MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
|
|
- Ἑστία Φιλιππίδης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je I kolekcija svih ograničenih jednodimenzionalnih intervala i neka je µ: I [0, + skupovna funkcija definirana s µ(i) := sup I inf I za svaki I I. (a) (2 boda) Dokažite da je µ konačno aditivna na I. (b) (4 boda) Dokažite da je µ σ-aditivna na I. (a) Pogledajte primjer 2.9 s predavanja. (b) Pogledajte lemu 2.10 s predavanja i njezin dokaz.
2 2. (ukupno 6 bodova + 2 dodatna boda) (a) (2 boda) Definirajte produktnu σ-algebru indeksirane familije σ-algebri. (b) (2 boda) Ako su (X, F) i (Y, G) izmjerivi prostori, dokažite da produktna σ-algebra F G zadovoljava F G = σ ( {A B : A F, B G} ). (c) (2 boda) Dokažite B(R) B(R) = B(R 2 ). Pritom možete koristiti bilo koju od definicija ili karakterizacija Borelovih σ-algebri navedenih na predavanjima ili vježbama. (d) (2 dodatna boda) Neka su (X, F) i (Y, G) izmjerivi prostori te F G produktna σ-algebra. Za svaki S X Y i x X označimo S x := {y Y : (x, y) S}. Dokažite da za svaki S F G skup {S x : x X} ima kardinalitet najviše c (kontinuum). (a) Pogledajte početak poglavlja 5 s predavanja: Ako je {(X k, X k ) : k K} indeksirana familija izmjerivih prostora, tada je produktna σ-algebra k K X k najmanja σ-algebra na Kartezijevom produktu X = k K X k takva da su sve koordinatne projekcije π k : X X k, k K izmjerive, tj. (b) Po prethodnoj definiciji je k K ( X k := σ k K F G = σ ( π 1 1 (F) π 1 2 (G) ) U posljednjoj jednakosti smo koristili: ) π 1 k (X k). = σ ( {π 1 1 (A) : A F} {π 1 2 (B) : B G} ) = σ ( {A Y : A F} {X B : B G} ) = σ ( {A B : A F, B G} ) za inkluziju da se presjek (A Y ) (X B) = A B mora nalaziti u svakoj σ-algebri koja sadrži skupove A Y i X B; za inkluziju da su skupovi A Y i X B oblika A B redom uz odabire B = Y i A = X. (c) Koristit ćemo definicije B(R) = σ ( { a, b] : a, b R, a b} ), B(R 2 ) = σ ( { a 1, b 1 ] a 2, b 2 ] : a 1, a 2, b 1, b 2 R, a 1 b 1, a 2 b 2 } ). Kako su a 1, b 1 ], a 2, b 2 ] B(R), iz (b) dijela zadatka slijedi B(R 2 ) σ ( {A B : A, B B(R)} ) = B(R) B(R).
3 Obratno, primijetimo da su koordinatne projekcije π 1, π 2 : R 2 R izmjerive u paru σ-algebri B(R 2 ) i B(R) jer za svake a, b R, a b imamo π 1 1 ( a, b]) = a, b] R = π 1 2 ( a, b]) = R a, b] = ( ) a, b] n, n] B(R 2 ), ( ) n, n] a, b] B(R 2 ) pa možemo iskoristiti propoziciju 5.5 s predavanja uz kolekciju E = { a, b] : a, b R, a b}. Zato σ-algebra B(R 2 ) sadrži B(R) B(R) kao najmanju σ-algebru na R 2 s tim svojstvom; vidjeti definiciju pod (a). (d) Promotrimo kolekciju Pokažimo da je H σ-algebra na X Y : H := { S X Y : card({s x : x X}) c }. H jer je { x : x X} = { }, što je skup kardinaliteta 1; ako je S H, onda vrijedi card({(s c ) x : x X}) = card({(s x ) c : x X}) = card({s x : x X}) c pa imamo S c H; ako je (S n ) niz u H, onda vrijedi ({( card S n ) pa imamo S n H. x }) : x X = card ({ }) (S n ) x : x X card ({( (S n ) x ) : x X}) c ℵ 0 = c Nadalje, kolekciji H pripadaju skupovi oblika A B za A F i B G, jer je za njih {(A B) x : x X} = {, B} skup kardinaliteta najviše 2. Slijedi da H mora sadržavati i σ-algebru generiranu skupovima A B, što je upravo F G po (b) dijelu zadatka. Preostaje primijetiti da je F G H upravo tvrdnja koja se tražila u zadatku. Zanimljiva posljedica ovog dijela zadatka uz odabir (Y, G) = (X, F) je da ako je card(x) > c, tada dijagonala := {(x, x) : x X} ne može pripadati produktnoj σ-algebri F F.
4 3. (ukupno 6 bodova) Promotrimo funkciju F : R R, F (x) := x + 1 x 1 i njoj pridruženu Lebesgue-Stieltjesovu mjeru λ F na (R, B(R)). (a) (2 boda) Je li mjera λ F konačna? (b) (2 boda) Izračunajte λ F ( [22n, 2 2n+1 ] ). (c) (2 boda) Nadite σ-algebru M (λf ) svih (λ F ) -izmjerivih skupova obzirom na vanjsku mjeru (λ F ) : P(R) [0, + ] pridruženu skupovnoj funkciji λ F : B(R) [0, + ]. (a) Prije svega primijetimo 2 za x 1, F (x) = 2x za 1 x 1, 2 za x 1. Kako je λ F (R) = lim λ F ( n, n]) = lim (F (n) F ( n)) = 4 < +, zaključujemo da je λ F n n konačna mjera. (b) Intervali [2 2n, 2 2n+1 ], n Z su medusobno disjunktni, za n 1 su sadržani u 0, 1, a za n 0 su sadržani u [1, +. Zato je ( ) λ F [2 2n, 2 2n+1 ] = ( F (2 2n+1 ) F (2 2n ) ) = ( 2 2 2n n) n 1 n 1 n 1 te pa je rezultat 2 3. λ F ( n 0 = 2 2n+1 = n 1 ) [2 2n, 2 2n+1 ] = n 0 2 2m+1 = 2 3 m=1 ( F (2 2n+1 ) F (2 2n ) ) = n 0 (2 2) = 0 (c) Najprije primijetimo da za svaki A B(R) vrijedi λ F (A) = 2λ(A [ 1, 1]). Naime, i lijeva i desna strana su konačne mjere na (R, B(R)) koje se podudaraju na R i na zatvorenim intervalima [a, b], a, b R, a b: λ F (R) = 4 = 2λ([ 1, 1]) = 2λ(R [ 1, 1]), λ F ([a, b]) = 2 ( min{b, 1} max{a, 1} ) = 2λ([a, b] [ 1, 1]). Zato po korolaru 4.4 (o jednakosti konačnih mjera) te dvije mjere moraju biti jednake na cijeloj generiranoj σ-algebri B(R).
5 Nadalje tvrdimo da za svaki A R vrijedi (λ F ) (A) = 2λ (A [ 1, 1]), pri čemu je λ Lebesgueova vanjska mjera. Naime, po definiciji (3.9) s predavanja imamo { (λ F ) (A) := inf λ F (E n ) : (E n ) je niz u B(R), A } E n { = 2 inf λ(e n [ 1, 1]) : (E n ) je niz u B(R), A } E n { = 2 inf λ(e n ) : (E n ) je niz u B([ 1, 1]), A [ 1, 1] = 2λ (A [ 1, 1]). } E n Alternativno, u ovom dijelu zadatka se mogla iskoristiti i jednostavnija formula za vanjsku mjeru pridruženu mjeri na nekoj σ-algebri: (λ F ) (A) = inf { λ F (E) : E B(R), A E }. Za B [ 1, 1] zbog netom dokazanog imamo: B je (λ F ) -izmjeriv za svaki A R vrijedi (λ F ) (A) = (λ F ) (A B) + (λ F ) (A B c ) (podijelimo s 2) za svaki A R vrijedi λ (A [ 1, 1]) = λ (A B [ 1, 1]) +λ (A B c [ 1, 1]) }{{} =λ (A B) (dodajmo λ (A [ 1, 1] c ) = λ (A B c [ 1, 1] c ) i iskoristimo da je [ 1, 1] Lebesgue-izmjeriv) za svaki A R vrijedi λ (A) = λ (A B) + λ (A B c ) B L 1, pri čemu L 1 označava (jednodimenzionalnu) Lebesgueovu σ-algebru. Nadalje, za B [ 1, 1] c je: B je (λ F ) -izmjeriv za svaki A R vrijedi (λ F ) (A) = (λ F ) (A B) +(λ }{{} F ) (A B c ), =0 a to uvijek vrijedi zbog monotonosti i subaditivnosti vanjske mjere. Konačno, uzmimo proizvoljni B R. Kako smo već vidjeli da je [ 1, 1] M (λf ), imamo B M (λf ) B [ 1, 1] M (λ F ) }{{} i B [ 1, 1] c M (λf ) }{{} B [ 1,1] L 1 uvijek vrijedi pa smo dobili M (λf ) = {B R : B [ 1, 1] L 1}.
6 4. (ukupno 6 bodova + 2 dodatna boda) Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom. Za mjeru µ kažemo da je polukonačna ako za svaki E F takav da je µ(e) = + postoji F F sa svojstvom F E i 0 < µ(f ) < +. (a) (2 boda) Navedite primjer mjere koja nije polukonačna (i obrazložite zašto je navedeni primjer dobar). (b) (2 boda) Dokažite da je svaka σ-konačna mjera ujedno i polukonačna. (c) (2 boda) Navedite primjer polukonačne mjere koja nije σ-konačna (i dokažite da je navedeni primjer dobar). (d) (2 dodatna boda) Dokažite ili opovrgnite tvrdnju: ako je µ polukonačna mjera, tada za svaki E F takav da je µ(e) = + i za svaki M > 0 postoji F F takav da je F E i M < µ(f ) < +. (a) Primjerice, µ: P(X) [0, + ] koja je za svaki E X dana s { 0 ako je E =, µ(e) = + ako je E. Mjera µ nije polukonačna čim poprima samo dvije vrijednosti i to 0 i +. Naime, postoje skupovi µ-beskonačne mjere, ali ne postoje skupovi strogo pozitivne konačne mjere µ. (b) Neka je E F takav da je µ(e) = +. Kako je µ σ-konačna mjera, postoji niz (C n ) n N iz F takav da je µ (C n ) < + za sve n N te je n N C n = X. Promotrimo niz (C n E) n N skupova iz F: vrijedi n N (C n E) = E te za sve n N vrijedi µ (C n E) µ (C n ) < +. Zaključujemo da mora postojati n 0 N takav da je µ (C n0 E) > 0; inače bi E bio skup µ-mjere nula kao prebrojiva unija skupova µ-mjere nula. Traženi skup je F := C n0 E. (c) Neka je X neprebrojiv skup i µ brojeća mjera na X. Mjera µ je polukonačna budući da za svaki beskonačni skup E X možemo odabrati neprazni konačni podskup F E i za taj odabir će vrijediti 0 < µ(f ) < +. (Naprimjer, F = {x} za neki x E.) S druge strane, kada bi µ bila σ-konačna mjera, onda bi neprebrojiv skup X bio prikaziv kao prebrojiva unija konačnih skupova, a ta unija može biti najviše prebrojivo beskonačna. Stoga µ nije σ-konačna mjera. (d) Tvrdnja vrijedi. Neka je E F takav da je µ(e) = +. Označimo F E := {F F : F E, 0 < µ(f ) < + }. Budući da je µ polukonačna mjera, F E je neprazan skup. Stoga postoji M E := sup {µ(f ) : F F E }
7 u širem smislu (tj. moguće je da vrijedi M E = + ). Po definiciji supremuma postoji niz (F n ) n N iz F E takav da je lim µ (F n) = M E. Pokažemo li da vrijedi M E = +, slijedit će n + da za svaki M > 0 postoji n 0 N takav da je µ (F n0 ) > M, što bi nam dalo tvrdnju zadatka. Pretpostavimo suprotno, tj. M E < +. Za skup F := n N F n vrijedi F E i ( ) ( ( n µ(f ) = µ F n = µ n N n N k=1 F k )) = lim n + µ ( n ) F k M E. k=1 } {{ } M E Budući da je F n F za sve n N, mora vrijediti µ(f ) = M E ; inače bi za sve n N vrijedilo µ (F n ) µ(f ) < M E, pa onda i M E = lim µ (F n) µ(f ) < M E. Kako je n + M E < +, za skup E\F F vrijedi µ (E\F ) = +. Kako je µ polukonačna mjera, postoji F F, F E\F takav da je 0 < µ (F ) < +. Iz toga za skup F F F E slijedi M E µ (F F ) = µ(f ) + µ (F ) > µ(f ) = M E, što nije moguće. Početna pretpostavka je bila pogrešna, dakle M E = + za proizvoljno odabrani E F beskonačne mjere µ, što nam daje tvrdnju zadatka.
8 5. (ukupno 6 bodova) (a) Neka je (f n ) niz Borel-izmjerivih funkcija f n : R R. Koji od sljedećih skupova su nužno Borelovi? (a1) (2 boda) A = {x R: niz (f n (x)) ima beskonačno mnogo članova u skupu [0, 1 i konačno mnogo članova u skupu [1, + }. (a2) (2 boda) B = {x R: postoji y R takav da vrijedi f n(x) < y}. (b) (2 boda) Neka je (X, F) izmjerivi prostor. Reći ćemo da je funkcija f : X R izmjeriva na E F ako za svaki B B(R) vrijedi f 1 (B) E F. Neka su Z, W F takvi da je X = Z W. Dokažite ili opovrgnite tvrdnju: funkcija f je izmjeriva u paru σ-algebri (F, B(R)) ako i samo ako je f izmjeriva i na Z i na W. (a) Skupovi A i B jesu Borelovi. Pokažimo to. (a1) Uočimo da se skup A može prikazati kao A = A 1 A 2, gdje su Nadalje, A 1 := {x R: niz (f n (x)) ima beskonačno mnogo članova u skupu [0, 1 } A 2 := {x R: niz (f n (x)) ima konačno mnogo članova u skupu [1, + }. A 1 ={x R : x se nalazi u beskonačno mnogo skupova {0 f n < 1}} = lim sup {0 f n < 1}, n A 2 ={x R : x se nalazi u konačno mnogo skupova {f n 1}} ={x R : = ( lim sup {f n 1} ) c. n x se nalazi u beskonačno mnogo skupova {f n 1}} c Alternativno, mogli smo zapisati A 2 = lim inf n {f n < 1}. Kako su funkcije f n izmjerive, vrijedi {0 f n < 1} B(R) i {f n 1} B(R) za svaki n N. Kako je B(R) zatvorena na komplementiranje, prebrojive presjeke i prebrojive unije, slijedi A 1, A 2 B(R), iz čega zaključujemo da je A B(R). (a2) Uočimo da je skup B zapravo { } { B = f n < + = sup N N N } f n < + = {F < + }, N pri čemu su F n := f n i F := sup F N. Funkcije F N : R [0, + su Borel-izmjerive N N kao zbrojevi Borel-izmjerivih funkcija f n, a funkcija F : R [0, + ] je Borel-izmjeriva kao supremum niza (F N ) N=1. Odavde slijedi da je B B(R).
9 (b) Tvrdnja vrijedi. Naime, neka je f izmjeriva u paru σ-algebri (F, B(R)). Tada za B B(R) vrijedi f 1 (B) F. Kako su Z i W elementi σ-algebre F, to slijedi da je f 1 (B) Z F i f 1 (B) W F. Zbog proizvoljnosti skupa B zaključujemo da je f izmjeriva i na Z i na W. Obratno, neka je B B(R). Kako je f izmjeriva na Z i W, to vrijedi f 1 (B) Z F i f 1 (B) W F. Sada imamo f 1 (B) = f 1 (B) X = f 1 (B) (Z W ) = (f 1 (B) Z) (f 1 (B) W ) pa je f 1 (B) F. Dakle, f je izmjeriva u paru σ-algebri (F, B(R)).
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραMjera i Integral Vjeºbe
Mjera i Integral Vjeºbe September 8, 2015 Chapter 1 σ-algebre 1.1 Osnovna svojstva i prvi primjeri Najprije uvodimo pojmove algebre i σ-algebre 1 skupova. Za skup, familiju svih njegovih podskupova zovemo
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραSlučajni procesi Prvi kolokvij travnja 2015.
Zadatak Prvi kolokvij - 20. travnja 205. (a) (3 boda) Neka je (Ω,F,P) vjerojatnosni prostor, neka je G σ-podalgebra od F te neka je X slučajna varijabla na (Ω,F,P) takva da je X 0 g.s. s konačnim očekivanjem.
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL završni ispit 4. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
1. (ukupo 8 bodova) MJERA I INTEGRAL završi ispit 4. srpja 216. (Kjige, bilježice, dodati papiri i kalkulatori isu dozvoljei!) (a) (2 boda) Defiirajte p za ekspoete p [1, +. (b) (6 bodova) Dokažite da
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραČetrnaesto predavanje iz Teorije skupova
Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραk a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :
4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da
Διαβάστε περισσότεραIntegral i mjera. Braslav Rabar. 13. lipnja 2007.
Itegral i mjera Braslav Rabar 13. lipja 2007. Def 1 Neka je X skup tada familiju F podskupova od X zovemo σ-algebra a X ako je X uutra te je zatvorea a komplemetiraje i prebrojive uije tada urede par (X,
Διαβάστε περισσότεραMjera i integral. bilješke s vježbi ak. god /13. Aleksandar Milivojević
Mjera i itegral vježbe bilješke s vježbi ak. god. 202./3. atipkali i uredili Aleksadar Milivojević Saji Ružić Sveučiliste u Zagrebu Prirodoslovo-matematički fakultet Matematički odsjek (skripta e može
Διαβάστε περισσότεραKONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Διαβάστε περισσότεραDragan Jukić MJERA I INTEGRAL OSIJEK, f = 3 α i χ Ai. α 2. α 1. α 3 A 1 A 2 A 3. 3 fdλ = α i λ(a i )
Dragan Jukić α 2 f = 3 α i χ Ai 3 fdλ = α i λ(a i ) α 1 α 3 A 1 A 2 A 3 MJERA I INTEGRAL OSIJEK, 2012. prof.dr.sc. Dragan Jukić MJERA I INTEGRAL Osijek, 2012. D. Jukić Mjera i integral. Izdavač: Sveučilište
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραZadaća iz kolegija Metrički prostori 2013./2014.
Zadaća iz kolegija Metrički prostori 2013./2014. Zadaća nosi 5 bodova. Sve tvrdnje u zadacima obrazložiti! Renato Babojelić 31 Lea Božić 13 Ana Bulić 7 Jelena Crnjac 5 Bernarda Dragin 19 Gabriela Grdić
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραLINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA
Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odsjek Franka Miriam Brückler, Vedran Čačić, Marko Doko, Mladen Vuković ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Zagreb, 2009. Sadržaj 1 Osnovno o skupovima, relacijama
Διαβάστε περισσότεραREKURZIVNE FUNKCIJE PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc.dr.sc.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Brigita Švec REKURZIVNE FUNKCIJE Diplomski rad Voditelj rada: Doc.dr.sc. Zvonko Iljazović Zagreb, Rujan, 2014. Ovaj diplomski
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST 1. kolokvij studenog 2013.
Zadatak 1 (10 bodova (a (5 bodova Iskažite i dokažite teorem o strukturi vjerojatnosti na partitivnom skupu prebrojivog skupa. Zašto u slučaju prebrojivog skupa možemo promatrati samo vjerojatnosti definirane
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότερα2. Konvergencija nizova
6 2. KONVERGENCIJA NIZOVA 2. Konvergencija nizova Niz u skupu X je svaka funkcija x : N X. Vrijednost x(k), k N, se zove opći ili k-ti član niza i obično se označava s x k. U skladu s tim, niz x : N X
Διαβάστε περισσότερα16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραTeorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003.
Teorija skupova Matko Males Split lipanj 2003. 2 O pojmu skupa A, B, C,... oznake za skupove a, b, c,... oznake za elemente skupa a A, a / A Skup je posve odredjen svojim elementima, tj u potpunosti je
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραMatematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak
Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 1
Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A
Διαβάστε περισσότεραPoglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi
Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE 1.1 Ortonormirani skupovi Prije nego krenemo na sami algoritam, uvjerimo se koliko je korisno raditi sa ortonormiranim skupovima u unitarnom prostoru.
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότερα1. Topologija na euklidskom prostoru R n
1 1. Topologija na euklidskom prostoru R n Euklidski prostor R n je okruženje u kojem ćemo izučavati realnu analizu. Kao skup R n se sastoji od svih uredenih n-torki realnih brojeva: R n = {(x 1,...,x
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραDiferencijalni i integralni račun I. Prirodoslovno matematički fakultet
Diferencijalni i integralni račun I Saša Krešić-Jurić Prirodoslovno matematički fakultet Sveučilište u Splitu Sadržaj Skupovi i funkcije. Skupovi N, Z i Q................................. 4.2 Skup realnih
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST popravni kolokvij veljače 2017.
Zadatak 1. (20 bodova) (a) (4 boda) Precizno definirajte pojam σ-algebre događaja na nepraznom skupu Ω. (b) (6 bodova) Neka je (Ω, F, P) vjerojatnosni prostor i A, B F događaji. Pomoću aksioma vjerojatnosti
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραTeorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora).
UVOD U TEORIJU BROJEVA Drugo predavanje - 10.10.2013. Prosti brojevi Denicija 1.4. Prirodan broj p > 1 zove se prost ako nema niti jednog djelitelja d takvog da je 1 < d < p. Ako prirodan broj a > 1 nije
Διαβάστε περισσότερα1 / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI
/ 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI 6.. Definicija reda Promatrajmo niz Definicija reda ( ) n 2 :, 2 2 3 2 4 2,... Postupno zbrajajmo elemente niza: = + 2 2 = 5 4 + 2 2 + 3 2 = 49 36 + 2 2 + 3 2 + 4 2 =
Διαβάστε περισσότεραMatematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin
Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio III Umijeće postavljanja pravih pitanja i problema u matematici treba vrednovati više nego njihovo rješavanje Georg Cantor Sadržaj Matematika (PITUP) Relacije medu
Διαβάστε περισσότερα1 Svojstvo kompaktnosti
1 Svojstvo kompaktnosti 1 Svojstvo kompaktnosti U ovoj lekciji će se koristiti neka svojstva realnih brojeva sa kojima se čitalac već upoznao tokom kursa iz uvoda u analizu. Na primer, važi Kantorov princip:
Διαβάστε περισσότεραJednodimenzionalne slučajne promenljive
Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/
Διαβάστε περισσότερα2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότερα1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραNeprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija
Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute
Διαβάστε περισσότεραSKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE
SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella
Uvod u teoriju brojeva (skripta) Andrej Dujella PMF - Matematički odjel Sveučilište u Zagrebu Sadržaj. Djeljivost.... Kongruencije... 3. Kvadratni ostatci... 9 4. Kvadratne forme... 38 5. Aritmetičke funkcije...
Διαβάστε περισσότεραMARKOVLJEVI LANCI popravni kolokvij veljače (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
MARKOVLJEVI LANCI popravni kolokvij - 2. veljače 204. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!). (a) Neka je X (X n : n 0) Markovljev lanac sa skupom stanja S i matricom prijelaza
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότερα