TEMA 3. Analiză matematică - clasa a XI-a (3h/săpt.), clasa a XII-a (3h/săpt.)

Transcript

1 LECłII DE SINTEZĂ în vedere pregătirii sesiunii iulie-ugust emenului de BACALAUREAT - M pentru cndidńii solvenńi i liceelor din filier tehnologică, profil: servicii, resurse nturle şi protecńi mediului, tehnic; tote specilizările/clificările MATEMATICĂ TEMA. Anliză mtemtică cls XI- (h/săpt.), cls XII- (h/săpt.) Argument: Prezentul revir teoretic re c scop orientre ctivităńilor de recpitulre mteriei l mtemtică, în vedere sigurării tingerii nivelului minim / mediu de competenńă şi nu reprezintă o listă ehustivă. De semene, l plicre formulelor prezentte se v Ńine cont de însońire cestor de condińii de eistenńă în funcńie de mulńimile de numere pe cre se plică. TEMA. Algeră - Geometrie Trigonometrie cls IX- (h/săpt.), cls X- (h/săpt.) TEMA. Algeră cls XI- (h/săpt.), cls XII- (h/săpt.) TEMA. Anliză mtemtică cls XI- (h/săpt.), cls XII- (h/săpt.) TEMA. Anliză mtemtică - cls XI- (h/săpt.), cls XII- (h/săpt.)... Limite de funcńii - cls XI- (h/săpt.)... FuncŃii continue cls XI- (h/săpt.)... FuncŃii derivile cls XI- (h/săpt.)... Studiul funcńiilor cu jutorul derivtelor cls XI- (h/săpt.)... Limite de funcńii - cls XI- (h/săpt.) NoŃiuni elementre despre mulńimi de puncte pe drept relă: intervle de numere rele; mărginire: spunem că mulńime nevidă M R este mărginită dcă eistă, R, < stfel încât, oricre r fi M ; vecinătăńi: spunem că mulńime V R este vecinătte punctului R dcă eistă R, > stfel încât (, + ) V ; spunem că mulńime V R este vecinătte punctului =+ R dcă eistă R, > stfel încât (, + ) V ; spunem că mulńime V R este vecinătte punctului = R dcă eistă R, > stfel încât (, ) V ; drept relă încheită: R= R { ± }, simolurile + şi. limite de funcńii; notńie funcńiei f ; limite lterle: ) ls( ) = lim f ( ) ) ր lim f, punct de cumulre finit su infinit l domeniului de definińie l limit l stâng punctului ld = lim f ( ) limit l drept punctului ց introducere nońiunii de limită în relńie cu reprezentre grfică pentru funcńiile studite (de eemplu, funcńi de grdul I, funcńi de grdul l II-le, funcńi eponenńilă, funcńi logritmică, funcńi putere ( n=, ), funcńi rdicl de ordin ; studiul eistenńei şi vlore limitei unei funcńii într-un punct, prin verificre eistenńei şi eglităńii limitelor lterle; clculul limitelor într-un punct pentru funcńiile elementre, identificre limitelor funcńiilor elementre l cpetele domeniilor de definińie; operńii cu limite de funcńii: [ ] lim f ± g = lim f ± lim g (plicilă tunci când nu ne situăm în czul de nedeterminre ); [ ] lim f g = lim f lim g (plicilă tunci când nu ne

2 lim f f situăm în czul de nedeterminre ); lim = (plicilă tunci când nu ne situăm în g ( ) lim g ( ) czurile de nedeterminre ; lim g g lim lim ); f = f (plicilă tunci când nu ne situăm în ln e czurile de nedeterminre ; ; ); în cest ultim cz se pote utiliz formul =, cre trnsformă czurile de nedeterminre de l puteri în czul. clculul limitelor pentru funcńi de grdul I, funcńi de grdul l II-le, funcńi eponenńilă, funcńi logritmică, funcńi putere ( n=, ), funcńi rdicl de ordin, funcńi rport de două funcńii cu grd cel mult ; metode de eliminre nedeterminărilor/czurilor eceptte în czul limitelor de funcńii: /, /, n n n... m m f n limitele funcńiilor rńionle: lim = lim, unde g m,..., n,,..., m R, m n, m {,} şi R { ± } ; se ordeză pe czuri, după tipul lui : ) finit şi g( ) ; în cest cz f f ( ) lim = ; de eemplu, g ( ) g ( ) n, n= m m f ) { ± }; în cest cz vem lim =, n< m ; g n n m sgn ( ± ) n> m m de eemplu, lim = lim = sgn ( ) =+ ; ) finit şi g( ) =, cu suczurile: + + lim = = ; + + f ( ) =, cz în cre vem nedeterminre ir frcńi se pote simplific prin fctorul ( ) c f ( ), cz în cre vem o situńie de tipul, c ce necesită determinre semnului numitorului într-o vecinătte lui şi, după cz, o discuńie pe limite lterle; de eemplu, lim = lim = lim = + + Asimptotele grficului pentru funcńiilor studite (de eemplu, funcńi eponenńilă, funcńi logritmică, funcńi rport de două funcńii cu grd cel mult ): - simptotă verticlă drept = R, dcă u sens şi eistă: i) l ( ) = lim f =± s ր ii) l ( ) lim f d = =± ց - simptotă orizontlă, dcă + su/şi sunt puncte de cumulre le domeniului de definińie l funcńiei: i) l +, drept y=, dcă lim f = R + ii) l, drept y=, dcă lim f = R - simptotă olică, dcă + su/şi sunt puncte de cumulre le domeniului de definińie l funcńiei: f i) l +, drept y= m+ n, dcă lim = m R şi lim ( f m) = n R + + f ii) l, drept y= m+ n, dcă lim = m R şi lim ( f m) = n R.

3 ... FuncŃii continue - cls XI- (h/săpt.) Interpretre grfică continuităńii unei funcńii într-un punct / pe o mulńime. Continuitte funcńiei într-un punct, punct de cumulre l domeniului de definińie: lim f = lim f = f ( ). ր ց OperŃii cu funcńii continue (sum, produsul, rportul, ridicre l putere); FuncŃiile elementre sunt continue pe domeniul lor de definińie. Semnul unei funcńii continue pe un intervl consecinńe le proprietăńii lui Drou: ) dcă o funcńie f :[, ] R este continuă pe [, ] un punct c (, ) stfel încât şi dcă f ( ) f <, tunci eistă cel puńin f c = ; dcă, în plus, funcńi este strict monotonă su injectivă, tunci punctul c este unic; propriette este utilă în determinre numărului de soluńii rele le unei ecuńii; :,, şi nu se nuleză pe cest intervl, tunci ) dcă o funcńie f [ ] R este continuă pe [ ] funcńi f păstreză semn constnt pe tot intervlul dt. (în cest cz, R ); propriette este utilă în rezolvre de inecuńii; enunńre cestei proprietăńi şi legere unei scise convenile din intervlul dt în cre să clculăm vlore funcńiei, permite stilire semnului funcńiei pe cel intervl c fiind semnul vlorii clculte funcńiei.... FuncŃii derivile - cls XI- (h/săpt.) Tngent l o cură (prin reprezentre grfică) c interpretre geometrică eistenńei derivtei unei funcńii întrun punct. Derivt funcńiei f în punctul, punct de cumulre l domeniului de definińie: f f ( ) f ' = lim ; - dcă ' { } f ± spunem că f re derivtă în, dr nu e derivilă şi reprezentre grfică funcńiei dmite tngentă verticlă în punctul ; - dcă f ' R spunem că f este derivilă în şi reprezentre grfică funcńiei dmite tngentă olică su orizontlă în ; - dcă nu eistă f '( ), spunem că funcńi nu este derivilă şi nu re derivtă în punctul respectiv. Recunoştere limitei rportului prin cre se defineşte derivt unei funcńii într-un punct, c metodă de clcul limitelor de funcńii; EcuŃi tngentei l grficul funcńiei f în punctul A(, y ) (cu verificre prelilă derivilităńii funcńiei în punctul ) este y y = f '( ) ( ). FuncŃii derivile (derivile în orice punct l domeniului de definińie): eemple de funcńii elementre, operńii cu funcńii cre dmit derivtă / sunt derivile. Clculul derivtelor de ordin I şi II pentru funcńiile studite cu jutorul telelor derivtelor funcńiilor elementre şi utilizre de reguli / operńii cu funcńii derivile: derivt sumei două funcńii derivile: ( f + g)' = f ' + g ' ; derivt produsului de funcńii derivile: ( f g)' = f ' g+ fg ', cz prticulr ( c f)' = c f ', unde c este constntă. f f ' g fg ' f ' derivt rportului (în condińii de ună definire), =, cz prticulr g =. g f f Regulile lui l Hospitl pentru czurile de nedeterminre /, / ; cu verificre în prelil condińiilor de plicilitte, evidenńiere czului de nedeterminre şi plicre regulii (derivre seprt numărătorului şi seprt numitorului, se v insist nu se fce confuzie cu derivt rportului). ' '

4 ... Studiul funcńiilor cu jutorul derivtelor - cls XI- (h/săpt.) Rolul primei derivte în studiul funcńiilor, rol implict de consecinńele teoremei Lgrnge: determinre intervlelor de monotonie şi punctelor de etrem le funcńiei f prin: clculul derivtei funcńiei şi domeniului de derivilitte; rezolvre ecuńiei f '( ) = (determinre punctelor critice); determinre intervlelor în cre funcńiei f ' re semn constnt prin utilizre consecinńelor proprietăńii lui Drou; interpretre semnului lui f ' în stilire intervlelor de monotonie pentru funcńi f şi tipului de monotonie pe fiecre dintre intervle ( f ' pe I f crescătore pe I, f ' pe I f descrescătore pe I ) interpretre succesiunii intervlelor de semn l derivtei funcńiei, pentru stilire etremelor / tipului de etrem pentru funcńi dtă; Rolul derivtei dou în studiul funcńiilor, cu celeşi etpe c în czul primei derivte ( f "( ) =, stilire semnului celei de- dou derivte, interpretre semnului şi determinre intervlelor de concvitte conveitte, stilire punctelor de infleiune le funcńiei f, c urmre lternnńei intervlelor de semn le funcńiei f ''. Reprezentre grfică funcńiilor elementre: prcurgere etpelor studiului funcńiei; concluzionre supr unor prticulrităńi le funcńiei evidenńite prin construcńi telului de vrińie l funcńiei. TEMA. Anliză mtemtică - cls XI-, cls XII- (h/săpt.)... Primitive(ntiderivte) cls XII- (h/săpt.)... Integrl definită cls XII- (h/săpt.)... AplicŃii le integrlei definite cls XII- (h/săpt.)... Primitive (ntiderivte) cls XII- (h/săpt.) Primitivă/primitive, definińie: se consideră o funcńie f : I R, unde I R este un intervl, funcńi F : I Rse numeşte primitiv funcńiei f dcă: ) F este derivilă pe I F ' = f, I. ) Dcă eistă o primitivă F funcńiei f, tunci f dmite primitive pe intervlul I şi pentru orice primitivă G : I R lui f, eistă o funcńie constntă c : I R, c = c stfel încât G= F+ c. În cest cz, mulńime tuturor primitivelor funcńiei f este { F+C / C este mulńime constntelor} ; mulńime tuturor primitivelor funcńiei f se numeşte integrl nedefinită funcńiei f şi se noteză f d= F + C. Orice funcńie continuă f dmite primitive (rezultt cre v fi utilizt pentru rgument fptul că o funcńie dmite primitive, neimplicând şi determinre unei primitive su integrlei nedefinite). Propriette f ' d= f + C. Dcă funcńiile f, g : I R dmit primitive şi * α R, tunci funcńiile f relńiile: ( f ( ) + g ( )) d = f ( ) d + g ( ) d şi α f d= α f d. + g şi α f dmit primitive şi u loc Dându-se două funcńii f, F : I R, verific fptul că F este o primitivă lui f presupune su clculre f d su utilizre definińiei (utilizându-se formule de derivre şi/su proprietăńi). Primitive uzule: telele de formule socite funcńiilor elementre/compunerii de funcńii elementre. Pentru clculre unei primitive sunt necesre: cunoştere telului de primitive uzule, plicre de proprietăńi le primitivelor şi, uneori, ilităńi de prelucrre lgerică integrntului.... Integrl definită - cls XII- (h/săpt.) Integrl definită formul Leiniz Newton: dcă F :[, ] f :[, ] R, integrl definită funcńiei f pe intervlul [, ] R este o primitivă funcńiei continue este numărul rel f d= F( ) F.

5 OservŃie: integrl nedefinită unei funcńii reprezintă o fmilie de funcńii, ir integrl definită celeişi funcńii reprezintă un număr rel. ProprietăŃi le integrlei definite:, :,, şi α, β R, tunci. Dcă f g [ ] R sunt funcńii continue pe intervlul [ ] ( α f + β g ) d= α f d+ β g d (propriette de liniritte).. Dcă f :[, ] R este funcńie continuă pe intervlul [, ] (propriette de păstrre semnului, ońinută c o consecinńă teoremei de medie).. Dcă f, g :[, ] R sunt funcńii continue pe intervlul [, ] şi f, tunci f d şi f g, tunci f d g d (propriette de monotonie, utiliztă, de eemplu, în verificre unor ineglităńi su în stilire monotoniei unui şir de integrle nedefinite). :,, tunci pentru oricre c [, ] :. Dcă f [ ] R este funcńie continuă pe intervlul [ ] c f d= f d+ f d (propriette de ditivitte în rport cu intervlul de integrre, utiliztă, de c eemplu, pentru clculul integrlei definite tunci când integrntul este reprezentt de o funcńie ce treuie eplicittă funcńie definită prin mi multe legi, de eemplu, funcńi modul). Metode de clcul integrlelor definite: i) Metod integrării prin părńi:, :, f ', g ':, R continue, tunci Dcă f g [ ] R două funcńii derivile cu derivtele [ ] f g ' d= f g + f ' g d. Metod presupune următore schemă de ordre: evidenńiere, în scriere integrntului, unui produs de două funcńii (de eemplu, f = f, ln = ln ), dintre cre un să reprezinte o primitivă unei funcńii; în generl, legere celor două funcńii f şi g ' se relizeză stfel încât integrl nedefinită ońinută să fie un mi uşor de clcult; determinre epresiilor funcńiilor f ' şi g ; finlizre clculului prin determinre integrlei nedefinite f ' g d. În numite eercińii se pote plic itertiv metod integrării prin părńi. ii) Metod schimării de vriilă: Se consideră intervlul I R şi funcńiile u :[, ] I şi f : I R cu următorele proprietăńi:. f continuă pe I. u derivilă pe [, ] cu derivt u ' continuă pe [, ]. u Atunci f ( u) u ' d= f ( t) dt, unde u = t şi u ' d= dt. u( ) Utilizre metodei schimării de vriilă pote fi formliztă stfel: = t= u( ) - identificre notńiei (schimării de vriilă) u = t = t = u - sociere notńiei cu diferenńiere formlă u ' d= dt - rescriere integrntului folosind sustituńiile vriilei, cpetelor de integrre şi lui d simple: iii) Metod de clcul integrlelor de form P d, grdq, prin descompunere în frcńii rńionle Q 5

6 P ) se scrie funcńi su form Q P = Q C + R ) R ) se descompune funcńi rńionlă în frcńii rńionle simple Q c) se plică propriette de liniritte integrlelor definite.... AplicŃii le integrlei definite - cls XII- (h/săpt.) P R = C + (c urmre plicării teoremei împărńirii cu rest Q Q Ari unei suprfeńe plne: f :, R continuă. Atunci ri S suprfeńei cuprinse între grficul funcńiei f, i) Fie funcńi [ ] O şi dreptele de ecuńie ii) Fie funcńiile, :[, ] = şi = este dtă de relńi S f d =. f g R continue. Dcă f g pe intervlul dt, tunci ri S suprfeńei cuprinse între grficele celor două funcńii, pe intervlul [, ], este dtă de relńi S = ( f d g ) d. Volumul unui corp de rotńie: f :, R continuă. Atunci volumul V l corpului ońinut prin rotńi în jurul ei O Fie funcńi [ ] grficului funcńiei f este dt de relńi V = π f d. 6

7 EXEMPLE DE ITEMI TIP EXAMEN DE BACALAUREAT PENTRU RECAPITULAREA NOłIUNILOR DIN TEMA SUBIECTUL l III-le EXEMPLUL 5. Se consideră funcńi f : R R, f =. + f =, pentru orice R. + ) ArătŃi că ) DeterminŃi ecuńi simptotei orizontle spre + l grficul funcńiei f. c) DemonstrŃi că f, pentru orice [,].. Pentru fiecre număr nturl nenul n se consideră numărul ) ClculŃi I. ) ArătŃi că In + In+ =, pentru orice n + c) DemonstrŃi că I. 6 * n N. I n = d. + n ( de puncte) Brem de evlure şi de notre SUBIECTUL l III-le.) + f = = = + + ) = ( + ) lim f = lim = EcuŃi simptotei orizontle l grficul funcńiei f spre + este y= c) f pentru orice [, + ) f crescătore pe intervlul [,+ ).) f f f f, oricre r fi [, ] I = d= + = d= ( ln( + ) ) = ln + ) n n+ In+ In+ = + d= + + n ( + ) = d= + n+ ( de puncte) 7

8 c) + pentru orice [, ] d d d + I 6 EXEMPLUL 6 SUBIECTUL l III-le. Se consideră funcńi :(, ) ) ArătŃi că f + R, f = ln. f f () lim =.,+. ) DemonstrŃi că funcńi f este crescătore pe intervlul c) DeterminŃi ecuńi simptotei verticle l grficul funcńiei f.. Se consideră funcńi f : R R, f = e. ) ArătŃi că funcńi F : ) ClculŃi f ( ln ) e d. R R, F = e e + este o primitivă funcńiei f. ( de puncte) c) DeterminŃi volumul corpului ońinut prin rotńi în jurul ei O grficului funcńiei f g :[,] R, g =. Brem de evlure şi de notre SUBIECTUL l III-le.) ) f f () f derivilă în = lim = f '() f = Finlizre f este derivilă pe (,+ ) şi f = f = = f ( ) > pentru orice (, ) c) lim f lim( ln ) > > = =+ + funcńi f crescătore pe intervlul (,+ ) = este ecuńi simptotei verticle l grficul funcńiei f.) F este derivilă şi ' ) F ' e = f ( ln ) f d= ln d= e F = e + e e, pentru orice R ( de puncte) 8

9 c) e e = ln d = e e e + = = V = π g d= e = π e d= π = = π e e EXEMPLUL 7 SUBIECTUL l III-le +. Se consideră funcńi f :(, + ) R, f =. e f ) ArătŃi că +. f ' = pentru orice (, ) + ) ArătŃi că funcńi f este descrescătore pe (,+ ) c) DeterminŃi ecuńi simptotei olice l grficul funcńiei g :(, + ) R, g $. Se consideră funcńi f : ) DeterminŃi primitiv F : ) ClculŃi f d. + R R, f = R R funcńiei f, cre verifică relńi F =. ( de puncte) e f =. c) ClculŃi volumul corpului ońinut prin rotńi, în jurul ei O, grficului funcńiei g :[, ] R, g f =. Brem de evlure şi de notre SUBIECTUL l III-le ( de puncte).) ) c) f ' ( + ) ( + ) ' e e ' = =, (, + ) Finlizre f e Finlizre e ' = e f ' <, oricre r fi > + + g = g m= lim = + 9

10 .) ) c) ( ) n= lim g m = + y= + este ecuńi simptotei olice l grficul funcńiei g. f d= C = c şi F F :(, + ) R, F = c= F = f d = ( + ) d = + = + = + 7 = g = + 5 V = g d= + + d= + + = 5 8π = +. DeterminŃi Z pentru cre. EXEMPLUL 8 ( de puncte). DeterminŃi funcńi de grdul l doile l cărei grfic conńine punctele A(, ), B(, ), C(,).. RezolvŃi în mulńime numerelor rele ecuńi log( + ) log =.. ClculŃi proilitte c legând l întâmplre un element n din mulńime {,,,} cest să verifice ineglitte n n. 5. În sistemul de coordonte Oy se consideră punctele A(, ), B(, ), O(,). DeterminŃi coordontele punctului C pentru cre OC= OA+ OB. 6. ClculŃi lungime rzei cercului circumscris triunghiului ABC în cre AB= 6 şi m ACB =. Brem de evlure şi de notre. + +, [ ] {,,,,,, } Z ( de puncte)

11 .. f = c= f : R R, f = + + c f = + + c= f = + c= c= = f = = + > > + log = =, + CondiŃii (, + ). nr czuri fvorile p= nr czuri posiile Czuri posiile sunt Czuri fvorile sunt p= 5. OA+ OB= i+ i j= 5i j 6. C ( 5, ) AB AB Din teorem sinusului = R R= sin C sinc R= 6 6 = EXEMPLUL 9. ClculŃi log( 5) log( 5) + +. ( de puncte). Se consideră funcńi vârfului prolei socite funcńiei f este eglă cu.. RezolvŃi în mulńime numerelor rele ecuńi. ClculŃi C 6 A. f : R R, f = m + 5. DeterminŃi m R pentru cre scis = În sistemul de coordinte Oy se consideră punctele O(, ), A(, ) şi B ( 6,8) de l punctul O l mijlocul segmentului ( AB ). 6. ClculŃi cos + cos 5.. ClculŃi distnń Brem de evlure şi de notre. log ( 5) log ( 5) log ( 9 5) = log = + + = = ( de puncte)

12 .. = = m m= = = { } =,. 6! C 6 = = 5!!! A = =! C 6 A = 5. Dcă C este mijlocul lui ( AB ) C(,) ( ) ( ) OC= + OC= 5 cos π = cos, R 6. cos + cos 5 = EXEMPLUL ( de puncte). ClculŃi log DeterminŃi coordontele vârfului prolei socite funcńiei f : R R, f = +.. RezolvŃi în mulńime numerelor rele ecuńi =.. DeterminŃi câte numere de trei cifre distincte se pot form cu elementele mulńimii {,,, }. 5. Se consideră vectorii v = i j şi v = i+ j. DeterminŃi coordontele vectorului w= v v. 6. Un triunghi dreptunghic re ctetele AB=, AC=. DeterminŃi lungime înălńimii duse din A. Brem de evlure şi de notre. log = log = 8. 7 = = + = 8 V = = yv = = V, log 7 ( de puncte)

13 . = = {,}. A = = w= i j i+ j = = i 5 j w, BC= 5 AB AC h= = BC 5. Se consideră o progresie ritmetică termeni i progresiei. EXEMPLUL. Se consideră funcńiile punctului de intersecńie grficelor funcńiilor f şi g. ( de puncte) în cre n n = 5 şi 5 =. ClculŃi sum primilor şpte f, g : R R, f =, g = +. DeterminŃi coordontele. RezolvŃi în mulńime numerelor rele ecuńi =.. ClculŃi ştiind că + = 5 şi numărul reprezintă 5% din numărul. 5. DeterminŃi m R pentru cre punctele A (, ), (,5) π 6. ClculŃi cos, ştiind că sin = şi,. B şi C( m, m ) + sunt colinire. Brem de evlure şi de notre. + r= 5 =, r= + r= 7 = + 6r= 7, S 7 = 56. f = g = + = şi y= 7 A (,7). Prin ridicre l putere - se ońine = =± + = 5 + = 5 = = = 6 y AB : = y+ = C AB m m = m= su m= ( de puncte)

14 6. sin + cos = cos =± π, cos =. Într-o progresie ritmetică EXEMPLUL n n se cunosc = 6 şi = 5. ClculŃi 6.. DeterminŃi soluńiile întregi le inecuńiei. log + log =.. RezolvŃi în mulńime numerelor rele ecuńi ( de puncte). După o scumpire cu 5%, preńul unui produs creşte cu lei. ClculŃi preńul produsului îninte de scumpire., B 5,. DeterminŃi ecuńi meditorei 5. În reperul crtezin Oy se consideră punctele A şi segmentului [ AB ]. 6. ClculŃi rz cercului circumscris triunghiului ABC ştiind că = 9 m BAC =. BC şi. = 6 = 7 = 5 r= = + 5r 6 6 =., Z =, =, =. + >, + > + + log = = = 7, + CondiŃii de eistenńă. Se noteză cu preńul inińil 5% = lei = lei Brem de evlure şi de notre 5. Se noteză cu M mijlocul lui [ AB ] şi cu d meditore segmentului [ AB ] ; tunci 6. M m (,) AB = m = d d : y = d : y= Din teorem sinusului R= BC sin A sin A= sin = sin 6 = R= ( de puncte)

15 . ClculŃi log6 + log6. EXEMPLUL. DeterminŃi coordontele vârfului prolei socite funcńiei f : +. RezolvŃi în mulńime numerelor rele ecuńi = 9.. DeterminŃi n N, n, pentru cre C n An =. 5. În reperul crtezin Oy se consideră punctele A(, ) şi (, ) vlorile lui m pentru cre AB = ClculŃi cos + cos. ( de puncte) R R, f = +. B m, unde m R. DeterminŃi Brem de evlure şi de notre log + log = log log 6= log 6 = 6 6. V = = = yv = = = = = 9 7 = 9 = n! n =!!!! ( n ) ( n ) n = n= 9 m ( m ) + + = 5 + m 5= m= 5, m= 6. cos = cos 8 = cos cos + cos = de puncte EXEMPLUL ( de puncte). DeterminŃi R pentru cre numerele, + şi sunt termeni consecutivi i unei progresii ritmetice.. Se consideră funcńi f : R R, f 5 f f f... f. =. ClculŃi. RezolvŃi în mulńime numerelor rele ecuńi =.. DeterminŃi numărul sumulńimilor ordonte cu elemente le unei mulńimi cu 7 elemente. 5

16 5. ClculŃi distnń de l punctul (,) A l punctul de intersecńie dreptelor d : y 6= şi d : + y 6=. 6. ClculŃi cosinusul unghiului M l triunghiului MNP ştiind că MN =, MP= 5 şi NP= 6. Brem de evlure şi de notre + = +. = =. f ( 5) =. f f f... f = CondiŃii [, + ) = 7 + = = su = 5, + = 5 [ ). Numărul de sumulńimi ordonte este A 7 7! A 7 = = 5! 5. y 6= = y= 6 + y 6 = d = 5 ( 6 ) ( 6 ) d = + 6. MN + MP NP cos M = MN MP cos M = 8 de puncte. ClculŃi log7( ) log7( ). Se consideră funcńi f : + +. R R, grficul funcńiei f conńine punctele (,) EXEMPLUL 5 ( de puncte) f = + +. DeterminŃi numerele rele şi pentru cre A şi (,) B. +. RezolvŃi în mulńime numerelor rele ecuńi + = 6.. ClculŃi proilitte c, legând l întâmplre un număr de cifre, cest să fie diviziil cu. 5. În reperul crtezin Oy se consideră punctele M(, ) şi N(,). DeterminŃi coordontele vectorului OM + ON. 6. DeterminŃi lungime lturii unui triunghi echilterl, cre re ri eglă cu. 6

17 Brem de evlure şi de notre. log7( ) log7( ) log 7 ( ) ( ) + + = + = = log 7= 7. f A, G f = + + = B, G f = + = =, =. + = 6 = 9 f =. nr. czuri fvorile p= nr. czuri posiile Numerele diviziile cu :, 6,,96 czuri fvorile,,,...,9,,,,...,9 9 czuri posiile Numerele de cifre: { } { } p= = OM + ON = i j i+ j= i+ j Coordontele sunt (, ) 6. l = l= de puncte. Într-o progresie ritmetică progresiei. EXEMPLUL 6. DeterminŃi numărul rel m pentru cre ecuńi ( de puncte) n n se cunosc = 5 şi r=. ClculŃi sum primilor 5 termeni i m+ + m= re soluńii rele egle.. DeterminŃi coordontele punctelor de intersecńie grficului funcńiei f R R f ele O şi respectiv Oy.. ClculŃi C A. 5. Se consideră vectorii v = i+ j şi + :, = cu v = + i+ j, unde R. DeterminŃi numărul > pentru cre vectorii v şi v sunt coliniri. 6. Ari triunghiului MNP este eglă cu 6, ir MN = NP= 8. ClculŃi sin N. Brem de evlure şi de notre. ( + r) 5 S5 = S = 5 5 ( de puncte) 7

18 . = m + m+ m= m=. f A(,) G f Oy f B(,) G O : f = =. C = 6 A = C A : = = 5. = + + = = su = > = 6. MN NP sin N Ari MNP= 6 sin N = 8 8 sin N = 8