Ciprian Deliu METODE NUMERICE ŞI STATISTICĂ

Transcript

1 Cipria Deliu METODE NUMERICE ŞI STATISTICĂ 06

2

3 Cupris I Metode umerice Metode de aproximare a rădăciilor uei ecuaţii elieare 3. Metoda iterativă de puct fix Metoda bisecţiei Metoda falsei poziţii Metoda lui Newto Metoda secatei Exerciţii Rezolvarea umerică a sistemelor de ecuaţii liiare 5. Metoda elimiării a lui Gauss Metoda factorizării triughiulare Metoda iterativă a lui Jacobi Metoda Gauss-Seidel Exerciţii Rezolvarea umerică a sistemelor de ecuaţii eliiare 5 3. Metoda aproximaţiilor succesive Metoda Newto-Raphso Exerciţii Aproximarea fucţiilor Metoda celor mai mici pătrate Iterpolarea fucţiilor Poliomul de iterpolare al lui Newto Poliomul de iterpolare al lui Lagrage Difereţe divizate Exerciţii i

4 ii CUPRINS 5 Itegrarea umerică a fucţiilor Metoda dreptughiurilor Metoda trapezelor Metoda parabolelor (Simpso) Formulele Newto-Cotes Aproximarea umerică a soluţiilor ecuaţiilor difereţiale Metoda lui Euler Metoda lui Euler îmbuătăţită Metoda Ruge-Kutta Metoda lui Adams Exerciţii II Statistică 59 7 Statistică descriptivă 6 7. Prezetarea datelor statistice Caracteristici umerice Probabilităţi. Variabile aleatoare 7 8. Probabilităţi Câmpuri de probabilitate Reguli de calcul cu probabilităţi Scheme probabilistice Variabile aleatoare Variabile aleatoare discrete şi cotiue Vectori aleatori bidimesioali Caracteristici umerice ale variabilelor aleatoare Repartiţii clasice Repartiţii discrete Repartiţii cotiue Covergeţa variabilelor aleatoare Exerciţii Statistică ifereţială Teoria selecţiei Estimaţii puctuale Verosimilitate maximă Itervale de îcredere Iterval de îcredere petru medie (σ cuoscut).... 0

5 CUPRINS iii 9.3. Iterval de îcredere petru proporţie Iterval de îcredere petru medie (σ ecuoscut) Iterval de îcredere petru dispersie Verificarea ipotezelor statistice Noţiui geerale Teste petru medie (σ cuoscut) Teste petru proporţie Teste petru medie (σ ecuoscut) Test bilateral petru dispersie Exerciţii

6 iv CUPRINS

7 Partea I Metode umerice

8

9 Capitolul Metode de aproximare a rădăciilor uei ecuaţii elieare Fie A o mulţime dată şi o aplicaţie T A A. Presupuem că există posibilitatea de a cuatifica elemetele lui A, şi otăm aceste elemete cu a k sau a (k), cu k = 0,,,.... Asamblul (A, T ) formează u sistem iterativ dacă se poate defii o relaţie ître elemetele lui A de forma a k+ = T (a k ) Se poreşte de la o valoare iiţială a 0 A şi apoi la fiecare pas k se calculează a k+ aplicâd T valorii a k calculate la pasul aterior. U elemet a A se umeşte puct fix petru T dacă T (a) = a. Elemetele a k formează u şir î spaţiul ce coţie A umite şi aproximate petru puctul fix al lui T. Î acest capitol e vom ocupa de sisteme iterative cu mulţimea suport R, iar aplicaţia T poate avea proprietăţi legate de cotiuitate şi difereţiabilitate. Covergeţa şirului de aproximate către puctul fix este asigurată de aceste proprietăţi ale lui T, precum şi de uele codiţii suplimetare. Oprirea iteraţiilor se face atuci câd este îdepliită o codiţie de forma a k+ a k < ε petru u ε > 0 suficiet de mic, sau după atigerea uui aumit umăr de iteraţii. 3

10 4 CAPITOLUL. APROXIMAREA RĂDĂCINILOR UNEI ECUAŢII De asemeea este importată şi abaterea de la puctul fix a aproximatei la care se opresc iteraţiile, umită şi eroare de calcul, sau eroarea metodei.. Metoda iterativă de puct fix Presupuem că ecuaţia f(x) = 0 are o rădăciă pe care am localizat-o pritr-o metodă cum ar fi de exemplu metoda grafică. Mai presupuem că această ecuaţie poate fi scrisă sub forma x = g(x). Petru aproximarea rădăciii ecuaţiei î această formă vom folosi metoda iterativă de puct fix costruid următorul procedeu iterativ: x k+ = g(x k ) cu k = 0,,,... ude x 0 se alege cât mai aproape de rădăcia căutată. O astfel de metodă este covergetă dacă g (x) λ < Dacă otăm cu α puctul fix căutat, eroarea metodei, otată cu E k, dacă e oprim la aproximata x k este dată de E k = x k α λk λ x x 0 Exemplu Să se aproximeze rădăcia ecuaţiei x x = 0 di itervalul [ 3, ] cu o eroare ε = 0 3. Rezolvare: Reprezetăm grafic fucţia f(x) = x x pe itervalul [0, ] cu ajutorul următorului script Matlab:

11 .. METODA ITERATIVĂ DE PUNCT FIX 5 x=0:0.00:; y=x.*.^x-; plot(x,y, r ); grid Observăm că ecuaţia f(x) = 0 are o sigură rădăciă î [ 3, ]; Puem ecuaţia sub forma x = g(x), deci g(x) = x ; Derivata g (x) = x l verifică ipoteza de covergeţă: g (x) = x l = l l = 0, 550 < x 3 Iiţializăm cu x 0 = şi di formula erorii E k < ε obţiem = 0 iteraţii: x = g(x 0 ) = = = 0, 5 x = g(x ) = 0,5 = 0, 707 x 3 = g(x ) = 0,707 = 0, 65 x 4 = g(x 3 ) = 0,65 = 0, 654 x 5 = g(x 4 ) = 0,654 = 0, 6355 x 6 = g(x 5 ) = 0,6355 = 0, 6437 x 7 = g(x 6 ) = 0,6437 = 0, 640 x 8 = g(x 7 ) = 0,640 = 0, 646 x 9 = g(x 8 ) = 0,646 = 0, 64 x 0 = g(x 9 ) = 0,64 = 0, 64 Aproximatele x 9 şi x 0 au trei zecimale exacte şi este suficiet petru a aproxima rădăcia α cu aproximata x 9 = 0, 64.

12 6 CAPITOLUL. APROXIMAREA RĂDĂCINILOR UNEI ECUAŢII Procedura MATLAB: fuctio [N,x,X]=tpfix(g,dg,a,b,x0,tol) x=a:tol:b; y=feval(dg,x); A=max(abs(y)); X()=x0; B=abs(feval(g,X())-X()); N=fix(log(tol*(-A)/B)/log(A)); for k=:n X(k)=feval(g,X(k-)); err=abs(x(k)-x(k-)); relerr=err/(abs(x(k)-x(k-))); x=x(k); if (err<tol) (relerr<tol) break ed ed X=X ; ˆ fucţia g(x): fuctio y=fg(x) y=.^(-x); ed ˆ derivata g (x): fuctio dy=fdg(x) dy=-.^(-x).*log(); ed ˆ (a, b) rădăciii itervalul ˆ x0 valoarea iiţială ˆ tol = ε (eroarea) Apelăm procedura cu sitaxa: [N,x,X]=tpfix( fg, fdg,0,,,0.00) ude N = umărul de iteraţii, x = soluţia căutată, X = iteraţiile.. Metoda bisecţiei Presupuem că ecuaţia f(x) = 0 are o sigură rădăciă localizată î itervalul [a, b], deci f(a)f(b) < 0; Metoda bisecţiei presupue îjumătăţirea itervalului şi alegerea jumătăţii care coţie rădăcia. Se repetă acest raţioamet pâă la u iterval coveabil: Pas a = a, b = b, c = a +b. Dacă f(c ) = 0, atuci c este rădăcia căutată. Dacă f(c )f(a ) > 0 atuci rădăcia se află î [c, b ] Pas a = c, b = b, c = a +b Dacă f(c )f(a ) < 0 atuci rădăcia se află î [a, c ]

13 .. METODA BISECŢIEI 7 Pas a = a, b = c, c = a +b şi repetăm raţioametul petru itervalul [a, b ]. Dacă b a = l atuci b a = l b a = l... b k a k = l, care k poate fi folosită drept criteriu de oprire: dacă c = a k+b k, rădăcia α (a k, b k ) şi c α < l < ε. k U alt criteriu de oprire poate fi: c c c ε α c. Exemplu Să se aproximeze rădăcia ecuaţiei x l x = care se află î itervalul [, ] cu eroarea ε = 0, 0. Rezolvare: Fucţia di problemă este f(x) = x l x. Notăm cu α rădăcia căutată. Observăm că f() = şi f() =, 776, adică sut seme cotrare. Aplicăm metoda îjumătăţirii şi ordoăm calculele î tabelul următor: i a i b i c i = a i+b i f(c i ) Cocluzii α (,.5) α (.5,.5) α (.375,.5) α (.375,.4375) α (.4063,.4375) α (.4063,.49) Criteriul de oprire = < 0.0 c = =.48.

14 8 CAPITOLUL. APROXIMAREA RĂDĂCINILOR UNEI ECUAŢII Procedura MATLAB: fuctio [c,err,yc]=mbisect(f,a,b,tol) Ya=feval(f,a) ˆ fucţia f(x): Yb=feval(f,b) if Ya*Yb>0, retur, ed N=+roud((log(b-a)-log(tol))/log()); for k=:n c=(a+b)/ Yc=feval(f,c); if Yc==0 a=c; b=c; elseif feval(f,c)*feval(f,a)<0 b=c; Yb=Yc; else a=c; Ya=Yc; ed if b-a<tol, break, ed ed c=(a+b)/; err=abs(b-a); Yc=feval(f,c);.3 Metoda falsei poziţii Presupuem că ecuaţia f(x) = 0 fuctio y=f(x) y=*x*log(x)-; ed ˆ (a, b) itervalul rădăciii ˆ tol = ε (eroarea) ˆ Procedura se apelează cu sitaxa [c,err,yc]=mbisect( f,-,,0.0) ˆ c = rădăcia ˆ err = l < ε k ˆ Yc = f(c) are o sigură rădăciă localizată î itervalul [a, b], deci f(a)f(b) < 0. Ca şi la metoda bisecţiei, la fiecare pas se împarte itervalul curet î două subitervale, dar u eapărat la jumătatea itervalului. Pas a = a, b = b, c = b (b a )f(b ) f(b ) f(a ). Dacă f(c ) = 0, atuci c este rădăcia căutată. Dacă f(c )f(a ) > 0 atuci rădăcia se află î [c, b ] Pas a = c, b = b, c = b (b a )f(b ) f(b ) f(a ) Dacă f(c )f(a ) < 0 atuci rădăcia se află î [a, c ] Pas a = a, b = c, c = b (b a )f(b ) f(b ) f(a ) şi repetăm raţioametul petru itervalul [a, b ].

15 .3. METODA FALSEI POZIŢII 9 Pas Se costruieşte itervalul (a, b ) şi se studiază semul fucţiei f î puctul c = b (b a )f(b ) f(b ) f(a ) Criteriul de oprire poate fi c c ε sau f(c ) < ε. Exemplu Să se aproximeze rădăcia ecuaţiei x l x = care se află î itervalul [, ] cu eroarea ε = 0, 00. Rezolvare: Fucţia di problemă este f(x) = x l x. Notăm cu α rădăcia căutată. ˆ f() =, f() =, 776, deci f()f() < 0. ˆ Notăm a =, b = şi calculăm c = ( )f() ( ), 776 = =, 3607 f() f(), ˆ f(c ) = 0, 69 < 0, deci α (c, b ) ˆ Notăm a = c =, 3607, b = b = şi calculăm c = (, 3607)f() ( ), 776 = =, 44 f() f(, 3607), , 69 ˆ f(c ) = 0, 098 < 0, deci α (c, b ) Se cotiuă î acest mod pâă se găsesc două valori cosecutive petru c care să aibă primele trei zecimale care să coicidă.

16 0 CAPITOLUL. APROXIMAREA RĂDĂCINILOR UNEI ECUAŢII procedura MATLAB: fuctio [c,err,yc]=mfp(f,a,b,delta,epsilo, max) ya=feval(f,a); ˆ fucţia f(x): yb=feval(f,b); for k=:max fuctio y=f(x) dx=yb*(b-a)/(yb-ya); y=*x*log(x)-; c=b-dx; ed ac=c-a; yc=feval(f,c); ˆ (a, b) itervalul rădăciii if yc==0,break; elseif yb*yc>0 ˆ delta = eroarea dată petru rădăcia b=c; c yb=yc; ˆ epsilo = eroarea cerută petru f(c) else a=c; ya=yc; ˆ max = umărul maxim de iteraţii ed dx=mi(abs(dx),ac); ˆ Procedura se apelează cu sitaxa if abs(dx)<delta,break,ed if abs(yc)<epsilo,break,ed [c,err,yc]=mfp( f,,,0.00,0.00,0) ed c; err=abs(b-a)/; yc=feval(f,c);.4 Metoda lui Newto Presupuem că ecuaţia f(x) = 0 are o sigură rădăciă î itervalul [a, b] şi fucţia f C (a, b), f (x) 0, x [a, b]. Tageta la graficul lui f există î fiecare puct şi va fi de aceeaşi parte a graficului (dedesubt sau deasupra) Rădăcia α se poate aproxima ca limită a şirului x defiit pri procedeul iterativ: x k+ = g(x k ) = x k f(x k), k = 0,,,... f (x k ) î care x 0 [a, b] satisface codiţia f(x 0 )f (x 0 ) > 0. O altă codiţie care trebuie verificată petru a asigura covergeţa aproximaţiilor este f(x)f (x) (f (x)) λ <, x ( x ε, x + ε)

17 .4. METODA LUI NEWTON Codiţia de oprire: x k+ x k x k+ < ε Exemplu Să se aproximeze cu metoda lui Newto rădăcia ecuaţiei x l x = care se găseşte î itervalul [.4,.5] cu o eroare ε = 0 3. Rezolvare: Fucţia di problemă este f(x) = x l x. - Calculăm f() = şi f() =.776, deci f() f() < 0. - Luăm ca aproximată iiţială mijlocul itervalului, deci x 0 =.5 - Verificăm codiţiile cerute asupra fucţiei f: f (x) = (l x+) şi f (x) = x. f(x 0 ) f (x 0 ) = 4 l x 0 x 0 = > 0. f(x)f (x) f()f () = 0.6 = λ < petru orice x [, ]. (f (x)) (f ()) Aplicăm procedeul iterativ şi puem rezultatele î următorul tabel: k x k f(x k ) f (x k ) f(x k ) f (x k ) Procedura MATLAB: fuctio [p0,err,k,y]=mewto(f,df,p0,delta,epsilo,max) for k=:max p=p0-feval(f,p0)/feval(df,p0); err=abs(p-p0); relerr=*err/(abs(p)+delta); p0=p; y=feval(f,p0); if (err<delta) (relerr<delta) (abs(y)<epsilo),break,ed ed ˆ fucţia f(x): fuctio y=f(x) y=*x*log(x)-; ed ˆ p0 valoarea iiţială ˆ derivata f (x): fuctio y=f(x) y=*log(x)+; ed

18 CAPITOLUL. APROXIMAREA RĂDĂCINILOR UNEI ECUAŢII ˆ delta = eroarea petru rădăciă ˆ epsilo = eroarea petru f(p0) ˆ max = umărul maxim de iteraţii Apelăm procedura cu sitaxa: [p0,err,k,y]=mewto( f, f,.5,0.00,0.00,5) ude p0 = rădăcia, err = eroarea, k = umărul de iteraţii, y = f(p0)..5 Metoda secatei Dacă î metoda lui Newto se face aproximarea f (x k ) f(x k) f(x k ) x k x k obţie metoda iterativă a secatei, î care se x k+ = x k f(x k)(x k x k ) f(x k ) f(x k ) ude aproximatele iiţiale x 0, x pot fi extremităţile itervalului cu rădăcia. Exemplu Să se aproximeze cu metoda secatei rădăcia ecuaţiei x l x = care se găseşte î itervalul [, ] cu o eroare ε = 0 3. Rezolvare: Cosiderăm x 0 = şi x =. Obţiem iteraţiile: ˆ x = f()( ) f() f() =.3607 ˆ x 3 =.3607 f(.3607)(.3607 ) f(.3607) f() =.44 ˆ x 4 =.44 ˆ x 5 =.40 f(.44)( ) f(.44) f(.3607) f(.40)(.40.44) f(.40) f(.44) =.40 =.40 Se observă că x 4 şi x 5 au primele trei zecimale care coicid, deci α x 5 =.4. Procedura MATLAB:

19 .6. EXERCIŢII 3 fuctio [x,err,k,y]=msecat(f,x0,x,delta,epsilo,max) for k=:max x=x-feval(f,x)*(x-x0)/(feval(f,x)-feval(f,x0)); err=abs(x-x); relerr=*err/(abs(x)+delta); x0=x; x=x; y=feval(f,x); if (err<delta) (relerr<delta) (abs(y)<epsilo),break,ed ed ˆ fucţia f(x): fuctio y=f(x) y=*x*log(x)-; ed ˆ x0, x = capetele itervalului iiţial ˆ delta = eroarea petru rădăcia α ˆ epsilo = eroarea petru f(α) ˆ max = umărul maxim de iteraţii [x,err,k,y]=msecat( f,,,0.00,0.00,0) ude x = rădăcia, err = eroarea, k = umărul de iteraţii, y = f(x).6 Exerciţii. Folosid metoda iterativă de puct fix să se aproximeze rădăciile următoarelor ecuaţii cu eroarea ε = 0 5 : a) x si x = 0.5, x [,.3] b) x = 4x, x [0, ] c) x = cos ( π x), x [0, ] d) x cos x = 0, x 0 = 0, x (, 0] e) x e x +.5 = 0, x 0 = 0, x [0, )

20 4 CAPITOLUL. APROXIMAREA RĂDĂCINILOR UNEI ECUAŢII. Folosid metoda bisecţiei să se aproximeze rădăciile următoarelor ecuaţii cu eroarea ε = 0 5 : a) 4 x cos x = 05, x [0, ] b) arcsi(x/3) cos x = 0, x [, ] c) x 4 cos x = 0, x [0, ] d) x e x +.5 = 0, x [0, ] 3. Să se aplice metoda falsei poziţii la ecuaţiile aterioare şi să se compare rezultatele cu cele obţiute cu primele două metode. 4. Folosid metoda lui Newto să se aproximeze rădăciile următoarelor ecuaţii cu eroarea δ = ε = 0 5 : a) e x 8 cos(πx) = 0, x [0, 0.4] b) 3 x = 7 si x, x [0., 0.] c) cos(πx) = x, x [.5,.6] şi x [, 3] d) x 6 cos(x) = 0, x [, 3] e) 4 si(x) + x 4 = 0, x [,.6] şi x [, 3] f) arcsi ( x ) 3 cos x = 0, x [,.6] g) si x 0.7 cos 3x = 0, x [0, ] h) 0.7 cos 3x si x = 0, x [ 0.5, 0] i) 4 x 3 cos x = 0, x [0, ] j) e 0.x cos 7x + 3x = 0, x [0.5, ] 5. Să se rezolve ecuaţiile de la exerciţiul aterior cu metoda secatei şi să se compare viteza de covergeţă.

21 Capitolul Rezolvarea umerică a sistemelor de ecuaţii liiare. Metoda elimiării a lui Gauss Fie sistemul liiar cu ecuaţii şi ecuoscute: a x + a x + + a x = b a x + a x + + a x = b a x + a x + + a x = b AX = B a a... a a a... a ude A =, X = a a... a Trasformări elemetare: ˆ x x x, B = Îmulţirea sau împărţirea uei ecuaţii cu u scalar; ˆ Schimbarea a două ecuaţii ître ele; ˆ Aduarea la o ecuaţie a uei alte ecuaţii î mulţită cu u scalar. Pri aplicarea uor astfel de trasformări sistemul iiţial poate fi adus la următoarea formă diagoală: c x + c x + + c x = d c x + + c x = d 5 b b b c x = d.

22 6 CAPITOLUL. SISTEME DE ECUAŢII LINIARE care se rezolvă de jos î sus (mai îtâi se află x di ultima ecuaţie, apoi x di peultima, ş.a.m.d.). Dacă ragul r al matricei A este mai mic decât, atuci forma diagoală va fi: c x +c x c r x r c x = d c x c r x r c x = d c rr x r c r x = d r 0 = d r+ 0 = d Dacă d i = 0, i > r atuci sistemul este compatibil edetermiat, iar dacă există i > r astfel îcât d i 0 atuci sistemul este icompatibil. Dacă matricea A este esigulară, paşii algoritmului sut: Pasul Se iiţializează matricea extisă [A, B]: a a... a b [A, B a a... a b ] = a a... a b Pasul Se obţi zerouri pe prima coloaă astfel: Pasul. Dacă a = 0 se schimbă L L i ude a i 0 (există u astfel de i > deoarece matricea A este esigulară); Pasul. L k L k a k L a petru k =, 3,..., şi se obţie a a... a b [A, B 0 a... a b ] = 0 a... a b Pasul 3 Se obţi zerouri pe a doua coloaă astfel: Pasul 3. Dacă a = 0 se schimbă L L i ude a i 0 (există u astfel de i > deoarece matricea A este esigulară);

23 .. METODA ELIMINĂRII A LUI GAUSS 7 Pasul 3. L k L k a k a L petru k = 3,..., şi se obţie a a a 3... a b 0 a a 3... a b [A 3, B 3 ] = 0 0 a a 3 3 b a a 3 b 3 a a... a b Pasul [A, B 0 a... a b ] = a b Sistemul avâd matricea triughiulară superior obţiută la ultimul pas se rezolvă pri substituţie iversă. x + x + x 3 = 8 Exemplu Fie sistemul x + 3x x 3 =. 3x + 4x + 4x 3 = 3 Efectuăm următoarele trasformări elemetare asupra matricei extise: L L L 3 3L L 3 L x +x +x 3 = 8 x 4x 3 = 4 9x 3 = 7 x 3 = 3 x = 4 x = x = 8 x =. Metoda este implemetată î MATLAB cu ajutorul următoarei proceduri:

24 8 CAPITOLUL. SISTEME DE ECUAŢII LINIARE fuctio X=mgauss(A,B) [N,N]=size(A); X=zeros(N,); C=zeros(,N+); AT=[A B]; for p=:n- [Y,j]=max(AT(p:N,p)); C=AT(p,:); AT(p,:)=AT(j+p-,:); AT(j+p-,:)=C; if AT(p,p)==0; A sigulara. Nedetermiare break ed for k=p+:n m=at(k,p)/at(p,p); AT(k,p:N+)=AT(k,p:N+)-m*AT(p,p:N+) ed ed X=AT(:N,:N)\AT(:N,N+); ˆ se defiesc A şi B: A=[ ; 3 -;3 4 4] B=[8;;3] ˆ Procedura se apelează cu sitaxa X=mgauss(A,B). Metoda factorizării triughiulare Defiiţia.. O matrice pătratică A de ordi, esigulară, are o factorizare triughiulară dacă poate fi scrisă ca produsul ditre o matrice triughiulară iferior L şi o matrice triughiulară superior U, adică A = LU Fie sistemul AX = B. Dacă matricea A admite o factorizare triughiulară, atuci sistemul se rescrie LUX = B Dacă itroducem otaţia Y = U X, atuci soluţia sistemului se poate obţie rezolvâd succesiv sistemele LY = B şi UX = Y Factorizarea triughiulară a matricei A se poate obţie plecâd de la idetitatea A = I A şi la fiecare pas k se obţi zerouri pe coloaa k sub diagoala pricipală a lui A folosid trasformările elemetare de la metoda lui Gauss, iar î I se îlocuiesc zerourile de sub diagoala pricipală de pe coloaa k cu coeficieţii corespuzători acestor trasformări.

25 .3. METODA ITERATIVĂ A LUI JACOBI 9 Exemplu Să se rezolve pri metoda factorizării triughiulare sistemul x + 4x 6x 3 = 4 x + 5x + 3x 3 = 0 x + 3x + x 3 = 5. Rezolvare: = = = MATLAB: 0 0 = 0 3 L y U = 4 y = 4 LY = B y + y = 0 y = y + 3 y + y 3 = 3 y 3 = 3 x + 4x 6x 3 = 4 x = 3 UX = Y 3x + 6x 3 = x = 3x 3 = 3 x 3 = A=[ 4-6; 5 3; 3 ]; B=[-4;0;5]; [L,U]=lu(A); Y=L\B; X=U\Y.3 Metoda iterativă a lui Jacobi x = b a x a x a x = b a x a x a Se rescrie sistemul AX = B sub forma x = b a x a x a.

26 0 CAPITOLUL. SISTEME DE ECUAŢII LINIARE Procedeul iterativ al lui Jacobi este dat pri relaţiile: x (k+) = b a x (k) a x (k+) = b a x (k) a a x (k) a x (k) x (k+) = b a x (k) a x (k) a, k = 0,,,... ude valoarea iiţială x (0) se poate lua coloaa termeilor liberi B. Codiţie de covergeţă: a ij < a ii, i =, sau j=,j i a ij < a jj, j =, i=,i j Criteriu de oprire: x(k+) x (k) < ε. x (k+) Metoda este implemetată î MATLAB cu ajutorul următoarei proceduri: ˆ X0 = aproximaţia iiţială fuctio X=mjacobi(A,B,X0,tol,max) N=legth(B); for k=:max for j=:n X(j)=(B(j)-A(j,[:j-,j+:N])*... X0([:j-,j+:N]))/A(j,j); ed err=abs(orm(x -X0)); relerr=err/(orm(x)+eps); X0=X ; if (err<tol) (relerr<tol) break ed ed X=X ; ˆ tol = ε (eroarea) ˆ max = umărul maxim de iteraţii ˆ se defiesc parametrii: A=[3 ;- 5 ;0 3 9] B=[;;3] X0=B tol=0.000 max=0 ˆ Procedura se apelează cu sitaxa X=mjacobi(A,B,X0,tol,max)

27 .3. METODA ITERATIVĂ A LUI JACOBI.3. Metoda Gauss-Seidel Este o variată a metodei lui Jacobi î care procedeul iterativ este dat pri: x (k+) = b a x (k) a x (k) a x (k+) = b a x (k+) a 3 x (k) 3 a x (k) a, k = 0,,,... x (k+) = b a x (k+) a x (k+) a 0x + x + x 3 = x =. 0.x 0.x 3 Exemplu: x + 0x + x 3 = 3 x =.3 0.x 0.x 3 x + x + 0x 3 = 4 x 3 =.4 0.x 0.x Iiţializăm cu x (0) = x (0) = x (0) 3 = 0 şi avem iteraţiile: x () =. 0.x (0) 0.x (0) 3 =. x () =. 0.x () 0.x () 3 = x () =.3 0.x () 0.x (0) 3 =.06, x () =.3 0.x () 0.x () 3 = x () 3 =.4 0.x () 0.x () = x () 3 =.4 0.x () 0.x () = care coverg către soluţia x = x = x 3 =. Metoda este implemetată î MATLAB astfel: fuctio X=mgseidel(A,B,X0,tol,max) N=legth(B); for k=:max for j=:n if j== X()=(B()-A(,:N)*X0(:N))/A(,); elseif j==n X(N)=(B(N)-A(N,:N-)*(X(:N-)) )/A(N,N); else X(j)=(B(j)-A(j,:j-)*(X(:j-)) -A(j,j+:N)*X0(j+:N))/A(j,j); ed ed err=abs(orm(x -X0)); relerr=err/(orm(x)+eps); X0=X ; if (err<tol) (relerr<tol) break ed ed X=X ; Procedura se apelează cu sitaxa X=mgseidel(A,B,X0,tol,max)

28 CAPITOLUL. SISTEME DE ECUAŢII LINIARE.4 Exerciţii. Folosid metoda elimiării a lui Gauss să se rezolve AX = B petru: (a) A =, B = (b) A =, B = (c) A =, B = (d) A =, B = Folosid metoda factorizării triughiulare să se rezolve sistemele: x + x + 6x 3 = 7 x x + 5x 3 = 6 (a) x + x + 9x 3 = (b) x + 3x + x 3 = 3 x x + 3x 3 = 0 x + 4x 4x 3 = 3 3x + 3x + 5x 3 + 6x 4 = 5 3x 7x + 4x 3 + 5x 4 = x 4x x 3 3x 4 = x x + 9x 3 + 8x 4 = 7 (c) (d) 5x x + x 3 x 4 = x 7x + x 3 9x 4 = 3 6x 3x x 3 + 5x 4 = 3 4x + 5x + 3x 3 + x 4 = 5 3. Să se aproximeze soluţia sistemelor de ecuaţii AX = B cu ajutorul metodelor iterative ale lui Jacobi şi Gauss-Seidel petru: (a) A =, B =

29 .4. EXERCIŢII 3 (b) A = , B = (c) A = , B = 0 (d) A = , B = 0

30 4 CAPITOLUL. SISTEME DE ECUAŢII LINIARE

31 Capitolul 3 Rezolvarea umerică a sistemelor de ecuaţii eliiare 3. Metoda aproximaţiilor succesive Cosiderăm sistemul de ecuaţii f (x, x,..., x ) = 0 f (x, x,..., x ) = 0, (x, x,..., x ) D R x = g (x, x,..., x ) care poate fi pus sub forma x = g (x, x,..., x ) Petru aproximarea soluţiei sistemului se cosideră următorul procedeu iterativ: x (k+) = g (x (k), x(k),..., x(k) ) x (k+) = g (x (k), x(k),..., x(k) ) Codiţii de covergeţă: λ > 0 astfel îcât g i x + g i x + + g i x λ <, (x,..., x ) D, i =,,...,. Exemplu Să se aproximeze soluţia sistemului x = 3 cos(yz) + 6 y = 9 x + si z z = 0 e xy 0π 3 60 x, y, z 5

32 6 CAPITOLUL 3. SISTEME DE ECUAŢII NELINIARE Rezolvare: Itroducem otaţiile Verificăm codiţiile de covergeţă g (x, y, z) = 3 cos(yz) + 6 g (x, y, z) = 9 x + si z g 3 (x, y, z) = 0 e xy 0π 3 60 g x + g y + g z = 0 + z 3 si(yz) + y 3 si(yz) 3 = λ < g x + g y + g z = x 9 x + si z cos z 8 x + si z < λ < g 3 x + g 3 y + g 3 z = y 0 e xy + x 0 e xy + 0 e 0 < λ < Procedeul iterativ se scrie sub forma x (k+) = 3 cos(y(k) z (k) ) + 6 y (k+) = 9 (x (k) ) + si z (k) z (k+) = 0 e x(k) y (k) 0π 3 60 Rezultatele se trec îtr-u tabel de forma Soluţia aproximativă va fi MATLAB: k x (k) y (k) z (k) x 0.5, y 0, z fuctio [P,iter]=mseidel(G,P,delta,max) % G este sistemul scris itr-u fisier fuctio % P=[x0,y0,z0,...] valorile iitiale % delta este eroarea de aproximare % max este umarul maxim de iteratii

33 3.. METODA NEWTON-RAPHSON 7 N=legth(P); for k=:max X=P; for j=:n A=feval(G,X); X(j)=A(j); ed err=abs(orm(x-p)); relerr=err/(orm(x)+eps); P=X; iter=k; if (err<delta) (relerr<delta) break ed ed Procedura se apelează cu sitaxa [P,iter]=mseidel( fu,p,delta,max) Fişierul fucţie umit fu se va scrie astfel: fuctio w=fu(x) w=zeros(,); % = umarul de ecuatii w()=g(x(),x(),...,x()); w()=g(x(),x(),...,x());... w()=g(x(),x(),...,x()); 3. Metoda Newto-Raphso f (x, y) = 0 Cosiderăm sistemul de ecuaţii, ude fucţiile f, f D f (x, y) = 0 R R satisfac codiţii de difereţiabilitate pâă la u ordi ecesar petru a costrui u procedeu iterativ. Dezvoltăm după formula lui Taylor fucţiile f, f î veciătatea uui puct (x (k), y (k) ) D: f (x, y) = f (x (k), y (k) ) + f x (x(k), y (k) ) (x x (k) ) + f y (x(k), y (k) ) (y y (k) ) +... f (x, y) = f (x (k), y (k) ) + f x (x(k), y (k) ) (x x (k) ) + f y (x(k), y (k) ) (y y (k) ) +...

34 8 CAPITOLUL 3. SISTEME DE ECUAŢII NELINIARE aşadar soluţia sistemului iiţial este aproximativ egală cu cea a sistemului 0 = f (x (k), y (k) ) + f x (x(k), y (k) ) (x x (k) ) + f y (x(k), y (k) ) (y y (k) ) 0 = f (x (k), y (k) ) + f x (x(k), y (k) ) (x x (k) ) + f y (x(k), y (k) ) (y y (k) ) care poate fi rescris sub forma matriceală f x f x f y f y (x (k),y (k) ) x x (k) y y (k) = f (x (k), y (k) ) f (x (k), y (k) ) Dacă otăm cu (x (k+), y (k+) ) soluţia (x, y) a acestui sistem obţiem u procedeu iterativ, criteriul de oprire fiid atuci câd distaţa ditre două aproximate succesive este suficiet de mică, sau câd u umăr maxim de iteraţii este atis. x Exemplu Să se aproximeze soluţia sistemului eliiar x y = 0 x + 4y 4 = 0 porid de la valorile iiţiale (x (0), y (0) ) = (, 0.5). f (x, y) = x Rezolvare: Notăm x y şi calculăm Jacobiaul f (x, y) = x + 4y 4 J(x, y) = f x f x f y f y = x x 8y f (x Pasul. Se calculează (0), y (0) ) = 0.5 f (x (0), y (0) ) = 0.5 Pasul. Se calculează J (x (0), y (0) ) = 4 Pasul.3 Se rezolvă sistemul 4 x y = şi se găseşte x y = Pasul.4 Se calculează x () y () = =

35 3.. METODA NEWTON-RAPHSON 9 f (x Pasul. Se calculează (), y () ) = f (x (), y () ) = Pasul. Se calculează J (x (), y () ) = Pasul.3 Se rezolvă sistemul x y = şi se găseşte x y = Pasul.4 Se calculează x () y () = = MATLAB: fuctio [r,iter]=mnr(f,j,x0,tol,rerror,max) % f se da ca u fisier fuctio si cotie ecuatiile % J este u fisier fuctio si cotie Jacobiaul % x0 = valorile iitiale % max = umarul maxim de iteratii Jc=rcod(feval(J,x0)); if Jc<e-0 error( Icercati alta valoare x0 ) ed xv=x0(:); x=xv-iv(feval(j,xv))*(feval(f,xv)); for k=:max xv=x; iter=k x=xv-iv(feval(j,xv))*(feval(f,xv)); if (orm(feval(f,x))<tol orm(xv-x, if )/orm(x, if )<tol)... (iter==max) break ed ed r=x ˆ fuctio w=fuc(x)

36 30 CAPITOLUL 3. SISTEME DE ECUAŢII NELINIARE w()=x()^-*x()-x()+0.5; w()=x()^+4*x()^-4; w=w(:); ˆ fuctio S=mj(x) S=[*x()-,-;*x(),8*x()]; ˆ [r,iter]=mnr( fuc, mj,[,0.5],eps,eps,9) 3.3 Exerciţii. Să se aproximeze soluţiile următoarelor sisteme cu o eroare ε = 0 5 : (a) (b) (c) (d) x = 7.7+3y +4z y =.54+z x 0 z = 7.63 y3 7, 0 x, y, z.4, (x (0), y (0), z (0) ) = (0, 0, 0); x = cos(xyz) 0. x 0. y = ( x) /4 0.05z + 0.5z, 0. y 0.4, (x (0), y (0), z (0) ) = z = x + 0.y 0.0y z.5 (0, 0, 0) x = 6.8+3y+4z 4 y =.4+z x, 0 x, y, z, (x (0), y (0), z (0) ) = (0, 0, 0); 8 z =.48+y 4 0x = y , 0 x, y, (x (0), y (0) ) = (0, 0); 8y =.4 x. Să se aproximeze soluţiile următoarelor sisteme cu o eroare ε = 0 5 : (a) x + y = 0 x y 0.5x + 0. = 0, (x (0), y (0) ) = (.3, ) sau ( 0.8,.); (b) xy 3 = 0 x y = 0, (x (0), y (0) ) = (3, ) (c) x + 4y 4 = 0 x x y + = 0, (x (0), y (0) ) = (.5, 0.5) sau ( 0.5,.)

37 3.3. EXERCIŢII 3 (d) 3x y = 0 x x + y + y 8 = 0, (x (0), y (0) ) = (, ) sau (3, 3.4) (e) (f) x 3 y = xy 3 y = 4 x + y = 0 x + y 3 = 0, (x (0), y (0) ) = (.,.7), (x (0), y (0) ) = (, 0.5) (g) arctg x y = xy =, (x (0), y (0) ) = (0.9,.)

38 3 CAPITOLUL 3. SISTEME DE ECUAŢII NELINIARE

39 Capitolul 4 Aproximarea fucţiilor 4. Metoda celor mai mici pătrate Î multe cazuri di practică o fucţie este dată tabelar pritr-o mulţime de valori obţiute pri măsurători şi se doreşte determiarea valorilor fucţiei î pucte ude u putem face măsurători. x x 0 x x... x y = f(x) y 0 y y... y Aproximăm fucţia cu u poliom p(x) = α m x m + α m x m + + α x + α 0 astfel îcât fucţia abatere pătratică ϕ(α 0, α,..., α m ) = k=0 (y k p(x k )) să fie miimă. Se demostrează că soluţiile sistemului obţiut pri egalarea cu zero a derivatelor parţiale ale fucţiei ϕ fac pozitivă difereţiala de ordiul d ϕ(α 0, α,..., α m ). Exemplu Fie o fucţie avâd valori date î tabelul: x y

40 34 CAPITOLUL 4. APROXIMAREA FUNCŢIILOR Metoda este implemetată î MATLAB cu ajutorul fucţiei polyfit. Următorul script reprezită grafic atât datele di tabel cât şi cele date de aproximare: clear;clc; X=[0,,.3,3,4,5,7]; Y=[0.9,.5,,,3,.6,3]; c=polyfit(x,y,4); t=mi(x):0.:max(x); Z=polyval(c,t); plot(x,y, r-,t,z, b. ); grid; leged( fuctie, poliom ); ab=sum((polyval(c,x)-y).^) x=;u=polyval(c,x) 4. Iterpolarea fucţiilor Cosiderăm di ou o fucţie ecuoscută cu valori date tabelar x x 0 x x... x y = f(x) y 0 y y... y Pri iterpolare se îţelege o metodă de determiare a uei fucţii ϕ(x) care să aproximeze cât mai bie fucţia ecuoscută f şi care să îdepliească codiţiile umite şi codiţii de iterpolare. Cosiderăm fucţia poliomială Codiţiile de iterpolare devi ϕ(x k ) = y k, k = 0,,..., ϕ(x) = c 0 + c x + + c x. c 0 + c x k + + c x k = y k, k = 0,,..., adică u sistem cu + ecuaţii î ecuoscutele c 0, c,..., c.

41 4.. INTERPOLAREA FUNCŢIILOR Poliomul de iterpolare al lui Newto Fie f [a, b] R o fucţie dată şi x o creştere a argumetului x, otată ueori şi cu h. Expresia f(x) = f(x + x) f(x) este umită difereţă fiită de primul ordi al fucţiei f. Se pot defii î mod asemăător difereţele fiite de ordi superior: f(x) = ( f(x)), =, 3,... Exemplu f(x) = ( f(x)) = (f(x + x) f(x)) = = f(x + x) f(x) = (f(x + x) f(x + x)) (f(x + x) f(x)) = = f(x + x) f(x + x) + f(x). Î cazul uei reţele echidistate a = x 0 < x < < x = b di itervalul [a, b] avâd pasul h, aşadar x i = x 0 +i h, otăm cu y 0 = f(x 0 ), y = f(x ),..., y = f(x ) valorile cuoscute ale fucţiei f î aceste pucte. Difereţele fiite ale fucţiei î aceste pucte pot fi arajate îtr-u tabel astfel: x i y i y i = y i+ y i y i = y i+ y i 3 y i = y i+ y i x 0 y 0 y 0 = y y 0 y 0 = y y 0 3 y 0 = y y 0 x y y = y y y = y y x y y = y 3 y x 3 y 3 Căutăm u poliom de grad de forma P (x) = c 0 +c (x x 0 )+c (x x 0 )(x x )+ +c (x x 0 )(x x )... (x x ) î care coeficieţii c 0, c,..., c sut ecuoscuţi. Puâd codiţiile de iterpolare y i = P (x i ), i = 0,,..., se obţie u sistem de ecuaţii liiare î ecuoscutele c i, i = 0,,...,. Îlocuid soluţiile acestui sistem î poliomul P (x) se obţie poliomul de iterpolare al lui Newto de prima speţă P (x) = y 0 + q y 0 + q(q ) y 0 + +! q(q )... (q + ) y 0,! ude q = x x 0 h. Avem f( x) P ( x), x [a, b] {x 0, x,..., x }. Acest poliom este coveabil de folosit petru iterpolarea uei fucţii î partea de îceput a tabelului de valori Eroarea de aproximare este mai mică decât q(q )...(q ) (+)! + y 0.

42 36 CAPITOLUL 4. APROXIMAREA FUNCŢIILOR Exemplu Petru fucţia dată pri tabelul următor se cere aproximarea fucţiei î puctul x =.9: x y = f(x) Costruim tabelul cu difereţe fiite: x i y i y i y i 3 y i 4 y i 5 y i q = x x 0 h = =.5 P (x) = y 0 + q y 0 + q(q )! y q(q )(q )(q 3)(q 4) 5! 5 y Metoda este implemetată î MATLAB cu ajutorul următorului script: clear;clc; N=6; xmi=;xmax=3; h=(xmax-xmi)/(n-); X=lispace(xmi,xmax,N); Y=[,.8,.5,.8,.9,]; x=.9; q=(x-x())/h; for k=:n D(k,)=Y(k); ed for j=:n for k=:n-j+ D(k,j)=D(k+,j-)-D(k,j-); ed ed P=D(,)+D(,)*q+D(,3)*q*(q-)/+D(,4)*q*(q-)*(q-)/6+... D(,5)*q*(q-)*(q-)*(q-3)/4+D(,6)*q*(q-)*(q-)*(q-3)*(q-4)/0 Dacă se caută u poliom de grad de forma P (x) = c 0 +c (x x )+c (x x )(x x )+ +c (x x )(x x )... (x x ),

43 4.. INTERPOLAREA FUNCŢIILOR 37 puâd aceleaşi codiţii de iterpolare y k = P (x k ), k =,,...,, 0, se obţie poliomul de iterpolare al lui Newto de speţa a doua: P (x) = y + q y + q(q + ) y + +! q(q + )... (q + ) y 0,! ude q = x x h. Avem f( x) P ( x), x [a, b] {x 0, x,..., x }. Acest poliom este coveabil de folosit petru iterpolarea uei fucţii î partea fială a tabelului de valori Eroarea de aproximare este mai mică decât q(q+)...(q+) (+)! + y 0. Difereţele fiite y, y,..., y 0 se găsesc pe diagoala secudară a tabelului cu difereţe fiite parcursă de jos î sus. 4.. Poliomul de iterpolare al lui Lagrage Cosiderăm o fucţie f [a, b] R, o reţea de oduri oarecare a = x 0 < x < < x = b şi valorile fucţiei î aceste oduri y i = f(x i ), i = 0,,...,. Poliomul lui Lagrage este o combiaţie liiară de + polioame de grad : L (x) = y 0 ϕ 0 (x) + y ϕ (x) + + y ϕ (x) ude ϕ i (x) = (x x 0)...(x x i )(x x i+ )...(x x ) (x i x 0 )...(x i x i )(x i x i+ )...(x i x ), i = 0,,...,. Dacă fucţia f admite derivate cotiue pâă la ordiul +, atuci eroarea îtr-u puct x diferit de puctele de iterpolare este: E (x) = f(x) L (x) M + ( + )! (x x 0)... (x x ) ude M + = max a x b f (+) (x). Poliomul lui Lagrage poate fi rescris sub forma L (x) = Π(x) y i i=0 D i ude D i = (x i x 0 )... (x i x i )(x x i )(x i x i+ )... (x i x ) şi Π(x) = (x x 0 )... (x x ). Exemplu Petru fucţia dată pri tabelul următor se cere aproximarea fucţiei î x = 9 şi x = 6: x i y i

44 38 CAPITOLUL 4. APROXIMAREA FUNCŢIILOR Orgaizăm calculele î următorul tabel: i x i D i0 D i D i D i3 D i4 D i5 D i6 D i7 y i y i D i De pe diagoala pricipală se obţie Π(9) = (9 x 0 )... (9 x 7 ) = De pe ultima coloaă se obţie y i D i = Valoarea aproximativă a fucţiei î x = 9 este f(9) L 7 (9) = Π(9) y i D i = MATLAB: fuctio [C,L,Yi]=mlagrag(X,Y,Xi) m=legth(x); =m-; L=zeros(m,m); for k=:+ V=; for j=:+ if k~=j V=cov(V,poly(X(j)))/(X(k)-X(j)); ed ed L(k,:)=V; ed C=Y*L; Yi=polyval(C,Xi); ˆ X = [x 0, x,..., x ] reţeaua de oduri; ˆ Y = [y 0, y,..., y ] valorile fucţiei î odurile reţelei; ˆ Xi = [ x,..., x r ] valorile î care dorim aproximarea fucţiei; ˆ Fucţia se apelează cu sitaxa [C,L,Yi]=mlagrag(X,Y,Xi) şi va retura î C o matrice liie cu coeficieţii poliomului Lagrage, î L o matrice de lucru, iar î Yi valorile fucţiei î puctele di Xi.

45 4.. INTERPOLAREA FUNCŢIILOR Difereţe divizate Fie f [a, b] R şi reţeaua de oduri a = x 0 < x < < x = b eechidistate î care se cuosc valorile fucţiei y k = f(x k ), k = 0,,...,. Expresia f(x k, x k+ ) = [x k, x k+ ] = f(x k+) f(x k ) x k+ x k se umeşte difereţă divizată de ordiul îtâi a fucţiei f. Difereţele divizate de ordiul al doilea se defiesc astfel: f(x k, x k+, x k+ ) = [x k, x k+, x k+ ] = [x k+, x k+ ] [x k, x k+ ] x k+ x k Difereţele divizate ale fucţiei f pot fi arajate îtr-u tabel de forma x k y k = f(x k ) [x k, x k+ ] [x k, x k+, x k+ ] [x k, x k+, x k+, x k+3 ] x 0 y 0 [x 0, x ] x y [x 0, x, x ] [x, x ] [x 0, x, x, x 3 ] x y [x, x, x 3 ] x 3 y 3 [x, x 3 ] Defiiţia 4.. Poliomul P (x) = y 0 +[x 0, x ](x x 0 )+[x 0, x, x ](x x 0 )(x x ) [x 0, x,..., x ](x x 0 )(x x )... (x x ) se umeşte poliomul de iterpolare al lui Newto cu difereţe divizate. Exemplu Fie fucţia f(x) = si(πx) şi odurile de iterpolare x 0 = 0, x = 6, x =. Să se costruiască u poliom de iterpolare de gradul al doilea. Rezolvare: Costruim tabelul cu difereţe divizate: k x k y k = f(x k ) [x k, x k+ ] [x k, x k+, x k+ ] = 3 6 = = 3

46 40 CAPITOLUL 4. APROXIMAREA FUNCŢIILOR Se obţie poliomul cu difereţe divizate P (x) = 0 + 3(x 0) + ( 3)(x 0) (x 6 ) = 7 x 3x MATLAB: fuctio [C,D,Yi]=mdiviz(X,Y,Xi) =legth(x); D=zeros(,); D(:,)=Y ; for j=: for k=j: fucţiei; D(k,j)=(D(k,j-)-D(k-,j-))/(X(k)-X(k-j+)); ed ed C=D(,); for k=(-):-: C=cov(C,poly(X(k))); m=legth(c); C(m)=C(m)+D(k,k); ed Yi=polyval(C,Xi); ˆ X = [x 0, x,..., x ] reţeaua de oduri; ˆ Y = [y 0, y,..., y ] valorile fucţiei î odurile reţelei; ˆ Xi = [ x,..., x r ] valorile î care dorim aproximarea ˆ Fucţia se apelează cu sitaxa [C,D,Yi]=mdiviz(X,Y,Xi) şi va retura î C o matrice liie cu coeficieţii poliomului, î D difereţele divizate, iar î Yi valorile fucţiei î puctele di Xi. 4.3 Exerciţii. Să se aproximeze fucţiile următoare, date tabelat, folosid polioame de gradul idicat şi să se aproximeze fucţia î puctele idicate: (a) (b) x y = f(x) poliom de grad,,3 şi 7; aproximare fucţie î 3.4 şi 3.9 x y = f(x) poliom de grad,,3 şi 0; aproximare fucţie î 0.5, 3.5 şi 5.6

47 4.3. EXERCIŢII 4 (c) x y poliom de grad, şi 8; aproximare fucţie î.7,.9,.6 şi 3.7. Să se scrie poliomul lui Newto corespuzător fucţiilor date pri următoarele tabele şi să se aproximeze fucţiile î puctele idicate: (a) (b) (c) x 0 3 y = f(x) aproximare î 0.4 şi.7 x y = f(x) aproximare î.6 şi 4.8 x y = f(x) aproximare î 4.5 şi Cosideraţi o fucţie cuoscută. Alegeţi u iterval, o reţea de pucte şi o valoare a lui x î care cuoaşteţi valoarea exactă a fucţiei. Aproximaţi valoarea fucţiei cu polioamele date. Comparaţi rezultatele. 4. Folosid poliomul de iterpolare al lui Lagrage să se aproximeze valorile următoarelor fucţii î puctele meţioate: (a) x i y i = f(x i ) î.4,.8, 4 şi 7; (b) x i y i = f(x i ) î, şi 0; (c) x i y i = f(x i ) î 6.5, 7 şi 8.9; (d) x i y i = f(x i ) î şi.5;

48 4 CAPITOLUL 4. APROXIMAREA FUNCŢIILOR

49 Capitolul 5 Itegrarea umerică a fucţiilor Fie f [a, b] R şi itegrala I = b a f(x)dx. Dacă f(x) > 0, x [a, b], atuci I este aria domeiului pla D delimitat de axa Ox, graficul fucţiei f şi dreptele x = a şi x = b. Cosiderăm o reţea de pucte echidistate cu pasul h = b a, deci a = x 0 < x < x < < x = b x i = a + ih, i = 0,,,...,. Ducem pri fiecare x k paralele la Oy şi obţiem subdomeiile D 0, D,..., D şi avem: A(D) = A(D 0 ) + A(D ) + + A(D ) Dacă este foarte mare şi fiecare arie este calculată cu eroare cât mai mică, se obţie o aproximare petru itegrala I. 5. Metoda dreptughiurilor Petru o reţea de pucte echidistate otăm cu y 0 = f(x 0 ), y = f(x ),... y = f(x ) valorile fucţiei f î puctele reţelei. Pe fiecare iterval [x k, x k+ ] aproximăm fucţia f(x) cu y k, respectiv y k+. Se obţie o aproximare a ariei domeiului D k cu y k h, respectiv y k+ h. Se obţi aproximările a b a f(x)dx = A(D) h(y 0 + y + y + + y ) (5.) b f(x)dx = A(D) h(y + y + y y ) (5.) 43

50 44 CAPITOLUL 5. INTEGRAREA NUMERICĂ A FUNCŢIILOR Eroarea I A(D) < (b a) M, ude M = sup{ f (x) ; x [a, b]} Exemplu Să se aproximeze dx folosid metoda dreptughiurilor x Avem a = 0, b =, = 4, h = b a = 4 = 0.5 x 0 = a = 0 y 0 = f(0) = x = a + h = 0.5 y = f(0.5) = x = a + h = 0.5 y = f(0.5) = 0.4 x 3 = a + 3h = 0.75 y 3 = f(0.75) = x 4 = a + 4h = b = y 4 = f() = 0.5 Valoarea exactă este x dx h(y 0 + y + y + y 3 ) = x dx h(y + y + y 3 + y 4 ) = Metoda trapezelor 0 + 3x dx = 3 l( + 3x) 0 = 0.46 Cosiderăm di ou o reţea echidistată, domeiile D k şi otăm puctele de pe graficul fucţiei f corespuzătoare reţelei alese cu M 0 (x 0, y 0 ), M (x, y ),... M (x, y ). Aproximăm aria domeiului D k pri aria trapezului determiat de puctele M k, M k+ şi puctele de pe O x corespuzătoare lui x k şi x k+ : Se obţie aproximarea A(D k ) h(y k + y k+ ) Eroarea a b f(x)dx = A(D) h (y 0 + y + y + + y + y ) (5.3) I A(D) < (b a)3 M, ude M = sup{ f (x) ; x [a, b]}

51 5.3. METODA PARABOLELOR (SIMPSON) 45 Exemplu Să se aproximeze dx folosid metoda trapezelor x Avem a = 0, b =, = 4, h = b a = 4 = x 0 = a = 0 y 0 = f(0) = x = a + h = 0.5 y = f(0.5) = x = a + h = 0.5 y = f(0.5) = 0.4 x 3 = a + 3h = 0.75 y 3 = f(0.75) = x 4 = a + 4h = b = y 4 = f() = x dx h (y 0 + y + y + y 3 + y 4 ) = Metoda parabolelor (Simpso) Cosiderăm o reţea echidistată cu u umăr par de oduri = m şi puctele de pe graficul fucţiei f corespuzătoare reţelei alese M 0 (x 0, y 0 ), M (x, y ),... M (x, y ). Pe fiecare iterval [x k, x k+ ] aproximăm fucţia f cu o fucţie de gradul al cărei grafic trece pri puctele M k, M k+, M k+. Avem: a Se obţie aproximarea b A(D k ) h 3 (y k + 4y k+ + y k+ ) f(x)dx h 3 (y 0 + 4y + y + 4y 3 + y y m + 4y m + y m ) (5.4) Eroarea I A(D) < (b a)5 80 M, ude M = sup{ f (4) (x) ; x [a, b]} 4 Exemplu Să se aproximeze dx folosid metoda lui Simpso x Avem a = 0, b =, = 4, h = b a = 4 = 0.5 x 0 = a = 0 y 0 = f(0) = x = a + h = 0.5 y = f(0.5) = x = a + h = 0.5 y = f(0.5) = 0.4 x 3 = a + 3h = 0.75 y 3 = f(0.75) = x 4 = a + 4h = b = y 4 = f() = 0.5

52 46 CAPITOLUL 5. INTEGRAREA NUMERICĂ A FUNCŢIILOR 0 + 3x dx h 3 (y 0 + 4y + y + 4y 3 + y 4 ) = MATLAB: fuctio s=msimps(f,a,b,m) h=(b-a)/(*m); s=0; s=0; for k=:m x=a+h*(*k-); s=s+feval(f,x); ed for k=:(m-) x=a+h**k; s=s+feval(f,x); ed s=h*(feval(f,a)+feval(f,b)+4*s+*s)/3; 5.4 Formulele Newto-Cotes ˆ Fucţia se apelează cu sitaxa s=msimps( fx,a,b,m) ˆ fx este u fişier care coţie fucţia f(x) ˆ a, b sut extremităţile itervalului pe care se itegrează ˆ m este ales astfel îcât = m. Cosiderăm reţeaua de oduri echidistate a = x 0 < x < < x = b, otăm h = b a şi avem x i = a+ih, i = 0,,..., şi y i = f(x i ) valorile fucţiei î aceste oduri. Aproximâd fucţia f pri poliomul Lagrage L (x) asociat reţelei date, se obţie formula de aproximare Newto-Cotes a b f(x)dx (b a) H i y i ude H i = ( ) i i!( i)! q [+] 0 q i dq, iar q = x x 0 h, q[+] = q(q )... (q ). Ua di cele mai folosite formule de cuadratură umerică de acest tip este cea obţiută petru = 3, umită şi formula lui Simpso 3/8: a b i=0 f(x)dx b a 8 (y 0 + 3y + 3y + y 3 ) Eroarea de aproximare este mai mică decât (b a) 5 M, ude M = sup{ f (4) (x) ; x [a, b]} Exemplu Să se aproximeze 0 dx folosid formula lui Newto. + 3x

53 5.4. FORMULELE NEWTON-COTES 47 Avem a = 0, b =, = 3, h = b a = 3 x 0 = a = 0 y 0 = f(0) = x = a + h = 3 y = f ( 3 ) = x = a + h = 3 y = f ( 3 ) = 3 0 x 3 = a + 3h = y 3 = f() = 4 + 3x dx 8 (y 0 + 3y + 3y + y 3 ) =

54 48 CAPITOLUL 5. INTEGRAREA NUMERICA A FUNCT IILOR

55 Capitolul 6 Aproximarea umerică a soluţiilor ecuaţiilor difereţiale 6. Metoda lui Euler Fie ecuaţia difereţială y = f(x, y), x [a, b] (6.) cu codiţia iiţială y(x 0 ) = y 0, x 0 [a, b]. Dacă se cere aproximarea soluţiei îtr-u puct x veci cu x 0, atuci vom costrui o reţea de pucte îcepâd cu x 0 şi termiâd cu x şi pe baza uei scheme de aproximare calculăm valorile soluţiei î aceste pucte. Cosiderăm o diviziue echidistată a itervalului [a, b]: x k = a + k h, h = b a, k = 0,,,..., Formula lui Taylor petru soluţia y(x) î veciătatea lui x k : y(x) = y(x k ) + (x x k )y (x k ) + (x x k ) y (x k )! +... Cosiderâd doar primii doi termei di dezvoltare şi folosid (6.) găsim iar î puctele diviziuii avem y(x) = y(x k ) + (x x k )f(x k, y(x k )) y k+ = y k + hf(x k, y k ), k = 0,,,...,. 49

56 50 CAPITOLUL 6. ECUAŢII DIFERENŢIALE Exemplu Să se aproximeze soluţia problemei Cauchy y = y + x + 0.5, 0 x, y(0) =. Cosiderăm = 5, deci h = b a k. Obţiem: = 0 5 = 0., iar diviziuea este x k = a+k h = y 0 = y = y 0 + h( y 0 + x ) = + 0.( + 0.5) = 0.7 y = y + h( y + x + 0.5) = ( ) = 0.56 y 3 = y + h( y + x + 0.5) = ( ) = 0.56 y 4 = y 3 + h( y 3 + x ) = ( ) = y 5 = y 4 + h( y 4 + x ) = ( ) = Soluţia exactă a ecuaţiei este y(x) = e x +0.5x, iar valorile acestea î puctele diviziuii sut găsite cu ajutorul comezilor MATLAB: x=0:0.: y=0.5*x+exp(-*x) Metoda este implemetată î MATLAB cu ajutorul procedurii: fuctio [x,y]=meuler(f,a,b,y0,) h=(b-a)/; x=zeros(,+); y=zeros(,+); x=a:h:b; y()=y0; for j=: y(j+)=y(j)+h*feval(f,x(j),y(j)); ed fuctio f=fxy(x,y) f=-*y+x+0.5; ude: ˆ f = fucţia f(x, y) di ecuaţie ˆ [a, b] - itervalul variabilei x ˆ y0 = valoarea di codiţia iiţială

57 6.. METODA LUI EULER ÎMBUNĂTĂŢITĂ 5 ˆ = umărul puctelor diviziuii ˆ se defiesc parametrii: a=0;b=;y0=;=0; ˆ Procedura se apelează cu sitaxa [x,y]=meuler( fxy,a,b,y0,) ˆ Soluţia exactă î aceleaşi pucte: ye=0.5*x+exp(-*x) 6. Metoda lui Euler îmbuătăţită Această metodă îmbuătăţeşte aproximarea pri aplicarea metodei lui Euler cu paşi itermediari: Pas y, = y 0 + hf(x 0, y 0 ) y, = y 0 + f(x 0, y 0 ) + f(x, y, ) h y,3 = y 0 + f(x 0, y 0 ) + f(x, y, ) h Pas k+ y k+, = y k + hf(x k, y k ) y k+, = y k + f(x k, y k ) + f(x k+, y k+, ) h Î cadrul fiecărui pas şirul aproximatelor se va opri câd se vor găsi două aproximate succesive care să aibă aceleaşi valori la umărul de zecimale cerute.

58 5 CAPITOLUL 6. ECUAŢII DIFERENŢIALE Exemplu Să se aproximeze soluţia următoarei probleme cu valori iiţiale folosid metoda Euler îmbuătăţită: y (x) = x + y, y(0) =. Se va aproxima soluţia î puctele x = 0. şi x = 0.4 cu precizia ε = 0 3. Rezolvare: Î cazul ostru avem f(x, y) = x + y, x 0 = 0, y 0 =, f(x 0, y 0 ) =. Alegem h = 0. şi găsim: Pasul : y, = y 0 + hf(x 0, y 0 ) =., f(x, y, ) = f(0.,.) =.6 y, = y 0 + f(x 0,y 0 )+f(x,y, ) h =.6, f(x, y, ) = f(0.,.6) =.66 y,3 = y 0 + f(x 0,y 0 )+f(x,y, ) h =.66, f(x, y,3 ) = f(0.,.66) =.656 y,4 = y 0 + f(x 0,y 0 )+f(x,y,3 ) h =.666, f(x, y,4 ) = f(0.,.666) =.6666 y,5 = y 0 + f(x 0,y 0 )+f(x,y,4 ) h =.666, deci y(0.).66. Pasul : y, = y + hf(x, y ) =.599, f(x, y, ) = f(0.4,.599) =.399 y, = y + f(x,y )+f(x,y, ) h =.675, f(x, y, ) = f(0.4,.675) =.475 y,3 = y + f(x,y )+f(x,y, ) h =.6798, f(x, y,3 ) = f(0.4,.6798) =.4798 y,4 = y + f(x,y )+f(x,y,3 ) h =.6806, f(x, y,4 ) = f(0.4,.6806) =.4806 y,5 = y + f(x,y )+f(x,y,4 ) h =.6807, deci y(0.4).680. Calculele aterioare pot fi orgaizate î următorul tabel: x i y i,j f(x i, y i,j ) f(x 0, y 0 ) + f(x i, y i,j ) (f(x 0, y 0 ) + f(x i, y i,j )) h/

59 6.3. METODA RUNGE-KUTTA 53 Î Matlab există fucţia ode3 care implemetează metoda Euler modificată. Fucţia se apelează cu sitaxa [x,y]=ode3( fxy,xspa,y0) ude: ˆ fxy = umele uei fucţii Matlab ce defieşte f(x, y) ˆ xspa = [x0,x,...,xf] valoarea iiţială a lui x şi puctele itermediare î care cerem valorile aproximative ale soluţiei. ˆ Fucţia returează î x,y reţeaua de pucte şi valorile aproximative ale soluţiei. Exemplu xyy + x y = 0, y(0.) =, 0. x. Rescriem ecuaţia sub forma y = y x şi defiim fucţia Matlab fuctio f=fxy(x,y) f=(y^-x^)/(*x*y); şi o apelăm cu sitaxa xy [x,y]=ode3( fxy,0.:0.:,) 6.3 Metoda Ruge-Kutta Metoda foloseşte mărimi itermediare atuci câd se trece de la aproximarea soluţiei y î x la aproximarea soluţiei y + î x +. Formulele de calcul petru aceste mărimi itermediare sut: k = h f(x, y ) k = h f (x + h, y + k k 3 = h f (x + h, y + k k 4 = h f(x + h, y + k 3 ) ) ) ; y + = y + 6 (k + k + k 3 + k 4 ) Exemplu Să se aproximeze soluţia problemei Cauchy y = xy, 0 x 0.5, y(0) =.

60 54 CAPITOLUL 6. ECUAŢII DIFERENŢIALE x y k k k 3 k 4 /6 k i Metoda este implemetată î MATLAB cu ajutorul următoarei proceduri: fuctio [x,y]=mrukt(f,a,b,y0,m) h=(b-a)/m; x=zeros(,m+); y=zeros(,m+); x=a:h:b; y()=y0; for j=:m k=h*feval(f,x(j),y(j)); k=h*feval(f,x(j)+h/,y(j)+k/); k3=h*feval(f,x(j)+h/,y(j)+k/); k4=h*feval(f,x(j)+h,y(j)+k3); y(j+)=y(j)+(k+*k+*k3+k4)/6; ed fuctio f=fxy(x,y) f=*x.*y; ude: ˆ f = fucţia f(x, y) di ecuaţie ˆ [a, b] - itervalul variabilei x ˆ y0 = valoarea di codiţia iiţială ˆ m = umărul puctelor diviziuii ˆ se defiesc parametrii: a=0;b=0.5;y0=;m=5;

61 6.4. METODA LUI ADAMS 55 ˆ Procedura se apelează cu sitaxa [x,y]=mrukt( fxy,a,b,y0,m) ˆ Soluţia exactă î aceleaşi pucte: ye=exp(x.^) 6.4 Metoda lui Adams Metodele precedete (Euler şi Ruge-Kutta) sut metode cu paşi separaţi (adică folosesc petru aproximarea soluţiei îtr-u puct x k doar iformaţiile di puctul precedet x k ). Metoda lui Adams este o metodă cu paşi legaţi, adică petru aproximarea soluţiei îtr-u puct x k se folosesc iformaţii di mai mulţi paşi precedeţi x k, x k, etc. Metodele cu paşi legaţi scurtează timpul de lucru petru aproximarea uei soluţii. Presupuem că se cuosc y 0, y,..., y şi determiăm y +, valoarea aproximativă a soluţiei î x +, cu ajutorul formulei lui Adams: y + = y + h [f + f + 5 f f f ] ude f i = f(x i, y i ), i = 0,,..., iar f, f,... sut difereţele fiite corespuzătoare acestor valori. Cazuri particulare: k = y + = y + h (3f f ) k = y + = y + h (3f 6f + 5f ) k = 3 y + = y + h 4 (55f 59f + 37f 9f 3 ) MATLAB:

62 56 CAPITOLUL 6. ECUAŢII DIFERENŢIALE fuctio A=madams(f,X,Y) =legth(x); if <5,retur,ed; F=zeros(,4); F=feval(f,X(:4),Y(:4)); h=x()-x(); for k=4:- Y(k+)=Y(k)+(h/4)*(F*[ ] ); X(k+)=X()+h*k; ed A=[X Y ]; ˆ X = [x0, x,..., x] reţeaua de pucte ˆ X = [y0, y, y, y3] primele aproximări ale soluţiei; ˆ fxy este umele fişierului ce defieşte fucţia f(x, y); ˆ Fucţia se apelează cu sitaxa A=madams( fxy,x,y) şi returează î matricea A coloaele X şi Y cu valorile şi aproximările pe reţeaua dată Exemplu Să se aplice metoda lui Adams petru aproximarea soluţiei problemei cu valorile iiţiale y = xy, y(0) = î puctul x = 0.6 ştiid că y(0.3) = , y(0.4) =.73508, y(0.5) = Rezolvare: h = 0., k =, f(x, y) = xy. Pri Metoda lui Adams găsim y(0.6) Exerciţii (3f(0.5, y(0.5)) 6f(0.4, y(0.4)) + 5f(0.3, y(0.3))) = Să se aproximeze soluţiile următoarelor probleme Cauchy: (a) y = ( y x ) + y x, x, y() =, = 0 (b) y = si x + e x, 0 x, y(0) = 0, = 0 (c) y = e x y, 0 x, y(0) = 0, = 0 (d) y = ( x ) y + x e x, x, y() = 0, = 0. Să se aproximeze soluţia problemei cu valori iiţiale, cu pasul dat, şi să se reprezite grafic: (a) y = e xy, y(0) = 0.5, 0 < x <, h = 0. + x (b) y = si(xy), y(0) =, 0 < x <, h = 0.

63 6.5. EXERCIŢII 57 (c) y = si ( x y ), y(0) = 0.5, 0 < x <, h = 0. x y l xy (d) y =, y() =, < x <, h = 0. xy (e) y = y x, y(0) = 0.5, 0 x, h = 0. (f) y = y + cos x, y(0) = 0.5, 0 x, h = 0.5 (g) (y + )e y =, y(0) = 0, 0 x, h = 0. (h) y = y +, y() = 0, x, h = 0. x 3. Să se aproximeze soluţiile următoarelor probleme Cauchy: (a) y = x+y, x, y() =, m = 0 (b) y = xy +cos y, 0 x, y(0) =, m = 0 (c) y = 3x + e y, 0 x, y(0) = 0, m = 0 (d) y = x + e x y, 0 x, y(0) =, m = 0

64 58 CAPITOLUL 6. ECUAŢII DIFERENŢIALE

65 Partea II Statistică 59

66

67 Capitolul 7 Statistică descriptivă 7. Prezetarea datelor statistice Statistica descriptivă este ramura statisticii care se ocupă cu prezetarea, orgaizarea şi iterpretarea uei colecţii de date. Descrierea acestor iformaţii se poate face grafic (pri liste, grafice liiare, de distribuţie, etc.), sau pri idicatori statistici (medie, mediaă, abatere, etc.) Aaliza statistică a uui feome îcepe cu statistica formală (culegerea datelor despre feomeul respectiv şi îregistrarea datelor). Datele sut apoi aalizate şi itepretate cu ajutorul statisticii matematice. Defiiţia 7.. Pri populaţie statistică se îţelege orice mulţime care formează obiectul uei aalize statistice. Elemetele uei populaţii statistice se umesc uităţi statistice sau idivizi. Pri caracteristică a uei populaţii statistice îţelegem o trăsătură comuă uităţilor acelei populaţii. Caracteristicile pot fi calitative sau catitative. Caracteristicile catitative pot fi măsurate folosid umere reale. Valoarea umerică a uei caracteristici se umeşte variabilă aleatoare. Reprezetarea grafică realizată petru studierea schimbărilor sau petru compararea variabilelor statistice se umeşte grafic. Reprezetarea cu batoae foloseşte batoae orizotale sau verticale, ale căror lugimi sut chiar valorile variabilei statistice. Batoaele verticale se folosesc de obicei petru caracteristici care variază î timp. Exemplu: durata medie a vieţii î Romaia î perioada 000-0; observăm că această valoare creşte îcepâd cu aul 003, după o scădere esemificativă. 6

68 6 CAPITOLUL 7. STATISTICĂ DESCRIPTIVĂ Aul Durata Reprezetarea cu batoae orizotale prezită variate adaptate, de exemplu reprezetarea pe compoete, fără realizarea uei comparaţii cu îtregul. Aul Urba Rural % 67.9% % 63.% % 54.% % 45.7% % 45.4% % 46.% Graficul liiar pe porţiui este format di segmete de dreaptă ce se obţi pri uirea perechilor de valori corespuzătoare ale uei perechi de variabile diferite. Aul Total imigraţi

69 7.. PREZENTAREA DATELOR STATISTICE 63 Diagrama circulară arată descompuerea uui îtreg î părţile sale compoete. Ele se exprimă ca procete di total şi sut reprezetate pri segmete de cerc, ughiurile la cetru avâd măsuri egale cu procetul corespuzător di Figura arată structura cheltuielilor di domeiul cercetare-dezvoltare, di puctul de vedere al surselor de fiaţare, î Româia î 00. Defiiţia 7.. O variabilă statistică se umeşte discretă dacă u poate lua decât valori izolate î itervalul său de variaţie, şi se umeşte cotiuă dacă poate lua toate valorile posibile î itervalul său de variaţie. ˆ Exemple de variabile discrete: umărul capitolelor uei cărţi, umărul articolelor produse îtr-o fabrică, etc. ˆ Exemple de variabile cotiue: îălţimea uei persoae, ora sosirii uui tre, etc. Exemplu: Cosiderăm u umăr de 40 de agajaţi al căror salariu exprimat î mii de lei este dat î tabelul următor: O descriere a seriei statistice obţiute se realizează pri costruirea uui tabel al frecveţelor, î care observaţiile sut clasificate î fucţie de umărul uităţilor statistice care se află ître aumite limite.

70 64 CAPITOLUL 7. STATISTICĂ DESCRIPTIVĂ Limitele Mijlocul Frecveţa Frecveţa Frecveţa Frecveţa clasei clasei absolută relativă(%) cumulată cumulată absolută relativă(%) [0.8,0.95) [0.95,.) [.,.5) [.5,.4) [.4,.55) [.55,.7) [.7,.85) [.85,) Media aritmetică a limitelor uei clase se umeşte mijlocul sau valoarea cetrală a clasei. Difereţa ditre cea mai mare şi cea mai mică margie se umeşte domeiu sau amplitudie. Frecveţa absolută este dată de umărul uităţilor statistice aflate ître limitele uei clase. Frecveţa relativă este raportul ditre frecveţa absolută şi umărul total al uităţilor statistice. Frecveţa cumulată absolută a uei clase este suma frecveţelor pâă la clasa respectivă. Frecveţa cumulată relativă este raportul ditre frecveţa cumulată absolută şi umărul total al uităţilor statistice. Histograma este o reprezetare cu batoae fără spaţiu ître acestea, avâd pe axa orizotală margiile claselor şi frecveţele pe cea verticală. Poligoul frecveţelor este u grafic liiar pe porţiui, mijloacele claselor fiid reprezetate pe axa orizotală şi frecveţele pe cea verticală. Fiecare mijloc are o frecveţă corespuzătoare marcată pritr-u puct, iar puctele

71 7.. CARACTERISTICI NUMERICE 65 cosecutive se uesc pri segmete de dreaptă, rezultâd o liie poligoală. Poligoul frecveţelor cumulate este u grafic liiar pe porţiui care se realizează similar cu poligoul frecveţelor, sigura schimbare fiid aceea că î locul frecveţelor apar frecveţele cumulate. 7. Caracteristici umerice Datele statistice pot fi descrise cu ajutorul uor idicatori statistici. ses, există două mari categorii: Î acest ˆ măsuri ale tediţei cetrale: media, mediaa, moda, etc. ˆ măsuri ale variaţiei sau împrăştierii: amplitudiea, abaterea, etc. Petru o variabilă discretă, moda este valoarea cu frecveţa maximă. Petru o variabilă cotiuă, clasa cu frecveţa maximă se umeşte clasa modală, iar mijlocul acesteia este moda variabilei. Defiiţia 7.3. Petru cazul discret, mediaa uei mulţimi de date ordoate crescător x x x m este valoarea de mijloc x m+ dacă m este impar, sau media celor două valori de mijloc (x m + x m + ) dacă m este par. Exemple: ˆ mediaa mulţimii {5, 6, 8, 9, } este 8 ˆ mediaa mulţimii {5, 8, 0, 4, 8, 30} este 0+4 =. Defiiţia 7.4. Petru o variabilă cotiuă, prima clasă a cărei frecveţă cumulată asociată este mai mare decât se umeşte clasa mediaei