Η μεθόδευση στην εύρεση συνάρτησης. Μέθοδοι Παρατηρήσεις Ιδέες - Εφαρμογές - Θέματα
|
|
- Ἀναίτις Φραγκούδης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Σελίδα από 30 Η μεθόδευση στην εύρεση συνάρτησης Μέθοδοι Παρατηρήσεις Ιδέες - Εφαρμογές - Θέματα Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός ΕΙΣΑΓΩΓΗ η έκδοση, Το σημαντικότερο κάθε χρόνο ερώτημα στις εξετάσεις, όχι αναγκαστικά και το πιο δύσκολο, αφορά κυρίως στην εύρεση συνάρτησης. Με σκοπό την πιο γρήγορη και αποτελεσματική ολοκλήρωση της επανάληψης στην ενότητα αυτή, θα ήθελα να επισημάνω, έστω με σύντομο τρόπο, τις πιο χαρακτηριστικές περιπτώσεις, όπου ζητούμενο είναι η εύρεση του τύπου μιας ή περισσότερων συναρτήσεων, αν δίνονται μία ή περισσότερες σχέσεις και πληροφορίες. η Περίπτωση Βασιζόμαστε στις τεχνικές του γενικού μέρους των συναρτήσεων, όπως η ιδιότητα του κλπ. δυο μέρες και του πει '' κύριε, δεν μας το είχατε τονίσει αυτό τελευταία!''. Εφαρμογή Δίνονται οι συναρτήσεις f, g: R R με g(0) = 0 και: f ( ) f ( y ) g( ) g( y ) 3( ) 6y για κάθε, y R Να αποδειχθεί ότι: α) f f 3 3, R β) f() = +, R γ) f g Λύση α) Είναι: f () + f ( y) + g() g(y) = 3( + ) 6y για κάθε, y R () Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 8/0/07
2 Σελίδα από 30 Η σχέση () με y = δίνει: f () + f ( ) = 3( + ) 6 = () β) Η σχέση () θέτοντας όπου το δίνει: f ( ) + f () = 3( ) + 3 = (3) Πολλαπλασιάζουμε τη () με και προσθέτουμε στην (3). Έτσι παίρνουμε: 3f () f () 3 6 f () = +, R γ) Με y = 0 η δοσμένη σχέση δίνει: f () + f () + g() g(0) = 3( + ) ( + ) g() = 3( + + ) g() = +, R Είναι επομένως f () = + και g() = + για κάθε R, οπότε f = g. Εφαρμογή Μια συνάρτηση f: R R ικανοποιεί τις σχέσεις: (f f)()= και ff()f(y) y = f() για κάθε, y R α) Να αποδειχθεί ότι η f είναι αντιστρέψιμη. β) Να βρεθεί το f(0). γ) Να αποδειχθεί ότι f = f. δ) Να βρεθεί ο τύπος της f. Λύση α) Για να είναι η f αντιστρέψιμη, αρκεί να είναι. Έστω, R με f ( ) = = f ( ). Τότε: f f ( ) f f ( ) Επομένως η f είναι, άρα και αντιστρέψιμη. β) Από την υπόθεση έχουμε: Η () για = y = 0 δίνει: f f ()f (y) y f () για κάθε () Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 8/0/07
3 Σελίδα 3 από 30 f : f f (0) f (0) f (0) 0 f (0) 0 γ) Πρέπει να αποδείξουμε πρώτα ότι η f έχει σύνολο τιμών το R. Έστω λοιπόν y 0 R. Αν θέσουμε 0 = f (y 0 ), τότε f ( ) f f (y ) y Άρα f (R) = R. Έτσι, αν στη σχέση f f () θέσουμε όπου το f (), R, παίρνουμε: f f f () f () f () f () f () f () Άρα f = f. δ) Στην () θέτουμε y = 0 και παίρνουμε: για κάθε R ( ) f () = 0 f () = f f ()f (0) 0 f () f (0) f () Η συνάρτηση αυτή επαληθεύει και τις δύο από τις δοσμένες σχέσεις, οπότε είναι δεκτή. Εφαρμογή 3 Δίνεται η συνάρτηση f: R * R, η οποία είναι και για κάθε 0 ικανοποιεί τη σχέση (f f )() f () α) Να αποδειχθεί ότι ff() =, 0. β) Να βρεθεί ο τύπος της f. Λύση α) Σύμφωνα με την υπόθεση είναι: f () f f () () για κάθε 0. Η σχέση () δίνει ότι: f () 0 για κάθε 0 () Στην () θέτουμε όπου το f () και παίρνουμε: f f () f f f () (3) Οι σχέσεις () και (3) δίνουν: f () f f () f f () f f f () f () f f f () f f () (4) β) Επειδή f f (), η δοσμένη σχέση () δίνει: f () f f () f () f (), 0 Η συνάρτηση αυτή επαληθεύει την (), οπότε είναι η ζητούμενη. Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 8/0/07
4 Σελίδα 4 από 30 Σχόλιο Αν στην () θέσουμε όπου το f (), παίρνουμε: f f ( ) f f f ( ) = f ( ) = f ( ) =, 0 Ωστόσο, δεν μπορούμε να ισχυριστούμε ότι αυτή είναι η ζητούμενη συνάρτηση, διότι ο τύπος αυτός ισχύει μόνο για εκείνες τις τιμές του που βρίσκονται στο σύνολο τιμών της f. Εφαρμογή 4 Αν η συνάρτηση f: R R είναι γνησίως μονότονη και: f + f(y) = f( + y)+ για κάθε,y να αποδειχθεί ότι: α) f () = + f (0) για κάθε R, β) f (0) = και f () = +, R. Λύση α) Είναι: f f (y) f ( y) () Η σχέση () για y = 0 δίνει: f f (0) f () () Η σχέση () για = 0 και y = δίνει: f f () f () (3) Τα δεύτερα μέλη των σχέσεων () και (3) είναι ίσα, οπότε έχουμε: f f (0) f f () f (0) f () f () f (0) (4) Σημειώνουμε ότι η f, ως γνησίως μονότονη, είναι και. β) Η σχέση () για = y = 0 δίνει: f f (0) f (0) (5) Η σχέση (4) για = δίνει: f () = + f (0) (6) f Οι (5), (6) δίνουν f (0) f () f (0), διότι η f είναι. Από την (4) προ- κύπτει έτσι ότι f () = +, R, η οποία είναι δεκτή. Εφαρμογή 5 Να βρεθεί η συνάρτηση f : (0, ) που ικανοποιεί την ιδιότητα: για κάθε, y 0. yln y yf () f (y) f (y) Υπόδειξη Για y βρίσκουμε f () 0 και f () 0, οπότε f () 0. Για y βρίσκουμε f () ln () Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 8/0/07
5 Σελίδα 5 από 30 Για y παίρνουμε Η () για το δίνει: f () f (). f ln f ln () f () ln Άρα f () ln, η οποία επαληθεύει τη δοσμένη. η Περίπτωση Έστω ότι στη δοσμένη σχέση έχουμε μια ή δύο συναρτήσεις,με τις ίδιες και τις παραγώγους τους. Αντιμετώπιση Συγκέντρωση και ομαδοποίηση όρων ώστε να πάρουμε σχέση της μορφής : G( ) H ( ) ή G( ) G( ) ή G( ) kg( ). Συχνά, προσπαθούμε να δημιουργήσουμε ακόμα παράγωγο γινομένου, πηλίκου ή σύνθετης συνάρτησης και κυρίως μία από τις μορφές : f ( f f e f f ( ) k f ( ) ( ) ( ),, ( ) Η παραπάνω διαδικασία μπορεί να επαναληφθεί και περισσότερες από μία φορές και μάλιστα στην κάθε περίπτωση να οδηγούμαστε σε άλλη μορφή. Η πιο δύσκολη περίπτωση είναι εκείνη που πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τη δοσμένη σχέση με κατάλληλη συνάρτηση - ή να προσθέσουμε και στα δύο μέλη μια νέα συνάρτηση - ώστε να πάρουμε παράγωγο σύνθετης συνάρτησης ή γινομένου κλπ. Ας ελπίσουμε ότι τέτοιες περιπτώσεις και ειδικά δύσκολες δεν θα παρουσιαστούν (με μεγάλη συχνότητα) σε εξετάσεις. Να επισημάνω επίσης ότι κατά την αντιπαραγώγιση, όταν η δοσμένη σχέση ισχύει σε ένωση διαστημάτων και όχι σε διάστημα, τότε, αφήνοντας την παράγωγο, κάθε διάστημα θέλει και τη σταθερά του. Η χρήση της συνέχειας ή της παραγώγου στα επίμαχα σημεία συχνά επιτρέπει να αποδείξουμε ότι όλες οι σταθερές είναι ίσες. κλπ. Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 8/0/07
6 Σελίδα 6 από 30 Ως εφαρμογές αξίζει να μελετήσει ο μαθητής θέματα Πανελληνίων εξετάσεων προηγουμένων ετών, όπως πχ 0, ΟΕΦΕ 03 κλπ Θα προτείνω πάνω σε αυτή την κατηγορία, εκτός από παλιά θέματα, 4-5 ακόμα βασικές ασκήσεις του ενός ερωτήματος(μία και έξω!) με ιδέες όχι τόσο γνωστές, ίσως όμως και μερικά θέματα. Στη δεύτερη περίπτωση που θα ακολουθήσει θα εστιάσω σε σχέσεις με ολοκληρώματα, που είναι η άλλη μεγάλη κατηγορία ασκήσεων και τις άλλες κατηγορίες θα τις συνεχίσω βαθμιαία. Ξεκινάω με την πρώτη άσκηση, για να γίνω και πιο κατανοητός. Να βρεθεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R Λύση Εφαρμογή 5 (f () )(f '() ) για κάθε R R με f (0), η οποία ικανοποιεί την ιδιότητα Η δοσμένη γράφεται (f () )(f '() ) (f () )(f () )' (f () ) ' ( )' (f () ) c Επειδή f (0), είναι c 4, οπότε παίρνουμε (f () ) 4 f () 4 () Είναι όμως 4 0, οπότε από την τελευταία σχέση παίρνουμε ότι f () 0, R. Επομένως η συνάρτηση g() f (), R ως συνεχής και χωρίς ρίζες διατηρεί πρόσημο και μάλιστα αφού g(0) f (0) 0, είναι θετική. Από την σχέση () παίρνουμε λοιπόν : f () 4 f () 4 f () 4, R Εφαρμογή 6 Να βρείτε την παραγωγίσιμη συνάρτηση f με την ιδιότητα f ( ) lnf ( ) για κάθε και f (0) ΛΥΣΗ Αρχικά πρέπει f ( ) 0. f () f () f () f () f () lnf () lne lnf () ln(e f ()) e f () e (e ) (e ) Άρα f ( ) e e c, c R. Όμως για 0 είναι c 0. Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 8/0/07
7 Σελίδα 7 από 30 Τελικά, f ( ), R αφού είναι f ( ) 0 για κάθε R Εφαρμογή 7 Για την δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R R ισχύει ότι Να βρεθεί ο τύπος της f Λύση f f 0, R και είναι f 0 0, f 0. Θέτουμε στη δοσμένη όπου το και παίρνουμε : f ( ) f ( ) 0. Προσθέτοντας κατά μέλη την αρχική και την παραπάνω σχέση, προκύπτει ότι : f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 0 () Θεωρούμε λοιπόν τη συνάρτηση g( ) f ( ) f ( ), και η σχέση () γίνεται: g( ) g( ) 0 () Αν θέσουμε ' h() g () (g ()), τότε βρίσκουμε ότι h '() 0 και τελικά h() 0, διότι ' h(0) g (0) (g (0)) Είναι επομένως : g( ) 0, f ( ) f ( ), Επομένως η αρχική σχέση δίνει: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f f f f f f e f ( ) e c Λόγω των συνθηκών έχουμε c,οπότε : e f ( ) e f ( ) e f ( ) f ( ) e f ( ) e c Βρίσκουμε πάλι ότι c, οπότε : e e f ( ), Με επαλήθευση βλέπουμε ότι αυτή ικανοποιεί όλες τις δοσμένες συνθήκες, οπότε είναι δεκτή. Εφαρμογή 8 Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 8/0/07
8 Σελίδα 8 από 30 Την επόμενη εφαρμογή τη δίνω ως θέμα για να δείτε πόσο εύκολο είναι στη συνέχεια να γίνει ένα θέμα και μάλιστα με τις δυσκολίες του. Να κρατήσω όμως μια επιφύλαξη μέχρι να την ξαναλύσω το πρωί, μήπως μου ξέφυγε κάτι, διότι την συνέταξα μόλις τώρα.είναι πολύ εύκολο να ξεφύγει κάτι Δίνονται οι δύο φορές παραγωγίσιμες συναρτήσεις f, g : R R με f (0) g(0), f (0) g (0) και οι οποίες για κάθε R ικανοποιούν τις ιδιότητες : i) f ( ) g( ) f ( ) g( ) και g( ) 0 ii) g( ) f ( ) α) Να αποδείξετε ότι f g και να βρείτε την f. β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα. γ) Αν F είναι αρχική της f, να αποδείξετε ότι lim F( ). δ) Αν 0 a b, να αποδείξετε ότι b( f ( a) ) a( f ( b ) ). ε) Να αποδείξετε ότι dt f ( t) e ΛΥΣΗ Ξεκινώ με το α).για κάθε R για κάθε R έχουμε: f ''( ) g( ) f ( ) g ''( ) () g '( ) f ( ) () f '( ) g( ) f ( ) g '( ) c () f ''( ) g( ) f '( ) g '( ) f ( ) g ''( ) f '( ) g '( ) ( f '( ) g( ) ') ' ( f ( ) g '( )) ' f '(0) g(0) f (0) g '(0) c c 0. Άρα για κάθε R είναι : f '( ) g( ) f ( ) g '( ) f '( ) g( ) f ( ) g '( ) f '( ) g( ) f ( ) g '( ) 0 0 g ( ) f ( ) f ( ) ' 0 c f ( ) cg( ) g( ) g( ) Είναι όμως f (0) cg(0) c, οπότε R παίρνουμε f ( ) g( ) Στη συνέχεια παρατηρούμε ότι η () δίνει : Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 8/0/07
9 g '( ) g( ) g '( ) g( ) 0 e g '( ) e g( ) 0 e g( ) ' 0 e g( ) c g( ) ce f ( ) ce Σελίδα 9 από 30 Είναι όμως f (0) c c, οπότε f ( ) e, R. Άλλος τρόπος a ) Με την γνωστή κίνηση να προσθέσουμε και στα δύο μέλη της i) το f ( ) g( ) "ξεκλειδώνει" η συναρτησιακή. Όπως απέδειξε ο κ. Γιώργος ισχύει f ( ) e. b ) Εύκολα f γν. αύξουσα στο [0, ) και f γν. φθίνουσα στο (,0]. Επίσης προκύπτει ότι f κυρτή στο. c ) Θεωρώ F( ) κριτήριο σύγκρισης. 0 t e dt. Ισχύει t t 0 e dt dt και το ζητούμενο έπεται από το 0 0 d ) Θεωρώ την h( ) a( f ( ) ) ( f ( a ) ). Ισχύει h( ) af ( ) f ( a ) και h( ) af ( ) 0 h γν. αύξουσα. Ισχύει a a h ( a) a e e. Θεωρώ την ( ) t e e. Ισχύει 3 ( ) 4 t e e t γν. αύξουσα στο [0, ). Επομένως h( a) t( a) t (0) 0 και αφού h γν. αύξουσα προκύπτει ότι η h είναι γν. αύξουσα στο [ a, ). Συνεπώς b a h( b) h( a ). e ) Εύκολα προκύπτει ότι Άλλος τρόπος t t dt ( ) dt e e ( ) f t f t e e. α) Από ην ισότητα έχουμε ότι ισχύει f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) δηλαδή f ( ) g( ) f ( ) g ( ), R οπότε ισχύει ότι f ( ) g( ) f ( ) g( ) c και επειδή Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 8/0/07
10 Σελίδα 0 από 30 f (0) g(0) f (0) g(0) c f (0) g(0) c c 0 Άρα ισχύει ότι f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) 0 και επειδή g( ) 0 έχουμε ότι f ( ) g( ) f ( ) g( ) 0 g ( ). Άρα f ( ) 0 g( ), οπότε : f ( ) ( ) c g και αφού f () () c c g θα ισχύει ότι f ( ) g( ), R Τώρα από g( ) f ( ) θα ισχύει f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 0 άρα και e f ( ) e f ( ) 0 δηλαδή e f ( ) 0 οπότε ισχύει e f ( ) c f ( ) ce και επειδή f (0) c c θα είναι f ( ) e, R που επαληθεύει τις αρχικές ισότητες β) Είναι f ( ) f ( ), R και αφού f ( ) 0, R ισχύει για 0 ότι f ( ) 0 άρα η f είναι γνήσια φθίνουσα στο (, 0] και ισχύει για 0 ότι f ( ) 0 άρα η f είναι γνήσια αύξουσα στο [0, ) Ακόμη είναι f ( ) ( f ( ) f ( )) ( f ( ) f ( )) ( ) f ( ) 0, R άρα η f κυρτή στο R. γ) Αφού η F είναι αρχική της F( ) f ( ) f ( ) 0 0 δηλαδή f ( ) e θα ισχύει ότι F( ) f ( ) και η F είναι κυρτή στο [0, ) και η εφαπτομένη της σε ένα σημείο ( 0, F( 0 )), 0 (0, ) θα είναι y F( ) F( )( ) y f ( ) F( ) f ( ) και λόγω της κυρτότητας από την θέση της εφαπτομένης και των σημείων της γραφικής παράστασης της F θα ισχύει F( ) g( ), (0, ) με g( ) f ( 0) F( 0 ) 0 f ( 0) Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 8/0/07
11 Σελίδα από 30 και επειδή lim ( ) f 0 επειδή 0 f ( ) 0 από F( ) g( ) θα είναι lim F( ) (με εξήγηση σχολική ότι από F( ) g( ) 0 F( ) g( ) θα είναι lim 0 lim 0, κριτήριο παρεμβολής κλπ) g( ) f ( ) f ( b) δ) Θέλουμε να αποδείξουμε ότι ισχύει, 0 b b f ( ) Θεωρώντας την συνάρτηση g( ), (0, ) είναι παραγωγίσιμη με ( ) ( ) g( ) f f () Αν h( ) f ( ) f ( ), [0, ) αυτή είναι συνεχής στο [0, ) παραγωγίσιμη στο (0, ) με : h( ) f ( ) 0, (0, ) Άρα είναι γνήσια αύξουσα στο [0, ) επομένως για 0 θα ισχύει ότι h( ) h (0) 0 h( ) Έτσι από () ισχύει g( ) 0, 0 b θα είναι g( ) g( b) δηλαδή αυτό που θέλαμε. ε) Επειδή είναι t θα είναι και t t t e e e f ( t) Άρα g γνήσια αύξουσα στο (0, ) και αφού t t t t Άρα παίρνουμε και με θα ισχύει ότι t t dt ( ) e dt e f t e e e e e 3 η Περίπτωση Απευθύνομαι σε έμπειρους συναδέλφους και είμαι κάπως συνοπτικός. Μακάρι αυτά τα σχόλια να βρω χρόνο να τα ντύσω με τις κατάλληλες εφαρμογές, κάτι που κάποια στιγμή πρέπει να κάνω, αλλά πότε! Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 8/0/07
12 Σελίδα από 30 Αυτή είναι η πιο ενδιαφέρουσα περίπτωση. Υποθέτουμε λοιπόν ότι η δοσμένη σχέση περιέχει ολοκλήρωμα, με μία ή δύο συναρτήσεις, και ζητείται ο τύπος της συνεχούς συνάρτησης.οι πιο συνηθισμένες περιπτώσεις είναι οι εξής : - Το ολοκλήρωμα περιέχει ένα ή δύο μεταβλητά άκρα, οπότε αφού εξασφαλίσουμε τις αναγκαίες παραγωγισιμότητες στα δύο μέλη, παραγωγίζουμε ώστε να απαλλαχθούμε από τα ολοκληρώματα. Από κει και κάτω αναγόμαστε στην πρώτη περίπτωση. Εδώ προσέχουμε ώστε η υπό ολοκλήρωση συνάρτηση να μην περιέχει τη μεταβλητή παραγώγισης. Αν την περιέχει, τότε με αντικατάσταση μεταφέρουμε τη μεταβλητή παραγώγισης ή στα άκρα ή και έξω από το ολοκλήρωμα. Τονίζουμε επίσης ότι αν έχουμε γινόμενο ολοκληρωτικού παράγοντα με συνάρτηση, τότε καλύτερα είναι να απομονώσουμε τον ολοκληρωτικό παράγοντα. Με αυτή την παρατήρηση το περυσινό Δ γίνεται πολύ πιο απλό και δε χάνεται πολύτιμος χρόνος μέσα από σύνθετες και χρονοβόρες παραγωγίσεις. Για τις παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε να κάνουμε δυο θέματα(υπάρχουν σε όλες τα βοηθήματα και σε όλες τις σημειώσεις), στείλτε όποιο νομίζετε ότι είναι διδακτικό ή έχει κάτι απλό, καινούριο και έξυπνο. - Το ολοκλήρωμα δεν περιέχει μεταβλητό άκρο αλλά έχει μέσα του τη μεταβλητή ολοκλήρωσης! Σε αυτή την περίπτωση τονίζουμε στα παιδιά ότι το ολοκλήρωμα δεν είναι αριθμός για να έχει παράγωγο μηδέν,αλλά μεταφέρουμε με όποιο τρόπο μπορούμε(συνήθως με αντικατάσταση) τη μεταβλητή παραγώγισης έξω από το ολοκλήρωμα ή στα άκρα και εργαζόμαστε όπως πριν. - Το ολοκήρωμα που περιέχει τη ζητούμενη συνάρτηση έχει πραγματικά άκρα και είναι σταθερό ως προς τη μεταβλητή παραγώγισης. Σε αυτή την περίπτωση θέτουμε το ολοκλήρωμα ίσο με c, εκφράζουμε τη δοσμένη συνάρτηση ως συνάρτηση του c, και είτε ολοκληρώνουμε εκ νέου, είτε τη συνάρτηση αυτή τη θέτουμε στη σχέση b a f ( ) d c και τελικά βρίσκουμε το c και την f. Σχετικό θέμα έχει τεθεί και στις εξετάσεις, οπότε το θυμίζουμε σε πέντε λεπτά. Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 8/0/07
13 Σελίδα 3 από 30 - Η εύρεση της συνάρτησης σε σχέση με ολοκλήρωμα που είναι σταθερά (πολύ ενδιαφέρουσα περίπτωση που δεν έχει μπει σε εξετάσεις) γίνεται αν με κατάλληλες ενέργειες(μέθοδοι ολοκλήρωσης κλπ) φέρουμε τη δοσμένη σχέση στη μορφή b a G( ) d 0, όπου G είναι μια συνεχής συνάρτηση που δεν αλλάζει πρόσημο. Αν τα άκρα είναι διαφορετικά, τότε θα είναι G( ) 0, [ a, b ] και η σχέση αυτή μας οδηγεί στη ζητούμενη συνάρτηση. - Στα μεταβλητά άκρα ολοκλήρωσης υπάρχει η ίδια η ζητούμενη συνάρτηση ή η αντίστροφή της κλπ! Σε αυτή την περίπτωση συνδυάζουμε βασικές πάντα κινήσεις και προσπαθούμε να οδηγηθούμε σε εκμεταλλεύσιμη σχέση(θα δώσω άλλη στιγμούλα-ή δώστε και σεις- κατάλληλη εφαρμογή). - Υπάρχουν τα τελευταία χρόνια και ασκήσεις εύρεσης όπου η διερεύνηση γίνεται στα άκρα ολοκλήρωσης. Η ζητούμενη συνάρτηση είναι στα όρια ολοκλήρωσης. Τι κάνουμε σε αυτή την περίπτωση ; Με ένα ΘΜΤ για τα ολοκληρώματα(ο μαθητής θα κάνει έμμεσα τη σχετική απόδειξη) η δοσμένη σχέση οδηγεί σε γινόμενο που ο ένας παράγοντας δεν είναι ποτέ μηδέν. Ο άλλος παράγοντας οδηγεί σε μια νέα διαφορική, εύκολη ή δύσκολη και...ο Θεός βοηθός. Η διερεύνηση μπορεί να γίνει μερικές φορές και στο ένα μέλος της δοσμένης σχέσης με τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο. ( Η διαδικασία με την έρευνα στα άκρα του ολοκληρώματος, φαίνεται καλά και στο φετινό θέμα προσομοίωσης που επιμελήθηκε με τους συνεργάτες του ο εκλεκτός συνάδελφος και Προϊστάμενος Παιδαγωγικής Καθοδήγησης στην περιφέρειά του Πρόδρομος Ελευθερίου). Να το επαναλάβουμε : Τα θέματα μπορεί να έχουν όγκο εργασίας, αλλά οι ιδέες που χρησιμοποιούνται είναι οι ΒΑΣΙΚΕΣ. Αυτό που χρειάζεται είναι καλή γνώση της θεωρίας, γερά πατήματα και καθαρό μυαλό, τουτέστιν ψυχραιμία και σωστή διαχείριση του χρόνου. - Η δοσμένη σχέση είναι ανισοτική και ζητείται ο τύπος της συνάρτησης! Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 8/0/07
14 Σελίδα 4 από 30 Και σε αυτή την περίπτωση προσπαθούμε κάτω από το ολοκλήρωμα να εμφανίζουμε μη αρνητική και συνεχή συνάρτηση και το ολοκλήρωμα να είναι μη θετικό. Αναγκαστικά η υπό ολοκλήρωση συνάρτηση θα είναι μηδέν(προσέχουμε τα άκρα να έχουν τη σωστή διάταξη) κλπ.το δύσκολο σε αυτές τις περιπτώσεις να αντιληφθεί ότι ο μαθητής ότι κάποιος αριθμός(σταθερά) γράφεται ως ολοκλήρωμα, οπότε να πάει στη σωστή σχέση. Αν είναι όμως έμπειρος και πάει με τη μέθοδο του '' τι θα με συνέφερε να δώσει η δοσμένη σχέση; '', τότε θα το φτιάξει. Επισημαίνω ότι πρόκειται για ερωτήματα που αφορούν το μαθητή που πάει για το 95-00! Αλλά ας γράψει πρώτα το 95 και βλέπουμε και το υπόλοιπο! Ξεκινάω με μια έξυπνη περίπτωση που μπορεί να βάλει σε περιπέτειες ακόμα και τον πιο έμπειρο μαθητή! Εφαρμογή 9 Να βρείτε τη θετική και παραγωγίσιμη συνάρτηση f με f (0) που ικανοποιεί την ιδιότητα : ( ) f f ( ) f ( t) dt f ( ) f ( ) για κάθε R ΛΥΣΗ Έστω ότι υπάρχει με f ( ) f ( ). Η δοσμένη σχέση για δίνει άτοπο αφού το αριστρερό μέλος είναι θετικό( LHS 0 ) ενώ το δεξιό είναι αρνητικό ( RHS 0 ). Ομοίως καταλήγουμε σε άτοπο, αν υπάρχει με f ( ) f ( ). Συνεπώς f ( ) f ( ) f ( ) e, αφού f (0). Συμπληρωματικό ερώτημα Να λυθεί ή ίδια άσκηση,αν αντί της δοσμένης σχέσης έχουμε την : ( ) f ( ( ) ( )) ( ) ( ) f ( ) f t f t dt f f για κάθε R στην οποία δεν ξέρουμε αν η συνάρτηση κάτω από το ολοκλήρωμα είναι θετική. Απάντηση f ( ) Η σχέση γράφεται f ( ) f ( t) f ( t) dt 0 και συνεχίζουμε με διάκριση περιπτώσεων όπως πριν αφού f ( t) f ( t ) 0. Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 8/0/07
15 Σελίδα 5 από 30 Πάλι προκύπτει ότι f ( ) f ( ), οπότε κατά τα γνωστά f () e. Άλλος τρόπος Και μία ιδέα με ΘΜΤ. Έστω F μια αρχική της f. Η σχέση γίνεται F( f ( )) F( f ( )) f ( ) f ( ). Έστω ότι υπάρχει με f ( ) f ( ). Τότε με ΘΜΤ για την F προκύπτει ότι υπάρχει f ( ), f ( ), τέτοιο ώστε o F( f ( )) F( f ( )) f ( 0 ) f ( 0 ) άτοπο. f ( ) f ( ) Πάνω στην εύρεση, ενδιαφέρον παρουσιάζει το επόμενο κλασικό θέμα που μας θύμισε ο συνάδελφος και καλός φίλος Γιώργος Τσαπακίδης με το άρθρο του στον Ευκλείδη Β (τελευταίο τεύχος). Ανάλογα παραδείγματα μπορούν να κατασκευαστούν εύκολα για συναρτήσεις με πεδίο ορισμού όλο το. Εφαρμογή 0 Να βρείτε τη θετική και παραγωγίσιμη συνάρτηση f με f (0) που ικανοποιεί την ιδιότητα : f ( ) f ( ) f ( t) dt f ( ) f ( ) για κάθε R Άλλος τρόπος Έστω F μία αρχική της f. Θεωρούμε τη συνάρτηση g( ) F( ), R, τότε g( ) F( ) f ( ) 0, άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο R και επομένως. f ( ) Επίσης f ( ) f ( ) f ( t) dt f ( ) f ( ) F( t) f ( ) f ( ) f ( ) F( f ( )) F( f ( )) f ( ) f ( ) F( f ( )) f ( ) F( f ( )) f ( ) g g( f ( )) g( f ( )) f ( ) f ( ) f ( ) ce και από το f (0), Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 8/0/07
16 Σελίδα 6 από 30 έχουμε f ( ) e. Πάνω στην εύρεση, ενδιαφέρον παρουσιάζει το επόμενο κλασικό θέμα που μας θύμισε ο συνάδελφος και καλός φίλος Γιώργος Τσαπακίδης με το άρθρο του στον Ευκλείδη Β (τελευταίο τεύχος). Ανάλογα παραδείγματα μπορούν να κατασκευαστούν εύκολα για συναρτήσεις με πεδίο ορισμού όλο το. Εφαρμογή Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση f στο [0,] με την ιδιότητα : ΛΥΣΗ f ( ) d f ( ) d Ας είναι A f ( ) d. 0 Θέτοντας y 0 y παίρνουμε d ydy και νέα άκρα ολοκλήρωσης τα y 0, y. Έτσι, A yf ( y ) dy f ( ) d. 0 0 Από την αρχική σχέση έχουμε f ( ) d f ( ) d d f f d 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 0 Στην τελευταία σχέση για 0, παίρνουμε f ( ), 0, 0, : f ( ). Άλλος τρόπος Για κάθε [0,] ισχύει Όμως, η δοθείσα γράφεται (f () ) 0 f () f () f ( ) f ( ) ( f ( ) ) d f ( ) d f ( ) d, Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 8/0/07
17 Σελίδα 7 από 30 όπου στο τελευταίο βήμα έγινε η αλλαγή u. Από τις σχέσεις αυτές προκύπτει ότι f ( ), [0,]. 5 η Περίπτωση Στην περίπτωση αυτή θα εντάξω ασκήσεις εύρεσης συνεχούς συνάρτησης. Στη δοσμένη σχέση δεν υπάρχουν παράγωγοι ή ολοκληρώματα. Σε τέτοιες ασκήσεις, βασιζόμαστε κυρίως στις εξής παρατηρήσεις : Κάθε συνεχής συνάρτηση που δε μηδενίζεται σε ένα διάστημα, διατηρεί πρόσημο σε αυτό. Κάθε συνεχής συνάρτηση σε διάστημα που παίρνει μόνο ρητές ή μόνο άρρητες τιμές ή πεπερασμένο πλήθος τιμών είναι σταθερή. Αν το μέγιστο και το ελάχιστο και το μέγιστο μιας συνάρτησης συμπίπτουν, τότε αυτή είναι σταθερή. Η παρατήρηση αυτή, σε συνδυασμό όμως με το θεώρημα Fermat, δίνει λύση σε μια κατηγορία ασκήσεων και μάλιστα είναι ο μοναδικός τρόπος για τη λύση τους. Νομίζω ότι είχαμε μια τέτοια άσκηση στο mathematica, αλλά δεν την έχω μπροστά μου. Ένδειξη για αυτή τη μέθοδο είναι ότι η συνάρτηση είναι συνεχής σε κλειστό διάστημα, ώστε να έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή στο διάστημα αυτό. Εφαρμογή α) Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f με την ιδιότητα f ( ) f ( ) για κάθε. β) Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f με την ιδιότητα ( f ( ) 03)( f ( ) 8) 0 για κάθε. Η περίπτωση β) έχει το μειονέκτημα ότι δεν προσφέρεται ευρέως για εξετάσεις, ωστόσο σε ένα θεωρητικό θέμα μπορεί κάπου να κολλήσει ως ανεξάρτητο ερώτημα. γ) Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα (0, ) με την ιδιότητα ( f ( ) ln )( f ( ) ln ) 0 για κάθε 0. Την περίπτωση γ) δεν την έχουμε δει στις εξετάσεις μέχρι τώρα, πάντα όμως είναι εύκολο να δημιουργηθεί ένα κατάλληλο θέμα που να στηρίζεται σε αυτή την ιδέα. Αν δεν φρεσκάρουμε τον τρόπο διατύπωσης της λύσης λίγο πριν τις εξετάσεις, ακόμα και ο απαιτητικός μαθητής θα έχει δυσκολίες. Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 8/0/07
18 Σελίδα 8 από 30 ΛΥΣΗ α) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ). Έστω g( ) f ( ), τότε g ( ), R. Είναι g( ) 0 για κάθε R γιατί η εξίσωση g( ) 0 είναι ισοδύναμη με την είναι αδύνατη. 0 που Επίσης η g είναι συνεχής στο R (διαφορά συνεχών). Άρα διατηρεί σταθερό πρόσημο, επομένως g( ) για κάθε R ή g( ) για κάθε R. Επομένως f ( ) ή f ( ), R. β) ( f ( ) 03)( f ( ) 8) 0 f ( ) 3834 f ( ) f ( ) 97 f ( ) ( ( ) 97) 96 f και δουλεύουμε όπως στο (α). Υπάρχει τρόπος και με Θ. ενδιαμέσων τιμών, αλλά νομίζω ότι ο παραπάνω είναι καλύτερος. γ) Έχουμε ( ( ) )( ( ) ) 0 ( ) f ln f ln f ln. Η εξίσωση f ( ) 0 έχει μοναδική λύση το. Σε καθένα από τα διαστήματα (0,) και (, ) η f διατηρεί σταθερό πρόσημο (ως συνεχής και χωρίς ρίζες). Άρα έχουμε τις εξής περιπτώσεις ln, 0 f ( ) 0, ln, 0. ln, ln, 0 f ( ) 0, ln, 0. ln, ln, 0 f ( ) 0, ln, 0. ln, ln, 0 f ( ) 0, ln, 0 ln, Εφαρμογή 3(επαναληπτική). Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 8/0/07
19 Σελίδα 9 από 30 Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών που έχει την ιδιότητα : f ( y) f () f (y), ά, y 0 Α. Να αποδείξετε ότι: α) f f ( ) και f ( ) f ( ) f ( y) y για κάθε, y 0 β) Αν η εξίσωση f ( ) 0 έχει μοναδική ρίζα, τότε η f αντιστρέφεται. Β. Αν η f είναι συνεχής σε κάποιο a 0,να αποδειχθεί ότι είναι συνεχής και να βρεθεί το όριο A lim f ( ) Γ. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο με f (), να βρεθεί o τύπος της συνάρτησης αυτής. 5η Περίπτωση Στην τελευταία περίπτωση αυτής της προσπάθειας μερικής συστηματοποίησης της πιο σημαντικής κατηγορίας ασκήσεων στα μαθηματικά κατεύθυνσης θα εντάξω τις εξής περιπτώσεις : - Η συνάρτηση βρίσκεται από μια συναρτησιακή εξίσωση, με ή χωρίς παραγώγους, με μία ή δύο μεταβλητές. Εδώ φρεσκάρουμε ότι αν η σχέση έχει δύο μεταβλητές και η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη, τότε μπορούμε να θεωρούμε τη μία μεταβλητή σταθερή και να παραγωγίζουμε ως προς την άλλη.με επιλεγμένες στη συνέχεια τιμές για τη μία μεταβλητή, παίρνουμε μια σχετικά βατή διαφορική εξίσωση με μία μεταβλητή και βρίσκουμε τη ζητούμενη συνάρτηση. Σχετικές ασκήσεις έχουν όλα τα βοηθήματα και αν προλάβω, θα βάλω και μία εδώ.α! Να μην ξεχάσω τη βασική τεχνική που τη συνάρτηση την βρίσκουμε από μια σχέση της μορφής g( f ( )) g( h( )), όπου g είναι μια συνάρτηση. Πρόκειται για την πιο απλή και έξυπνη συγχρόνως περίπτωση. Να τονίσουμε στους μαθητές μας ότι σε τέτοια θέματα και μάλιστα όταν το ερώτημα είναι '' να βρεθεί η συνάρτηση... '', είναι πιθανό να χρειάζεται επαλήθευση. Τέτοια ώρα- τέτοια λόγια θα μου πείτε και θα συμφωνήσω. Αλλά από την άλλη σε κανένα δε θα άρεσε να έρθει ο μαθητής μετά από δυο μέρες και του πει '' κύριε, δεν μας το είχατε τονίσει αυτό τελευταία!''. Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 8/0/07
20 Σελίδα 0 από 30 Αυτός που ετοιμάζει μαθητές θέλει να έχει μια σχέση ευθύνης με τον εαυτό του και το μαθητή του και δικαιολογημένα στεναχωριέται όταν δεν τονίσει κάτι βασικό. Μόνο με αυτό το σκεπτικό αναφέρω ότι καλό είναι να έχουμε και την επαλήθευση στο μυαλό μας, όχι μόνο σε θέματα εύρεσης αλλά και σε μερικές άλλες αναγκαίες περιπτώσεις. - Η συνάρτηση είναι πολυωνυμική και στη σχέση που δίνεται υπάρχουν δυνάμεις και παράγωγοι πρώτης ή δευτέρας τάξεως. Η αντιμετώπιση, όπως καλά γνωρίζετε, γίνεται σε δύο βήματα : α) Εντοπίζουμε το βαθμό κάθε όρου και καταλήγουμε σε μια απλή εξίσωση ως ν, όπου ν είναι ο βαθμός του ζητούμενου πολυωνύμου. Πιθανόν να χρειαστεί η σχετική διερεύνηση. β) Με βάση το θεώρημα για την ισότητα πολυωνύμων προσδιορίζουμε τους συντελεστές του ζητούμενου πολυωνύμου. - Η συναρτησιακή εξίσωση προκύπτει από μόνη της ή από σύστημα σχέσεων, δίνοντας πληροφορία για δυο συναρτήσεις (ή για μία) και τις αρχικές τους. Εδώ ο μαθητής πρέπει να ξέρει να χρησιμοποιεί τον ορισμό της αρχικής και από κει πέρα να παίζει με άνεση τις βασικές περιπτώσεις αντιπαραγώγισης. Σημειώνω ότι οι ασκήσεις με αρχικές είναι ιδανικές για εξετάσεις και δεν έχουμε δει ακόμα τέτοιο θέμα. Για φέτος θα σταματήσω σε αυτή μόνο την κατηγορία,δηλαδή την εύρεση συνάρτησης, μια και οι εξετάσεις έφτασαν! - Να μην ξεχάσουμε τέλος να υπενθυμίσουμε ότι από μια σχέση της μορφής δεν προκύπτει αναγκαστικά ότι f () g() 0, A f () 0, ή g() 0, Εφαρμογή 4 Να βρεθούν οι συναρτήσεις f :, για τις οποίες ισχύει και f (0)=0 f ()-f (y) = -y για κάθε, y. Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 8/0/07
21 Σελίδα από 30 Λύση Από την υπόθεση έχουμε f (0)=0 f ()-f (y) = -y Από την για y 0 παίρνουμε f 00 f ()-f (0) = -0, R f, R f f, R Υποθέτουμε ότι υπάρχουν ότι :, R 0,ώστε f, f.λόγω της προκύπτει f ( )-f ( ) = 0, 0 που είναι άτοπο. Επομένως είναι: f, R f, R Οι συναρτήσεις αυτές ικανοποιούν τις υποθέσεις και έτσι είναι οι ζητούμενες. Ας δώσω μια εφαρμογή για επανάληψη στα προηγούμενα ξαναερχόμαστε αργότερα στις παραπάνω περιπτώσεις για μερικές πολύ χαρακτηριστικές εφαρμογές. Εφαρμογή για επανάληψη Α. Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f, g : R R με f (0), για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις : f ( ) g( ) e και f ( ) g ( ) e για κάθε R. Να βρείτε τους τύπους των f, g. Β. Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f :(0, ) R με f () 0, f () και τέτοια, ώστε f ( ) f ( ) e για κάθε > 0. Να βρείτε την f. Εφαρμογή 5(γενική). Δίνεται μια συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη, με την ιδιότητα : Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 8/0/07
22 Σελίδα από 30 Α. Να αποδείξετε ότι : f () και f ( ) (4 f ( )) για κάθε. α) β) f ( ), για κάθε f ( ), για κάθε Β. Να βρείτε : α) Τις εξισώσεις των εφαπτομένων της C f που διέρχονται από το σημείο M (, 5). β) Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f και τις παραπάνω δύο εφαπτομένες ΛΥΣΗ α) f ( ) ( f ( )) ( ) f ( ) f ( ) 4 f ( ) (4 f ( )) f ( ) β) f ( ) f ( ) f ( ) c f c c () 0 Άρα f ( ) Εφαρμογή 6 ( Η εφαρμογή αυτή αναφέρεται κυρίως στην 4η περίπτωση και έχει το χαρακτήρα γενικού θέματος, μια και προσφέρεται για κάτι τέτοιο. Το ίδιο συμβαίνει και με την επόμενη εφαρμογή.) f f για κάθε R. Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f με την ιδιότητα 4 ( ) ( ) α) Να αποδείξετε ότι f ( ), R. β) Να αποδείξετε ότι από τα σημεία της ευθείας : y άγονται δύο κάθετες μεταξύ τους εφαπτομένες προς τη C f. γ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα A f ( ) d. e δ) Ένα σημείο N της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με θετική τετμημένη απομακρύνεται από τον άξονα y'y με ρυθμό m / s.να βρείτε το ρυθμό που Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 8/0/07
23 Σελίδα 3 από 30 μεταβάλλεται η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη της στιγμή που αυτή είναι ίση με 45 o. Εφαρμογή 7 (γενική). C f στο σημείο N με τον άξονα ', τη Δίνεται μια συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη, με την ιδιότητα : f () και f ( ) (4 f ( )) για κάθε. Α. Να αποδείξετε ότι : f ( ), για κάθε β) f ( ), για κάθε Β. Να βρείτε : α) Τις εξισώσεις των εφαπτομένων της C f που διέρχονται από το σημείο M (, 5). β) Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f και τις παραπάνω δύο εφαπτομένες ΛΥΣΗ Η αρχική σχέση για 0 δίνει f (0) 0. Α.α) Για κάθε έχουμε ( ) 4 ( ) ( ) ( ) 4 ( ) : ( ), f f f f f c f c Από την τελευταία σχέση για 0 παίρνουμε c 0 και συνεπώς f ( ), Α.β) Για κάθε 0 είναι f ( ) f ( ) απ' όπου παίρνουμε ότι f ( ) c c, 0 Από την συνέχεια της f στο 0 λαμβάνουμε, 0 Είναι, f (0) lim f ( ) lim f ( )( ). 0 0 lim ( ) 0 f c και lim f ( ) 0 c, οπότε ( ) c c Τότε, f c και f () c c 0. ( ), 0 Η σχέση ( ) τώρα δίνει f (0) lim f ( ) 0. 0 Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 8/0/07
24 Σελίδα 4 από 30 Συνεπώς, f ( ),. Β.α) Η εξίσωση της εφαπτομένης σε τυχόν σημείο, ( ) A 0 f 0 της f C δίνεται από την σχέση y f ( ) f ( )( ) f ( ) y f ( ) f ( ) Αναζητούμε εκείνες, των οποίων η εξίσωση επαληθεύεται απο τις συντεταγμένες του σημείου M, 5. Δηλαδή, εκείνες που ικανοποιούν την σχέση { f ( 0) 5 f ( 0 ) 0 f ( 0) 0. Αντικαθιστώντας βρίσκουμε ( 3 3) Συνεπώς, τα σημεία είναι τα A 5,5 και, y και : 0 5 : y. A με αντίστοιχες εξισώσεις τις Β.β) Έχοντας όλα τα παραπάνω και αν E είναι το ζητούμενο εμβαδό, τότε 5 ( ) ( ) ( ) 0 5 ( ) 0 5 E f d d d f d ( ) d 4 d 5) d Εφαρμογή 8 Μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f : (0, ) R έχει την ιδιότητα f ( y) f f ( ) y κάθε, y 0. Αν f () 0 και f (), να αποδείξετε ότι: α) f ( ) f 0 f f ( ) β) γ), 0 f ln., για κάθε 0., για κάθε 0., για Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 8/0/07
25 Σελίδα 5 από 30 ΛΥΣΗ α) Για θα ισχύει ότι f ( y) f ( ) f () 0, y 0 y άρα ισχύει ότι f ( ) f ( ) 0, 0 β) Για y c 0 ισχύει ότι f ( c) f ( ) f ( ), 0 και παραγωγίζοντας ως προς c προκύπτει ότι cf ( c) f ( ) f ( ), 0 c c οπότε και για θα ισχύει ότι Άρα ισχύει ότι f ( ) f ( ), 0 άρα και f ( ) f ( ), 0 και για όπου το θα ισχύει ότι f ( ) f ( ), 0 γ) Από f ( ) f ( ), 0 έχουμε ότι ( ) ( ) (ln ), 0 f f άρα και f ( ) f ( ) ln c, 0 cf ( c) f ( ) f () c c που λόγω του (α) θα έχουμε ότι f ( ) ln c, 0 και επειδή f () 0 προκύπτει c 0 Άρα f ( ) ln, 0 Εφαρμογή 9 ( Η εφαρμογή αυτή αναφέρεται κυρίως στην 4η περίπτωση και έχει το χαρακτήρα γενικού θέματος, μια και προσφέρεται για κάτι τέτοιο. Το ίδιο συμβαίνει και με την επόμενη εφαρμογή.) f f για κάθε R. Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f με την ιδιότητα 4 ( ) ( ) α) Να αποδείξετε ότι f ( ), R. β) Να αποδείξετε ότι από τα σημεία της ευθείας : y άγονται δύο κάθετες μεταξύ τους εφαπτομένες προς τη C f. γ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα A f ( ) d. e Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 8/0/07
26 Σελίδα 6 από 30 δ) Ένα σημείο N της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με θετική τετμημένη απομακρύνεται από τον άξονα y'y με ρυθμό m / s.να βρείτε το ρυθμό που μεταβάλλεται η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη της στιγμή που αυτή είναι ίση με 45 o. C f στο σημείο N με τον άξονα ', τη ΛΥΣΗ α) Προφανώς το σταθερό πολυώνυμο δεν επαληθεύει την ισότητα για κάθε R άρα η f είναι πολυωνυμική -στού βαθμού με Αν τότε f ( ), 0 και η f ( ), R και η δοθείσα θα είναι 4 4 που είναι αδύνατο για κάθε Έτσι η f θα είναι αναγκαία πολυωνυμική βαθμού οπότε η f θα είναι πολυωνυμική βαθμού. R Άρα η ( ) f πολυωνυμική ( ) βαθμού και λόγω της ισότητας 4 f ( ) ( f ( )) θα ισχύει από την ισότητα των βαθμών των πολυωνύμων ότι ( ) οπότε f ( ), 0 και επειδή f ( ) στην δοθείσα σχέση θα έχουμε ( ) (4 ) 4 και λόγω της ισότητας θα ισχύουν και 4 0 επομένως 4 4 και f ( ), R β) Είναι f ( ) και από σημείο της \ και αν περνάει από σημείο Επειδή η εξίσωση y ( ) y M ( 0, 0 ) η εφαπτομένη έχει εξίσωση (, ) της y θα ισχύει ότι Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 8/0/07
27 Σελίδα 7 από 30 0 έχει διακρίνουσα θ έχει πάντα δύο ρίζες, έστω, που λόγω Vieta θα έχουν γινόμενο δηλαδή θα ισχύει ότι f ( ) f ( ) που σημαίνει ότι οι εφαπτόμενες στα σημεία με τετμημένες, είναι κάθετες. γ) Με u είναι du d και για u, u και το Έτσι έχουμε f ( ) f ( ) f ( ) e A d ( ) du d B e e e f e ( )... e ( )( ) A B d A f d d A 6 δ) Γνωρίζουμε ότι ( t ) και έστω η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη στο σημείο N τότε θα ισχύει ότι f ( ) 0 και τότε για κάθε χρονική στιγμή θα ισχύει ότι ( ( t)) ( t) Άρα, παραγωγίζοντας, θα ισχύει ότι και την χρονική στιγμή που ( ( ( t))) ( t) ( t) 4 ( ) ( ) ( ) ( t0) θα είναι t0 t0 Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 8/0/07
28 Σελίδα 8 από 30 Εφαρμογή 0 (για επανάληψη) Α. Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f, g : R R με f (0), για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις : f ( ) g( ) e και f ( ) g ( ) e για κάθε Λύση R. Να βρείτε τους τύπους των f, g. Είναι ( ) ( ) f ( ) f ( ) e e g e g g( ) g ( ).Άρα η f ( ) g ( ) e γίνεται e g() e g() g() e g () g() g() g() g () g() g() g() g () g () g() g() g() 0 g() g() 0g() g() g() c e Άρα η σχέση f ( ) g( ) e γίνεται : ( ) f c e e και για 0 έχουμε που επαληθεύουν τις αρχικές σχέσεις. e c.επομένως f ( ) e και g( ) Β. Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση : 0, και τέτοια, ώστε Λύση Είναι f ( ) f ( ) e για κάθε 0 f R με f (0) 0, f (0). Να βρείτε την f. f e f ( ) ( ) f ( ) e f ( ) ( ) f f f e f ( ) ( ) f ( ) ( ) ( ) f ( ) Για 0 έχουμε c 0.Άρα Από, έχουμε f ( ) e c f e f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) e f ( ) f ( ) e f ( ) e f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) e f ( ) e f ( ) e ( ) f ( ) e c Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 8/0/07
29 Σελίδα 9 από 30 Για 0 έχουμε c f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) e f ( ) e e e c 3 Για 0 έχουμε c 3 0 f ( ) f ( ) e e f f ln ln ( ) ln ( ) ln που επαληθεύει την αρχική σχέση. Εφαρμογή (Για την 4η περίπτωση : Είναι η πιο εύκολη περίπτωση να ξεκινήσει κάποιος να στήνει ένα θέμα.) Δίνεται η συνάρτηση f : R R με την ιδιότητα ( ) + ( - ) 3 4 f f για κάθε πραγματικό αριθμό. Α. Να αποδειχθεί ότι : α) f ( ) f ( ) β) ο τύπος της f δίνεται από τη σχέση B. Δύο εφαπτόμενες της f f ( ) = C διέρχονται από το σημείο 3,9 α) τα σημεία επαφής της C f με τις εφαπτόμενες αυτές. M. Να βρείτε : β) τις εξισώσεις των εφαπτόμενων αυτών και το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται ανάμεσα σε αυτές και τη γραφική παράσταση. Εφαρμογή Μια νεοσύστατη...''ανθρώπινη'' άσκηση με βασικές γνώσεις και ωραία βήματα στην εύρεση, μάλλον για Θέμα Δ. Τη συνέθεσα μόλις χθες με αφορμή ένα πρόβλημα από το G.M. Δίνονται οι γνησίως μονότονες και παραγωγίσιμες συναρτήσεις f : R R με τις ιδιότητες : f t dt g ( ) ( ) 0 και g t dt f για κάθε. ( ) ( ) 0 α) Να αποδείξετε ότι f β) Να αποδείξετε ότι f ( ),. γ) Να υπολογίσετε τα όρια: g A lim f ( ) ( f ), B lim ( ), f ( ) f ( ) lim 0 f ( ) Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 8/0/07
30 Σελίδα 30 από 30 δ) Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα I Λύση 3 f ( ) d και e 03 J f ( )ln( e ) d α) Καταρχάς εύκολα f (0) g (0) 0. Παραγωγίζοντας προκύπτει: και f g g f g g g ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g( ) f ( ) f ( ) f ( ) g( ) f ( ) f ( ). Επομένως ισχύει g ( ) g ( ) 3 f ( ) f ( ) g ( ) f ( ) 3 3 ( ) ( ) g f c και αφού g(0) f (0) προκύπτει ότι 3 3 g ( ) f ( ) g( ) f ( ). β) Ισχύει f ( ) f ( ) f ( ). Επειδή f γνησίως μονότονη και f (0) 0, το 0 0 είναι η μοναδική της ρίζα. Επομένως είναι f ( ) 0 για κάθε *. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι f ( ) για κάθε *, δηλαδή ότι f ( ) c για 0 και f ( ) c για 0, ενώ f (0) 0. Λόγω της συνέχειας της f προκύπτει ότι c c 0.Άρα f ( ) για κάθε. γ) Ισχύει A lim. Επίσης βρίσκουμε με τις γνωστές τεχνικές ότι sin cosu B lim και. u0 u δ) Είναι I 3 e d και κάνοντας την αλλαγή μεταβλητής u προκύπτει ότι I u 3u e du. u e Επομένως : 3 I d I. Το ολοκλήρωμα J υπολογίζεται με την ίδια λογική, αφού μετά την αντικατάσταση και τις σχετικές πράξεις, το ολοκλήρωμα επανεμφανίζεται.. Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 8/0/07
Η ΜΕΘΟΔΕΥΣΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. Σε προηγούμενα άρθρα και εργασίες καταγράψαμε, αναλύσαμε, σχολιάσαμε και παρουσιάσαμε
Σελίδα από 49 Η ΜΕΘΟΔΕΥΣΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ Μπάμπης Στεργίου - 07 Σε προηγούμενα άρθρα και εργασίες καταγράψαμε, αναλύσαμε, σχολιάσαμε και παρουσιάσαμε διεξοδικά τις έννοιες και τις προτάσεις που αναφέρονται
Διαβάστε περισσότεραΗ ΜΕΘΟΔΕΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
Σελίδα 1 από 34 Η ΜΕΘΟΔΕΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μπάμπης Στεργίου 017 Εισαγωγή Οι εξισώσεις, η λύση τους, η εύρεση του πλήθους ριζών τους ή τα ερωτήματα που αφορούν στην ύπαρξη ριζών, αποτελούν ένα σημαντικό
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...
Διαβάστε περισσότεραf ( x) f ( x ) για κάθε x A
ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 3 3/04/06 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Τι ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y = f() ως προς το στο σημείο 0 ;
Διαβάστε περισσότερα********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής*********
********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής********* 5 Για την δύο φορές παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση ισχύει: e για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της δεν παρουσιάζει σημείο καμπής. Υποθέτουμε
Διαβάστε περισσότεραΗ Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου
Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΠαντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr
VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ
Διαβάστε περισσότεραΓια να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :
Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός
ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...
Διαβάστε περισσότεραΘεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:
Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η
Διαβάστε περισσότεραΜεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.
Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ. f ( x) 0 0 2x 0 x 0
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο
Διαβάστε περισσότερακαι γνησίως αύξουσα στο 0,
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελ 6 (i) A. Σχολικό βιβλίο σελ 141 Α. Σχολικό βιβλίο σελ 46-47 Α4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β1. Ισχύει D f επειδή 1 1 1 Για κάθε η f είναι παραγωγίσιμη
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016
Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΕΠΙΚΑΙΡΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013
ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 3 Εισαγωγή Μέσα Μαΐου και ο πυρετός των Πανελλαδικών όλο και ανεβαίνει! Οι μαθητές ξεκοκαλίζουν τα βιβλία για να ανακαλύψουν δύσκολα θέματα διαφορετικά από αυτά που κυκλοφορούν
Διαβάστε περισσότερανα είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.
Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει:
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016
Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης -Πανελλαδικές Εξετάσεις 06 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 06 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016
Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ
Διαβάστε περισσότεραΟι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <
Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [008-009 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για
Διαβάστε περισσότεραΣυνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, )
Κατηγορία η Συνθήκες ΘΜΤ Τρόπος αντιμετώπισης: Για να ισχύει το ΘΜΤ για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ( a) '( ) ) πρέπει: a Η συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραf x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R
ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία
Διαβάστε περισσότεραΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Νίκος Ζανταρίδης (Φροντιστήριο Πυραμίδα) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ένα γενικό θέμα Ανάλυσης Χρήσιμες Προτάσεις Ασκήσεις για λύση Μικρό βοήθημα για τον υποψήφιο μαθητή της Γ Λυκείου λίγο πριν τις εξετάσεις Απρίλιος
Διαβάστε περισσότεραh ln 1 γ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο Δ, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο Δ.
ΘΕΜΑ A Α1. α) Να δώσετε τον ορισμό πότε μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο (α, β) και πότε στο [α, β]. Σχεδιάστε μια συνάρτηση που είναι συνεχής στο =1 αλλά όχι παραγωγίσιμη β) Να διατυπώσετε τον ορισμό
Διαβάστε περισσότερα2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.
Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το
Διαβάστε περισσότεραx R, να δείξετε ότι: i)
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι
Διαβάστε περισσότεραln 1. ( ) vii. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f, τον άξονα η οποία είναι συνεχής στο και για την οποία ισχύει
Μαθηματικά Γ Λυκείου Θέμα 4o Α Δίνεται η συνάρτηση h ( ), η οποία είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, ] β αβ Να δείξετε ότι h d hαβα Β Δίνεται η συνάρτηση f α ( ) ln i Να βρείτε το πεδίο
Διαβάστε περισσότερα(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο
Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΦίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,
Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Το βιβλίο αυτό, όπως και το πρώτο τεύχος, είναι εναρμονισμένο με την πρόσφατα καθορισμένη ύλη και απευθύνεται στους μαθητές της Γ Λυκείου που έχουν επιλέξει τον προσανατολισμό
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [a, b] είναι όριο?
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [, ] είναι όριο? β) Για να βρούμε το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [, ] πρέπει
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ 1. Αν f συνεχής στο [α, β] είναι f ( ) d 0 f ( ) 0 2. Αν f συνεχής και γν. αύξουσα στο [α, β] ισχύει ότι: f ( ) d 0. 3. Αν f ( ) d g( ) d, ό f ( ) g( ) ά [, ]. 4. Το σύνολο τιμών
Διαβάστε περισσότεραΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 7 ΘΕΜΑ Α A Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Α ΜΕΡΟΣ Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ α) Να δείξετε ότι f()=+e -, β) Να βρείτε το όριο lim ( lim f(y)) y γ) Να δείξετε
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος 6-7 ) Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : α) Να δείξετε ότι f()=+e -, f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ β) Να βρείτε το όριο ( y f(y)) γ) Να δείξετε
Διαβάστε περισσότεραf(x 2) 5 x 1 α) Να αποδείξετε ότι: i) f (3) = 5 και ii) f (3) = 6 x 2 f(x)
. Έστω η συνάρτηση = + e. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.. Να λύσετε την εξίσωση e = 3. Θεωρούμε τη γνησίως μονότονη συνάρτηση g : R R η οποία για κάθε R ικανοποιεί τη σχέση g() + e g() = +.
Διαβάστε περισσότεραΑπαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016
ΘΕΜΑ Α Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 6 Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ.6-(i) Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 4 Α. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 46,47 Α.4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β B. Η συνάρτηση
Διαβάστε περισσότερα, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ]
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου Θέμα Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι και
Διαβάστε περισσότεραΜΕΡΟΣ Β ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΜΕΡΟΣ Β ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ η Έκδοση, Ιανουάριος 7 Γιάννης Καραγιάννης
Διαβάστε περισσότεραΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ, ΟΡΙΟ, ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Διαβάστε περισσότεραx A. Είναι δηλαδή: ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ : Η ΕΥΡΕΣΗ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ
Σελίδα από 4 ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ : Η ΕΥΡΕΣΗ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ Βαγγέλης Μουρούκος Μπάμπης Στεργίου ΥΠΟ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ-ΔΕΝ ΕΧΟΥΝ ΓΙΝΕΙ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ Περίληψη Στο άρθρο αυτό επιχειρούμε να εντοπίσουμε, να καταγράψουμε
Διαβάστε περισσότερα0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΔιαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017
Ένα διαγώνισμα προετοιμασίας για τους μαθητές της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο
Διαβάστε περισσότεραf(x) x 3x 2, όπου R, y 2x 2
Δίνεται η συνάρτηση με τύπο,. Μαθηματικά κατεύθυνσης f(), όπου R, α) Να αποδειχθεί ότι η f παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο, ένα τοπικό ελάχιστο και ένα σημείο καμπής. β) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f()
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ
ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Στα παρακάτω γίνεται μία προσπάθεια, ομαδοποίησης των ασκήσεων επίλυσης εξισώσεων και ανισώσεων, συναρτησιακών μορφών, συνεχών συναρτήσεων,
Διαβάστε περισσότεραΤελευταία Επανάληψη. την ευθεία x=1 και τoν x x. 2 1 x. Λύση. x 2 1 x 0, άρα. x 1 x. x x 1. γ) x 1 e x x 1 x e ln x 1 x f x.
Δίνεται η συνάρτηση ln Τελευταία Επανάληψη α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία της γ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης e, δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν
Διαβάστε περισσότεραA. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου
Διαβάστε περισσότεραΟΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΩΣ ΔΕΔΟΜΕΝΟ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ
ΟΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΩΣ ΔΕΔΟΜΕΝΟ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Είναι γνωστό ότι η απόδειξη ανισοτήτων είναι ένα ζήτημα που παρουσιάζει ιδιαίτερες δυσκολίες για τους μαθητές. Οι δυσκολίες αυτές συνδέονται τόσο με το
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΙΧΑΛΗΣ ΜΑΓΚΟΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΙΧΑΛΗΣ ΜΑΓΚΟΣ . ΔΙΑΒΑΖΩ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ Σελ.303: Ορισμός (Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα) Σελ.304: Απόδειξη του
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ : Η ΕΥΡΕΣΗ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ
Σελίδα από ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ : Η ΕΥΡΕΣΗ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ Βαγγέλης Μουρούκος Μπάμπης Στεργίου Περίληψη Στο άρθρο αυτό επιχειρούμε να εντοπίσουμε, να καταγράψουμε και να περιγράψουμε με σχετικά σύντομο
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f
Διαβάστε περισσότεραf f x f x = x x x f x f x0 x
1 Παράγωγος 1. για να βρω την παράγωγο της f σε διάστηµα χρησιµοποιώ βασικές παραγώγους και κανόνες παραγωγισης. για να βρω την παράγωγο σε σηµείο αλλαγής τύπου η σε άκρο διαστήµατος δουλεύω µε ορισµό
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο
Διαβάστε περισσότεραA. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου
Διαβάστε περισσότεραΓ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 20 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΑΠΟ /4/7 έως τις /4/7 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη Απριλίου 7 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν
Διαβάστε περισσότερα35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης
4 5 35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης Περίληψη: Στο ένθετο αυτό περιλαμβάνονται 35 βασικές προτάσεις, μικρά λήμματα χρήσιμα για τις εξετάσεις. Μας βοηθούν να «ξεκλειδώνουμε»
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου
Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης σε όλο το εύρος της διδακτέας ύλης Κων/νος Παπασταματίου Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Τηλ. 4 3 598 Θε ματα ΟΕΦΕ - 5 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 3 13/04/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 3 3/04/06 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Τι ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y = f( ως προς το στο σημείο 0 ;
Διαβάστε περισσότερα1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x
Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ/ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΙΑ. Πότε δύο συναρτήσεις και g είναι ίσες;. Πότε μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται " " ; 3. Πότε μία συνάρτηση λέγεται συνεχής στο σημείο o του πεδίου
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE
ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Αν μια συνάρτηση f είναι : συνεχής στο κλειστό [α,β] παραγωγίσιμη στο ανοιχτό (α,β) f(α)=f(β) f 0 τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ : σημαίνει ότι υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ
ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β ΑΙΓΑΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις
Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις
Διαβάστε περισσότερα2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt
ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f (x)= ημ x, x (0,π). α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα. β) Να βρείτε της ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 5/5/6 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη (όχι κατακόρυφη) της γραφικής παράστασης C
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Παύλος Βασιλείου Σε όλους αυτούς που παλεύουν για έναν καλύτερο κόσμο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ
Διαβάστε περισσότεραΚατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ
Κατηγορία η Σταθερή συνάρτηση Τρόπος αντιμετώπισης: Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ πρέπει: η συνάρτηση να είναι συνεχής στο Δ '( ) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του
Διαβάστε περισσότερα( x) β ], παρουσιάζει ελάχιστη τιµή α, δηλαδή υπάρχει. ξ µε g( ξ ) = 0. Το ξ είναι ρίζα της δοσµένης εξίσωσης.
. Έστω συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιµη στο R, µε συνεχή δεύτερη παράγωγο και σύνολο τιµών το διάστηµα [, ] a β, όπου a< < β. Να αποδείξετε ότι: i) υπάρχουν δύο τουλάχιστον σηµεία,, µε, ώστε f ( ) =
Διαβάστε περισσότεραV. Διαφορικός Λογισμός. math-gr
V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο
Διαβάστε περισσότεραΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 6 Τι ονομάζουμε αρχική μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ ονομάζουμε κάθε
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..: Παραγωγίσιμες Συναρτήσεις Παράγωγος Συνάρτηση - Κεφ..: Κανόνες Παραγώγισης του
Διαβάστε περισσότεραΕλληνική Μαθηματική Εταιρεία Παράρτημα Νομού Εύβοιας ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2008 ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία Παράρτημα Νομού Εύβοιας ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 8 ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ: ΘΕΜΑ ο : Α. Θεωρία, σχολικό βιβλίο σελίδα 5 Α. Θεωρία, σχολικό βιβλίο σελίδα 9 Β. α) Σ, β) Σ,
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 262 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο.
ΙΟΥΝΙΟΥ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 6 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο.
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
Διαβάστε περισσότερα2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.
Διαβάστε περισσότεραΠες το με μία γραφική παράσταση
Πες το με μία γραφική παράσταση Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου www askisopolisgr ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Να γράψετε και να σχεδιάσετε γραφικές παραστάσεις (ορισμένες σε διάστημα ή σε ένωση διαστημάτων):
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016
Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, 9//6 ΘΕΜΑ ο Α. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται
Διαβάστε περισσότερα2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ 8 ΟΡΙΣΜΟΣ, 9 Πότε μια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της ; Απάντηση : Μια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 151 ο. x -f(t) 2f(x)+f (x)= 2 e dt και f(0) = 0.
ΘΕΜΑ 5 ο Έστω συνάρτηση f :[0, + ) παραγωγίσιμη στο διάστημα [0, + ) για την οποία ισχύει : 2 -f(t) 2f()+f ()= 2 e dt και f(0) = 0. i) Να δείξετε ότι + f() 0 για κάθε є [0, + ). ii) Να δείξετε ότι η f
Διαβάστε περισσότεραΟλοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α
Ολοκληρώματα Κώστας Γλυκός 9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7.. 8 8. 8 8 Kglykos.gr / / 6 εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 Επιλεγμένες ασκήσεις από βιβλία Σε
Διαβάστε περισσότεραΗ θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής. Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις
Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης (αποκλειστικά
Διαβάστε περισσότεραf(x) = και στην συνέχεια
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε
Διαβάστε περισσότεραlim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.
Διαβάστε περισσότεραΣυνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ).
Κεφάλαιο 4 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα 411 Ερώτηση θεωρίας 1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Πότε μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (, ) αβ; Απάντηση Μια συνάρτηση f θα λέμε
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων
Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Άσκηση i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε ότι
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω συνάρτηση : R, όπου Δ διάστημα
Διαβάστε περισσότεραΣυναρτήσεις Όρια Συνέχεια
Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. f (f )(x) x f (f )(x) x f (f )(x) (f ) (x)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 4 Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Βλέπε Σχολικό βιβλίο σελίδα 4 A α) Βλέπε Σχολικό βιβλίο
Διαβάστε περισσότερα