Fizikalni sustavi i njihovo modeliranje - 2. dio

Transcript

1 Fizikalni sustavi i njihovo modeliranje - 2. dio «Napredna kvantna fizika» Ivo Batistić Fizički odsjek, PMF Sveučilište u Zagrebu predavanja 2010

2 Pregled predavanja Kondov i Andersonov model Modeli čvrste veze Spinski modeli

3 Kondov model Kondo model opisuje slobodne elektrone koji se mogu raspršiti na lokaliziranom spinu pri čemu može doći do izmjene spinskog stanja: Ĥ = E k C σ C k σ k σ, k J k, k ) ] [(C k C k C k C k S z + C C k S k + C C k S k + Postoji efektivno međudjelovanje elektrona preko lokaliziranog spina. U računu smetnje se pojavljuje infacrvena divergencija (J.Kondo). Naizgled jednostavni modeli mogu činiti težak mnogočestični problem. Problem je riješen renormalizacijskom grupom (K.G. Willson), i nešto poslije Betheovim ansatzom (A.M. Tsvelick & P.G. Wiegmann). Poopćenje Kondo modela, s periodičnom spinskom rešetkom, još uvijek nije riješen.

4 Andersonov model Andesonov model opisuje slobodni elektronski plin s lokaliziranim elektronskom stanjem na kojem postoji međudjelovanje elektrona različitog spina: Ĥ = E k C σ C k σ k + E d d σd σ + U d d d d ] + V sd [C σ k d σ + d σc σ k σ, k σ σ, k Andesonov model je vrlo srodan Kondo problemu. Zbog kulonskog međudjelovanja lokalizirano stanje je spinski polarizirano. Spinsko stanje lokaliziranog stanja se mijenja prilikom raspršenja slobodnih elektrona. Slobodni elektroni međudjeluju posredstvom lokaliziranog stanja. Andesonov model je također riješen renormalizacijskom grupom i Betheovim ansatzom.

5 Model čvrste veze U prelaznim metalima slika slobodnih elektrona koji se gibaju u periodičnom potencijalu rešetke nije prikladna jer su elektronske vrpce uske. To vrijedi i za neke druge materijale: molekularni kristali, vodljivi polimeri, supravodljive keramike,... U tim materijalima treba poći od slike lokaliziranih atomskih orbitala koje zbog slabog prekrivanja sa susjednim orbitalama dopuštaju tuneliranje elektrona na susjedne atomske orbitale. Hamiltonijan: Ĥ = σ,i e i C σ,i C σ,i σ,<ij> t ij (C σ,i C σ,j + h.c.) Prvi član opisuje elektron u lokaliziranoj atomskoj orbitali energije e i (on-site energija). Zbog međusobnog prekrivanja orbitala susjednih atoma, postoji vjerojatnost preskakanja elektrona na susjedna čvorišta. Amplituda preskakanja je dana s integralom preskakanja t ij.

6 Model čvrste veze Integral preskakanja ovisi o udaljenosti između čvorišta. Uobičajeno je uzeti u obzir preskakanje između samo susjednih čvorišta jer t ij eksponencijalno trne s udaljenošću. Integral preskakanja t ij ovisi i o deformaciji rešetke. On-site energije e i ovisi o vrsti atoma, ali i o deformaciji rešetke koja okružuje pojedini čvor. Ukoliko su svi atomi podjednako udaljeni, i svi su iste vrste, on-site energijama može se ispustiti: Ĥ = t (C σ,i C σ,j + h.c.) σ,<ij>

7 Hubbardov model Hubbardov model je vrst modela čvrste veze u kojem se uzima u obzir odbojna kulonska sila između elektrona različitog spina u lokaliziranim atomskim orbitalama. Ĥ = t σ,<ij> (C σ,i C σ,j + h.c.)+ i U C,i C,iC,i C,i

8 Holsteinov model Prisustvo elektrona na nekom čvorištu stvorit će lokalnu deformaciju rešetke. U Holsteinovom modelu uzima se u obzir međudjelovanje elektrona i lokalnog fononskog titranja (tipično optički fonon): Ĥ = t σ,<ij> (C σ,i C σ,j + h.c.)+ i λ C σ,i C σ,i (a i + a i ) σ,i ω 0 (a i a i )

9 SSH model Model čvrste veze koji uzima u obzir promjene integral preskakanja zbog deformacije rešetke W.P.Su, J.R.Schrieffer i A.J.Heeger su primijenili na problem vodljivih polimera (t.j. poliacetilena), pa je taj model od tada poznat i kao SSH model: Ĥ = σ,i + i [ t +α(u i+1 u i )](C σ,i+1 C σ,i + h.c.) K 2 (u i+1 u i ) 2 + M u2 i 2

10 Heisenbergov model Pojava feromagnetizma i antiferomagnetizma u tvarima opisuje se Heisenbergovim modelom. Nema orbitalnih stupnjeva slobode - samo spinski Hamiltonijan: Ĥ = <ij> J z S zi S zj + J xy (S xi S xj + S yi S yj ) Ako su J z =J xy = J isti, govori se o izotropnom Heisenbergovom modelu: Ĥ = J <ij> Si S j 1d verzija Heisenbergovog modela riješena je Betheovim ansatzom.