Dreptul de copyright: Cartea downloadată de pe site-ul nu poate fi publicată pe un alt site şi nu poate fi folosită în scopuri

Transcript

1 reptul de copyright: rte dowlodtă de pe site-ul u pote fi pulictă pe u lt site şi u pote fi folosită î scopuri comercile fără specificre sursei şi cordul utorului,

2 Refereţi ştiiţifici: Profesor metodist postol ostti olegiul Nţiol ledru Vlhuţă, Râmicu Sărt Profesor grd I Stciu Neculi director Grupul Şcolr Tehic Sf. Mc. SV,erc

3 edic cestă crte elevilor mei de l Grupul Şcolr Tehic Sfâtul Muceic Sv, erc.

4 y i c O -i

5 plicţii le umerelor complee î geometrie Î geometri plă, se pote utili c metodă de reolvre uor proleme su teoreme umerele complee fie su form iϕ lgerică iy, fie su form trigoometrică r e ude r ir ϕ rg îtrucât fiecărui puct di pl îi corespude u umăr comple iy umit fiul puctului respectiv. e semee, fiecărui segmet oriett îi putem soci umărul comple corespuător. că M, M, M,.. M sut pucte î pl ir OM, OM, OM,..., OM sut vectorii de poiţie corespuători, tuci vectorul OM se scrie c o comiţie liiră de ceşti vectori stfel: OM k OM k OM kom... k OM. Petru trscrie cestă relţie î comple, cosiderăm,,,..., fiele puctelor M, M, M,.. M ir fiul lui M tuci: k k k... k. 5

6 .Rportul î cre u puct împrte u segmet Fie M, M pucte î pl de fie, ir puctul M de fi împrte segmetul oriett M M î rportul k>0 stfel: MM k k.i MM k MM k k k k k MM k k că M este mijlocul lui M M tuci k. că G este cetrul de greutte l triughiului situt pe medi M, G M tuci k G. GM.Măsur uui ughi. Fie M, M. tuci m M OM ˆ ˆ ˆ m M O m MO rg rg rg Petru puctele M, M, M, ˆ m M MM rg..pucte coliire. Puctele M, M, M sut coliire R. 6

7 7, M M, M sut coliire { } 0,π M M M m { } 0,π rg R.,, M M M sut coliire î cestă ordie R k k k,.repte perpediculre. ouă drepte M M, M M perpediculre: 0 Re, ir M M M M că dreptele M M si M M sut perpediculre tuci ughiul ditre ele este 0 Re, rg, su π π π π. 5.Ptrulter iscriptiil. Fie,,,. Ptrulterul este iscriptiil R :. este iscriptiil m m rg rg R :. rg rg R :.

8 8 Ptru pucte,,, sut cociclice dcă şi umi dcă ptrulterul este iscriptiil. 6.Triughiuri semee. ouă triughiuri şi cu vârfurile de fie ' ', ',,, respectiv sut semee dcă şi umi dcă: ' ' ' '. Relţi se oţie di scriere semăării triughiurilor: ' ' ' ' ' ' ' ' rg rg ' ' ' si m m Δ ~ ' ' ' Δ ' ' ' ' şi ' ' ' '. Relţi se mi pote scrie şi stfel: ' ' ' 0. stfel putem răt că u triughi este echilterl 0, ε ε ude ε este rădăci de ordiul trei uităţii, diferită de.

9 TEOREME ŞI PROLEME REZOLVTE U JUTORUL NUMERELOR OMPLEXE. Să se rte că mijlocele lturilor uui ptrulter sut vârfurile uui prlelogrm. Să se rte că se pote costrui u ptrulter cu distţele de l u puct T l mijlocele ptrulterului dt. Reolvre: Fie,,, fiele vârfurilor,,, le ptrulterului respectiv. tuci: fiul mijlocului lui este: M ; fiul mijlocului lui este: N ; fiul mijlocului lui este: fiul mijlocului lui este: P ; Q : Petru fi prlelogrm, treuie rătt că mijlocele digolelor ptrulterului MNPQ coicid, cee ce este echivlet cu răt că: M P N Q, relţie cre este devărtă dcă îlocuim relţiile de mi sus. i puctul reultă că MNPQ este prlelogrm 0 fiul M P N Q M N P Q. Fie T puctului T 0 M T T N P T T Q MT TN PT TQ 0 că se pote form u ptrulter cu lugimile vectorilor TM, TN, TP, TQ. M T T N T P T Q 9

10 . Fie O puctul de itersecţie digolelor uui ptrulter. Să se rte că este prlelogrm dcă şi umi dcă O. Reolvre: că este prlelogrm tuci digolele şi u celşi mijloc, şdr relţi dtă este devărtă. Reciproc, fie M respectiv N mijlocele digolelor respectiv. tuci M şi N. um O M N O O este mijlocul segmetului MN cee ce se îtâmplă umi dcă M, N, O sut idetice este prlelogrm.. Fie triughiul cu vârfurile de fie,,, şi lturile,,, de lugime, respectiv c. că I este fiul cetrului cercului îscris î triughiul tuci să se rte că re loc relţi: c I. c Reolvre: Fie stfel îcât este isectore ughiului şi E stfel îcât E este isectore ughiului. Notăm cu I itersecţi ditre şi E. plicâd Teorem isectorei î triughiul c c Reultă: şi de ici reultă. c i Teorem isectorei î triughiul I I c c. I I c c c um împrte segmetul oriett î rportul c c.* c c 0

11 Puctul I împrte segmetul oriett î rportul c c c I c c c i * I. c I E H O. că,, respectiv H sut fiele vârfurilor respectiv ortocetrului triughiului să se rte că : H. că G, G, G sut cetrele de greutte le triughiurilor H, H, H, şi O este cetrul cercului circumscris triughiului, să se rte că cetrul de greutte l triughiului G G este situt pe drept OH. G Reolvre: Se cosideră O cetrul cercului circumscris triughiului şi u puct î pl stfel îcât O O O. um O O reultă că ptrulterul O este rom OH O O O O O * O. um O ' si ' H ' H se flă şi pe îălţimile,.

12 că îtr-u sistem de e ortogole luăm puctul O drept origie sistemului, tuci di * H. Mi mult H G dică OH OG Fie G G cetrul de greutte l triughiului G G G : G H H H H H G prţie lui OH. 5. Fie,, fiele vârfurilor triughiului, cu 0. Să se rte că dcă puctele M,N,P u fiele M, N, P tuci triughiurile MNP şi sut semee. Reolvre: um N M, P N, M P 0 M P P N N M MNP Δ ~ Δ. 6. că şi MNP sut două triughiuri echilterle di celşi pl l fel oriette, să se rte că se pote form u triughi cu segmetele M, N, P.

13 Reolvre: Δ ~ ΔMNP M N M P M P M N o. um M N P o, pri scădere celor două eglităţi M N * P o ir pri trecere l modul M P N M N P. Triughiul este echilterl M N P. i relţi * pot fi scrise şi celellte două ieglităţi cee ce implică fptul că M, N şi P pot fi lturile uui triughi. 7. Fie P u puct situt pe cercul circumscris uui triughi. Să se rte că ortocetrele triughiurilor P, P, P formeă u triughi cogruet cu triughiul dt. Reolvre: Fie P de fi şi puctul O cetrul cercului circumscris triughiului stfel îcât O 0. Fie H ortocetrul triughiului M de fi : Fie H ortocetrul triughiului M de fi : Fie H ortocetrul triughiului M de fi :

14 H H H H H H c. c. t. d. 8. Fie şi două triughiuri cu cetrele de greutte G respectiv G şi puctele M, N, P situte pe segmetele,, cre le împrt î rportul k. Să se rte că cetrul de greutte l triughiului MNP este situt pe segmetul GG şi îl împrte pe cest tot î rportul k. Reolvre: Fie,,, ' ', ' ', ' ', M M, N N, P P. stfel îcât M N P k M' N' P' k tuci : M ' k, N ' k, P '. k k k etrul de greutte l triughiului este G G G. etrul de greutte l triughiului este G ' G ' ' ' ' G. că otăm cu G g cetrul de greutte l triughiului MNP M N P tuci g k ' ' ' k k k ' ' ' G k ' G k k G,G,G sut coliire şi puctul G împrte segmetul GG î rportul k.

15 9. Teorem lui Pppus. Fie triughiul şi puctele,, situte pe lturile, respectiv le împrt pe ceste î celşi rport k. Să se rte că triughiurile şi u celşi cetru de greutte. Reolvre: Fie puctele,,, ', ' ', ' ' şi ' ' ' ' k ' ' ' k k k ', ', ', cetrul de k k k greutte l triughiului este G g cu g ' ' ' k g, k ude Gg este cetrul de greutte l triughiului. GG 0. Să se rte că î orice triughi re loc relţi OG R. Teorem lui Euler 9 ude O este cetrul cercului circumscris triughiului, G cetrul său de greutte ir R este r cercului circumscris. Reolvre: Fie O origie sistemului de e. OG R 9 9OG R R R 5

16 6 9 cee ce este devărt, reultă că teorem este demostrtă.. Fie,,, ptru pucte orecre, disticte di pl. Să se rte că eistă u uic puct G stfel îcât, 0 ude,,, sut fiele puctelor,,,. Reolvre. Fie O origie sistemului crtei şi M,N,P,Q mijlocele lturilor,,,. um mijlocele lturilor uui ptrulter sut vârfurile uui prlelogrm reultă că itersecţi digolelor MP şi NQ pe cre o otăm cu G este u puct de fi P M G. 0 G O G dică G coicide cu origie sistemului crtei eistă şi este uic puctul G stfel îcât 0.. Fie şi prlelogrme stfel îcât puctele M,N,P,Q împrt segmetele,,, î celşi rport k. Să se rte că MNPQ este prlelogrm. Reolvre: Fie,,,, ' ', ' ', ' ', ' ' vârfurile prlelogrmelor de

17 fie corespuătore, ' ' '. * ' M, N N, P P, Q Q Fie M puctele cre împrt segmetele,,, î rportul k. M N P Q k M' N' P' Q' k tuci reultă: M ' k, N ' k, P ', k k k k Q '. Reultă: k k ' ' M P, k k ' ' N Q. i relţiile * reultă k cee ce este echivlet cu fptul că MNPQ M P N este prlelogrm. Q. Fie u ptrulter cove şi puctele M, P, ir N, Q împrt segmetele oriette î rportul k stfel : M P N Q k. M P N Q Să se rte că cetrul de greutte l ptrulterului coicide cu cetrul de greutte l ptrulterului MNPQ. Fie E mijlocul lui şi F mijlocul lui. Să se rte că mijlocul segmetului EF este cetrul de greutte l ptrulterului MNPQ. Reolvre: Să presupuem că G este cetrul de greutte l ptrulterului şi să rătăm că G este şi cetrul de greutte l ptrulterului MNPQ M N P Q M k i k M, M k 7

18 8 k k k Q Q Q, k k k P P P, k k k N N N. Q P N M k k c.c.t.d. Fie G mijlocul segmetului EF. răt că G este cetrul de greutte l ptrulterului MNPQ revie l răt că G este cetrul de greutte l lui. G G este mijlocul lui EF.... d c c t F E G M P Q N E F G O M N

19 9. Fie u trpe cu şi puctele M, N stfel îcât N N M M. Notâd cu O puctul de itersecţie dreptelor cu să se demostree că puctele O, M, N, sut coliire. Reolvre: Fie puctele,,,,,, O N M O N M cu fiele corespuătore. i k k k k k N N M M N M, 0. um 0 t O O t t t t O O, Petru răt că O, M, N sut coliire este suficiet să rătăm că t t t MN OM N O M. şdr, puctele O, M, N sut coliire. t t t t t k t k k t t k t k k t k t t k t t k k N O N O O O O M

20 0 5. Să se demostree că dcă este u ptrulter iscriptiil tuci cetrele de greutte le triughiurilor,,, sut pucte cociclice. Reolvre: Fie puctele,,, - vârfurile ptrulterului. este iscriptiil m m rg rg ˆ ˆ R :. * Fie G - cetrul de greutte l triughiului de fi ; G - cetrul de greutte l triughiului de fi ; G - cetrul de greutte l triughiului de fi ; G - cetrul de greutte l triughiului de fi. G G G G este iscriptiil rg rg ˆ ˆ G m G G G G G m R R : : relţie devărtă di *. Reultă că ptrulterul

21 G G G G este iscriptiil dică vârfurile sle sut ptru pucte cociclice. 6. Fie u triughi, M u puct î plul triughiului, G cetrul său de greutte ir, respectiv mijlocele lturilor,, respectiv. Să se rte că re loc relţi:. ' ' ' 9 M M M MG M M M Reolvre: M G Fie M u puct î eteriorul triughiului şi,, fiele puctelor,,, tuci relţi ' ' ' 9 M M M MG M M M devie: 9, ude puctul M este origie sistemului ortogol de e. Mi deprte reultă cee ce este devărt, reultă de ici că relţi dtă este devărtă.

22 7. Pe lturile şi le triughiului se costruiesc pătrte vâd cetrele şi E, stfel îcât puctele şi sut situte de ceeşi prte dreptei, ir puctele şi E sut seprte de drept. Să se rte că dreptele şi E se itersecteă după u ughi de 5º. Reolvre: Fie,,,, E fiele puctelor,,,, E. um segmetul se oţie di rotţi lui cu u ughi de 90º π π cos i si i i. i e semee E se oţie di rotţi lui E cu u ughi de i 90º E. i i i i i E i i π π cos isi şi E formeă ître ele u ughi de 5º.

23 * F P *E E M N 8. Fie şi MNP două pătrte cre u u pucte iteriore comue. Să se rte că mijlocul lui M, şi piciorul perpediculrei di pe P sut trei pucte coliire. Reolvre: Fie E mijlocul lui M şi se prelugeşte E pâă se itersecteă cu P î F. şdr răt că puctele E,, F sut coliire este suficiet să rătăm că EF este perpediculr pe P echivlet cu E F ir. P Rotid pe cu 90º se oţie stfel: π π cos isi i. i i i i log P se oţie di M pritr-o rotţie de ughi 90º

24 . si cos M P M P i i i π π E,, F coliire E se oţie di F pritr-o rotţie de 80º. si cos π π i F E F E Notăm cu r rportul F E. um M E r r r r r M F F F M 9. Se cosideră ptrulterul cove, ir E respectiv F mijlocele digolelor respectiv. Să se rte că re loc relţi: EF Relţi lui Euler. Reolvre. Fie F E,,,,, fiele puctelor,,,, E, F. vem de rătt următore relţie:. E F um E respectiv F sut mijlocele digolelor respectiv. P EF ir i r r ri r M M P F E

25 5 F F E E F E F E F E m dut şi m scăut sum F E F E EF c.c.t.d. 0. Să se rte că îtr-u ptrulter cove eistă relţi:. Ieglitte lui Ptolemeu Reolvre: Fie,,, fiele puctelor,,,. tuci 0 Pri trecere l modul.

26 6. Fie,, vârfurile uui ptrulter ir este u puct de fi. Să se rte că ptrulterul este iscriptiil. Reolvre: că puctele,, sut pe u cerc de ră r tuci 0 r r, mi rămâe să rătăm că şi se flă pe cerc r r iscriptiil este r r. Fie triughiul cu M, M, P, P, E, EE stfel îcât NE, NE. Să se rte că puctele M, N, P sut coliire. Reolvre: N N P P M M i i i i i i R N P M P M, N, P sut coliire

27 M N P E. Să se determie mulţime puctelor M de fi stfel îcât puctele, M, să fie coliire. Reolvre: Fie iy fiul puctului M. M iy iy iy iy i y Puctele, M, sut coliire vectorii M, y, si y, y y să fie coliiri -yy-y y 0 y y 0 locul geometric căutt este cercul de cetru,0 şi de ră.. Fie u triughi ir pe lturile sle se costruiesc î eterior triughiurile echilterle P, M, N. Să se rte că cetrele lor de greutte formeă u triughi echilterl. Reolvre: ΔM echilterl ε ε 0 ε ε ε 0 M ΔN echilterl ε ε 0 M N y 7 y

28 8 P Δ echilterl ε ε ε 0 P 0 P ε ε duâd cele trei relţii 0 : 0 ε ε ε ε G G G P N M G G G este echilterl. M N P G G G M N P Q 5. Pe lturile ptrulterului se costruiesc î eterior triughiurile dreptughice isoscele M, N, P, Q. Să se rte că MP este perpediculr pe NQ. Reolvre. i i i M M M i i i N N N i i i P P P i i i Q Q Q

29 9 i i M P i i i N Q M P N Q NQ MP şi MP NQ. 6. Fie prlelogrmul şi P, M, N stfel îcât PM şi PN. Să se rte că triughiul MN şi triughiul le căror vârfuri sut cetrele de greutte le triughiurilor MP, NP, u celşi cetru de greutte. Reolvre: Este suficiet să rătăm că N M, ude,, sut fiele cetrelor de greutte le triughiurilor MP, NP,. vem: P M P N. P N M um este prlelogrm P. P P i MNP prlelogrm N M P P N M P.... : d c c t N M P N M

30 N M P E c 7. Fie E u puct situt ritrr pe ltur triughiului. Să se rte că re loc relţi: E E E E E Teorem lui Stewrt. Reolvre: că sociem vectorilor E, E, E umerele complee corespuătore,,c tuci lui îi corespude umărul c, lui umărul -, ir lui umărul c. Plecâd de l idetitte: c c c c c pe cre trecâd-o l module, vom oţie tocmi relţi di teorem lui Stewrt. 8. Fie u ptrulter cove cu E, F stfel îcât E F şi M, N EF, P E F M EN P stfel îcât. Să se rte că M, N, P sut coliire. M NF P Reolvre: E F Fie k k k E F E F k k 0

31 şi P M EN P t E t F t M ; N ; M NF P t t t ; t Pri îlocuire lui E şi lui F î N reultă: k k t k k t k kt N t t k t t k t t k M k k P M, N, P sut coliire.

32 ILIOGRFIE - ulegere de proleme de mtemtică - Mihi ocu, Editur cdemiei, ucureşti 98; - ulegere de proleme de mtemtică petru cls X-, - Mri tieţu-giurgiu şi colortori, Editur Porto-Frco, 99: - ulegere de proleme petru cocursurile de mtemtică-. cu şi colortori, Editur Societăţii de Ştiiţe Mtemtice di Româi, ucureşti, 997; - Eercices et prolemes de mthemtiques- Joseph Giert; - Mtemtic î cocursurile şcolre00,00- râei şi colortori, Editur Prlel 5; - Numere complee, Virgil Nicul; - Proleme di Get Mtemtică, N. Teodorescu şi colortori, Editur Tehică, ucureşti Proleme de geometrie şi de trigoometrie - Stere Iuş, Nicole Sore şi col. Editur idctică şi Pedgogică, ucureşti,99 - Proleme prctice de geometrie - Liviu Nicolescu, Vldimir oskoff, Editur tehică, ucureşti,990; - Proleme de geometrie - I..răghicescu, Editur Tehică,987 - Mul de mtemtică petru cls X-, ostel hiteş, Editur Sigm 000; - Mul de mtemtică petru cls X-, Mirce Gg, Editur Mthpress 005;

33

34 reptul de copyright: rte dowlodtă de pe site-ul u pote fi pulictă pe u lt site şi u pote fi folosită î scopuri comercile fără specificre sursei şi cordul utorului

35 . Mulţime umerelor rele.. Scriere î ece: cd 0 0 c0 d -cifr miilor; -cifr sutelor; c-cifr ecilor; d-cifr uităţilor;, efg 0 e0 f 0 g0 0 e0. f 0.0 g0.00 e-cifr ecimilor; f-cifr sutimilor; g-cifr miimilor.. Frcţii c -Frcţii ecimle fiite:, ;, c ; Frcţii ecimle periodice:- c simple:, ;, c ; 9 99 c cd mite:, c ;, cd ; Rporte şi proporţii se umeste rport 0; k se umeşte coeficiet de proporţiolitte ; Propriette fudmetlă proporţiilor: k, * Q, c d d c. Proporţii derivte: c d d d c su su c c d c ± c ± d su ± c ± d d c c su su d d c d. 5

36 5. Sir de rporte egle: ;...,,,... şi,,,... sut direct proporţiole.. k.,,... şi,,,..., sut ivers proporţiole.. 6. Modulul umerelor rele Proprietăţi:, 0 def 0, 0, 0., R 0 ;. 0, 0. R ;, ;., ± ; 5. ; ± ; ; 8., ±, 0 ; 9., [, ], 0 ; 0., [, ] [, ], Reguli de clcul î R. ;. ;. - - ; 6

37 7. c c c c 5. ; 6. ; 7. ; Puteri cu epoet îtreg fctori def ;. 0, 7.. 0, ; ;0 ;. m m m m m m m m o 9. Proprietăţile rdiclilor de ordiul doi. R, 0.. 0,., 5. ± ± ude ²-k².

38 0. Medii y Medi ritmetică m Medi geometrică m g y p q y Medi podertă m p ; p, q poderile p q y Medi rmoică m h. y y Ieglitte mediilor y y y y. Ecuţii 0, 0 ±, 0 ; ± c c 0,. 0, c 0., 0 ±., 0 [,. []. Procete p % di N N p 00 8

39 S p. oâd oţiută pri depuere l că uei 00 sume S de i pe o periodă de lui cu procetul p l doâdei ule cordte de că. ât l sută repreită umărul di N. 00 % di N. N. Prte îtregă. [] { }, R, [ ] Z şi { } [0,. [ ] < [ ] [ ] < K Z. [] [] y. [ k] k [ ]. î., y [ k, k ] y <, k Z, R 5. { k} { }, R, k Z 6. că {} { y} y Z 7. că R [ ] [ ] Z [{ }] 0, {[] } 0, { } { } 8. Idetitte lui Hermite [] [ ],, y R 9. [ y] [ ] [ y], R 0. Prim ecimlă, după virgulă, uui umăr N este dtă N N N 0 de [ 0 { }] su [ [ ] ] 9

40 . Ieglităţi k k. > < k 0, k < k k m m. 0 < 0 m, N. > 0 < 0.. < k - k k k k > k - k. k k k 5., R 6.,, > 0 7. c c c,, c R 8. c c,, c R c 9. c,, c R c 0. c c,, c , N....., N,, > 0. r. 0 < < <, r > 0. r r < >, r > 0 r 0

41 5. > ±,, R su. 7. ± ±... ±..., i R su. 8. i R su. 9. <! m 0., Z, m, Z, Q m.. Numerele poitive,, c pot fi lugimile lturilor uui triughi * dcă şi umi dcă, y, R. i y,, c y.., > 0, * c c.,, c R 6. c. că,..., 0 si... k costt tuci produsul k... e mim câd că.,..., 0 si k costt... < i miimă tuci câd... k. i e 6. că,..., 0 si... k costt tuci p este mim câd k *..., pi N, i, p p p p... p p p...

42 7. Teorem lui Jese: că f : Ι R, Ι itervl si f, Ι... f... f Ι, i,. i f f f Ieglitte mediilor i 0, i,. eglitte câd i j, i, j,. 0. Ieglitte lui uchy-uikowsky-schwrt i, i R. i j. Ieglitte mediilor geerlite: " ". i j β β β,, R, β, i i......, β R Ieglitte lui eroulli:,, N.

43 .Mulţimi. Operţii cu mulţimi.. socitivitte reuiuii si itersecţiei:. omuttivitte reuiuii si itersecţiei:. Idempoteţ reuiuii si itersecţiei:. Ø ØØ 5. istriutivitte reuiuii fţă de itersecţie: 6. istriutivitte itersecţiei fţă de reuiue: 7., E, 8. E, 9. \ 0. \ \\ \ \ \ \\ \ \ \\. \ \ > E E \

44 . Relţiile lui de Morg. pך q p ך, qך qךp p ך. qך. p q r p q p r, p q rp q p r.. pך p, pך F. p. p q pך q. 5. p q p q q p pך q ך q p. 6. p p, p 7. p q q p, p q q p.8 ppךך 9. p pך F, p pך 0. p q r p q r p q r p q r. p F p p F F

45 . Progresii. Şiruri Se cuosc dej şirul umerelor turle 0,,,,,.,şirul umerelor pre,,6, i oservţiile directe supr cestor şiruri, u şir de umere rele este dt î form,,,... ude,, sut termeii şirului ir idicii,,, repreită poiţi pe cre îi ocupă termeii î şir. efiiţie: Se umeşte şir de umere rele o fucţie f: N* R, defiită pri f Notăm şirul de terme geerl, N* Oservţie: Numerotre termeilor uui şir se mi pote fce îcepâd cu ero: 0,,,... i, i se umeşte termeul de rg i. U şir pote fi defiit pri : descriere elemetelor mulţimii de termei.,,6,8,.. cu jutorul uei formule c pritr-o relţie de recureţă. U şir costt este u şir î cre toţi termeii şirului sut costţi : 5,5,5,5,.. ouă şiruri, sut egle dcă, N Orice şir re o ifiitte de termei. 5

46 . Progresii ritmetice efiiţie: Se umeşte progresie ritmetică u şir î cre difereţ oricăror doi termei cosecutivi este u umăr costt r, umit rţi progresiei ritmetice.. Relţi de recureţă ître doi termei cosecutivi: r,.,, -,, sut termeii uei progresii ritmetice. Termeul geerl este dt de : r. Sum oricăror doi termei egl deprtţi de etremi este egl cu sum termeilor etremi : k k 5. Sum primilor termei : S 6. Şirul termeilor uei progresii ritmetice: r, r, r,., m m r 7. Trei umere,, se scriu î progresie ritmetică de form : u v u u v u,v R. 8. Ptru umere,,, se scriu î progresie ritmetică stfel: u v, u v, u v, u v, u,v 9. că i k k k k R. 6

47 . Progresii geometrice efiiţie : Se umeşte progresie geometrică u şir î cre rportul oricăror doi termei cosecutivi este u umăr costt q, umit rţi progresiei geometrice.. Relţi de recureţă : q,.,, -,, sut termeii uei progresii geometrice cu termei poitivi. Termeul geerl este dt de : q. Produsul oricror doi termei egl deprtti de etremi este egl cu produsul etremilor k k 5. Sum primilor termei i uei progresii geometrice : S q q 6. Şirul termeilor uei progresii geometrice : q, q,... q,..., 7. Trei umere,, se scriu î progresie geometrică de form : u * u u v, u, v R v 8. Ptru umere,,, se scriu î progresie geometrică stfel : u v u v u v * u v u, v R 7

48 5. Fucţii I. Fie ƒ:. Fucţi ƒ este ijectivă,dcă,y, y>ƒ ƒy. Fucţi ƒ este ijectivă,dcă di ƒƒy >y. Fucţi f este ijectivă, dcă orice prlelă l 0 itersecteă grficul fucţiei î cel mult u puct. II. Fucţi ƒ este surjectivă, dcă y, eistă cel puţi u puct,.î. ƒy. Fucţi ƒ este surjectivă, dc ƒ. Fucţi ƒ este surjectivă, dcă orice prlelă l 0, dusă pritr-u puct l lui, itersecteă grficul fucţiei î cel puţi u puct. III. Fucţi ƒeste ijectivă dcă este ijectivă şi surjectivă. Fucţi ƒ este ijectivă dcă petru orice y eistă u sigur.î. ƒ y ecuţi ƒy,re o sigură soluţie,petru orice y di Fucţi ƒ este ijectivă dcă orice prlelă l 0, dusă pritr-u puct l lui, itersecteă grficul fucţiei îtr-u puct şi umi uul. IV. : pri,. Fucţi ƒ: este iversilă, dcă eistă o fucţie g: stfel îcât g o ƒ si ƒ o g, fucţi g este ivers fucţiei ƒ şi se oteă cu ƒ -. ƒ y <> ƒ - y ƒ este ijectivă <> ƒ este iversilă. 8

49 V. Fie ƒ: si g:, două fucţii. că ƒ si g sut ijective, tuci g o ƒ este ijectivă. că ƒ si g sut surjective,tuci g o ƒ este surjectivă. că ƒ si g sut ijective, tuci g o ƒ este ijectivă. că ƒ si g sut strict cresctore,tuci g o ƒ este strict cresctore. 5 că ƒ si g sut strict descresctore, tuci g o ƒ este strict descresctore. 6 că ƒ si g sut mootoe, de mootoii diferite,tuci g o ƒ este descresctore. 7 că ƒ este periodică, tuci g o ƒ este periodică. 8 că ƒ este pră, tuci g o ƒ este pră. 9 că ƒ si g sut impre, tuci g o ƒ este impră, 0 că ƒ este impră si g pră, tuci g o ƒ este pră. VI. Fie ƒ: si g:, două fucţii. că g o ƒ este ijectivă, tuci ƒ este ijectivă. că g o ƒ este surjectivă, tuci g este surjectivă. că g o ƒ este ijectivă, tuci ƒ este ijectivă si g surjectivă. că ƒ,g: ir h: ijectivă si h o ƒ h o ƒ, tuci ƒ g. VII. Fie ƒ: si X,Y mulţimi orecre. Fucţi ƒ este ijectivă, dcă şi umi dcă oricre r fi fucţiile u,v: X,di ƒ o u ƒ o v, reultă uv. Fucţi ƒ este surjectivă, dc şi umi dcă oricre r fi fucţiile u,v : Y, di u o ƒ v o ƒ, reultă uv 9

50 VIII. că ƒ : este strict mootoă,tuci ƒ este ijectivă. c ƒ : R R este periodic şi mootoă, tuci ƒ este costtă. c ƒ : R R este ijectivă şi impră,tuci ƒ - este impră. Fie fiită şi ƒ :. tuci ƒ este ijectivă <> este surjectivă. IX. Fie ƒ: E F, tuci ƒ ijectivă <> g : F E surjectivă.i. g o ƒ E. ƒ surjectivă <> g : E F ijectivă.i. ƒ o g F ƒ ijectivă <> iversilă. X. Fie ƒ : E F. Fucţi ƒ este ijectivă dcă şi umi dcă, E ƒ ƒ. Fucţi ƒ este surjectivă dcă şi umi dcă F eistă E, stfel îcât ƒ. Fucţi ƒ este ijectivă dcă ƒ ƒ ƒ,, E. XI. Fie ƒ : E F si E, E, tuci ƒ {y F.i. ƒy} ƒ - { E ƒ }..Fie ƒ: E F si, E, tuci > ƒ ƒ, ƒ ƒ ƒ, c ƒ ƒ ƒ, d ƒ ƒ ƒ. 50

51 .Fie ƒ: E F si, F tuci > ƒ - ƒ -, ƒ - ƒ - ƒ --, cƒ - ƒ - ƒ -, d ƒ - ƒ - ƒ -, e ƒ - F E. Fucţi de grdul l doile Form coică fucţiei f:r R, f c,,, c R, 0 este Δ f, R ; Δ Grficul fucţiei este o prolă de vârf V,, ude Δ c 0 f este coveă; Δ 0 ;, f >0, R ; Δ V, de miim; - puct 5

52 Δ 0, R f 0, R ; f0 Δ 0, R f 0,, ] [, ; f<0,, Petru, fucţi este strict descrescătore; Petru [,, fucţi este strict crescătore 5

53 <0 fucţi este cocvă Δ 0 ;, f <0, R ; mim V Δ, - puct de Δ 0, R f 0, R ; f0 Δ 0, R f 0, [, ] ; f<0,,, 5

54 Petru, fucţi este strict crescătore; Petru [,, fucţi este strict descrescătore. 6. NUMERE OMPLEXE. NUMERE OMPLEXE SU FORMĂ LGERIĂ i,, R, i - mulţime umerelor complee. ire Im OPERŢII U NUMERE OMPLEXE Fie i, c id. tuci:. c si d.. c i d.. c d i d. c. i, cojugtul lui c d c d 5. i c d c d 6. i. 5

55 PUTERILE LUI i k. i ;. i k i ; k. i ;. i k i ; 5. i, i i i i 6. i i i ; i, i, pr impr PROPRIETĂŢILE MOULULUI - modulul r. complee. 0, , 0 6. ± ; R Im 0 EUŢII:., i ±, ± i ± i dcă poitiv; - dcă egtiv 55

56 c 0, ± c dc Δ c 0 su, ± i Δ dc Δ 0 NUMERE OMPLEXE SU FORMĂ GEOMETRIĂ Form trigoometrică umerelor complee: ρ cos ϕ i si ϕ, ϕ rctg kπ, k 0,,,, I, II, III, IV ρ se umeşte r polră lui Fie ρcosϕ i si ϕ şi ρ cosϕ i si ϕ ; ρ ρ, si eist k Z i ϕ ϕ kπ. ρ ρ [cos ϕ ϕ i si ϕ ϕ ρcosϕ i si ϕ 56

57 [cos ϕ i si ϕ ] ρ ρ cos i ρ [ ϕ ϕ si ϕ ϕ ] ϕ ρ cos ϕ i si, R ϕ kπ ϕ kπ ρ cos i si, k 0, 7. FUNTI EXPONENTILĂ ef. f: R 0,, f, 0, că f este strict crescătore că 0, f este strict descrescătore Proprietăţi: Fie, 0,,,,, y R 57

58 58 y y y y y y y defieste se u petru 0, 0, 0, 0, 0 Tipuri de ecuţii:. f f log 0, 0,,. 0,, g f g f. g f g f log, 0,,,. ecuţii epoeţile reductiile l ecuţii lgerice pritr-o sustituţie. 5. ecuţii ce se reolvă utiliâd mootoi fucţiei epoeţile. Iecuţii >, g f g f 0, g f g f

59 FUNTI LOGRITMIĂ ef: f:0, R, f log, 0,,>0 că f este strict crescătore log log că 0, f este strict descrescătore log log Proprietăţi: c 0,,,, c,, y 0,, m R Fie, y 0 log y log y log y log log log log y y 59

60 log m m, log m m log log log log c c, log log log c c log, log log 0, Tipuri de ecuţii: log.. log f g, f, g 0, f g f. log f log g f g log g. log f log g f. ecuţii logritmice reductiile l ecuţii lgerice pritr-o sustituţie. 5. ecuţii ce se reolvă utiliâd mootoi fucţiei logritmice. Iecuţii >, log f log g f g 0, log f log g f g 60

61 8. INOMUL LUI NEWTON Î 66 Isc Newto 6-77 găsit următore formulă petru devoltre iomului. eşi formul er cuoscută îcă di tichitte de către mtemticiul r Omr Khyym 00-, Newto etis-o şi petru coeficieţi rţioli. TEOREMĂ: Petru orice umăr turl şi şi umere rele eistă relţi: 0 k k k Numerele,,..., se umesc coeficieţii iomili i devoltării; Este ecesr să se fcă disticţie ître coeficietul uui terme l devoltării şi coeficietul iomil l celui terme. Eemplu:... oeficietul celui de-l doile terme este 8 ir coeficietul iomil este ; Petru - vem următore formă iomului lui Newto: 0 k k k k Proprietăţi:. Numărul termeilor devoltării iomului este ; că k coeficietul iomil l termeului di mijloc l devoltării k este şi este cel mi mre. că k k şi k sut egli şi sut cei mi mri; o < < < k > k >..> dc este pr, k 6

62 o < < < k k >..> dc este impr, k.. oeficieţii iomili di devoltre, egl depărtţi de termeii etremi i devoltării sut egli ître ei. k k. Termeul de rg k l devoltării su termeul geerl l devoltării este k k k Tk, k 0,,,..., Formul iomului lui Newto scrisă restrâs re form: k k k 0. Relţi de recureţă ître termeii succesivi i devoltării este următore: T T k k 5 5. Petru se oţie 0 k k k cee ce îsemă că umărul tuturor sumulţimilor uei mulţimi cu elemete este. 6

63 9. Vectori şi operţii cu vectori efiiţie: Se umeşte segmet oriett, o pereche ordotă de pucte di pl; Se umeşte vector, mulţime tuturor segmetelor oriette cre u ceeşi direcţie, ceeşi lugime şi celşi ses cu le uui segmet oriett. Oservţii: Orice vector se crcterieă pri: - modullugime,ormă, dt de lugime segmetului ; - direcţie, dtă de drept su orice dreptă prlelă cu cest; - ses, idict pritr-o săgetă de l origie l etremitte. Notţii: vectorul cu origie şi etremitte ; 0 y y0 - modulul vectorului ude 0,y 0,.y. efiiţie: Se umesc vectori egli, vectorii cre u ceeşi direcţie, celşi ses şi celşi modul. oi vectori se umesc opuşi dcă u ceeşi direcţie, celşi modul şi sesuri cotrre: -. dure vectorilor se pote fce după regul triughiului su după regul prlelogrmului: 6

64 λ v 0 λ 0 su v 0, λ R c λ 0, v 0 λ v λ v, λ v re direcţi şi sesul vectorului v dcă λ 0 şi ses opus lui v dcă λ 0. efiiţie: oi vectori se umesc coliiri dcă cel puţi uul este ul su dcă mâdoi sut euli şi u ceeşi direcţie. Î c cotrr se umesc ecoliiri. vectori coliiri vectori ecoliiri Teoremă: Fie u 0 şi v u vector orecre. Vectorii u şi v sut coliiri λ R. i. v λ u. 6

65 Puctele,, sut coliire si sut coliiri λ R. i. λ. si sut coliiri; că u şi v sut vectori ecoliiri tuci, y R. i. u y v 0 y 0. Teoremă: Fie şi doi vectori ecoliiri. Oricre r fi vectorul v, eistă, β R uice stfel îcât v β. Vectorii şi formeă o ă., β se umesc coordotele vectorului v î,. efiiţie: Fie XOY u reper crtei. osiderăm puctele,0, 0,. Vectorii i O si j O se umesc versorii elor de coordote. Ei u modulul egl cu, direcţiile elor şi sesurile semielor poitive cu OX şi OY. i, j se umeşte ă ortoormtă. 65

66 v ' ' '' ' ' i y j -, yy - y v pr OX v i pr OY v j y y Teoremă: Fie u, y, v ', y'. tuci: u v re coordotele.yy ; λ R, λ v re coordotele λ, λ y ; u, y, v ', y' sut coliiri y k, ', y' 0. y' ' y 0. ' y' Produsul sclr doi vectori euli. u v u v cos ude m u, v, [0, π ]. ' y y' cos y ' y' π π [ 0, ] u v 0;, π ] u v 0 Fie u, y, v ', y' euli. tuci: u v 0 u v ' y y' 0. u u u 0, u. u u 0 u 0. sut vectori de poiţie, tuci: i i j j ; i j 0. Vectori de poiţie. că r r r, r 66

67 0. Fucţii trigoometrice Semul fucţiilor trigoometrice: π π Si:, [, ] rcsi:[-,] π π, os: [ 0, π ] [, ] rccos:[-,] [ 0,π ] 67

68 π π Tg:, R π π rctg:r, Reducere l u ughi scuţit π Fie u 0, Notăm sg f semul fucţiei f; cof cofucţi lui f π sg f k ± u si u, k pr π k ± u si log petru π sg f k ± u cosu, k impr celellte; π sg f k ± u f u, k pr π Î geerl, f k ± u π sg f k ± u cof u, k impr 68

69 Ecuţii trigoometrice Fie u ughi, u umăr rel şi k Z. k si, rcsi kπ, dcă [0,] k rcsi kπ, dcă [,0] cos, ± rccos kπ, dcă [0,] ± rccos k π, dcă [,0] tg, R rctg kπ k rcsisi kπ rccoscos ± kπ rctg tg kπ k si f si g f g kπ cos f cos g f ± g kπ tgf tgg f g kπ, k Z Ecuţii trigoometrice reductiile l ecuţii cre coţi ceeşi fucţie celuişi ughi; Ecuţii omogee î si şi cos de form: si cos 0; si si.cos ccos 0 Ecuţii trigoometrice cre se reolvă pri descompueri î fctori; Ecuţii simetrice î si şi cos ; Ecuţii de form: c si cos c 0 : si tgϕ cos k c ϕ rcsi cosϕ kπ si cos Oservţie importtă: Pri ridicre l putere uei ecuţii trigoometrice pot păre soluţii străie ir pri împărţire uei ecuţii trigoometrice se pot pierde soluţii; 69

70 70 FORMULE TRIGONOMETRIE. cos si ; si cos cos si ± ± R. ; cos cos cos si si ± ± tg tg. ; si ; cos tg tg tg ± ±. β β β si si cos cos cos ; 5. β β β si si cos cos cos ; 6. β β β cos si cos si si ; 7. β β β cos si cos si si ; 8. ; ; β β β β β β tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg 9. ; ; β β β β β β ctg ctg ctg ctg ctg ctg ctg ctg ctg ctg 0. ; cos si si. si cos si cos cos. cos si ; cos cos ;. ; cos ;si cos cos ± ±. cos cos ; cos cos ± ± ctg tg 5. ; ; ctg ctg ctg tg tg tg

71 7 6. ; ; tg tg ctg tg tg tg 7. ; ; cos cos cos ; si si si ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg 8. ; si cos cos si ctg tg 9. ; cos ; si tg tg tg tg cos si si si cos si si si si si cos cos cos si cos cos tg tg cos cos si ctg ctg si si si ctg ctg si si si tg tg cos cos si

72 si si si cos cos cos cos cos si si cos cos rcsi rcsi y rcsi y y π π rcsi rccos rctg rcctg π rctg rctg rccos-π -rccos 7

73 . EUŢIILE REPTEI ÎN PLN. Ecuţi crteiă geerlă dreptei: yc0 d Puctul M 0,y 0 d 0 y0 c 0. Ecuţi dreptei determită de puctele,y,,y : y y y y. Ecuţi dreptei determită de u puct M 0,y 0 şi o direcţie dtă re pt m y-y 0 m- 0. Ecuţi eplicită dreptei ecuţi ormlă: y y ym, ude m tgϕ este pt dreptei şi este ordot l origie. y 5. Ecuţi dreptei pri tăieturi:,, Fie d: ym şi d : ym reptele d şi d sut prlele mm şi. reptele d şi d coicid mm şi. reptele d şi d sut perpediculre mm -. Tget ughiului ϕ celor două drepte este m m' tgϕ m m' 7. Fie d: yc0 şi d : yc 0 cu,,c 0. şi θ m d, d' c reptele d şi d sut prlele ' ' c' 7

74 c reptele d şi d coicid ' ' c' reptele d şi d sut cocurete ' ' - 0. v v' ' ' cosθ ude v v' ' ' v,, v' ', ' d şi d. reptele d şi d sut perpediculre, d d' ' ' 0 sut vectorii directori i dreptelor 8. Fie puctele,y,,y,,y,,y î pl. reptele şi sut prlele, R*,. î su m m. reptele şi sut perpediculre, 0 odiţi c puctele,y,,y,,y să fie coliire este: y y y y 9. istţ ditre puctele,y şi,y este y y istţ de l u puct M 0 0,y 0 l o dreptă h de ecuţie h: yc0 este dtă de: 0 y0 c d M 0, h. 7

75 . ONIE.ERUL efiiţie: Locul geometric l tuturor puctelor di pl egl depărtte de u puct fi, umit cetru se umeşte cerc. O, r { M, y OM r}. Ecuţi geerlă cercului ² y² y 0. Ecuţi cercului de cetru: O, respectiv O0, 0 si r r - ² y ² r² ; ² y² r². Ecuţi cercului de dimetru ;y, ; y - - y- y y - y 0. Ecuţi tgetei după o direcţie O0,0 : y m ± r m² O, : y- m- ± r m² 5. Ecuţi tgetei î puctul M 0, y 0 0 y y 0 r² respectiv y - y 0 - r² 6. Ecuti orml cercului 75

76 ² y² m y p 0 cu O-m; - şi r² m² ² - p 7. Ecuţi tgetei î puctul M 0,y 0 0 y y 0 m 0 y y 0 p 0 8. istt de l cetrul cercului O, l drept de ecuţie y m este m 0 y0 c d0,d su d m² ² ² 9. Ecuţiile tgetelor di puctul eterior M 0, y 0 I. Se scrie ecuţi şi se pue codiţi c M să prţiă cercului de ecuţie. II. y - y 0 m - 0 ² y² r², Δ 0. ELIPS efiiţie: Locul geometric l puctelor di pl cre u sum distţelor l două pucte fie, costtă, se umeşte elipsă. F,F - focre, FF distţ foclă E{ M, y MF MF' } MF,MF - re focle. Ecuţi elipsei 76

77 ² y² ² ², ² ² - c². Ecuţi tgetei l elipsă y m ± ² m² ². Ecuţi tgetei î puctul M 0, y 0 l elipsă 0 y y0 ² 0, m ² ² ² y0. Ecuţiile tgetelor ditr-u puct eterior M 0, y 0 l elipsă VR I Se scrie ecuţi şi se pue codiţi c M să prţiă elipsei de ecuţie de ude reultă m VR II Se reolvă sistemul y y 0 m-0 ² y², cu coditi Δ 0 ² ². HIPEROL efiiţie: Locul geometric l puctelor di pl căror difereţă l două pucte fie este costtă, se umeşte hiperolă 77

78 H: { M,y MF MF } y ± --ecuţi simptotelor. Ecuţi hiperolei ² y², ² c² - ² ; ² ² c > hiperol echilterlă.ecuţi tgetei l hiperolă y m ± ² m² ². Ecuţi tgetei î puctul M 0, y 0 0 y y0 ² 0, m ² ² ² y0. Ecuţiile tgetelor ditr-u puct eterior M 0, y 0 VR I. Se scrie ecuţi si se pue codiţi c M să prţiă hiperolei de ecuţie, de ude reultă m. VR II. Se reolv sistemul y - y 0 m - 0 ² y², cu Δ 0 ² ². PROL efiiţie: Locul geometric l puctelor egl depărtte de u puct fi, umit focr şi o dreptă fiă umită directore, se umeşte prolă. 78

79 P: { M, y MF MN } p d: locul geometric l puctelor di pl de ude putem duce tgete l o prolă.. Ecuţi prolei y² p. Ecuţi tgetei l prolă P y m m. Ecuţi tgetei î M 0, y 0 y y 0 p 0. Ecuti tgetelor ditr-u puct eterior M 0, y 0 VR I. Se scrie ecuţi şi se pue codiţi c M ecuti > m VR II. Se reolvă sistemul y - y 0 m - 0 y² p cu Δ 0 79

80 80. LGER LINIRĂ. MTRIE. dure mtricelor t d c y t y d c t y t y Îmulţire mtricelor t d y c d c t y t y d c Trspus uei mtrice d c d c T. ETERMINNŢI. c d d c ; d i h f g e c f g c h d i e i h g f e d c Proprietăţi:. etermitul uei mtrice este egl cu determitul mtricei trspuse;. că tote elemetele uei liii su coloe ditr-o mtrice sut ule, tuci determitul mtricei este ul;. că îtr-o mtrice schimăm două liiisu coloe ître ele oţiem o mtrice cre re determitul egl cu opusul determitului mtricei iiţile.. că o mtrice re două liii su coloe idetice tuci determitul său este ul;

81 5. că tote elemetele uei liiisu coloe le uei mtrice sut îmulţite cu u elemet, oţiem o mtrice l cărei determit este egl cu îmulţit cu determitul mtricei iiţile. 6. că elemetele două liiisu coloe le uei mtrice sut proporţiole tuci determitul mtricei este ul; 7. că l o mtrice pătrtică de ordi presupuem că elemetele uei liii i sut de form ij ' ij tuci det det det ; 8. că o liie su coloă uei mtrice pătrtice este o comiţie liiră de celelte liiisu coloe tuci determitul mtricei este ul. 9. că l o liie su coloă mtricei duăm elemetele ltei liii su coloe îmulţite cu celşi elemet se oţie o mtrice l cărei determit este egl cu determitul mtricei iiţile; 0. etermitul Vdermode: c c c ; c. că îtr-u determit tote elemetele de desupr digolei priciple su de dedesutul ei sut egle cu ero, tuci determitul este egl cu c f ; 0 0 c 0 c f d e f. Fctor comu y m u v r p m u y v p r '' ij 8

82 . Rgul uei mtrice Fie M m,, r N, r mi m,. efiiţie: Se umeşte mior de ordiul r l mtricei, determitul formt cu elemetele mtricei situte l itersecţi celor r liii şi r coloe. efiiţie: Fie O m, o mtrice. Numărul turl r este rgul mtricei eistă u mior de ordiul r l lui, eul ir toţi miorii de ordi mi mre decât r dcă eistă sut uli. Teorem: Mtrice re rgul r eistă u mior de ordi r l lui ir toţi miorii de ordi r sut ero. Teorem: Fie M m,, M, s. tuci orice mior de ordiul k, k mi m, s l lui se pote scrie c o comiţie liiră de miorii de ordiul k l lui su. Teorem: Rgul produsului două mtrice este mi mic su egl cu rgul fiecărei mtrice. efiiţie: M. este iversilă det 0. este esigulră. Teorem: Ivers uei mtrice dcă eistă este uică. Oservţii: det det det. * det τ i j * dij i, j - M Z det ±. Stilire rgului uei mtrice: Se i determitul de ordiul k- şi se ordeă cu o liie respectiv cu o coloă. că oul determit este ul reultă că ultim liierespectiv coloă este comiţie liiră de celellte liii respectiv coloe. 8

83 Teorem: U determit este ul u di coloele respectiv liii este o comiţie liiră de celellte coloerespectiv liii. Teorem: Rgul r l uei mtrice este egl cu umărul mim de coloerespectiv liii cre se pot lege ditre coloele respectiv liiile lui stfel îcât ici u ditre ele să u fie comiţie liiră celorllte.. Sisteme de ecuţii liire Form geerlă uui sistem de m ecuţii cu ecuoscute este: su m m... m m j ij j i Ude ij i m, j - mtrice coeficieţilor ecuoscutelor.... Mtrice... se umeşte mtrice etisă m... m m sistemului. efiiţie: U sistem de umere,,... se umeşte soluţie sistemului j, i m. ij j i, efiiţie: - U sistem se umeşte icomptiil u re soluţie; - U sistem se umeşte comptiil re cel puţi o soluţie; - U sistem se umeşte comptiil determit re o sigură soluţie; 8

84 - U sistem se umeşte comptiil edetermit re o ifiitte de soluţii; Reolvre mtricelă uui sistem Fie, M. X X X j ij i, j,. det i Reolvre sistemelor pri metod lui rmer: Teorem lui rmer: că det ot Δ 0, tuci sistemul X re o soluţie uică X i Δ Δ i. Teorem lui Kroecker- pelli: U sistem de ecuţii liire este comptiil rgul mtricei sistemului este egl cu rgul mtricei etise. Teorem lui Rouche: U sistem de ecuţii liire este comptiil toţi miorii crcteristici sut uli. Notăm cu m-umărul de ecuţii; - umărul de ecuoscute; r -rgul mtricei coeficieţilor. I mr Sistem comptiil determit II mr Sistem comptiil edetermit III r m Sistem comptiil determit su Δ 0 Miorul pricipl este eul că toţi miorii crcteristici sut uli 8

85 IV Sistem icomptiil r, r m Sistem comptiil edetermit su Sistem icomptiil Eistă cel puţi u mior crcteristic eul că toţi miorii crcteristici sut uli Eistă cel puţi u mior crcteristic eul Teorem: U sistem liir şi omoge dmite umi soluţi lă Δ 0 85

86 . SIRURI E NUMERE RELE. Veciătăţi. Pucte de cumulre. efiiţi : Se umeşte şir, o fucţie f : N R defiită pri f. Notăm,,,... su,,,... : 0 N Orice şir re o ifiitte de termei; este termeul geerl l şirului. N efiiţi : ouă şiruri, N sut egle N, k N efiiţi : Fie R. Se umeşte veciătte puctului R, o mulţime V petru cre ε >0 şi u itervl deschis cetrt î de form - ε, ε V. efiiţi : Fie R. U puct R se umeşte puct de cumulre petru dcă î orice veciătte lui eistă cel puţi u puct di -{ } V -{ } Ǿ. U puct cre u e puct de cumulre se umeşte puct iolt.. Şiruri covergete efiiţi 5 : U şir este coverget către u umăr R N dcă î orice veciătte lui se flă toţi termeii şirului cu ecepţi uui umăr fiit şi scriem lim su se umeşte limit şirului. Teorem : că u şir e coverget, tuci limit s este uică. Teorem : Fie u şir de umere rele. tuci: N este mooto crescător N, N su 0, su ; 86

87 N este stict crescător, N su 0, su ; N este mooto descrescător, N su 0, su ; N este strict descrescător, N su 0, su. efiiţi 6. U şir este mărgiit M R stfel îcât M su N, β R stfel îcât β. Teorem : Teorem lui Weierstrss: Orice şir mooto şi mărgiit este coverget. efiiţi 7: că u şir re limită fiită şirul este coverget. că u şir re limită ifiită su şirul este diverget. Teorem : Orice şir coverget re limită fiită şi este mărgiit dr u epărt mooto. Teorem 5: Lem lui esro: Orice şir mărgiit re cel puţi u suşir coverget. efiiţi 8: U şir e diverget fie dcă u re limită, fie dcă re o limită su dcă dmite două suşiruri cre u limite diferite. OS: Orice şir crescător re limită fiită su ifiită. Teorem 6: că R * N este u şir strict crescător şi lim lim 0 emărgiit tuci. U şir descrescător cu termeii poitivi este mărgiit de primul terme şi de 0. 87

88 . Operţii cu şiruri cre u limită Teorem 7: Fie, N şiruri cre u limită: N,. că operţiile,, u ses tuci şirurile.,,,,, u limită lim lim lim ; lim lim.lim ; lim lim lim ; lim lim lim lim lim log log lim lim lim k k lim Pri coveţie s- stilit: ;, R; - - ; ;,>0; -,<0; - - ; - - ; ; 0;, dcă 0 0 0; 0, dcă 0 ± 0 Nu u ses operţiile: -, 0 ± ;,,,. ± Teorem 8: că şi 0 că şi 88

89 că şi că. că 0 0. Teorem 9: că şirul N este coverget l ero, ir este u şir mărgiit, tuci şirul produs N este coverget l ero.. Limitele uor şiruri tip lim q 0, dc ă q,, dc ă q, dc ă q u eist ă, dc ă q p p, p, 0 lim 0 0 p p 0 lim q q q p 0, dcă p q 0, dcă p q 0 0, dcă p q şi 0 0 0, dcă p q şi

90 lim e,7... lim e si lim lim e 0 0 rcsi lim 0 rctg lim 0 tg lim 0 l lim 0 lim 0 l lim r 0 r lim e l p lim 0 p 90

91 5. LIMITE E FUNŢII efiiţie: O fucţie f: R R re limită lterlă l stâg respectiv l drept î puctul de cumulre 0 eistă ls R respectiv l d R. î. lim f l s, respectiv lim f l d efiiţie: Fie f: R R, 0 u puct de cumulre. Fucţi f re limită î l l Proprietăţi: 0 s 0 d 0. că lim f eistă, tuci cestă limită este uică. 0 lim f l.. că lim f l tuci 0 0 Reciproc u.. că lim f 0 lim f 0 0. Fie f,g: R R, U o veciătte lui 0 stfel U şi dcă eistă 0 îcât f g { } 0 lim f,lim g 0, 0 lim f 0 lim g 0 9

92 5. că f g h U { 0} şi lim f lim h l lim g l. 6. că lim g 0 lim f l { } f l g U 0 şi 7. că lim f 0 şi M 0. î. g M. lim f g 0 că f g şi lim g 8. lim f. că f g şi lim g lim f. OPERŢII U FUNŢII că eistă lim f l,lim g l l ses opertiile l l, l l, l l,, l l tuci:. limf ± g l ± l.. limfg l l şi l, l u 9

93 f l.lim g l g.lim f l l 5.lim f l PX 0 -.., 0 0 P 0 ± lim± lim 0, dcă q, q, dcă q, dcă q> u dcă q eistă, 9

94 p 0 lim q 0 p q q p 0, dcă p q 0, dcă p q 0 0, dcă p q şi 0 0 0, dcă p q şi 0. 0 lim lim 0 > lim lim 0, 0 lim log lim0 lim log lim0 > log 0, log lim0 lim0 lim0 lim0 lim0 si tg rcsi rctg e u u u u u lim 0 lim 0 lim 0 lim 0 lim 0 u u u u si tgu u rcsi rctgu u u u e 9

95 lim e u u lim 0 u lim0 l u lim 0 u u l lim0 l u u 0 u lim l lim0 r r lim u 0 u u r r lim 0 k u lim u u k 0 lim l k 0 u l u k lim u 0 95

96 6. FUNŢII ONTINUE EFINIŢIE. O fucţie f : R R se umeşte cotiuă î puctul de cumulre 0 oricre r fi veciătte V lui f 0, eistă o veciătte U lui 0, stfel îcât petru orice U f V. EFINIŢIE. f : R R este cotiuă î 0 f re limită î 0 şi lim f f 0 su l s 0 l d 0 f 0. 0 se umeşte puct de cotiuitte. că fucţi u este cotiuă î 0 f.se umeşte discotiuă î 0 şi 0 se umeşte puct de discotiuitte. cest pote fi: - puct de discotiuitte de prim speţă dcă l s 0, l d 0 fiite, dr f 0 ; - puct de discotiuitte de dou speţă dcă cel puţi o limită lterlă e ifiită su u eistă. EFINIŢIE. f este cotiuă pe o mulţime itervl este cotiuă î fiecre puct mulţimii itervlului. Fucţiile elemetre sut cotiue pe domeiile lor de defiiţie. Eemple de fucţii elemetre: fucţi costtă c, fucţi idetică, fucţi poliomilă f , fucţi rţiolă f/g, fucţi rdicl f, fucţi logritmică log f, fucţi putere, fucţi epoeţilă, fucţiile trigoometrice si, cos, tg, ctg. PRELUNGIRE PRIN ONTINUITTE UNEI FUNŢII ÎNTR-UN PUNT E UMULRE EFINIŢIE. Fie f : R R. că f re limit l R î puctul de cumulre 0 f, f: { 0 } R, f l, 0 96

97 este o fucţie cotiuă î 0 şi se umeşte prelugire pri cotiuitte lui f î 0. OPERŢII U FUNŢII ONTINUE T. că f,g: R sut cotiue î 0 respectiv pe tuci fg, f, f g,f/g, f g, f sut cotiue î 0 respectiv pe ; R, g 0. T. că f: R e cotiuă î 0 respectiv pe f e cotiuă î 0 respectiv pe. Reciproc u e vlilă. T. Fie f: R cotiuă î î 0 şi g: cotiuă î 0, tuci g f e cotiuă î 0. lim f g f lim g 0 0 Orice fucţie cotiuă comută cu limit. PROPRIETĂŢILE FUNŢIILOR ONTINUE PE UN INTERVL LEMĂ. că f este o fucţie cotiuă pe u itervl [,] şi dcă re vlori de seme cotrre l etremităţile itervlului f f <0 tuci eistă cel puţi u puct c, stfel îcât fc 0. că f este strict mootoă pe [,] ecuţi f 0 re cel mult o rădăciă î itervlul,. f este strict mootoă f: I J - cotiuă fi J - surjectivă f - ijectivă Orice fucţie cotiuă pe u itervl compct este mărgiită şi îşi tige mrgiile. 97

98 STILIRE SEMNULUI UNEI FUNŢII PROP. O fucţie cotiuă pe u itervl, cre u se uleă pe cest itervl păstreă sem costt pe el. EFINIŢIE. Fie f : I R R I itervl f re propriette lui rou., I cu < şi λ f, f su λ f, f c,,.î. fc λ. TEOREMĂ. Orice fucţie cotiuă pe u itervl re P.. că f :I R re P.. tuci f I e itervl. Reciproc e î geerl flsă. ONTINUITTE FUNŢIILOR INVERSE T. Fie f : I R R o fucţie mootoă.î. f I e itervl. tuci f este cotiuă. T. Orice fucţie cotiuă şi ijectivă pe u itervl este strict mootoă pe cest itervl. T. Fie f : I R, I, J R itervle. că f e ijectivă şi cotiuă tuci ivers s f - e cotiuă şi strict mootoă. 98

99 7. ERIVTE FUNŢI ERIVT l e e - - si cos cos -si tg cos ctg - si rcsi 99

100 rccos - rctg rcctg - l log l u v v. u v-.u u v.v.lu f c d c d f c d REGULI E ERIVRE f.g f gfg f g f ' χ χ f ' ' ' f g g ' f f 0 fg ' ' f 0 00

101 8. STUIUL FUNŢIILOR U JUTORUL ERIVTELOR Proprietăţi geerle le fucţiilor derivile..puctele de etrem le uei fucţii. Fie Ι u itervl şi f:ι R. efiiţie. Se umeşte puct de mim respectiv de miimlocl l fucţiei f, u puct Ι petru cre eistă o veciătte V lui stfel îcât f f respectiv. f f V. U puct de mim su de miim se umeşte puct de etrem. se umeşte puct de mimrespectiv de miim glol dcă f f resp. f f. Ι. Os..O fucţie pote ve îtr-u itervl mi multe pucte de etrem.vei deseul. Os..O fucţie pote ve îtr-u puct u mim locl, fără ve î ce mi mre vlore di itervl.vei deseul f < f c., f, c, f c -pucte de mim, f, d, f d -pucte de miim 0

102 TEOREM LUI FERMT că f este o fucţie derivilă pe u itervl Ι si ' de etrem,tuci f 0 0. Iterpretre geometrică: ' eorece I u puct f tget l grfic î puctul f 0 0, 0 este prlelă cu OX. Os.. Teorem este devărtă şi dcă fucţi este derivilă umi î puctele de etrem. Os.. odiţi c puctul de etrem 0 să fie iterior itervlului este eseţilă. dcă r fi o etremitte itervlului I tuci s-r pute c ' f 0. E. f. 0 Os.. Reciproc T. lui FERMT u este devărtă.se pot găsi ' fucţii stfel îcât f 0 dr 0 să u fie puct de etrem. 0 ' Soluţiile ecuţiei f 0 se umesc pucte critice. Puctele de etrem se găsesc pritre ceste. Teorem lui Fermt dă codiţii suficiete dr u si ecesre petru c derivt îtr-u puct să fie ulă. O ltă teoremă cre dă codiţii suficiete petru c derivt să se ulee este : 0

103 TEOREM LUI ROLLE. Fie f : I R,, I, <. că:. f este cotiuă pe [,];. f este derivilă pe, ;. f f, tuci cel puţi u puct c, INTEPRETRE GEOMETRI '.î f c 0. că fucţi f re vlori egle l etremităţile uui itervl [,], tuci eistă cel puţi u puct î cre tget este prlelă cu o. oseciţ. Ître două rădăcii le uei fucţii derivile se flă cel puţi o rădăciă derivtei. oseciţ. Ître două rădăcii cosecutive le derivtei se flă cel mult o rădăciă fucţiei. TEOREM LUI LGRNGE su creşterilor fiite Fie f : I R,I itervl,, I, <. că:. f este cotiuă pe[, ] 0

104 . f este derivilă pe,, tuci eistă cel puţi u puct c,.î să vem f f ' f. c INTERPRETRE GEOMETRIĂ că grficul fucţiei f dmite tgetă î fiecre puctcu ecepţi evetul, etremităţilor eistă cel puţi u puct de pe grficcre u coicide cu etremităţile, î cre tget este prlelă cu cord cre ueşte etremităţile. f f tg tget l grfic î M re coeficietul. ughiulr f ' c dr ' f f f c Os.. c f f Teorem lui Rolle. oseciţ. că o fucţie re derivt ul pe u itervl,tuci e este costt pe cest itervl. că o fucţie re derivt ul pe o reuiue disjuct de itervle propriette u mi rămâe devărtă î geerl., 0, Epl. f : 0,, f,, 0

105 oseciţ. că f si g sut două fucţii derivile pe u ' ' itervl I şi dcă u derivtele egle f g tuci ele diferă pritr-o costtă. f g c. c R că f si g sut defiite pe o reuiue disjuctă de itervle, propriette e flsă î geerl. Epl. f tg π tg, 0,, g π tg, π oseciţ. ' c f > 0 pe I f e strict crescătore pe I. ' c < 0 f pe I f e strict descrescătore I. oseciţ. f : i R, I ' f re derivt î 0 şi f 0. că l < f e derivil i. ' oseciţ 5.c f 0 I. ' ' 0 c f s 0 f d 0 0 pe I f ' l R. păstreă sem costt pe ETPELE REPREZENTĂRII GRFIULUI UNEI FUNŢII. omeiul de defiiţie;. Itersecţi grficului cu ele de coordote : Itersecti cu O coţie pucte de form{,0},ude este o rădăciă ecuţiei f0 {dc eistă}. Itersecţi cu Oy este u puct de form {0,f{0}} {dcă puctul 0 prţie domeiului de defiitie}. Studiul cotiuităţii fucţiei pe domeiul de defiiţie : 05

106 că fucţi este defiită pe R se studiă limit fucţiei l ± ir dcă este defiită pe u itervl se studiă limit l cpetele itervlului..studiul primei derivte :. lculul lui f.. Reolvre ecuţiei f 0.Rădăciile cestei ecuţii vor fi evetule pucte de mim su de miim le fuctiei ; c. Stilire itervlelor pe cre semul lui f este costt. ceste repreit itervlele de mootoie petru f. 5.Studiul derivtei dou :.Se clculeă f.se reolv ecuti f 0. Rădăciile cestei ecuţii vor fi evetule pucte de ifleiue le grficului c.etermire itervlelor pe cre semul lui f este costt. stfel,pe itervlele pe cre f >0 fucti este coveă şi pe cele pe cre f <0, fucţi ete cocvă. 6.simptote :. simptotele oriotle sut drepte de form y, ude lim f dcă cel puţi u di ceste limite re ses şi ± eistă î R. simptotele verticle sut drepte de form 0, dcă eistă cel puţi o limită lterlă fucţiei î 0, ifiită. c simptotele olice sut drepte de form ym, ude f m lim R si lim f m R, log şi petru Telul de vriţie; 8. Trsre grficului. 06

107 9. PRIMITIVE Primitive. Proprietăţi. Fie I u itervl di R. efiiţi. Fie f: I R. Se spue că f dmite primitive pe I dcă F : I R stfel îcât F este derivilă pe I; F f, ε I. F se umeşte primitiv lui f. I pote fi şi o reuiue fiită disjuctă de itervle. Teorem. Fie f : I R. că, : I R sut două primitive le fucţiei f, tuci eistă o costtă c R stfel îcât F c, F I. emostrţie : că F, F sut primitive tuci F, F sut ' derivile ' F f F ε I ' ' ' F 0 F F, ε I. F F F c, c costtă OS. Fiid dtă o primitivă F uei fucţii, tuci orice primitivă F 0 lui f re form F F 0 c, c costtă f dmite o ifiitte de primitive. OS. Teorem u mi rămâe devărtă dcă I este o reuiue disjuctă de itervle Epl: f: R- {0 }, f ² F, G F, G sut primitive le lui f dr F-G u e costtă. otrdicţie cu T. OS. Orice fucţie cre dmite primitive re Propriette lui rou. Se ştie că derivt oricărei fucţii re Propriette lui rou, reultă că f re Propriette lui rou. F f. F F 07

108 F P. P OS. că I este itervl şi fi def { f / I } u este itervl tuci f u dmite primitive. că presupuem că f dmite primitive tuci di OS reultă că f re P lui rou, reultă fi este itervl cee ce este o cotrdicţie. OS 5. Orice fucţie cotiuă defiită pe u itervl dmite primitive. efiiţi. Fie f: I R o fucţie cre dmite primitive. Mulţime tuturor primitivelor lui f se umeşte itegrl edefiită fucţiei f şi se oteă pri simolul f Operţi de clculre primitivelor uei fucţiicre dmite primitive se umeşte itegrre. Simolul fost propus petru prim dtă de Leii, î 675. Fie FI { f : I R} Pe cestă mulţime se itroduc operţiile : fg f g, f.f R, costtă { f : I R / f R} F I f d { F / F primitivă lui f }. d. 08