Emulzije. Emulzijski proizvodi: Kozmetika i farmaceutika kreme losioni Paste masti gelovi injekcije (u farmaceutici)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Emulzije. Emulzijski proizvodi: Kozmetika i farmaceutika kreme losioni Paste masti gelovi injekcije (u farmaceutici)"

Transcript

1 Emulzijski proizvodi: Kozmetika i farmaceutika kreme losioni Paste masti gelovi injekcije (u farmaceutici) Poljoprivreda sredstva za zaštitu bilja Emulzijske boje 1 Emulzije Emulzije termodinamički nestabilne disperzije dvije međusobno nemješljive tekućine, npr. voda i ulje, pri čemu je jedna od komponenata fino dispergirana u obliku kapljica, a druga je kontinuirana faza o/w - emulzije ulje dispergirano u vodi μm voda ulje w/o - emulzije voda dispergirana u ulju Vrsta emulzija: može se odrediti različitim opažanjima i eksperimentalnim tehnikama o/w emulzije imaju kremastu konzistenciju w/o emulzije su uljne i masne emulzija je mješljiva s kapljevinom koja je mješljiva s kontinuiranom fazom emulzija se može obojiti bojama koje su topljive u kontinuiranoj fazi o/w emulzije obično imaju dobru električnu vodljivost Stabilnost emulzija o/w emulzije w/o emulzije emulzije su termodinamički nestabilne termin stabilnost za emulzije odnosi se na vremensku stabilnost Slika. Raspon veličina dispergirane faze u disperzijama kapljevina - kapljevina 3 4

2 Nestabilnost emulzija Nestabilnost emulzija: Sedimentacija i vrhnjenje posljedica su nepodudaranja u gustoći faza emulzije nisu nužno povezani s agregacijom generalno se ne razmatraju kao nestabilnost ; kapljice se mogu redispergirati Flokulacija ili koagulacija odnosi se na međusobno agregiranje kapljica u emulziji. Moguće je redispergirati kapljice. vrhnjenje Şlika. Shematski prikaz nestabilnosti emulzija 5 Slika. a) Vrhnjenje i slaba flokulacija b) ekstremno jaka flokulacija 6 Nestabilnost emulzija: Koalescencija nestabilnost emulzije dolazi do koalescencije (spajanja kapljica) i do konačnog razdvajanja faza. Odlučujući faktor brzina koalescencije kapljica kvantitativna mjera stabilnosti emulzije Termodinamička nestabilnost emulzija u usporedbi s makroskopskim sustavom slobodna energija termodinamički nestabilnih emulzija je veća za iznos površinske energije Primjer 1: 1cm 3 mineralnog ulja dispergirano je u vodi u kapljice veličine 0.01μm (10-8 m) Promjer kuglice 1cm 3 d 3 π V = 6 6V d = 3 = 1, 41cm π Oplošje kuglice ulja 1 cm 3 P = d π = 4,83cm 5cm Izračun broja kapljica n promjera 10-8 m nastalih iz 1 cm 3 ulja V = 1 cm 3 = m 3 = d 3 π n 6 n = ( 10 ) 3 π n = 1, kapljica koalescencija 7 n = broj kapljica 8

3 Oplošje svih dispergiranih uljnih kapljica 8 ( 10 ) 3,14 600m 18 O = n d π = 1,91 10 = Oplošje 1 cm 3 ulja = 5 cm Oplošje svih dispergiranih kapljica (d=10-8 ) = 600 m Međupovršinska energija o/w emulzije W Termodinamička nestabilnost sudar između kapljice čiste emulzije dovodi do koalscencije (nereverzibilan proces spajanja kapljica) Koalescencija nadalje uzrokuje sedimentaciju (taloženje) ili vrhnjenje (skupljanje dispergirane faze na površini). Kad dođe do koalescencije emulzija je nepovratno uništena 3 1 (slobodna energija površine ulje voda ) / = N m γ o w 3 1 W = γ o w ΔA = Nm 600m = 34,J 8cal / Porast energije za 8 cal za nastajanje 600 m međupovršine je dovoljno da SUSTAV UČINI NESTABILNIM koalescencija kapljica Uzrok koalescencije je tendencija prema minimizaciji slobodne površine Slika. procesi u nestabilnoj o/w emulziji - kapljice se mogu prethodno agregirati ukoliko su sile koje ih drže razdvojene male - u agregatima kapljice su odvojene tankim filmom kapljevine vanjske faze - agregati mogu postojati duže vrijeme bez da dođe do koalescencije - ovisno o odnosu gustoća dispergirane i kontinuirane faze dolazi do sedimentacije ili vrhnjenja dispergirane faze dispergirane faze pri čemu se maksimizira (maksimalno povećava) volumen Čiste termodinamički nestabilne emulzije imaju kratko vrijeme postojanja! Da bi proizveli tehničke emulzije dugog vremena trajanja potrebno je dodati treću komponentu EMULGATOR. A Dvije tekućine koje ne mogu činiti stabilnu smjesu; Emulgatori B Miješanje tekućina; glavne uloge emulgatora Ostale uloge emulgatora C Ponovno odvajanje (nema emulgatora); smanjiti napetost površine između faza stvaranje barijere među fazama Poticati nastajanje emulzije Olakšati pripremu emulzije Nastajanje finije raspodjele čestica Stabilnost u stanju dispergiranosti Kontrola tipa emulzije koja nastaje: o/w ili w/o D Stabilna emulzija s emulgatorom Stabilnost emulzija može se pratiti mjerenjem refleksije i/ili prolaza svjetlosti u vertikalno postavljanom uzorku 11 1

4 Princip rada emulgatora water Emulgator mora biti tako odabran u formulaciji da se smješta na međupovršinu između dvije faze i tvori žilav, elastičan film koji ne puca prilikom sudara kapljice. U svrhu optimiranja ovih svojstava u praksi, najčešće se koristi smjesa emulgatora. water oil Primjer : Dodatak samo % sapuna u emulzijski sastav mineralno ulje / voda (raniji primjer) smanjuje međupovršinsku napetost sa 57 mn/m na samo mn/m. smanjenje površinske energije s 8 cal na 0,3 cal oil W/O Hidrofilna glava Lipofilni lanac Slika. Princip rada emulgatora O/W Izbor emulgatora je odlučujući faktor za nastajanje ili o/w ili w/o emulzije BANCROFTOVO PRAVILO: faza u kojoj je emulgator više topljiv je vanjska faza hidrofilni emulgator niske molekulske mase o/w emulzija lipofilni (hidorfobni) emulgator w/o emulzija vodotopivi makromolekulni emulgator o/w emulzija Ovisnost između kemijske strukture površinski aktivnog sredstva (PAS) i njegove emulzifikacijske aktivnosti je kompleksna obzirom da ovisi o sastavu uljne i vodene faze. Generalna pravila za izbor površinskog aktivnog sredstva (PAS) kao emulgatora: 1.) PAS mora imati dobru površinsku aktivnost i stvarati nisku površinsku napetost. Mora migrirati na međupovršinu mora imati hidrofilne i hidrofobne skupine..) na međupovršini mora formirati film molekule PAS u filmu moraju imati jake lateralne interakcije 3.) PAS mora migrirati na međupovršinu dovoljno brzo da osigura dovoljno sniženje međupovršinske napetosti tijekom proizvodnje emulzije. 4.) Emulgatori koji su preferirano topljivi u ulju w/o emulzije vodotopljivi emulgatori (npr. sapuni) o/w emulzije 5.) Smjesa emulgatora preferirano topljivog u ulju i vodotopljivog emulgatora bolja stabilnost emulzije Smanjenje međupovršinske napetosti dodatkom PAS: iznimno važno za spontani proces dispergiranja nije od odlučujuće važnosti za stabilnost disperzije Adsorbirana količina ina emulgatora - može se izračunati iz Gibbsove jednadžbe: broj molekula / L o površina 1 molekule = 16 1/ ( Γ N ) cm 41A 6.) što je više polarna uljna faza, to emulgator mora biti jače hidrofilan 15 L = = 16 Γ = c RT dγ dc C koncetracija tenzida u masi kapljevine, [ mol / l] Γ suvišak tenzida po jediničnoj međupovršini u usporedbi s količinom u masi kapljevine, mol / cm Iz vrijednosti Γ moguće je odrediti površinu koju zauzima jedna molekula Γ = 10 4,0 10 mol / cm [ ] cm = Γ N = ,03 10 = 4,03 10 cm

5 Nastajanje emulzije uz emulgator za početak procesa emulgiranja, emulgator mora biti u dovoljnim količinama prisutan na međupovršini između dvije faze osigurava brzu adsorpciju emulgatora i smanjuje se međupovršinska napetost dovoljno da se faze separiraju u kapljice. daljnje smanjenje čestica (dijeljenje) dispergirane faze uzrokuje turbulencije (mješanje) u sustavu molekule emulgatora se šire po međupovršini faza. U ovoj fazi je nužna dodatna količina emulgatora iz mase otopine brzina difuzije emulgatora na međupovršini mora biti dovoljno velika. adsorbirani sloj emulgatora onemogućava koalescenciju kapljica dispergirane faze stabilizira emulziju Približavanjem čestica dispergirane faze kontinuirana faza između čestica stvara GRANIČNI SLOJ. Molekule emugatora kontinuirano difundiraju iz vanjske kontinuirane faze u granični sloj i smanjuju međupovršinsku napetost difuzijom (dug difuzijski put, spor proces) međupovršinska napetost u graničnom sloju se smanjuje sporije nego na drugim međupovršinama između kapljice i vanjske faze. adsorbirani sloj se fizički pomiče duž međupovršine ulje / voda u područje između dvije kapljice i sa sobom nosi tanki sloj kapljevine što sprječava stanjivanje graničnog sloja i time koalescenciju kapljice dispergirane faze (MARANGONIJEV EFEKT) za stabilne emulzije debljina graničnog sloja se smanjuje do granične vrijednosti Å Ovaj sloj otporan je na daljnje smanjenje debljine štiti čestice od koalescencije Vrste emulgatora A. Emulgatori male molekulske mase pretežito hidrofilne prirode preferirano za o/w emulzije 1. Anionski sapuni (Na, K, NH 4, soli masnih kiselina), Na lauril sulfat, Na sulfosukcinat, R-COOC H SO 3 Na, R-CONHC H SO 3 Na (R=C 17 H 33 ), prirodna sulfonirana ulja.. Kationski lauril piridin klorid, lauril trimetilamonij klorid Neionski eteri i esteri polioksietilenskih masnih alkohola B. Emulgatori male molekulne mase, pretežito lipofilne prirode preferirano za w/o emulzije: Mg staerat, Mg oleat, Al stearat, Ca oleat, Ca stearat, di, tri esteri masnih kiselina s poliolima, kolesterol, lanolin C. Emulgatori male molekulne mase s manje izraženim svojstvima: masni kiselinski esteri poliola i polioksietilena, eteri ili esteri polioksiproilenskih masnih alkohola D. emulgatori visokih molekulnih masa: albumini, kazein, gelatin, celulozni eteri ili esteri, poli(vinil alkohol), poli (vinilacetat), poli (vinilpirolidon) Tablica. primjeri emulgatora 19 0

6 Način odabira emulgatora Koncept hidrofilno lipofilnog balansa (eng. Hydrophile-lipophile balance, HLB) Svaki emulgator ima HLB vrijednost hidorfobni emulgatori topljivi u ulju 10 0 vodotpljivi emulgatori Tablica. HLB vrijednosti emulgatora Određivanje HLB vrijednosti Određivanje iz teorijskog sastava (za neionske etilen oksidne spojeve) HLB vrijednost = molekulna masa hidrofilnog dijela molekulna masa emulgatora M a 0 = 0 M Za ionske emulgatore HLB vrijednost dobivena izračunom iz teorijskog sastava je preniska emulgator je više hidrofilan nego što se očekuje iz idealne raspodjele Korekcija jednadžbe za dodatni član C Griffinova metoda M HLB = 0 a + C M za ionske emulgatore i poliglikol etere Ako se HLB koncept primjeni na ionske tenzide dodatni efekt disocijacije može uzrokovati HLB vrijednosti >0 (npr. Na lauril sulfat HLB = 40) 1 Tablica. korekcijski faktor C prema Griffin-u Ako je C pozitivan HLB vrijednost je veća nego se očekuje u idealnom slučaju (molekula tenzida ulazi dublje u vodenu fazu nego se pretpostavlja). Ako je C negativan HLB postaje manji Inkrementalna metoda vrijedi za neionske emulgatore HLB = 7 + H L Izračun HLB vrijednosti za masne kiselinske estere iz broja saponifikacije estera (S) i kiselinskog broja masne kiseline (A) S HLB = 0 (1 ) A Tablica 4. HLB za hidrofilne i hidrofobne grupe Primjeri: Oleinska kisleina C 17 H 33 COOH 7+1-( )=1.1 Na oleat ( )=18.1 Na laurilsulfat 7+39-(1 0.47)=40 Korelacija HLB i fazne inverzijske temperatura (engl. phase inversion temperature, PIT) - samo za neionske emulgatore eksperimentalno određivanje HLB Metodom nuklearne magnetske rezonancije, NMR (za neionske etoksilate) Kalorimetrijski (entalpija mješanja) S referentnom tvari (ulje) poznate HLB vrijednosti - Za neionske tenzide HLB vrijednost dobivena ovom metodom je slična kao Griffinovom - za ionske tenzide vrijednost viša nego Griffinovom metodom 3 Za smjesu emulgatora HLB M1 = HLB 1 g 1 + HLB g +... g = maseni udjeli pojedinih emulgatora 4

7 Primjena HLB skale Lipofilni (hidrofobni) Formulacija emulzija!!! Da bi se pripravila emulzija, emulgator ili smjesa emulgatora mora imati isti HLB kao faza koja se emulgira. određivanje potrebne HLB vrijednosti za ulje: Primjer: priprema emulzija sa smjesom emulgatora: Span 60 (sorbitan monostearat) HLB=4,3 (lipofilni( lipofilni) hidrofilni Tween 60 (polietoksietilen (0) Sorbitan monostearat) HLB=14 (hidrofilni( hidrofilni) Priprava serije emulzija sastava: 0 % ulja, 4 % smjese emulgatora (0 % u odnosu na ulje), 76 % vode a Nakon određenog vremena stajanja emulzije, prati se transparentnost, vrhnjenje, sedimentacija u emulziji. ukoliko nema značajnih razlika između serije i nema znakova nestabilnosti emulzije ponavljanje eksperimenta s MANJOM KOLIČINOM EMULGATORA. Različiti udjeli pojedinih emulgatora Span 60 i Tween 60 Tablica. HLB vrijednosti testnih mješavina emulgatora b 3 ako su sve emulzije nestabilne ponavljanje eksperimenta S VEĆOM KOLIČINOM EMULGATORA definiran optimum količine emulgatora Uzorak s optimalnom količinom emulgatora omogućava definiranje smjese emulgatora koja ima približno točnu HLB vrijednost npr. HLB (smjese emulgatora 10.3) Emulzije moraju biti pripravljene pod istim uvjetima, na istoj konst. temperaturi! 4 serija eksperimenata sa smjesama emulgatora koje imaju HLB vrijednosti u užem rasponu preciznije određivanje sastava smjese emulgatora 8

8 Utjecaj vrste emulgatora na emulziju Tablica 6. Potrebne HLB vrijednosti za o/w često korištenih tvari osim izbora emulgatora ili kombinacije emulgatora prave HLB vrijednosti važno je odabrati emulgator najpovoljnije kemijske strukture TIP EMULGATORA. Tvar HLB vrijednost (o/w) acetofenon benzen butil stearat cikloheksan mineralno ulje ksilen HLB ulja = HLB smjese emulgatora = = HLB 1 g 1 + HLB g +... Izbor vrste emulgatora ovisno o kemijskoj strukturi iako imaju ISTU HLB vrijednost: a) emulgator polioksietilen sorbitian oleatni ester ima nezasićeni oleatni lanac više odgovara nezasićenim uljima stiren 15 sojino ulje... 6 Slika. Tween tip emulgatora b) emulgator polioksietilen sorbitian stearatni ester (ili laureatni ili palmitatni) je znatno efikasniji stabilizator za zasićena ulja 9 30 Utjecaj vrste emulgatora različite strukture koji su svi pogodni za emulziju ulja u vodi i koji se svi mogu koristiti u istoj koncentraciji. sve tri smjese emulgatora vode dobroj stabilnosti emulzije u području HLB vrijednosti 1 A je najbolja kombinacija emulgatora najviša stabilnost Stabilizacija krutim česticama Sitne krute čestice značajno manje od kapljice emulgirane faze mogu također biti stabilizatori emulzije. osnovni uvjet preferirano voda ili ulje moraju dobro kvasiti površinu čestice u tom slučaju krute čestice se smještaju na međupovršinu ulje / voda B kombinacija emulgatora daje također dobru stabilnost u širem rasponu HLB vrijednosti nego kombinacija emulgatora A Slika. stabilizacija emulzija različitim emulgatorim kao funkcija HLB vrijednosti mješavina emulgatora U ovakvim slučajevima odabir je obično diktiran ekonomskim i praktičnim uvjetima. 31 Slika. Akumulacija čestica na o/w međufazi 3

9 Primjer. Izbor vrste krutih čestica za stabilizaciju emulzije a) bentonit (hidrofilan) voda preferirano kvasi bentonit pogodni za o/w emulzije b) čađa (hidrofobna) preferirano kvašenje uljnom fazom pogodni za w/o emulzije Stabilnost emulzije ovisi o kontaktnom kutu koji čestica stvara s dispergiranom i kontinuiranom fazom. najstabilnije emulzije su one koje imaju kontaktni kut 90 Slika. adsorbirane čestice s kontaktnim kutom 90 Stabilizacija samo krutim česticama - energija potebna za formiranje kapljica mora se dovesti u sustav snažnim miješanjem (velikim brzinama) Slika. stabilizacija emulzija adsorpcijom a) hidrofilnih, b) hidorfobnih čestica 33 dodatak krutih stabilizatora u emulziju stabiliziranu tenzidima povećava stabilnost emulzije 34 Faktori koji utječu na brzinu koalescencije 1. Priroda međupovršinskg filma stabilnost emulzije ovisi o mehaničkoj čvrstoći filma Kinetička stabilnost ili nestabilnost emulzija ovisi o različitim faktorima utječu na brzinu koalescencije molekule tenzida moraju se kondenzirati snažnim lateralnim međumolekulnim interakcijama 1. Priroda međupovršinskog filma. Električka i sterička barijere 3. Viskoznost kontinuirane faze 4. Volumni udio dispergirane faze i kontinuirane faze 5. Veličina raspodjele kapljica 6. Temperatura film tenzida mora biti vrlo elastičan čisti emulgatori stvaraju slabo pakirani međupovršinski film, niske mehaničke stabilnosti najbolja kombinacija tenzida topljivih u vodi i u ulju gusto pakiranje molekula u međupovršinskom filmu 35 36

10 Za stabilnost emulzije nužan je kvalitetan odabir kombinacije emulgatora. tenzid topljiv u ulju ima dugi ugljikovodični lanac i slabo polarnu grupu povećava bočne interakcije između površinski aktivnih molekula u međupovršinskom filmu bolja mehanička svojstva filma npr. kombinacija lauril alkohola i natrij lauril sulfata gusto pakirani monomolekulni film emulzija stabilnija nego kad se koristi samo jedan od dva emulgatora elektrostatsko odbijanje između ionskih skupina se smanjuje i hidrofobni ugljikovodični lanci se mogu gušće pakirati stabilnije emulzije sa smjesom emulgatora koje imaju istu dužinu lanca i s istim molarnim udjelom emulgatora 37 Slika. Skica adsorpcije kombinacije emulgatora na o/w međupovršini a) gusto pakirane molekule emulgatora u međupovršinskom filmu dobra kombinacija emulgatora b) slabo pakiranje molekula emulgatora u međupovršinskom filmu loše lateralne interakcije niska mehanička stabilnost c) nekvalitetna izmjena vrsta emulgatora loše lateralne interakcije niska mehanička stabilnost 38 Česta kombinacija emulgatora. Elektrostatska i sterička barijera Sorbitian ester Span topljiv u uljnoj fazi polioksietilen sorbitian ester (POE Sorbitian (Tween)) topljiv u vodenoj fazi Jače interakcije POE Sorbitiana s vodenom fazom (uzrokovane POE hidrofilnim grupama) u odnosu na sorbitian ester emulgator Gušće pakiranje hidrofilnih ugljikovodičnih lanaca u uljnoj fazi i bolje bočne interakcije veća mehanička čvrstoća filma U o/w emulzijama hidorfilni dio tenzida je okrenut prema vodi i električni naboj na kapljicama sprječava koalescenciju emulzije stabilizirane ionskim tenzidima naboj na kapljici je istovjetan kao naboj tenzida emulgator stabiliziran neionskim tenzidima dispergirane kapljice se nabijaju adsorpcijom iona iz vodene faze ili gibanjem i trenjem kapljica u kontinuiranoj fazi odvojenih električnim dvoslojem faza s većom dielektričnom konstantom je pozitivno nabijena emulgatori s visokim molekulnim masama stabiliziraju emulziju steričkim odbijanjem Slika. Interakcije između Span 80 and Tween 40 na o/w međupovršini 39 40

11 3. Viskoznost kontinuirane faze Viskoznost kontinuirane faze utječe na difuziju kapljica brzina koalescencije niske konstante difuzije (u kontinuiranoj fazi više viskoznosti) niži broj sudara kapljica smanjuje se brzina koalescencije koncentrirane emulzije veća viskoznost veća a stabilnost emulzije Povećanje stabilnosti emulzije dodatkom uguščiva ivaća - celulozni derivati, škrob, poli (vinilalkohol), poli (vinilacetat) Volumni udio dispergirane faze i kontinuirane faze Volumno povećanje dispergirane faze u odnosu na volumen kontinuirane faze povećanje površine međufaznog filma stabilnost emulzija se smanjuje Ako volumen dispergirane faze postane veći od volumena kontinuirane faze emulzija postaje nestabilna sa stanovišta inverzije faza u emulziji sloj tenzida oko dispergirane faze je veći nego je potrebno da okruži kontinuiranu fazu i stoga je nestabilan Ukoliko su moguća oba tipa emulzija s emulgatorom INVERZIJA FAZA Raspodjela veličina kapljica veće čestice su termodinamički stabilnije od manjih jer je omjer površine i volumena manji. uža je raspodjela veličina kapljica stabilnija disperzija 6. Temperatura Slika. Promjena u raspodjeli veličina čestica u emulziji s vremenom (u danima) brzina koalescencije emulzije značajno ovisi o temperaturi promjenom temp. mijenja se slobodna energija površine kapljevina utječe na slobodnu energiju međupovršine za većinu kapljevina povećanjem temp. smanjuje se γ Inverzija emulzija Fazna inverzija emulzija omogućava promjenu iz o/w emulzija u w/o emulziju i obrnuto. Vrsta emulzije ovisi o: a) redoslijedu dodavanja faza b) vrsti tenzida c) omjeru faza d) temperaturi e) prisutnosti elektrolita i drugih aditiva a) dodatak vode u nepolarnu otopinu tenzida obično w/o emulzija dodatak ulja u vodenu otopinu tenzida obično o/w emulzija d) povećanje T emulzije stabilizirane neionskim tenzidima o/w emulzija w/o emulzija sniženje T emulzije stabilizirane ionskim tenzidima w/o emulzija o/w emulzija Promjena vrste emulzije s promjenom T emulzije povezana je s promjenom u hidorfobnosti tenzida zbog promjene T povećava se brzina koalescencije (smanjuje se stabilnost emulzije)

12 e) dodatak elektrolita može uzrokovati promjenu hidrofobnosti međupovršinskog filma i faznu inverziju Jači elektroliti snižavaju elektrokemijski potencijal kapljica pojačavanje interakcija između iona tenzida i suprotnih iona smanjenje stabilizacije o/w emulzije primjer Dodatak jakog elektrolita (polivalentnih kationa Ba + ili Ca + ) u o/w emulziju neutralizira naboj na česticama dolazi do agregacije kapljica ulja i male količine vode su zarobljene između kapljica ulja koalescencija kapljica ulja ulje postaje kontinuirana faza w/o emulzija Temperatura fazne inverzije brzina koalescencije raste porastom temperature porastom T stupanj hidratacije hidorfilnih skupina tenzida se smanjuje tenzid postaje manje hidrofilan HLB se smanjuje porastom T - o/w emulzija može preći u w/o emulziju w/o emulzija pripravljena na višim T smanjenjem T o/w emulziju Temperatura fazne inverzije (TFI) (engl. phase inversion temperature, PIT) = temperatura na kojoj dolazi do inverzije faza u emulziji - može se zamijetiti univerzalnim promatranjem Korisno za pripravu emulzija: na PIT međupovršinska napetost emulgatora dostiže minimum priprava emulzije na PIT male kapljice emulgirane faze uz minimalnu potrošnju energije Slika. Inverzija o/w emulzija Točka fazne inverzije (engl. emulsion inversion point, EIP) točka u kojoj w/o emulzija prelazi u o/w emulziju dodatkom vode jedinica: cm 3 vode / cm 3 ulja EIP vrijednost se smanjuje porastom HLB vrijednosti emulgatora EIP doseže minimum koji odgovara optimalnoj stabilnosti o/w emulzije EIP metoda brza i jednostavna metoda za određivanje fizikalne stabilnosti emulzije Najstabilnije emulzije o/w se pripravljaju kao emulzije w/o i zatim faznom inverzijom prevode u o/w tip emulzije. Tehnike emulgiranja Procedura i aparatura za pripravu emulzija Dva osnovna načina dispergiranja kapljevine u drugoj nemješljivoj kapljevini: a) kondenzacijom para koje se injektiranju u kapljevinu = vrlo rijetko b) djeljnjem velikih kapi u manje da bi se veće kapi podjelile u manje mora se dovesti mehanička energija sile koje djele kapljicu (~ν d p ρ) djeluju protiv površinskih sila (~ γ d p ), γ = međupovršinska energija d p = dijametar kapljice, ρ gustoća vanjsko smično djelovanje za emulgiranje može se postići: mješalicom (sustav statora i rotora) homogenizatori - tlakom inicirani tok 47 Slika. laboratorijski sustav za pripravu emulzija 48

13 Procesne tehnologije; miješanje komponenata Slika. Primjeri aparature za pripravu emulzija Izbor sustava za pripravu komercijalnih emulzija ovisi o željenim svojstvima konačnog produkta = viskoznost je jako važna, a ovisi o srednjoj veličini čestica redoslijed dodavanja komponenata ima odlučujući utjecaj na tijek emulgiranja i karakteristike emulzije A) emulgator u vodi emulgator se otapa u vodi; nakon toga se dodaje ulje uz intenzivno miješanje o/w emulzija w/o emulzija dobija se dodatkom ulja i inverzijom faza (emulzija s velikim kapljicama smanjenje veličine kapljice u koloidnom mlinu) Tablica 7. Karakteristike različitih sustava za pripravu emulzija B) emulgator u ulju emulgator je otopljen u ulju 49 dodatak smjese u vodu spontano formiranje w/o emulzije emulzija s velikim brojem kapljica ~ 0,5 μm polagano direktno dodavanje male količine vode u smjesu do početka formiranja emulzije daljnje dodavanje vode inverzija faza o/w emulzija 50 C) metoda nastajanja sapuna = in situ nastajanje sapuna; samo za emulzije stabilizirane sapunima. Komponente sustava: - masna kiselina otopljena u ulju - lužina otopljena u vodi Miješanjem komponenata sustava na međupovršini se formira sapun spontano nastajanje emulzije Tablica. Raspodjela veličina kapljica u emulziji dobivenih različitim metodama priprave: 10 % maslinovo ulje, 0,5 % sapuna, 89,5 % vode D) naizmjenična metoda naizmjenično dodavanje vode i ulja u emulgator Pogodno za formulacije u prehrambenoj ind. (npr. majoneza) i druge emulzije biljnih ulja Emulzija 1: emulgator u vodi 51 Emulzija : emulgator u vodi s dodatnom homogenizacijom nakon miješanja Emulzija 3. in situ formiranje sapuna s jednostavnim miješanjem Emulzija 4. emulzija 3 + naknadna homogenizacija 5

14 Dodatci emulzijama - doprinose zahtjevima kojima stabilnost emulzija mora zadovoljiti - dodaju se prije ili tijekom procesa emulgiranja a) Uguščiva ivači emulzija - povećavaju viskoznost kontinuirane faze smanjenje brzine difuzije kapljica a time i koalescencije i flokulacije povećanje stabilnosti emulzija -uguščivači emulzija imaju mali utjecaj na viskoznost u o/w emulzijama - u prehrambenoj industriji neki uguščivači (lecitin iz žutanjka u procesu priprave majoneza) djeluju u određenom smislu i kao emulgatori nazivaju se KVAZIEMULGATORI - brojni uguščivači: metilceluoza, voskovi, proteini (želatin, kazein), polisaharidi (škrob, pektin...), b) Dodatci za poboljšanje topljivosti emulgatora npr. za pripravu koncentrata za zaštitu žitarica dodaje se mala količina alifatskog alkohola za poboljšanje spontanog emulgiranja Ovi dodatci koriste se i za prilagođavanje gustoće i viskoznosti obje faze. Nužno je da su mješljivi s kontinuiranom fazom emulzije. c) Zaštitni koloidi - dodaju se u kontinuiranu fazu za dodatnu prevenciju koalescencije kapljica i da bi održali kapljicu u suspenziji (sprječavaju taloženje) - okružuju kapljicu bez da ulaze u njenu unutrašnjost npr. karboksimetilceluloza (CMC) u detergentima za rublje zadržava nečistoću dalje od tkanine i sprječava ponovno adsorbiranje na tkaninu U nekim proizvodima nužno je sniziti viskoznost (npr. margarin) te se dodaju plastifikatori (glicerinesteri masnih kiselina, kolesterol...) zaštitni koloidi: MC, lecitin, kolesterol, proteini, kazein, lignin sulfonati d) Prezervativi zaštitne tvari sprječavaju rast bakterija i gljivica nužni su u emulzijama s kationskim emulgatorima Prezervativi: aldehidi (formaldehid, klorhidrati), derivati fenola, Značajne posljedice teorije stabilnosti emulzije A) Električni dvosloj u o/w emulzijama heterociklički spojevi e) Tvari protiv pjenjenja većina emulgatora je dizajnirana da stvara nisko pjenjenje dodatak tvari protiv pjenjenja rijetko je nužna U emulzijama dvosloj se nalazi na obje strane međupovršine U o/w emulzijama električni dvosloj u uljnoj fazi je zanemariv. Tvari protiv pjenjenja: polialkilenglikol eter (s etilenskim i propilenskim lancima) 55 Slika. električni dvosloj u vodenoj fazi na w/o granici faza s adsorbiranim emulgatorom 56

15 a) bez površinski aktivnih emulgatora na granici faza električni dvosloj u uljnoj fazi je značajno širi od električnog dvosloja u vodenoj fazi interakcije između kapljica u w/o emulziji dosežu znatno dalje i odbojna energija je mala brza koalescencija kapljica mala stabilnost emulzije Slika. Potencijali na o/w međupovršini u emulzijama a) bez emulgatora b) s emulgatorom c) s emulgatorom pri visokoj koncentraciji elektrolita b) Dodatak tenzida na međupovršini ima značajan utjecaj na potencijal naboj je koncentriran u vodenoj fazi zeta potencijal je dovoljno velik da stabilizira emulziju c) u prisutnosti velike količine elektrolita u vodenoj fazi u prisutnosti tenzida na međupovršini elektrolit reducira debljinu difuznog sloja u vodenoj fazi smanjuje se stabilnost međusobno odbijanje nabijenih polarnih skupina tenzida uzrokuje širenje filma tenzida niži tlak filma π dodatkom elektrolita smanjuje se međusobno odbijanje polarnih skupina i film postaje gušći stabilizacija emulzije Povećanjem naboja iona u elektrolitima smanjuje se stupanj stabilizacije - dvostruko nabijeni ion elektrolita (npr. Ca + ) uzrokuje stabilnost kao što bi uzrokovao jednostruko nabijeni (Na + ) sa 1/10 koncentracije) o/w emulzije pad potencijala stabilizira emulziju ulja u vodi B) Električni dvosloj u w/o emulzijama u w/o emulzijama kontinuirana faza ima nisku električnu konstantu kapacitet dvostrukog sloja je nizak privlačne interakcije između nabijenih čestica djeluju na znatno većoj udaljenosti nego u o/w emulzijama odbojne sile između kapljica male niska stabilnost Slika. Steričke smetnje u adsorbiranim slojevima s kratkim lancima: a) interpenetracija adsorbiranih slojeva s interakcijama b) nagomilavanje makromolekula c) sabijanje molekula u slojevima i formiranje razmaka d) djelomična desorpcija zbog tlaka w/o emulzije se stabiliziraju sterički (makromolekulama ili polimerima) U sustavima s makromolekulama slobodno gibanje je spriječeno adsorbiranim slojem makromolekula rezultira entropijskim odbijanjem C) Sterička stabilizacija Približavanje kapljica emulzije - elektrostatske interakcije privlačno međudjelovanje - disperzijske interakcije privlačno međudjelovanje -steričke interakcije Slika. a) shematski prikaz adsorpcije makromolekula b) interpenetracija adsorbiranih makromolekulnih slojeva 59 60

16 Sterička stabilizacija o/w emulzija provodi se polimernim emulgatorima najčešće hidrokoloidima vodotopljivim makromolekulama i polielektrolitima koji sadrže skupine koje disociraju u vodi makroioni + suprotno nabijeni ioni (polivinilalkohol, polisaharidi, celulozni derivati...) w/o sustavi emulgatori s drugim alkilnim lancima Integracijom slijedi: 1 E / A k T t + = 4π D r e n konst. D difuzijski koeficijent za sferične čestice k T D = 6π η a D) Kinetika koalescencije; određivanje stabilnosti emulzije ako su čestice u kontaktu r = a a - radijus čestice kinetika koalescencije mjeri se iz brzine smanjenja broja kapljica tijekom početne faze agregiranja Brzina promjene broja čestica uz pretpostavke: dn = 4π D r n e dt E A / k T svaki sudar čestica rezultira koalscencijom prije koalescencije postoji energetska barijera koju je potrebno prijeći D koeficijent difuzije n broj kapljica / cm 3 r radijus sudara-max. udaljenost između centara kapljica na kojem se događa sudar E a energija aktivacije T temperatura K Boltzmanova konstanta t vrijeme 61 Broj čestica n u funkciji vremena t : 4k T = e n 3η 1 E A / k T t + konst. n se može odrediti mikroskopom E A se može odrediti iz grafa 1/n v.s. t Efikasnost emulgatorskog sustava veća E A stabilniji sustav funkcija je E A 6 Mikoremulzije Za razliku od emulzija (makroemulzija) mikroemulzije su termodinamički stabilne i formiraju se spontano. Mikroemulzije - male čestice (nabubrene micele) velika međupovršina između faza - transparentne - termodinamički stabilne ako je: γ = međupovršinska energija γ A = T S član slobodne energije miješanja A = međupovršina T temperatura S entropija miješanja Entropijski član slobodne energije mješanja (S) za jednu kapljicu je reda veličine Boltzmanove konstante k B = 1, J/K Promjena međupovršinske napetosti u funkciji logaritma koncentracije tenzida I II Slika. Međupovršinska napetost u funkcija konc. tenzida za dvofazne sustave s dva različita tenzida I - pri niskim konc. tenzida mali pad - daljnjim dodavanjem nagli pad γ u malom rasponu koncentracija do konstantih vrijednosti = kritična micelarna koncentracija, (CMC) tenzid I za (makro) emulzije II - za dostizanje vrlo niskih nužno je dodati kotenzid obično: - vodotopljivi tenzid - kotenzid topljiv u ulju tenzid II spontano formiranje mikroemulzije γ γ γ 4π R = k B T mn za radijus kapljice 10 nm, γ 0,03 m Međupovršinska energija, γ, između ulja i vode ~ 50 mn / m Mora se sniziti 0 dodatak tenzida Daljnji dodatak tenzida tendencija negativne (što je nemoguće) ekspanzije međufaznog sloja spontano formiranje mikroemulzija γ γ

17 Ionski tenzidi - Nužna visoka količina za pripravu mikroemulzija - nisu dovoljno hidrofobni da omoguće topljivost uljne faze nužan dodatak više hidorfobnog kotenzida Upotreba mikroemulzija a) ekstrakcija krutih ulja: - konvencionalne metode do 50 % uljnih depozita - s mikroemulzijama dodatnih 10 0 % Veličina čestica u mikroemulzijama ovisi o: temperaturi ravnoteži hidrofobnih i hidrofilnih skupina ili komponenata emulgatora udjelu vodene i uljne faze b) čišćenje u industrijskim procesima: istovremeno ukljanjenje hidrofobnih onečišćenja (masti, ulja, lipidi...) i hidrofilnih onečišćenja (anorganskih soli, pigmenata, proteina...), čišćenje tekstilnih i tvrdih površina c) kozmetika vrlo široka uporaba stabilnih transparentnih emulzija najčešće o/w emulzija mirisi i vitamini u kozmetičkim proizvodima u mikroemulzijama d) maziva, emulzijska polimerizacija, premazi

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom

Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Kolegij: Obrada industrijskih otpadnih voda Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Zadatak: Ispitati učinkovitost procesa koagulacije/flokulacije na obezbojavanje

Διαβάστε περισσότερα

Proizvodnja i svojstva koloidnih suspenzija i disperzija. Načini pripreme disperzija: Primjeri liofobnih suspenzija:

Proizvodnja i svojstva koloidnih suspenzija i disperzija. Načini pripreme disperzija: Primjeri liofobnih suspenzija: Proizvodnja i svojstva koloidnih suspenzija i disperzija Dispergirana faza = krute čestice Kontinuirana faza = kapljevina Koloidne disperzije: veličina čestica 1 nm (10 Å) 1µm Suspenzije: veličina čestica

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje. u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima

Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje. u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima Ako je BA teško topljiva sol (npr. AgCl) dodatkom

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

PRERADA GROŽðA. Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet. Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju. Referati za vježbe iz kolegija

PRERADA GROŽðA. Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet. Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju. Referati za vježbe iz kolegija Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju Referati za vježbe iz kolegija PRERADA GROŽðA Stručni studij kemijske tehnologije Smjer: Prehrambena

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić

Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA)

DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA) Karakterizacija materijala DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA) Dr.sc.Emi Govorčin Bajsić,izv.prof. Zavod za polimerno inženjerstvo i organsku kemijsku tehnologiju Da li je DMA toplinska analiza ili reologija?

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Opća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava

Opća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava Opća bilana tvari masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava masa iznijeta u dif. vremenu iz dif. volumena promatranog sustava - akumulaija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

A B C D. v v k k. k k

A B C D. v v k k. k k Brzina kemijske reakcije proporcionalna je aktivnim masama reagirajućih tvari!!! 1 A B C D v2 1 1 2 2 o C D m A B v m n o p v v k k m A B o C D p C a D n A a B A B C D 1 2 1 2 o m p n 1 2 n v v k k K a

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Sveučilišta u Zagrebu Seminar 06 Plinski zakoni dr. sc. Biserka Tkalčec dr. sc.

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Sveučilišta u Zagrebu Seminar 06 Plinski zakoni dr. sc. Biserka Tkalčec dr. sc. Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Sveučilišta u Zagrebu Seminar 06 Plinski zakoni dr. sc. Biserka Tkalčec dr. sc. Lidija Furač Pri normalnim uvjetima tlaka i temperature : 11 elemenata su plinovi

Διαβάστε περισσότερα

Pripremila i uredila: Doc. dr. sc. Blaženka Foretić OSNOVE KEMIJSKOG RAČUNANJA

Pripremila i uredila: Doc. dr. sc. Blaženka Foretić OSNOVE KEMIJSKOG RAČUNANJA Pripremila i uredila: Doc. dr. sc. Blaženka Foretić OSNOVE KEMIJSKOG RAČUNANJA Relativna skala masa elemenata: atomska jedinica mase 1/12 mase atoma ugljika C-12. Unificirana jedinica atomske mase (u)

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Osnove biokemije Seminar 2

Osnove biokemije Seminar 2 Osnove biokemije Seminar 2 B. Mildner Rješenje zadaće 1.(zadaća od 4. 3. 2014) 1. D 11. C 2. C 12. B 3. B 13. C 4. B 14. B 5. C 15. D 6. D 16. A 7. A 17. C 8. B 18. D 9. D 19. A 10. C 20. C 1 1. Za vodu

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Vodik. dr.sc. M. Cetina, doc. Tekstilno-tehnološki fakultet, Zavod za primijenjenu kemiju

Vodik. dr.sc. M. Cetina, doc. Tekstilno-tehnološki fakultet, Zavod za primijenjenu kemiju Vodik Najzastupljeniji element u svemiru (maseni udio iznosi 90 %) i sastavni dio Zvijezda. Na Zemlji je po masenom udjelu deseti element po zastupljenosti. Zemljina gravitacija premalena je da zadrži

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

REAKCIJE ELIMINACIJE

REAKCIJE ELIMINACIJE REAKIJE ELIMINAIJE 1 . DEIDROALOGENAIJA (-X) i DEIDRATAIJA (- 2 O) su najčešći tipovi eliminacionih reakcija X Y + X Y 2 Dehidrohalogenacija (-X) X strong base + " X " X = l, Br, I 3 E 2 Mehanizam Ova

Διαβάστε περισσότερα

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med =

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 96kcal 100g mleko: 49kcal = 250g : E mleko E mleko =

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ

Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ pred.mr.sc Ivica Kuric Detekcija metala instrument koji detektira promjene u magnetskom polju generirane prisutnošću

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTRIČNA STRUJA KROZ TEKUĆINE. Elektrolitička disocijacija. čista destilirana voda izolator, uz npr. NaCl bolja vodljivost

ELEKTRIČNA STRUJA KROZ TEKUĆINE. Elektrolitička disocijacija. čista destilirana voda izolator, uz npr. NaCl bolja vodljivost ELEKTRIČNA STRUJA KROZ TEKUĆINE Elektrolitička disocijacija čista destilirana voda izolator, uz npr. NaCl bolja vodljivost otopine kiselina, lužina ili soli = elektroliti pozitivni i negativni ioni povećavaju

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Elementarne čestice Elementarne ili osnovne ili fundamentalne čestice = Najmanji dijelovi od kojih je sastavljena tvar. Do 1950: Elektron, proton,

Elementarne čestice Elementarne ili osnovne ili fundamentalne čestice = Najmanji dijelovi od kojih je sastavljena tvar. Do 1950: Elektron, proton, Elementarne čestice Elementarne ili osnovne ili fundamentalne čestice = Najmanji dijelovi od kojih je sastavljena tvar. Do 1950: Elektron, proton, neutron Građa atoma Pozitron, neutrino, antineutrino Beta

Διαβάστε περισσότερα

HETEROGENE POLIMERIZACIJE

HETEROGENE POLIMERIZACIJE Pojava više faza uslijed različitih uzroka Nemješljivost monomera (monomeri etilen glikol i tereftalna kiselina nisu mješljivi, s porastom konverzije sustav prelazi u jednu fazu) Geliranje (gel je po definiciji

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Repetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE):

Repetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE): Repetitorij-Dinamika Dinamika materijalne točke Sila: F p = m a = lim t 0 t = d p dt m a = i F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j i p ix = j p jx te i p iy = j p jy u 2D sustavu Zakon očuvanja

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) PRILOG Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) Tab 3. Vrednosti sačinilaca α i β za tipične konstrukcije SN-sabirnica Tab 4. Minimalni

Διαβάστε περισσότερα

( ) p a. poklopac. Rješenje:

( ) p a. poklopac. Rješenje: 5 VJEŽB - RIJEŠENI ZDI IZ MENIKE LUID 1 1 Treb odrediti silu koj drži u rvnoteži poklopc B jedinične širine, zlobno vezn u točki, u položju prem slici Zdno je : =0,84 m; =0,65 m; =5,5 cm; =999 k/m B p

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

TOLERANCIJE I DOSJEDI

TOLERANCIJE I DOSJEDI 11.2012. VELEUČILIŠTE U RIJECI Prometni odjel OSNOVE STROJARSTVA TOLERANCIJE I DOSJEDI 1 Tolerancije dimenzija Nijednu dimenziju nije moguće izraditi savršeno točno, bez ikakvih odstupanja. Stoga, kada

Διαβάστε περισσότερα

UKUPAN BROJ OSVOJENIH BODOVA

UKUPAN BROJ OSVOJENIH BODOVA ŠIFRA DRŽAVNO TAKMIČENJE II razred UKUPAN BROJ OSVOJENIH BODOVA Test regledala/regledao...... Podgorica,... 008. godine 1. Izračunati steen disocijacije slabe kiseline, HA, ako je oznata analitička koncentracija

Διαβάστε περισσότερα

Prostorni spojeni sistemi

Prostorni spojeni sistemi Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka

Διαβάστε περισσότερα

KEMIJSKA RAVNOTEŽA II

KEMIJSKA RAVNOTEŽA II Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Sveučilišta u Zagrebu Seminar 09 EMIJSA RAVNOTEŽA II Ravnoteže u otopinama elektrolita 2 dr. s. Biserka Tkalče dr. s. Lidija Furač EMIJSA RAVNOTEŽA II ONJUGIRANE

Διαβάστε περισσότερα