2. OPISIVANJE BLOKOVA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA U VREMENSKOM DOMENU [1, 3, 7, 21, 24, 31, 42, 66, 70, 77] 2.1.

Transcript

1 . OPISIVANJE BLOKOVA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA U VREMENSKOM DOMENU [, 3, 7,, 4, 3, 4, 66, 7, 77].. Osovi pojmovi Sisem auomaskog upravljaja (SAU) je skup ehičkih ureñaja i aparaa koji obavljaju odreñeu fukciju, maje ili više auomaizovao, bez iervecije čovjeka kao operaora. Nači fukcioisaja sisema odreñe je opšom amjeom posrojeja i bliže defiisaim uslovima jegovog rada, koji proizilaze iz aalize procesa u posmaraom posrojeju i zahjeva koji se posavljaju a jihov ok. U sasav SAU ulazi objek auomaskog upravljaja, skup ehičkih ureñaja i aparaa koji obavljaju osovu fukciju jedog posrojeja, kao šo je, a primjer, proizvodja odreñeih maerijala ili eergije, raspora maerijala, oblikovaje odreñeih predmea i sl., i sisem upravljaja u užem smislu čija se uloga sasoji u ome da obezbijedi željei ok operacija za racioalo auomasko odvijaje pomeuih osovih procesa. Objeka auomaskog upravljaja i sisem upravljaja pri ome eprekido djeluju jeda a drugi, odreñujući vremesko poašaje SAU u cjelii. Uzajamo djelovaje jedog podsisema a drugi osvaruje se preko kaala za preošeje iformacija o jihovom reuom saju, koje se u skladu s podjelom SAU a objek upravljaja i sisem upravljaja u užem smislu, mogu klasifikovai kao iformacije o saju objeka i upravljačke iformacije, odoso regulacioe isrukcije. Oblikovaje i preošeje iformacija se realizuje posebim aparaima koji ulaze u sasav SAU, a jihov ok se orgaizuje u skladu sa fukcioisajem i srukurom cjelokupog sisema. Osovi zadaak projekovaja SAU se zapravo i sasoji u orgaizovaju oka iformacija i izboru srukure sisema, ako da sisem ispujava propisai algoriam fukcioisaja. Pod algorimom fukcioisaja se podrazumjeva odreñei redosljed operacija u jihovom eprekidom vremeskom oku, odoso odreñeo vremesko poašaje sisema. Najčešće je ok iformacija u jedom SAU orgaizova ako, da se oe kreću po zavoreim kourama povrae sprege objek - sisem upravljaja, prema šemi koja je prikazaa a slici.3. Mogući su meñuim i drugi ačii orgaizovaja oka iformacija, koji vode ka drukčijim srukurama SAU. Šemaskim ačiom predsavljaja SAU uvode se u razmaraje blokovi SAU (a šemi predsavljei kvadraima ili pravougaoicima) meñusobo povezai liijama kreaja oka iformacija. Bliže osobie pojediih blokova zavise od iza fakora: izbora dijelova procesa za koje se smara da su obuhvaćei pojediim blokom, izborom skupa iformacija a jihovom ulazu i izlazu, mogućošću jihovog raščlajivaja a veći broj blokova maje složeosi ili koceisaja u maji broj složeih blokova i sl. Pri ome se običo zaemaruje kokrea fizikala priroda aparaa koji realizuju posmarai dio procesa, pa čak i iformacioih sigala a ulazu i izlazu. Kod ovakvog ačia predsavljaja česo se

2 . Opisivaje blokova SAU u vremeskom domeu dogaña akva dekompozicija procesa, da se pojedii dijelovi iače kompakih ehičkih aparaa koji ih realizuju, añu uuar različiih blokova srukure šeme. Prema ome, jeda blok u srukuri SAU običo e predsavlja i ehičke aparae koji ulaze u sasav sisema i sam proces u svim jegovim maifesacijama, već jedosavo oaj skup apsrahovaih osobia procesa koji se ogleda u rasformisaju vremeskog oka iformacija samim procesom. Na ovaj ači, razlika izmeñu pojediih podsisema SAU koja je uvedea klasifikacijom sisema a objek i sisem upravljaja, posaje sasvim uslova. Pravila operisaja blokovima prilikom izvoñeja srukurih rasformacija posaju opša i e zavise od uloge koju pojedii blokovi imaju u podjeli sisema. Ipak, reba apomeui da prilikom maipulisaja sa srukurim šemama i blokovima, običo se ima u vidu i širi skup osobia samog procesa i ehičkih aparaa koji ga realizuju, iako ovi isu obuhvaćei samim formalizmom operisaja blokovima i srukurama. Na razim eapama izvoñeja srukurih rasformacija moraju se uzimai u obzir i oe osobie procesa koje e ulaze direko u formalizam izvoñeja srukurih rasformacija. Vješia u rasformisaju srukurih šema zavisi od pozavaja opših uslova rada SAU, fukcija koje pojedii blokovi imaju u jemu i aravo iskusva. Neophoda preduslov za uspješu uporebu srukurih šema predsavlja pozavaje meoda za opisivaje blokova SAU, šo i jese predme ovog razmaraja... Blokovi u srukuroj šemi sisema auomaskog upravljaja Pod blokom srukure šeme SAU običo se podrazumjeva proizvoljo odabra izolovai podsisem SAU, proizvolje složeosi, u kome zahvaljujući vremeskim procesima koji se u jemu dešavaju, dolazi do rasformacije fizikalih veličia koje su odabrae kao pokazaelji oka odvijaja procesa. Ove fizikale veličie, iformacije o procesu, se jedosavo azivaju varijablama. Njihova uzajama povezaos u procesu običo ima karaker deermiisičkih uzročo-posljedičih veza, koje se mogu izrazii u ekom maemaičkom obliku. Maemaičke relacije kojima su vezae pojedie varijable zavise od kokreo posmaraog podsisema. Kosae koje pri om ulaze u relacije običo se azivaju paramerima sisema. Broj varijabli koje dovoljo iscrpo opisuju poašaje posmaraog podsisema redovo je veći od broja fukcioalih veza koje je moguće usposavii u obliku maemaičkih relacija. Drugim rječima, maemaički model jedog izolovaog bloka SAU redovo sadrži veći broj epozaih ego jedačia. Ako se predposavi da su y, y,..., y N varijable koje opisuju poašaje jedog bloka SAU, e da je moguće a osovu fizikalih zakoa kojima je podvrgu posmarai dio procesa posavii relacija meñu jima, pri čemu je < N : F ( y, y,..., y ) N =... (.) F y, y,..., y ( ) N = 4

3 Lieari sisemi auomaskog upravljaja Tada je, u opšem slučaju moguće proizvoljo odabrai m=n- varijabli iz skupa y k, k=,,...,n, kojima je moguće dozvolii da se proizvoljo mijejaju. Da bi se razlikovale, ove varijable se mogu obilježii kao u, u,..., u m. Preosale varijable se mogu obilježii kao x, x,..., x. Ukupa broj varijabli pri ome osaje m+=n. Iz relacije (.) je u pricipu moguće eksplicio izračuai varijable x i, i=,,..., u fukciji varijabli u j, j=,,...,m: x = ( u,u,..., m ) ( u,u,..., ) f u f um x =... (.) x = f u,u,..., u ( ) m Kod predsavljaja SAU pojediim blokovima uobičajeo je da se varijable u j, j=,,...,m azivaju ulazima, a varijable x i, i=,,..., izlazima. Treba apomeui da se i varijable x i i varijable u ormalo mijejaju u vremeu i predsavljaju vremeske fukcije u u ( ) j i xi = xi ( ). Šemaski predsavlje jeda blok SAU u opšem slučaju izgleda kao a slici.. j = j u () u () u () m x () x () x () Slika.. Ulazi i izlazi bloka SAU Skup izlaza x i ( ) podsisema SAU, koji je predsavlje blokom a slici., opisuje saje posmaraog podsisema. Ako je kao podsisem odabra objek upravljaja, ada skup x i ( ) opisuje saje objeka upravljaja. Česo se varijable x i ( ), i=,,..., shvaaju kao kompoee jedog vekora u dimezioalom prosoru, a sam vekor { x ( ), x ( ),...,x ( } T x = se aziva vekorom saja posmaraog sisema. ) Broj kombiacija a osovu kojih je moguće od eklasifikovaih varijabli y, y,..., odabrai izlaza x, x,..., x izosi očigledo C N = N! / (!( N )!) = N! /(! m! ). Preosale varijable ada predsavljaju ulaze u posmarai podsisem. Jaso je da broj ovakvih kombiacija, pa prema ome i broj ačia a koji se pomoću različiih blokova može predsavii jeda isi podsisem SAU, aglo rase s ukupim brojem varijabli u posmaraom podsisemu. y N 5

4 . Opisivaje blokova SAU u vremeskom domeu Običo se dešava da isu sve izlaze varijable x i ( ), i=,,..., ehološki ieresae za korolu i upravljaje. Običo su o u kokreom objeku ili podsisemu ajviše jeda ili dvije varijable. Tako, osale e moraju i bii predsavljee a šemi posmaraog bloka SAU. Neka se predposavi da je izmeñu svih x i ( ) samo jeda ieresaa sa saoviša fukcioisaja posmaraog podsisema i ozači kao = x ( ). Sada šema posmaraog x bloka SAU izgleda kao a slici.. Sve osale izlaze varijable x i ( ), izuzev posmaae, su ovdje, uslovo kazao, aoime uuar bloka koji se posmara. u () u () x () u () m Slika.. Blok SAU sa više ulaza i ieresaim izlazom Naravo, fukcioale veze meñu jima su pri ome osale očuvae. Dalje pojedosavljeje se može izvesi a osovu čijeice da isu sve ulaze varijable u, j=,,...,m, pogode za svrhe upravljaja. Meñu jima se alaze eke, a česo samo jeda kojom je moguće amjero djelovai a posmarai dio sisema. Koja će o bii zavisi od fukcioalih osobia objeka upravljaja i osalih blokova u sisemu. Na aj ači od svih ulazih varijabli običo samo jeda može predsavljai zv. maipulaivu varijablu. Osale ada jedosavo predsavljaju smeje a posmarai podsisem koji isia djeluje a izlaze, i odabrai izlaz meñu jima, ali čije djelovaje može bii kompezirao odgovarajućim korekcijama preko maipulaive varijable. Šema posmaraog bloka SAU se sada svodi a oblik koji je da a slici.3, gdje su ulazi ipa smeji, u cilju razlikovaja, obilježei kao f f ( ), j=,,...,k (broj smeji može bii i veći od k, zahvaljujući čijeici da od j = j samog počeka ije moguće predvidjei sve moguće varijable u sisemu). j f () f () f () k u () x () Slika.3. Blok SAU s jedim ulazom i jedim izlazom 6

5 Lieari sisemi auomaskog upravljaja.3. Lieari i elieari sisemi i blokovi sisema auomaskog upravljaja Posoji mogo meoda za aalizu poašaja blokova SAU. Najjedosavije su oe koje se odose a zv. lieare siseme. Iako većia realih procesa, srogo uzevši, može bii prikazaa jedio blokovima koji predsavljaju elieare siseme, mogi od jih se s razumim sepeom aprokisimacije daju svesi a odgovarajući lieari sisem, čime je aaliza zao olakšaa. O uslovima kad je ovakva jeda aproksimacija dozvoljea bii će govora kasije. Prije svega, porebo je apomeui osovu osobiu liearih sisema koja se odosi a jihovo poašaje u skladu sa zakoom superpozicije. Ukrako formulisao, ovaj zako ima za posljedicu da je posmarai izlaz sisema ( ), kad a sisem simulao djeluju maipulaiva varijabla u ( ) i smeje ( ), j=,,..., jedak sumi sigala a isom izlazu kad a sisem pojediačo i ezaviso djeluje bilo koji od posmaraih ulaza, dok su osali odsui i jedosavo se e uzimaju u obzir. Za lieara sisem je dakle: x ( ) = xu ( ) + x f ( ) + x ( ) +L (.3) f Aaliza poašaja liearog bloka se svodi a odvojeu aalizu siuacija predsavljeih blok šemama a slici.4.a i.4.b, odoso a aalizu blokova sa po jedim ulazom i jedim izlazom. f j x u () x () f j () x () j a) b) Slika.4.. Kompoee odziva liearih sisema a orgaizovau pobudu (a) i ma koje drugo dejsvo (b) Kako izmeñu sigala koji predsavljaju ulaze ema pricipijelih razlika, aaliza jedog liearog bloka SAU se uvijek svodi a usposavljaje jede odreñee relacije izmeñu ulaza i izlaza, a jedio se oblik e relacije mijeja za svaki pojedii ulaz, šo će bii još jasije kad se uvedu preose fukcije blokova SAU. Moguće je akoñe, složei sigal, koji se pojavljuje a jedom od ulaza bloka SAU, razložii u jegove kompoee: u ( ) = u ( ) + u ( ) + L + u ( ) +L (.4) k Zahvaljajući pricipu superpozicije sigal x ( ), koji se pojavljuje a izlazu liearog bloka kao posljedica djelovaja složeog sigala a ulazu, jedak je sumi sigala a isom izlazu koji se dobiju kad a posmaraom ulazu djeluju pojedie kompoee složeog ulazog sigala: x ( ) = x ( ) + x ( ) + L + x ( ) +L (.5) k 7

6 . Opisivaje blokova SAU u vremeskom domeu gdje je ( ) odziv sisema a ulazi sigal ( ), k=,,... Takoñe je x ( ) = x ( ) x k ako je u ( ) = u ( ), gdje je α proizvolja kosaa. α k u k α Ovo omogućava da se aaliza odziva blokova SAU vrši za relaivo jedosave sadarde oblike ulazog sigala, a odziv sisema u složeijim slučajevima dobije superpozicijom pojediačih odziva. Opis poašaja jedog bloka SAU se za odabrai ulaz i odabrai izlaz dobija kao odreñea fukcioala veza izmeñu izlaza i ulaza: ( x( ),u( )) F = (.6) gdje su radi jedosavosi ispušei ideksi. Blokovi SAU ajčešće predsavljaju zv. diamički sisem, a o zači da relacija (.6) ije običa već diferecijala jedačia odreñeog reda po x ( ). U specijalom slučaju razlagaje složeog vremeskog sigala u jegove kompoee se može izvesi a jeda od sljedećih ačia: razlagajem u Taylorov red, razlagajem u Fouriorov red, predsavljajem pomoću Fourierovog iegrala i predsavljajem pomoću Duhamelovog iegrala. Kada jeda blok SAU predsavlja beziercioi lieari sisem veza izmeñu x ( ) i u ( ) se svodi a jedosavu relaciju: x ( ) = K u( ) (.7) gdje K predsavlja vz. koeficije pojačaja posmaraog boka. Nešo kasije će se vidjei da je i u slučaju opše diamičke veze ulaza i izlaza akoñe moguće defiisai koeficije pojačaja. Već je pomeuo da ako posmarai blok ima više izlaza, od kojih su svi osim posmaraog osali uuar bloka, fukcioale veze izmeñu jih i ulaza osaju očuvae. To zači da se rasčlajivaje bloka a veći broj jedosavijih blokova svaki od ovih izlaza x i ( ) može pojavii kao jedisvei izlaz jedosavih blokova. Neki od izlaza predsavlja će ada ulaze u druge jedosave blokove, okrivajući a aj ači broje povrae sprege uuar prvobio posmaraog bloka. Ovo rasčlajivaje može ići sve do elemearih blokova, izmeñu čijih ulaza i izlaza se mogu usposoavii relacije u obliku jeosavih diferecijalih jedačia prvog reda: dx = α x + α x + L + α x + u( ) dx = α x + αx + L + α x... (.8) dx = α x + αx + L + αx k 8

7 Lieari sisemi auomaskog upravljaja Diferecirajem ovog sisema diferecijalih jedačia (-) pua redom i elimiisajem varijabli x, x,, x moguće je dobii jedu diferecijalu jedačiu og reda po varijabli x ( ) : gdje kosae d x d x dx a + a + L + a + ax d u d u du = b + b + L + b b u + (.9) α ij, i,j=,,...,, predsavljaju eke paramere sisema, a kosae a i i jihove kombiacije, j. poovo eke paramere sisema. Sada x = x ( ) može bii uzeo ako da bude upravo odabrai izlaz sisema x ( ) = x ( ). Svoñeje sisema od diferecijalih jedačia prvog reda (.8), a jedu diferecijalu jedačiu og reda (.9), ekvivaleo je poovom grupisaju pojediih elemearih blokova u prvobii složei blok, slika.5. = b j x k u() x () _ x () x Slika.5. Složei blok upravljaja Relacija (.9) u opšem slučaju predsavlja diferecialu jedačiu og reda po x ( ), odoso (-)-og reda po u ( ) : a L d x d x + a + + a dx + a x = d u d u du = b + b + L + b b u + (.) gdje je, zbog oga šo se sad posmara samo jeda izlaz, ispuše ideks uz x ( ). Problem diamičkog poašaja posmaraog boka SAU svodi se a rješavaje diferecijale jedačie (.) za različie ulaze sigale u ( ) i različie počee uslove. U vezi s počeim uslovima, u aalizi diamičkog poašaja bokova SAU se običo preposavlja da 9

8 . Opisivaje blokova SAU u vremeskom domeu se ispiivai blok alazi u saju mirovaja ili ravoeže, zv. sacioarom saju, sve do momea u kome asaje eki poremećaj u obliku ulazog sigala. O ovome će još bii dealjijih razmaraja kada se apravi pregled sadardih ulazih sigala. Sacioaro saje odgovara siuaciji u kojoj, u ekom koačom ili beskoačo dugom vremeskom iervalu, ulaza i izlaza varijabla zadržavaju eke svoje kosae vrijedosi. Ukoliko se oe mijejaju u vremeu, ada se kaže da je asupio prelazi režim. U ajvećem broju slučajeva blokovi SAU u prelazim režimima ispoljavaju kreaje iz jedog u drugo sacioaro saje, šo zači da vremeski ok promjee izlaze varijable može izgledai kao a dijagramu prikazaom a slici.6. NOVO STACIONARNO STANJE x() STARO STACIONARNO STANJE MOMENAT NASTUPANJA POREMEĆAJA NA ULAZU Slika.6. Prelaz sisema u ovo sacioaro saje Dok raje sacioaro saje ema ikakvih promjea varijabli, šo zači da je brzia jihovih promjea u ovim sajima jedaka uli: dx du =, = Ali sada su i svi viši izvodi ovih varijabli jedaki uli, pa se diferecijala jedačia (.) za sacioari režim svodi a: a x ( ) = b u ( ) (.) s s gdje ideks s ozačava sacioaro saje i čijeicu da su fukcije x s ( ) i u s ( ) kosae u vremeskom iervalu u kome je asupio sacioari režim. Iz (.) je očevido da je x s ( ) lieara fukcija od u s ( ) : b xs ( ) = u s ( ) (.`) a i da u odgovarajućem dijagramu predsavlja pravac kroz koordiai počeak s agibom b / a, slika.7.

9 Lieari sisemi auomaskog upravljaja x xs ξ η u s u Slika.7. Saička karakerisika bloka Dijagram a slici.7 se aziva saičkom karakerisikom bloka, a količik b / a, kako će se o vidjei kasije, ima karaker jegovog kojeficijea pojačaja. Liearos saičke karakerisike je posljedica liearosi sisema, odoso u krajjoj liiji preposavke o ispujeosi pricipa superpozicije. Smješaj koordiaog počeka a dijagramu sa slike.7 je proizvolja i zavisi od izbora refereih vrijedosi u odosu a koje se mjere i račuaju fizikale veličie u ( ) i x ( ), odoso od izabraog sisema jediica. Nagib karakerisike očigledo zavisi od izabraog sisema jediica i usvojee razmjere a koordiaim osama u ovakvom ačiu predsavljaja. Na dijagramu sa slike.7 koordiai sisem izvuče puim liijama odgovara ekim refereim vrijedosima odgovarajućih fizikalih veličia u daom sisemu jediica. Neka je, a primjer, u ( ) prook [ m / s] 3, a x ( ) emperaura [ C] u ekom realom objeku SAU, koji je predsavlje posmaraim blokom. Za referee 3 vrijedosi se ada mogu odabrai uli prook [ m / s] i ula emperaura [ C], a zaim sve promjee račuai u odosu a ove referee ivoe. Moguće je meñuim, izvršii raslaciju koordiaog sisema u eku drugu ačku ( u, x ) i sve promjee račuai u odosu a ovi koordiai sisem. Izbor ačke (, ) u x je pri ome proizvolja, ali je uobičajo i zgodo u aalizi diamičkog poašaja blokova SAU, da se ishodiše ovog koordiaog sisema smjesi u ačku koja odgovara sacioarom saju sisema prije asupaja poremećaja i prelazog režima ( u s, x s ), pri čemu je a slici.7 crkao predsavlje ovi koordiai sisem. Ova raslacija koordiaa odgovara smjei promjeljivih: x( ) = xs + ξ( ), u( ) = u s + η( ) (.) gdje su ξ ( ) i η ( ) vremeski promjeljive varijacije u odosu a izabrao sacioaro saje. Izvodi varijabli x ( ) i u ( ) su jedaki izvodima odgovarajućih varijacija, jer su po preposavci x s i u s kosae veličie. Tako diferecijala jedačia (.) prelazi u:

10 . Opisivaje blokova SAU u vremeskom domeu d ξ d ξ a + a + L + a dξ + a xs = ( + ξ ) = d η d η dη b + b ( + η) L b b us (.3) Zbog (.) odgovarajući člaovi u zagradama a ljevoj i desoj srai se meñusobo poišavaju i osaje samo: d ξ d ξ a + a + L + a dξ + a ξ = d η d η dη = b + b + L + b b η + (.4) gdje su, zbog ačia izbora koordiaog počeka, svi počei uslovi očigldo jedaki uli. Prije ego šo se preñe a posupke rješavaja diferecijale jedačie (.4) porebo je provesi diskusiju o fizikaloj prirodi varijabli koje u joj figurišu. Varijable ξ ( ) i η ( ) ose u sebi odgovarajuće fizikale dimezije [ ξ ( )] = [ x( )], [ ( )] = [ u( )] η. η ( ) može, a primjer, imai dimeziju volumeog prooka [ ( )] m / s ( [ ξ ( )] = C, ili pr., η ( ) može bii mehaički pomjeraj [ η ( )] = mm, a ( ) [ ξ ( )] = ma i sl. Neka je, u opšem slučaju, dimezija varijable η ( ), [ η ( )] = U dimezije varijable ( ) Us id. ξ, [ )] X 3 η =, a ξ ) emperaure ξ ( =. Dimezije izvoda dξ / i dη / su ada respekivo, drugi izvodi d ξ / i d η / imaju dimezije Da bi čiava jedačia imala saglase dimezije jaso je da koeficijei Xs ξ sruja doso Xs a i, i=,,..., i, a i Us, j=,,...,- moraju i sami imai odgovarajuće dimezije koje svaki čla u diferecijaloj jedačii (.4) svode a isi dimezioali izraz, koji iače može bii proizvoljo izabra. 3 Ako je, pr. [ ξ ( )] = C, a [ η ( )] = m / s i odluči se da čiava jedačia osi dimeziju [ ξ ( )], očigledo mora bii: [ a ] = ; [ a ] = s ; [ a ] = s ;...; [ ] s [ b ] = Cs / m ; [ b ] = Cs / m ;...; [ ] Cs / m b j, a = i b =. Već je apomeuo da vremeski oblik sigala u srukuroj šemi jedog bloka SAU zavisi isključivo od diamičkh osobia posmaraog bloka, a e od kokree fizikale prirode sigala. Da bi se mogli uporeñivai različii blokovi po jihovim vremeskim odzivima, zgodo je izvršii svoñeje diferecijale jedačie (.4) a bezdimezioali oblik. Da bi se ovo posiglo, o se čiava jedačia (.4) mora podijelii s [ ξ ] [ η] izlaze i ulaze varijable. Tada (.4) prelazi u:, j. proizvodom dimezioih fakora

11 a d d a ξ + a ξ + a L + [ η] [ ξ ] [ η] [ ξ ] [ η] [ ξ ] [ η] [ ξ ] b = η + b Lieari sisemi auomaskog upravljaja d ξ + d d b ξ = η + b d η + + η L (.5) [ ξ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] η ξ η ξ η ξ [ η] ili, uvedu li se ozake ξ ( ) = ξ( ) / [ ξ ], η ) η( ) / [ η] vrijedosi koeficijea a a /[ η], i=,,...,, b b /[ ξ ] i = d ξ d ξ a + a + L + a i dξ + a ( = i odgovarajuće ozake za ove, j=,,...,-, u: j = ξ = d η d η dη = b + b + L + b b η + (.6) Varijable ξ ( ) i ( ) η predsavljaju bezdimezioale varijable, [ ] j = = ξ, [ η ], a ovi koeficijei imaju dimezije: [ a ] [ ] = η ; [ a ] [ ] = s η ;...; [ a ] [ ] = s η i [ b ] [ ] = [ b ] [ ] = s ξ ;...; [ ] b [ ] = s ξ. Tako u prehodom primjeru gdje se imalo [ ] = C [ ] = m η / s sada se dobija: [ a ] = s / m ; [ a ] = s / m ;...; [ a ] = s / m [ b ] / C ; [ b ] s / C ;...; [ b ] = s / C = = odgovara diferecijaloj jedačii (.4) sada glasi: odoso: a ξ = η b ξ ; ξ i i. Jedačia sacioarog saja koja b ξ = a η (.5`) Količik b / a je akoñe bezdimezioala. Ugao agiba saičke karakerisike je ovim popuo odreñe i e zavisi više od izbora razmjere a koordiaim osama. Prilikom kosrukcije saičkih karakerisika reba uzei α = arcg ( b / a ), uzimajući u obzir samo umeričke vrijedosi odgovarajućih koeficijeaa, slika.8. Nekad je koriso izvrši zv. ormalizaciju varijabli u diferecijaloj jedačii (.4). ξ η, (.4) se ada dijeli proizvodom Umjeso dijeleja dimezioim fakorima [ ] [ ] apsoluih vrijedosi maksimalih mogućih varijacija ovim posupkom poovo svodi a bezdimezioali oblik: ξ η max max. Jedačia (.4) se 3

12 . Opisivaje blokova SAU u vremeskom domeu a η + max η a max d ξ ξ ξ ξ max max = a + η b ξ max max d d ξ ξ η η max max a + L + η b + ξ max d max d η η b d η b + + η L (.7) ξ max η max ξ max η max + b' - _ ξ ξ ξ max max + + α a' _ η Slika.8. Kosrukcija saičke karakerisike ) ) ili uvedu li se ozake ξ = ξ / ξ i η = η / η za ormalizovae varijable i ove max max vrijedosi koeficijeaa a = a η, i=,,..., i b = b ξ, j=,,...,-, a: i i / max j j / ) ) ) d ξ d ξ dξ ) a + a + L+ a + ξ = a ) ) ) d η d η dη ) = b + b + L+ b b η + (.8) Koeficijei a η, i=,,..., i b ξ, j=,,...,- imaju isu dimeziju i = ai / kao i odgovarajući odreñe iz relacije: max j = b j / max a i i b j, ali druge umeričke vrijedosi. Njihov odos može bii max ai ai / = a a / η i i [ η] max η = max = η [ η] max, b j b j b j / = b / ξ j [ ξ ] max ξ = max = ξ [ ξ ] max (.9) Jedačia sacioarog saja koja izlazi iz (.8) glasi: 4

13 Lieari sisemi auomaskog upravljaja ) ) a ξ = η (.) b Iz jedačie sacioarog saja (.5`) posebo za maksimale vrijedosi se dobija: a ξ max = b η max Ako se posljedja jedačia podjeli s (.), ada se ima: odoso: a ξ a ξ b = b η ) η max max ) ili: odakle je: odoso: ξmax ηmax ) η = ξ max ) (.) ξ η max ) ηmax ξ ξ = ξ ) ξ ξ = η max max max η ξ max max max ) η η max ) η ) ) ξ = ± η (.) Jedačia (.) predsavlja jedačiu sacioarog saja u ormalizovaim varijablama. Zak plus ili mius zavisi od oga da li varijabla ξ ) rase ili opada s η ). Iz samog ačia formiraja ovih varijabli je jaso da su maksimale vrijedosi jihovih apsoluih vrijedosi jedake jediici: ξ max = η max = Ove varijable su u iervalu promjea (, + ) odakle izlazi objašjeje za uvoñeje jihovog aziva. Saička karakerisika posmaraog bloka SAU u ormalizovaim varijablama popuo leži u kvadrau sa sraama dužie, slika.9. 5

14 . Opisivaje blokova SAU u vremeskom domeu + _ ξ _ + _ η _ Slika.9. Saička karakerisika bloka SAU u ormaliziraim koordiaama Posupkom ormalizacije svi koeficijei pojačaja daog bloka posaju jedaki jediici, j. gube se iz razmaraja. Posavlja se piaje kako uopše reba ierpreirai saičke karakerisike a slikama.7,.8 i.9. Svakoj vrijedosi varijabli u ( ), η ( ), η ( ) i ) η ( ) odgovara ačo odreñea ačka a odgovarajućim karakerisikama, pa prema ome i ačo odreñee vrijedosi x ( ), ξ ( ), ξ ( ) i ) ξ ( ). Ne smije se zaboravii da saičke karakerisike važe samo za sacioara saja. To zači da ukoliko je diamičko poašaje jedog bloka SAU akvo da prelazi režim poslije izvjesog vremea vodi ka ekom odreñeom sacioarom saju, agla promjea ulaze varijable vodi ka vrijedosi izlaze varijable odreñeoj ačkom a saičkoj karakerisici. Mogu se zamislii dvije ačke, jeda a apcisi a druga a ordiai saičke karakerisike. Ako se oa a apcisi priudo posavi u eki odreñei položaj ada će ačka a ordiai počei da se kreće po svojoj osi. Ako posoji ovo sacioaro saje, oa će se poslije dovoljo dugog vremea u kome a različie moguće ačie klizi po svojoj osi, zausavii upravo u položaju odreñeom saičkom karakerisikom. Nači a koji se ova ačka kreće u prelazom režimu zavisi od diamičkih osobia posmaraog bloka SAU. Iz saičkih karakrisika ije moguće sagledai ok prelazog režima. U izvjesim slučajevima se može dogodii da do sacioarog saja e dolazi i ačka a ordiai asavlja da se kreće bez zausavljaja. Blokovi SAU koji imaju osobiu da se sacioaro saje obavezo usposavlja, azivaju se saičkim blokovima. Prelazi režimi u jima su sabili, pa su i sami blokovi sabili. Blokovi kod kojih e dolazi do sacioarog saja poslije asaka poremećaja, pa ačka a ordiai jihove saičke karakerisike asavi da se kreće u beskoačos ako izvedeog poremećaja, se azivaju asaičkim blokovima. Koačo, moguć je slučaj da ačka a ordiai ako asalog poremećaja eprekido osciluje oko ekog položaja. Ovakvi blokovi se azivaju oscilaorim. Asaički i oscilaori blokovi imaju esabila prelazi režim, pa su i sami blokovi esabili. Jeda specijali slučaj sabilih saičkih blokova 6

15 Lieari sisemi auomaskog upravljaja predsavljaju zv. beziercioi blokovi. Kod jih se asakom poremećaja ačka a ordiai saičke karakerisike reuo preosi u ačku odreñeu karakerisikom, odoso ovim sacioarim sajem. Kod jih u prelazim režimima izlaz vjero prai ulaz bez iercije i kašjeja, u svakom reuku vremea. Ako se radi jedosavosi pisaja, bilo u jedačii (.4), (.6) ili (.8) poovo uvedu sare ozake x ( ) i u ( ) za izlazu i ulazu varijablu, podrazumjevajući da oe zače varijacije od sacioarog saja ξ ( ) i η ( ), ili bezdimezioale varijable ) ξ ( ) i ) η ( ), poovo se dobija diferecijala jedačia formalo ideičog oblika kao (.), u kojoj su dimezije, relaivi ivoi i umeričke vrijedosi različii. Treba srogo imai u vidu da je ada podudaros izmeñu ovih jedačia samo formala, iače dolazi do kofuzije u primjeama i aročio kod ierpreacije rezulaa. Nešo kasije će ovo bii ilusrovao a primjerima. U lierauri o eoriji auomaskog upravljaja se običo od samog počeka korisi diferecijala jedačia oblika (.), bez dovoljo aglašavaja koji sisem varijabli oa predsavlja. Najčešće se, meñuim podrazumjeva da oa predsavlja jedačiu u varijacijama od sacioarog saja, dakle jedačia (.4). Kod uporeñivaja diamičkih osobia različiih blokova prećuo se meñuim podrazumjeva sisem varijabli ξ ( ) i η ( ), dakle jedačia (.6), ili ) ξ ( ) i ( ) i jedačia (.8), šo i uosi zabue. Zbog izuzee važosi u primjeama eorije ovim piajima je posvećea ešo duža diskusija. Uvoñejem varijacija u odosu a polazo sacioaro saje, kao šo se vidi, zapravo se vrši raslacija koordiaog sisema, ako da su dobijee simeriče varijacije ulaze i izlaze varijable oko odabraog sacioarog saja. ξ ( ) i η ( ) mogu bii i poziive i egaive veličie, bez obzira šo je priroda origialih fizikalih veličia akva da su oe pr. isključivo poziive. η ) Preposavka o liearosi blokova SAU predsavlja uvijek maju ili veću idealizaciju. Jeda od jeih posljedica je da varijable ičim isu ograičee. Lieara aaliza u pricipu dopuša da oe mogu da prekomjero rasu, šo se kao šo je pozao, e dešava u realim sisemima u kojima svaka fizikala varijabla ima svoj prag zasićeja. Saičke karakerisike realih sisema se ikad e proežu u beskoačos, već običo imaju oblik kao a dijagramu koji je da a slici.. Slika.. Saička karakerisika realih sisema 7

16 . Opisivaje blokova SAU u vremeskom domeu Prvi i osovi zadaak u projekovaju liearih SAU se sasoji u ome da se, prilikom proračua saičkih karakerisika, obezbijedi da se ulaza i izlaza varijabla uvijek añu u oblasi u kojoj je saička karakerisika s dovoljom ačošću lieara. Ukoliko ovaj uslov e može bii ispuje, mora se prisupii drugim, eliearim meodama aalize sisema i blokova SAU, koje mogu bii i vrlo komplikovae. Ova piaja meñuim, padaju va domea razmaraja a ovom mjesu..4. Vremeski odzivi blokova sisema auomaskog upravljaja Neka je diamičko poašaje jedog složeog bloka SAU opisao diferecijalom jedačiom, koja je daa u opšem obliku: 8 a L d x d x + a + + a m m = dx + a x = d u d u du b + b + L + bm + bmu (.3) m m u kojoj se, prema diskusiji u prehodom podpoglavlju, ulaza varijabla u ( ) i izlaza varijabla x ( ) može iepreirai bilo kao ξ ( ) i η ( ) iz jedačie (.4), bilo kao ξ ( ) i η ( ) iz jedačia (.6). Za sada se eće korisii ormalizovae varijable ) ξ ( ) i ) η ( ). Neka su svi počei uslovi koji pripadaju jedačii (.3) jedaki uli, j.: ( x( ) = x( & ) = && x( ) = L = x ) ( ) = ( m u( ) = u( & ) = u( && ) = L = u ) ( ) = (.4) gdje su uvedee ozake: dx x & = ; du u & = ; d x & x = ;..., ( ) d x x = ; m ( ) d x x = d u u & = ;...; ( m ) d u u = ; ( m) d u u = (.5) m m U jedoj do kraja srogoj aalizi reba pravii razliku izmeñu počeih uslova u reuku = i reuku = +. Počei uslovi za sigale x ( ) i u ( ), kako su dai, mogu se očigledo odosii samo a reuak =, j. eposredo prije asaka poremećaja a ulazu. U proivom prelazi režim e bi mogao da asupi. Vremeski oblik odziva posmaraog bloka SAU, j. vremeski oblik izlazog sigala ) ( x u prelazom režimu ada zavisi kako od uurašjih diamičkih osobia samog bloka, koje odreñuju veličiu koeficijeaa i red diferecijale jedačie (.3), ako i od kokreog m

17 Lieari sisemi auomaskog upravljaja vremeskog oblika ulazog sigala u ( ) koji izaziva odreñei prelazi režim. Kod ulazog sigala u ( ), koji se mijeja a proizvolja ači, mogu se proučavai diamičke osobie posmarag bloka SAU jedio ako se uporijebe vremeski dijagrami i ulaza i izlaza, slika., u isom vremeskom iervalu. Pri ome se pod diamičkim osobiama podrazumijeva poašaje koje posmarai blok ispoljava u oku prelazog režima, a koje je maifesacija jegove uurašje diamičke srukure. u() x() Slika.. Mogući oblici vremeskih fukcija ulaza u() i izlaza x() Vrijeme se račua od momea u kome je asupio poremećaj a ulazu, odoso od momea u kome je ulazi sigal počeo da se mijeja apušajući svoje sacioaro saje. Razolikos mogućih odziva je beskoača u skladu sa beskoačošću mogućih ulazih sigala. Da bi se a eki ači uveo red u ovu beskoaču razolikos, mogu se ispiivai vremeski odzivi posmaraog bloka samo za eke, odreñee ulaze sigale sadardih oblika. U eoriji i praksi SAU i sadardi ulazi sigali su ajčešće jediiča odskoča fukcija, jediiča impulsa fukcija, jediiča agiba fukcija ( rampa ) i prosoperiodiči sigali siω i cosω. Zao je porebo dai kraak pregled abrojaih sadardih ulazihpobudih fukcija. Pri ome se predposavlja da su oe dae u obliku bezdimezioalih varijabli η ( ), kako su ozačavae u prehodom podpoglavlju..4.. Sadardi ulazi sigali.4... Jediiča odskoča fukcija Predsavlja diskoiuirau vremesku fukciju koja je defiisaa relacijom:, < u ( ) = (.6), > 9

18 . Opisivaje blokova SAU u vremeskom domeu Za = ova fukcija ije defiisaa. U izvjesim primjeama ovo predsavlja smeju, koja se može izbjeći uzimajem da je u ( ) = za ili uvoñejem dopuskog zahjeva da u ( ) ima odreñeu vrijedos u ački =. Najčešće se uzima da je: u(+ ) + u( ) u ( ) = = (.7) šo je zadovoljeo u izu problema. Dijagram jediiče odskoče fukcije je da a slici.. u() Slika.. Jediiča odskoča fukcija Ukoliko se vrijeme u sisemu račua od asaka poremećaja u ekom drugom momeu, ada je jediiča odskoča fukcija opisaa relacijom:, < τ u ( τ ) = (.8), > τ gdje je τ mome asaka skoka koji se račua u odosu a eki drugi reuak vremea = τ. Vremeski pomjerea jediiča odskoča fukcija je prikazaa dijagramom a slici.3. Skok ije moguće idealo realizovai u svarim fizikalim sisemima, ali mu se po svom obliku približavaju poremećaji koji asaju kao rezula ekog dovoljog aglog djelovaja (zavaraje prekidača, privlačeje releja, ovaraje klapi-lepira u cjevovodima i sl.). Da bi se zaključilo koliko je svako od ovih dejsava blizu ideale predsave o odskočoj fukciji, porebo je uporedii vrijeme u kome djeluje svaka od abrojaih akcija s ajmajim vremeskim kosaama koje se uzimaju u obzir u posmaraom sisemu. U mislima je, meñuim, uvijek moguće izvesi ovakav jeda skok kao poremećaj a ulazu u eki blok SAU. Vrijedos skoka kao sadardog ulazog sigala se ogleda u relaivoj jedosavosi jegovog oblika i maemaičkih relacija koje proizilaze jegovom primjeom. Uuar realih koiualih blokova SAU, povezaih u složeije srukure, može doći samo do približo ovakvih poremećaja, koji se mogu pojavii jedio kao rezula eke akcije samog sisema koiuale auomaske regulacije, j. kao jeda od smeji a sisemu. Uuar SAU relejog ili impulsog ipa ovakvi sigali se mogu geerisai uuar 3

19 Lieari sisemi auomaskog upravljaja samog sisema ili a jegovim izlazima. Za jeda releji blok SAU, ovakav sigl predsavlja ormala oblik izlaza. Meñuim, e smea da se koiuali lieari blokovi i sisemi ispiuju ovakvim sigalom a ulazu, bilo u svarom ili zamišljeom eksperimeu. Pri ome se za, da odskok a ulazu, za većiu liearih blokova zači daleko grublji poremećaj od oih koji se dešavaju u svarom radu, ako da su i odzivi sisema a skok ieziviji od oih koje jeda blok SAU ispoljava u zavoreoj srukuri sisema u ormalom pogou. u(- τ) τ Slika.3. Vremeski pomjerea jediiča odskoča fukcija.4... Jediiča impulsa fukcija Defiisaa je kao zv. δ fukcija sljedećim relacijama:, δ ( ) = (.9), = δ ( ) = (.3) δ fukcija predsavlja ako izrazi diskoiuie da je ije moguće ačo grafički i predsavii, osim možda ačkom u beskoačosi a ordiaoj osi. Neke fukcije se meñuim po svojim osobiama u graičom prelazu približavaju osobiama δ fukcije dae defiicijom (.9) i (.3). Tako, pr. fukcija grafički prikazaa a dijagramu a slici.4, ispujava dae osobie kad τ. U procesu ovog graičog prelaza površia impulsa je τ ( / τ ) =, osaje kosaa i jedaka jediici, a sama fukcija je jedaka uli svuda osim u eposredoj okolii ačke =, gdje jea ampliuda beskoačo rase. Kao mjera ieziea impulsa ima se, meñuim smarai e jegova ampliuda, ego površia, jer je dejsvo koje o proizvodi djelujući a jeda blok SAU, zapravo proporcioalo jegovoj površii. Pod dejsvom se ovdje, bez dublje aalize, e podrazumjeva eka precizo odreñea veličia, ali o može bii pr. maksimum koji dosige izlazi sigal ili površia ispod vremeskog dijagrama izlazog sigala bloka koji je izvede iz sacioarog saja. Treba apomeui da se jeda saički blok SAU, koji je pobuñe impulsom fukcijom uvijek vraća u svoje ishodo sacioaro saje, za razliku od poremećaja koji je izvede pr. sep fukcijom a asaički blok SAU. Impulsu fukciju, u jeom idealom obliku je 3

20 . Opisivaje blokova SAU u vremeskom domeu još maje moguće realizovai u jedom fizikalom sisemu. Ulaze fukcije kao a dijagramu koji je prikaza a slici.4, sa maje ili više krakorajim impulsom koačog rajaja mogu predsavljai dobru zamjeu za δ fukciju u realim eksperimeima. δ fukcija osaje prije svega sredsvo zamišljeih eksperimeaa i eorijskih razmaraja. Njee začaje osobie kod primjee a lieare blokove SAU, čie je jedom od ajvažijih sadardih ulazih-pobudih fukcija u ispiivaju diamičkih osobia blokova SAU. u() /τ τ Slika.4. Jediiča impulsa fukcija Sličo kao i kod jediičog sepa, δ fukcija može bii defiisaa u vremeu koja se račua od ekog drugog momea, pa relacije koje defiišu vremeski pomjereu impulsu fukciju posaju:, τ δ ( τ ) = (.3), = τ δ ( τ ) = (.3) U relacijama (.3) i (.3) τ je momea u kome se dešava poremećaj, račua u odosu a eki drugi reuak vremea, = τ. Može se pokazai da δ fukcija predsavlja vremeski izvod jediiče odskoče fukcije: du( ) δ ( ) = (.33) Impulsa ili δ fukcija ima i druge ieresae i začaje osobie, a za praksu je aj ieresaija filerska osobia ove fukcije. 3

21 Jediiča agiba fukcija Lieari sisemi auomaskog upravljaja Ova fukcija je defiisaa relacijom:, < u ( ) = (.34), a je dijagram je da a slici.5. u() α = π 4 α Slika.5. Jediiča agiba fukcija Oa česo predsavlja ulazi sigal za ispiivaje blokova SAU, a aročio je pogoda za ispiivaje prelazih režima u servomehaizmima i izvršeim mehaizmima SAU. Za razliku od jediičog sepa i jediiče impulse fukcije, goovo ideali oblik ove fukcije ije eško realizovai u jedom svarom eksperimeu. Razumije se, pošo rampa eograičeo rase kad, ovakva ispiivaja se mogu vršii samo za ograičei, i česo, ačo uaprijed odreñei vremeski ierval. Treba primjeii, da i kod saičkih blokova SAU izlaza varijabla eograičeo rase kad se a ulaz dovede agiba fukcija, jer i u samoj ulazoj fukciji e dolazi do poovog usposavljaja sacioarog saja. Nagiba fukcija je eprekida u svim ačkama, uključujući i ačku =. Nje vremeski izvod predsavlja, kako je lahko zaključii iz dijagrama, jediiču odskoču fukciju, šo zači da izvod agibe fukcije ima diskouiuie u = Prosoperiodiči sigali Za razliku od opisaih sadardih ulazih fukcija, prosoperiodiči sigali siω i cosω su eprekidi u vremeu, uključujući i sve jihove izvode do beskoačo visokog reda. Kao posljedica ovoga, ači ispiivaja blokova SAU prosoperiodičim sigalima je pricipijelo drugačiji od ačia ispiivaja jediičim odskokom, impulsom ili rampom. Kod posmaraja odziva jedog bloka a ove diskoiuirae sigale, preposavlja se da je sisem prehodo bio u sacioarom saju, šo zači odsusvo kreaja ulaze i izlaze 33

22 . Opisivaje blokova SAU u vremeskom domeu varijable, jihovu kosaos, mirovaje i ravoežu. Kod posmaraja odziva a prosoperiodiči harmoijski sigal akoñe se predposavlja posojaje jedog drugačijeg sacioarog saja, koje podrazumjeva da je posmarai harmoijski sigal a ulazu asao dovoljo davo prije momea posmaraja, eorijski beskoačo raije, ako da su svi prelazi procesi u sisemu, koji su mogli asai kao posljedica uključivaja harmoijskog poremećaja imali priliku da se završe. Drugim rječima, uz ovakvu apsrakciju, ije moguće odredii momea u kome je asao poremećaj, a sve šo se za je da je o posojao mogo raije od momea u kome se počije posmarai odziv sisema. Kreaje sisema, j. varijacije a jegovom izlazu, predsavljaju zv. priudo sacioaro kreaje sisema, odoso u slučaju liearog bloka SAU, priude prosoperiodiče oscilacije ise učesalosi kao i kod ulazog sigala, ali različie ampliude i faze. Ampliuda i faza sigala a izlazu je fukcija diamičkih osobia posmaraog bloka, dakle jegove uurašje srukure i fukcija je frekvecije sigala a ulazu, pod preposavkom da su ampliuda i faza ulaza kosae. Mijejajući a isi ači frekveciju ulazog sigala, moguće je vršii ispiivaje različiih blokova SAU u jedom svarom ili zamišljeom eksperimeu. Sada se, a osovu oga kako se sa frekvecijom mijejaju ampliuda i faza a izlazu ovih blokova, mogu meñusobo poredii različii blokovi SAU i zaključii kakve su jihove diamičke osobie. Ampliuda i faza a izlazu u fukciji frekvecije pobudog ulazog sigala se azivaju frekveim odzivom, a skup meoda razvijeih iz ovakvog prisupa frekveim meodama. Važo je apomeui, da realizacija svarog eksperimea sa prosoperiodičim ulazim sigalima, u pricipu, e predsavlja ikakvu eškoću. Kad su defiisai sadardi ulazi sigali, ema više porebe da se u cilju aaliza diamičkih osobia jedog bloka SAU, porede vremeski dijagram ulaza i izlaza kao a slici.. Umjeso oga, mogu se poredii vremeski odzivi različiih blokova SAU a isi sadardi sigal a ulazu svakog od jih, ili za promijejee paramere uuar jedog bloka. Na aj ači se može govorii o vremeskom dijagramu koji je odziv a jediiču odskoču fukciju, odziv a impulsu fukciju, odziv a agibu fukciju i sl. Tača aaliički oblik ovih odziva za dai blok SAU se može dobii samo rješavajem odgovarajće diferecijale jedačie (.3). U glavi 3 će se pokazai kako se rješeja ove diferecijale jedačie može prikazai pomoću preosih fukcija. Za sada se samo reba podsjeii da se razmaraju lieari blokovi SAU za koje važi zako superpozicije. Bez obzira kako bili složei ulazi sigali, koji se mogu pojavii a ulazu posmaraog bloka, ako se samo daju razložii u jedosave kompoee ipa sadardih sigala čija će suma dai složei sigal, odziv sisema će bii da kao suma odziva a pojediače sadarde sigale. Ovo pruža mogućos da se jeda blok SAU aalizaira u uslovima koji se realo javljaju uuar eke veće srukure SAU i opravdava uvoñeje sadardih ulazih sigala. U sadardizaciji mogućih vremeskih odziva se može kreui i dalje, ako se ačii klasfikacija ipičih blokova SAU i odrede jihovi vremeski odzivi za eki sadardi ulazi sigal, recimo jediiču odskoču fukciju. Osova kolekcija ipičih blokova SAU može bii maja ili veća, i reba da omogući da se meñusobim povezivajem blokova lahko dobijaju proizvoljo složee srukure SAU, opisae diferecijalom jedačiom (.3) i obruo, jedosavo razbijaje složeih srukura a ipiče blokove. Najčešće je akav miimali asorima da sljedećim ipičim blokovima: beziercioi blok, 34

23 Lieari sisemi auomaskog upravljaja aperiodski blok prvog reda (jedosava aperiodski blok), blok iegraora, blok diferecijaora (idealog i realog), iegralo-diferecijali blok, iercioi blok drugog reda, blok PI i PID regulaora i blok čisog kašjeja..4.. Elemeari blokovi sisema auomaskog upravljaja Diamika elemearih blokova SAU je opisaa diferecijalim jedačiama, pa je zgodo odredii jihove vremeske odzive a jediiču odskoču fukciju a ulazu. Zadaak se svodi a izalažeje eksplicie iegrale relacije: [ ;u( ),a, ] x ( ) = f, i =,,,...,, j =,,,..., m (.35) i b j koja odgovara odgovarajućoj diferecijaloj jedačii svakog posmaraog bloka. U zavisosi od složeosi pojediih blokova ovo predsavlja lakši ili eži zadaak, koji redovo može bii riješe a više ačia. Primjea Laplaceove rasformacije običo olakšava problem. U glavi 3 će se vidjei da je ovaj posupak u direkoj vezi sa zv. preosim fukcijama odgovarajućih blokova SAU. Sada će se korisii klasičo rješavaje zadaaka, pri čemu će se predposavii da je kao pobuda jediiča sep fukcija Beziercioi blok Ovaj elemeari blok SAU a izlazu daje reuu bezierciou repredukciju ulazog sigala. Njegovo diamičko poašaje je opisao jedačiom: a x( ) = bmu( ) (.36) koja je formalo sliča jedačii sacioarog saja (.), a koja izlazi iz (.3) ako su svi kojeficijei osim a i b m jedaki uli. Za ovaj jedosava slučaj diferecijala jedačia (.3) degradira a običu algebarsku relaciju, pa ražea veza ipa (.35) posaje: U (.36') je x ( ) = K u( ), (.36`) K = b / a i predsavlja koeficije pojačaja. Jediiča odskoča fukcija a m ulazu u ( ) se bez iercije preosi a izlaz, samo joj je ampliuda K pua veća, slika.6. 35

24 . Opisivaje blokova SAU u vremeskom domeu Ideali beziercioi blok ije prakičo osvarljiv. Primjere za približe beziercioe blokove u realim sisemima auomaskog upravljaja predsavljaju krue kiemaičke veze (poluge i frikcioi preosi, a pod izvjesim uslovima kad se mogu zaemarii mrvi hodovi i zupčasi preosi), zaim elekroski pojačavači, mjeri prevarači (rasmieri), regulacioi veili i sl., pod uslovom da su osale vremeske kosae u sisemu velike u poreñeju s jihovim. x() K Slika.6. Odziv beziercioog bloka.4... Aperiodski blok prvog reda Njegovo diamičko poašaje opisao je diferecijalom jedačiom: dx + ax b u( ) (.37) a = Odoso, ako se (.37) podijeli s a ada se dobija: a a dx b + x = u( ) (.37`) a Ako se uzme u obzir diskusija o fizikalim dimezijama kojeficijeaa diferecijale jedačie (.3) odoso (.6), lahko je uvrdii da količik a / a ima uvijek dimeziju vremea [ a / a ] = sec = s, a da je b / a bezdimezioalo, ako sigali u ( ) i x ( ) imaju isu fizičku prirodu (pr. apo i apo). U proivom količik b / a ima dimeziju [ b / a ] = [ x] /[ u]. U svakom slučaju mogu se uvesi ozake a / a = T, b / a = K, gdje je T vremeska kosaa, a K kojeficije pojačaja posmaraog boka. Sada je: dx T + x = K u( ) (.37``) 36

25 Lieari sisemi auomaskog upravljaja gdje se sada u ( ) može smarai jediičom odskočom fukciom, j. za > je u( ). Opše rješeje diferecijale jedačie (.37``), koje važi u iervalu (, ) jedog parikularog rješeja ehomogee jedačie:, se sasoji od dx T + x = K (.38) i opšeg rješeja homogee jedačie: dx T + x = (.39) Prvo je očigledo K, jer uvršeo u (.38) zadovoljava ovu jedačiu, a drugo se odrñuje iz (.39) kao: dx x = odakle se dobija: T l x = + lc T gdje je C proizvolja kosaa iegracije. Dalje je: x = C e / T pa je opši iegral jedačie (.37``) koji važi u iervalu (, ) : x( ) = K + C e / T Ako su počei uslovi jedaki uli, j. x ( ) = iz posljedje jedačie za = izlazi: K + C =, j. C = K, pa se koačo dobija: x( ) / T [ e ] = K, (.4) Jedačia (.4) predsavlja ražeu iegralu vezu (.35) u posmaraom slučaju aperiodskog bloka prvog reda. Grafički je ovo rješeje predsavljeo a a slici.7. Kojeficije pojačaja K i vremeska kosaa T mogu bii odreñei sa samog dijagrama. Vremeska kosaa T predsavlja odsječak a vremeskoj osi odreñe projekcijom ačke presjeka agee a krivu x ( ) u ački = i koačog sacioarog saja x ( ) = K. Kojeficije agiba agee a krivu x ( ) za = odreñe je kao: 37

26 . Opisivaje blokova SAU u vremeskom domeu x() K y() T Slika.7. Odziv aperiodskog bloka prog reda a jediiču odskoču fukciju dx K / T K = = e = (.4) T T = a jedačia agee predsavlja jedačiu pravca: y ( ) = K / T (.4) Tačka presjeka agee s pravcem x ( ) = K, odreñea je iz jedačie: y ( ) = K, j. K / T = K, odakle za jeu apcisu izlazi da je = T. Novo sacioaro saje eoreski se posiže za. Za iz (.4) izlazi x ( ) = K. Prakičo, već za koačo vrijeme = 5T izlaz posiže vrijedos: [ e ] 5 =, K x( 5T ) = K 9933 (.43) šo je prakičo jedako koačom sacioarom saju. Aperiodski blokovi prvog reda s različiim vremeskim kosaama imaju odzive kao a slici.8. Šo je maja vremeska kosaa bloka, prakičo se brže posiže ovo sacioaro saje. Za vrlo male vremeske kosae se vidi da se diamičko poašaje aperidskog bloka prvog reda približava diamičkom poašaju beziercioog bloka, šo je u skladu s oim šo je rečeo za mogućos prakiče realizacije ovog posljedjeg. x() K T 3 T T T > T > T 3 Slika.8. Odzivi aperiodskih blokova s različiim vremeskim kosaama 38

27 Lieari sisemi auomaskog upravljaja Primjera za siseme koji odgovaraju aperiodskim blokovima prvog reda ima mogo meñu realim fizičkim i fizikalo osvarivim sisemima. Primjer.. Poras apoa a kodezaoru. Neka se posmara slika.9. Napo a kodezaoru u C, u fukciji apoa a ulazu u, je da kao rješeje sljedećih jedačia diamičke ravoeže: u = u R + u C (.44) Q u R = ir ; u C = = i ; i C C C du C du C = ; i u = [ u ] = R u C (.45) R R = [ u uc ] (.46) RC u R R u C u C Slika.9. RC spoj Možejem (.46) s RC se dobija: du RC C + u = u (.47) C Proizvod RC ima karaker vremeske kosae. Pojačaje u ovom primjeru je jedako jediici, K =. Ako je ulazi sigal (apo u ) sep fukcija, a izlazu će se dobii sigal (apo u C ), koji se mijeja prema relaciji: u C / RC ( e ) = u (.47`) odoso u skladu s dijagramom koji je prikaza a slici.7. Primjer.. Miješaje fluida različiih emperaura. Neka se posmara sisem koji je predsavlje a slici., a koji se sasoji od posude u koju se dovode dva eča fluida 3 3 jedakih gusia, sa kosaim volumim proocima Q [ m / s] i Q [ m / s] emperaurama koje se mogu mijejai u vremeu ϑ ( ) = [ C] i ( ) [ C] ϑ i ϑ =. ϑ 39

28 . Opisivaje blokova SAU u vremeskom domeu Njihova smješa a izlazu će imai eku emperauru ϑ = ϑ( ). Ako se smješa odvodi volumerijskom pumpom, za koju je V = cos, (zupčasa ili klipa pumpa ili koačo cerifugala pumpa koja radi s kosaim apoom), a iezie miješaja fluida se pojača priudim mješajem (moor M ), emperaura smješe a izlazu će se mijejai u skladu sa diferecijalom jedačiom: dϑ Q Q ( ϑ ϑ) + ( ϑ ϑ) = Ve Ve (.48) odoso: V e Q + Q dϑ Q + ϑ = Q + Q Q ϑ + ϑ Q + Q (.49) ϑ ϑ Q Q h V = cos. M Q = Q + Q 3 U jedačii (.49) [ ] Slika.. Miješaje fluida različiih emperaura V predsavlja ekvivaleu zapremiu u kojoj se vrši miješaje. e m Pod preposavkom da je miješaje iezivo (priudo mješaje) zapremiu ečosi u posudi odreñeu površiom posude [ m ] a do posude h [ m]. Veličia: V e predsavlja S i ivoum ečosi u odosu V Q + Q e Ve = Q 3 m Ve 3 = m / s Q [ s] (.5) ima karaker vremeske kosae T = Ve / Q, a Q / ( Q + Q ) = K i Q / ( Q + Q ) = = K presavljaju parcijale kojeficijee pojačaja u odosu a emperaure svakog fluida pojediačo. Sisem se može smarai kao sisem sa dva ulaza, slika., a jedačia (.49) se može pisai u obliku: 4

29 Lieari sisemi auomaskog upravljaja dϑ T + ϑ = K ϑ + K ϑ (.49`) ϑ ϑ ϑ Slika.. Blok miješaja fluida različiih emperaura Pošo važi zako superpozicije, odziv sisema se može posmarai za svaki ulaz pojediačo, a sisem se može posmarai i kao sisem s jedim ulazom ϑ s = K ϑ + K ϑ, gdje je ϑ s očigledo sacioara vrijedos emperaure smješe koja izlazi, ako se u jedačii (.49) ili (.49`) savi uslov sacioarog saja d ϑ / =. U svakom slučaju ova jedačia se svodi a opši oblik jedačie aperiodskog bloka prvog reda (.37``) koja, ako se emperaura ϑ i ϑ mijejaju po zakou sep fukcije, daje rješeje ipa (.4), odoso grafik kao a slici.7. Napomea: Ako isu obezbjeñei uslovi kosaaosi prooka Q, Q i Q, ili se gusia fluida mjejaja sa emperaurom, ili se koačo mijeja površia poprečog presjeka posude po visii, za prelazi režim emperaure smješe ϑ vrijedi jedačia: dϑ Q Q ( ϑ ϑ) + ( ϑ ϑ) = ρve ρ Ve gdje su sada Q [ kg / s] i [ kg / s] (.48`) 3 3 Q masei prooci fluida, a ρ [ kg / m ] i ρ [ kg / m ] 3 jihove gusie koje se mjejaju s emperaurama, a V [ ] zapremia miješaja koja se mijeja s proocima i eveualo s promjeom poprečog presjeka posude po visii. Jedačia (.48`) više ije lieara, a posmarai blok SAU ije jedosava lieari aperiodski blok prvog reda. Rješavaje ove jedačie i izalažeje prelazog režima u sisemu može sada posai vrlo komplikovao i zahijevai uporebu račuara za jegovo modeliraje. Prilikom projekovaja ovakvog sisema vrlo je važo pozavai opše uslove rada, da bi se zaključilo da li je dozvoljeo sisem aproksimirai jedosavim aperiodskim blokom prvog reda. Ako prooci Q i Q imaju edeciju da se mijejaju, može se zahijevai da oi budu posebo regulisai. Kako meñuim ema ideale regulacije i ovi regulisai prooci mogu imai svoje prelaze režime. Ako su vremeske kosae ovih prelazih režima jako krake, ili obruo jako duge u odosu a vremesku kosau miješaja T = Ve / Q, a gusia fluida ρ i ρ se malo mijeja s emperaurama ϑ i ϑ i koačo malo se mijejaju i same emperaure, oda se vjerovao može poovo korisii predsavljaje daog sisema aperiodskim blokom prvog reda, u proivom e. Provjera uslova rada običo zahijeva prelimiaro račuaje iza sacioarih saja, kako bi se moglo zaključii u kojoj mjeri je saička karakerisika posmaraog sisema lieara u e m 4

30 . Opisivaje blokova SAU u vremeskom domeu odosu a sve veličie koje mogu da se pojave kao ulazi u sisem, (emperaure, prooci, gusie u ovom slučaju). Još je porebo apomeui da se u slučaju miješaja više fluida ima, aalogo sa (.48`), jedačia: dϑ Qk = ρ V k = k e ( ϑ ϑ) k (.49``) koja se, ako su samo prvog reda. Q k, ρ k i V e kosai, lako svodi a aalizu aperiodskog bloka Primjer.3. Temperaura idusrijske peći. Neka se posmara sisem koji je prikaza a slici., koji se sasoji od elekričog grijača i peći čija je ukupa masa: [ kg] M = m + m (.5) jedaka sumi masa obloga peći m [ kg] i maerijala koji čii sadržaj peći [ kg] ukupi oploi kapacie peći: [ J / C] N = MC = m C m C (.5) + gdje je C eka ekvivalea specifiča oploa: mc + mc mc + mc C = = (.53) M m + m m. Tada je G θ θ A m m Slika.. Idusrijska peć Za brziu promjee eke sredje prosore emperaure peći θ vrijedi relacija: dθ N = Q + αs( θ A θ ) (.54) 4

31 Lieari sisemi auomaskog upravljaja gdje je Q [ W ] saga grijača, A [ C] da se može smarai uiformom u prosoru koji okružuje peć), [ W /( Cm )] prelaza oploe, [ m ] θ emperaura ambijea (dovoljo daleko od peći ako α koeficije S površia a kojoj dolazi do izmjee oploe s okoliom (spoljašja površia obloga peći). Pojedii člaovi u jedačii (.54) imaju dimeziju sage W = J / s. Jedačia (.54) se očigledo može pisai u obliku: [ ] [ ] N αs dθ Q + αs = A ( θ θ ) (.54`) ili: N αs gdje N /( S ) = T[ s] dθ + θ = θ A + Q (.54``) αs α ima karaker vremeske kosae, a /( α S ) karaker koeficijea pojačaja. Jedačia (.54``) ako posaje: dθ T A KQ + θ = θ + (.55) za koju se, sličo kao u primjeru. može uzei da predsavlja sisem sa dva ulaza Q i θ A. Jedačia (.55) se lahko može svesi a sisem s jedim ulazom ako se emperaura peći račua uvijek u odosu a emperauru ambijea. Naime, aalogo posupku koji je korišće prilikom rasformacije opših diamičkih jedačia iz oblika (.3) u oblik (.4), relacija (.55) se može pisai kao: d θ T + θ = KQ (.56) gdje je θ = θ θ A, a o je oblik ideiča obliku (.37``). Kada se za prvobio hladu peć, čija je emperaura jedaka emperauri ambijea, uključi grijač, (ovo odgovara skoku sage grijaja po sep zakou sa vrijedosi ula a eku vrijedos Q ), promjea emperaure peći u odosu a emperauru ambijea se odvija po prelazom procesu oblika kao a slici.7. Koačo sacioaro saje pri ome izosi: θ = θ + KQ (.56`) s A Vremeska kosaa idusrijske peći, zahvaljujući čijeici da je α običo malo, može bii zaa. Tako se za da ipiče vrijedosi mogu bii reda veličie ekoliko deseaka miua. Za idealo oploo izolovau peć je α =, pa vremeska kosaa T posaje beskoačo velika pa i ajmaja saga grijača vodi ka beskoačom pregrijavaju peći. Pri ovome se odgovarajući aperiodski blok prevara u blok iegraora. 43

32 . Opisivaje blokova SAU u vremeskom domeu Primjer.4. Termopar. Za ermopar je ermoelekromoora sila proporcioala emperauri vrućeg spoja ermopara. Ako se zaemari masa spoja, ermopar, sa velikom ačošću, predsavlja beziercioi blok. Meñuim, pošo je vrući spoj ermopara običo zašiće kućišem zaog ermičkog kapaciea (ovome e dopriosi samo masa kućiša ego i specifiča oploa maerijala koji okružuje vrući spoj, a koja može bii zaa kod uporebe keramičkih maerijala), emperaura vrućeg spoja se mijeja prema jedačii: N αs dθ + θ = θ A (.57) koja je vrlo sliča jedačii (.54). U joj jedio edosaje čla Q, u skladu s čijeicom da u ermoparu ema geerisaja oploe (zaemaruje se aravo i Pelierov efeka). Iformacija o emperauri ambijea se a izlazu iz ermopara pojavljuje profilriraa aperiodskim blokom prvog reda, koji uosi izvjeso kašjeje, od cca 4-5 vremeskih kosai, mjeree vrijedosi. Tipiča red veličia vremeskih kosai idusrijskih ermoparova izosi deseak sekudi i ekad mora bii uze u obzir pri projekovaju SAU. Primjer.5. Spoj posuda pod priiskom. Neka se posmara sisem koji je predsavlje a slici.3, koji se sasoji od dvije meñusobo vezae posude. U sacioarom saju je P = P. Ako doñe do promjee priiska u velikoj posudi P, usljed asale razlike priiska P = P P, dolazi do proicaja gasa u malu posudu. Brzia proicaja i razlika priisaka su vezai, kako je pozao, relacijom P = ξρv /, gdje je ξ koeficije lokalih hidrauličih gubiaka a veilu. Za male varijacije razlike priisaka od jee sacioare (ule) vrijedosi se ima: δ P = ξ ρ v δv (.58) P V Slika.3. Spoj posuda pod priiskom P 44

33 Lieari sisemi auomaskog upravljaja Brzia proicaja v i masei prook Q su vezai relacijom: Q = ρ v A (.59) gdje je ρ gusia fluida, a A površia ovora veila. Odavde je za male varijacije prooka: i δ Q = ρ A δv ( ρ A) v δv Q δ Q = (.59`) Iz (.58) i (.59`) je: ξ ρ δ P = Q δq (.59``) ( ρ A) S druge srae prook mase gasa u malu posudu je: d δm d δρ δ Q = = V (.6) U samoj posudi saje gasa je opisao jedačiom saja: P = ρ RT (.6) ili, ako se uzmu male varijacije i preposavi da se pri ome e mijeja emperaura, je: P δp = RT δρ = δρ (.6) ρ odoso: i ρ δρ = P δp d δρ ρ d δp = (.63) P Zamjeom (.63) u (.6) a zaim u (.59``) se dobija: ρ V d δp δ Q = (.64) P 45

34 . Opisivaje blokova SAU u vremeskom domeu odoso: ξ ρ ρ V d δp δ P = Q (.65) ( ρ A) P ξ Q V d δp = δ P = δp δp A P (.66) Čla u zgradi s lijeve srae ima dimeziju vremeske kosae: ξq A V P m = 4 m 3 kg / s N / m 5 kg m = N s m 4 kg m = = N s kg m = s kg m s s (.67) i može bii ozače kao: ξqv T = (.68) A P Veličie koje ulaze u ovaj čla su eke sredje vrijedosi za vrijeme rajaja prelazog procesa. ξ i A predsavljaju karakerisike veila s eveualo uračuaim osalim hidrauličim oporima, V je zapremia maje posude, P eki sredji priisak, a Q eki sredji prook u rajaju procesa (u sacioarom saju je Q = ). Ako se P mijeja kao odskoča fukcija, i ako se uzmu u obzir male varijacije oko sacioarog saja, jedačia (.66) se svodi a: d δp T + δp = δp (.66`) šo predsavlja jedačiu ipa (.37``) sa pojačajem K =. Njeo rješeje, za jediiču odskoču fukciju a ulazu je ipa (.4): / T ( ) δ P( ) = δp (.69) e čime je pokazao da se posmarai sisem svodi a aperiodski blok prvog reda. Traba vodii račua o ome, da se do ovog rezulaa dolazi samo ako se u obzir uzmu male varijacije oko sacioarog saja, a osovu kojih je moguće izvršii liearizaciju posmaraog sisema. Kod velikih varijacija ovaj posupak je predsavlje složeijom eliearom diferecijalom jedačiom. 46

35 Blok iegraora Lieari sisemi auomaskog upravljaja Diamičko poašaje ovog bloka je opisao diferecijaom jedačiom: odoso: dx = b u( ) (.7) a b x ( ) = u( ), a (.7) a Izlaz predsavlja sigal proporcioala vremeskom iegralu ulaza. Dimezija količika b / je: a b a = [ x] [ u] s (.7`) Ovo poovo predsavlja eki koeficije pojačaja, koji sada ima karaker brzie promjee izlaza za jediičiu vrijedos ulaza. Može se pisai: x ( ) = K v u( ), v b / a Ako je u ( ) jediiča odskoča fukcija ada je izlaz: x( ) K = (.7``) = K, (.7) v Odziv predsavlje relacijom (.7) je da dijagramom a slici.4, i predsavlja pravac čiji je agib proporcioala s K. v x() Slika.4. Odziv bloka iegraora 47

36 . Opisivaje blokova SAU u vremeskom domeu Izlaz pri ome eograičeo rase i sisem predsavlja primjer asaičkog bloka. U realim iegraorima se ovo, aravo, e dešava jer uvijek posoje eliearosi ipa zasićeja ili ograičeja. Primjeri za blok iegraora su ovorea posuda sa ivoom kao izlaom veličiom, klipi servomoor, elekroski iegraor s kodezaorom u povraoj sprezi jedog operacioog pojačivača i sl. Primjer.6. Ovorea posuda. Sisem je prikaza a slici.5. Brzia promjee zapremie ečosi u posudi je jedaka razlici volumih prooka u i iz posude: dv = Q Q (.73) Q A h Q Slika.5. Ovorea posuda Ako posuda ima kosau površiu poprečog presjeka po visii A [ m ], ada je: dv dh = A = Q Q (.73`) dh = ( Q Q ) = Q A A (.73``) Jedačia (.73``) je isog ipa kao i (.7). Njeo rješeje je ipa (.7``) i oo je: h( ) = Q( ) A (.74) Koeficije pojačaja u ovoj jedačii je K / A[ m ] v =. Na prvi pogled se e vidi da o ima zapravo dimeziju brzie. Ako se jegova dimezija piše u obliku količika (.7`) 3 [ K v ] = [ m] / ([ m / s] s), ovo posaje očigledo. K v predsavlja brziu promjee ivoa u posudi kad se ulaz, j. razlika prooka, promjei za jediicu. 48

37 Lieari sisemi auomaskog upravljaja Primjer.7. Hidrauliči klipi servomoor. Sisem je predsavlje a slici.6. Izlaz sisema je hod klipa servomoora račua u odosu a eki počei položaj, a ulaz razlika priisaka a priključcima P = P P. U sacioarom saju je P =. Kod malih varijacija pada priiska δ P može se uzei da je prook ulja u cilider proporcioala ovim varijacijama: δ Q = Kδ P, [ Q ] = [ kg / s] δ, [ ] [ ms] K = (.75) Promjea volumea lijeve i dese komore u cilidru se ada odvija brziom: dv ρ = δq j (.76) P P x() 3 gdje je [ kg / m ] Slika.6. Hidrauliči klipi servomoor ρ gusia ulja, a ideks j se odosi a lijevu odoso desu komoru, a prirašaj prooka ima odgovarajući zak. Kombiujući (.75) i (.76) i uzimajući u obzir zak prooka i usvojei poziivi smjer hoda klipa (prema slici), se ima: gdje je [ m ] dx ρ A = Kδ P (.77) A površia poprečog presjeka cilidra. Iz ove jedačie slijedi da je: x( ) = K ρa Koeficije pojačaja δ P( ) K v odoso [ K ] [ m] / ([ N / m ] s) v =. (.78) = K / ρa u ovom slučaju ima dimeziju [ K v ] = [ m s / kg], Primjer.8. Elekroski iegraor. Neka se posmara elekroski pojačivač visokog fakora pojačaja, s oporikom R u ulazoj (direkoj) grai i kodezaorom C u grai povrae 49

38 . Opisivaje blokova SAU u vremeskom domeu sprege, slika.7. Elekroski pojačavač u prikazaom spoju predsavlja primjer zv. operacioog pojačavača. Njegova osobia pored visokog fakora pojačaja u ovoreoj sprezi je i visoka ulaza impedaca, ako da je sruja a ulazu u sam pojačavač zaemarljiva u odosu a sruju koja eče kroz oporik i kodezaor. Pod ovim uslovima je: i = i (.79) Meñuim, pozao je da se ove sruje mogu izračuai pomoću relacija: pa je: i ui u g =, i R ( u u ) d g = C (.8) ( u u ) ui u g d g C R = (.79`) Napo a izlazu operacioog pojačavača u ( ) i apo a jegovom ulazu u g ( ) su vezai relacijom: u ( ) = Au ( ), A > (.8) g gdje je ( A ) fakor pojačaja pojačavača. U skladu sa čijeicom da, u cilju osvarivaja egaive povrae sprege, operacioi pojačavači običo mijejaju polarie ulazog sigala, fakor pojačaja je predsavlje egaivim brojem. Iz jedačia (.79`) i (.8), moguće je elimiisai apo u g ( ) i dobii: du RC + + u = ui ( ) (.8) A A i i C R -A u i u g u Slika.7. Elekroski iegraor 5

39 Lieari sisemi auomaskog upravljaja Ova diferecijala jedačia predsavlja zapravo, srogo uzevši ip jedačie (.37``) i vodi ka aperiodskom bloku prvog reda. Meñuim, zahvaljujući čijeici da je kod operacioih pojačavača apsolua vrijedos fakora pojačaja vrlo visoka (ipičo jedačia (.8) se svodi a jedačiu: du RC 6 7 A = ) = u ( ) (.83) i koja je ipa (.37``) sa fakorom pojačaja K / RC[ s ] pojačavača u spoju iegraora je: ( ) = ui ( ) RC v =. Sigal a izlazu operacioog u (.84) a jegov dijagram u slučaju sep sigala a ulazu, u svemu osim u zaku izlaze varijable, odgovara dijagramu a slici.4. Reciproča vrijedos pojačaja bloka iegraora je / K = RC i u ovom slučaju se aziva vremeskom kosaom iegraora. v Blok diferecijaora Ideali diferecijaor. Diamičko poašaje ovog bloka opisao je diferecijalom jedačiom: du x( ) = b (.85) a koja ujedo predsavlja i koača oblik relacije izmeñu ulaza i izlaza. Izlaz je proporcioala brzii promjee ulazog sigala. Ako je ulazi sigal jediiča odskoča fukcija, ada je je izvod ideala impulsa fukcija, pa bi prema (.85) i izlaz morao da se poaša a isi ači. U vezi s oim šo je rečeo za impulsu fukciju, jaso je da e posoje reali sisemi koji se poašaju u skladu s diamičkom jedačiom idealog deiferecijaora. U jedačii (.85) je red izvoda a desoj srai (po ulazom sigalu) viši od reda izvoda a lijevoj srai (po izlazom sigalu), šo je u proivrječosi s mogučošću fizičke realizacije ovakvog sisema. Reali sisemi koji se po svom diamičkom poašaju približavaju idealom diferecijaoru, azivaju se realim diferecijaorima. Reali diferecijaor. Njegova diamika je opisaa diferecijalom jedačiom: dx du + ax b (.86) a = odoso: 5

40 . Opisivaje blokova SAU u vremeskom domeu a a dx b du + x = (.8`) a ili, uvedu li se ozake T i = a / a i KT d = b / a za vremeske kosae i pojačaje, relacija (.8`) posaje: dx du Ti + x = KTd (.8``) Količik a / a očigledo ima dimeziju vremea, a iso ako količik b / a, ukoliko su u ( ) i x ( ) veličie ise fizičke prirode. U proivom fakor pojačaja K ima odgovarajuću dimeziju [ ] [ x] /[ u] K =. Ako u ( ) predsavlja jediičiu odskoču fukciju, oda je, kako je raije pokazao, izvod ove fukcije po vremeu du / jedak idealoj impulsoj fkciji δ ( ). U ovome slučaju reba riješii diferecijalu jedačiu: T i dx + x = KTdδ ( ) (.87) sa počeim uslovom x ( ) =. Opše rješeje odgovarajuće homogee jedačie: glasi: dx T i + x = (.87`) x( ) / T i = C e (.87``) gdje je C odgovarajuća iegracioa kosaa. Primjeom meode varijacije kosae se dobija: dx / T dc i / Ti = C e + e (.88) T S druge srae iz (.87) je: i dx = T i C e / T i Td + K δ ( ) T i (.89) Uporeñujući (.88) i (.89) se dobija da je: dc KTd / T = δ ( ) e i (.9) T i 5

41 Lieari sisemi auomaskog upravljaja odoso: KT d / T KT i d C = e δ ( ) = (.9`) T T Tako se koačo dobija da je: i i x( ) KT d / T = e i, (.9) T i Grafički prikazi odziva a jediiču odskoču fukciju bloka idealog i realog diferecijaora su predsavljei dijagramima a slici.8. Primjera za blok realog diferecijaora ima dovoljo u praksi SAU, kao šo su a primjer izodrom i operacioi pojačavač u spoju realog diferecijaora. x() x() KTd T i a) b) Slika.8. Odziv a jediiču odskoču fukciju bloka idealog diferecijaora a) i realog diferecijaora b) Primjer.9. Izodrom. To je mehaizam koji se sasoji od klipa, cilidra, poluge i opruge, slika.9. Cilidar je puje ekim viskozim fluidom (ulje, vazduh), a klip je šupalj ako da omogućava prolažeje fluida iz jede komore cilidra u drugu. Ovo kreaje je, aravo, praćeo odreñeim hidrauličkim oporima. Posmara se relaivo kreaje klipa u odosu a cilidar. Hod cilidra u ( ) sa uslovo odabraim poziivim smjerom kreaja se smara ulazom, a hod klipa z ( ) izlazom bloka. Ako se ovom sklopu, koji se može smarai prigušivačem (amorizerom), doda i poluga, prema slici.9, za izlaz se može uzei hod kraja poluge x ( ). Ako se zaemare iercioe sile, a klip u cilidru djeluju dvije sile u 53

42 . Opisivaje blokova SAU u vremeskom domeu svakom momeu: sila usljed razlike priiska u komorama cilidra izazvaa priudim kreajem cilidra u odosu a klip F i sila opruge F, j.: F ( P ) S P =, F = K z( ) (.9) f gdje je S površia klipa. Na osovu Beroulijeve jedačie je razlika priisaka s jede i s druge srae klipa, kod relaivog kreaja klipa u odosu a cilidar, proporcioala relaivoj brzii klipa, odoso razlici brzia: µ R ( v ) d P = v P d (.93) gdje je fakor proporcioalosi odreñe koeficijeom viskozosi fluida µ, Reyoldsovim ρ v d brojem R d = za dae uslove proicaja i ovorom rupe a klipu d. Dalje je: µ a b K f z() x() P d P u() Slika.9. Izodrom v = du /, v = dz / Uslov diamičke ravoeže je: 54

43 F = Lieari sisemi auomaskog upravljaja + F (.9`) odoso: µ SR d d dz du + K f z = (.9``) ili: T dz du( ) + z Td (.94) d = gdje je T ( SR )/ ( K d ) = vremeska kosaa sisema. Posoji jeda razlika, jer u d µ d f (.94) figuriše jeda vremeska kosaa, ovdje je T i = Td, a iače je ova jedačia u svemu ideiča s jedačiom (.8``). Ako se kao izlaz posmara hod kraka poluge: b x ( ) = z( ) (.95) a ada se ima jedačia: T dx b du( ) + x Td (.94`) a d = u kojoj količik b / a ima ulogu koeficijea pojačaja K. Primjer.. Operacioi pojačavač u spoju realog diferecijaora. Jeda od mogućih šema za realizaciju bloka realog diferecijaora pomoću operacioog pojačavača je daa a slici.3. Korišejem isih ozaka i predposavki kao u primjeru.8 sada se ima: i = + (.96) i i3 Meñuim, sa slike.3 se vidi da je: i ( u u ) d i g = C, i ( u u ) d g = C, i 3 u g u = (.97) R pa je: d C ( u u ) d( u u ) i g = C g u + g u R (.96`) Poovo vrijedi jedačia (.8) i ovdje se može apisai kao: 55

44 . Opisivaje blokova SAU u vremeskom domeu u ( ) = Au ( ), A > (.98) g Izvrši li se elimiacija apoa u g ( ) iz (.96`) i (.98), ada se ima: du du C + + C + + u = C i (.99) A A R A Uzimajem u obzir da je A vrlo veliko, (.99) se svodi a: odoso: C du + u R = RC du dui C dui + u = RC (.) i C R i C + + i 3 -A u i u g u Slika.3. Operacioi pojačavač u spoju realog diferecijaora Ako se uvedu vremeske kosae RC = Ti, RC = Td, u ovom slučaju je K =, ada se jedačia (.) svodi a diferecijalu jedačiu realog diferecijaora ipa (.8``). Dijagram vremeskog odziva ovog bloka a jediiču odskoču fukciju u svemu osim u zaku izlaze varijable odgovara dijagramu a slici.8b. 56

45 Iegralo-diferecijali blok Lieari sisemi auomaskog upravljaja Diamičko poašaje ovog bloka je opisao diferecijalom jedačiom: dx du + ax = b b u (.) a + Ako se (.) podijeli s a, ada će se dobii: odoso: a a dx b du b b b du + x = + u = + u a a a b dx du Ti + x = K Td + u (.`) gdje su T i = a / a, T d = b / b iegrala i derivaiva vremeska kosaa, a K = b / a koeficije pojačaja. Rješeje diferecijale jedačie (.`) se može dobii meodom variraja kosae u opšem iegralu odgovarajuće homogee jedačie, sličo kao u slučaju realog diferecijaora. Ako je u ( ) jediiča odskoča fukcija ada du / predsavlja δ fukciju. Sada se, preposavljajući da rješeje homogeog dijela jedačie (.`) ima oblik: x( ) / T i = C e (.) dobija da je: dx dc / T T / i T = e C e i (.3) i S druge srae, iz (.`) i (.) slijedi da je: dx K du / T = T i d + u C e (.4) T T i i Izjedačavajući dese srae u (.3) i (.4) se dobija: dc K du / T = T i d + u e (.5) T i Odoso: 57

46 . Opisivaje blokova SAU u vremeskom domeu K du / Ti C = Td + u e (.6) T i šo, uzimajem u obzir da je u ( ) jediiča odskoča fukcija a du / je δ fukcija, daje: / i ( e ) T Td C = K + K (.7) T i Uvršavajem (.7) u (.) se dobija: x ( ) Td = K Ti e / T i + / T i ( e ) šo ako sreñivaja posaje: T = d / Ti x ( ) K e, (.8) Ti Za = + se ima x ( + ) = KTd / Ti, a za = je x ( ) = K. Na dijagramima, slika.3a i.3b, su dai vremeski oblici odziva a jediiču odskoču fukciju iegralodiferecijalog bloka za T d > Ti i za T d < Ti. Primjere za iegralo-diferecijali blok predsavljaju različie pasive RC mreže, operacioi pojačivači s odgovarajućim mrežama u direkoj grai i grai povrae sprege i koačo, različii procesi u objekima regulacije. Na ovome mjesu se eće dealjo avodii Iercioi blok drugog reda Diamičko poašaje iercioog bloka drugog reda se može opisai diferecijalom jedačiom: odoso: a = d x dx + a + a x b u( ) (.9) a a d x a dx b + + x = u( ), a a a 58

47 Lieari sisemi auomaskog upravljaja ili: d x dx T T + T + x = Ku( ) (.) gdje su očigledo uvedee sljedeće ozake: a a T =, T =, a a b K = (.) a Lahko je provjerii da T i T zbilja imaju dimezije vremeskih kosai, a K predsavlja koeficije pojačaja i bezdimezioi je broj. x() x() Td > T i Td < T i K Td T i K Td K Ti K K a) b) Slika.3. Odziv iegralo diferecijalog bloka a jediiču odskoču fukciju Opše rješeje diferecijale jedačie (.) se može dobii kao suma parikularog iegrala ise jedačie i opšeg rješeja odgovarajuće homogee jedačie: d x dx T T + T + x = (.) Neposredo se vidi da rješeje:, < x ( ) = (.3) K, > zadovoljava jedačiu (.) u slučaju kad je u ( ) jediiča odskoča fukcija, pa prema ome predsavlja jeda ražei parikulari iegral. Šo se iče opšeg iegrala homogeog dijela jedačie (.) jegov karaker je odreñe prirodom korijea karakerisiče jedačie: 59

48 . Opisivaje blokova SAU u vremeskom domeu T = T λ + T λ + (.4) Pošo su svi koeficijei u jedačii (.4) po preposavci poziivi, jei korijei mogu bii samo egaivi ili kojugovao kompleksi par s egaivim realim dijelom. Ovo je ujedo eophoda uslov da sisem, čije je diamičko poašaje opisao diferecijalom jedačiom (.), bude sabila. Piaja u vezi sa sabilošću blokova SAU čie posebu kaegoriju problema, šo će se dealjo aalizirai u glavi 6. Korijei karakerisiče jedačie (.4) su: i mogu bii: T T λ, = ± TT TT (.5) TT. Reali, egaivi i različii. U ovom slučaju je T > 4T, a opši iegral homogee jedačie (.) ima oblik: x( ) λ + λ = C e C e (.6) gdje su C i C iegracioe kosae;. Reali, egaivi i jedaki, šo je u slučaju ako je T = 4T. Opši iegral homogee jedačie (.) sada ima oblik: x( ) λ ( C + C ) = (.7) e gdje je λ = =, a C i C predsavljaju iegracioe kosae; T T 3. Kojugovao kompleksi par sa egaivim realim dijelom, šo se dešava u slučaju ako je T < 4T. U ovom slučaju se može pisai λ, = α ± jβ, gdje je α =, a T β =. Opši iegral homogee jedačie (.) se sada može dobii TT 4T u jedom od slijedećih oblika: x( ) ( α + jβ ) ( α jβ ) = C e + C e α x( ) = e C cos β + C α x( ) = C e [ si β] si( β + ϕ ) (.8) 6

49 Lieari sisemi auomaskog upravljaja gdje su C, C, ili C i ϕ iegracioe kosae. U opšem slučaju ehomogee diferecijale jedačie (.) rješeje se dobija kao suma parikularog iegrala (.3) i odgovarajućeg opšeg rješeja homogee jedačie, šo je predsavljeo jedačiom (.6), (.7) ili jedim od oblika (.8). Pri ome, ajčešće je od ieresa rješeje koje zadovoljava ule počee uslove x ( ) = i x &( ) =, odakle se i odreñuju epozae kosae u rješeju. Tako se uz jedačiu (.6) ima odgovarajući izraz za odziv iercioog bloka drugog reda a jediiču odskoču fukciju: x( ) uz jedačiu (.7): x( ) λ = K + e λ λ λ [ ( λ) e ] λ λ λ λ λ e, (.9) = K, (.) a uz ajčešće primjejei i susreai u praksi oblik (.8): x( ) = K α + β e α si ( β + ϕ ),, β ϕ = arcg (.) α Prva dva slučaja, jedačie (.9) i (.), daju aperiodske odzive, dok reći slučaj, jedačia (.), daje odziv koji ima kvazi oscilaora karaker i javlja se u obliku prigušeih oscilacija, slike.3a i.3b. x() x() ξ=, K ξ= ξ=,5 K ξ=,5 a) b) Slika.3. Odzivi iercioog bloka drugog reda a jediiču odskoču fukciju Odziv koji odgovara jedačii (.) aziva se graičim aperiodičim odzivom (kriva a slici.3a). Kako se vidi, posoji izvjesa razolikos u kvaliaivom obliku vremeskih odziva a sep za jeda iercioi blok drugog reda. U fukciji parameara sisema T i T 6

50 . Opisivaje blokova SAU u vremeskom domeu može asupii jeda od pomeuih slučajeva. Česo se parameri iercioog bloka drugog reda zadaju i u ešo drugačijem obliku, kao u diferecijaloj jedačii: T d x dx + ξ T + x = Ku( ) (.) gdje je T vremeska kosaa iercijalog bloka drugog reda, K koeficije pojačaja, a ξ fakor prigušeja. Lahko se usposavlja veza izmeñu jedog i drugog sisema parameara: T T =, T = ξt (.3) ξ Osim oga moguće je uvesi i pojam prirode učesaosi iercioog bloka drugog reda kao ω = / T, pa se (.) aleraivo može pisai u obliku: ω d x ξ dx + + x = ω Ku( ) (.`) Vrijedos fakora prigušeja ξ = predsavlja graicu izmeñu kvazi oscilaorog i aperiodskog odziva. Za ξ < se ima kvazi oscilaori, a za ξ > aperiodski karaker odziva. U prvom slučaju jedačie (.) odziv se može apisai u obliku: x( ) = K e ξω ξ si ω ξ + θ, (.`) gdje je θ = arccosξ. Kako ξ opada ( < ξ < ) ampliuda oscilacija rase, šo je prikazao a slici.3b. Aaliza sisema drugog reda se može provodii vrlo dealjo i predsavlja izvor iza korisih defiicija i parameara za kvaliaivu aalizu odziva sisema proizvoljog reda. Primjećuje se, da vremeski odzivi blokova složeijih od iercioog bloka drugog reda imaju kvaliaivo ise oblike kao šo su oi a slikama.3a i.3b. Jedo sabilo kreaje, kao odziv a sep a ulazu je uvijek ili aperiodičo ili prigušeo oscilaoro. Tipiča odziv sisema, reda e majeg od dva, izgleda kao a slici.33 (krive i ). Karakerisiča je blag poras izlaze veličie u počeku, s izražeom prevojom ačkom i asimposko približavaje koačom sacioarom saju. Kod prigušeo oscilaorih sisema, ovo približavaje se dešava s obje srae liije x = x( ) i eoreski raje beskoačo dugo vremea. Zbog prakse je eophodo imai koačo vrijeme smirivaja prelazog procesa s. Pod ovim vremeom se podrazumijeva vremeski ierval od asaka poremećaja, pa do reuka poslije koga izlaza veličia pade i osae uuar eke uaprijed odreñee zoe širie ε oko koačog sacioarog saja. U praksi se za širiu ove zoe uzima %, % 6

51 Lieari sisemi auomaskog upravljaja ili 5 % koačog sacioarog saja, slika.33. Kod prigušeo oscilaorog kreaja, ampliuda prve oscilacije je običo i ajveća. Odos ( x max x( )) / x( ) izraže u proceima se aziva preskokom sisema. Sepe oscilaorosi prelazog procesa se može defiisai a različie ačie. Zgodo je usvojii i korisii sljedeću relaciju za sepe oscilaorosi: x ν = % (.4) x x() x( ) x x ε x Slika.33. Tipiči odziv sisema drugog ili većeg reda gdje su x i x ampliude prvog, odoso drugog po zaku suproo orijeisaog poluvala prelazog režima, a koje su račuae u odosu a koačo sacioaro saje, slika.33. Vrijeme kašjeja τ se može defiisai kao vremeski ierval od momea asupaja poremećaja, pa do momea odreñeog ačkom a vremeskoj osi, u kojoj agea povučea a krivu prelazog procesa u ački jeog maksimalog agiba siječe ovu osu, slika.34. x() τ Slika.34. Aproksimacija odziva bloka visokog reda 63

52 . Opisivaje blokova SAU u vremeskom domeu Ovo omogućava aproksimaciju ekog aperiodskog bloka visokog reda kaskadom vezom jedog bloka čisog kašjeja i jedog aperiodskog bloka prvog reda. Treba primjeii, da vrijeme kašjeja defiisao a ovaj ači sušiski e predsavlja pravo, rasporo kašjeje u sisemu, kao recimo kod blokova čisog kašjeja, jer se izlaza veličia, mada posepeo, od samog počeka eprekido mijeja. Takoñe se mogu aći i drugi parameri kojima se uvodi eka mjera kvaliaivih osobia prelazog procesa blokova SAU. Takvi parameri su, a primjer, vrijeme usposavljaja impulsa, odoso vrijeme usposavljaja predjeg froa odskočog sigala a ulazu koje se defiiše kao vrijeme porebo da se izlaza veličia u svom izlazom oku promjei od % do 9 % svoje koače vrijedosi, zaim različie mjere za prigušeje oscilacija i sl. Uopše, posoji velika razolikos u broju i ačiu defiicija za pokazaelje kvaliea prelazog procesa, a meñu jima je uvijek moguće posavii eke proračuske relacije. Iz relacije (.`) je moguće direko očiai vremesku kosau T d, koja predsavlja domiao vrijeme i karakerizira obvojicu po kojoj se smiruju kvazi oscilacije: T d = (.5) ξω jer je e ξω = e / T d može smarai da je vrijeme smirivaja s :. Pošo se oscilacije smiruju za 3 5 vremeskih kosai T d o se = ( 3 5 ) (.6) s T d Prigušea vlasia frekfecija ω p je: ω p ω σ = ω ξ = (.7) gdje je ξ fakor prigušeja koji je jedak: σ ξ = (.8) ω Tražejem prvog izvoda po vremeu od (.`) se dobija odziv sisema a δ (dela) fukciju, odakle se izjedačavajem dobijee vrijedosi sa ulom dobijaju sacioare ačke: ω ξω x = δ ( ) e si ξ ω, (.9) ξ g ξ ω = ξ ω = kπ, k =,,,... (.3) Za k= dobija se vrijeme prvog preskoka: 64

53 Lieari sisemi auomaskog upravljaja π = (.3) ω ξ Uvršavajem ove vrijedosi u (.`) dobije se vrijedos prvog preskoka x ( ) u proceima: x ( ) % ξπ / ξ [ ] = e % (.3) Kvazi period T p se odreñuje iz relacije: π ω p = ω ξ = πf p = (.33) T T p p π = (.34) ω ξ Iz relacije (.) se može dobii preosa fukcija sisema za K = (poglavlje 3): G( s ) = T s + ξts + Ako se kompleksa promjejiva s zamjei jeim imagiarim dijelom, dobija: s = (.35) jω, ada se G( jω ) = (.36) T ω + jξtω Rezoaa frekvecija ω rez se dobija iz uslova: d G( jω ) = dω (.37) i oa izosi: ω = ξ (.38) T rez koja se uvršava u (.36), odakle se poom dobija visia rezoaog vrha: M rez = G( ω rez ) = [ db] (.39) ξ ξ 65

54 . Opisivaje blokova SAU u vremeskom domeu Primjer.. Jedosavi mehaički iercioi sisem. Kao primjer iercioog bloka drugog reda može da posluži svaki jedosava mehaički sisem sa skocerisaom masom, koji se kreće pod uicajem poecijale sile opruge i uz odreñee opore proporcioale brzii kreaja (ovakvi opori se susreću kod viskozog reja). Ovaj sisem je šemaski prikaza a slici.35. d x Iercioa sila vezaa za masu M izosi F i = M, sila opruge je F K x( ) f = f, a sila dx reja je proporcioala brzii kreaja F r = r. Na sisem djeluje još spoljja akiva sila F A. Jedačia diamičke ravoeže glasi: u() r x() M K f Slika.35. Jedosavi mehaički iercioi sisem F = F + F + F (.4) i f r A odoso: d x dx M + r + K f x = FA (.4`) ili: M K f d x r dx + + x = F A (.4``) K K f f u kojoj je očigledo: K f r M = K, = T, = TT K K f f ako da se (.4``) svodi a: d x dx T T + x KFA T + = (.`) 66

55 Lieari sisemi auomaskog upravljaja Primjer.. Proso oscilaoro kolo. Neka se posmara proso LRC kolo kao a slici.36. Napo u kolu je rasporeñe prema jedačii diamičke ravoeže: u + u + u u (.4) R L C = di Ri + L + i = u (.4) C odoso, uzimajem u obzir da je: u duc = i i C, C C = uc di d = C se dobija: d u LC C duc + RC + uc = u (.4`) koja očigledo predsavlja diferecijalu jedačiu iercioog bloka drugog reda. L R C u Slika.36. Proso oscilaoro LRC kolo P, PI i PID regulaor U ehici auomaskog upravljaja koiualog ipa su se usalili izvjesi, po svojim diamičkim osobiama sadardi ipovi regulaora, koji goovo redovo zadovoljavaju u klasičim regulacioim kolima. To su proporcioali ( P ), proporcioalo iegrali ( PI ) i proporcioalo iegralo derivaivi ( PID ) regulaori. Pri ome ači jihove kosrukcije, fizikali pricipi kojeg korise i mediji kojima se preose iformacije, kao i sadardi ivoi sigala a ulazu i izlazu mogu bii različii od regulaora do regulaora i predsavljaju jihove sekudare karakerisike. Iegrala fukcioala veza izmeñu izlaza i ulaza jedog PID regulaora daa je relacijom: 67

56 . Opisivaje blokova SAU u vremeskom domeu du x ( ) = K p u( ) + u( ) + Td (.43) Ti gdje je K p koeficije pojačaja (reciproča vrijedos ovog koeficijea izražea u proceima se običo zove proporcioalo područje), T i iegrala vremeska kosaa, T d derivaa vremeska kosaa. Za T d = (.43) prelazi u jedačiu PI regulaora, a ako je još i T i = ima se čiso proporcioali regulaor koji je zapravo beziercioi blok. Moguće su i druge kombiacije kao PD regulaor ili čiso I regulaor (ovo je ada blok iegraora). Derivaivi čla u (.43) je predsavlje u obliku bloka idealog diferecijaora, koji je u realim PID ili PD regulaorima zamijeje blokom realog diferecijaora. Svaka od kompoeaa odziva (.4), P, I i D se mogu zamislii kao izlaz iz odgovarajućeg bloka, slika.37. Tri elemeara bloka sa zajedičkim ulazom i sumiraim izlazima ada čie blok PID regulaora. P K u() p u() I Kp T i u() + + x() D K p T d du + Slika.37. Blok srukra PID regulaora Na slici.38a je da oblik vremeskog odziva PI regulaora a jediiču odskoču fukciju, a a slici.38b oblik vremeskog odziva PID regulaora. Na slikama je akoñe da ači za geomerijsko odreñivaje parameara regulaora K p, T i i T d / T (posljedji paramear predsavlja iegraciou vremesku kosau uuar bloka realog diferecijaora). Primjeri za ovakve diamičke blokove su reali sadardi regulaori. Oi se ajlakše izvode pomoću odgovarajućih pasivih mreža u direkoj grai i grai povrae sprege jedog elekroskog operacioog pojačavača, ali se česo susreću PI i PID regulaori u hidrauličkoj ili peumaskoj ehologiji. 68

57 Lieari sisemi auomaskog upravljaja x() x() odziv realog PI regulaora odziv idealog PI regulaora Kp Td T odziv realog PID regulaora odziv idealog PID regulaora Kp Kp T i T i a) b) Slika.38. Odziv PI (a) i PID (b) regulaora a jediiču odskoču fukciju Blok čisog rasporog kašjeja Ovaj blok reprodukuje ulaze sigale bez deformacije ali sa odreñeim koačim kašjejem. Aaliički se ovo može izrazii relacijom: x( ) = u( τ ) (.44) koja zači da je izlaz jedak ulazu za vrijedos argumeaa koja je raslairaa za izos kašjeja u sisemu. Ako se grafički predsavi ulaz i izlaz bloka čisog kašjeja, ada se za proizvolju fukciju a ulazu imaju dijagrami kao a slici.39. u() x() _ u(- τ) τ Slika.39. Pobuda i odziv bloka čisog rasporog kašjeja 69

58 . Opisivaje blokova SAU u vremeskom domeu Tako a primjer, ako je a ulaz u reuku = dovedea jediiča odskoča fukcija, oa će se a izlazu bloka čisog kašjeja reprodukovai kao jediiča odskoča fukcija koja asaje u reuku ( τ ), šo se vidi a slici.3. Primjere blokova čisog kašjeja predsavljaju različie liije raspora maerijala kao šo su cjevovodi i raspore rake, e ajbrži preosi u praksi kao šo je preos elekriče eergije i elekomuikacioih sigala..5. Urañei primjeri Primjer. Modelirai diamiku sisema a slici p-. Sisem predsavlja jedosava pricip mjereja priiska. Dejsvo a sisem je priisak p(), a izlaz sisema polovia visiske razlike dva azačea ivoa h(). Slika p-. Skica pricipa djelovaja jedosavog maomera Koriseći Drugi Newo-ov zako, lako se doñe do jedačie kreaja: d h( ) M = A ρ ( p( ) h( ) g) Uvedee ozake a slici i u jedačii su: dh( ) RA (p-) M = ALρ - ukupa masa fluida A - površia poprečog presjeka cijevi 7