne i toplinske energije Svojstva Ekološki čisti izvor energije Upotreba Slika 5.19: Struktura gorivnog članka Pogon vozila Skladištenje električne energije dobivene iz obnovljivih izvora energije (sunce, vjetar) Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 52 / 82
53 Primjer 5.11: Gorivni članak (3) Primjeri električnih sustava Spajanje atoma vodika i kisika u molekulu vode Oslobad _ anje elektrona Generiranje električnog napona Slika 5.20: PEM (Proton Exchange Membrane) gorivni članak Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 53 / 82
54 Primjer 5.11: Gorivni članak (4) Primjeri električnih sustava Spajanje više gorivnih članaka u složaj (engl. Fuel cell stack) Povećanje napona Slika 5.21: Složaj gorivnih članaka Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 54 / 82
55 Primjeri električnih sustava Primjer 5.11: Gorivni članak (5) Napon U ovisi o: tlaku i dotoku vodika i kisika struji I tereta Struja I tereta ovisi o: naponu teretu unutarnjem otporu članka H 2 O 2 P, q Gorivni članak U I Teret Slika 5.22: Med _ udjelovanja veličina u gorivnom članku Dotok ulaznih plinova ovisi o: ulaznim tlakovima plinova struji gorivnog članka Tlak ulaznih plinova ovisi o: tlakovima izvora plinova dotocima plinova Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 55 / 82
56 Primjer 5.11: Gorivni članak (6) Primjeri električnih sustava Blokovska shema gorivnog članka struja protok H 2 Model gorivnog članka referenca tlaka Izvor vodika tlak H 2 vlažnost H 2 temperatura Model anodnog masenog portoka protoka struja tlak na anodi referenca tlaka Kompresor tlak zraka Model vlažnosti membrane Naponski model napon DC/AC referenca vlažnosti Ovlaživač vlažnost zraka temperatura Model katodnog masenog portoka protoka tlak na katodi Termički model napon struja f trošila ulazni toplinski tok struja izlazni toplinski tok protok zraka referenca temperature Toplinski izmjenjivač temp. Slika 5.23: Blokovska shema gorivnog članaka Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 56 / 82
57 Toplinski procesi Matematički modeli Toplinski procesi Osnovni toplinski procesi su: miješanje hladnog i toplog fluida izmjena topline izmed _ u susjednih tijela nastajanje topline izgaranjem, u kemijskim reakcijama ili razgradnjom atoma izlaganje radijaciji izravna indukcija topline u materijalima s molekularnim ili atomskim gibanjem Fizikalna načela Pretvorba energije: mehanička } električna toplinska kemijska Rasprostiranje topline: vod _ enje (kondukcija) prijenos (konvekcija) zračenje (radijacija) Iznos promjene temperature tijela proporcionalan je ukupnoj energiji dovedenoj na tijelo ili odvedenoj od tijela Temperatura izaziva rasprostiranje topline Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 57 / 82
58 Fizikalna načela (1) Matematički modeli Toplinski procesi Vod _ enje (Kondukcija) Prema Fourierovu zakonu: H = KA T (5-46) x gdje je: H - toplinska energija u jedinici vremena (toplinski tok) [ W = J ; ] kj s h T - temperaturni gradijent duž osi x [ ] K x m ] A - površina kroz koju se prenosi toplina [m 2 K = λ - toplinska vodljivost [ ] W mk Za rasprostiranje topline od fluida na kruto tijelo i obratno relacija (5-46) može se nadomjestiti relacijom: H = h A T (5-47) gdje je: h - provodljivost (općenito je h funkcija relativne brzine izmjene topline izmed _ [ ] u medija) W m 2 K T - temperaturna razlika izmed _ u medija koji izmjenjuju toplinu (tanki sloj) [K] Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 58 / 82
59 Fizikalna načela (2) Matematički modeli Toplinski procesi Prijenos (Konvekcija) gdje je: [ Q - volumni protok ] m 3 s H = ρc P TQ (5-48) T - apsolutna temperatura [K] [ C P - specifična toplina = masena količina topline ρ - gustoća [ ] kg m 3 J kgk Zračenje (Radijacija) Rasprostiranje topline zračenjem može se odrediti prema Stefan-Boltzmannovu zakonu koji za idealno crno tijelo glasi: gdje je: [ σ - Stefan-Boltzmannova konstanta H = σat 4 (5-49) ] W m 2 K 4 Toplinsko zračenje nastaje kada atomi ili molekule tijela, pobud _ eni termičkim gibanjem, emitiraju elektromagnetske valove Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 59 / 82 ]
60 Fizikalna načela (3) Matematički modeli Toplinski procesi Pohranjena toplina u jedinici vremena H = ρc P V dt dt (= H CV + H CD + H R ) (5-50) gdje je: V - konstantni volumen tijela Brzina promjene (porasta) temperature tijela proporcionalna je ukupnoj toplini koja se dodaje tijelu konvekcijom H CV, kondukcijom H CD i radijacijom H R Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 60 / 82
61 Fizikalna načela (4) Matematički modeli Toplinski procesi Električne analogije toplinskih krugova (pojava): Toplinski otpor otpor odred _ en koeficijentom tankog sloja (koeficijent filma) H = h A T = ha(t 1 T 2 ) R = T H = 1 ha otpor odred _ en toplinskom vodljivošću Toplinski kapacitet Iz jednadžbe (5-50) slijedi: H = KA T x ˆ= λa T x = λa T 1 T 2 x T = 1 ρc P V R = x λa (5-51) (5-52) Hdt C = ρc P V (5-53) 0 Toplinski induktivitet ne postoji toplinski induktivitet koji bi odgovarao induktivitetu u električnim krugovima ili tromosti u mehaničkim krugovima Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 61 / 82
62 Primjeri toplinskih sustava Primjer 5.12: Savršeno miješanje tekućina (1) Pretpostavke: Savršeno miješanje (T = T 0 ) Spremnik dobro izoliran (nema rasipanja topline kroz stjenku) T je prosječna temperatura u spremniku, zbog savršenog miješanja Mogu se postaviti i druge pretpostavke! T 1, Q 1, H 1 T 2, Q 2, H 2 T=T 0 T 0, Q 0, H 0 Slika 5.24: Savršeno miješanje tekućina Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 62 / 82
63 Primjeri toplinskih sustava Primjer 5.12: Savršeno miješanje tekućina (2) Toplinska energija u jedinici vremena H 1 dovedena dotokom tekućine Q 1 : H 1 = ρ 1 C P1 T 1 Q 1 (5-54) Toplinska energija u jedinici vremena H 2 dovedena dotokom tekućine Q 2 : H 2 = ρ 2 C P2 T 2 Q 2 (5-55) Toplinska energija u jedinici vremena H 0 odvedena odtokom tekućine Q 0 : H 0 = ρ 0 C P0 T 0 Q 0 (5-56) Pretpostavljamo: (npr. regulacijom razine) Q 0 = Q 1 + Q 2 (5-57) Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 63 / 82
64 Primjeri toplinskih sustava Primjer 5.12: Savršeno miješanje tekućina (3) Jednadžba ravnoteže topline Akumulirana toplina u jedinici vremena: ρ 0 C P0 V dt 0 dt = i H i = H 1 + H 2 H 0 = = ρ 1 C P1 T 1 Q 1 +ρ 2 C P2 T 2 Q 2 ρ 0 C P0 T 0 Q 0 \ : ρ 0 C P0 Q 0 (5-58) (Vidi opći princip konzervacije energije) V Q 0 dt 0 dt + T 0 = ρ 1C P1 ρ 0 C P0 T 1 Q 1 Q 0 + ρ 2C P2 ρ 0 C P0 T 2 Q 2 Q 0 (5-59) τ dt 0 dt + T 0 = Kρ 1 C P1 T 1 Q 1 + Kρ 2 C P2 T 2 Q 2 (5-60) gdje je: [ ] 1 K K = ρ 0 C P0 Q 0 - koeficijent pojačanja (toplinski otpor) W τ = V Q 0 - vremenska konstanta [s] Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 64 / 82
65 Primjeri toplinskih sustava Primjer 5.13: Toplinski model energetskog transformatora (1) Za monitoring transformatora ključne veličine su unutarnje temperature: Temperatura namota Vršna temperatura ulja za hlad _ enje Ove dvije veličine dominantno utječu na životni vijek izolacijskog sustava (starenje izolacijskog sustava) transformatora Postoji više metoda za odred _ ivanje unutarnjih temperatura transformatora: Metode zasnovane na toplinskim modelima Metode zasnovane na naprednim pristupima (umjetne neuronske mreže, neizrazita logika, genetički algoritmi; to su soft computing metode) Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 65 / 82
66 Primjeri toplinskih sustava Primjer 5.13: Toplinski model energetskog transformatora (2) Toplinski model ulje - okolišni zrak Toplinski model prikazan je kao analogni električni krug Željezo Namoti q in q oil θ oil Strujanje zraka q out θ amb Temperatura temperatura okoline q in θ oil oil q out Fe gubitci Cu gubitci q Fe q Cu q oil Coil Toplinski kapacitet R oil Toplinski otpor θ amb Slika 5.25: Toplinski model ulje - okolišni zrak Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 66 / 82
67 Primjeri toplinskih sustava Primjer 5.13: Toplinski model energetskog transformatora (3) Odgovarajuća diferencijalna jednadžba koja opisuje toplinski model ulje - okolišni zrak glasi: q Fe + q Cu = C oil dθ oil dt + 1 R oilr (θ oil θ amb ) (5-61) gdje su: q Fe - toplinski tok odred _ en gubitcima u željezu q Cu - toplinski tok odred _ en gubitcima u bakru C oil - toplinski kapacitet ulja θ oil - temperatura ulja R oilr - toplinski otpor ulja za nazivne uvjete θ amb - temperatura okoline Primijetimo da su gubitci u željezu i bakru prikazani kao strujni (toplinski) izvori, a okolina kao temperaturni izvor Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 67 / 82
68 Primjeri toplinskih sustava Primjer 5.13: Toplinski model energetskog transformatora (4) Jednadžba (5-61) može se zapisati u uobičajenom obliku: τ oil dθ oil dt +θ oil = R oilr (q Fe + q Cu )+θ amb (5-62) gdje je: τ oil = R oilr C - toplinska vremenska konstanta Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 68 / 82
69 Procesi gibanja i skladištenja fluida Procesi gibanja i skladištenja fluida (1) Fizikalna podloga Gibanje fluida posljedica je djelovanja sile (potiska) Primjerice, istjecanje fluida iz spremnika posljedica je tlaka u fluidu koji nastaje zbog djelovanja gravitacijske sile, a gibanje fluida u cjevovodima posljedica je tlaka koji se pojavljuje uslijed sila potiska koje razvijaju crpke ili kompresori Sustavi cjevovoda kroz koje se giba fluid obično su integrirani sa sustavima spremnika fluida Količina uskladištene tvari (fluida) u spremniku funkcija je dotoka i odtoka Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 69 / 82
70 Procesi gibanja i skladištenja fluida (2) Procesi gibanja i skladištenja fluida Temeljna jednadžba ravnoteže masa u ovome slučaju glasi: ṁ u ṁ i = d [V(t)ρ(t)] (5-63) dt ili q u q i = d m(t) (5-64) dt gdje je: ṁ = dm dt - maseni protok fluida [kg/s] V - volumen uskladištenog fluida [ m 3] ρ - gustoća fluida [ kg/m 3] q u - ulazna količina fluida (dotok) [kg/s] q i - izlazna količina fluida (odtok) [kg/s] m - uskladištena masa fluida [kg] Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 70 / 82
71 Procesi gibanja i skladištenja fluida (3) Procesi gibanja i skladištenja fluida Količina uskladištenog fluida u vremenu t dobije se integriranjem jednadžbe (5-64): m(t) = t 0 [q u q i ] dτ + m(0) (5-65) Uskladištenje ima integralni karakter (simulira se blokom integracije) Uskladištena masa fluida u spremniku s konstantnim presjekom može se izračunati prema izrazu gdje je: A - površina presjeka spremnika [ m 2] h - visina fluida [m] Uvrštenjem (5-66) u (5-65) dobije se: h(t) = 1 Aρ m = A ρ h (5-66) t 0 [q u q i ] dτ + h(0) (5-67) Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 71 / 82
72 Primjeri sustava fluida Primjer 5.14: Odvod _ enje tekućine iz spremnika ispumpavanjem (1) Spremnik tekućine s odvod _ enjem tekućine pomoću crpke promjenljive brzine vrtnje q i = K c Ω c (5-68) Uvrštenjem izraza (5-68) u izraz (5-67) dobije se jednadžba ravnoteže masa za razmatranu konfiguraciju: Aρ dh dt = q u(t) K c Ω(t) (5-69) Q u h h ref + A=konst. - h m Mjerenje razine Crpka Ω c Regulator razine tekućine u spremniku Slika 5.26: Spremnik tekućine s crpkom Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 72 / 82 Q i
73 Primjeri sustava fluida Primjer 5.14: Odvod _ enje tekućine iz spremnika ispumpavanjem (2) Električna analogija Razina odgovara naponu Dotok odgovara struji Kapacitet je C = Aρ Q u Q i strujni izvor dh Aρ dt h Slika 5.27: Električna analogna shema spremnika tekućine s crpkom Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 73 / 82
74 Primjeri sustava fluida Primjer 5.15: Odvod _ enje tekućine iz spremnika istjecanjem kroz regulacijski ventil (1) Spremnik tekućine s istjecanjem kroz regulacijski ventil Odtok tekućine iz spremnika Q i ovisi o: razini vode u spremniku h otvoru regulacijskog ventila x v Jednadžba ravnoteže masa: Q u Q i = Aρ dh dt (5-70) Q u (P 0) h (P 1) A=konst. Mjerenje razine h m x v h ref + - Regulator Q i Pozicioner ventila (P 2) Slika 5.28: Spremnik tekućine s ventilom Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 74 / 82
75 Primjeri sustava fluida Primjer 5.15: Odvod _ enje tekućine iz spremnika istjecanjem kroz regulacijski ventil (2) Bernoullijeva jednadžba za stacionarno strujanje nestlačivog idealnog fluida: P +ρgh+ 1 2 ρv2 = konst. (5-71) gdje je: P - statički tlak [Pa] ρgh - tlak uvjetovan visinskom razlikom pojedinih dijelova fluida [Pa] 1 2 ρv2 - dinamički (brzinski) tlak [Pa] Protok kroz regulacijski ventil odred _ en je nelinearnim izrazom (slijedi iz Bernoullijeve jednadžbe i Torricellijeva zakona: v = 2gh): Q i = K v A v ρ 2gh = f(a v, h) (5-72) gdje je: K v - konstrukcijska konstanta ventila (bez dimenzije) A v - promjenljiva površina presjeka otvora ventila (uslijed djelovanja regulatora) Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 75 / 82
76 Primjeri sustava fluida Primjer 5.15: Odvod _ enje tekućine iz spremnika istjecanjem kroz regulacijski ventil (3) Uvrštenjem izraza (5-72) u (5-70) dobije se nelinearna diferencijalna jednadžba: Aρ dh dt + K va v ρ 2g h = Q u (5-73) s dvije nelinearnosti (umnoškom i drugim korijenom) nelinearni matematički model Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 76 / 82
77 Primjeri sustava fluida Primjer 5.16: Spregnuti (interaktivni) spremnici tekućine (1) Q 1 Za prvi spremnik vrijedi: C 1 h 1 R 1 Q2 C 2 h 2 R 2 Q3 Q 1 Q 2 = C 1 dh 1 dt gdje su: (5-74) (ventil) (ventil) A 1=konst. A 2=konst. Slika 5.29: Spregnuti spremnici tekućine C 1 = ρa 1 (5-75) Q 2 = h 1 h 2 R 1 (5-76) Uvrštenjem (5-76) u (5-74) dobije se Q 1 h 1 h 2 dh 1 dh 1 (t) = C 1 T 1 + h 1 (t) = R 1 Q 1 (t)+h 2 (t) (5-77) R 1 dt dt gdje je T 1 = R 1 C 1 (napomena: općenito je R = f(h)) Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 77 / 82
78 Primjeri sustava fluida Primjer 5.16: Spregnuti (interaktivni) spremnici tekućine (2) Q 1 Za drugi spremnik vrijedi: C 1 h 1 R 1 Q2 C 2 h 2 R 2 Q3 Q 2 Q 3 = C 2 dh 2 dt gdje su: (5-78) (ventil) (ventil) A 1=konst. A 2=konst. Slika 5.29: Spregnuti spremnici tekućine C 2 = ρa 2 (5-79) Q 3 = h 2 R 2 (5-80) Uvrštenjem (5-76) i (5-80) u (5-78) dobije se h 1 h 2 h 2 dh 2 = C R 1 R 2 2 dt gdje je T 2 = R 2 C 2 ( dh 2 (t) T R ) 2 h dt R 2 (t) = R 2 h 1 R 1 (t) (5-81) 1 Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 78 / 82
79 Primjeri sustava fluida Primjer 5.16: Spregnuti (interaktivni) spremnici tekućine (3) Električna analogija Slika 5.30: Električna analogna shema spregnutih spremnika tekućine Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 79 / 82
80 Primjeri sustava fluida Primjer 5.17: Modeliranje cijevi kroz koje protječu fluidi (1) Za procese gibanja i skladištenja fluida potrebno je imati odgovarajući matematički model cijevi kroz koje protječu fluidi Pretpostavimo da je u tu svrhu potrebno modelirati segment cijevi odred _ ene duljine l i odred _ enog promjera d koji je zaključen impedancijom Z T Pristup modeliranju segmenta cijevi može se zasnivati na modeliranju preko distribuiranih ili preko koncentriranih parametara x Q, P Z T x Zaključna impedancija Slika 5.31: Model segmenta cijevi Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 80 / 82
81 Primjeri sustava fluida Primjer 5.17: Modeliranje cijevi kroz koje protječu fluidi (2) Modeliranje segmenta cijevi preko koncentriranih parametara (zaključna impedancija odgovara kapacitetu posude) Q u ukupni otpor segmenta cijevi ukupni induktivitet segmenta cijevi P T dinamički tlak u posudi Crpka P u R L C T kapacitet posude Slika 5.32: Segment cijevi modeliran preko koncentriranih parametara LC T d 2 P T (t) dt 2 + RC T dp T (t) dt + P T (t) = P u (t) (5-82) Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 81 / 82
82 Zaključak Zaključak Matematički modeli procesa osnova su za sintezu i analizu sustava automatskog upravljanja Matematički modeli procesa mogu se dobiti pomoću sustavske analize procesa ili identifikacijom procesa Matematički modeli procesa dobiveni sustavskom analizom temelje se na općem principu konzervacije (održanja ravnoteže) mase, energije i gibanja Pri postavljanju i razumijevanju matematičkih modela procesa utemeljenih na održanju ravnoteže od velike koristi mogu biti analogije raznorodnih procesa s elektrotehničkim procesima Složenost matematičkog modela procesa (točnost) ovisi o svrsi modela Matematički modeli procesa za svrhe upravljanja trebaju opisati dominantno dinamičko vladanje procesa koje je relevantno za kvalitetu sustava upravljanja; ovi modeli spadaju u kategoriju manje složenih modela Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 82 / 82
Matematički modeli realnih sustava 1. i 2. dio
Matematički modeli realnih sustava 1. i 2. dio Realni sustavi promatraju se sustavi koji su česti u praksi matematički modeli konačne točnosti Pretpostavke za izradu matematičkog modela: dostupan realni
FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI
SVUČILIŠT U ZAGU FAKULTT POMTNIH ZNANOSTI predmet: Nastavnik: Prof. dr. sc. Zvonko Kavran zvonko.kavran@fpz.hr * Autorizirana predavanja 2016. 1 Pojačala - Pojačavaju ulazni signal - Zahtjev linearnost
Prikaz sustava u prostoru stanja
Prikaz sustava u prostoru stanja Prikaz sustava u prostoru stanja je jedan od načina prikaza matematičkog modela sustava (uz diferencijalnu jednadžbu, prijenosnu funkciju itd). Promatramo linearne sustave
Opća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava
Opća bilana tvari masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava masa iznijeta u dif. vremenu iz dif. volumena promatranog sustava - akumulaija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog
PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)
(Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
METODE IDENTIFIKACIJE
METODE IDENTIFIKACIJE EKSPERIMENTALNE ANALITIČKE ZA ODREĐIVANJE DINAMIČKIH KARAKTERISTIKA ZA ODREĐIVANJE STATIČKIH KARAKTERISTIKA AKTIVNI PASIVNI AKTIVNI PASIVNI MATEMATIČKI MODEL ELEMENATA I SAU Klasične
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Ovisnost ustaljenih stanja uzlaznog pretvarača 16V/0,16A o sklopnoj frekvenciji
Ovisnost ustaljenih stanja uzlaznog pretvarača 16V/0,16A o sklopnoj frekvenciji Električna shema temeljnog spoja Električna shema fizički realiziranog uzlaznog pretvarača +E L E p V 2 P 2 3 4 6 2 1 1 10
Masa, Centar mase & Moment tromosti
FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:
Upravljanje u mehatroničkim sustavima
Upravljanje u mehatroničkim sustavima Fetah Kolonić Jadranko Matuško Fakultet elektrotehnike i računarstva 27. listopada 2009 Upravljanje u mehatroničkim sustavima Upravljanje predstavlja integralni dio
BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe
BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika
1. Kinematika Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika Kinematika (grč. kinein = gibati) je dio mehanike koji
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
Automatsko upravljanje 2012/2013
Auomasko upravljanje 2012/2013 Prof.dr.sc. Nedjeljko Perić, Prof.dr.sc. Zoran Vukić Prof.dr.sc. Mao Baoić, Doc.dr.sc. Nikola Mišković Zavod za auomaiku i računalno inženjersvo Fakule elekroehnike i računarsva
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
konst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ
Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ pred.mr.sc Ivica Kuric Detekcija metala instrument koji detektira promjene u magnetskom polju generirane prisutnošću
FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa
Claudius Ptolemeus (100-170) - geocentrični sustav Nikola Kopernik (1473-1543) - heliocentrični sustav Tycho Brahe (1546-1601) precizno bilježio putanje nebeskih tijela 1600. Johannes Kepler (1571-1630)
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Otpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.
IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)
Gauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),
Vektorski identiteti ( ), Gauss, Stokes, Maxwell Saša Ilijić 21. listopada 2009. Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) Skalarni i
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Rotacija krutog tijela
Rotacija krutog tijela 6. Rotacija krutog tijela Djelovanje sile na tijelo promjena oblika tijela (deformacija) promjena stanja gibanja tijela Kruto tijelo pod djelovanjem vanjskih sila ne mijenja svoj
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Induktivno spregnuta kola
Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Uvod. B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Sustavni pristup modeliranju
Uvod - modeliranje preuzima vodeću ulogu u razvoju procesa - modelima pokušavamo razumjeti, mijenjati, projektirati i voditi realne procese - pri razvoju modela moramo sagledati cjelovitost problema zajedno
Vježba 4. STRUJNO-NAPONSKA KARAKTERISTIKA PEM GORIVNOG ČLANKA
Vježba 4. STRUJNO-NAPONSKA KARAKTERISTIKA PEM GORIVNOG ČLANKA Gorivni članci su uređaji za direktnu pretvorbu kemijske u električnu energiju. Za razliku od galvanskih članaka kod kojih je aktivni materijal
Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1
Zadatak, Štap B duljine i mase m pridržan užetom u točki B, miruje u vertikalnoj ravnini kako je prikazano na skii. reba odrediti reakiju u ležaju u trenutku kad se presječe uže u točki B. B Rješenje:
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Automatsko upravljanje 2016/2017
Automatsko upravljanje 2016/2017 Prof.dr.sc. Nedjeljko Perić, Prof.dr.sc. Zoran Vukić Prof.dr.sc. Mato Baotić, Izv.prof.dr.sc. Nikola Mišković Zavod za automatiku i računalno inženjerstvo Fakultet elektrotehnike
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Elektrodinamika ( ) ELEKTRODINAMIKA Q t l R = ρ R R R R = W = U I t P = U I
Elektrodinamika ELEKTRODINAMIKA Jakost električnog struje I definiramo kao količinu naboja Q koja u vremenu t prođe kroz presjek vodiča: Q I = t Gustoća struje J je omjer jakosti struje I i površine presjeka
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju
Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada
#6 Istosmjerne struje
#6 Istosmjerne struje I Jednadžbe za istosmjerne struje II Gibbsov potencijal u vodičima predavanja 20** Drudeov model za vodljive elektrone Jouleov zakon Makroskopske jednadžbe za istosmjerne struje Gibbsov
Elektronički Elementi i Sklopovi
Sadržaj predavanja: 1. Strujna zrcala pomoću BJT tranzistora 2. Strujni izvori sa BJT tranzistorima 3. Tranzistor kao sklopka 4. Stabilizacija radne točke 5. Praktični sklopovi s tranzistorima Strujno
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Prostorni spojeni sistemi
Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.
Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =
UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA
UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,
1. Duljinska (normalna) deformacija ε. 2. Kutna (posmina) deformacija γ. 3. Obujamska deformacija Θ
Deformaije . Duljinska (normalna) deformaija. Kutna (posmina) deformaija γ 3. Obujamska deformaija Θ 3 Tenor deformaija tenor drugog reda ij γ γ γ γ γ γ 3 9 podataka+mjerna jedinia 4 Simetrinost tenora
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
10. BENZINSKI MOTOR (2)
11.2012. VELEUČILIŠTE U RIJECI Prometni odjel Zdenko Novak 10. BENZINSKI MOTOR (2) 1 Sustav ubrizgavanja goriva Danas Otto motori za cestovna vozila uglavnom stvaraju gorivu smjesu pomoću sustava za ubrizgavanje
Impuls i količina gibanja
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba 4 Impuls i količina gibanja Ime i prezime prosinac 2008. MEHANIKA
BRODSKA AUTOMATIKA I
BRODSKA AUTOMATIKA I Status predmeta Obavezni Semestar IV Broj ECTS kredita 5,0 Fond časova 2P+1V nastavnik: Doc. dr Milovan RADULOVIĆ saradnik : Mr Martin ĆALASAN termini nastave: SVAKA DRUGA srijeda
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA
FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ
ENERGETSKA POSTROJENJA
(Parne turbine) List: 1 PARNE TURBINE Parne turbine su toplinski strojevi u kojima se toplinska energija, sadržana u pari, pretvara najprije u kinetičku energiju, a nakon toga u mehanički rad. Podjela
Digitalni sistemi automatskog upravljanja
Digitalni sistemi automatskog upravljanja Status predmeta Obavezni Semestar VII Broj ECTS kredita 6,0 Fond časova 2P+2V nastavnik: Doc. dr Milovan RADULOVIĆ termini nastave: SVAKA SUBOTA od 11:00 14:00
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
9. Vježbe. između fluida i remena za slučaj Q = 0.
9 VJEŽBE MEANIKA FIDA II / 9 9 Vježbe 4 Široki remen, prema slici, postavljen je vertikalno između dva spremnika ispunjena istim fluidom i giba se prema gore konstantnom brzinom v, povlačeći fluid iz donjeg
Deformacije. Tenzor deformacija tenzor drugog reda. Simetrinost tenzora deformacija. 1. Duljinska deformacija ε. 1. Duljinska (normalna) deformacija ε
Deformae. Duljinska (normalna) deformaa. Kutna (posmina) deformaa. Obujamska deformaa Θ Tenor deformaa tenor drugog reda 9 podatakamjerna jedinia Simetrinost tenora deformaa 6 podataka 4. Duljinska deformaa
S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami
BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami Izv. prof. dr.. Tomilav Kišiček dipl. ing. građ. 0.10.014. Betonke kontrukije III 1 NBK1.147 Slika 5.4 Proračunki dijagrami betona razreda od C1/15 do C90/105, lijevo:
DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA)
Karakterizacija materijala DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA) Dr.sc.Emi Govorčin Bajsić,izv.prof. Zavod za polimerno inženjerstvo i organsku kemijsku tehnologiju Da li je DMA toplinska analiza ili reologija?
Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe
Dimenzioniranje nosaa 1. Uvjeti vrstoe 1 Otpornost materijala prouava probleme 1. vrstoe,. krutosti i 3. elastine stabilnosti konstrukcija i dijelova konstrukcija od vrstog deformabilnog materijala. Moraju
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE ZAVRŠNI RAD. Juraj Ladika. Zagreb, 2012.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE ZAVRŠNI RAD Juraj Ladika Zagreb, 2012. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE ZAVRŠNI RAD Mentor: Prof. dr. sc. Dražen Lončar
Mehatronika - Metode i Sklopovi za Povezivanje Senzora i Aktuatora. Sadržaj predavanja: 1. Operacijsko pojačalo
Mehatronika - Metode i Sklopovi za Povezivanje Senzora i Aktuatora Sadržaj predavanja: 1. Operacijsko pojačalo Operacijsko Pojačalo Kod operacijsko pojačala izlazni napon je proporcionalan diferencijalu
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Kolegij: Konstrukcije Rješenje zadatka 2. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu. Efektivna. Jedinična težina. 1. Glina 18,5 21,
Kolegij: Konstrukcije 017. Rješenje zadatka. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu 1. ULAZNI PARAETRI. RAČUNSKE VRIJEDNOSTI PARAETARA ATERIJALA.1. Karakteristične vrijednosti parametara tla Efektivna Sloj
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Vrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici.
Za adani sustav prostornih sila i j k () oktant i j k () oktant koje djeluju na materijalnu toku odredite: a) reultantu silu? b) ravnotežnu silu? a) eultanta sila? i j k 8 Vektor reultante: () i 8 j k
LabView priprema za 1. kolokvijum 2011.
Navesti razliku između koncepta upravljanja sa negativnom povratnom spregom i bez nje? Za stabilizaciju sistema koristi se negativna povratna sprega. Upravljanje bez povratne sprege ne koristi informaciju
Elektronički Elementi i Sklopovi. Sadržaj predavanja: 1. Mreže sa kombiniranim DC i AC izvorima 2. Sklopovi sa Zenner diodama 3. Zennerov regulator
Sadržaj predavanja: 1. Mreže sa kombiniranim DC i AC izvorima 2. Sklopovi sa Zenner diodama 3. Zennerov regulator Dosadašnja analiza je bila koncentrirana na DC analizu, tj. smatralo se da su elementi
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
ELEK 3. ISTOSMJERNA ELEKTRIČNA STRUJA I STRUJNI KRUGOVI ELEKTROTEHNIKA. Doc. dr. sc. Vitomir Komen, dipl. ing. el. 1/77. Komen
ELEKTOTEHNIKA 3. ISTOSMJENA ELEKTIČNA STUJA I STUJNI KUGOVI Doc. dr. sc. Vitomir Komen, dipl. ing. el. /77 SADŽAJ: 3. Nastajanje električne struje 3. Električni strujni krug istosmjerne struje 3.3 Električni
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA
Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -
HIDRODINAMIKA JEDNADŽBA KONTINUITETA I BERNOULLIJEVA JEDNADŽBA JEDNADŽBA KONTINUITETA. s1 =
HIDRODINAMIKA JEDNADŽBA KONTINUITETA I BERNOULLIJEVA JEDNADŽBA Hidrodinamika proučava fluide (tekućine i plinove) u gibanju. Gibanje fluida naziva se strujanjem. Ovdje ćemo razmatrati strujanje tekućina.
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
TEHNIČKA TERMODINAMIKA
UVOD TEHNIČKA TERMODINAMIKA dr. sc. Dražen Horvat, dipl.ing. Zagreb, ožujak 2006. TERMODINAMIKA = znanost o energiji ENERGIJA = sposobnost da se izvrši rad ili mogućnost da se uzrokuju promjene PRINCIP
Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A
Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit 1..014. VARIJANTA A Prezime i ime: Broj indeksa: Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. A C 1.1. Tri naelektrisanja
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg