Universitatea,,Constantin Brâncuşi Tg-Jiu Facultatea de Inginerie

Transcript

1 Uiversie Cosi Brâcşi Tg-Ji Fcle de Igierie Prof iv dr MIODRAG IOVANOV Tg Ji - 6 -

2 C U P R I N S CAPITOLUL I ECUAŢII DIFERENŢIALE Ecţii difereţile Solţi geerlăsolţii riclre Ierrere geomerică Eemle Problem Cch 8 Ecţii difereţile de ordil îâi rezolve î ror c ' iegrbile ri meode elemere 9 Ecţii c vribile sere 9 Ecţii omogee 9 3 Ecţii redcibile l ecţii omogee 9 4 Ecţii difereţile liire de ordil îâi 5 Ecţi li Berolli 6 Ecţi li Ricci 7 Ecţi li Lgrge şi Clir 3 Ecţii difereţile de ordi serior 3 4 Ecţii difereţile de ordil liiredeedeţ liiră Wrosi Solţi geerlă ei ecţii difereţile liire 4 5 Ecţii difereţile de ordil liire şi eomogeesolţi geerlă Meod vriţiei coselor erdeermire ei solţii riclre ecţiei eomogee Eeml 6 6 Ecţii difereţile de ordil liirec coeficieţi cosţi 7 Ecţii eomogee Deermire solţiei riclre 8 Ecţi li Eler Eeml 3 9 Siseme de ecţii difereţile Eeml 5 Siseme simerice Defiiţie Iegrle rimecombiţii iegrbile Eemle 7 Ecţii c derive rţile de ordil îâi liire şi omogee Sisem crcerisicsolţie geerlă Eeml 9 Ecţii c derive rţile de ordil îâi cvsiliire Eeml 3 3 Probleme rose 3 CAPITOLUL II FUNCŢII COMPLEXE Corl merelor comleecosrcţi şi rerezere merelor comlee 34 Elemee de oologie î corl merelor comlee Proiecţi sereogrfică 37 3 Şirri şi serii de mere comlee 4

3 4 Fcţii comlee de vribilă relă Limi îr- ccoiie Deriv şi difereţiliegrl RiemPrimiivă 45 5 Fcţii moogeederiv ei fcţii comleecodiţiile de moogeeie Cch-RiemProrieăţi 47 6 Deermire ei fcţii olomorfe e domei câd se coşe re relă s re imgirăeeml 49 7 Ierrere geomerică deriveitrsformre coformă Eeml 5 8 Iegrl crbiliie î ll comledefiiţiepriciil de clcl Prorieăţi 55 9 Teorem li Cch 58 Forml iegrlă li Cch 6 Serii de eriteorem li AbelDezvolări î serie Tlor 6 Seri li LrePce siglre 65 3RezidTeorem rezidriloreeml 68 4Alicţii le eoremei rezidrilorteorem semirezidriloreemle 7 5Fcţii elemere 76 6Probleme rose 8 CAPITOLUL III FUNCŢII SPECIALE Siseme de fcţii orogolepoliomele li Lgerre Poliomele li Cebîşev 46 Fcţiile li Eler 48 3 Fcţiile li Bessel 5 4 Poliome HermieRelţi de recreţăecţi difereţilă Prorieăţi Fcţi geerore 54 5 Poliome LegedreRelţi de recreţăecţi difereţilă Prorieăţi Fcţi geerore 55 6 Probleme rose 57 CAPITOLUL IV SERII FOURIER Serii Forier er fcţii Fcţii eriodice Trsform eriodică Dezvolre î serie Forier ei fcţii eriodice c eriod Eeml 59 Seri Forier fcţiilor re s imre 6 3 Dezvolre î serie Forier fcţiilor defiie e -ll Eeml 6 4 Dezvolre î serie Forier dă cosisri s sisri ei fcţii defiie e iervll leeml 63 5 Form comleă seriilor Forier 66 6 Dezvolre ei fcţii î serie de fcţii orogolearoimre fcţiilor î medie ărică Relţi de îchidere li Prsevl 67

4 7 Probleme rose 7 CAPITOLUL V TRANSFORMĂRI INTEGRALE Iegrl ForierForm comleă şi form relă iegrlei Forier Czl fcţiilor re s imre 7 Trsform Forier 74 3 Trsform Llce Prorieăţi 77 4 Trsformre iversă Forml Melli-Forier 8 5 Teoreme de dezvolreeemle 83 6 Alicţii le rsformei LlceRezolvre oerţiolă ecţiilor difereţile şi sisemelor de ecţii difereţile s c coeficieţi cosţi Eemle 86 7 Probleme rose 88 CAPITOLUL VI ECUAŢIILE FIZICII MATEMATICE Observţii geerle sr ecţiilor c derive rţile 9 Defiiţii şi eemle 9 Clsificre ecşiilor liire de ordil l doile 9 3Form coică ecţiilor liire de ordil l doile 93 4Probleme de bză le eoriei ecţiilor c derive rţile Codiţii l limiă şi codiţii Cch 95 5Probleme de fizică ce codc l ecţii c derive rţile de ordil l doile 98 Ecţii c derive rţile de ordil doiclsificre Redcere l form coică 4 3 Ecţii liire şi omogee î ror c derivele de ordil l doile c coeficieţi cosţi 4 Cord ifiiămeod schimbării vribilelor meod li D Almber şi Eler Forml li D Almber 3 5 Cord fiiă Meod serării vribilelor DBerolli şi Forier 7 6 Ecţii de i eliicformlre roblemelor l limiăsolţii riclre le ecţiei li Llce 7 Problem li Dirichle er cerc Forml li Poisso 5 8 Problem li Nem er ieriorl cercliforml li Dii 3 9 Ecţi căldrii 3 Prorieăi le fcţiilor rmoiceprim formlă li Gree A do formlă li Gree 35 Probleme rose 4

5 CAPITOLUL VII ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL Probleme geomerice şi mecice de clcl vriţiol Fcţiolă Fcţii dmisibileclsificre eremrilor fcţiolelor ereme bsole ereme relive Lemele fdmele le clclli vriţiol 44 Codiţii ecesre de erem Ecţi li Eler Codiţi li Legedre 5 3 Fcţiole coţiâd derive de ordi seriorecţi Eler-Poisso Codiţi li Legedre Eeml 54 4 Fcţiole deizâd de mi mle fcţiisiseml Eler-Lgrge Codiţi Legedre Eeml 56 5 Fcţiole deermie ri iegrle mlileecţiile li Eler-Osrogrdsi Eeml 59 6 Probleme izoerimericeereme codiţioe le fcţiolelor Teorem li Eler Problem li Lgrge Eeml 6 7 Probleme rose 65 CAPITOLUL VIII DISTRIBUŢII Sţiile de fcţii L KSC 67 Sţil disribţiilor Oerţii c disribţii Eemle 69 3 Derivre disribţiilor Prodsl direc şi rodsl de covolţie Prorieăţi 7 4 Alicţii le eoriei disribţiilor 73 5 Rerezere i cl cocer 75 6 Clcll vriţiol î disribţiiprobleme discoie 77 7 Probleme rose 8 CAPITOLUL IX ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR Câm de eveimeecîm de robbiliăţidefiiţi iomică robbiliăţii ANKolmogorov 8 Probbiliăţi codiţioe 88 3 Probbilie eveimeelor rezle di oerţii c eveimee 89 3 Reie eveimeelor comibile 89 3 Iersecţi eveimeelor deedee şi ideedee Ieglie li Boole Eeml 9 34 Forml robbiliăţii ole Forml li Bes Eeml 9 4 Scheme robbilisice clsice 93 4 Schem rei c bile ereveie Eeml 93 4 Schem rei c bile reveie Eeml 94

6 43 Schem relor Poisso* Eeml 96 5 Vribile leore 96 5 Irodcere Vribile leore Disribţi ei vribile leore 96 5 Oerţii c vribile leore Fcţi de reriţie ei vribile leore 99 6 Crcerisici le vribilei leore 6 Tediţ cerlă de grre disribţiei 6 Îmrăşiere disribţiei vribilei leore 5 7 Fcţi crcerisică şă ei vribile leore 9 8 Ieglie Bieme Cebâşev 9 Disribţii clsice 9 Lege biomilă 9 Disribi ormlă Llce şi Gss 3 93 Disribi Gm 7 94 Disribi Be 8 95 Disribţi χ hi -ăr 8 96 Reriţi Poisso lege eveimeelor rre 97 Reriţi Sde Covergeţ î reriţie s î ses Berolli 3 Vribile leore bidimesiole discree şi coie Reriţii mrgile 5 Covriţ şi corelţi doă vribile leore 7 3 Alicţii le eoriei robbiliăţilor î eori fibiliăţii 8 4 Probleme rose 3 CAPITOLUL X PROBLEME DATE LA CONCURSUL DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU l II oliehică fzele ţiole seleciv 34 BIBLIOGRAFIE 39

7 CAPITOLUL I ECUAŢII DIFERENŢIALE Ecţii difereţile Solţi geerlă Solţii riclre Ierrere geomerică Eemle Problem Cch Defiiţie Fie F' o fcţie relă defiiă e [b] YY R vâd rgmee vribil relă [ b] şi fcţi relă îmreă c derivele ei ' '' F' Relţi: se meşe ecţie difereţilă de ordil dcă se cere să se deermie fcţiile f defiie e iervll [b] vâd derive âă l ordil iclsiv î orice c l iervlli [b] sfel îcâ să vem: Fff' f er orice [ b] Fcţiile rele f cre îdeliesc codiţiile de mi ss se mesc solţii le ecţiei difereţile Dcă oe fi scrisă: f' - ci se meşe form ormlă ecţiei Dcă di vem F' cre ese o ecţie difereţilă de ordil îâi s 'f form eliciă Solţiile ecţiei F' se o e sb form φc C cosă şi se mesc solţii geerle Dcă dăm li C o vlore riclră obţiem o solţie riclră Ecţi '' re solţi geerlă CC şi miă 4 solţiesiglră Di c de vedere geomeric ecţi d f D rereziă câm de direcţii grficl ei solţii d φ ese o crbă siă î D c roriee că î fiecre c l să ge l crbă rerezeă rir- vecor fce c O ghi α sfel că gαf 8

8 Ecţii difereţile de ordil îâi rezolve î ror c ' iegrbile ri meode elemere Ecţii c vribile sere Ecţi difereţilă PdQd se meşe ecţie c vribile sere Solţi geerlă se obţie sfel: P d Q d C Ecţii omogee Ecţiile difereţile omogee s de form: d f d Dcă se fce schimbre de fcţie: ecţi se rsformă îr-o ecţie c vribile sere Îr-devăr vem: d d d d d d d şi ecţi devie: f s d f cre ese o ecţie c vribile sere Eeml Să se rezolve ecţi: d d Efecâd sbsiţi d ecţi devie: d de de iegrâd şi reveid l obţiem iegrl geerlă: l rcg C 3 Ecţii redcibile l ecţii omogee Ecţi de form: 9

9 3 ' c b c b f de c b d d R ' ese redcibilă l o ecţie omogeă Dcă c c ecţi ese omogeă de il erior Dcă dreele şi b b c c şi c b c b s rlele şi se ierseceză î cl Î ces cz fcem sbsiţi: v şi ecţi 3 devie: v b b v f d dv C jorl sbsiţiei v se obţie o ecţie c vribile sere 3 Dcă dreele s rlele deorece b b c c b b Î ces cz ecţi 3 se oe scrie sb form: ' c b c b f şi dcă fcem sbsiţi z b ecţi devie: c z c z f d dz b cre se oe rsform îr-o ecţie c vribile sere Eeml Să se iegreze ecţi : 3 ' Dreele 3 - se ierseceză î cl ; c jorl schimbării v obţiem ecţi: v v d dv omogeă Efecâd sbsiţi v obţiem o ecţie c vribile sere: d d cre dă iegrre dă solţi: C rcg l l s c jorl vribilelor şi găsim: l C rcg

10 4 Ecţii difereţile liire de ordil îâi O ecţie de form: 4 'PQ de P şi Q s fcţii coie e [b] se meşe ecţie difereţilă liiră de ordil îâi Per rezolvre ecţiei 4 vom rezolv mi îâi ecţi P miă ecţi liiră omogeă d Aces ese c vribile sere: P d c solţi geerlă Ce P d Căăm er ecţi eomogeă 4 o solţie de form: P d C e Îlocid cesă solţie î 4 rezlă: C' e P d C e P d P P C e s ' P d C Q e P d Iegrâd obţiem fcţi C: P d 5 C Q e d C C cosă Q Rezlă solţi geerlă ecţiei 4 sb form: 6 P d P d e C Q e d Meod folosiă er deermire solţiei geerle 6 se meşe meod vriţiei cosei 5 Ecţi li Berolli Ecţi li Berolli ese de form: α 7 P Q de P Q s coie e [b] α ese o cosă α şi α lfel vem o ecţie liiră Dcă se efeceză schimbre de vribilă z -α ecţi 7 li Berolli se redce l o ecţie liiră Îr-devăr dcă se îmre c α î 7 obţiem

11 8 ' Q P α α Observăm că de de ' ' z α α ' ' α α z şi ecţi 8 devie: 9 ' Q z P z α α cre ese o ecţie difereţilă liiră de ordil I î z Aoi se obţie di relţi z -α 6 Ecţi Ricci O ecţie difereţilă de form ' R Q P c P Q R fcţii coie e iervl [b] se meşe ecţi Ricci Dcă se coşe o solţie riclră ecţiei ri schimbre de vribilă z ecţi se rsformă îr-o ecţie liiră Avem: ' ' ' z z şi ecţi devie: ' ' R z Q z P z z s [ ] ' ' P z Q P z z R Q P şi er că ese solţie ecţiei obţiem ecţi: z'- PQz-P cre ese o ecţie liiră î z 7 Ecţi li Lgrge şi Clir Ecţi li Lgrge ese de form: ' ' ψ ϕ Iegrre ecţiei li Lgrge se redce l iegrre ei ecţii liire î modl rmăor Î îlocim şi obţiem: ψ ϕ Derivăm î ror c şi obţiem: ' ' ' ' ψ ϕ ϕ

12 s: ' ϕ' ψ ' ϕ d Dcă ϕ ' obţiem ecţi liiră: d d ϕ ' ψ ' d ϕ ϕ Rezolvâd ecţi liiră obţiem solţi ecţiei sb formă rmerică: f C 3 ϕ f C ψ rmerl fiid ir C o cosă rbirră Dcă î cosiderăm ϕ ' ' obţiem ecţi 4 ' ψ ' miă ecţi li Clir Noăm c ' şi vem ψ Derivăm î ror c şi obţiem: ' ψ ' ' s ' ψ ' S doă osibiliăţi: ' deci C şi îlocid î 4 obţiem: 5 C ψ C cre ese o fmilie de dree şi ese solţie geerlă ecţiei Clir ψ ' e cre dcă o îlocim î 4 obţiem solţi: ψ ' 6 [ b] ψ ' ψ miă iegrl siglră Observţie Se oe ră că iegrl siglră ese îfăşrăore fmiliei de crbe e cre o rereziă solţi geerlă 3 Ecţii difereţile de ordi serior O ecţie difereţilă de form: F ' '' ese de ordi serior dc N Fcţi ϕ C C C ese solţie geerlă ecţiei Problem Cch ese roblem deermiării solţiei ϕ [ b] cre îdelieşe codiţiile iiţile 3

13 ' ' vlorile ' fiid de Ecţii difereţile iegrbile ri cdrri Ecţi re c solţie geerlă oliom rbirr de grdl - Ecţi F se rsformă ri sbsiţi îr-o ecţie difereţilă de ordil : F ' '' Ecţi F ' omogeă î i se redce ordil c o ie ri schimbre de fcţie ' '' ' ' ' ' Îr-devăr ec C Eeml Să se iegreze ecţi difereţilă '' ' şi '' clclţi mi ss ecţi devie: ' ' 4 4 s ' cre ese o ecţie liiră î ' c solţi: 4 4 C 5 ' ' 4 4 Îlocid rezlă ecţi: C cre ese o ecţie c 5 4 C 5 5 vribile sere şi cre re solţi geerlă: C e 5 4 Ecţii difereţile de ordil liire Deedeţ liiră Wrosi Solţi geerlă ei ecţii difereţile liire O ecţie difereţilă de form: ' f se meşe ecţie difereţilă de ordil liiră şi eomogeă; o ecţie difereţilă de form: 4

14 ' se meşe ecţie difereţilă de ordil liiră şi omogeă Dcă s solţii le ecţiei ci şi 3 C C C de C C C s cose rbirre ese de semee solţie ecţiei Defiiţie Fie fcţii e iervl [b] Se se că cese fcţii s liir ideedee e [b] dcă eisă mere λ λ λ oe le sfel îcâ să vem λ λ er orice [ b] λ Eeml Fcţiile e s liir ideedee e R deorece codiţi λ λ λ e er orice R imlică λ λ λ 3 3 Fie fcţii derivbile coie âă l ordil - iclsiv e iervll [b]; deermil rmăor 4 W ' ' ' se meşe wrosil fcţiilor Dcă fcţiile derivbile coie âă l ordil - iclsiv e [b] s liir deedee e [b] ci wrosil lor ese l î orice c di [b] Are loc: Teorem Dcă s liir ideedee e [b] şi dcă wrosil: W er orice [ b] ci ese o combiţie liiră de fcţiile dică: 5 C C C de C C C s cose Să cosiderăm ecţi difereţilă de ordil omogeă 6 c fcţii coie e [b] 5

15 Fie solţii le ecţiei de defiie e [b] ci orice solţie ecţiei 6 e [b] ese de form 7 C C C [ b] de C C C s cose Fcţi di 7 se meşe solţie geerlă ecţiei 6 e [b] U sisem de solţii le ecţiei 6 defii e [b] c W e [b] se meşe sisem fdmel de solţii l ecţiei 6 Asfel dcă formeză sisem fdmel de solţii e [b] ci C C C [ b] se meşe solţie geerlă ecţiei 6 e [b] Dcă formeză sisem fdmel e [b] ci ele s liir ideedee e [b] şi reciroc Fie ecţi difereţilă liiră de ordil omogeă: 8 ' Dcă coşem o solţie riclră ecţiei de ri schimbre de vribilă z îi em micşor ordil c o ie Obţiem sccesiv: z ' ' z z' '' '' z ' z' z'' z C z' C Îlocid î 8 vem: z[ ] z'[ C ' ] z Coeficiel li z ese l er că ese solţie ecţiei de C o oă schimbre de vribilă z' obţiem o ecţie difereţilă liiră şi omogeă de ordil -: A A A 5 Ecţii difereţile de ordil liire şi eomogee Solţi geerlă Meod vriţiei coselor er deermire ei solţii riclre ecţiei eomogee Eeml Fie ecţi difereţilă de ordil liiră şi eomogeă: z 6

16 ' f L c coeficieţii coiie ir [b] Solţi geerlă ecţiei se obţie dăgâd l solţi geerlă ecţiei omogee: şi f ' L o solţie riclră orecre ecţiei eomogee Îr-devăr fie o solţie riclră ecţiei eomogee e [b] Fcem schimbre z Avem L ese liir ; f z L L z L cm rezlă L f L z; ri rmre dcă ese sisem fdmel de solţii le ecţiei omogee e [b] rezlă că solţi geerlă ecţiei eomogee ese: 3 ] [ b C C C Are loc rmăore eoremă: Teoremă Fie ecţi şi sisem fdmel de solţii e [b] l ecţiei O solţie riclră ecţiei eomogee e [b] ese dă de: 4 d C d C d C ' ' ' de C' C' C' ese solţi sisemli : 5 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' f C C C C C C C C C C C C Dcă efecăm cdrrile : { } A d C ' ϕ şi le îlocim î 4 obţiem solţi geerlă ecţiei eomogee: 6 A A A ϕ ϕ ϕ 7

17 Demosrţie Fie sisem fdmel de solţii le ecţiei omogee Solţi geerlă ecţiei omogee v fi şdr: 7 H C C C de C C C s cose rbirre Dcă reşim să răăm că fcţi ϕ ϕ ϕ c ϕ ϕ ϕ deermie e [b] dă cm ese reciz î eţl eoremei ese o solţie riclră ecţiei eomogee ci coform celor sse l liel recede fcţi: 8 H ese solţi geerlă ecţiei eomogee e [b] Ne rămâe şdr să verificăm că ese o solţie ecţiei eomogee Î ces sco să cosiderăm fcţi: 9 C C C [ b] cre se obţie di solţi geerlă ecţiei omogee îlocid cosele C C C c fcţiile ecosce C C C şi să răăm că fcţi dă de 9 c C' C' C' verificâd siseml 5 Dcă derivăm e di 9 obţiem: ' C ' C ' C ' C' C' C ' C ' C ' C ' îsă coform rimei ecţii di 5 me e mi rămâe ' C ' C ' C ' Î coire dcă derivăm e obţiem: '' C ' ' C ' ' C ' ' C' ' C' ' C' ' îsă coform ecţiei do di 5 me ' C ' ' C ' ' C ' e mi rămâe: '' C ' ' C ' ' C ' ' Î mod semăăor obţiem: 3 C 3 C 3 C C C C Î cee ce riveşe deriv de ordil obţiă ri derivre di lim relţie vem: C C C C' C' C' s ţiâd sem de lim relţie di 5: f C C C 3 8

18 Dcă îmlţim cm e d de 9 c e ' d de c - şmd e d de c obţiem ri îsmre: ; ] [ ] [ ] [ ] [ f L C L C L C L îsă L [ ] sfel îcâ e mi rămâe L []f; ri rmre de de 9 c C C C verificâd siseml 5 ese solţie ecţiei Să observăm că deermil sisemli 5 ese W e [b] Fie C' C' C' solţi sisemli 5 c ' ' ' ' ' ' f W C Pri cdrri obţiem: } { ' A d C C ϕ de A A A s cose rbirre Îlocid e C î 9 obţiem: 3 A A A ϕ ϕ ϕ cre ese solţi geerlă ecţiei eomogee Fcţi ϕ ϕ ϕ ese o solţie ecţiei liire eomogee şi ese ri rmre solţi riclră căă Teorem ese demosră Meod folosiă er deermi o solţie riclră ecţiei eomogee se meşe meod vriţiei coselor şi se doreză li Lgrge Eeml Să se găsescă solţi geerlă ecţiei: Doă solţii le ecţiei omogee s 8 ' 5 '' 4 c W 5 e R\{}; solţi geerlă ecţiei ese C C 4 Deermiăm o solţie riclră ecţiei eomogee ri meod vriţiei coselor Avem: C C C C 4 ' ' ' ' 3 4 c solţiile: ' C 4 ' C şi oi * C C 6 3 * C C Solţi geerlă ecţiei ese şdr: 9

19 4 C C R\{} 3 * * m reo C C C C 6 Ecţii difereţile de ordil liire c coeficieţi cosţi O ecţie difereţilă liiră ' de R ese o ecţie de ordil c coeficieţi cosţi omogeă Per cesă clsă em deermi ode sisem fdmel de solţii Vr r r dcă r i r j i j îrcâ ese deermil li Vdermode Solţi geerlă ecţiei ese: r r r 3 C e C e C e R Eeml Să se găsescă solţi ecţiei: Ecţi crcerisică r 3 3r -r-3 re rădăciile r -r r-3 deci solţi geerlă ese: C e - C e C 3 e -3 Dcă căăm solţii de form Ae r obţiem sccesiv 'Are r ''Ar e r Ar e r ; dcă le îlocim î vem: r Ae r r r ; deorece A e r se leză er R v rebi să vem r r - - r Pri rmre mărl rel s comle r rebie să fie rădăciă ecţiei cre se meşe ecţi crcerisică ecţiei difereţile Să observăm de l îce că dcă ecţi crcerisică re oe rădăciile simle r r r ci solţiile riclre r r r e e e formeză sisem fdmel de solţii le ecţiei Îr-devăr clclâd wrosil li obţiem:

20 r r r r r r r r r r r r r r r V e e r e r e r e r e r r e e e e W şi se observă că ese diferi de zero er orice R deorece eoeţil se leză e R ir V r r r dcă j i r r j i ese deermil li Vdermode r r r V Solţi geerlă ecţiei ese: 3 r r r e C e C C e Dcă ecţi crcerisică re rădăciile comlee simle m i r i r i r i r i r i r m m m m m m β α β α β α β α β α β α ci fcţiile } { si cos * m e e β β α α formeză sisem fdmel de solţii le ecţiei Î ces cz solţi geerlă ecţiei ese: 4 m C C e * si cos β β α Observţie Dcă ecţi crcerisică re rădăcii rele şi comlee ci solţi geerlă ecţiei ese formă dir-o combiţie de il 3 şi 4 Să cosiderăm czl câd ecţi re rădăcii mlile Dcă r ese o rădăciă relă mlil de ordil ci 5 e C C C - ese o solţie ecţiei Dcă rαiβ C ese mlilă de ordil ci: 6 [ ] C C C C C C e β β α si cos * * * ese o solţie ecţiei 7 Ecţii eomogee Deermire solţiei riclre Să cosiderăm ecţi eomogeă - - f Solţi geerlă ecţiei ese: h

21 de h ese solţiei omogee şe ecţiei ir ese o solţie riclră ecţiei eomogee Per deermire li em folosi meod vriţiei coselor cre e ermie coscâd solţi geerlă ecţiei omogee să găsim o solţie riclră ecţiei eomogee ri cdrri Î licţii s czri frecvee câd î fcţie de form li f em găsi ri ideificre e Emerăm mi jos cese czri: Fcţi f ese oliom P m Solţi v fi o oliom de celşi grd Q m dc r ese rădăciă ecţiei crcerisice r Vom îloci Q m î şi ri ideificre vom găsi solţi riclră Dcă r ese rădăciă ecţiei crcerisice mlilă de ordil N * ci vom lege Q m şi ri îlocire î şi ideificre vom găsi b Fcţi f ese oliom de form de form e α P m P m oliom de grd m Dcă rα ese rădăciă ecţiei crcerisice ci legem e α Q m şi ri ideificre vom fl e Dcă rα ese rădăciă mlilă de ordil N * ecţiei crcerisice ci o solţie riclră ecţiei o vom că sb form e e Q m şi vom roced oi c îie c Dcă f ese de form Pm cosα Qm siα ci dcă ± iα ese rădăciă ecţiei crcerisice ci vom lege * * Pm cosα Qm siα de mmmm ir * * P m şi Q m s oliome rbirre cre se deermiă oi ri ideificre Dcă ± iα ese rădăciă mlilă de ordil ci vom lege * * [ P cosα Q si α] m m α d Fcţi f re form e [ Pm cos β Q si ] Solţi m β riclră v ve eresi: α * * e [ P cos β Q si β] m mmm m dcă α ± iβ s rădăcii le ecţiei crcerisice s v ve eresi: α * * e [ P cos β Q si β] dcă m α ± iβ s rădăcii mlile de ordil le ecţiei crcerisice Poliomele * * P m şi Q m vor fi deermie ri ideificre Eeml Să se găsescă solţi geerlă ecţiei: 4 3 5'' 8' 4 cos 4e m m

22 Ecţi crcerisică r 4 r 3 5r 8r4 se scrie r r 4 c rădăci dblă r - şi rădăciile simle r i r 3 -i Solţi geerlă ecţiei omogee ese: h C C e C3 si C4 cos R O solţie riclră ecţiei eomogee o căăm de form A e B cos C si Îlocid-o î ecţie şi ideificâd obţiem A 4 B C deci solţi geerlă ecţiei de ese: 6 C C e C3 si C4 cos si 4 e R 6 8 Ecţi li Eler Eeml O ecţie difereţilă liiră de ordil de form: ' f c cose rele ir f coiă e iervl [b] se meşe ecţi li Eler Teoremă O ecţie difereţilă Eler se rsformă ri sbsiţi e î ecţie difereţilă liiră c coeficieţi cosţi Demosrţie Per > em e şi vem: d d d d e d d s d d d d d d d d d d d d d d d d e e e deci d d d d d d d d d d d d d d d d 3 d d d d e e 3 s d d d d d d d d d d d Se observă că oe rodsele se erimă liir c jorl d d derivelor { } { } îmlţie c fcori merici d deci dcă îi îlocim î ecţi e se v rsform îr-o ecţie c coeficieţi cosţi : d d d b b b b f e d d d de b b b s cose rele Ecţi omogeă 3

23 d d d 3 b b b b d d d r dmie solţii de form e de r ese o rădăciă ecţiei crcerisice r r Reveid l ecţi şi observâd că e e dedcem că ecţi Eler omogeă dmie solţii de form r Aces rezl simlifică ml deermire solţiei geerle ei ecţii Eler Fie ecţi Eler omogeă 4 ' r Vom că solţii de form A A ese cosă; vem r r r sccesiv ' Ar '' Ar r Ar r r derive e cre dcă le îlocim î şi observăm că se dă fcor com r A r obţiem A K r de K r ese ecţi crcerisică ecţieler: 5 K r r r r r r r r Fie r r r rădăciile ecţiei crcerisice Dă r lor şi ordil lor de mlilicie deermiăm l fel c şi l ecţii difereţile liire c coeficieţi cosţi siseml fdmel de solţii l ecţiei Eler cosidere Eeml Ecţi crcerisică rr-3rr 3 r re rădăciile comlee r ± i Ecţi difereţilă v ve solţiile riclre 3 cos l 3 si l şi deci solţi geerlă: 3 3 C cos l si l C Observţie Per deermire ei solţii riclre ei ecţii Eler eomogee se foloseşe meod vriţiei coselor s deermire li dă form membrli dre l ecţiei r 4

24 9 Siseme de ecţii difereţile Eeml Defiiţi Relţiile m F ; ' ; ' ; z z' z m F ; ' ; ' ; z z' z m F3 ; ' ; ' ; z z' z de fcţiile F F F 3 s defiie e [b] X Y Z c X R m Y R Z R formeză sisem de rei ecţii difereţile c rei fcţii ecosce z dcă se cere să se deermie fcţiile z derivbile reseciv âă l ordil m er [ b] fcţii cre îmreă c derivele lor verifică er orice [ b] Defiiţi U sisem de rei fcţii rele z cre verifică codiţiile de mi ss se meşe o solţie sisemli Observţii Dcă m siseml se meşe sisem de ordil îâi; dcă cel ţi l dire merele m ese mi mre decâ siseml se meşe sisem de ordi serior U sisem rezolv î ror c derivele de ordil cel mi îl se meşe sisem coic s elici Dcă siseml oe fi rezolv î ror c derivele m z dică: m m f ; ' ; ' ; z z' z m g ; ' ; ' ; z z' z m z h ; ' ; ' ; z z' z se obţie siseml coic reseciv Defiiţi 3 U sisem de ecţii difereţile de ordil îâi c ecosce ese de form: d f d d f 3 d d f d 5

25 şi se meşe sisem sb form ormlă li Cch U sisem de ecţii difereţile de ordi serior ese echivle c sisem de ordil îâi Aces se observă şor di dcă irodcem fcţiile ecosce: d d d dm 3 m d d d d şi l fel î şi z obţiem: d f ; ; z z z m d şi l fel î şi z U sisem de ecţii difereţile de ordil îâi ese î geerl echivle c o sigră ecţie difereţilă de ordil Observţie U sisem de ordi serior ese echivle c sisem de ordil îâi ir rezolvre cesi se redce î geerl l rezolvre ei ecţii difereţile de ordil Eemll Să se rezolve siseml: d d R d 4 d d d d d Di rim ecţie vem ; derivâd se obţie d d d d şi îlocid î ce de- do ecţie sisemli rezlă d d d d d 4 s 6 d d d d d Aces ese o ecţie de ordil doi c coeficieţi cosţi Ecţi crcerisică coreszăore r -r-6 re rădăciile r 3; r - Solţi geerlă ecţiei ese 3 Ce Ce şi 3 4C e C e Solţi geerlă sisemli d ese: 3 Ce Ce R 3 4Ce Ce 6

26 şi rereziă o fmilie de crbe ce deide de doă cose rbirre rele Per rezolvre sisemelor de ecţii difereţile di c de vedere rcic ese mi idică meod elimiării cre codce l o ecţie difereţilă de ordil c coeficieţi cosţi Dcă siseml de ecţii ese eomoge ceeşi meodă ese referbilă Eemll Să se rezolve siseml: ' R ' 4 si Di rim ecţie '- şi ' - Îlocid î do ecţie obţiem: 4-4si Solţi ecţiei ese h de h ese solţi ecţiei -4 Ecţi crcerisică ese r -4 c r r -; deci H Ce Ce ; îl legem de form ABsiCcos Pri îlocire li î 4 şi ideificâd obţiem: si Deci : 4 5 Ce Ce 4 5 si şi di eglie '- obţiem: C e Ce cos 5 Solţi geerlă sisemli d ese deci: Ce Ce cos 5 C e C e si 4 5 Siseme simerice Defiiţie Iegrle rime Combiţii iegrbile Eemle Defiiţi U sisem de ecţii difereţile de ordil îâi se meşe sisem simeric dcă re form 7

27 d d d P P P de fcţiile P se leză siml er D R Solţi geerlă sisemli ese de form: F C F C F C de F F F - s coie c derivele rţile de ordil îâi coie î D R Orice relţie F C se meşe iegrlă rimă Di cele de mi ss rezlă că dcă se cosc - iegrle rime le sisemli se coşe solţi geerlă sisemli Di vem eglie: d d d λd λd λd 3 P P P λp λp λp de λ s fcţii rbirre coie î D Defiiţi U sisem de fcţii λ λ coie e î D cre îdeliesc codiţiile λ d λ d λ d dφ λ P λ P λ P er orice D se meşe o combiţie iegrbilă sisemli î D Fcţi Φ C cărei difereţilă olă î D ese λ d λ d λ d ese o iegrlă rimă sisemli Dcă se deermiă - combiţii iegrbile disice se obţi - iegrle rime cre d solţi geerlă sisemli sb form Eeml Folosid meod combiţiile iegrbile să se deermie solţi sisemli d 3 d 3 d3 deermie solţi sisemli Siseml d oe fi scris sb form: d d d3 d d d3 d d 3d

28 De ici rezlă că d 3 şi d d 3 d 3 Solţi geerlă v fi formă di doă iegrle rime: 3 C şi 3 C Ecţii c derive rţile de ordil îâi liire şi omogee Sisem crcerisic Solţie geerlă Eeml Defiiţi O relţie de form P P P c P coie şi elâd-se siml îr- domei D R se meşe ecţie c derive rţile de ordil îâi liiră şi omogeă dcă se cere să se deermie fcţi f vâd derivele rţile de ordil îâi coie cre verifică Defiiţi Siseml simeric d d d P P P defii î D se meşe sisem crcerisic l ecţiei c derive rţile Problem iegrării ecţiei difereţile se redce l roblem iegrării sisemli crcerisic ş dă cm reiese di rmăore: Teoremă Fie ϕ C o iegrlă rimă sisemli crcerisic ; fcţi ϕ ese o solţie ecţiei c derive rţile Demosrţie Iegrl rimă ϕ C re difereţil lă de- lgl ei crbe iegrle sisemli : ϕ ϕ ϕ 3 d d d Îsă de- lgl ei crbe iegrle difereţilele d d d s roorţiole c P P P coform relţiilor deci eglie 3 mi oe fi scrisă şi sb form: ϕ ϕ ϕ 4 P P P 9

29 vlbilă er orice si e o crbă iegrlă sisemli Eglie 4 fiid devără er orice cosă C ese devără er orice crbă iegrlă sisemli siă î D; ri rmre ϕ ese o solţie ecţiei î D Teorem ese demosră Are loc rmore: Teoremă Fie ecţi c derive rţile Fie - iegrle rime ideedee le sisemli crcerisic ϕ C Fcţi dă de: Φ[ ϕ ϕ ϕ ] ese o solţie ecţiei c derive rţile d Eeml Să se deermie solţi geerlă ecţiei z Siseml crcerisic coreszăor ese Di dz d d dz d d rezlă iegrl rimă C ir di eglie obţiem ţiâd sem de rim iegrlă 3 3zC Asfel siseml crcerisic re iegrlele rime C 3 3z C Solţi geerlă ecţiei ese 3 ϕ 3z de ϕ ese o fcţie rbirră derivbilă Ecţii c derive rţile de ordil îâi cvsiliire Eeml O ecţie difereţilă c derive rţile de ordil îâi cvsiliire ese de form: P P P P 3

30 Per deermire solţiilor ei ecţii c derive rţile cvsiliire se rocedeză sfel: Se scrie siseml crcerisic coreszăor ecţiei dică: d d d d P P P P b Folosid meod combiţiilor iegrle se deermiă iegrle rime: 3 F C c Solţi geerlă ecţiei cvsiliire ese dă sb form imliciă de relţi: 4 Φ F F F Eeml Să se deermie solţi geerlă ecţiei c derive rţile Aşăm siseml crcerisic: s de de d d Avem: d d d d d d d d d d d d d Avem sfel o iegrlă rimă: C Di eglie rimelor doă rore le sisemli crcerisic vem şi do iegrlă rimă: C Solţi geerlă ese: Φ s f 3 Probleme rose 3

31 Să de iegreze ecţi difereţilă de ordil îâi liiră: ' g cos Să se iegreze ecţi difereţilă omogeă geerliză: ' Să se iegreze ecţi difereţilă li Berolli: '- - 4 Să se iegreze ecţi difereţilă li Ricci: 4 > si b si cos cos 5 Să s e iegreze ecţi difereţilă li Clir şi Lgrge: ; b 6 Să se iegreze ecţiile difereţile liire de ordi serior c coeficieţi cosţi omogee: '' b c d e f '' 4 ; -6'' ' 6 ; 3'' 3' ; ; 4 3 ' ; 7 Să se iegreze ecţiile difereţile liire de ordi serior c coeficieţi cosţi eomogee: 3

32 '' 5' 6 6 b c 4 3 ' ; e 4 3e 5cos 8 Să se iegreze ecţi de i Eler: '' ' 9Folosid meod vriţiei coselorsă se iegreze ecţi: cos Să se rezolve sisemele de ecţii difereţile: z b z z z z z z Folosid meod combiţiilor iegrbile să se deermie solţi sisemelor simerice: d d d3 ; b d d d 3 ; 3 3 c d 3 d d3 3 Să se iegreze siseml de ecţii difereţile c derive rţile cvsiliire: 33

33 CAPITOLUL II FUNCŢII COMPLEXE Corl merelor comlee Cosrcţi şi rerezere merelor comlee Imosibilie rezolvării or ecţii lgebrice î corl merelor rele R cods e lgebrişii iliei î secoll XVI să irodcă oi eresii de form b b R mie mere imgire Nmerele "imgire" r er rim oră î lcrările li Crd sec XVI Demire de mere imgire fos ribiă doriă fli că î eoc resecivă s- d o rerezere iiivă cesor mere Î 763 Eler îreride er rim oră sdi sisemic l cesor mere irodcâd şi simboll " i " Î 797 Gss dă ierrere geomerică merelor comlee c ce le i l Fie R rodsl crezi l erechilor ordoe de mere rele Defiim e R oerţiile de dre şi îmlţire ri : '' ' ' ; '' '- ' '' Pri defiiţie mlţime merelor comlee C ese mlţime R doă c oerţiile de dre şi îmlţire R; mlţime C îzesră c cele doă oerţii re o srcră de cor comiv Elemeele corli C se mesc mere comlee Fie A mlţime merelor comlee de form deci A{ R} A C şi A ese sbcor l li C deorece: A şi A Să defiim licţi f : R A ri f R Acesă licţie ese o bijecţie şi coservă oerţiile de dre şi îmlţire : f f f şi fff Rezlă că f ese izomorfism de corri de l R e A Aces lcr ermie ideificre mlţimii A c R Asfel vom o mărl comle c deci Î riclr zerol şi ie di corl merelor comlee se ideifică c mărl rel şi ie relă Î coseciţă em scrie şi 34

34 Fie B { R} C Observăm că B se oe ideific c cele di R sie e O Observăm că : ' ' B şi ' -' B Aces ră că B ese sbcor l corli merelor comlee C Î riclr - - Vom o i şi sfel i - i R Nmărl comle i se mi meşe şi ie imgiră ir merele comlee de form i R mere r imgire Dcă z ese măr comle orecre ci : z i cre rereziă eresi lgebrică merelor comlee Î cesă scriere Re z şi Im z rereziă reseciv re relă şi re imgiră mărli comle z Pri modll mărli comle z i se îţelege mărl eegiv defii ri relţi : z Pri cojgl i măr comle z i se îţelege mărl z - i Î fră de cesă rerezere geomerică clă mi ese coscă şi rerezere vecorilă merelor comlee Asfel mărli comle z i i se şeză vecorl liber le cări comoee e ele de coordoe s şi Î ces fel se relizeză o bijecţie îre corl C şi mlţime vecorilor liberi Scriere merelor comlee sb formă rigoomerică Oerţii c mere comlee Î clcll c mere comlee ese fore ilă scriere cesor sb formă rigoomerică Nmărl comle z i se oe scrie sb formă rigoomerică : z cos i si de z g cos si Ughil făc de vecorl coreszăor li z c sesl oziiv l ei O se meşe rgme şi se oeză : rg z 35

35 M z Acelişi măr comle z z îi coresd o ifiie de deermiări le rgmeli cre diferă îre ele rir- mlil de Vom mi deermire ricilă rgmeli li z z oă rg z ce deermire cre verifică iegliăţile : - < rg z Adre reseciv scădere merelor comlee z i şi z ise defiesc ri : z ± z ± i ± Acese oerţii c semificţie geomerică dre reseciv scădere vecorilor coreszăori : z z z z z z z z z Se observă că z z rereziă disţ dire cele zşi z Fie z cos isi şi z cos i si Îmlţire merelor comlee şi z se defieşe sfel : z 36

36 3 z z [cos si ] i Observăm că z z z z şi rg z z rg z rg z Dcă z C z cos i si { ci : 4 z z z [cos i si ] Dcă z z z z cos i si ci : 5 z cos i si Dcă lăm e se obţie forml li Moivre : 6 cos i si cos isi Îmărţire merelor comlee z z se efeceză dă regl : z 7 [cos isi ] z Observăm că : z z z z şi rg z z rg rg z z Rădăci de ordil se defieşe sfel : 8 z cos i si { } Di c de vedere geomeric cele rădăcii le li z s vârfrile i oligo regl c lri îscris î cercl c cerl î origie şi de rză O formă imoră de rerezere merelor comlee se i doreză li Eler Noâd cos i si e forml li Eler mărl i comle z se oe scrie sb form: z e z rg z miă form eoeţilă merelor comlee Elemee de oologie î corl merelor comleeproiecţi sereogrfică Fie C mlţime merelor comlee Alicţi d : CXC R defiiă ri : d z z z z z z C se meşe merică s disţă e mlţime C Î coire vom fce deosebire îre mărl comle z şi cl Mz imgie li geomerică di ll Gss Defiiţi Vom mi disc deschis c cerl î cl C şi de rză r > mlţime : r { z C z <r} 37

37 Pri disc îchis c cerl î C şi de rză r > vom îţelege mlţime : 3 r { z C z r} Defiiţi Nmim cerc c cerl î şi de rză r > mlţime : 4 Sr { z C z r} Mi jos s rerezee cele rei mlţimi: * * * * * *z * z * * * * * * * * * * * r * * r * * * r r * *z * * r * * S r 38

38 Mlţime C e cre s- defii meric d ese sţi meric Pe mlţime C reliv l disţ d vom irodce oologi τ d miă oologi sociă disţei d Mlţime de ărţi τ d sţili meric C d defiiă ri : 5 τ d { U Ρ C; z U r > z r U} de ΡC rereziă mlţime ror ărţilor mlţimii C ese o oologie e Cd miă oologi sociă disţei d z r z r V Defiiţi 3 Sbmlţime V se meşe veciăe i c z C dcă eisă discl z r V figr de mi ss` Dcă V C ese o veciăe li z C ci cl z se meşe c ierior li V Mlţime celor ieriore le ei mlţimi V se meşe ieriorl li V şi se oeză c V s IV Pcl z ese c de cmlre er mlţime V dcă orice disc z r coţie c z z sfel îcâ : V z r \{ z} Mlţime celor de cmlre o vom o c V' şi o vom mi mlţime derivă li V Dcă z V şi eisă z r sfel îcâ z r V { z} ci cl z ese c izol l mlţimi V Îchidere mlţimi V rereziă mlţime ese deschisă dcă V V Mlţime V ese îchisă dcă V V V V / V V V / O mlţime V Se oe ră că V ese îchisă 39

39 Mlţime V C ese o mlţime mărgiiă dcă eisă discl r sfel îcâ V r O mlţime mărgiiă şi îchisă se meşe comcă U c z C se meşe c froieră er mlţime A C dcă orice veciăe V cli z coţie ce â di mlţime A câ şi di comlemer s CA Mlţime celor froieră mlţimii A se oeză Fr A şi se meşe froier li A Dcă cel ţi l di merele Re z Im z ese ifii vom scrie z şi vom se că rereziă cl de l ifii l lli comle Defiiţi 4 Nmim veciăe cli z eeriorl i cerc c cerl î origie dică mlţime : 6 V { z C z > r} Per obţie imgie geomerică cli z l lli comle vom defii roiecţi sereogrfică cre sbileşe o coresodeţă biivocă îre cele ei sfere şi cele lli comle l li Gss Acesă coresodeţă fos idică de B Riem Să cosiderăm o sferă S de dimer geă î cl O l ll eclidi ror l siseml de e recglre O î cre m rereze merele comlee Fie N cl de e sfer S dimerl os li O Vom cosider sţil eclidi ridimesiol ror l siseml de e recglre Oξης de Oξ şi Oη coicid c O reseciv c O ir O ς se sre ese dimerl ON N Fie M c orecre di ll O de fi z i şi să oăm c P P ξ η ς cl diferi de N de dre MN ie sfer S : z N P* O M 4

40 Î ces fel fiecări c M di l s fiecări măr comle z C îi v coresde c ic P l sferei S P N Ivers dâd-se c P P S P N dre cre rece ri N şi P v iersec ll O îr- c ic M Vom se că cl M ese roiecţi sereogrfică di N l cli P Relţiile dire coordoele cli P ξ η ς şi coordoele cli M s : 7 ξ ; η ; ς Câd z ci P N deci roiecţi sereogrfică olli ord N ese cl de l ifii z l lli comle ξ Mlţime merelor comlee C îmreă c cl z rereziă îchidere li C deci C C { } Defiiţi 5 Mlţime E C ese coveă dcă er orice descomere î doă mlţimi disjce şi evide A şi B cel ţi di cese mlţimi re c de cmlre î cellă mlţime deci : / A B E A B A B s A / B Dcă o mlţime ese deschisă şi coveă vom se că ce mlţime ese domei O mlţime deschisă ese coveă dcă şi mi dcă oricre doă ce le sle o fi ie rir-o liie oligolă coţiă î ce mlţime Defiiţi 6 U domei D C ese siml coedcă orice crbă simlă îchisă Γ coţiă î D delimieză domei mărgii vâd froier Γ ese icls î Ddică D : D Γ 4

41 U domei cre ese siml coe vom se că ese mlil coe Pri irodcere or ăieri dică oi froiere domeil oe devei siml coe Ordil de coeie se obţie dăgâd o ie l mărl miim de ăieri er c domeil reseciv să deviă siml coe Eeml Domeil D di figr de mi jos ese ril coe : D C 3 A B T T C * C B A Pri ăierile T şi T el devie domei siml coe vâd c froieră mlţime : Γ C C C3 A B B A A B B A 3 Şirri şi serii de mere comlee A Şirri de mere comlee Defiiţi Nmim şir de mere comlee licţi * f : N C f i R R Vom o : z * s siml z N Sem că şirl z ese mărgii dcă c R sfel îcâ : z c N* Defiiţi c veciăăţi Sem că şirl z ese coverge dcă eisă z C sfel îcâ î fr oricărei veciăăţi V li z se flă măr fii de ermei i şirli Noăm lim z s z z z Defiiţi 3 c ε Sem că z ese coverge dcă eisă z C sfel îcâ er orice ε > eisă rg ε N c roriee că er orice N ε să vem : 4

42 z z < ε Geomeric defiiţi 3 re rmăore ierrere : oţi ermeii z c ε se flă î ieriorl cercli c cerl î z şi de rz ε Teorem U şir z i ese coverge dcă şi mi dcă şi s covergee; î ls lim z lim i lim Demosrţie Dcă z ese coverge ci z i C sfel îcâ er ε > ε N sfel îcâ ε să vem z z < ε Dr z z < ε şi z z < ε de de rmeză că şi s covergee căre şi reseciv şi deci z i Reciroc dcă şi obţiem z z Defiiţi 4 Şirl z de mere comlee se meşe şir Cch fdmel dcă er orice ε > eisă măr rl ε sfel îcâ er orice > ε şi orice N să vem : z < ε z Are loc: Teorem Codiţi ecesră şi sficieă c şir Cch ese c şirrile şi să fie şirri Cch Necesie codiţiei rezlă di iegliăţile : ir sficieţ di ieglie : z z şi z z z z B Serii de mere comlee z să fie şir Pri serie de mere comlee îţelegem sm ermeilor i şir de mere comlee şi se oeză : w w w w w Seriei de mere comlee defii sfel : S w S w w w {3} i se sociză şirl smelor rţile 43

43 Dcă şirl smelor rţile ese coverge şi re limi S sem că seri w ese covergeă şi re sm S dică: w S Dcă şirl S ese diverge sem că seri w ese divergeă O serie de mere comlee oe fi scrisă : Are loc : w i v S de v R Teorem O serie de mere comlee w ese covergeă dcă şi mi dcă şi v s covergee Demosrţie Noăm S w w w s şi τ v v v Avem S s iτ mi dcă şirl S Dr w ese covergeă dcă şi ese coverge cee ce re loc dcă şi mi dcă şirrile s şi τ s covergee dică dcă şi mi dcă seriile şi v s covergee Defiiţi Seri w se meşe bsol covergeă dcă seri w ese covergeă Defiiţi Dcă seri w ese covergeă ir w ese divergeă seri w se meşe semi-covergeă Observţie O serie bsol covergeă ese covergeă dr reciroc ese î geerl vlbilă O serie de mere comlee ese bsol covergeă dcă şi mi dcă â seri ărţilor rele câ şi seri ărţilor imgire s bsol covergee 44

44 Observţie Per sdil covergeţei bsole seriilor de mere comlee se ilizeză crieriile de covergeţă er serii c ermeii oziivi Per sdil rii seriilor de mere comlee o fi ilize crieriile de covergeţă er seriile de mere rele 4 Fcţii comlee de o vribilă relă Limi îr- c Coiie Deriv şi difereţil Iegrl Riem Primiivă Fie E R Defiiţi Nmim fcţie comleă de vribilă relă licţi : f : E R C s f i R de Re f şi Im f Rezlă că o fcţie comleă de vribilă relă ese deermiă de o ereche ordoă şi E de fcţii rele de vribilă relă Defiiţi Sem că măr comle l C ese limi fcţiei f î cl E' dcă er orice ε > eisă măr η ε > sfel îcâ oricre r fi E dcă < η ci f l < ε Se scrie lim f l Are loc: Prooziţi ε lim f l lim Rel şi lim Iml Defiiţi 3 Sem că fcţi comleă f ese coiă î cl E R dcă er orice ε > eisă η ε > sfel îcâ er < η E să vem : f f < ε ε Dcă / E E lim f f ci fcţi comleă f ese coiă î cl Prooziţi Codiţi ecesră şi sficieă er c fcţi comleă f i să fie coiă î cl E R ese c fcţiile rele şi să fie coie î / Fie f : E R C şi E E Defiiţi 4 Sem că fcţi comleă f ese derivbilă î cl dcă eisă şi ese fiiă limi : 3 f lim f 45

45 / Vlore cesei limie se oeză f s E df şi se meşe d deriv fcţiei f î cl Prooziţi 3 Codiţi ecesră şi sficieă c o fcţie comleă f să fie derivbilă îr- c ese c fcţiile rele şi să fie derivbile î cel c Se oe scrie : f f i E \{ } de de recâd l limiă câd obţiem eglie : / / 4 f i Meţioăm că reglile de derivre er fcţiile rele se ăsreză şi î czl fcţiilor comlee de vribilă relă Fie f o fcţie comleă derivbilă e E R Pri difereţil li f î cl E vom îţelege mărl comle: / 5 df f d d Eliciâd relţi 5 oe fi scrisă şi sfel : / / 6 df d id de d d şi d d Reglile de difereţiere cosce er smă rods şi câ se ăsreză şi er fcţiile comlee Defiiţi iegrlei Riem er fcţiile comlee de vribilă relă ese logă c ce dă er fcţiile rele oă d Fie fcţi comleă f [ b] R Să cosiderăm o divizie d li [ b] ri cele: d : < < < < < < < b Noăm δ [ ] de { 3 } Pri orm diviziii d γ se îţelege mărl rel : 7 γ d m Fcţiei comlee f şi diviziii d comcli [ b] li se sociză mărl comle τ d mi smă iegrlă Riem vâd eresi : 8 τ f f ξ de cele d ξ [ ] { 3 } se mesc ce iermedire le diviziii d li [ b] Defiiţi 5 Fcţi comleă f [ b] ese iegrbilă e [ b] dcă eisă măr comle I c roriee rmăore : er orice 46

46 ε > eisă mărη ε > sfel îcâ oricre r fi divizie d c υ d < η ε şi oricre r fi legere celor iermedireξ să vem : 9 I τ d f < ε Nmărl I se oeză şi se meşe iegrl fcţiei f e iervll [ b] Î czl câd iegrl eisă vom scrie : b b f d I f d lim τ d f υ d Prooziţi 4 Fcţi comleă f ese iegrbilă e [ b] dcă şi mi dcă fcţiile rele şi s iegrbile e [ b]aces rezlă imedi di iegliăţile : Re I τ d I τ d f Re I τ d Im I τ d deorece Im I τ d τ d f τ d iτ d Di eglie de mi ss găsim forml : b b f d d i d b Prorieăţile iegrlei Riem loc şi er fcţiile comlee Defiiţi 6 Sem că fcţi comleă F [ b] ese rimiiv / li f [ b] dcă F ese derivbilă e [ b] şi F f [ b] Dcă o fcţie f re o rimiivă F ci re o ifiie de rimiive me mlţime: FC [ b] C C Acesă mlţime rimiivelor li f se meşe iegrl edefiiă fcţiei f cre se oeză : 9 f d F C Î riclr dcă fcţi f ese coiă e [ b] ci fcţi / comleă f τ dτ ese rimiivă er fcţi f e [ b] şi F f [ b] C şi î czl fcţiilor rele se ră că : b b f d F b F F cre cosiie forml Leibiz-Newo er iegrl defiiă ei fcţii comlee 5 Fcţii moogee Deriv ei fcţii comlee Codiţiile de moogeeie li Cch-Riem Prorieăţi 47

47 Defiiţi Sem că fcţi comleă defiiă î domeil D C ese derivbilă î cl z D dcă eisă şi ese ică: f z f lim z z z z z / Vlore cesei limie se oeză f z şi se meşe deriv fcţiei fz î cl z D O fcţie derivbilă îr- c se meşe moogeă î cel c O fcţie moogeă î fiecre c l domeili D se meşe olomorfă e domeil D s moogeă moos l geos d şere e domeil D Prooziţi Codiţiile de moogeeie li Cch-Riem Per c fcţi comleă fz iv defiiă î domeil D să fie moogeă î cl z i D ese ecesr c fcţiile şi v să dmiă derive rţile de ordil îâi î cl şi să sisfcă relţiile: v v mie codiţiile de moogeeie le li Cch-Riem Demosrţie Per z i D z z em scrie: f z f z [ ] i[ v v ] 3 z z i z z z z Să resem că z z e drm rlel c O: şi Di 3 obţiem: / v v 4 f z lim i Dr eiseţ derivei f' z imlică eiseţ limielor: 48

48 5 lim şi 6 lim v v v Di relţiile 4 5 şi 6 obţiem: 7 / v i z f Presâd că e drm rlel c imgiră O ci z z şi Di 3 obţiem: 8 / lim v v i z f cre imlică eiseţ limielor: 9 lim şi lim v v v Di 8 9 şi găsim: / v i z f Comrâd relţiile7 şi rezlă ecesie codiţiilor şi sfel rooziţi ese demosră Prooziţi Fie fziv olomorfă î domeil D se oeză HD Dcă şi v dmi derive rţile de ordil doi coie î D ci fcţiile şi v s rmoice dică: de f v rereziă oerorl li Llce 6 Deermire ei fcţii olomorfe e domei câd se coşe re relă s re imgiră Eeml Să resem că fziv ese o fcţie moogeă e domei D Fcţiile şi v verifică codiţiile li Cch- Riem: 49

49 v şi v Să resem că se coşe fcţi Fcţi fiid re relă fcţiei moogee fz ese o fcţie rmoică î D Coscâd fcţi vom clcl derivele fcţiei v: v v şi difereţil s: dv d d Î re dreă egliăţii vem o difereţilă olă ecă deorece fiid fcţie rmoică Fcţi v se oe erim rir-o iegrlă crbiliie ideedeă de drm v d d AM A fiid c fi ir M c rbirr di D Drml de l A l M se rcrge de obicei e doă segmee de dreă rlele c ele de coordoe figr dcă cese s crise î domeil D C M D A B Clclâd iegrl e drml ABM se obţie: v d d ir dcă se lege drml ACM 5

50 v d d Iegrl deermiă fcţi v î fr ei cose diive deci fcţi fziv v fi deermiă î fr ei cose diive Se observă şor că fz sfel deermiă ese moogeă Îrdevăr deorece sb seml de iegrlă ese o difereţilă ecă vem: v v dv d d de de rezlă Î mod log se ră că dă fiid o fcţie v rmoică î D eisă o fcţie fziv moogeă e D Fcţi ese deermiă î fr ei cose diive ri iegrl crbiliie ideedeă de drm: v v d d AM şi c ces fz ese deermiă î fr ei cose diive Eeml Se dă v z e si Să se deermie fcţi moogeă fziv şiid că f Se verifică şor că v ese rmoică Di codiţiile de moogeeie obţiem: v v e cos e si Deci: d e cos d e si d şi e cos d e si d AM Iegrâd e drml ABM di figr de mi ss obţiem: o e cos d e si d e cos e cos e cos e cos şi deci: e cos C C e cos Rezlă că: f z e cos C ie C - cosă rbirră si Di codiţi f găsim C Obţiem fcţi moogeă: f z e cos ie si 5

51 s şi deci: f z f z e cos i si z e e e i e i 7 Ierrere geomerică derivei Trsformre coformă Eeml Fie fziv o fcţie defiiă î domeil D Presem că fz / ese moogeă î cl z i D şi f z Vom o wfz şi w f z Fcţi f deermiă rsformre: v v îre lele z şi w Î ll z l vribilei se cosideră rc de crbă C cre re o eremie î M z figr Γ w C z v Nw U Mz T / / α α β β M z N w / Vom o c Γ imgie crbei C ri rsformre clă / îre lele comlee z şi w Deorece f z em scrie: / w w / w w f z lim ; f z lim z z z z z z z z s w w / lim rg f z z z z z rg 5

52 Trsformele celor M şi M de e crb C s reseciv cele N şi N de e crb Γ / Fie α şi α ghirile forme de sec M M şi ge M T î M l crb C c O / Imgiile cesor ri rsformre vor fi ghirile β şi β le secei N N şi le geei N U î N l crb imgie Γ di ll w c O Observăm că: iα ' iβ ' 3 z z N M e w w N N e şi oâd c s rcl de crbă M M e C şi Γ obţiem: S rcl N N de e crb / / i β α ' i β ' α ' i β α 4 f z lim e lim e lim e M M z z z z M N M N s M M z z N M S deorece lim şi lim N N z z Di relţiile şi 4 obţiem: 5 f / z S lim z z s N M S şi / 6 rg f z β α Am obţi : Prooziţi O fcţie moogeă îr- c z vâd deriv / diferiă de zero f z rsformă elemeele de rc di veciăe cli M z î elemee de rc roorţiole c modll derivei î cl z Argmel derivei fcţiei î z ese ghil c cre rebie roiă î ses direc ge M T er devei rlelă c ge N U l crb Γ [Se dmie că ele de coordoe di lele z şi w s rlele] Defiiţi Trsformre clă îre lele z şi w se meşe rsformre coformă dcă ăsreză ghirile Prooziţi O fcţie fz olomorfă îr- domei D vâd deriv diferiă de zero î D defieşe o rsformre coformă Demosrţie Fie C C doă crbe di ll z ce rec ri cl M z z D şi / f z Imgiile cesor crbe î ll w vor fi Γ şi Γ M s M S s z z S s 53

53 Crbele imgie Γ Γ rec ri cl N w w f figr z z v U w U T T / ω C Γ ω C Γ α α β β M z N w Fie α α ghirile e cre le formeză geele şi î cl M l crbele C şi C c O şi β β ghirile e cre le formeză geele imgie î cl N l crbele Γ Γ / c O Ughirile ω α α şi ω β β rereziă ghirile sb cre se ie reseciv erechile de crbe şi 7 / rg f z β α β α de de: 8 ω β β α α ω s ω ω deci crbele C şi C se ie sb celşi ghi c şi crbele imgie Γ şi Γ C ces rooziţi ese demosră / Eeml Cosiderăm fcţi w f z z z C Deorece f z dcă z rezlă că fz relizeză o rsformre coformă î o ll comle c eceţi origiii Observăm că v şi că / f ese olomorfă î C f z z Imgiile dreelor şi di ll z vor fi rbolele: Γ v R şi Γ v R : Γ / v ω 9 Γ C N ω 9 ' - C M - 54

54 Imgie dreei C ese rbol Γ vâd ecţi v 4 ir imgie dreei C ese rbol Γ de ecţie v 4 Acese doă rbole s orogole şi rec ri N di ll w imgie cli M di ll z Observăm că se ăsreză ghirile ri rsformre coformă f z z ω ω 9 8 Iegrl crbiliie î ll comle Eeml Defiiţie Priciil de clcl Prorieăţi Fie AB rc de crbă î ll comle z defii rmeric ri ecţiile: [ b] Vom rese că fcţiile şi s coie îmreă c derivele de ordil îâi e [b] : * B z M D M * * M P M * A z M Să cosiderăm o divizie d iervlli [b] ri cele de divizie < < < < < < b Deorece ecţi î comle rcli de crbă z i [ b] divizie d idce e rcl o divizie d' ri cele de divizie: A M z M z M z M z B AB AB ese 55

55 de z z { } Norm diviziii d iervlli [b] ese mărl v d m Î fiecre sbiervl ] legem c rbirr z υ [ υ Acesi c îi coresde ri z z [ b] e rcl c iermedir M M P α α coreszăor mărli comle Arcli AB şi coreszăor diviziii d iervlli [b] îi sociem c jorl fcţiei fz mărl comle σ f f z z d Defiiţi Fcţi fz z D ese iegrbilă e rcl AB D dcă eisă măr comle I c roriee că er orice ε > eisă măr η ε > sfel îcâ oricre r fi divizie d c v d < η ε şi oricre r fi legere celor iermedire υ să vem: 3 σ d f I < ε Î ces cz vom scrie: I lim σ f f z dz v d d şi vom se că I ese iegrl crbiliie e rcl C fcţiei fz Prooziţi Dcă fcţi comleă fziv z D ese coiă e rcl de crbă AB eed e orţii ci iegrl crbiliie fcţiei fz e rcl AB eisă şi re eresi: 4 f z dz d v d i v d d AB AB Demosrţie Noăm z i i şi ξ iη υ i { } Deorece: υ AB AB α ξ η iv ξ η z z i f obţiem er sm σ d f eresi: / // 5 σ d f σ d f iσ d f de: şi σ / d f [ ξ η v ξ η // σ f [ v ξ η ξ η ] d ] 56

56 Ţiâd sem de defiiţi iegrlei crbiliii şi de fl că fcţiile şi v s coie e AB ir derive coie c eceţi i măr fii de ce rezlă: şi b / / { [ ] v[ ] } / lim σ f d v d d v d d // lim σ f v d d AB b / / { v[ ] [ ] } v d d AB Prorieăţi le iegrlei crbiliii : f z dz f z dz; ; AB BA β [ α f z βg z] dz α f z dz β g z dz α C ; AB 3 z dz f z dz f z dz C AB AB AB AC CB AB f AB ; 4 f z dz M L de M s f z şi L ese lgime rcli AB z AB Observţie Iegrlele crbiliii e corri îchise le î ses direc se oeză Eeml Să se clcleze iegrl: dz I z C de C ese cerc c cerl î cl rcrs î ses direc: d şi de rză r figr cre ese r Mz C 57

57 Pâd z re şi i [ ] obţiem: i i e dz ire d z r I i i e ire d i d r 9 Teorem li Cch i Per defii iegrl crbiliie ei fcţii fz e o crbă C m ress că fz ese coiă e C fără le ioeze referiore l eiseţ s comorre fcţiei î ce cre rţi crbei C Î cele ce rmeză vom rese că fz ese olomorfă îr- domei D şi că C ese coţiă î D Iegrlele crbiliii rorieăţi cre deid de ordil de coeie l domeili Vom cosider mi îâi czl domeili siml coe Teorem li Cch Dcă fz ese olomorfă îr- domei siml coe D ci: f z dz C oricre r fi crb îchisă C coţiă î D / Demosrţie Vom rese î ls că f z ese coiă e D deşi cesă ioeză ese ecesră f dovedi de EGors Fie z i f z iv ; vem: f z dz d vd ivd d C C C Să resem că C ese o crbă simlă şi să oăm c domeil cre re froier C D figr : D C 58

58 Iegrlelor di membrl dre l relţiei li se oe lic forml li Gree: C P d Q d Q P dd Q P / î ioez că şi s coie e Coiie li f z v v imlică coiie derivelor şi licâd forml li Gree obţiem: 3 şi C C d vd v dd v vd d dd Dr fz ese olomorfă î D Deorece D î oe cele domeili s sisfăce codiţiile de moogeeie Cch- v v Riem: şi ; deci cele doă iegrle di 3 s le şi e bz relţiei găsim f z dz şi eorem ese demosră C Teorem li Cch oe fi eisă şi î czl câd domeil ese mlil coe Asfel fie fz o fcţie olomorfă î domeil dbl coe delimi de crbele îchise C şi C coform figrii: D C B A C 59

59 Efecâd ăier AB obţiem domeil siml coe D \ { AB} vâd c froieră crb Γ C C AB BA de C ese rcrs î ses direc ir C î ses ivers Alicâd eorem li Cch erdomeil siml coe D delimi de crb Γ obţiem: 4 f z dz f z dz f z dz f z dz f z dz Cm C C AB C f z dz f z dz şi f z dz AB forml 4 e dă: 5 f z dz f z dz BA C C C C BA f z dz Pri C C m o fl că C şi C se rcrg î ses direc Î czl i domei mlil coe delimi de crbele C C C de C C C s eeriore îre ele şi ieriore ei crbe C C figr vem: dcă fz ese olomorfă î domeil î mod log ri rcicre or ăieri îre C şi crbele C C C obţiem forml li Cch er domeii mlile coee: C C C c 3 C C 6 f z dz C C f z dz 6

60 crbele C C C s rcrse î ses direc Forml iegrlă li Cch Fie fz o fcţie olomorfă îr- domei siml coe D şi C o crbă simlă îchisă coţiă î D Noăm c domeil mărgii cre re froier C figr D D γ r *z C Teorem Dcă se d vlorile fcţiei fz e crb C ci fcţi ese comle deermiă î şi me: f z f dz i z C Demosrţie Fie γ cerc c cerl î cl şi de rză r ierior li C figr Fcţi f z z ese olomorfă î domeil dbl coe delimi de crb C şi cercl γ Coform eoremei li Cch er domeiile dbl coee vem: f z f z f z f f dz dz dz dz z z z z C f z Observăm că i z γ γ γ Fcţi fz fiid moogeă î cl ese coiă î ces c şi sfel em scrie evlre 3 f z f < ε er z < η ε z D Cosiderâd r < ηε er z γ vem z < ηε şi e bz rorieăţii modlli iegrlei em scrie: γ 6

61 de f z f z f z dz dz ds γ γ z f ε r γ ε ds dz rereziă elemel difereţil de crbă e rcl γ Cm f z f ε > ese rbirr făcâd ε obţiem: dz z Ţiâd sem de relţiile şi de cele de mi ss obţiem forml miă forml iegrlă li Cch Forml iegrlă li Cch oe fi scrisă şi er domei mlil coe Asfel î bz formlei li Cch er domeii mlil coee dcă ese c di domeil de olomorfie l fcţiei fz vem forml iegrlă li Cch er domeii mlil coee: i f z z 4 f dz C i γ f z CK z dz Are loc şi: Teorem Fie fz o fcţie olomorfă î domeil siml coe D delimi de crb îchisă C eedă e orţii Aci fcţi fz ese idefii derivbilă î D şi:! f z 5 f dz i C z de ese c orecre si î ieriorl li C Forml 5 se obţie şor ri idcţie derivâd î ror c sb seml iegrlei f z eglie: f dz Aces jsifică fl că o fcţie i z C olomorfă ese idefii derivbilă şi f z ese olomorfă { } Serii de eri Teorem li Abel Dezvolări î serie Tlor Fie şirl de fcţii f z z D D C Sem că şirl de fcţii cosider ese coverge î cl z D dcă şirl de mere comlee f z ese coverge Defiiţi Şirl de fcţii f z z D ese iform coverge e mlţime A D căre fcţi f z z A dcă er orice măr ε > eisă măr rl ε sfel îcâ er > ε să vem: z f z < ε z A f 6

62 Fie seri de fcţii dcă seri f z f z Sem că seri ese covergeă î z D ese covergeă Mlţime celor de covergeţă le seriei le mim mlţime de covergeţă mlţime Defiiţi Seri de fcţii S z l seriei f z A D şi re sm fcţi S z z A z f S de: z f z f z f z z D coverge iform e mlţime A căre Sz Are loc: ese iform covergeă e dcă şirl smelor rţile Prooziţi Fie f z z D o serie de fcţii şi > o serie covergeă Dcă er orice seri de fcţii f z z A D şi N f z ese iform covergeă e mlţime ci A D Dcă f z c z s c z obţiem seriile de eri: c z s c z Are loc: c şi C Teorem li Abel Per orice serie de eri c z eisă măr R mi rză de covergeţă cări îi coresde î ll comle cercl ΙzΙR mi cerc de covergeţă vâd rmăorele rorieăţi: Î ieriorl cercli de covergeţă z < R seri de eri ese bsol covergeă; Î eeriorl cercli de covergeţă z > R seri ese divergeă; 3 Î orice disc ierior cercli de covergeţă z r < R seri ese iform covergeă C şi î czl seriilor de eri rele rz de covergeţă se deermiă coform eoremei Cch - Hdmrd 63

63 c R lim ω ω s c c R lim ω ω Dezvolări î serie Tlor Fie fz o fcţie olomorfă îr- domei D şi c ierior li D Cosiderăm cerc C c cerl î cl şi de rză r si î domeil de olomorfie figr D r z C Vom o c z c ierior cercli C şi şi c c orecre de e C r Coform formlei li Cch em scrie: C d z f i z f Observăm că : 3 z z z z z z Îlocid relţi 3 î vom obţie: 4 C C C R d f i z d f i z d f i z f de 5 C z d f i z R ] [ 64

64 Ţiâd sem de eresi derivelor ei fcţii olomorfe! f d eglie 4 devie: i f C / f f 6 f z f z z R!! Noâd M s f z obţiem er ermel comlemer : dică R R z C z C r Mr r f d M r r Cm < r r C lim d R rezlă R şi di 6 obţiem: 7 f f z z! cre rereziă dezvolre î serie Tlor fcţiei olomorfe fz Seri li Lre Pce siglre Fie fz o fcţie olomorfă îr-o coroă circlră D r z : γ D r * * z r γ *v { } r Vom o c γ şi γ cercrile ce delimieză coro circlră D Ne roem să găsim er fcţi fz o rerezere sb formă de serie dă erile li z- Dezvolre găsiă se v mi dezvolre fcţiei fz î serie Lre î coro circlră D Aces e v codce l o geerlizre seriilor de eri jgâd-se l serii bilerle c oczi căror se v irodce şi oţie de rezid Fie z c ierior coroei D Aci coform formlei iegrle li Cch er domeiile dbl coee er vlore fcţiei fz vem eresi: f v dv f d f z v z i i z γ γ 65

65 Pcl z fiid ierior cercli γ rocedâd c şi î czl seriei Tlor rim iegrlă di se oe scrie sb form ei serii Tlor: z c z v dv v f i γ de: 3 } { v dv v f i c γ A do iegrlă di se oe scrie sb form γ γ γ d z f i z d f i z d f i z z z z Noâd c c orecre de e cercl γ şi z vem < r z Deci: 4 γ γ R d f i z z d f i de 5 d f i R z z γ Alicâd roriee modlli iegrlei î comle şi oâd s z f M z γ obţiem: r r r M R Deorece < r rezlă lim R şi sfel relţi 4 devie: z c z d f i γ de 6 d f i c γ Îlocid eresiile şi 6 î obţiem er fcţi fz î coro 66

66 circlră D rmăore dezvolre: de c z c z 7 f z 8 c f d Z i γ c z ir γ ese cerc orecre c cerl î cl şi de rză r r < r < Seriile c z c z r se mesc reseciv re ricilă şi re loriă seriei Lre Pce siglre Defiiţi Fie fz o fcţie defiiă î domeil D şi c rţiâd domeili D Sem că cl D ese c ordir l fcţiei fz dcă eisă o veciăe V cli iclsă î D de fz se oe dezvol î serie Tlor deci em scrie: 9 f z c z z V D U c cre ese c ordir er fcţi fz se meşe c siglr U c D ese zero mlil de ordil m l fcţiei fz dcă eisă cerc c cerl î cl icls î D sfel îcâ: m f z z [ cm cm z ] cm Prooziţi Zerorile ei fcţii olomorfe îr- domei s ce izole Defiiţi U c D ese ol l fcţiei fz dcă eisă cerc c cerl î cl icls î domeil D î cre fcţi fz oe fi scrisă sb form ei serii Lre c măr fii de eri egive li z- dică: c m c f z c z m z z Nmărl m rereziă ordil olli z l fcţiei fz U c siglr cre ese ol er o fcţie se meşe c siglr eseţil Observăm că dcă ese c siglr izol er fcţi fz ci eisă coro circlră {<Ιz- Ι r } î cre fz re o dezvolre î serie Lre c o ifiie de ermei c eri egive le li z- Deci î ces cz em scrie seri Lre: 67

67 f z z c re ricilă seriei Lre vâd măr ifi de ermei O fcţie fz cre îr- domei D re decâ ce ordire s oli se meşe fcţie meromorfă î D P z Prooziţi Dcă fz ese o fcţie rţiolă iredcibilă f z Q z ci zerorile de ordil m li Qz s oli de ordil m er fcţi fz 3 Rezid Teorem rezidrilor Eeml Fie z ol s c siglr eseţil izol l fcţiei fz Î coro circlră ε < z < R c ε > rbirr de mic fcţi fz ese olomorfă Fie Γ cerc c cerl î şi de rză coţi î cesă coroă circlră ε < < R figr R ε Γ C O crbă îchisă simlă C coţiă î coro circlră oe îcojr s cl Î riml cz C ese echivleă c Γ şi vem: f z dz f z dz C Γ Î l doile cz iegrl e C ese lă Defiiţie Pri rezidl fcţiei fz reliv l oll s cl siglr eseţil izol z o rez f îţelegem: rezf f z dz i Γ Rezidl ei fcţii fz reliv l se oe obţie îode di dezvolre î seri Lre î jrl cli Obţiem : 68

68 rezf c de c ese coeficiel li fcţiei fz î jrl cli z di dezvolre î serie Lre Meode de clcl rezidli ei fcţii Fie ol l fcţiei fz şi ordil să de mlilicie Aci fcţi ϕ z z f z re î z c ordir şi ϕ Ţiâd sem de ces devie: ϕ z rezf dz i Γ z s ţiâd sem de modl de clcl derivelor: rezf ϕ >! Îlocid e ϕ z c eresi s obţiem rmăorele formle de clcl rezidli: dcă z ese ol mlil de ordil l fcţiei fz ci: 3 rezf [ z f z] z ;! dcă z ese ol siml Dcă cz: 4 rezf [ z f z] z 5 g z f z şi dcă fz re e ol siml ci h Î ces h z g rezf / h Teorem rezidrilor Eeml Fie fz o fcţie olomorfă îr- domei D şi C o crbă îchisă simlă coţiă î D Să oăm c domeil mărgii cre re froier C 69

69 Dcă D dică dcă î eisă siglriăţi le fcţiei fz î vire eoremei li Cch f z dz C Să resem cm că î se flă măr fii de siglriăţi le fcţiei fz oli s ce siglre eseţile figr Γ D Γ Γ Γ C O Acese siglriăţi s evide izole Per fiecre c vom cosider cerc ΓK c cerl î şi c rz sficie de mică sfel c î ieriorl li să mi eise o lă siglrie fcţiei fz diferiă de Dcă s sficie de mici cercrile Γ Γ Γ ce come şi s coţie î Alicâd eorem li Cch er domeii mlil coee f z dz f z dz f z dz f z dz Ţiâd sem că Γ imoră ri licţiile sle: C Γ Γ Γ f z dz irez f { } obţiem o eoremă Teorem rezidrilor Cch Dcă î ieriorl domeili mărgii de crb C fcţi fz re măr fii de siglriăţi oli s ce siglre eseţile ci: 6 f z dz i rez f C 7

70 Observăm că î fod eorem rezidrilor ese o rdcere covebilă eoremei li Cch er domeii mlil coee folosid oţie de rezid Uilie s cosă î fl că er clcll rezidrilor vem mijloce reliv simle Eeml Să se clcleze iegrl: si z I dz de C ese elis z 4 9 C Î ieriorl domeili mărgii de C s doă siglriăţi le si z fcţiei f z şi me z ol siml şi z c siglr z eseţil izol Folosid eorem rezidrilor vem: I i[ rezf rezf ] Observăm că: rezf [ z f z] z si z z Per clcl rezidl reliv l cl siglr eseţil z vom dezvol e fz î serie Lre î jrl cesi c: f 3! z 3! 3 z si z z z z z z < 3 vlbilă er < z Di rodsl celor doă serii reţiem mi coeficiel li z : 3 5 rezf c si 3! 5! Rezlă I i Rezidl ei fcţii reliv l cl de l ifii Să resem că cl de l ifii z ese ol s c siglr eseţil l fcţiei fz Noâd c z rezlă că ese ol; î veciăe origiii em scrie seri Lre: cm c f c c c m dică c c 7 f z cm c z c z z R z < vlbilă î coro circlră { } Pri defiiţie coeficiel reliv l cl de l : c rez[ f z] z c di 7 se meşe rezidl fcţiei fz 7

71 Noâd c C o crbă îchisă ce coţie origie şi rcrsă î ses idirec obţiem ţiâd sem de oţie de rezid 8 rez[ f z] z f z dz i C Di 6 şi 8 dedcem şor eglie: 9 rezf rez[ f z] z 4 Alicţii le eoremei rezidrilor Teorem semirezidrilor Eemle Î cele ce rmeză vom d câev clse de iegrle ce o fi clcle folosid eorem rezidrilor Î czl câd iegrl cre rebie clclă ese o iegrlă e o crbă îchisă rcl de crbă e cre se iegreză rebie comle rir l rc de crbă covebil les De obicei cesă comlere se fce ri rce de cerc s dree Iegrlele cre r se clcleză folosid rmăore Lemă Jord lim Dcă z f z z z R sfel îcâ α rg z β ci Dcă lim R C f z dz z f z lim R lim f z dz R C ci I Clcll iegrlelor de form: şi C ese rc de cerc de e cercl P d Q de P Q ese iredcibilă Per c iegrl să eise şi să fie covergeă vom rese că olioml Q re mi rădăcii comlee şi că grdl oliomli Q ese mi mre decâ grdl li P c cel ţi doă iăţi Cosiderăm 7

72 P z fcţi comleă f z de rădăciile z z z le oliomli Q z Qz sie î ll comle desr ei rele vor fi oli er fcţi fz Dcem semicerc Γ de rză R şi c cerl î origie si desr ei rele figr cre cride oţi olii fcţiei fz: Γ z * R z * z * z -R R Noăm c C Γ [ R R] rcrsă î ses direc Alicâd eorem rezidrilor obţiem: P z Q z R P Q dz d i Γ R lim Deorece z f z limiă câd z vem R î obţiem: P Q d i rezf z lim R rezf z z z Γ z zk P z dz Q z C cese recâd l de membrl dre rereziă sm rezidrilor fcţiei Pz/Qz reliv l olii siţi desr ei rele II Clcll iegrlelor de form: Rsi cos d de R ese i rţiolă Dcă se fce schimbre de vribilă z e câd rcrge iervll [ ] z descrie cercl z o dă şi mi o dă î ses direc Folosim formlele li Eler: 73

73 Di relţi si z cos z i z z i dz ie d rezlă d dz iz Iegrl devie: I R z dz z dă cre licăm eorem rezidrilor er clcll iegrlei e z d Eeml Să se clcleze: I 5 4si i C sbsiţi z e iegrl devie: dz dz I ; I 5 z iz 5 z i z z z iz Fcţi de sb seml iegrlă re olii simlii mi riml ese ieriorl cercli z ese: rezf z z 3i 3i şi deci I 3 i z z i dire cre Rezidl reliv l ces c Teorem semirezidrilor Eeml Fie C o crbă îchisă eedă e orţii ce cride î ierior măr fii de ce siglre izole z z le fcţiei fz : D * z * z Q β B α A z Γ * z P C z Dcă e crb C se flă cl z ol l fcţiei fz şi î z crb C re geă ică ci: 3 f z dz i rez f z i rez[ f z] z z C Demosrţie Fie Γ cerc c cerl î cl z şi de rză R Coform eoremei rezidrilor em scrie relţiile: 74

74 4 f z dz f z dz i C \ QP PAQ rezf z z z f z dz f z dz i rezf z z z i rezf z z z C \ QP PBQ c f z c c z z c z z z z Observăm că: 5 lim f z dz f z dz lim f z dz c f z dz c R PAQ PBQ R PAQ PBQ Per R iegrlele di seri Tloriă s le Adâd relţiile 4 şi recâd l limiă R î bz relţiei 5 obţiem forml 3 Observţie Î geerl eorem semirezidrilor oe fi scrisă sb form: C rez f z z z i K rezf z z f z dz i de z şi α j j m rereziă reseciv cele siglre di ieriorl li C şi de e crb C le fcţiei fz Eeml Să se clcleze iegrl: m j I dz j z z z Fcţi re olii simlii z şi z Cercl Γ de ecţie z rece ri oll z Alicâd eorem semirezidrilor obţiem: I i rezf z i rezf z z z Avem: rezf z z zf z şi rezf z [ z f z] lim z lim z z 75

75 Deci: I i 5 Fcţii elemere Fcţi rdicl: f z z i Fie z e ; obţiem er fz doă vlori: i i f z e f z e Deci fcţi rdicl ese o fcţie mliformă Fcţiile f şi f se mesc rmrile fcţiei fz Fie M z şi M z doă ce di ll comle w figr vâd reseciv rgmeele şi M M Dcă cl z descrie rcl fără să îcojore origie ci rgmel li vriză de l l ir vlorile fcţiilor şi î cl Mz vor fi: f i z e i f e Mz D M z Dcă cl z descrie rc ce eşe e M c M îcojrâd origie ci rgmel li vriză de l l Vlorile fcţiilor f şi f î cl Mz vor fi: 76

76 f f * * z z e i / e i / e i e i f z f z Deci vlorile fcţiilor f şi f se schimbă câd cl z descrie rc ce îcojoră origie Di ces moiv cl z se meşe c de rmificţie s c criic l fcţiei mliforme f z z Dcă î ll comle efecăm o ăieră dă o semidreă ce lecă di origie ci rgmel cli oe l vlori mi îre şi deorece z mi oe descrie rcl cre să îcojore origie Pri ăier făcă fcţiile mliforme f z şi f z devi fcţii iforme Fcţi f z z ese o fcţie mliformă vâd rmri: i / f z e { } Pcl z ese cl de rmificţie s c criic l fcţiei fz Pri efecre ei ăieri î ll comle rir-o semidreă ce lecă di origie fcţiile f z devi iforme b Fcţi eoeţilă şi fcţi logrimică z Defiim fcţi eoeţilă e ri: lim z z 3 e e cos i si Aces ese o fcţie olomorfă î o ll C z Fcţi e i orice vlore di ll comle î fră de Fie i z i w e Să deermiăm e z sfel îcâ: e w e Scriid i i z i obţiem e e e de de: 4 l şi Z Solţi geerlă ecţiei e z w se meşe logriml li w se oeză L w şi re eresi: 5 L w l i s 6 L w l w irg w de rg w ese rgmel ricil l li w Per obţiem Lw l w i rg w cre se meşe vlore ricilă li L w şi se oeză l w Deci: 7 l w l w i rg w Cosiderâd e w vribil âd î 6 î locl li w e z obţiem fcţi logrimică: 77

77 8 L z l z irg z ir er vlore ricilă 9 l z l z i rg z Fcţi logrimică ese o fcţie mliformă vâd o ifiie de rmri Acese rmri devi fcţii iforme dcă efecăm o ăieră dă o semidreă ce lecă di origie α c Fcţi f z z Dcă z ci: α αlz z e α l z iα e e Î ror c α disigem rei czri: iα α Z dedcem e z şi di z α l e ese o fcţie iformă î o ll comle α Q α q q îregi rime îre ele q Obţiem fcţi q mliformă z z cre re q rmri şi z c de rmificţie 3 α C fcţi α f z z ese o fcţie mliformă c o ifiie de rmri d Fcţii circlre şi iversele lor Fcţii hierbolice Fcţiile circlre si z cos z ri defiiţie s de de relţiile: iz iz iz iz e e e e si z cos z i iz Deorece e re eriod si z şi cos z eriod Dezvolre î serie de eri ese: 3 z si z z 3! si z cos z! z! z! Fcţi g z se defieşe sfel: iz si z e 3 gz iz cos z i e şi re eriod Fcţi w fz defiiă de 4 coswz se meşe rccos şi se oeză:w Arccos z Di şi 4 obţiem: e iw z ± i z şi deci: 5 Arc cos z L z ± i z i 78

78 Fcţi i 6 rccos z l z ± i z se meşe deermire ricilă fcţiei mliforme Arccos z Fcţi 5 re o ifiie de rmri şi doă ce criice z ± Acese rmri devi fcţii iforme dcă efecăm î ll comle doă ăieri de form: - Fcţi w Arcsi z ese defiiă de ecţi si w z Obţiem: 7 Arc si z L iz ± z Fcţi i 8 Arc si z l iz ± z i se meşe deermire ricilă li Arcsi z Pem scrie: 9 rcsi z Arcsi z rcsi z Fcţi w Arcg z se defieşe ri ecţi g w z de de i z e iw i z z ± i deci Arcgz l cre ese o fcţie mliformă i z i i z vâd o ifiie de rmri şi c ce criice e i Deermire ricilă li Arcg z ese : ± 79

79 rcgz i l i i z z Fcţiile hierbolice sh z şi ch z se defiesc ri formlele: z z z z e e e e sh z ch z De ici observăm că: cos izch z si izi sh zch z-sh z z fcţii hierbolice c şi e s fcţii eriodice de eriodă i Acese 6 Probleme rose Să se sdieze seriile rmăore: ; b i Să se clcleze: cosi ; c i e 3 3 i d i 3 Să se deermie fcţi olomorfă fz iv câd: l f ; R : f z l z; ; sh cos ch b v f ; R : f z gz ; 4 c / ϕ f f ;ϕ derivbilă R : f z z 8

80 4 Să se sdieze rsformre coformă: z z w şi să se fle imgie cercli z di ll z 5 Să se dezvole î serie Lre fcţi: z 3 z z 3z f î domeiile: z < ; b < z < ; c z > iz e z 6 Să se clcleze : dz de C : 4 4 C 7 Folosid eorem rezidrilor să se clcleze: z e dz ; z z z dz b dec : ; z z C zdz c dec : z 3 z z 4 C 8

81 8 Să se clcleze iegrlele: d 6 ; b e cosbd > b R iegrl li Poisso; si 3 c I d şi I 6 cos d ; 6 3 d d 5 4cos ; cos e d > cos * N 9 Să se clcleze : Să se rezolve ecţiile: si z ; i z i ; b z sh i b 3i gz ; 5 c ch z sh z 8

82 CAPITOLUL III FUNCŢII SPECIALE Siseme de fcţii orogole Poliomele li Lgerre Poliomele li Cebîşev Fie f N L Ω Ω R sisem de fcţii rele s comlee de ăr iegrbil e Ώ Defiiţie Siseml de fcţii { f } N ese sisem orogol e Ω R dcă: m f m f f m f d C > m Ω Dcă er orice N vem C ci siseml de fcţii f N se meşe oroorm Prooziţi Fie { } sisem orogol de fcţii di L Ω f N f Aci siseml de fcţii ese sisem oroorm de fcţii di f N L Ω Prooziţi Siseml rigoomeric: cos si cos si cos si l l l l l l ese sisem orogol e l m iervll -ll şi f f m f f m d de f ese eleme l m l orecre l şirli N * Demosrţie Per orice N vem: l l l l cos si l l d d l si l l l cos l l ; ; 83

83 l l l cos l cos d ; l l l l l si l d l cos l l l ; De semee er orice m îregi m vem: l l cos m cos d [cos m l l l l l cos m l ] d ec Formlele de mi ss ră că siseml ese sisem orogol e iervll -ll Normlizâd obţiem şirl fdmel oroorm: cos si cos si cos si l l l l l l l l Efecâd schimbre de vribilă l l l l siseml devie : 3 cos si cos si cos si Normlizâd siseml rigoomeric 3 obţiem siseml oroorm : 4 cos si si cos cos si Defiiţie Fie { f } N sisem de fcţii de ăr iegrbil e Ω şi o fcţie relă de ăr iegrbil e Ω Siseml de fcţii { f } N ese orogol c odere e Ω dcă : m f m f f m f d C > m Ω Eeml Poliomele li Lgerre Nmim oliom Lgerre olioml defii ri relţi: d 5 L e e { } d de Poliomele li Lgerre rereziă sisem orogol de fcţii c odere e - e iervll şi l l 84

84 L * L e Lm e L Lm d { er m;! er m} Poliomele li Lgerre verifică ecţi difereţilă:! d e e '' ' d formeză şir oroorm c odere e - e iervll Î mod log se ră că oliomele li Cebâşev T cos rccos {} s oliome orogole c odere şi recm şi relţi de recreţă: T T T {} e iervll -; ele verifică ecţi '' ' Fcţiile li Eler Nmim fcţi li Eler de seţ II s fcţi gm fcţi comleă Γ z defiiă de iegrl: z Γ z e d Observăm că em scrie: z z e d e Γ z d z i > Per ră covergeţ iegrlei imrorii observăm că: e z d e z d e i d e d > i i z e Per <<e - < şi obţiem: z e d d > > Per membrl l doile devie d ese covergeă er > cee ce ră că iegrl imrorie 85

85 b z Per do iegrlă imrorie e d observăm că b z e d e d b > cre ese covergeă crieril iegrl li Cch deorece seri şi iegrl e d ceeşi ră e f d covergeă seri f ese covergeă f e ese covergeăcrieril rorli Deci Γ z ese covergeă Prooziţie Fcţi Γz verifică ecţi fcţiolă Γ z z Γz Îr-devăr iegrâd ri ărţi obţiem: z z z Γ z d e e z e d zγ z deci ecţi Scriid forml er z { z z z z } şi oi îmlţid relţiile sfel obţie găsim: 3 Γ z z z z Γ z Per z vem: Γ! Γ şi deorece Γ obţiem: 4 Γ! Doriă rorieăţilor3 şi 4 fcţi Γ se mi meşe fcţie fcoril Dcă R grficl fcţiei Γ ese: 86

86 " Γ e l d > deci roriee: 5 Γ z Γ z Γ ese o fcţie coveă Fcţi z z si miă ecţi comlemeelor Îre vlorile imore le fcţiei Γ e d e d Îlocid vribil de iegrre c î forml obţiem: z 6 Γ z e d Nmim fcţi li Eler de seţ I fcţi defiiă ri relţi: q 7 B q d Re> Req> Γz Γ re vem: Fcţi B q ese simerică î ror c şi q dică B q B q Are loc rmăore: Teoremă Fcţi li Eler de seţ I B q verifică relţi: Γ Γ q 8 B q Re> Req> Γ q Demosrţie Folosid forml 6 er fcţi Γ z em scrie: v q Γ Γ q 4 e v ddv Trecâd de l coordoele olre cos v si obţiem: Bq Γ Γ q 4 e q cos si Pe de lă re făcâd sbsiţi q dd Γ q cos observăm că cos si q cos si d C ces relţi de mi ss dă forml 8 q d 87

87 3 Fcţiile Bessel Fie ν măr rel s comle Ecţi difereţilă: ν se meşe ecţi li Bessel Defiiţi Nmim fcţii Bessel s fcţii cilidrice solţiilor ecţiei li Bessel Acese fcţii r l rezolvre ecţiilor fizicii memice eori oeţilli recm şi l sdil vibrţiilor rorii le membrelor circlre Vom că solţi ecţiei li Bessel sb form ei serii de form: r de r şi rebie sfel deermie îcâ seri să verifice ecţi li Bessel Di obţiem: 3 " ' r r r r r Îlocid î ecţi li Bessel şi simlificâd c obţiem: r 4 ] [ v r Pri ideificre obţiem relţiile: 5 } {34 ] [ ] [ v r v r v r 88

88 Presâd f osibil îode ri schimbre idiceli de smre obţiem r v de de r v şi r v Czl Cosiderăm r v Di do relţie di 5 obţiem v Cm coeficiel iervie î ecţi li Bessel l ăr ci dcă v ese rel em cosider v deci v de de Dcă v ese comle ci evide v şi Î coclzie em cosider îode Di relţi de recreţă ν v ] 3 obţiem: [ {3 } Deci oţi coeficieţii de idici imri i seriei s Per coeficieţii de ordi r cosiderâd vem: 7 4 4v {3 } s 8 4 v - {3 } Făcâd e di 8 şi îmlţid erme c erme cese egliăţi obţiem: 9! v v v Deorece Γ z z z z Γ z şi Γ z zγ z observăm că: Γ v { }! Γ v Deorece v ese rbirr cosiderăm că Γ v şi sfel er solţi ecţiei li Bessel găsim: v! Γ v C jorl crierili li D`Alember se verifică imedi că seri de eri re rz de covergeţă ifiiă Defiiţi Fcţi defiiă de se meşe fcţi li Bessel de seţ I şi de ordi idice v şi se oeză Deci: v I ν I v! Γ v v v {3 } Czl Cosiderăm r- Dcă deci v ese măr îreg şi oziiv ci oţi coeficieţii de ordi imr s li ir cei de ordi r 89

89 se obţi di 9 îlocid e v c v Lâd er vlore obţiem er ecţi li Bessel solţi: 3 v I v v! Γ v Γ ν C şi î czl recede se ră că seri 3 ese covergeă er orice Cele doă solţii s liir ideedee Î coseciţă solţi geerlă ecţiei li Bessel v fi: 4 CIυ CI υ v Fcţii Bessel de idice îreg oziiv Per obţiem: 5 şi I I I! Γ v măr îreg Defiiţi 3 Nmim fcţi li Bessel de seţ II s fcţi li Nem de ordil ν fcţi defiiă ri relţi: cosvi v I v 6 N v v si v fiid măr îreg Fcţi ese solţie ecţiei li Bessel N v ν 4 Poliome Hermie Relţi de recreţă Ecţi difereţilă Prorieăţi Fcţi geerore Acese oliome r l sdil oscilorli rmoic liir î mecic cică Defiiţie Nmim oliom Hermie olioml defii ri relţi: Per H {3} e găsim: d d e {3 } 3 H H H 4 H 8 3 9

90 Observăm că grd H Dcă ese imr ci olioml H coţie mi ermei c eri imre le li ir er r H coţie mi ermei c eri re le li ' Noăm e Avem e şi licâd forml li Leibiz de derivre obţiem: e [ ]de de Îmlţid relţi c e se obţie forml de recreţă: 3 H - H H Observăm că e H Îlocid ces î obţiem ecţi difereţilă oliomelor li Hermie: 4 Prooziţie Poliomele Hermie s fcţii orogole c odere e e iervll şi: I! m 5 e H m H d! m Demosrţie Iegrâd ri ărţi obţiem I er e d! m si er m Poliomele li Hermie se o obţie di fcţi geerore: 6 f e e e Dezvolâd î serie Tlor î ror c obţiem: 7 f H! de coeficieţii H i seriei de eri 7 rereziă oliomele li Hermie bsrcţie făcâd de fcor de roorţiolie f f Avem: f f de de găsim relţi de recreţă 3 5 Poliome Legedre Relţi de recreţă Ecţi difereţilă Prorieăţi Fcţi geerore Poliomele li Legedre iervi î sdil ecţiei li Llce î eori oeţilli ec 9

91 Defiiţie Nmim oliom Legedre olioml defii ri relţi: d L [ ] { }! d Acesă formlă se mi meşe forml li Rodriges Per dedcere rorieăţilor cesor oliome vom o - Derivâd vem - - de de: - - Derivâd relţi de ori dă forml li Leibiz obţiem: - - Îmlţid cesă ecţie c /! şi ţiâd sem că relţi de mi ss devie: " ' 3 L L L Deci oliomele li Legedre verifică ecţi difereţilă: " ' 4 Poliomele li Legedre se o obţie di fcţi geerore: 5 f [ ] d [ ] Per vede semificţi cesei fcţii vom rese că î cl M di sţi eisă o srciă elecrică oziivă eglă c ie Acesă srciă creeză câm elecrosic cări vlore îr- c M M ese EM R R M M Poeţill câmli elecrosic se oeză c VM/R Noâd c O origie reerli şi c cos OM OM obţiem di righil OMM : R r r r r de rom r OM Î coseciţă oeţill coreszăor cli M v fi: r < r r VM R r < r r d 9

92 Î mbele czri re fcţi geerore f oliomelor li Legedre c resricţiile [] şi [] Cosiderâd e sficie de mic em dezvol î serie dă erile li obţiâd: 6 f [ ] L 3! Poliomele L s oliomele li Legedre Lâd de eeml obţiem: f dică L { } Poliomele li Legedre verifică relţi de recreţă: 7 L L L Per obţie relţi de recreţă 7 derivăm eresi 5 şi obţiem: f 8 f Sbsiid î 8 eresi 6 li f obţiem: L L Eglâd c zero coeficiel li obţiem 7 Prooziţie Poliomele li Legedre s fcţii orogole e [-] şi L L m m d m ` 93

93 6 Probleme rose Să se clcleze iegrl: si 6 4 I cos d Să se clcleze iegrl: d I Să se clcleze iegrl: I d 8 4 Să se dezvole î serie de oliome Legedre fcţiile: f ; b f 5 Să se iegreze ecţi li Bessel: // /

94 CAPITOLUL IV SERII FOURIER Serii Forier er fcţii Fcţii eriodice Trsform eriodică Dezvolre î serie Forier ei fcţii eriodice c eriod Eeml Fcţiile eriodice cosiie di clsele de fcţii cre doriă rorieăţilor lor iervi frecve î diverse robleme eoreice şi rcice U mijloc de rerezere şi sdi l cesor fcţii îl cosiie dezvolre î serie Forier Î mle czri dezvolre î serie Forier ese mi covebilă decâ dezvolre î serie Tlor Termeii ei serii Forier s fcţii eriodice c cre em descrie feomee oscilorii O lă clie seriilor Forier ese şi cee că ermeii săi roriee de orogolie Sem că fcţi f : R Γ Γ R C ese o fcţie eriodică de eriodă T > dcă: f T f R Dcă T ese eriod fcţiei f * ci şi T Z ese eriodă Fie s f [b] Nmim rsform eriodică ~ T fcţiei f fcţi f ω f f T R T fcţie eriodică de eriodă T ω T f : R Γ defiiă ri relţi Trsform eriodică f ω f ese o Defiiţi Pri oliom rigoomeric de ordil îţelegem fcţi: T cos b si de coeficieţii b { } s mere rele Observăm că olioml T di ese o fcţie eriodică de eriodă T Defiiţi Nmim serie rigoomerică seri de form: cos b si Dcă seri rigoomerică ese covergeă ci sm ei f v fi o fcţie eriodică de eriodă T Seri rigoomerică s- obţi c jorl sisemli rigoomeric fdmel : 3 cos si cos si cos si Aces sisem ese sisem de fcţii orogol şi : si d cos d ~ T 95

95 Fiid dă o fcţie f f : R R eriodică c eriod se cere să se deermie codiţiile e cre rebie să le îdeliescă fcţi eriodică f sfel îcâ să em cosri seri rigoomerică iform covergeă e deci şi e R Î cese ioeze em scrie eglie : [ ] 4 f cos b si Seri fiid iform covergeă em iegr erme c erme şi î bz orogoliăţii sisemli 3 găsim : 5 o f d Îmlţid seri 4 c cos şi iegrâd obţiem : f cos d cos d de de: 6 f cosd Procedâd log ri îmlţire c si obţiem : 7 b f si d Coeficieţii b {3 } deermiţi dă formlele 6 şi 7 se mesc coeficieţii Forier er fcţi f ir seri rigoomerică c ceşi coeficieţi se meşe seri Forier fcţiei eriodice f Fiid dă o fcţie eriodică f c eriod şi iegrbilă em deermi coeficieţii Forier coreszăori fcţiei de recm şi seri Forier şă li f N em îsă să scriem eglie 4 deorece şim dcă seri ese covergeă şi chir î cz de covergeţă şim dcă sm ei ese ocmi fcţi f Di ces moiv vom scrie : 8 f cos b si Codiţiile sficiee er c o fcţie eriodică c eriod să oă fi rerezeă ri seri Forier sociă ei fos găsie de Dirichle Are loc: Teorem Codiţiile li Dirichle Dcă fcţi f c eriod ese moooă e orţii şi mărgiiă e iervll[ ] ci seri Forier sociă cesei fcţii ese covergeă î oe cele Sm S seriei Forier î fiecre c de coiie ese eglă c vlore fcţiei f î cel c Î cele de discoiie vlore smei S ese eglă c medi rimeică limielor lerle coreszăore cli de discoiie dică: 96

96 f c f c 9 S c de f c lim f f c lim f c < c c < c Eeml Cosiderăm fcţi f [ ] Fcţi eriodică 4 geeră de fcţi f v fi rsform eriodică f c eriod l cărei grfic ese : 3 3 ~ Fcţi f rereziă resricţi fcţiei f l iervll [ ] Codiţiile eoremei li Dirichle s îdeliie deorece fcţi f e iervll [ ] ese moooă şi ese mărgiiă Alicâd de doă ori iegrre ri ărţi obţiem er coeficieţii Forier eresiile : b 6 Deci seri Forier coreszăore fcţiei f î iervll [ ] 4 ese : cos cos cos 4 Cosiderâd obţiem sm: 6 97

97 Seri Forier fcţiilor re s imre Dcă fcţi f ese ră s imră e[ ] ci dezvolre î serie Forier ei se simlifică Asfel dcă fcţi f ese ră e[ ] ci f- f şi î coseciţă fcţi f cos ese ră ir fcţi f si ese imră Ţiâd sem de ces vom obţie: b f si d f cos d f d f cos d f d Per fcţiile re e [ ] seri Forier v coţie mi ermei î cosisri dică ermeii ri Deci seri Forier v ve eresi: cos f vlbilă î cele de coiie le fcţiei f e ilsr ri eemll di rgrfl erior ră e[ ] O ă de simerie Dcă fcţi f ese imră e iervll [ ] Aces cz fos f cre ese o fcţie 4 ci fcţi f cos ese imră ir f si ese o fcţie ră Î coseciţă coeficieţii seriei Forier vor fi : 3 o şi b f si d Seri Forier er fcţiile imre v coţie mi ermeii î sisri deci : 4 f b si 3 Dezvolre î serie Forier fcţiilor defiie e -l l Eeml Vom cosider czl geerl l dezvolării î serie Forier ei fcţii eriodice c eriod T l l > Şirl rigoomeric fdmel v fi : cos si cos si l l l l 98

98 Fie f resricţi fcţiei eriodice f c eriod T l e iervll -l l l l Efecâd schimbre de vribilă fcţi f v fi o fcţie eriodică c eriod Resricţi ei l iervll dezvolre î serie fcţiei l l f vem : v fi fcţi f Scriid f cos b si vlbilă î orice c de coiie R Doriă sbsiţiei l / coeficieţii Forier vor ve eresiile: l l l f d f d f d l l 3 b l l l l l l l f cos d l f si d l Deci seri Forier er fcţi f e iervll ll 4 f cos b si l l l v fi : de coeficieţii s dţi de forml 3 Eeml Să scriem seri Forier coreszăore fcţiei f e iervll -l l Fcţi f ese imră e -l l deci seri Forier v coţie mi ermei î sis Avem : b si d si d Pri rmre seri Forier coreszăore fcţiei f v fi : si Per obţiem sm : Dezvolre î serie Forier dă cosisri s sisri ei fcţi defiie e iervll l Eeml Fie f o fcţie defiiă e [ l] Deseori ese il c fcţi f să se dezvole î serie Forier dă cosisri s sisri Î ces sco fcţi se l 99

99 relgeşe e iervll [ l] sfel îcâ o fcţie F să fie fcţie ră s imră e iervll [ l l] dă cm dezvolre î serie Forier rebie să fie dă cosisri s sisri Să resem că dorim să dezvolăm fcţi f î serie Forier dă cosisri figr: f- f -l - l Efecăm relgire ră e iervll [ l] deci lăm simericl grficli fcţiei f î ror c ordoelor Obţiem sfel o oă fcţie F ră e[ ll] f [ l] F f [ l] Dcă fcţi dă f îdelieşe codiţiile li Dirichle e iervll [ l ] ci o fcţie F v îdelii cese codiţii e iervll [-l l] Pri rmre seri Forier coreszăore fcţiei F v fi : F cos l de l l F d f d l l l b l l F cos d f cos d l l l l / l Dezvolre re loc î oe cele de coiie de e iervll -l l Î riclr e iervll l obţiem dezvolre căă dă cosisri :

100 3 f cos l vlbilă î cele de coiie di iervll l Alog er obţie dezvolre î serie Forier dă sisri fcţiei f defiiă e [ l efecăm o relgire imră fcţiei f e iervll [-l figr : -l - f l -f- şi obţiem sfel o oă fcţie : f [ l] F f [ l] Acesă fcţie ese imră e iervll [-l l] grficl ei fiid simeric î ror c origie sisemli de referiţă Scriid dezvolre î serie Forier er fcţi imră vom obţie : 4 F b si de: 5 b l l b F si d s l l l l f si d l l

101 Î riclr î orice c de coiie di iervll l vem dezvolre dă sisri fcţiei de f me: 6 f b si l Eeml Să dezvolăm î serie Forier dă sisri fcţi f- [ Efecâd o relgire imră e iervll - l fcţiei de vom obţie fcţi: [ F [] Pri eriodicizre fcţiei F se obţie grficl : de : Î coseciţă seri Forier fcţiei cosidere v fi - b si Deci: si - b si 5 Form comleă seriilor Forier O formă iră seriilor Forier ese form comleă Fie f o fcţie cre e iervll -l l sisfce codiţiile eoremei li Dirichle Aci em scrie dezvolre î serie Forier :

102 l b l f si cos de coeficieţii seriei eresiile: d l f l b d l f l d f l l l l l l l si cos Uilizâd formlele li Eler: 3 si cos l i l i l l i l i l e e i e e seri devie: 4 f l i ib l i ib e e Ţiâd sem de eresiile le coeficieţilor vem : 5 c l l l i d e f l şi 6 c- ib l l l i d e f l Remrcăm că î 5 şi 6 N * Priml erme l dezvolării re eresi : 7 c d f l l l cre se obţie di 5 er Pri rmre seri 4 se oe scrie sb form : 8 f l i l i e c e c s 9 f l i c e de c l l l i d e f l Z Eresi 9 de rerezere fcţiei f se meşe form comleă seriei Forier 6 Dezvolre ei fcţii î serie de fcţii orogole Aroimre fcţiilor î medie ărică Relţi de îchidere li Prsevl Alizîd modl de deermire coeficieţilor seriei Forier observăm că rţiomeele folosie s- bz e rorieăţile cocree le fcţiilor 3

103 rigoomerice di siseml rigoomeric fdmel ci mi e roriee de orogolie Di ces moiv ese rl c î locl sisemli rigoomeric de fcţii orogole să lăm sisem orecre de fcţii orogole Î ces fel o fcţie oe fi rerezeă î serie c sisem de fcţii orogole obţiâd o serie Forier geerliză Fie şirl de fcţii orogole ϕ L b de ăr iegrbil e b R Per simlificre clclelor vom rese că şirl fos ormliz şi vom o c şirl oroorm di Lb Să resem Ψ că f Lb şi că e se oe rereze sb form ei serii iform covergee e b î ror c siseml de fcţii oroorme Ψ Coform ioezelor făce vem : f c Ψ Per deermire coeficieţilor c N îmlţim eglie c cojgl Ψ l fcţiei obţiem : b Ψ şi iegrâd erme c erme e iervll b b f Ψ d c Ψ Ψ d c Ψ c şi deorece siseml Ψ ese oroorm vem : 3 m Ψm Ψm m Coeficieţii deermiţi ri relţi se mesc coeficieţii Forier c geerlizţi i fcţiei f Lb reliv l siseml oroorm de fcţii Ψ e b Seri se v mi seri Forier geerliză fcţiei reliv l siseml oroorm Ψ Teorem li Dirichle rămâe vlbilă şi er seriile Forier geerlize Asfel relţi re loc î fiecre c de coiie fcţiei f di iervll b dcă re relă şi re imgiră le fcţiei comlee f Lb sisfc codiţiile eoremei li Dirichle Eeml Să dezvolăm î serie dă oliomele li Hermie fcţi f e R Poliomele li Hermie defiie ri relţi: d 4 H e e N R formeză sisem d orogol c odere e e R Fcţi f e L R şi sisfce codiţiile eoremei li Dirichle deci : 5 e c H R 4

104 Îmlţid cesă eglie c e H şi iegrâd e bz rorieăţii de orogolie obţiem : c e H! e d H d c e H d c! de de: Iegrîd ri ărţi şi ţiâd sem de 4 obţiem: e H d e H d 4 e d e Pri rmre seri Forier geerliză coreszăore fcţiei fe ese : H 4 e e! vlbilă er orice R Defiiţie Fie fg L b Nmim erore ărică medie fcţiei f fţă de g mărl b b 6 δ f g d f g b Nmărl δ rereziă o măsră erorii ce o fcem dcă roimăm fcţi f ri g s fcţi g ri f Acesă măsră erorii miă erore ărică medie ese deosebi de ilă î sdil seriilor Forier deorece ese legă direc de orm fcţiilor de ăr iegrbil Fie fcţi f L b şi siseml oroorm de fcţii comlee Ψ de ăr iegrbil e iervll b Fcţi: 7 S λ Ψ se meşe oliom orogol e iervll b Să deermiăm coeficieţii λ i oliomli 7 sfel îcâ erore ărică medie fţă de fcţi f să fie miimă Avem : b b δ b f S d f λ Ψ d Ţiîd sem că fcţiile f Ψ s fcţii comlee ir λ mere comlee er dezvolre eresiei de sb seml iegrlă de mi ss vom folosi forml : α β α β α β α β α β αβ Obţiem : 5

105 b 8 δ b f d λ f Ψ d λ f Ψ d λ λ Ψ Ψ d b i j b i b j i j Siseml de fcţii Ψ fiid oroorm şi ţiâd sem că coeficieţii Forier coreszăori fcţiei f reliv l siseml oroorm s b c f Ψ d eglie 8 devie: δ b f λc λ c λ λ f c 9 c λ c λ f c c λ Di relţi 9 rezlă că δ v fi miimă dcă c λ Am obţi sfel : Teorem Dire oe oliomele orogole cel er cre erore ărică medie fţă de fcţi f L b ese miimă ese cel i cări coeficieţi s coeficieţii Forier geerlizţi reliv l fcţi f Aces îsemă că fcţi c Ψ relizeză ce mi bă roimţie î medie ărică fcţiei de ăr iegrbil f Pem scrie: de Ψ δ b f c Deorece δ rezlă ieglie: f b f d c f miă ieglie li Bessel Pem sfel eţ : Teorem Sm ărelor modlelor coeficieţi Forier i ei fcţii de ăr iegrbil reliv l sisem de fcţii oroorme ese cel ml eglă c ărl ormei fcţiei f Dcă cosiderăm seri c ermei oziivi c ci di ieglie li Bessel dedcem că smele rţile le seriei s mărgiie de f ; ri rmre seri c ese o serie covergeă Di ces moiv î ieglie li Bessel em cosider şi se obţie : c miă ieglie li Prsevl f 6

106 Defiiţie U şir orogol de fcţii Ψ de ăr iegrbil ese sisem îchis dcă er orice f L b re loc relţi : 3 c miă relţi de îchidere li Prsevl Fie f L l l l > Siseml rigoomeric orm : f cos si cos si 4 l l l l l ese sisem îchis Î ror c siseml orogol 4 coeficieţii Forier s : l l cos / l c f d f cos d l l l l l l c // b l si f l l c d f l l l l / // Îlocid c c c obţiţi mi ss î 3 obţiem relţi de îchidere li Prsevl l 5 b f d l l Dcă l 5 devie : 6 b f d Eeml Să se scrie seri Forier rigoomerică şi oi eglie li Prsevl er fcţi: l er < f er < Să se dedcă oi smele seriilor: si Seri Forier ese: f de cos b l si şi f d f cosd şi b cos f si d 7

107 Grficl li f ese: - - Avem 3 Aoi 4 d de de rezlă: d si cos si si dică: şi: b si d cos dică: 5 b f ră! Deci seri Forier şă fcţiei fz ese: 6 f Eglie li Prsevl ese: si cos 7 b f d s de de: 4 8 si d si 9 Rezlă sm ceră: 8

108 si Per clcl cos scriem: cos si si Şim că: 6 ;deci cos 6 7 Probleme rose Să se dezvole î serie Forier fcţi : ] f ; 3 ] [] b f ; 3 [3] cos 5 4cos c f R Să se dezvole î serie Forier de si şi reseciv cos fcţi : f ; 4 [] b f ] 9

109 3 Să se deermie seri Forier rigoomerică fcţiei eriodice f e de eriodă Di dezvolre obţiă şi di sh relţi de îchidere li Prsevl să se clcleze smele : şi 4 Să se scrie seri Forier rigoomerică şi oi eglie li Prsevl er fcţi : < f > Să se clcleze oi smele seriilor : si şi cos

110 CAPITOLUL V TRANSFORMARI INTEGRALE Iegrl Forier Form comleă şi form relă iegrlei Forier Czl fcţiilor re s imre Să cosiderăm o fcţie f relă s comleă defiiă e R şi eeriodică Fcţi f mi oe fi dezvolă î serie Forier Î schimb î mie codiţii f oe fi rerezeă rir-o iegrlă dblă imrorie cre reziă o orecre logie c seri Forier Are loc: Teorem Fie f o fcţie relă s comleă c rmăorele rorieăţi : Sisfce codiţiile li Dirichle î orice iervl de lgime fiiă Î fiecre c c de discoiie vlore fcţiei ese eglă c f medi rimeică limielor lerle î cel c c [ f c f c ] iegrl 3 Ese bsol iegrbilă e C le cvie f d ese covergeă Î cese codiţii eisă eglie: i f d f τ e τ dτ Iegrl dblă imrorie ri cre ese rerezeă fcţi f se meşe iegrl Forier ir eglie se meşe forml iegrlă li Forier i τ form eoeţilă î se oe l şi e s form comleă Fie F o fcţie eriodică de eriodă l defiiă ri eglie: F f [ l l] Acesă fcţie îdelieşe codiţiile li Dirichle deci oe fi dezvolă î serie Forier: l iω τ F F e ω l l s ţiîd sem de l 3 F l i τ f τ e dτ l l Di 3 vom obţie o rerezere fcţiei f recîd l limiă er l

111 Să cosiderăm o oă vribilă relă şi să oăm ω Per l d i τ em o: ϕ f τ e dτ l l Observăm că ω ω şi 3 devie: l F ϕ Acesă serie ese semăăore c smele ce defiesc iegrl Riem Trecîd l limiă er l lim eglie devie: de f ϕ d ϕ dică ocmi forml i f τ e τ dτ Form relă rigoomerică iegrlei Forier Czl fcţiilor re s imre Dcă î se fce îlocire : τ e i cos τ i si τ cesă eglie se mi scrie: 4 Observăm că fcţiile : rorieăţile: i f d f τ cos τ dτ d f τ si τ dτ g f τ cos τ dτ h f τ si τ dτ g g h h g d deci: g d h d şi 4 se v redce l: 5 f d f τ cos τ dτ Eglie 5 se meşe form relă s rigoomerică formlei li Forier Demirile : "form relă" reseciv "form comleă" iegrlei Forier s jsifice mi î czl câd f ese o fcţie relă ; oşi cese se folosesc şi î czl câd f ese o fcţie comleă

112 Observţie Să cosiderăm form relă 5 iegrlei Forier şi să fcem îlocire : cos τ cos cos τ si si τ Eglie 5 se mi oe scrie: 5' f cos d f τ cosτ dτ si d f τ si τdτ Dcă oăm: vem: A f τ cosτ dτ B f τ si τ dτ f [ A cos B si ] d Alogi c seri Forier ese evideă Are loc: Teorem Dcă f ese o fcţie ră forml li Forier se redce l : 6 f cos d f τ cosτ dτ Dcă f ese imră ci: 7 f si d f τ si τ dτ Îr-devăr dcă f ese o fcţie ră ci ror c τ ir f τ si τ ese imră şi vem : şi f τ cosτ dτ f τ cosτ dτ f τ si τ dτ Eglie 5' se redce l 6 Alog se jsifică 7 Trsform Forier f τ cos τ dτ ese ră î Iegrl Forier re licţii fore vrie Uele di cese s lege direc de oţie de rsformă Forier Fie f o fcţie cre oe fi rerezeă ri iegrl Forier Eglie se mi oe scrie: i i e d f τ e τ dτ f 3

113 Dcă oăm g iτ i f τ e dτ f e d vem: i f g e d Defiiţi Fcţiile: g 8 f f e g e i i d d se mesc rsform Forier celeille Di 8 observăm că em scrie şi : i g f e d 8' i f g e d cre ră că f şi g rolri simerice Alog dcă î 6 se oeză : g f τ cosτdτ f cos d cesă eglie devie: f g cos d ir dcă î 7 se oeză : g f τ cosτdτ f si d eglie 7 se scrie: f g si d 4

114 Defiiţi Fcţiile: g f cos d 9 f g cos d se mesc rsform Forier ri cosis celeille Eeml Să se fle rsform Forier ri cosis fcţiei: f Di rezll obţi să se găsescă: si Trsform Forier ri cosis fcţiei f ese: g f cosd s cos cos g d d Per clcll iegrlei: şi corl de mi jos: cos I d d cosz z să cosiderăm fcţi h z C [ R R] Γ D * i z i Γ Observăm că: -R R z dz h d C R h h z dz R Γ Trecâd l lim R î relţi obţiem: / cos h z dz d lim h z dz R C Γ 5

115 Pe bz eoremei rezidrilor h z dz irezh i z i D ol dbl; C z i D şi lim h z dz di lem li Jord: R Γ lim zh z R z Γ h z dz câd R Di / obţiem: 3 I irezh i Observăm că: z z z i z i z rezh cos si cos i lim z i lim z i z i z i z i z i 4 isii cosi rezh i 4i s iw iw iw iw e e e e si w cosw : i 4 sh ch rezh i 4i de de: Di 3 şi 4 obţiem: 5 I ch sh 6 g ch sh Per clcll iegrlei: si d derivăm relţi: cos g d î ror c vribil şi obţiem: 6

116 g si d s folosid 6: sh sh ch si d de de: si 7 d ch 4 Defiiţi 3 Fcţiile: g f si d f g si d se mesc rsform Forier ri sis celeille Să cosiderăm eglie do di 8: i f g e d Acesă eglie ese o ecţie î cre fcţi ecoscă g figreză sb seml de iegrre Solţi cesei ecţii ese dă de rim eglie di 8 Î geerl dcă îr-o ecţie fcţi ecoscă figreză sb seml de iegrre se se că ce eglie ese o ecţie iegrlă Î czl de fţă vem o ecţie iegrlă de o formă secilă cre eori se meşe ecţie iegrlă de i Forier To ecţii iegrle de i Forier s cosidere şi ecţiile: f g cos d şi f g si d c f defiiă er > şi îdeliid codiţiile eoremei Eeml Să se rezolve ecţi iegrlă de i Forier: g cos d ϕ ϕ Ecţi dă se mi oe scrie: de : < er > 7

117 g cos d f de: f ϕ er < > Solţi ecţiei ese: f cos d g f cos d Deorece f er > do iegrlă ese lă Rmâe: g cos cos d 3 Trsform Llce OrigilTrsform LlceProrieăţi Clcll oerţiol se bzeză e relizre ei coresodeţe îre doă mlţimi de fcţii: mlţime fcţiilor mie origil şi imgiile lor obţie rir-o me rsformre Ieresl e cre îl reziă cesă coresodeţă se doreză fli că oerţiilor de derivre şi de iegrre lice fcţiilor origil le coresd mie oerţii lgebrice cre se lică imgiile lor Defiiţie Se meşe origil o fcţie f relă s comleă defiiă e mlţime merelor rele şi cre sisfce rmăorele codiţii: f er < ; f ese derivbilă e orţii; 3 eisă doă mere M > şi s sfel îcâ: s f M e Nmărl se meşe idice de creşere s 8

118 S-r ăre că rim codiţie ese rificilă Dr meodele oerţiole se referă l rezolvre or robleme î cre mărime fizică rerezeă ri f re roriee că s ese lă îie de momel iiţil s vlorile sle er < reziă ieres Se se că fcţi f defiiă e iervl I mărgii s emărgii ese derivbilă e orţii dcă er orice iervl eisă o divizie d - b sfel îcâ f să fie derivbilă e fiecre iervl i- i şi să eise limiele lerle: f i / / f f f i { } i i A rei codiţie ră că vlorile modlli fcţiei o fi mjore ri vlorile ei eoeţile Ce mi simlă fcţie origil ese fcţi ie: < η > Fie f o fcţie origiloăm Defiiţie Fcţi 3 F f e d f O s iσ se meşe imgie dă Llce fcţiei f s rsform Llce fcţiei f Domeil î cre fcţi Foă şi FL[f] ese defiiă ese reciz de rmăore: Teoremă Fie s idicele de creşere l fcţiei f Imgie F fcţiei f ese deermiă î semill s > s şi ese o fcţie olomorfă î ces semil ; î ls f i / 4 F f e d 9

119 Trsform Llce ese o rsformre liiră dică: L[ f g ] L [ f ] L[ g ] 5 L[ f ] L [ f ] o cosă Prorieăţi le rsformei Llce Teorem semăării Fie f o fcţie origil şiα o cosă α > Fcţi ϕ f α ese de semee o fcţie origil Dcă F ese imgie fcţiei f ci α > vem: L 6 f α F α α Vom o L[f] Lf Di 6 obţiem: Lϕ f β e τ α d f τ e dτ F α α α Eeml Să resem coscă imgie fcţiei : Aci : si : Lsi ω L siω ω > ω ω ω Teorem îârzierii Dcă î fcţi origil f îlocim e c τ de τ ese o cosă obţiem o oă fcţie origil f τ cre ese lă er τ < şi i celeşi vlori c f îsă c îârziere τ figr Dcă τ > ces rereziă efeciv o îârzie Îârziere τ se rdce ri îmlţire imgiii c τ 7 Lf τ e Lf τ e :

120 f f-τ τ O O Demosrţie Ţiâd sem că f τ er < τ vem: f τ e d τ f τ e d C schimbre de vribilă τ lim iegrlă devie: şi eglie 7 ese dovediă f τ e d τ f e d e τ Lf 3 Teorem delsării Fie f o fcţie origil vîd idicele de creşere s şi F imgie s Îlocire li î F c -q de q ese o cosă oe fi ierreă c o delsre cre dce origie î cl q Delsre origiii di ll vribilei î cl q se rdce ri q îmlţire origilli c e : q 8 Lf q L[ e f ] Îr-devăr

121 Lf q f e q q q d [ f e ] e d L[ f e Fcţi F-q ese olomorfă î semill s > s Req λ ω Eeml L e siω λ ω 4 Derivre origilli Vom rese că f şi derivele sle âă l ordil cre r s fcţii origil Fie F Lf Imgie derivei ese: 9 / Lf F f Î geerl / Lf F [ f f f ] de f f f f {3 -} lim > lim Î ele robleme ff'f- Î ces cz egliăţile9 şi devi: / Lf F Lf F şi derivre origilli se rdce ri îmlţire imgiii sle c Să demosrăm mi îâi eglie 9 Avem: Rmâe: Lf / / f e d Iegrâd ri ărţi obţiem: Lf > / [ f e ] f e d Priml erme di membrl dre se redce l -f deorece: ss şi deci f e Lf f e f e Me s > s / f f e d ] lim şi eglie 9 ese demosră Per obţie eglie vom îloci î 9 e f' sccesiv c f" f Avem: Lf Lf Lf / // /// F f Lf Lf Lf Lf f / Lf f / // f f

122 Îmlţim rim eglie c - do c - rei c -3 ec lim rămââd eschimbă dâd oi obţiem eglie Eeml Coscîd imgie fcţiei cos ω L cosω ω să dedcem imgie fcţiei folosid eorem de derivre origilli ω L ω siω ω ω Doriă rorieăţii de liirie -ω oe fi scos î sâg oerorli L şi simlificîd c -ω obţiem: ω L siω ω 5Derivre imgiii Eglie 4 se mi oe scrie: / 4' F L[ f ] Fcţi F fiid olomorfă î semill s > s di roe î roe se obţie: F L[ f ] Relţi erimă fl că derivre imgiii se rdce ri îmlţire origilli c - 6 Iegrre origillipri iegrre fcţiei origil f se îţelege oerţi: f τ dτ Se obţie o oă fcţie origil e cre o oăm c g: g f τ dτ Iegrre origilli se rdce ri îmărţire imgiii sle c : 3 L f τ dτ F Per demosrţie observăm că : g' f g Avem : Lg' Lf Alicâd eorem referiore l derivre origilli c oţiile de mi ss obţiem LgLf di cre rezlă 3 3

123 7 Iegrre imgiii Fie f o fcţie origil şi FLf Iegrre imgiii se rdce ri îmărţire origilli coreszăor c : f 4 f q dq L 8 Prodsl doă imgii Prodsl doă origile Fie f şi g doă fcţii origil şi fie imgiile lor: F Lf G Lg Aci: Prodsl ese o o imgie şi me: 5 F G L f τ g τ dτ Iegrl di membrl dre se oeză : f g f τ g τ dτ şi se meşe rodsl de covolţie l fcţiilor f şi g Imgie rodsli f g ese 6 [ f g ] F q G q dq > s i i L i 4Trsformre iversă Forml Melli-Forier Am văz că dă fiid o fcţie origil f imgie s F ri rsformre Llce ese comle deermiă Se e roblem iversă să se deermie origill f câd se coşe imgie s F Răssl ese d de rmăore : Teoremă Dcă f ese o fcţie origil vîd idicele de creşere s ir F ese imgie s eglie: i f F e d > s i i re loc î oe cele î cre f ese coiă Î fiecre c c de discoiie vlore fcţiei di membrl dre ese eglă c : 4

124 [ f c f c ] Eglie se meşe forml li Melli-Forier şi rereziă ivers rsformării: Noăm : f L F F f e d Demosrţie Să cosiderăm fcţi: ϕ e [ f c f c ] eglă c e f e mlţime celor î cre f ese coiă Î orice iervl mărgii ϕ oe decâ ce de discoiie de seţ îâi î măr fii cese fiid cele î cre f ese discoiă Vlore fcţiei ϕ îr- c de discoiie ese eglă c medi limielor sle lerle î cel c Observăm că fcţi ϕ re rmăorele rorieăţi: Ese derivbilă e orţii; Î fiecre c de discoiie ϕ c [ ϕ c ϕ c ] 3 Ese bsol iegrbilă e iervll Primele doă rorieăţi s evidee A rei se dovedeşe imedi Deorece f ese o fcţie origil ϕ er < şi rămâe să răăm că ϕ ese bsol iegrbilă e Pe ces iervl vem î oe cele î cre ϕ ese coiă : s ϕ e f M e s şi er > s iegrl fcţiei M e e iervll ese covergeă De ici rezlă că ϕ ese bsol iegrbilă e Doriă celor rei rorieăţi de mi ss ϕ oe fi rerezeă rir-o iegrlă Forier Avem: τ σ τ ϕ dσ f τ e e dτ deorece ϕ er < De ici rezlă: iσ iσ τ e ϕ e dσ f τ e dτ C schimbre de vribilă iσ dedcem : 5

125 i e i i Ţiîd sem că eorem ese demosră d F τ f τ e dτ e ϕ f τ e dτ [ f f ] cesă eglie se redce l şi 5 Teoreme de dezvolre Eemle Per deermire origilli f câd se coşe imgie s F se folosesc deseori eoremele rmăore mie eoreme de dezvolre: Teorem Dcă F ese o fcţie rţiolă A F B î cre grdl mărăorli ese mi mic c cel ţi doă iăţi decâ grdl miorli ir miorl B re rădăcii simle fie cese ci F ese imgie fcţiei: A f e / B Demosrţie Î ioezele de mi ss fcţi F dmie o descomere de form: F Coeficiel j se oe clcl iegrîd fcţi F e cerc Γ j c cerl î j şi de rză sficie de mică sfel c î ieriorl să să mi coţiă l ol l fcţiei F Avem: F d Γ Γ j Î vire eoremei li Cch Γ Pe de lă re Γ Γ d d i er j deci F d i j j d j j 6

126 Folosid eorem rezidrilor şi forml de clcl er rezid reliv l ol siml vem: / j j j B A i rezf i d F j Γ Comrăm c eglie recedeă şi dedcem: / j j j B A C ces dezvolre fcţiei F devie: B A F / ir origill să re evide eresi Coseciţ U cz imor î licţii ese cel î cre di rădăcii ese lă Fie Noăm B R şi vem: / / R R B Deorece R { 3 } vom ve : / / / / R B R B B Descomere li F v l form: R A R A F / şi devie: e R A R A f / Acesă eglie se meşe forml li Heviside Coseciţ Î czl î cre B A F frcţie rţiolă c grd ir ecţi B re de eeml rădăcii mlile vîd ordil de mlilicie grdb A λ ci : 3 Re i i zg d e F i f de 7

127 4 λ λ rezg [ F e ] c > m Re λ! şi > Forml de mi ss se obţie licîd eorem rezidrilor fcţiei G Fe e crb îchisă Γ di figră recîd l limă er R şi ţiâd co de forml li Melli-Forier: AiR C B-iR Γ C BA Eeml Se cere origill fcţiei: F 4 Uilizăm rim eoremă de dezvolre î cre A B 4 Polioml B re mi rădăcii simle s c olă scriere f e 6 i e i ± i± i C e f cos cos 3 e i i 6 A / B 5 obţiem: 8

128 6Alicţii le rsformei Llce Rezolvre oerţiolă ecţiilor difereţile şi sisemelor de ecţii difereţile c coeficieţi cosţieemle Doriă fli că ri rsform Llce oerţiilor de derivre şi iegrre le coresd oerţi de îmlţire reseciv de îmărţire c ese osibilă simlificre rezolvării or robleme şi ehicizre clclelor Asmbll cesor rocedee bze e ilizre rorieăţilor rsformei Llce cosiie clcll simbolic s clcll oerţiol Î geerl ri licre rsformei Llce ecţiile difereţile devi ecţii lgebrice căror rezolvre ese ml mi simlă Să cosiderăm roblem deermiării fcţiei > cre verifică ecţi difereţilă liiră c coeficiţi cosţi : / f > şi codiţiile iiţile : / de f s de Vom rese că f ese origil şi că fcţi cre sisfce şi îdelieşe codiţiile imse origilelor sfel îmlţim c fcţi li Heviside şi obţiem codiţiile Î cese codiţii licâd rsform Llce eciţiei şi ţiâd sem de rorieăţile de liirie rsformei Llce vom obţie : / 3 L L L L Lf Noăm : L Y Lf F şi ţiâd sem de codiţiile iiţile recm şi de regl de derivre i origil vem egliăţile : 4 L Y 3 L Y // L Y / L Y Îlocid relţiile 4 î 3 şi ţiâd sem de oţiile făce obţiem o ecţie de form : 5 P Y - G F 9

129 de G oliom î Ecţi 5 se meşe ecţi oerţiolă coreszăore ecţiei c codiţiile iiţile s roblemei Cch coreszăore Di ecţi oerţiolă 5 găsim : P 6 P G F Y Solţi ecţiei cre sisfce codiţiile ese : 7 L-Y şi se deermiă fie folosid formlele li Melli-Forier fie ri descomeri covebile le fcţiei Y Observţie Î geerl er deermire or fcţii origil câd se cosc imgiile lor se ilizeză bele c rsform Llce Eemll Să se deermie solţi ecţiei ''-7' 3e > ' -3 Noăm : L Y Alicâd rsform Llce obţiem : -7 Y- 3/- de de C B A Y Găsim : C B A Deci : > e e e Y L Eemll Să se deermie fcţiile şi cre verifică siseml : / // / / // / // şi codiţiile iiţile : ; ' - / Siseml oerţiol coreszăor ese : Y X X Solţi cesi sisem ese : 3

130 X Y Origilele cesor fcţii vor fi ocmi solţi sisemli : e-si - e-cos 7 Probleme rose ch Să se fle rsform Forier ri cosis fcţiei f : R R f Să se fle rsform Forier ri sis fcţiei f R R f : Să se fle rsform Forier ri cosis fcţiei f Di si rezll obţi să se găsescă : d 4 4 Să se rezolve ecţi iegrlă de i Forier: f cosd > 5 Să se deermie fcţi f cre sisfce ecţi iegrlă dei Forier: f cosd > 4 3

131 6 Flosid meod oerţiolă să se deermie solţi ecţiei difereţile c codiţiile iiţile secifice : // / 4 si 4 /// / / // b cos 3 7 Flosid meod oerţiolă să se iegreze siseml de ecţii difereţile c codiţiile iiţile secifice : de: / 4 4 / 6 ; 3 5 ; ; / z / z b ; / z z z z z 3

132 CAPITOLUL VI ECUAŢIILE FIZICII MATEMATICE Observţii geerle sr ecţiilor c derive rţile Defiiţii şi eemle Se meşe ecţie c derive rţile orice ecţie de form: m F m de F:ΩRR R s R ese o fcţie dă Ω R ese domei d cre se meşe domei de defiiţie l ecţiei cosidere Ω Fcţi :Ω R ese ecosc ecţiei Iă câev eemle de ecţii c derive rţile Ecţi li Llce: i i s ecţi li Poisso: 3 - f de f:ω R R ese o fcţie dă Ecţi delor: 4 f de ese măr oziiv d f o fcţie coscă defiiă e domei DΩXR Ω R Primele vribile se mesc vribile sţile Ulim vribilă se oeză c şi se meşe emorlă rereziă iml 3 Ecţi căldrii: 33

133 5 f î cre oţiile s celeşi c şi l ecţi delor Acese ecţii s des îâlie î licţii Ecţi se meşe liiră dcă fcţi F ese liiră î ror c vribil şi î ror c oe derivele rţile le li cre iervi î ecţie Asfel ecţi: i 6 i i ese liiră c derivele rţile de ordil îâi f Î cele ce rmeză vom sdi mi ecţi difereţilă liiră de ordil l doile Form geerlă ese: 7 f ij ij i i i j i de vom rese că fcţiile ij ji s de şi ij i f : Ω R R Noţie cerlă legă de ecţii ese ce de solţie O fcţie : Ω R se meşe solţie ecţiei dcă îlociă î cesă ecţie e codce l o eglie î fiecre c l domeili Ω De eeml si cos ese solţie e R ecţiei: 8 ir fcţi ese o solţie e R ecţiei li Llce Ecţi re ici o solţie i i Clsificre ecţiilor liire de ordil l doile Fie Ω c orecre fi Aşăm ecţiei 7 olioml: P ξ de ξ R ij ij ξ ξ i j ξ ξ ξ P se meşe olioml crcerisic î cl l ecţiei 6 Aces oliom ese chir o formă ără 34

134 Defiiţi Ecţi 7 se meşe eliică î cl dcă P ξ> s P ξ< ξ R \{} Defiiţi Ecţi 7 se meşe hierbolică î cl dcă olioml crcerisic îşi schimbă seml dică eisă cel ţi vecor ξ şi η sfel îcâ să vem P ξ> s P η< Defiiţi 3 Ecţi 7 se meşe rbolică î cl dcă P ξ> ξ R s dcă P ξ ξ R şi eisă cel ţi vecor ξ sfel îcâ P ξ Sem că ecţi 7 ese eliică î domeil Ω dcă e ese eliică î fiecre c l domeili Ω Îr- ses log ilizăm oţiile de ecţie hierbolică î domeil Ω s de ecţie rbolică î domeil Ω Eemle Polioml crcerisic l ecţiei li Llce ese P ξ ξ ξ ξ ; deci Pξ> ξ R eliic e R Per ecţi li Poisso deci ecţi ese o de i eliic e R P \{} şi ecţi li Llce ese de i P ξ ξ ξ ξ < ξ R \{} şi Polioml crcerisic l ecţiei delor se oe scrie î fell rmăor ξ δ δ ξ ξ ξ Per ξ şi δ vem Pξ δ - < ir er ξ şi δ Pξ δ > cee ce îsemă că ecţi delor ese de i hierbolic î fiecre c l domeili să de defiiţie 3 Î czl ecţiei căldrii vem P ξ δ ξ ξ ξ Observăm că Pξ δ ξ R ir er ξ şi δ P Deci ecţi ese de i rbolic î fiecre c l domeili de defiiţie U cz riclr imor l ecţiei 7 ese ecţi c doă vribile ideedee Vom o ; ecţi 7 se mi oe scrie şi sfel: b c d 35

135 Ecţi se meşe cvsiliiră roe liiră dcă d ; dcă d ecţi se meşe liiră Polioml crcerisic l ecţiei ese: 3 P ξη ξ b ξη c η Noăm: 4 δ b c Aci: Dcă < ci δ ξη cz ecţi ese eliică î cl Dcă ci δ ξη P > s < ξ η R \{} Î ces P s ξ η R şi P; Pri rmre î ces cz ecţi ese rbolică î cl 3 Dcă δ > ci olioml 3 îşi schimbă seml deci ecţi ese hierbolică î cl 3 Form coică ecţiilor liire de ordil l doile Orice ecţie de form: 3 λ f i i i i i i se meşe ecţie de formă coică dcă λ i {- } er fiecre i { }Polioml crcerisic l ecţiei 3 ese P ξ λ i ξ i i Deorece λ i o fi egli mi c s cesă formă ărică ese de formă coică î sesl îâli î lgebr liiră Ese evide că Pξ> ξ λ λ λ ir Pξ< ξ λ λ λ - Pri rmre form coică ecţiilor eliice ese: ± f i i i Dcă λ λ λ s λ λ λ - şi λ λ de < vom ve Pξ ξ R reseciv Pξ ξ R cee ce îsemă că form coică ecţiilor rbolice ese : 36

136 i i i i i f Dcă eisă cel ţi coeficie λ i egl c şi cel ţi l egl c ci şi dor ci ecţi 3 v fi form coică ecţiilor hierbolice Preziă ieres să rsformăm o ecţie dă î form coică Vom reze ces lcr er ecţi 7 c coeficieţi cosţi Noăm c A mrice oliomli crcerisic Di ij P ξ ξ ξ ij { } ij i j i j lgebr liiră se coşe că eisă o mrice esiglră B b ij } sfel ij { că dă îlocire vribilelor ξ ξ ξ c vribile oi η η η de de egliăţile j 3 η b ξ i i ij j olioml crcerisic se rsformă î form coică η i mricile A şi B şi îre merele λ λ λ eisă rmăore relţie: λ 33 B * AB λ de B * ese djc li B λ Are loc rmăore eoremă: Q λ η i i Îre Teorem 3 Dcă coeficiţii ij s cosţi ci dă îlocire vribilelor c vribilele de de egliăţile: j 34 b i ecţi 7 se rsformă î: i ij j 35 λ b b g i i i i i i de: λ i {- } Demosrţie Di 34 rezlă egliăţile: 37

137 i λ i i b i şi i j b b b i l i jl j l Dă îlocire cesor egliăţi î ecţi 7 obţiem: b g i i i i ij jl l i j l 36 b b Îsă b b i ij jl i j ese elemel de e lii şi colo l mricei B * AB Deci coform egliăţii 33 vem: λ dc l b b i ij jl i j dc l Egliăţile 34 le scriem sb formă mricilă B * Rezolvâd ces sisem î ror c obţiem B* - Î sfârşi oâd b B* b b B* si g f B* di 36 obţiem i i form coică 35 i 4 Probleme de bză le eoriei ecţiilor c derive rţile Codiţii l limiă şi codiţi Cch Problemele cele mi imore le cesei eorii se formeză î mod diferi ri cele rei iri de ecţii Formlăm rezere roblemelor Dirichle şi Nem er ecţiile eliice şi roblemelor Cch er ecţiile de i rbolic şi hierbolic Cosiderăm ecţi: i j ij i j i 4 DDf de D D i i defiiă e domei mărgii Ω R Presem că ecţi 4 ese eliică î fiecre c l domeili Ω Ω froier domeili Ω 38

138 PROBLEMA Dirichle Fiid de doă fcţii f şi h f: Ω R h: Ω R să se găsescă o fcţie :Ω R cre să sisfcă rmăorele doă codiţii: şi 4 DDf Ω 43 h Ω lim Codiţi 4 îsemă că fcţi căă rebie să fie o solţie ecţiei 4 î domeil Ω Eglie 43 se meşe codiţi l limiă roblemei Dirichle şi se v o e scr c Ω f PROBLEMA Nem Fiid de doă fcţii f: Ω R h: Ω R să se găsescă o fcţie :Ω R cre să sisfcă rmăorele codiţii: şi de 44 DDf Ω d lim dυ 45 h Ω 46 cos d N dυ ij i j i j ir N ese orml eerioră l Ω fţă de Ω î cl Codiţi 45 se meşe codiţie l limiă şi se v o e scr d h dυ Ω Observăm că î czl ecţiei li Llce codiţi l limiă roblemei li Nem devie deosebi de simlă: d dυ N cos i i N i dică ocmi deriv fcţiei î direcţi ormlei N Pe lâgă cele doă robleme î rcică se mi îâlesc şi combiţii le lor Să cosiderăm mi dere mi ecţii rbolice de form riclră: 47 D D f şi ecţii hierbolice de form riclră: 39

139 48 D D f de D ese d î Presem că eresi DD ese eliică e o domeil de vriţie l vribilei sţile PROBLEMA Cch er ecţi rbolică 47 Fiid de doă fcţii f:r R R şi α:r R să se găsescă o fcţie :R R R cre sisfce rmăorele codiţii: şi 49 4 de R R D D f lim α R codiţi 4 se meşe codiţi iiţilă roblemei Cch Pe viior codiţi 4 se v o e scr / α Aricol I R R PROBLEMA Cch er ecţi hierbolică 48 Fiid de rei fcţii f:r R R şi α β:r R să se găsescă o fcţie :R R R cre sisfce rmăorele codiţii: şi 4 D D f 4 lim α R R R 43 lim β R de R R Codiţiile iiţile 4 şi 43 le vom o αsi β Fcem o imoră observţie relivă l oe roblemele de mi ss Per c eţrile cesor robleme să fie comlee rebie să mi idicăm şi clsele de fcţii di cre fc re coeficieţii ij i şi fcţiile f α β şi g 4

140 reseciv clsele de fcţii î cre se că solţi roblemei Toe cese recizări se vor fce î ciolele ce rmeză câd se vor sdi efeciv cese robleme Mi sbliiem că l sdiere cesor robleme se rmăresc rei sece ricile Eiseţ solţiei icie solţiei şi găsire or meode cre să e ermiă deermire efecivă solţiei s ei roimţii solţiei 5 Probleme de fizică ce codc l ecţii c derive rţile de ordil l doile Ecţiile c derive rţile modeleză feomee di fizică chimie ehică ec Asfel ecţiile hierbolice se îâlesc l descriere feomeelor odlorii Ecţiile rbolice descri feomee de rsfer cm r fi rsferl de sbsţe î rocesele de difzie Ecţiile eliice se îâlesc l feomeele sice deci l feomee cre vriză î im Vom reze câev eemle de descriere memică or robleme de fizică Să cosiderăm o cordă fleibilă de lgime l fiă l cee cre î oziţi de echilibr şi momel cord ese scosă di echilibr şi îcee să vibreze Ne roem să deermiăm oziţiile cordei er > resâd că se coşe oziţi iiţilă ei şi viezele celor ei l momel Fcem rmăorele ioeze simlificore: sr cordei cţioeză mi esie şi forţele de ierţie Cord vibreză îr- l fi şi delsre cordei de l oziţi de echilibr ese mică O sfel de siţie se relizeză dcă scoem cord di oziţi de echilibr şi o lăsăm să vibreze Trscriem î limbj memic roblem de mi ss Alegem ele de coordoe O î ll vibrţiei sfel c iervll l să coicidă c oziţi de res cordei Fcţi v rereze delsre cordei de l oziţi de res Per deermire oziţiei cordei v rebi să găsim ocmi fcţi 4

141 Alegem rbirr rc M M de e cordă Fie i bscis cli M i i Alegere rcli cosider cţioeză esie rerezeă de vecorii F i i siţi e ge î Mi l crb : M M F α F α Forţele de ierţie cre cţioeză sr li M M s rlele c O şi vlore lor bsolă ese: de rereziă desie cordei d Di fizică se şie că sm forţelor cre cţioeză sr rcli M M ese eglă c zero Deci roiecţiile cesei sme e cele doă e ese eglă c zero: 5 F cos α - F cosα d 5 F si α - F siα ici m o c F ; modll forţei şi α i ghil form de ge l M M c O Avem: F r i 4

142 i i α g cosα şi i i i α g i gα i si α de m ţi co de fl că delsre cordei de l oziţi de echilibr ese fore mică deci i vlori mici şi ci se oe eglij Asfel di 5 obţiem eglie: F F Arcl M M fiid les rbirr cesă eglie e ră că F deide de Uşor e em covige că fcţi F deide ici de im Îr-devăr lege li Hooe e ră că esie vriză î im mi dcă vriză lgime cordei Îsă lgime cordei ese dă de iegrl: d l Avâd î vedere că vibrţiile s mici găsim că: l l d d l Deci lgime cordei se oe cosider eschimbă î iml vibrţiei Pri rmre F deide de C cese observţii di rezlă că: d F 43

143 Ţiâd sem de relţi obţiem eglie: d F d vlbilă er orice ereche de ce şi de e iervll l cee ce ese osibil mi ci câd: F Presâd că desie ese cosă şi oâd ecţi cordei vibre: 53 F jgem l Problem de fizică formă iiţil se oe eţ memic î fell rmăor: Să se găsescă fcţi defiiă er <<l şi > cre sisfce rmăorele codiţii: l R ϕ ψ l 3 l > de ϕ şi ψ s fcţii de Fcţi ϕ rereziă rofill iiţil l cordei ir fcţi ψ - viez celor cordei î momel iiţil Deci m js l o roblemă Cch Dirichle er ecţi cordei vibre căldrii Trecem l rezere ei robleme de fizică cre e v codce l ecţi Cosiderăm o bră sbţire de lgime l şeză de- lgl iervlli l de e o sisemli de coordoe O Presâd că srfţ 44

144 lerlă brei ese ermic izolă deci schimb de căldră îre bră şi medil mbi se rodce mi ri cele doă cee le brei şi î orice mome dmiţâd că se coşe emerr fiecări c l brei l momel şi emerr mbelor cee î orice mome Presem că emerr brei î secţiile erediclre e ei ese cosă Adică emerr deide mi de bscis brei şi de iml Cosiderăm o orţie orecre M M di bră delimiă de bscisele şi Coform legii li Forier cie de căldră cre îră î orţie M M di căl ese dă de eglie: ir ri căl de eglie: q q τ τ ici ese o cosă miă coeficiel de codcibilie ermică ir cos τ ese ri secţiii erediclre brei Creşere ciăţii de căldră î orţie M M şi î iervll de im ese dă de eglie: s Q [ q q d] τ d Q τ dd Pe de lă re cesă creşere ciăţii de căldră se mi oe erim şi c creşere emerrii s c Q cσ { } Q cσ dd 45 d

145 de ese desie brei ir c ese o cosă miă căldr secifică brei Eglâd cele doă iegrle cre erimă e Q găsim: c σ - dd Ţiâd sem de fl că cesă eglie ese devără er orice > > şi orice l găsim că: s de 54 căldrii c c σ Deci emerr brei sisfce ecţi 54 miă ecţi Problem fizică e cre e-m ros-o o em rscrie ri rmăore formlre memică: Să se găsescă fcţi defiiă er <<l şi > cre sisfce rmăorele codiţii: l R l 3 α l β > de α şi β s fcţii de Fcţi rereziă emerr brei l momel α e dă emerr brei l căl ir β emerr brei l căl l î orice mome > Asfel roblem cosideră e- cods l o roblemă Cch Dirichle er ecţi căldrii Uliml eeml di fizică e cre îl cosiderăm e v codce l ecţi li Llce Să sdiem ecţi i flid îr- domei Ω di ll O Formlăm rmăore roblemă: coscâd viezele flidli e froier li Ω să se deermie cese vieze î cele domeili Ω Fcem ici işe ioeze 46

146 simlificore Presem că mişcre ese sţioră dică viez de mişcre deide de im; deci e deide mi de oziţi celor di Ω Noăm c v cesă vieză Presem că eisă oeţil l viezei dică: v grd Ω Mi resem că î domeil Ω eisă ici o srsă deci cele ri cre să ră s să disră flid Acesă ioeză se erimă ri eglie: s div v Ω Cosiderâd limele egliăţi obţiem: div grd 55 Ω Ω Pri rmre oeţill viezelor sisfce ecţi li Llce 55 Dcă mi ţiem semă şi de eglie d dn cos N cos N v N de N ese orml l Ω eerioră fţă de Ω ir N ese vecorl ir î direcţi li N ci roblem fizică cosideră se rse sfel: să se găsescă fcţi defiiă î domeil Ω cre sisfce rmăorele codiţii: Ω d f dn Ω de f:ω R ese o fcţie dă Problem fizică cosideră e- cods l o roblemă Nem er ecţi li Llce 47

147 Ecţii c derive rţile de ordil doi Clsificre Redcere l form coică Sdil or feomee fizice c vibrţiile firelor şi membrelor rogre căldrii rogre delor elecromgeice ş codc l ecţii difereţile c derive rţile de ordil doi Dedcere cesor ecţii ce descri î im şi sţi evolţi feomeli sdi se relizeză ri licre or legi secifice feomeli reseciv ţiâd-se sem de codiţiile cocree de riţi şi evolţi feomeli reseciv Di ces moiv e lâgă ecţi difereţilă ce rereziă rezll modelării memice feomeli sdi rebie de codiţiile slimere cocree î cre s- reliz feomel f ce sigră î geerl icie şi eiseţ solţiei roblemei cercee Rezolvre diferielor robleme cre codc l ecţii difereţile c derive rţile de ordil doi ese srâs legă de redcere cesor ecţii l forme mi simle rir-o schimbre vribilelor ideedee Acese forme iredcibile l lele mi simle le vom mi forme coice Fie ecţi c doă vribile ideedee şi : b c d de coeficieţii b c şi fcţi ecoscă s de clsă C D D R ir bc eli siml î D Observăm că ecţi ese liiră î geerl mi c derivele de ordil doi Di ces moiv se meşe ecţie cvsiliiră roe liiră Ecţiei îi şăm ecţi d b dd c d miă ecţi crcerisică ecţiei Să cosiderăm schimbre de vribile: 3 ξ ξ η η 48

148 c roriee D D ξη cee ce sigră osibilie deermiării li di 3 ξη Ψ ξη Ψ Per derivele fcţiei vom obţie: 4 η η ξ ξ ; η η ξ ξ 5 η η ξ ξ η η η ξ ξ ξ ξ η 6 η η ξ ξ η η η ξ ξ ξ ξ η 7 η η ξ ξ η η η η ξ η ξ η ξ ξ ξ ξ Îlocid cese eresii î ces devie o o ecţi cvsiliiră: η ξ Dξ η η C ξ η ξ η B ξ ξ η ξ A η de oii coeficieţi eresiile: 8 η ξ η c η η b η η C ξ c η ξ η ξ b η ξ η B ξ ξ c ξ ξ b ξ η A ξ Vom deermi schimbre de vribile 3 sfel c ecţi să i o formă câ mi simlă Deorece ecţi crcerisică se descome î doă ecţii difereţile ordire de ordil îâi rezlă că cele doă fmilii de crbe iegrle o fi rele disice rele şi cofde s comle cojge î fcţie de 49

149 seml eresiei δ b c Ecţiile difereţile de il o fi clsifice î: I Ecţii de i hierbolic dcă δ> D II Ecţii de i rbolic dcă δ D III Ecţii de i eliic dcă δ< D I Redcere l form coică ecţiilor de i hierbolic δ> î: Dcă şi c s siml li de eeml ecţi se descome d d d d 9 µ ; µ de µ şi µ s rădăciile ecţiei µ -bµc b Pri iegrre ecţiei 9 se obţie ϕ C ϕ C Prir-o delsre e di crbele vem reseciv: ϕ ϕ ϕ d d ; ϕ d d Ţiâd sem că s- obţi ri iegrre ecţiilor 9 rezlă: µ Ilocid î vem: ϕ ϕ µ ϕ ϕ `` ϕ ϕ ϕ ϕ b c ϕ ϕ ϕ ϕ b c 5

150 vribile: Comrâd c 8 observăm că ese idică rmăore schimbre de ξ ϕ η ϕ er cre vem A C Coeficiel B oe fi l Îr-devăr c schimbre B re eresi: [ ϕ ϕ b ϕ c] ϕ ϕ B ϕ şi ţiâd sem de relţiile îre rădăciile şi coeficieţii ecţiei rezlă: ϕ c b ϕ B Deorece ri ioeză ϕ şi ϕ deid de b -c> rezlă B Ecţi oe fi scrisă :B sb form: ξη ξ η Hξη Ecţi ese form coică ecţiei de i hierbolic II Redcere l form coică ecţiilor de i rbolic δ d d Cele doă ecţii difereţile 9 se redc l sigră µ de µ verifică: µ bµ c 4 µ b d d Fie ϕc iegrl geerlă ecţiei µ Per o delsre e di cese crbe vem: ϕ ϕ d d 5

151 Dedcem şor că µ ϕ ϕ Îlocid î 4 obţiem: c b ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ b Observăm di 8 că dcă fcem schimbre de vribile ξϕ η s η găsim A B C Cm di obţiem: 5 η ξ η ξ P η Ecţi 5 ese form coică ecţiei de i rbolic Am ress Dcă di codiţi b -c rezlă b şi ecţi r fi v de l îce form coică III Redcere l form coică ecţiilor de i eliic δ< Fcţiile µ şi µ di 9 s imgir cojge Aceeşi roriee vor ve şi fcţiile ϕ şi ϕ di C schimbre ecţi s- reds l Per revei l fcţiile rele vom fce o oă schimbre de vribile Di egliăţile: ξαiβ; ηαiβ dedcem η ξ i β η ξ α Avem: β α 4 η ξ şi β i α ξ Se obţie sfel form coică ecţiei de i eliic: 6 β α αβ E β α Observţie Deorece δ< ecţi crcerisică re crbele crcerisice comle cojge: 5

152 ϕ ψ α iβ α iβ Efecâd schimbre de vribile: ξ α η β C C Ωc δ Ω < obţiem Bξ η Aξ η Cξ η şi ecţi rimeşe form coică: 7 E * ξ η ξ η ξ η 3 Ecţii liire şi omogee î ror c derivele de ordil l doile c coeficieţi cosţi Să cosiderăm ecţi: b c de b c s cose Ecţi crcerisică şă ecţiei ese: d d b c d d Rădăciile µ şi µ le ecţiei s cose Ecţi se îlocieşe ri ecţiile d - µ d d - µ d cre ri iegrre d: µ C µ C Vom dce ecţi l form coică de C şi C s cose Czl I Dcă δb -c > ecţi ese de i hierbolic µ µ rele C schimbre de vribile 3 ξ µ η µ 53

153 obţiem: η µ η ξ µ µ ξ µ η µ η ξ µ µ ξ µ η η ξ ξ Îlocid î şi ţiâd sem că µ şi µ s rădăciile ecţiei µ -bµc obţiem ecţi: η ξ b c 4 de de obţiem form coică: 4 η ξ Ecţi 4 se iegreză imedi Îr-devăr scrisă sb form: 4 η ξ se obţie ϕ η η Iegrâd cesă limă ecţie obţiem: ξ f dη η ϕ s 5 fξgη Reveid l vechile vribile solţi geerlă ecţiei ese: 5 f-µ g-µ Czl II Dcă δ ecţi ese de i rbolic î ioez că µ µ b şi ecţi difereţilă se redce l d-bd Iegrl geerlă cesei ecţii ese -bc Schimbre de vribile: η b ξ 54

154 dce ecţi l form coică 6 η Îr-devăr î ces cz obţiem: η η ξ b ξ b η ξ ξ b ξ şi îlocid î obţiem ecţi η ξ b c cre se redce δ l 6 Am ress Î cz corr di b -c r rezl b şi ecţi r fi v de l îce form coică Per iegrre ecţiei 6 observăm că em scrie: ξ f η de de η η Iegrâd îcă o dă obţiem η fξgη Solţi geerlă ecţiei se obţie di ces reveid l vechile vribile: 7 f - bg - b Czl III Î czl δ< ecţi ese de i eliic form s coică ese ecţi li Llce: 8 β α 55

155 4 Cord ifiiă Meod schimbării vribilelor meod li D Alember şi Eler Forml li D Alember Să cosiderăm ecţi: c cre se meşe ecţi cordei vibre s ecţi delor le omogee Pri cordă se îţelege cor erfec elsic l cre doă di dimesiile sle s eglijbile î ror c rei Dcă lgime cordei ese mre şi e iereseză mi vibrţiile ei orţii sficie de deăre de ceele cordei sfel îcâ ces să ifleţeze orţie cre iereseză cord se cosideră ifiiă Î sdil vibrţiilor libere le cordei rmerii cre iervi î cesă ecţie rmăorele semificţii: Să cosiderăm o cordă de lgime l cre î res ocă oziţi AB e O A şi B vâd bscisele şi l M Fig A M Bl Fig Fie M c l cordei şi M oziţi de res cesi c Se rese că orice c M l cordei î vibrţie se mişcă îr- l erediclr e O Disţ M M o oăm c şi ese fcţie de şi de iml Mişcre cordei se cosideră coscă dcă se coşe cesă fcţie Se ră că î bseţ or forţe eeriore fcţi verifică ecţi cre se mi meşe ecţi oscilţiilor libere le cordei 56

156 Cos c re eresi c T de de ese desie secifică liiră cordei ir T esie l cre ese ssă cord î oziţi de res Ecţi se îâleşe şi î robleme de rogre delor câd c re lă semificţie Problem er cord ifiiă cosă î rmăorele: să se deermie fcţi C Ω Ω[l] R cre să verifice ecţi şi cre sisfce codiţiile iiţile: f g [ l] de f dmie derivă de ordil l doile ir g dmie derivă de ordil îâi e [l] Eglie f e dă oziţi iiţilă fiecări c M de e cordă ir g ] [l viez iiţilă er fiecre c l cordei Ecţi ese de i hierbolic δ > Ecţi crcerisică: c d d se descome î doă ecţii difereţile: c d-cd şi dcd Solţiile geerle doă fmilii de crbe crcerisice: C jorl schimbării de vribile -cc şi cc ξ c η c obţiem er form coică: ξη Solţi geerlă cesei ecţii ese: ϕξψη s ri îlocire liξ şi η obiem solţi geerlă ecţiei de form: 57

157 Avem: 3 ϕ-cψc Vom deermi cese fcţii sfel c să sisfcă codiţiile şi cele doă codiţii di d : s iegrâd î do eglie c ϕ' c cψ c ϕ Ψ f ϕ ' Ψ' g c ϕ Ψ f ϕ Ψ g τdτ c de ese o cosă rbirră [l] De ici rezlă: ϕ de de dedcem c f g τ dτ şi Ψ ' f c g τ dτ 4 ϕ Ψ - c c f - c c f c - c g τ dτ c c g τ dτ Îlocid 4 î 3 obţiem: c g τdτ c c 5 [ f c f c ] Observăm că di 5 verifică codiţiile 58

158 Î ioezele dmise er f şi g fcţi 5 verifică şi ecţi Se oe ră că solţi ese ică Meod ri cre m obţi cesă solţie se meşe meod schimbării vribilelor s meod D Alember şi Eler Forml 5 ese forml li d Alember Eeml: Să resem cord ifiiă î mbele sesri şi că î momel iiţil re oziţi dă de: f [ l] R \ [ l] ir viez iiţilă ese lă er orice c l cordei Mişcre cordei ese crceriză de : [ f - c f c ] Observăm că f-c mi er c l dică er c l c Grficl cesei fcţii se obţie di grficl fcţiei f ri rslţi de modl c î direcţi şi sesl ei O De semee grficl fcţiei fc se obţie di grficl fcţiei f ri rslţi c cre se fce î ses os Aces rezl re rmăore ierrere: errbre iiţilă cordei e iervl [l] se rogă de- lgl cordei î mbele sesri ri doă de direcă c viez c l iversă c viez c l Fig Iiţil cele doă de s srse oi se desr şi se îdeăreză de l mergâd î sesri ose fig 59

159 5 Cord fiiă Meod serării vribilelor D Berolli şi Forier Î eemll sdi erior l cordei ifiie fos de mi codiţii iiţile Vom cosider o cordă fiiă de lgime l cre î oziţi de echilibr ese siă e O vâd că î origie şi celăll că î cl Alfig Fig Asr cordei cţioeză forţe eeriore Cord î ces cz eecă vibrţii libere vâd sfel ecţi: c [ l] c codiţiile iiţile: f g [ l] recm şi codiţiile l limiă: 3 l Problem er cord fiiă cosă î rmăorele: să se deermie fcţi C [l] R cre să verifice codiţiile şi 3 Per comibilie codiţiilor şi 3 rebie să vem ffl şi ggl 6

160 Per rezolvre roblemei se vom folosi meod Forier s meod serării vribilelor Aces cosă î că er ecţi solţii de form: XT cre verifică şi 3 se seră: Derivăm şi irodcem î : X' ' T X T' ' c Elimiâd solţi blă em îmărţi c X T şi vribilele X'' X T' ' c T Vlore comă cesor doă rore ese cosă Î cz corr îre cele doă vribile şi m ve o relţie şi r mi fi ideedee Avem de iegr ecţiile: 5 X' ' X şi 6 T' ' c T Vlorile cosei vor fi recize ri codiţiile l limiă Fcţi 4 verifică relţiile şi 3 dcă şi mi dcă: 7 X Xl sfel T cre codce l solţi blă Se e roblem de derermi vlorile li sfel c ecţi 5 să dmiă solţii eble cre verifică 7 roblem Srm-Lioville Czl > Ecţi crcerisică ecţiei 5 ese r - cre re rădăcii rele şi disice r ± Solţi geerlă ecţiei 5 ese: Codiţiile 7 d: X C e C e C C C l C e l e 6

161 c solţi C C Obţiem solţi blă cre covie Czl Solţi geerlă ecţiei 5 ese XC C Î ces cz codiţiile l limiă 7 d C C lc Rezlă C C şi obţiem di o solţi blă Czl 3 < Noăm -λ λ> Rădăciile ecţiei crccerisice s r ±iλ ir solţi geerlă ecţiei 5 ese de form: Rezlă: Codiţiile l limiă d:c C siλl X C cosλ C siλ Per obţie di o solţi blă vom l C C si λl λ l {} Vlorile rorii le roblemei s cele cre d vlori eble: {} l ir fcţiile rorii î fr i fcor lisi de imorţă eresiile: dică form: X si l Deorece vlorile cosei s recize ecţi 6 devie: c T' ' T l Solţi geerlă cesei ecţii ese: c c T A cos B si { } l l Fcţiile de form 4 cre verifică ecţi şi codiţiile l limiă 3 s: X T c c 8 A cos B si si { } l l l Coform riciili srerii efecelor căăm o solţie de 6

162 9 desre cre resem că ese covergeă şi că oe fi derivă erme c erme de doă ori î ror c şi de doă ori î ro c : Se observă şor că fcţiile di 8 verifică ecţi deorece ese solţie cesei ecţii Fcţi di 8 verifică şi codiţiile l limiă Cosele A şi B le deermiăm imâd c di 8 să verifice şi codiţiile iiţile Avem: Folosid codiţiile obţiem: A si c l f l B si A si c l g l l B si l Vom rese că fcţiile f şi g îdeliesc codiţiile li Dirichle deci o fi dezvole î serie mi de sisri e iervll l Period relgirilor cesor fcţii ese Tl Avem: l l A fsi d B gsi d l l c l Solţi roblemei ese 9 c coeficieţii Observţie Fcţi verificâd ecţi c codiţiile l limiă 3 crcerizeză o oscilţie rorie cordei Acesă oscilţie re eriod l τ ω c şi mlidie A B si l Îălţime seli dori ei oscilţii ese c â mi mre c câ eriod ese mi mică ir iesie seli ese c â mi mre c câ 63

163 mlidie vibrţiei ese mi mre Fiecre oscilţie rorie cordei coresde i o siml l cordei Eglie 8 ră că sel emis de cordă î vibrţie ese o srere de ori simle Şim că A şi B formeză şir sric descrescăor Amlidie oscilţiei crceriză ri descreşe câd creşe Tol fdmel cre re iesie ce mi mre deci v coresde oscilţiei Celelle ori simle cre iesie mi mică şi îălţime mi mre ri srere lor ese ol fdmel d imbrl seli 6 Ecţii de i eliicformlre roblemelor l limiăsolţii riclre le ecţiei li Llce Dire ecţiile de i eliic cele mi des îâlie s: z ecţi li Llce şi f z z ecţi li Poisso Ecţiile de i eliic iervi î sdil roblemelor de eori oeţilli şi î sdil feomeelor sţiore feomee ce deid de iml Asfel emerr z i câm ermic sţior verifică ecţi ir dcă eisă srse de căldră e verifică ecţi li Poisso de f F F desie srselor de căldră şi coeficie de codcibilie ermică Îrcâ c jorl ecţiilor de i eliic se sdiză feomee ce deid de vribil l cese ecţii se im codiţii iiţile ci dor codiţii de limiă Per fl fcţi z i câm ermic sţior ecţiei reseciv i se im di rmăorele codiţii l limiă: 64

164 Se d vlorile emerrii z î cele ei srfeţe S cre ese froier domeili D R 3 î cre se sdiză feomel dică se ime codiţi: z S f f coiă dă Se dă fll de căldră ri srfţ S cre ese froier domeili D R 3 d î cre se sdiză feomel d ri: f f coiă dă de d S d d ese deriv fcţiei sclre z dă direcţi vecorli cosα i cos β j cosγ c d d d d cosα d d cos β d dz cosγ r r r α < O β < O γ < Oz 3 Se dă schimbl de căldră ri srfţ S îre corl delimi de srfţ S î cre se sdiză feomel şi medil îcojrăor cări emerră se cose ri: d d 3 cosα cos β f3 fcţie coiă dă Codiţi se mi meşe rim codiţie l limiă s rim roblemă l limiă er ecţi s s roblem Dirichle Codiţi se mi meşe do codiţie l limiă er ecţi s şi se meşe roblem li Nem93-957memici de origie mghiră Codiţi 3 se meşe rei codiţie l limiă er ecţi s şi se vede că ese o combiţie dire şi Dcă se cere fcţi z cre verifică ecţi s c di cele rei codiţii l limiă î ierirorl domeili Ω se cere î i Ω vem de fce c roblem eerioră coreszăore Să eţăm rimele doă robleme ieriore şi eeriore: I Problem li Dirichle ierioră relivă l domeil Ω şi ecţi Să se fle fcţi z 65

165 ce verifică codiţiile: C Ω ; b C Ω; c ; d S f II Problem li Dirichle eerioră relivă l domeil Ω şi ecţi * Să se fle fcţi z ce verifică codiţiile: C Ω ; b C Ω * ; c ; d S f III Problem li Nem ierioră relivă l domeil Ω şi ecţi Să se fle fcţi z ce verifică codiţiile: b c di I şi d d d s f IV Problem li Nem eerioră relivă l domeil Ω_ şi ecţi d Să se fle fcţi z ce verifică codiţiile: b c di II şi d f d f î oe cele r robleme fcţie coiă dă s Solţii riclre le ecţiei li Llce Preziă ieres solţiile c simerie sferică reseciv c simerie cilidrică le ecţiei li Llce O solţie ecţiei li Llce se meşe simerie sferică dcă ese o solţie ecţiei li Llce cre deide mi de disţ de l c orecre di sţi l c fi Asfel se şie că oeţill câmli cre de o srciă elecrică ciformă deide mi de disţ de l c orecre î sţi î cre se măsoră câml l cl î cre ese şeză srci elecrică ciformă Fie O şi Mz; dmo z r Vom că er ecţi li Llce solţii de form fr Observăm că rebie să vem: f f f z Dr: f r r f " r 3 r f ' r 66

166 şi ' " 3 r f r r r f r f ' " 3 r f r z r r f r z z f Pri îlocire şi efecre clclelor obţiem ecţi difereţilă: ' " r f r r f s ' " r r f r f de de ri iegrre: l f rl rl c şi ' r c r f Rezlă c r c r f Lâd c - şi c obţiem fr r cre ese o solţie c simerie sferică ecţiei li Llce ; reziă ieres rcic îrcâ c roimţi i fcor cos e e dă oeţill câmli cre de o srciă elecrică ciormă O solţie ecţiei li Llce se zice c simerie cilidrică dcă deide mi de disţ de l c orecre di sţi l o ă di sţi Câml elecric cre de o liie elecrică îcărcă deide mi de disţ de l c di sţi î cre se măsoră câml âă l lii îcărcă resecivă Să resem că fiă di sţi ese Oz Aci dmoz Ne roem să flăm solţii de form f er f f f Dr: f' " f' " 3 3 f f şi f f Îlocid obţiem: ' " f f c solţi fc l c Lâd c -c obţiem fl cre reziă ieres eoreic deorece c jorl ei se o obţie le ecţii Llce şi reziă ieres rcic deorece c 67

167 roimţi i fcor cos e e dă mărime câmli cre de o liie elecrică îcărcă 7 Problem li Dirichle * er cerc Forml li Poisso Trebie să flăm fcţi cre verifică ecţi li Llce: O C Ω * Ω M c codiţi: c f f coiă dă Per roblem ierioră solţi rebie să fie mărgiiă î origie ir er roblem eerioră solţi rebie să fie mărgiiă l ifii Per ime mi şor codiţi l limiă vom rece l coordoe olre: 3 3 si cos rcg de dcă M I dcă M II s III dcă M IV Observăm că: Obţiem: Peer Gsv Lejee Dirichle memici germ 68

168 Clclăm oi: 4 de de dă îlocire şi şi efecre clclelor obţiem: Î mod log găsim: Îlocim 4 şi 5 î ecţi obţiem: 3 4 s 6 c codiţi l limiă 7 f Per rezolvre roblemei 67 vom folosi meod serării vribilelor Căăm o solţie de form: 8 T R Obsevăm că: T R şi T R ir T R şi T R Îlocid î 6 obţiem: T R T R T R 69

169 de de ri îmărţire l R T obţiem: 9 R R T R R T Membrl sâg l ecţiei 9 fiid o fcţie mi de ir membrl dre fiid o fcţie mi de eglie lor ese osibilă er orice şi orice mi dcă cei doi membrii ceşii vlore cosă e cre o oăm c λ; obţiem di 9 rmăorele ecţii: T λ T şi R R λ R Fcţi căă c solţie rebie să fie eriodică î ror c c eriod dică să vem: deorece rebie să ibă ceeşi vlore î celşi c Per ces T rebie să fie eriodică c eriod Avem deci de găsi vlorile rmerli rel λ er cre ecţi re solţii eble eriodice c eriod Ecţi ese o ecţie difereţilă liiră omogeă c coeficieţi cosţi c ecţi crcerisică : r λ r ± λ Czl I λ Avem r r şi T A B Vom deermi A şi B sfel îcâ T să fie eriodică c eriod dică: T T A B A B B T A cos o solţie blă iccebilă Czl II λ< Găsim T λ λ A e B e cre ese o solţie eoeţilă relă şi c re ese eriodică Czl III λ> Ecţi crcerisică re rădăciile comlee cojge r ± λ ± i λ deci { cos λ si λ } ese sisem fdmel de solţii er ecţi ir solţi geerlă ese: T A cos λ B si λ Deermiăm A şi B sfel îcâ: T T 7

170 Dr: T A cos λ B si λ Ţiâd sem de fl că eriod ese rezlă că: λ λ s λ de de: λ Deci solţi geerlă ecţiei ese: 3 T A cos B si C vlorile rorii găsie ecţi devie: R R R cre ese o ecţie de i Eler Per iegrre ecţiei vom folosi schimbre de vribilă e Obţiem sccesiv: R d R d d dr d d d dr dr d dr l e R e d şi d d d d d d dr d d d d R d e e e e de de d R dr R e Îlocid R şi R ecţi devie: d d d R R d dr d cre ese o ecţie difereţilă liiră omogeă c coeficieţi cosţi vâd ecţi crcerisică r - c rădăciile geerlă: R C e D e s : 4 R C D r ± şi deci solţi Per roblem li Dirichle ierioră rebie să lăm D deorece î cz corr er şi solţi r fi mărgiiă î origie Per roblem li Dirichle eerioră rebie să lăm C î cz corr er şi solţi -r fi mărgiiă l Deci m găsi: 4 i R C dcă i-ierioră şi 4 e R D dcă e-eerioră 7

171 Am găsi sfel er ecţi 6 solţiile: 5 i B A T R si cos er de C A A şi C B A şi 5 e B A T R si cos er de şi D A A D B B Coform riciili srerii efecelor căăm o solţie de form: 6 i si cos dcă B A şi 6 e si cos dcă B A Vom deermi coeficiţii A B sfel îcâ solţi 6 A B i reseciv6 e să verifice codiţi f Făcâd î 6 i şi 6 e e şi ţiâd sem că f obţiem: 7 i f si cos dcă B A şi 7 e f si cos dcă B A Î 7 i şi 7 e vem dezvolările î serie le fcţiei f î serie Forier rigoomerică eriodică de eriodă coeficieţii cesor dezvolări îi obţiem sfel: si cos d f B d f A de de: 8 i 3} { si cos d f B d f A şi d f A Dcă îlocim 8 i î 6 i obţiem: 7

172 si si cos cos A d f d f s cos d f A cre mi oe fi scrisă şi sfel: 9 cos d f < < Sm seriei cre figreză sb seml de iegrre di relţi 9 oe fi clclă orid de l ideie: si cos i e i Seri i e ese o serie geomerică covergeă er < codiţie îdeliiă şi vâd sm: [ ] cos si cos i e e e S i i i deci: [ ] cos cos cos C ces relţi 9 devie: [ ] cos cos d f s dă efecre clclelor di rez { }obţiem: cos d f Forml se meşe forml li Poisso Fcţi di verifică ecţi li Llce şi codiţi l limiă Se oe ră că îdelieşe şi codiţi de fi coiă e Ω C dcă f ese 73

173 coiă Fcţi di ese solţi roblemei li Dirichle er ieriorl cercli c cerl î origie şi de rză Di 7 e obţiem î mod log: A cos f d e { 3} şi A f d B si f d Procedâd c î roblem Dirichle ierioră di relţiile 6 e 7 e şi e obţiem î cele di rmă: f d cos Forml se meşe forml li Poisso Fcţi di verifică ecţi li Llce şi codiţi l limiă Se oe ră că îdelieşe şi codiţi de fi coiă e Ω * C dcă f ese coiă Fcţi di ese solţi solţi roblemei li Dirichle er eeriorl cercli c cerl î origie şi de rză 8 Problem li Nem er ieriorl cercli Să se deermie fcţi sfel îcâ d şi f d Procedâd c î czl roblemei Dirichle se obţie solţi i: C de: A cos B A si A f cos d şi B f si d dă cre îsmre se fce imedi dcă ţiem sem de glie: q cos α l q cosα q 74

174 A rmâe edeermi Solţi roblemei Nem er ieriorl cercli < d şi codiţi l limiă f d ese: cos A f l d Forml de mi ss se meşe forml li Dii 9 Ecţi căldrii Să cosiderăm o bră reciliie siă e O şi să oăm c emerr î cl M l brei l momel Î ioez că îre srfţ brei şi medil îcojrăor eisă schimb de căldră se ră că verifică ecţi: de ese o cosă oziivă cre deide de r merilli di cre ese făcă br: -coeficiel de codcibilie ermică c-ese căldr c secifică şi -desie Br ese ressă omogeă şi izoroă Ecţi se meşe ecţi căldrii Î R şi R 3 re form: şi reseciv: z 75

175 Ne vom oc de ecţi l cre dăgăm codiţi iiţilă: f R cre recizeză disribţi emerrilor l momel Vom că solţii riclre le ecţiei de form: 3 X T Derivăm şi îlocid î obţiem: X T X T Vom elimi solţi blă şi ri îmărţire l XT obţiem: X X T T -cosă deorece şi s ideedee Obţiem ecţiile: 4 T T şi 5 X X Di ecţi 4 obţiem solţi geerlă: C e C-cosă T Se o reze rei czri: > Câd iml creşe T creşe âd să deăşscă orice vlore Aceeşi roriee o v ve şi oricre r fi cl M l brei Aces cz ese iccebil di c de vedere fizic Avem TC emerr î fiecre c l brei deide de im Şi ces cz ese iccebil 3 < Noăm λ λ> Solţiile geerle le ecţiilor 4 şi 5 s: X C cosλ C de C C C s cose rbirre Solţiile 3 le ecţiei s: si λ şi T C e λ λ 6 λ [ A λ cosλ B λ si λ] e de AλCC şi BλCC 76

176 Deorece codiţiile l limiă lisesc oe vlorile sric oziive le li λ s îdreăţie Vom îcerc să deermiăm solţi roblemei sb form: 7 λ λ d cre îlocieşe seri di czl câd vem vlori rorii şi fcţii rorii Codiţi iiţilă dă: f d λ λ s ţiâd sem de 6 8 [ ] si cos f d B A λ λ λ λ λ Î relţi de mi ss să cosiderăm er fcţi f rerezere ei rir-o iegrlă Forier: τ τ λ τ λ d f d f cos Acesă eglie se mi scrie: si si cos cos λ τ λτ τ λ τ λτ τ λ d d f d f f Comrâd c 8 observăm că: si cos τ λτ τ λ τ λτ τ λ d f B d f A C ces 6 devie: 9 τ τ λ τ λ λ d e f cos Îlocid relţi 9 î relţi 7 obţiem: cos τ τ λ τ λ λ d e f d s schimbâd ordie de iegrre: cos λ τ λ τ τ λ d e d f 77

177 Iegrl cos 4 > e d e τ λ λ τ λ iegrl Poisso şi solţi roblemei se mi scrie: τ τ τ d e f 4 Acesă formlă se geerlizeză er R şi R 3 Asfel er R 3 c zfz Mz R 3 solţi ese: ζ η ξ ζ η ξ ζ η ξ d d d e f z z 4 3 î ioez că fz ese coiă mărgiiă şi bsol iegrbilă Prorieăţii le fcţiilor rmoice Prim formlă li Gree A do formlă li Gree Prim formlă li Gree Fie şi v doă fcţii c derive rţile âă l ordil doi coie îr domei D R 3 Noăm SFrD Î cese codiţii vem: [ ] S D d v grd grd v ds v ω de ese orml l srfţ S ese rim formlă li Gree Per jsific forml vom scrie forml li Gss-Osrogrdschi er vecorl : v grd r S D d div ds ω r r r Î ces cz v r r deorece v v grd r r fiid cosider versor Pe de lă re v grd grd v div r cee ce rezlă ri clcl direc sr 78

178 li r v r v r v r i j z s ri clcl c bl Forml se obţie oi ri simlă îlocire î forml Gss-Osrogrdschi A do formlă li Gree Î celeşi codiţii sr li şi v vem: v dω v ds v v S Demosrţie Schimbâd rolrile li şi v î obţiem: D v v grd grd v dω ds S Scăzâd cesă relţie di obţiem forml D Coseciţă Dcă şi v s fcţii rmoice î domeil mărgii de srfţ S vem: şi v 3 ds v ds S 4 ds S S Demosrţie Acese rorieăţii le fcţiilor rmoice rezlă direc di forml deorece şi v Î riclr roriee do rezlă di rim dcă lăm v Are loc şi Teorem de rerezere fcţiilor rmoice î formă iegrlă Fie o fcţie rmoică î domeil D R 3 şi S froier cesi domei Aci er orice c M D vem: r 5 M ds 4 r S de r ese disţ de l M l cl cre M S 79

179 Demosrţie Porim de l do formlă li Gree î cre cosiderăm r v dică solţi c simerie sferică î ror c M ecţiei li Llce Deorece î cl M fcţi v ese defiiă folosid fl că ces ese ierior mlţimii D vom izol ces c c o veciăe sferică VM ε c cerl î M de rză ε sficie de mică er c VM ε D Vom o c S ε srfţ froier sferei VM ε Î domeil D D \VM ε â câ şi v s rmoice deci em lic forml: ds r r ds r r d v v S S D ε ω Seml re di cză că orml î iegrl e S ε se cosideră e eeriorl sferei î im ce î forml r rebi să se cosidere sre ierior Se observă că deorece r şi v r s rmoice e D vem: S S S ds r ds r ds r r ε Pri clcl direc l derivei dă ormlă găsim: ε r r r deci rim iegrlă e S ε devie: ds r S ε ε ε 4 4 de * ese o vlore medie li e S ε Î mod log er do iegrlă e S ε găsim: ds r S ε ε ε ε 4 4 8

180 de ese o vlore medie li Î coclzie em scrie că: e S ε S r ds r 4 4 ε Î cesă eglie ε ese rbirr; ci câd ε î bz coiiăţi fcţiei * ide l M ir re de semee o limiă fiiă sfel că liml erme ide l zero Se vede că ri cesă ercere l limă se obţie ocmi forml 5 Obsevţii Teorem recedeă rămâe vlbilă dcă D ese sbdomei l domeili de rmoicie l fcţiei Forml 5 ră că vlorile fcţiei rmoice î cele M ieriore li D s deermie de vlorile e froier S şi de vlorile derivei dă ormlă e S Aş cm m văz dej î roblem li Dirichle er cerc î geerl deermire li ecesiă coşere mbelor grri de vlori; coşere vlorilor li e S codce l o roblemă Dirichle ir coşere li e S codce l o roblemă Nem 3O formlă logă c 5 se oe obţie er fcţiile rmoice î domeii di l Per ces folosim solţi c simerie cilidrică gsim î mod log: M l r C l r ds de C ese o crbă îchisă sfel îcâ M C D v l r şi 8

181 Î cele ce rmeză vom reze doă coseciţe imore le formlei 5: eorem de medie şi riciil eremli: Teoremă de medie er fcţiile rmoice Dcă ese o fcţie rmoică e domeil D M D şi S ese o sferă c cerl î M de rză iclsă c ieriorl î D vem: 6 M ds 4 S Demosrţie Î forml 5 cosiderăm e r şi observâd că: r r r r obţiem: M ds ds S S S ds deorece rim iegrlă ese lă relţi 4 Deorece 4 ese ocmi ri srfeţei S se se că M ese medi vlorilor li e S Teoremă riciil eremli er fcţii rmoice Vlorile ereme le ei fcţii rmoice e domei D se ig e froier cesi domei c eceţi coselor Demosrţie Să resem ri redcere l bsrd că fcţi rmoică e D îşi ige miml îr- c M ierior li D Fie VM ε o veciăe sferică li M de rză ε sficie de mică sfel îcâ VM ε D şi fie S froier cesei sfere Dcă ese cosă vlore medie * e S ese sric mi mică decâ M Pe de lă re licâd eorem de medie iegrlei dble di forml 6 obţiem:m * Cordicţi obţiă ră că ese osibil c M să fie ierior domeili D Observţie C oe că î forml 5 s erime vlorile fcţiei rmoice î fcţie de vlorile ei e froieră şi de vlorile derivei sle dă 8

182 ormlă e froieră cesă formlă ese de re mre folos î rcică O meodă eficieă î rezolvre roblemelor Dirichle şi Nem ese cee fcţiilor li Gree cre cosă î redcere roblemei Dirichle l o roblemă riclră ces deizâd mi de forml domeili D Probleme rose Să se redcă l form coică ecţiile c derive rţile de ordil doi: cos cos si

183 Să se iegreze ecţi cordei: c c codiţiile: l l l l l h l l h o şi l c l h R cos si 8 : 3 Să se iegreze ecţi cordei: c c codiţiile: l [ ] l o l l h o 4 şi l c l h R cos si 3 : Să se deermie cre sisfce ecţi: [ ] l c codiţiile: [l] - 84

184 lf - de f ese o fcţie de eriodă defiiă sfel: f 4 cos 5 si l R si : 5 Să se deermie fcţi cre verifică ecţi: c codiţiile: f de f ese o fcţie de eriodă defiiă sfel: f 4 cos 5 [l] - e R cos 3 3 : 6 Să se redcă l form coică şi să se iegreze ecţi: f ψ b 3 o

185 c e e e e d 5 6 cos 3 si si 3cos cos si o e ch sh e e f 86

186 CAPITOLUL VII ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL Probleme geomerice şi mecice de clcl vriţiol Fcţiolă Fcţii dmisibile Clsificre eremelor fcţiolelor ereme bsole ereme relive Lemele fdmele le clclli vriţiol Vom defii oţiile de bză le clclli vriţiol orid de l ideile sgere de câev robleme de eremm clsice Problem brchisocroei Prim roblemă de clcl vriţiol fos roblem brchisocroei U c meril M oreşe di A fără vieză iiţilă şi se mişcă sb cţie grviţiei e rcl de crb AB crisă îr- l vericl fig Problem brchisocroei cosă î rmăorele: dire oe crbele eede ce esc cele A şi B să se deermie cee e cre cl M jge di A î B î iml cel mi scr Viez li M î fiecre c l rcli AB ese: ds V g d Timl î cre cl meril M descrie rcl AB v fi d de: T ds V b g d [b] 87

187 Deci iml T ecesr c cl meril mobill să jgă di A î B e rcl [b] re eresi T[]: T b g [ ] d C [ b] Sem că iml ese o fcţiolă de i iegrlă cre deide de şi cre verifică codiţiile b Fcţiol re c domei de defiiţie fcţiile de clsă C [b] cre rec ri cele de A şi BAcese fcţii se mesc liii dmisibile î czl roblemei brchisocroei s riecoriei oimle Problem revie deci l deermi crb C [b] cre rece ri cele A şi B er cre fcţiol i vlore miimă Problem geodezicelor Fie S o orţie eedă de srfţă cărei ecţie sb formă imliciă ese Fz ir rc B S de crbă rţiâd srfeţei S şi cre rece ri cele A şi B de e srfţ A S fig Nmim crbă geodezică srfeţei orice rc de crbă de e Fig srfţ S ce relizeză miiml disţei dire doă ce de e srfţă Dcă zz [b] z C [b] s ecţiile rmerice le i rc de crbă de e srfţ S ce rece ri A şi B ci lgime rcli ese dă de: [ z ] z b I d 88

188 Î ces fel roblem geodezicelor cosă î deermire fcţiilor şi z de clsă C [b] cre să recă ri A B şi să sisfcă ecţi srfeţei deci Fz şi să relizeze miiml fcţiolei cre deide de doă fcţii ecosce şi z Mlţime liiilor dmisibile er fcţiol rereziă olie rcelor de crbă de e srfţ S c ge coiă şi cre rece ri cele de A şi B Î l geodezicele s segmee de dreă 3 Problem srfeţelor miimeple Dă fiid o crbă simlă îchisă C siă î sţil c rei dimesii se cere să se deermie srfţ deschisă S mărgiiă de cesă crbă şi cre re ri miimă Fie Γr O C r O S şi zz ecţi srfeţei S fig3 Ari srfeţei S ese dă de eglie: z z d d 3 I[] z AS Avem de deermi fcţi zz cre fce miimă iegrl 3 şi i vlorile zϕ e crb Γ froier domeili 4 Probleme de eremm codiţio Cele rei eemle cosidere rereziă robleme iice de clcl vriţiol eremm ecodiţio O lă clsă de robleme de clcl vriţiol o cosiie roblemele de eremm codiţio Problem formei de echilibr i fir gre fleibil şi ieesibil de lgime dă fi l cee fig4 89

189 Poziţi de echilibr coresde czli câd ordo cerli de gree G re vlore miimă Fie : ecţi de echilibr Aci: 4 G d l l - lgime AB l d Problem formei de echilibr lăţişorli cosă î deermire fcţiei C [b] cre să recă ri cele A şi B să verifice codiţi b b b ` l d şi să relizeze miiml fcţiolei 4 b Problem izoerimerică Se cere crb lă îchisă de lgime l cre delimieză domei mărgii de rie mimă Fie [b] ecţiile rmerice le ei crbe C Avem: b b Codiţi c lgime crbei C să fie l se scrie: b 5 d l ir ri mărgiiă de cesă crbă ese dă de iegrl: 6 A d b Avem de deermi sse l codiţiile b b cre verifică 5 şi fc iegrl 6 mimă Î eemlele rezee mi ss s- s roblem eremelor or iegrle cre deid de fcţiile cre iervi sb seml de iegrre Asfel î riml eeml vem o iegrlă de form: [ ] d 7 I F b 9

190 î l doile o iegrlă: b [ ] d 8 I z F z z ir î l reile: 9 I [] F d D d Defiiţie Fie F o mlţime de fcţii Dcă fiecărei fcţii f F fcem să-i coresdă măr rel vom se că vem o fcţiolă I[f] defiiă e F c vlori î R Defiiţie Se meşe veciăe de ordil l fcţiei f F mlţime fcţiilor f F cre er orice [b] verifică iegliăţile: f f < ε f f < ε f f < ε de ε ese măr sric oziiv d -veciăe de ordil zero Defiiţie Difereţ δf f-f [b] se meşe vriţi rgmeli fcţiolei I[f] câd se rece de l fcţi f F l fcţi f F Î eemlele ese de mi ss m văz că oe fcţiile mlţimii F e cre ese defiiă o fcţiolă I[f] s le î cosiderre î roblem resecivă de miim s mim Defiiţie Se mesc fcţii dmisibile îr-o roblemă de eremm ei fcţiole I[f] f F cele fcţii di F cre sisfc codiţiile slimere imse de roblem resecivă Să recizăm ce se îţelege ri miml s miiml ei fcţiole Fie I[f] o fcţiolă defiiă e mlţime F şi G mlţime fcţiilor dmisibile îr-o roblemă de eremm fcţiolei I[f] Evide G F Defiiţie Se se că I[f] dmie mim bsol er f G dcă er orice fcţie f G vem: I[f ] I[f] 9

191 Dcă er orice fcţie f G vem: I[f ] I[f] ci se se că f relezeză miim bsol l fcţiolei I[f] C şi er eremele ei fcţii eori e iereseză eremele bsole le ei fcţiole ci eremele relive î cre oţie de veciăe jocă rol imor Defiiţie Se se că fcţiol I [f] dmie mim reliv re er f G dcă eisă o veciăe de ordil zero fcţiei f sfel îcâ er orice fcţie f G coţiă î cesă veciăe I[f ] I[f] Dcă cesă ieglie re loc mi er fcţiile f G sie îr-o veciăe de ordil îâi fcţiei f se se că I[f] dmie er f mim reliv slb Alog se defiesc miimele relive ri şi slbe le fcţiei I[f] Mimele şi miimele ei fcţiole se mesc eremele celei fcţiole Evide orice erem bsol l ei fcţiole ese şi eremm reliv re De semee orice eremm reliv re îdelieşe şi codiţiile i eremm reliv slb Î cele ce rmeză vom deermi codiţii ecesre de eremm rliv slb cese fiid codiţii ecesre şi er eremm reliv re s er eremm bsol Per sbilire or sfel de codiţii vom iliz doă eoreme jăore cre se mesc lemele fdmele le clclli vriţiol LEMA Lgrge Fie fcţi f C[b] Dcă b f η d er orice fcţie coiă c deriv coiă η C [b] şi cre verifică codiţiile η ηb ci f e [b] 9

192 Demosrţie Să resem că îr- c c [b] m ve fc Dcă c ci e bz coiiăţii rezlă f Alog er cb De cee vom dmie că fc c b Pem cosider fc> sfel îmlţim c- relţi Deorece f C[b] şi fc> rezlă că eisă iervll αβ α < c < β coţi î [b] sfel îcâ să vem: f> αβ Cosiderăm fcţi: α η β α β α β Observăm că η sisfce codiţiile lemei ϕ ηb şi η C [b] şi b f d f α β d > β η α deorece f> er αβ Ieglie obţiă corzice eglie di lemă şi lem ese sfel demosră LEMA D Bois Rmod Fie fcţi coiă g C[b] Dcă b g η d er orice fcţie η C [b] cre verifică codiţiile η ηb ci g ese cosă î iervll [b] deci g cos Pri combire celor doă leme obţiem o rooziţie de bză coţiâd cele doă leme şi cre se lică l dedcere codiţiilor ecesre de eremm LEMA FUNDAMENTALĂ A CALCULULUI VARIAŢIONAL Fie fcţiile coie fg C[b] Dcă b f d 3 [ η g η ] 93

193 er orice fcţie η C [b] cre verifică codiţiile η ηb ci fcţi g ese derivbilă e [b] şi g f Demosrţie Cosiderăm fcţi F f d Observăm că F f şi deci: b b b f η d η df η F F η d F η d b b C ces 3 devie: [ F ] g η d Pe bz lemei rezlă gf cos de de g f C ces lem fdmelă ese demosră Fcţiole de form I[ ] b F dcodiţii ecesre de erem Ecţi li Eler Codiţi li Legedre Să cosiderăm fcţiol: I[ ] F d b defiiă e o mlţime F de fcţii [b] Vom deermi o codiţie ecesră de eremm reliv cosiderâd c fcţii dmisibile fcţiile F de clsă C [b] şi cre verifică î ls codiţiile l limiă: b Fie fcţi cre relizeză eremm reliv er şi η rbirră de clsă C [b] c η şi ηb Fcţi: 3 Y αη de α ese rmer mic î modl ese evide că o fcţie dmisibilă şi rţie ei veciăăţi de ordil îâi de fcţiei er α sficie de 94

194 mic Îlocid î e cy şi resâd η fiă obţiem o iegrlă î fcţie de rmerl α: b [ ] F[ αη αη ] d I α Dcă relizeză eremm reliv l iegrlei î mlţime ror fcţiilor dmisibile ces v rebi să fie eremm reliv şi î mlţime Y obţie di 3 er diferie vlori le li α Codiţi ecesră de eremm ese I Observăm că: b { η } d [] F [ ] F [ ] ' I η de F F şi F F Uliml erme oe fi iegr ri ărţi: b F b b [ η F ] d η d η F d d Doriă fli că η ηb riml erme di membrl dre l egliăţi de mi ss ese l Deci codiţi I ' devie: b d 4 I ' F F η d d î cre fcţi relizeză eremm l iegrlei ir ese deriv s Eglie 4 re loc er orice η C [b] ssă codiţiilor η ηb C jorl lemei dedcem că fcţi verifică ecţi: d d 5 F F Ecţi 5 se meşe ecţi li Eler coreszăore fcţiolei şi se mi oe scrie şi sb form: 5 F ; F ; F F de F F F F F F Am obţi sfel rmăorl rezl: 95

195 Teoremă Eler Dcă F C [b] şi dcă relieză eremm reliv l iegrlei b [ ] F I d î mlţime fcţiilor di cls C [b] cre sisfc codiţiile l limiă b ci verifică ecţi li Eler 5 Observţie Ecţi li Eler ese o codiţie ecesră dr sficieă er fcţi cre relizeză eremm l fcţiolei Defiiţie Orice crbă iegrlă ecţiei li Eler 5 se meşe eremlă fcţiolei chir dcă ces relizeză eremm l fcţiolei Codiţi li Legedre Per deermire ri eremli ei fcţiole rol imor îl jocă vriţi de ordil doi: de δ I b [ ; η] [ P η Q η ] d d d P F F Q F Observăm că vriţi de ordil doi ese formă ărică î ror c η şi η Are loc: Teorem Legedre I[ ; η] De ici vem: δ F Teorem Legedre Fie fcţiol b [ ] F I d defiiă e mlţime liiilor dmisibile D C [b] b Codiţi ecesră c lii eremlă [b] să relizeze miiml fcţiolei I[] ese c de- lgl eremlei să fie îdeliiă ieglie: 6 F Alog er c lii eremlă [b] să relizeze miml fcţiolei I[] ese c de- lgl ei să fie îdeliiă ieglie: 7 F 96

196 Observţie Relţiile 6 şi 7 se obţi di δ [ ; η] [ ] I s δ I ; η 3 Fcţiole coţiâd derive de ordi serior Ecţi Eler Poisso Codiţi li Legedre Eeml Fie fcţiol: b I[] F ' defiiă e mlţime liiilor dmisibile: { C [ b] / b { } } D se deermie fcţi codiţiile: d de F C [b] R [b] Î mlţime liiilor dmisibile D se cere să C [b] b { -} şi relizeză ereml fcţiolei Fcţi c rorieăţile de mi ss verifică ecţi: d d d 3 F F' F'' F d d d miă ecţi li Eler-Poisso cre verifică l ceele iervlli [b] Demosrţi celor de mi ss se fce sfel: dcă ese o fcţie cre relizeză eremm reliv î mlţime D cre sisfce ci relizeză eremm reliv şi î mlţime fcţiilor Yαη de η ese o fcţie fiă di cls C [b] lâd-se î cele şi b îmreă c derivele sle âă l ordil - iclsiv ir α ese rmer cre i vlori sficie de mici î modl Îlocid î e c Y se obţie o iegrlă fcţie de α: b I α F αη ' αη' αη cre v rebi să ibă eremm er α Per ces ese ecesr c d ' I 97

197 Avem: de de Iegrâd ri ărţi obţiem: b η b ' I [ ηf η'f' η F ]d b b b d [ η F ] η F d F d η F d d d d 4 b η F d { } η b d η d η F d b Deci: b d d d 5 I' F F' F'' F η d d d d Doriă cesei egliăţi şi lemei codiţi I ' se redce l 3 şi deci ese deermi Clclâd vriţi de ordil doi δ I[;η] se oe ră că er c lii eremlă [ b] să relizeze miiml fcţiolei ese ecesr c de lgl ei să vem: 6 F ir er c lii eremlă [b] să relizeze miml fcţiolei ese ecesr c de- lgl ei să vem: 7 F Iegliăţile 6 şi 7 rereziă codiţiile li Legedre coreszăore fcţiolei de- lgl eremlei Eeml Fie fcţiol I [] " d { } defiiă e mlţime liiilor dmisibile D C [] ' ' Să se deermie lii dmisibilă cre relizeză ereml fcţiolei şi să se secifice r cesi 98

198 Avem F '' şi ecţi Eler-Poisso v fi: d d F F' F' ' d d de de obţiem 4 c solţi geerlă A A A3 Cosele se deermiă di codiţiile cee ce sigră c lii eremlă să fie o liie dmisibilă Obţiem: [] Deorece F '' '' > codiţi li Legedre ră că lii eremlă A 4 relizeză miiml fcţiolei Se obţie I mi[ ] 7 4Fcţiole deizâd de mi mle fcţii Siseml Eler-Lgrge Codiţi Legedre Eeml Să cosiderăm fcţiol I : D R b I[ ] F ' ' ' d defiiă e mlţime liiilor dmisibile: D { C b] b { } } şi F C [ b] R [ b] [ Î mlţime liiilor dmisibile D se cere să se deermie fcţiile C [ b] şi cre verifică l cee codiţiile l limiă: b { } şi se relizeză ereml fcţiolei Are loc rmăore Teoremă: Dcă F C [ b] ereml fcţiolei ci ele verifică ecţiile: şi fcţiile D relizeză 99

199 d 3 F F { } d ' 3 siseml li Eler-Lgrge coreszăor fcţiolei form: Y Demosrţie: Cosiderăm o mlţime riclră de fcţii dmisibile de α η [ b ] { } de { } fcţii er cre fcţiol dmie eremm reliv ese siseml de η s fcţii fie rbirre di cls C [ b] cre se leză î eremiăţile şi b ir α s rmeri c vlori mici î modl Îlocid Y î obţiem: b α α α F α η α η α η ' α η' ' α η' d I Fcţi de mi ss de vribile v rebi să dmiă eremm reliv er α α α Per ces ese ecesr c: Deci I α I I er α α α α α b η F η' F ' d { } Iegrâd ri ărţi şi ţiâd sem că η η b obţiem: b F d d F ' η d { } Folosid Lem se obţie siseml 3 Observţie: Orice solţie sisemli 3 se meşe eremlă fcţiolei O eremlă riclră ese comle deermiă ri codiţiile l limiă A ij Fie D F ' ' i j o eremlă fcţiolei şi fie i j { }

200 Are loc Teorem Codiţi Legedre Noăm ri: 4 A A D A D D A A A A A A A A A A A Dcă : şi * 5 D D { } D D > D > > ci relizeză miim er fcţiol ir dcă * * * b D D > D > > ci relizeză mim er fcţiol Vlore eremă fcţiolei î czrile s b de mi ss v fi I[ ] Eeml Să se deermie ereml fcţiolei şi r li dcă I : D R I[z] [ ' z' zd ] D z C z z Ecţiile Eler-Lgrge s: " z z" C solţiile D: C e z Ce C e C e C C 3 3 cos C cos C 4 4 si si şi di z D obţiem C C C 3 C 4 deci lii eremlă ce relizeză ereml ese d de si z -si Codiţiile li Legedre s:

201 D F'' F'z' F'' D 4 şi di rezlă că ereml F F z'' z'z' si -si relizeză miim er fcţiolă Vlore miimă se obţie şor: I mi si -si 5 Fcţiole deermie ri iegrle mlile Ecţiile li Eler Osrogrdschi Eeml Per şriţ eerii vom cosider fcţiol rir-o iegrlă dblă: C I [] F dd D I : D R R defiiă Se e roblem eremelor cesei fcţiole î mlţime fcţiilor D ce i vlori de e froier C domeili D: f C Are loc rmăore: Teoremă Osrogrdschi Dcă 3 F C D R D 3 3 şi lâd vlori rbirre ir relizeză eremm reliv l fcţiolei î mlţime fcţiilor di cls C D cre verifică eglie C f ci ese solţie ecţiei c derive rţile: 3 F F F de Demosrţie: Vom cosider mlţime fcţiilor 4 U αη de ese fcţi er cre dmie eremm η C D rbirră şi η C ir α ese rmer cre i vlori mici î modl Dcă re

202 eremm î mlţime fcţiilor dmisibile ceeşi roriee o v ve şi î mlţime 4 Per ces ese ecesr c iegrl: F αη αη αη I α D dd să dmiă eremm er α Codiţi I se scrie dezvol: I ηf η F η F dd D Iegrl referiore l limii doi ermei se mi oe scrie: η F η F dd D D ηf ηf F dd η D F dd Folosid forml li Gree rim iegrlă di membrl dre se oe rsform îr-o iegrlă e froier C domeili D şi vem: devie: F F η F η F dd F d F d dd X η D D C Deorece η c iegrl crbiliie ese lă şi codiţi I F F I F η dd D Acesă codiţie re loc î ioezele lemei î R De ici rezlă ecţi 3 şi eorem ese demosră Observţie: Ecţi 3 se meşe ecţi li Eler Osrogrdschi coreszăore fcţiolei Orice solţie ecţiei 3 se meşe eremlă fcţiolei chir dcă ce fcţie relizeză efeciv eremm l fcţiolei Adăgâd l ecţi 3 o codiţie l limiă de form f se obţie o eremlă riclră c Teorem li Osrogrdschi oe fi eisă er o fţiolă de form: 3

203 [ ] Ω d d d F I de R Ω Ecţi li Eler-Osrogrdschi v ve form: {} de F F Eeml Să se găsescă ereml fcţiolei: [] Ω dd I de 4 3 : 4 4 Ω D C D { } : R D Solţie: Ecţi li Eler Osrogrdsi coreszăore fcţiei F ese: F F F s / cre ese ecţi li Llce S- obţi roblem ierioră Dirichle er cerc Per ime mi şor codiţi l limiă D vom rece l coordoe olre: si cos de de rezlă: / rcg Observăm că: şi 4

204 Obţiem: 3 şi şi 4 şi Îlocid 4 î / ces devie: 5 c codiţi l limiă: 6 4 cos si cos 4 4 D Per rezolvre roblemei 5 şi 6 vom folosi meod serării vribilelor; căăm o solţie de form: 7 T R Observăm că T R T R // / şi // T R Îlocid î 5 obţiem: 8 // / // T R T R T R de de ri îmărţire l T R obţiem: 9 T T R R R R // / // Membrl sâg l ecţiei 9 fiid o fcţie mi de ir membrl dre fiid o fcţie mi de eglie lor ese osibilă er orice şi orice mi dcă cei doi membri ceeşi vlore cosă e cre o oăm c λ ; di relţi 9 obţiem rmăorele ecţii: 5

205 // T λt şi // / R R λr Fcţi căă rebie să fie eriodică î ror c c eriod dică să vem Per ces T rebie să fie eriodică c eriod Avem deci de găsi vlorile rmerli rel λ er cre ecţi re solţii eble roblem Srm - Lioville eriodice c eriod Ecţi ese o ecţie difereţilă liiră omogeă c coeficieţii cosţi c ecţi crcerisică: r λ şi rădăciile: Czl < r ± λ λ λ λ Găsim C e C e T eoeţilă relă şi c re ese eriodică sfel îcâ Czl λ Avem r r şi T A B cre ese o solţie Vom deermi şi A B T să fie eriodică c eriodă dică T T A B şi deci T A A B B r ±i o cosă solţie blă iccebilă Czl 3 λ > Ecţi crcerisică re rădăciile comlee cojge λ λ λ Di codiţi şi deci solţi geerlă ese T Acos Bsi T T şi di fl că fcţiile si şi cos s eriodice c eriod rezlă că: λ λ s λ de de: λ { 3 } Deci solţi geerlă ecţiei ese: 3 T A cos B si { 3 } C vlorile rorii sfel obţie ecţi devie: / // / R R R Ecţi / ese de i Eler; er iegrre ei vom fce schimbre de vribilă e Obţiem: 6

206 R şi R / // e e dr d d R dr d d // / Îlocid R şi R ecţi / devie: // d R R d cre ese o ecţie difereţilă liiră c coeficieţi cosţi vâd ecţi crcerisică r c rădăciile r ± 4 R C D şi deci solţi geerlă: Per roblem li Dirichle ierioră rebie să lăm D deorece î cz corr er şi deci solţi r fi mărgiiă î origie Deci s de form: 5 R C Am găsi sfel er ecţi 5 solţiile : 6 R T {3 } 6 / A cos B si {3 } A A C şi B B C Coform riciili srerii efecelor căăm o solţie de 7 A cos B si {3 } Vom deermi coeficieţii A şi codiţi l limiă 6: cos4 D 4 * * Observăm că A A N {} 4 B N rimeşe form: 4 4 B sfel îcâ ecţi 7 să verifice Deci solţi 7

207 8 4 cos 4 Fcţiol dmie miim [] I [ ] I deorece > F D şi 4 _ > F F F F F D Observăm că 4 cos si cos si si cos F cos si cos 4 si 4 4 si si cos 4 cos 4 4 cos4 4 3 si 3 cos si s 4 cos U F Deci 9 [ ] / cos mi D d d I I de şi / D d d dd Relţi 9 se mi scrie: / / mi 8 cos4 8 8 D D d d d d d d I si cos 4 8 d d de de 4 7 mi I 8

208 6 Probleme izoerimerice Ereme codiţioe le fcţiolelor Teorem li Eler Problem li Lgrge Se meşe roblemă izoerimerică roblem deermiării eremlelor ei fcţiole de form: b I[ ] F ' ' ' d c codiţi l limiă: b { } şi codiţiile slimere: b 3 G ' ' ' d i { m} de i m i i i s m cose de Vom emi czl câd fcţiol ese de form: b 4 I[ ] F ' d şi ese dă o sigră codiţie slimeră: d m 5 G ' b Fcţiile F G şi cos m s de Are loc rmăore: Teoremă Eler Dcă fcţi C [ b] 6 b şi verifică codiţiile l limiă ese o eremlă fcţiolei 4 şi verifică î ls codiţi 5 şi dcă ese o eremlă iegrlei 5 ci eisă o cosă λ sfel îcâ să fie o eremlă fcţiolei b 7 K[ ] [ F ' λg ' ]d Demosrţie: Să cosiderăm fmili de fcţii 8 α α α η α η Y 9

209 de ese ereml căă η şi η s doă fcţii fie rbirre di C [b] le l ceele iervlli: 9 η η b η η b ir α şi α doi rmeri sficie de mici î modl Îlocid î iegrl 5 î locl fcţiei fcţi Y α α di 8 obţiem o iegrlă deizâd de α şi α : şi codiţi 5 devie b α α G α η α η ' α η ' α η ' I d α m I α Să răm că di cesă eglie em scoe e α î fcţie de α Clclăm derivele rţile le fcţiei α I er α α Avem: α η G η 'G b I i i ' d i αi Iegrăm ri ărţi liml erme şi ţiâd sem de 9 obţiem: I α i G G η d i {} b d d ' i Dcă ese o eremlă iegrlei 5 ci : G G d d ' şi I em lege fcţi η sfel c α Ecţi ese verifică de vlorile riclre α α m I deorece Y sisfce 5 I Doriă codiţiei coform eoremei referiore l fcţiile imlicie α eisă o veciăe cli α î cre ecţi defieşe e α c fcţie de α ir deriv dα dα î cl α ese: dα dα I α I α

210 Relâd fmili de fcţii 8 cre deide cm de sigr rmer α deorece α ese fcţie de α defiiă ri şi îlocid î 4 obţiem o fcţie de α I b α F α η α η ' α η ' α η ' d cre rebie să dmiă eremm er α deci I Avem: I b dα dα η η F η' η' F' d dα dα s iegrâd ri ărţi liml erme şi ţiâd sem de 9obţiem b d dα b d I F F' ηd F F' ηd d dα d Dcă îlocim de dedcem: dα dα c vlore s di î cre fcem îlocirile de I b d b d F F' ηd λ G G ' η d d d de d F F' ηd d λ b d G G ' ηd d Acesă eglie se mi oe scrie: Codiţi I b b d I ' F λg F λg η d d ' ' doriă lemei se redce l F λg d F λg ' ' d cre ese chir ecţi li Eler coreszăore fcţiolei 7 Teorem ese demosră Problem li Lgrge Să cosiderăm fcţiol:

211 b 3 I [ z] F ' z z' d Problem li Lgrge cosă î deermire i rc de crbă 4 z z [ b] cre ese si e srfţ: 5 G z şi eremeză iegrl 3 Pcele A z b şi B z rţi srfeţei deci: G z G z Fl că A şi B rţi crbei se rdce ri codiţiile l limiă: 6 b z z z b z Are loc rmăore: Teoremă: Lgrge Dcă siseml de fcţii 4 ese sisem ereml l fcţiolei 3 c codiţiile 5 şi 6 ci eisă o fcţie λ sfel îcâ siseml 4 ese sisem ereml l fcţiolei b 7 K[ z] [ F λ G]d 7 Probleme rose Să se deermie eremlele şi r lor er fcţiol: I : D R b I D C 4 [ ] [ 4 ' 8 3] I D C 4 [ ] [ ' e ] d de [ ] 4 d de 3 e 3

212 Să se deermie eremlele şi r lor er fcţiol R D : I [ ] [ ] { } ' ' C D de d I b [ ] [ ] [ ] { } ' ' ' sh C D de d I 3 Să se deermie eremlele şi r lor er fcţiol [ ] R D z I : [ ] [ ] 5 ' ' z z C z D de d z z z I b [ ] [ ] [ ] { } ' ' z z C z D de d z I 3

213 4 Să se deermie ereml fcţiolei I:D R [] { } Ω Ω Ω 4 3 R şi C D de dd I 5 Să se deermie eremlele fcţiolei I:D R [ ] [ ] { } 6 3 c legr ' C D de d d I b [ ] [ ] { } de si c legr ' C D d d I 4

214 CAPITOLUL VIII DISTRIBUŢII Sţii de fcţii L P KSξ Fie şi α α α α vâd coordoele R R α N { } Fie f : R Γ Γ R s C rţilă fcţiei f se v o: o fcţie comleă de vribilă relă Deriv D α f α α α α α α f de α α α α rereziă ordil de derivre l fcţiei f Î riclr D f f Defiiţi Nmim sor l fcţiei f şi oăm s mlţime: s f { R f } dică îchidere mlţimii celor di R de fcţi f i vlori diferie de zero Dcă s f ese mărgiiă rezlă că s f ese o mlţime comcă A loc rmăorele rorieăţi: iegrl: mlţime s f g s f s g s f g s f s g Defiiţi Sem că fcţi ese bsol iegrbilă e R dcă ese fiiă 3 R f d Sţil L P Fie măr rel şi f o fcţie comleă defiiă e Ω R Defiiţi 3 Fcţi f : Ω Γ ese iegrbilă e Ω R dcă iegrl: 5

215 Ω 4 f d < Mlţime fcţiilor iegrbile e Ω se v o c L P Ω şi se v mi sţil L P Ω L P Ω ese sţi vecoril ese Γ Sţil K Defiiţi 4 Nmim sţi K mlţime fcţiilor comlee ϕ : R Γ idefii derivbile ϕ R C R ϕ şi c sor comc Aces ese sţi vecoril ese corl Γ elemel l fiid fcţi Eeml Î sţil R fcţi: e ϕ de grfic şi s ϕ [ ] er < er e - - Sţil K se îzesreză c o srcră de covergeţă Defiiţi 5 Şirl ϕ K R coverge î sţil K căre fcţi K R i i N ϕ şi vom scrie ϕ i ϕ dcă eisă o mlţime comcă Ω R sfel îcâ s ϕ i Ω α α s ϕ Ω şi şirl ϕi ϕ îmreă c D ϕ D ϕ i comlee Sţil S Defiiţi 6 Nmim sţil S l fcţiilor emere mlţime fcţiilor ϕ : R Γ idefii derivbile cre er id l zero mi reede decâ orice ere li 6

216 Î riclr SR vem de eeml fcţi ϕ e R c s ϕr Sţil ξ Defiiţi 7 Nmim sţi ξ mlţime fcţiilor comlee ϕ : R Γ idefii derivbile şi c sor orecre Eeml: Fcţiile ϕ ϕ ϕ ξr Eisă relţiile K S ξ L P Sţiile vecorile KS ξ îzesre c o srcră de covergeţă se vor mi sţii fdmele ir fcţiile dir- semee sţi fcţii fdmele U sţi fdmel se oeză c Φ Sţil disribţiilor Oerţii c disribţii Eemle Fie Γ YΓ E doă sţii vecorile ese celşi cor de sclri Γ ir X E sbsţi l li E Alicţi oeror liir dcă: T T : X Y b T bt b Γ şi X se v mi oeror Oerorl T ese O clsă riclră de oerori o formeză fcţiolele Asfel dcă YΓ ci oerorl T : X Γ se v mi fcţiolă Vlore ei fcţiole î cl X se v o TT R s C Sem că fcţiol T ese liiră dcă sisfce codiţi de liirie i oeror Defiiţi Nmim disribţie o fcţiolă liiră şi coiă defiiă e sţi fdmel Φ KS ξ Î fell ces fiecărei fcţii ϕ Φ i se sociză dă o miă lege măr comle f ϕ cre sisfce codiţiile: f ϕ α ϕ α f ϕ α f ϕ α α Γ şi ϕ ϕ Φ α Φ ϕ φ lim f ϕ f ϕ ϕ ϕ Φ i i i 7

217 Codiţi erimă liirie fcţiolei f :Φ Γ ir codiţi coiie fcţiolei Covergeţ şirli ϕ i căre ϕ se fce î sesl covergeţei di sţil fdmel Φ Mlţime disribţiilor e Φ se oeză c Φ` Asfel disribţiile defiie e K se oeză K` şi se mesc disribţii de ordi ifii ir disribţiile defiie e S se oeză S` şi se mesc disribţii emere Î mlţime disribţiilor se defieşe oerţi de dre şi îmlţire c sclri sfel: A f φ f φ f φ f ff Φ şi ϕ Φ B α f φ α f φ α Γ f Φ şi ϕ Φ Defiiţi Fie disribţi f Φ` şi şirl de disribţii f i Φ` i N Sem că şirl f i coverge căre disribţi f şi vom scrie lim i ϕ f ϕ ϕ Φ f i lim f i i f dcă şi mi dcă Aces îsemă că şirl de disribţii f i coverge căre disribţi f dcă şirl de mere comlee f i ϕ coverge căre mărl comle f ϕ Mlţime disribţiilor Φ` î cre ese defiiă dre îmlţire c sclri şi o srcră de covergeţă ese sţi vecoril c o covergeţă mi sţil disribţiilor Φ` O clsă imoră de disribţii s disribţiile de i fcţie s disribţiile regle Acese disribţii s geere de fcţii locl iegrbile Ω f d < Ω mărgii fcţiol Asfel dcă f : R Γ T f : K Γ dă ri relţi: T ϕ f ϕ f R d ese o fcţie locl iegrbilă e ϕ K R ci ese o disribţie e sţil K miă disribţie de i fcţie Per simlie î loc de disribţi vom scrie f T f Eemll Disribţi δ R defiiă ri relţi ϕ ϕ ϕ Φ δ se meşe disribţi li Dirc Fcţiol ce o defieşe 8

218 ese liiră şi coiă Se mi se că disribţi li Dirc ese coceră î origie reerli Eemll Fcţi : R R dă ri: < se meşe fcţi li Hevside Acesă fcţie ese locl iegrbilă deorece b d eisă E geereză o disribţie de i fcţie T vem: T ϕ ϕ ϕ d ϕ d de [b] rereziă sorl fcţiei fdmele fcţi li Hevside se meşe disribţi li Hevside Asr disribţiilor vem rorieăţiile: δ cosδ δ siδ - δ - b ϕ K Disribţi geeră de f ϕ f ϕ rslţi şi f ϕ f ϕ simeri; dcă f ese de o vribilă omoei se defieşe ri: ϕ f f ϕ R f Φ R δ Î riclr er disribţi li Dirc: δ Defiiţi 3 Nmim sor l ei disribţii comlemer reiii mlţimilor deschise e cre se leză cesă disribţie Eeml disribţi li Hevside re sorl [ ir disribţi li Dirc re c sor cl Îre K`S` ξ` vem: ξ` S` K` Defiiţi 4 U şir de fcţii locl iegrbile f defieşe e i i N R ese şir rerezeiv Dirc dcă î sţil disribţiilor K` f f lim i i 9

219 3 Derivre disribţiilor Prodsl direc şi rodsl de covolţie Prorieăţi Dcă Deriv ei disribţii cosiie o geerlizre derivei ei fcţii f C R er orice fcţie fdmelă ϕ K R em scrie: ' ϕ f ' f d f ' ϕ ϕ' f f d ; cm s ϕ ese comc rezlă că ϕ f ' ϕ f ϕ' ± şi sfel relţi recedeă devie: cre ese forml de derivre disribţiilor Alog deriv de ordi α α α α D f ϕ f D ϕ ϕ K R 3 Dcă f K R ci: z 3 f z ϕ 3 z f z Per deriv disribţiei li Hevside vem: d d δ z 3 ϕ z cee ce ră legăr dire disribţi li Hevside şi disribţi li Dirc coceră î origie Îr-devăr: se oeză: d d ϕ ϕ' ϕ' d ϕ ϕ δ ϕ Fie f şi g doă fcţii comlee defiie reseciv e Defiiţi Fcţi comleă f g f g f g : X f g : R R Γ R şi m R defiiă ri relţi: se meşe rodsl direc s esoril l fcţie f ri g şi 3 f g f g Defiiţi Fie f şi g fcţii comlee locl iegrbile e R Γ de: 4 f g f g d X R R m R Fcţi

220 se meşe rodsl de covolţie l fcţiilor f şi g Se oe ră c rodsl de covolţie ese sociiv şi diribiv: şi f f g g f f g h f g h αg βh α f g β f h Eeml Să clclăm si de rereziă fcţi li Hevside Pem scrie: deci < < si si Per obţiem: < si si - d si d si d cos < cos si cos Are loc roriee: Teorem Tichmrsh Fie f g C R cos Deci : Dcă f*g ci f s g Prodsl de covolţie defii er fcţiile locl iegrbile se oe geerliz er disribţii: Defiiţi 3 Fie disribţiile f g K R Nmim rods de covolţie l disribţiei f şi g disribţi f*g defiiă e R K ri relţi: f g ϕ f g ϕ f g ϕ ϕ R Disribţi li Dirc δ rereziă elemel ie î ror c rodsl de covolţie l disribţiilor: K R f f δ f 4 Alicţii le eoriei disribţiilor Rerezere ei forţe cocere

221 Fie f iesie forţei e ie de lgime ce cţioeză î cl M erediclr e br AB fig Fo-P o f r RO A Iesie f O o B M Fig f re eresi: er [ - ] P er [ - ] O Fig fiid măr rl P> Siseml de forţe iform disribi e bră re c rezlă vecorl P Momel rezl M r o l cesor forţe î ror c origie reerli ese l Î coseciţă siseml de forţe iform disribi e bră ese echivlel c vecorl rezl R r cări mărime ese P dică ri dregili di fig Pe de lă re câd iesie forţei disribie f / P ide l ifii ir lgime e cre cţioeză ide l zero Mărime rezlei R r forţelor ese ideedeă de lgime brei AB şi ese eglă c P Per forţă coceră r FO P lică î origie Dr iesie obţiem o foţelor disribie rereziă şir de fcţii ce re limiă î ses obişi Deci em scrie r r o F limf Sirl f f ese şir rerezeiv Dirc dică lim f δ Deci forţ coceră î origie fig se oe scrie sb form : 5 r F lim f r o r P o lim f r P δ Rţiomel reze e ermie c î geerl o forţă o r FF F F z cţioâd îr- c A z să fie rerezeă c forţ iform disribiă î o sţil sb form:

222 r 6 q z F r δ o oz zo de q r rereziă srci disribiă echivleă c cţie forţei F r î cl A O z F r A z Coform eresiei 6 forţei cocere F r Fig 3 direcţi sesl şi mărime forţei s crcerize ri vecorl F r ir cl de licţie ri disribţi li Dirc cre re c sor cl z Per dedcere A şir rerezeiv Dirc î eresiei 6 ese sficie să cosiderăm 3 R dică f z er cre : lim f z δ o o z z Î ces mod roiecţiile srciii echivlee q r de de 6 eresiile o 7 q q q z lim f lim f lim f z F z F z F z F δ F δ F δ z o o o z z o z z o z z o o o o 5 Rerezere i cl cocer r r Fie F F sisem de doă forţe rlele egle c mărime şi de sesri corre fig A- F r d O Fig r r F F α o B Aces smbl rereziă î mecic corli rigid cl şi ese crceriz rir- vecor liber M r mi momel clli Brţl clli ese disţ d dire liiile de cţie celor doă forţe rlele ir mărime momeli ese r M F d de F F 3

223 doă forţe r r Dcă smbll F F cţioeză sr i solid deformbil ci cele F r şi - rebie cosidere c forţe cocere cre se o rereze F r ri vecori lecăori ş cm se rocedeză î czl solidli rigid Evide că î czl solidelor deformbile em să lăm î cosiderţie cele de licţie A şi B le celor doă forţe rlele recm şi direcţi forţelor rlele o Noâd c versol forţei rlel forţelor - F r şi F r lice reseciv î cle şi r le coresd srciile disribie: A B r r r r r r F q Fδ F q Fδ r r Asmblli de forţe F F r r q q r q r r r o [ Fδ F ] îi coresde srci echivleă q r vâd eresi: Defiiţi Nmim mome cocer î origie limi î sesl eoriei r r disribţiilor smblli de forţe cocere F F câd brţl de ârghie o d cosiderâd versorl r l forţei F r recm şi mărime momeli M F d cose r r o Proriee Fie α < F Aci eresi memică clli cocer î origie r r lim q d d o siα r lim q d M δ si α ese: Demosrţie Fie ϕ KR o fcţie fdmelă Aci di figr şi ţiâd sem de relţi vem: r r lim q ϕ d o lim d r o M d lim d δ M d ϕ d si d si o δ α ϕ α d si d si o ϕ α α Alicâd forml creşerilor fiie eresiei di reză obţiem: r o r M ϕ ξd 4 limq ϕ lim d si α d de ξ d si d α si α d Câd d ci şi ξ d şi eresi 4 devie: 4

224 de de 5 6 r o r M ϕ r o M ϕ limq ϕ ϕ d si α si α r o r M ϕ limq d si α C jorl cesor momee cocere em rereze le srcii cocere c o srcră mi comleă 6 Clcll vriţiol î disribţii Probleme discoie Î scol lărgirii cdrli de licbilie rezlelor obţie î clcll vriţiol şi osibiliăţii rării or robleme de clcl vriţiol î cre liiile dmisibile reziă discoiiăţi de seţ îâi vom defii oţie de vriţie ei fcţiole î sţil disribţiilor Fie fcţiol: b I[] F 'd de F C mlţime de fcţii D D R 3 Mlţime liiilor dmisibile er fcţiol ese C [b] b } { Vriţi de ordil îâi fcţiolei re eresi : 3 δi δi; η F η F b ' η' d de fcţiei ese o fcţie rbirră verificâd codiţiile η C [b] η ηb em cosider o fcţie fdmelă ϕ η KR î iervll [b] deci s 4 δi δi; ϕ F ϕ F ϕ' d R ϕ [b] Î ces fel 3 devie: ' Î locl vâd sorl icls Pe de lă re lgrgil F se oe relgi c vlori le î fr 3 domeili li de defiiţie R c oe că ces lcr ese bsol ecesr 3 îrcâ î 4 iervi decâ vlorile di R 5

225 Alog efecăm o relgire liiei dmisibile [b] sfel îcâ să fie de clsă fcţiilor fdmele К K C î fr iervlli e R f ce ese osibil oricâd Mlţime c roriee s ϕ KR [b] ϕ o vom o c Î fell ces vriţi de ordil îâi δi se oe scrie sb form: 5 δ I; ϕ δi ϕ F ϕ F' ϕ' cee ce ră că vriţi de ordil îâi ese o disribţie defiiă e sbsţil К K l fcţiilor idefii derivbile c sor î [b] Lem fdmelă clcli vriţiol î czl că liiile dmisibile s disribţii disţil K'R ese: Lemă Codiţi ecesră şi sficieă er c disribţi f K'R să fie lă e [b] ese c f ϕ er orice ϕ ξ K deci s ϕ [b] Ţiâd sem de regl de derivre î disribţii eresi 5 se oe scrie sb form: d d δ I ϕ F ϕ F' ϕ F F ϕ d d ' de de e bz lemei vem ecţi li Eler î disribţii: d 6 F F ' d oerţiile de derivre fiid cosidere î sţil disribţiilor Dcă î o ereml re o discoiie de seţ I ci lii eremlă e iervlele b] verifică ecţiile : [ ~ ~ d d 7 F 'F ' F F' F d d ~ d deriv î ses obişi ir crb eermlă rebie să verifice î o : 8 S F 'F S F ' o o de S ese sll fcţiei î o o Codiţiile slimere 8 se mesc codiţiile Erdm-Weiersrss Î coclzie dcă o liie eremlă re o discoiie de seţ îâi î cl o b ci e sisfce ecţi li Eler e iervlele b] [ 6

226 ir î cl de discoiie o rebie să verifice codiţiile Erdm- Weiersrss Eeml Fie fcţiol: 9 I[] ' d Se cere să se deermie crb C [ fcţiolei 9 şi să recă ri cele A-- B ] cre să relizeze miiml B B O A-- A Deorece F ' rezlă că I[] Cm if I [] rezlă că vlore miimă fcţiolei ese I [] Aces imlică F deci ' dică ese cos Aces ese o fcţie de clsă dr rece ri cele A şi B Pri rmre fcţiol 9 î-şi ige miiml î mlţime liiilor dmisibile de cls C [ ] Vom că crbe eede e orţie cre să relizeze miiml fcţiolei Deci roblem re solţie î cls li Eler coreszăore fcţiolei 9 ese: d d de de se obţie : ' ' ese disribţi de i fcţie: > Derivâd î sesl disribţiilor vem: C [ ] C Ecţi ecţie cosideră î disribţii Solţi cesei ecţii ' δ deci ' δ cee ce ră că rereziă solţi ecţiei li Eler î disribţii 7

227 Pri rmre crb ce relizeză miiml fcţiolei ese comsă di segmeele rlele c O AA şi BB ce rec ri cele de A şi B Pcl de discoiie solţiei ese o Î ces c cele doă codiţii Erdm-Weiersrss s îdeliie So F ' F' So o' deorece ' o o ' o o ' er Alog S F S ' o ' o Problem formlă er fcţiol 9 fos să de căre KWeiesrss 7 Probleme rose Să se demosreze că î K'R vem: δ Fie şirl de fcţii f R f er < er er er > Să se re că f ese şir rerezeiv Dirc 3 Fie disribţi: α fα α > Γ α Să se re că f * f f α β αβ 8

228 4 Cosiderăm oerorl: R 3 şi disribţi K'R E < ] 3 [ 4 R K E fiid disribţi li Hevside Să se re că : E δ 9

229 CAPITOLUL IX TEORIA PROBABILITĂŢILOR Câm de eveimee Câm de robbilie Defiiţi clsică robbiliăţii Model geerliz l robbiliăţii Problem cli Bffo Defiiţi iomică robbiliăţii dă A N Kolmogorov Î clcll robbiliăţilor ri eerieţă se îţelege orice c ce oe fi ree î codiţiile de Pri eveime se îţelege orice siţie legă de o eerieţă desre cre em se că s- reliz s î rm efecării eerieţei Asfel cosiderăm eerieţ rcării i zr Rezll eerieţei ese riţi ei dire cele şse feţe c merele 3456 Î ces cz cl rcării zrli cosiie eerieţ U eveime l cesei eerieţe oe fi cosider de eeml riţi feţei c cifr 3 Fiecărei eerieţe i se socieză doă eveimee secile mie eveimel sigr o c E şi eveimel imosibil o c Φ Defiiţi Nmim eveime sigr E cel eveime cre se relizeză îode l fiecre efecre eerieţei Pri eveimel imosibil Φ se îţelege eveimel cre se rodce l ici o efecre eerieţei Defiiţi Nmim sisem de eveimee îr-o eerieţă dă mlţime de eveimee ce o ăre î ce eerieţă Fie A eveime leg de o eerieţă dă Nmim corrl osl s comlemerl eveimeli A eveimel o Ā cre cosă î erelizre eveimeli A Coform celor de mi ss vem: Ē Φ şi Φ E 3

230 Dcă odă c eveimel A se relizeză şi eveimel B ci vom se că A imlică B şi vom scrie A B Eeml : Î eerieţ rcării c zrl: 5 ; Avem rmăorele rorieăţi evidee: A A A E ; dcă A B şi B C ci A C rziivie Dcă A B şi B A cele doă eveimee se mesc echivlee şi se scrie A B Dcă A şi B s doă eveimee di celşi sisem ci eveimel cre cosă î riţi fie eveimeli A fie eveimeli B se meşe reie eveimeelor A şi B şi se oeză A U B Eveimel cre cosă î relizre simlă mbelor eveimee se meşe eveimel A şi B s iersecţi eveimeelor A B o A B Avem: A E A A Φ Φ Oerţiile U şi s comive sociive ir ese disribivă fţă de U Are loc şi roriee Ā CE A E \ A Fie A şi B eveimee le sisemli S A şi B s eveimee comibile dcă cese se rodc siml: A B Φ Eveimeele A şi B se mesc eveimee icomibile s disjce dcă ele se o reliz siml: A B Φ Defiiţi 3 Doă eveimee di celşi sisem de eveimee se mesc ideedee dcă relizre i deide de relizre celill Defiiţi 4 Doă eveimee se mesc deedee dcă rodcere i eveime re loc mi dcă celăll eveime se rodce Eeml A 36 B 4 s eveimee deedee î rcre zrli şi comibile; A 46 şi C 5 s eveimee ideedee şi icomibile Defiiţi 5 O mlţime F se meşe câm de eveimee dcă s îdeliie rmăorele codiţii: E F E fiid eveimel sigr; b Oricre r fi eveimel A di F corril să Ā se găseşe î F; 3

231 U A i F i c Dcă AB F ci A U B F d Î czl că F coţie o ifiie de eveimee A F ci i Se se că F ese câm fii s ifii dă cm F coţie măr fii s o ifiie de eveimee disice Di defiiţi câmli de eveimee rezlă rorieăţile: Φ F Φ E _ şi se lică b ; A B F A B F; 3 A B F B \ A F c A B Fie A eveime coreszăor ei eerieţe Reeâd eerieţ de ori î codiţii ideice să resem că eveimel A s- rods de ori Defiiţi 6 Nmim frecveţă relivă eveimeli A mărl f Nmărl se meşe frecveţă bsolă Nmărl î jrl cări se greză frecveţele relive se meşe robbilie de riţie eveimeli A şi se oeză PA Defiiţi 7 defiiţi clsică robbiliăţii Probbilie relizării i eveime ese dă de rorl dire mărl czrilor fvorbile şi mărl czrilor egl osibile eveimee Acesă defiiţie ese sisfăcăore mi î czl câmrilor fiie de Se oe geerliz rezere modelli de clcl l robbiliăţilor PA l mlţimile coie s mărbile Î ces ses mărimilor coie c: lgime rie volm gree im ec li se sociză o fcţie mx miă măsră cre se bcră de rmăorele rorieăţii: mx 3

232 b m Φ c dcă { X { } } ese sisem de mlţimi disjce ci m U X m X Dcă oăm c mx măsr mlţimii socie eveimeli X şi c me măsr mlţimii socie eveimeli sigr E ci: m X PX m E Forml oe fi lică â î czl câmrilor fiie câ şi ifiie de eveimee discree s coie Măsrile eveimeelor se doă î fcţie de r eveimeelor Asfel dcă eveimeele o fi se î coresodeţă c imgii geomerice c segmee figri le s sţile ci c măsri le eveimeelor se o l lgimi rii volme Eeml Problem cli Bffo* Pe l orizol s rse dreele rlele l ceeşi disţă d figr: d d d Se rcă î l c AB de lgime l l d Să se deermie robbilie c cl să îâlescă di dreele rlele *Georges- Lois Leclerc Come le Bffo Celebr om de şiiţă frcez şi î celşi im mre scriior 33

233 Poziţi cli AB î ll dreelor cosiie eveime îâmlăor cre ese dă de doi rmerii cre de semee î eerieţ făcă vlori îâmlăore Per fire rmerilor cre deermiă oziţi cli AB î l cosiderâd mijlocl M l li AB cosăm că disţ li M de ce mi roriă dreă şi ghil α e cre îl fce c dre figr de mi jos deermiă comle oziţi cli: deci şi α o fi cosidere dre rmeri A B M C D Vlorile osibile le cesor rmeri s de de siseml de iegliăţi: d ; α Asfel ierre eveimel sigr Ε îi coresde mlţime celor di ll α de coordoe α coreszăor sisemli de iegliăţi dică eveimeli sigr îi coresde dreghil de lri şi d figr de mi jos: d Eveimel X cer de eerieţă dică AB să îâlescă e re loc câd o X α MD MC dică 3 l si α 34