0 z z < r ea admite o dezvoltare în serie Laurent. n n. din dezvoltarea în serie Laurent în vecinătatea punctului z. z (notat { } { } = ρ
|
|
- Αλέξιος Βασιλόπουλος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 CAPITOLUL ME5 5 eiduuri Teore reiduurilor Defiiţi reiduului Fie w o fucţie litică vâd î u puct sigulr iolt Atuci îtr-o coroă circulră < r e dite o devoltre î serie Luret < w c Se ueşte reiduu l fucţiei w î puctul e w coeficietul c di devoltre î serie Luret î veciătte puctului e{ w } c Avâd î vedere că c w d < < r i ρ π ρ reultă că w d πie w ρ ott { } { } Clculul reiduurilor fucţiei w î polii situţi l distţă fiită pote fi făcut şi fără devolt fucţi î serie Luret Astfel dcă este pol siplu l fucţiei w se pote scrie e{ w } li w ϕ Dcă w fucţiile ϕ şi ψ fiid oloorfe îtr-o veciătte puctului ψ şi ϕ ψ ψ reiduul î polul siplu se pote clcul pri ϕ ϕ e ψ ψ Dcă fucţi w re î puctul u pol de ordi tuci forul de clcul petru reiduul fucţiei w î este [ w ] d e{ w } li! d Fie fucţi w vâd u puct sigulr iolt l ifiit Î veciătte cestui puct fucţi dite o devoltre Luret de for c c w c c >
2 Cpitolul ME5 Se ueşte reiduu l fucţiei w î puctul de l ifiit uărul c c fiid coeficietul lui stfel că di devoltre Luret Se oteă e w c Di itegrre relţiei pe u cerc itegrl pe cercul ρ { } w ρ ρ > se oţie d πic { } w d πie w ρ ρ fiid lută î sesul celor de cesoric Teore 5 Teore reiduurilor Fie w o fucţie oloorfă î doeiul siplu coex D cu excepţi puctelor iolte şi fie γ o cură siplă îchisă sitută î D şi cre coţie î iterior puctele Atuci d πi γ { w } w e Oservţie Teore pote fi extisă l cul î cre doeiul D este ultiplu coex j ărgiit de cur exterioră γ şi curele iteriore γ j ir fucţi w este oloorfă î D \ { } şi cotiuă pe D { } \ γ γ i j w d w d πi Î cest c forul devie e{ w } curele γ γ γ fiid prcurse î ses direct î rport cu doeiul Teore 5 Fie w o fucţie oloorfă î tot plul coplex cu excepţi puctelor iolte Atuci su tuturor reiduurilor fucţiei w iclusiv reiduul î puctul este ulă e { w } e{ w } Coseciţă Fie γ o cură siplă îchisă ce coţie î iterior tote puctele Atuci γ w d πi e { w } Teore 53 Fie w o fucţie oloorfă î doeiul D cu excepţi puctelor sigulre iolte Fie de seee polii siplii frotier γ doeiului D Dcă cur γ e etedă î puctele ' ' e cotiuă î D { } \ tuci ' ' ' ' ' ' ' w d iπ e { w } iπ e { w j γ j i fucţiei w situţi pe ir fucti w }
3 Cpitolul ME5 5 Exeple eiduul fucţiei w e î origie se oţie di devoltre fucţiei î veciătte cestui puct e e e!! Mi reultă e d πiee πi ρ Fie de clcult reiduul î puctul - l fucţiei w cos Ave w [ ] cos!!! Deci e cos! [ ] 3 Fucţi e w w : C \ { } C 3 re u pol siplu î puctul şi u pol de ordiul doi petru Se oţie şi de seee e e e 3 3 { w} li li e e d e e 3 d { w} li li 4 Fie rur regultă fucţiei w w α defiită pe plul coplex cu tăietur [-] pe x relă Ave α
4 Cpitolul ME5 petru > w α α α α α α De ici reultă α { e w 5 Să se clculee itegrl > d I Itegrtul re u pol de ordiul î origie şi u pol siplu petru Se oţie e L ifiit i reultă > petru de ude deduce că e Di plicre teoreei se oţie şi reiduul î puctul e e Petru cul < ve e e i I π Petru i i i I π π π e e I sfârşit petru > i i I π π e
5 Cpitolul ME5 53 Aplicţii le reiduurilor l clculul itegrlelor defiite π I Itegrle de for ˆ cosθ si θ Fie xy I dθ ˆ o fucţie rţiolă î x y Itegrl I cosθ si θ π pote fi trsfortă îtr-o itegrlă curiliie coplexă pe cercul pri schire de vriilă e Se oţi e e e e s i cosθ d ie θ dθ i i Itegrl coplexă ˆ d ˆ d i i dθ se reduce l itegrl dcă se foloseşte pretrire eultă e θ π cercului I π i e ˆ i i ˆ situţi î iteriorul cercului Î cul î cre fiid polii itegrtului ˆ re poli sipli pe cercul cosidert itegrl treuie clcultă î vlore priciplă î sesul Cuchy ir î relţi treuie dăugte seireiduurile îulţite cu πi ˆ referitore l polii situţi pe cercul fucti le fucţiei II Itegrle de for x Itegrl I ˆ dx 3 x ude ˆ dx ˆ este o fucţie rţiolă coverge dcă grdul uitorului este cu cel puţi două uităţi i re decât grdul uărătorului şi polioul de l uitor u re rădăcii rele Dcă uitorul fucţiei ˆ re rădăcii siple itegrl pote fi clcultă î vlore priciplă
6 Cpitolul ME5 Le Dcă fucţi g este cotiuă pe rcele de cerc şi dcă 4 li g e uifor î rport cu [ ] tuci 5 li g d Deostrţie Folosid pretrire petru C e [ ] θ d g d g e C C { e θ θ θ } θ θ θ θ θ θ rcului C se oţie g dθ C C folosid relţi 4 se oţie li C θ θ θ g e * cu [ θ θ ] d w θ ; reultâd stfel forul 5 Petru evlure itegrlei 3 vo plic teore reiduurilor fucţiei ˆ pe Γ C fig 6 cu les suficiet de re stfel c tote sigulrităţile coturul [ ] fucţiei ˆ să fie coţiute î doeiul < eultă ude Γ { ˆ } { πi e ˆ j } ˆ d π i e sut polii fucţiei polii siplii i lui stfel C fiid seicercul j ˆ di seiplul superior ir costituie ' ' ' ˆ situţi pe x relă Itegrl pe coturul Γ se pote descopue d x dx Γ ˆ ˆ ˆ d θ π eultă C ˆ x dx π i e{ ˆ } ' { ˆ j j } π i e ˆ d j C C -
7 Grdul uitorului î ˆ uărătorului se oţie Petru ude reultă Cpitolul ME5 Fig 6 fiid cu cel puţi două uităţi i re decât cel l le ˆ d li ˆ li C { ˆ } πi e{ ˆ } ' x dx i e j j π sut polii fucţiei ˆ de pe x relă ˆ di seiplul superior ir iλx III Itegrle de for I e ˆ x Fie ˆ x o fucţie rţiolă Itegrl dx iλx 6 I e ˆ x dx repreită trsforre Fourier fucţiei rţiole ˆ x cest tip este ecesr urătorul reultt: Le Le lui C Jord Fie { } > C rcul cercului sut polii sipli i lui ' ' j x j I fixt şi g o fucţie cotiuă pe C şi stfel îcât li g uifor î rport cu rg Atuci petru orice λ poitiv li C g iλ e d Petru evlure itegrlelor de situt î seiplul iλ Petru clculul itegrlei 6 î cul λ > se itegreă fucţi w e ˆ pe cur îchisă Γ di fig 6 C Se oţie - Fig 6
8 Cpitolul ME5 iλ iλ iλ 7 ˆ e d π i e{ ˆ e } { πi e ˆ e j } Γ Deseee ve 8 i λ e d iλx iλ ˆ x e dx ˆ e d Γ Petru c itegrl 6 să fie covergetă este ecesr c li ˆ Dcă cestă codiţie C j este verifictă liit ultiului tere î relţi 8 petru lui Jord Di relţiile 7 şi 8 se oţie este ulă cofor leei iλx iλ iλ 9 ˆ x e dx π i e{ ˆ e } { πi e ˆ e j } ude puctele sut polii fucţiei ˆ di seiplul superior ir ' ' ' sut polii sipli i fucţiei situţi pe x relă Oservţie: I cul λ < se îlocuieşte coturul Γ cu Γ' sietricul său fţă de x Ox şi reultă forul iλx iλ iλ ˆ x e dx π i e{ ˆ e } { πi e ˆ e j } puctele fiid î cestă situţie polii fuţiei IV Itegrle de for I x Itegrl I x α α ˆ x dx ˆ x dx j j ˆ di seiplul iferior α fiid rel eîtreg şi ˆ x o fucţie rţiolă repreită trsfort Melli fucţiei ˆ x Cu î pre o sigulritte itegrdului petru x vo preet fără deostrţie o leă seăătore celor discutte îite referitore l coportre itegrlei curiliii coplexe pe u rc de cerc î veciătte sigulrităţii c şi g o fucţie cotiuă pe c ε şi stfel îcât i Le 3 Fie { ε θ θ θ } θ Atuci ε li g uifor pe rcul c ε d li g ε cε Petru evlure itegrlei 6 se cosideră fucţi coplexă w α ˆ Petru ve defiită o rură regultă fucţiei w e ecesră o tăietură î plul coplex ître ero şi ifiit Tăietur se fce pe x relă poitivă şi se cosideră rur α fucţiei defiită pri relţi α L e α ude L l i θ θ π
9 Cpitolul ME5 Se plică teore reiduurilor petru coturul Γ fig 63 lcătuit di cercul CD şi AB le xei rele şi cercul c ε α ˆ α d π i e{ ˆ } Γ α ' α ' [ e{ ˆ j } e{ ˆ j }] π i j C segetele fiid polii fucţiei $ situţi î fr xei rele poitive ir ' ' polii sipli de pe cestă seixă Fiecre ditre ceşti di ură este îtâlit de două ori l prcurgere curei Γ şi de ici u părut cele două sue de seireiduuri î erul l doile l relţiei α Petru fucţi pe x relă poitivă se oţie α e e α l x x α l x πi α πi α x α e petru petru x AB x CD C c ε c ε A B D C Fig 63 Î coseciţă itegrl pe coturul Γ se descopue după cu ureă: ˆ α ˆ ˆ Γ ε C α α 3 d x x dx ε α πi α α x e ˆ x dx ˆ cε d Petru c itegrl să fie covergetă este ecesr c li α ˆ li α ˆ Aceste relţii costituie codiţiile di ipoteele leelor şi 3 Cofor celor două lee itegrlele curiliii di relţi 3 clculte pe cercurile c ε şi C se uleă petru ε şi respectiv ir di relţiile şi 3 se oţie d
10 Cpitolul ME5 iπ α 4 I e ˆ e j πiα α - ' α - ' [ e ˆ e ˆ ˆ ] j j 54 Exeple Fie de clcult π dθ I cosθ Cu schire de vriilă e i θ reultă d id I i Ecuţi re rădăciile Dcă < reultă i I π i e π π li Petru > polul v fi situt î iteriorul cercului şi i I π ie li π π Să se clculee itegrl Fucţi ˆ d I x x 4 i 4 i 4 re î puctul i u pol de ordiul 4 situt î seiplul superior Mi ve 4
11 stfel că 5π I 6 Cpitolul ME5 4 i 5i 4 i i 3 3 d e i li 4 i 3 4 3! d 3 Fie de clcult cos λx I λ > dx x Cosideră şi itegrl si λx J dx Itegrl IiJ este de tipul III Î coseciţă x iλ e vo itegr fucţi w pe cur di fig 6 eluâd rţioetul vo oţie î coforitte cu relţi 9 iλx iλ λ e e e I ij dx πie i πi x i de ude deduce că λ cos λx πe I dx x 4 Petru clculul itegrlei si x I dx x i e vo itegr fucţi w cre re u pol siplu pe x relă î origie pe cur di e i fig 6 Deorece e procedâd c î cul itegrlelor de tipul III vo oţie dx πi x Seprâd prte relă şi ce igiră se găsesc si x cos dx π şi x x dx x 5 Să se clculee e ix α x I dx < α < x fiid rel Petru > > fucţi α w re u pol siplu î iteriorul doeiul ărgiit de cur Γ
12 Cpitolul ME5 α α α [ l iπ ] i α π α e e e Di relţi 4 se oţie iπ α α α πie π I > πiα e si απ ' Î cul < < fucti w re u pol siplu situt pe seix relă poitivă Ave α α α l α e [ ] e α α [ l πi] α π α i [ ] e e α e Aplicâd di ou relţi 4 se găseşte α [ ] πi α πi e α I π ctg πα < πiα e itegrl fiid cu clcultă î vlore priciplă î sesul lui Cuchy 55 Pricipiul vriţiei rguetului Presupue că f este o fucţie litică şi eidetic ulă îtr-u doeiu D Dcă f tuci există u îtreg stfel îcât f g ude g este litică î D şi g Itregul este uit ordiul de ultiplicitte l eroului Privid erourile uei fucţii litice pute euţ: Teore 54 Dcă o fucţie litică î doeiul D se uleă pe u şir distict de pucte di D şir cre coverge l u puct di D tuci f este idetic ulă î D { } De ici reultă că erourile uei fucţii litice ecostte î D sut iolte ître ele π Oservţie: Ipote c D este iporttă î cele de i sus Fie f si fucţie litică petru orice şi f Luă puct cre u prtie doeiului de liticitte lui f fucţie cre u e idetic ulă Să presupue că f este o fucţie eroorfă litică cu excepţi uui uăr fiit de poli î D doeiu siplu coex O plicţie teoreei reiduurilor se referă
13 Cpitolul ME5 l deterire uărului de erouri şi de poli i fucţiei f î doeiul D Acest se eă pe urătorele teoree: Teore 55 Fie w f o fucţie eroorfă î doeiul siplu coex D şi γ o cură siplă îchisă coţiută î D şi cre u trece pri ici uul di polii şi erourile fucţiei dte Atuci: ' f d N P πi f γ N şi P fiid uărul erourilor respectiv l polilor fucţiei f di iteriorul curei γ I relţi de i sus erourile şi polii sut cosiderţi de tâte ori cât este ordiul lor de ultiplicitte Avâd î vedere că πi γ ' f d f π γ rg f ude rg f repreită vriţi rguetului fucţiei f l prcurgere î ses direct γ curei γ se oţie: Teore 56 Pricipiul vriţiei rguetului I codiţiile teoreei 63 ve rg f π N P γ Petru deterire uărului de erouri l uei fucţii litice î doeiul liitt de cur îchisă γ este utilă Teore 57 Teore lui ouché Fie f şi g două fucţii îtr-u doeiu siplu coex ce coţie cur siplă îchisă γ şi stfel îcăt f ζ > g ζ oricre ζ γ Atuci fucţiile f şi F f g u celşi uăr de erouri î doeiul ărgiit de γ 56 Exeple Să se deterie uărul de erouri le ecuţiei situte î < Fie fucţiile f 6 g 3 Pe ve: 9 f 6 g 3 5
14 Cpitolul ME5 Di teore 633 v reult că uărul de erouri l ecuţiei dte î < este egl cu uărul soluţiilor ecuţiei f î cest doeiu deci egl cu ptru Gsiţi uărul de erouri l ecuţiei 3 4 flte î priul cdr 3 Vo exi fucţi f 4 pe coturul γ fig 64 fort de π segetele x y iy y şi rcul e θ ude este oricât de re i Fig 64 3 Pe segetul x y f x x x 4 este rel şi f x Pe rcul π e θ ve f e e ζ θ 3 3 θ e i i e e 6 ude < θ ζ petru re Deci rg f e este proxitiv rg 3 i e 3θ petru re şi deci rg f e creşte de l l 3π/ câd θ creşte de l l π/ Pe segetul iy y ve 3 f iy iy y 4 puct ce se flă î cdrul 4 deorece e{ f iy } 4 y > I{ f iy } y 3 < Cu y descreşte de l l f iy se flă î cdrul 4 şi se işcă spre puctul w 4 I coseciţă câd prcurge coturul γ rg f creşte cu π şi deci f re exct o soluţie î priul cdr 3 Arătţi că tote erourile ecuţiei 3 f 3 i 8 se flă î coro circulră < < Pe cercul ve
15 Cpitolul ME5 f 8 7 < 8 ş îcât f şi 8 u celşi ur de erouri î < deci ici uul Pe de ltă prte petru ve 3 3 f 3 < 4 3 şi deci f şi 3 3 u celşi uăr de erouri î < dică trei V reult deci că f re tote rădăciile î < < 4 Arătţi că petru orice λ ecuţi re exct o rădăciă cu e > e λ Fie fucţiile f λ g e λ Atuci pe x igiră pute scrie g iy f iy e iy π π Pe seicercul e θ ve cosθ g e f e e < < λ y f iy petru > λ < λ λ cosθ f e i -i Fig 65 Deci f şi g u celşi uăr de erouri î iteriorul coturului di Fig 65 fort di seicercul de ră flt î seiplul e > şi cetrt î origie şi dietrul corespuãtor Deorece f re exct u erou ici dcă > λ reultă că g re exct u erou petru cul > λ 5 Găsiţi uărul de rădăcii di < le ecuţiei Fie fucţiile 4 f g 4 7 4
16 Petru ve f g 3 Deorece Cpitolul ME5 { f g } f f > g reultă că f şi f g u celşi uăr de erouri î < Dr cu f u re soluţii î < v reult că ecuţi propusă u re erouri î < 6 U polio de grdul cu coeficieţi coplexi re exct erouri î ulţie uerelor coplexe cosiderâd şi ordiele de ultiplicitte teore fudetlă lgerei Fie Petru vlori ri le lui petru Deorece f ve f v reult că f şi f u celşi uăr de erouri î < Cu exct erouri î < celşi lucru v fi vlil şi petru f re 57 Stilitte sisteelor diice Ave î vedere sistee diice liire ivrite î rport cu tipul cu o sigură itrre şi o sigură ieşire U siste diic se ueşte stil dcă l orice excitţie x t ărgiită corespude u răspus y t ărgiit Modelre tetică legăturii ditre excitţie şi răspus este relită pritr-o ecuţie difereţil liiră cu coeficieţi costţi de for d y d y dy y x t dt dt dt Fie A s s s s polioul crcteristic tşt ecuţiei difereţile Studiul stilităţii sisteului diic odelt pri ecuţi difereţilă de i sus se reduce l studiul locliării î plul coplex s σ iω rădăciilor ecuţiei crcteristice Dcă tote rădăciile sut situte î seiplul e { s } < sisteul este stil; î cul î cre există rădăcii le polioului A s cu prte relă poitivă sisteul este stil ir dcă A s re rădăcii cu prte relă ulă studiul stilităţii ecesită şi cosiderre excitţiei x t
17 Cpitolul ME5 Criterii de stilitte Teore 58 Criteriul lui Stodol O codiţie ecesră c tote rădăciile polioului A s să iă prte relă egtivă este c toţi coeficieţii ecuţiei să iă celşi se Teore 59 Criteriul lui outh-hurwit Petru c tote rădăciile polioului A s cu coeficieţii reli > să iă prte relă egtivă este ecesr şi suficiet să fie îdepliite ieglităţile D > D > D 3 3 > 3 3 D > ude petru > Criteriul lui outh-hurwit ecesită cuoştere exctă tuturor coeficieţilor polioului crcteristic A s lucru cre u este îtotdeu posiil Câd A s este deterit experietl tuci este utilă urătore teoreă: Teore 5 Criteriul lui Nyquist Petru c sisteul diic descris de fucţi eroorfă A s vâd P poli î seiplul e { s } > să fie stil este ecesr şi suficiet c tuci câd s prcurge coturul γ di fig 66 igie s w As să ocolescă de P ori origie î sesul celor de cesoric B A B Fig 66 I cul sisteelor de reglre utotă fucţi de trsfer re for
18 Cpitolul ME5 G s H s G s G s fiid o fucţie rţiolă cu P erouri î e { s } > ir pretrul poitiv deseâd fctorul de plificre Studiul stilităţii coduce l codiţi c fucţi A s H s să u iă rădăcii î prte relă poitivă I cest c este utilă teore urătore: Teore 5 Criteriul lui Nyquist petru sistee cu recţie Petru c sisteul de reglre utotă vâd fucţi de trsfer H s să fie stil este ecesr şi suficiet c tuci câd puctul s prcurge coturul γ î ses direct vectorul W G s să ocolescă de P ori î ses ivers puctul W 58 Exerciţii reolvte Fie polioul crcteristic Aplicâd outh-hurwit găsi 4 3 A s s 4s s s 4 4 D 4 > D > 4 4 D 3 D deci sisteul diic corespuător u este stil Fie G s ude costte poitive s s s I cest c P şi W s s s Să costrui igie coturului γ î plul W Pe rcul AB su W 3 3 e e e s e e rg W 3θ rg e π < θ < şi deci
19 de ude rgw 3θ ε cu li ε Cpitolul ME5 B' γ' A' B' Fig 67 Câd s prcurge rcul AB θ prcurge itervlul π şi deci puctul igie W prcurge rcul A'B' di fig 67 Petru igie segetului BO pue s iω de ude W iω iω iω su seprâd părţile relă şi igiră U ω ω V ω Vriţiile cestor fucţii pot fi urărite di telul urător ω B ' U V Ureă de ici că petru ω > puctul W se găseşte î cdrul trei ir petru < ω < î cdrul doi Ax relă o itersecteă î puctul U ir petru ω W Igie porţiuii AB O pote fi costruită pri sietrie V reult
20 Cpitolul ME5 γ ' rg{ W } 4π < < < De ici reultă că sisteul de reglre utotă studit v fi stil dcă fctorul de plificre este situt î itervlul
REZIDUURI ŞI APLICAŢII
Mtemtici specile şi metode umerice EZIDUUI ŞI APLICAŢII. Formule petru reiduuri Câd sigulrităţile du vlore şi uţ. Teorem reiduurilor Defiiţi. Fie f() o fucţie cre re î C u pol su u puct sigulr eseţil iolt.
Διαβάστε περισσότεραSunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.
86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că
Διαβάστε περισσότεραTema: şiruri de funcţii
Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..
Διαβάστε περισσότερα1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este
Διαβάστε περισσότεραSeminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.
Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu
Διαβάστε περισσότερα4.7. Stabilitatea sistemelor liniare cu o intrare şi o ieşire
4.7. Sbilie sisemelor liire cu o irre şi o ieşire Se spue că u sisem fizic relizbil ese sbil fţă de o siuţie de echilibru sţior, dcă sub cţiue uei perurbţii eeriore (impuls Dirc) îşi părăseşe sre de echilibru
Διαβάστε περισσότεραTransformata z (TZ) TZ este echivalenta Transformatei Laplace (TL) in domeniul sistemelor discrete. In domeniul sistemelor continui: Sistem continuu
Prelucrre umeric semlelor Trsformt Trsformt este echivlet Trsformtei Lplce TL i domeiul sistemelor discrete. I domeiul sistemelor cotiui: xt s Sistem cotiuu yt Ys ht; Hs I domeiul sistemelor discrete:
Διαβάστε περισσότερα4. Integrale improprii cu parametru real
4. Itegrle improprii cu prmetru rel Fie f: [ b, ) [ cd, ] y [, itegrl improprie R cu < b +, stfel îcât petru fiecre b cd ] f (, ) ydeste covergetă. Atuci eistă o fucţie defiită pritr-o itegrlă improprie
Διαβάστε περισσότερα6. INTEGRALA SIMPLĂ. INTEGRALA SIMPLĂ CU PARAMETRU
6. INTEGRALA SIMPLĂ. INTEGRALA SIMPLĂ CU PARAMETRU 6.1. Noţiui teoretice şi rezultte fudmetle 6.1.1. Metod lui Droux de defii itegrl simplă Fie [, ] u itervl. Descompuem itervlul [, ] îtr-u umăr orecre
Διαβάστε περισσότεραREZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita
REZUMAT CURS 3. Clse de uctii itegrbile Teorem.. Dc :, b] R este cotiu tuci este itegrbil pe, b]. Teorem.2. Dc :, b] R este mooto tuci este itegrbil pe, b]. 2. Sume Riem. Criteriul de itegrbilitte Riem
Διαβάστε περισσότεραCap. IV Serii Fourier. 4.1 Serii trigonometrice. (1) Numărul T se numeşte perioadă pentru funcţia f ( x )., x D, x ± T D
Cp. IV Serii Fourier 4. Serii trigoometrice Defiiţie: O fucţie f ( ) defiită pe o muţime ifiită D se umeşte periodică dcă eistă u umăr T stfe îcât: f ( ± T) = f ( ), D, ± T D () Număru T se umeşte periodă
Διαβάστε περισσότεραDRUMURI, ARCE ŞI LUNGIMILE LOR
Drumuri, rce, lugimi Virgil-Mihil Zhri DRUMURI, ARCE ŞI LUNGIMILE LOR FucŃiile cu vrińie mărgiită u fost itroduse de Jord Cmille (88-9) şi utilizte de el cu oczi studiului prolemei rectificilităńii curelor,
Διαβάστε περισσότεραŞiruri recurente. Mircea Buzilă. 2009, Editura Neutrino Titlul: Şiruri recurente Autor: Mircea Buzilă ISBN
Mirce Buzilă Şiruri recurete Editur eutrio 9 9 Editur eutrio Titlul: Şiruri recurete utor: Mirce Buzilă SB 978-97-896-7-9 Descriere CP Bibliotecii ţiole Roâiei BUZLĂ MRCE Şiruri recurete / Mirce Buzilă.
Διαβάστε περισσότεραTESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ. pentru examenul de bacalaureat şi admiterea în învăţământul superior UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA
TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ petru emeul de bcluret şi dmitere î îvăţămâtul superior l UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA PREFAŢĂ Prezet culegere se dreseză deopotrivă elevilor de liceu, î scopul istruirii
Διαβάστε περισσότεραPolinoame.. Prescurtat putem scrie. sunt coeficienţii polinomului cu a. este mulţimea polinoamelor cu coeficienţi complecşi.
Poliome ) Form lgebrică uui poliom Pri form lgebrică su form coică îţelegem f X X X Prescurtt putem scrie f X,,, sut coeficieţii poliomului cu, se umeşte coeficiet domit şi X terme domit tuci poliomul
Διαβάστε περισσότεραCULEGERE DE PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU ADMITEREA LA UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA
CULEGERE DE PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU ADMITEREA LA UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA î ul uiversitr 9 PREFAŢĂ Prezet culegere se dreseză deopotrivă elevilor de liceu, î scopul istruirii lor
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 1. În acest paragraf vom reaminti noţiunea de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele generale de calcul ale acestora.
Cp PRIMITIVE 5 CAPITOLUL PRIMITIVE METOE GENERALE E CALCUL ALE PRIMITIVELOR Î cest prgrf vom remiti oţiue de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele geerle de clcul le cestor efiiţi Fie f : I,
Διαβάστε περισσότεραTEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραExerciţii de Analiză Matematică
Exerciţii de Aliză Mtemtică October, 5 Şiruri si serii de umere rele. Să se stbilescă dcă şirul cu termeul geerl x =... este su u fudmetl.. Petru răt că şirul este fudmetl: Petru răt că şirul este fudmetl:
Διαβάστε περισσότεραAnaliza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011
Aaliza matematica Specializarea Matematica vara 010/ iara 011 MULTIPLE HOIE 1 Se cosidera fuctia Atuci derivata mita de ordi data de este egala cu 1 y Derivata partiala de ordi a lui i raport cu variabila
Διαβάστε περισσότεραCapitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica
Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραMinisterul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu
Διαβάστε περισσότεραConcursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008
Cocursul Naţioal Al. Myller CLASA a VII-a Numerele reale disticte x, yz, au proprietatea că Să se arate că x+ y+ z = 0. 3 3 3 x x= y y= z z. a) Să se arate că, ditre cici umere aturale oarecare, se pot
Διαβάστε περισσότερα4.7 Reprezentarea complexă a seriilor Fourier
4.7 Reprezetre compeă seriior Fourier Presupuem că f ( ) îdepieşte codiţii suficiete petru dezvotre î serie Fourier. Atuci pote fi reprezettă pe [, ] cu seri: f b + ( cos + si ) f cos d,,, b f si d,, Foosid
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότεραIntegrale cu parametru
1 Integrle proprii cu prmetru 2 3 Integrle proprii cu prmetru Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul
Διαβάστε περισσότεραSpaţii metrice. Spaţii normate. Spaţii Hilbert
3 Spaţii etrice Spaţii orate Spaţii Hilbert Spaţiile etrice au fost itroduse la îceputul secolului XX de ateaticiaul fracez M Fréchet şi costituie cadrul atural de prezetare a pricipiului cotracţiei, care
Διαβάστε περισσότεραTema 4. Primitiva şi integrala Riemann. Aplicaţii. Modulul Primitiva. Aplicaţii
Tem 4 Primitiv şi itegrl Riem. Alicţii. Modulul 4. - Primitiv. Alicţii Noţiue de rimitivă s- degjt di licţiile mtemticii î situţii cocrete, cre costă î determire modelului mtemtic l uui roces tuci câd
Διαβάστε περισσότεραOlimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
Διαβάστε περισσότεραλ C valoare proprie a matricei A dacă x, x 0
ALULUL NUMERI AL VALORILOR PROPRII ŞI AL VETORILOR PROPRII A mtrice pătrtică de ordiul cu elemete rele vlore proprie mtricei A dcă, R : A ; () vector propriu l mtricei A socit vlorii () (A I), I mtrice
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NAȚIONAL MIHAI VITEAZUL SF. GHEORGHE, COVASNA SĂ ȘTII MAI MULTE, SĂ FII MAI BUN LA MATEMATICĂ
COLEGIUL NAȚIONAL MIHAI VITEAZUL SF. GHEORGHE, COVASNA SĂ ȘTII MAI MULTE, SĂ FII MAI BUN LA MATEMATICĂ LUCRARE CONCEPUTĂ ȘI REALIZATĂ DE COLECTIVUL CLASEI XII- A, PROFIL REAL, SPECIALIZAREA MATEMATICĂ-INFORMATICĂ.
Διαβάστε περισσότεραLaborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale
Laborator 4 Iterpolare umerica. Polioame ortogoale Resposabil: Aa Io ( aa.io4@gmail.com) Obiective: I urma parcurgerii acestui laborator studetul va fi capabil sa iteleaga si sa utilizeze diferite metode
Διαβάστε περισσότερα5.1. ŞIRURI DE FUNCŢII
Modulul 5 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Subiecte :. Şiruri de fucţii.. Serii de fucţii. 3. Serii de puteri. Evaluare :. Covergeţa puctuală şi covergeţa uiformă la şiruri şi serii de fucţii.. Teorema lui Abel.
Διαβάστε περισσότεραCURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică
Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC CURS III, IV Capitolul
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 4 REZOLVAREA ECUAŢIILOR NELINIARE
Tri CICNE Metode umerice î igieri ecoomică CAPITLUL 4 REZLVAREA ECUAŢIILR NELINIARE Rezolvre uei ecuţii eliire pre prctic î orice modelre mtemtică uei proleme fizice. Cu ecepţi uor czuri forte prticulre,
Διαβάστε περισσότεραInegalitati. I. Monotonia functiilor
Iegalitati I acest compartimet vor fi prezetate diverse metode de demostrare a iegalitatilor, utilizad metodele propuse vor fi demostrate atat iegalitati clasice precum si iegalitati propuse la diferite
Διαβάστε περισσότεραCOMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi
OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete
Διαβάστε περισσότεραSeminariile 1 2 Capitolul I. Integrale improprii
Cpitolul I: Integrle improprii Lect. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Mtemtică Clcul integrl şi Aplicţii, Semestrul I Lector dr. Lucin MATICIUC Seminriile Cpitolul I. Integrle improprii. Să se studieze ntur
Διαβάστε περισσότερα4. Serii de numere reale
I. (,) lim x lim + II. x şi lim x III. > x ( + ) ( + ) şi cum lim ( >) ; lim x lim lim lim x + ; (,) (, ). 4. Serii de umere rele Coceptul de serie umerică este o geerlizre turlă oţiuii de sum fiită de
Διαβάστε περισσότεραOperaŃii cu numere naturale
MulŃime umereleor turle www.webmteifo.com Petru scrie u umr orecre trebuie s combim itre ele uele ditre cele 0 simboluri: 0,,,, 4,, 6, 7, 8, 9.Aceste simboluri se umesc cifre. Ele sut de origie rb. Ν =
Διαβάστε περισσότεραIV.3. Factorul de condiţionare al unei matrice
IV.3. Fctorul de codiţiore l uei mtrice defieşte pri Defiiţie. Fctorul de codiţiore l uei mtrice pătrte A M, (R) se cod(a) = A A - ude este o orm opertorilă mtricei A (de exemplu, su ). Pri coveţie cod(a)
Διαβάστε περισσότεραTEORIA SISTEMELOR AUTOMATE. Prof. dr. ing. Valer DOLGA,
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE Prof. dr. ig. Vler DOLGA, Curi_7_ Aliz i ruul iemelor liire i domeiul im II. Sieme de ordiul. Ruul iemului l emle drd imul uir re uir rm 3. Noiui rivid clie iemului de ordiul
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice
Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl
Διαβάστε περισσότερα7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE
7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală
Διαβάστε περισσότερα2) Numim matrice elementara o matrice:
I TRANSFORMARI ELEMENTARE ) Cre di urmtorele opertii efectute supr uei mtrice este trsformre elemetr: ) dure uei liii l o colo; b) imultire uei liii cu sclrul α = c) schimbre dou liii itre ele; d) dure
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραFormula lui Taylor. 25 februarie 2017
Formula lui Taylor Radu Trîmbiţaş 25 februarie 217 1 Formula lui Taylor I iterval, f : I R o fucţie derivabilă de ori î puctul a I Poliomul lui Taylor de gradul, ataşat fucţiei f î puctul a: (T f)(x) =
Διαβάστε περισσότεραANEXA., unde a ij K, i = 1, m, j = 1, n,
ANEXA ANEXĂ MATRICE ŞI DETERMINANŢI Fie K u corp şi m N* = N \ {} Tbloul dreptughiulr A = ude ij K i = m j = m m m se umeşte mtrice de tip (m ) cu elemete di corpul K Mulţime mtricelor cu m liii şi coloe
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL IV CALCULUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILA REALĂ
CAPITOLUL IV CALCULUL DIFEENŢIAL PENTU FUNCŢII EALE DE O VAIABILA EALĂ Fucţii derivabile Fucţii difereţiabile Derivata şi difereţiala sut duă ccepte fudametale ale matematicii, care reprezită siteză pe
Διαβάστε περισσότεραSUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare
SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.
Διαβάστε περισσότερα9. Polinoamele Taylor asociate unor funcţii (I. Boroica) 9.1. Formulele lui Taylor şi polinoamele Taylor asociate funcţiilor elementare
lgeră Cupris Mtrice de ordi doi şi plicţii (IDicou VPop Mtrice de ordi doi Proleme rezolvte Teorem lui Cle- Hmilto 4 Proleme rezolvte 5 Determire puterilor turle le uei mtrice de ordi doi 6 Proleme rezolvte
Διαβάστε περισσότερα2.1. DEFINIŢIE. EXEMPLE
Modulul SPAŢII METRICE Subiecte :. Spaţii metrice. Defiiţii, exemple.. Mulţimi deschise, mulţimi îchise î spaţii metrice. Mulţimi compacte. 3. Spaţii metrice complete. Pricipiul cotracţiei. Evaluare:.Răspusuri
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 2 SERII FOURIER. discontinuitate de prima speţă al funcţiei f dacă limitele laterale f ( x 0 există şi sunt finite.
CAPITOLUL SERII FOURIER Ser trgoometrce Ser Fourer Fe fucţ f :[, Remtm că puctu [, ] se umeşte puct de b dscotutte de prm speţă fucţe f dcă mtee tere f ( ş f ( + estă ş sut fte y Defţ Fucţ f :[, se umeşte
Διαβάστε περισσότεραlim lim lim lim (criteriul cu şiruri); lim lim = lim ; Limite de funcńii NotaŃii: f :D R, D R, α - punct de acumulare a lui D;
Limit d fucńii Aliz mtmtică, cls XI- Limit d fucńii NotŃii: f :D R, D R, α - puct d cumulr lui D DfiiŃii l iti DfiiŃi f ( = l, l R, dcă ptru oric vciătt V lui l istă o vciătt α U lui α stfl îcât D U, α,
Διαβάστε περισσότερα6.1. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ. APLICAŢII
7 7 Modulul 6 APLICAŢII DIFERENŢIABILE Subiecte : Derivate şi difereţiale petru fucţii reale de o variabilă reală Formula lui Taylor şi Mac-Lauri petru fucţii de o variabilă reală Serii Taylor 3 Derivate
Διαβάστε περισσότερα4. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior
4.. Ecuaţii liiare 4. Ecuaţii difereţiale de ordi superior O problemã iportatã este rezolvarea ecuaţiilor difereţiale de ordi mai mare ca. Sut puţie ecuaţiile petru care se poate preciza forma aaliticã
Διαβάστε περισσότερα9. STABILITATEA SISTEMELOR
9. STABILITATEA SISTEMELOR 9.. Itroducere Stbilitte uui item ete u ditre proprietăţile importte le cetui. Noţiue de tbilitte ete îtâlită şi liztă l tote ctegoriile de iteme: mecice, electrice, termice
Διαβάστε περισσότεραsin d = 8 2π 2 = 32 π
.. Eerciţii reolvte. INTEGRALA E UPRAFAŢĂ E AL OILEA TIP. ÂMPURI OLENOIALE. Eerciţiul... ă se clculee dd dd dd, () fiind fţ eterioră sferei + + 4. oluţie. Avem: sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ, θ[, π],
Διαβάστε περισσότεραUNIVERSITATEA ŞTEFAN CEL MARE FACULTATEA DE SILVICULTURĂ MATEMATICI SUPERIOARE
UNIVERSITATEA ŞTEFAN CEL MARE FACULTATEA DE SILVICULTURĂ DEPARTAMENTUL PENTRU ÎNVĂŢĂMÂNT LA DISTANŢĂ MATEMATICI SUPERIOARE PENTRU ÎNVĂŢĂMÂNTUL LA DISTANŢĂ - Ediţie reviuită - Lector Agel Picu Editur Uiversităţii
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5..8 Ecuaţia difereţială Riccati Ecuaţia difereţială de ordiul îtâi de forma: d q( ) p( ) r( ) d + + (4) r sut fucţii cotiue pe u iterval, cuoscute, iar fucţia ude q( ), p ( ) şi ( ) este ecuoscuta se
Διαβάστε περισσότερα3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii.
Fucţiile f ( ) cos t = sut de clasă C pe R cu α si derivatelor satisface codiţiile: α f ' ( ) si = şi seria ' ( ), α α f R cu = b α ' coverge petru α > f este (ormal covergetă) absolut şi uiform covergetă
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 2. Definiţia Se numeşte diviziune a intervalului [a, b] orice submulţime x [a, b] astfel încât
Cp 2 INTEGRALA RIEMANN 9 CAPITOLUL 2 INTEGRALA RIEMANN 2 SUME DARBOUX CRITERIUL DE INTEGRABILITATE DARBOUX Defţ 2 Se umeşte dvzue tervlulu [, ] orce sumulţme,, K,, K, [, ] stfel îcât = { } = < < K< <
Διαβάστε περισσότεραCUPRINS ALGEBRÃ... 5 I. Elemente de logicã matematicã... 5 I.1. Noţiunea de propoziţie... 5 I.2. Operatori logici... 5 I.3. Expresii în calculul
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic UPRINS ALGEBRÃ. 5 I. Elemete de logicã mtemticã 5 I.. Noţiue de propoziţie 5 I.. Opertori logici.. 5 I.. Epresii î clculul propoziţiilor 7 I.4. Noţiue de predict
Διαβάστε περισσότεραPENTRU CERCURILE DE ELEVI
122 Petru cercurile de elevi PENTRU CERCURILE DE ELEVI Petru N, otăm: POLINOAME CICLOTOMICE Marcel Ţea 1) U = x C x = 1} = cos 2kπ + i si 2kπ } k = 0, 1. Mulţimea U se umeşte mulţimea rădăciilor de ordi
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE
CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE. Fucţii de o variabilă reală Fucţiile defiite pe mulţimi abstracte X, Y cu f : X Y au î geeral puţie proprietăţi şi di acest motiv, puţie aplicaţii î rezolvarea uor probleme
Διαβάστε περισσότεραCERCUL. Prof. V Corcalciuc Scoala nr. 146 I.G. Duca Bucuresti ( Lectie facuta dupa manualul de clasa a 7-a Prof.Radu)
ERUL Prof. V orcalciuc Scoala r. 46 I.G. Duca ucuresti ( Lectie facuta dupa maualul de clasa a 7-a Prof.Radu) Defiitie:ercul cu cetrul i si de raza r este multimea tuturor puctelor di pla situate la distata
Διαβάστε περισσότεραlim = dacă se aplică teorema lui 3. Derivate de ordin superior. Aplicaţii.
5 Petru limita determiată: 2 + lim = dacă se aplică terema lui LHspital: 2 + 2 lim = lim = rezultatul este icrect. 3. Derivate de rdi superir. Aplicaţii. Fie A R mulţime care îşi cţie puctele de acumulare
Διαβάστε περισσότεραDreptul de copyright: Cartea downloadată de pe site-ul nu poate fi publicată pe un alt site şi nu poate fi folosită în scopuri
reptul de copyright: rte dowlodtă de pe site-ul www.mteifo.ro u pote fi pulictă pe u lt site şi u pote fi folosită î scopuri comercile fără specificre sursei şi cordul utorului, Refereţi ştiiţifici: Profesor
Διαβάστε περισσότεραAdrian Stan Editura Rafet 2007
Dreptul de copyright: Crte dowlodtă de pe site-ul www.mteifo.ro u pote fi pulictă pe u lt site şi u pote fi folosită î scopuri comercile fără specificre sursei şi cordul utorului Adri St Editur Rfet 007
Διαβάστε περισσότεραExamenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ].
Miisterul EducaŃiei, Cercetării, Tieretului şi Sportului Cetrul NaŃioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat ańioal 0 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Filiera teoretică, profilul real, specializarea
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI"
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN IAŞI CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA NAŢIONALĂ aprilie FACULTATEA CONSTRUCŢII DE MAŞINI ŞI MANAGEMENT INDUSTRIAL Filiera tehologică: profilul
Διαβάστε περισσότεραx x m Δx. Rezulta deci că adevătata valoare a mărimii căutate va fi cuprinsă între limitele:
ERORI DE MĂSURĂ L efecture uei determiări, pri repetre celeişi măsurători, reliztă î codiţii idetice, se oţi rezultte diferite, difereţele fiid î geerl mici. Acest fpt dovedeşte că măsurătorile efectute
Διαβάστε περισσότερα3.4 Integrarea funcţiilor trigonometrice. t t. 2sin cos 2tg. sin + cos 1+ cos sin 1 tg t cos + sin 1+ x 1
3.4 Iegrre fucţiilor rigoomerice ) R( si,cos ) d Susiuţi recomdă ese: uei fucţii rţiole. g =, (, ) şi iegrl dă se reduce l iegrre si cos si cos g si + cos + g = = = + cos si g cos + si + g = = = + = rcg
Διαβάστε περισσότερα1. PROBLEMA LUNII NOIEMBRIE 2017 (EN/RO)... pag.2 Marin Chirciu
revist@teiforo PROBEMA UNII NOIEMBRIE 07 EN/RO pg Mri Chirciu SOUȚII - PROBEMA UNII OCTOMBRIE 07 pg 3 Măescu Avr Coreliu Alte soluții dte de : Gheorghe Alexe, George-lori Șerb Rox, Mri Chirciu, Octvi Stroe,
Διαβάστε περισσότεραVarianta 1 - rezolvari mate MT1
Variata - rezolvari mate MT Soluţii a + a + a + ; + 5 + 9 + + a + ; ; a + a ; a,, ;, y >, y + ; f :,,, f submulţimi cu trei elemete C 5 m + + m 6 cos ; m ± 6+ cos cos a Calcul direct b Se demostrează pri
Διαβάστε περισσότεραOLIMPIADA DE MATEMATICĂ FAZA LOCALĂ CLASA a V-a
CLASA a V-a 1. Îtr-o familie de 4 persoae, suma vârstelor acestora este de 97 de ai. Băiatul s-a ăscut câd tatăl avea 3 de ai, iar fata s-a ăscut câd mama avea de ai şi fratele său 4 ai.puteţi găsi ce
Διαβάστε περισσότεραEcuaŃii de gradul al doilea ax 2 + bx + c = 0, a,b,c R, a 0 1. Formule de rezolvare: > 0 b x =, x =, = b 2 4ac; sau
EcuŃii de grdul l doile x + x + c = 0,,,c R, 0 Formule de rezolvre: > 0 + x =, x =, = c; su ' + ' ' ' x =, x =, =, = c Formule utile în studiul ecuńiei de grdul l II-le: x + x = (x + x ) x x = S P 3 x
Διαβάστε περισσότεραMULTIMEA NUMERELOR REALE
www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).
Διαβάστε περισσότεραElementul de întârziere de ordinul doi, T 2
5..04 u Fig..83.5..3. Elemeul de îârziere de ordiul doi, Elemeul de îârziere de ordiul doi coţie douǎ elemee cumulore de eergie su subsţǎ. Peru elemeul de ordi doi ecuţi difereţilǎ se oe scrie î mi mule
Διαβάστε περισσότερα3.1. DEFINIŢII. PROPRIETĂŢI
Modulul 3 SERII NUMERICE Subiecte :. Criterii de covergeţă petşru serii cu termei oarecare. Serii alterate 3. Criterii de covergeţă petru serii cu termei poziţivi Evaluare. Criterii de covergeţă petru
Διαβάστε περισσότεραClasa a IX-a. 1. Rezolvaţi în R ecuaţiile: (3p) b) x x x Se consideră mulţimile A = { }, (2p) a) Determinaţi elementele mulţimii A
1 Rezolvaţi î R ecuaţiile: (4p) a) x 1 5 = 8 (3p) b) Clasa a IX-a x 1 x x 1 + + + =, N x x x Se cosideră mulţimile A = { }, A = { 3,5}, A { 7, 9,11}, 1 1 3 = (p) a) Determiaţi elemetele mulţimii A 6 (3p)
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE. 1. Precizari si recomandari privind desfasurarea activitatilor la disciplina MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE
MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE. Precizri si recomdri privid desfsurre ctivittilor l discipli MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE Tip curs obligtoriu Mulul de curs recomdt R. Trdfir I. Dud A. Bciu R. Io Mtemtici
Διαβάστε περισσότεραCLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea
EDIŢIA A IV-A 4 6 MAI 004 CLASA a V-a I. Să se determie abcd cu proprietatea abcd - abc - ab -a = 004 Gheorghe Loboţ II Comparaţi umerele A B ude A = 00 00 004 004 şi B = 00 004 004 00. Vasile Şerdea III.
Διαβάστε περισσότεραŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII
Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII 8. Şiruri de fucţii Fie D R, D = şi fie f 0, f, f 2,... fucţii reale defiite pe mulţimea D. Şirul f 0, f, f 2,... se umeşte şir de fucţii şi se otează cu ( f ) 0.
Διαβάστε περισσότεραDUMITRU BUŞNEAG PROBLEME ALGEBRĂ
DUMITRU BUŞNEAG FLORENTINA CHIRTEŞ DANA PICIU PROBLEME de ALGEBRĂ Dumitru BUŞNEAG Floreti CHIRTEŞ D PICIU PROBLEME de ALGEBRĂ Dumitru BUŞNEAG Floreti CHIRTEŞ D PICIU PROBLEME de ALGEBRĂ Editur UNIVERSITARIA
Διαβάστε περισσότεραBAREM DE CORECTARE CLASA A IX A
ETAPA JUDEŢEANĂ - martie 0 Filiera tehologica : profil tehic BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A a) Daţi exemplu de o ecuaţie de gradul al doilea avâd coeficieţi raţioali care admite ca rădăciă umărul x= +
Διαβάστε περισσότεραBreviar teoretic Vectori în plan
Proiect cofiţt i Foul Socil Europe pri Progrmul Operţiol Sectoril Dezvoltre Resurselor Ume 7- prioritră Eucţi şi formre profesiolă î sprijiul creşterii ecoomice şi ezvoltării societăţii zte pe cuoştere
Διαβάστε περισσότεραProbleme rezolvate. = 1, frecvenţele: F
Lăcrimioara GRAMA, Coreliu RUSU, Prelucrarea umerică a semalelor aplicații și probleme, Ed UTPRESS, Cluj-Napoca, Capitolul Semale și secvețe Problema Geerarea uei expoețiale complexe: Se doreşte geerarea
Διαβάστε περισσότεραAnaliză I Curs 1. Curs 1., a n. dacă ε, ( )N ( ε ) a.î. n x n ε ; ε sunt numere reale şi deci (a n. şi fie
Aaliză I Curs Curs Şiruri de umere: D : Fie u şir de umere (a ), a. Spuem că dacă ( )M 0, a.î. a M. (a ) este mărgiit D : Spuem că (a ) coverge către l dacă ( )V (l), ( )N (V ) şi N (V ) a V. D 3 : a l
Διαβάστε περισσότεραîn care suma termenilor din fiecare grup este 0, poate conduce la ideea că valoarea acestei sume este 0. De asemenea, gruparea în modul
Capitolul 3 SERII NUMERICE Date fiid umerele reale x 0, x,..., x, î umăr fiit, suma lor x 0 + x +... + x se poate calcula fără dificultate, după regulile uzuale. Extiderea oţiuii de sumă petru mulţimi
Διαβάστε περισσότεραTITULARIZARE 2002 Varianta 1
TITULARIZARE 2002 Vrint 1 A. Omotetii plne: definiţie, oricre două triunghiuri omotetice sunt semene, mulţime omotetiilor de celşi centru formeză un grup belin izomorf cu grupul multiplictiv l numerelor
Διαβάστε περισσότεραAcest manual este proprietatea Ministerului Educaţiei al Republicii Moldova. Școala/Liceul... Manualul nr... școlar la primire la returnare 1
Mulul fost prot pri ordiul Miistrului Educţiei l Repulicii Moldov r 7 di i 0 Lucrre este elortă cofor curriculuului disciplir și fiţtă di Fodul Specil petru Mule cest ul este propriette Miisterului Educţiei
Διαβάστε περισσότεραPolinoame Fibonacci, polinoame ciclotomice
Polioame Fiboacci, polioame ciclotomice Loredaa STRUGARIU, Cipria STRUGARIU 1 Deoarece şirul lui Fiboacci este cuoscut elevilor îcă dicl.aix-a,iarrădăciile de ordiul ale uităţii şi polioamele ciclotomice
Διαβάστε περισσότεραVarianta 1
Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări
Διαβάστε περισσότεραAnaliza matematică, clasa a XI-a probleme rezolvate Rolul derivatei întâi
Anliz mtemtică, cls XI- proleme rezolvte Rolul derivtei întâi Virgil-Mihil Zhri DefiniŃie: Punctele critice le unei funcńii derivile sunt rădăcinile (zerourile) derivtei întâi DefiniŃie: Fie f:i R, cu
Διαβάστε περισσότεραCULEGERE DE PROBLEME
Colecţia "LICEU CULEGERE DE PROBLEME petru eameul de admitere la Facultatea de Automatică şi Calculatoare, Facultatea de Electroică şi Telecomuicaţii, Facultatea de Arhitectură Descrierea CIP a Bibliotecii
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότερα