1 / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI
|
|
- Ἱππολύτη Βέργας
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI
2 6.. Definicija reda Promatrajmo niz Definicija reda ( ) n 2 :, ,... Postupno zbrajajmo elemente niza: = = = = = Dobili smo novi niz:, 5 4, 49 36, , ,... 2 / 79.
3 3 / 79 Definicija reda Definicija (6..) Neka je (a n ) n niz realnih brojeva. Nizu (a n ) n pridružujemo niz (s n ) n definiran s: s = a s 2 = a + a 2 s 3 = a + a 2 + a 3. s n = a + a a n. Red je ure deni par ((a n ) n, (s n ) n ) nizova (a n ) n i (s n ) n. Element a n zovemo opći član reda, a s n je n-ta parcijalna suma reda. Oznake za red su an ili a n ili n N a n ili N a n ili a + a a n +.
4 4 / 79 Primjer Definicija reda Pretvaranje racionalnih brojeva u decimalne. lim n 9 9 = 0 ( 0 9 = 0 + ) ( 2 = ) 0 n 0 n = 0 9 = lim n Pišemo: 9 = 0 n Govorimo da je 9 suma reda n ( ) 0 n 0 n.
5 5 / 79 Definicija reda Primjer Geometrijski red. Za x imamo x = x + x x = + x x 2 + x 2 x = + x x = + x + x 2 = ( + x + x x n ) + x n x. x = Za x < je lim x n = 0 n x = lim n ( + x + x x n ) = x n.
6 6 / 79 Primjer Definicija reda Pokušajmo naći funkciju f : R R koja je rješenje diferencijalne jednadžbe f (x) = f (x), x R, s početnim uvjetom f (0) =. Tražimo funkciju u obliku polinoma neodre denog stupnja Derivacija je oblika f (x) = a 0 + a x + a 2 x 2 + a 3 x a n x n +. f (x) = a + 2a 2 x + 3a 3 x na n x n + Uvrstimo u diferencijalnu jednadžbu: a 0 + a x + a 2 x 2 + a 3 x a n x n + = a + 2a 2 x + 3a 3 x na n x n + x R,
7 Definicija reda Izjednačimo koeficijente: a = a 0 a = a 0 2a 2 = a a 2 = 2! a 0 3a 3 = a 2 a 3 = 3! a 0 4a 4 = a 3 a 3 = 4! a 0.. (n + )a n+ = a n a n+ = (n+)! a 0 Uvjet f (0) = daje a 0 =. a 0 =, a =!, a 2 = 2!, a 3 = 3!,..., a n = n!,..., Ne postoji polinom koji bi zadovoljavao traženu diferencijalnu jednadžbu sa zadanim početnim uvjetom. Razumno očekivati da za x R vrijedi f (x) = lim ( + x n! + x 2 2! + + x n n! ) = x n n!. 7 / 79.
8 8 / 79 Definicija reda Funkcija e x je rješenje diferencijalne jednadžbe. Možemo očekivati da x R vrijedi e x = x n n!.
9 Definicija konvergencije reda 6.2. Definicija konvergencije reda Niz ( n 2 ):, 2 2, 3 2, 4 2,... Parcijalne sume: = = = = Da li niz:, 5 4, 49 36, , ,... konvergira? Tj., da li red n 2 konvergira? 9 / 79
10 Konvergencija reda Definicija (6.2.) Za red Definicija konvergencije reda realnih ili kompleksnih brojeva kažemo da je konvergentan (sumabilan, zbrojiv), ako je niz parcijalnih suma reda (s n ) n konvergentan. Ako je red konvergentan onda broj a n s = lim n s n zovemo sumom reda i označavamo sa s = a n = a + a a n +. Red je divergentan ako je niz (s n ) n divergentan. 0 / 79
11 Definicija konvergencije reda Za niz kompleksnih brojeva (a n ) n = (α n + iβ n ) n možemo promatrati tri reda a n, α n, β n, s parcijalnim sumama s n = a + + a n, σ n = α + + α n, τ n = β + + β n. Budući da je s n = σ n + iτ n to niz (s n ) n konvergira ako i samo ako konvergiraju nizovi (σ n ) n i (τ n ) n. Tada vrijedi odnosno a n = lim s n = lim σ n + i lim τ n, n n n (α n + iβ n ) = α n + i β n. Pitanje konvergencije reda, a pogotovo sume reda, može biti vrlo komplicirano. Za početak dajemo primjer u kojem je na oba pitanja moguće lako odgovoriti / 79
12 2 / 79 Definicija konvergencije reda Primjer Pokažimo da red Za svaki n N vrijedi s n = n k= lim s n =, n konvergira i na dimo njegovu sumu. n(n + ) n(n + ) = n n + k(k + ) = tj. n k= n(n + ) =. ( k ) = k + n +.
13 3 / 79 Definicija konvergencije reda Teorem (6..) (Nužan uvjet konvergencije reda) Ako red a n konvergira, onda niz (a n ) n konvergira k nuli, tj. vrijedi ( a n konvergira ) ( lim a n = 0). n Dokaz: Ako red konvergira k broju s, onda vrijedi lim a n = lim (s n s n ) = lim s n lim s n = s s = 0. n n n n Q.E.D. Obratna implikacija u teoremu) nije općenito istinita, što je vidljivo iz sljedećeg primjera
14 4 / 79 Definicija konvergencije reda Primjer Harmonijski red divergira k +. s n+ = s n + n + > s n niz (s n ) n je strogo rastući. Podniz (s 2 n) n odozgo neograničen: Indukcijom dokazujemo da n N vrijedi s 2 n + 2 n. n Za n = je s 2 = + 2 što daje bazu indukcije.
15 5 / 79 Definicija konvergencije reda Za n N: s 2 n+ = s 2 n + 2 n n n + 2 n > s 2 n + 2 n + 2 n n + 2 n = s 2 n + 2 n 2 n+ = s 2 n n + 2 = + (n + ). 2 lim s 2 n = + lim s n = + n n Red divergira, a lim n n = 0. Dakle, konvergencija niza općih članova k nuli nije dovoljan uvjet za konvergenciju reda.
16 6 / 79 Definicija konvergencije reda Primjer Alternirajući harmonijski red ( ) n n () konvergira. Nužan uvjet konvergencije je ispunjen, tj. lim n ( ) n n = 0. Nadalje, vrijedi s 2m = ( ) ( ) ( m ) 2m podniz (s 2m ) m strogo rastući.
17 7 / 79 Definicija konvergencije reda Niz (s 2m ) m je odozgo ograničen: ( s 2m = 2 ) ( ) rastući + ograničen konvergentan Neka je lim m s 2m = s. ( ) 2m 2 2m 2m <. Zbog s 2m+ = s 2m + 2m + imamo lim s 2m+ = s m dakle i lim s n = s n što pokazuje da je alternirajući harmonijski red konvergentan.
18 8 / 79 Definicija konvergencije reda Konvergencija redova je u skladu s operacijama zbrajanja redova i množenja redova sa skalarima. Teorem (6.2.) Neka su a n i par λ, µ C je red b n konvergentni redovi sa sumama A i B. Za svaki (λa n + µb n ) konvergentan i vrijedi (λa n + µb n ) = λ a n + µ b n.
19 Definicija konvergencije reda Dokaz: Označimo: A n = a + + a n B n = b + + b n C n = (λa + µb ) + + (λa n + µb n ) C n = (λa n + µb n ) za sve n N, lim A n = A i lim B n = B lim C n = λ lim A n + µ lim B n n n n n n Q.E.D. 9 / 79
20 20 / 79 Geometrijski red Definicija konvergencije reda Teorem (6.3.) Za q C, q <, geometrijski red konvergira i ima sumu q n = + q + q 2 +. Za q red divergira. q
21 2 / 79 Definicija konvergencije reda Dokaz: q n = ( q)( + q + + q n ) s n = + q + + q n = qn q = q q qn. q < lim n q n = 0 lim s n = n q. q n N, q n niz općih članova reda ne teži k nuli red divergira. Q.E.D.
22 22 / 79 Uspore divanje redova, apsolutna konvergencija redova 6.3. Uspore divanje redova, apsolutna konvergencija Definicija (6.3.) Za red a n kažemo da je red s pozitivnim članovima ako je n N, a n 0. Teorem (6.4.). Red a n s pozitivnim članovima konvergira ako i samo ako je njegov niz parcijalnih suma (s n ) n ograničen. Tada je a n = sup{s n ; n N}. 2. Ako red a n s pozitivnim članovima konvergira, onda njegova suma ne ovisi o poretku članova, tj. vrijedi a n = a σ(n), gdje je σ : N N bijekcija (permutacija).
23 23 / 79 Uspore divanje redova, apsolutna konvergencija redova Dokaz:. (s n ) n - niz parcijalnih suma reda a n. s n+ = s n + a n+ niz (s n ) n je rastući. rastući niz je konvergentan ako je ograničen
24 24 / 79 Uspore divanje redova, apsolutna konvergencija redova 2.. (s n) n - niz parcijalnih suma reda a n, a n = a σ(n). Za bilo koji n N postoje p, q N takvi da je gdje je τ = σ. σ() < p, σ(2) < p,..., σ(n) < p τ() < q, τ(2) < q,..., τ(n) < q i s n = a σ() + a σ(2) a σ(n) a + a a p = s p To daje odnosno s n = a + a a n = a σ(τ()) + a σ(τ(2)) a σ(τ(n)) a σ() + a σ(2) a σ(q) = s q sup{s n; n N} = sup{s m ; m N}, a n = lim s n = lim n m s m = a m. m= Q.E.D.
25 25 / 79 Uspore divanje redova, apsolutna konvergencija redova Lema (6..) (uspore divanje redova) Neka su a n, b n redovi s pozitivnim članovima i neka postoji K > 0 tako da je a n K b n, n N. (2) Ako konvergira red b n, onda konvergira i red a n i vrijedi an K b n. Ako red a n divergira, onda divergira i red b n.
26 26 / 79 Uspore divanje redova, apsolutna konvergencija redova Dokaz: Parcijalne sume: s n = n a k i t n = k= s n t n, n N zbog a n K b n (s n ) n i (t n ) n su rastući (s n ) n i (t n ) n konvergentni ograničeni (t n ) n konvergentan (t n ) n ograničen (s n ) n ograničen (s n ) n konvergentan (s n ) n divergentan (s n ) n neograničen (t n ) n neograničen (t n ) n divergentan. Q.E.D. n k= b k
27 27 / 79 Uspore divanje redova, apsolutna konvergencija redova Primjer Red n 2 je konvergentan. (n + ) 2 > n(n + ) (n + ) 2 (n + ) 2 < n(n + ) n(n + ) =.
28 28 / 79 Uspore divanje redova, apsolutna konvergencija redova Primjer Red konvergira za p 2. np n p n 2 n p n 2.
29 29 / 79 Uspore divanje redova, apsolutna konvergencija redova Primjer Red divergira za p. np n p n n n p a red n divergira. n n p,
30 30 / 79 Uspore divanje redova, apsolutna konvergencija redova Teorem Neka je (a n ) n niz u C.. Ako konvergira red onda konvergira i red a n (3) a n i vrijedi a n a n. 2. Ako konvergira red (3) i ako je σ : N N bijekcija, onda konvergira i red a σ(n) i vrijedi a n = a σ(n).
31 3 / 79 Uspore divanje redova, apsolutna konvergencija redova Dokaz: I. Pretpostavimo da je (a n ) n niz u R. Definiramo { { a n + an ako je a = n 0 0 ako je 0 ako je a n < 0, an 0 a n = a n ako je a n < 0. (a + n ) n i (a n ) n nizovi s pozitivnim članovima i a n = a + n a n, a n = a + n + a n ( n N). Red a n konvergira i a + n a n, a n a n (Lema 6..) redovi a+ n i a n konvergiraju. A + i A njihove sume A + A = a n + an = (a n + an ) = Red a n je konvergentan a n
32 32 / 79 Uspore divanje redova, apsolutna konvergencija redova n a n i= n n a n n lim n i= A + = i= a + σ(n) i A = a n = A + A = a n lim n a σ(n) (a + σ(n) a σ(n) ) = n a n i= a σ(n)
33 Uspore divanje redova, apsolutna konvergencija redova II. Neka je (a n ) n niz u C: α n a n, β n a n, n N a n = α n + iβ n, α n, β n R. redovi α n i β n su konvergentni redovi α n i β n su konvergentni red (α n + iβ n ) = a n je konvergentan. a n a n kao za niz u R. a n = = α n + i β n = α σ(n) + i β σ(n) = (α σ(n) + iβ σ(n) ) = a σ(n) Q.E.D. 33 / 79
34 34 / 79 Uspore divanje redova, apsolutna konvergencija redova Definicija (6.4.) Za red a n kažemo da je apsolutno konvergentan ako je red a n konvergentan. Red a n je uvjetno konvergentan ako konvergira, ali red a n divergira. Teorem (6.6.) Neka su a n, b n redovi u C i neka postoji K > 0 tako da je a n K b n, n N. Ako red b n apsolutno konvergira, onda apsolutno konvergira i red an. Ako red a n ne konvergira apsolutno, onda niti red b n ne konvergira apsolutno.
35 35 / 79 Neki dovoljni uvjeti za konvergenciju reda Neki dovoljni uvjeti za konvergenciju reda Promotrimo ( ) n a n red u R gdje je a n > 0, n N (alternirajući red) Teorem ( Leibnitzov kriterij) Ako niz (a n ) n realnih pozitivnih brojeva strogo pada i lim n a n = 0, tada red ( ) n a n konvergira k broju A za koji vrijedi 0 < A < a.
36 Neki dovoljni uvjeti za konvergenciju reda Dokaz: (s n ) n - niz parcijalnih suma reda Vrijedi s 2m = (a a 2 ) + (a 3 a 4 ) + + (a 2m a 2m ) Podniz (s 2m ) m je strogo rastući. s 2m = a (a 2 a 3 ) (a 2m 2 a 2m ) a 2m < a Podniz (s 2m ) m ograničen odozgo. strogo rastući + ograničen odozgo Podniz (s 2m ) m je konvergentan. Neka je A = lim m s 2m. s 2m+ = s 2m a 2m+ = lim m s 2m+ = A lim n s n = A s 2m < A < s 2m, m N. Q.E.D. 36 / 79
37 37 / 79 Neki dovoljni uvjeti za konvergenciju reda Teorem ( D Alambertov kriterij) Neka je (a n ) n niz u C i a n 0, n N.. Ako postoje m N i q 0, R takvi da vrijedi a n+ a n q, n m, onda red a n apsolutno konvergira. 2. Ako postoji m N takav da vrijedi a n+ a n, n m, onda red a n divergira.
38 38 / 79 Neki dovoljni uvjeti za konvergenciju reda Dokaz:. Za n = m + k, k N: a m+k q a m+k q k a m 2. a n+ a n a m+k a m q k = k= k= a m+k konvergira a n konvergira k= q q a n apsolutno konvergira., n m a n a m > 0, n m (a n ) n ne teži k nuli (nije ispunjen nužan uvjet konvergencije reda.) Q.E.D.
39 39 / 79 Neki dovoljni uvjeti za konvergenciju reda Teorem ( Cauchyjev kriterij) Neka je (a n ) n niz u C. n. Ako postoje m N i q 0, R takvi da vrijedi a n q, n m, onda red a n apsolutno konvergira. n 2. Ako vrijedi a n za beskonačno mnogo indeksa n N, onda red a n divergira.
40 Nije ispunjen nužan uvjet konvergencije reda. Q.E.D. 40 / 79 Neki dovoljni uvjeti za konvergenciju reda Dokaz:. n m a n q n a n n=m q n = n=m qm q red a n konvergira a n apsolutno konvergira. 2. n a n za beskonačno mnogo indeksa n N a n za beskonačno mnogo indeksa n N za podniz (a pn ) n niza (a n ) n vrijedi a pn, n N. Podniz (a pn ) n ne konvergira k nuli Niz (a n ) n ne konvergira k nuli.
41 4 / 79 Neki dovoljni uvjeti za konvergenciju reda Korolar (6..) Neka ( je )(a n ) n niz u C i a n 0, n N. Ako neki od nizova a n+ ( n a n, an ) konvergira k r R +, onda za 0 r < red n n a n apsolutno konvergira, a za < r red divergira.
42 Dokaz: Neka je 0 r < Neki dovoljni uvjeti za konvergenciju reda postoji ε > 0 takav da je r + ε <. za taj ε postoji m N sa svojstvom n N ( ) (n m) r ε < a n+ a n < r + ε = q ( (n m) r ε < n ) a n < r + ε = q Teorem 6.8. ili teorem 6.9. Neka je < r a n apsolutno konvergentan ili Postoji ε > 0 takav da je r ε >. Teorem 6.8. ili teorem 6.9. a n divergentan. Q.E.D. 42 / 79
43 43 / 79 Neki dovoljni uvjeti za konvergenciju reda Primjer Redovi na za koje niti D Alambertov niti Cauchyjev kriterij ne daju odluke o konvergenciji ili divergenciji: n(n + ) konvergira i a n+ a n = n(n+) (n+)(n+2) = n divergira i a n+ a n = n n+. ( ) n n 2 konvergira i n = n 2 n n. ( ) n divergira i n n = n n. n n+2.
44 Napomena Neki dovoljni uvjeti za konvergenciju reda Ako D Alambertov kriterij daje odluku, onda ju daje i Cauchyjev kriterij. a m+k q k a m, k N m+k a m+k m+k a m q k m+k Obratna tvrdnja nije istinita, što pokazuje slijedeći primjer. Primjer Niz (a n ) n je definiran s a 2n = 4 n, a 2n+ = 2, n N. 4n a n n k q. a 2n+ a 2n = 2 i = 4n a 2n a 2n 4 n 2 = 8, ( ) a n+ niz ne konvergira. Po teoremu 6.8. nije moguća odluka. 2n a 2n = 2 i 2n+ a 2n+ = n+ n 2, tj. lim n n an = / 79
45 45 / 79 Neki dovoljni uvjeti za konvergenciju reda Primjer Za svako z C red z n n! a n+ a n = apsolutno konvergira. z n+ (n+)! z n n! = z n 0 = r <. n + Po korolaru 6.. red apsolutno konvergira za svako z C. definira funkciju E : C C, E(z) = z n, E(0) =, E() = e. n!
46 46 / 79 Neki dovoljni uvjeti za konvergenciju reda Primjer Za svaki z C apsolutno konvergiraju redovi S(z) = ( ) n z 2n+ (2n + )!, C(z) = ( ) n z2n (2n)!. Ti su redovi apsolutno majorizirani s redom z n n!.
47 47 / 79 Neki dovoljni uvjeti za konvergenciju reda Teorem ( Integralni Cauchyjev kriterij) Neka je f : [, + [0, neprekidna i padajuća funkcija na [, Red f (n) konvergira ako i samo ako integral f (x)dx konvergira. 2. Ako red konvergira onda vrijedi + f (x)dx f (n) f () + + f (x)dx.
48 Dokaz: s n = Neki dovoljni uvjeti za konvergenciju reda n f (k) - parcijalna suma reda k= f je padajuća, f (k + ) f (t) f (k) k N i t [k, k + ] f (k + ) Vrijedi f () + n+ 2 k+ k f (t)dt = f (t)dt + f (t)dt f (k), k N. 3 2 n k= k k+ f (t)dt + + f (t)dt n n n f (k) = s n k= f (t)dt = f () + n f (t)dt. n+ f (t)dt s n f () + n f (t)dt n N 48 / 79
49 . + s n f () + Neki dovoljni uvjeti za konvergenciju reda f (x)dx, konvergira f (t)dt n N (s n ) rastući i ograničen (s n ) konvergentan f (n) konvergira n+ f (t)dt ( ) n+ niz f (t)dt n f (n) t postoji lim f (x)dx = t + rastući i ograničen konvergentan + f (x)dx. Q.E.D. 49 / 79
50 50 / 79 Neki dovoljni uvjeti za konvergenciju reda Primjer Funkcija f (x) = je neprekidna i padajuća na [, +. x p + Red dx konvergira za p > i divergira za p. x p konvergira za p > i divergira za p. np
51 Primjer Neki dovoljni uvjeti za konvergenciju reda Ispitajte konvergenciju reda n=2 n ln p za p >. n Funkcija f (x) = x ln p, x [2, + je neprekidna i padajuća. x Vrijedi x dt F(x) = 2 t ln p t = y = ln t ln x dy = dt/t = dy ln 2 y p = = ln x p y p = p ln p x + p ln p 2, lim F (x) = x + p Red n=2 ln 2 ln p 2 = + 2 dx x ln p x. n ln p n konvergira za p >. 5 / 79
52 Redovi potencija Redovi potencija Neka je (f n ) n niz funkcija f n : I R( ili C), I R(ili C). Red f n zovemo redom funkcija. Za f n (x) = a n (x c) n, x I, red a n (x c) n se naziva red potencija oko točke c. Neka je K = {z C; red a n (x c) n konvergira u točki z}. Definiramo r = sup{ z c ; z K } i nazivamo ga radijus konvergencije reda a n(x c) n. 52 / 79
53 Redovi potencija Nadalje, zbog jednostavnosti: c = 0: Red a n x n. na n x n. zovemo derivacijom reda a nx n član po član. Red a n n + x n+ zovemo antiderivacijom (neodre denim integralom) reda a nx n član po član. 53 / 79
54 54 / 79 Redovi potencija Teorem ( o radijusu konvergencije). Redovi a n x n, na n x n i a n n + x n+ imaju jednak radijus konvergencije. 2. Ako je r radijus konvergencije reda a nx n i r > 0, onda svi redovi apsolutno konvergiraju za z C, z < r, i divergiraju za z C, z > r. 3. Ako je ρ = lim sup n n a n, onda je r = ρ. Dokaz: Bez dokaza. Q.E.D.
55 Redovi potencija Objašnjenje. Jednostavniji slučaj: ρ = lim n a n, r = n ρ Za x < r red a n x n apsolutno konvergira (Cauchyjev kriterij): lim n a n x n = lim n a n x < ρr =.. n n Za x > r red divergira. r je radijus konvergencije. Red na nx n : lim n n (n + )a n+ = lim n n+ n + lim n ( n+ a n+ ) n+ n = ρ. Red an n+ x n+ n an : lim = lim n n n ( ) n n n a n n = ρ. n 55 / 79
56 56 / 79 Redovi potencija Ako je r > 0 radijus konvergencije redova a n x n, na n x n i onda su s f (z) = f (z) = f 2 (z) = M 2 (z) = a n z n, na n z n, n(n )a n z n 2, n=2 a n n + x n+, n(n ) a n z n 2 n=2 definirane funkcije na K (0, r) C
57 57 / 79 Redovi potencija Lema (6.2.) Neka je r > 0 radijus konvergencije reda (??). Za svaki 0 < r < r i svaki par u, z C, u z i u r, z r, vrijedi nejednakost f (z) f (u) f (u) z u 2 M 2(r ) z u. (4)
58 Korolar (6.2.) Redovi potencija Neka su f : r, r R i f : r, r R definirane s f (z) = a n z n, i f (z) = na n z n. Tada je f (x) = f (x), x r, r. Funkcija f ima derivaciju svakog reda na r, r, tj. f C ( r, r ). Tako der za a, b r, r, a < b, imamo b a a n x n dx = = b a n x n dx = a a n n + (bn+ a n+ ). Dokaz: Lema 6.2. f = f na r, r a n n + x n+ b a = Rekurzivnim zaključivanjem slijedi da je f C ( r, r ). Q.E.D. 58 / 79
59 59 / 79 Redovi potencija Primjer Odredite radijus konvergencije reda x n n. a n = n. lim n n a n = lim n n n = lim n n n =. r = =.
60 60 / 79 Redovi potencija Primjer Odredite radijus konvergencije reda x n 2 n. a n = 2 n. lim n n a n = lim n n 2 n = 2. r = 2 = 2.
61 6 / 79 Redovi potencija Primjer Odredite radijus konvergencije reda a n x n, { gdje je a n = 2 za paran n n 3 za neparan n n lim 2m 2m a 2m = lim m m 2 2m = 2, lim 2m+ 2m+ a 2m+ = lim m m 3 2m+ = 3 { n lim sup an = max n 2, } = 3 2 r = 2 = 2. lim n n a n ne postoji.
62 Taylorovi redovi Taylorovi redovi Neka je f : c r, c + r R zadana s f (x) = a n (x c) n, gdje je r > 0 radijus konvergencije reda. Tada je f C ( c r, c + r ) i vrijedi Formula za koeficijente je f (c) = a 0 f (c) = a f (c) = 2a 2 f (n) (c) = n!a n.. a n = f (n) (c), (n = 0,,...). 62 / 79
63 63 / 79 Taylorovi redovi Taylorov teorem Definicija Neka je I R otvoren interval i f : I R ima n-tu derivaciju na I. Za c I polinom T n (x) = f (c) + n k= f (k) (c) (x c) k, x R, (5) k! zovemo Taylorov polinom n-tog reda za funkciju f u točki c, a funkciju zovemo n-ti ostatak funkcije f u c. R n (x) = f (x) T n (x), x I, (6)
64 64 / 79 Taylorovi redovi Primjer Taylorov polinom za eksponencijalnu funkciju f (x) = e x. f (n) (x) = e x f (n) (0) = T (x) = f (0) + f (0)x = + x. T 2 (x) = f (0) + f (0)x + f (2) (0) x 2 = + x + 2! 2 x 2. T 3 (x) = f (0) + f (0)x + f (2) (0) 2! x 2 + f (3) (0) x 2 = + x + 3! 2 x x 3.
65 Taylorovi redovi Lagrangeov teorem srednje vrijednosti ima sljedeće uopćenje. Teorem (Taylor) Neka je I R otvoren interval i neka f : I R, ima derivaciju n + -vog reda na I. Neka je c I i T n Taylorov polinom za f u točki c definiran s (5). Tada x I, c x izme du c i x, tako da je R n (x) = f (x) T n (x) = f (n+) (c x ) (n + )! (x c)n+, (Lagrangeov oblik ostatka). Napomena. Za n = 0 ovo je Lagrangeov teorem srednje vrijednosti. T 0 (x) = f (c) f (x) f (c) = f (x) T 0 (x) = f () (c x ) (x c) = f (c x )(x c) ()! f (x) f (c) x c = f (c x ) 65 / 79
66 66 / 79 Taylorovi redovi Definicija Neka je funkcija f C ( c r, c + r ). Red f (n) (c) (x c) n n! zovemo Taylorov red funkcije f oko točke c. Taylorovi polinomi T n (x) = n f (k) (c) k=0 k! (x c) k su parcijalne sume Taylorovog reda.
67 67 / 79 Taylorovi redovi Primjer Taylorov red za eksponencijalnu funkciju f (x) = e x. f (n) (x) = e x f (n) (0) = f (n) (0) x n = n! n! x n = x n n!.
68 68 / 79 Taylorovi redovi Teorem (6.3.) Neka je I R otvoreni interval, c I i f : I R klase C (I). Ako postoje n 0 N, δ > 0, M > 0 i C > 0, takvi da je onda red f (n) (x) CM n n!, x I = c δ, c + δ I, n n 0, f (n) (c) (x c) n n! konvergira k f (x), x I c M, c + M.
69 Taylorovi redovi Dokaz: Taylorov teorem srednje vrijednosti: Za svaki x I, postoji c x izme du c i x tako da vrijedi f (x) = T n (x) + f (n+) (c x ) (n + )! (x c)n+. f (x) T n (x) = f (n+) (c x ) x c n+ (n + )! C Mn+ (n + )! x c n+ = C(M x c ) n+. (n + )! Za x I c M, c + M je M x c < pa je lim n f (x) T n (x) = 0, tj. lim n T n (x) = f (n) (c) (x c) n = f (x). Q.E.D. n! 69 / 79
70 70 / 79 Taylorovi redovi Teorem (6.4.) Neka je I R otvoreni interval, c I i f : I R klase C (I). Ako postoje δ > 0 i C > 0 takvi da je onda red f (n) (x) C, x I = c δ, c + δ I, n N, (7) konvergira k f (x), x I. Dokaz: Vrijedi f (n) (c) (x c) n n! f (x) T n (x) = f (n+) (c x ) x c n+ x c n+ C (n + )! (n + )! n 0, zbog konvergencije reda x n n!. Q.E.D.
71 7 / 79 Taylorovi redovi Primjer Za funkciju f (x) = e x, x R i c = 0 je f (n) (0) =. Taylorov red oko nule: Za δ > 0 vrijedi x n n!. (x < δ) (e x < e δ ) tj. x δ, δ je e x < e δ = C. Za svaki x R, postoji δ > 0, takav da je x δ, δ, red konvergira k funkciji na čitavom R e x = x n n!
72 72 / 79 Taylorovi redovi Primjer Za funkcije f (x) = sin x i f (x) = cos x je f (n) (x), x R, pa vrijedi sin x = ( ) n x 2n+ (2n + )! i cos x = ( ) n x 2n (2n)!, za sve x R.
73 73 / 79 Taylorovi redovi Primjer Naći Taylorov red oko c = 0 funkcije f (x) = e x 2 i ispitati njegovu konvergenciju. f (x) = 2xe x 2 f (x) = 2e x 2 + 4x 2 e x 2 Komplicirano e x = e x 2 = x n n! ( x 2 ) n n! = ( ) n x 2n n!
74 74 / 79 Taylorovi redovi Primjer Naći Taylorov red oko c = 0 funkcije f (x) = ln( + x) i ispitati njegovu konvergenciju. f (x) = + x = ( ) n x n, za x, (geometrijski red). x dt x f (x) = ln( + x) = 0 + t = ( ) n t n dt = 0 x = ( ) n t n dt = ( ) n x n+ n + = ( ) n x n n za x,. 0
75 75 / 79 Taylorovi redovi Primjer Naći Taylorov red oko c = 0 funkcije f (x) = Tg x i ispitati njegovu konvergenciju. f (x) = + x 2 = ( ) n x 2n za x, (geometrijski red). f (x) = Tg x = za x,. ( ) n x 2n+ 2n + = n x 2n ( ) 2n,
76 76 / 79 Primjer Taylorovi redovi Naći Taylorov red oko c = 0 funkcije f (x) = Sin x i ispitati njegovu konvergenciju. ( ) Vrijedi f (x) = ( x 2 ) 2 = ( ) n 2 x 2n, za x, n (binomni red). No, ( ) ( ) n 3 (2n ) 3 (2n ) 2 = n 2 n = = n! 2 4 2n pa imamo f (x) = f (x) = Sin x = (2n )!! x 2n. Odatle je (2n)!! (2n )!! (2n)!! x 2n+, za x,. 2n + (2n )!!, (2n)!!
77 77 / 79 Taylorovi redovi Teorem ( Abelov teorem) Ako red a n konvergira i ima sumu s, onda je s f (x) = a n x n, x <, definirana funkcija f :, R i vrijedi s = lim x f (x).
78 78 / 79 Taylorovi redovi Primjer ( ) n Vrijedi = ln 2. n ln( + x) = ( ) n x n za x,. x = ln 2 = n ( ) n n
79 79 / 79 Taylorovi redovi Primjer Vrijedi Tg x = ( ) n 2n = π 4. ( ) π 4 = Tg = n x 2n 2n. ( ) n 2n.
80 80 / 79 Fourierovi redovi 6.7. Fourierovi redovi Trigonometrijski polinom: n (a k cos kx + b k sin kx) za n N ili ili a 0 k=0 n 2 + (a k cos kx + b k sin kx) k= n A k sin(kx + ϕ k ) k=0 A k nazivamo amplitudom, k je kutna frekvencija, a ϕ k je fazni pomak
81 8 / 79 Fourierovi redovi Red oblika a (a n cos nx + b n sin nx) zovemo trigonometrijski red.
82 82 / 79 Fourierovi redovi Konvergencija. a 0 + ( a n cos nx + b n sin nx ) a ( a n + b n ) Red ( a n + b n ) konvergira = trigonometrijski red apsolutno konvergira.
83 83 / 79 Fourierovi redovi Promotrimo vektorski prostor V svih neprekidnih funkcija f : [ π, π] R. Definiramo skalarni produkt na V : (f g) = π π f (x)g(x)dx. Za funkcije sin nx, cos nx, (n N), vrijedi π π cos nx dx = 0. n N, π π sin nx dx = 0. n N, π π sin nx cos mx dx = 0. n, m N, π π sin nx sin mx dx = { π za n = m, 0 za n m, π π cos nx cos mx dx = { π za n = m, 0 za n m, n, m N, n, m N.
84 84 / 79 Fourierovi redovi Skup funkcija { 2π, π sin nx, } sin nx; n N π je ortonormirani skup vektora u V.
85 85 / 79 Fourierovi redovi Neka je f : [ π, π] R trigonometrijski red zadan s f (x) = a (a n cos nx + b n sin nx). = = π π π π π π = πa n. f (x) cos nx dx = [ a 0 ] 2 + (a m cos mx + b m sin mx) cos nx dx = m= a π π (a m cos mx cos nx dx + b m m= π π ) sin mx cos nx dx
86 86 / 79 Fourierovi redovi Dakle, za trigonometrijski red f je a n = π π π f (x) cos nx dx, n N {0}. Analogno je b n = π π π f (x) sin nx dx, n N.
87 87 / 79 Fourierovi redovi Neka je f : [ π, π] R i neka su a n = π b n = π π π π π f (x) cos nx dx, n N {0}, f (x) sin nx dx, n N. Trigonometrijski red S(x) = a (a n cos nx + b n sin nx) nazivamo Fourierov red funkcije f. Koeficijente a n i b n u ovom prikazu nazivamo Euler-Fourierovi koeficijenti.
88 Fourierovi redovi Pitanje. Da li za danu funkciju f vrijedi f (x) = S(x)? Teorem (Dirichlet) Neka je f : [ π, π] R takva da vrijedi (i) Funkcija f ima najviše konačno prekida i to prve vrste na [ π, π]. (ii) Funkcija f je po dijelovima monotona na [ π, π]. Tada Fourierov red funkcije f konvergira x R. Neka je S : R R suma Fourierovog reda. Ako je f neprekidna u x π, π, onda je S(x) = f (x). Ako f ima prekid u x π, π, onda je Tako der je S(x) = S( π) = S(π) = f (x ) + f (x+). 2 f (π ) + f ( π+) / 79
89 89 / 79 Fourierovi redovi Dokaz: Dokazujemo samo konvergenciju reda i to uz jači uvjet da je f C (2) ([ π, π]). Parcijalnom integracijom dobivamo π a n = f (x) cos nx dx = π π π f (x) sin nx = nπ π f (x) sin nx dx = π nπ π = f π (x) cos nx n 2 π π n 2 f (x) cos nx dx = π = n 2 π π π π f (x) cos nxdx. Zbog neprekidnosti f postoji M > 0 tako da je f (x) M, x [ π, π]. π
90 90 / 79 Fourierovi redovi = a n 2M, n N. n2 Analogno se dobije b n 2M, n N. n2 = Fourierov red je apsolutno majoriziran s redom 4M n 2 koji je konvergentan. Q.E.D.
91 9 / 79 Fourierovi redovi Primjer Neka je f (x) = x. Odredite Fourierov red funkcije f. Računamo koeficijente Fourierovog reda. Zbog parnosti funkcije f je b n = π π π f (x) sin nx dx = 0,
92 92 / 79 Fourierovi redovi tj. a n = π = 2 π π π π 0 = 2 x sin nx nπ = 2 cos nx πn2 f (x) cos nx dx = π x cos nx dx = π 0 π 0 π π 2 π sin nx dx = nπ 0 = 2 πn 2 [ ( )n ], x cos nx dx = a 2n = 0, a 2n = 4 (2n ) 2 π, n N.
93 93 / 79 Fourierovi redovi a 0 = π = 2 π π x 2 2 π x dx = 2 π π 0 = π π 0 x dx = Dakle, S(x) = π 2 4 π i S(x) = f (x) za x [ π, π]: x = π 2 4 π cos(2n + )x (2n + ) 2, cos(2n + )x (2n + ) 2.
94 94 / 79 Fourierovi redovi Napomena. Za x = 0 je 0 = π 2 4 π cos(2n + )0 (2n + ) 2, tj. tj. odnosno 0 = π 2 4 π (2n + ) 2, (2n + ) 2 = π2 8.
95 Fourierovi redovi Označimo S = n 2. Red podijelimo na dva reda s parnim i neparnim ǐndeksima: S = (2n + ) 2 + (2n) 2 = Dakle = π n 2 = π S S = π2 8 + π2 S = S = 4 6 n 2 = π / 79
96 96 / 79 Fourierovi redovi Primjer Neka je f (x) = { x [ π, 0 x [0, π i neka je po periodičnosti proširena na R, tj. Odredite Fourierov red funkcije f. f (x + 2π) = f (x), x R. Računamo koeficijente Fourierovog reda. Zbog neparnosti funkcije f je a n = π π π f (x) cos nx dx = 0,
97 Fourierovi redovi tj. b n = π π π = 2 cos nx πn f (x) sin nx dx = 2 π π 0 π 0 = 2 πn [ ( )n ], sin nx dx = Dakle, b 2n = 0, b 2n = 4 (2n )π, n N. S(x) = 4 π sin(2n + )x, 2n + s tim da je S(x) = f (x) za x nπ i S(nπ) = f ( kπ+) f (kπ ) 2 = / 79
98 98 / 79 Zaključak o redovima Zaključak o redovima Konvergencija reda Red potencija, radijus konvergencije Taylorov red. Trigonometrijski red. Fourierov red. Suma reda. Nema generalnog pristupa. Taylorov red + Abelov terorem n ( ) n n = ln 2 Taylorov red + Abelov terorem ( ) n 2n = π 4
99 99 / 79 Zaključak o redovima Fourierov red + Dirichletov terorem n 2 = π2 6. Euler je ovo prvi dokazao na malo drugačiji način. Opisao je metodu za računanje sume redova oblika Neparne potencije su još uvijek neriješen problem. Npr., ne zna se koliko je n 3. n 2k.
100 00 / 79 Još malo o eksponencijalnoj funkciji Još malo o eksponencijalnoj funkciji Pokazali smo da je e x = x n, x R. n! Radijus konvergencije je. Ovaj red potencija dobro definira funkciju E : C C: z n E(z) =, z C. n! Vrijedi (z + z 2 ) n E(z +z 2 ) = n! = z n n! z2 n n! = E(z )E(Z 2 ) z, z 2 C.
101 0 / 79 Još malo o eksponencijalnoj funkciji i E(x) = e x x R. Funkcija E je proširenje eksponencijalne funkcije na skup kompleksnih brojeva C. Zato je označavamo s E(z) = e z. Koliko je e +i? Znamo e +i = e e i. Trebamo vidjeti samo što je e i.
102 02 / 79 Još malo o eksponencijalnoj funkciji Neka je y R. e i y = = = = (i y) n n! 2n y 2n i = (2n)! + i n y n n! = (i 2) n y 2n (2n)! + i i 2n+ y 2n+ (2n + )! = (i 2) n y 2n+ (2n + )! = ( ) n y 2n (2n)! + i ( ) n y 2n+ (2n + )! = = cos y + i sin y.
103 03 / 79 za z C, z = x + i y je Još malo o eksponencijalnoj funkciji e z = e x+i y = e x e i y = e x (cos y + i sin y). e x+i y = e x (cos y + i sin y) e +i = e (cos + i sin ) = e (cos + i sin ) e i π = cos π + i sin π =. e i π =.
104 Još malo o eksponencijalnoj funkciji Veza trigonometrijskih i hiperbolnih funkcija shx = ex e x = 2 = 2 = 2 x n n! 2 x n ( x) n = n! 2 x 2n+ (2n + )! ( x) n = n! 2x 2n+ (2n + )! = sh(i x) = = (i x) 2n+ (2n + )! = i 2n+ x 2n+ (2n + )! i (i 2) n x 2n+ (2n + )! = i ( ) n x 2n+ (2n + )! 04 / 79
105 05 / 79 Još malo o eksponencijalnoj funkciji sh(i x) = i sin x Analogno, ch(i x) = cos x
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραDiferencijalni i integralni račun I. Prirodoslovno matematički fakultet
Diferencijalni i integralni račun I Saša Krešić-Jurić Prirodoslovno matematički fakultet Sveučilište u Splitu Sadržaj Skupovi i funkcije. Skupovi N, Z i Q................................. 4.2 Skup realnih
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραk a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :
4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραTEORIJA REDOVA. n u k (n N) (2) k=1. u k. lim S n = S, kažemo da zbir (suma) reda. k=1 S = k=1
TEORIJA REDOVA NUMERIČKI REDOVI. OSNOVNI POJMOVI DEFINICIJA. Neka je {u n } n N realan niz. Izraz oblika k= u k = u + u 2 + + u n + () naziva se beskonačan red, ili kraće red. Broj u n naziva se opšti
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραRedovi funkcija. Redovi potencija. Franka Miriam Brückler
Franka Miriam Brückler Redovi funkcija 1 + (x 2) + 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 +... = (x 2)2 2! + (x 2)3 3! + +... = sin(x) + sin(2x) + sin(3x) +... = x n, + + n=1 (x 2) n, n! sin(nx). Redovi funkcija 1 +
Διαβάστε περισσότερα4. DERIVACIJA FUNKCIJE 1 / 115
4. DERIVACIJA FUNKCIJE 1 / 115 2 / 115 Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Povijesno su dva po prirodi različita
Διαβάστε περισσότεραf : C C f(z) = w = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), u, v : R 2 R, u(x, y) = Rew, v(x, y) = Imw
1. Funkcije kompleksne varijable f : C C f(z) = w = f(x + iy) = u(x y) + iv(x y) u v : R R u(x y) = Rew v(x y) = Imw Elementarne funkcije kompleksnog argumenta. 1. Eksponencijalna funkcija w = e z z C
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραNeprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija
Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute
Διαβάστε περισσότερα16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότερα2. Konvergencija nizova
6 2. KONVERGENCIJA NIZOVA 2. Konvergencija nizova Niz u skupu X je svaka funkcija x : N X. Vrijednost x(k), k N, se zove opći ili k-ti član niza i obično se označava s x k. U skladu s tim, niz x : N X
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραLINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότερα1. Nizovi - definicija i osnovni pojmovi
. Nizovi - definicija i osnovni pojmovi Definicija i osnovni pojmovi Definicija... Svako preslikavanje a : N R, skupa prirodnih brojeva u skup realnih brojeva, nazivamo realnim nizom. Broj koji se ovim
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραNizovi Redovi Redovi funkcija. Nizovi i redovi. Franka Miriam Brückler
Nizovi i redovi Franka Miriam Brückler Nabrajanje brojeva poput ili 1, 2, 3, 4, 5,... 1, 2, 4, 8, 16,... obično se naziva nizom, bez obzira je li to nabrajanje konačno (do nekog zadnjeg broja, recimo 1,
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LIMES NIZOVA LIMES MONOTONIH NIZOVA GEOMETRIJSKOG REDA LIMES FUNKCIJA 1 2.4. LIMES NIZA I TEOREMI O LIMESIMA 2.4.1. Definicija limesa i konvergentnog niza 2.4.1.1 Riješeni
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA
Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odsjek Franka Miriam Brückler, Vedran Čačić, Marko Doko, Mladen Vuković ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Zagreb, 2009. Sadržaj 1 Osnovno o skupovima, relacijama
Διαβάστε περισσότεραPrvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότερα6. Redovi potencija. a 0 + a 1 (z z 0 ) + a 2 (z z 0 ) a n (z z 0 ) n +, (6.0.1)
REDOVI POTENCIJA 3 6. Redovi potencija Rekli smo da je funkcija f analitička na nekom skupu R ako ona ima derivaciju u svakoj točki R i ako je ta derivacija neprekidna funkcija. Tipične primjere analitičkih
Διαβάστε περισσότεραZadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.
Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu
Διαβάστε περισσότερα1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότερα4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 1
Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A
Διαβάστε περισσότερα4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije
4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa
Διαβάστε περισσότεραSlučajni procesi Prvi kolokvij travnja 2015.
Zadatak Prvi kolokvij - 20. travnja 205. (a) (3 boda) Neka je (Ω,F,P) vjerojatnosni prostor, neka je G σ-podalgebra od F te neka je X slučajna varijabla na (Ω,F,P) takva da je X 0 g.s. s konačnim očekivanjem.
Διαβάστε περισσότεραUvod. Aksiome polja realnih brojeva. Supremum skupa.
АНАЛИЗА I припрема испита Оно што следи представља белешке које сам правио непосредно пред полагање усменог дела испита (јул, 2002. године). Због тога нису потпуне, и може понешто бити нетачно, или пропуштено.
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραOSNOVE MATEMATIČKE ANALIZE. Boris Guljaš. predavanja. Zagreb,
OSNOVE MATEMATIČKE ANALIZE Boris Guljaš predavanja Zagreb, 3.2.2014. ii Posljednji ispravak: utorak, 18. travanj 2017. Sadržaj 1 Skupovi N, Z, Q, R, C, R n 1 1.1 Skupovi N, Z, Q, R........................
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje
Διαβάστε περισσότερα1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim.
1 Diferencijabilnost 11 Motivacija Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji es f f(x) f(c) (c) x c x c Najbolja linearna aproksimacija funkcije f je funkcija l(x) = f(c)
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Διαβάστε περισσότεραIntegrali Materijali za nastavu iz Matematike 1
Integrali Materijali za nastavu iz Matematike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 202/3 / 44 Definicija primitivne funkcije i neodredenog integrala Funkcija F je primitivna funkcija (antiderivacija)
Διαβάστε περισσότεραČetrnaesto predavanje iz Teorije skupova
Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna
Διαβάστε περισσότεραMatematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Διαβάστε περισσότερα1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192
MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 2 / 192 prof.dr.sc. Miljenko Marušić Kontakt: miljenko.marusic@math.hr Konzultacije: Utorak, 10-12 WWW: http://web.math.pmf.unizg.hr/~rus/ nastava/ma1/ma1.html 3 / 192 Sadržaj
Διαβάστε περισσότεραZadaća iz kolegija Metrički prostori 2013./2014.
Zadaća iz kolegija Metrički prostori 2013./2014. Zadaća nosi 5 bodova. Sve tvrdnje u zadacima obrazložiti! Renato Babojelić 31 Lea Božić 13 Ana Bulić 7 Jelena Crnjac 5 Bernarda Dragin 19 Gabriela Grdić
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραREKURZIVNE FUNKCIJE PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc.dr.sc.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Brigita Švec REKURZIVNE FUNKCIJE Diplomski rad Voditelj rada: Doc.dr.sc. Zvonko Iljazović Zagreb, Rujan, 2014. Ovaj diplomski
Διαβάστε περισσότεραTeorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora).
UVOD U TEORIJU BROJEVA Drugo predavanje - 10.10.2013. Prosti brojevi Denicija 1.4. Prirodan broj p > 1 zove se prost ako nema niti jednog djelitelja d takvog da je 1 < d < p. Ako prirodan broj a > 1 nije
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότερα