Elektron u periodičnom potencijalu

Transcript

1 Elektron u periodičnom potencijalu U Sommerfeldovom modelu elektroni se gibaju u potencijalnoj jami s ravnim dnom (kutija). Periodični potencijala od pravilne kristalne strukture pozitivnih iona se zanemaruje. Ipak, pravilni periodični potencijal pozitivnih iona bitno utječe na elektronska stanja i ne smije ga se zanemariti. Period potencijala je translacijski vektor rešetke: R = n 1 a 1 +n 2 a 2 +n 3 a 3, gdje su n 1,n 2,n 3 = 0,±1,±2,... te vrijedi V( r + R) = V( r) V( r) je potencijalna energija elektron.

2 Valne funkcije elektrona zadovoljava Schödingerovu diferencijalnu jednadžbu: [ ] 2 2m 2 +V( r) Ψ( r) = E Ψ( r) Ako bi u Schödingerovoj DJ napravili translaciju: r r + R, diferencijalna jednadžba se ne bi promijenila - ostala bi ista: ] [ 2 2m 2 +V( r) Ψ( r + R) = E Ψ( r + R). Translatirana i netranslatirana valna funkcija zadovoljavaju istu jednadžbu, pa se međusobno razlikuju samo za fazni faktor: Ψ( r + R) = e iϕ Ψ( r)

3 Općenito vrijedi (Felix Bloch): gdje je u k ( r) periodična funkcija: Ψ( r) = e i k r u k ( r), u k ( r + R) = u k ( r) Valna funkcija ima dva faktora: ravni val koji odgovara riješenjima koja imamo u Sommerfeldovom modelu, periodičn faktor koji se brine oko periodičnosti potencijala.

4 Energija elektrona u periodičnom potencijalu Glavni rezultati koji se dobiju rješavanjem Schödingerove jednadžbe: Pojavljuju se zabranjena područja energije - energijski procjepi Dozvoljena područja energija nazivamo energijske zone ili vrpce. Energija kao funkcija valnog broja (impulsa) je periodična funkcija. A period je vektor recipročne rešetke: E (i) ( k + G) = E (i) ( k) Broj kvantnih stanja u dopušenoj zoni jednak je broju iona u kristalu. (Točnije broju jedničnih ćelija.)

5 E(k x ) Parabolična ovisnost energije o valnom broju za slobodnu česticu: E k = 2 k 2 2m - 3π a - 2π a - π a π a 2π a 3π a k x u periodičnom potencijalu je zamjenjena isprekidanom funkcijom zbog postojanja zabranjenih zona. Prekidi se pojavljuju za valne vektore koji odgovaraju rubovima Brillouinove zone.

6 E(k x ) E(k x ) E k x - π a π a - π a π a k x S obzirom na periodičnost energije kao funkcije valnog broja, područje valnih brojeva može se ograničiti na prvu Brillouinovu zonu.

7 Valna funkcija i energija se ne mijenjaju ako: k k + G }{{} vektor recipročne rešetke budući da je: e i( k+ G) R = e i2πn e i k R = e i k R Valni vektori k mogu se ograničiti na područje 1. Brillouinove zone: k i π a i = x,y,z za kubnu rešetku Reducirane valne vektore zovemo kvazivalnim vektorima.

8 Za slobodnu česticu vrijedi Efektivna masa E( k) = 2 k 2 2 m U kristalu je E( k) složena funkcija komponenti valnog vektora. Brzina slobodne čestice: v = p m = E p. A to je jedna od Hamiltonovih jednadžbi gibanja: r = E p p = U r F (sila)

9 Hamiltonove jednadžbe služe nam kao naputak za definiranje brzina i ubrzanja za čestice (elektrone) u periodičnom polju kristalne rešetke: r = 1 E( k) k k = 1 F (ext) = v( k) pri čemu je: v( k) je tz. grupna brzina - brzina gibanja grupe valova (valni paket koji je kombinacija više ravnih valova). F (ext) je vanjska sila koja ne uključuje djelovanje periodičnog potencijala rešetke. Djelovanje periodičnog potencijala rešetke uzeto je u obzir u izrazu za energiju koja je složena funkcija kvazivalnih broja k.

10 Analogno definiramo ubrzanje: a i = dv i dt = 1 = 1 j=x,y,z = 1 2 j=x,y,z d E(k x,k y,k z ) dt k i 2 E(k x,k y,k z ) dk j k i k j dt 2 E(k x,k y,k z ) k i k j F (ext) j i = x,y,z

11 Jednadžba za ubrzanje može se zapisati u ovom obliku: a i = ( ) 1 m F (ext) j i = x,y,z j=x,y,z u analogiji sa sličnom jednadžbom za slobodnu česticu. Veličina: ( ) 1 m ij ij = E k i k j je tenzor (matrica) recipročne efektivne mase.

12 Zboz periodičnosti potencijala kristalne rešetke: Vektori brzine v i valnog broja k općenito nisu kolinearni! Vektori ubrzanja a i sile F općenito nisu kolinearni! Masa čestice ovisi o smjeru gibanja! Efektivna masa je simatričan tenzor (matrica), pa pogodnim izborom koordinatnog sustava se može dovesti na dijagonalni oblik: 1 ( ) 1 m xx m = 0 m yy 0 ij m zz odnosno: m ii m i = 2 2 E k 2 i i = x,y,z

13 Ako je energija periodična funkcija valnog broja, onda ona ima maksimum na vrhu dupuštene zone (vrpce): E E max C 1 (k k max ) 2 ima minimum na dnu dupuštene zone: E E min + C 2 (k k min ) 2 Efektivna masa na dnu vrpce je pozitivna a na vrhu vrpce je negativna!

14 Pojam šupljine Ako je neka vrpca sasvim pupunjena elektronima, onda niti jedna čestica ne može mijenjati svoje kvantno stanje pod utjecajem vanjskog polja, jer su sva kvantna stanje, u koje bi ona mogla preći, već popunjena s drugim česticama. Sasvim popunjene i sasvim prazne vrpce slabo utječu na fizikalna svojsta kristala. Najveći utjecaj imaju djelomično popunjene vrpce. Ako je vrpca sasvim popunjena, ukupni valni broj svih elektrona jednak je nuli: K = k = 0 Ako jedan elektron nedostaje, odnosno ako postoji jedna šupljina, tada je: K = k = k k0 = k 0 k šupline k h k k0

15 Ako na elektron djeluje električno polje F vrijedi: d k dt = e F. Ako na vrpcu s jednom šuplinom djeluje električno polje, tada je: d K dt = d k h dt = d k 0 dt = +e F Šuplina se ponaša kao čestica pozitivnog naboja: e h = e e = +e Brzina šupline je ista kao brzina čestice koja nedostaje: v h = E = (konts. E( k h k k 0 )) = v 0. 0 k k0

16 Iz izvoda za ubrzanje može se pokazati da je: ( ) (h) ( 1 1 m = m ij ) (el) Masa šupline ima suprotan predznak od mase elektrona koji nedostaje! Šupljine koje imaju energiju blizu vrha zone imaju pozitivnu masu, a šupline koje imaju energiju blizu dna zone imaju negativnu masu. ij

17 Gustoća stanja više nije jednostavna parabola, nego funkcija isprekidana zabranjenim zonama. g(e) E

18 Blizu dna zone energija je približno jednaka: E E k 2 2m Radi jednostavnosti pretpostavljamo izotropnost masa: 1 m xx = 1 m yy = 1 m zz = 1 m Iz tog izraza moguće je izračunati gustoću stanja u blizini dna vrpce: g(e) = k2 π 2 de dk g(e) m π 2 3 2m (E E 0 ) Izvod je potpuno sličan izvodu gustoće stanja slobodne čestice.

19 Također, ako je energija na vrhu zone približno jednaka: gustoća stanja je: E E k 2 2m (m < 0) g(e) = m π m (E 1 E) Između vrha i dna vrpce gustoća stanja može imati čudno ponašanje, što ovisi o vrsti materijala (kristala). Također vrijedi: E1 de g(e) = }{{} 2 E 0 spin [broj jed.ćelija u vulumenu] Jer je broj kvantnih stanja u vrpci jednak broju jediničnih ćelija.

20 Vrpce se ponekad mogu preklapati. Gustoća stanja ne mora biti derivabilna funkcija, tj. singularitete (van Hove singulariteti). može imati Fermijeva sfera koja je u prostoru valnih brojeva razdvaja popunjena kvantna stanja od praznih, postaje Fermi površina. Fermi površina ima složenu strukturu i ona ovisi o broju čestica.