Tema 4. Primitiva şi integrala Riemann. Aplicaţii. Modulul Primitiva. Aplicaţii

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Tema 4. Primitiva şi integrala Riemann. Aplicaţii. Modulul Primitiva. Aplicaţii"

Transcript

1 Tem 4 Primitiv şi itegrl Riem. Alicţii. Modulul 4. - Primitiv. Alicţii Noţiue de rimitivă s- degjt di licţiile mtemticii î situţii cocrete, cre costă î determire modelului mtemtic l uui roces tuci câd se dă vitez de vriţie cestui. Astrct, rolem rimitivei se formuleză stfel: fiid dtă fucţi derivtă ' F f : I R R se cere să se determie fucţiile f : I R. Prolem rimitivelor este deci ivers rolemei fudmetle clculului difereţil, cre duă cum s- rătt î lt citol, costă î determire derivtei uei fucţii dte. Derivre este u oertor cre sociză uei fucţii dte f : I R derivt ' s f : I R, î tim ce determire rimitivelor (rimitivizre), dică ivers oerţiei ure de derivre, este o fucţie multivocă cre sociză uei fucţii dte ' ' F : I R, ( F f ) mulţime fucţiilor f cu roriette f F cre este ifiită (duă u ditre coseciţele teoremei Lgrge). Defiiţi 4. ] Fie I R itervl, f : I R. Se umeşte rimitivă fucţiei f e I, orice fucţie F : I R derivilă e I şi cu roriette F ' f e I (F ' () f (), I). ] Oerţi de determire uei rimitive F lui f e itervlul I se umeşte oerţie de itegrre, ottă ri simolul f ( ) d. 3] Fucţi f : I R cre dmite cel uţi o rimitivă e I se umeşte fucţie cu rimitive e I şi mulţime cestor fucţii se v ot ri P(I). Teorem 4. (Prorietăţi geerle le rimitivelor) Fie I R itervl şi f : I R, tuci u loc firmţiile: ( ) Dcă F este o rimitivă lui f e I tuci etru C R, fucţi F + C este o rimitivă lui f e I. ( ) Două rimitive orecre F şi G lui f e I diferă ritr-o costtă. ( 3 ) Primitiv geerlă su itegrl edefiită su tiderivt uei fucţii f este dtă ri: ( ) ( ) { R } ( ) f d F + C F : I rimitivă lui f ; C F + C, I ( 4 ) Itegrl edefiită este ivers licţiei de difereţiere: ( ) df ( ) F ( ) + C ( 3) d f ( ) d f ( ) d. R ot 94

2 Demostrţie ( ) F este rimitivă, deci F derivilă cu F ' f şi vem: (F + C) ' F ' + C ' F ' f, de ude rezultă F + C derivilă cu (F + C) ' f F + C rimitivă. ( ) Fie F, G : I R rimitive le lui f e I, coform defiiţiei : F, G derivile cu: F ' f, G ' f e I F ' G ' (F G ) ' F G C, C R. ' df F d f d F + C şi ( 4 ) Avem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3) ' d f d d F C F C d F C d ' F d f d. Teorem 4. (Oerţii lgerice cu rimitive) Fie I R itervl şi f, g : I R cu f, g P(I), tuci u loc rorietăţile: d λ f λ df λ f + C λ R C R + + ( 5 ) ( ),, ( 6 ) d ( f ± g ) df ± dg f ± g + C ; C R ( 7 ) d ( fg ) ( gdf fdg ) gdf fdg Demostrţie Î iotez f, g difereţiile (derivile) e I, vem: d ( λ f ) λ df, d ( f ± g ) df ± dg, d ( fg ) gdf + fdg şi duă formul () se oţi imedit rorietăţile ( 5 ), ( 6 ), ( 7 ). Coseciţ 4. Fie f, g C (I) di ( 7 ) se oţie formul de itegrre ri ărţi, cre este o metodă de clcul etru rimitive: ( ) 4 fdg fg gdf Coseciţ 4. Dcă f : I R, f P(I) cu F o rimitivă orecre s şi u ( t ), t J este o schimre de vriilă cu u C (J), tuci di formul de difereţiere fucţiilor comuse, vem: ( 5 ) f ( ) d f u ( t ) du ( t ) f u ( t ) u ' ( t ) dt F u ( t ) + C, C R. Demostrţie Fie F ( u ) f ( u ) du şi G ( t ) f u ( t ) dt ( ) ' ( ) ' ( ) ( ) ' ( ) ' ( ) F u ( t ) G ( t ) + C df u t F u t u t dt f u t u t dt G t, tuci vem: şi este vlilă formul de itegrre ri schimre de vriilă (5). Coseciţ 4.3 Di defiiţi rimitivei, rorietăţile sle ( 4 ) dte ri () şi (3) di Tloul derivtelor uor fucţii elemetre se oţie Tloul rimitivelor uor fucţii elemetre (di iliogrfie: [6], [], [], [4], [6] şi mulul de mtemtică etru cls XII ). 95

3 Telul rimitivelor uzule α+ ; R { α α }. d α + + C l ; α d. l + C ( ) + d 3. rctg + C rcctg + C ( ) + d 4. l C ( ) + d 5. rcsi + C rccos + C ( ) 6. d + C ( >, ) ; e d e + C l 7. si d cos + C; cos d si + C d d 8. l tg + C; l tg C si + + cos 4 9. tg d l cos + C; ctg d l si + C d d. ctg + C; tg C si + cos ( ) ( ). + ctg d ctg + C; + tg d tg + C ( ). d + rcsi + C 3. ± d ± ± l + ± C ( ) e e e + e 4. sh d d ch + C; ch d d sh + C d d 5. th + C; cth C ch + sh si cos 6. d sec + C; d cosec C cos + si 96

4 d 7. rcsec + C rccosec + C d m 8. + C ( m ; m N ) m m m Oservţii.. Petru test dcă F : I R este o rimitivă fucţiei f : I R e I; se verifică eglitte: F ' () f (), I.. Studiul rimitivelor fost efectut şi î liceu, de cee vom fce uele comletări, î secil rezetâd clsele de fucţii rele de o vriilă relă căror rimitive se reduc, ri sustituţii coveile, l rimitive de fucţii rţiole. 3. Prolem eisteţei rimitivelor, îsemă de ft, etru f : I R R determire fmiliei de fucţii P(I). Răsusul comlet l cestă rolemă u fost dt îcă. Se cuosc răsusuri rţile. (i) Codiţi ecesră de eisteţă rimitivelor lui f : I R este c f să osede roriette Drou, deorece î cest cz f este o derivtă e I (f F ' e I). (ii) Orice fucţie cotiuă f : I R osedă rimitive e I, (codiţie suficietă) cre se v demostr î cdrul Itegrlei Riem. (iii) Eistă fucţii discotiue cre u rimitive. si ;, R Eemlu. f : R R, f ( ) discotiuă î re o ; rimitivă F : R R defiită ri formul F G H ude G : R R cu ( ) cos ;, R G şi H : R R cre este o rimitivă fucţiei ; cos ;, R cotiue ϕ : R R cu ϕ ( ). ; Avem: cos + si,, R F '( ) G '( ) H '( ) ude G '( ), cos,, R şi H '( ) deci F '( ) f ( ), R şi F, este o rimitivă lui f e R. 4. Metodele de clcul etru rimitive sut: 97

5 Telul rimitivelor imedite le uor fucţii elemetre, Metod trsformărilor lgerice şi trigoometrice, Metod itegrării ri ărţi, Metod itegrării ri formule de recureţă duă N şi Metod sustituţiei cre se regăsesc î coseciţ, coseciţ, coseciţ 3 şi î iliogrfie ([6], [], [], [4], [6]). 5. Vom rezet clse de fucţii rele de o vriilă relă le căror rimitive sut erimile ri comiţii liire fiite de fucţii elemetre. Fie f : D R R cu ( ) ( ) ( ) P Q ( ) ( ) Primitive de fucţii rţiole P ( ) f cu P, Q R [ X ] şi cu gr P Q gr Q tuci ( ) P ( ) + cu, P, Q R [ X ] şi gr P < gr.q. Duă o teoremă di Q lgeră, re loc descomuere î frcţii simle: A M + N f ( ) ( ) + + ( 4 ) q < ude ( ) ( + + q) este sum reltivă l tote rădăciile rele simle şi multile, ir este sum reltivă l tote rădăciile comlee simle şi multile le ecuţiei lgerice cu coeficieţi reli: Q(). Clculul rimitivelor lui f este dt ri: P( ) P( ) A f ( ) d ( ) d + d ( ) d ( ) d Q( ) Q( ) ( ) + M + N ( + + q) d ( gr gr + ) R [ X ] şi coduce l următorul rezultt: A l + C ; A ( i) d A. Petru ecuţi ( ) + C ; ++q cu - ( ) 4q < şi rădăciile, α ± iβ C; α, β R re loc descomuere coică: + + q ( - α ) + β α, q α + β cu. Avem: 4 β < M M α + N α l( + + q) + rctg + C ; M + N β β ( ii) d ( + + q) M + ( M α + N ) I ; ( )( + + q) 98

6 d ( α) d I [( α ) + β ] ( + + q) 3 I + I, etru ( ) β [( α ) + β ] α I rctg + C ; I + C3 β β Itegrre fucţiilor irţiole Itegrre fucţiilor irţiole, se v reduce, ri sustituţii coveile, l itegrre de fucţii rţiole. Vom folosi otre R(u, v, w, ) etru desem o fucţie rţiolă î vriilele u, v, w, cre l râdul lor sut fucţii î. m m m,..., m Z. R (,..., ) d cu,..., N * şi cosiderăm c.m.m.m.c.{,,, }. m m Sustituţi t şi d t - dt, otâd s,..., s cu s,, s Z, oţiem: m m s s R (,..., ) d R ( t,..., t ) t dt R ( t) dt cu R o fucţie rţiolă î t. m m R [,,..., ] d ude c + d ; cu,, c, d R* ; m, c + d c + d c + d,m Z,,, N*, şi cosiderăm c.m.m.m.c.{,,, }. Sustituţi dt ( ct ) + ct t c + d ( d c) t d dt ( ct ) m m + + dt s s ( d c) t R [,,..., ] d R, t,..., t dt R ( t) dt ude c + d c + d ct ( ct ) R este o fucţie rţiolă î t. 3. R (, + + c ) d cu,, c, R, şi 4c. Se vor efectu sustituţiile lui Euler: 3. Dcă > sustituţi este: + + c ± t şi etru czul t c t + t c + + c + t t d dt ( ); ; t ( t ) (, ) t + t c + + c R + + c d t R, R ( ) cu R o fucţie rţiolă î t t ( t ) t c t + t c t + t c dt 3 t dt 3 t 99

7 3. Dcă c > sustituţi este: + + c t ± c şi etru czul t c t c t + c c t c ( t ); d dt; t ( t ) (, ) t c t + c + + c R + + c d t t c t c t + c t c t + c R ; dt t t ( t ) R ( t) dt cu R o fucţie rţiolă î t Dcă < şi c <, ir 4c < + + c <, R şi + + c C. Dcă 4c > + + c ( - )(- - ),, R şi. ( ) Avem: + + c ( )( ) ( ) şi tuci: ( ) ( ) R, + + c d R,( ) d ( ) t + ( ) ; t ; t d dt + t ( + t ) + t este de ti şi se fce sustituţi: ( ) t + t( ) R, + + c d R ; t dt t t + + ( + t ) R ( t) dt cu R o fucţie rţiolă î t 5 5 m 4. ( + ) d itegrle iome cu, R*, m,, Q şi otăm m m,, ude m,,şi, Z, m N*. m Teorem 4.3 (P. L. Ceîşev) m Primitivele etru ( + ) d se ot erim ri comiţii fiite de fucţii elemetre umi î următorele trei czuri: m + m 4. Z; 4. Z ; Z. Demostrţie. 4. Dcă Z, vem: m+ (i) ( + ) d d + C ( m ). m m m + (ii) > + d C d C + C k + m+ m k k k k + m k k k ( ) k k k + m +

8 m m m (iii) < ( + ) d d R (,, ) d ( + ) de ti. şi otâd c.m.m.m.c. {m, } ri sustituţi t t ; m+ d t dt R ( t ) dt cu R 6 o fucţie rţiolă î t. m ( + ) ( ) + m + m + 4. Z şi Z, tuci Z şi ri sustituţi t vem: m+ m ( + ) d t ( + t ) dt di cre ri o ouă sustituţie: z + t z + z t, dt z dz se oţie rezulttul fil: m+ m m z m + fucţie rţiolă î z deorece Z şi + Z. m + m 4 3. Dcă, Z şi + + Z se rerezită itegrl iomă su form: ( + ) d t ( + t ) dt z dz R ( z) dz R o m m m + ( + ) d d d şi rim sustituţie: t t ; d t dt coduce l: m+ m + + t ( + ) d t dt ; dou sustituţie: t + t + z z t t ( z ), dt dz t z ( z ) m+ + + m ( + ) d z dz R ( z ) dz z cu m + + Z 8, + Z şi R 8 o fucţie rţiolă î z. Itegrre fucţiilor rţiole î si şi cos. Clculul itegrlei R ( si,cos ) d î czul geerl cu (-, ) se fce dt ritr-o schimre de vriilă: tg t rctgt, d, + t t t t t dt si, cos R ( si,cos ) d R, R ( t ) dt + t + t + t + t + t cu R o fucţie rţiolă î t. m

9 . Dcă R (si, cos ) este o fucţie imră î cos, vem: R ( si, cos ) d f (si, cos ) cos d şi ri sustituţi: si t, cos d dt se oţie: R ( si, cos ) d f (si, cos ) cos d (, ) R ( si, cos ) (, ) R ( ) cu cu R o fucţie f t t dt d f t t dt t dt rţiolă î t. 3. Dcă R (si, cos ) este o fucţie imră î si, vem: R ( si, cos ) d g(si, cos ) si d şi ri sustituţi: cos t, -si d dt rezultă: R ( si, cos ) d g(si,cos )( si d) g ( t, t ) dt R 3 ( t ) dt cu cu R 3 o fucţie rţiolă î t. 4. Dcă R (si, cos ) este o fucţie ră î si şi cos, vem R ( si, cos ) d h(si, cos ) d şi ri sustituţi: dt t tg t rctgt, d, si, cos se oţie rezulttul fil: + t + t + t R ( si,cos ) ( si,cos ) t dt d h d h, R 4 ( t ) dt + t + t + t cu R o fucţie 4 rţiolă î t. Itegrre fucţiilor rţiole î eoeţile r r Primitivele de form: R ( e,..., e ) d cu, R şi r,, r Q, ir mi ri, mi Z, i N * şi i,, se v ot λ c.m.m.m.c.{,, } şi ri i sustituţi e t λ λ l t λ dt, t >, d se oţie: t r (,..., r λ λr R ) R (,..., λr dt e e d t t ) R ( t ) dt t cu R o fucţie rţiolă î t, deorece λ r,, λ r Z. Itegrle de form P ( ) f ( ) d Fie P R[X] şi f este u ditre fucţiile elemetre e,, l, log, rcsi, rccos, rctg, rcctg etc.. Itegrl se clculeză ri metod itegrării ri ărţi cu scoul de reduce trett cu câte o uitte grdul liomului P : gr P ( N). se îtâlesc următorele czuri:. P ( ) ( ) ' ( ) ( ) ( ) e d e P P e d e P Q e d ( Q ) P ' şi grq d. P ( ) l d Q + ( ) l Q + ( ) Q ( ) d % ude ( Q ( ) ( ) cu gr + P d Q + + ) şi Q % ( ) oliom cu gr Q %. Q+ ( ) 3. P ( ) rcsi d Q ( ) rcsi d cu Q ( ) P ( ) d + +

10 oliom de grdul ( + ); se elimiă rdiclul di ultim itegrlă ri u ditre sustituţiile lui Euler. De semee, î uele czuri sut coveile sustituţiile trigoometrice si t ( cos t); d cos t dt (d -si t dt); si t cos t ; ( ) cos t si t şi se oţie itegrl uei fucţii rţiole î sit şi cost. Q ( ) 4. + rţiolă î şi Q ( ) ( ) + P d oliom. + P ( ) rctgd Q ( ) rctg + d Q + ( ) rctg R ( ) d cu R o fucţie 5. P ( ) d P ( ) P ' ( ) d P ( ) Q ( ) d l l l l (gr Q ( ) ). 6. Itegrle elitice Î czul R (, P ( ) ) d gr P 3, rimitivele u se ot erim, î geerl, ri comiţii fiite de fucţii elemetre şi cestă clsă de itegrle se umesc itegrle elitice. Itegrlele elitice ot fi rerezette su u ditre formele: dt I ( k, t) ( k ) k si t. dt dt + sit t I (, t) t + c; I (, t) l + C tg u si t cos t sit E( k, t) k si tdt ( k ). E(, t) t + c ; E(, t) k si tdt cos t dt sit + C3 Fucţiile I(k, t), E(k, t) se umesc fucţii elitice; itegrlele de cest ti r î clculul lugimii uui rc de elisă di l. 7. Itegrle cre u se erimă ri comiţii liire fiite de fucţii elemetre: si d (siusul itegrl); e d cos d (cosiusul itegrl); (logritmul itegrl); (eoeţilul itegrl); e d (itegrl lui Poisso); cos d şi si d (itegrlele lui Fresel) şi itegrlele elitice R (, P ( ) ) d gr P 3. Alicţii. ( + ). d d rctg + C + + cos cos si d d. d d ctg tg c cos si cos si + si cos 3 d l

11 ( ¹; -4c ) d d d c + l + C ; > ri sustituţi evidetă + t, d dt C ; + + rctg + C ; < 4. d si t costdt cos tdt [, ], si t, d cos tdt, t, ( cos ) si si cos + t dt t + t + C t + t t + C 4 4 t + sit si t + C rcsi + + C 4 rcsi + + C 5. d + + c cu şi I R. î. + + c > I d d + + c şi r două czuri > şi <. + 4 I. > d d c + m l C ; dcă > (se i semul +) 4 l c + C ; dcă < (se i semul -) II. < > şi vem 4

12 d d + + rcsi C c + + rcsi + C 3 si d si d d (cos ) cos 6. l l C C si si + + cos cos + cos l tg + C l tg + C 7. rctgd ( ) ' rctgd rctg d + d ( + ) rctg rctg l( + ) + C d ( ) ' + d + + d + d + d d + l( + + ) + C + d + + l( + + ) + C d + d 9. N, I d I ( ) ( ) ( ) ' I I+ + d I I + + ( + ) ( + ) I+ + I ; ( ) + d I + C ; I rctg + C + 5

13 d. I tg d tg ( tg + ) d tg I cos tg tg d ( tg) I I cu tg I I si I + C ; I tgd d l cos + C cos d d l + + ( )( + ) ( ) rctg l( + ) rctg + C + + d ( I cz rticulr di.) ( + ) t( t + ) + ( t + ) t + t +. d dt t ( t + ) 3 t + 4t + 6t + 4 t + 3t + 3 dt dt + dt ( t + ) 4 4 ( t + ) t ( t + ) + ( t + ) + t l dt t ( t + ) t C cu sustituţiile : 8 ( t + ) t t + t + t( t + ) + + ; d dt; + ; ( t + ) ( t + ) ( t + ) t ; t + t ; + + ( t + ) t d ( ) + l C 8( ) 6

14 d 4 + d 3. 4 m t 4 3 Z; Z t ( t ) ; d 4( t ) 3t dt d ( t ) t t ( t ) dt ( ) + ( + ) 3 ( + ) t t dt t t C C Modulul 4. - Itegrl Riem. Alicţii. Noţiue de itegrlă ărut di evoi rctică de determi rii şi volume le uor figuri di l şi coruri di sţiu, cât şi multe cosiderţii di fizică. Bzele clculului itegrl şi licţiile sle î geometrie, mecică şi fizică u fost dezvoltte î secolul l XVIII le î lucrările lui Newto şi Leiiz. Defiiţi rigurosă cocetului de itegrlă fost dtă este u secol î lucrările lui Cuchy şi Drou etru cls fucţiilor cotiue e u itervl comct di R. Etidere itegrlei etru fucţii discotiue fost reliztă de Riem şi Leesgue, cre u formult codiţii ecesre şi suficiete de itegrilitte etru fucţii rele de o vriilă relă. Uele roleme secile di teori itegrilităţii u fost elorte de Stieltjes şi Leesgue cre u geerlizt cocetul de itegrlă etru czul mulţimilor strcte. Î teori geerlă itegrlei se u stfel rolemele: Se defieşte o umită schemă S (u rocedeu S), ri cre utem soci uor umite fucţii dte u umăr rel, î geerl, ie determit. A itegr o fucţie f : [, ] R (, R, < ) reltiv l schem S, îsemă determi umărul rel S(f) socit lui f, cu jutorul schemei recizte S. Î mod turl r următorele roleme: I. Cre este relţi ditre tiurile de itegrlă cosiderte? II. III. IV. Să se determie clse cât mi mle de fucţii itegrile. Să se idice metode, rocedee etru clculul itegrlelor câd fucţi de itegrt re o formă cât mi geerlă su o formă rticulră remrcilă (fucţii rţiole, fucţii irţiole etc). Să se recizeze metodele de clcul roimtiv l itegrlelor cre să fie îsoţite de o formulă de evlure erorilor de clcul. 7

15 Defiiţi itegrlei Riem. Clse de fucţii itegrile. Fie, R cu < şi f : [, ] R. O divizre itervlului [, ], ottă, este o mulţime fiită de ucte { < <...< i- < < i < < } ude i [, ] se umesc uctele diviziuii şi [ i-, i ] [, ], i, se umesc itervlele rţile le lui. Avem lugime l([ i-, i ]) i - ot i- δ i > şi otăm ri ot µ ( ) m{ i - i- i,.., } orm divizării ; evidet δ i, i {,, }. Divizre este echidisttă dcă: i i i, i {,..., } şi tuci i + ( ). Se v ot ri D([, ]) su D (câd u este ericol de cofuzie) mulţime tuturor divizărilor lui [, ]. Petru o divizre D([, ]) cu { < < <...< i- < i < < } se umeşte mulţime de ucte itermedire, ottă ξ, ξ { ξ i ξ i [ i-, i ]}; etru D([, ]) dtă eistă o mulţime ifiită de fmilii de ucte itermedire ξ. Dcă, D([, ]) se sue că este mi fiă decât dcă ( dică re cel uţi u uct mi mult decât ): i cu i [ i, i ] şi i. Relţi de fieţe ditre diviziuile lui [, ] este o relţie de ordie e D([, ]) şi î lus,, D([, ]) eistă D([, ]) î. şi (se cosideră, şi evidet şi ). Fie f : [, ] R, D([, ]) şi orice sistem de ucte itermedire ξ { ξ i ξ i [ i-, i ]}, umărul ot () f ( ξi ) ( i i ) f ( ξi ) δ i σ ( f, ξ ) i i se umeşte sumă itegrlă Riem socită fucţiei f, diviziuii şi sistemului de ucte ξ. Defiiţi 4. ] Fucţi f : [, ] R, este itegrilă Riem e [, ] dcă eistă I R R cu roriette: ε >, η ε >.î. D [, ] cu () ( ') IR lim σ ( f, ξ ), ξ ( f, ) I, < η σ ξ R < ε ξ ] Numărul rel I R se umeşte itegrl Riem su itegrl defiită di f e [, ], ottă: R R R R [, ] (3) I f ( ) d su I fd su I f su I f Oservţii.. Di defiiţi rezultă că f este itegrilă Riem dcă eistă lim σ ( f, ξ ) IR R, ξ.. Avem fd fd ( < ) 8

16 3. Dcă eistă I R R cu roriette () cest este uic. 4. O fucţie itegrilă Riem e [, ] se v umi fucţie R- itegrilă şi vom ot ri R[, ]{f f : [, ] R itegrilă Riem} mulţime fucţiilor f : [, ] R, R itegrile. Teorem 4.4 (de crcterizre itegrilităţii e R) Fie f : [, ] R (, R; < ). Fucţi f este itegrilă Riem, dcă şi umi dcă, eistă I R R cu roriette: R ( ) D [, ] u şir de diviziui cu şirul ormelor şi, ξ (4)şirul sumelor itegrle Riem σ (, f ξ est ) e coverget î R cu limit I R R Demostrţi î iliogrfie ([], [], [6]). Coseciţ 4.4. Fie f : [, ] R o fucţie R itegrilă, tuci re loc firmţi: R R (5) D [, ], cu şi ξ σ ( f, ξ ) f ( ) d I Teorem 4.5 (Codiţie ecesră etru itegrilitte) Dcă f : [, ] R este o fucţie R itegrilă, tuci f este mărgiită e [, ]. Demostrţie. f itegrilă def () devărtă şi fie ε, tuci eistă D([, ]). î. σ ( f, ξ ) IR, ( ξ ) ( ') IR f ( ξi ) δi IR +, ξ [ i, i ] i, Fiăm i R { } j {,,, } şi cosederăm u sistem de ucte itermedire ξ, ξ,..., ξ j, ξ j, ξ j+,..., ξ cu ξ, ξ,..., ξ j, ξj+,..., ξ fiţi şi ξ j ritrr cu ξ j [ j-, { } j ] cu j i. Di ( ) etru ξ j [ j-, j ] vem: (6) ( ) ( ) R f ( j ) ( R ) ( ) I + f ξ δ I + + f ξ δ j j j j i j i j ξ j j j j f este mărgiită e [ j-, j ] etru j {,,, } f este mărgiită e, U, j. [ ] j j Coseciţ 4.5 Dcă f : [, ] R este o fucţie emărgiită e [, ], tuci f u este R itegrilă (codiţie suficietă). Demostrţi este directă di teorem 4.5. Fie f : [, ] R o fucţie mărgiită cu m if{ f () [, ]}, M su{ f () [, ]}. Dcă D([, ]) e fiecre itervl rţil [ i-, i ] otăm: m i (f) if f(), cu [ i-, i ], M i (f) su f(), cu [ i-, i ] şi cosiderăm sumele itegrle Drou: 9

17 s ( f ) m ( i ) δi, sum iferioră Drou i (7) S ( f ) M ( i ) δi, sum suerioră Drou i Defiiţi 4.3. Fie f : [, ] R mărgiită su s ] Numărul ( f ) I se umeşte itegrl iferioră Drou fucţiei f, [, ] D ottă: I f ( ) d. if S ] Numărul ( f ) I se umeşte itegrl suerioră Drou fucţiei f, [, ] D ottă: I f ( ) d. 3] Fucţi mărgiită f este itegrilă Drou e [, ] su D- itegrilă, dcă ri defiiţie vem: (8) f ( ) d f ( ) d I D R şi I D se umeşte itegrl Drou fucţiei f e [, ], ottă ri celşi simol I D f ( ) d. Cosecit 4.6. Di formul (7) şi defiiţi 4.3 rezultă î mod direct următorele rorietăţi le sumelor itegrle Drou: i i f i i 3 ot { } ( [ ] ) { } [ ] ( d ) M m ω, M m f, i,,..., ( f su f ( ), ) ( ) ( ) ( ) ( ) δ ( ) ( ) ( d ) S f s f M f m f M f m f i i i i i i i ( ) ( ) { i ( ) i ( ) } ( ) D [ ] ( d ) S f s f m M f m f i,..., ( d ),, cu, s ( f ) s ( f ), S ( f ) S 4 S ( f ) s ( f ) S ( f ) s ( f ) (d 5 ) Dcă f este mărgiită e [, ] ( f ) [ ] s f S f s f f d I I f d S f (d 6 ), D,, ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) Dcă f este mărgiită e [, ] etru D([, ]), vem: s ( f ) σ ( f, ξ ) S ( f ); ξ s ( f ) if σ ( f, ξ ) ; S ( f ) su σ ( f, ξ ). ξ ξ Demostrţi rooziţiilor (d ) (d 6 ) se fce ri clcul direct, folosid defiiţiile semelor itegrle Drou şi Riem.

18 Oservţii:. Câd rfiăm diviziue, sumele iferiore Drou cresc şi sumele iferiore sueriore Drou descresc.. Orice sumă iferioră Drou este mi mică su eglă cu orice sumă suerioră Drou. 3. Petru f : [, ] R s-u defiit două itegrle: itegrl Riem şi itegrl Drou şi două tiuri de itegrilitte. Vom dovedi că cele două itegrle şi cele două tiuri de itegrilitte coicid şi vom folosi di cest motiv cocetele de itegrlă defiită su itegrlă şi fucţie itegrilă e [, ]. Teorem 4.5 (Drou / etru crcterizre itegrilităţii) Fie f : [, ] R o fucţie mărgiită, tuci următorele firmţii sut echivlete: (i) f este R itegrilă; (ii) f este D itegrilă; ε >, D,.î. S ( f ) s ( f ) ε; (iii) [ ] (iv) ε [ ] ε >, η >.î., cu < η S ( ) s ( ) < ε. D f f Demostrţi se fce e ete folosid defiiţiile, teoremele şi coseciţele rezette terior, urmâd schem I. (i) (ii); II. (iv) (iii); III. (iii) (ii); IV. (ii) (iii); V. (iv) (i); VI. (iii) (iv) şi se găseşte î iliogrfie ([9], [6], [], [], [6]). Coseciţ 4.7. O fucţie mărgiită f : [, ] R este itegrilă Riem, dcă şi umi dcă, f este itegrilă Drou şi cele două itegrle coicid: IR f ( ) d f ( ) d f ( ) d ID I R. ot Teorem 4.6 (Codiţie suficietă de itegrilitte) Dcă f : [, ] R este fucţie mootoă, tuci f este itegrilă e [, ]. Demostrţie. Presuuem f mooto crescătore şi ecosttă. ε > fit, cosiderăm D([, ]). î. ε < η( ε). Petru [ f ( ) f ( ) i-, i ] cu i {,,..., }, vem: ( ) ( ) ( ) ( ) şi tuci ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) M f m f f f S f s f s f M f m f δ i i i i i i i i ε [ f ( i ) f ( i )] [ f ( ) f ( ) ] < [ f ( ) f ( ) ] ε f ( ) f ( ) i este itegrilă duă codiţi (iii) di teorem lui Drou. Teorem 4.7. (Codiţi suficietă de itegrilitte) Dcă f : [, ] R este fucţie cotiuă, tuci f este itegrilă. f

19 Demostrţie f cotiuă e [, ] f este uiform cotiuă e [, ] (Teorem Ctor) şi f este mărgiită şi îşi tige mrgiile e [, ] (Teorem lui Weierstrss). Fie ε > fit şi f uiform cotiuă e [, ] def ε >, η (ε ) ε ideedet de. î., y [, ] cu - y < η f ( ) f ( y) <. Petru o ε divizre D([, ]) cu < η (ε ), vem f ( ) f ( y) <, y [ i-, i ] ε şi î rticulr, M i ( f ) mi ( f ) su { f ( ) f ( y), y [ i, i ]} Î ceste codiţii duă teorem Drou (iii), vem: ε S ( f ) s ( f ) M i ( f ) mi ( f ) i ( i i ) δ ε i i f este itegrilă e [, ]. Teorem 4.8 (Codiţie suficietă etru itegrilitte) Fie f : [, ] R o fucţie mărgiită cu u umăr fiit de ucte de discotiuitte (evidet de seţ I), tuci f este itegrilă e [, ]. Demostrţi î iliogrfie ([6], [], [], [6]). Oservţii.. Clsele de fucţii itegrile f : [, ] R sut: f mootoă (teorem 4), f cotiuă (teorem 5), f mărgiită şi cre re u umăr fiit de ucte de discotiuitte.. Rezulttul cel mi geerl, Teorem lui Leesgue: O fucţie f : [, ] R este itegrilă dcă şi umi dcă, f este mrgiită şi cotiuă roe este tot e [, ] se v rezet î citolul Itegrl Leesgue. 3. Î studiul uor etesiui le itegrlei Riem se foloseşte cocetul de fucţie locl itegrilă. Defiiţi 4.4 Fucţi f : [, ] R este locl itegrilă e I, dcă şi umi dcă, ri defiiţie f este itegrilă e orice itervl comct [u, v] coţiut î itervlul de defiiţie I ( u, v I cu u < v). Prorietăţi le itegrlei şi le fucţiilor itegrile Demostrţiile di cest citol folosesc: defiiţi, teorem de crcterizre itegrilităţii cu şiruri de diviziui cu şirul ormelor tizâd l zero, teorem lui Drou şi ueori rezulttul di teorem lui Leesgue. Teorem 4.9 (Oerţii lgerice cu fucţii itegrile) Dcă f, g : [, ] R sut fucţii itegrile, tuci fucţiile: λf ( λ R ), f ± g, fg, ( f ( ), [, ] ), f ( f ( ), [, ] ) sut itegrile şi f u loc formulele de clcul:

20 o ( ) ( λ f ) d λ o ( ) ( f ± g) d fd ± gd fd Demostrţi este imedită folosid (4) di teorem 4.4 şi oerţiile cu şiruri covergete î R. Cosecit 4.8. Dcă f, g R[, ] tuci λ, µ R fucţi λ f + µ g R[, ] şi re loc formul de clcul: o (3 ) ( λ f + µ g) d λ fd + µ gd Oservţii.. Itegrl Riem re roriette de liiritte cu sclri di R.. Dcă f R[, ] şi, vem: f ( ) d (duă () di defiiţi ). Dcă >,. vem f ( ) d f ( ) d 3. Reciroc firmţiei f, g R[, ] f + g R[, ] î geerl, u este devărtă. Eemlu: ; Q ; Q f, g : R R cu f ( ) şi g( ) cu f, g R [, ] ; R - Q ; R - Q vem f + g ( ), R şi f + g R, etru, R. ( ) [ ] [ ] 4. Mulţime de fucţii itegrile R[, ] re structur lgerică de sţiu liir î rort cu oerţiile uzule de îmulţire şi dure cu sclri reli etru fucţii rele de o vriilă relă. Teorem 4. (Proriette de ditivitte î rort cu itervlul) Fucţi f : [, ] R este itegrilă e [, ] dcă şi umi dcă, c (, ) fucţiile f f [, c] şi f f [ c, ] sut itegrile şi re loc formul: o ( 3 ) c c fd fd + fd. Demostrţi se oţie folosid teorem de crcterizre cu şiruri de diviziui cu şirul ormelor tizâd l zero (teorem 4.4). Cosecit 4.9 Dcă I R este itervl şi f : [, ] R este o fucţie cotiuă, o tuci,, c I, re loc relţi ( 3 ) c fd fd + fd. c Demostrţie. Dcă < < c vem (3) duă teorem. Dcă < <c, vem: c c c fd. fd + fd fd fd fd fd fd + c c Oservţii.. Di teorem rezultă că dcă f R[, ], etru [c, d] [, ] comct vem f R[c, d], umită roriette de ereditte. 3

21 . Formul (3 ) se umeşte roriette de ditivitte itegrlei c fucţie de itervl. 3. Formul (3 ) se etide î czul uei reuiui fiite: [, ] [, c ] [ c, c ]... c,. Teorem 4. (Proriette de mootoie itegrlei). Fie f, g: [, ] R cu f, g R[, ] şi f () g() [, ], tuci vem: o ( 4 ) fd gd. Demostrţi se oţie cu jutorul fucţiei h f g e [, ] şi teoremei de crcterizre (teorem 4.4). Coseciţ 4. Fie f : [, ] R cu f R[, ] şi m, M mrgiile lui f (m f() M, [, ]), o tuci vem: ( 5 ) m fd M. Demostrţie. Di relţi m f() M, [, ], ri itegrre, vem: ( ) m( ) md f ( ) d Md M ( ) 5 o. Oservţii.. Formul (5 ) coţie eresi f ( ) d µ ( f ) cre se umeşte vlore medie lui f e [, ].. Formul (4 ) erimă roriette de mootoie itegrlei şi etru f(), [, ] şi f R[, ], vem: f ( ) d. Coseciţ 4. Dcă f : [, ] R este o fucţie cotiuă, tuci eistă ξ [, ]. î. o ( ) 6 fd f ( ξ )( ). Demostrţie. Fucţi f cotiuă e comctul [, ] este mărgiită şi îşi tige mrgiile (teorem Weierstss) deci eistă, [, ]. î. m f ( ), M f ( ). Fucţi f cotiuă e itervlul [, ] re roriette lui Drou şi etru µ [m, M] f ( [, ]) eistă ξ [, ]. î. f (ξ ) µ şi otâd di (5 ) se oţie (6 ). Teorem 4. (Mjorre modulului itegrlei) Dcă f : [, ] R este itegrilă, tuci f R[, ] şi vem: ( ). R; o (7 ) fd f d ( ) f,, < µ f ( ) d Demostrţie. Petru, y [, ], vem f () - f (y) f () - f (y) şi di cestă ieglitte deducem că f R[, ]. Cum - f () f () f (), [, ], folosid (4 ) vem: 4

22 f d fd f d fd f d şi cum f ( ) f rezultă (7 ). Teorem 4.3 (Teorem I de medie ) Fie f : [, ] R cu f R[, ] şi g(), tuci eistă γ [m, M] m if f ( ), M su f ( o ).î. ( 8 ) ( ) ( ) ( ) [, ] f g d g d γ [,. ] Î rticulr, dcă g(), [, ], vem: o ( ) 8 ' f ( ) d γ ( ) ( < ). Demostrţie. Di : m f ( ) M, [, ], şi g ( ) > mg ( ) f ( ) g ( ) Mg ( ), [, ] şi duă (4 ) rezultă: m g( ) d f ( ) g( ) d M g( ) d ( *). Dcă g( ) d f ( ) g( ) d şi etru γ [m, M] re loc (8 ). Dcă ( ) g d > fgd, otăm γ [ m, M ] gd şi duă (*) rezultă (8 ). Coseciţ 4. Dcă f : [, ] R este cotiuă şi g R[, ] este eegtivă, tuci eistă ξ o [, ]. î. ( ) Î rticulr, dcă g( ), [, ] 8 " fgd f ( ξ) gd. se oţie (6 ). Demostrţi este directă. Di iotez f cotiuă e [, ], etru γ [m, M], eistă ξ [, ], stfel îcât f (ξ ) γ (8 ). Teorem 4.4 Fie I R itervl şi f : I R locl itegrilă e I. Dcă I este u uct fit şi se cosideră fucţi (9 ) F() f ( t ) dt, I tuci F re rorietăţile: (i) F este cotiuă e I; (ii) F este derivilă î I î cre f este cotiuă cu F ( ) f ( ). Demostrţie. (i) Fie I şi r > fit, tuci F() F( ) fdt fdt fdt, J I ude J [ r, r ] +. F ( ) F ( ) fdt f dt su f ( t ), J. t J Cosiderăm ε > şi ε η ε cu su f ( t) M F ( ) F ( ) < ε < η, I F cotiuă î I F M t J cotiuă e I. 5

23 (ii) Fie I şi f cotiuă î I; etru ε > eistă η ε >. î. f () f ( ) < ε, I [ - η, + η ] I cu, F ( ) F ( ) f ( ) f ( t) dt f ( ) dt [ f ( t) f ( )] dt şi vem: F ( ) F ( ) f ( ) su f ( t) f ( ) < ε, J I [ η, + η] ; def F ( ) F ( ) eistă lim f ( ) F '( ) F este derivilă î I cu F ( )f( ). Cosecit 4.3 Fie I R itervl şi f : I R. I) Dcă f este o fucţie cotiuă e I, tuci etru I fit, fucţi (9 ) F ( ) f ( t) dt, I este derivilă şi vem F () f ( ), I, deci f dmite rimitive e I şi F este o rimitivă fucţiei f e I. II) Petru, I şi f cotiuă e I, vem: ( ) f ( ) d F ( ) F ( ) F ( ), ude F este o rimitivă orecre lui f e I. Demostrţie. I) Afirmţi este o coseciţă direcă teoremei 6 czul (ii). II), I fiţi şi F o rimitivă lui f e I, otăm: ' F F ( ) f ( t) dt, I şi duă firmţi I), vem: F f e I, deci ( F F ) f f F F + C, C R. Cum F ( ) C F ( ) şi vem : f ( ) d F ( ) F ( ) C F ( ) F ( ). Oservţii.. Dcă f di teorem 6 este cotiuă l stâg (l dret) î I, tuci F este ' ' derivilă l stâg (l dret) î I cu Fs ( ) f ( ) ( Fd ( ) f ( + ) ).. Cosecit 4.3-I se umeşte Teorem fudmetlă clculului itegrl. 3. Formul ( ) este formul Leiiz Newto cre este o metodă de clcul itegrlei Riem. Metode de clcul le itegrlei Riem Itegrl Riem ote fi clcultă folosid defiiţi şi costruid duă schem (S) sumele itegrle, oi clculăm limit cestor câd orm divizării tide l zero; cestă metodă este mi dificil de lict î czul multor fucţii rele. Teorem 4.5 (Formul Leiiz - Newto) Dcă f : [, ] R este o fucţie itegrilă şi f dmite rimitive e [, ] tuci etru orice rimitivă F lui f e [, ] re loc formul Leiiz-Newto: ( ) f ( ) d F ( ) F ( ) F ( ). Demostrţie. Petru D([, ]), vem 6

24 F ( ) F ( ) [ F ( ) F ( )] s f F ' ξ f ξ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i i i i i i i i i i etru ξi ( i i ) di teorem Lgrge lictă lui F derivilă e [ i i ] şi vem F ( ) F ( ) σ ( f, ξ ) ; cum f este itegrilă, licâd teorem (de crcterizre fucţiilor itegrile): ( ) ( ) F ( ) F ( ) σ f, ξ cu şi F ( ) F ( ) lim σ f, ξ f ( ) d. Coseciţ 4.4 Dcă f : [, ] R este o fucţie derivilă cu f fucţie itegrilă e [, ], vem: fd f ( ) f ( ). Demostrţi rezultă di teorem 4.4 etru F f e [, ]. Teorem 4.6 (Formul de itegrre ri ărţi) Fie f, g : [, ] R cu f, g C ([, ]), tuci re loc formul de itegrre ri ărţi:. ( ) fg ' d fg f ' gd Demostrţie. Di f, g C ([, ]) (fg) f g +g f este o fucţie cotiuă e [, ] şi duă coseciţ 7 (i) dmite rimitive şi este itegrilă, deci se lică formul de clcul ( ): ( fg) ' d fg, dr ( fg ) ' d ( ' ') ' ' ( ) ' ' f g + fg d f gd fg d fg f gd fg d + + fg ' d fg f ' gd. Teorem 4.7 (Formul schimării de vriilă (I)) Fie f : [, ] R o fucţie cotiuă, tuci etru orice ϕ : [α, β ] [, ] cu ϕ C ([, ]) re loc formul schimării de vriilă (I): ( ) f ( ) d f [ ϕ( t )] ϕ '( t ) dt. Demostrţie. Petru f cotiuă e [, ], fie F o rimitivă s şi cum F, ϕ sut derivile, tuci F ϕ : [α, β ] R este derivilă cu. ( F oϕ ) '( t) ( F ' oϕ)( t) ϕ '( t) ( f o ϕ)( t) ϕ '( t) f [ ϕ( t) ] ϕ '( t), t [ α, β]. Fucţi (f ϕ ) ϕ este itegrilă şi (F ϕ ) cotiuă e [α, β ], dmite rimitive, deci: β ( ) [ ] ( ) ( ) [ F oϕ ]' dt [ F oϕ] β [ F oϕ] α F F şi di ( F ) ' ( f ) ' α ϕ β ϕ α oϕ oϕ ϕ β β ( f oϕ) ϕ ' dt F ϕ ( β) F ϕ ( α ) f ( ) d f [ ϕ( t)] ϕ '( t) dt α α Teorem 4.8 (Formul schimării de vriilă (II)) Dcă f : [, ] R este cotiuă etru orice ϕ : [α, β ] [, ] ijectivă şi cu ϕ - C ([, ]) re loc formul schimării de vriilă (II): 7

25 β ϕ ( β ) (3 ) f ( ) d f [ ( t) ] '( t) dt [ f ( ) ']( ) d ϕ ϕ α o ϕ. ϕ ( α ) Demostrţie. Cum ϕ este ijectivă şi ϕ - : [, ] [α, β ] este ijectivă şi de clsă C ([, ]) tuci f ϕ : [, ] R este cotiuă şi vem: ( ϕ ) ( β) β ϕ ( β ) ϕ ( ) ( ) α ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ( α ) ( f o )( t) dt f o o ' d f o ( ) '( ) d f ( ) d (3 ). ( ϕ ) ( α) Oservţii.. Formul ( ) se umeşte rim fomulă de schimre de vriilă î itegrlă ude ϕ (t), t [α, β ] şi ϕ C ([, ]), ir ϕ (α ), ϕ (β ). Se lege coveil fucţi ϕ stfel îcât itegrl di memrul doi l formulei ( ) să fie mi simlă su chir di telul rimitivelor uor fucţii elemetre.. Formul (3 ) se umeşte dou formulă de schimre de vriilă şi etru ϕ (t) strict crescătore vem: ϕ (α ), ϕ (β ) şi cum ϕ f [ α, β] [, ] R, ir ϕ este iversilă cu ϕ - C ([, ]), tuci f ϕ este cotiuă şi f (ϕ - ) itegrilă e [, ]. 3. Deumire de formul (I) şi (II) de schimre de vriilă î itegrlă este coveţiolă; de ft vem o sigură formulă de schimre de vriilă şi mi multe moduri de licre cestei formule î clcule. 4. Di ecesitte de folosi itegrlele Riem î licţii cocrete este ueori suficiet să se cuoscă o vlore roimtivă itegrlei f ( ) d cu o erore dtă oricât de mică. Î cest sco, vom euţ fără demostrţie, teoremele cre idică metodele de clcul roimtiv l itegrlelor. Teorem 4.9 (Formul dretughiurilor) i i + i S f i tuci S roimeză ( ) f d cu o erore: ( ) ( ) (4 ) E f ' ; f ( ) d S E f ' 4. 4 Fie f : [, ] R cu f C ([, ]) şi i + ( ) cu i {,,,..., }, Teorem 4. (Formul trezelor) i f ( ) + f ( ) S + f + + f erore: 3 3 ( ) ( ) (5 ) E f " ; f ( ) d S " E f. Fie f : [, ] R cu f C ([, ]) şi i + ( ) cu i {,,,..., }, ( )... ( ) tuci S roimeză f ( ) d cu o 8

26 Teorem 4. (Formul lui Simso) Fie f : [, ] R cu f C 4 ([, ]) şi i + ( ) cu i {,,,..., }, S { [ f ( ) + f ( )] + f ( ) f ( ) } tuci S roimeză ( ) 6 f d cu o erore: (6 ) 5 5 ( ) (4) ( ) (4) E f ; f ( ) d S 4 E f i Alicţii le clculului itegrl Orice mărime geometrică, fizică, ecoomică etc. cre re roriette de ditivitte fţă de mulţime (itervl) se ote erim ritr-o itegrlă defiită. Astfel oţiuile de rie şi volum etru figuri geometrice di l şi coruri di sţiu se ot defii î mod riguros di uct de vedere mtemtic.vom rezet fără demostrţie uele licţii le itegrlei defiite. I. Ari uui domeiu di l. Ari mulţimii di l D R mărgiită de dretele,, y şi grficul fucţiei f : [, ] R ozitivă şi cotiuă se clculeză ri formul: (7) A ( D ) f ( ) d.. Î czul f : [, ] R cotiuă şi de sem orecre, vem: (7 ) A ( D ) f ( ) d. 3. Ari mulţimii di l mărgiită de dretele, şi grficele fucţiilor f, g : [, ] R cotiue este clcultă ri formul: (8) A ( D ) g( ) f ( ) d. II. Lugime uui rc de cură Se umeşte cură lă o mulţime Γ R cu roriette că eistă o fucţie cotiuă f : [, ] R, ottă y f (), [, ] şi G f Γ R (grficul lui f di l este Γ ). Dcă f re derivtă cotiuă (su umi fucţie itegrilă) e [, ], lugime curei Γ se clculeză duă formul: (9) l( Γ ) + f ' ( ) d. III. Volumul uui cor de rotţie Fie f : [, ] R o fucţie cotiuă, tuci corul K di sţiu oţiut ri rotire grficului lui f, G f, î jurul ei O, re volumul clcult ri formul: () V ( K ) f ( ) d. IV. Surfţ uui cor de rotţie Fie f : [, ] R o fucţie derivilă e [, ] şi cu f cotiuă (f C ([, ])), tuci surfţ S coruui K oţiut ri rotire grficului lui f î jurul ei O se clculeză ri formul: 9

27 () S( ) ' ( ) K + f d. Eemle.. d cu fucţie cotiuă şi ri schimre de vriilă: si t, d cos tdt, t, t vem : d si t costdt si t cos tdt ( cos t) dt t I si d cu f ( ) si C, şi I d, I si d, licâd metod itegrării ri ărţi se oţie o formulă de recureţă: si (si ) cos si ( ) si cos I d + d ( ) ( ) si d si d I ( ) I ( ) I k k ; k k k 4 I I cu I k k 4... ; k k + k k k Ik k k + I k + I şi se rtă că lim lim... I 3 + umită formul lui Wllis d + ri sustituţi t d tdt t t d tdt,, 4, 9 3, vem : + + t dt t t + t 3 l ( + ) l l d l d l d l 4

28 e e e 5. I ( l ) d ( l ) ( l ) d e I I e I, I e ; I formulă de recureţă etru clculul lui I, N. + tg 6. d dt ri sustituţi tg t, deci: rctg t, d 5 + tg şi + t + tg + t t, t se oţie d dt (3 + t ) + t 3 + tg dt dt t t 3 rctg rctg t t ( 3 ) 7. d dt ri sustituţi tg t rctg t, d, 3 + cos + t dt t d cos, t, t se oţie + t + t 3+ cos t 3+ + t dt t rctg rctg t si 4 tg d d si + cos + tg şi ri sustituţi tg t dt rctg t, d, t, t vem: + t 4 4 si t dt t + d dt l( t ) rctg t si + cos + t + t t t l( t + ) l d ( ) d m ( m,,, Z ) ri sustituţi: + t, ( t ), t, 4 t 3 vem:

29 3 + + t t d t ( t ) dt ( t t t ) dt l. e t d ri sustituţi: e t l( + t ), d dt, + t t, l t, vem: l t e d dt dt t rctg t + t + t. d ri sustituţi: + + t 4t, t d dt vem: ( t ) d dt ( ) t t ( t ) t t, t şi t t dt l 3 + l( 3) + + 3

Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.

Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn. 86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că

Διαβάστε περισσότερα

Tema: şiruri de funcţii

Tema: şiruri de funcţii Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..

Διαβάστε περισσότερα

6. INTEGRALA SIMPLĂ. INTEGRALA SIMPLĂ CU PARAMETRU

6. INTEGRALA SIMPLĂ. INTEGRALA SIMPLĂ CU PARAMETRU 6. INTEGRALA SIMPLĂ. INTEGRALA SIMPLĂ CU PARAMETRU 6.1. Noţiui teoretice şi rezultte fudmetle 6.1.1. Metod lui Droux de defii itegrl simplă Fie [, ] u itervl. Descompuem itervlul [, ] îtr-u umăr orecre

Διαβάστε περισσότερα

4. Integrale improprii cu parametru real

4. Integrale improprii cu parametru real 4. Itegrle improprii cu prmetru rel Fie f: [ b, ) [ cd, ] y [, itegrl improprie R cu < b +, stfel îcât petru fiecre b cd ] f (, ) ydeste covergetă. Atuci eistă o fucţie defiită pritr-o itegrlă improprie

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 1. În acest paragraf vom reaminti noţiunea de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele generale de calcul ale acestora.

CAPITOLUL 1. În acest paragraf vom reaminti noţiunea de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele generale de calcul ale acestora. Cp PRIMITIVE 5 CAPITOLUL PRIMITIVE METOE GENERALE E CALCUL ALE PRIMITIVELOR Î cest prgrf vom remiti oţiue de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele geerle de clcul le cestor efiiţi Fie f : I,

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n. Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu

Διαβάστε περισσότερα

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE . ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este

Διαβάστε περισσότερα

Cap. IV Serii Fourier. 4.1 Serii trigonometrice. (1) Numărul T se numeşte perioadă pentru funcţia f ( x )., x D, x ± T D

Cap. IV Serii Fourier. 4.1 Serii trigonometrice. (1) Numărul T se numeşte perioadă pentru funcţia f ( x )., x D, x ± T D Cp. IV Serii Fourier 4. Serii trigoometrice Defiiţie: O fucţie f ( ) defiită pe o muţime ifiită D se umeşte periodică dcă eistă u umăr T stfe îcât: f ( ± T) = f ( ), D, ± T D () Număru T se umeşte periodă

Διαβάστε περισσότερα

REZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita

REZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita REZUMAT CURS 3. Clse de uctii itegrbile Teorem.. Dc :, b] R este cotiu tuci este itegrbil pe, b]. Teorem.2. Dc :, b] R este mooto tuci este itegrbil pe, b]. 2. Sume Riem. Criteriul de itegrbilitte Riem

Διαβάστε περισσότερα

4. Serii de numere reale

4. Serii de numere reale I. (,) lim x lim + II. x şi lim x III. > x ( + ) ( + ) şi cum lim ( >) ; lim x lim lim lim x + ; (,) (, ). 4. Serii de umere rele Coceptul de serie umerică este o geerlizre turlă oţiuii de sum fiită de

Διαβάστε περισσότερα

REZIDUURI ŞI APLICAŢII

REZIDUURI ŞI APLICAŢII Mtemtici specile şi metode umerice EZIDUUI ŞI APLICAŢII. Formule petru reiduuri Câd sigulrităţile du vlore şi uţ. Teorem reiduurilor Defiiţi. Fie f() o fucţie cre re î C u pol su u puct sigulr eseţil iolt.

Διαβάστε περισσότερα

Exerciţii de Analiză Matematică

Exerciţii de Analiză Matematică Exerciţii de Aliză Mtemtică October, 5 Şiruri si serii de umere rele. Să se stbilescă dcă şirul cu termeul geerl x =... este su u fudmetl.. Petru răt că şirul este fudmetl: Petru răt că şirul este fudmetl:

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Stabilitatea sistemelor liniare cu o intrare şi o ieşire

4.7. Stabilitatea sistemelor liniare cu o intrare şi o ieşire 4.7. Sbilie sisemelor liire cu o irre şi o ieşire Se spue că u sisem fizic relizbil ese sbil fţă de o siuţie de echilibru sţior, dcă sub cţiue uei perurbţii eeriore (impuls Dirc) îşi părăseşe sre de echilibru

Διαβάστε περισσότερα

DRUMURI, ARCE ŞI LUNGIMILE LOR

DRUMURI, ARCE ŞI LUNGIMILE LOR Drumuri, rce, lugimi Virgil-Mihil Zhri DRUMURI, ARCE ŞI LUNGIMILE LOR FucŃiile cu vrińie mărgiită u fost itroduse de Jord Cmille (88-9) şi utilizte de el cu oczi studiului prolemei rectificilităńii curelor,

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 4 REZOLVAREA ECUAŢIILOR NELINIARE

CAPITOLUL 4 REZOLVAREA ECUAŢIILOR NELINIARE Tri CICNE Metode umerice î igieri ecoomică CAPITLUL 4 REZLVAREA ECUAŢIILR NELINIARE Rezolvre uei ecuţii eliire pre prctic î orice modelre mtemtică uei proleme fizice. Cu ecepţi uor czuri forte prticulre,

Διαβάστε περισσότερα

IV.3. Factorul de condiţionare al unei matrice

IV.3. Factorul de condiţionare al unei matrice IV.3. Fctorul de codiţiore l uei mtrice defieşte pri Defiiţie. Fctorul de codiţiore l uei mtrice pătrte A M, (R) se cod(a) = A A - ude este o orm opertorilă mtricei A (de exemplu, su ). Pri coveţie cod(a)

Διαβάστε περισσότερα

Integrale cu parametru

Integrale cu parametru 1 Integrle proprii cu prmetru 2 3 Integrle proprii cu prmetru Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul

Διαβάστε περισσότερα

CULEGERE DE PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU ADMITEREA LA UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA

CULEGERE DE PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU ADMITEREA LA UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA CULEGERE DE PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU ADMITEREA LA UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA î ul uiversitr 9 PREFAŢĂ Prezet culegere se dreseză deopotrivă elevilor de liceu, î scopul istruirii lor

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

Analiza matematică, clasa a XI-a probleme rezolvate Rolul derivatei întâi

Analiza matematică, clasa a XI-a probleme rezolvate Rolul derivatei întâi Anliz mtemtică, cls XI- proleme rezolvte Rolul derivtei întâi Virgil-Mihil Zhri DefiniŃie: Punctele critice le unei funcńii derivile sunt rădăcinile (zerourile) derivtei întâi DefiniŃie: Fie f:i R, cu

Διαβάστε περισσότερα

Polinoame.. Prescurtat putem scrie. sunt coeficienţii polinomului cu a. este mulţimea polinoamelor cu coeficienţi complecşi.

Polinoame.. Prescurtat putem scrie. sunt coeficienţii polinomului cu a. este mulţimea polinoamelor cu coeficienţi complecşi. Poliome ) Form lgebrică uui poliom Pri form lgebrică su form coică îţelegem f X X X Prescurtt putem scrie f X,,, sut coeficieţii poliomului cu, se umeşte coeficiet domit şi X terme domit tuci poliomul

Διαβάστε περισσότερα

3.4 Integrarea funcţiilor trigonometrice. t t. 2sin cos 2tg. sin + cos 1+ cos sin 1 tg t cos + sin 1+ x 1

3.4 Integrarea funcţiilor trigonometrice. t t. 2sin cos 2tg. sin + cos 1+ cos sin 1 tg t cos + sin 1+ x 1 3.4 Iegrre fucţiilor rigoomerice ) R( si,cos ) d Susiuţi recomdă ese: uei fucţii rţiole. g =, (, ) şi iegrl dă se reduce l iegrre si cos si cos g si + cos + g = = = + cos si g cos + si + g = = = + = rcg

Διαβάστε περισσότερα

TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ. pentru examenul de bacalaureat şi admiterea în învăţământul superior UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA

TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ. pentru examenul de bacalaureat şi admiterea în învăţământul superior UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ petru emeul de bcluret şi dmitere î îvăţămâtul superior l UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA PREFAŢĂ Prezet culegere se dreseză deopotrivă elevilor de liceu, î scopul istruirii

Διαβάστε περισσότερα

9. Polinoamele Taylor asociate unor funcţii (I. Boroica) 9.1. Formulele lui Taylor şi polinoamele Taylor asociate funcţiilor elementare

9. Polinoamele Taylor asociate unor funcţii (I. Boroica) 9.1. Formulele lui Taylor şi polinoamele Taylor asociate funcţiilor elementare lgeră Cupris Mtrice de ordi doi şi plicţii (IDicou VPop Mtrice de ordi doi Proleme rezolvte Teorem lui Cle- Hmilto 4 Proleme rezolvte 5 Determire puterilor turle le uei mtrice de ordi doi 6 Proleme rezolvte

Διαβάστε περισσότερα

Adrian Stan Editura Rafet 2007

Adrian Stan Editura Rafet 2007 Dreptul de copyright: Crte dowlodtă de pe site-ul www.mteifo.ro u pote fi pulictă pe u lt site şi u pote fi folosită î scopuri comercile fără specificre sursei şi cordul utorului Adri St Editur Rfet 007

Διαβάστε περισσότερα

4.7 Reprezentarea complexă a seriilor Fourier

4.7 Reprezentarea complexă a seriilor Fourier 4.7 Reprezetre compeă seriior Fourier Presupuem că f ( ) îdepieşte codiţii suficiete petru dezvotre î serie Fourier. Atuci pote fi reprezettă pe [, ] cu seri: f b + ( cos + si ) f cos d,,, b f si d,, Foosid

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile 1 2 Capitolul I. Integrale improprii

Seminariile 1 2 Capitolul I. Integrale improprii Cpitolul I: Integrle improprii Lect. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Mtemtică Clcul integrl şi Aplicţii, Semestrul I Lector dr. Lucin MATICIUC Seminriile Cpitolul I. Integrle improprii. Să se studieze ntur

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

Transformata z (TZ) TZ este echivalenta Transformatei Laplace (TL) in domeniul sistemelor discrete. In domeniul sistemelor continui: Sistem continuu

Transformata z (TZ) TZ este echivalenta Transformatei Laplace (TL) in domeniul sistemelor discrete. In domeniul sistemelor continui: Sistem continuu Prelucrre umeric semlelor Trsformt Trsformt este echivlet Trsformtei Lplce TL i domeiul sistemelor discrete. I domeiul sistemelor cotiui: xt s Sistem cotiuu yt Ys ht; Hs I domeiul sistemelor discrete:

Διαβάστε περισσότερα

lim lim lim lim (criteriul cu şiruri); lim lim = lim ; Limite de funcńii NotaŃii: f :D R, D R, α - punct de acumulare a lui D;

lim lim lim lim (criteriul cu şiruri); lim lim = lim ; Limite de funcńii NotaŃii: f :D R, D R, α - punct de acumulare a lui D; Limit d fucńii Aliz mtmtică, cls XI- Limit d fucńii NotŃii: f :D R, D R, α - puct d cumulr lui D DfiiŃii l iti DfiiŃi f ( = l, l R, dcă ptru oric vciătt V lui l istă o vciătt α U lui α stfl îcât D U, α,

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl

Διαβάστε περισσότερα

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi

Διαβάστε περισσότερα

5.1. ŞIRURI DE FUNCŢII

5.1. ŞIRURI DE FUNCŢII Modulul 5 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Subiecte :. Şiruri de fucţii.. Serii de fucţii. 3. Serii de puteri. Evaluare :. Covergeţa puctuală şi covergeţa uiformă la şiruri şi serii de fucţii.. Teorema lui Abel.

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NAȚIONAL MIHAI VITEAZUL SF. GHEORGHE, COVASNA SĂ ȘTII MAI MULTE, SĂ FII MAI BUN LA MATEMATICĂ

COLEGIUL NAȚIONAL MIHAI VITEAZUL SF. GHEORGHE, COVASNA SĂ ȘTII MAI MULTE, SĂ FII MAI BUN LA MATEMATICĂ COLEGIUL NAȚIONAL MIHAI VITEAZUL SF. GHEORGHE, COVASNA SĂ ȘTII MAI MULTE, SĂ FII MAI BUN LA MATEMATICĂ LUCRARE CONCEPUTĂ ȘI REALIZATĂ DE COLECTIVUL CLASEI XII- A, PROFIL REAL, SPECIALIZAREA MATEMATICĂ-INFORMATICĂ.

Διαβάστε περισσότερα

ANEXA., unde a ij K, i = 1, m, j = 1, n,

ANEXA., unde a ij K, i = 1, m, j = 1, n, ANEXA ANEXĂ MATRICE ŞI DETERMINANŢI Fie K u corp şi m N* = N \ {} Tbloul dreptughiulr A = ude ij K i = m j = m m m se umeşte mtrice de tip (m ) cu elemete di corpul K Mulţime mtricelor cu m liii şi coloe

Διαβάστε περισσότερα

Inegalitati. I. Monotonia functiilor

Inegalitati. I. Monotonia functiilor Iegalitati I acest compartimet vor fi prezetate diverse metode de demostrare a iegalitatilor, utilizad metodele propuse vor fi demostrate atat iegalitati clasice precum si iegalitati propuse la diferite

Διαβάστε περισσότερα

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A. Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)

Διαβάστε περισσότερα

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete

Διαβάστε περισσότερα

x x m Δx. Rezulta deci că adevătata valoare a mărimii căutate va fi cuprinsă între limitele:

x x m Δx. Rezulta deci că adevătata valoare a mărimii căutate va fi cuprinsă între limitele: ERORI DE MĂSURĂ L efecture uei determiări, pri repetre celeişi măsurători, reliztă î codiţii idetice, se oţi rezultte diferite, difereţele fiid î geerl mici. Acest fpt dovedeşte că măsurătorile efectute

Διαβάστε περισσότερα

CURS I II. Capitolul I: Integrala definită. Primitive. 1 Integrabilitate Riemann. Criterii de integrabilitate

CURS I II. Capitolul I: Integrala definită. Primitive. 1 Integrabilitate Riemann. Criterii de integrabilitate Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineri Mediului Anliz Mtemtică II, Semestrul II Conf. dr. Lucin MATICIUC CURS I II Cpitolul I: Integrl

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL VII EXTINDERI ALE CONCEPTULUI DE INTEGRALĂ DEFINITĂ

CAPITOLUL VII EXTINDERI ALE CONCEPTULUI DE INTEGRALĂ DEFINITĂ CAPITOLUL VII EXTINDERI ALE CONCEPTULUI DE INTEGRALĂ DEFINITĂ În teori Integrlei definite numită şi Integrl Riemnn, s- urmărit c, l numite funcţii rele de o vriilă relă, dte pe mulţimi din R, după o schemă

Διαβάστε περισσότερα

Lucian Maticiuc SEMINAR 1 3. Capitolul I: Integrala definită. Primitive. 1. Să se arate că. f (x) dx = 0. Rezolvare:

Lucian Maticiuc SEMINAR 1 3. Capitolul I: Integrala definită. Primitive. 1. Să se arate că. f (x) dx = 0. Rezolvare: Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineri Mediului Anliz Mtemtică II, Semestrul II Conf. dr. Lucin MATICIUC. Să se rte că Rezolvre: SEMINAR

Διαβάστε περισσότερα

CURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică

CURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC CURS III, IV Capitolul

Διαβάστε περισσότερα

sin d = 8 2π 2 = 32 π

sin d = 8 2π 2 = 32 π .. Eerciţii reolvte. INTEGRALA E UPRAFAŢĂ E AL OILEA TIP. ÂMPURI OLENOIALE. Eerciţiul... ă se clculee dd dd dd, () fiind fţ eterioră sferei + + 4. oluţie. Avem: sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ, θ[, π],

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 2. Definiţia Se numeşte diviziune a intervalului [a, b] orice submulţime x [a, b] astfel încât

CAPITOLUL 2. Definiţia Se numeşte diviziune a intervalului [a, b] orice submulţime x [a, b] astfel încât Cp 2 INTEGRALA RIEMANN 9 CAPITOLUL 2 INTEGRALA RIEMANN 2 SUME DARBOUX CRITERIUL DE INTEGRABILITATE DARBOUX Defţ 2 Se umeşte dvzue tervlulu [, ] orce sumulţme,, K,, K, [, ] stfel îcât = { } = < < K< <

Διαβάστε περισσότερα

3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii.

3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii. Fucţiile f ( ) cos t = sut de clasă C pe R cu α si derivatelor satisface codiţiile: α f ' ( ) si = şi seria ' ( ), α α f R cu = b α ' coverge petru α > f este (ormal covergetă) absolut şi uiform covergetă

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS ALGEBRÃ... 5 I. Elemente de logicã matematicã... 5 I.1. Noţiunea de propoziţie... 5 I.2. Operatori logici... 5 I.3. Expresii în calculul

CUPRINS ALGEBRÃ... 5 I. Elemente de logicã matematicã... 5 I.1. Noţiunea de propoziţie... 5 I.2. Operatori logici... 5 I.3. Expresii în calculul Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic UPRINS ALGEBRÃ. 5 I. Elemete de logicã mtemticã 5 I.. Noţiue de propoziţie 5 I.. Opertori logici.. 5 I.. Epresii î clculul propoziţiilor 7 I.4. Noţiue de predict

Διαβάστε περισσότερα

Şiruri recurente. Mircea Buzilă. 2009, Editura Neutrino Titlul: Şiruri recurente Autor: Mircea Buzilă ISBN

Şiruri recurente. Mircea Buzilă. 2009, Editura Neutrino Titlul: Şiruri recurente Autor: Mircea Buzilă ISBN Mirce Buzilă Şiruri recurete Editur eutrio 9 9 Editur eutrio Titlul: Şiruri recurete utor: Mirce Buzilă SB 978-97-896-7-9 Descriere CP Bibliotecii ţiole Roâiei BUZLĂ MRCE Şiruri recurete / Mirce Buzilă.

Διαβάστε περισσότερα

Analiza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011

Analiza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011 Aaliza matematica Specializarea Matematica vara 010/ iara 011 MULTIPLE HOIE 1 Se cosidera fuctia Atuci derivata mita de ordi data de este egala cu 1 y Derivata partiala de ordi a lui i raport cu variabila

Διαβάστε περισσότερα

0 z z < r ea admite o dezvoltare în serie Laurent. n n. din dezvoltarea în serie Laurent în vecinătatea punctului z. z (notat { } { } = ρ

0 z z < r ea admite o dezvoltare în serie Laurent. n n. din dezvoltarea în serie Laurent în vecinătatea punctului z. z (notat { } { } = ρ CAPITOLUL ME5 5 eiduuri Teore reiduurilor Defiiţi reiduului Fie w o fucţie litică vâd î u puct sigulr iolt Atuci îtr-o coroă circulră < r e dite o devoltre î serie Luret < w c Se ueşte reiduu l fucţiei

Διαβάστε περισσότερα

Dreptul de copyright: Cartea downloadată de pe site-ul nu poate fi publicată pe un alt site şi nu poate fi folosită în scopuri

Dreptul de copyright: Cartea downloadată de pe site-ul   nu poate fi publicată pe un alt site şi nu poate fi folosită în scopuri reptul de copyright: rte dowlodtă de pe site-ul www.mteifo.ro u pote fi pulictă pe u lt site şi u pote fi folosită î scopuri comercile fără specificre sursei şi cordul utorului, Refereţi ştiiţifici: Profesor

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 2 SERII FOURIER. discontinuitate de prima speţă al funcţiei f dacă limitele laterale f ( x 0 există şi sunt finite.

CAPITOLUL 2 SERII FOURIER. discontinuitate de prima speţă al funcţiei f dacă limitele laterale f ( x 0 există şi sunt finite. CAPITOLUL SERII FOURIER Ser trgoometrce Ser Fourer Fe fucţ f :[, Remtm că puctu [, ] se umeşte puct de b dscotutte de prm speţă fucţe f dcă mtee tere f ( ş f ( + estă ş sut fte y Defţ Fucţ f :[, se umeşte

Διαβάστε περισσότερα

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu

Διαβάστε περισσότερα

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective: TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi

Διαβάστε περισσότερα

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală

Διαβάστε περισσότερα

Laura Radu. Minime şi maxime în matematica elementară

Laura Radu. Minime şi maxime în matematica elementară Lur Rdu Miime şi mime î mtemti elemetră Ploieşti MINIME ŞI MAXIME ÎN MATEMATICA ELEMENTARĂ (EDITIE ONLINE, FORMAT PDF, Autor: LAURA RADU ISBN 978-97--5- Site we: wwwmteiforo Tote drepturile preetei ediţii

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme de ecuatii liniare

Sisteme de ecuatii liniare Sisteme e eutii liire Sisteme e ou eutii u ou euosute Def.U sistem e ou eutii u ou euosute re form ( S : ue,,, se umes oefiietii euosutelor, ir, termeii lieri. Def.Se umeste solutie sistemului orie ulu

Διαβάστε περισσότερα

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1 Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL

ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL CAPITOLUL 4 ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL 4 Itoducee Clculul viţiol se ocupă cu studiul etemelo petu o clsă specilă de fucţii umite fucţiole Aceste fucţiole sut defiite pe sumulţimi le uo spţii de fucţii

Διαβάστε περισσότερα

PENTRU CERCURILE DE ELEVI

PENTRU CERCURILE DE ELEVI 122 Petru cercurile de elevi PENTRU CERCURILE DE ELEVI Petru N, otăm: POLINOAME CICLOTOMICE Marcel Ţea 1) U = x C x = 1} = cos 2kπ + i si 2kπ } k = 0, 1. Mulţimea U se umeşte mulţimea rădăciilor de ordi

Διαβάστε περισσότερα

OperaŃii cu numere naturale

OperaŃii cu numere naturale MulŃime umereleor turle www.webmteifo.com Petru scrie u umr orecre trebuie s combim itre ele uele ditre cele 0 simboluri: 0,,,, 4,, 6, 7, 8, 9.Aceste simboluri se umesc cifre. Ele sut de origie rb. Ν =

Διαβάστε περισσότερα

π } R 4. ctg:r\{kπ} R FuncŃii trigonometrice 1. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic 2. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice 1.

π } R 4. ctg:r\{kπ} R FuncŃii trigonometrice 1. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic 2. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice 1. Trigonometrie FuncŃii trigonometrice. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic b c b sin B, cos B, tgb c C c ctgb, sin B cosc, tgb ctgc b b. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice. sin:r [-,] A c B sin(-x)

Διαβάστε περισσότερα

ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII

ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII 8. Şiruri de fucţii Fie D R, D = şi fie f 0, f, f 2,... fucţii reale defiite pe mulţimea D. Şirul f 0, f, f 2,... se umeşte şir de fucţii şi se otează cu ( f ) 0.

Διαβάστε περισσότερα

Concursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008

Concursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008 Cocursul Naţioal Al. Myller CLASA a VII-a Numerele reale disticte x, yz, au proprietatea că Să se arate că x+ y+ z = 0. 3 3 3 x x= y y= z z. a) Să se arate că, ditre cici umere aturale oarecare, se pot

Διαβάστε περισσότερα

1. Ordinul unui element al unui grup (D. Heuberger) 2. Teoremele lui Lagrange şi Cauchy pentru grupuri finite (D. Heuberger)

1. Ordinul unui element al unui grup (D. Heuberger) 2. Teoremele lui Lagrange şi Cauchy pentru grupuri finite (D. Heuberger) CLASA XII- ALGEBRĂ Ordiul uui elemet l uui grup D Heuerger Teoremele lui Lgrge şi Cuchy petru grupuri iite D Heuerger 3 Aplicţii le teoremei lui Lgrge î proleme de teori umerelor V Pop 3 Noţiui şi rezultte

Διαβάστε περισσότερα

λ C valoare proprie a matricei A dacă x, x 0

λ C valoare proprie a matricei A dacă x, x 0 ALULUL NUMERI AL VALORILOR PROPRII ŞI AL VETORILOR PROPRII A mtrice pătrtică de ordiul cu elemete rele vlore proprie mtricei A dcă, R : A ; () vector propriu l mtricei A socit vlorii () (A I), I mtrice

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE

CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE. Fucţii de o variabilă reală Fucţiile defiite pe mulţimi abstracte X, Y cu f : X Y au î geeral puţie proprietăţi şi di acest motiv, puţie aplicaţii î rezolvarea uor probleme

Διαβάστε περισσότερα

DUMITRU BUŞNEAG PROBLEME ALGEBRĂ

DUMITRU BUŞNEAG PROBLEME ALGEBRĂ DUMITRU BUŞNEAG FLORENTINA CHIRTEŞ DANA PICIU PROBLEME de ALGEBRĂ Dumitru BUŞNEAG Floreti CHIRTEŞ D PICIU PROBLEME de ALGEBRĂ Dumitru BUŞNEAG Floreti CHIRTEŞ D PICIU PROBLEME de ALGEBRĂ Editur UNIVERSITARIA

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL IV CALCULUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILA REALĂ

CAPITOLUL IV CALCULUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILA REALĂ CAPITOLUL IV CALCULUL DIFEENŢIAL PENTU FUNCŢII EALE DE O VAIABILA EALĂ Fucţii derivabile Fucţii difereţiabile Derivata şi difereţiala sut duă ccepte fudametale ale matematicii, care reprezită siteză pe

Διαβάστε περισσότερα

BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A

BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A ETAPA JUDEŢEANĂ - martie 0 Filiera tehologica : profil tehic BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A a) Daţi exemplu de o ecuaţie de gradul al doilea avâd coeficieţi raţioali care admite ca rădăciă umărul x= +

Διαβάστε περισσότερα

Polinoame Fibonacci, polinoame ciclotomice

Polinoame Fibonacci, polinoame ciclotomice Polioame Fiboacci, polioame ciclotomice Loredaa STRUGARIU, Cipria STRUGARIU 1 Deoarece şirul lui Fiboacci este cuoscut elevilor îcă dicl.aix-a,iarrădăciile de ordiul ale uităţii şi polioamele ciclotomice

Διαβάστε περισσότερα

TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE. Prof. dr. ing. Valer DOLGA,

TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE. Prof. dr. ing. Valer DOLGA, TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE Prof. dr. ig. Vler DOLGA, Curi_7_ Aliz i ruul iemelor liire i domeiul im II. Sieme de ordiul. Ruul iemului l emle drd imul uir re uir rm 3. Noiui rivid clie iemului de ordiul

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

6.1. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ. APLICAŢII

6.1. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ. APLICAŢII 7 7 Modulul 6 APLICAŢII DIFERENŢIABILE Subiecte : Derivate şi difereţiale petru fucţii reale de o variabilă reală Formula lui Taylor şi Mac-Lauri petru fucţii de o variabilă reală Serii Taylor 3 Derivate

Διαβάστε περισσότερα

lim = dacă se aplică teorema lui 3. Derivate de ordin superior. Aplicaţii.

lim = dacă se aplică teorema lui 3. Derivate de ordin superior. Aplicaţii. 5 Petru limita determiată: 2 + lim = dacă se aplică terema lui LHspital: 2 + 2 lim = lim = rezultatul este icrect. 3. Derivate de rdi superir. Aplicaţii. Fie A R mulţime care îşi cţie puctele de acumulare

Διαβάστε περισσότερα

Formula lui Taylor. 25 februarie 2017

Formula lui Taylor. 25 februarie 2017 Formula lui Taylor Radu Trîmbiţaş 25 februarie 217 1 Formula lui Taylor I iterval, f : I R o fucţie derivabilă de ori î puctul a I Poliomul lui Taylor de gradul, ataşat fucţiei f î puctul a: (T f)(x) =

Διαβάστε περισσότερα

Integrale generalizate (improprii)

Integrale generalizate (improprii) Integrle generlizte (improprii) Fie f : [, ] R, definită prin =, α > 0. Pentru u, funţi α f este integrilă pe intervlul [, u] şi u ln α+ α+ u u = ( α)u α α, α = ln u, α =. Dă treem l limită pentru u oţinem

Διαβάστε περισσότερα

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport

Διαβάστε περισσότερα

Analiză I Curs 1. Curs 1., a n. dacă ε, ( )N ( ε ) a.î. n x n ε ; ε sunt numere reale şi deci (a n. şi fie

Analiză I Curs 1. Curs 1., a n. dacă ε, ( )N ( ε ) a.î. n x n ε ; ε sunt numere reale şi deci (a n. şi fie Aaliză I Curs Curs Şiruri de umere: D : Fie u şir de umere (a ), a. Spuem că dacă ( )M 0, a.î. a M. (a ) este mărgiit D : Spuem că (a ) coverge către l dacă ( )V (l), ( )N (V ) şi N (V ) a V. D 3 : a l

Διαβάστε περισσότερα

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERSITATEA ŞTEFAN CEL MARE FACULTATEA DE SILVICULTURĂ MATEMATICI SUPERIOARE

UNIVERSITATEA ŞTEFAN CEL MARE FACULTATEA DE SILVICULTURĂ MATEMATICI SUPERIOARE UNIVERSITATEA ŞTEFAN CEL MARE FACULTATEA DE SILVICULTURĂ DEPARTAMENTUL PENTRU ÎNVĂŢĂMÂNT LA DISTANŢĂ MATEMATICI SUPERIOARE PENTRU ÎNVĂŢĂMÂNTUL LA DISTANŢĂ - Ediţie reviuită - Lector Agel Picu Editur Uiversităţii

Διαβάστε περισσότερα

MULTIMEA NUMERELOR REALE

MULTIMEA NUMERELOR REALE www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICĂ. - frecvenţă redusă - clasa a IX a. Prof. Baran Mihaela Gabriela

MATEMATICĂ. - frecvenţă redusă - clasa a IX a. Prof. Baran Mihaela Gabriela MATEMATICĂ clasa a IX a - frecveţă redusă - Prof. Bara Mihaela Gariela CUPRINS. Mulţimi şi elemete de logică matematică Mulţimea umerelor reale Elemete de logică matematică Şiruri. Fuctii, ecuaţii, iecuaţii

Διαβάστε περισσότερα

4. Interpolarea funcţiilor

4. Interpolarea funcţiilor Iterpolre ucţlor 7 Iterpolre ucţlor Fe : [] R ş e pucte dstcte d tervlul [] umte odur Prolem terpolăr ucţe î odurle costă î determre ue ucţ g : [] R dtro clsă de ucţ cuoscută cu proprette g Pusă su cestă

Διαβάστε περισσότερα

Breviar teoretic Vectori în plan

Breviar teoretic Vectori în plan Proiect cofiţt i Foul Socil Europe pri Progrmul Operţiol Sectoril Dezvoltre Resurselor Ume 7- prioritră Eucţi şi formre profesiolă î sprijiul creşterii ecoomice şi ezvoltării societăţii zte pe cuoştere

Διαβάστε περισσότερα

3.1. DEFINIŢII. PROPRIETĂŢI

3.1. DEFINIŢII. PROPRIETĂŢI Modulul 3 SERII NUMERICE Subiecte :. Criterii de covergeţă petşru serii cu termei oarecare. Serii alterate 3. Criterii de covergeţă petru serii cu termei poziţivi Evaluare. Criterii de covergeţă petru

Διαβάστε περισσότερα

, să scriem un program pentru a afla rangul n 1 începând de la care

, să scriem un program pentru a afla rangul n 1 începând de la care Serii - lbrtr Ştiid că = k = k π = π π s = . =; S=S./.^;ed» [,S] s =.. Fie seri ; să scriem u prgrm

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

EcuaŃii de gradul al doilea ax 2 + bx + c = 0, a,b,c R, a 0 1. Formule de rezolvare: > 0 b x =, x =, = b 2 4ac; sau

EcuaŃii de gradul al doilea ax 2 + bx + c = 0, a,b,c R, a 0 1. Formule de rezolvare: > 0 b x =, x =, = b 2 4ac; sau EcuŃii de grdul l doile x + x + c = 0,,,c R, 0 Formule de rezolvre: > 0 + x =, x =, = c; su ' + ' ' ' x =, x =, =, = c Formule utile în studiul ecuńiei de grdul l II-le: x + x = (x + x ) x x = S P 3 x

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5..8 Ecuaţia difereţială Riccati Ecuaţia difereţială de ordiul îtâi de forma: d q( ) p( ) r( ) d + + (4) r sut fucţii cotiue pe u iterval, cuoscute, iar fucţia ude q( ), p ( ) şi ( ) este ecuoscuta se

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 4. vectorială continuă definită pe un interval I din cu valori în. Dacă

CAPITOLUL 4. vectorială continuă definită pe un interval I din cu valori în. Dacă 58 CAPITOLUL 4 INTEGRALE CURBILINII 4 DRUMURI PARAMETRIZATE Defiiţi 4 Pi dum pmetizt î se îţelege oice fucţie vectoilă cotiuă defiită pe u itevl I di cu vloi î Dcă otăm cu x, y şi z compoetele scle le

Διαβάστε περισσότερα

2) Numim matrice elementara o matrice:

2) Numim matrice elementara o matrice: I TRANSFORMARI ELEMENTARE ) Cre di urmtorele opertii efectute supr uei mtrice este trsformre elemetr: ) dure uei liii l o colo; b) imultire uei liii cu sclrul α = c) schimbre dou liii itre ele; d) dure

Διαβάστε περισσότερα

DUMITRU BUŞNEAG. PROBLEME de ALGEBRĂ LINIARĂ

DUMITRU BUŞNEAG. PROBLEME de ALGEBRĂ LINIARĂ DUMITRU BUŞNEG FLORENTIN CHIRTEŞ DN PICIU PROBLEME de LGEBRĂ LINIRĂ Prefţă estă ouă lurre pre o otiure firesă lurării [6]; mele reprezită de fpt pliţii l lurările [ ] Dă [6] oţie pliţii legte de struturile

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE. 1. Precizari si recomandari privind desfasurarea activitatilor la disciplina MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE

MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE. 1. Precizari si recomandari privind desfasurarea activitatilor la disciplina MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE. Precizri si recomdri privid desfsurre ctivittilor l discipli MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE Tip curs obligtoriu Mulul de curs recomdt R. Trdfir I. Dud A. Bciu R. Io Mtemtici

Διαβάστε περισσότερα

Sala: 2103 Decembrie 2014 CURS 10: ALGEBRĂ

Sala: 2103 Decembrie 2014 CURS 10: ALGEBRĂ Sala: 203 Decembrie 204 Cof. uiv. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 0: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs u a fost supus uui proces riguros de recezare petru a fi oficial publicat. distribuit

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

CLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea

CLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea EDIŢIA A IV-A 4 6 MAI 004 CLASA a V-a I. Să se determie abcd cu proprietatea abcd - abc - ab -a = 004 Gheorghe Loboţ II Comparaţi umerele A B ude A = 00 00 004 004 şi B = 00 004 004 00. Vasile Şerdea III.

Διαβάστε περισσότερα

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE Noţiui teoretice şi rezultate fudametale Şiruri de umere reale Presupuem cuoscute oţiuile de bază despre mulţimea N a umerelor aturale, mulţimea Z a umerelor îtregi, mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z :

T R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z : Numere complexe î formă algebrcă a b Fe, a b, ab,,, Se umeşte partea reală a umărulu complex : Re a Se umeşte coefcetul părţ magare a umărulu complex : Se umeşte modulul umărulu complex : Im b, ş evdet

Διαβάστε περισσότερα

Partea întreagă, partea fracţionară a unui număr real

Partea întreagă, partea fracţionară a unui număr real Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0 Partea îtreagă, partea fracţioară a uui umăr real ABSTRACT: Materialul coţie câteva proprietăţi şi rezultate legate de partea îtreagă şi

Διαβάστε περισσότερα