CAPITOLUL 4 REZOLVAREA ECUAŢIILOR NELINIARE

Transcript

1 Tri CICNE Metode umerice î igieri ecoomică CAPITLUL 4 REZLVAREA ECUAŢIILR NELINIARE Rezolvre uei ecuţii eliire pre prctic î orice modelre mtemtică uei proleme fizice. Cu ecepţi uor czuri forte prticulre, de ecuţii simple (cum sut de eemplu ecuţiile lgerice de grup II, III su IV ori câtev ecuţii trscedete), ecuţii eliire u pot fi rezolvte pri metode litice (metode ecte ). Deorece, î geerl, ecuţiile eliire pot ve mi multe rădăcii, o primă etpă o costituie izolre (seprre) rădăciilor, dică idetificre uui itervl [,] î cre ecuţi re o rădăciă uică f( ) = 0 (4.) Petru cestă operţie se folosesc metode di liz mtemtică c de eemplu teorem lui Rolle (metod şirului lui Rolle ) su teorem Boust-Fourier [Tom, Păvăloiu]. Evidet, petru itervlul [,] este devărtă ieglitte f( ) f( ) < 0 (4.) dr cestă ieglitte treuie privită cu circumspecţie căci sut posiile câtev cpce. Astfel este posiil că ec. (4.) să fie stisfăcută şi dcă umărul rădăciilor di itervlul [,] este impr dr mi mre c (rădăcii multiple) - Fig. 4.. De semee, ec. (4.) pote fi devărtă î czul fucţiilor discotiui, dcă discotiuitte este prezetă î itervlul [,], fără c să eiste o rădăciă î [,]. stfel de situţie este reprezettă grfic î Fig. 4.. Dimpotrivă, este posiil c f( ) f( ) > 0 dr să eiste o rădăciă α [,] ş cum este sugert î grficul di Fig. 4.c. f( ) f( ) < 0 f( ) f( ) < 0 f( ) f( ) > 0 α α α 3 α =α () () (c) Fig. 4.. Se remiteşte că ecuţiile eliire cuprid tote ecuţiile cu ecepţi ecuţiilor lgerice de grdul I, dică tât ecuţiile lgerice de grd superior cât şi ecuţiile trscedete

2 Tri CICNE Metode umerice î igieri ecoomică Pricipil metodele de rezolvre ecuţiei (4.) coduc l determire uui şir de proimţii { } =,,, ce tide către rădăci α. Î coseciţă vitez cu cre şirul tide către limit α defieşte ordiul de covergeţă l metodei. Se defieşte covergeţ liiră şirului { } către α, dcă eistă coeficietul suuitr c < şi îtregul N N stfel îcât: α c N (4.3) + α > Asemăător se defieşte covergeţ pătrtică către α dcă eistă c< şi N N stfel îcât: ( ) N + α c α > (4.4) Pri logie se pote defii covergeţ de ordi superior lui îsă este lipsită de iteres prctic îtrucât moritte lgoritmilor uzuli se crcterizeză pritr-u ordi de covergeţă ître şi (se cuoşte su deumire de covergeţă suprliiră). Evidet umărul de iterţii ecesre tigerii soluţiei cu o umită precizie este cu tât mi mic cu cât ordiul de covergeţă este mi mre. Di prezetre terioră rezultă evidet că rădăci α determită c limită uui şir de proimţii este l râdul ei proimtivă. Este deci util de meţiot că u prmetru importt l oricărei metode este precizi de determire rădăciii α. Pricipil cest pote fi defiită î două moduri: ) pri impuere codiţiei de precizie rgumetului fucţiei: α < Tol Tol > 0 (4.5) ude α este vlore ectă rădăciii, proimţi cestei după iterţii, ir Tol este precizi de clcul (tolerţ) impusă. Î lumi celor prezette î Cp., tolerţ, Tol, treuie iterprettă c mărime mim dmisă erorii solute (Tol = e m ). ) pri impuere codiţiei de precizie vlorii fucţiei: f( ) < Tol Tol > 0 (4.6) Deorece î geerl vlore ectă rădăciii u este cuoscută, î prctică ecuţi (4.5) este folosită îtr-o formă diferită şi ume c distţ ditre două proimţii succesive şi + să fie mi mică decât tolerţ impusă: + < Tol Tol > 0 (4.7) Se oservă îsă că ec. (4.7) u spue imic despre propiere proimtei + de vlore ectă α, stfel că ueori este mi sigur este să se impuă şi codiţi c α să se găsescă ître cele două proimte succesive: f( + ) f( ) < 0 De remrct că cele două moduri de defiire rădăciii proimtive u sut echivlete după cum se pote vede şi di Fig. 4.. Astfel, î czul î cre fucţi re o vriţie puterică î urul rădăciii, ş cum este reprezett î Fig. 4. (cee ce revie l spue că derivt ei f ( α ) este mre î vlore solută) este rţiolă impuere codiţiei supr fucţiei codiţi (4.6). Di cotră, dcă fucţi re o vriţie letă (Fig. 4.), impuere codiţiei supr rgumetului - codiţi (4.5)- coduce l o mi uă proimre. Acest este motivul petru cre de cele mi multe ori, testul de precizie soluţiei proimtive este efectut supr uei mărimi reltive distţei ditre două proimţii succesive:

3 Tri CICNE Metode umerice î igieri ecoomică < ε ε 0 (4.8) + m m > + ude, ε m este evidet tot tolerţ impusă, echivletă cu erore reltivă mim dmisă. Î cotiure vor fi prezette metodele cele mi folosite petru rezolvre umerică ecuţiilor eliire. f( ) α ε f( ) ε α () () Fig Metod iprtiţiei (isecţiei succesive) Cuoscută şi su umele de metod îumătăţirii itervlelor, metod costă î micşorre itervlului î cre se flă soluţi ecuţiei (4.) pri divizre repettă itervlului. Astfel, cuoscâd că fucţi f() este cotiuă pe [,], că f() < 0 şi că eistă o sigură soluţie relă î itervlul [,], procedur de clcul este următore: se clculeză vlore fucţiei î puctul de l milocul + itervlului iiţil c =. Se determiă semi-itervlul î cre se flă soluţi α: - dcă f( ) f( c) < 0 rezultă că α [,c] şi evidet, î cest cz f( c ) f( ) > 0 ; - dcă f( ) f( c) > 0 rezultă că α [c,] şi evidet, î cest cz f( c ) f( ) < 0. Se repetă operţi de mi sus petru oul itervl determit pâă câd se tige precizi impusă. Acest revie l îdeplii u ditre codiţiile: + + < Tol Tol > 0 su f ( c + ) < Tol Tol > 0 Î geerl dcă l psul l procesului itertiv, itervlul î cre se flă soluţi este defiit de [, ], oul itervl, mi restrâs, se determiă stfel: = = = = + + dc dc f f ( ) + f + < 0 ( ) f > (4.9)

4 Tri CICNE Metode umerice î igieri ecoomică Procedur de mi sus este reprezettă grfic î Fig Se oservă că prctic, pri cestă metodă se geereză două şiruri { } şi { } = 0,,,, cre defiesc cpetele itervlului î cre se găseşte soluţi căuttă, α. Petru demostr covergeţ metodei este suficiet să rătăm că şirul defiit de milocele itervlelor, {c }, re c limită α. Dcă se re î vedere teorem cleşte, deorece < c < oricre r fi, rezultă că e suficiet răt că cele două şiruri,{ } şi { }, u ceeşi limită α. Petru demostr cest, se oservă că distţ ditre cele două mrgii le itervlului se îumătăţeşte l fiecre iterţie. Ître vlorile termeilor cestor şiruri se pote scrie relţi: = (4.0) ude şi sut etremităţile iiţile le itervlului. rădăci α 0 c c 0 c c 5 rădăci, α 0 0 c 0 = = 0 0 = c = () c = 3 3 = c 3 = () triectori puctului medi 4 Fig Reprezetre grfică metodei iprtiţiei Trecâd l limită î ecuţi (4.0) rezultă că: lim lim = lim Dr lim = 0 şi deci rezultă imedit eglitte lim = lim Cum şirul { } este crescător şi mărgiit de α pe câd şirul { } este descrescător şi mărgiit de α [, ], rezultă covergeţ şirurilor{ }, { } şi {c } către ceeşi vlore: lim = lim = lim c = α Deorece { } şi { } îcdreză permet soluţi ecuţiei este devărtă ieglitte: f( ) f( ) < 0 (4.)

5 Tri CICNE Metode umerice î igieri ecoomică Petru demostr că umărul α este soluţi căuttă ecuţiei ostre trecem l limită î ieglitte (4.) oţiâd succesiv: lim lim f [ f( ) f( ) ] 0 ( ) lim f ( ) 0 Dr mele şiruri u limit α, stfel că ugem l ieglitte: f( α ) f ( α ) 0 ude rezultă că f(α) = 0, dică α este rădăci căuttă. Petru evideţi vitez de covergeţă, se cosideră că l fiecre iterţie, milocul itervlului [, ], c, este ce mi uă proimtă soluţiei α, rezultă că: c + α = c α dică procedeul itertiv este liir coverget. Di cestă ecuţie rezultă că putem estim umărul de iterţii ecesre găsirii soluţiei cu o tolerţă (erore solută mimă) impusă. Astfel, dcă cceptăm codiţi de filizre clculelor itertive: = Tol şi o itroducem î ec. (4.0), pri logritmre oţiem umărul de iterţii ecesre: = log + N (4.) Tol Metod iprtiţiei este o metodă sigură (roustă) de determire uei proimţii grosiere poziţiei uei rădăcii rele. Petru rfire soluţiei cestă metodă u este comodă, coducâd l u umăr mre de iterţii. De eemplu, este posiil c l u momet dt să fim prope de soluţi α cu vlore de l milocul itervlului c petru c l psul următor următore vlore, c + să se îdepărteze de α. Acestă situţie este sugertă şi î Fig. 4.3, ude se oservă că c este mi prope de rădăci α decât vlore de l iterţi următore, c 3. De semee, î Fig. 4.3 este prezettă triectori puctului medi, c, di cre se remrcă, covergeţ mi letă. 4.. Metod prtiţiei proporţiole (cordei) Cuoscută şi su umele de metod poziţiei flse (su metod prtiţiei proporţiole) este derivtă di metod iprtiţiei, îmuătăţire fiid dusă de împărţire itervlului [,] î două părţi iegle, proporţiole cu vlorile solute le fucţiei l cpete, respectiv f(). Pri cestă metodă proimţiile succesive sut determite de itersecţi dreptei ce ueşte cpetele grficului fucţiei f() cu, ş cum este reprezett î Fig Cuoscâd itervlul [,] î cre se găseşte soluţi, o primă proimtă este dtă de coordot 0. Ecuţi dreptei cre defieşte proimt liiră grficului curei = f() este: f( ) = (4.3) f( ) f( ) Puâd codiţi itersecţiei cu (=0) rezultă f( ) f( ) 0 = (4.4) f( ) f( )

6 Tri CICNE Metode umerice î igieri ecoomică f() pivot f() rădăci α f( 0 ) 0 f( ) 0 ( ) ( 0 ) rădăci α () pivot () Fig Reprezetre grfică metodei prtiţiei proporţiole f() pivot rădăci α Fig Metod prtiţiei proporţiole eemplu de covergeţă letă Î cotiure se defieşte suitervlul î cre se găseşte rădăci α: - dcă f( 0 ) f()<0 oul itervl este defiit de limitele [ 0, ] şi procedeul de prtiţie succesivă cotiuă stfel îcât l psul, itervlul cu cre se găseşte soluţi este [, ] ude etremitte stâgă se clculeză î fucţie de vlore corespuzătore de l psul precedet -, cu relţi: f( ) f( ) = (4.5 ) f( ) f( ) - dcă f( 0 ) f()>0 (dică f( 0 )<0) oul itervl este defiit de limitele [, 0 ], ir vlorile succesive le etremităţii di drept rezultă di formul de recureţă: f( ) f( ) = (4.5 ) f( ) f( )

7 Tri CICNE Metode umerice î igieri ecoomică Petru filizre procesului itertiv se pote folosi u ditre codiţiile (4.7) su (4.8). C şi metod iprtiţiei, şi cestă metodă este crcteriztă pritr-o covergeţ liiră. Î pricipiu, metod prtiţiei proporţiole sigură găsire soluţiei î mi puţie iterţii decât metod iprtiţiei. Sut totuşi situţii î cre câştigul de timp de clcul este esemifictiv, su chir ieistet, ş cum este sugert de grficul di Fig Metod iterţiei simple (metod puctului fi) Acestă metodă se zeză pe pricipiul cotrcţiei şi presupue găsire itertivă soluţiei ecuţiei echivlete ecuţiei (4.): ude, fucţi se umeşte fucţie itertă. Evidet că soluţi α ecuţiei f() = 0 stisfce şi ecuţi: = g() (4.6) g( ) = f( ) (4.7) α = g(α ) (4.8) Porid de l ecuţi (4.6) se costruieşte şirul recuret + = g( ) (4.9) Petru determi î ce codiţii şirul defiit cu ecuţi (4.9) este coverget cu limit α, se presupue g() derivilă pe [,], şi se clculeză distţ l rădăciă după cre se plică teorem creşterilor fiite (Lgrge) : α = g( ) g( α ) = g ( ξ ) α (, ) (4.0) + ξ Di relţi de mi sus rezultă că şirul { } =0,,,, este coverget spre α dcă distţ l rădăciă scde l frecre iterţie: g ( ξ ) < ξ (, ) (4.) Cu lte cuvite mimul vlorii solute derivtei pe (,) treuie să fie suuitr: M = sup g ( ) < (, ) (4. ) ir di ecuţi (4.) oţiem: α M α (4.) + Rezultă că metod cotrcţiei sigură o covergeţă liiră, ir umărul de iterţii este cu tât mi mic cu cât M este mi prope de zero. Di puct de vedere geometric pri cestă metodă se determiă rădăci c itersecţie grficului fucţiei g() cu prim isectore. U eemplu grfic este prezett î Fig Teorem lui Lgrge Fie f : [, ] R. Dcă: (i) f este cotiuă pe [, ], (ii) f este derivilă pe (, ), tuci eistă u puct (, ) ξ stfel îcât f( ) f( ) = f ( ξ ) ( )

8 Tri CICNE Metode umerice î igieri ecoomică Codiţi (4. ) u este îtotdeu ecesră eistâd posiilitte î umite czuri prticulre de găsi o rădăciă chir dcă derivt fucţiei f este supruitră, ş cum este ilustrt grfic î Fig. 4.7., este tisă dor o rădăciă, α. g() =g( 0 ) g() rădăci α = g() f() = rădăci α g() 3 0 = 0 3 Fig Reprezetre grfică metodei iterţiei simple rădăci α fără rădăciă rădăci α = g() g() ε = Fig Metod iterţiei simple ecepţie rădăcii Fig Metod iterţiei simple-ecepţie posiilă soluţie de utilizre cu succes cestei metode î czul g ( ) > 0 este de lucr cu fucţi iversă: = g ( ) U ultim spect de iteres î prezetre cestei metode este criteriul de oprire procesului itertiv. Uzul cest se fce câd distţ ditre două proimţii succesive devie mi mică decât o tolerţă impusă, ε: ε (4.3) + Se trge teţi îsă că î umite codiţii, ceste criteriu pote produce surprize. Petru răt cest se rescrie ec. (4.3) oţiâd succesiv: ec.( 4. 9) } ec.( 4. 7) } f ( α ) = 0 } = g( ) = f( ) = f( ) f( α ) (4.4) + Aplicâd teorem creşterilor fiite fucţiei f() vem:

9 Tri CICNE Metode umerice î igieri ecoomică ( ξ ) = α g ( ξ ) f( ) f( α ) = α f J (4.4) Î fil ţiâd cot de mărgiire derivtei ec. (4.9 ) şi comiâd ec. (4.3) şi (4.4) oţiem: Avâd î vedere ieglitte (4.3) rezultă: α M (4.5) + şi ţiâd cot de ieglitte (4.) pri trzitivitte, rezultă: ε α (4.6) M M α (4.7) M + ε Alizâd ecuţi (4.7) rezultă că, chir dcă pt M este suuitră su este propită de uitte, distţ l rădăciă pote fi mult mi mre decât ce dmisă pri tolerţ ε. Mi mult decât tât, este posiil c rădăci ici să u eiste, chir dcă codiţi (4.3) este îdepliită ş cum este sugert î Fig Metod Newto-Rphso (metod tgetei) Petru evit restricţiile metodei iterţiei simple, şirul itertiv cre coverge spre rădăci α pote fi modifict stfel: î cre β este u fctor de corecţie. = + [g( ) ] (4.8) + β Se oservă că dcă β = se uge l form şirului di metod iterţiei simple - ec. (4.6). Distţ l rădăci este: [ g( ) g( α + ] + α = α + β ) α (4.9) ude, î prtez dreptă, s- itrodus termeul ul g( α ) α = 0. Folosid teorem creşterilor fiite, şi proprietăţile modulului, di ec. (4.9) rezultă: [ g ( ξ )] ξ (, α ) + α α β (4.30) Evidet, petru c şirul să fie coverget este suficiet să vem: ( ) ] < (, ) β [ g (4.3) Î prticulr, dcă se cosideră: β = g ( ) ξ (4.3) rezultă că + = α deci se oţie rădăci căuttă. Ţiâd cot de ecuţi (4.7) se uge stfel l formul itertivă Newto-Rphso: f( ) + = = 0,,,... (4.33) f ( )

10 Tri CICNE Metode umerice î igieri ecoomică cu codiţi evidetă f ( ) 0. L form relţiei de recureţă (4.33) se pote uge rpid şi porid de l dezvoltre Tlor fucţiei f() î urul puctului : ( ) f( ) = f( ) + ( )f ( ) + f ( ) +... (4.34) pri reţiere primilor doi termei şi impuere codiţiei f() = 0. Aş cum se deduce şi di ecuţi (4.34), di puct de vedere geometric, metod Newto-Rphso costă î liirizre ecuţiei f() = 0 cre se îlocuieşte cu tget l cur = f() î puctul de scisă, ş cum este reprezett î Fig Vlorile succesive le şirului { } se găsesc l itersecţi tgetelor l grfic cu, de ude şi deumire de metod tgetei. Petru determire ordiului de covergeţă metodei Newto-Rphso se îlocuieşte cu α î ecuţi (4.34) şi, ştiid că f(α) = 0 rezultă: ( α ) Dcă se scde cestă ecuţie di ecuţi (4.33) rezultă: f( ) α = + f ( ) (4.35) f ( ) f ( ) f ( ) + α = α C f ude s- ott cu C mrgie superioră rportului ( ) ( ) ( ) α f ( ) C = sup ' " f ( ) (, ) (4.36) Rezultă că metod Newto-Rphso este crcteriztă pritr-o covergeţă de ordiul II (covergeţă pătrtică). Este îsă remrct că l fiecre etp treuie evlută u umi fucţi dr şi derivt cestei, stfel că di puct de vedere l timpului de clcul câştigt î rport cu metod iterţiei simple vtul covergetei pătrtice este prţil pierdut. Î cee ce priveşte vlore puctului de strt l iterţiei, 0 cest pote fi oricre di itervlul (,). Totuşi, dcă puctul iiţil 0 este les stfel îcât: f( 0 ) f ( 0 ) < tget itersecteză î fr domeiului (,), cee ce u împiedică găsire soluţiei ci dor măreşte umărul de iterţii (Fig. 4.9). Este deci recomdilă porire procesului itertiv di ce etremitte itervlului (,) cre stisfce codiţi: 0 f( ) f ( ) 0 (4.37) 0 0 > Deşi î moritte czurilor metod Newto-Rphso este forte eficietă, eistă şi situţii î cre covergeţ este letă su, l etrem, metod u este covergetă. Aceste omlii pr dor î czul î cre fucţi cărei soluţie se cută re pucte de ifleiue î itervlul cercett, dică: f ( ξ ) = 0, ξ (,)

11 Tri CICNE Metode umerice î igieri ecoomică f() f() rădăci α = 0 = 0 rădăci α () () Reprezetre grfică metodei tgetei (Newto-Rphso) Fig 4.4. Metod sectei Aş cum s- rătt terior, metod Newto-Rphso este rpidă şi roustă, fiid dptilă petru orice formă ecuţiei de rezolvt. Are îsă şi u puct sl: ecesită evlure permetă şi derivtei î puctele de discretizre, cee ce îsemă că treuie să cuoştem form litică (epresi) derivtei f ( ). Petru czul î cre epresi derivtei u este cuoscută, su, chir dcă este cuoscută, este forte compleă şi dificil de utilizt, este recomdil clculul umeric l derivtei, folosid difereţele fiite l stâg (vâd î vedere că se cuosc vlorile precedete): f( ) f( ) f ( ) = (4.38) Dcă se itroduce epresi de mi sus î relţi (4.33), rezultă ou relţie de recureţă, corespuzătore metodei sectei: ( ) f( ) + = = 0,,,... (4.39) f( ) f( ) Se oservă că, petru porire procesului itertiv sut ecesre două vlori de strt: 0 şi. U di soluţiile posiile este folosire chir celor două cpete le itervlului î cre se găseşte rădăci. Se oservă de semee, că relţi de recureţă (4.39) este similră cu (4.4) crcteristică metodei prtiţiei proporţiole, difereţ fiid dtă dor de modul î cre este defiită drept sectă. f( 0 )=f() f( ) f( 3 ) f( 4 ) = 4 3 = 0 rădăci α ( )= Fig Reprezetre grfică metodei sectei