HETEROGENE POLIMERIZACIJE
|
|
- Βαρ-ιησούς Λαμέρας
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Pojava više faza uslijed različitih uzroka Nemješljivost monomera (monomeri etilen glikol i tereftalna kiselina nisu mješljivi, s porastom konverzije sustav prelazi u jednu fazu) Geliranje (gel je po definiciji zasebna faza, nabubrena monomerima ili oligomerima) Fazna separacija u produktu (željena ABS ili poliuretani, neželjena pomak sastava)
2 PRECIPITACIJSKA POLIERIZACIJA Polistiren topljiv u stirenu PA topljiv u metil-metakrilatu PVC netopljiv u vinil-kloridu PVDC netopliv u viniliden kloridu PAN netopljiv u akrilonitrilu PTFE netopljiv u tetrafluoroetilenu Taloženje polimera tijekom reakcije utječe na: - morfologiju produkta - kinetiku polimerizacije Rastući radikali preferirano u polimernoj fazi: - ograničena pokretljivost - gel efekt DISPERZIJSKA POLIERIZACIJA Željeno taloženje produkta tijekom polimerizacije: - inicira se dodatkom neotapala (primjerice stiren + metanol)
3 SUSPENZIJSKA POLIERIZACIJA Polimerizacija u masi: tehničke poteškoće: - velika viskoznost reakcijske smjese kod viših konverzija, - otežano miješanje - zagrijavanje uslijed viskoznog trenja - otežano odvođenje reakcijske topline - lokalno pregrijavanje i degradacija produkta - gel efekt
4 SUSPENZIJSKA POLIERIZACIJA Polimerizacija u otopini: manje tehničke poteškoće: - manja viskoznost reakcijske smjese kod viših konverzija, - lakše miješanje - manje zagrijavanje uslijed viskoznog trenja - lakše odvođenje reakcijske topline (moguć refluks otapala) - manje lokalno pregrijavanje i degradacija produkta - odgođen gel efekt Problemi: - separacija otapala - ekološki aspekt - zatvoreni sustavi - dodatni troškovi
5 SUSPENZIJSKA POLIERIZACIJA S(p)retno rješenje problema: - umjesto otapala voda (nemješljiva s monomerom) - monomer raspršen u obliku kapljica - viskoznost unutar kapljica visoka - viskoznost pri miješanju usporediva s viskoznošću vode - voda je djelotvoran toplinski ponor - produkt u obliku polimernih kuglica, prikladnih za pakiranje i transport
6 SUSPENZIJSKA POLIERIZACIJA Volumni udio monomera: ¼ do ½ Komponente: onomer Voda Inicijator (topljiv u monomeru, netopljiv u vodi) Sredstva za prijenos lanca Stabilizatori: anorganski prašci (npr. Al 2 O 3 ) vodotopljivi polimeri (PVOH, PEG) kombinacije
7 SUSPENZIJSKA POLIERIZACIJA Kinetika: U idealnom je slučaju svaka monomerna kapljica izotermni kotlasti reaktor onomerne kapljice su mjesto (locus) polimerizacije odeliranje identično modeliranju polimerizacije u masi Nejednolika raspodjela temperatura u reaktoru može utjecati na heterogenost produkta Djelomična topljivost monomera i/ili inicijatora u vodi: djelomična reakcija u vodenoj fazi nastaju bimodalne raspodjele Voda u monomernim/polimernim kapljicama utječe na prozirnost produkta Kod kopolimerizacija, različita topljivost monomera u vodi mijenja prividnu vrijednost omjera kopolimerizacijske reaktivnosti
8 SUSPENZIJSKA POLIERIZACIJA Veličina čestica: 10 μm do 1 mm Veličina polimernih čestica predmet inženjerstva Zahtjev što jednolikija raspodjela posebice je važan kada se polimerne čestice primjenjuju izravno, npr. kao ionski izmjernjivači Veličina polimernih čestica ključna kod ekspandirajućih čestica: - ekspandirani polistiren pjenilo n-pentan -veće čestice sadržavaju više pjenila
9 SUSPENZIJSKA POLIERIZACIJA Veličina čestica: Određena ravnotežom procesa: - razbijanja (u blizini miješala) - koalescencije ili sljubljivanja (uz obod reaktora) Upravljive veličine: - promjer miješala - obodna brzina miješala - geometrija miješala u odnosu na geometriju reaktora (bezdimenzijske značajke određuju tip strujanja u reaktoru) - volumni udio monomera - gustoće obiju faza - površinska napetost Točka identiteta čestice: Nakon neke, granične konverzije prestaju procesi razbijanja i sljubljivanja i do kraja reakcije čestice zadržavaju svoj identitet
10 EULZIJSKA POLIERIZACIJA Sličnosti emulzijske i suspenzijske polimerizacije: onomer je netopljiv u vodi Voda smanjuje viskoznost reakcijske smjese Voda apsorbira reakcijsku toplinu Razlike emulzijske i suspenzijske polimerizacije: Umjesto stabilizatora (površinski slabo aktivne tvari) dodaje se emulgator (površinski jako aktivna tvar) Upotrebljava se inicijator topljiv u vodi (K 2 S 2 O 8, (NH 4 ) 2 S 2 O 8, vodotopljivi redoks sustavi )
11 EULZIJSKA POLIERIZACIJA Ekstremne razlike u svojstvima produkta: Produkt je polimerni lateks Dimenzije čestica su nanometarske Kinetika je sasvim drugačija jesto polimerizacije nisu monomerne čestice Ključnu ulogu ima međufazni prijenos tvari Emulzijske su polimerizacije razvijene s ciljem oponašanja prirodnog lateksa (33%-tna emulzija cis-1,4-poliizoprena u vodi, stabilizirana prirodnim emulgatorima smjesama proteina, lipida i ugljikovodika.
12 EULZIJSKA POLIERIZACIJA Kvalitativni opis: Harkins Kvantitativni opis: Smith i Ewart
13 ICELA NABUBRENA ONOERO VODA Početno stanje: POLIERNA ČESTICA voda: kontinuirana faza SLOBODNI SURFAKTANT malo vode u monomernim kapljicama (ravnotežna topljivost) INICIJATOR ONOER ICELA ONOERNA KAPLJICA
14 ICELA NABUBRENA ONOERO VODA Početno stanje: POLIERNA ČESTICA monomer: 1/3 sustava SLOBODNI SURFAKTANT monomerne kapljice nešto monomera u vodenoj fazi INICIJATOR monomerom nabubrene micele ONOER ICELA ONOERNA KAPLJICA
15 ICELA NABUBRENA ONOERO VODA Početno stanje: POLIERNA ČESTICA inicijator: otopljen u vodenoj fazi SLOBODNI SURFAKTANT INICIJATOR ONOER ICELA ONOERNA KAPLJICA
16 ICELA NABUBRENA ONOERO VODA POLIERNA ČESTICA Početno stanje: surfaktant: površinski aktivna tvar SLOBODNI SURFAKTANT zasićuje površinu monomernih kapljica ONOER INICIJATOR ICELA ONOERNA KAPLJICA suvišak oblikuje micele 2-10 nm (velika ukupna površina veliki udio surfaktanta) velik dio slobodan u vodenoj fazi
17 ICELA NABUBRENA ONOERO VODA Početno stanje: surfaktant: POLIERNA ČESTICA SLOBODNI SURFAKTANT anionski surf. natrijeve soli viših masnih kiselina (sapuni) elektrostatska stabilizacija INICIJATOR ONOER ICELA ONOERNA KAPLJICA
18 ICELA NABUBRENA ONOERO VODA Početno stanje: surfaktant: POLIERNA ČESTICA SLOBODNI SURFAKTANT neionski surf. bločni ili cijepljeni kopolimeri vodotopljivog i u vodi netopljivog polimera sterička stabilizacija INICIJATOR ONOER ICELA ONOERNA KAPLJICA
19 ICELA NABUBRENA ONOERO VODA Početno stanje: surfaktant: POLIERNA ČESTICA polielektroliti SLOBODNI SURFAKTANT natrijev polistirensulfonat kombinirana elektrostatska i sterička stabilizacija INICIJATOR ONOER ICELA ONOERNA KAPLJICA
20 ICELA NABUBRENA ONOERO VODA POLIERNA ČESTICA Inicijacija + Nukleacija polimernih čestica Povezani fenomeni Raspad inicijatora u vodenoj fazi SLOBODNI SURFAKTANT Difuzija inicijatora u monomernu kapljicu? ONOER INICIJATOR ICELA ONOERNA KAPLJICA (-) mala ukupna površina kapljica, nabijen barijerni sloj, hidrofobnost unutrašnjosti kapljice
21 ICELA NABUBRENA ONOERO VODA POLIERNA ČESTICA Inicijacija + Nukleacija polimernih čestica Povezani fenomeni Raspad inicijatora u vodenoj fazi SLOBODNI SURFAKTANT Difuzija inicijatora u monomerom nabubrenu micelu (micelna nukleacija) ONOER INICIJATOR ICELA ONOERNA KAPLJICA (+) velika ukupna površina micela (-) hidrofobnost unutrašnjosti micele, barijerni sloj
22 ICELA NABUBRENA ONOERO VODA POLIERNA ČESTICA SLOBODNI SURFAKTANT Inicijacija + Nukleacija polimernih čestica Raspad inicijatora u vodenoj fazi, oligomerizacija u vodenoj fazi, difuzija radikala u monomerom nabubrenu micelu (homogena nukleacija) ONOER INICIJATOR ICELA ONOERNA KAPLJICA (+) hidrofobnost unutrašnjosti micele (-) mala koncentracija monomera u vodenoj fazi
23 ICELA NABUBRENA ONOERO VODA POLIERNA ČESTICA I. interval Inicijacija + Nukleacija INICIJATOR SLOBODNI SURFAKTANT brza potrošnja monomera, monomer se nadoknađuje iz vodene faze, monomer u vodenoj fazi nadoknađuje se iz kapljica (međufazni prijenos) ONOER ICELA ONOERNA KAPLJICA
24 ICELA NABUBRENA ONOERO VODA POLIERNA ČESTICA I. interval Inicijacija + Nukleacija rast polimernih čestica SLOBODNI SURFAKTANT adsorpcija surfaktanta iz otopine na rastuće čestice ONOER INICIJATOR ICELA nastanak novih polimernih čestica (sve dok ima slobodnog surfaktanta) ONOERNA KAPLJICA
25 ICELA NABUBRENA ONOERO VODA I. interval Kraj intervala POLIERNA ČESTICA potrošio se sav surfaktant SLOBODNI SURFAKTANT prestaje nastajanje novih polimernih čestica obično oko 15% konverzije INICIJATOR ONOER ICELA ONOERNA KAPLJICA
26 ICELA NABUBRENA ONOERO VODA POLIERNA ČESTICA II. interval Koncentracija polimernih čestica (N) je stalna SLOBODNI SURFAKTANT Postojeće čestice rastu onomerne se kapljice smanjuju INICIJATOR Kraj II. intervala označava nestanak monomernih kapljica ONOER ICELA Stalna brzina polimerizacije ONOERNA KAPLJICA
27 ICELA NABUBRENA ONOERO VODA POLIERNA ČESTICA III. interval Koncentracija polimernih čestica (N) je stalna SLOBODNI SURFAKTANT Postojeće čestice rastu ONOER INICIJATOR ICELA Polimerizacija se nastavlja na račun u vodi otopljenog monomera Padajuća brzina polimerizacije ONOERNA KAPLJICA
28 ICELA NABUBRENA ONOERO VODA POLIERNA ČESTICA III. interval Koncentracija polimernih čestica (N) je stalna SLOBODNI SURFAKTANT Postojeće čestice rastu ONOER INICIJATOR ICELA Polimerizacija se nastavlja na račun u vodi otopljenog monomera Padajuća brzina polimerizacije ONOERNA KAPLJICA
29 EULZIJSKA POLIERIZACIJA N, Ovisnost koncentracije monomera u monomernim kapljicama,, odnosno koncentracije polimernih čestica, N o konverziji monomera, p u trima intervalima emulzijske polimerizacije. I II III 0 1 p
30 EULZIJSKA POLIERIZACIJA Kinetika u I. intervalu Prvi granični slučaj brzina nukleacije razmjerna brzini nastajanja radikala dn dt = ρ N ( t) = t ρ ρ brzina nastajanja djelotvornih radikala Traži se trenutak nestanka raspoloživog surfaktanta ( t) ( t t ) v = μ Stalan prirast volumena nukleirane čestice r 3 4π () t = μ( t t ) 1 3 Odgovarajući prirast radijusa () t ( 6 ) ( t t ) 2 3 a = μπ Odgovarajući prirast površine
31 EULZIJSKA POLIERIZACIJA Kinetika u I. intervalu Prvi granični slučaj brzina nukleacije razmjerna brzini nastajanja radikala t dn 2 3 dt dt () ( 1 2 ) 2 3 = 6μπ ( t t ) A t 0 Ukupni prirast površine Integriranje po svim vremenima nastanka A Broj generiranih čestica u vremenskom intervalu 3 5 () ( 1 2 ) t ρ 6μπ t = Rezultat Površina generiranih čestica raste od trenutka nastanka do vremena t
32 EULZIJSKA POLIERIZACIJA Kinetika u I. intervalu Prvi granični slučaj brzina nukleacije razmjerna brzini nastajanja radikala ( ) S a t A s = Kraj I. intervala: Površina čestica izjednačila se s produktom koncentracije surfaktanta, S, i specifične površine surfaktanta, a S ( ) ( ) ( ) , S a S a t s S = = μ ρ μ ρ π Vrijeme ( ) ( ) ( ) , S a S a N s S = = μ ρ μ ρ π Konačna koncentracija čestica
33 EULZIJSKA POLIERIZACIJA Kinetika u I. intervalu Drugi granični slučaj brzina nukleacije razmjerna brzini nastajanja radikala, umanjenoj za omjer ukupne površine čestica i raspoložive površine surfaktanta dn dt A = ρ 1 ass Pruža mogućnost da radikal uđe u postojeće čestice t dn 2 3 dt dt () = ( 6μπ ) ( t t ) A t 0 Integralna jednadžba t = μ N = ( a ) ,650ρ ss 2 5 ρ 0,37 ss μ ( a ) 3 5 Rješenje za vrijeme Rješenje za koncentraciju Vrijeme se produljuje, a koncentracija smanjuje
34 EULZIJSKA POLIERIZACIJA Kinetika u I. intervalu Prirast volumena polimerne čestice d dt dn dt = k p R d v dt Brzina propagacije Brzina pretvorbe monomera u čestici = v volumen čestice dn = vk pr Rezultat dt q = N vr Brojnost radikala u čestici A dn q = k p dt N Rezultat A
35 EULZIJSKA POLIERIZACIJA Kinetika u I. intervalu Prirast volumena polimerne čestice dn dt = φ v φ q = k p Rezultat v N A Koncentracija je omjer volumnoga udjela monomera i molarnoga volumena monomera v v = ρ ρ P Omjer molarnih volumena monomerne jedinice u polimeru i monomerne molekule V V P = v ρ N = v ρ ρ P N Volumen konvertiranog monomera = v N Volumen polimera ρp ρ v( 1 φ ) = v N Veza s ukupnim volumenom čestice ρ P
36 EULZIJSKA POLIERIZACIJA Kinetika u I. intervalu Prirast volumena polimerne čestice μ = μ = v dv dt ρ ρ P 1 dn ( 1 φ ) dt Volumni prirast Kao posljedica konverzije monomera μ = μ = ρ ρ ρ ρ P P φ k q N p ( 1 φ ) A φ ( 1 φ ) k N p A = konst. Preko brzine polimerizacije q=1 φ =konst. Zašto? Veza volumnoga prirasta i propagacijske konstante
37 EULZIJSKA POLIERIZACIJA Kinetika u II. intervalu v p = k p nn Ukupna brzina zbroj brzina polimerizacije u svim prisutnim česticama Problem: određivanje koncentracije monomera unutar čestice, Česta pretpostavka: ravnotežni volumni udio monomera Vrijedi kada je difuzija monomera brža od propagacije Pri stalnome tlaku i temperaturi traži se minimum Gibbsove energije miješanja 1 1 φ + lnφ Entropijski članovi za molekule različite veličine + 2v + γ χ = 2 2 r ( 1 φ ) RT ( 1 φ ) Flory-Huggins Entalpijski član 1 0 Površinska energija v p.m.v. γ pov. Napetost r polumjer čestice
38 EULZIJSKA POLIERIZACIJA Kinetika u II. intervalu 1 1 φ + lnφ + 2v + γ χ = 2 2 r ( 1 φ ) RT ( 1 φ ) 1 0 Problem: r raste, pa se mijenja i ravnotežni φ Μ Kompenzacija: u II. intervalu surfaktant se potrošio, pa rastom čestica raste i površinska napetost = φ v Koncentracija je omjer volumnoga udjela monomera i molarnoga volumena monomera Kraj drugoga intervala nema monomernih čestica Topljivost monomera u vodi je mala Sav monomer se nalazi u polimernim česticama φ = 1-p Konverzija na kraj drugoga intervala ovisi o topljivosti polimera u vlastitome monomeru
39 EULZIJSKA POLIERIZACIJA Kinetika u II. intervalu v p = k p nn Ukupna brzina zbroj brzina polimerizacije u svim prisutnim česticama Problem: određivanje broja radikala po čestici, n Prvi slučaj: desorpcija brža od adsorpcije i terminacije n ρ ads = kdesn n = n < 1/ 2 n < 1/ 2 Drugi (najpoznatiji) slučaj: desorpcija zanemariva terminacija trenutačna n = 1/ 2 α = α m ρ N k n ads = t v 2 α 2 m = k k des t v 2 Bezdimenzijske značajke Treći slučaj: desorpcija je zanemariva terminacija nije trenutačna Velike čestice, slabo pokretni radikali, pri višim konverzijama
40 EULZIJSKA POLIERIZACIJA Kinetika u II. intervalu v p = k p nn Ukupna brzina zbroj brzina polimerizacije u svim prisutnim česticama v p = k p N 2 Brzina polimerizacije ne ovisi o trenutačnoj koncentraciji inicijatora uvijek je djelatno pola polimernih čestica r n = k p ρ N ads Brojčani prosjek raspodjele omjer brzine propagacije i brzine adsorpcije novoga radikala Koncentracija inicijatora utječe na ρ ads, pa tako i na mol. masu Drugi (najpoznatiji) slučaj: desorpcija zanemariva terminacija trenutačna n = 1/ 2 POVEĆANJE BROJA ČESTICA ISTODOBNO POVEĆAVA I BRZINU I OLEKULSKU ASU
41 EULZIJSKA POLIERIZACIJA Kinetika u II. intervalu odeliranje raspodjele je moguće, ali teško Različiti se rezultati dobiju za različite n Česte su bimodalne raspodjele, posebice za u vodi dobro topljive monomere
42 EULZIJSKA POLIERIZACIJA Kinetika u III. intervalu Slabo istražena Padajuća koncentracija monomera padajuća brzina polimerizacije oguć je gel-efekt koji povećava brzinu polimerizacije oguć je efekt ostakljivanja koji zaustavlja polimerizaciju pri nepotpunoj konverziji Efekt kaveza nije vjerojatan, jer se inicijacija odvija uvijek u istim uvjetima, tj. u vodenoj fazi
43 KOORDINACIJSKA POLIERIZACIJA Ziegler-Natta polimerizacija Za mehanička svojstva je često važnija regulacija mikrostrukture nego regulacija molekulske mase Za preradu je važno imati kontroliranu, ne nužno usku raspodjelu ale molekule plastifikatori koji smanjuju viskoznost taljevine Velike molekule sprječavaju dilatantno ponašanje taljevine Poliolefini bi bili taljevine ili gume na sobnoj temperaturi (jako nisko staklište) da nema kristalizacije produkta ehanička svojstva ključno ovise o taktnosti, grananju, strukturnoj izomeriji
44 KOORDINACIJSKA POLIERIZACIJA Ziegler-Natta polimerizacija Od nadalje Karl Ziegler üllheim Giulio Natta ilano Katalizatori: uglavnom smjese trialkil-aluminija i reduciranih klorida prijelaznih metala, poput titana ili vanadija. anje-više slučajno otkriće Nobelova nagrada KOORDINACIJSKI EHANIZA, HETEROGENI KATALIZATOR, NISKE TEPERATURE I TLAKOVI linearni polietilen bez grananja, izotaktni i sindiotaktni polipropilen (prvi uopće), izotaktni polistiren, sintetski 1,4-cis poliizopren i drugi.
45 KOORDINACIJSKA POLIERIZACIJA etalocenski katalizatori homogena kataliza nasljednici Ziegler-Natta katalizatora Ferocen, Cirkonocen Ciklopentadienil anion
46 KOORDINACIJSKA POLIERIZACIJA Kinetika Ziegler-Natta polimerizacije Važne su reakcije prijenosa lanca na polimer ili monomer. Vodik je djelotvoran prenosnik regulator molekulske mase. Kinetički opis je težak. Ovisi o detaljima pripreme katalizatora (mljevenje, mrvljenje). Aktivnost katalizatora obično iskazuje maksimum. Slijedi konstantna aktivnost i polagana deaktivacija. Rast polimernih čestica mehanički drobi zrno katalizatora, što otvara nova aktivna katalitička mjesta. Široke raspodjele molekulskih masa, s indeksima polidisperznosti od 4 do 30. Problem i prijenos topline u sustavima s plinovitim reaktantom. Rješenje cirkulacija reakcijske smjese kroz izmjenjivače topline. Produkt je polukristalični prah. Rast čestice polimernog praha opisuje se različitim modelima.
47 KOORDINACIJSKA POLIERIZACIJA Kinetika Ziegler-Natta polimerizacije
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Polimerizacija kemijska reakcija u kojoj niskomolekulski spojevi, monomeri, međusobnim povezivanjem kovalentnim kemijskim vezama tvore makromolekule,
Polimerizacija kemijska reakcija u kojoj niskomolekulski spojevi, monomeri, međusobnim povezivanjem kovalentnim kemijskim vezama tvore makromolekule, tj. molekule polimera Monomer - osnovna građevna jedinica
Opća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava
Opća bilana tvari masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava masa iznijeta u dif. vremenu iz dif. volumena promatranog sustava - akumulaija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog
Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom
Kolegij: Obrada industrijskih otpadnih voda Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Zadatak: Ispitati učinkovitost procesa koagulacije/flokulacije na obezbojavanje
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje. u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima
Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima Ako je BA teško topljiva sol (npr. AgCl) dodatkom
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Pripremila i uredila: Doc. dr. sc. Blaženka Foretić OSNOVE KEMIJSKOG RAČUNANJA
Pripremila i uredila: Doc. dr. sc. Blaženka Foretić OSNOVE KEMIJSKOG RAČUNANJA Relativna skala masa elemenata: atomska jedinica mase 1/12 mase atoma ugljika C-12. Unificirana jedinica atomske mase (u)
Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze
PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura
Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju
Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada
DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA)
Karakterizacija materijala DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA) Dr.sc.Emi Govorčin Bajsić,izv.prof. Zavod za polimerno inženjerstvo i organsku kemijsku tehnologiju Da li je DMA toplinska analiza ili reologija?
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
A B C D. v v k k. k k
Brzina kemijske reakcije proporcionalna je aktivnim masama reagirajućih tvari!!! 1 A B C D v2 1 1 2 2 o C D m A B v m n o p v v k k m A B o C D p C a D n A a B A B C D 1 2 1 2 o m p n 1 2 n v v k k K a
PRERADA GROŽðA. Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet. Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju. Referati za vježbe iz kolegija
Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju Referati za vježbe iz kolegija PRERADA GROŽðA Stručni studij kemijske tehnologije Smjer: Prehrambena
Fizička hemija makromolekula
Fizička hemija makromolekula Šk. 2013/2014 2. Predavanje Oktobar 2013. Dr Gordana Ćirić-Marjanović, vanredni profesor 2. Reakcije polimerizacije. 2.1. Lančane reakcije polimerizacije Kod lančane polimerizacije,
PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)
(Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Heterogeno-katalitički reaktori
(A): Reaktori s nepokretnim slojem a- adijabatski reaktor; b- NINA reaktor s nepokretnim slojem; c- prokapni reaktor; d- reaktor s uronjenim nepokretnim slojem Heterogeno-katalitički reaktori (B) Reaktori
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan
Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Sveučilišta u Zagrebu Seminar 06 Plinski zakoni dr. sc. Biserka Tkalčec dr. sc.
Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Sveučilišta u Zagrebu Seminar 06 Plinski zakoni dr. sc. Biserka Tkalčec dr. sc. Lidija Furač Pri normalnim uvjetima tlaka i temperature : 11 elemenata su plinovi
Periodičke izmjenične veličine
EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ
Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ pred.mr.sc Ivica Kuric Detekcija metala instrument koji detektira promjene u magnetskom polju generirane prisutnošću
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
IMOBILIZACIJA AKTIVNIH TVARI ZA BIOLOŠKO PREPOZNAVANJE
IMBILIZACIJA AKTIVI TVARI ZA BILŠK PREPZAVAJE EZIMI ATITIJELA RECEPTRI MIKRRGAIZMI ŽIVTIJSKE ILI BILJE STAICE ŽIVTIJSKA I BILJA VLAKA KLJUČI PRCES PRI IZRADI BISEZRA IMBILIZACIJA BILŠKE TVARI - AJČEŠĆE
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika
1. Kinematika Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika Kinematika (grč. kinein = gibati) je dio mehanike koji
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
konst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
Otpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Postupak rješavanja bilanci energije
Postupak rješavanja bilanci energije 1. Postaviti procesnu shemu 2. Riješiti bilancu tvari 3. Napisati potreban oblik jednadžbe za bilancu energije (zatvoreni otvoreni sustav) 4. Odabrati referentno stanje
REAKTORI I BIOREAKTORI
REKTORI I BIOREKTORI MODELI CIJEVNIH REKTOR Vanja Kosar, izv. prof. Reaktori i bioreaktori Modeli cijevnih reaktora Osnovne značajke cijevnih reaktoru su: Zavisnost parametara o prostornim koordinatama
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
REAKCIJE ELIMINACIJE
REAKIJE ELIMINAIJE 1 . DEIDROALOGENAIJA (-X) i DEIDRATAIJA (- 2 O) su najčešći tipovi eliminacionih reakcija X Y + X Y 2 Dehidrohalogenacija (-X) X strong base + " X " X = l, Br, I 3 E 2 Mehanizam Ova
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA
FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ
PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste
PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina
Emulzije. Emulzijski proizvodi: Kozmetika i farmaceutika kreme losioni Paste masti gelovi injekcije (u farmaceutici)
Emulzijski proizvodi: Kozmetika i farmaceutika kreme losioni Paste masti gelovi injekcije (u farmaceutici) Poljoprivreda sredstva za zaštitu bilja Emulzijske boje 1 Emulzije Emulzije termodinamički nestabilne
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum
Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti
MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
KATALIZA I KATALIZATORI i REAKCIJSKO INŽENJERSTVO I KATALIZA
FKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTV I TEHNOLOGIJE Zavod za reakcijsko inženjerstvo i katalizu Savska c. 16, 10000 Zagreb KTLIZ I KTLIZTORI i REKCIJSKO INŽENJERSTVO I KTLIZ Skripta za laboratorijske vježbe Zagreb,
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Kemijska termodinamika
Kemijska termodinamika 1. Entalpija reakcije NH 3 (aq) + HCl(aq) NH 4 Cl(aq) odreñena je u reakcijskom kalorimetru. U kalorimetrijskoj posudi nalazilo se 20 cm 3 otopine NH 3 koncentracije 0,1 mol dm 3.
Uvod. B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Sustavni pristup modeliranju
Uvod - modeliranje preuzima vodeću ulogu u razvoju procesa - modelima pokušavamo razumjeti, mijenjati, projektirati i voditi realne procese - pri razvoju modela moramo sagledati cjelovitost problema zajedno
Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić
Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Izravni posmik. Posmična čvrstoća tla. Laboratorijske metode određivanja kriterija čvratoće ( c i φ )
Posmična čvrstoća tla Posmična se čvrstoća se često prikazuje Mohr-Coulombovim kriterijem čvrstoće u - σ dijagramu c + σ n tanφ Kriterij čvrstoće C-kohezija φ -kut trenja c + σ n tan φ φ c σ n Posmična
Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE
Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE
TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Masa, Centar mase & Moment tromosti
FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:
5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Fizička hemija makromolekula
Fizička hemija makromolekula Šk. 2017/2018 3. Predavanje Oktobar 2017. dr G.Ćirić-Marjanović, redovni profesor 2.2 Jonska polimerizacija 2.2.2 Katjonska polimerizacija Katjonska polimerizacija je lančana
Fizička hemija makromolekula
Fizička hemija makromolekula Šk. 2017/2018 3. Predavanje Dr GordanaĆirić-Marjanović, redovni profesor 2.2 Jonska polimerizacija 2.2.2 Katjonska polimerizacija Katjonska polimerizacija je lančana reakcija
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe