Nuklearna astrofizika

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Nuklearna astrofizika"

Transcript

1 Nuklearna astrofizika Matko Milin Fizički odsjek Prirodoslovno-matematički fakultet Sveučilišta u Zagrebu 20. listopada 2013.

2 1 Astronomija: kratki uvod 1.1 Uvod Astrofizika je specifičan dio fizike jer je najveći dio spoznaja unutar nje dobiven jednostavnim promatranjem. Najveći dio svemira nam je posve nedostupan za bilo kakav drugi način istraživanja, a dakako, s astrofizičkim objektima (galaksijama, zvijezdama, planetima itd.) nemoguće je vršiti eksperimente. Posao astrofizičara je zato iz podataka koji se dobivaju promatranjem rekonstruirati procese koji se u pojedinim djelovima i fazama svemira odigravaju. Najvažniji unos u svaki astrofizički model su dobri rezultati astronomskih opaženja i njihova elementarna interpretacija. Brz tehnološki napredak rezultirao je u velikom broju novih uredaja koji su revolucionirali astronomiju u posljednjih dvadesetak godina Moderni astronomski uredaji Posljednja dva desetljeća dešava se brz rast broja i kvalitete uredaja kojima se prikupljaju informacije o Svemiru. Napredak je vezan uz brojne tehnološke inovacije, poput CCD-kamera (njezini izumitelji, W. Boyle i G.E. Smith, dobitnici su Nobelove nagrade za fiziku za godinu). CCD (od engl. charge coupled device) je uredaj osjetljiv na upadnu svjetlost i segmentiran u dvije dimenzije: na taj je način podijeljen na sitne elemente ( piksele ) koji nezavisno bilježe upadne fotone. U CCD-u se u principu dešavaju dva bitna koraka: konverzija fotona u električni naboj (u tzv. fotoaktivnom području, koje je uobičajeno silicijski MOSFET), te prebacivanje naboja s piksela na piksel ( područje prenošenja ) do ruba CCD-a (gdje se naboj pomoću nabojnog pojačala pretvara u naponski impuls). Upravo je tehničko rješenje prebacivanja naboja u skokovima bilo ključno u realizaciji CCD-kamere, uredaja koji je u meduvremenu proizveden u više desetaka milijardi primjeraka (). Dio novih uredaja vezan je za površinu Zemlje, no i broj teleskopa i uredaja iznad Zemljine atmosfere vrlo brzo raste - kod njih je glavna prednost činjenica da zračenje koje primaju s astronomskog objekta nije modificirano atmosferskim utjecajem (vidi sliku 1.1). U nastavku će biti dan popis najvažnijih novih uredaja, te kratak opis svakog. Slika 1.1: Ovisnost prozirnosti atmosfere o valnoj duljini. 6

3 1. ASTRONOMIJA: KRATKI UVOD Uredaji na površini Zemlje Većina modernih teleskopa su reflektori, kojima su zrcala vrlo velikog promjera zbog odnedavne primjene tehnologije tzv. aktivne optike - riječ je o teleskopima kojima se oblik(vrlo tankog) zrcala aktivno prilagodava položaju i time poništava efekte gravitacijske distorzije, te vanjskih utjecaja (temperature, vjetra itd.). Daljni napredak donosi tzv. adaptivna optika, kod koje se sekundarno zrcalo (ili pak posebno korektivno zrcalo) na vremenskoj skali reda stotinke sekunde prilagodava atmosferskim promjenama, koje se uočavaju promatranjem valne valne fronte svjetlosti koja dolazi s nekog sjajnog objekta (u pravilu zvijezde). Današnji najveći teleskopi imaju stoga promjere i preko 10 m; u nastavku će biti diskutirani najveći i najvažniji. Keck Teleskop Keck je donedavno bio najveći optički teleskop na svijetu smješten na planini (vulkanskog porijekla, visokoj 4145 m) Mauna Kea, Hawaii, SAD. Riječ je o dva identična ogledala efektivne veličine 10 metara (a koja se sastoje od 36 manjih heksagonalnih ogledala); prvi od dva teleskopa pušten je u rad godine, a drugi Zajedno, blizanci Keck imaju moć razlučivanja jednaku jednom teleskopu koji bi imao promjer od 90 metara: u stanju su razdvojiti izvore razmaknute samo jednu lučnu milisekundu. LBT Teleskop LBT(od engl. Large Binocular Telescope) nalazi se na planini Mount Graham u Arizoni i sastoji seoddvavezana teleskopa odkojih svaki imaprimarnozrcalo veličine 8.4 m; uradjepušten godine. GTC Teleskop GranTeCan ili GTC(od španj. Gran Telescopio Canarias) je trenutačno najveći teleskop na svijetu. Lociran je na otoku La Palmi (Kanarsko otočje) i u pogonu je od srpnja godine ( punom snagom radi tek od srpnja godine). Primarno zracalo mu je segmentirano, promjera 10.4 metara! Subaru Optički teleskop Subaru se takoder nalazi na Mauna Kea, Hawaii, SAD iako je u vlasništvu japanskog nacionalnog astronomskog opservatorija (ime mu na japanskom označava Plejade). Riječ je o 8.3 metra velikom teleskopu tipa Cassegrain; ujedno i najvećem monolitičnom teleskopu na svijetu. Pomoću ovog teleskopa je, izmedu ostalog, godine nadena najstarija galaksija, stvorena svega 800 milijuna godina nakon Velikog Praska. VLT Projekt Vrlo velikog teleskopa (engl. Very Large Telescope Project - VLT) sastoji se od četiri odvojena optička teleskopa (Antu, Kueyen, Melipal i Yepun) složenih u niz. Projekt organizira ESO (od engl. European Southern Observatory) i lociran je u pustinji sjevernog Čilea (opservatorij Paranal na visini 2635 m). Svaki teleskop ima aperturu od 8.2 metra, a povezani su interferometrom (VLTI) kojim će se moći razlučiti vrlo fini detalji; interferometar će sadržavati i više teleskopa promjera 1.8 m. Primarni način rada je nazavisan rad svakog od četiri teleskopa; interferometrija se koristi samo u specijalnim slučajevima.

4 1. ASTRONOMIJA: KRATKI UVOD 8 VLA Jedan od najvažnijih opservatorija radio-valova je Vrlo velik niz (engl. Very Large Array - VLA) lociran u pustinjama Novog Meksika, SAD. VLA se sastoji od ukupno 27 velikih satelitskih tanjura ; svaki od njih velik je 25 metara i postavljen na tračnice da bi se mogao pomicati. Najveća udaljenost na koju je moguće postaviti 2 tanjura je 35 kilometra! VLA je najosjetljiviji radio-teleskop do sada napravljen; pomoću interferometrije ima rezoluciju od 0.04 lučne sekunde (na udaljenosti 150 km može razlučiti radio-izvor veličine loptice za golf). VLA radi na valnim duljinama od 0.7 do 400 cm. VLA kontinuirano ostvaruje nova otkrića; neka od njih su odredivanje sastava galaksija, proučavanje prolazećih kometa, te nove spoznaje o kvazarima, HII-područjima i klasterima galaksija. Koristi se takoder za primanje slabih radio-signala s meduplanetarnih letjelica. U planu je značajna nadogranja ovog opservatorija u bliskoj budućnosti. ALMA Radio-observatorij ALMA (od engl. Atacama Large Millimeter Array) je netom dovršen niz koji se sastoji od 66 antena (promjera 12 ili 7 metara), namijenjen promatranju Svemira na milimetarskim ( mm) valnim duljinama (dakle, manjim od VLA). Riječ je o trenutačno fizički najvećem astronomskom objektu u svijetu, koji se nalazi u pustinji Atacama na sjeveru Čilea (na nadmorskoj visini većoj od 5000 m). Cijena izgradnje bila je veća od milijardu dolara, a pokrile su ju EU, SAD, Kanada, Japan, Tajvan i Kina. ALMA bi trebala raditi u interferometrijskom načinu rada. Kao i kod VLA, pojedine antene niza mogu se pomaknuti na vrlo velike udaljenosti (do 14 km). Rezolucija ALMA-e trebala bi biti 10 lučnih milisekundi, oko 10 puta bolja od VLA i 5 puta bolja od Hubbleovog teleskopa. Osjetljivost ALMA-e trebala bi biti oko 20 puta bolja od VLA. SNO Neutrinski opservatorij Sudbury(engl. Sudbury Neutrino Observatory- SNO) detektor je smješten u rudniku nikla dvije tisuće metara ispod površine Zemlje u Ontariju, Kanada. SNO je dizajniran da detektira Sunčeve neutrine preko njihove interakcije s deuteronima. U principu detektor je sfera promjera 12 metara napunjena teškom vodom (ukupno 1000 tona) okružena s 9600 fotomultiplikatora (i, dakako, odgovarajućom zaštitom od zračenja). Ekeperiment ne detektira neutrine direktno već preko Čerenkovljeve svjetlosti koju relativistički elektroni proizvode u vodi. SNO je osjetljiv na sve tipove neutrina (za razliku od recimo Super-Kamiokande koji je osjetljiv samo na elektronske i tau-neutrine) i njegov je osnovni zadatak bilo rješavanje problema Sunčevih neutrina. Rezultati objavljivani od godine naovamo potvrduju da je prividan nedostatak broja neutrina koji dolaze sa Sunca posljedica promjene njihovog okusa. SNO je takoder bio u mogućnosti detektirati supernove unutar naše galaksije. Kako se neutrini kod takvih eksplozija emitiraju prije fotona, njihovom detekcijom moguće je vrlo rano okrenuti optičke teleskope prema supernovoj. Originalni detektor ugašen je godine, a trenutačno se na njegovoj lokaciji konstruira veći i poboljšani detektor (SNO+) kojim će se moći proučavati neutrini iz raznih izvora i u bitno širem opsegu energija. HESS HESS (od engl. High Energy Stereoscopic System) je tzv. Čerenkovljev atmosferski teleskop gama-zraka ili IACT (od engl. Imaging Atmospheric Cherenkov Telescopes). Princip rada mu je detekcija Čerenkovljeve svjetlosti koja nastaje pri prolasku visoko-energijskih čestica ili fotona kroz atmosferu (jedna upadna čestica ili foton stvaraju čitav pljusak sekundarnih čestica). Nalazi se u Namibiji i radi od godine. Pomoću njega je godine prvi put prostorno razlučen izvor vrlo visokog gama-zračenja.

5 1. ASTRONOMIJA: KRATKI UVOD 9 MAGIC Teleskop MAGIC (od engl. Major Atmospheric Gamma-ray Imaging Cherenkov Telescope) je namijenjen prvenstveno detekciji gama-zraka visoke energije (od 50 GeV-a do 30 TeV-a). Lociran je na Kanarima i radi od godine. Princip rada mu je isti kao i za HESS; no s promjerom od 17 m, riječ je o najvećem svjetskom teleskopu ovakvog tipa. Od godine u pogonu je MAGIC2, praktično identičan teleskop na udaljenosti od 85 m od prvoga. Opservatorij Pierre Auger Opservatorij Pierre Auger je niz detektora-teleskopa dizajniran za proučavanje kozmičkih zraka ogromnih energija (>10 20 ev) - očekuje se da takvih kozmičkih zraka ima otprilike 1 po godini po km 2 pa je stoga 1600 stanica ovog detektora jednoliko raspodijeljeno na površini od 3000 km 2 u južnoj Argentini (u planu je gradnja i sjevernog dijela detektora u SAD-u). Svaka stanica je zapravo relativno velika cisterna vode u kojoj nastaje Čerenkovljevno zračenje; detekcijom istog u više stanica moguće je u potpunosti rekonstruirati energiju i smjer upadne čestice kozmičkog zračenja Uredaji u orbiti oko Zemlje Da bi razumijeli što više fenomena u Svemiru, nužno je proučavati sve informacije koje nam iz njega stižu, prvenstveno čitav elektromagnetski spektar. S tim ciljem NASA (američka agencija za svemirska istraživanja, engl. National Aeronautics and Space Administration - NASA) je krenula u projekt Velikih zvjezdarnica (engl. Great Observatories), nizom svemirskih teleskopa dizajniranih tako da vrše astronomska istraživanja na raznim frekvencijama elektromagnetskog zračenja. Konkretno, za promatranja na frekvencijama vidljive svjetlosti u orbitu je postavljen svemirski teleskop Hubble, za gama-zrake opservatorij Compton, za X-zrake Chandra, te za infracrvenu svjetlost Spitzer. Važan dio projekta bilo je preklapanje operativnih faza sve četiri misije ne bi li se omogućilo istovremeno promatranje nekih zanimljivih objekata na raznim valnim duljinama. Osim ovog velikog projekta, NASA je pokrenula i niz manjih projekata (kao što je npr. Swift), a i druge su se organizacije (npr. ESA, engl. European Space Agency) pridružile u postavljanju istraživačkih satelita u orbitu oko Zemlje... Hubble Prvi korak NASA-inog projekta Velikih opservatorija je i najpoznatiji - Svemirski teleskop Hubble (HST od engl. Hubble Space Telescope). HST je lansiran je godine kao zajednički projekt ESA-e i NASA-e. Postavljen je u nisku orbitu na 600 km iznad površine Zemlje. Zbog velike greške na optici teleskopa, godine je servisiran čime je pogreška u potpunosti ispravljena. Slijedeći uspješan servis obavljen je godine. Tijekom 20 godina HST je snimio oko milijun fotografija, a očekuje se da će s radom prestati godine, kada bi u upotrebu trebao ući njegov nasljednik, svemirski teleskop James Webb (engl. James Webb Space Telescope, JWST 1. HST je 2.4-metarski reflektor s 3 kamere, 2 spektrografa i vrlo preciznim uredajima za navodenje. S vremenom su dodani uredaji za promatranje u ultraljubičastom i bliskom infracrvenom dijelu elektromagnetskog spektra. Doprinos HST-a modernoj astronomiji i astrofizici je golem: dobivena je velika količina novih spoznaja o nastanku i smrti zvijezda, evoluciji galaksija, a i pojam crnih jama je definitivno postao realan. Nezanemariva je i uloga ovog teleskopa u popularizaciji astrofizike i fizike općenito; neke od HST-ovih spektakularnih fotografija postale se dio opće kolektivne svijesti modernog društva... 1 James Webb - drugi ravnatelj NASA-e, u doba lansiranja proba Mercury, Gemini i neposredno pred početak misija Apollo.

6 1. ASTRONOMIJA: KRATKI UVOD 10 Compton Opservatorij gama-zraka Compton (engl. Compton Gamma Ray Observatory - CGRO) je najteži (17 tona!) instrument ikada prenešen u Svemir pomoću NASA-inih letjelica Space Shuttle. Lansiran je godine i zahvaljujući njemu, gama-astronomija je doživjela eksplozivan rast. Postavljanje iznad atmosfere je ključno za ovaj dio elektromagnetskog spektra jer se fotoni visokih energija u potpunosti apsorbiraju u njoj. Rezultati dobiveni ovim uredajima pokazuju da je Svemir vrlo živ, pun za sada nerazumljenih eksplozivnih dogadaja. Neka otkrića su i identificiranje misterioznih provala gama-zraka, pronalaženje posve nove vrste kvazara te otkriće objekata za koje se još uopće ne zna što su. CGRO je imao četiri instrumenta koja su pokrivala šest redova veličine energije elektromagnetskog spektra, od 30 kev do 30 GeV. To su (poredani po rastućoj energiji): Burst And Transient Source Experiment (BATSE), Oriented Scintillation Spectrometer Experiment (OSSE), Imaging Compton Telescope (COMPTEL) i Energetic Gamma Ray Experiment Telescope (EGRET). U lipnju godine ovaj je opservatorij sigurno vraćen u Zemljinu atmosferu. Chandra Teleskop X-zraka Chandra je treći od četiri NASA-ina satelita-teleskopa, lansiran godine. Osnovni zadatak teleskopa je detekcija X-zraka koje pristižu iz raznih nebeskih objekata. Korišteni detektori pokrivaju područje kev. Teleskop je postavljen u orbitu velikog ekscentriciteta (najbliže je Zemlji dolazio na udaljenost od 10 4 km, a najdalji je bio na km, jednoj trećini udaljenosti do Mjeseca). Takva je orbita korištena da bi se na njenom dijelu (tijekom 55 sati od ukupnog ciklusa od 65 sati) sasvim izbjegao utjecaj Zemljinih radijacijskih pojasa. Teleskop je ime dobio po nobelovcu Subrahmanyanu Chandrasekharu, pioniru mnogih dijelova astrofizike (a riječ Chandra na Sanskritu znači mjesec ). Prije lansiranja, ovaj je teleskop bio znan i kao AXAF, od engl. Advanced X-ray Astronomical Facility. Ovim teleskopom proučavani su svi izvori X-zračnja u Svemiru, s rezolucijom 25 puta boljom od bilo kojeg prethodnog X-detektora. Neka od otkrića ovog teleskopa su: otkriće kompaktnog objekta (neutronska zvijezda ili crna jama) na mjestu gdje je eksplodirala supernova Cassiopeia A, prva detekcija X-zračenja supemasivne crne jame Sagittarius A u centru naše galaksije, te otkriće nove vrste crnih jama (u galaksiji M82) srednje mase. Nadalje, po prvi put je istovremeno uočeno X-zračenje i provala γ-zračenja. Na temelju podataka za objekte RXJ1856 i 3C58, sugerirano je da oni nisu pulsari kao što se do tada mislilo, već čak i gušći objekti: kvarkovske zvijezde (ove tvrdnje su i dalje kontroverzne). Pomoću satelita Chandra primijećene su i super-baklje X-zraka (2005. god) u Orionovoj maglici, vrlo bitan podatak za teoriju nastanaka planetarnih sustava. Nedavno je i izmjerena Hubbleova konstanta metodom posve nezavisnom od tradicionalnih; dobivena vrijednost u slaganju je s trenutačno prihvaćenom što diže povjerenje u standardne načine mjerenja udaljenosti u astronomiji. Iako je originalno trebao raditi samo do godine, teleskop Chandra i dalje je operativan i daje zanimljive astronomske rezultate. Spitzer Svemirski teleskop Spitzer (engl. Spitzer Space Telescope - SST) četvrti je dio NASA-inog programa velikih opservatorija i to onaj koji pokriva termičko infracrveno zračenje (valne duljine od 3 do 180 µm); taj dio spektra posve je prigušen Zemljinom atmosferom. Sam teleskop je lansiran u orbitu u kolovozu 2003.; ukupna cijena bila mu je 800 milijuna US dolara. Sastoji se od teleskopa velikog 0.85 m i 3 hladena instrumenta. Poznat je i kao SIRTF, od engl. Space Infrared Telescope Facility. Ime Spitzer dano mu je u spomen Lymana Spitzera Jr., znanstvenika koji je prvi predložio postavljanje teleskopa u orbitu oko Zemlje (sredinom 40-tih godina prošlog stoljeća). Važniji rezultati uključuju detekciju najmlade zvijezde (2004.), preciznije mjerenje geometrije naše galaksije, detekciju prvih zvijezda stvorenih u Svemiru (2005.) itd. Jedan od najvažnijih

7 1. ASTRONOMIJA: KRATKI UVOD 11 rezultata SST-a je i prvo direktno opažanje ekstrasolarnih planeta (2005.), kao i opažanje dotad neotkrivenog Saturnovog prstena (2009.). Krajem godine potrošen je sav tekući helij i odonda je operativnost teleskopa bitno smanjena. Swift NASA-in satelit Swift 2 izraden je (u partnerstvu s Italijom i Velikom Britanijom) s ciljem da detektira i vrlo brzo locira izvore gama-provala. Prvi takav direktno primijećen dogadaj zbio se (GRB B) kada je Swift uhvatio X-zračenje sa samo minutom zaostatka (koji se ugasio za daljnih pet minuta); Swiftov optički i ultraljubčasti teleskop nije vidio ništa. Pretpostavlja se da je sama provala bila vrlo kratka - otprilike 50 ms. Swift sadrži više instrumenata; prvi koji reagira je tzv. BAT (od engl. Burst Alert Telescope) koji reagira na γ-zrake i u stanju je otprilike odrediti smjer njihovog izvora. Sljedeći korak je brzo okretanje Swiftovih teleskopa za detekciju X-zraka i UV-zračenja. Tijekom i godine Swiftom je opaženo više zanimljivih pojava, izmedu ostalih i najudaljeniju opaženu svemirsku eksploziju (GRB na udaljenosti od milijardi svjetlosnih godina). Do sredine godine Swift je detektirao više od 750 GRB-a. Newton XMM-Newton (od engl. X-ray Multi-Mirror) je ESA-in opservatorij X-zraka, imenovan u čast Isaaca Newtona. Lansiran je godine u vrlo ekscentričnu orbitu; planiran vijek rada mu je do godine, no naknadno produžen do Popis rezultata dobivenih ovim uredajem je impresivan. Npr. po prvi put su uočena rotirajuća vruća područja na površinama bliskih neutronskih zvijezda. MOST Svemirski teleskop MOST (od engl. Microvariability and Oscillations of STars) je za sada jedini kanadski teleskop na satelitu (i najmanji od svih postojećih). Lansiran je godine i planirani vijek bio mu trajanja pet godina, no i tijekom godine i dalje je uspješno funkcionirao. Kao što mu i ime govori, osnovni zadatak ovog teleskopa je praćenje varijacija zvijezda; svaka zvijezda se prati unutar perioda i do 60 dana. Pojave koje se proučavaju na ovaj način su npr. zvijezde tipa Wolf-Rayet (pronadena periodičnost njihova sjaja). INTEGRAL Gama-teleskop INTEGRAL (od engl. INTErnational Gamma-Ray Astrophysics Laboratory) ESA-in je projekt za mapiranje dijela elektromagnetskog spektra najviših energija. Lansiran je godine u vrlo ekscentričnu orbitu(poput Chandre) i za sada je najosljetljiviji gama-opservatorij ikada postavljen u orbitu oko Zemlje; predviden mu je rad do godine, no radio je posve uspješno, pa se očekuje da će mu se životni vijek produžiti do godine. Osnovni zadaci su mu istraživanje provala gama-zraka i neobičnih kvazara, te potraga za dokazima postojanja crnih rupa. Za razliku od drugih uredaja na satelitima koji se zbog ogromne osjetljivosti ne smiju uperiti prema Zemlji, INTEGRAL je godine izmjerio atmosfersko pozadinsko gama-zračenje upravo usmjeravanjem prema Zemlji! AKARI Japanski teleskop za infracrveno područje AKARI lansiran je početkom godine u suradnji s ESO-om. Ime mu na Japanskom znači svjetlost. Primarni zadatak mu je napraviti mapu cijelog 2 engl. swift - čiopa

8 1. ASTRONOMIJA: KRATKI UVOD 12 neba u infracrvenom području. Vijek trajanja (oko 550 dana) mu je limitiran činjenicom da se senzori za daleko i srednje infracrveno područje moraju hladiti tekućim helijom. Senzor za blisko infracrveno područje nastavit će raditi i nakon što se potrši sav helij Uredaji u pripremi Prema predvidanjima astronoma, u idućih 10 do 15 godina mogla bi biti proizvedena nova generacija zemaljskih teleskopa koji bi bili do deset i više puta veći od postojećih i čija bi slika bila do 40 puta oštrija od one HST-a. Cijena tekavih teleskopa je oko milijardu eura. Europski projekt Ekstremno Velikog Teleskopa (EST od engl. Extremely Large Telescope) ulazi u fazu dizajna. Teleskop Owl (od engl. Overwhelmingly Large Telescope) razmatra se od strane European Southern Observatory i trebao bi imati ogledalo efektivnog promjera 100 m! NASA-in svemirski teleskop James Webb (engl. James Webb Space Telescope - JWST) koji će zamijeniti HST prvobitno je trebao biti postavljen u orbitu još tijekom godine, no zbog promjene američke svemirske politike, lansiranje se ne očekuje prije godine. Promjer zrcala ovog teleskopa trebao bi biti 6.5 m (skoro tri puta veći nego kod HST-a), a i udaljenost od Zemlje trebala bi biti mnogostruko veća. KM3NeT ( Cubic Kilometre Neutrino Telescope ) i NEMO ( Neutrino Ettore Majorana Observatory ) su dva europska teleskopa neutrina u pripremi, koji će se nalaziti na dnu mediteranskog mora i koristiti veliki volumen mora za stvaranje Čerenkovljeve svjetlosti. Zbog problema s financiranjem, izgleda da je projekt NEMO napušten dok je budućnost KM3NeT neizvjesna. Na južnoj polutci (Antartiku) nedavno je dovršen američki neutrinski teleskop IceCube Neutrino Observatory, koji će očito do daljnjega ostati najveći neutrinski teleskop na svijetu. Prvi se znanstveni rezultat očekuju uskoro. U pripremi je i satelit Gaia (lansiranje je predvideno za g.) kojim bi se paralaksa izmjerila za 10% zvijezda u našoj galaksiji; to je nasljednik ESA-in satelita Hipparcos (od engl. High Precision Parallax Collecting satelite) koji je radio je u periodu

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Otkriće kvazara i mikrotalasnog pozadinskog zračenja

Otkriće kvazara i mikrotalasnog pozadinskog zračenja Otkriće kvazara i mikrotalasnog pozadinskog zračenja Dragana Ilić Katedra za astronomiju Matematički fakultet Univerziteta u Beogradu Dva skoro istovremena otkrića Kvazari = kvazi stelarni radio izvori

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Gamma-ray Bursts (GRBs) Autor: Miloš Kovačević. Bljeskovi/Eksplozije gama-zračenja

Gamma-ray Bursts (GRBs) Autor: Miloš Kovačević. Bljeskovi/Eksplozije gama-zračenja Gamma-ray Bursts (GRBs) Autor: Miloš Kovačević Bljeskovi/Eksplozije gama-zračenja Iz posmatračkog ugla Nebo u 2D (u galaktičkim koordinatama) infracrveno-optički gama Naša galaksija Transparentnost Zemljine

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa

Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa Claudius Ptolemeus (100-170) - geocentrični sustav Nikola Kopernik (1473-1543) - heliocentrični sustav Tycho Brahe (1546-1601) precizno bilježio putanje nebeskih tijela 1600. Johannes Kepler (1571-1630)

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Elementarne čestice Elementarne ili osnovne ili fundamentalne čestice = Najmanji dijelovi od kojih je sastavljena tvar. Do 1950: Elektron, proton,

Elementarne čestice Elementarne ili osnovne ili fundamentalne čestice = Najmanji dijelovi od kojih je sastavljena tvar. Do 1950: Elektron, proton, Elementarne čestice Elementarne ili osnovne ili fundamentalne čestice = Najmanji dijelovi od kojih je sastavljena tvar. Do 1950: Elektron, proton, neutron Građa atoma Pozitron, neutrino, antineutrino Beta

Διαβάστε περισσότερα

Što je svjetlost? Svjetlost je elektromagnetski val

Što je svjetlost? Svjetlost je elektromagnetski val Optika Što je svjetlost? Svjetlost je elektromagnetski val Transvezalan Boja ovisi o valnoj duljini idljiva svjetlost (od 400 nm do 700 nm) Ljubičasta ( 400 nm) ima kradu valnu duljinu od crvene (700 nm)

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010. GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

UVOD U KVANTNU TEORIJU

UVOD U KVANTNU TEORIJU UVOD U KVANTNU TEORIJU UVOD U KVANTNU TEORIJU 1.) FOTOELEKTRIČKI EFEKT 2.) LINIJSKI SPEKTRI ATOMA 3.) BOHROV MODEL ATOMA 4.) CRNO TIJELO 5.) ČESTICE I VALOVI Elektromagnetsko zračenje UVOD U KVANTNU TEORIJU

Διαβάστε περισσότερα

Astronomija i astrofizika Teleskopi i detektori. Tomislav Jurkić Department of Physics University of Rijeka, Croatia

Astronomija i astrofizika Teleskopi i detektori. Tomislav Jurkić Department of Physics University of Rijeka, Croatia Astronomija i astrofizika Teleskopi i detektori Tomislav Jurkić Department of Physics University of Rijeka, Croatia 1 Teleskopi 1. Refraktori (objektiv je leća) 2. Reflektori (objektiv je ogledalo) 3.

Διαβάστε περισσότερα

Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II. tjedan

Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II. tjedan Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II tjedan Periodičnost signala Koji su od sljedećih kontinuiranih signala periodički? Za one koji jesu, izračunajte temeljni period a cos ( t ), b cos( π μ(, c j t

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A

Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit 1..014. VARIJANTA A Prezime i ime: Broj indeksa: Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. A C 1.1. Tri naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Periodičke izmjenične veličine

Periodičke izmjenične veličine EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike

Διαβάστε περισσότερα