8. OCJENA KVALITETA PONAŠANJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA I KRITERIJI ZA SINTEZU [15, 31, 54, 66, 69, 70, 71, 77, 83, 84]

Transcript

1 8. OCJENA KVALITETA PONAŠANJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA I KRITERIJI ZA SINTEZU [5, 3, 54, 66, 69, 7, 7, 77, 83, 84] Pri projekovaju iema auomakog upravljaja moraju e aalizirai određei ulovi rada, e pokušai zadovoljii prema ljedećem redoljedu: abila rad iema e mora obezbijedii; dobro poašaje odziva-aja iema u acioarom režimu, koji aupa dovoljo dugo vremea ako počeog reuka dejva ulazog igala ili poremećaja; kvaliea prelazi režim iema; i brz odziv. Ovim redoljedom e vrši aaliza i ieza iema, jer ema mila govorii o odzivu iema u acioarom režimu ako pomarai iem ije abila (kod eabilih iema acioari režim po prirodi je različi od željeog). Takođe e e može govorii o kvalieu prelazog režima ako iu ipujei ulovi za rad iema u acioarom režimu rada. Tehika projekovaja iema auomakog upravljaja e vodi a zadovoljavaje jedog ili više krierija, koji u praki mogu bii zaovai a: - ocjei ačoi i odupaju objeka upravljaja od zadaog i/ili poželjog aja, a ša ukazuje regulacioa greška. Pozao je, da je greška emiova u oku prelazog režima, ali e čeo pojavljuje i polije prelaka objeka upravljaja u ovo acioaro aje, kada e govori o aičkoj greški.takođe e može govorii i o kompoeama diamičke greške, od kojih voju fizikalo imaju greške koje u poljedica promjea brzie i ubrzaja zadae vrijedoi; - procjei prigušeja objeka upravljaja, šo u bii predavlja procjeu odojaja objeka upravljaja od graice abiloi; i - iovremeom ocjejivaju više pokazaelja o poašaju objeka upravljaja, šo omogućavaju kompleki ili iegrali krieriji. Svi avedei krieriji e baziraju a predpoavci o pozavaju diamike objeka upravljaja, kao i porebom zadovoljeju zadaog i defiiaog pokazaelja kvaliea upravljaja. To zači da e moraju imai određee iformacije o objeku upravljaja a oovu kojih će e izvei projekovaje iema auomakog upravljaja. U zavioi od oga koje e iformacije o objeku pozaju, projekovaje e može izvei a oovu: - pozae preoe fukcije G( ) = P ( ) / Q ( ), odoo ame karakeriiče m jedačie Q ( ) = ; - pozae ampliudo faze karakeriike ili pozaih Bodeovih dijagrama; i - aalize dijagrama vremekog odziva a pozai pobudi igal, kao šo u odkoči, impuli i/ili prooperiodiči odziv. Prije vega, zgodo je razmorii oovu i ajčešće ureau rukuru šemu rada iema upravljaja. U direkoj grai e ima erijka veza bloka regulaora i bloka objeka

2 8. Ocjea kvaliea poašaja SAU i krieriji za iezu upravljaja u širem milu, a zavorei u jediičom egaivom povraom pregom, lika 8.. Na lici 8. je: U ( ) kompleki lik zadae vrijedoi igala a ulazu u ( ) ; ( ) preoa fukcija regulaora; G o ( ) preoa fukcija objeka u širem milu, šo u praki predavlja erijku vezu preoih fukcija izvršog orgaa, amog objeka upravljaja i ramiera; X ( ) kompleki lik upravljaog igala koji je mjeri ekvivalea upravljae veličie x ( ) ; E ( ) kompleki lik igala greške e ( ) ili regulacioog odupaja koje reba učiii šo majim. Sa like je očigledo: e( ) = u( ) x( ) (8.) Spolji ili uurašji izvor meji (uicaja) G r U() _ E() G r() G () o Zadai igal Regulaor Objeka u širem milu X() Slika 8.. Srukura šema rada iema upravljaja Idealo bi bilo da e upije zadovoljii ulov da je e( ),, šo je eško ipuii jer vaki elemea u rukuri upravljaja ima ierciju. Zadai igal u ( ) e još aziva refereim igalom. Siemi auomakog upravljaja (SAU) e mogu, prema amjei, podijelii a određee kupie.. Sieme abilizacije. Ovi iemi imaju u ( ) = ko., a oovi zadaak im je da izlazu veličiu održavaju koaom. Tako je za aalizu, bez umajeja opšoi, moguće ražei koai ivo marai ulim i uvojii da je u( ). Zao e može predpoavii da e ima rukura iema kao a lici 8.. U() _ E() G() X() Slika 8.. Pojedoavljea rukura upravljaja 68

3 Lieari iemi auomakog upravljaja Na lici 8. preou fukciju ovoreog iema G ( ) čii erijka veza regulaora i objeka upravljaja u širem milu, pa je određea proizvodom ovih preoih fukcija, j. G( ) = G ( )G ( ). Sa like 8. e vidi da je: Dalje je: r o G( ) X( ) = U( ) (8.) G( ) G( ) E( ) = U( ) X( ) = U( ) U( ) = U( ) (8.3) G( ) G( ) Za vaki iem upravljaja u praki e mora obezbijedii ulov abiloi, j. da iem ako počee perurbacije pređe u ovo acioaro aje. Zao e a relaciju (8.3) mora moći primjeii oobia Laplaceove raformacije o izračuavaju krajje vrijedoi, čijom e primjeom dobija da je: U( ) e( ) = lim e( ) = lim[ u( ) x( )] = lim E( ) = (8.4) G( ) gdje je e( ) greška u ovom acioarom aju ili aička greška, koja zavii od preoe fukcije iema u ovoreom, a koja e može predavii u obliku razlomljee racioale fukcije: G( ) m Pm ( ) b = = Q ( ) a b a m L b L a m b a m (8.5) a pošo je u praki > m, o je: b G ( ) = m = lim G( ) = K p (8.6) a gdje je K p koeficije pojačaja ili koaa položaja. U lučaju da e u povraoj grai a lici 8. ima blok H ( ), blok rukura bi izgledala kao a lici 8.3. U ovom lučaju relacija (8.3) bi imala oblik: E( ) = U( ) (8.7) G( )H( ) dok bi relacija (8.4) imala oblik: 69

4 8. Ocjea kvaliea poašaja SAU i krieriji za iezu U( ) e( ) = lim e( ) = lim[ u( ) x( )] = lim E( ) = (8.8) G( )H( ) odakle e zaključuje da bi e a ii ači određivala ačo poašaja iema u ovom acioarom aju. U() _ E() G() X() Y() H() Slika 8.3. Blok rukura iema upravljaja kada e u direkoj grai alazi blok G() a u grai povrae prege blok H(). Siemi pozicioog upravljaja. Kod ovih iema pobuda u ( ) je koaa u pojediim iervalima vremea, j. u ( ) e mijeja prema zakou odkoče fukcije i ima koau ampliudu u pojediim iervalima vremea, šo e može prikazai kao a lici 8.4. u() Slika 8.4. Izgled pobudog igala kod iema pozicioog upravljaja Izlaz iema reba da prai ulaz, ali zbog iercije iemu je porebo eko vrijeme da bi e zauzelo ovo aje. Tipiči primjeri ovih iema u ervomoori kao pr. promjea položaja oovie. Ovi iemi imaju voju koau položaja. Neka je, po predpoavci, ulaza fukcija u obliku odkoče fukcije ampliude r. Ako e jediiča odkoča fukcija ozači kao h ( ), ada e u pojediim vremekim iervalima može piai da je: 7 r u( ) = r h( ) U( ) = (8.9)

5 pa e a oovu (8.4) dobija da je greška u ovom acioarom aju: Lieari iemi auomakog upravljaja ( r / ) e( ) = G( ) r = K p (8.) gdje je K = lim G( ) koaa položaja. Ako iem ema aaizma ada je r =, pa je p e( ) ali koačo, razmarai iem je aički, odoo javlja e koača aička greška. Grafik pobudog igala i odziva iema jao azačeim prelazim režimom i acioarim ajem, je prikaza a lici 8.5. Saička greška je ozačea kao e( ) i predavlja razliku između pobude i odziva iema u ovom acioarom aju. Sa like 8.5 e vidi da je ovo primjer kod kojeg aička greška ije elimiiaa, j. e( ). x() u() u() x() u()= r h() e( ) PRELAZNI REŽIM STACIONARNO STANJE Slika 8.5. Prikaz prelazog režima i acioarog aja 3. Siemi upravljaja po brzii (brziki ervoiemi). Ovi iemi imaju zadaak da upravljaju pr. brziom vrje moora. Upravljajući brziom, oi zadržavaju poziciju koja e mijeja u egmeima vremea po ekom liearom zakou. Ako e predpoavi da je ulaza fukcija u obliku agibe fukcije ili "rampe", pri čemu je h ( ) jediiča odkoča fukcija: u( ) = v h( ), v = co. (8.) ada je kompleki lik ulaza: / U ( ) = v (8.) pa je acioara greška: ( v / ) v e ( ) = = G( ) K v (8.3) 7

6 8. Ocjea kvaliea poašaja SAU i krieriji za iezu gdje je: K v = lim G( ) (8.4) i aziva e koaa pojačaja po brzii ili brzika koaa iema. Ako je ulaza fukcija rampa, ada (8.3) daje koaču vrijedo amo za ieme G ( ) koji imaju aaizam prvog reda, odoo kada je r =, j.: Pm ( ) G( ) = K (8.5) Q ( ) Za lučaj da iem G ( ) ema aaizma, j. kada je r =, greška bi bila bekoačo velika, dok u lučaju da je r > greška bi bila e ( ) =, ali u oba ova lučaja ije moguće poići željei kvalie upravljaja. Slučaj kada je r = prikaza je a lici 8.6. u() x() o u() = v h() x() STACIONARNI REŽIM e( ) = v K o v Slika 8.6. Grafik ulaza i izlaza brzikog ervomehaizma kada u direkoj grai imamo aaizam prvog reda Neka ada, prema predpoavci, a ulazu iema koji je prikaza a lici 8. djeluje fukcija koja e mijeja po zakou: u( ) = a h( ) (8.6) pri čemu je h() jediiča odkoča fukcija. U ovom lučaju e može defiiai koaa pojačaja po ubrzaju, ako je a = co.. Sada je kompleki lik ulaza: 3 / U ( ) = a (8.7) pa e aička greška e( ) može odredii kao: 7

7 3 ( a / ) a e ( ) = = G( ) K a Lieari iemi auomakog upravljaja (8.8) gdje je: K a = lim G( ) (8.9) i aziva e koaa pojačaja po ubrzaju iema. Oa će imai koau vrijedo amo u lučaju kada iem u direkoj grai ima aaizam drugog reda, j. za r =. Ako je red aaizma r < ova kompoea greške bi bila bekoačo velika, dok u lučaju da je red aaizma r > ova kompoea greške bi bila rava uli. 4. Siemi programkog upravljaja. Kod ovih iema u ( ) je uaprijed zadaa programiraa fukcija. 8.. Kompoee greške koje u poljedica promjee ulaza i dejva meje U prvu grupu grešaka koje karakerišu e ( ) padaju greške u acioarom aju, a aaju kao promjea u ( ) ili kao poljedica djelovaja jedokrae meje. Ako u iemu auomakog upravljaja dejvuje eka meja F k ( ), šo e vidi a lici 8.7a, ada je iu poželjo prelikai a izlaz, lika 8.7b, ili a ulaz, lika 8.7c. Tako je a oovu like 8.7 moguće dobii dvije ekvivalee šeme, a kojima u meje koje djeluju a objeka u širem milu prelikae a izlaz, lika 8.8a, ili a ulaz, lika 8.8b. U obadvije šeme a lici 8.8 je: G( ) = G ( )G ( ) (8.) r o Za šemu a like 8.8a e može odredii E() i a ju primjeii oobia Laplaceove raformacije za izračuavaje koače vrijedoi. Pošo e radi o klai liearih iema, ada će vrijedii pricip uperpozicije. Tako je prvo moguće predpoavii da a iem e djeluju meje, j. da je: f i ( ) ; i=,,, (8.) i odredii prvu kompoeu greške E ( ) koju je prouzrokovala promjea U ( ). Sada je: X ( ) = G( )E ( ) 73

8 8. Ocjea kvaliea poašaja SAU i krieriji za iezu E ( ) = U( ) X( ) = U( ) G( )E ( ) (8.) G () F () k k- k G () F () k a) F () k G k() G k-() G () k- G k() G k-() G k() PRESLIKAVANJE NA IZLAZ PRESLIKAVANJE NA ULAZ b) c) Slika 8.7. Dejvo meje a iem (a) i jeo prelikavaje a izlaz (b) i/ili a ulaz (c) Iz (8.) e dobija da je promjea E ( ), uljed promjee U ( ) pri f i ( ), rava: E ( ) = U( ) (8.3) G( ) F () F () F () G () F G F ()... G () F U() _ G()... X() a) 74

9 Lieari iemi auomakog upravljaja F () F () F () G () F G F ()... G () F U() _... G() X() b) Slika 8.8. Prelikavaje meji koje djeluju a objeka upravljaja u širem milu a izlaz (a) i/ili a ulaz (b) U drugom lučaju e predpoavlja da je U ( ) =, a poom odredi kompoea greške E ( ) koja je poljedica dejva meji a iem. Sada je: E ( ) = X( ) = G( )E [ G( )] = i= ( ) i= G F i ( )F ( ) E( ) GF ( )F i ( ) (8.4) i pa je kompoea greške ( ), koja je poljedica dejva meji a iem, rava: i= G E F i ( )F ( ) i E ( ) = (8.5) G( ) Po pricipu uperpozicije, ukupa greška E() je rava: E( ) = E ( ) E ( ) (8.6) Neka e, prema predpoavci, ima pecijala lučaj kada ema dejva meji a iem. Neka je do reuka =, kada e počije pomarai iem, bilo i e ( ) = i eka je u om reuku došlo do promjee zadae-referee vrijedoi u ( ). Sada e pomara ša e dešava ako vremea porebog da e upoavi acioaro aje, j. ako prelazog procea. Neka je dejvo a iem u obliku odkoče fukcije: i 75

10 8. Ocjea kvaliea poašaja SAU i krieriji za iezu u( ) r = r h( ) U( ) = L{ r h( )} = (8.7) gdje je h ( ) jediiča odkoča fukcija: o je:, h ( ) = (8.8), < { E ( )} e( ) = L (8.9) Tako e a oovu oobie Laplaceove raformacije o krajjoj vrijedoi, koja može bii ikazaa relacijom lim e( ) = lim E( ), dobija da je: r lim e( ) = lim = lim G( ) r G( ) (8.3) Poželjo je da vrijedo limea (8.3) bude rava uli. U lučaju kada je vrijedo limea (8.3) različia od ule ada e klop e može vraii u prvobio aje, j. e može izvršii rekorukciju ulazog igala (zadae vrijedoi). Zbog oga je začaja zv. epe aaizma ovoreog iema. Neka, po predpoavci, preoa fukcija G ( ) ima oblik: G( ) Pm ( ) Pm ( ) = K = K, m < (8.3) r Q ( ) Q ( ) r Broj r e zove epe aaizma ovoreog iema. Za r = epe aaizma je ulog reda, odoo akav iem je aaički. Sada je: r lim e( ) = lim = Pm ( ) K r Q ( ) = lim r r r > Q, r r ( ) = Q, = r ( ) KPm ( ) r r (8.3) Ako e uvede ozaka: ada je: K p KPm ( ) = lim G( ) = lim (8.33) r Q ( ) r 76

11 Lieari iemi auomakog upravljaja r r r lim e( ) = lim = = G( ) lim G( ) K p (8.34) Vidi e da u lučaju kada aalizirai iem pojeduje aaizam, r, i pr. ako e ima aaizam bar prvog reda ada je K =, pa je greška polije završeka prelazog procea rava uli: p lim e ( ) = (8.35) i ema greške u acioarom aju, j. aička greška je ula. Za lučaj kada je r =, koeficije K ima eku koaču vrijedo i aziva e koeficije pojačaja iema. p Pošo je lim e ( ) = r / ( K ) p, o lijedi da e aička greška može majii povećajem pojačaja regulaora. Međuim, ovo pojačaje e e može povećevai u bekoačo, kada bi e u popuoi elimiiala greška u ovom acioarom aju, ali e možda može vei u ehologijom dozvoljee graice odupaja oko zadae vrijedoi. Druga mogućo uicaja, pa i popuog elimiiaja aičke greške, je preko aaizma iema. Kako objeki običo e pojeduju aaizam, o je eophodo u regulaor koji je opia preoom fukcijom G r ( ), uvei aaizam bar prvog reda, j. porebo je koriii pr. PI regulaor. Još je porebo pomarai uicaj promjea meje, pr. po zakou odkoče fukcije, j.: k ( ) = f k (8.36) F gdje je f k ampliuda ih promjea. U ovom lučaju preoa fukcija u odou a grešku mora imai aaizam bar prvog reda da e ebi uoila raja aička greška. Ako e pogleda liku 8.9, ada meja F ( ) eće reprodukovai raju aičku grešku, dok će meja F ( ) proizvodii raju aičku grešku ako iem, koji je opia preoom fukcijom G ( ), e pojeduje aaizam. F () F () U() _ G () X() Slika 8.9. Dejvo meji a iem u obliku odkoče fukcije i jihov uicaj a aičku grešku 77

12 8. Ocjea kvaliea poašaja SAU i krieriji za iezu Neka e ada ima brziki ervomehaizam za koji je: u( ) = v h( ) (8.37) Ako je v = co., ekuće vrijeme, a h ( ) jediiča odkoča fukcija, ada je / U ( ) = v, o bi kompoea greške koja je poljedica eveualih promjea brzie bila: v E( ) = (8.38) ( G( )) pa bi aička greška, razlika između zadae i vare vrijedoi polije završeka prelazog procea, bila: v lim e( ) = lim E( ) = lim G( ) v v v = lim = lim = G( ) G( ) K v = (8.39) Da bi ova graiča vrijedo bila rava uli porebo je da G ( ) ima aaizam bar drugog reda. U poljedjoj relaciji je: K v = lim G( ) (8.4) i aziva e koaa pojačaja po brzii. Za koače vrijedoi K v vara vrijedo će bii različia od zadae. Za lučaj da je K v =, G() ema aaizma, j. r =, greška će ežii u bekoačo. Za preoe fukcije koje imaju aaizam prvog reda lim e ( ) će imai koaču vrijedo, koja je različia od ule, odoo, x ( ) će praii u ( ) a koačim odupajem. Tada e javlja koaa brzika greška. Ova greška e može majii povećavajem koeficijea pojačaja, ali amo do određee rezerve abiloi (koeficije pojačaja pripada klai realih i fizički ovarivih iema i e može e povećavai u bekoačo). Dejvo, odziv i pojava greške kod brzikog ervomehaizma je prikazaa a lici 8.. Takođe je moguće pomarai i grešku koja aaje uljed promjee ubrzaja refereog igala. Neka je, prema predpoavci, da referei igal: u( ) = a h( ) (8.4) gdje je a = ko., je ekuće vrijeme, a h ( ) jediiča odkoča fukcija. Sada je: 78

13 u() Lieari iemi auomakog upravljaja a U ( ) = (8.4) 3 u() x() e() x() Slika 8.. Dejvo, odziv i greška kod brzikog ervomehaizma Tako e dobija da je: E a ( ) = (8.43) G( ) Iz relacije (8.43) lijedi da je: a a a lim e( ) = lim E( ) = lim = lim = G( ) G( ) K a (8.44) pri čemu je: K a = lim G( ) (8.45) Kada je K = kompoea greške eži uli, ali u ovome lučaju G ( ) mora imai a aaizam bar rećeg reda r=3. Za lučaj kada je R aička greška ije rava uli ali ima koaču vrijedo. U ovom lučaju G ( ) mora imai aaizam drugog reda. Za K a \ { } lučaj da je K a = greška divergira. Ove mogućoi u prikazae a lici 8.. Neka e ada pomara opši lučaj kada je u ( ) proizvolja fukcija koja pripada klai fukcija ipa počeih ulova i čiji je kompleki lik U ( ). Već je određea greška koja poiče od promjea ulazog igala: 79

14 8. Ocjea kvaliea poašaja SAU i krieriji za iezu E( ) = U( ) (8.46) G( ) x() u() u() x(), K = a a x(), K = Slika 8.. Dejvo, odziv i greška koja je poljedica promjee ubrzaja refereog igala Saička greška može bii određea primjeom oobie Laplaceove raformacije o koačoj vrijedoi: e( ) = lim E( ) = lim e( ) (8.47) Pozao je da acioara greška zavii od poljašjeg dejva, rukure amog iema i parameara iema. U lučaju da je ulaza fukcija u ( ) diferecijabila u iervalu < <, ada e e ( ) može razvii u Taylorov red: du( ) C d u( ) Cm d u( ) e ( ) = Cu( ) C L L (8.48) d! m! m d d gdje u C i, i =,,,...,m,..., geeraliai koeficijei aičke greške koji e određuju pomoću preoe fukcije iema u odou a igal greške. Za lučaj kada je: e ima: U( ) E( ) = (8.49) G( ) E( ) m = C C C L Cm L U( )! m! (8.5) m pri čemu e koeficijei C, i =,,,...,m,..., određuju a ljedeći ači: i 8

15 Lieari iemi auomakog upravljaja C C = ; C G( ) = = ;...; C G( ) = = ; G( ) m m = = m ;... (8.5) G( ) Geeraliai koeficije C e aziva koeficije aičke greške, geeraliai koeficije C e aziva koeficije greške po brzii, a geeraliai koeficije C e aziva koeficije greške po ubrzaju. Reciproče vrijedoi geeraliaih koeficijeaa C i C e zovu koeficijei dobroe po brzii i po ubrzaju, repekivo. Sada e mogu odredii kompoee greške: = = C u( ) ; du( ) ev = C d ; d u( ) e a = C ;...; d e m d u( ) e m = Cm ;... (8.5) m d pri čemu je e aička greška, e v greška po brzii, a e a greška po ubrzaju. 8.. Procjea kvaliea upravljaja a oovu vremekog oka upravljae veličie U praki e čeo pua pojavljuju problemi zbog epozavaja preoe fukcije u ovoreom G ( ), ili preoe fukcije zavoreog iema W ( ) = G( ) /( G( )), ili karakeriiče jedačie Q ( ) =, ili ampliudo faze karakeriike G( jω ) ili Bodeovih dijagrama. U ovakvim lučajevima je ajjedoavije imii odziv iema x ( ) a odkoču fukciju u ( ). Tipiči odziv iema je prikaza a lici 8.. u() x() x max x() x( ) ε u() Slika 8.. Odziv iema a odkoču fukciju 8

16 8. Ocjea kvaliea poašaja SAU i krieriji za iezu Aalizom dijagrama a like 8. e dobija čiavi iz koriih pokazaelja o kvalieu upravljaja proceom. Dijagrami odziva iema mogu bii i drugačiji, pa u avedei eki karakeriiči primjeri prelazih procea koji e čeo pojavljuju u praki. Neka e ima rukura upravljaja kao a lici 8.3, ada u ipiči odzivi a jediiču odkoču fukciju h ( ) prikazai a lici 8.4. u() = h() _ G () x() Slika 8.3. Blok rukura iema upravljaja u praki u() = h() u() h() ULAZ x() APERIODSKI ODZIV a) b) x() x() x() LOŠ ODZIV x() DOBAR ODZIV c) d) Slika 8.4. Tipiči odzivi iema upravljaja a jediiču odkoču fukciju: jediiča odkoča fukcija (a), odziv aperiodkog bloka prvog reda (b), loš kvaziocilaori odziv (c) i dobar odziv a malim prvim prekokom (d) Dealja prikaz kvaziocilaorog odziva prikaza je a lici 8.5, gdje u koirai eki od iereaih parameara i da grafički ači jihovog određivaja. Na lici 8.5 je: u vrijeme upoa, k vrijeme kašjeja, vrijeme mirivaja prelazog procea, 8 T p kvazi

17 Lieari iemi auomakog upravljaja period, T d domiao vrijeme ili vremeka koaa ekpoecijale ovojice igala a izlazu, x( ) ovo acioaro aje, x( ) vrijedo prvog prekoka preko x max ovog acioarog aja i x( ) vrijedo prvog prekoka ipod ovog acioarog aja. x mi Dijagram a like 8.5 je za praku od poebe važoi. Da bi e ovakav dijagram mogao imii u praki o iem upravljaja mora, prije vega, bii abila i mora imai određeu rezervu abiloi. Za praku je bio da odziv, a ime i ipiča vremea odziva budu uuar ekih propiaih ili ehologijom zahijevaih graica. Prije vega, da e oko ovog acioarog aja javljaju ocilacije čije u ampliude prigušee po evelopi koja je defiiaa domiaim vremeom T d i koaim kvaziperiodom ocilovaja T p. Broj ih ocilacija je ajčešće jeda do dvije, a jako rijeko miju bii ri ili čeiri. Brzia reagovaja iema e približo procjejuje a oovu vremea mireja, a o je vrijeme koje proeke od reuka kada je poremećaj djelovao a iem do reuka kada u e kvaziocilacije mirile uuar zoe ε, j. do reuka kada je zadovoljea relacija: x( ) x( ) ε x( ) (8.53) pri čemu je ε uaprijed zadaa mala vrijedo i običo izoi ε =,, 5. x() Td x _ max x( ) x _ mi x( ) % 9% ε 5% Tp x( ) % k u Slika 8.5. Kvaziocilaori odziv iema i iereai parameri Sam iem, čiji je odziv a odkoču fukciju prikaza a lici 8.5, je klo ka ocilovaju, pa je porebo povei račua o rezervama abiloi i prvom prekoku izad ovog acioarog aja. Tako e defiiše ekpoecijali prekok kao: xmax x( ) δ [% ] = % (8.54) x( ) 83

18 8. Ocjea kvaliea poašaja SAU i krieriji za iezu Dopušee vrijedoi za [% ] δ e dobiju u odgovarajućim priručicima i ablicama. Najčešće e alaze u graicama od % do 3%, a vrlo rijeko e mogu kreai i do 7%. δ % =. Kod aperiodičih odziva je [ ] % Sepe ocilaoroi ili kloo iema ka ocilovaju e može defiiai kao: x mi x( ) ρ [% ] = % (8.55) x x( ) max i poželjo je da ovaj fakor bude šo maji. Maji epe ocilaoroi kaže da je iem maje klo ocilovaju, da je prelazi režim kraći i da je veća brzia reagovaja. Vrijeme kašjeja k je moguće defiiai i a ači kako je o prikazao a lici 8.6. Sada je k određeo kao vrijeme koje proeke od reuka dejva poremećaja, u ovom lučaju odkoče fukcije, pa do reuka kada pravac povuče u prevojoj ački prejeca vremeku ou. x() k Slika 8.6. Drugi ači određivaja vremea kašjeja Primjer 8.. Većia iema e u praki kvaliaivo poaša kao zavorei iem drugog reda, čija preoa fukcija u domeu ima oblik: W( ) = T ξt (8.56) ili u j ω domeu: ω W( jω ) =, T ξω ω ω = / (8.57) 84

19 Lieari iemi auomakog upravljaja gdje je ω priroda učeao, a ξ koeficije prigušeja iercioog iema drugog reda. Sada e mogu acrai logariamke ampliudo frekvee (AF) i fazo frekvee (FF) karakeriike iema (8.56), lika 8.7. Sa like 8.7 e vidi da e javlja karakeriiči rezoai vrh a AF karakeriici, a koji direko uiče a propui opeg. Ukoliko je propui opeg veći, j. ukoliko je ω veće, uoliko je odziv brži a vrijeme upoa i kašjeja maje. Ukoliko je a AF karakeriici rezoai vrh veći, uoliko je veći i prvi prekok, a ime je veće i vrijeme mirivaja. Makimum a AF karakeriici određuje i karakeriše rezoaa učeao ω i oa ije ideički jedaka ω. Dalje je očigledo da ξ kvaliaivo povezuje paramere u frekveom i vremekom domeu. Ako a ulaz iema djeluje odkoča fukcija:, u ( ) = h( ) = U( ) = L{ h( )} = / (8.58), < rez A db ϕ o logω logω Nagib -4 db/dek π π Slika 8.7. AF i FF karakeriika iercioog iema drugog reda ada je odziv u domeu kompleke promjeljive i vremekom domeu da kao: ω X( ) = W( )U( ) = (8.59) ξω ω = x ( ) L { X( )}= h = e ξω ξ gdje je ( ) ϕ ξ i ω ξ arcco ( ξ ) h( ) (8.6) = arcco počea faza, dok je domiao vrijeme Td = / ξω. Pozao je = 3 5 T, pa e a ovaj ači i da e za vrijeme mirivaja može uzei da izoi ( ) d određuje u praki. Sam izgled fukcije x h ( ), koja predavlja odziv iercioog bloka drugog reda (8.56) a jediiču odkoču fukciju (8.58), je prikaza a lici 8.5. Izvod fukcije x h ( ) predavlja odziv iema a impulu fukciju δ ( ), jer je: 85

20 8. Ocjea kvaliea poašaja SAU i krieriji za iezu { ( )} L δ = (8.6) odoo: ω dxh ( ) xδ ( ) = L { W( )} = L = (8.6) ξω d ω Tako e dobija: ω ξω x ( ) e i δ = ω ξ h( ) (8.63) ξ Iz ovih relacija e dobija vrijeme prvog prekoka u odkočom odzivu: π = (8.64) ω ξ a kvazi period je: T p π = (8.65) ω ξ Takođe je moguće dobii i veličiu prvog prekoka u odkočom odzivu. U lučaju kada je ξ = e ima čio ocilaori lučaj makimalim prekokom od %, jer e ocilacije e prigušuju, vrijeme mirivaja eoreki je bekoačo dugo, a makimala vrijedo izlaza je. Zavio prvog prekoka iema od fakora prigušeja je daa a lici 5. u poglavlju 5. Ako e kompleka promjeljiva u relaciji (8.56) zamijei jeim imagiarim dijelom, = jω, ada e dobija: W( jω ) = (8.66) T ω jξtω odakle e dobijaju AF i FF karakeriike: W( jω ) = log ( T ω ) 4ξ T ω [ db] ξtω arg W( jω ) = arcg (8.67) T ω 86

21 Lieari iemi auomakog upravljaja Iz ulova: d W( jω ) = dω (8.68) e dobija rezoaa frekvecija: ω = ξ (8.69) T rez Pri ome je viia rezoaog vrha: M rez = W( jωrez ) = [ db] (8.7) ξ ξ Vrijeme kašjeja e može odredii iz relacije: dϕ( ω ) = ω = ω gα (8.7) dω k = j. određeo je agibom u prevojoj ački FF karakeriike, lika 8.8. A db ϕ o α ω ω rez. ω p PROPUSNI OPSEG ω Slika 8.8. Određivaje propuog opega i vremea kašjeja kod iercioog bloka drugog reda 8.3. Iegrali krieriji za ocjeu kvaliea prelazog procea Oovi edoaak vih krierija koji u bazirai a vremekom izgledu odziva iema a odkoču fukciju je ubjekivo pri ocjejivaju od rae čovjeka. Zao e uvode i defiišu krieriji za ocjeu kvaliea prelazog procea a kvaiaivim i objekivim mjerama. Oova zadaća vakog iema upravljaja je držaje upravljae veličie a 87

22 8. Ocjea kvaliea poašaja SAU i krieriji za iezu uaprijed zadaoj vrijedoi, pa je regulacioa greška e ( ) veličia koja oi ve pokazaelje o kvalieu prelazog procea. Zao u SAU ije amo važo da bude zadovoljea relacija lim e( ) =, već da oa bude mala i u oku prelazog procea. Idealo bi bilo da je e( ), ako dejva amjerog i/ili eamjerog poremećaja. Najopšiji krierij za "malo" greške je iegrali krierij, koji kaže da je greška mala ako iegral: I = e( )d (8.7) ima malu vrijedo. Međuim, greška e ( ) može bii i maja i veća od ule, kao šo e vidi a lici 8.9c, pa e eke vrijedoi poišavaju u relaciji (8.7), šo može avei a pogreše zaključke o kvalieu prelazog procea. Zao u defiiai i drugi krieriji za ocjeu kvaliea prelazog procea kao šo u: I I I I I = e ( ) d (8.73) 3 = e ( ) d (8.74) 4 = e( ) d (8.75) 5 = e( ) d (8.76) 6 [ e ( ) T e ( )] d = & (8.77) kao i liči krieriji koji e mogu urei u praki. U relacijama (8.7)-(8.77) regulaciou grešku e ( ) predavlja razlika zadae vrijedoi u ( ) i aja objeka upravljaja x ( ) : e( ) = u( ) x( ) (8.78) Izgled pojediih iereaih veličia e može prikazai dijagramima kao a lici 8.9. Idealo bi bilo da je e( ),, međuim, reali iemi upravljaja e mogu amo približii ovome zahjevu. Poupak miimizacije iegrala I, =,,..., k, e vodi a pravi izbor parameara objeka upravljaja ili češće parameara regulaora. Ovi parameri e mogu ozačii a λ, pa e za regulaciou grešku može piai: i e( ) = u( ) x(, λ ) (8.79) i 88

23 Lieari iemi auomakog upravljaja u() x() u() a) b) e() e () c) d) I = e ()d e) Slika 8.9. Vremeki dijagrami zadae vrijedoi (a), odziva iema (b), regulacioe greške (c), kvadraa regulacioe greške (d) i iegrala kvadraa regulacioe greške (e) jer odziv iema zavii od pobude, kao i od parameara objeka upravljaja i parameara regulaora. Zao je eophodo poupak miimizacije izvei šo jedoavije, šo je poekad moguće uradii rješavajem amog iegrala I. Tako a primjer, može e poći od iegrala I, koji e mije pomožii jediicom a ljedeći ači: 89

24 8. Ocjea kvaliea poašaja SAU i krieriji za iezu I = e( )d = lim e( )e d = lime( ) = E( ) (8.8) šo omogućava direko i jedoavo račuaje ako je pozaa preoa fukcija iema G ( ) ili regulacioa greška E ( ). Pošo e ( ) mijeja zak, o e I mi može dobii bliko uli, čak i za objeka upravljaja koji e alazi a graici abiloi, kao a lici 8.. I Iz relacije =, i =,,...,, e dobijaju ražee vrijedoi parameara λ i za koje je λi vrijedo iegrala miimala. x() Slika 8.. Objeka upravljaja koji e alazi a graici abiloi Ideiča priup e korii i u lučaju kada e odabere krierij ocjee kvaliea prelazog režima koji je defiia relacijom (8.73), kojom je defiia I. Sada je: = e ( )d = lim e ( )e d = lim F( ) = F( ) I (8.8) pri čemu je f ( ) e ( ) = i F( ) L{ e ( )} =. Za izračuavaje iegrala I 3 korii e oobia o difereciraju komplekog lika F ( ), prema kojoj e ima: d F( ) d = d d f ( )e d = f ( )e d = L { f ( )} (8.8) Tako vrijedo iegrala I 3 poaje: τ = = d I 3 e ( )d lim e ( )d = lim F( ) τ (8.83) d 9

25 Lieari iemi auomakog upravljaja 8.4. Krierij podešavaja parameara prema Ziegleru i Nicholu Dealjo u razrađei ipiči objeki upravljaja koji e ajčešće ureću i ipiči regulaori koji e ajčešće korie u praki. Pri ome u čeo pua epozai eki parameri objeka upravljaja λ, i =,,..., k, koji e moraju kvaliaivo ideificirai. Kao krajji rezula i moraju e odredii parameri regulaora λ r, koji će obezbjedii ražei kvalie objeku upravljaja. Ta zavio e može ikazai relacijom: λ = f ( λ ) (8.84) r i koja mora bii šo jedoavija, a po mogućoi eka jedoava algebarka jedačia ili jedoava grafička zavio. U praki e ajčešće korii krierij podešavaja parameara prema Ziegleru i Nicholu, koji za uvojei ip daje lahko određivaje parameara regulaora. Ovaj krierij je poebo pogoda za aaičke objeke prvog reda a čiim raporim kašjejem, a koji e mogu opiai preoim fukcijama (8.85) i (8.86): i G( ) G( ) τ e = (8.85) T τ Ke = T (8.86) ako e za jih korie regulaori iz klae PID. Ovaj krierij obezbjeđuje da objeka upravljaja ima kvazioclaori odziv, a prvim prekokom do cca % i dvije do ri kvazi ocilacije, lika 8.. x() x() x(), u() u() max Smeja z(), z a) b) Slika 8.. Kvaziocilaori odziv a prvim prekokom do % i dvije do ri kvazi ocilacije a odkoču fukciju (a) i meju (b) Sam krierij polazi od rukure iema koja je daa a lici 8., a koje e vidi da direka graa adrži regulaor i objeka upravljaja, e da je iem zavore jediičom egaivom povraom pregom. 9

26 8. Ocjea kvaliea poašaja SAU i krieriji za iezu u() P x() Slika 8.. Srukura iema za primjeu krierija prema Ziegleru i Nicholu Na počeku reba regulaor podeii ako da oae amo P kompoea, bez obzira a o koji će regulaor iz klae PID bii koriše. Zao, ako e korii PID regulaor, čija je preoa fukcija: Gr ( ) = K Td (8.87) Ti reba uzei da u T d = i T i = (odoo makimalu vrijedo T i max ). Zaim e a iem upravljaja dovodi mala meja, šo e u ajvećem broju lučajeva izvodi promjeom ulaza u ( ) za u. Zaim e mijeja vrijedo pojačaja regulaora K ve dok iem e dođe a graicu abiloi, kada će izlaz iema doći u aje ocilovaja a koaom ampliudom i koaom kružom učeaošću, lika 8.3. x() x( ) T Slika 8.3. Sacioare ocilacije a izlazu iema prilikom podešavaja PID regulaora Prilikom izvođeja ovoga ekperimea reba poebo vodii račua da poremećaji a ulazu iema u budu mali, koji će a izlazu iema izazvai ocilacije male ampliude. Ovaj zahjev mora bii ipuje, jer izvrši orga pri ovome ocilovaju e mije dolazii u krajji položaj, šo obezbjeđuje liearo upravljaja. Neipujeje ovog zahjeva može dovei do dobijaja pogreših rezulaa. Kada e u iemu upoavi acioari režim ocilovaja, ada e očia poavljea vrijedo a P regulaoru K, a a dijagrama izlaza e odredi period ocilovaja T. Ova 9

27 Lieari iemi auomakog upravljaja dva paramera ( K,T ), kriičo kružo pojačaje i opvei period ocilovaja T = π / ω, predavljaju podake a oovu kojih e izračuavaju parameri regulaora. Opimalo podešavaje parameara PID regulaora, prema meodi Zieglera i Nichola, dao je veoma jedoavim algebarkim relacijama: P regulaor: PI regulaor: PD regulaor: PID regulaor: K p =,5 K (8.88) K p =,45 K, T i =,85T (8.89) K p =,55 K, T d =,5T (8.9) K p =,53K, T i =,5T, T d =,T (8.9) 8.5. Procjea kvaliea upravljaja Neka je, prema predpoavci, pozaa karakeriča jedačia objeka upravljaja i eka je daa kao: a a L a a = (8.9) koja ima rješeja i, i =,,...,, koja mogu bii jedoruka ili višeruka kao i reala ili u obliku kojugovao komplekih parova. Da bi iem bio abila ova rješeja moraju ležai u lijevoj poluravi kompleke ravi { }. Sama rješeja karakeriiče jedačie predavljaju polove preoe fukcije G ( ) i jihov ipiči rapored kod abilih iema izgleda kao a lici 8.4. Sama lokacija korjea karakeriiče jedačie u komplekoj ravi { } bio uiče a karaker, oblik i ok aja objeka upravljaja, a oovu čega e defiišu eki bii parameri objeka upravljaja. Sepe abiloi predavlja apoluu vrijedo realog dijela ajbližeg korjea karakeriče jedačie Q ( ) = od imagiare oe. Tako e može imai aperiodki odziv, lika 8.4a, i kvaziocilaori prigušei odziv, lika 8.4b. Pozao je, da je prelazi proce abilih liearih iema da umom člaova ili ekpoecijalo opadajućih 93

28 8. Ocjea kvaliea poašaja SAU i krieriji za iezu fukcija ili prooperiodičih fukcija koje u prigušee po opadajućoj ekpoecijaloj fukciji. I jede i druge ekpoecijale fukcije u ekpoeu imaju reali dio rješeja karakeriiče jedačie Q ( ) =, od čega će direko zaviii prigušeje ili vremeko rajaje pojediih člaova u odzivu. Tako će ajduže rajai čla u odzivu koji je poljedica ajbližeg korjea imagiaroj oi j ω, pa ovaj korje ima ajveći uicaj a prelazi proce i aziva e domiaim korjeom. jω jω σ σ σ σ a) b) Slika 8.4. Rapored korjea karakeriiče jedačie kod aperiodkog odziva (a) i kvaziocilaorog prigušeog odziva (b) To zači da e karaker prelazog procea može ocijeii a oovu pozavaja raporeda korijea karakeriiče jedačie u lijevoj poluravi kompleke ravi { }. Ako je ajbliži korje imagiaroj oi j ω reala, lika 8.4a, ada je čla odziva koji je poljedica ovog korjea a ajdužim vremekim rajajem, pa je odziv aperiodičo priguše. Ako je ajbliži korje imagiaroj oi j ω u obliku kojugovao komplekog para, lika 8.4b, ada je čla odziva koji je poljedica ovog korjea a ajdužim vremekim rajajem, pa je odziv kvazi ocilaoro priguše. Grafici ovih odziva u dai a lici 8.5. x() x() a) b) Slika 8.5. Aperiodki odziv (a) i kvazi ocilaori odziv (b) Ampliude kvazi ocilaorog odziva iema opadaju po evelopi: 94

29 Lieari iemi auomakog upravljaja x( ) σ = X e, σ > (8.93) pa e prelazi proce može marai završeim kada vrijedo odziva x ( ) opade a eku uaprijed zadau vrijedo X ε. Iz relacije: x ( ) = X ε (8.94) gdje je ε uaprijed određe mali poziivi broj, običo izoi do 5%, e određuje vrijeme mireja u zavioi od σ i ε. Ta zavio je: = l (8.95) σ ε šo za graicu mireja od %, koja e čeo korii u praki, da je ε =,, odoo: 4,6 = l = (8.96) σ σ Ako e uaprijed zada vrijeme za koje reba da e završi prelazi proce, ada e uvijek može formirai karakeriiča jedačia čiji će ajbliži korje imagiaroj oi j ω zadovoljavai relaciju: 4,6 σ max = (8.97) ε =, Pojam ocilabiloi predavlja kloo iema ka ocilovaju, e ga je porebo uaprijed pozavai ili odredii a oovu ehologije procea. Zbog relaivo velikih varijacija upravljae veličie može doći do havarije a objeku upravljaja, čak i kada e radi o abilom iemu upravljaja. Ovo ocilovaje je poljedica poojaja jedog domiaog kojugovao komplekog korjea = σ ± jω. Zao e kao mjera klooi iema ka ocilovaju uvodi pojam ocilabiloi µ, koja predavlja količik imagiarog i realog dijela og domiaog kojugovao komplekog korjea: ω µ = (8.98) σ Neka je µ =, iem ema domiai kojugovao kompleki par korjea, pa e radi o aperiodkom odzivu. Ako je µ, iem ima domiai kojugovao kompleki korje, pa e iz odziva prigušeih ocilacija može odredii opadaje ampliude za vrijeme od jedog kvazi perioda T p, pri čemu je T p = π / ω. Mogući kvazi ocilaori odziv je prikaza a lici

30 8. Ocjea kvaliea poašaja SAU i krieriji za iezu x() Tp x =x( ) x = x( ) Slika 8.6. Kvazi ocilaori odziv iema U reuku = je prva makimala vrijedo odziva: x σ e = x( ) = X (8.99) Nako jedog kvazi perioda T p je reuak = : π = (8.) ω u kome je vrijedo odziva ešo maja i izoi: x σ ( π / ω ) e = x( ) = X (8.) Prigušeje u oku jedog kvazi perioda e može defiiai kao relaivi pad ampliude: x x π / µ χ = = e (8.) x pa e ocilabilo procea može izrazii kao: π µ = (8.3) l( χ ) U praki e ajčešće zahijevaju vioke vrijedoi za χ, pa e za uaprijed zadau i/ili dobijeu iz eholoških ulova vrijedo χ određuje ocilabilo µ = ω / σ. 96

31 Lieari iemi auomakog upravljaja Određea ili zadaa vrijedo ocilabiloi iema µ e može grafički predavii u komplekoj ravi { }, u kojoj e lociraju korjei karakeriiče jedačie Q ( ) =, lika 8.7a. Sa like 8.7a e vidi da zahjev a zadau vrijedo ocilabiloi µ zad dovodi do začajog majeja lijeve poluravi kompleke ravi { }, u kojoj mogu bii lociraa rješeja karakeriiče jedačie. Ugao α a lici 8.7a e određuje pomoću relacije: α = arcgµ zad (8.4) Zahjevu a zadau ocilabilo e dodaje zahjev zadaog epea abiloi σ. To dovodi do ovog majeja lijeve poluravi komleke ravi { }, u kojoj mogu bii lociraa rješeja karakeriiče jedačie, lika 8.7b. jω σ jω = σ jω OBLAST: µ<µ zad. α σ OBLAST: µ<µzad. σ<σzad. α σ = σ jω a) b) Slika 8.7. Zahjevi koji e ameću a ocilabilo (a) i epe abiloi (b) Na ovaj ači e dobija poželja i epoželja obla u kojoj mogu bii lociraa rješeja karakeriiče jedačie iema Q ( ) =, lika 8.8. Na ovoj lici pravac AB predavlja zahjev za porebim epeom abiloi, dok pravci kroz koordiai počeak i C i D predavljaju zahjev za porebom ocilabilošću iema. Primjer 8.. Neka e pomara iem čija je preoa fukcija: G( ) Kω = (8.5) ξω ω čija karakeriiča jedačia ima oblik: = Q ( ) = ξω ω (8.6) 97

32 8. Ocjea kvaliea poašaja SAU i krieriji za iezu a koja ima rješeja:, ± j = ± j = σ ω ξω ω ξ (8.7) C A jω NEPOŽELJNA OBLAST POŽELJNA OBLAST D B σ Slika 8.8. Poželja i epoželja obla lociraja rješeja karakeriiče jedačie Očigledo je, = ω, za ve vrijedoi ξ iz egmea ξ, šo e može prikazai kao a lici 8.9. Na ve SAU e ameće ulov abiloi, j. rješeja karakeriiče jedačie moraju imai egaiva reali dio σ <. Da bi vrijeme mirivaja bilo šo maje, koje izoi ( 3 5) T d i očigledo je ograičeo ajvećim dozvoljeim vremeom mirivaja, o va rješeja karakeriiče jedačie moraju bii lociraa lijevo od prave AB koja je paralela imagiaroj oi, lika 8.3a. Dobijea je dozvoljea površia u kojoj mogu bii lociraa rješeja karakeriiče jedačie, a koja će iovremeo zadovoljavai ameui ulov abiloi. Takođe je pozao, da priuvo para komplekih korjea daje ocilaori karaker iemu, pa e, da odziv ebi "bio previše loš", moraju ograičii makimale ampliude ih ocilacija. Ovo ameće dodai ulov da korjei karakeriiče jedačie reba da leže ipod polupravca OC i izad polupravca OD, lika 8.3b. Tako e dobija poželja obla u kojoj bi rebali da leže korjei karakeriiče jedačie, koja je prikazaa a lici 8.8. Primjer 8.3. Najčešće e jeda paramear iema mijeja, pr. pojačaje K, a pri ome e pomaraju efeki promjea og paramera. Drugim rječima, pomara e promjea položaja korjea i ako dobija geomerijko mjeo korjea uuar poželje oblai, a oovu čega e zaim određuju vrijedoi paamera K. Kao primjer e može aalizirai iem čija je preoa fukcija: G ( ) = K / ( a ) (8.8) 98

33 Lieari iemi auomakog upravljaja C A jω ω ξ= co. jω - ξ ξω α ϕ = arc co( -ξ) σ jω - ξ D B Slika 8.9. Rapored korjea karakeriiče jedačie iercioog iema drugog reda jω jω A C σ σ B D a) b) Slika 8.3. Nameaje ulova da vrijeme mirivaja bude u dozvoljeim graicama (a) i da odziv e bude previše loš (b) gdje je K promjeljivi paramear. Preoa fukcija iema zavoreog jediičom egaivom povraom pregom, koji u direkoj grai ima blok G ( ), je: 99

34 8. Ocjea kvaliea poašaja SAU i krieriji za iezu G( ) K W( ) = = (8.9) G( ) ( a ) K Karakeriiča jedačia ada glai: a jei korjei u: ( a ) K = (8.), a a a a = ± K = ± j K (8.) Dijagram promjee vrijedoi paramera K je da a lici 8.3. K Im = a K= 4 K= a R e ( a,) = K= Slika 8.3. Dijagram promjee paramera K i poželja obla položaja korjea karakeriiče jedačie Vidi e da za ve vrijedoi paramera K rajekorija oaje u lijevoj poluravi kompleke ravi { }, pa je dai iem abila bez obzira a promjee paramera K. Međuim, prevelike vrijedoi paramera K loše uiču a kvalie prelazog procea, šo e zaključuje a oovu poželje oblai. Predo ove meode je u mogućoi određivaja graica poželjih vrijedoi paramera K. Ove rajekorije e azivaju korjekim hodografom, a pravila za jegovo craje u urađea u poglavlju 7. 3

35 8.6. Idek abiloi iema Lieari iemi auomakog upravljaja Nekada ije zgodo određivai rezerve abiloi po modulu i po fazi, ego e korii idek abiloi koji predavlja iegralu rezervu abiloi, koja e određuje iz ampliudo faze karakeriike iema upravljaja u ovoreom. Ampliudo faza karakeriika W( jω ) iema upravljaja zavoreog jediičom egaivom povraom pregom, kod koga je ampliudo faza karakeriika direka grae G( jω ) - iema u ovoreom, je: G( jω ) W( jω ) = (8.) G( jω ) odakle e dobija da je ampliudo frekvea karakeriika rava: G( jω ) W( jω ) = (8.3) G( jω ) Ampliudo frekvea karakeriika liearih abilih iema ima karakeriiča ok a ili bez izraziog makimuma M, kao šo je prikazao a lici 8.3. W( ω) W() max A Mmax M ω A ω = ω p ω M= ω rez. ω Slika 8.3. Karakeriiči izgled ampliudo frekvee karakeriike liearih iema Makimum fukcije a lici 8.3 određuje idek abiloi iema. Šo je M max veće, iem je lošije priguše i pokazuje veću kloo ka ocilovaju. Dopušea vrijedo za M max zavii od ulova ekploaacije iema i u praki kod dobro prigušeih iema reba da e alazi imeđu, i,5. U pecifičim lučajevima, kada o dozvoljava ehologija objeka upravljaja, prihvaljive u vrijedoi i do ili,5. Aaliza prigušeja procea pomoću ideka abiloi je pogoda iz razloga šo za jegovo određivaje ije porebo crai i račuai fukciju W( jω ), ego e cijeli poupak izvodi 3

36 8. Ocjea kvaliea poašaja SAU i krieriji za iezu aalizom ampliudo faze karakeriike iema u ovoreom. Naime, ordiaa ačke A a lici 8.3 zavii od modula fukcije W( jω ), j. W( jω ) : M = M( ω ) = W( jω ) = G( jω ) G( jω ) pri čemu je G( jω ) = u( ω ) jv( ω ) i predavlja ampliudo fazu karakeriiku iema u ovoreom. Preoa fukcija iema, koji u direkoj grai ima fukciju G( jω ) i koji je zavore jediičom egaivom povraom pregom, e može predavii u polarim koordiaama: jϕ( ω ) G( jω ) u( ω ) jv( ω ) W( jω ) = M( ω ) e = = (8.4) G( jω ) u( ω ) jv( ω ) Iz relacije (8.4) može e odredii: u( ω ) jv( ω ) u ( ω ) v ( ω ) M( ω ) = = (8.5) u( ω ) jv( ω ) ( u( ω )) v ( ω ) Sređivajem relacije (8.5) e dobija jedačia familije kružica: M ( ) M( ) ω u( ) v ( ) ω ω ω = (8.6) M ( ) M ( ) ω ω Relacija (8.6) predavlja jedačie kružica čiji ceri leže a realoj oi, a koordiae ih ceara u u( ) = M ( ω ) / ( M ( ω ) ) r = M( ω ) / ( M ( ω ) ) ω i v ( ω ) =. Poluprečik ovih kružica je. Varirajući vrijedoi za M, u iervalu od do, može e acrai uiverzala familija M krugova koja e zavii od iema koji e ipiuje. Familija ovih kružica je predavljea a lici Za M = krug e deformiše u pravu u = / ili u krug bekoačo velikog poluprečika, dok za M = krug e raformiše u ačku koja e alazi u koordiaom počeku. Za M krug e poovo raformiše ali u ačku (, j ). Prilikom projekovaja iema auomakog upravljaja porebo je pozavai ili uvojii makimalo dozvojeu vrijedo za M, pa ada ampliudo faza karakeriika iema u ovoreom e mije jeći krug koji ima u ili veću vrijedo M. Ovaj ulov reba bii ipuje da bi iem imao bolji idek abiloi od og uaprijed zadaog. 3

37 Lieari iemi auomakog upravljaja M= M> M< jv G (j ω) (, j) u AF karakeriika ekog iema Slika Familija M krugova Ideiča razmaraja u moguća i preko fazo frekvee karakeriike iema, koja e može odredii kao: ImW( jω ) N( ω ) = gϕ( ω ) = g arg W( jω ) = (8.7) ReW( jω ) U cilju određivaja vrijedoi (8.7) poovo e polazi od: u( ω ) jv( ω ) W( jω ) = = u( ω ) jv( ω ) u ( ω ) u( ω ) v ( ω ) v( ω ) = j (8.8) ( u( ω )) v ( ω ) ( u( ω )) v ( ω ) Iz jedačie (8.8) e dobija: v( ω ) N( ω ) = (8.9) u ( ω ) u( ω ) v ( ω ) Sređivajem relacije (8.9) e dobija jedačia familije kružica: N ( ω ) u( ω ) v( ω ) = N( ω ) (8.) 4N ( ω ) 33

38 8. Ocjea kvaliea poašaja SAU i krieriji za iezu Relacija (8.) predavlja jedačie kružica čiji ceri leže u ačkama u( ω ) = / i v( ω ) = / N( ω ), a čiji u poluprečici r = / N ( ) /. Familija ovih kružica može e predavii kao a lici Na ovaj dijagram e može ucrai ampliudo faza karakeriika ovoreog iema a porebim ili ameuim ulovima za fazo frekveu karakeriiku. ω jv G (j ω) (, j) u AF karakeriika iema Slika Familija N krugova 8.7. Urađei primjeri Primjer. Aalizirai regulacioi krug a lici u milu praćeja odkoče promjee zadae vrijedoi u(), odoo elimiiaja ujecaja meji f (), f () i f 3 () koje u akođe odkočog karakera. Slika p-. Regulacioa koura: regulaor, objeka upravljaja, igali zadae vrijedoi i karakeriičih meji 34

39 Lieari iemi auomakog upravljaja Primjeom algebre blokova, ili korieći pricip uperpozicije, lahko možemo dobii lijedeću relaciju: X( ) GR( = G ( G( G ( )G( ) R R U( ) )G( ) ) )G( ) Regulacioa greška e dobije kao: E( ) = U( ) G G( ) R ( X( ) )G( ) GR( G ( )G( ) R F ( ) G ( R F ( ) G ( )G( ) )G( ) )G( ) F ( ) F ( ) GR( = U( ) G ( )G( ) G ( R R 3 F ( ) 3 )G( ) R )G( ) F ( ) (p-) (p-) Primjeom iverze Laplace-ove raformacije, eoreme o koačoj vrijedoi, i avljajući: a b c d U ( ) =, F ( ) =, F ( ) =, F3( ) =, gdje u a, b, c i d proizvolje reale koae, dobijemo: lim e( ) = lim E( ) = = lim lim ( ( ( a lim, )( ) )( ) c lim, )( ) ( ( (, )( ) b, )( ) d, )( ) (p-3) Rješavajući dobijee limee, imamo: lim e( ) = b (p-4) Iz poljedje jedačie e lahko vidi da daa regulacioa koura omogućuje praćeje kokovie promjee zadae vrijedoi u() bez aičke greške, e elimiiaje meji f () i f 3 (), dok meju f () ije moguće okloii. Ovo je i očekivao, obzirom da e meja f () može proumačii kao "obmajivaje" regulaora jer ii e prima aču iformaciju o regulacioom odupaju e(). Rezulae provedee aalize možemo pokrijepii adekvaom imulacijom daog iema. Na lici p- je prikazao poašaje iema, za kokree profile zadae vrijedoi i meji. 35

40 8. Ocjea kvaliea poašaja SAU i krieriji za iezu u() f() f() f3() x() Slika p-. Profili ulaza i meji a iem i odziv iema Primjer. Za iem auomakog upravljaja, da a lici, proaći vrijedo paramera T, koja miimizira krierijali fukcioal I = e ( ) d, gdje je e()= u()-x(), a u()=(). 36

41 Lieari iemi auomakog upravljaja Slika p-3. Regulacioa koura a PD člaom u povraoj grai Preoa fukcija cjelokupog iema je: K ( ) ( ) K G z = = K(T ) ( KT ) K Uvedemo li mjee ( ) (p-5) K = ω, KT = ξω (p-6) dobijamo ipiči prikaz iema drugog reda čije je pojačaje jedako. Očio je da, za fiko K (oobia objeka), promjeom paramera T (paramear kompezaora) uičemo amo a koeficije prigušeja ξ, e e problem vodi a alažeje opimale vrijedoi ξ, za fiko ω. G Ukoliko je ξ (,) z ( ) ω = (p-7) ξω ω, ada je odziv a jediiču odkoču fukciju iema čija je preoa fukcija daa a (p-7) da a (kaije će bii pokazao da opimala vrijedo ξ varo leži u iervalu (, )): x( ) ξω e i = ω ξ θ ( ), θ = arcco( ξ ) (p-8) ξ Korieći čijeicu da za vrijedi e() = -x(), dobije e: e e ( ) = ξ ξω ξω i ω ξ θ e = ξ co ω ξ θ (p-9) Ukoliko komplexa fukcija F() predavlja Laplace-ovu raformaciju veličie dae a (p-9), lahko e može dobii: 37

42 8. Ocjea kvaliea poašaja SAU i krieriji za iezu 3ξ 4ξ I = F( ) = e ( )d = (p-) 4ω ξ ( ξ ) Pomarajući deu rau (p-) kao fukciju od ξ, uporebom diferecijalog račua možemo uvrdii da je ξ =,5 vrijedo koja miimizira I. U cilju verifikacije aalize uz pomoć imulacioih rezulaa, pomarajmo fukciju gorje graice za raze vrijedoi paramera ξ: ( ) = I e ( τ )dτ (p-) Za porebe imulacije je, bez umajeja opšoi (vidi (p-)) uzeo da je ω =. Na lici p-4 I za ekoliko vrijedoi ξ. je prikazao poašaje fukcije ( ) 4 38

43 Lieari iemi auomakog upravljaja Slika p-4. Poašaje krierijalog fukcioala, kao fukcije groje graice, za raze vrijedoi koeficijea prigušeja 39

44 8. Ocjea kvaliea poašaja SAU i krieriji za iezu 3