Hidrološki ciklus Doc.dr.sc. Maja Oštrić, dipl.ing.geol.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Hidrološki ciklus Doc.dr.sc. Maja Oštrić, dipl.ing.geol."

Transcript

1 Hidrološki ciklus Doc.dr.sc. Maja Oštrić, dipl.ing.geol. Osijek,

2 SADRŽAJ 1. Količina i raspodjela vode 2. Globalna bilanca voda 3. Hidrološki ciklus, bilanca voda 4. Komponente hidrološkog ciklusa Oborine Evapotranspiracija Infiltracija Otjecanje

3 1. KOLIČINA I RASPODJELA VODE UKUPNO 1,36 X 10 8 km 2 (Nace, 1960: Feth, 1973); km 3 (Bačani, 2006) Tablica 2.1 Ukupna bilanca voda na Zemlji (Pollak Z, 1995)

4 1. KOLIČINA I RASPODJELA VODE Koliko vode ima na, u i oko Zemlje? km 3, R=1.385 km- sva voda: na, u i oko Zemlje km 3, R=272,8 kmsva tekuća slatka voda u podzemlju, močvarama, rijekama i jezerima km 3, R=56,2 km- sva tekuća slatka voda u rijekama i jezerima Relativne količine vode na Zemlji u usporedbi za veličinom Zemlje Svaka kugla predstavlja volumen (km 3 )

5 1. KOLIČINA I RASPODJELA VODE 71 % površine Zemlje prekriveno vodom, U oceanima se nalazi oko 97,5 % svih voda na Zemlji. Voda također postoji u zraku kao vodena para, u rijekama i jezerima, u ledenim kapama i ledenjacima, u tlu kao vlažnosti tla i u vodonosnicima, pa čak i u vama.

6 1. KOLIČINA I RASPODJELA VODE Gdje je voda na Zemlji?

7 2. GLOBALNA BILANCA VODA U atmosferi: Oborine (P) = Evapotranspiracija (ET) = Na Zemlji: P = Evapotranspiracija (ET) + Površinsko otjecanje (R) + Podzemno otjecanje 100 = U oceanima i morima: Oborine (na ocean)+ Površinsko otjecanje (R) + Podzemni dotok = Evaporacija (E) = 424 P=E 100=61 385=

8 2. GLOBALNA BILANCA VODA P=E kopno = ocean =

9 3. HIDROLOŠKI CIKLUS, BILANCA VODA Hidrološki ciklus ili kružni tok vode u prirodi je slijed prelaženja vode iz atmosfere na Zemlju kroz oborine, te njeno ponovno vraćanje u atmosferu isparavanjem. Hidrološki ciklus predstavlja beskonačno kruženje vode između oceana, atmosfere i litosfere. Zbiva se u Zemljinom sustavu: atmosferi (15 km), hidrosferi i litosferi (1 km, u kršu 2-3 km), dakle čitav proces zbiva se u amplitudi od oko 16 km. Voda nikada ne miruje, zahvaljujući kružnom toku, voda se kreće sajednognadrugomjestoiizjednogu drugi oblik!

10 3. HIDROLOŠKI CIKLUS, BILANCA VODA Voda isparava iz Oceana pomoću Sunčeve energije i prelazi u atmosferu, krečući se oblacima prema kopnu. Jednom kada dođe na zemljinu površinu, atmosferski uvjeti djeluju tako se vode kondenzira i pada u obliku padalina na zemljinu površinu, od kuda se pokrenuta gravitacijskim silama vraća u ocean preko jezera i potoka ( i dr) - SLIKA Ciklus je prilično kompleksan i sastoji se od više podciklusa (mali, veliki)- Hidrološki ciklus. Geološki ciklus.

11 3. HIDROLOŠKI CIKLUS, BILANCA VODA

12 3. HIDROLOŠKI CIKLUS, BILANCA VODA

13 3. HIDROLOŠKI CIKLUS

14 PLAVA, ZELENA, VODA PLAVA VODA- količina oborina koja završi u rijekama, jezerima, akumulacijama i podzemnoj vodi. ZELENA VODA je količina oborina koja padne na vegetaciju, uđe u tlo i bude korištena od biljaka, a evapotranspiracijom se ponovno vraća u atmosferu. Plava voda je ona koju primarno koristimo i upravljamo njome, a čini samo 35 % hidrološkog ciklusa. Preostalih 65 % padalina kruži kroz Zeleni ciklus. Kako voda postaje oskudnija, potrebno je da što uspješnije i efikasnije upravljamo i zelenom vodom. Raspodjela plave i zelene vode po državama se mijenja- projekcije do pokazuju da će oko 46 % svih zemalja imati kritične razine plave i zelene vode, a samo 19 % dovoljne razine.

15 ZELENA VODA PLAVA VODA Zelena voda granično < 1300 m 3 /st/god Zelena voda dovoljno > 1300 m 3 /st/god Plava voda granično < 1000 m 3 /st/god 46 % 14 % Plava voda dovoljno > 1000 m 3 /st/god 21 % 19% ZELENA VODA PLAVA VODA Zelena voda granično < 1300 m 3 /st/god Zelena voda dovoljno > 1300 m 3 /st/god Plava voda granično < 1000 m 3 /st/god Jordan, Egipat, Indija, Kina Južna Afrika Plava voda dovoljno > 1000 m 3 /st/god Koreja, Japan Brazil, Kanada

16 3/hydrological-cycle-16/

17

18 PLAVA, ZELENA, BIJELA I SIVA VODA

19 3. HIDROLOŠKI CIKLUS, BILANCA VODA Ukupna količina vode, koja na tom kružnom put ulazi u to područje je jednaka ukupnoj količini vode koja iz tog područja na bilo koji način izlazi. -BILANCA Unašeminteresubitće onajdiociklusakojiseodnosi na kopneni sliv. Hidrološki ciklus globalno- GLOBALNA BILANCA ili na slivu- BILANCA SLIVA. Hidrologija- kvantitativno predočava hidrološki ciklusotvoreni sustav koji se može opisati jednadžbom bilance masa, u kojoj je promjena ulaza i izlaza jednaka promjeni volumena (pohrane). To je osnovna jednadžba u hidrologiji koja se može primjeniti na lokalnom ili globalnom mjerilu.

20 SHEMATSKI PRIKAZ HIDROLOŠKOG CIKLUSA

21 3. HIDROLOŠKI CIKLUS, BILANCA VODA HIDROLOŠKI PROCESI Kondenzacija Isparavanje Transpiracija Infiltracija Površinsko tečenje Potpovršinsko otjecanje Podzemno otjecanje ELEMENTI Oborine/padaline Evapotranspiracija Površinsko tečenje Potpovršinsko otjecanje Podzemno otjecanje

22 BILANCA VODA Odnos ulazećih i izlazećih količina vode izražen jednadžbom bilance glasi: P- oborine pale na sliv Et evapotranspiracija Q- otjecanje Otjecanje: tri komponente Površinsko Potpovršinsko Podzemno

23

24 3. HIDROLOŠKI CIKLUS, BILANCA VODA Temelj bilančne analize je SLIV Sliv je prirodno definirana cjelina, u kojoj su svi promjenljivi elementi bilance međusobno funkcionalno povezani Bilanca voda je kvantitativni prikaz odnosa ukupnog prihranjivanja i gubitka vode u slivu u određenom periodu vremena Temeljni elementi bilance voda su: oborine, evapotranspiracija, infiltracija i otjecanje Kod izrade bilance sliva potrebna suradnja hidrogeologa i hidrologa!

25 SLIV U širemu smislu sliv predstavlja sve one kopnene površine s kojih vodne mase ulaze u oceane, mora ili jezera. U užem smislu, sliv je površina s koje se voda slijeva prema glavnome sabiraču (recipijentu) - vodotoku. Sliv je određen razvodnicom (vododjelnicom), koja može biti topografska ili hidrološka. Razvodnica je granična linija koja dijeli susjedne slivove.

26 SLIV Topografska razvodnica je granična linija koja u geološki povoljnim uvjetima dijeli susjedne slivove po najvišim točkama terena, a određuje se na topografskoj karti na temelju položaja slojnica. Veličina sliva je površina s koje voda dotječe u vodotok. U geološki nepovoljnim uvjetima, primjerice u kršu, razvodnica vrlo često ne ovisi samo o topografiji, već prvenstveno o geološkim i hidrogeološkim uvjetima. Takva hidrološka ili hidrogeološka razvodnica obično nije stalna, već se njezin položaj mijenja ovisno o razinama podzemnih vodostaja. U takvim se slučajevima razmatra utjecajni sliv koji se odnosi na podzemno i površinsko otjecanje. U kršu se može razlikovati izravni (neposredni) i ukupni utjecajni sliv.

27

28 JEDNADŽBA BILANCE SLIVA gdje su: P oborine Q otjecanje E evapotranspiracija ΔS S promjene količine vode u površinskim akumulacijama ΔS G uskladištene količine vode u podzemlju tijekom jedne godine

29 4. KOMPONENTE HIDROLOŠKOG CIKLUSA Najvažniji elementi u hidrološkom procesu I. OBORINE II. EVAPOTRANSPIRACIJA III. INFILTRACIJA IV. OTJECANJE

30 I. OBORINE Oborina ili padalina (kiša, snijeg, tuča, inje, rosa) nastaje kao posljedica kondenzacije vodene pare u atmosferi ili se neposredno iz zraka taloži na tlu (desublimacija). Mogu nastajati izravno na tlu, poput inja, rose, mraza, a mogu nastati i u zraku (u oblaku) iz kojeg na tlo padaju kao tekuća (kiša, rosulja) ili smrznuta voda (tuča, snijeg). Osnovna podjela oborina: Vodoravne oborine : rosa, mraz, inje, poledica Okomite oborine : kiša, rosulja, snijeg, led, tuča, solika

31 I. OBORINE Postoje tri vrste događaja oborina: frontalna, konvekcijska i orografska. Oborine se mogu podijeliti na konvekcijske, izazvane konvektivnim procesima u kojima padaju najčešće u obliku pljuska iz kumulonimbusa. na orografske (ispravnije bi bilo orogene, jer nastaju djelovanjem orografije), koje nastaju prisilnim dizanjem vlažna zraka uz obronke planina pod utjecajem vjetra, te ciklonske, rezultat kretanja zračnih masa iz područja visokog tlaka (Anticiklona) i područje niskog tlaka zraka (Ciklona), uslijed hlađenja se formiraju oborine.

32

33 I. OBORINE mjerenje količine oborine Količina oborine koja padne na tlo iskazuje se u milimetrima (mm), ali predstavlja litre po kvadratnom metru, tj. 1mm= 1 l/m 2. Uređajima- kišomjer, ombrograf, totalizator KIŠOMJER (ombrometar, pluviometar) mjerenje pojedinačnim očitanjima, registrira dnevnu količinu oborina- u RH u 7 ujutro. Npr. obični Hellmanov kišomjer. Utvrđuje koliko bi milimetara bio visok sloj vode od oborina kada ne bi bilo isparavanja, otjecanja i prokapljivanja kroz tlo OMBROGRAF (pluviograf) mjere neprekidnim bilježenjem, moguća analiza raspodjele kiša u vremenu. Pluviograf s plovkom je stariji tip uređaja, a pluviograf s posudom koja se prevrće noviji TOTALIZATOR Instrument s velikom posudom koji se postavlja na teško pristupačnim terenima- očitavasejednomu3ili6mjeseci.

34 Izvor: Bačani & Vlahović, 2012.

35

36 I. OBORINE mjerenje količine oborine Korištenje radara za procjenu ukupne količine oborina na cijeloj određenoj površini, za razliku od klasične (točkaste) metode mjerenja samo na određenim točkama. To je značajno prije svega za službe koje se bave problemima sprečavanja poplava (pomoću radarskih procjena verificiraju i kalibriraju se "točkasta" mjerenja). Pored količine oborina, važni su prije svega i intenzitet oborina i njihovo trajanje. Dugotrajno mjerenje količine padalina (klimatologija) omogućuje statističke izračune srednje učestalosti oborinskih događaja (prije svega pljuskova), koji su rezultat međusobnog odnosa intenziteta i trajanja oborina.

37 Radar emitira vrlo dugo valno zračenje (mikrovalna) koja se može raspršiti na objektima veličine kapljica ili većih. Snaga povratnog signala koristiti se za procjenu intenziteta padalina, a zakašnjenje je mjera udaljavanja od radarskog mjesta. Radar generira polarne (kružne) mjerne karte rotirajući krozpunu 360 stupnjeva u azimutu, dok odašilje impulse koncentrirane u uskom snopu. S maksimalnim rasponom od tipično km, radari omogućuju prekrivanje na more i mogu obuhvaćati nacionalne granice. Zbog toga su mnoge europske zemlje surađivale u rutinskoj razmjeni radarskih podataka. Kako bi se poboljšala točnost procjena radara, vrijednosti se uspoređuju s količinama kiše koje se mjere pomoću mjerača kiše i izvršavaju se odgovarajuće prilagodbe.

38

39 I. OBORINE mjerenje količine oborine prva mjerenja u SAD (400 mjernih stanica), a danas je cijela Zemlja pokrivena mrežom mjernih stanica Republici Hrvatskoj mjerenje oborina provodi Državni hidrometeorološki zavod Ukupno 590 stanica: 420 kišomjernih, 109 klimatoloških, 39 glavnih meteoroloških i 22 totalizatora

40 Ukupno 590 stanica: 420 kišomjernih, 109 klimatoloških, 39 glavnih i 22 totalizatora

41 I. OBORINE značajka klime Učestalost i prosječna količina oborina karakteristični su za odgovarajuća zemljopisna područja. Pri tome su oborine čimbenik koji određuje lokalnu KLIMU. Količina i raspodjela oborina tijekom godine, kao i broj dana s određenom količinom oborina te maksimalne količine koje se mogu očekivati u nekom dužem razdoblju, ubrajaju se među glavne značajke klime. Općenito se uzima da je godišnji prosjek količine oborina za Zemlju u cjelini 1000 mm Q sr(max)= mm u Cherrapunji, sj. Indija; Q sr(min)= 10 mm u Arici u sjevernom Čileu. Q max, g= Cherrapunja, ; Q max, d Q min, g =3 mm Iquique u sj. Čileu, Q min četiri godine bez kiše

42 I. OBORINE značajka klime Oborine su vremenski i prostorno vrlo promjenljive. Po godišnjem kretanju količine oborina razlikuje se šest klimatskih tipova oborina: Ekvatorski -s maksimumom oborina nakon proljetne i jesenske ravnodnevice, Tropski- maksimum oborina ljeti, Monsunski- maksimum oborina ljeti, zime suhe, Suptropski- maksimum oborina zimi, ljeta suha, Kontinentalni- ljetne kiše i Oceanski- zimske kiše Kao poseban tip izdvaja se sredozemni tip oborina (zime kišovite, ljeta suha).

43 Varijabilnost u raspodjeli oborina. Primjer varijabilnosti oborina unutar slivnog područja rijeke Fraser

44 Strategija upravljanja vodama, 2009.

45 Prostorna raspodjela oborina (DHMZ, )

46 Prostorna raspodjela oborina (DHMZ, ) Prema svjetski prihvaćenim kriterijima klasificiranja klime (W. Köppen) najveći dio područja RH ima umjereno toplu kišnu klimu (tip C), a samo visoki planinski krajevi imaju snježno-šumsku klimu (tip D). Godišnje količine oborina prostorno variraju, a kreću se od 600 do mm. VP DUNAV Kontinentalno klimatsko područje- Qg,sr= mm na zapadu do 650 mm u istočnoj Slavoniji; naviše oborina u lipnju, najmanje u veljači. Prijelazno klimatsko područje- znatno veće oborine,najvišeu Gorskom kotaru- Qg,sr=3500 mm, najviše oborina u studenom, najmanje u veljači JADRANSKO VP Mediteranski oborinski režim - Qg,sr=800 mm u zap. Istri i otocima, do 3500 u višim predjelima GK Prijelazno područje- najviše oborina u studenom, najmanje u srpnju

47 ODREĐIVANJE SREDNJE KOLIČINE OBORINA NA SLIVU Metoda aritmetičke sredine Metoda Thiessenovih poligona Metoda izohijeta Hipsometrijska metoda Rasterska GIS metoda

48 METODA ARITMETIČKE SREDINE P sr -prosječne oborine u slivu P n - količina oborina na promatranoj postaji n- broj postaja METODA THIESSENA Svakoj kišomjernoj postaji se određuje pripadajuća površina P sr -prosječne oborine u slivu f x - pripadna površina postaje P x -prosječna količina oborina na n postaji F- ukupna površina sliva METODA IZOHIJETA P sr -prosječne oborine u slivu DF x - površina između izohijieta P x - srednje oborine za određenu površinu F- ukupna površina sliva

49 METODA ARITMETIČKE SREDINE Stanica P (mm) A (km2) A B C D METODA THIESSENA METODA IZOHIJETA

50 HIPSOMETRIJSKA METODA Namijenjena za analizu oborina u planinskim područjima Uz mjerene količine, uzima u obzir i topografiju sliva POSTUPAK: Odrediti sliv Konstruirati hipsometrijsku krivulju- nanijeti visinu za svaku pojedinu postaju P=f(z) Odrediti površinu ispod kvadranta d) koja predstavlja ukupni volumen vode Pw pale na sliv u određenom vremenu P w - ukupni volumen vode pale na sliv A- površina sliva

51 HIPSOMETRIJSKA METODA P w - ukupni volumen vode pale na sliv A- površina sliva

52 1260 mm/god 1211 mm/god A D E F C B

53

54 RASTERSKA GIS METODA Ovom metodom napravljena karta prosječnih oborina na području RH (DHMZ) Nad DEM-om definirana mreža prostorne rezolucije 700 x700 m, a ulazni podaci su bili registrirani točkasti podaci palih oborina u 30-godišnjem razdoblju ( ) Korišten jednostavan universal kriging modul.

55 II. EVAPOTRANSPIRACIJA Isparavanje ili evaporacija je prijelaz vode iz tekućeg ili čvrstog stanja u plinovito stanje posredstvom toplinske energije. Evaporacija- isparavanje sa slobodnih vodenih površina. - evaporaciju se može mjeriti + Transpiracija je isparavanje posredstvom biljaka, a odnosi se na vodu koju biljka absorbira iz tla, troši za svoje životne procese i transpirira u atmosferu. Plus INTERCEPCIJA = Evapotranspiracija podrazumijeva ukupno isparavanje sa promatronog područja, a obuhvaća isparavanje s vodene površine, s površine tla i transpiraciju biljaka. Dakle, zajednička vrijednost oba procesa. moguće koristiti različite empirijske formule

56

57 II. EVAPOTRANSPIRACIJA Stvarna (ET) i potencijalna (PET) evapotranspiracija POTENCIJALNA evapotranspiracija- ukupna količina vode koja bi isparila s nekog područja kada bi vode bilo neograničeno. Dakle, predstavlja gornju granicu stvarne evapotranspiracije. Omjer oborine (P) i potencijalne (PET) evapotranspiracije <0,1 u pustinjama i tundrama- oborine nisu dovoljne da osiguraju vlažnost tla zbog čega nema vegetacije Navodnjavanje je potrebno do omjera P/PET=0,7; P/PET=0,7-1,3 dovoljno vlažnosti; >1,3 višak vlažnosti Vegetacija predstavlja odraz omjera P/PET

58 Izvor: Bačani & Vlahović, 2012.

59 II. EVAPOTRANSPIRACIJA- Faktori o kojima ovisi Temperatura zraka Temperatura vode, tj površine sa koje voda isparava Relativna vlažnosti zraka iznad dotične površine Atmosferski tlak Jačina vjetra Insolacija Visina oborina Kemizam vode- Mineralizacija vode Dodatno za isparavanje sa tla/biljnog pokrivača: Reljef i položaj u odnosu na strane svijeta Dubina do podzemne vode Vrsta i stanje biljnog pokrivača

60 II. EVAPOTRANSPIRACIJA- Mjerenje Izravnim mjerenjem- instrumentima: Sa slobodne vodene površine- ISPARITELJI; Za mjerenje transpiracije- FITOMETAR; Za mjerenje evapotranspiracije- LIZIMETAR Neizravnim metodama- metodom vodne bilance, toplinske bilance, empirijskih metoda I sl. Izvor: Bačani & Vlahović, 2012.

61 Odnos evapotranspiracija - oborine Na globalnom mjerilu gotovo jednako Iznad oceana evaporacija veća od oborina Na kopnu oborine više od evapotranspiracije Najveći dio vode koji evaporira iznad oceana pada u obliku oborina nazad u oceane 10% evaporirane vode iz oceana se transportira prema kopnu i pada tamo kao oborine Jednom kada evaporira molekula vode provede 10 dana u atmosferi

62 III. INFILTRACIJA Najveći dio podzemnih voda nastaje infiltracijom atmosferskih i površinskih voda Infiltracija je proces ulaska vode s površine u tlo ili stijenu, a ovisi o propusnosti površinskog sloja. Može se razdijeliti u tri faze: Ulaz- prodiranje vode kroz površinu tla/stijene Prolaz kroz tlo/stijenu i popunjavanje deficita vlažnosti Procjeđivanje do vodnog lica ili zone potpune saturacije. Procjeđivanje vode kroz nesaturiranu zonu prema vodnom licu naziva se perkolacija. Dio infiltrirane vode koji se procijedi do vodnog lica naziva se efektivna infiltracija- količina koja obnavlja zalihe podzemnih voda. U sjevernoj Hrvatskoj EI iznosi 10% oborina.

63 III. INFILTRACIJA Kada su oborina- P (mm) i infiltracija- I (mm/h) jednake, P = I, tada je tlo doseglo kapacitet infiltracije Kada oborina- P (mm) prekorači infiltraciju- I (mm/h), P> I, tada imamo površinsko otjecanje R=P-I (mm/h). Voda ulazi u tlo kombinacijom gravitacije i kapilarnih sila- slobodno procjeđivanje/ poniranje (krš)

64 III. INFILTRACIJA- Faktori o kojima ovisi Oborine (najznačajniji faktor) Količine, intenzitet, trajanje Karakteristike (kiša, snijeg) Karakteristike tla Glina apsorbira manje vode kod slabijih oborina nego pijesak Saturacija tla Veća saturacija vodi prema većem površinskom otjecanju Pokrovne naslage Nagib terena Veći nagibi utječu na brzinu otjecanja Evapotranspiracija

65 III. INFILTRACIJA- Mjerenje Metoda direktnih mjerenja Infiltrometri Lizimetri Metoda analize prirodnog režima podzemnih voda Metoda konačnih diferencija Analitičko rješenje diferencijalnih jednadžbi nestacionarnog strujanja Metoda vodne bilance Infiltraciju se rješava kao nepoznanicu u odnosu na druge parametre jednadžbe Ie - efektivna infiltracija P - oborine E - evapotranspiracija Q - površinsko otjecanje Id - podmirenje deficita vlažnost

66 Procjeđivanje ovisi o propusnosti naslaga, tj. ograničeno je propusnošću najmanje propusnog sloja.

67 IV. OTJECANJE Otjecanje je dio oborine koji se pojavljuje kao vodotok. Dio oborine pale na sliv koji sudjeluje u otjecanju naziva se efektivnom ili neto oborinom ili oborinom koja otječe (Žugaj 2000). Dio oborina koje ne odlaze na evapotranspiraciju i infiltraciju u podzemlje formiraju površinsko otjecanje Moguća mjerenja: za manje vodotoke -preljevi za veće hidrometrijsko krilo

68 IV. OTJECANJE- Faktori o kojima ovisi METEOROLOŠKI FAKTORI Vrsta, intenzitet, količina, trajanje, raspodjela oborina Smjer kretanja oluje Raniji događaji oborina i rezultirajuća vlažnost tla Meteorološki uvjeti koji utječu na evapotranspiraciju FIZIČKE KARAKTERISTIKE Morfologija i veličina sliva, z, Topografija, nagib terena Korištenje tla, Vegetacijski pokrivač Vrsta tla- pedološke, geološke značajke tla i stijena Mreža vodotoka Jezera, lokve, akumulacije u slivu koji utječu na zadržavanje otjecanja prema nizvodnim dijelovima slivova

69 IV. OTJECANJE ANALIZA OTJECANJA Potrebno poznavati: vodostaje (H); protoke (Q); trajanje i učestalost pojedinih vodostaja i protoka; povratne periode određenih visokih ili niskih vodostaja, odnosno protoka; koeficijente otjecanja; specifične dotoke

70 IV. OTJECANJE VODOSTAJ Vertikalna udaljenost vodene površine od referentne horizontalne ravnine (kota nule vodokaza). Visina vodostaja H (cm/ m n.m.) mjeri se na izabranom mjernom profilu Vodokazna letva- nulta točka geodetski snimljena Limnigraf kontinuirano bilježi promjene visine Hod vodostaja ili nivogram, H- t Srednji dnevni vodostaj Maksimalni, visoki, normalni, niski, minimalni Izvor: Bačani & Vlahović, 2012.

71 HIS- Hidrološki informacijski sustav

72

73 IV. OTJECANJE PROTOK Količina vode koja prolazi kroz poprečni presjek vodotoka u jedinici vremena (m 3 /s, l/s) Mjerenje na: preljevima, mjernim kanalima i sl., mjerenjem brzine toka vode (v) i površine protjecajnog presjeka (A); ADCP Protočna ili konsumpcijska krivulja, Q=f(H) Hod protoka ili hidrogram, Q-t Srednji dnevni protok Maksimalni, visoki, normalni, niski, minimalni

74 Izvor: Bačani & Vlahović, 2012.

75 IV. OTJECANJE UČESTALOST I TRAJANJE Nivogram (H-t) i hidrogram (Q-t)- krivulje učestalosti i krivulje trajanja. Učestalost- koliko se puta taj H/Q pojavio u nekom razdoblju opažanja, trajanje- kumulatnivno zbrajanje učestalosti OTJECAJNI KOEFICIJENTI I SPECIFIČNI DOTOCI

76 IV. OTJECANJE BAZNI TOK Otjecanje- tri komponente Površinski tok; Potpovršinski tok; Dotok od podzemne vode. Izvor: Bačani & Vlahović, 2012.

77 GLAVNE KOMPONENTE UKUPNOG OTJECANJA Q U VODOTOKU SU: Površinsko otjecanje Q po Podpovršinsko otjecanje Q pp Podzemni (bazni) otjecaj Q p Otjecanje od kiše koja je pala neposredno na vodotok Q R Direktno otjecanje brzo Q d = Q po + Q R + 1 Q pp Bazno otjecanje- sporo Q b = Q p + 2 Q pp Gdje su: 1Qpp brzi podpovršinski oticaj 2Qpp spori podpovršinski oticaj

78 Što smo danas naučili? Kako je raspodjeljena voda na Zemlji? Hidrološki ciklus- gdje se zbiva i što predstavlja? Koji su procesi, a koje komponente hidrološkog ciklusa? Što je sliv? Bilanca sliva? Što su oborine i kako nastaju? Kako se mjere? Što je evapotranspiracija i kako se mjeri? Što je infiltracija i kako se mjeri? Što je otjecanje i kako se analizira?

79 Pitanja?

80 3. HIDROLOŠKI CIKLUS, BILANCA VODA HIDROLOŠKI PROCESI Kondenzacija Isparavanje Transpiracija Infiltracija Površinsko tečenje Potpovršinsko otjecanje Podzemno otjecanje ELEMENTI Oborine/padaline Evapotranspiracija Površinsko tečenje Potpovršinsko otjecanje Podzemno otjecanje

81 OBORINE ISPARAVANJE Atmosfera INTERCEPCIJA S TRANSPIRACIJA Površinska voda POVRŠINSKO TEČENJE POVRŠINSKO OTJECANJE OTJECANJE Podzemna voda INFILTRACIJA PRIHRANJIVANJE PODZEMNE VODE POTPOVRŠINSKO TEČENJE PODZEMNO TEČENJE S

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

SVEUĈILIŠTE U ZAGREBU GEOTEHNIĈKI FAKULTET IVAN PLOH ANALIZA HIDROGRAMA ZAVRŠNI RAD

SVEUĈILIŠTE U ZAGREBU GEOTEHNIĈKI FAKULTET IVAN PLOH ANALIZA HIDROGRAMA ZAVRŠNI RAD SVEUĈILIŠTE U ZAGREBU GEOTEHNIĈKI FAKULTET IVAN PLOH ANALIZA HIDROGRAMA ZAVRŠNI RAD VARAŢDIN, 2012. SVEUĈILIŠTE U ZAGREBU GEOTEHNIĈKI FAKULTET ZAVRŠNI RAD ANALIZA HIDROGRAMA KANDIDAT: IVAN PLOH MENTOR:

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

HIDROLOGIJA I. kolokvij

HIDROLOGIJA I. kolokvij HIDROLOGIJA I. kolokvij Pitanja iz 1. predavanja za I kolokvij 1. Kojoj temeljnoj prirodoslovnoj znanstvenoj disciplini pripada hidrologija? 2. Što proučava i istražuje meteorologija? 3. Što su to potamologija,

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Metode i instrumenti za određivanje visinskih razlika. Zdravka Šimić

Metode i instrumenti za određivanje visinskih razlika. Zdravka Šimić Metode i instrumenti za određivanje visinskih razlika Zdravka Šimić Visinski prikaz terena - konfiguracija dio plana dio karte 2 Visinski prikaz terena Izohipse ili slojnice povezuju točke iste visine.

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina

Διαβάστε περισσότερα

Veza između padavina i oticaja

Veza između padavina i oticaja 1.11.15 Veza između padavina i oticaja Izučen sliv postoje merenja na izlaznom profilu Neizučen sliv ne postoje merenja na izlaznom profilu modeliranje procesa padavine-oticaj Modeli fizičkih sistema Uprošćene

Διαβάστε περισσότερα

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010. GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Kolegij: Konstrukcije Rješenje zadatka 2. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu. Efektivna. Jedinična težina. 1. Glina 18,5 21,

Kolegij: Konstrukcije Rješenje zadatka 2. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu. Efektivna. Jedinična težina. 1. Glina 18,5 21, Kolegij: Konstrukcije 017. Rješenje zadatka. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu 1. ULAZNI PARAETRI. RAČUNSKE VRIJEDNOSTI PARAETARA ATERIJALA.1. Karakteristične vrijednosti parametara tla Efektivna Sloj

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele: Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n

Διαβάστε περισσότερα

Impuls i količina gibanja

Impuls i količina gibanja FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba 4 Impuls i količina gibanja Ime i prezime prosinac 2008. MEHANIKA

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja:

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja: Anene Transformacija EM alasa u elekrični signal i obrnuo Osnovne karakerisike anena su: dijagram zračenja, dobiak (Gain), radna učesanos, ulazna impedansa,, polarizacija, efikasnos, masa i veličina, opornos

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika

Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika 1. Kinematika Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika Kinematika (grč. kinein = gibati) je dio mehanike koji

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

Opća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava

Opća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava Opća bilana tvari masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava masa iznijeta u dif. vremenu iz dif. volumena promatranog sustava - akumulaija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog

Διαβάστε περισσότερα

REKE I REČNI SLIVOVI

REKE I REČNI SLIVOVI REKE I REČNI SLIVOVI OSNOVNI ELEMENTI REČNIH SLIVOVA OSNOVNI ELEMENTI REČNIH SLIVOVA UZROK FORMIRANJA POVRŠINSKIH VODOTOKA voda iz atmosfere i podzemlja, koja se pod uticajem gravitacione sile kreće prema

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Opšte KROVNI POKRIVAČI I

Opšte KROVNI POKRIVAČI I 1 KROVNI POKRIVAČI I FASADNE OBLOGE 2 Opšte Podela prema zaštitnim svojstvima: Hladne obloge - zaštita hale od atmosferskih padavina, Tople obloge - zaštita hale od atmosferskih padavina i prodora hladnoće

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi

Διαβάστε περισσότερα

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) PRILOG Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) Tab 3. Vrednosti sačinilaca α i β za tipične konstrukcije SN-sabirnica Tab 4. Minimalni

Διαβάστε περισσότερα

PRERADA GROŽðA. Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet. Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju. Referati za vježbe iz kolegija

PRERADA GROŽðA. Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet. Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju. Referati za vježbe iz kolegija Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju Referati za vježbe iz kolegija PRERADA GROŽðA Stručni studij kemijske tehnologije Smjer: Prehrambena

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Polarizacija. Procesi nastajanja polarizirane svjetlosti: a) refleksija b) raspršenje c) dvolom d) dikroizam

Polarizacija. Procesi nastajanja polarizirane svjetlosti: a) refleksija b) raspršenje c) dvolom d) dikroizam Polarzacja Proces asajaja polarzrae svjelos: a refleksja b raspršeje c dvolom d dkrozam Freselove jedadžbe Svjelos prelaz z opčkog sredsva deksa loma 1 u sredsvo deksa loma, dolaz do: refleksje (prema

Διαβάστε περισσότερα

Katedra za biofiziku i radiologiju. Medicinski fakultet Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku. Vlaga zraka

Katedra za biofiziku i radiologiju. Medicinski fakultet Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku. Vlaga zraka Katedra za biofiziku i radiologiju Medicinski fakultet Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Vlaga zraka Vlagu zraka čini vodena para koja se, uz ostale plinove, nalazi u zraku. Masa vodene pare

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Periodičke izmjenične veličine

Periodičke izmjenične veličine EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL Statički sustav glavnog krovnog nosača je slobodno oslonjena greda raspona l11,0 m. 45 0 65 ZAŠTITNI SLOJ BETONA

Διαβάστε περισσότερα

P E D O L O G I J A. Tema: Voda u tlu

P E D O L O G I J A. Tema: Voda u tlu MEĐUSVEUČILIŠNI STUDIJ MEDITERANSKA POLJOPRIVREDA P E D O L O G I J A Tema: Voda u tlu Doc.dr.sc. Aleksandra BENSA i Dr.sc. Boško MILOŠ Autorizirana prezentacija Split, 2011/12. Cilj Objasniti odnose između

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα