Prostorni spojeni sistemi

Transcript

1 Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka ili komponente pomaka usporedne s tri pravca/osi ili projekcije pomaka na tri pravca/osi;. aokret oko trenutne osi (rotacija): dva kuta kojima je odredena os i kut aokreta ili (u teoriji malih pomaka) projekcije aokreta na tri osi translacijski pomak točke A, odredene radijus vektorom tr A ta, a vektor tp: ta ÞÑ ta ` tp, tp utı ` v tj ` w t k; pri translaciji tijela sve se njegove točke pomiču a isti vektor tp rotacijski pomak točke A (ta tr A ) oko osi a kut ϕ (kao primjer): R ta ta ÞÑ R ta ta u matričnom apisu:» fi» fi» fi a cos ϕ sin ϕ 0 a a fl ffi ÞÑ sin ϕ cos ϕ 0fl a fl a a ϕ ili, sažeto, a ÞÑ R a kompoicija rotacija: kompoicija rotacija: ta ÞÑ R `R1 ta a ÞÑ R `R1 a R R 1 a rotacijski pomak u teoriji malih pomaka: tϕ ϕ Lta tϕˆta ta ta ÞÑ L ta ta ` tϕ ˆ ta kompoicija rotacija: ta ÞÑ L pl 1 taq L pl 1 taq L pta ` tϕ 1 ˆ taq L pl 1 taq pta ` tϕ 1 ˆ taq ` tϕ ˆ pta ` tϕ 1 ˆ taq L pl 1 taq ta ` tϕ 1 ˆ ta ` tϕ ˆ ta ` tϕ ˆ p tϕ 1 ˆ taq L pl 1 taq ta ` p tϕ 1 ` tϕ q ˆ ta ` ϕ te ˆ pϕ 1 te 1 ˆ taq L pl 1 taq ta ` p tϕ 1 ` tϕ q ˆ ta ` lomon ϕ 1 ϕ te ˆ pte 1 ˆ taq 0 L pl 1 taq ta ` p tϕ 1 ` tϕ q ˆ ta L pl 1 taq ta ` p tϕ ` tϕ 1 q ˆ ta L 1 pl taq 1

2 spajanje tijela s podlogom: neispravan raspored spojeva: postoji barem jedna os a projekciju sila ili barem jedna momentna os a koju doprinosi svih sila u spojevima iščeavaju (tv. praan uvjet) ako osi svih šest globnih štapova sijeku jedan pravac (pa i neimjerno daleko), momenti svih sila u štapovima oko tog pravca iščeavaju (a tijelo se oko tog pravca može aokrenuti); ako je taj pravac neimjerno daleko, iščeavaju projekcije sila na os koja je okomita na ravninu koja njime prolai (a tijelo se može pomaknuti u smjeru osi)

3 uvjeti ravnoteže tijela u prostoru u vektorskom obliku: 1. iščeavanje broja svih sila: i t0. iščeavanje broja svih koncentriranih momenata i momenata svih sila u odnosu na bilo koju točku: «ff tr Fi t {T ˆ n`m ÿ i ` ĹM j t0 sažetije: t0 ĹM {T,k 3

4 osnovna formulacija skalarnih uvjeta ravnoteže tijela u prostoru: 1. iščeavanje brojeva skalarnih projekcija sila na koordinatne osi: F i, 0, F i, 0, F i, 0. iščeavanje brojeva vrijednosti momenata oko koordinatnih osi: «ff n`m ÿ p i F i, i F i, q ` M j, 0 M k, 0, p i F i, i F i, q ` M j, 0 p i F i, i F i, q ` M j, 0 iračunavanje sila u spojevima tijela s podlogom: «n`m ÿ «n`m ÿ M k, 0 M k, 0 ff ff, ĹW tg tb tc ĹW tg td ta tv tv (1) u jednadžbu ÿ n F i, 0 ulae neponanice A i D (i ponata vrijednost V ) () u jednadžbu ÿ n F i, 0 ulai neponanica B (i ponata vrijednost W ) (3) u jednadžbu ÿ n F i, 0 ulae neponanice C, E i F (i ponata vrijednost G) (4) u jednadžbu ÿ n`m M k, 0 ulae neponanice E i F (i ponate vrijednosti G i W ) (5) u jednadžbu ÿ n`m M k, 0 ulai neponanica F (i ponate vrijednosti G i V ) (6) u jednadžbu ÿ n`m i () neposredno iračunavamo B i (5) neposredno iračunavamo F i (6) neposredno iračunavamo D i (1), u ponatu D, iračunavamo A M k, 0 ulai neponanica D (i ponate vrijednosti V i W ) 4 te

5 i (4), u ponatu F, iračunavamo E i (3), u ponate E i F, iračunavamo C ostale formulacije skalarnih uvjeta ravnoteže tijela u prostoru: [ nekorektno postavljeni uvjeti: postoje sila ili koncentrirani moment (ili spreg sila) čiji doprinosi svim uvjetima iščeavaju ] varijacija osnovne formulacije s tri opće osi a projekcije sila i s tri opće momentne osi osi a projekcije sila ne smiju biti paralelne s jednom ravninom; isto tako, momentne osi ne smiju biti paralelne s jednom (istom ili nekom drugom) ravninom projekcije sila na dvije osi i momenti oko četiri osi projekcije sila na jednu os i momenti oko pet osi: tb tc ĹW u tg td ta v tv w te iračunavanje sila u spojevima: (1) i jednadžbe ÿ n`m M k,w 0 neposredno iračunavamo A () i jednadžbe ÿ n F i, 0 neposredno iračunavamo B (3) i jednadžbe ÿ n`m M k,v 0 neposredno iračunavamo C (4) i jednadžbe ÿ n`m M k, 0 neposredno iračunavamo D (5) i jednadžbe ÿ n`m M k,u 0 neposredno iračunavamo E (6) i jednadžbe ÿ n`m M k, 0 neposredno iračunavamo F momenti oko šest osi osi ne smiju sjeći jedan pravac, pa ni neimjerno daleko tipovi adataka: I. osnovni adaci: 1. odrediti vrijednostî sila na šest adanih pravaca. odrediti vrijednostî sila na pet adanih pravaca i vrijednost momenta oko adane osi 3. odrediti vrijednostî sila na četiri adana pravca i vrijednostî momenata oko dviju adanih osi 4. odrediti vrijednostî sila na tri adana pravca i vrijednostî momenata oko triju adanih osi 5

6 II. ivedeni adaci: osim vrijednosti sile na adanomu pravcu i vrijednosti momenta oko adane osi mogu se tražiti (1) sila pravac koje prolai adanom točkom, () sila pravac koje leži u adanoj ravnini i prolai adanom točkom, (3) moment oko osi koja prolai adanom točkom te (4) moment oko osi koja leži u adanoj ravnini i prolai adanom točkom globni čvor: tri globna štapa kojima je globni čvor spojen s podlogom ne smiju ležati u jednoj ravnini iračunavanje sila u spojevima ravnoteža materijalne točke: F i, 0, F i, 0, nacrtnogeometrijski postupak: aksonometrija: 4 F i, p 3 1 P 1 r 1 1 s 1 Mongeova ortogonalna projekcija: t r t 1 1 s 1 4 d. p ts 3,4 p ts,4 ts 1,4 1 3 P P 1 p 1 r ts 1,4 t 1 t s 1 p 1 ts 1 1,4 ts 1 3,4 6