ANALIZA SISTEMA U VREMENSKOM DOMENU

Transcript

1 ANALIZA SISTEMA U VREMENSKOM DOMENU Poašaje sisema u vremeskom domeu se može posmarai u: prelazom saju: y (), sacioarom saju (ako posoji): y (),, j. y( ) y ()- izlaza veličia sisema y( ) - vredos izlaze veličie u sacioarom saju prelazo saje sacioaro saje sacioaro saje e posoji prelazo saje

2 MODELOVANJE DINAMIČKIH SISTEMA Diamičko poašaje sisema se može opisai pomoću opšeg operaora H koji preslikava ulaze veličie u u izlaze veličie y sisema. Operaor H predsavlja model sisema. H se opisuje pomoću ekog ipa jedačia u zavisosi od vrse sisema koji se modeluje. H Tip jedačia H operaora Fukioala zavisos jedačia Saje sisema algebarske jedačie f ( uy, ) 0 sacioaro saje diferecijale jedačie du dy f(, u,, y, ) 0 d d prelazo saje iegrale jedačie f (, u, ud, y, yd) 0 prelazo saje diferecijalo iegrale du dy f(, u,, ud, y,, yd) 0 jedačie d d prelazo saje

3 POSEBAN SLUČAJ SISTEMA Lieara, sacioara diamički sisem H je sisem liearih diferecijalih jedačia sa kosaim koeficijeima SISO sisem H je opisa jedom liearom diferecijalom jedačiom sa kosaim koeficijeima d y() d y() dy() a a... 0 ( ) a a y d d d m m d u() d u() bm bm... bu 0 ( ) m d d Ulaz u () azivamo pobuda sisema. Izlaz y () azivamo odziv sisema. DIF. JED.

4 KARAKTERISTIKE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE a, a,, a, a ; b, b,, b, b Koeficijei diferecijale jedačie: 0 m m 0 Red modela (sisema): Uslov fizičke osvarljivosi sisema: m Počei uslovi: y y y y () () ( -) (0), (0), (0),, (0) Rešeje diferecijale jedačie: y () y() y() parikularo rešeje yp () - zavisi od oblika pobude u () homogeo rešeje () h a i i dy () d y ( u () 0 a i i a a a a0 0 h p ) - zavisi od oblika karak. jedačie (karakerisiča jedačia)

5 Primer.. Odredii rešeje sledeće diferecijale jedačie (odziv sisema) dy() d ay() u() y(0 ) Y počei uslov: 0 pobuda: u () 0, 0 b e, 0 Rešeje: Odziv sisema se dobija kao zbir homogeog i parikularog rešeja dae diferecijale jedačie: y () y() y () h p

6 PARTIKULARNO REŠENJE ZA > 0 b b u () e y() Ae, 0 p b y () bae, 0 Zameom u diferecijalu jedačiu dobija se dy () p ay () e bae aae e p b b b b p d ba aa A a b b yp () e, 0 a b

7 HOMOGENO REŠENJE > 0 dyh() dyh() u () 0 ayh() 0 d d a 0 a karakerisiči poliom y () Ke Ke h Nepozau kosau K određujemo iz ukupog rešeja i počeog uslova: b a y () yp() yh() e Ke y(0) a b Y 0 K K Y0 ab ab a Y, 0 UKUPNO REŠENJE ZA > 0: y ( ) b a e Y0 e a b a b y p y h

8 PARTIKULARNO REŠENJE ZA < 0 y () 0 P jer ema pobude za < 0 HOMOGENO REŠENJE ZA < 0 iso je kao i za > 0 y () Ke h a Nepozau kosau K određujemo iz ukupog rešeja i počeog uslova: a y() y () y () 0 y () Ke, y(0 ) Y0 P h h K Y 0 UKUPNO REŠENJE ZA < 0: a y () Ye, 0 0

9 ODZIV USLED POČETNIH USLOVA I POBUDE Homogei i parikulari deo odziva y() iz prehodog primera možemo pregrupisai i apisai u drugačijem obliku: y () e Y e y () Ye e e e ab a b a b a b b a 0 0 a b ypu y y Yo p p h y PU - odziv usled počeih uslova, y PO - odziv usled pobude ODZIV = ODZIV USLED POČETNIH USLOVA + ODZIV USLED POBUDE: Odziv usled počeih uslova Odziv usled pobude Y0 0, u() = 0 y () Y0e b u() 0, Y0 = 0 () b a y PO e e e PU a b a

10 Primer. Mehaički sisem a koji deluje sila f() sadrži masu M, oprugu koeficijea elasičosi k i reje koeficijea. Rešeje. sila iercije: f () i d x, M d f sila viskozog reja: () dx d sila elasičosi opruge: fe kx. RAVNOTEŽA: f () f () f f() i d x() dx() M kx() f () d d e Karakerisike sisema: - red izvoda diferecijale jedačie:, m 0 - red sisema: - parameri sisema: a k, a, 0 a M, b 0

11 STANDARDNE (TIPIČNE) ULAZNE VELIČINE H Namea sadardih ulazih veličia: - izvođeje eorijskih rezulaa - poređeje osobia različiih klasa sisema - defiisaje karakerisičih odziva sisema Vrse sadardih ulazih veličia: - jediiča odskoča fukcija - jediiča agiba fukcija - jediiča impulsa fukcija - prosoperiodiča fukcija

12 JEDINIČNA ODSKOČNA FUNKCIJA (HEHISAJDOVA FUNKCIJA) Jediiča odskoča fukcija - Hevisajdova fukcija - h() h () h() Odskoča fukcija Kh() h () 0 0 K 0 K

13 Zakašjea jediiča odskoča fukcija h () 0 Zakašjea odskoča fukcija h () 0 K K

14 Reala odskoča promea Nagla odskoča promea ije moguća ha() -a/ a/ ha () h() a 0 h() Osobie odskoče fukcije: modeluje idelai prekidač. permaeo pobuđuje sisem ako uključivaja.

15 JEDINIČNA NAGIBNA FUNKCIJA Jediiča agiba fukcija r () 0, 0, 0 r () h () f() = 45 o h() 45 o

16 Nagiba fukcija f ah ar Zakašjea agiba fukcija f ar a

17 JEDINIČNA IMPULSNA FUNKCIJA (DELTA FUNKCIJA) Jediiča impulsa fukcija () 0, 0 () d, 0 Za 0, (0), srelica gleda u. Površia ispod krive jediiče impulse fukcije izosi! 0 δ () Impulsa fukcija () 0, 0 K Kδ () () d K, 0 K - površia ispod krive 0

18 Zakašjea jediiča impulsa fukcija ( ) 0, 0 ( ) d, 0 Zakašjea impulsa fukcija ( ) 0, 0 ( ) d K, K 0

19 Reala impulsa fukcija Posmaramo fukciju () prikazau a slici. T Smajivajem paramera T posepeo se dobija ošrija impulsa promea () lim () T 0 T /T δt () T0 /T δt () /T δ T () δ () -T/ T/ -T/ T/ -T/ T/

20 Veza između h, r i δ r () h () () h () dr() h () ( ) d d dh() () r () h( ) d d

21 SINUSNA FUNKCIJA y A A f A T si si si Prigušea siusa fukcija y f T Ae si Ae si Ae si T period oscilacija f učesaos oscilacija [Hz] ( f / T ) - učesaos [rad/s] ( f ) koeficije prigušeja [/s]

22 KARAKTERISTIČNI VREMENSKI ODZIVI Pobuda fukcija Odziv sisema Odskoča fukcija h() Odskoči odziv s() Nagiba fukcija r() Nagibi odziv Impulsa fukcija () Impulsi odziv g() Siusa fukcija Siusi odziv

23 ODZIV SISTEMA NA PROIZVOLJNU POBUDU Posmaramo sisem opisa pomoću impulsog odziva g (). Cilj je da odredimo izlaz sisema y () a pozau pobudu u. () Može se pokaai da važi sledeća veza između ovih veličia: y () u( ) g ( ) d u i iegral kovolucije ulaza sisema () impulsog odziva sisema g () y ( ) u ( ) g ( ) Simbolički zapis iegrala kovolucije Zaključak:. g() se može korisii kao model sisema bez počeih uslova.. g() se može veoma lako eksperimealo dobii.

24 NEKE BITNE OSOBINE SISTEMA SISTEMI BEZ MEMORIJE - STATIČKI SISTEMI Izlaz sisema u proizvoljom reuku zavisi samo od vredosi pobude u om reuku. Primer: u () Ri() R SISTEMI SA MEMORIJOM - DINAMIČKI SISTEMI Izlaz sisema u proizvoljom reuku zavisi od vredosi pobude u om reuku i u prehodim reucima vremea. Primer: uc () i( ) d C

25 LINEARNOST Sisem je lieara ukoliko poseduje osobie adiivosi i pricip superpozicije homogeosi Sisem je adiiva ukoliko je jegov odziv a zbir ulazih sigala jedak zbiru odziva a pojediače ulaze sigale, odoso ako važi H u() y() H u() y() u () u () y () y () H

26 Sisem je homoge ukoliko je jegov odziv a muliplicirau pobudu jedak mulipliciraom odzivu a origialu pobudu: H H u () y () au () ay () Pricip superpozicije = adiivos + homogos H H k, u ( ) y ( ) a u ( ) a y ( ) k k k k k k k k

27 KAUZALNOST FIZIČKA OSTVARLJIVOST SISTEMA Sisem je kauzala ako jegov odziv u ekom reuku vremea zavisi isključivo od pobude koja je a jega delovala do og reuka. Svi reali fizički sisemi su kauzali! Uslov kauzalosi kod diferecijalih jedačia: m Kauzala sisem Nekauzala sisem u() u() y()??? y()

28 STACIONARNOST VREMENSKA INVARIJANTNOST Sisem je sacioara ukoliko je jegov odziv a vremeski pomereu pobudu akođe vremeski pomere u isom izosu u() u() y() y() Odziv sacioarog sisema je eoseljiv a reuak dejsva pobude. Kod sacioarih sisema ajčešće se usvaja da pobuda počije da deluje u reuku = 0.

29 OSNOVNI POKAZATELJI KVALITETA PONAŠANJA SISTEMA U VREMENSKOM DOMENU Pokazaelji su defiisai koriseći odskoči odziv sisema drugog reda: SISTEM: d y() dy() 0 0 a a a y() b u() d d Specijali izbor parameara: a, a, a0 b0 SISTEM: d y() dy() ( ) ( ) y u d d a0 b0 - uzee su jedake vredosi da bi odskoči odziv u sacioarom saju bio jeda y( ) koeficije relaivog prigušeja (0 ) sopsvea eprigušea učesaos (0 )

30 Odskoči odziv sisema drugog reda: h() s () si () Vremeska kosaa sisema: Sacioaro saje : I ači: II ači: e T h, arccos, 0 T e e T 0 e s( ) / j ds () d j si 0 0 s () h () s( ) h( )

31 s()

32 Sacioaro saje odskočog odziva s():

33 VREME KAŠNJENJA T k vreme kašjeja je vreme porebo da se vredos odskočog odziva s promei od 0 do 50% vredosi u sacioarom saju. Sisem II reda: T k 0.7 Vreme kašjeja pokazuje sa kolikim se zakašjejem od reuka dejsva Svara kriva pobude a izlazu sisema pojavljuje primea sigal.

34 VREME USPONA T u vreme uspoa je vreme porebo da se vredos sigala s() promei od 0% do 90% vredosi u sacioarom saju. Sisem II reda: T u..4 Defiiše brziu reagovaja sisema. Većem vremeu uspoa odgovaraju veća izobličeja u preosu sigala.

35 VREME PRESKOKA I PRESKOK T P vreme preskoka je reuak kada sigal s() dosiže svoju maksimalu vredos smax. Sisem II reda: T p % - preskok defiiše se u proceima a sledeći ači: smax s( ) % 00% 00e s( ) Preskok - mera relaive sabilosi sisema, Preskok - karakeriše ačosi rada sisema.

36 VREME SMIRENJA T S vreme smireja je vreme porebo da ampliuda sigala širie oko vredosi s( ), odoso u pojas s( ) ( ). Za se ajčešće usvaja % ili 5% od s( ). Posle iseka vremea smireja prelazi proces se može zaemarii. y uđe u pojas Sisem II reda: e 0.0 TS (%) e 0.05 TS (5%) Vremeska kosaa sisema: T T T S S 4 4T ( za %) 3 3T (za 5%)

37 Za %

38 UČESTANOST (PERIOD) OSCILACIJA Period oscilacija defiiše razmak između dva suseda maksimuma u odskočom odzivu. s () e si Učesaos oscilacija odziva: Perioda oscilacija: Broj perioda okom vremea smireja 4 TS N

39 Primer. Odredii odziv sisema i pokazaelje u vremeskom domeu ako jegova jedačia poašaja izosi: d y () dy() y() u() d d Rešeje. rad / s 0.5, 0.5, T 0.5 s, 3 3 / rad s 0 arccos arccos rad, 3 rad

40 s e h arccos, 0 () si (), 3 s e h 3 3 () si () s( ) 3 e si h( ) s( )

41 .4 Sep Respose. Ampliude Time (secods)

42 T k s, Sa dijagrama T.33 k s T u s, Sa dijagrama T.63 u s T p 3.6 s 3 Sa dijagrama, 3.6 TP 3.6 T p s

43 % 00e 00e 00e 6.3%, Sa dijagrama: % 6.3% 4 TS 4T 4 8s ( za %), Sa dijagrama: 8 TS 8 T S s s N T s 8.0 ( za %) 7.5