Universitatea Dunărea de Jos METODE NUMERICE. Gabriel FRUMUŞANU

Transcript

1 Uiversitatea Duărea de Jos METODE NUMERICE Gabriel FRUMUŞANU Galaţi - 8

2 Departametul petru Îvăţămât la Distaţă şi cu Frecveţă Redusă Facultatea de Mecaica Specializarea Igierie ecoomica si idustriala Aul de studii / Forma de îvăţămât II/IFR

3 REFERENŢI ŞTIINŢIFICI: Pro. dr. ig. Nicolae OANCEA, Pro. dr. ig. Cătălia MAIER, Uiversitatea Duărea de Jos di Galaţi.

4 PREFAŢĂ Apariţia şi perecţioarea cotiuă a calculatoarelor electroice a adus î prim-pla u domeiu al matematicii care eista de multă vreme şi care, iiţial, era prezetat ca o aeă a matematicii clasice: metodele umerice. Î prezet acestea s-au costituit îtr-u domeiu de sie stătător, la graiţa cu programarea calculatoarelor şi cu igieria. Î codiţiile î care viteza de lucru a calculatoarelor a atis limite de eimagiat, chiar î urmă cu u deceiu, calculul umeric oeră soluţii petru orice problemă matematică a cărei rezolvare e ecesară î tehică; mai mult, soluţiile aproimative obţiute cu ajutorul metodelor umerice tid să se trasorme, pe zi ce trece, î soluţii a căror precizie o depăşeşte cu mult pe ce a sistemelor tehice. Această carte se adresează studeţilor de la specializarea Igierie şi maagemet, orma de studiu cu recveţă redusă şi a ost, pri urmare, cocepută modular, îtr-u umăr de capitole egal cu umărul de cursuri di programă; iecare capitol iclude oţiui teoretice, de regulă şi câte u algoritm, eemple de aplicare şi chestiui de veriicare propuse. Autorul 3

5 CUPRINS CUPRINS Preaţă... 3 Cupris... 5 CAPITOLUL - Reprezetarea algoritmilor î pseudo-cod. 7 CAPITOLUL - Rezolvarea ecuaţiilor algebrice pri metoda geerală 7 CAPITOLUL 3 - Rezolvarea ecuaţiilor algebrice pri metoda bisecţiei 3 CAPITOLUL 4 - Rezolvarea ecuaţiilor algebrice pri metoda Newto Raphso.. 7 CAPITOLUL 5 - Rezolvarea ecuaţiilor algebrice pri metoda puctului i 33 CAPITOLUL 6 - Rezolvarea sistemelor de ecuaţii liiare pri metoda Gauss.. 37 CAPITOLUL 7 - Rezolvarea sistemelor de ecuaţii liiare pri metoda Jacobi.. 43 CAPITOLUL 8 - Rezolvarea sistemelor de ecuaţii liiare pri metoda Gauss - Seidel. 49 CAPITOLUL 9 - Poliomul de iterpolare a lui Lagrage 53 CAPITOLUL - Poliomul de iterpolare a lui Newto. 59 CAPITOLUL - Aproimarea cu abatere medie pătratică miimă. 67 CAPITOLUL - Derivarea cu ajutorul poliomului de iterpolare Lagrage. 7 CAPITOLUL 3 - Metode umerice petru calculul itegralei deiite 75 CAPITOLUL 4 - Eemple de aplicare a metodelor umerice î igieria tehologică.. 8 Bibliograie

6 CAPITOLUL Reprezetarea algoritmilor î pseudo-cod Capitolul REPREZENTAREA ALGORITMILOR ÎN PSEUDO-COD.. Caracterizarea lucrării Rezolvarea problemelor ştiiţiice şi tehice cu ajutorul calculatorului presupue, mai îtâi, găsirea uui algoritm speciic şi, apoi, implemetarea acestuia pe u sistem de calcul. Î aara algoritmului de rezolvare propriu-zis, u rol importat î găsirea eicietă a soluţiei îl joacă alegerea corectă a structurilor de date utilizate. Î eseţă, programul de calcul se bazează pe algoritm (descrierea operaţiilor ce vor i eectuate petru găsirea soluţiei) şi pe structura de date (modul î care se reprezită datele de itrare, variabilele itermediare şi datele de ieşire). Petru descrierea structurilor de date şi a algoritmilor se poate utiliza u limbaj de programare (BASIC, PASCAL, FORTRAN, C etc.) sau u pseudo-limbaj cu o sitaă mai permisivă (mai puţi rigidă). Petru a evideţia ivariaţa algoritmilor la limbajul utilizat, de regulă se recurge la a doua soluţie. Scopul acestei lucrări este de a amiliariza utilizatorii cu gâdirea algoritmică structurată (pri utilizarea pseudo-codului), de a evideţia metodele de implemetare a pseudo-codului î dieritele limbaje de programare şi, u î ultimul râd, de a evideţia importaţa tipurilor abstracte de date, cu caracter matematic (vectori, matrice, umere complee, etc.). 7

7 METODE NUMERICE. Algoritmi de calcul. Stabilitatea şi codiţioarea algoritmilor. Rezolvarea uei probleme practice, porid de la u aumit set de date iiţiale, presupue utilizarea uui algoritm de calcul, petru obţierea datelor de ieşire căutate, potrivit schemei Date de itrare Algoritm de calcul Date de ieşire Algoritmul de calcul reprezită u sistem de reguli care trasormă datele de itrare î date de ieşire, cu ajutorul uor operaţii succesive, uic determiate. U algoritm de calcul trebuie să îdepliească următoarele ceriţe: Geeralitate; se îţelege pri aceasta că u este suiciet ca u algoritm să permită rezolvarea doar a uei probleme oarecare, ci trebuie să permită rezolvarea tuturor problemelor di categoria respectivă. Fiitudie; umărul de trasormări itermediare (iteraţii) aplicate datelor de itrare petru a obţie datele de ieşire trebuie să ie iit. Uicitate; trasormările itermediare trebuie să ie uic determiate (să coducă de iecare dată la obţierea aceloraşi rezultate). U algoritm de calcul este stabil dacă aplicat uei probleme cu date iiţiale uşor perturbate coduce la o soluţie apropiată, îtr-u aume ses, de soluţia problemei cu datele iiţiale. O altă oţiue, îrudită cu cea de stabilitate a uui algoritm, este cea de codiţioare a acestuia; u algoritm este bie codiţioat dacă mici erori relative î datele iiţiale se trasmit î mici erori relative ale datelor de ieşire. Codiţioarea uui algoritm se poate ilustra simplu, spre eempliicare, petru calculul uei ucţii z (, y) îtr-u puct (, y). Aplicâd ormula lui Taylor se poate scrie ( Δ, y Δy) (, y) Δ Δy... Δ () 8 y Î cazul î care Δ, Δy sut suiciet de mici, termeii de rag mai mare sau egal cu doi di (.9) se pot eglija; rezultă Δ d Δ Δy Δ Δy. () y Δ reprezită, î această situaţie, eroarea absolută care aectează rezultatele ca eect al erorilor Δ şi Δy apărute î datele iiţiale; mai semiicativă este, îsă, eroarea relativă a rezultatelor, care, petru este y

8 CAPITOLUL Reprezetarea algoritmilor î pseudo-cod Δ Δ y Δy, (3) relaţie care, petru, y, se poate rescrie ca Δ Δ y y Δy y. (4) K Coeicieţii K şi K y de mai sus sut deumiţi idici de codiţioare a problemei; se poate observa că algoritmul poate să u ie bie codiţioat, î cazul î care aceşti idici au valori mari, chiar atuci câd Δ şi Δy au valori relativ mici. 3. Descrierea pseudo-limbajului Pseudo-codul este o metodă simplă şi eicietă petru reprezetarea uui algoritm şi a structurilor de date asociate. U algoritm redactat î pseudocod este, de apt, u tet alcătuit di liii (râduri), iecare ditre acestea coţiâd, de regulă, o declaraţie (al cărui scop pricipal costă î descrierea datelor) sau o istrucţiue (care descrie o operaţie care urmează a i eectuată). Fiecare liie ditr-u tet î pseudo-cod este alcătuită di cuvite şi simboluri (caractere speciale ealaumerice). Aumite cuvite, cu o semiicaţie bie determiată, idepedetă de aplicaţie, se umesc cuvite cheie şi, petru a i distise aţă de celelalte cuvite (speciice aplicaţiei), sut, de obicei, subliiate (îgroşate). Orice liie poate coţie precizări suplimetare, umite cometarii, care ajută la o mai buă îţelegere a algoritmului redactat î pseudo-cod, ără a ace parte di descrierea propriu-zisă a acestuia sau di structura de date. Cometariile sut amplasate la sârşitul liiilor la care se reeră şi îcep cu caracterul ;. 3.. Structuri de date Declaraţiile se reeră la datele cu care se operează şi pot i de tip simplu (udametal) sau structurate (agregate). Se cosideră următoarele tipuri de date udametale: K y logic îtreg real caracter - date cu două valori ( als, adevărat); - date care pot lua doar valori îtregi; - date ale căror valori aproimează umere reale; - literă, ciră sau sem special (aritmetic sau de puctuaţie). 9

9 METODE NUMERICE Eemple de declaraţii ale uor variabile de tip udametal: logic l, l, l3 îtreg i, j, s real a, m,, j caracter c După cum se poate costata, o declaraţie coţie cuvâtul-cheie care speciică tipul, urmat de lista umelor variabilelor de tipul respectiv, separate ître ele pri virgule. Numele variabilelor pot să ie alcătuite di litere şi cire, primul caracter iid, obligatoriu, o literă şi au semiicaţie limitată doar la aplicaţia respectivă. Se recomadă ca, î limita posibilităţilor, umele variabilelor să ie alese cât mai sugestiv iar, petru elimiarea ambiguităţilor, iecare mărime cu care se operează îtr-o problemă să aibă propria declaraţie, evetual îsoţită de u cometariu lămuritor: real m real v ; masa corpului ; viteza de aşchiere Petru rezolvarea uor probleme mai complee, tipurile udametale de date u sut suiciete, recurgâdu-se la tipuri de date structurate, apelate pri cuvitele-cheie: tablou - structură de date care coţie u umăr cuoscut de elemete de acelaşi tip; îregistrare - structură de date ce poate coţie elemete de tipuri dierite. Eemple de declaraţii petru tablouri: tablou real V(3) ; V este u vector cu trei elemete reale tablou îtreg A(5, 5); A este o matrice 5 5 cu elemete îtregi Cu toate că tabloul are o sigură deumire petru îtreaga structură de date, elemetele acestuia se idetiică pri ide (umăr de ordie), ca de eemplu V(); A(, ); A(5, 4) etc. 3.. Structuri de cotrol Istrucţiuile uui algoritm redactat î pseudo-cod descriu operaţiile pe care trebuie să le eectueze sistemul de calcul cu datele aterior descrise pri declaraţii. Istrucţiuile sut de două tipuri: simple şi structurate; cele simple sut, la râdul lor, de trei eluri: de atribuire;

10 CAPITOLUL Reprezetarea algoritmilor î pseudo-cod de itrare; de ieşire. Istrucţiuea de atribuire are sitaa: variabilă epresie î care variabilă este umele uei variabile a cărei valoare urmează să ie modiicată î urma istrucţiuii iar epresie este o costrucţie sitactică alcătuită di costate, variabile, operatori şi parateze, după regulile di algebră. Eectul eecuţiei istrucţiuii de atribuire costă î evaluarea epresiei şi modiicarea, î cocordaţă, a variabilei al cărui ume se ală î stâga semului egal. Se cosideră că operazii care itervi î epresii au valori corespuzătoare uuia ditre tipurile udametale. Dacă operazii sut de tip logic, atuci se admit operatori logici precum sau, şi, u, ca î eemplele: l u(l) l3 l sau l l4 l şi l3 Dacă operazii sut umerici (real sau îtreg), se admit operatori aritmetici:, -, *, / sau de relaţie (,, <, >,, ), ca î eemplele: logic. a b y b l b si > a ( ) ( ) Î primul caz rezultatul este de tip umeric iar, î al doilea, de tip Istrucţiuile de itrare ieşire au sitaa: citeşte variabilă (listă variabile) scrie variabilă (listă variabile) Prima istrucţiue are ca eect traserul pe caalul de itrare a uei valori (de eemplu itroducerea de la tastatură), care modiică valoarea variabilei speciicate, iar a doua are ca urmare traserul valorii variabilei pe caalul de ieşire (de eemplu, aişarea pe ecra sau tipărirea la imprimată). De eemplu, pseudo-codul: real, y, s, p citeşte, y s y p * y scrie s, p stop

11 METODE NUMERICE reprezită algoritmul uui program care calculează suma şi produsul a două umere reale, ale căror valori se citesc de la tastatură. Programele se îcheie pritr-o altă istrucţiue simplă, cu sitaa stop care are ca eect termiarea eecuţiei programului respectiv. Petru realizarea uor operaţii mai complicate se utilizează, î aara istrucţiuilor simple, istrucţiuile structurate, care sut: secveţa; decizia (cu sau ără alterativă); ciclul (cu test iiţial, cu test ial sau cu cotor); rutia (procedură sau ucţie). Secveţa sau blocul de istrucţiui reprezită u şir de istrucţiui simple sau structurate (redactate câte ua pe liie, î liii succesive), care se eecută ua după alta, î ordiea î care au ost scrise; programul de mai sus este u eemplu de secveţă. Decizia este o istrucţiue care permite cotrolul eecuţiei şi are ua ditre următoarele variate sitactice: decizia simplă: dacă codiţie atuci secveţă decizia cu alterativă: dacă codiţie atuci secveţa altel secveţa î care codiţie este o epresie de tip logic, iar secveţa este o secveţă de ua sau mai multe istrucţiui. Petru a uşura îţelegerea acestei istrucţiui, se costată că secveţele sut redactate idetat decalate aţă de cuvâtul-cheie dacă. Î urma eecuţiei acestei istrucţiui, se evaluează epresia logică codiţie ; dacă valoarea rezultată este adevărată, atuci se eecută secveţa (respectiv secveţa ), altel se cotiuă cu istrucţiuea următoare (respectiv se eecută secveţa ). Eemple de istrucţiui de decizie: ; calculul ucţiei modul, y dacă atuci y

12 CAPITOLUL Reprezetarea algoritmilor î pseudo-cod altel y -, < ; calculul ucţiei y,, > dacă <- atuci y altel dacă ( -) şi ( ) atuci y altel y Ciclul reprezită o istrucţiue care permite repetarea uei secveţe; se pot utiliza trei tipuri de cicluri: cu test iiţial, cu test ial şi cu cotor. Ciclul cu test iiţial are sitaa: cât timp codiţie repetă secveţă Eectul este evaluarea epresiei logice codiţie ; dacă rezultatul este airmativ (adevărat), atuci se eecută secveţa şi ciclul se reia pâă câd codiţia devie alsă, după care se sare peste secveţă şi se cotiuă cu următoarea istrucţiue. Se costată că eistă riscul repetării la iiit a ciclului dacă valoarea logică a codiţiei rămâe mereu adevărată; este deci resposabilitatea programatorului să asigure caracterul iit al ciclului. Î eemplul următor: s cât timp a > repetă s s a scrie s poate i utilizat petru a adua elemetele uui tablou (de tip şir) pâă la îtâlirea primului elemet egativ. Ciclul cu test ial are sitaa: repetă secveţa pâă câd codiţie secveţa iid eecutată repetat pâă câd codiţia devie adevărată. 3

13 METODE NUMERICE Deosebirea aţă de ciclul cu test iiţial costă î aceea că, î acest caz, corpul ciclului este eecutat cel puţi o dată. Î eemplul următor, se calculează cu o eroare maimă impusă, suma seriei cu termeul geeral (-) /!. t s repetă t -t / s s t pâă câd t < eps Ciclul cu cotor permite repetarea uei secveţe de u umăr determiat de ori. Sitaa ciclului cu cotor este: petru cotor val_ii, val_i, pas repetă secveţă î care cotor este umele uei variabile de tip îtreg, val_ii, val_i şi pas sut costate sau epresii de tip îtreg. Secveţa de istrucţiui di corpul ciclului este repetată petru valori succesive ale cotorului, porid de la valoarea iiţială val_ii, icremetat cu pasul pas, pâă câd acesta depăşeşte valoarea ială val_i. Dacă î istrucţiue lipseşte valoarea pas, se presupue că aceasta are valoarea implicită. Î eemplul următor: s petru, s s a scrie s se calculează suma primelor elemete ale uui tablou. Se îtâlesc, recvet, situaţii î care o aumită secveţă de istrucţiui trebuie eecutată de mai multe ori, î momete dierite ale eecuţiei uui program. Petru a se evita rescrierea de mai multe ori a acestei secveţe se recurge la coceptul de rutiă. Rutia reprezită o secveţă de declaraţii şi istrucţiui căreia i se atribuie u ume. Dacă îtr-u program se ace apel la o rutiă, cotrolul eecuţiei se traseră rutiei, iar după îcheierea acesteia se revie î programul apelat. Î coseciţă, o rutiă presupue, pe de o parte, deiiţia acesteia (pri speciicarea declaraţiilor şi istrucţiuilor care o alcătuiesc) iar, pe de altă parte, apelarea ei. Utilizarea rutielor este justiicată chiar şi î cazul î care ele sut apelate o sigură dată îtr-u program, deoarece ele permit structurarea 4

14 CAPITOLUL Reprezetarea algoritmilor î pseudo-cod modulară a uui algoritm. Petru a realiza acest deziderat, o rutiă trebuie să aibă o aumită cosisteţă, să îdepliească o ucţie bie deiită, care să permită reutilizarea ei şi î cadrul altor programe. După modul de apelare, rutiele se împart î două categorii: proceduri şi ucţii. Procedura este deiită pritr-o costrucţie sitactică de orma: procedură ume(listă de parametri ormali) secveţă retur î care ume este umele procedurii, alcătuit di caractere alaumerice, iar lista parametrilor ormali coţie ume de parametri, separate pri virgule. O parte di parametrii ormali sut parametri de itrare (ale căror valori provi di programul apelat şi se traseră procedurii) iar alţii sut parametri de ieşire (ale căror valori se determiă î procedură şi se traseră, apoi, programului apelat). Apelarea uei proceduri astel deiite se ace pri ivocarea umelui ei, urmat de lista parametrilor actuali: ume(listă de parametri actuali) Parametrii actuali trebuie să cocorde, ca umăr, tip şi ordie, cu cei ormali (dar u eapărat şi ca ume). Î eemplul următor, citeşte a, b sumprod(a, b, s, p) scrie s, p sumprod(s, p, s, p) scrie s, p se ace apel la procedura deiită î cotiuare: procedură sumprod(, y, sumă, prod) real, y, sumă, prod sumă y prod * y retur care are pe şi y ca parametri ormali de itrare şi sumă, prod parametri ormali de ieşire. Î urma primului apel al acestei proceduri (cu parametri actuali de itrare a şi b) se calculează şi aişează s a b, p a * b iar î urma celui de-al doilea apel se calculează şi se aişează s s p a * b, şi p (a b) * a * b. Î cazul uei proceduri, umărul parametrilor de itrare sau de ieşire este arbitrar (poate i, iclusiv, ul). Fucţia este o variată de rutiă la care toţi parametrii ormali sut parametri de itrare, dar rutia îtoarce o valoare. Deiiţia ucţiei se realizează pri costrucţia sitactică 5

15 METODE NUMERICE ucţia ume(listă de parametri ormali) secveţă îtoarce valoare Fucţia poate i apelată ca operad îtr-o epresie, î particular î atribuirea valoare ume(listă de parametri actuali) Fucţia se aseamăă cu o procedură cu u sigur parametru de ieşire, dar, aţă de aceasta, are o leibilitate suplimetară î apelare. Eemplul următor real a, b citeşte a, b mi(a, b) / ma(a, b) scrie a, b recurge la utilizarea a două ucţii, mi şi ma, deiite pri ucţia ma(, y) real, y, m dacă > y atuci m altel m y îtoarce m 6 ; valoarea maimă ucţia mi(, y) ; valoarea miimă real, y, m dacă > y atuci m y altel m îtoarce m Fucţiile elemetare (modul, radical, putere, epoeţială, logaritm, sius, cosius etc.) se cosideră predeiite î pseudo-cod, deoarece majoritatea limbajelor de programare de ivel îalt le au implemetate. 4. Chestiui de veriicare 4.. Să se scrie o procedură care să calculeze produsul scalar a doi vectori. 4.. Să se scrie o procedură de îmulţire a matricelor dreptughiulare Să se scrie algoritmul uui program care să calculeze si, < 5 y 5 3, 5 3 l, > 3

16 CAPITOLUL Rezolvarea ecuaţiilor algebrice pri metoda geerală Capitolul REZOLVAREA ECUAŢIILOR ALGEBRICE PRIN METODA GENERALĂ.. Pricipiul metodei Fie ucţia : D R R şi ecuaţia (). Dacă este u poliom sau poate i adusă la ormă poliomială, î urma uor trasormări, ecuaţia se umeşte algebrică; î caz cotrar este vorba de o ecuaţie trascedetă. Algebra clasică oeră ormule şi algoritmi care permit rezolvarea eactă doar petru o mică parte di ecuaţiile care itervi î soluţioarea diverselor probleme practice di domeiul igieriei; chiar şi atuci câd astel de posibilităţi eistă (dar aplicarea lor este complicată), ca şi î toate celelalte cazuri, rezolvarea umerică a ecuaţiilor este calea de urmat. Rezolvarea oricărei ecuaţii, pe cale umerică, presupue parcurgerea a două etape: Separarea rădăciilor ecuaţiei, care presupue determiarea uui iterval de eisteţă petru iecare ditre rădăciile reale ale ecuaţiei. Calculul aproimativ petru iecare rădăciă reală a ecuaţiei şi evaluarea erorii. Î ceea ce priveşte separarea rădăciilor, aceasta se poate realiza, spre eemplu pri metoda clasică a şirului lui Rolle; alte posibilităţi sut aaliza datelor problemei practice ce coduce la ecuaţia respectivă, sau aproimarea 7

17 METODE NUMERICE ucţiei pritr-u poliom de iterpolare, rădăciile poliomului de iterpolare servid ca valori aproimative iiţiale ale rădăciilor ecuaţiei. Cu toate că metoda geerală de rezolvare umerică a uei ecuaţii poate i apreciată ca iid mai rudimetară decât metodele clasice, aplicabilitatea metodei este etrem de largă, ea ilustrâd oarte bie mecaismul geeral al algoritmilor de căutare a soluţiei uei ecuaţii. Fig. - Metodă geerală de rezolvare umerică a ecuaţiilor [ ] R ( ) ( ) Fie : a, b, despre care se cuoaşte că ξ a, b, uic, astel îcât (ξ) ; cosiderâdu-se, potrivit primului criteriu euţat mai sus, o valoare maimă admisibilă a erorii er (reotată, petru simplitate, cu er), se va cosidera soluţie a ecuaţiei orice umăr petru care ( ) er. Metoda presupue, mai îtâi, geerarea uui şir de () pucte echidistate ître a şi b, potrivit relaţiei b a a ( ),,... ( ), () după care se testează codiţia ( ) er ; î cazul î care răspusul este airmativ, puctul î cauză este iclus î mulţimea soluţiilor. După cum se poate observa şi di igura, î geeral eistă mai multe pucte di şirul () care pot i cosiderate soluţii (î cazul di igură - -, -,...). Numărul acestor pucte este egal cu umărul termeilor di şir cuprişi î itervalul [α, β], ude α şi β sut soluţiile di itervalul [a, b] ale er, α < β. ecuaţiei ( ) Petru a alege di mulţimea soluţiilor aproimative pe cea mai apropiată de soluţia eactă, ξ, se poate recurge la două strategii: 8

18 CAPITOLUL Rezolvarea ecuaţiilor algebrice pri metoda geerală ) se calculează eroarea ε ( ), petru iecare soluţie poteţială, şi se alege ca soluţie ială cea petru care eroarea este miimă, î valoare absolută; ) se reduce valoarea erorii maime admisibile, er, reducâdu-se astel umărul de soluţii aproimative găsite; î cazul uui program de calcul costruit pe baza acestei metode, pri rularea repetată a acestuia, petru valori di ce î ce mai mici ale parametrului er, se poate ajuge, la u momet dat, la situaţia î care mulţimea soluţiilor poteţiale coţie u sigur elemet, care poate i declarat soluţie a ecuaţiei.. Algoritmul metodei program Metoda_geerală real a,b ; domeiul de deiiţie al ucţiei real er ; eroarea maimă admisibilă a soluţiei real eps ; eroarea curetă îtreg ; umărul de iteraţii de eectuat îtreg ; cotorul iteraţiilor citeşte a, b,, er petru, - repetă a * (b - a) / < er atuci stop dacă ( ) eps ( ) 3. Eemplu de aplicare scrie ; soluţia aproimativă a ecuaţiei scrie eps ; eroarea ître () şi Fie ecuaţia cos(); dacă se cosideră ucţia : R R, () - cos(), se poate observa că este cotiuă şi derivabilă că () -, î π π timp ce. π Coorm teoremei lui Rolle, rezultă că pe itervalul, ucţia se aulează cel puţi o dată; puctul ξ ( a, b) petru care (ξ) reprezită soluţia eactă a ecuaţiei cosiderate. Dacă se utilizează u program de calcul bazat pe această metodă petru rezolvarea ecuaţiei, cu diverse valori ale parametrului (di relaţia ()) şi petru diverse valori ale erorii maime admisibile, er, se obţi rezultatele di tabelul. 9

19 METODE NUMERICE După cum s-a meţioat deja, sut situaţii î care se obţie o mulţime de soluţii poteţiale, ditre care trebuie selectată cea mai buă; dacă se utilizează a doua strategie de selecţie, petru, î cazul î care er. se găsesc 7 soluţii poteţiale, dacă er.5-3 soluţii, î timp ce petru er. - o sigură soluţie. Evidet, valoarea petru er trebuie aleasă judicios, î corelaţie şi cu umărul de pucte, ; o reducere peste o aumită limită a erorii maime admisibile coduce la a u găsi ici o soluţie. Dacă se recurge la prima strategie de selecţie a celei mai bue soluţii, programul trebuie să urizeze şi valorile ucţiei î iecare di puctele corespuzătoare soluţiilor poteţiale (coloaa a patra di tabelul ); pe această bază se poate determia, cu uşuriţă, soluţia aproimativă a ecuaţiei. er ( ) Tab. Trebuie observat că metoda poate rezolva, la ivelul actual al calculatoarelor, o varietate largă de ecuaţii, rapid şi cu o precizie mai mult decât satisăcătoare.

20 CAPITOLUL Rezolvarea ecuaţiilor algebrice pri metoda geerală 4. Chestiui de veriicare Să se rezolve pri metoda geerală următoarele ecuaţii de orma (), cu precizia speciicată, ştiid că admit câte o soluţie pe itervalele idicate: 4.. () 5 4, er -3, ξ (,3). 4.. () , er -5, ξ (, ) () l si, er -6, (,π) ξ.

21 CAPITOLUL 3 Rezolvarea ecuaţiilor algebrice pri metoda bisecţiei Capitolul 3 REZOLVAREA ECUAŢIILOR ALGEBRICE PRIN METODA BISECŢIEI.. Pricipiul metodei Această metodă poate i cosiderată o variată mai evoluată a metodei geerale, atât deoarece viteza cu care se determiă soluţia aproimativă este mai mare, cât şi petru că permite cuoaşterea, de la bu îceput a umărului de iteraţii care trebuie parcurse petru rezolvarea ecuaţiei, cu o precizie impusă. Codiţia ca pri această metodă să se poată rezolva o ecuaţie de orma () este ca să eiste u iterval compact [a, b] astel îcât : [ a, b] R, C ([ a, b] ), ( a) ( b) <. () Codiţia () asigură aptul că, pe itervalul [a, b], are u umăr impar de rădăcii (cel puţi ua). Aplicarea metodei mai presupue şi impuerea iiţială a uei erori maime admisibile, ε, petru soluţia aproimativă. Metoda costă, î pricipiu, îtr-o serie de îjumătăţiri succesive ale itervalului [a, b] şi derivatelor acestuia, pri care se geerează u şir de itervale [a, b ], [a, b ]... [a, b ]..., lugimea iecăruia iid egală cu jumătatea itervalului precedet (a se vedea şi igura ). Mijloacele acestor itervale - c, c... c... se costituie, astel, îtr-u şir de aproimări succesive ale soluţiei eacte, ξ, care se va demostra că este coverget către ξ. 3

22 METODE NUMERICE Fig. - Metoda îjumătăţirii itervalului Algoritmul de aplicare a metodei este prezetat î cele ce urmează, î ipoteza î care (a) > şi (b) < (cealaltă variată de aplicare a metodei şi aume câd (a) < şi (b) > derulâdu-se aalog). a b Se calculează c, după care se evaluează ucţia î puctul c ; î cazul î care (c ), îseamă că, absolut îtâmplător, s-a găsit soluţia eactă a ecuaţiei, ξ c. Dacă (c ) >, se reotează c cu a şi b cu b (cazul di ig..3) iar, î caz cotrar, a devie a şi c - b. Se calculează rezultă ξ c. c a b, după care se determiă (c ); dacă (c ) Se îjumătăţeşte itervalul [a, b ], rezultâd [a, b ], ie reotâdu-se c cu a şi b cu b (cazul igurat), ie c cu b şi a cu a, î aşa el îcât să avem (a ) (b ) <. Se determiă c, apoi a 3 şi b 3, c 3, a 4 şi b 4... şi aşa mai departe, pâă câd, la u momet dat c se costituie îtr-o aproimaţie suiciet de buă a soluţiei eacte şi se adoptă ξ c. Lugimea l a itervalului oarecare di şir, [a,b ], rezultat di itervalul [a, b] după îjumătăţiri succesive este 4

23 CAPITOLUL 3 Rezolvarea ecuaţiilor algebrice pri metoda bisecţiei l b a. () Pri procedeul euţat mai sus, se geerează î paralel două şiruri - ( a ) şi ( b ) - primul ditre ele mooto crescător iar celălalt, mooto descrescător, ambele avâd ca limită soluţia eactă a ecuaţiei: lim a lim b ξ. (3) Această airmaţie poate i susţiută dacă se observă că eroarea ε ăcută pri aproimarea lui ξ cu c este mărgiită superior de u şir cu limita : ε ξ c l, atuci câd. (4) Mai mult, dacă se impue, apriori, o limită maimă a erorii admisibile, er, di impuerea codiţiei c ξ er se poate determia umărul miim de iteraţii (îjumătăţiri) care trebuie eectuate petru a găsi soluţia aproimativă a ecuaţiei, N mi : b a l b a log er er, (5) l N mi ude cu parateze drepte s-a otat ucţia parte îtreagă.. Algoritmul metodei program Metoda_bisecţiei real a,b ; domeiul de deiiţie al ucţiei real er ; eroarea maimă admisibilă îtreg ; umărul de iteraţii de eectuat îtreg ; cotorul iteraţiilor citeşte a, b, er [l((b - a) / er) / l()] ; calculul umărului de iteraţii ; iiţializarea cotorului repetă c (a b) / dacă (a) * (c) > atuci a c altel b c 5

24 METODE NUMERICE stop pâă câd > c scrie ; soluţia aproimativă a ecuaţiei 3. Eemplu de aplicare Fie ecuaţia cos(); dacă se cosideră ucţia : R R, () - c os(), se poate observa că este cotiuă şi derivabilă că () -, î π timp ce π. Cosiderâd această ecuaţie şi porid, de asemeea, de la itervalul π delimitat de a şi b, s-a utilizat u program de calcul bazat pe algoritmul metodei da aţă. Rezultatele sut următoarele: iid iid - petru er.7386; - petru er ; -3 trebuie eectuate N mi iteraţii, soluţia aproimativă -6 trebuie eectuate N mi iteraţii, soluţia aproimativă - petru er -9 trebuie eectuate N mi 3 iteraţii, soluţia aproimativă iid După cum se poate observa, soluţia ecuaţiei este găsită mult mai repede aţă de cazul metodei geerale, umărul de iteraţii ecesare iid relativ mic, chiar î cazul uor erori maime admisibile etrem de reduse. 4. Chestiui de veriicare Să se rezolve pri metoda bisecţiei ecuaţiile de mai jos, de orma (), cu precizia speciicată, ştiid că admit câte o soluţie pe itervalele idicate. Să se compare umărul de iteraţii ecesare cu cel de la rezolvarea aceloraşi ecuaţii pri metoda geerală. 4.. () 5 4, er -3, ξ (,3). ( ) 4.. () , er -5, ξ, () l, er -6, ξ,π. si ( ) 6

25 CAPITOLUL 4 Rezolvarea ecuaţiilor algebrice pri metoda Newto - Raphso Capitolul 4 REZOLVAREA ECUAŢIILOR ALGEBRICE PRIN METODA NEWTON - RAPHSON.. Pricipiul metodei Fucţioarea acestei metode se bazează, ca pricipiu, pe geerarea uui şir de aproimaţii succesive ale soluţiei eacte, ξ, petru o ecuaţie de orma (). Şirul de aproimaţii succesive, ( ) N, se costruieşte porid de la o valoare de start,, coveabil aleasă, utilizâd o ormulă de tip recuret ( ),, () h ude h h( ) este o ucţie eulă (evetual o costată) aleasă, de asemeea, coveabil. Potrivit modului de deiire a ucţiei h, eistă mai multe metode, aşa-umite clasice : metoda Newto - Raphso (metoda tagetelor variabile), metoda tagetelor ie, metoda secatelor variabile (regula Falsi) şi metoda secatelor ie. Î cazul metodei Newto - Raphso, ucţia h di relaţia () se alege de orma h ( ) (derivata ucţiei ). Rezultă o ormulă de recureţă de tipul ( ) ( ),. () 7

26 METODE NUMERICE Formula () mai poartă şi umele de ormula iterativă a lui Newto. Petru rezolvarea umerică a uei ecuaţii de orma () pri acest procedeu, ucţia trebuie să îdepliească următoarele codiţii: :[ a, b] R, C ([ a, b] ) (adică derivabilă de două ori pe [a, b], cu derivatele cotiui), iar şi păstrează semul costat pe tot itervalul; î plus, mai trebuie ca să aibă o sigură rădăciă î itervalul cosiderat. Puctul de start,, trebuie ales astel îcât ( ) ( ) >. Metoda are o iterpretare geometrică sugestivă (igura ). A A A Fig. - Metoda Newto-Raphso - iterpretare geometrică Potrivit ormulelor di Geometria aalitică, ecuaţia tagetei dusă la curba y () îtr-u puct oarecare, de abscisă, este ( ) ( )( ) y. (3) Dacă se otează cu abscisa puctului î care această tagetă itersectează aa O (obţiut petru y î ecuaţia (3)) şi se eprimă, se obţie ormula lui Newto de mai sus. Î aceste codiţii, se poate observa că iecare valoare,, di şirul aproimaţiilor succesive ale soluţiei ecuaţiei rezultă ca abscisa puctului de itersecţie, cu aa O, a tagetei la graicul ucţiei duse î puctul precedet, A, de abscisă. Metoda se mai umeşte şi metoda tagetelor variabile, deoarece pata iecărei tagete, pe baza căreia se geerează puctele di şir, are, î geeral, pata dierită de a celorlalte tagete (precedete sau următoare). Fucţia φ, deiită ca 8

27 CAPITOLUL 4 Rezolvarea ecuaţiilor algebrice pri metoda Newto - Raphso ( ) ( ) ϕ ( ) (4) poartă umele de ucţie de iterare a metodei Newto - Raphso. Se poate veriica imediat că ϕ ( ξ) ξ, ϕ ( ξ), ϕ ( ξ). (5) Cu această otaţie, şirul aproimaţiilor succesive ale soluţiei ecuaţiei date se poate geera după ormula φ( ),,,,... (6) Petru estimarea modului î care se propagă eroarea î cazul metodei de aţă, precum şi petru determiarea ordiului de covergeţă, se cosideră dezvoltarea î serie Taylor, îtr-o veciătate a puctului ξ, ϕ ( ) ϕ( ξ) ( ξ)! ϕ ( ξ) ( ξ)! ϕ ( ξ)... (7) Dacă î această dezvoltare se îlocuieşte cu, se reţi doar termeii de rag, şi şi se au î vedere relaţiile (5), rezultă ϕ ( ) ( ξ) ( ξ) ξ ϕ. (8) Ţiâd cot şi de (6), se poate scrie egalitatea ceea ce este echivalet cu ϕ ( δ) ( ) ξ ξ, (9) ( ξ) ϕ ε ε. () Di relaţia () rezultă, pe de o parte că metoda Newto - Raphso este caracterizată de o covergeţă pătratică, iid ua ditre metodele cele mai rapide de rezolvare a uei ecuaţii de orma () ; pe de altă parte, îsă, metoda reclamă evaluarea ucţiei şi a derivatei sale la iecare iteraţie, ceea ce 9

28 METODE NUMERICE poate i, ueori, diicil (sau chiar imposibil, petru ucţii care u sut cuoscute aalitic, ci doar tabelar).. Algoritmul metodei program Metoda Newto_Raphso real ; puctul de porire a căutării iteraţiilor real er ; eroarea maimă admisibilă real vechi, ou ; valoarea precedetă / curetă a soluţiei îtreg ; umărul de iteraţii eectuate îtreg ; cotorul iteraţiilor ucţia () ; ucţia care deieşte ecuaţia real ; epresia ucţiei îtoarce ucţia d() ; derivata ucţiei real d ; epresia ucţiei d îtoarce d citeşte, er ; iiţializarea cotorului ou ; iiţializarea şirului aproimaţiilor succesive repetă vechi ou ou vechi - (vechi) / d(vechi) pâă câd ou vechi < er scrie ou ; soluţia aproimativă a ecuaţiei scrie ; umărul de iteraţii parcurse stop 3. Eemplu de aplicare Petru a da posibilitatea uei comparaţii reale ître dieritele metode umerice de rezolvare a ecuaţiilor, se cosideră aceeaşi ecuaţie ca la lucrările şi 3: () - cos(). π Evidet, () si(). Dacă se alege ca puct de start b şi se utilizează u program de calcul scris pe baza metodei de aţă, rezultă următoarele: 3

29 CAPITOLUL 4 Rezolvarea ecuaţiilor algebrice pri metoda Newto - Raphso petru er -3 sut ecesari 3 iteraţii şi soluţia aproimativă este.739; petru er -6 sut ecesari 4 iteraţii şi soluţia aproimativă este.73985; petru er -9 sut ecesari 5 iteraţii şi soluţia aproimativă este Rezultatele coirmă că metoda Newto - Raphso are o covergeţă mult mai buă decât a celorlalte prezetate pâă acum. 4. Chestiui de veriicare Să se rezolve pri metoda Newto - Raphso ecuaţiile de mai jos, de orma (), cu precizia speciicată, ştiid că admit câte o soluţie pe itervalele idicate. Să se compare umărul de iteraţii ecesare cu cel de la rezolvarea aceloraşi ecuaţii pri metoda geerală şi metoda bisecţiei. 4.. () 5 4, er -3, ξ (,3). 4.. () , er -5, ξ (, ) () l si, er -6, (,π) ξ. 3

30 CAPITOLUL 5 Rezolvarea ecuaţiilor algebrice pri metoda puctului i Capitolul 5 REZOLVAREA ECUAŢIILOR ALGEBRICE PRIN METODA PUNCTULUI FIX.. Pricipiul metodei Se spue că o ucţie g D : R are u puct i ξ D, dacă g(ξ) ξ (ig.). Altel spus, o ucţie are uul sau mai multe pucte ie dacă graicul său itersectează odată - sau de mai multe ori - prima bisectoare. Fig. - Iterpretarea geometrică a puctelor ie ale uei ucţii 33

31 METODE NUMERICE Fie o ecuaţie de orma (), ude [ a, b] : R că ecuaţia cosiderată are o uică soluţie reală ξ [ a, b]. şi să presupuem Ecuaţia de mai sus poate i scrisă, aduâd î ambii membri, î orma echivaletă g() (ude s-a otat () g()); după cum se va arăta îtr-u caz cocret, această trasormare a ecuaţiei iiţiale se poate realiza, î geeral, î mai multe moduri. Este uşor de observat că rădăcia ecuaţiei iiţiale satisace egalitatea g(ξ) ξ, deci este u puct i petru ucţia g. Cu ajutorul ucţiei g astel obţiute se poate geera, porid de la u umăr arbitrar,, u şir de umere reale, utilizâdu-se ormula de recureţă ( ), g. () Dacă ucţia g este derivabilă pe itervalul [a, b], iar derivata acesteia îdeplieşte codiţia ( ) λ <, ( ) [ a, b] g, () atuci se poate demostra că şirul costituie u şir de aproimaţii succesive ale rădăciii eacte a ecuaţiei, coverget către aceasta. Îtr-adevăr, se observă că ucţia g îdeplieşte codiţiile de aplicare a teoremei lui Lagrage pe orice iterval de orma [, ξ]; de aici rezultă că α, ξ astel îcât ( ) ( ) ( ) g( ξ) g ( α )( ξ) g. (3) devie Dacă se ţie cot de relaţia () şi de aptul că g(ξ) ξ, egalitatea (3) ( α )( ξ) ξ g. (4) Utilizâd î cotiuare şi relaţia () rezultă că ξ λ ξ, (5) ceea ce este echivalet cu ε λ ε. (6) Dacă se dau valori de la la î relaţia (6) şi se îmulţesc cele ( ) relaţii astel obţiute, rezultă că ε λ ε ; cum λ <, lim λ şi deci lim ε. Acesta este acelaşi lucru cu a airma că lim ξ. liiară. Tot di relaţia (6) rezultă şi că metoda puctului i are covergeţă 34

32 CAPITOLUL 5 Rezolvarea ecuaţiilor algebrice pri metoda puctului i. Algoritmul metodei program Metoda puctului i real ; puctul de porire a căutării iteraţiilor real er ; eroarea maimă admisibilă real vechi, ou ; valoarea precedetă / curetă a soluţiei îtreg ; umărul de iteraţii eectuate îtreg ; cotorul iteraţiilor stop ucţia g() ; ucţia de puct i real g ; epresia ucţiei g îtoarce g citeşte, er ; iiţializarea cotorului ou ; iiţializarea şirului aproimaţiilor succesive repetă vechi ou ou g(vechi) pâă câd ou vechi < er scrie ou ; soluţia aproimativă a ecuaţiei scrie ; umărul de iteraţii parcurse 3. Eemplu de aplicare Petru a da posibilitatea uei comparaţii reale ître dieritele metode umerice de rezolvare a ecuaţiilor, se cosideră aceeaşi ecuaţie ca la lucrările, 3 şi 4: () - cos(). Ecuaţia dată se poate scrie sub orma cos(), deci se va adopta ucţia g de orma g() cos(). Cum g () -si() se poate observa că π g ( ) (, ), ( ),, de ude rezultă că petru această situaţie metoda puctului i este covergetă oscilat. Dacă se adoptă drept criteriu de stopare a căutării soluţiei Criteriul (relaţia (.6)) şi se utilizează u program de calcul bazat pe metoda puctului i (a se vedea.6.5), rezultă următoarele: petru er -3 şi.,.543, , , , ; 35

33 METODE NUMERICE petru er -3 şi π.8,.9999, 3.543, , , , ; petru er -6 şi ; petru er -9 şi Se poate observa cum oscilează valorile şirului aproimaţiilor succesive, de o parte şi de alta a soluţiei eacte; de asemeea, se poate remarca şi covergeţa mai letă a metodei, aţă de metoda Newto Raphso. 4. Chestiui de veriicare A. Fie ecuaţia () - - 3, avâd rădăciile ξ - şi ξ 3. Să se studieze posibilitatea rezolvării acestei ecuaţii, pri metoda puctului i, î următoarele trei cazuri: 4.. g ( ) g( ) 4.3. g( ), 4; 3, ; 3, 4. B. Să se rezolve pri metoda Newto - Raphso ecuaţiile de mai jos, de orma (), cu precizia speciicată, ştiid că admit câte o soluţie pe itervalele idicate. Să se compare umărul de iteraţii ecesare cu cel de la rezolvarea aceloraşi ecuaţii pri metoda geerală şi metoda bisecţiei () 5 4, er -3, ξ (,3) () , er -5, ξ (, ) () l, er -6, ξ,π. si ( ) 36

34 CAPITOLUL 6 Rezolvarea sistemelor de ecuaţii liiare pri metoda Gauss Capitolul 6 REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUAŢII LINIARE PRIN METODA GAUSS.. Pricipiul metodei Î primul râd, trebuie ăcută precizarea că metodele umerice petru rezolvarea sistemelor de ecuaţii, care urmează a i prezetate î cotiuare, sut destiate abordării sistemelor de ecuaţii cu ecuoscute, cu coeicieţi reali, despre care se cuoaşte, apriori, aptul că sut compatibile. U sistem de orma a a... a b a a... a b... a a... a b, () î care a ij, b i R petru i,,..., j,,..., poartă umele de sistem de ecuaţii liiare. Detaliid, î cotiuare, trebuie arătat că metodele umerice utilizate petru rezolvarea sistemelor de ecuaţii liiare se împart î două categorii: metode directe, care determiă soluţia eactă a sistemului şi metode iterative, care - porid de la o soluţie iiţială arbitrară - determiă u şir de aproimaţii succesive ale vectorului - soluţie a sistemului. 37

35 METODE NUMERICE Cea mai veche, cea mai bie cuoscută şi, totodată, cea mai utilizată metodă de rezolvare umerică a sistemelor de ecuaţii algebrice liiare este metoda Gauss, care ace parte di categoria metodelor directe; pricipiul metodei este prezetat î cotiuare. Poridu-se de la u sistem de orma (), se costruieşte o matrice de orma a a... a b a a... a b A, () a a... a b rezultată pri alipirea la matricea coeicieţilor sistemului, A, a vectorului coloaă a termeului liber, B. Î cotiuare, algoritmul metodei urmăreşte trasormarea matricei A îtr-o matrice ale cărei elemete situate sub diagoala a - a a să ie ule; trebuie parcurşi următorii paşi: a i se calculează o serie de multiplicatori de orma l i, după care di a iecare liie i se scade liia îtâi îmulţită cu l i, i, 3,... ; î cazul î care a, se schimbă prima liie cu o alta, care să aibă primul elemet eul, după care se procedează la cele de mai sus. Rezultă, astel, după reotare, o matrice de orma () () () () a a... a b () () () () a... a b A ; (3) () () () a... a b () a i se calculează o ouă serie de multiplicatori, de orma l i, după () a care di iecare liie i se scade liia îtâi îmulţită cu l i, i 3, 4,... ; î cazul î care a (), se schimbă a doua liie cu o alta, care să aibă al doilea elemet eul, după care se procedează la cele de mai sus. Rezultă, astel, după o ouă reotare, o altă matrice de orma () () () () a a... a b () () () () a... a b A ; (4) () ()... a b 38

36 CAPITOLUL 6 Rezolvarea sistemelor de ecuaţii liiare pri metoda Gauss se cotiuă aplicarea procedurii pâă câd, după - paşi, se obţie matricea () () () () a a... a b () () () () a... a b A, (5) () ()... a b î care toate elemetele de sub diagoala a (-), a (-),... a (-) sut ule. Dacă se reuţă, î otaţiile di această ultimă matrice, la epoeţii care idică umărul pasului şi se reace, pe baza ei, sistemul de ecuaţii, rezultă: a a a... a... a a a a a a... b b b b (6) di ultima ecuaţie a sistemului (6) se determia, după care, îlocuid î peultima ecuaţie pe, se determiă - şi aşa mai departe, pâă câd, î ial, se îlocuiesc î prima ecuaţie valorile, deja alate, petru, 3,... şi se calculează. Coorm [], umărul N de operaţii aritmetice simple ecesar a i eectuate petru rezolvarea, pri metoda Gauss, a uui sistem de ecuaţii liiare de rag este 4 3 N (7) 3 Metoda Gauss, iid o metodă directă, coduce la găsirea soluţiei eacte a sistemului, î măsura î care acesta este compatibil.. Algoritmul metodei program Metoda Gauss real l real s îtreg îtreg i, j, ; valoarea curetă a multiplicatorului de liie ; sumă auiliară ; dimesiuea sistemului ; cotori 39

37 METODE NUMERICE stop tablou real A(,) tablou real B() tablou real X() ; itroducere date de itrare citeşte petru i, repetă citeşte b(i) petru j, repetă citeşte a(i,j) ; elimiare petru, - repetă petru i, repetă l a(i,) / a(,) petru j, repetă a(i,j) a(i,j) - l a(,j) b(i) b(i) - l b() ; retro-substituţie () b() / a(,) scrie () petru i -,, - repetă s b(i) petru j, i, - repetă s s - a(i,j) (j) (i) s / a(i,i) scrie (i) 3. Eemplu de aplicare ; matricea sistemului ; vectorul-coloaă a termeului liber ; vectorul-soluţie curetă 3 Să se rezolve sistemul Se costruieşte matricea etisă a sistemului, A a 4 a 3 Se calculează multiplicatorii l, l3 şi se a a eectuează operaţiile L - l L şi L 3 - l 3 L (ude L i îseamă liia i ). 4

38 CAPITOLUL 6 Rezolvarea sistemelor de ecuaţii liiare pri metoda Gauss Rezultă () 3 ( 4 6 ; se calculează, apoi, multiplicatorul 3 4 A ) a 3 3 l3 3 şi se eectuează L () 3 - l 3 L, după care se obţie a 3 A ( ) 4 6. Sistemul iiţial poate i rescris, acum, sub orma Urmează imediat, di ultima ecuaţie, 3, apoi, di a 3 doua, şi, î ie, di prima ecuaţie, Chestiui de veriicare Să se rezolve, pri metoda Gauss, sistemele de ecuaţii: y z 5; 4y z 3; y 6z ; ; 63 4 ;

39 CAPITOLUL 7 Rezolvarea sistemelor de ecuaţii liiare pri metoda Jacobi Capitolul 7 REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUAŢII LINIARE PRIN METODA JACOBI.. Pricipiul metodei Metoda lui Jacobi este o metodă iterativă, utilizabilă petru rezolvarea umerică a sistemelor de ecuaţii algebrice liiare. Fie sistemul a a... a b a a... a b... a a... a b, () î care a, b R petru i,,..., j,,.... ij i Algoritmul metodei Jacobi îcepe pri a pue î evideţă, î partea stâgă a semului egal, î ecuaţia umărul a variabilei,,,.... Evidet, petru a putea rescrie astel sistemul, trebuie ca toţi coeicieţii de orma a să ie euli; î cazul î care această codiţie u este satisăcută, se schimbă ecuaţiile ître ele, î aşa el îcât pe diagoala pricipală a matricei sistemului să u eiste ici u elemet ul şi se reumerotează ecuoscutele î cocordaţă cu schimbările eectuate. Rezultă astel: 43

40 METODE NUMERICE ( b a a a ); a ( b a a a ); a... a ( b a a... a ). () Petru uşuriţa scrierii, se trece la trascrierea sistemului sub orma uei ecuaţii matriceale A u, (3) î care s-au ăcut otaţiile M, b a b u a M b a, a A a M a a a a M a a L L M L a a a a M. (4) Pricipiul metodei lui Jacobi se bazează pe relaţia (3), ude î membrul stâg se scrie vectorul soluţiilor la pasul, iar î membrul drept acelaşi vector, la pasul. Rezultă, astel ( ) A () u. (5) Evidet, demararea calculelor impue adoptarea uui vector iiţial,, care poate i ales arbitrar. Egalitatea (5) mai poate i scrisă şi sub orma ( ) () i bi a j j ij j, i,,.... (6) a ii i Cu ajutorul relaţiei (5) se poate geera u şir de aproimaţii succesive ale vectorului-soluţie a sistemului, care - î aumite codiţii - coverge către soluţia eactă. Î această situaţie, se pot ormula codiţiile de covergeţă ale metodei lui Jacobi; dacă 44

41 CAPITOLUL 7 Rezolvarea sistemelor de ecuaţii liiare pri metoda Jacobi ) lim A ; ) toate valorile proprii ale matricei A sut, î modul, mai mici decât uitatea, atuci şirul de aproimaţii succesive ale vectorului-soluţie, geerat cu relaţia (5), coverge către soluţia eactă. Codiţia ) de mai sus este echivaletă, [3], cu relaţia j j i a a ij ii <, i,,..., (7) ormă sub care este mai uşor de veriicat, di puct de vedere practic. Dacă u sistem de ecuaţii liiare satisace codiţia ) de covergeţă, sistemul se umeşte diagoal; sistemele diagoale se bucură, deci, de proprietatea că sut rezolvabile pri metoda iterativă Jacobi. Î ceea ce priveşte criteriul de oprire a căutării soluţiei, dacă () şi () sut două aproimaţii succesive ale vectorului soluţie, geerate potrivit relaţiei (5), () ( ) () ( ) () ( ), respectiv, M M () ( ) atuci vectorul () poate i declarat soluţie a sistemului dacă ( ) () err ma( i i ) < er, (8) i ude er reprezită eroarea maimă admisibilă, stabilită la îceputul rezolvării sistemului.. Algoritmul metodei program Metoda Jacobi real er real err real s îtreg îtreg i, j, tablou real A(,) tablou real B() ; eroarea maimă admisibilă ; eroarea la pasul curet ; suma parţială ; dimesiuea sistemului ; cotori ; matricea sistemului ; vectorul-coloaă a termeului liber 45

42 METODE NUMERICE stop tablou real X() tablou real X() ; vectorul-soluţie la iteraţia aterioară ; vectorul-soluţie curetă ; itroducere date de itrare şi iiţializare a vectorului-soluţie citeşte, er petru i, repetă citeşte b(i) petru j, repetă citeşte a(i,j) (i) ; iteraţii repetă err petru i, repetă s b(i) petru j, repetă s s - a(i, j) (j) s s a(i,i) (i) (i) s / a(i,i) s () i () i dacă err < s atuci err s scrie err petru i, repetă (i) (i) scrie (i) pâă câd err < er 3. Eemplu de aplicare Să se rezolve, pri metoda iterativă a lui Jacobi, sistemul 7 3 ; ; Vom îcepe pri a costata că matricea sistemului îdeplieşte codiţia (7): a a3 3 - petru prima liie, < ; a

43 CAPITOLUL 7 Rezolvarea sistemelor de ecuaţii liiare pri metoda Jacobi a a petru a doua liie, < ; a 5 5 a 3 a petru a treia liie, < a şi, pri urmare, sistemul poate i rezolvat pri metoda lui Jacobi. Pe baza relaţiei (6), se pot scrie ormulele de recureţă ecesare petru geerarea şirului de vectori-aproimaţii succesive ale soluţiei: () () ( 3 ); () ( ) ( ); ( 3 ). ( ) 7 ( ) 5 ( ) ( ) ( ) 3 6 Utilizâdu-se, î cotiuare, u program de calcul bazat pe algoritmul metodei Jacobi, adoptâdu-se eroarea maimă admisibilă er. şi valoarea iiţială ( ), la rezolvarea sistemului de mai sus se obţi, succesiv, valorile di tabelul. Tab. Nr. 3 err iteraţiei

44 METODE NUMERICE Ţiâd cot că soluţiile eacte ale sistemului sut, şi 3 3, se poate observa, di tabel, modul cum aproimaţiile succesive coverg către valorile corecte. 4. Chestiui de veriicare Să se rezolve, pri metoda Jacobi, sistemele de ecuaţii de mai jos, după ce se va i veriicat, î prealabil, îdepliirea criteriului de covergeţă; să se compare rezultatele cu cele obţiute, la rezolvarea aceloraşi sisteme, la lucrarea y z 5; 4y z 3; y 6z ; ; 63 4 ;

45 CAPITOLUL 8 Rezolvarea sistemelor de ecuaţii liiare pri metoda Gauss - Seidel Capitolul 8 REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUAŢII LINIARE PRIN METODA GAUSS - SEIDEL.. Pricipiul metodei Metoda Gauss-Seidel este, ca şi metoda Jacobi, tot o metodă iterativă de rezolvare a sistemelor de ecuaţii liiare; mai mult, se poate airma că metoda Gauss-Seidel este, î apt, o variată îmbuătăţită a metodei Jacobi. Spre deosebire de aceasta, care u oloseşte î iteraţia curetă vectorul (), pâă câd toate compoetele sale vor i ost determiate, metoda Gauss- Seidel oloseşte aceste compoete, pe măsură ce ele sut calculate. Astel, la pasul () se olosesc î calculul ecuoscutei i () valorile ecuoscutelor (), (),... i- (), deja determiate î iteraţia curetă.; ormula devie, î acest caz ( ) () i bi a j j ij j, i,,.... () a ii i i ( ) ( ) ( ) i bi a ij j a ij j, i,,.... () a ii j j i 49

46 METODE NUMERICE Codiţia de covergeţă j j i a a ij ii <, i,,..., (3) şi criteriul de oprire a căutării soluţiei ( ) () err ma( i i ) < er, (4) i sut aceleaşi ca şi petru metoda lui Jacobi dar, la acelaşi ivel de precizie, metoda de aţă este sesibil mai rapidă.. Algoritmul metodei program Metoda Gauss-Seidel real er real err real s îtreg îtreg i, j, tablou real A(,) tablou real B() tablou real X() ; eroarea maimă admisibilă ; eroarea la pasul curet ; suma parţială ; dimesiuea sistemului ; cotori ; matricea sistemului ; vectorul-coloaă a termeului liber ; vectorul-soluţie ; itroducere date de itrare şi iiţializare a vectorului-soluţie citeşte, er petru i, repetă citeşte b(i) petru j, repetă citeşte a(i,j) (i) ; iteraţii repetă err petru i, repetă s b(i) petru j, repetă s s - a(i, j) (j) 5

47 CAPITOLUL 8 Rezolvarea sistemelor de ecuaţii liiare pri metoda Gauss - Seidel stop s (s a(i,i) (i)) / a(i,i) dacă err < s (i) atuci err s (i) (i) s scrie (i) scrie err pâă câd err < er 3. Eemplu de aplicare Să se rezolve, pri metoda iterativă Gauss - Seidel, sistemul 7 3 ; ; S-a cosiderat acelaşi sistem ca î cazul metodei lui Jacobi, petru a putea evideţia mai bie ceea ce metoda Gauss-Seidel are speciic. Astel, relaţiile utilizate, de această dată, petru geerarea şirului de vectori - aproimaţii succesive ale soluţiei, devi () () ( 3 ); ( ) ( ) ( ); ( 3 ). ( ) 7 ( ) 5 ( ) ( ) ( ) 6 3 Utilizâd u program de calcul, bazat pe algoritmul metodei Gauss- Seidel, cu aceleaşi date iiţiale ca î eemplul prezetat la lucrarea 7, se obţi rezultatele di tabelul. Tab. Nr. 3 err iteraţiei

48 METODE NUMERICE Evidet, şirul de aproimaţii succesive coverge mult mai rapid către soluţia eactă - petru aceeaşi eroare maimă admisibilă ca î cazul metodei lui Jacobi, sut ecesare doar 5 iteraţii, î loc de 3, petru găsirea soluţiei aproimative a sistemului. 4. Chestiui de veriicare Să se rezolve, pri metoda Gauss - Seidel, sistemele de ecuaţii de mai jos; să se compare rezultatele cu cele obţiute, la rezolvarea aceloraşi sisteme, la lucrările 6 şi y z 5; 4y z 3; y 6z ; ; 63 4 ;